Selama Renaisans minat yang besar Pematung menunjukkan minat pada bentuk polihedra beraturan. arsitek, seniman.
Leonardo da Vinci (1452 -1519), misalnya, tertarik pada teori polihedra dan sering menggambarkannya di kanvasnya. Dia mengilustrasikan buku Biksu Luca Pacioli "Tentang Proporsi Ilahi" dengan polihedra beraturan dan semi beraturan.
Pacioli adalah salah satu ahli aljabar Eropa terbesar pada abad ke-15 dan, yang tidak kalah pentingnya, menemukan prinsip pencatatan ganda, yang masih digunakan di semua sistem akuntansi tanpa kecuali. Jadi kita bisa dengan aman memanggilnya “ayah” akuntansi modern" Namun, cukup misterius dan kepribadian yang kontroversial Pacioli masih menimbulkan perdebatan sengit di kalangan sejarawan sains.
Pada tahun 1472 Pacioli dengan nama Fra Luca di Borgo San Sepolcro. Pada tahun 1496 ia diundang untuk memberikan ceramah di Milan, di mana ia bertemu dengan Leonardo da Vinci. Leonardo, setelah membaca Summa, meninggalkan pekerjaannya buku sendiri dalam geometri dan mulai mempersiapkan ilustrasi untuk karya baru Pacioli “Divine Proportion.”
Leonardo da Vinci mengusulkan cara orisinal untuk menggambarkan ikosahedron yang terpotong secara spasial.
Reproduksi gambar indah ini dari buku yang diilustrasikan oleh Leonardo oleh rekan sezamannya, biarawan Fransiskan dan ahli matematika Luca Pacioli (1445-1514) “The Divine Proportion” (“De Devina Proportione”), diterbitkan pada tahun 1509, ditunjukkan pada Gambar. 1

Buku Pacioli, dimana Leonardo membuat 59 ilustrasi berbagai polihedra, mempunyai pengaruh yang besar terhadap perkembangan geometri pada masa itu, khususnya stereometri polihedra.

Bukan suatu kebetulan jika Leonardo terlibat dalam studi tentang ikosahedron yang terpotong. Titan Renaisans, pelukis, pematung, ilmuwan dan penemu Leonardo da Vinci (1452-1519) adalah simbol seni dan sains yang tidak dapat dipisahkan, dan oleh karena itu ketertarikannya pada hal-hal indah seperti polihedra cembung pada umumnya dan ikosahedron terpotong pada khususnya itu alami. Gambar 2.

Leonardo mendahului ukiran yang menggambarkan icosahedron terpotong (Gbr. 17) dengan tulisan Latin Ycocedron Abscisus (icosahedron terpotong) Vacuus. Istilah Vacuus mengacu pada fakta bahwa permukaan polihedron digambarkan sebagai "kosong" - tidak padat. Sebenarnya, tepian tidak digambarkan sama sekali; mereka hanya ada dalam imajinasi kita. Namun tepi polihedron tidak digambarkan dengan garis geometris (yang, seperti diketahui, tidak memiliki lebar maupun tebal), melainkan dengan segmen tiga dimensi yang kaku. Kedua fitur ukiran ini menjadi dasar metode representasi spasial polihedra, yang ditemukan oleh Leonardo untuk mengilustrasikan buku Luca Pacioli dan sekarang disebut metode tepi kaku (atau padat). Teknik ini memungkinkan pemirsa, pertama, untuk secara akurat menentukan tepi mana yang termasuk bagian depan dan mana yang termasuk bagian belakang polihedron (yang secara praktis tidak mungkin dilakukan saat menggambarkan tepi dengan garis geometris), dan, kedua, untuk melihat melalui gambar. tubuh geometris, untuk merasakannya dalam perspektif, kedalaman, yang hilang saat menggunakan teknik tepi padat. Teknik yang dikembangkan oleh Leonardo adalah contoh brilian ilustrasi geometris, cara baru untuk menyajikan informasi ilmiah secara grafis. Teknik ini kemudian digunakan berkali-kali oleh seniman, pematung, dan ilmuwan.

G.Ya.Martynenko

Matematika Harmoni: Renaisans (XIV–abad XVI)
(untuk peringatan 500 tahun buku Luca Pacioli “On Divine Proportion”)

Proporsi ilahi
Profesor Fra Luca Bartolomeo de' Pacioli
Pemimpi besar dari gudang pengembara,
Setelah berkeliling dan menggosok kapalan,
Sampai di Florence. Menuju Leonardo

Da Vinci. Ya Tuhan! Itulah pertemuannya.
Teman, berpelukan, hampir tercekik
Satu sama lain, tapi tidak sampai melukai.
Kemudian mereka segera memulai bisnis.

Di atas secangkir anggur, ketika sudah agak dingin,
Pacioli, dalam keadaan mabuk, berkata kepada pematung itu,
Apa hikmah dari Elemen Euclid?

Satu proporsi memberinya kekuatan.
Da Vinci berseri-seri dengan senyuman yang tidak biasa:
“Dengar, temanku, dia serasi.”

Renaisans dalam sejarah kebudayaan Eropa merupakan era peralihan dari Abad Pertengahan ke Abad Pertengahan
zaman baru, era peralihan ke pemikiran manusia yang hidup, ditindas oleh asketisme
Abad Pertengahan. Periode ini ditandai dengan masa-masa yang dalam dan menentukan bagi Eropa
proses: revolusi pertanian dan peralihan dari kerajinan tangan ke manufaktur; Besar
penemuan geografis dan awal perdagangan dunia. Saat ini feodal
fragmentasi
lebih rendah
terpusat
otoritas
Dan
terbentuk
modern
negara-bangsa. Era ini diasosiasikan dengan permulaan percetakan, “penemuan”
zaman kuno, berkembangnya pemikiran bebas, munculnya Protestantisme dan hilangnya gereja
monopoli dalam kehidupan rohani. Pada saat ini, ilmu pengetahuan alam mengambil langkah pertamanya, berkembang
seni dan sastra, matematika berkembang pesat.
Paling umum fitur pembeda Renaissance - penegasan cita-cita
keharmonisan manusia dan keutuhan alam semesta. Terlebih lagi, tidak seperti Abad Pertengahan, Abad ini
kategori, meskipun tidak segera, meskipun mengelak, mulai dipandang sebagai swasembada
esensi, dan bukan melalui prisma kemutlakan ilahi. Terkait dengan hal ini adalah budaya yang melekat
Karakter dan kecenderungan sekuler dan humanistik Renaisans terhadap kosmologis dan
visi filosofis alam dunia. Peran penting dalam visi dunia ini dimainkan oleh
matematika, yang membebaskan ilmu pengetahuan dan seni dari belenggu skolastik abad pertengahan dan keras
pertapaan.
Berbeda dengan zaman dahulu, para ilmuwan Renaisans tidak menghindar dari praktik semata
tugas. Sebenarnya tidak ada ahli matematika teoretis murni. Tapi bahkan mereka yang bisa
dianggap ahli teori, terlibat dalam astronomi, urusan militer, anatomi, mekanika,
kedokteran, kartografi, optik dan hal-hal praktis lainnya.

1. Gagasan tentang harmoni dalam seni Renaisans

Selama Renaisans, otoritas publik atas seni meningkat tajam, tetapi kenyataannya tidak demikian
menyebabkan penolakannya terhadap sains dan kerajinan, dan dianggap sebagai persamaan hak
berbagai bentuk aktivitas manusia dalam kesatuan mereka. Dibandingkan dengan Abad Pertengahan
dalam seni ada perubahan penekanan yang tajam. Untuk pria abad pertengahan
dunia sekitar adalah cermin, begitu pula gambar dan patung di kuil dan manuskrip
cermin; bahkan ensiklopedia ilmu pengetahuan pun kemudian disebut “Spekulum” (cermin). Jadi apa
tercermin dalam cermin ini? Oleh ide-ide abad pertengahan, mereka merenung
kesempurnaan, sebagian mutlak, sebagian esensi ilahi yang tak terbatas.

1.1. Seni itu seperti cermin
Pada masa Renaisans, Kitab Suci tidak lagi dipandang sebagai perbendaharaan
rahasia ilahi, ini sudah merupakan cerminan dari aslinya, kehidupan nyata dan keberadaan alam.
Leonardo da Vinci menulis: “Jika Anda ingin melihat apakah gambar Anda secara keseluruhan cocok
sebuah benda yang disalin dari kehidupan, lalu ambillah cermin... Pada permukaannya, segala sesuatunya serupa
lukisan..." (Leonardo da Vinci, 1935, hlm. 114–115). Dengan kata lain, pelukisnya harus begitu
seperti cermin untuk memantulkan dunia di sekitar kita, seperti yang dikatakan Leonardo da Vinci
"Anda tidak bisa menjadi pelukis yang baik kecuali Anda adalah seorang ahli universal
meniru semua kualitas bentuk yang dihasilkan oleh seninya” (ibid.,
Dengan. 88). Albrecht Durer juga memiliki pandangan serupa: “Visi kami seperti
cermin" (Dürer, 1957, hal. 26). Namun yang kita bicarakan di sini adalah seni rupa. Bagaimana Anda bisa berbeda?
jenis seni? Bahwa mereka memiliki cermin. Dan di sinilah metafora dimulai. Ya, George
Puttenham, dalam bukunya The Art of English Poetry (1859), menulis: “Pikiran yang memiliki
imajinasi, seperti cermin” (Gilbert, Kuhn, hal. 182).
Namun, mistisisme dan otoritas gereja yang tidak perlu dipertanyakan lagi tidak serta merta tersingkir
alam dan akal. Gereja mempertahankan kekuasaannya atas kehidupan rohani untuk waktu yang lama.
kehidupan orang yang berpikir. Pada saat yang sama, banyak “kaum revivalis” melihat adanya kompromi dalam hal tersebut
teologi juga puisi. Maka Petrarch menulis kepada saudaranya Gherardo: “Puisi sama sekali tidak ada
bertentangan dengan teologi... Kita dapat mengatakan dengan tepat bahwa teologi itu sama dengan puisi, tetapi
berhubungan dengan Tuhan” (Gilbert, Kuhn, hal. 186). Menurut Alberti dan Leonardo da Vinci,
seniman harus menjadi semacam pendeta, karena kesalehan dan kebajikan
kemudian dianggap sebagai atribut integral dari seniman. Seni itu sendiri dianggap
ilahi, dan perannya terutama untuk menginspirasi orang dengan cinta dan
pemujaan kepada tuhan.

1.2. Perubahan klasifikasi seni
Namun di satu bidang telah terjadi perubahan radikal. Ini tentang tentang teologi, di
yang mulai semakin merambah konsep dan gagasan khas seni rupa.
Terjadi erosi bertahap terhadap teologi dengan latar belakang meningkatnya peran dan prestise seni.
Hal ini tercermin dari kenyataan bahwa puisi, patung dan lukisan mulai disebut
kategori seni liberal. Namun, tren sekuler dalam seni mulai berkembang
jalan dengan sangat hati-hati, hati-hati, tanpa “serangan kavaleri”. Itu mendapat dukungan
berkat intrusi bertahap ke dalam lingkup semangat keagamaan yang menarik bagi sains dan
warisan kuno. Penyair dan seniman memahami bahwa mereka harus tanpa lelah membuktikan pendapat mereka
tempat di bawah sinar matahari di kamp profesi liberal. Dan mereka melakukannya melalui kerja keras,
ketekunan, kecerdasan dan “penguasaan metodologis” yang merupakan ciri tradisional
seni yang berasal dari Abad Pertengahan. Untuk meningkatkan otoritas mereka, artis dan
para penyair berkarya tanpa kenal lelah, karena di benak manusia pada pertengahan milenium kedua
keyakinan mengakar bahwa semakin banyak upaya yang dilakukan untuk menciptakan sebuah karya, semakin besar
Semakin sempurna, semakin asli dan indah. Terlebih lagi, dalam perselisihan tentang seni apa -
lukisan atau patung, lukisan atau puisi lebih penting dari yang lain, argumen yang mendukung
seni yang membutuhkan lebih banyak tenaga kerja, dan tenaga kerja yang terlihat dan nyata, dimainkan
peran yang sangat penting.

1.3. Peran ilmu pengetahuan dan kerajinan

Seiring dengan meningkatnya keterampilan artistik mereka, beberapa tokoh
seni Renaisans mulai menjauh dari peniruan alam secara ketat dan mencoba
menggabungkan visi artistik Anda dengan keinginan untuk bentuk sempurna dan harmoni
dari pekerjaan Anda. Alam tidak lagi hanya menjadi “model”, sebuah model
menyalin, tetapi berubah menjadi sumber esensi ilahi yang tersembunyi, yang seharusnya
terurai.
Namun beberapa seniman dan pematung mengambil jalan berbeda. Mereka tidak hanya menyelesaikannya
tapi mereka juga mengambilnya. Dasar keindahan bukanlah anugerah Tuhan, melainkan pilihan manusia,
yang memilih di alam pilihan paling cemerlang dari bentuk terbaik dan terindah.
“Kita harus mengambil fitur terbaik dari banyak wajah cantik – begitulah yang tersebar luas
slogan" zaman itu (Gilbert, Kuhn, hal. 205).
Cara lain juga populer. Berdasarkan kumpulan pengetahuan khusus di
bidang perspektif, anatomi, matematika, psikologi, meningkatkan indera,
Seniman Renaisans menciptakan alam “buatan manusia” yang kedua, tapi alam itu
sesuai dengan rencana penciptaan ilahi. Dalam hal ini, peran yang menentukan dimainkan
matematika. Kami akan membahas signifikansinya dalam Renaisans secara lebih rinci di bawah.



1.4. Sikap terhadap harmoni
Jika bagi manusia Abad Pertengahan, keharmonisan berarti derajat yang maksimal
mengikuti kesatuan ketuhanan, maka bagi manusia Renaisans keharmonisan berarti
korespondensi lengkap elemen individu dari sebuah karya seni satu sama lain dan
untuk keseluruhan. Untuk mengungkapkan makna korespondensi ini, bermacam-macam
kata dan frasa: rasio, koordinasi, proporsionalitas, kesepakatan,
kombinasi, konsistensi, proporsionalitas, komposisi, susunan, dll.
Konsep harmoni akhirnya ditemukan pada seniman Renaisans
perwujudan dalam seni proyek. Seni ini didasarkan pada studi banyak hal nyata
objek untuk membuat sampel yang sempurna. Beginilah definisi renaisans
proyek Kritikus seni Inggris G. Vasari: “Sebuah proyek itu seperti sebuah bentuk atau ide dari semuanya
hal-hal di alam; ini adalah konsep yang paling luar biasa dalam hal luasnya, tidak hanya pada tubuh
manusia dan hewan, tetapi juga pada tanaman, bangunan, patung dan lukisan, proyek ini menunjukkan
hubungan keseluruhan dengan bagian-bagian individual dan setiap bagian dengan bagian lainnya dan dengan keseluruhan... Dari jumlah tersebut
hubungan, muncul konsep dan penilaian tertentu” (Vasari, 1907, hal. 205; dikutip dalam:
Gilbert, Kuhn, hal. 207). Dan baru setelah itu sketsa atau proyek awal
diwujudkan dalam realitas artistik.
Ide dan praktik desain kembali ke ide Vetruvius yang dalam karyanya
proyek didasarkan pada proporsi tubuh manusia. Kaum revivalis melihat
masalahnya lebih luas. Mereka tidak hanya memperhitungkan proporsi tubuh manusia, tetapi juga proporsi tubuh lainnya
proporsi yang ditemukan di alam. Namun kekuatan seni yang besar seringkali membuat seniman menjauh
dari kanon harmonik. Misalnya, peneliti Amerika J. menulis tentang ini.
Simon membahas karya Michelangelo yang sering melakukan penyimpangan dalam karyanya
pada proporsi tubuh manusia. Durer juga berpikiran sama. Dalam buku ketiga dari Empat Bukunya
tentang proporsi tubuh manusia" katanya bahwa seniman mempunyai kekuatan untuk menyimpang dari emas
menengah menuju besar dan kecil, tebal dan tipis, muda dan tua,
gemuk dan kurus, cantik dan jelek, keras dan lembut, tetapi semua itu harus terjadi
tunduk pada metode dan seni yang dipilih secara sadar, yang menjadi landasannya
alam dan tidak pernah terulang kembali. Bagi Dürer, sebuah kanon, sebuah contoh, sebuah model, sebuah proyek bukanlah sebuah proyek
dogma, melainkan pedoman bertindak bagi orang bebas dengan “alami
kecenderungan untuk kreativitas.
Jadi, dalam seni Renaisans terdapat kecenderungan yang jelas ke arah pencarian formal
pengatur proses kreatif. Di satu sisi, menjadi kriteria kebenaran
sumber ilahi, dan di sisi lain, matematika mulai memainkan peran besar. Dan ini
“Kombinasi” tersebut tidak hanya meluas ke bidang seni, tetapi juga ke bidang lain
kegiatannya, terutama kerajinan dan perdagangan. Jadi, seorang pelaut yang memiliki
keterampilan matematika, memperoleh keunggulan dibandingkan pesaingnya berkat
kemampuan menghitung koordinat kapal di laut, dan pedagang yang mahir dalam teknik akuntansi
akuntansi, memiliki peluang sukses yang jauh lebih besar dalam perdagangan daripada ketidakberdayaannya
saingan matematika. Pada saat yang sama, gagasan tradisional menyatakan bahwa alam semesta
dibangun oleh Tuhan menurut satu rencana, di mana matematika memainkan peran penting.
Patut dicatat juga bahwa selama Renaisans, representasi yang harmonis
berlaku tidak hanya pada alam dan hasil kegiatan kreatif, tetapi juga pada keseluruhannya
rentang interaksi manusia-alam dan hubungan manusia. Sebuah contoh yang mencolok
pemahaman yang luas tentang harmoni adalah kreativitas Leona Battista
Alberti(1404 – 1472) - ilmuwan, humanis, penulis, salah satu pendiri baru
Arsitektur Eropa dan ahli teori seni Renaisans terkemuka.
Multi-talenta dan terpelajar, dia memberikan kontribusi besar pada teori tersebut
seni dan arsitektur, sastra dan arsitektur, tertarik pada masalah etika dan
pedagogi, mempelajari teori perspektif, kartografi dan kriptografi.
Menurut Alberti, keharmonisan merupakan pola alam yang paling penting, dasar tatanan dunia.
Seseorang yang termasuk dalam tatanan dunia mendapati dirinya bergantung pada hukumnya - harmoni dan
kesempurnaan. Keharmonisan manusia dan alam ditentukan oleh kemampuannya dalam kognisi
perdamaian, menuju keberadaan rasional yang berjuang untuk kebaikan.
Alberti menciptakan teori humanistik asli, kembali ke Plato dan
Konsep Aristoteles tentang manusia didasarkan pada gagasan harmoni. Etika Alberti -
bersifat sekuler - dibedakan oleh perhatiannya terhadap masalah keberadaan manusia di bumi, miliknya
perbaikan moral.
Orang ideal menurut Alberti adalah orang yang harmonis menggabungkan kekuatan akal dan kemauan,
aktivitas kreatif dan ketenangan pikiran. Dia bijaksana dan terbimbing dalam tindakannya
prinsip ukuran, memiliki kesadaran akan martabatnya. Semua ini memberikan gambaran
diciptakan oleh Alberti, ciri-ciri kehebatan.
Tanggung jawab untuk perbaikan moral, yang bersifat pribadi dan
signifikansi sosial, Alberti menempatkan pada masyarakat itu sendiri. Pilihan antara yang baik dan yang jahat
tergantung pada kehendak bebas manusia. Kaum humanis melihat tujuan utama individu dalam
kreativitas, yang dipahami secara luas - dari karya seorang pengrajin yang rendah hati hingga karya ilmiah yang tinggi
dan kegiatan seni.
Masyarakat Alberti memandangnya sebagai suatu kesatuan yang harmonis dari seluruh lapisannya, yang mana
harus memfasilitasi kegiatan penguasa. Memikirkan kondisi pencapaian
harmoni sosial, Alberti dalam risalahnya “On Architecture” menggambarkan kota yang ideal,
indah dalam tata letak rasional dan tampilan bangunan, jalan, alun-alun. Semua
lingkungan hidup manusia dirancang di sini sedemikian rupa sehingga memenuhi kebutuhan individu,
keluarga, masyarakat secara keseluruhan.
Perwujudan gagasan tentang kota ideal dalam kata-kata atau gambar adalah
salah satu ciri khas budaya Renaisans di Italia. Proyek kota-kota tersebut
Banyak tokoh cemerlang di era ini memberikan penghormatan. Ini adalah arsitek Filaret, ilmuwan dan
seniman Leonardo da Vinci, penulis utopia sosial abad ke-16. Yang terakhir tercermin
mimpi
humanis
HAI
harmoni
manusia
masyarakat,
HAI
luar
kondisi,
berkontribusi pada stabilitas dan kebahagiaan setiap orang.

2. Studi matematika
2.1. "Proporsi Ilahi" oleh Luca Pacioli

Pada tahun 1509, yaitu 500 tahun yang lalu, atas saran Leonardo da Vinci, Luca Pacioli menerbitkan
buku “Tentang Proporsi Ilahi” (“La Divina Proportione”) dengan subjudul “Esai,
sangat berguna bagi setiap pikiran yang berwawasan luas dan ingin tahu, dari mana masing-masing
mahasiswa filsafat, perspektif, lukisan, patung, arsitektur, musik atau
mata pelajaran matematika lainnya, akan mempelajari pengajaran yang paling menyenangkan, jenaka dan menakjubkan
dan akan menghibur dirinya dengan berbagai pertanyaan tentang ilmu yang paling rahasia.” Buku itu secara eksplisit menyatakan
dirumuskan hukum rasio emas. Buku itu elegan dan berpengetahuan luas
diilustrasikan dengan gambar polihedra yang dibuat oleh Leonardo yang agung. Pada tahun 2007
tahun ini, terjemahan bahasa Rusia dari “The Divine Proportion” muncul (Pacioli, 2007).
Biksu Fransiskan Luca Pacioli adalah murid seniman Piero della Francesca,
yang menulis dua buku, salah satunya berjudul “Tentang Perspektif dalam Lukisan”. Buku ini
dianggap sebagai cikal bakal geometri deskriptif. Dari artis Pacioli menerima Deep
pengetahuan seni dan matematika.
“La Divina Proportione” adalah himne yang menggairahkan tentang proporsi emas. Di antara
Biksu Luca Pacioli tidak lupa menyebutkan banyak keuntungan dari rasio emas
“esensi ketuhanan” sebagai ekspresi ketuhanan trinitas yaitu tuhan anak, tuhan bapak dan tuhan
Roh Kudus Diasumsikan bahwa segmen kecil bila membagi segmen menjadi ekstrim dan menengah
relasi adalah personifikasi dewa anak, segmen yang lebih besar adalah dewa ayah, dan seluruh segmen adalah
dewa roh suci.
Bagian pertama dari "Proporsi Ilahi" dikhususkan untuk bagian emas, bagian kedua -
polihedra biasa, yang ketiga - arsitektur. Rasio emas dan benar
Pacioli menganggap polihedra sesuai dengan buku XIV Elemen Euclid.
Sesaat sebelum penerbitan The Divine Proportion, Pacioli menerbitkan sebuah suntingan
Terjemahan Latin dari “Awal” dengan banyak komentarnya.
Gambar polihedra pada 59 meja dibuat untuk temannya Leonardo da
Vinci, yang mana Pacioli menghitung jumlah logamnya,
diperlukan untuk patung berkuda(Yushkevich, hal. 288–289). Buku ini tidak hanya berisi
lima polihedra beraturan (sesuai sepenuhnya dengan padatan Platonis), tetapi juga
polihedra diperoleh dari mereka dengan “memotong” dan “menempel” satu sama lain. Apa
menyangkut bagian yang dikhususkan untuk arsitektur, maka proporsi dipertimbangkan di sini
tubuh manusia berdasarkan bilangan bulat sesuai dengan pengukuran Vetruvius.
“Proporsi ilahi” untuk matematika harmoni adalah hal yang mendasar
arti. Menariknya, Pacioli mempertimbangkan proporsi ilahi dengan
posisi kosmologis dalam semangat Pythagoras-Platonis, tanpa mengikatnya
arsitektur, lukisan atau seni lainnya. Hal ini dibuktikan dengan fakta bahwa
Pacioli dalam Treatise on Architecture, yang merupakan bagian terakhir bukunya, berbicara tentang emas
tidak menyebutkan proporsi. Dengan kata lain, bagi Pacioli, rasio emas adalah yang pertama dan terpenting
Fenomena matematika-kosmik yang dikristenkan.
Pacioli
mulia
Bukan
hanya
matematika-harmonik
riset.
Miliknya
Prestasi matematika secara umum juga mempunyai arti penting yang bertahan lama.
Pada tahun 1494, Pacioli menerbitkan karya matematika dalam bahasa Italia dengan judul
berjudul "Jumlah Aritmatika, Geometri, Pecahan, Proporsi, dan Proporsionalitas"
(Summa di aritmatika, geometri, proporsi dan proporsionalita). Esai ini menguraikan
aturan dan teknik operasi aritmatika pada bilangan bulat dan pecahan, soal pada
bunga majemuk, penyelesaian linear, kuadrat dan jenis biquadratic tertentu
persamaan. Mungkin inovasi Pacioli yang paling signifikan adalah sistematikanya
menggunakan notasi aljabar tersinkronisasi - semacam pendahulunya
kalkulus simbolis berikutnya. Diantara permasalahan yang menarik perhatian para ahli matematika
generasi berikutnya, perlu diperhatikan masalah pembagian taruhan dalam permainan yang belum selesai.
Luka memecahkan masalah ini dengan cara yang salah, namun kemudian menjadi batu ujian untuk diasah
seni matematika. Pada akhirnya, tugas ini berkontribusi pada munculnya dan
pengembangan teori probabilitas.

2.2. Teori simetri dan Leonardo da Vinci
Ada pendapat luas bahwa istilah rasio emas ( bagian aurea)
pertama kali digunakan oleh Leonardo da Vinci. Apakah benar demikian, kita tidak dapat menentukannya
berhasil. Mungkin Leonardo, menjelajahi struktur poligon dan polihedron,
menemukan rasio emas, yang diketahuinya dari buku Pacioli. Tapi bagi Leonardo, lebih tepatnya
Secara total, proporsi emas hanyalah perwujudan dari salah satu jenis simetri. Dan yang terakhir
dia menaruh banyak perhatian saat mendesain miliknya ansambel terkenal. Ya, Hermann Weil
(Weil, 2007, hlm. 91–92, 100–101), mencatat bahwa angka paling sederhana dengan
pilihan yang mungkin untuk simetri rotasi adalah poligon beraturan,
yang dibangun dalam ruang dua dimensi. Leonardo da Vinci memahami hal ini dengan baik.
(Weil, 2007, hlm. 91, 100). Jumlah poligon tersebut ditentukan oleh jumlah sisinya,
cenderung menuju tak terhingga. Ketika dimensi ruang bertambah menjadi 3, jumlahnya
polihedra tidak terbatas. Hanya ada lima dari mereka. Mereka biasanya disebut padatan Platonis.
Ini adalah tetrahedron biasa, kubus, oktahedron, serta dodecahedron, yang wajahnya adalah
dua belas segi lima beraturan, dan satu ikosahedron dibatasi hingga dua puluh segilima beraturan
segitiga. Weil mencatat bahwa “keberadaan tiga polytop pertama adalah
fakta geometris yang sangat sepele. Namun penemuan keberadaan yang terakhir
kedua, tidak diragukan lagi merupakan salah satu penemuan paling luar biasa dan indah yang pernah dibuat
sepanjang sejarah matematika” (Weil, 2007, hal. 100). Perbedaan antara kedua kelompok
polihedra adalah kubus dan segi delapan mempunyai golongan yang sama
simetri, karena jika Anda mengambil pusat permukaan kubus dan “meregangkan” polihedron di atasnya,
hasilnya adalah segi delapan, dan sebaliknya, pusat permukaan segi delapan adalah simpul kubus. Menurut itu
Untuk alasan yang sama, dodecahedron dan icosahedron mempunyai kelompok simetri yang sama (Vinberg, 2001,
Dengan. 19–20).
Weil juga mencatat bahwa Leonardo da Vinci selalu prihatin dengan masalah pilihan
bentuk bangunan pusat dalam ansambel arsitektur, serta caranya
untuk menambahkan kapel dan relung ke dalamnya tanpa merusak simetri inti ansambel.

2.3. Memecahkan persamaan derajat keempat dan ketiga
Luca Pacioli menyelesaikan bagian persamaan aljabar dalam buku “Summa”
perhatikan itu untuk menyelesaikan persamaan kubik X 3 + B= kapak Dan X 3 + kapak= B
seni aljabar belum menyediakan metode, sebagaimana belum memberikan metode untuk menyelesaikan kuadratur
lingkaran. Kata-kata Pacioli ini menjadi titik awal bagi para aljabar Italia di
menyelesaikan persamaan kubik. Penemuan solusi ini merupakan sebuah matematika besar
sebuah pencapaian Renaisans yang tetap mempertahankan signifikansinya hingga hari ini. Jika
Jika kita berbicara tentang matematika harmoni, maka penyelesaian persamaan tersebut terkait dengan
teori persamaan yang menggeneralisasi gagasan bagian emas. Ini terutama tentang
persamaan kubik Padovan-Gazale dan Alexei Stakhov (Gazale, 2002, hal. 147; Stakhov,
2003, hal. 10).
Yang pertama menyelesaikan satu jenis persamaan kubik X 3 + kapak= B (a,b>0)
Profesor Universitas Bologna Scipione del Ferro (1456–1526), ​​​​dan setelahnya
independen dari dia, penduduk asli Brescia, Nicola Tartaglie (1500–1557), yang memutuskan dan
jenis persamaan kubik lainnya. Rumus Tartaglia diterbitkan oleh Giralomo Cardano.
(1501–1576) dalam risalahnya yang terkenal "The Great Art" (1545). Dan meskipun dia
muncul dalam sejarah matematika dengan nama Cardano, tapi penulis aslinya adalah
Tartaglia. Omong-omong, pencapaian lain dari pikiran inventif dikaitkan dengan nama Cardano -
poros penggerak dan kisi-kisi Cardano: mungkin karena seseorang menciptakannya, dan dia
diterbitkan?
Menariknya rumus Cardano digunakan oleh M. Ghazaleh (Ghazaleh, 2002, p. 158) ketika
perhitungan bagian perak diusulkan oleh arsitek Padovan. Untuk persamaannya
X 3 + kapak= B Rumus Cardano adalah:
3
2
3
2
 A
 B
B
 A
 B
B
3
3
X=
  +   +
−
  +   − .
 3 
 2 
2
 3 
 2 
2
Mengganti ekspresi ini A= −1 dan B= 1, kita dapat menemukan solusi persamaan tersebut
3
P− P−1 = 0:
3
2
3
2
 −1
 1 
1
 −1
 1 
1
3
3
P=

 +   +
−

 +   −
=
 3 
 2 
2
 3 
 2 
2

23
1
23
1

3
3
=
+ −
− ≈
108
2
108
2
3
≈
,
0 461479103 + 5
,
0
3
−
,
0 461479103 − 5
,
0
≈
≈ 9
,
0 86991206 + 3
,
0 377226751 ≈ 3
,
1 24717957,
yang dalam sepuluh angka penting sama dengan nilai yang dihitung
iterasi ekspresi yang berurutan
3 1+ 3 1+ 3 1+ 3 1+ ... → P
Sebagaimana dicatat oleh Karl B. Boyer (1989, p. 282), dan setelahnya oleh Midhad Ghazaleh
(Ghazaleh, 2002, p. 160), tahun penerbitan Cardano (1545) metode penyelesaian kubik
persamaan menandai awal era modern dalam matematika. Mari kita tambahkan sendiri bahwa ini
tanggal juga merupakan pertanda berkembangnya teori persamaan orde tinggi,
terkait dengan rasio emas dan angka Fibonacci.
Cardano memasukkan dalam bukunya penemuan lain yang dibuat oleh muridnya Lodovico
(Luigi) Ferrari: solusi umum persamaan derajat keempat.
Matematikawan Italia Del Ferro, Tartaglia dan Ferrari memecahkan masalah tersebut dengan
yang tidak dapat dipecahkan oleh ahli matematika terbaik di dunia selama beberapa abad. Pada saat yang sama mereka
menemukan bahwa solusinya terkadang mengandung akar yang “aneh”. angka negatif.
Setelah menganalisis situasinya, matematikawan Eropa menyebut akar-akar ini sebagai “bilangan imajiner” dan
mengembangkan aturan untuk menanganinya yang mengarah pada hasil yang benar. Jadi masuk
matematika memasukkan bilangan kompleks untuk pertama kalinya.
Langkah paling penting menuju matematika baru dilakukan oleh orang Prancis François Viète (1540–1603). Dia
akhirnya merumuskan metabahasa simbolik aritmatika - aljabar literal.
Penemuan besar lainnya di abad ke-16 adalah penemuan John Napier
logaritma, yang sangat menyederhanakan perhitungan rumit
Dan akhirnya, pada akhir abad ke-16, Fleming Simon Stevin (1548–1620)
menerbitkan buku "Kesepuluh" tentang aturan bekerja dengan pecahan desimal, setelah itu desimal
sistem mencapai kemenangan akhir di bidang bilangan pecahan. Stevin juga
memproklamasikan persamaan lengkap bilangan rasional dan irasional, dengan demikian memutuskan
salah satu masalah paling mendesak di zaman kuno membingungkan orang-orang Yunani yang bijaksana
matematikawan dan mengubah vektor penelitian mereka ke arah geometri.

2.4. Teori prospek
Euclid, di bagian “Optik” dalam “Prinsip”, merumuskan aturan untuk pertama kalinya
perspektif observasi, dan juga menurunkan hukum pemantulan sinar dari bidang datar, cekung
dan cermin cembung. Doktrin perspektif kemudian diuraikan dalam risalah “Sepuluh Buku
tentang arsitektur" oleh ilmuwan dan arsitek Yunani kuno Vitruvius, yang menguraikan
aturan untuk membangun perspektif, serta menyusun rencana arsitektur dan konstruksi
gambar yang memuat denah dan fasad bangunan.
Pada masa Renaisans, babak baru dimulai dalam perkembangan teori perspektif. Leon
Battista Alberti, dalam risalahnya “On Painting” dan “On Architecture,” menguraikan matematika
teori proporsi, berdasarkan proporsi tubuh manusia. Dalam menjanjikan
konstruksi, Alberti menerapkan metode mengkonstruksi gambar yang disusun satu demi satu
teman segmen yang sama dan sejajar tertutup antara dua garis,
berpotongan pada garis horizon.
Leonardo da Vinci juga memberikan kontribusi besar terhadap teori perspektif. dalam "Risalah tentang
lukisan" ia menulis bahwa perspektif termasuk dalam "ilmu mekanik", padahal bukan
harus diabaikan oleh pelukis mana pun.
Leonardo
Ya
Vin
membagi
perspektif
pada
tiga
dasar
bagian:
1. Perspektif linier, yang memperhitungkan hukum angka-angka yang semakin menurun
jarak dari pengamat.
2. Perspektif udara dan warna, yang diwujudkan dalam warna benda,
tergantung pada jaraknya ke pengamat.
3. Perspektif terhadap kejelasan garis besar suatu benda tergantung pada strukturnya
ruang dan tingkat penerangan bagian-bagiannya.
Bagian pertama dari teori perspektif kemudian berkembang menjadi ilmu pasti -
perspektif linier, yang kemudian menjadi bagian integral dari deskriptif
geometri.
Ilmuwan, matematikawan, pengukir dan seniman Jerman terkemuka Albrecht Durer
(1471–1528) dalam karyanya “Manual pengukuran dengan kompas dan aturan”,
diterbitkan pada tahun 1523, dijelaskan metode grafis membangun perspektif objek dari
menggunakan proyeksi ortogonal, yang disebut dalam literatur pendidikan
"Metode Durer" Yushkevich mencatat bahwa karya ini mengandung banyak hal
materi statistik yang berisi pengukuran berbagai bagian tubuh laki-laki dan perempuan
dari bangunan yang berbeda (Yushkevich, 1977, hal. 324). Tampaknya memang demikianlah hasilnya
langkah serius pertama menuju pembentukan antropometri dan rasionalistik
estetika. Mari kita perhatikan juga bahwa pencapaian Dürer di bidang ini masih menunggu hasil yang layak
penilaian.

3. Pentingnya penelitian matematika-harmonik di zaman Renaisans
Selama periode ini, matematika untuk pertama kalinya melampaui warisan yang ditinggalkan
Yunani dan ahli matematika dari Timur.
1. Aljabar dan aritmatika mendapat perkembangan yang pesat, akhirnya membuat terobosan
batas geometri. Untuk pertama kalinya konsep bilangan real secara praktis terbentuk. Semua
angka-angka yang "buruk" telah menjadi hal yang wajar atau, seperti yang ditulis Stephen, "tidak ada yang absurd
bilangan yang tidak rasional, tidak beraturan, tidak dapat diungkapkan, atau bodoh” (Yushkevich, 1977, hal. 325).
2. Cakupan gagasan yang berkaitan dengan harmoni telah berkembang secara signifikan. Konsep
harmoni memperoleh karakter yang semakin sekuler, menjadi semakin humanistik,
tidak hanya mencakup alam, tetapi juga individu dan manusia
masyarakat secara keseluruhan.
3. Konsep harmoni bagi orang yang kreatif Penemuan Renaisans
perwujudan dalam seni proyek, berdasarkan studi terhadap banyak objek nyata dengan
dengan tujuan menciptakan sampel yang sempurna.
3. Untuk pertama kalinya sejak zaman Euclid, perbincangan tentang bagian emas dilanjutkan,
Padatan Platonis dan polihedra beraturan.
4. Dalam karya Leonardo da Vinci, rupanya untuk pertama kalinya muncul pertanyaan yang beragam
jenis simetri struktur arsitektur.
5. Pencapaian matematika yang serius pada zaman itu adalah penemuan metode solusi
persamaan derajat ketiga dan keempat. Di satu sisi hal itu terjadi penggerak Untuk
perkembangan aljabar, dan di sisi lain, meletakkan dasar teori harmoni aljabar, di mana
Tempat penting ditempati oleh penyelesaian persamaan derajat tinggi.

Literatur
Weil G. Simetri. Terjemahan dari bahasa Inggris M.: Penerbitan LKI., 2007.
Vinberg E.B. Simetri polinomial. Seri: Perpustakaan “Pendidikan Matematika”.
M.: MCMNO, 2001.
Ghazale M. kurcaci. Dari firaun hingga fraktal. Terjemahan dari bahasa Inggris Moskow-Izhevsk: Institut
Penelitian Komputer, 2002.
Gilbert K., Kuhn G. Sejarah estetika. Terjemahan dari bahasa Inggris M.: Penerbitan Sastra Asing,
1960.
Durer A. Buku harian, surat, risalah. Seni: M.-L.: 1957, jilid 2.
Yushkevich A.P. Sejarah matematika (diedit oleh A.P. Yushkevich) dalam tiga volume. Jilid 1.C
zaman kuno sampai awal zaman modern. M., Nauka, 1977.
Leonardo da Vinci. Karya terpilih. M.-L.: Akademisi. 1935. Jilid 2.
Luka Pacioli. Tentang proporsi ketuhanan. Edisi cetak ulang. 1508 dengan lampiran terjemahan
A. I. Shchetnikova. M.: Yayasan Avant-Garde Rusia, 2007.
Luka Pacioli. Risalah tentang akun dan catatan. M.: Keuangan dan Statistik, 1994.
Sokolov Ya. Luka Pacioli. Manusia dan pemikir. Dalam buku: Pacioli Luca. Risalah tentang Akun dan
catatan. M.: Keuangan dan Statistik, 1994.
Shchetnikov A.I. Luca Pacioli dan risalahnya “On Divine Proportion”. Matematis
Pendidikan, No.1 (41), 2007, hlm.33–44.
Boyer C., Merzbach U. Sejarah Matematika. New York: John Wiley & Putra, 1989.
Vasari G. Tentang Teknik. Ed. G.B.Brown. London, 1907.

Salinan

1 Luca Pacioli dan risalahnya “Tentang Proporsi Ilahi” A. I. SHCHETNIKOV Sketsa biografi LUCA PACIOLI (LUCA PACIOLI atau PACIOLLO) lahir pada tahun 1445 dalam keluarga miskin BARTOLOMEO PACIOLI di kota kecil Borgo San Sepolcro, terletak di tepi sungai Tiber , di perbatasan Tuscany dan Umbria, dan pada saat itu merupakan bagian dari Republik Florentine. Saat remaja ia dikirim untuk belajar di bengkel artis terkenal PIERO DELLA FRANCESCA (ok), yang tinggal di kota yang sama. Belajar di bengkel tidak menjadikannya seorang seniman, tetapi mengembangkan cita rasa yang luar biasa, dan yang terpenting, di sini ia pertama kali mengenal matematika, yang sangat menarik minat gurunya. Bersama gurunya, LUCA sering mengunjungi istana FEDERICO DE MONTEFELTRO, Adipati Urbino. Di sini ia diperhatikan oleh arsitek besar Italia LEON BATISTA ALBERTI (), yang direkomendasikan pada tahun 1464 pemuda kepada saudagar kaya Venesia ANTONIO DE ROMPIANZI sebagai pengajar ke rumah. Di Venesia, LUCA mengajar putra pelindungnya dan belajar sendiri, menghadiri ceramah ahli matematika terkenal DOMENICO BRAGADINO di Sekolah Rialto. Pada tahun 1470 ia menyusun buku pertamanya, sebuah buku teks aritmatika komersial. Pada tahun yang sama dia meninggalkan Venesia dan pindah ke Roma, di mana dia diterima oleh ALBERTI dan menetap di rumahnya. Namun, dua tahun kemudian PACIOLI meninggalkan Roma dan mengambil kaul biara, menjadi seorang Fransiskan. Setelah di amandel, saudara LUKA tinggal beberapa lama di tanah kelahirannya di San Sepolcro. Dari tahun 1477 hingga 1480 ia mengajar matematika di universitas di Perugia. Kemudian, selama delapan tahun, dia tinggal di Zara (sekarang Zadar di Kroasia), di mana dia belajar teologi dan matematika, terkadang bepergian ke kota-kota lain di Italia untuk urusan pesanan. Pada tahun-tahun inilah PACIOLI mulai menulis pekerjaan utama dalam hidupnya jumlah ensiklopedis aritmatika, geometri, hubungan dan proporsi. Pada tahun 1487 ia kembali diundang untuk menduduki kursi di Perugia. Pada tahun-tahun berikutnya dia tinggal di Roma, Napoli, Padua. Pada tanggal 12 Oktober 1492, PIERO DELLA FRANCESCA meninggal. Tahun berikutnya, pengerjaan Summa PACIOLI akhirnya selesai. Dengan naskah ini ia datang ke Venesia, di mana pada bulan November 1494 buku ini, yang didedikasikan untuk GUIDO UBALDO DE MONTEFELTRO (), yang menjadi Adipati Urbino pada tahun 1482 setelah kematian ayahnya, diterbitkan. Patut dicatat bahwa buku tersebut ditulis bukan dalam bahasa Latin biasa untuk karya ilmiah, tetapi dalam bahasa Italia. Beberapa penulis mungkin membaca bahwa LUCA menulis risalahnya dalam bahasa Italia karena dia tidak menerima pendidikan yang sesuai dan tidak berbicara bahasa Latin dengan sempurna. Namun, dia adalah seorang Magister Teologi, dan bahasa Latin adalah satu-satunya bahasa risalah teologis; dia mengajar matematika di berbagai universitas, dan di sana semua mata pelajaran diajarkan dalam bahasa Latin; dan dia juga menerjemahkan seluruh EUCLID dari bahasa Latin ke bahasa Italia (walaupun terjemahan ini tidak pernah diterbitkan). Oleh karena itu, meskipun dia tidak berbicara bahasa Latin humanistik, bahasa Latin sekolah adalah bahasa sehari-harinya. Oleh karena itu, alasan mengapa dia lebih memilih bahasa Italia daripada bahasa Latin adalah karena

2 LUKE PACIOLI DAN Risalahnya “TENTANG PROPORSI ILAHI” ke-2. Inilah yang LUKE sendiri katakan tentang hal ini dalam dedikasinya pada Summa (ditulis dalam bahasa Italia dan Latin): Pemahaman yang benar tentang istilah-istilah sulit di kalangan orang Latin telah berhenti karena fakta bahwa guru yang baik semakin langka. Dan meskipun gaya Cicero atau bahkan lebih tinggi akan lebih cocok untuk Yang Mulia, saya yakin tidak semua orang dapat memanfaatkan sumber kefasihan ini. Jadi, dengan mempertimbangkan kepentingan umum dari subyek Anda yang terhormat, saya memutuskan untuk menulis esai saya dalam bahasa asli setempat, sehingga baik yang berpendidikan maupun yang tidak berpendidikan dapat menikmati kegiatan ini. Dalam kata pengantar Summa, PACIOLI berbicara tentang orang-orang tersebut, berkat komunikasi dengannya ia mengembangkan keyakinan bahwa matematika dianggap sebagai “hukum universal yang berlaku untuk segala sesuatu.” Ia berbicara tentang astronomi, tentang pendekatan ilmiah terhadap arsitektur yang diwujudkan dalam karya VITRIVIUS dan ALBERTI, tentang banyak pelukis yang mengembangkan seni perspektif, “yang jika dicermati dengan cermat, akan menjadi tempat kosong tanpa menggunakan perhitungan matematis.” di antaranya "raja zaman kita" menonjol dalam lukisan" PIERO DELLA FRANCESCA, tentang pematung yang luar biasa. Inilah para ahli “yang, dengan menggunakan perhitungan dalam pekerjaan mereka dengan bantuan level dan kompas, membawa mereka ke kesempurnaan yang luar biasa.” PACIOLI juga berbicara tentang pentingnya matematika untuk musik, kosmografi, perdagangan, seni mekanik, dan urusan militer. Penjumlahan aritmatika, geometri, relasi dan proporsi merupakan karya ensiklopedis ekstensif, dicetak pada 300 halaman folio. Bagian pertama sebanyak 224 lembar dikhususkan untuk aritmatika dan aljabar, bagian kedua sebanyak 76 lembar geometri. Penomoran lembaran pada kedua bagian dimulai lagi. Setiap bagian dibagi menjadi beberapa bagian, bagian menjadi risalah, risalah menjadi bab. Bagian aritmatika dari Summa menetapkan metode untuk melakukan operasi aritmatika; bagian ini didasarkan pada banyak Buku Sempoa, yang dimiliki oleh penulis yang berbeda. Permasalahan aljabar yang diselesaikan dalam Summa tidak melampaui cakupan permasalahan persamaan linier dan kuadrat yang dibahas dalam risalah bahasa Arab tentang “aljabar dan almukabala”; di Eropa, tugas-tugas tersebut diketahui dari Buku Sempoa LEONARDO OF PISA (). Di antara permasalahan yang menarik perhatian para ahli matematika generasi berikutnya, yang patut diperhatikan adalah masalah pembagian taruhan dalam permainan yang belum selesai, yang diselesaikan secara tidak benar oleh LUKA sendiri. Mungkin inovasi paling signifikan dari PACIOLI adalah penggunaan sistematis notasi aljabar tersinkronisasi, pendahulu kalkulus simbolik berikutnya. Buku ini berisi tabel koin, berat dan ukuran yang diadopsi di berbagai wilayah Italia, serta panduan pembukuan double-entry Venesia. Sedangkan untuk bagian geometri Summa mengikuti Praktikum Geometri LEONARDO OF PISA. Pada paruh pertama tahun 90an, PACIOLI tinggal di Urbino. Dari era inilah muncul lukisan JACOPO DE BARBARI yang menggambarkan PACIOLI ditemani oleh seorang pemuda tak dikenal. Berbagai hipotesis telah dikemukakan terkait identitas pemuda ini. Asumsi yang paling masuk akal adalah bahwa ini adalah Adipati GUIDO UBALDO, pelindung PACIOLI.

3 LUKA PACIOLI DAN Risalahnya “TENTANG PROPORSI ILAHI” 3 Gambar. 1. Potret LUCA PACIOLI dan seorang pemuda tak dikenal. Lukisan oleh JACOPO DE BARBARI (Naples, Museum Nasional) Pada tahun 1496, ketua matematika didirikan di Milan, dan PACIOLI menawarkan untuk mendudukinya. Di sini ia memberikan kuliah pendidikan kepada mahasiswa dan kuliah umum kepada semua orang. Di sini, di istana Adipati LODOVICO MORO SFORZA () ia menjadi dekat dengan LEONARDO DA VINCI. DI DALAM buku catatan Catatan LEONARDO telah disimpan: “Belajar memperbanyak akar dari Maestro LUCA,” “mintalah seorang saudara dari Borgo untuk menunjukkan buku tentang timbangan.” PACIOLI melakukan perhitungan untuk LEONARDO mengenai berat monumen berkuda raksasa FRANCESCO SFORZA. Di Milan, PACIOLI menulis pesan Tentang Proporsi Ilahi, yang ditujukan kepada Adipati LODOVICO SFORZA, dan LEONARDO membuat ilustrasi untuk pesan tersebut. Risalah tersebut selesai pada tanggal 14 Desember 1498. Beberapa salinan risalah yang ditulis tangan, diserahkan kepada para penguasa, disertai dengan satu set polihedra beraturan dan benda geometris lainnya, yang menurut Saudara LUK dibuat dengan tangannya sendiri. (Dia menulis tentang model polihedra beraturan di Summa.) Dua manuskrip risalah ini telah disimpan, satu di Perpustakaan Umum di Jenewa, yang kedua di Perpustakaan Ambrosian di Milan. Pada tahun 1499 tentara Perancis menduduki Milan dan Adipati SFORZA melarikan diri; LEONARDO dan LUCA segera meninggalkan kota. Pada tahun-tahun berikutnya, LUCA PACIOLI mengajar di Pisa (1500), Perugia (1500), Bologna () dan Florence (). Di Florence, dia dilindungi oleh PIETRO SODERINI, Gonfaloniere seumur hidup Republik. Namun, belum semua karya PACIOLI diterbitkan, sehingga ia kembali ke Venesia. Di sini pada tahun 1508 ia menerbitkan terjemahan Latin EUCLID milik GIOVANNI CAMPANO dari Novara. Terjemahan ini, dibuat pada tahun 1259 dari bahasa Arab, sudah diterbitkan pada tahun 1482 dan kemudian dicetak ulang beberapa kali, namun penerbitannya penuh dengan kesalahan ketik dan kesalahan. PACIOLI mengedit terjemahannya; Menurut edisi ini, dengan banyak komentar, dia memberikan kuliahnya di universitas. Namun, publikasi tersebut ternyata tidak diklaim, karena pada tahun 1505 BARTOLOMEO ZAMBERTI menerbitkan terjemahan baru dari Elements, yang dibuat langsung dari bahasa Yunani aslinya. Pada tahun 1509, buku lain karya PACIOLI diterbitkan di Venesia: Divina proporsionale. Dibutuhkan banyak wawasan dan rasa ingin tahu. Ove ciascun studioso di Philosophia, Prospectiva,

4 LUCA PACIOLI DAN RISETNYA TENTANG PROPORSI ILAHI wow , yang darinya setiap mahasiswa filsafat, perspektif, lukisan, patung, arsitektur, musik atau mata pelajaran matematika lainnya akan mengekstraksi pengajaran yang paling menyenangkan, jenaka dan mengejutkan dan akan menghibur dirinya sendiri dengan berbagai pertanyaan tentang ilmu yang paling rahasia." Edisi cetak ini mencakup sejumlah teks. Publikasi ini diawali dengan permohonan kepada Florentine gonfaloniere PIETRO SODERINI. Bagian pertama (33 lembar) berisi pesan tentang proporsi ketuhanan, serta risalah tentang arsitektur, tentang proporsi tubuh manusia dan tentang prinsip menyusun huruf-huruf alfabet Latin. Diikuti oleh Buku dalam tiga risalah terpisah tentang benda beraturan (27 lembar), yang mana risalah pertama membahas bangun datar, risalah kedua yang memuat benda beraturan dalam sebuah bola, dan risalah ketiga yang memuat benda beraturan satu sama lain. Berikutnya adalah tabel grafik yang dicetak pada satu sisi lembaran: proporsi wajah manusia(1 lembar), prinsip menyusun huruf latin (23 lembar), gambar elemen arsitektur (3 lembar), gambar benda beraturan dan benda lain yang dibuat berdasarkan gambar LEONARDO (58 lembar), dan terakhir , gambar “pohon proporsi dan proporsionalitas”, yang telah dikutip PACIOLI dalam Summa (1 lembar). Dalam pesannya Tentang Proporsi Ilahi, LUCA PACIOLI mengatakan bahwa, sebagai orang tua, inilah saatnya dia pensiun untuk “menghitung tahun di tempat yang cerah.” Permintaan ini didengar, dan pada tahun 1508 ia menjadi locum tenens biara di kota asalnya San Sepolcro. Namun, pada bulan Desember 1509, dua biksu dari biaranya menyerahkan surat kepada jenderal ordo tersebut, di mana mereka menyatakan bahwa “Maestro LUCA adalah orang yang tidak layak untuk memerintah orang lain” dan meminta untuk dibebaskan dari tugas administratifnya. Namun mereka tidak mendapat dukungan dari atasan mereka, dan pada bulan Februari 1510 LUCA PACIOLI menjadi kepala penuh di biara asalnya. Namun, perselisihan di dalam biara terus berlanjut. DI DALAM beberapa tahun terakhir sepanjang hidupnya, saudara LUKA sesekali terus memberi ceramah; dia diundang ke Perugia pada tahun 1510 dan ke Roma pada tahun 1514, undangan terakhir datang dari Paus baru LEO X. LUCA PACIOLI meninggal pada usia 72 tahun, pada tanggal 19 Juni 1517 di Florence. Tinjauan pesan “Tentang Proporsi Ilahi” Dalam pesan LUCA PACIOLI Tentang Proporsi Ilahi, bagian isi berikut ini disoroti: Pendahuluan (bab 1 4). Kualitas ketuhanan, definisi dan sifat matematika dari proporsi yang muncul ketika membagi suatu besaran dalam perbandingan rata-rata dan ekstrim (bab 5 23). Tentang benda biasa, mengapa jumlahnya tidak boleh lebih dari lima dan bagaimana masing-masing benda tersebut cocok menjadi sebuah bola (bab.). Tentang bagaimana benda-benda biasa cocok satu sama lain (bab.). Tentang bagaimana sebuah bola cocok dengan masing-masing benda ini (bab 47). Tentang bagaimana benda terpotong dan suprastruktur diperoleh dari benda biasa (bab). Tentang benda lain yang tertulis dalam sebuah bola (bab). Bola (ch). Pada kolom dan piramida (bab). Tentang bentuk material dari tubuh yang direpresentasikan dan gambaran perspektifnya (bab 70). Glosarium (bab 71).

5 LUCA PACIOLI DAN Risalahnya “TENTANG PROPORSI ILAHI” 5 Yang dimaksud dengan “proporsi ketuhanan” PACIOLI memahami proporsi geometri kontinu dari tiga besaran, yang EUCLID sebut sebagai “pembagian dalam rasio rata-rata dan ekstrim”, dan pada abad ke-19 hal ini mulai terjadi. disebut “rasio emas”. Dalam mendefinisikan proporsi ini dan mendeskripsikan propertinya, PACIOLI mengikuti EUCLID. Proporsi ini muncul ketika suatu keseluruhan dibagi menjadi dua bagian, ketika keseluruhan tersebut dihubungkan dengan bagian yang lebih besar sebagai paling mengacu pada yang lebih kecil. Dalam bahasa persamaan luas, perbandingan yang sama diberikan sebagai berikut: persegi pada bagian yang lebih besar sama dengan persegi panjang yang sisi-sisinya merupakan keseluruhan dan bagian yang lebih kecil. Saudara LUKE membenarkan nilai khusus dan pembedaan relasi “proporsi keilahian” di antara relasi-relasi lainnya dengan argumentasi yang bersifat metafisik dan teologis. Keunikan dan kekekalan proporsi ini dibandingkan dengan keunikan dan kekekalan Tuhan, ketiga anggotanya dengan tiga hipotesa Tritunggal Mahakudus, irasionalitas hubungan dengan Tuhan yang tidak dapat dipahami dan tidak dapat diungkapkan. Namun selain argumen tersebut, ada satu lagi: proporsi ini dikaitkan dengan tata cara pembuatan segi lima datar beraturan, serta dodecahedron padat dan ikosahedron. Namun PLATO dalam Timaeus menganggap lima benda beraturan sebagai lima elemen penyusun Alam Semesta. Dengan demikian, konstruksi metafisik PACIOLI memadukan motif teologi Kristen dan kosmologi Platonis. Lebih lanjut, LUKE menguraikan berbagai sifat “proporsi ilahi”, yang diketahui dari buku Elemen EUCLID XIII dan XIV. Secara total, ia mempertimbangkan tiga belas properti tersebut, menghubungkan jumlah ini dengan jumlah peserta Perjamuan Terakhir. Berikut ini contoh salah satu sifat tersebut: “Biarlah suatu garis lurus terbagi secara proporsional, yang mempunyai satu tengah dan dua rusuk, maka jika separuh dari seluruh garis yang terbagi secara proporsional itu dijumlahkan dengan bagian yang lebih besar, maka akan diperoleh bahwa kuadrat dari jumlah tersebut akan selalu lima kali lipat, yaitu 5 kali lebih besar dari kuadrat setengah yang ditunjukkan." Dia menyertai semua properti ini dengan contoh numerik yang sama, ketika panjang seluruh segmen adalah 10, dan bagian-bagiannya adalah: lebih kecil dan lebih besar. Contoh dengan pembagian aljabar 10 dalam rasio rata-rata dan ekstrem dipinjam oleh LUCA PACIOLI dari LEONARDO OF PISA (), dan yang terakhir dari ABU KAMIL () dan AL-KHWAREZMI (). Penghitungan akar-akar persamaan kuadrat yang bersesuaian itu sendiri tidak dilakukan dalam risalah: di sini LUKA mengacu pada Summanya sendiri, di mana hasil ini diperoleh “menurut kaidah aljabar dan almukabala”. Dan secara umum, genre pesan yang dipilihnya ditentukan oleh fakta bahwa PACIOLI memberikan semua hasil tanpa bukti, meskipun bukti tersebut tidak diragukan lagi diketahui olehnya. Setelah itu, PACIOLI membahas lima padatan Platonis. Pertama, dia membuktikan teorema bahwa benda-benda ini ada tepat lima, dan tidak lebih. Kemudian dia memberikan konstruksi kelima benda yang tertulis dalam bola tertentu dengan urutan sebagai berikut: tetrahedron, kubus, oktahedron, ikosahedron, dodecahedron. Selanjutnya, proporsi antara sisi-sisi benda-benda yang terdapat dalam bola yang sama dipertimbangkan, dan sejumlah teorema diberikan tentang hubungan antara permukaannya. Bagian ini kemudian mempertimbangkan beberapa cara di mana satu benda biasa dapat dimasukkan ke dalam benda biasa lainnya. Terakhir, dibahas teorema bahwa bola juga dapat dimasukkan ke dalam setiap benda beraturan. Sekarang PACIOLI meninggalkan EUCLID untuk sementara waktu dan beralih ke materi baru. Yaitu, ia mempertimbangkan benda-benda yang dapat diperoleh dari benda-benda biasa melalui “pemotongan” atau “superstruktur”. Benda-benda yang diperoleh dari benda biasa dengan cara pemotongan adalah

6 LUCA PACIOLI DAN Risalahnya “TENTANG PROPORSI ILAHI” 6 beberapa benda padat semi-reguler dari ARCHIMEDES. Total ada tiga belas badan semi-reguler, yang dibuktikan oleh ARCHIMEDES. Namun PACIOLI tidak mengetahui ulasan karya ARCHIMEDES yang diperoleh dari PAP. Dari tiga belas padatan semi-reguler, ia mempertimbangkan enam: tetrahedron terpotong, kuboctahedron, oktahedron terpotong, ikosahedron terpotong, icosidodecahedron, dan rhombicuboctahedron terpotong. Dia melewatkan dua benda—kubus terpotong dan dodecahedron terpotong—untuk beberapa alasan yang tidak diketahui, meskipun konstruksinya mirip dengan konstruksi tetrahedron, kubus, dan ikosahedron terpotong. Adapun rhombicuboctahedron terpotong (“benda dengan 26 basa”), PACIOLI rupanya menemukannya sendiri, dan sangat bangga dengan penemuan ini: benda inilah, yang terbuat dari pelat kaca transparan dan setengah berisi air, yang digambarkan dalam bagian kiri atas lukisan karya IACOPO DE BARBARI. Benda terpotong beraturan dan terpotong superstruktur PACIOLI tidak sama dengan polihedra bintang KEPLER yang dipelajari dalam matematika berikutnya. Padatan KEPLER diperoleh dengan memperluas bidang polihedra asli; Badan PACIOLI dengan membuat pada setiap sisi polihedron asli sebuah piramida, yang sisi-sisinya merupakan segitiga sama sisi. PACIOLI memberikan teorema menarik bahwa dalam icosidodecahedron superstruktur, lima simpul piramida segitiga dan puncak piramida pentagonal terletak pada bidang yang sama; bukti yang dihilangkan “diangkat melalui praktik aljabar dan almukabala yang paling halus ke tingkat yang langka.” Selanjutnya, kita mempertimbangkan “badan dengan 72 basa,” yang digunakan EUCLID sebagai tambahan dalam dua kalimat terakhir dari buku XII Elemen; badan ini kadang-kadang disebut “bola CAMPANO” dalam literatur (Gbr. 2). PACIOLI mengklaim bahwa bentuk tubuh ini menjadi dasar geometris kubah Pantheon di Roma dan kubah sejumlah bangunan lainnya. Beras. 2. Gambar. 3. Salah satu gambar Leonardo da Vinci. Ukiran dari edisi cetak risalah. Setelah ini, PACIOLI mengatakan bahwa dengan pemotongan dan suprastruktur, bentuk polihedral dalam jumlah tak terhingga dapat diperoleh, dan melanjutkan dengan mempertimbangkan bola, sekali lagi menyentuh tulisan benda-benda beraturan di dalamnya.

7 LUCA PACIOLI DAN Risalahnya “TENTANG PROPORSI ILAHI” 7 Bagian terakhir dari pesan Tentang Proporsi Ilahi membawa kita kembali ke EUCLID. Di sini kita membahas prisma polihedral dan silinder, lalu piramida polihedral dan kerucut, lalu piramida terpotong. Pacioli memberikan aturan untuk menghitung volume semua benda ini, menunjukkan aturan mana yang merupakan perkiraan dan mana yang akurat. PACIOLI lebih lanjut menulis bahwa salinan tulisan tangan dari risalah yang diberikan kepada Duke dan kerabatnya disertai dengan tabel dengan gambar perspektif yang dibuat oleh LEONARDO DA VINCI, serta “bentuk material” dari semua jenazah yang disebutkan di dalamnya. Desain dan bentuk polihedron dibuat dalam dua versi: padat, dengan tepi rata padat, dan berongga, dengan tepi saja. Apakah LEONARDO membuat gambarnya murni berdasarkan perhitungan atau berdasarkan kehidupan, kita tidak tahu. Beberapa gambar dibuat dengan kesalahan yang terlihat oleh mata, tetapi hal ini dapat dijelaskan baik oleh ketidakakuratan perhitungan maupun oleh perubahan titik dari mana tubuh yang digambarkan itu dilihat. Pesan tersebut diakhiri dengan glosarium, yang sekali lagi menjelaskan istilah-istilah khusus yang digunakan dalam teks. Rasio emas dalam estetika "kuno" dan "baru" Banyak buku dan artikel populer dan khusus yang membahas masalah proporsi dalam seni menganggap rasio emas sebagai proporsi "paling sempurna", dan kesempurnaan ini ditafsirkan dalam buku-buku ini terutama secara psikologis: persegi panjang dengan hubungan "emas" di sisi-sisinya dianggap paling menyenangkan untuk persepsi visual, dll. Dalam publikasi ini, merupakan kebiasaan untuk mempertimbangkan berbagai karya seni rupa dan monumen arsitektur yang dibuat oleh para ahli zaman kuno dan Renaisans sebagai contoh yang menegaskan tesis ini. Perlu dicatat bahwa tidak ada satu pun teks dari zaman kuno yang sampai kepada kita di mana pembagian besaran dalam rasio rata-rata dan ekstrim akan dibahas sebagai prinsip formatif dalam seni rupa dan arsitektur. Tampaknya teks-teks seperti itu tidak ada sama sekali. Sebagai perbandingan, kita dapat memperhatikan apa yang disebut proporsi musik 12:9 = 8:6, yang menentukan struktur harmoni musik. Proporsi ini, yang ditemukan oleh kaum Pythagoras, disebutkan dalam puluhan teks kuno yang membahas teori musik, baik filosofis khusus maupun umum. Akan aneh jika rasio emas memainkan peran serupa dalam arsitektur, patung, dan lukisan, tetapi penulis kuno tidak memiliki bukti mengenai hal ini. Semua teks kuno yang membahas pembagian besaran dalam rasio rata-rata dan ekstrim adalah risalah matematika murni di mana konstruksi ini dianggap secara eksklusif sehubungan dengan konstruksi segi lima beraturan, serta dua padatan Platonis beraturan yaitu ikosahedron dan dodecahedron ( untuk tinjauan teks-teks ini, lihat HERZ-FISHLER 1998). Memang benar bahwa ketertarikan pada benda beraturan, dan dengan demikian pada rasio emas, tidak murni matematis: lagipula, PLATO, mengikuti kaum Pythagoras, mulai mempertimbangkan lima benda beraturan sebagai fondasi dasar alam semesta, menempatkan tetrahedron di dalamnya. korespondensi dengan api, kubus dengan bumi, segi delapan dengan udara, ikosahedron dengan air, dan ia mengaitkan bentuk dodecahedron dengan Alam Semesta secara keseluruhan. Berkaitan dengan hal tersebut, tentunya kita dapat berbicara tentang makna estetis dari rasio emas, seperti yang dilakukan A.F. LOSEV dalam tulisannya; tetapi “estetika” ini sendiri sama sekali tidak bersifat psikologis, melainkan bersifat kosmologis.

8 LUCA PACIOLI DAN Risalahnya “TENTANG PROPORSI ILAHI” 8 Selama Renaisans, gambaran kosmologis Platonisme kuno kembali, dan risalah LUCA PACIOLI “Tentang Proporsi Ilahi” adalah monumen terpenting dari arah spekulatif matematika ini . LUKE memuji “proporsi ilahi” dalam bab-bab pembuka risalahnya, dan menyebut sifat-sifatnya “tidak alami, tetapi benar-benar ilahi.” Namun, pandangannya tentang arti proporsi ini tetap terikat pada kosmologi Timaeus karya Plato, dan “harmoni terbesar” yang dibicarakannya adalah harmoni kosmos, dan bukan yang lain. Dan meskipun PACIOLI melampirkan dalam pesannya Tentang Proporsi Ilahi sebuah risalah tentang arsitektur dan proporsi tubuh manusia, dia tidak mengatakan sepatah kata pun tentang bagian emas dalam risalah ini. Oleh karena itu, dia tidak memiliki pandangan lain tentang rasio emas selain pandangan kosmologis matematis, dan gagasan bahwa rasio emas dapat bertindak sebagai proporsi dasar untuk karya arsitektur dan lukisan sama sekali tidak terpikir olehnya. Pandangan yang persis sama merupakan karakteristik JOHANN KEPLER dan penulis Renaisans lainnya yang tertarik pada rasio emas dan peran polihedra beraturan dalam “harmoni dunia”. Jadi, mencari dalam tulisan mereka beberapa konsep rasio emas yang terkait dengan estetika karya seni adalah latihan yang sia-sia, karena memang tidak ada. Nasib karya Pacioli. Pertanyaan tentang plagiarisme Sepeninggal PACIOLI, tulisannya tidak terlalu lama dikenang. Era pencapaian ilmiah yang luar biasa semakin dekat, ketika hasil-hasil baru mulai dihargai terutama dalam sains, dan buku-buku PACIOLI berisi ulasan tentang apa yang telah dilakukan di masa-masa sebelumnya. GIROLAMO CARDANO () menyebut PACIOLI sebagai kompiler, yang menurut sudut pandangnya, dia benar. Namun, hal lain ahli matematika yang luar biasa era ini, RAFAEL BOMBELLI (), mengatakan bahwa PACIOLI adalah orang pertama setelah LEONARDO OF PISA "yang memberikan pencerahan pada ilmu aljabar". Kebangkitan minat terhadap kepribadian dan tulisan PACIOLI dimulai pada tahun 1869, ketika Summa jatuh ke tangan profesor matematika asal Milan, LUCINI, dan dia menemukan di dalamnya sebuah Risalah tentang Akuntansi dan Catatan. Setelah penemuan ini, PACIOLI mulai dipandang sebagai pendiri ilmu akuntansi, dan risalah inilah yang ternyata menjadi bagian warisannya yang paling banyak dicari, diterjemahkan berkali-kali ke dalam bahasa lain, termasuk bahasa Rusia. Namun, segera setelah publikasi pertama Treatise on Accounts and Records, terjadi perdebatan sengit di kalangan peneliti tentang apakah LUCA PACIOLI adalah penulis sebenarnya. Diragukan apakah orang yang jauh dari urusan komersial bisa menyusun risalah seperti itu. Dan jika dia tidak bisa, bukankah kita harus berasumsi bahwa plagiarisme dilakukan di sini? Tuduhan plagiarisme dalam kasus ini sepertinya masih belum bisa dibenarkan. PACIOLI tidak pernah mengatakan bahwa dia menemukan pembukuan double-entry; dia hanya menjelaskan norma-normanya “menurut adat istiadat Venesia.” Namun jika kita membuka manual akuntansi modern, maka deskripsi normatifnya akan sama persis, tanpa mengacu pada pendahulunya. Dan jika PACIOLI menggambarkan sistemnya akuntansi menurut beberapa naskah yang dibacanya, maka ia juga tidak mengemukakan aturan perkalian per kolom, namun dalam hal ini tidak ada yang bisa menuduhnya melakukan plagiarisme.

9 LUCA PACIOLI DAN Risalahnya “TENTANG PROPORSI ILAHI” 9 terlintas dalam pikiran. Dan dia dapat mengenal sistem pembukuan berpasangan dalam praktiknya pada saat dia menjadi pengajar ke rumah di sebuah rumah saudagar kaya. Tuduhan plagiarisme serius lainnya diajukan terhadap PACIOLI pada tahun 1550, ketika GIORGE VASARI () dalam bukunya Kehidupan para pelukis, pematung dan arsitek terkenal, dalam bab yang didedikasikan untuk PIERO DELLA FRANCESCA, menulis sebagai berikut: Dan meskipun dia yang seharusnya mencobanya dengan sekuat tenaga meningkatkan kejayaan dan ketenarannya, karena dia mempelajari semua yang dia tahu darinya, dia mencoba, seperti penjahat dan orang jahat, untuk menghancurkan nama PIERO, mentornya, dan merebut kehormatan yang seharusnya dimilikinya. milik PIERO sendiri, dilepaskan di bawah miliknya sendiri nama sendiri , yaitu saudara LUCA dari Borgo, semua hasil karya lelaki tua terhormat ini. Karya matematika PIERO DELLA FRANCESCA dianggap hilang sejak lama. Namun pada tahun 1903 J. PITTARELLI menemukan di Perpustakaan Vatikan manuskrip Petri Pictoris Burgensis de quinque corporibus regularibus (“PETER, seniman dari Borgo, pada lima badan biasa”). Beberapa saat kemudian, dua manuskrip PIERO lagi ditemukan: Perspektif dalam lukisan (De perspectiva pingendi) dan Di sempoa (De abaco). Pada saat yang sama, diketahui bahwa naskah Latin yang ditemukan Tentang Lima Badan Biasa dan tiga risalah Italia tentang badan biasa dalam edisi cetak De Divina Proportione adalah dua versi mirip dari teks yang sama. Buku tulisan tangan PIERO On the Five Regular Bodies yang masih ada didedikasikan untuk GUIDO UBALDO DE MONTEFELTRO, Adipati Urbino. Ia menerima gelar adipati pada tahun 1482 setelah kematian ayahnya. PIERO meninggal pada tahun 1492. Akibatnya, salinan buku yang sampai kepada kita telah ditulis ulang seluruhnya dalam waktu beberapa tahun. Namun, buku itu sendiri bisa saja dibuat lebih awal. LUCA PACIOLI dalam Summa (VI, I, II) mengatakan bahwa PIERO menulis buku tentang perspektif dalam bahasa Italia, dan terjemahan Latinnya dilakukan oleh temannya MATTEO DAL BORGO. Dengan cara yang sama, teks Latin dari buku On the Five Regular Bodies bisa saja lahir. Bagaimanapun, adalah wajar untuk menganggap teks berbahasa Italia yang kemudian diterbitkan oleh PACIOLI sebagai teks asli. Adapun terbitan ini dalam lampiran edisi Proporsi Ilahi, judul lengkapnya adalah sebagai berikut: Libellus in tres parsialistractatus divisus quinque corpore regularium e dependium active per scrutationis. D. Petro Soderino prinsip abadi populi florentinia. M. Luca Paciolo, Burgense Minoritano partikular didikus, feliciter incipit (“Sebuah buku, dibagi menjadi tiga risalah terpisah, tentang lima badan tetap dan tanggungan, secara berturut-turut dipertimbangkan. Kepada Tuan PETER SODERINI, pemimpin tetap rakyat Florentine. M[ aestro] LUCA PACIOLI, anak di bawah umur dari Borgo, didiktekan sebagian, dimulai dengan bahagia"). Judul ini sebenarnya tidak menjelaskan apa pun tentang hubungan PIERO DELLA FRANCESCA dengan risalah tersebut. Namun PACIOLI juga menyebut “penulisnya” dengan cara yang sangat aneh. Yakni, ia mengatakan bahwa buku ini didiktekan kepadanya secara khusus, “sebagian (atau sebagian?)”, dan tidak lebih. Itu membuatmu berpikir. Lagipula, LUCA PACIOLI dalam tulisannya sama sekali tidak terlihat seperti orang yang tanpa malu-malu berusaha mengambil hasil orang lain. Jadi di Bagian I Bab I Summa dia menulis:

10 LUCA PACIOLI DAN RISETNYA TENTANG PROPORSI ILAHI 10 Dan karena kita akan mengikuti sebagian besar L. DARI PISA, saya bermaksud untuk menyatakan bahwa ketika ada kalimat apa pun tanpa pengarang, maka itu adalah L. Dan ketika kalimat lain yang memiliki telah diberi kepenulisan. Ada pemberitahuan serupa di Bab IV tentang Proporsi Ilahi: Pertama-tama, saya akan memperhatikan bahwa setiap kali saya menulis “yang pertama di yang pertama,” “yang keempat di yang kedua,” “yang kesepuluh di yang kelima,” “20 di angka 6,” dan seterusnya sampai angka lima belas, angka pertama harus selalu dipahami sebagai nomor kalimat, dan angka kedua dari kitab filsuf kita EUCLID, yang diakui secara universal sebagai ketua fakultas ini. Jadi, berbicara tentang kalimat kelima dari buku pertama, saya berbicara tentang kalimat kelima dari buku pertamanya, dan juga tentang buku-buku terpisah lainnya yang membentuk keseluruhan buku tentang unsur-unsur dan prinsip-prinsip Aritmatika dan Geometri. Tetapi apabila disebutkan karyanya yang lain atau buku karya pengarang lain, maka karya atau pengarang itu disebut namanya. Kita tidak boleh lupa bahwa selama LUKA tinggal di kampung halamannya, ia berkesempatan berkomunikasi langsung dengan PIERO. Wajar jika pertemuan kedua ahli matematika ini cukup sering terjadi, dan komunikasi mereka bermakna. Tema buku Tentang Lima Benda Biasa hampir pasti dibahas dalam percakapan ini, dan oleh karena itu keduanya sampai batas tertentu dapat melihatnya sebagai milik mereka, terlepas dari siapa yang memberikan bentuk akhirnya. Kita juga tidak tahu apa-apa tentang pengaruh karya astronom dan matematikawan Jerman JOHANN MULLER (), yang lebih dikenal dengan nama latin REGIOMONTANUS, terhadap PIERO DELLA FRANCESCA dan LUCA PACIOLI. Namun dia sering tinggal di Italia dan meninggal di Roma, sehingga matematikawan Italia mungkin mengenal dia dan manuskripnya. Di antara karyanya adalah risalah De quinque corporibus aequilateris, quae vulgo regularia nuncupantur, quae videlicet eorum locum impleant naturalem et quae non contra commentatorem Aristotelis Averroem (“Pada lima badan sama sisi, biasa disebut reguler, yaitu yang manakah di antara mereka yang mengisi tempat alami , dan mana yang tidak, melawan AVERROES, komentator ARISTOTLE"). Memang belum bertahan hingga saat ini, namun REGIOMONTANUS memberikan gambarannya dalam karyanya yang lain. Risalah ini membahas konstruksi benda-benda biasa, transformasinya satu sama lain, dan volumenya dihitung. Ini juga berisi gagasan yang ditemukan dalam PACIOLI bahwa dengan mengubah benda beraturan secara berturut-turut, seseorang dapat memperoleh benda semi-reguler dalam jumlah tak terbatas. Selanjutnya, buku cetak pertama tentang matematika diterbitkan pada tahun 1475. PIERO DELLA FRANCESCA masih hidup di dunia manuskrip, dan LUCA PACIOLI yang lebih muda menghabiskan masa dewasanya di dunia buku cetak. Naskah dapat ditulis ulang untuk digunakan orang lain, tetapi setiap kali dalam satu salinan. Penyalinnya melakukan perbuatan saleh hanya karena ia memperpanjang umur naskah dan mencegahnya agar tidak musnah. Hal yang sama berlaku ketika naskah yang masih ada diubah menjadi buku cetak. Kini kita bisa kembali ke persoalan plagiarisme dengan penilaian yang lebih sesuai dengan kerangka acuan zaman. Tampaknya di era ketika PIERO DELLA FRANCESCA dan LUCA PACIOLI hidup, pertanyaan tentang kepenulisan tidak muncul sama sekali. (Omong-omong, Abad Pertengahan tidak mengenal penulis sama sekali: dapatkah kita mengatakan siapa “penulis” katedral Gotik yang indah? Rumusan pertanyaan ini jelas tidak ada artinya. Dalam Elemen EUCLID, sebagian besar hasilnya disalin dari buku matematika lain, tapi kami Untuk beberapa alasan kami tidak marah dengan hal ini dan tidak menuduh EUCLID melakukan plagiarisme.) PIERO sendiri tertarik pada matematika, dan bukan pada ketenaran di abad-abad mendatang. Di muka

11 LUCA PACIOLI DAN Risalahnya “TENTANG PROPORSI ILAHI” 11 dalam kata-kata di buku Latinnya, dia menulis bahwa itu akan menjadi “jaminan dan monumennya,” tetapi tidak di antara keturunannya secara umum, tetapi di antara Yang Mulia Adipati. Adapun kepengarangan sebagai petunjuk siapa yang pertama kali melakukan penemuan ini dan itu, maka momen ontologis menjadi penting di sini. Seorang ahli matematika menemukan beberapa benda yang sampai sekarang belum diketahui, dan COLUMBUS pada saat yang sama menemukan negara-negara baru. Namun COLUMBUS bukanlah “penulis” negara-negara ini, dan sama halnya dengan ahli matematika bukanlah “penulis” benda-benda yang ia temukan. Lagi pula, ketika COLUMBUS mengatur ekspedisinya, tujuannya adalah negara-negara baru itu sendiri, dan bukan kenangan akan keturunan yang dia temukan. Luca Pacioli dan pembentukan Institut Keahlian Menyampaikan pesan Tentang Proporsi Ilahi kepada Adipati Milan LODOVICO SFORZA, LUCA PACIOLI tidak pernah merekomendasikan dirinya seperti ini: “Saya seorang ahli matematika karena saya dapat memperoleh hasil matematika yang baru.” Tidak, dia berbicara tentang dirinya dengan cara yang sangat berbeda: "Saya seorang ahli matematika karena saya mengetahui matematika dan dapat mengajarkannya kepada orang lain." Jadi DANTE dalam Divine Comedy menyebut ARISTOTLE sebagai “guru bagi mereka yang mengetahui”, dan LUKE memberikan kutipan ini karena suatu alasan. Untuk memperjelas argumen ini, mari kita buat perbandingan berikut. Dokter mengetahui pengobatan dan oleh karena itu dapat mengobati. Seorang pengacara mengetahui hukum dan karena itu bisa menjadi pengacara. Namun seorang ahli matematika mengetahui matematika, lalu bagaimana selanjutnya? Bisakah dia mengajarinya? Tetapi seorang dokter dan pengacara juga dapat mengajarkan ilmunya, itulah sebabnya terdapat fakultas kedokteran dan hukum di universitas tersebut. Tapi siapakah yang bisa menjadi ahli matematika di luar bidang studinya? Keterampilan apa yang membedakannya dari orang lain dan membuatnya dibutuhkan oleh seseorang? Seorang astronom dapat menghitung pergerakan benda langit dan menyusun horoskop. Seorang arsitek dapat membangun vila yang indah, seorang militer dapat membangun benteng yang tak tertembus. Seniman menciptakan karya-karya indah yang memanjakan mata. Apa gunanya dia menjadi ahli matematika? Mari kita lihat bagaimana LUKE sendiri menjawab pertanyaan ini. Pertama-tama, ia menegaskan bahwa matematika, sebagai ilmu eksakta, adalah landasan dan batu ujian bagi semua ilmu lainnya. “Dalam [risalah kami] kami berbicara tentang hal-hal yang luhur dan halus, yang benar-benar berfungsi sebagai ujian dan wadah ujian bagi semua ilmu pengetahuan dan disiplin ilmu yang halus: lagipula, dari sanalah mengalir semua tindakan spekulatif lainnya, ilmiah, praktis dan mekanis; dan tanpa mengenalnya terlebih dahulu, mustahil bagi seseorang untuk mengetahui atau bertindak, seperti yang akan ditunjukkan. Seperti yang dikonfirmasi oleh Aristoteles dan AVERROES, ilmu matematika kita adalah yang paling benar dan berada pada tingkat ketelitian yang pertama, dan setelahnya muncullah ilmu alam. yang satu” (bab. SAYA). Dari memuji matematika, ia beralih ke memuji ahli matematika: “Orang yang bijaksana mengetahui pepatah: Aurum probatur igni et ingenium mathematis. Artinya, emas diuji dengan api, dan wawasan pikiran diuji dengan disiplin matematika. Pernyataan ini memberi tahu Anda bahwa pikiran baik para ahli matematika adalah yang paling terbuka terhadap setiap sains, karena mereka terbiasa dengan abstraksi dan kehalusan terbesar, karena mereka selalu mempertimbangkan apa yang berada di luar materi yang masuk akal. Seperti kata pepatah Tuscan, merekalah yang membelah rambut saat terbang” (Bab II). Namun, “pertimbangan mengenai apa yang berada di luar hal-hal yang masuk akal” sepertinya tidak akan menarik minat para penguasa yang dituju oleh LUKE. Oleh karena itu, ia beralih dari hal-hal ideal ke hal-hal nyata, dan berpendapat bahwa matematika adalah landasan penting dalam seni dan arsitektur militer:

12 LUCA PACIOLI DAN Risalahnya “TENTANG PROPORSI ILAHI” 12 “Kemuliaan baik lainnya datang pada Yang Mulia Adipati ketika kepercayaan dari kerabat dekat dan rakyat yang bersyukur semakin kuat sehingga di Dominion tertingginya mereka terlindungi dari semua serangan Dari pengalaman sehari-hari Anda Yang Mulia Adipati Bukan rahasia lagi bahwa pertahanan republik besar dan kecil, yang juga disebut seni perang, tidak mungkin terjadi tanpa pengetahuan Geometri, Aritmatika, dan Proporsi, yang dipadukan secara sempurna dengan kehormatan dan manfaat. Dan tidak satu pun pekerjaan yang layak hal-hal yang ditangani oleh para insinyur dan mekanik baru tidak mengarah pada perebutan [benteng] atau pertahanan jangka panjang, seperti yang dilakukan oleh ahli geometer besar ARCHIMEDES dari Syracuse di masa lalu” (Bab II). “Mereka menyebut diri mereka arsitek, tapi saya belum pernah melihat di tangan mereka buku luar biasa karya arsitek paling berharga dan ahli matematika hebat VITRIVUS, yang menyusun risalah tentang arsitektur dengan deskripsi terbaik dari setiap struktur. Dan mereka yang saya kagumi menulis di atas air dan membangun di atas pasir, dengan tergesa-gesa menyia-nyiakan karya seninya: bagaimanapun juga, mereka adalah arsitek hanya dalam nama, karena mereka tidak mengetahui perbedaan antara titik dan garis dan tidak mengetahui perbedaan antara sudut. , yang tanpanya tidak mungkin membangun dengan baik. Namun, ada juga orang yang mengagumi disiplin matematika kita, memperkenalkan panduan sebenarnya untuk semua bangunan sesuai dengan tulisan VITROVIUS yang disebutkan di atas. Penyimpangannya terlihat jelas jika kita melihat seperti apa bangunan kita, baik gerejawi maupun sekuler: mana yang melengkung dan mana yang miring” (bab XLIV). Dalam bahasa modern, LUKA merekomendasikan dirinya kepada Adipati sebagai seorang ahli, dan dalam hal-hal yang tidak sepenuhnya matematis (Adipati sama sekali tidak membutuhkan ahli seperti itu), tetapi murni terapan, yang berkaitan langsung dengan pelestarian kekuasaan (urusan militer). ) dan kemakmuran (arsitektur). Adapun kemampuan untuk memperoleh hasil matematika baru, di era ini belum dianggap sebagai kualitas pembeda yang diperlukan dari seorang ahli matematika kelas atas, dan tetap bersifat kebetulan dan bukan merupakan ciri penting dari matematikawan kelas atas. Sastra GLUSHKOVA F. R., GLUSHKOV S. S. Bagian geometris dari “Summa” Pacioli. Sejarah dan Metodologi Ilmu Pengetahuan Alam, 29, 1982, bersama COLLINS R., RESTIVO S. Bajak Laut dan Politisi Matematika. Otechestvennye zapiski, 2001, 7. OLSHKI L. Sejarah literatur ilmiah dalam bahasa baru. Dalam 3 jilid M.L.: GTTI, (Cetak Ulang: M.: MCIFI, 2000.) SOKOLOV Y. Luca Pacioli adalah seorang manusia dan pemikir. Dalam buku: BAWANG PACCIOLI. Risalah tentang akun dan catatan. M.: Statistika, YUSHKEVICH A. P. Sejarah matematika pada Abad Pertengahan. M.: Fizmatgiz, ARRIGHI G. Piero della Francesca dan Luca Pacioli. Rassegna dari pertanyaan plagio dan nilai baru. Atti della Fondazione Giorgio Ronchi, 23, 1968, hal BIAGIOLI M. Status sosial matematikawan Italia, History of Science, 27, 1989, hal BERTATO F. M. A obra De Divina Proportione (1509) de Frà Luca Pacioli. Anais do V Seminário Nacional de História da Matemática, Rio Claro, BIGGIOGERO G. M. Luca Pacioli dan la Divina Proporsionale. Rendiconti dell"istituto lombardo di scienze e lettere, 94, 1960, hal CASTRUCCI S. Luca Pacioli da l Borgo San Sepolcro. Alpignano: Tallone, risalah matematika DAVIS M. D. Piero della Francesca: “Trattato d abaco” dan “Libellus de quinque corporibus regularibus”. Ravenna: Longo Editore, FIELD J. V. Menemukan kembali polihedra Archimedean: Piero della Francesca, Luca Pacioli, Leonardo da Vinci, Albrecht Dürer, Daniele Barbaro dan Johannes Kepler. Arsip untuk Sejarah Ilmu Eksakta, 50, 1997, hal

13 LUCA PACIOLI DAN Risalahnya “TENTANG PROPORSI ILAHI” 13 HERZ-FISCHLER R. Sejarah matematika pembagian dalam rasio ekstrim dan rata-rata. Waterloo: Universitas Wilfrid Laurier. Press, 1987 (edisi ke-2 NY, Dover, 1998). LUCAS DE BURGO. Summa de Arithmetica, Geometria, Proportione & Proportionalita. Venetia: Paganino de Paganinis, LUCAS DE BURGO. Divina Proporsional. Venetia: Paganino de Paganinis, MANCINI G.L opera De corporibus regularibus di Pietro Franceschi deto Della Francesca usurpata da fra Luca Pacioli. Accademia dei Lincei, MORISON S. Fra Luca Pacioli dari Borgo San Sepolcro. New York, PICUTTI E. Sui plagi matematici dari saudara Luca Pacioli. La Scienze, 246, 1989, hal PIERO DELLA FRANCESCA. Libellus de quinque corporibus regularibus. Ed. M.D.Emiliani e. A. Florence: Giunti, PITTARELLI G. Luca Pacioli mengambil alih untuk se stesso qualche libro di Piero de Franceschi? Atti IV Congresso internazionale dei matematici, Roma, 6 11 April 1908, III. Roma, 1909, hal PORTOGHESI P. Luca Pacioli e la Divina Proportione. Dalam: Mesin Civiltà delle, 1957, hal REGIOMONTANUS. Komensorator. Ed. Blaschke W., Schoppe G. Wiesbaden: Verlag der Akademie der Wissenschaften und der Literatur di Mainz, RICCI I. D. Luca Pacioli, l uomo e lo scienziato. Sansepolcro, ROSE P. L. Kebangkitan matematika Italia. Jenewa: Librairie Droz, SPEZIALI P. Luca Pacioli dkk. Sciences of the Renaissance, Paris, 1973, p TAYLOR R. E. Tidak ada jalan kerajaan: Luca Pacioli dan zamannya. Chapel Hill: Univ. dari North Carolina Press, WILLIAMS K. Plagiary di Renaissance (Luca Pacioli dan Piero della Francesca). Kecerdasan Matematika, 24, 2002, hal

Rasio emas dalam matematika kuno A. I. SHCHETNIKOV 1. Rumusan masalah. Tidaklah berlebihan untuk mengatakan bahwa tidak ada satu pun publikasi yang membahas tentang hubungan yang lengkap tanpa membahas masalah rasio emas.

PROGRAM UJIAN MASUK DISIPLIN “MATEMATIKA” Konsep dan fakta dasar matematika : Isi program 1. Bilangan, akar dan pangkat. Urutan bilangan Bilangan asli. Sederhana

Program kerja sekunder (lengkap). pendidikan umum dalam matematika (geometri) di sekolah menengah MBOU 30 di Penza (kelas 10) Catatan penjelasan Status dokumen Program kerja untuk pendidikan umum menengah (lengkap)

Program ujian masuk matematika Program ini disusun berdasarkan komponen Federal dari standar negara bagian pendidikan umum dasar dan menengah (lengkap) (perintah Kementerian Pendidikan

Program kerja matematika kelas 5-6 RENCANA HASIL BELAJAR MATEMATIKA Bilangan Rasional Siswa akan belajar: DI KELAS 5-6 1) memahami ciri-ciri sistem bilangan desimal; 2) menguasai konsep,

CATATAN PENJELASAN Program ini dalam geometri untuk kelas 0 disusun berdasarkan komponen Federal dari Standar Negara Pendidikan Umum Menengah (perintah Kementerian Pendidikan dan Ilmu Pengetahuan Federasi Rusia tertanggal 03/05/2004 089),

Kementerian Pendidikan dan Ilmu Pengetahuan Anggaran Negara Federal Rusia lembaga pendidikan pendidikan tinggi PROGRAM UJI MASUK "Universitas Negeri Syktyvkar dinamai Pitirim Sorokin".

Lampiran program pendidikan utama pendidikan umum menengah MBOU "Sekolah Menengah Sergach 1" disetujui atas perintah direktur pada 27 Agustus 2015 Program kerja ke-64 mata pelajaran "Geometri" 10-11

Pernyataan Teorema Pythagoras Teorema Pythagoras menyatakan bahwa kuadrat sisi miring segitiga siku-siku sama dengan jumlah kuadrat kaki-kakinya. c 2 = a 2 + b 2 Dengan kata lain luas persegi yang dibangun

Institusi pendidikan tinggi otonom negara bagian federal pendidikan kejuruan Nasional universitas riset Program "Sekolah Tinggi Ekonomi". tes masuk dalam matematika

KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN ILMU PENGETAHUAN Lembaga Pendidikan Tinggi Anggaran Negara Federal RUSIA "Universitas Negeri Ekonomi dan Manajemen Novosibirsk "NINKh" (FSBEI HE "NGUEU", NSUEM)

PROGRAM KERJA CHU OOSH "Venda" Geometri kelas 0 - - Catatan Penjelasan Program kerja disusun berdasarkan: Komponen federal dari standar negara bagian pendidikan umum, contoh program

Spesifikasi Tugas Semester Matematika Kelas 10 Himpunan, Operasi Himpunan Himpunan Numerik Fungsi : Mencari domain definisi Mencari himpunan nilai Penelitian tentang

Program tes masuk mata pelajaran pendidikan umum “Matematika” setelah masuk ke Institut Kehutanan Syktyvkar pada tahun 2016 Program ini dirancang untuk mempersiapkan tulisan massal

Lembaga Otonomi Pendidikan Kota Buzuluk "Sekolah Menengah 8" PROGRAM KERJA pada mata pelajaran: "Geometri" untuk tahun ajaran 206-207 Kelas: 0- Kuantitas

Kosinov N.V. PROPORSI EMAS, KONSTAN EMAS DAN TEOREMA EMAS Abstrak Terungkap keluarga besar bilangan yang mempunyai sifat melekat pada proporsi emas (Ф=1,618). Angka-angka ini adalah konstanta

Disiapkan oleh: Demenkovets Anastasia Siswa kelas 8 B Pembimbing Ilmiah: Koneva Natalya Mikhailovna Gymnasium Salakhov Laboratory Surgut, 2014 Tujuan: Untuk membuktikan bahwa benda-benda arsitektur mengandung

Disetujui oleh deputi. Direktur SD G.I. Belikova Disetujui oleh direktur lembaga pendidikan kota "sekolah menengah Boryatinskaya" E.A. Martynova 20, lembaga pendidikan pemerintah kota "sekolah menengah Boryatinskaya"

KURIKULUM Institusi Pendidikan Anggaran Kota "Lyceum" DALAM GEOMETRI 10 Kelas 11 Pendidikan Umum Menengah CATATAN PENJELASAN Kurikulum berorientasi geometri

LEMBAGA PENDIDIKAN PROFESIONAL TINGGI ANGGARAN NEGARA FEDERAL “UNVERSITAS NEGARA UDMURT” Institut Perlindungan Sipil Jurusan Disiplin Teknik Umum

Sekolah Menengah Institusi Pendidikan Anggaran Kota 105 Dinamai M.I.Runt Kabupaten Kota Samara DITINJAU SETUJU DISETUJUI pada rapat metodologi Deputi

Ceramah Kenapa tidak bisa kita dapatkan secara utuh dan bilangan rasional? Karena dalam situasi paling alami kita menjumpai bilangan yang bukan bilangan bulat dan bukan bilangan rasional. Pertimbangkan satuan persegi.

MBOU "Sekolah Menengah Oryol" Ditinjau Setuju Disetujui pada pertemuan kotamadya guru Wakil Direktur Manajemen Pendidikan Direktur MBOU "Sekolah Menengah Oryol" matematika dan benda-benda alam/Efanova I.A../ /Ermolova

CATATAN PENJELASAN Kerangka peraturan untuk pengajaran mata pelajaran Program kerja geometri untuk kelas 7-9 disusun berdasarkan dokumen peraturan berikut: 1. Komponen federal negara bagian

Rencana hasil penguasaan mata pelajaran akademik mata kuliah Aritmatika Bilangan Alami. Pecahan 1) memahami ciri-ciri sistem bilangan desimal; 2) memahami dan menggunakan istilah dan simbol yang terkait

PROGRAM KERJA GEOMETRI KELAS 10-11 Disusun oleh : T.A. Catatan Penjelasan Burmistrova Program kerja ini disusun berdasarkan Program Model pendidikan umum menengah (lengkap) di

Abstrak program kerja “Geometri” kelas 10-11 Program kerja matematika disusun berdasarkan dokumen peraturan sebagai berikut: 1. Program pendidikan lembaga pendidikan umum

Pemikir hebat Losev A. F. presentasi buku-buku filsuf Rusia dalam rangka peringatan 120 tahun kelahirannya. Semua buku yang dipresentasikan pada pameran berada dalam koleksi ruang baca SEL (ruang B-303), di mana lebih jelasnya dapat ditemukan.

KEMENTERIAN PERTANIAN FEDERASI RUSIA DEPARTEMEN KEBIJAKAN ILMIAH DAN TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN FSBEI HPE PROGRAM MATEMATIKA UNIVERSITAS PERTANIAN NEGARA DON Persiaovsky

Catatan penjelasan. Program kerja geometri di kelas 11 disusun berdasarkan komponen federal dari standar negara bagian pendidikan umum dasar, program Geometri untuk buku teks untuk

DEPARTEMEN WILAYAH SMOLENSK UNTUK PENDIDIKAN DAN ILMU PENGETAHUAN SOGBOU SPO "TEKNIK PERTANIAN ELNINSKY" PROGRAM UJI MASUK BAGI PEMOHON KE SEKOLAH TEKNIK DALAM DISIPLIN "MATEMATIKA" (berdasarkan

LEMBAGA PENDIDIKAN PROFESIONAL TAMBAHAN NEGARA "LEMBAGA PENDIDIKAN PEDAGOGIS TAMBAHAN REPUBLIK DONETSK" DEPARTEMEN MATEMATIKA Tentang persyaratan untuk

PROGRAM UJI MASUK MATEMATIKA BAGI PEMOHON UrFU TAHUN 2012 KONSEP DAN FAKTA DASAR MATEMATIKA 1. Himpunan numerik. Operasi aritmatika pada bilangan. Bilangan asli (N).

MEREKA. Smirnova, V.A. Smirnov PERSIAPAN UNTUK Ujian Negara Terpadu (GEOMETRI) Angka-angka yang tertulis dan dibatasi di luar angkasa Moskow 008 PENDAHULUAN Bagaimana mempersiapkan ujian geometri dan belajar memecahkan masalah stereometri

1 KEAJAIBAN ANGKA DALAM ILMU PENGETAHUAN DAN ALAM Loskovich M.V., Natyaganov V.L., Slepova T.V. Universitas Negeri Moskow dinamai demikian. M.V. Lomonosov, fakultas Biologi, Mekanika dan Matematika, Rusia, 119899,

Catatan penjelasan program kerja geometri di kelas 0. Hanya 2 jam per minggu, 72 jam per tahun. Program kerja didasarkan pada dokumen-dokumen berikut: o Komponen federal negara bagian

KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN ILMU PENGETAHUAN FEDERASI RUSIA Universitas Negeri Kostroma dinamai N. A. Nekrasov T. N. Matytsina MATEMATIKA DISKRIT PEMECAHAN HUBUNGAN BERULANG Lokakarya Kostroma

Sekolah menengah lembaga pendidikan anggaran kota 9 Diterima Disetujui dengan keputusan dewan pedagogi Direktur sekolah menengah MBOU tanggal 29 Agustus 2012, pendidikan umum

Kelas mata pelajaran akademik (paralel) Catatan Penjelasan program kerja Geometri (tingkat dasar) 10 B tahun ajaran 2013-2014 Program kerja geometri kelas 10 disusun atas dasar

Email IVANOVA INNA VALENTINOVNA: [dilindungi email] Skype: inna-iva68 Waktu kontak: Kamis 16.50. 19.00. Buku Ajar Geometri Kelas 10: Geometri 10-11, penulis L.S. Butuzov, S.B

Catatan penjelasan Program kerja disusun berdasarkan komponen Federal dari standar pendidikan Negara bagian pendidikan umum menengah (lengkap) dalam matematika dan program Model

Institusi pendidikan anggaran kota "Sekolah 11 Zelenodolsky distrik kota Republik Tatarstan" Pekerjaan penelitian pada topik: Rasio emas Diselesaikan oleh: Akhmetova A.M. Pengawas:

Lampiran 2.5.2. Perkiraan perencanaan mata kuliah “Aljabar dan Permulaan Analisis Matematika” Buku Ajar. 1. A.G. Mordkovich, P.V. semenov. Aljabar dan permulaan analisis matematika (tingkat profil). kelas 10

Sekolah menengah lembaga pendidikan pemerintah kota 3 kota Pudozh Dipertimbangkan pada pertemuan Kementerian Matematika dan Informatika Risalah 1 tanggal 29 Agustus 2016 Kepala Wilayah Moskow Kuptsova

Sergienko P.Ya. AWAL MATEMATISASI HARMONI. MASALAH (PROPOSION II.11) EUCLID DAN ALGORITMA UNTUK SOLUSINYA Saya diundang untuk memamerkan algoritma saya untuk memecahkan masalah yang disebutkan oleh publikasi: S.A. Yasinsky

ADMINISTRASI KOTA NIZHNY NOVGOROD Sekolah menengah lembaga pendidikan anggaran kota 100 dengan studi mendalam tentang mata pelajaran individu Disetujui oleh Direktur sekolah 100

CATATAN PENJELASAN Program kerja “Geometri” disusun sesuai dengan komponen Federal dari standar pendidikan negara bagian untuk pendidikan umum (2004). Program telah dikompilasi

Program kerja untuk buku teks “Geometri 10-11”, Atanasyan L.S. dll., 10 kelas “A” (tingkat dasar), 2 jam per minggu CATATAN PENJELASAN Program kerja didasarkan pada komponen federal

Catatan penjelasan. Program kerja geometri untuk kelas sosial dan kemanusiaan ke-11 disusun sesuai dengan komponen federal standar pendidikan negara bagian untuk sekolah menengah.

Program kerja geometri kelas 10 Catatan penjelasan Status dokumen Program kerja geometri kelas 10 disusun berdasarkan komponen federal standar dasar negara bagian

Keterampilan dan kemampuan dasar. Pelamar harus mampu: Melakukan operasi aritmatika terhadap bilangan-bilangan yang diberikan dalam bentuk biasa dan desimal; membulatkan angka dan hasil yang diberikan dengan ketelitian yang diperlukan

LEMBAGA PENDIDIKAN TINGGI SWASTA “LEMBAGA TATA USAHA NEGARA” Disetujui oleh Rektor Perguruan Tinggi Swasta “IGA” A.V. Kecoa "12" 11 20_15_g. Program persiapan ujian masuk matematika

Catatan penjelasan Program kerja disusun berdasarkan komponen federal dari standar negara bagian pendidikan umum, program perkiraan matematika pendidikan umum dasar, penulis

PROGRAM KERJA EKSTERNAL KELAS 11 GEOMETRI CATATAN PENJELASAN KELAS 11 Program kerja dikembangkan berdasarkan komponen federal dari standar negara bagian sekunder (lengkap)

1 Abstrak program kerja mata pelajaran “Geometri” 10-11 Program kerja geometri untuk kelas 10-11 ini disusun berdasarkan: Komponen federal standar pendidikan negara bagian

Isi : 1. CATATAN PENJELASAN. 2. ISI UTAMA PROGRAM.. 3. PERSYARATAN TINGKAT PERSIAPAN SISWA 4. KALENDER DAN PERENCANAAN TEMATIK. 5. DAFTAR DUKUNGAN PENDIDIKAN DAN METODIS.

KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN PENGETAHUAN FEDERASI RUSIA FSBEI HPE "UNVERSITAS NEGERI SOCHI" "University College of Economics and Technology" Program Tes Masuk Matematika

Institusi pendidikan negeri kota "Sekolah Menengah Usishinskaya 2" Kalender dan perencanaan tematik di kelas mata pelajaran geometri Tingkat dasar 68 jam. Disusun oleh: guru matematika Gadzhiev

Modul mata pelajaran matematika “aljabar”, Guru kelas 7 Anastasia Vasilyevna Rybalkina Yang “dipelajari” = belajar, kuasai modul “aljabar” dalam pelajaran matematika di kelas 7. 1) TOPIK (sesuai program) I.

Lembaga Pendidikan Anggaran Negara “Sekolah Menengah Sore (shift) 2” di PKU IK-4 Topik Konsultasi Kelompok: “Menyelesaikan Masalah dengan Topik “Volume Polihedra” Selesai

Geometri suci. Kode energi harmoni Prokopenko Iolanta

Rasio emas. Proporsi ilahi

Geometri memiliki dua harta karun: salah satunya adalah teorema Pythagoras, yang lainnya adalah pembagian segmen dalam rasio rata-rata dan ekstrim.

I.Kepler

Ada hal-hal yang hampir mustahil untuk dijelaskan. Misalnya, Anda datang ke bangku kosong dan Anda harus duduk di atasnya. Dimana kamu akan duduk? Mungkin tepat di tengah. Mungkin dari ujung paling ujung. Namun kemungkinan besar, Anda secara naluriah akan memilih posisi untuk membagi bangku menjadi dua bagian, saling berhubungan dengan perbandingan 1: 1,62. Dengan satu tindakan yang sangat sederhana, Anda telah membagi ruang sesuai dengan “rasio emas”.

Rasio emas adalah pembagian suatu besaran (misalnya suatu ruas) menjadi dua bagian sedemikian rupa sehingga perbandingan bagian yang lebih besar dengan yang lebih kecil sama dengan perbandingan seluruh besaran dengan bagian yang lebih besar. Perkiraan nilai rasio emas adalah 1,6.

Meskipun asal usulnya hampir mistis, nomor PHI telah memainkan peran unik dengan caranya sendiri. Peran batu bata dalam fondasi pembangunan seluruh kehidupan di bumi. Semua tumbuhan, hewan, dan bahkan manusia diberkahi dengan proporsi fisik yang kira-kira sama dengan akar rasio angka PHI berbanding 1. Keberadaan PHI di alam ini... menunjukkan hubungan semua makhluk hidup. Sebelumnya, angka PHI diyakini telah ditentukan sebelumnya oleh Sang Pencipta Alam Semesta. Para ilmuwan zaman dahulu menyebut satu koma enam ratus delapan belas ribu sebagai “proporsi ilahi”.

Serangkaian angka yang tak ada habisnya:

Para ilmuwan telah mencoba selama berabad-abad untuk menentukannya nilai yang tepat"proporsi emas". Pythagoras menciptakan sekolah di mana rahasia "rasio emas" dipelajari, Euclid menggunakannya untuk membuat geometri, Aristoteles menerapkannya pada hukum etika, Leonardo da Vinci dan Michelangelo akan mengagungkannya dalam karya mereka. Berapakah proporsi, kekuatan dan kekuatan ilahi ini esensi sejati yang masih belum bisa mereka tentukan? Rasio emas dapat dilihat di mana-mana: di kuncup bunga, di tubuh manusia, di ikal cangkang. Apa dogma etika ini? Rahasia mistik? Gejala? Atau semuanya bersama-sama?

Proporsi bagian emas, yang diperkenalkan ke penggunaan ilmiah oleh Pythagoras, masih digunakan hingga saat ini dalam seni, matematika, dan kehidupan sehari-hari. Misalnya, sutradara Sergei Eisenstein membuat filmnya “Battleship Potemkin” berdasarkan aturan rasio emas. Dalam tiga bagian pertama, aksinya terjadi di sebuah kapal. Dua sisanya berada di Odessa. Momen peralihan aksi ke Odessa persis bertepatan dengan titik rasio emas.

Rasio emas dan pusat visual

Saat mempelajari piramida Cheops, ternyata pengrajin Mesir menggunakan proporsi ketuhanan saat membuat piramida itu sendiri, serta kuil, relief, perhiasan, dan barang-barang rumah tangga dari makam Tutankhamun.

Bagian depan salah satu dari Tujuh Keajaiban Dunia, Parthenon, juga menampilkan proporsi emas. Selama penggalian candi ini ditemukan kompas yang digunakan oleh para arsitek dunia kuno.

Rahasia rasio emas di zaman kuno hanya tersedia bagi para inisiat. Rahasia mereka dijaga ketat dan hanya diungkapkan pada kasus-kasus khusus.

Selama Renaisans, minat terhadap rasio emas meningkat, terutama pada seni dan arsitektur. Ilmuwan dan seniman besar Leonardo da Vinci memberikan perhatian khusus pada proporsi ketuhanan. Dia bahkan mulai menulis buku tentang geometri, tetapi dia didahului oleh biksu Luca Pacioli, yang memberi nama baru pada rasio emas - "proporsi ilahi". Dalam bukunya yang berjudul “Proporsi Ilahi”, disebutkan demikian segmen kecil Besarnya rasio emas merupakan personifikasi Tuhan Anak. Segmen besarnya adalah Tuhan Bapa, dan keseluruhan besarannya adalah kesatuan, inilah Tuhan Roh Kudus. Esensi ilahi dari proporsi ilahi...

Skema Parthenon

Studi tentang proporsi tubuh manusia

Leonardo da Vinci, pada gilirannya, menciptakan nama “rasio emas”. Dia menaruh banyak perhatian pada divisi emas dalam penelitiannya. Lebih dari sekali membuat bagian benda stereometrik dengan segi lima, ia memperoleh persegi panjang dengan rasio aspek dalam pembagian emas. Dari sinilah nama paling populer untuk proporsi klasik berasal - rasio emas.

Dari buku Mengapa Burung Berkicau? pengarang Mello Anthony De

TELUR EMAS Dalam Kitab Suci kita membaca: Dan Tuhan berfirman: Seorang petani mempunyai seekor angsa yang bertelur emas setiap hari. Tapi itu tidak cukup bagi istrinya yang rakus: hanya satu butir telur sehari? Jadi dia membunuh angsa itu, berharap mendapatkan semua telurnya sekaligus

Dari buku Alkimia oleh Canselier Eugene

Dari buku Jimat dan Hal-hal Keberuntungan yang Membawa Uang dan Keberuntungan oleh Blavo Ruschel

cincin emas Naskah pandai besi Kurumchi mengatakan hal berikut tentang cincin emas: Kita tahu dari nenek moyang dan buku bahwa emas adalah air mata suci Dewa Matahari, yang ditumpahkannya di bumi, melihat kelaparan dan penderitaan nenek moyang kita. Air mata Dewa Matahari menyelamatkan umat kita dari

Dari buku Mathematics for Mystics. Rahasia Geometri Suci oleh Chesso Renna

Bab #9 Fibonacci, Rasio Emas dan Pentakel Deret Fibonacci bukan sekadar pola bilangan acak yang ditemukan oleh ahli matematika Italia ini. Ini merupakan buah pemahaman akan hubungan keruangan yang terjadi di alam dan selanjutnya diterima

Dari buku Jalan Pulang pengarang

Mencetak dengan huruf konsonan, Rasio Emas Mari kita perhatikan deret N, P, R, S, T - 5, 8, 1, 2, 3. Pertama-tama, angka 5 dan 8 yang mencolok rumus Rasio Emas yang terkenal - 0,618. Gambarlah garis sepanjang 8 unit dan letakkan 5 unit di atasnya - ini adalah proporsi Emas

Dari buku Geometri Suci. Kode harmoni energi pengarang Prokopenko Iolanta

Rasio Emas dan Cincin Emas Rusia Dalam buku Erich von Daniken (lihat) saya membaca bahwa tempat-tempat suci di Yunani Kuno terhubung satu sama lain melalui proporsi Rasio Emas. Saya mengutip data yang diverifikasi secara pribadi yang diberikan dalam buku ini (lihat Gambar 55 dan 56): 1. Garis

Dari buku Rus' mengungkapkan dirinya pengarang Zhikarentsev Vladimir Vasilievich

Rasio Emas dan Spiral Rasio Emas sebagai dasar bidang informasi bumi. Dari penjelasan di atas, kita dapat menarik kesimpulan yang luas. Ini dia. Kita tahu bahwa semua makhluk hidup dan tumbuhan mempunyai proporsi Bagian Emas. Oleh karena itu, seluruh hewan dan keseluruhannya

Dari buku Bermain di Kekosongan. Mitologi banyak wajah pengarang Demchog Vadim Viktorovich

Pentagram dan Rasio Emas Menurut Pythagoras, pentagram (atau hygieia) adalah kesempurnaan matematis yang menyembunyikan rasio emas. Sinar pentagram membagi satu sama lain dalam rasio matematis yang tepat, yaitu sama dengan emas

Dari buku AKULAH Keabadian. Percakapan sastra dengan Sang Pencipta (koleksi) pengarang Klimkevich Svetlana Titovna

Rasio emas dan ciptaan alam Rasio emas, yang digunakan oleh arsitek kuno untuk mendirikan bangunan dan yang digunakan oleh fotografer modern untuk membuat komposisi, disarankan oleh alam itu sendiri. Kadal Chicory Vivipar Telur burung Baik di antara tumbuhan maupun di antara hewan

Dari buku Buku Besar Pengetahuan Rahasia. Numerologi. Grafologi. Seni ramal tapak tangan. Perbintangan. Menceritakan keberuntungan penulis Schwartz Theodor

Padatan Platonis dan rasio emas Di antara padatan Platonis, ada dua yang menempati tempat khusus adalah dodecahedron dan icosahedron, rangkap duanya. Geometrinya berhubungan langsung dengan proporsi rasio emas. Wajah dodecahedron berbentuk segi lima, beraturan

Dari buku penulis

Rasio emas Mari kita perhatikan deret N, P, P, S, T - 5, 8, 1, 2, 3 (lihat Gambar 7). Pertama-tama, angka 5 dan 8 sangat mencolok. Pecahan 5/8 adalah rumus Rasio Emas yang terkenal - 0,618. Gambarlah garis sepanjang 8 unit dan letakkan 5 di atasnya - ini adalah proporsi Rasio Emas (lihat Gambar 8 - hubungan

Dari buku penulis

Rasio Emas dan Cincin Emas Rusia Suatu kali dalam buku karya Erich von Danniken (lihat) saya membaca bahwa tempat-tempat suci di Yunani Kuno terhubung satu sama lain melalui proporsi Rasio Emas. Saya mengutip data yang diverifikasi secara pribadi yang diberikan dalam buku ini: 1. Jalur Delphi –

Dari buku penulis

Rasio Emas dan Spiral Rasio Emas sebagai dasar bidang informasi bumi Singkatnya, para Templar membantu saya memahami apa yang dimaksud dengan siput. Salah satu misteri yang menyiksa para ilmuwan hingga saat ini adalah sebagai berikut: dari mana datangnya para Templar dengan begitu baik?

Dari buku penulis

Rasio Emas dari Gambar, atau yang disebut Luca Pacioli sebagai Proporsi Ilahi. Ini adalah fenomena paling signifikan dan paling menarik dalam Permainan. Bagi para pemain yang paling bersemangat, proses bermain dengan sebuah gambar memberikan kepuasan yang tiada tara. Tetapi! Anda dapat memahami sifat gambar tersebut

Dari buku penulis

Rasio emas 616 = Masuk ke pusat Alfa dan Omega - inti galaksi Bima Sakti = Komunikasi langsung melalui ruang angkasa dilakukan untuk pertama kalinya = Bintang Otak Galaksi Terpadu - bintang berujung enam - bintang penyihir = Transformasi kesadaran ke dalam spiritual melalui intelek = "Numerik"

Dari buku penulis

Formula untuk kesempurnaan. Rasio emas Manusia telah lama secara tidak sadar mencari keselarasan dalam segala hal - di alam sekitar, pada barang-barang rumah tangga, perhiasan, karya seni. Sulit untuk menemukan ukuran penilaian obyektif terhadap keindahan, yang dinyatakan dalam angka tertentu, tetapi terus menerus

Fra Luca Bartolomeo de' Pacioli atau Paciolo - Matematikawan Italia, salah satu pendiri prinsip akuntansi modern.

Pacioli lahir sekitar tahun 1445 di kota kecil Borgo San Sepolcro di perbatasan Tuscany dan Umbria. Saat remaja, ia dikirim untuk belajar di bengkel seniman terkenal Piero della Francesca. Di sini ia diperhatikan oleh arsitek besar Italia Leon Batista Alberti. Di Venesia, Pacioli menghadiri ceramah ahli matematika terkenal Domenico Bragadino di Sekolah Rialto. Pada tahun 1470 ia menyelesaikan buku pertamanya - buku teks aritmatika komersial. Pada tahun yang sama dia meninggalkan Venesia dan pindah ke Roma. Namun, dua tahun kemudian Pacioli meninggalkan Roma dan mengambil sumpah biara, menjadi seorang Fransiskan.

Dari 14 Oktober 1477 hingga 11 Desember 1480, dia menjadi profesor di Universitas Perugia, tempat dia memberi kuliah tentang aljabar dan geometri.
Pada tahun 1494, Pacioli menerbitkan karya matematika berjudul "Summa of Arithmetic, Geometry, Relations and Proportions", yang didedikasikan untuk Adipati Urbino Guidobaldo da Montefeltro. Mungkin inovasi Pacioli yang paling signifikan adalah penggunaan notasi aljabar tersinkronisasi secara sistematis - semacam pendahulu kalkulus simbolik berikutnya. Buku ini berisi tabel koin, berat dan ukuran yang diadopsi di berbagai wilayah Italia, serta panduan pembukuan double-entry Venesia.

Pada tahun 1496, atas undangan Duke Ludovico, Sforza datang ke Milan dan mengepalai departemen matematika yang baru dibentuk di Universitas Milan. Di Milan dia bertemu Leonardo da Vinci, yang kemudian menjadi teman dekatnya.

Pada tahun 1509, buku lain karya Pacioli diterbitkan di Venesia: “The Divine Proportion. Sebuah karya yang sangat berguna bagi setiap pikiran yang berwawasan luas dan ingin tahu, yang darinya setiap pelajar filsafat, perspektif, lukisan, patung, arsitektur, musik atau mata pelajaran matematika lainnya akan mengekstraksi pengajaran yang paling menyenangkan, jenaka dan mengejutkan dan akan menghibur dirinya sendiri dengan berbagai pertanyaan dari dunia. ilmu paling rahasia.

Jacopo de Barbari. Potret Luca Pacioli. 1510

Luca Pacioli (1445-1514) adalah ahli aljabar Eropa terbesar pada abad ke-15. Atas desakan Leonardo da Vinci, ia menulis buku On Divine Proportion. Leonardo sendiri yang membuat ilustrasi untuk buku ini, termasuk 59 gambar polihedra.

Benar mungkin Guidobaldo da Montefeltro, calon Adipati Urbino (mungkin potret diri sang seniman). Di atas meja di depan Pacioli ada Awal Euclid. Dia memberikan ceramah tentang geometri dan, dilihat dari gambar di papan tulis, berbicara tentang pons asinorum - “jembatan keledai”. Ini sebelumnya adalah nama teorema dari Principia, yang menyatakan bahwa sudut-sudut yang berhadapan dengan sisi yang sama besar dari segitiga sama kaki adalah sama besar.Di sudut kiri atas adalah belah ketupat - salah satu benda padat Archimedes.

Buku di sebelah kanan adalah "Jumlah Aritmatika". Di atasnya ada dodecahedron, dan di atasnya ada polihedron dengan sisi kaca, setengah berisi air, digantung di langit-langit pada rantai emas. Ini memantulkan jendela di mana seberkas cahaya jatuh dari kiri ke kanan. Polihedron ini adalah belah ketupat, polihedron Pacioli.