Nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi

Nilai terbesar suatu fungsi adalah yang terbesar, nilai terkecil adalah nilai terkecil dari seluruh nilainya.

Suatu fungsi hanya boleh mempunyai satu nilai terbesar dan hanya satu nilai terkecil, atau mungkin tidak mempunyai nilai sama sekali. Pencarian nilai terbesar dan terkecil dari fungsi kontinu didasarkan pada sifat-sifat fungsi berikut:

1) Jika dalam interval tertentu (berhingga atau tak terhingga) fungsi y=f(x) kontinu dan hanya mempunyai satu ekstrem dan jika maksimum (minimum), maka itu adalah nilai terbesar (terkecil) dari fungsi tersebut dalam interval ini.

2) Jika fungsi f(x) kontinu pada suatu ruas tertentu, maka fungsi tersebut tentu mempunyai nilai terbesar dan terkecil pada ruas tersebut. Nilai-nilai ini dicapai baik pada titik ekstrem yang terletak di dalam segmen, atau pada batas segmen ini.

Untuk mencari nilai terbesar dan terkecil pada suatu segmen, disarankan menggunakan skema berikut:

1. Temukan turunannya.

2. Temukan titik kritis dari fungsi yang =0 atau tidak ada.

3. Tentukan nilai fungsi pada titik kritis dan ujung ruas dan pilih f max terbesar dan f max terkecil.

Saat menyelesaikan masalah terapan, khususnya masalah optimasi, masalah mencari nilai terbesar dan terkecil (maksimum global dan minimum global) dari suatu fungsi pada interval X adalah penting , pilih variabel independen dan nyatakan nilai yang diteliti melalui variabel ini. Kemudian cari nilai terbesar atau terkecil yang diinginkan dari fungsi yang dihasilkan. Dalam hal ini interval perubahan variabel bebas, baik berhingga maupun tak terhingga, juga ditentukan dari kondisi permasalahan.

Contoh. Tangki yang berbentuk bagian atas terbuka sejajar dengan bagian bawah berbentuk persegi, bagian dalamnya harus dilapisi dengan timah. Berapa ukuran tangki jika kapasitasnya 108 liter? air agar biaya pengalengan minimal?

Larutan. Biaya melapisi tangki dengan timah akan minimal jika, untuk kapasitas tertentu, luas permukaannya minimal. Mari kita nyatakan dengan a dm sisi alasnya, b dm tinggi tangki. Maka luas S permukaannya sama dengan

DAN

Hubungan yang dihasilkan membentuk hubungan antara luas permukaan reservoir S (fungsi) dan sisi alas a (argumen). Mari kita periksa fungsi S secara ekstrim. Mari kita cari turunan pertama, samakan dengan nol dan selesaikan persamaan yang dihasilkan:

Jadi a = 6. (a) > 0 untuk a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Contoh. Temukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi pada interval.

Larutan: Fungsi yang diberikan kontinu sepanjang garis bilangan. Turunan dari suatu fungsi

Turunan untuk dan untuk . Mari kita hitung nilai fungsi pada titik-titik ini:

.

Nilai fungsi pada ujung-ujung interval tertentu adalah sama. Oleh karena itu, nilai terbesar dari fungsi tersebut sama dengan pada , nilai terkecil dari fungsi tersebut sama dengan pada .

Pertanyaan tes mandiri

1. Merumuskan aturan L'Hopital untuk mengungkap ketidakpastian bentuk. Sebutkan berbagai jenis ketidakpastian yang dapat diselesaikan dengan menggunakan aturan L'Hopital.

2. Merumuskan tanda-tanda fungsi naik dan turun.

3. Menentukan maksimum dan minimum suatu fungsi.

4. Merumuskan kondisi yang diperlukan bagi keberadaan suatu ekstrem.

5. Nilai argumen apa (poin mana) yang disebut kritis? Bagaimana cara menemukan titik-titik tersebut?

6. Apa saja tanda-tanda cukup adanya suatu fungsi ekstrem? Buat garis besar skema untuk mempelajari suatu fungsi pada suatu ekstrem menggunakan turunan pertama.

7. Uraikan skema mempelajari suatu fungsi pada suatu ekstrem dengan menggunakan turunan kedua.

8. Definisi kecembungan dan kecekungan suatu kurva.

9. Apa yang disebut titik belok grafik suatu fungsi? Tunjukkan metode untuk menemukan titik-titik ini.

10. Merumuskan tanda-tanda kecembungan dan kecekungan suatu kurva yang perlu dan cukup pada suatu ruas tertentu.

11. Mendefinisikan asimtot suatu kurva. Bagaimana cara mencari asimtot vertikal, horizontal, dan miring dari grafik suatu fungsi?

12. Uraikan skema umum mempelajari suatu fungsi dan membuat grafiknya.

13. Merumuskan aturan untuk mencari nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi pada interval tertentu.

Dari sudut pandang praktis, minat terbesar adalah menggunakan turunan untuk mencari nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi. Apa hubungannya ini? Memaksimalkan keuntungan, meminimalkan biaya, menentukan beban peralatan yang optimal... Dengan kata lain, di banyak bidang kehidupan kita harus memecahkan masalah dalam mengoptimalkan beberapa parameter. Dan inilah tugas mencari nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi.

Perlu diperhatikan bahwa nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi biasanya dicari pada interval X tertentu, yang merupakan seluruh domain fungsi atau sebagian dari domain definisi. Interval X sendiri dapat berupa segmen, interval terbuka , interval tak terbatas.

Pada artikel ini kita akan membahas tentang mencari nilai terbesar dan terkecil dari fungsi yang ditentukan secara eksplisit dari satu variabel y=f(x) .

Navigasi halaman.

Nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi - definisi, ilustrasi.

Mari kita lihat secara singkat definisi utama.

Nilai fungsi terbesar itu untuk siapa pun ketimpangan memang benar adanya.

Nilai terkecil dari fungsi tersebut y=f(x) pada interval X disebut nilai seperti itu itu untuk siapa pun ketimpangan memang benar adanya.

Definisi ini intuitif: nilai terbesar (terkecil) dari suatu fungsi adalah nilai terbesar (terkecil) yang diterima pada interval yang dipertimbangkan pada absis.

Poin stasioner– ini adalah nilai argumen di mana turunan fungsi menjadi nol.

Mengapa kita memerlukan titik stasioner saat mencari nilai terbesar dan terkecil? Jawaban atas pertanyaan ini diberikan oleh teorema Fermat. Dari teorema ini dapat disimpulkan bahwa jika suatu fungsi terdiferensiasi mempunyai ekstrem (minimum lokal atau maksimum lokal) di suatu titik, maka titik tersebut stasioner. Jadi, suatu fungsi sering kali mengambil nilai terbesar (terkecil) pada interval X di salah satu titik stasioner dari interval ini.

Selain itu, suatu fungsi sering kali dapat mengambil nilai terbesar dan terkecilnya pada titik-titik di mana turunan pertama dari fungsi tersebut tidak ada, dan fungsi itu sendiri terdefinisi.

Mari kita segera menjawab salah satu pertanyaan paling umum tentang topik ini: “Apakah selalu mungkin untuk menentukan nilai terbesar (terkecil) suatu fungsi”? Tidak, tidak selalu. Kadang-kadang batas interval X bertepatan dengan batas domain definisi fungsi, atau interval X tidak terbatas. Dan beberapa fungsi pada jarak tak terhingga dan pada batas domain definisi dapat mempunyai nilai yang sangat besar dan nilai yang sangat kecil. Dalam kasus ini, tidak ada yang bisa dikatakan tentang nilai terbesar dan terkecil dari fungsi tersebut.

Untuk lebih jelasnya, kami akan memberikan ilustrasi grafis. Lihatlah gambar-gambarnya dan banyak hal akan menjadi lebih jelas.

Di segmen tersebut

Pada gambar pertama, fungsi tersebut mengambil nilai terbesar (maks y) dan terkecil (min y) pada titik stasioner yang terletak di dalam segmen [-6;6].

Perhatikan kasus yang digambarkan pada gambar kedua. Mari kita ubah segmennya menjadi. Dalam contoh ini, nilai fungsi terkecil dicapai pada titik stasioner, dan nilai terbesar dicapai pada titik dengan absis yang sesuai dengan batas kanan interval.

Pada Gambar 3, titik batas ruas [-3;2] adalah absis titik-titik yang sesuai dengan nilai fungsi terbesar dan terkecil.

Pada interval terbuka

Pada gambar keempat, fungsi tersebut mengambil nilai terbesar (maks y) dan terkecil (min y) pada titik stasioner yang terletak di dalam interval terbuka (-6;6).

Pada interval , tidak dapat diambil kesimpulan mengenai nilai terbesarnya.

Tanpa batas

Pada contoh yang disajikan pada gambar ketujuh, fungsi tersebut mengambil nilai terbesar (maks y) pada titik stasioner dengan absis x=1, dan nilai terkecil (min y) dicapai pada batas kanan interval. Pada minus tak terhingga, nilai fungsinya mendekati y=3 secara asimtotik.

Selama interval tersebut, fungsi tersebut tidak mencapai nilai terkecil maupun terbesar. Ketika x=2 mendekat dari kanan, nilai fungsinya cenderung minus tak terhingga (garis x=2 adalah asimtot vertikal), dan karena absisnya cenderung plus tak terhingga, nilai fungsinya mendekati y=3 secara asimtotik. Ilustrasi grafis dari contoh ini ditunjukkan pada Gambar 8.

Algoritma untuk mencari nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi kontinu pada suatu segmen.

Mari kita menulis sebuah algoritma yang memungkinkan kita menemukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi pada suatu segmen.

1. Kami menemukan domain definisi fungsi dan memeriksa apakah fungsi tersebut berisi seluruh segmen.
2. Kami menemukan semua titik di mana turunan pertama tidak ada dan terkandung dalam segmen (biasanya titik-titik tersebut ditemukan dalam fungsi dengan argumen di bawah tanda modulus dan dalam fungsi pangkat dengan eksponen rasional pecahan). Jika tidak ada poin seperti itu, lanjutkan ke poin berikutnya.
3. Kami menentukan semua titik stasioner yang termasuk dalam segmen tersebut. Untuk melakukan ini, kita menyamakannya dengan nol, menyelesaikan persamaan yang dihasilkan dan memilih akar yang sesuai. Jika tidak ada titik stasioner atau tidak ada satupun yang termasuk dalam segmen tersebut, maka lanjutkan ke titik berikutnya.
4. Kami menghitung nilai fungsi pada titik stasioner yang dipilih (jika ada), pada titik di mana turunan pertamanya tidak ada (jika ada), serta pada x=a dan x=b.
5. Dari nilai fungsi yang diperoleh, kami memilih yang terbesar dan terkecil - masing-masing akan menjadi nilai fungsi terbesar dan terkecil yang diperlukan.

Mari kita menganalisis algoritma untuk menyelesaikan contoh untuk mencari nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi pada suatu segmen.

Contoh.

Temukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi

• pada segmen tersebut;
• di segmen [-4;-1] .

Larutan.

Daerah definisi suatu fungsi adalah seluruh himpunan bilangan real, kecuali nol. Kedua segmen termasuk dalam domain definisi.

Temukan turunan fungsi terhadap:

Jelasnya, turunan dari fungsi tersebut ada di semua titik pada segmen dan [-4;-1].

Kami menentukan titik stasioner dari persamaan. Satu-satunya akar real adalah x=2. Titik stasioner ini termasuk dalam segmen pertama.

Untuk kasus pertama, kita menghitung nilai fungsi di ujung segmen dan di titik stasioner, yaitu untuk x=1, x=2 dan x=4:

Oleh karena itu, nilai fungsi terbesar dicapai pada x=1, dan nilai terkecil – pada x=2.

Untuk kasus kedua, kami menghitung nilai fungsi hanya di ujung segmen [-4;-1] (karena tidak mengandung satu titik stasioner):

Pada artikel ini saya akan membahas tentang bagaimana menerapkan keterampilan mencari dalam mempelajari suatu fungsi: mencari nilai terbesar atau terkecilnya. Dan kemudian kita akan menyelesaikan beberapa masalah dari Tugas B15 dari Open Bank tugas untuk.

Seperti biasa, mari kita ingat dulu teorinya.

Pada awal setiap studi tentang suatu fungsi, kita menemukannya

Untuk mencari nilai terbesar atau terkecil suatu fungsi, Anda perlu memeriksa pada interval mana fungsi tersebut bertambah dan pada interval mana fungsi tersebut berkurang.

Untuk melakukan ini, kita perlu mencari turunan dari fungsi tersebut dan memeriksa interval tanda konstannya, yaitu interval di mana turunan tersebut mempertahankan tandanya.

Interval yang turunannya suatu fungsi positif adalah interval kenaikan fungsi.

Interval yang turunannya suatu fungsi negatif adalah interval penurunan fungsi.

1. Ayo selesaikan tugas B15 (No. 245184)

Untuk mengatasinya, kami akan mengikuti algoritma berikut:

a) Temukan domain definisi fungsi

b) Mari kita cari turunan dari fungsi tersebut.

c) Mari kita samakan dengan nol.

d) Mari kita cari interval tanda konstan dari fungsi tersebut.

e) Temukan titik di mana fungsi tersebut mempunyai nilai terbesar.

f) Tentukan nilai fungsi pada titik ini.

Saya memberikan solusi terperinci untuk tugas ini di VIDEO TUTORIAL:

Browser Anda mungkin tidak didukung. Untuk menggunakan simulator "Jam Ujian Negara Bersatu", coba unduh
Firefox

2. Ayo selesaikan tugas B15 (No. 282862)

Temukan nilai terbesar dari fungsi tersebut pada segmen tersebut

Jelas sekali bahwa fungsi tersebut mengambil nilai terbesar pada segmen tersebut pada titik maksimum, pada x=2. Mari kita cari nilai fungsinya pada saat ini:

Jawaban: 5

3. Mari kita selesaikan tugas B15 (No. 245180):

Temukan nilai terbesar dari fungsi tersebut

1. judul="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. Karena menurut domain definisi fungsi aslinya title="4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. Pembilangnya sama dengan nol di . Mari kita periksa apakah ODZ termasuk dalam fungsinya. Untuk melakukan ini, mari kita periksa apakah kondisi title="4-2x-x^2>0"> при .!}

Judul="4-2(-1)-((-1))^2>0">,

ini berarti titik tersebut termasuk dalam fungsi ODZ

Mari kita periksa tanda turunan di kanan dan kiri titik:

Kita melihat bahwa fungsi tersebut memperoleh nilai terbesarnya di titik . Sekarang mari kita cari nilai fungsinya di:

Catatan 1. Perhatikan bahwa dalam soal ini kami tidak menemukan domain definisi fungsi: kami hanya memperbaiki batasannya dan memeriksa apakah titik di mana turunannya sama dengan nol termasuk dalam domain definisi fungsi. Ternyata ini cukup untuk tugas ini. Namun, hal ini tidak selalu terjadi. Itu tergantung pada tugasnya.

Catatan 2. Saat mempelajari perilaku fungsi kompleks, Anda dapat menggunakan aturan berikut:

• jika fungsi luar suatu fungsi kompleks bertambah, maka fungsi tersebut mengambil nilai terbesarnya pada titik yang sama di mana fungsi dalam mengambil nilai terbesarnya. Ini mengikuti definisi fungsi meningkat: suatu fungsi meningkat pada interval I jika nilai argumen yang lebih besar dari interval ini sesuai dengan nilai fungsi yang lebih besar.
• jika fungsi luar suatu fungsi kompleks berkurang, maka fungsi tersebut mengambil nilai terbesarnya pada titik yang sama di mana fungsi dalam mengambil nilai terkecilnya . Berikut ini definisi fungsi menurun: suatu fungsi menurun pada interval I jika nilai argumen yang lebih besar dari interval ini sesuai dengan nilai fungsi yang lebih kecil.

Dalam contoh kita, fungsi eksternal meningkat di seluruh domain definisi. Di bawah tanda logaritma ada ekspresi - trinomial persegi, yang, dengan koefisien terdepan negatif, mengambil nilai terbesar pada titik tersebut . Selanjutnya, kita substitusikan nilai x ini ke dalam persamaan fungsi dan temukan nilai terbesarnya.

Pada artikel ini saya akan membicarakannya algoritma untuk mencari nilai terbesar dan terkecil fungsi, poin minimum dan maksimum.

Dari teori pasti bermanfaat bagi kita tabel turunan Dan aturan diferensiasi. Semuanya ada di piring ini:

Algoritma untuk mencari nilai terbesar dan terkecil.

Lebih mudah bagi saya untuk menjelaskan dengan contoh spesifik. Mempertimbangkan:

Contoh: Tentukan nilai terbesar dari fungsi y=x^5+20x^3–65x pada ruas [–4;0].

Langkah 1. Kami mengambil turunannya.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

Langkah 2. Menemukan titik ekstrem.

Titik ekstrem kita menyebut titik-titik di mana fungsi tersebut mencapai nilai terbesar atau minimumnya.

Untuk mencari titik ekstrem, Anda perlu menyamakan turunan fungsi tersebut dengan nol (y" = 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Sekarang kita selesaikan persamaan bikuadrat ini dan akar-akar yang ditemukan adalah titik ekstrem kita.

Saya menyelesaikan persamaan tersebut dengan mengganti t = x^2, lalu 5t^2 + 60t - 65 = 0.

Mari kita kurangi persamaannya sebanyak 5, kita peroleh: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + akar(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - akar(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

Kami membuat perubahan sebaliknya x^2 = t:

X_(1 dan 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 dan 4) = ±sqrt(-13) (kami mengecualikan, tidak boleh ada bilangan negatif di bawah akar, kecuali tentu saja kita berbicara tentang bilangan kompleks)

Total: x_(1) = 1 dan x_(2) = -1 - ini adalah titik ekstrem kita.

Langkah 3. Tentukan nilai terbesar dan terkecil.

Metode substitusi.

Dalam kondisi tersebut, kami diberi segmen [b][–4;0]. Intinya x=1 tidak termasuk dalam segmen ini. Jadi kami tidak mempertimbangkannya. Namun selain titik x=-1, kita juga perlu memperhatikan batas kiri dan kanan ruas kita, yaitu titik -4 dan 0. Untuk melakukannya, kita substitusikan ketiga titik tersebut ke dalam fungsi aslinya. Perhatikan bahwa yang asli adalah yang diberikan dalam kondisi (y=x^5+20x^3–65x), beberapa orang mulai mensubstitusikannya ke dalam turunan...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
kamu(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

Artinya nilai terbesar fungsi tersebut adalah [b]44 dan dicapai di titik [b]-1 yang disebut titik maksimum fungsi pada ruas [-4; 0].

Kami memutuskan dan menerima jawaban, kami baik-baik saja, Anda dapat bersantai. Tapi berhenti! Tidakkah menurut Anda menghitung y(-4) terlalu sulit? Dalam kondisi waktu yang terbatas, lebih baik menggunakan cara lain, saya sebut saja:

Melalui interval keteguhan tanda.

Interval ini ditemukan untuk turunan fungsi, yaitu persamaan bikuadrat kita.

Saya melakukannya seperti ini. Saya menggambar segmen terarah. Saya menempatkan poin: -4, -1, 0, 1. Meskipun 1 tidak termasuk dalam segmen yang diberikan, namun tetap harus diperhatikan untuk menentukan interval keteguhan tanda dengan benar. Mari kita ambil suatu bilangan yang berkali-kali lebih besar dari 1, katakanlah 100, dan secara mental substitusikan bilangan tersebut ke dalam persamaan bikuadrat kita 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Bahkan tanpa menghitung apa pun, menjadi jelas bahwa pada titik 100 fungsi memiliki tanda plus. Artinya untuk interval 1 sampai 100 mempunyai tanda tambah. Ketika melewati 1 (kita berjalan dari kanan ke kiri), fungsinya akan berubah tanda menjadi minus. Ketika melewati titik 0, fungsi tersebut akan mempertahankan tandanya, karena ini hanyalah batas segmen, dan bukan akar persamaan. Ketika melewati -1, fungsinya akan kembali berubah tanda menjadi plus.

Dari teori kita mengetahui dimana turunan dari fungsi tersebut (dan kita menggambarnya secara tepat) perubahan tanda dari plus ke minus (poin -1 dalam kasus kami) fungsi mencapai maksimum lokalnya (y(-1)=44, seperti yang dihitung sebelumnya) pada segmen ini (secara logika sangat bisa dimaklumi, fungsinya berhenti meningkat karena sudah mencapai maksimal dan mulai menurun).

Dengan demikian, dimana turunan dari fungsi tersebut perubahan tanda dari minus menjadi plus, tercapai minimum lokal suatu fungsi. Ya, ya, kami juga menemukan titik minimum lokal adalah 1, dan y(1) adalah nilai minimum fungsi pada segmen tersebut, katakanlah dari -1 hingga +∞. Perlu diketahui bahwa ini hanya MINIMUM LOKAL yaitu minimum pada segmen tertentu. Karena fungsi minimum nyata (global) akan mencapai suatu tempat di sana, di -∞.

Menurut pendapat saya, metode pertama lebih sederhana secara teoritis, dan metode kedua lebih sederhana dari sudut pandang operasi aritmatika, tetapi jauh lebih kompleks dari sudut pandang teori. Lagi pula, terkadang ada kasus ketika fungsi tidak berubah tanda ketika melewati akar persamaan, dan secara umum Anda bisa bingung dengan maksimum dan minimum lokal, global, meskipun Anda tetap harus menguasainya dengan baik jika Anda berencana untuk masuk universitas teknik (dan untuk alasan apa lagi ambil profil Ujian Negara Bersatu dan selesaikan tugas ini). Namun latihan dan hanya latihan yang akan mengajarkan Anda untuk memecahkan masalah seperti itu untuk selamanya. Dan Anda dapat berlatih di situs web kami. Di Sini .

Jika Anda memiliki pertanyaan atau ada sesuatu yang tidak jelas, pastikan untuk bertanya. Saya akan dengan senang hati menjawab Anda dan melakukan perubahan dan penambahan artikel. Ingat kita membuat situs ini bersama-sama!

Algoritma standar untuk menyelesaikan masalah seperti itu melibatkan, setelah menemukan nol dari suatu fungsi, menentukan tanda-tanda turunan pada intervalnya. Kemudian perhitungan nilai pada titik maksimum (atau minimum) yang ditemukan dan pada batas interval, tergantung pada pertanyaan apa yang ada dalam kondisi tersebut.

Saya menyarankan Anda untuk melakukan sesuatu dengan sedikit berbeda. Mengapa? Saya menulis tentang ini.

Saya mengusulkan untuk memecahkan masalah seperti berikut:

1. Temukan turunannya.
2. Temukan angka nol dari turunannya.
3. Tentukan manakah di antara mereka yang termasuk dalam interval ini.
4. Kita menghitung nilai fungsi pada batas interval dan titik langkah 3.
5. Kita menarik kesimpulan (menjawab pertanyaan yang diajukan).

Saat menyelesaikan contoh yang disajikan, penyelesaian persamaan kuadrat tidak dibahas secara detail; Mereka juga harus tahu.

Mari kita lihat contohnya:

77422. Tentukan nilai terbesar dari fungsi y=x 3 –3x+4 pada ruas [–2;0].

Mari kita cari angka nol dari turunannya:

Titik x = –1 termasuk dalam interval yang ditentukan dalam kondisi.

Kami menghitung nilai fungsi di titik –2, –1 dan 0:

Nilai terbesar dari fungsi tersebut adalah 6.

Jawaban: 6

77425. Tentukan nilai terkecil fungsi y = x 3 – 3x 2 + 2 pada ruas tersebut.

Mari kita cari turunan dari fungsi yang diberikan:

Mari kita cari angka nol dari turunannya:

Interval yang ditentukan dalam kondisi memuat titik x = 2.

Kami menghitung nilai fungsi pada titik 1, 2 dan 4:

Nilai terkecil dari fungsi tersebut adalah –2.

Jawaban: –2

77426. Tentukan nilai terbesar dari fungsi y = x 3 – 6x 2 pada ruas [–3;3].

Mari kita cari turunan dari fungsi yang diberikan:

Mari kita cari angka nol dari turunannya:

Titik x = 0 termasuk dalam interval yang ditentukan dalam kondisi.

Kami menghitung nilai fungsi di titik –3, 0 dan 3:

Nilai terkecil dari fungsi tersebut adalah 0.

Jawaban: 0

77429. Tentukan nilai terkecil fungsi y = x 3 – 2x 2 + x +3 pada ruas tersebut.

Mari kita cari turunan dari fungsi yang diberikan:

3x 2 – 4x + 1 = 0

Kita mendapatkan akar-akarnya: x 1 = 1 x 1 = 1/3.

Interval yang ditentukan dalam kondisi hanya berisi x = 1.

Mari kita cari nilai fungsi di titik 1 dan 4:

Kami menemukan bahwa nilai terkecil dari fungsi tersebut adalah 3.

Jawaban: 3

77430. Tentukan nilai terbesar fungsi y = x 3 + 2x 2 + x + 3 pada ruas [– 4; –1].

Mari kita cari turunan dari fungsi yang diberikan:

Mari kita cari angka nol dari turunannya dan selesaikan persamaan kuadratnya:

3x 2 + 4x + 1 = 0

Mari kita lihat akarnya:

Akar x = –1 termasuk dalam interval yang ditentukan dalam kondisi.

Kita mencari nilai fungsi di titik –4, –1, –1/3 dan 1:

Kami menemukan bahwa nilai terbesar dari fungsi tersebut adalah 3.

Jawaban: 3

77433. Tentukan nilai terkecil fungsi y = x 3 – x 2 – 40x +3 pada ruas tersebut.

Mari kita cari turunan dari fungsi yang diberikan:

Mari kita cari angka nol dari turunannya dan selesaikan persamaan kuadratnya:

3x 2 – 2x – 40 = 0

Mari kita lihat akarnya:

Interval yang ditentukan dalam kondisi berisi akar x = 4.

Temukan nilai fungsi di titik 0 dan 4:

Kami menemukan bahwa nilai terkecil dari fungsi tersebut adalah –109.

Jawaban: –109

Mari kita perhatikan cara menentukan nilai fungsi terbesar dan terkecil tanpa turunan. Pendekatan ini dapat digunakan jika Anda mempunyai masalah besar dalam menentukan turunannya. Prinsipnya sederhana - kami mengganti semua nilai bilangan bulat dari interval ke dalam fungsi (faktanya adalah bahwa dalam semua prototipe jawabannya adalah bilangan bulat).

77437. Tentukan nilai terkecil dari fungsi y=7+12x–x 3 pada ruas [–2;2].

Poin pengganti dari –2 ke 2: Lihat solusi

77434. Tentukan nilai terbesar dari fungsi y=x 3 + 2x 2 – 4x + 4 pada ruas [–2;0].

Itu saja. Semoga beruntung untukmu!

Hormat kami, Alexander Krutitskikh.

P.S: Saya akan berterima kasih jika Anda memberi tahu saya tentang situs ini di jejaring sosial.