ความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์
นักพนันมืออาชีพจะต้องมีความเข้าใจเรื่องอัตราต่อรองเป็นอย่างดี รวดเร็ว และถูกต้อง ประมาณการความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ด้วยค่าสัมประสิทธิ์และถ้าจำเป็นก็สามารถทำได้ แปลงอัตราต่อรองจากรูปแบบหนึ่งไปอีกรูปแบบหนึ่ง- ในคู่มือนี้ เราจะพูดถึงประเภทของสัมประสิทธิ์ที่มีอยู่ และใช้ตัวอย่างเพื่อแสดงวิธีที่คุณสามารถทำได้ คำนวณความน่าจะเป็นโดยใช้ค่าสัมประสิทธิ์ที่ทราบและในทางกลับกัน
มีอัตราต่อรองประเภทใดบ้าง?
มีอัตราต่อรองหลักสามประเภทที่เจ้ามือรับแทงเสนอให้ผู้เล่น: อัตราต่อรองทศนิยม, อัตราต่อรองแบบเศษส่วน(ภาษาอังกฤษ) และ อัตราต่อรองแบบอเมริกัน - อัตราต่อรองที่พบบ่อยที่สุดในยุโรปคือทศนิยม ใน ทวีปอเมริกาเหนืออัตราต่อรองแบบอเมริกันเป็นที่นิยม อัตราต่อรองแบบเศษส่วนมีมากที่สุด ดูแบบดั้งเดิมจะแสดงข้อมูลทันทีว่าคุณต้องเดิมพันเท่าใดจึงจะได้รับจำนวนหนึ่ง
อัตราต่อรองทศนิยม
ทศนิยมหรือเรียกอีกอย่างว่า อัตราต่อรองยุโรปคือรูปแบบตัวเลขที่คุ้นเคยซึ่งแสดงโดย ทศนิยมแม่นยำถึงหลักร้อย และบางครั้งก็ถึงหลักพันด้วยซ้ำ ตัวอย่างของเลขคี่ทศนิยมคือ 1.91 การคำนวณกำไรในกรณีของอัตราต่อรองทศนิยมนั้นง่ายมาก คุณเพียงแค่ต้องคูณจำนวนเงินเดิมพันของคุณด้วยอัตราต่อรองนี้ ตัวอย่างเช่น ในการแข่งขัน “แมนเชสเตอร์ยูไนเต็ด” - “อาร์เซนอล” ชัยชนะของ “แมนเชสเตอร์ยูไนเต็ด” ถูกกำหนดโดยค่าสัมประสิทธิ์ 2.05 เสมอกันโดยประมาณด้วยค่าสัมประสิทธิ์ 3.9 และชัยชนะของ “อาร์เซนอล” เท่ากับ 2.95. สมมติว่าเรามั่นใจว่ายูไนเต็ดจะชนะและเราเดิมพัน 1,000 ดอลลาร์กับพวกเขา จากนั้นรายได้ที่เป็นไปได้ของเราจะถูกคำนวณดังนี้:
2.05 * $1000 = $2050;
มันไม่ได้ซับซ้อนขนาดนั้นจริงๆ ใช่ไหม! รายได้ที่เป็นไปได้จะคำนวณในลักษณะเดียวกันเมื่อเดิมพันผลเสมอหรือชัยชนะของอาร์เซนอล
วาด: 3.9 * $1000 = $3900;
อาร์เซนอลชนะ: 2.95 * $1000 = $2950;
จะคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์โดยใช้อัตราต่อรองทศนิยมได้อย่างไร?
ตอนนี้ลองจินตนาการว่าเราจำเป็นต้องกำหนดความน่าจะเป็นของเหตุการณ์โดยพิจารณาจากอัตราต่อรองทศนิยมที่กำหนดโดยเจ้ามือรับแทง นี่ก็ทำได้ง่ายมาก เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราหารหนึ่งด้วยสัมประสิทธิ์นี้
ลองใช้ข้อมูลที่มีอยู่แล้วคำนวณความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์:
แมนเชสเตอร์ ยูไนเต็ด ชนะ: 1 / 2.05 = 0,487 = 48,7%;
วาด: 1 / 3.9 = 0,256 = 25,6%;
อาร์เซนอลชนะ: 1 / 2.95 = 0,338 = 33,8%;
อัตราต่อรองแบบเศษส่วน (อังกฤษ)
ตามที่ชื่อแนะนำ สัมประสิทธิ์เศษส่วน นำเสนอ เศษส่วนสามัญ- ตัวอย่างอัตราต่อรองภาษาอังกฤษคือ 5/2 ตัวเศษของเศษส่วนประกอบด้วยตัวเลขที่เป็นจำนวนเงินที่เป็นไปได้ของเงินรางวัลสุทธิ และตัวส่วนประกอบด้วยตัวเลขที่ระบุจำนวนเงินที่ต้องเดิมพันเพื่อที่จะได้รับเงินรางวัลนี้ พูดง่ายๆ ก็คือ เราต้องเดิมพัน 2 ดอลลาร์เพื่อรับรางวัล 5 ดอลลาร์ อัตราต่อรอง 3/2 หมายความว่าเพื่อที่จะได้รับ $3 ในการชนะสุทธิ เราจะต้องเดิมพัน $2
จะคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์โดยใช้อัตราต่อรองแบบเศษส่วนได้อย่างไร?
การคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์โดยใช้อัตราต่อรองแบบเศษส่วนนั้นไม่ใช่เรื่องยาก คุณเพียงแค่ต้องหารตัวส่วนด้วยผลรวมของตัวเศษและตัวส่วน
สำหรับเศษส่วน 5/2 เราคำนวณความน่าจะเป็น: 2 / (5+2) = 2 / 7 = 0,28 = 28%;
สำหรับเศษส่วน 3/2 เราคำนวณความน่าจะเป็น:
อัตราต่อรองแบบอเมริกัน
อัตราต่อรองแบบอเมริกันไม่เป็นที่นิยมในยุโรป แต่เป็นอย่างมากในอเมริกาเหนือ บางทีค่าสัมประสิทธิ์ประเภทนี้อาจซับซ้อนที่สุด แต่นี่เป็นเพียงการมองแวบแรกเท่านั้น ที่จริงแล้วไม่มีอะไรซับซ้อนในสัมประสิทธิ์ประเภทนี้ ทีนี้ลองคิดดูตามลำดับ
คุณสมบัติหลักของอัตราต่อรองแบบอเมริกันก็คือสามารถเป็นได้ทั้ง เชิงบวก, ดังนั้น เชิงลบ- ตัวอย่างอัตราต่อรองอเมริกัน - (+150), (-120) อัตราต่อรองแบบอเมริกัน (+150) หมายความว่าเพื่อที่จะได้รับ $150 เราจำเป็นต้องเดิมพัน $100 กล่าวอีกนัยหนึ่ง ค่าสัมประสิทธิ์อเมริกันที่เป็นบวกสะท้อนถึงกำไรสุทธิที่เป็นไปได้ที่เดิมพัน $100 อัตราต่อรองอเมริกันที่เป็นลบสะท้อนถึงจำนวนเงินเดิมพันที่ต้องทำเพื่อที่จะได้รับเงินรางวัลสุทธิ 100 ดอลลาร์ ตัวอย่างเช่น ค่าสัมประสิทธิ์ (-120) บอกเราว่าการเดิมพัน $120 เราจะชนะ $100
จะคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์โดยใช้อัตราต่อรองอเมริกันได้อย่างไร?
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ใช้สัมประสิทธิ์อเมริกันคำนวณโดยใช้สูตรต่อไปนี้:
(-(ม)) / ((-(ม)) + 100), โดยที่ M คือสัมประสิทธิ์อเมริกันที่เป็นลบ
100/(ป+100), โดยที่ P คือสัมประสิทธิ์อเมริกันที่เป็นบวก
ตัวอย่างเช่น เรามีสัมประสิทธิ์ (-120) จากนั้นความน่าจะเป็นจะคำนวณดังนี้:
(-(ม)) / ((-(ม)) + 100); แทนที่ค่า (-120) สำหรับ "M";
(-(-120)) / ((-(-120)) + 100 = 120 / (120 + 100) = 120 / 220 = 0,545 = 54,5%;
ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่มีอัตราต่อรองอเมริกัน (-120) คือ 54.5%
ตัวอย่างเช่น เรามีสัมประสิทธิ์ (+150) จากนั้นความน่าจะเป็นจะคำนวณดังนี้:
100/(ป+100); แทนที่ค่า (+150) สำหรับ "P";
100 / (150 + 100) = 100 / 250 = 0,4 = 40%;
ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่มีอัตราต่อรองอเมริกัน (+150) คือ 40%
เมื่อรู้เปอร์เซ็นต์ของความน่าจะเป็น จะแปลงเป็นค่าสัมประสิทธิ์ทศนิยมได้อย่างไร
ในการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ทศนิยมตามเปอร์เซ็นต์ของความน่าจะเป็นที่ทราบ คุณต้องหาร 100 ด้วยความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เป็นเปอร์เซ็นต์ ตัวอย่างเช่น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์คือ 55% ดังนั้นค่าสัมประสิทธิ์ทศนิยมของความน่าจะเป็นนี้จะเท่ากับ 1.81
100 / 55% = 1,81
การรู้เปอร์เซ็นต์ของความน่าจะเป็นจะแปลงเป็นสัมประสิทธิ์เศษส่วนได้อย่างไร
ในการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์เศษส่วนตามเปอร์เซ็นต์ของความน่าจะเป็นที่ทราบ คุณต้องลบค่าหนึ่งจากการหาร 100 ด้วยความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งๆ เป็นเปอร์เซ็นต์ เช่น หากเรามีเปอร์เซ็นต์ความน่าจะเป็น 40% ค่าสัมประสิทธิ์เศษส่วนของความน่าจะเป็นนี้จะเท่ากับ 3/2
(100 / 40%) - 1 = 2,5 - 1 = 1,5;
ค่าสัมประสิทธิ์เศษส่วนคือ 1.5/1 หรือ 3/2
เมื่อทราบเปอร์เซ็นต์ของความน่าจะเป็นแล้ว จะแปลงมันเป็นสัมประสิทธิ์แบบอเมริกันได้อย่างไร
หากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์มากกว่า 50% การคำนวณจะทำโดยใช้สูตร:
- ((วี) / (100 - โวลต์)) * 100, โดยที่ V คือความน่าจะเป็น
ตัวอย่างเช่น หากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์คือ 80% ค่าสัมประสิทธิ์ความน่าจะเป็นแบบอเมริกันจะเท่ากับ (-400)
- (80 / (100 - 80)) * 100 = - (80 / 20) * 100 = - 4 * 100 = (-400);
หากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์น้อยกว่า 50% การคำนวณจะทำโดยใช้สูตร:
((100 - โวลต์) / โวลต์) * 100, โดยที่ V คือความน่าจะเป็น
ตัวอย่างเช่น หากเรามีเปอร์เซ็นต์ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ 20% ค่าสัมประสิทธิ์ความน่าจะเป็นแบบอเมริกันจะเท่ากับ (+400)
((100 - 20) / 20) * 100 = (80 / 20) * 100 = 4 * 100 = 400;
จะแปลงค่าสัมประสิทธิ์เป็นรูปแบบอื่นได้อย่างไร?
มีหลายครั้งที่จำเป็นต้องแปลงอัตราต่อรองจากรูปแบบหนึ่งไปเป็นอีกรูปแบบหนึ่ง ตัวอย่างเช่น เรามีอัตราต่อรองแบบเศษส่วนเป็น 3/2 และเราต้องแปลงเป็นทศนิยม ในการแปลงอัตราต่อรองแบบเศษส่วนให้เป็นอัตราต่อรองแบบทศนิยม ก่อนอื่นเราจะกำหนดความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ด้วยอัตราต่อรองแบบเศษส่วน จากนั้นจึงแปลงความน่าจะเป็นนี้เป็นอัตราต่อรองแบบทศนิยม
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่มีอัตราต่อรองเป็นเศษส่วน 3/2 คือ 40%
2 / (3+2) = 2 / 5 = 0,4 = 40%;
ทีนี้มาแปลงความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ให้เป็นค่าสัมประสิทธิ์ทศนิยม โดยหาร 100 ด้วยความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เป็นเปอร์เซ็นต์:
100 / 40% = 2.5;
ดังนั้น อัตราต่อรองเศษส่วนของ 3/2 จึงเท่ากับ ค่าสัมประสิทธิ์ทศนิยม 2.5. ในทำนองเดียวกัน ตัวอย่างเช่น อัตราต่อรองอเมริกันจะถูกแปลงเป็นเศษส่วน ทศนิยมเป็นอเมริกัน ฯลฯ สิ่งที่ยากที่สุดในทั้งหมดนี้เป็นเพียงการคำนวณเท่านั้น
นำมาถึงวันที่ใน เปิดขวดปัญหาการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ (mathege.ru) วิธีแก้ปัญหานั้นใช้สูตรเดียวเท่านั้นคือ คำจำกัดความแบบคลาสสิกความน่าจะเป็น
วิธีที่ง่ายที่สุดในการทำความเข้าใจสูตรคือการใช้ตัวอย่าง
ตัวอย่างที่ 1ในตระกร้ามีลูกบอลสีแดง 9 ลูกและสีน้ำเงิน 3 ลูก ลูกบอลต่างกันแค่สีเท่านั้น เราสุ่มหยิบหนึ่งในนั้นออกมา (โดยไม่ดู) ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลที่เลือกในลักษณะนี้จะเป็นสีน้ำเงินเป็นเท่าใด?
ความคิดเห็นในปัญหาในทฤษฎีความน่าจะเป็น มีบางอย่างเกิดขึ้น (ใน ในกรณีนี้การกระทำของเราในการดึงลูกบอลออกมา) ซึ่งอาจให้ผลลัพธ์ที่แตกต่าง - ผลลัพธ์ ควรสังเกตว่าผลลัพธ์สามารถดูได้หลายวิธี “เราดึงบอลออกมาบ้าง” ก็เป็นผลเช่นกัน “ เราดึงลูกบอลสีน้ำเงินออกมา” - ผลลัพธ์ “เราดึงลูกบอลนี้ออกมาจากลูกบอลที่เป็นไปได้ทั้งหมด” - มุมมองทั่วไปน้อยที่สุดของผลลัพธ์นี้เรียกว่าผลลัพธ์เบื้องต้น เป็นผลลัพธ์เบื้องต้นที่มีความหมายในสูตรการคำนวณความน่าจะเป็น
สารละลาย.ทีนี้ มาคำนวณความน่าจะเป็นในการเลือกลูกบอลสีน้ำเงินกัน
เหตุการณ์ A: “ลูกบอลที่เลือกกลายเป็นสีน้ำเงิน”
จำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด: 9+3=12 (จำนวนลูกบอลทั้งหมดที่เราสุ่มได้)
จำนวนผลลัพธ์ที่ดีสำหรับเหตุการณ์ A: 3 (จำนวนผลลัพธ์ที่เหตุการณ์ A เกิดขึ้น - นั่นคือจำนวนลูกบอลสีน้ำเงิน)
P(ก)=3/12=1/4=0.25
คำตอบ: 0.25
สำหรับปัญหาเดียวกัน ลองคำนวณความน่าจะเป็นในการเลือกลูกบอลสีแดง
จำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดจะยังคงเท่าเดิม 12 จำนวนผลลัพธ์ที่น่าพึงพอใจ: 9 ความน่าจะเป็นที่ต้องการ: 9/12=3/4=0.75
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆ อยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 เสมอ
บางครั้งเข้า คำพูดในชีวิตประจำวัน(แต่ไม่ใช่ในทฤษฎีความน่าจะเป็น!) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จะประมาณเป็นเปอร์เซ็นต์ การเปลี่ยนแปลงระหว่างคะแนนคณิตศาสตร์และคะแนนการสนทนาทำได้โดยการคูณ (หรือหาร) ด้วย 100%
ดังนั้น,
ยิ่งไปกว่านั้น ความน่าจะเป็นเป็นศูนย์สำหรับเหตุการณ์ที่ไม่สามารถเกิดขึ้นได้ - เหลือเชื่อมาก ตัวอย่างเช่น ในตัวอย่างของเรา ค่านี้คือความน่าจะเป็นที่จะหยิบลูกบอลสีเขียวออกจากตะกร้า (จำนวนผลลัพธ์ที่น่าพึงพอใจคือ 0, P(A)=0/12=0 หากคำนวณโดยใช้สูตร)
ความน่าจะเป็นที่ 1 มีเหตุการณ์ที่จะเกิดขึ้นอย่างแน่นอนโดยไม่มีทางเลือก ตัวอย่างเช่น ความน่าจะเป็นที่ “ลูกบอลที่เลือกจะเป็นสีแดงหรือสีน้ำเงิน” เป็นงานของเรา (จำนวนผลลัพธ์ที่ดี: 12, P(A)=12/12=1)
เราดูตัวอย่างคลาสสิกที่แสดงให้เห็นถึงคำจำกัดความของความน่าจะเป็น ปัญหาที่คล้ายกันทั้งหมดของการสอบ Unified State ในทฤษฎีความน่าจะเป็นได้รับการแก้ไขโดยใช้สูตรนี้
แทนที่ลูกบอลสีแดงและสีน้ำเงิน อาจมีแอปเปิ้ลและลูกแพร์ เด็กชายและเด็กหญิง ตั๋วเรียนรู้และไม่ได้รับการเรียนรู้ ตั๋วที่มีและไม่มีคำถามในบางหัวข้อ (ต้นแบบ) กระเป๋าหรือปั๊มสวนที่มีข้อบกพร่องและมีคุณภาพสูง (ต้นแบบ ,) - หลักการยังคงเหมือนเดิม
พวกเขาแตกต่างกันเล็กน้อยในการกำหนดปัญหาของทฤษฎีความน่าจะเป็นของ Unified State Examination ซึ่งคุณต้องคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์บางอย่างที่เกิดขึ้นในวันใดวันหนึ่ง ( , ) เช่นเดียวกับปัญหาก่อนหน้านี้ คุณต้องพิจารณาว่าผลลัพธ์เบื้องต้นคืออะไร จากนั้นจึงใช้สูตรเดียวกัน
ตัวอย่างที่ 2การประชุมใช้เวลาสามวัน ในวันแรกและวันที่สองมีวิทยากร 15 คน ในวันที่สาม - 20 ความน่าจะเป็นที่รายงานของศาสตราจารย์เอ็มจะตกในวันที่สามคือเท่าใดหากลำดับของรายงานถูกกำหนดโดยการจับฉลาก
ผลลัพธ์เบื้องต้นที่นี่คืออะไร? – การมอบหมายรายงานของอาจารย์เป็นหนึ่งในความเป็นไปได้ทั้งหมด หมายเลขซีเรียลสำหรับการแสดง 15+15+20=50 คนเข้าร่วมการจับรางวัล ดังนั้นรายงานของศาสตราจารย์เอ็มอาจได้รับ 1 ใน 50 ประเด็น ซึ่งหมายความว่าผลลัพธ์เบื้องต้นมีเพียง 50 รายการเท่านั้น
ผลลัพธ์ที่ดีคืออะไร? - ปรากฎว่าอาจารย์จะพูดในวันที่สาม นั่นก็คือเลข 20 ตัวสุดท้าย
ตามสูตร ความน่าจะเป็น P(A)= 20/50=2/5=4/10=0.4
คำตอบ: 0.4
การจับสลากที่นี่แสดงถึงการสร้างการติดต่อแบบสุ่มระหว่างผู้คนกับสถานที่ที่เป็นระเบียบ ในตัวอย่างที่ 2 การจัดตั้งการติดต่อทางจดหมายได้รับการพิจารณาจากมุมมองของสถานที่ที่สามารถดำเนินการได้ บุคคลที่เฉพาะเจาะจง- คุณสามารถเข้าใกล้สถานการณ์เดียวกันได้จากอีกด้านหนึ่ง: คนใดที่มีความน่าจะเป็นมากพอที่จะไปยังสถานที่เฉพาะได้ (ต้นแบบ , , , ):
ตัวอย่างที่ 3การจับสลากประกอบด้วยชาวเยอรมัน 5 คน ฝรั่งเศส 8 คน และเอสโตเนีย 3 คน ความน่าจะเป็นที่คนแรก (/วินาที/เจ็ด/สุดท้าย – ไม่สำคัญ) จะเป็นชาวฝรั่งเศสคืออะไร
จำนวนผลลัพธ์เบื้องต้น – จำนวนทั้งหมด คนที่เป็นไปได้ซึ่งสามารถมาที่นี่ได้ด้วยการจับสลาก 5+8+3=16 คน
ผลลัพธ์ที่น่าพึงพอใจ - ฝรั่งเศส. 8 คน.
ความน่าจะเป็นที่ต้องการ: 8/16=1/2=0.5
คำตอบ: 0.5
ต้นแบบมีความแตกต่างกันเล็กน้อย ยังคงมีปัญหาเกี่ยวกับเหรียญ () และลูกเต๋า () ซึ่งค่อนข้างสร้างสรรค์มากกว่า วิธีแก้ไขปัญหาเหล่านี้สามารถพบได้ในหน้าต้นแบบ
ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างของการโยนเหรียญหรือลูกเต๋า
ตัวอย่างที่ 4เมื่อเราโยนเหรียญ ความน่าจะเป็นที่จะตกหัวเป็นเท่าไร?
ผลลัพธ์มี 2 แบบ หัวหรือก้อย (เชื่อกันว่าเหรียญไม่เคยตกขอบ) ผลลัพธ์ที่ดีคือก้อย 1.
ความน่าจะเป็น 1/2=0.5
คำตอบ: 0.5
ตัวอย่างที่ 5จะเป็นอย่างไรถ้าเราโยนเหรียญสองครั้ง? ความน่าจะเป็นที่จะขึ้นหัวทั้งสองครั้งเป็นเท่าใด?
สิ่งสำคัญคือการกำหนดผลลัพธ์เบื้องต้นที่เราจะพิจารณาเมื่อโยนเหรียญสองเหรียญ หลังจากโยนเหรียญสองเหรียญ ผลลัพธ์อย่างใดอย่างหนึ่งต่อไปนี้อาจเกิดขึ้นได้:
1) PP – ทั้งสองครั้งมันโผล่ขึ้นมา
2) PO – หัวครั้งแรก, หัวครั้งที่สอง
3) OP – ขึ้นหัวครั้งแรก และก้อยในครั้งที่สอง
4) OO – ขึ้นหัวทั้งสองครั้ง
ไม่มีทางเลือกอื่น ซึ่งหมายความว่ามีผลเบื้องต้น 4 ประการเท่านั้น
ความน่าจะเป็น: 1/4=0.25
คำตอบ: 0.25
ความน่าจะเป็นที่โยนเหรียญสองครั้งจะทำให้เกิดก้อยเป็นเท่าใด?
จำนวนผลเบื้องต้นเท่ากัน 4 ผลดีผลที่ 2 และ 3 2.
ความน่าจะเป็นที่จะได้หนึ่งหาง: 2/4=0.5
ในปัญหาดังกล่าว อาจใช้สูตรอื่นได้
หากในระหว่างการโยนเหรียญครั้งหนึ่ง ตัวเลือกที่เป็นไปได้เรามีผลลัพธ์ 2 รายการ จากนั้นสำหรับการโยนสองครั้ง ผลลัพธ์จะเป็น 2 2 = 2 2 = 4 (ดังตัวอย่างที่ 5) สำหรับการโยนสามครั้ง 2 2 2 = 2 3 = 8 สำหรับสี่: 2 2 2 2 =2 4 = 16, ... สำหรับ N พ่นผลลัพธ์ที่เป็นไปได้จะเป็น 2·2·...·2=2 N
ดังนั้น คุณจะพบความน่าจะเป็นที่จะได้หัว 5 ครั้งจากการโยนเหรียญ 5 ครั้ง
จำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นทั้งหมด: 2 5 =32
ผลลัพธ์ที่ดี: 1. (RRRRRR – โหม่งทั้ง 5 ครั้ง)
ความน่าจะเป็น: 1/32=0.03125
เช่นเดียวกับลูกเต๋า ในการโยนครั้งเดียว จะมีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ 6 แบบ ดังนั้น สำหรับการโยนสองครั้ง: 6 6 = 36 สำหรับสามครั้ง 6 6 6 = 216 เป็นต้น
ตัวอย่างที่ 6เราโยนลูกเต๋า ความน่าจะเป็นที่เลขคู่จะถูกทอยคือเท่าไร?
ผลลัพธ์รวม: 6 ตามจำนวนข้าง
ดี: 3 ผลลัพธ์ (2, 4, 6)
ความน่าจะเป็น: 3/6=0.5
ตัวอย่างที่ 7เราโยนลูกเต๋าสองลูก ความน่าจะเป็นที่ผลรวมจะเป็น 10 เป็นเท่าไหร่? (ปัดเศษเป็นร้อยที่ใกล้ที่สุด)
สำหรับการตาย 1 ครั้ง มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ 6 แบบ ซึ่งหมายความว่าสำหรับสองตามกฎข้างต้น 6·6=36
ผลลัพธ์อะไรจะดีสำหรับผลรวมที่จะหมุน 10?
10 จะต้องแยกย่อยเป็นผลรวมของตัวเลขสองตัวตั้งแต่ 1 ถึง 6 ซึ่งสามารถทำได้สองวิธี: 10=6+4 และ 10=5+5 ซึ่งหมายความว่าอ็อพชันต่อไปนี้เป็นไปได้สำหรับคิวบ์:
(6 ในครั้งแรกและ 4 ในครั้งที่สอง)
(4 ในครั้งแรกและ 6 ในครั้งที่สอง)
(5 ในครั้งแรกและ 5 ในวินาที)
ทั้งหมด 3 ตัวเลือก ความน่าจะเป็นที่ต้องการ: 3/36=1/12=0.08
คำตอบ: 0.08
ปัญหา B6 ประเภทอื่นๆ จะมีการหารือในบทความวิธีแก้ปัญหาในอนาคต
เรามาพูดถึงหัวข้อที่เป็นที่สนใจของผู้คนจำนวนมากกันดีกว่า ในบทความนี้ ฉันจะตอบคำถามว่าจะคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อย่างไร ฉันจะให้สูตรสำหรับการคำนวณและตัวอย่างต่างๆ เพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้นว่าทำอย่างไร
ความน่าจะเป็นคืออะไร
เริ่มจากข้อเท็จจริงที่ว่าความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์นี้หรือเหตุการณ์นั้นจะเกิดขึ้นคือความเชื่อมั่นจำนวนหนึ่งในผลลัพธ์บางอย่างที่เกิดขึ้นในที่สุด สำหรับการคำนวณนี้ได้มีการพัฒนาสูตรขึ้นมา ความน่าจะเป็นเต็มซึ่งช่วยให้คุณกำหนดได้ว่าเหตุการณ์ที่คุณสนใจจะเกิดขึ้นหรือไม่ ผ่านสิ่งที่เรียกว่าความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข สูตรนี้มีลักษณะดังนี้: P = n/m ตัวอักษรสามารถเปลี่ยนแปลงได้ แต่ไม่ส่งผลกระทบต่อสาระสำคัญ
ตัวอย่างความน่าจะเป็น
ใช้ตัวอย่างง่ายๆ มาวิเคราะห์สูตรนี้และนำไปใช้กัน สมมติว่าคุณมีเหตุการณ์หนึ่ง (P) ปล่อยให้เป็นการโยนลูกเต๋า นั่นคือ การตายด้านเท่ากันหมด และเราต้องคำนวณว่าความน่าจะเป็นที่จะได้ 2 แต้มเป็นเท่าไหร่. ในการทำเช่นนี้ คุณต้องมีจำนวนเหตุการณ์เชิงบวก (n) ในกรณีของเรา - เสีย 2 คะแนน เปิด จำนวนทั้งหมดเหตุการณ์ (ม.) การทอย 2 แต้มจะเกิดขึ้นได้ในกรณีเดียวเท่านั้น ถ้ามี 2 แต้มบนลูกเต๋า เพราะไม่เช่นนั้นผลรวมจะมากกว่าจึงตามมาว่า n = 1 ต่อไปเราจะนับจำนวนทอยของตัวเลขอื่นๆ บน ลูกเต๋าต่อ 1 ลูกเต๋า - เหล่านี้คือ 1, 2, 3, 4, 5 และ 6 ดังนั้นจึงมี 6 กรณีที่ดีนั่นคือ m = 6 ตอนนี้เมื่อใช้สูตรเราทำการคำนวณอย่างง่าย ๆ P = 1/ 6 และเราพบว่าการทอยลูกเต๋า 2 แต้มคือ 1/6 นั่นคือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นั้นต่ำมาก
ลองดูตัวอย่างการใช้ลูกบอลสีที่อยู่ในกล่อง: สีขาว 50 ลูก สีดำ 40 ลูก และสีเขียว 30 ลูก คุณต้องกำหนดความน่าจะเป็นในการจั่วลูกบอลสีเขียว ดังนั้น เนื่องจากมีลูกบอลสีนี้ 30 ลูก กล่าวคือ สามารถมีเหตุการณ์เชิงบวกได้เพียง 30 เหตุการณ์ (n = 30) จำนวนเหตุการณ์ทั้งหมดคือ 120, m = 120 (ขึ้นอยู่กับจำนวนรวมของลูกบอลทั้งหมด) โดยใช้สูตรที่เราคำนวณว่าความน่าจะเป็นในการจั่วลูกบอลสีเขียวจะเท่ากับ P = 30/120 = 0.25 นั่นคือ 25% ของ 100 ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถคำนวณความน่าจะเป็นในการจั่วลูกบอลที่มี สีที่แตกต่าง (สีดำจะเป็น 33%, สีขาว 42%)
ความน่าจะเป็น- ตัวเลขระหว่าง 0 ถึง 1 ที่แสดงถึงโอกาสที่เหตุการณ์สุ่มจะเกิดขึ้น โดยที่ 0 คือ การขาดงานโดยสมบูรณ์ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น และ 1 หมายความว่าเหตุการณ์ที่เป็นปัญหาจะเกิดขึ้นอย่างแน่นอน
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E คือตัวเลขตั้งแต่ 1
ผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดร่วมกันจะเท่ากับ 1
ความน่าจะเป็นเชิงประจักษ์- ความน่าจะเป็นซึ่งคำนวณเป็นความถี่สัมพัทธ์ของเหตุการณ์ในอดีต ที่ดึงมาจากการวิเคราะห์ข้อมูลในอดีต
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่หายากมากไม่สามารถคำนวณเชิงประจักษ์ได้
ความน่าจะเป็นแบบอัตนัย- ความน่าจะเป็นขึ้นอยู่กับส่วนบุคคล การประเมินอัตนัยเหตุการณ์โดยไม่คำนึงถึงข้อมูลทางประวัติศาสตร์ นักลงทุนที่ตัดสินใจซื้อและขายหุ้นมักจะพิจารณาจากความน่าจะเป็นเชิงอัตนัย
ความน่าจะเป็นก่อนหน้า -
โอกาสคือ 1 ใน... (odds) ที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้นผ่านแนวคิดเรื่องความน่าจะเป็น โอกาสที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้นจะแสดงออกมาด้วยความน่าจะเป็นดังนี้ P/(1-P)
เช่น ถ้าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์คือ 0.5 โอกาสของเหตุการณ์จะเป็น 1 ใน 2 เพราะ 0.5/(1-0.5)
โอกาสที่เหตุการณ์จะไม่เกิดขึ้นคำนวณโดยใช้สูตร (1-P)/P
ความน่าจะเป็นที่ไม่สอดคล้องกัน- เช่น ราคาหุ้นของบริษัท A คิดเป็น 85% เหตุการณ์ที่เป็นไปได้ E และในราคาหุ้นบริษัท B เพียง 50% สิ่งนี้เรียกว่าความน่าจะเป็นที่ไม่สอดคล้องกัน ตามทฤษฎีบทการเดิมพันของชาวดัตช์ ความน่าจะเป็นที่ไม่สอดคล้องกันจะสร้างโอกาสในการทำกำไร
ความน่าจะเป็นแบบไม่มีเงื่อนไขคือคำตอบของคำถาม “ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้นเป็นเท่าใด”
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข- นี่คือคำตอบของคำถาม: “ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A คืออะไร หากเหตุการณ์ B เกิดขึ้น” ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขแสดงเป็น P(A|B)
ความน่าจะเป็นร่วมกัน- ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A และ B จะเกิดขึ้นพร้อมกัน แสดงเป็น P(AB)
P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)
P(AB) = P(A|B)*P(B)
กฎสำหรับการสรุปความน่าจะเป็น:
ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A หรือเหตุการณ์ B จะเกิดขึ้นคือ
P (A หรือ B) = P(A) + P(B) - P(AB) (2)
ถ้าเหตุการณ์ A และ B เกิดขึ้นจากกัน
P (A หรือ B) = P(A) + P(B)
เหตุการณ์อิสระ- เหตุการณ์ A และ B เป็นอิสระต่อกัน ถ้า
P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B)
นั่นคือเป็นลำดับผลลัพธ์โดยที่ค่าความน่าจะเป็นคงที่จากเหตุการณ์หนึ่งไปอีกเหตุการณ์หนึ่ง
การโยนเหรียญเป็นตัวอย่างหนึ่งของเหตุการณ์ดังกล่าว - ผลลัพธ์ของการโยนครั้งต่อไปในแต่ละครั้งไม่ได้ขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ของการโยนครั้งก่อน
เหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพา- เหตุการณ์เหล่านี้เป็นเหตุการณ์ที่ความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์หนึ่งขึ้นอยู่กับความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์อื่น
กฎสำหรับการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ:
ถ้าเหตุการณ์ A และ B เป็นอิสระต่อกัน
ป(AB) = ป(ก) * ป(B) (3)
กฎความน่าจะเป็นทั้งหมด:
P(A) = P(AS) + P(AS") = P(A|S")P(S) + P (A|S")P(S") (4)
S และ S" เป็นเหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกัน
มูลค่าที่คาดหวังตัวแปรสุ่มคือค่าเฉลี่ยของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ ตัวแปรสุ่ม- สำหรับเหตุการณ์ X ความคาดหวังจะแสดงเป็น E(X)
สมมติว่าเรามี 5 ค่าของเหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกันค ความน่าจะเป็นบางอย่าง(ตัวอย่างเช่น รายได้ของบริษัทมีจำนวนดังกล่าวและจำนวนดังกล่าวที่มีความน่าจะเป็นดังกล่าว) ค่าที่คาดหวังคือผลรวมของผลลัพธ์ทั้งหมดคูณด้วยความน่าจะเป็น:
การกระจายตัวของตัวแปรสุ่มคือค่าคาดหวังของการเบี่ยงเบนกำลังสองของตัวแปรสุ่มจากค่าที่คาดไว้:
ส 2 = อี( 2 ) (6)
ค่าคาดหวังแบบมีเงื่อนไข - ค่าคาดหวังของตัวแปรสุ่ม X โดยมีเงื่อนไขว่าเหตุการณ์ S เกิดขึ้นแล้ว
ในบล็อกของฉัน มีการแปลการบรรยายครั้งต่อไปของหลักสูตร "หลักการแห่งความสมดุลของเกม" โดยนักออกแบบเกม Jan Schreiber ซึ่งทำงานในโปรเจ็กต์ต่างๆ เช่น Marvel Trading Card Game และ Playboy: the Mansion
จนถึงตอนนี้ เกือบทุกสิ่งที่เราได้พูดถึงนั้นถูกกำหนดไว้แล้ว และเมื่อสัปดาห์ที่แล้ว เราได้พิจารณากลศาสตร์สกรรมกริยาอย่างละเอียดยิ่งขึ้น โดยลงรายละเอียดให้มากที่สุดเท่าที่ฉันจะอธิบายได้ แต่จนถึงขณะนี้ เรายังไม่ได้ให้ความสนใจกับแง่มุมอื่นของเกมหลายๆ เกม กล่าวคือ แง่มุมที่ไม่สามารถกำหนดได้ หรืออีกนัยหนึ่งก็คือ ความสุ่ม
การทำความเข้าใจธรรมชาติของการสุ่มเป็นสิ่งสำคัญมากสำหรับนักออกแบบเกม เราสร้างระบบที่ส่งผลต่อประสบการณ์ของผู้ใช้ในเกมนั้นๆ ดังนั้นเราจึงจำเป็นต้องรู้ว่าระบบเหล่านั้นทำงานอย่างไร หากมีการสุ่มในระบบ เราจำเป็นต้องเข้าใจธรรมชาติของการสุ่มนี้ และรู้วิธีการเปลี่ยนแปลงเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่เราต้องการ
ลูกเต๋า
มาเริ่มกันด้วยสิ่งง่ายๆ - การขว้างปา ลูกเต๋า- เมื่อคนส่วนใหญ่นึกถึงลูกเต๋า พวกเขานึกถึงลูกเต๋าหกด้านที่เรียกว่า d6 แต่นักเล่นเกมส่วนใหญ่เคยเห็นลูกเต๋าอื่นๆ มากมาย: จัตุรมุข (d4), แปดเหลี่ยม (d8), สิบสองด้าน (d12), ยี่สิบด้าน (d20) หากคุณเป็นพวกคลั่งไคล้จริงๆ คุณอาจมีลูกเต๋า 30 ด้านหรือ 100 ด้านอยู่ที่ไหนสักแห่ง
หากคุณไม่คุ้นเคยกับคำศัพท์เหล่านี้ d ย่อมาจาก die และตัวเลขที่อยู่ข้างหลังคือจำนวนด้านที่มี หากตัวเลขปรากฏก่อน d แสดงว่าจำนวนลูกเต๋าที่จะทอย ตัวอย่างเช่น ในเกม Monopoly คุณหมุน 2d6
ดังนั้นในกรณีนี้ คำว่า "ลูกเต๋า" ก็คือ เครื่องหมาย- มีอยู่ จำนวนมากเครื่องกำเนิดตัวเลขสุ่มอื่น ๆ ที่ดูไม่เหมือนตัวเลขพลาสติก แต่ทำหน้าที่เหมือนกัน - สร้าง หมายเลขสุ่มจาก 1 ถึง n เหรียญธรรมดาสามารถแสดงเป็นลูกเต๋าไดฮีดรัล d2 ได้เช่นกัน
ฉันเห็นลูกเต๋าเจ็ดด้านสองแบบ อันหนึ่งดูเหมือนลูกเต๋า และอันที่สองดูเหมือนลูกเต๋าเจ็ดหน้ามากกว่า ดินสอไม้- จัตุรมุขเดรเดลหรือที่รู้จักกันในชื่อไทโทตัม มีลักษณะคล้ายกับกระดูกจัตุรมุข กระดานลูกศรหมุนใน Chutes & Ladders ซึ่งคะแนนมีตั้งแต่ 1 ถึง 6 สอดคล้องกับลูกเต๋าหกด้าน
เครื่องสร้างตัวเลขสุ่มของคอมพิวเตอร์สามารถสร้างตัวเลขใดๆ ก็ได้ตั้งแต่ 1 ถึง 19 หากผู้ออกแบบระบุ แม้ว่าคอมพิวเตอร์จะไม่มีแม่พิมพ์ที่มี 19 ด้านก็ตาม (โดยทั่วไป ฉันจะพูดถึงความน่าจะเป็นของตัวเลขที่จะเกิดขึ้นบน คอมพิวเตอร์ในสัปดาห์หน้า) รายการทั้งหมดเหล่านี้ดูแตกต่างออกไป แต่ในความเป็นจริงแล้วสิ่งเหล่านั้นเทียบเท่ากัน: คุณมีโอกาสเท่ากันในผลลัพธ์ที่เป็นไปได้แต่ละอย่าง
ลูกเต๋ามีคุณสมบัติที่น่าสนใจที่เราต้องรู้ ประการแรก ความน่าจะเป็นที่จะลงจอดบนหน้าใดหน้าหนึ่งจะเท่ากัน (ฉันสมมติว่าคุณกำลังกลิ้งลูกเต๋ารูปทรงปกติ) หากคุณต้องการทราบค่าเฉลี่ยของม้วน (สำหรับผู้ที่มีความน่าจะเป็นซึ่งเรียกว่าค่าที่คาดหวัง) ให้บวกค่าบนขอบทั้งหมดแล้วหารตัวเลขนั้นด้วยจำนวนขอบ
ผลรวมของค่าของทุกด้านสำหรับแม่พิมพ์หกด้านมาตรฐานคือ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 หาร 21 ด้วยจำนวนด้านและรับค่าเฉลี่ยของม้วน: 21 / 6 = 3.5 นี้ กรณีพิเศษเนื่องจากเราถือว่าผลลัพธ์ทั้งหมดมีโอกาสเท่าเทียมกัน
ถ้าคุณมีลูกเต๋าพิเศษล่ะ? ตัวอย่างเช่น ฉันเห็นเกมลูกเต๋าหกด้านที่มีสติกเกอร์พิเศษอยู่ด้านข้าง: 1, 1, 1, 2, 2, 3 ดังนั้นจึงมีพฤติกรรมเหมือนลูกเต๋าสามด้านแปลก ๆ ที่มีแนวโน้มที่จะทอย 1 มากกว่า 2. และมีแนวโน้มว่าจะทอยได้ 2 มากกว่า 3. ทอยเฉลี่ยของแม่พิมพ์นี้เป็นเท่าใด? ดังนั้น 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 10 หารด้วย 6 - จะได้ 5/3 หรือประมาณ 1.66 ดังนั้น หากคุณมีลูกเต๋าพิเศษและผู้เล่นทอยลูกเต๋าสามลูกแล้วบวกผลลัพธ์ คุณรู้ว่าทอยของพวกเขาจะรวมกันได้ประมาณ 5 และคุณสามารถปรับสมดุลเกมตามสมมติฐานนั้น
ลูกเต๋าและความเป็นอิสระ
ดังที่ผมได้กล่าวไปแล้ว เราดำเนินการตามสมมติฐานที่ว่าแต่ละฝ่ายมีแนวโน้มที่จะหลุดออกไปเท่าๆ กัน ไม่สำคัญว่าคุณจะทอยลูกเต๋ากี่ลูก การทอยลูกเต๋าแต่ละครั้งมีความเป็นอิสระ ซึ่งหมายความว่าการทอยลูกเต๋าครั้งก่อนจะไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์ของการทอยครั้งต่อไป เมื่อทดลองมากพอ คุณจะสังเกตเห็นรูปแบบของตัวเลข เช่น การทอยค่าที่สูงกว่าหรือต่ำกว่าเป็นส่วนใหญ่ หรือคุณสมบัติอื่นๆ แต่นั่นไม่ได้หมายความว่าลูกเต๋าจะ "ร้อน" หรือ "เย็น" เราจะพูดถึงเรื่องนี้ในภายหลัง
หากคุณทอยลูกเต๋าหกด้านมาตรฐานแล้วเลข 6 ขึ้นมาสองครั้งติดกัน ความน่าจะเป็นที่การโยนครั้งถัดไปจะส่งผลให้ได้ 6 เท่ากับ 1/6 พอดี ความน่าจะเป็นจะไม่เพิ่มขึ้นเนื่องจากลูกเต๋า "ร้อนขึ้น" . ในขณะเดียวกัน ความน่าจะเป็นก็ไม่ลดลง: ไม่ถูกต้องโดยให้เหตุผลว่าเลข 6 ขึ้นมาสองครั้งติดต่อกันแล้ว ซึ่งหมายความว่าตอนนี้ต้องมีอีกฝ่ายขึ้นมา
แน่นอน หากคุณทอยลูกเต๋ายี่สิบครั้งและได้ 6 ในแต่ละครั้ง โอกาสที่ยี่สิบครั้งแรกที่คุณทอยลูกเต๋าได้ 6 นั้นค่อนข้างสูง บางทีคุณอาจแค่ตายผิด แต่หากการตายนั้นยุติธรรม แต่ละฝ่ายมีความน่าจะเป็นที่จะลงจอดเท่ากัน โดยไม่คำนึงถึงผลลัพธ์ของการทอยครั้งอื่น คุณสามารถจินตนาการได้ว่าเราเปลี่ยนลูกเต๋าทุกครั้ง: หากทอยหมายเลข 6 สองครั้งติดต่อกัน ให้เอาลูกเต๋าที่ "ร้อน" ออกจากเกมแล้วแทนที่ด้วยอันใหม่ ฉันขอโทษถ้าคุณมีคนรู้เรื่องนี้แล้ว แต่ฉันจำเป็นต้องเคลียร์เรื่องนี้ก่อนที่จะดำเนินการต่อ
วิธีทำให้ลูกเต๋าทอยสุ่มมากหรือน้อย
เรามาพูดถึงวิธีการได้รับผลลัพธ์ที่แตกต่างกันบนลูกเต๋าที่แตกต่างกัน ไม่ว่าคุณจะทอยลูกเต๋าเพียงครั้งเดียวหรือหลายครั้ง เกมจะรู้สึกสุ่มมากขึ้นเมื่อลูกเต๋ามีด้านมากขึ้น ยิ่งคุณต้องทอยลูกเต๋าบ่อยแค่ไหน และยิ่งทอยลูกเต๋ามากเท่าไร ผลลัพธ์ก็จะเข้าใกล้ค่าเฉลี่ยมากขึ้นเท่านั้น
ตัวอย่างเช่น ในกรณีของ 1d6 + 4 (นั่นคือ หากคุณทอยลูกเต๋าหกด้านมาตรฐานหนึ่งครั้งแล้วบวก 4 เข้ากับผลลัพธ์) ค่าเฉลี่ยจะเป็นตัวเลขระหว่าง 5 ถึง 10 หากคุณทอย 5d2 ค่าเฉลี่ย จะเป็นตัวเลขระหว่าง 5 ถึง 10 ผลลัพธ์ของการทอย 5d2 ส่วนใหญ่จะเป็นตัวเลข 7 และ 8 ซึ่งน้อยกว่าค่าอื่น ๆ ซีรีย์เดียวกันแม้ค่าเฉลี่ยเท่ากัน (ในทั้งสองกรณี 7.5) แต่ลักษณะของการสุ่มจะแตกต่างกัน
รอสักครู่. ฉันไม่ได้บอกว่าลูกเต๋าไม่ "ร้อน" หรือ "เย็น" ใช่ไหม? ตอนนี้ฉันพูดว่า: ถ้าคุณโยนลูกเต๋าจำนวนมาก ผลลัพธ์ของการทอยจะเข้าใกล้ค่าเฉลี่ย ทำไม
ให้ฉันอธิบาย. หากคุณทอยลูกเต๋าหนึ่งลูก แต่ละฝ่ายมีความน่าจะเป็นที่จะลงจอดเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าหากคุณทอยลูกเต๋าเป็นจำนวนมากเมื่อเวลาผ่านไป แต่ละด้านจะออกมาเป็นจำนวนเท่าๆ กัน ยิ่งคุณทอยลูกเต๋ามากเท่าไร ผลลัพธ์รวมก็จะยิ่งเข้าใกล้ค่าเฉลี่ยมากขึ้นเท่านั้น
ไม่ใช่เพราะว่าหมายเลขที่ออก "บังคับ" หมายเลขอื่นให้ออกที่ยังไม่ได้ออก แต่เนื่องจากการออกเลข 6 (หรือ 20 หรือเลขอื่น) ชุดเล็กๆ ในตอนท้ายจะไม่ส่งผลต่อผลมากนักหากคุณทอยลูกเต๋าอีกหมื่นครั้งและส่วนใหญ่จะได้เลขเฉลี่ยขึ้นมา ตอนนี้คุณจะได้รับหลายอย่าง จำนวนมากและต่อมาก็มีรายการเล็กๆ อีกหลายรายการ และเมื่อเวลาผ่านไปก็จะเข้าใกล้ค่าเฉลี่ย
ไม่ใช่เพราะการทอยครั้งก่อนส่งผลต่อลูกเต๋า (เอาจริง ๆ ลูกเต๋าทำจากพลาสติก มันไม่มีสมองที่จะคิดว่า "โอ้ คุณทอย 2 มานานแล้ว") แต่เพราะนี่คือสิ่งที่ปกติ เกิดขึ้นเมื่อคุณทอยลูกเต๋าจำนวนมาก
ดังนั้นจึงค่อนข้างง่ายที่จะคำนวณการสุ่มทอยลูกเต๋าหนึ่งลูก - อย่างน้อยก็คำนวณค่าเฉลี่ยของทอย นอกจากนี้ยังมีวิธีคำนวณว่าบางสิ่ง "สุ่มแค่ไหน" และบอกว่าผลลัพธ์ของการกลิ้ง 1d6+4 จะ "สุ่มมากกว่า" มากกว่า 5d2 สำหรับ 5d2 ม้วนจะกระจายเท่าๆ กันมากขึ้น ในการทำเช่นนี้ คุณจะต้องคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน: ยิ่งค่ามากเท่าไร ผลลัพธ์ก็จะยิ่งสุ่มมากขึ้นเท่านั้น วันนี้ฉันไม่ต้องการที่จะให้การคำนวณมากมายฉันจะอธิบายหัวข้อนี้ในภายหลัง
สิ่งเดียวที่ฉันจะขอให้คุณจำก็คือ ตามกฎทั่วไป ยิ่งคุณทอยลูกเต๋าน้อยลง ความสุ่มก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น และยิ่งลูกเต๋ามีด้านมากเท่าใด ความสุ่มก็ยิ่งมากขึ้นเท่านั้น เนื่องจากมีตัวเลือกค่าที่เป็นไปได้มากกว่า
วิธีการคำนวณความน่าจะเป็นโดยใช้การนับ
คุณอาจมีคำถาม: เราจะคำนวณความน่าจะเป็นที่แน่นอนของการได้ผลลัพธ์ที่แน่นอนได้อย่างไร อันที่จริงสิ่งนี้ค่อนข้างสำคัญสำหรับหลาย ๆ เกม: หากคุณทอยลูกเต๋าในตอนแรก - มีแนวโน้มว่าจะได้ผลลัพธ์ที่ดีที่สุด คำตอบของฉันคือ: เราต้องคำนวณค่าสองค่า ประการแรก จำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดเมื่อขว้างลูกเต๋า และประการที่สอง จำนวนผลลัพธ์ที่ดี การหารค่าที่สองด้วยค่าแรกจะทำให้คุณได้ความน่าจะเป็นที่ต้องการ หากต้องการหาเปอร์เซ็นต์ ให้คูณผลลัพธ์ด้วย 100
ตัวอย่าง
นี่เป็นตัวอย่างง่ายๆ คุณต้องการให้หมายเลข 4 หรือสูงกว่าหมุนลูกเต๋าหกด้านหนึ่งครั้ง จำนวนผลลัพธ์สูงสุดคือ 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6) ในจำนวนนี้มี 3 ผลลัพธ์ (4, 5, 6) ที่เป็นที่น่าพอใจ ซึ่งหมายความว่าในการคำนวณความน่าจะเป็น เราจะหาร 3 ด้วย 6 แล้วได้ 0.5 หรือ 50%
นี่เป็นตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่านี้เล็กน้อย คุณต้องการเลขคู่เมื่อหมุน 2d6 จำนวนผลลัพธ์สูงสุดคือ 36 (6 ตัวเลือกสำหรับแต่ละลูกเต๋า การตายหนึ่งลูกจะไม่ส่งผลต่ออีกลูกเต๋า ดังนั้นให้คูณ 6 ด้วย 6 และรับ 36) ความยากง่ายของปัญหา ประเภทนี้คือมันง่ายที่จะนับสองครั้ง ตัวอย่างเช่น เมื่อทอย 2d6 มีสองผลลัพธ์ที่เป็นไปได้คือ 3: 1+2 และ 2+1 มีลักษณะเหมือนกัน แต่ความแตกต่างคือหมายเลขใดจะแสดงบนลูกเต๋าตัวแรกและหมายเลขใดจะแสดงบนลูกเต๋าที่สอง
คุณยังสามารถจินตนาการได้ว่าลูกเต๋า สีที่ต่างกัน: ตัวอย่างเช่น ในกรณีนี้ ลูกเต๋าลูกหนึ่งเป็นสีแดง อีกลูกเป็นสีน้ำเงิน จากนั้นนับจำนวนตัวเลือกในการทอยเลขคู่:
- 2 (1+1);
- 4 (1+3);
- 4 (2+2);
- 4 (3+1);
- 6 (1+5);
- 6 (2+4);
- 6 (3+3);
- 6 (4+2);
- 6 (5+1);
- 8 (2+6);
- 8 (3+5);
- 8 (4+4);
- 8 (5+3);
- 8 (6+2);
- 10 (4+6);
- 10 (5+5);
- 10 (6+4);
- 12 (6+6).
ปรากฎว่ามี 18 ตัวเลือกสำหรับผลลัพธ์ที่ดีจาก 36 ตัวเลือก - เช่นเดียวกับในกรณีก่อนหน้านี้ ความน่าจะเป็นคือ 0.5 หรือ 50% อาจจะไม่คาดคิดแต่ค่อนข้างแม่นยำ
การจำลองมอนติคาร์โล
ถ้าคุณมีลูกเต๋ามากเกินไปสำหรับการคำนวณนี้ล่ะ? ตัวอย่างเช่น คุณต้องการทราบว่าความน่าจะเป็นที่จะได้แต้มรวม 15 หรือมากกว่าเมื่อทอย 8d6 เป็นเท่าใด สำหรับลูกเต๋าแปดลูกนั้นมีความหลากหลายมาก ผลลัพธ์ที่แตกต่างกันและการนับด้วยตนเองจะใช้เวลานานมาก - แม้ว่าเราจะพบวิธีแก้ปัญหาที่ดีในการจัดกลุ่มการทอยลูกเต๋าหลายชุดก็ตาม
ในกรณีนี้ วิธีที่ง่ายที่สุดคือไม่ต้องนับด้วยตนเอง แต่ต้องใช้คอมพิวเตอร์ มีสองวิธีในการคำนวณความน่าจะเป็นบนคอมพิวเตอร์ วิธีแรกสามารถให้คำตอบที่ถูกต้องแก่คุณได้ แต่ต้องใช้การเขียนโปรแกรมหรือการเขียนสคริปต์เล็กน้อย คอมพิวเตอร์จะพิจารณาความเป็นไปได้แต่ละรายการ ประเมินและนับจำนวนการวนซ้ำทั้งหมด และจำนวนการวนซ้ำที่ตรงกับผลลัพธ์ที่ต้องการ จากนั้นจึงให้คำตอบ รหัสของคุณอาจมีลักษณะดังนี้:
หากคุณไม่เข้าใจการเขียนโปรแกรมและต้องการคำตอบโดยประมาณมากกว่าคำตอบที่แน่นอน คุณสามารถจำลองสถานการณ์นี้ใน Excel โดยที่คุณหมุน 8d6 หลายพันครั้งและรับคำตอบ หากต้องการหมุน 1d6 ใน Excel ให้ใช้สูตร =พื้น(แรนด์()*6)+1.
มีชื่อของสถานการณ์เมื่อคุณไม่ทราบคำตอบและลองหลายครั้ง - การจำลองแบบมอนติคาร์โล นี่เป็นทางออกที่ดีที่จะใช้เมื่อคำนวณความน่าจะเป็นที่ยากเกินไป สิ่งที่ยอดเยี่ยมคือในกรณีนี้ เราไม่จำเป็นต้องเข้าใจว่าคณิตศาสตร์ทำงานอย่างไร และเรารู้ว่าคำตอบจะ "ค่อนข้างดี" เพราะดังที่เราทราบอยู่แล้ว ยิ่งหมุนมากเท่าไร ผลลัพธ์ก็จะเข้าใกล้มากขึ้นเท่านั้น เฉลี่ย.
วิธีรวมการทดลองอิสระ
หากถามซ้ำหลายรอบแต่ การทดสอบอิสระดังนั้นผลลัพธ์ของการโยนหนึ่งครั้งจะไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์ของการโยนครั้งอื่น มีคำอธิบายที่ง่ายกว่านี้อีกประการหนึ่งสำหรับสถานการณ์นี้
จะแยกแยะระหว่างสิ่งที่ขึ้นอยู่กับและเป็นอิสระได้อย่างไร? โดยพื้นฐานแล้ว หากคุณสามารถแยกการโยนแต่ละครั้ง (หรือการโยนต่อเนื่องกัน) ของการตายเป็นเหตุการณ์ที่แยกจากกัน มันก็จะเป็นอิสระจากกัน ตัวอย่างเช่น สมมติว่าเราทอยได้ 8d6 และต้องการผลรวมเป็น 15 งานนี้ไม่สามารถแบ่งออกเป็นทอยลูกเต๋าอิสระหลายๆ อันได้ เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ คุณจะต้องคำนวณผลรวมของค่าทั้งหมด ดังนั้นผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นจากการตายตัวหนึ่งจะส่งผลต่อผลลัพธ์ที่ควรจะเกิดขึ้นกับอีกตัวหนึ่งด้วย
นี่คือตัวอย่างของการทอยลูกเต๋าแบบอิสระ: คุณกำลังเล่นเกมลูกเต๋า และคุณกำลังทอยลูกเต๋าหกด้านหลายครั้ง การหมุนครั้งแรกต้องเป็น 2 หรือสูงกว่าจึงจะอยู่ในเกมได้ สำหรับการโยนครั้งที่สอง - 3 หรือสูงกว่า อันที่ 3 ต้องได้ 4 หรือสูงกว่า อันที่ 4 ต้องได้ 5 หรือสูงกว่า และอันที่ 5 ต้องได้ 6 หากทอยทั้งห้าสำเร็จ คุณจะชนะ ในกรณีนี้ การโยนทั้งหมดจะเป็นอิสระจากกัน ใช่ หากการโยนหนึ่งครั้งไม่สำเร็จ จะส่งผลต่อผลลัพธ์ของเกมทั้งหมด แต่การโยนครั้งหนึ่งจะไม่ส่งผลต่ออีกอัน ตัวอย่างเช่น หากการทอยลูกเต๋าครั้งที่สองของคุณประสบความสำเร็จอย่างมาก ไม่ได้หมายความว่าการทอยลูกเต๋าครั้งถัดไปจะดีเท่ากัน ดังนั้นเราจึงสามารถพิจารณาความน่าจะเป็นของการทอยลูกเต๋าแต่ละลูกแยกกัน
ถ้าคุณมี ความน่าจะเป็นที่เป็นอิสระและคุณต้องการรู้ว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ทั้งหมดที่เกิดขึ้นเป็นเท่าใด คุณจึงกำหนดความน่าจะเป็นแต่ละรายการและคูณเข้าด้วยกัน อีกวิธีหนึ่ง: หากคุณใช้คำเชื่อม "และ" เพื่ออธิบายเงื่อนไขหลายประการ (เช่น ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์สุ่มจะเกิดขึ้นและเหตุการณ์สุ่มอิสระอื่น ๆ คืออะไร) ให้นับความน่าจะเป็นแต่ละรายการแล้วคูณ
ไม่ว่าคุณจะคิดอย่างไร อย่ารวมความน่าจะเป็นที่เป็นอิสระเข้าด้วยกัน นี่เป็นข้อผิดพลาดทั่วไป เพื่อให้เข้าใจว่าเหตุใดสิ่งนี้จึงผิด ลองจินตนาการถึงสถานการณ์ที่คุณกำลังโยนเหรียญและต้องการทราบว่าความน่าจะเป็นที่จะได้หัวสองครั้งติดต่อกันเป็นเท่าใด ความน่าจะเป็นที่แต่ละฝ่ายจะหลุดคือ 50% หากคุณบวกความน่าจะเป็นทั้งสองนี้เข้าด้วยกัน คุณจะมีโอกาส 100% ที่จะได้หัว แต่เรารู้ว่ามันไม่จริง เพราะมันอาจออกก้อยสองครั้งติดต่อกัน หากคุณคูณความน่าจะเป็นทั้งสองแทน คุณจะได้ 50% * 50% = 25% ซึ่งเป็นคำตอบที่ถูกต้องสำหรับการคำนวณความน่าจะเป็นที่จะได้หัวสองครั้งติดต่อกัน
ตัวอย่าง
กลับไปที่เกมลูกเต๋าหกด้าน โดยก่อนอื่นคุณต้องทอยตัวเลขที่มากกว่า 2 จากนั้นมากกว่า 3 - และต่อไปจนถึง 6 อะไรคือโอกาสที่ในการทอยห้าครั้งที่กำหนดผลลัพธ์ทั้งหมดจะเป็นที่น่าพอใจ ?
ตามที่ระบุไว้ข้างต้น สิ่งเหล่านี้เป็นการทดลองอิสระ ดังนั้นเราจึงคำนวณความน่าจะเป็นของแต่ละทอยแล้วคูณเข้าด้วยกัน ความน่าจะเป็นที่ผลลัพธ์ของการทอยครั้งแรกจะออกมาดีคือ 5/6 วินาที - 4/6 ที่สาม - 3/6 ที่สี่ - 2/6 ที่ห้า - 1/6 เราคูณผลลัพธ์ทั้งหมดเข้าด้วยกันและได้ประมาณ 1.5% การชนะในเกมนี้ค่อนข้างหายาก ดังนั้นหากคุณเพิ่มองค์ประกอบนี้ลงในเกม คุณจะต้องมีแจ็คพอตขนาดใหญ่พอสมควร
การปฏิเสธ
เคล็ดลับที่เป็นประโยชน์อีกประการหนึ่ง: บางครั้งการคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งๆ จะทำได้ยาก แต่จะง่ายกว่าในการระบุโอกาสที่เหตุการณ์จะไม่เกิดขึ้น ตัวอย่างเช่น สมมติว่าเรามีเกมอื่น: คุณทอยได้ 6d6 และชนะถ้าคุณทอยได้ 6 อย่างน้อยหนึ่งครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะชนะเป็นเท่าใด
ในกรณีนี้ มีหลายทางเลือกที่ต้องพิจารณา เป็นไปได้ว่าจะมีการทอยเลข 6 ตัวหนึ่ง นั่นคือลูกเต๋าตัวหนึ่งจะแสดงหมายเลข 6 และอีกลูกจะแสดงตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 5 จากนั้นมี 6 ตัวเลือกซึ่งลูกเต๋าจะแสดงเลข 6 คุณสามารถได้เลข 6 จากลูกเต๋าสองลูกหรือสามลูกหรือมากกว่านั้น และแต่ละครั้งคุณจะต้องคำนวณแยกกัน ดังนั้นจึงอาจสับสนได้ง่ายที่นี่
แต่ลองดูปัญหาจากอีกด้านหนึ่ง คุณจะแพ้หากไม่มีลูกเต๋าทอยได้ 6 ในกรณีนี้ เรามีการทดลองอิสระ 6 ครั้ง ความน่าจะเป็นที่ลูกเต๋าแต่ละลูกจะทอยเป็นตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ 6 คือ 5/6 คูณพวกมันแล้วคุณจะได้ประมาณ 33% ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะแพ้คือหนึ่งในสาม ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะชนะคือ 67% (หรือสองถึงสาม)
จากตัวอย่างนี้เห็นได้ชัดเจน: หากคุณคำนวณความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะไม่เกิดขึ้น คุณจะต้องลบผลลัพธ์ออกจาก 100% หากความน่าจะเป็นที่จะชนะคือ 67% ความน่าจะเป็นที่จะแพ้คือ 100% ลบ 67% หรือ 33% และในทางกลับกัน หากการคำนวณความน่าจะเป็นหนึ่งรายการยากแต่คำนวณค่าตรงกันข้ามได้ง่าย ให้คำนวณค่าตรงกันข้ามแล้วลบตัวเลขนั้นออกจาก 100%
เรารวมเงื่อนไขสำหรับการทดสอบอิสระหนึ่งครั้ง
ฉันได้กล่าวไว้ข้างต้นว่าคุณไม่ควรเพิ่มความน่าจะเป็นในการทดลองอิสระ มีกรณีใดบ้างที่สามารถสรุปความน่าจะเป็นได้? ใช่ ในสถานการณ์พิเศษอย่างหนึ่ง
หากคุณต้องการคำนวณความน่าจะเป็นสำหรับผลลัพธ์ที่น่าพึงพอใจหลายรายการที่ไม่เกี่ยวข้องในการทดลองครั้งเดียว ให้รวมความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่น่าพึงพอใจแต่ละรายการ ตัวอย่างเช่น ความน่าจะเป็นที่จะทอยเลข 4, 5 หรือ 6 บน 1d6 เท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นที่จะทอยเลข 4 ความน่าจะเป็นที่จะทอยเลข 5 และความน่าจะเป็นที่จะทอยเลข 6 สถานการณ์แบบนี้สามารถจินตนาการได้ด้วยวิธีนี้: หากคุณใช้คำเชื่อม "หรือ" ในคำถามเกี่ยวกับความน่าจะเป็น (เช่น ความน่าจะเป็นของผลลัพธ์อย่างใดอย่างหนึ่งของเหตุการณ์สุ่มเหตุการณ์หนึ่งคืออะไร) - นับความน่าจะเป็นแต่ละรายการและสรุปผล
โปรดทราบ: เมื่อคุณคำนวณผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของเกม ผลรวมของความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นจะต้องเท่ากับ 100% มิฉะนั้นการคำนวณของคุณจะไม่ถูกต้อง นี้ วิธีที่ดีตรวจสอบการคำนวณของคุณอีกครั้ง ตัวอย่างเช่น คุณวิเคราะห์ความน่าจะเป็นของชุดค่าผสมทั้งหมดในโป๊กเกอร์ หากคุณบวกผลลัพธ์ทั้งหมดเข้าด้วยกัน คุณควรจะได้ 100% พอดี (หรืออย่างน้อยก็เกือบ 100%: หากคุณใช้เครื่องคิดเลข อาจมีข้อผิดพลาดในการปัดเศษเล็กน้อย แต่ถ้าคุณบวกตัวเลขที่แน่นอนด้วยมือ ทุกอย่างจะเกิดข้อผิดพลาด ควรเพิ่มขึ้น) หากผลรวมไม่มาบรรจบกัน หมายความว่าคุณไม่ได้คำนึงถึงชุดค่าผสมบางชุดหรือคำนวณความน่าจะเป็นของชุดค่าผสมบางชุดไม่ถูกต้อง และการคำนวณจำเป็นต้องได้รับการตรวจสอบอีกครั้ง
ความน่าจะเป็นไม่เท่ากัน
จนถึงตอนนี้ เราสันนิษฐานว่าแต่ละด้านของลูกเต๋าถูกทอยด้วยความถี่เดียวกัน เพราะนั่นคือลักษณะการทำงานของลูกเต๋า แต่บางครั้งคุณอาจพบกับสถานการณ์ที่อาจได้รับผลลัพธ์ที่แตกต่างกันและมีโอกาสปรากฏต่างกัน
ตัวอย่างเช่นในโปรแกรมเสริมตัวใดตัวหนึ่ง เกมไพ่สงครามนิวเคลียร์มีสนามเด็กเล่นพร้อมลูกศรซึ่งขึ้นอยู่กับผลของการปล่อยจรวด ส่วนใหญ่มักจะสร้างความเสียหายตามปกติ แรงกว่าหรือน้อยกว่า แต่บางครั้งความเสียหายก็เพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าหรือสามเท่า หรือจรวดระเบิดบนแท่นยิงจรวดและทำให้คุณบาดเจ็บ หรือมีเหตุการณ์อื่นเกิดขึ้น ไม่เหมือน สนามเด็กเล่นด้วยลูกศรใน Chutes & Ladders หรือ A Game of Life ผลลัพธ์ของกระดานเกมในสงครามนิวเคลียร์นั้นไม่สม่ำเสมอ สนามเด็กเล่นบางส่วนมีขนาดใหญ่กว่าและลูกศรจะหยุดที่พวกมันบ่อยกว่ามาก ในขณะที่ส่วนอื่นๆ มีขนาดเล็กมากและลูกศรจะหยุดที่พวกมันน้อยมาก
เมื่อมองแวบแรก แม่พิมพ์จะมีลักษณะดังนี้: 1, 1, 1, 2, 2, 3 - เราได้พูดถึงไปแล้ว มันเหมือนกับ 1d3 ถ่วงน้ำหนัก ดังนั้นเราจึงต้องแบ่งส่วนเหล่านี้ออกเป็นส่วนเท่าๆ กัน หาหน่วยวัดที่เล็กที่สุด โดยมีตัวหารที่ทุกอย่างเป็นจำนวนทวีคูณ จากนั้นจึงแทนสถานการณ์ในรูปของ d522 (หรืออย่างอื่น) โดยที่เซตลูกเต๋าเผชิญหน้า จะแสดงสถานการณ์เดียวกันแต่มีผลลัพธ์มากกว่า นี่เป็นวิธีหนึ่งในการแก้ปัญหา และเป็นไปได้ในทางเทคนิค แต่มีตัวเลือกที่ง่ายกว่า
กลับไปที่ลูกเต๋าหกด้านมาตรฐานของเรากัน เราเคยกล่าวไว้ว่าในการคำนวณการหมุนเฉลี่ยของแม่พิมพ์ปกติคุณต้องบวกค่าบนหน้าทั้งหมดแล้วหารด้วยจำนวนหน้า แต่การคำนวณทำงานอย่างไรกันแน่? มีวิธีอื่นในการแสดงออกนี้ สำหรับการทอยลูกเต๋าหกด้าน ความน่าจะเป็นที่แต่ละด้านจะถูกทอยคือ 1/6 พอดี ตอนนี้เราคูณผลลัพธ์ของแต่ละเส้นขอบด้วยความน่าจะเป็นของผลลัพธ์นั้น (ในกรณีนี้คือ 1/6 สำหรับแต่ละเส้นขอบ) แล้วบวกค่าผลลัพธ์เข้าด้วยกัน ดังนั้น รวม (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6 ) เราได้ผลลัพธ์เดียวกัน (3.5) เช่นเดียวกับการคำนวณด้านบน อันที่จริง เรานับแบบนี้ทุกครั้ง: เราคูณผลลัพธ์แต่ละอย่างด้วยความน่าจะเป็นของผลลัพธ์นั้น
เราสามารถคำนวณลูกศรบนสนามแข่งขันในสงครามนิวเคลียร์แบบเดียวกันได้หรือไม่? แน่นอนเราทำได้ และถ้าเรารวมผลลัพธ์ทั้งหมดที่พบ เราก็จะได้ค่าเฉลี่ย สิ่งที่เราต้องทำคือคำนวณความน่าจะเป็นของผลลัพธ์แต่ละรายการสำหรับลูกศรบนกระดานเกมและคูณด้วยค่าผลลัพธ์
อีกตัวอย่างหนึ่ง
วิธีการคำนวณค่าเฉลี่ยนี้ยังเหมาะสมหากผลลัพธ์มีโอกาสเท่ากันแต่มีข้อได้เปรียบที่แตกต่างกัน เช่น หากคุณทอยลูกเต๋าและชนะในบางด้านมากกว่าด้านอื่นๆ ตัวอย่างเช่น เรามาเล่นเกมคาสิโนกัน: คุณวางเดิมพันและทอย 2d6 ถ้าทอยเลขสามตัวด้วย ค่าต่ำสุด(2, 3, 4) หรือตัวเลขสี่ตัวด้วย มูลค่าสูง(9, 10, 11, 12) - คุณจะชนะจำนวนเท่ากับเงินเดิมพันของคุณ ตัวเลขที่มีค่าต่ำสุดและสูงสุดเป็นพิเศษ: หากคุณหมุน 2 หรือ 12 คุณจะชนะการเดิมพันสองเท่า หากทอยหมายเลขอื่น (5, 6, 7, 8) คุณจะเสียเงินเดิมพัน มันสวย เกมง่ายๆ- แต่ความน่าจะเป็นที่จะชนะคืออะไร?
เริ่มต้นด้วยการนับจำนวนครั้งที่คุณสามารถชนะได้ จำนวนผลลัพธ์สูงสุดเมื่อทอย 2d6 คือ 36 จำนวนผลลัพธ์ที่ดีคือเท่าไร?
- มี 1 ตัวเลือกที่จะทอยได้ 2 และ 1 ตัวเลือกที่จะทอยได้ 12
- มี 2 ตัวเลือกที่ 3 จะทอยและ 2 ตัวเลือกที่ 11 จะทอย
- มี 3 ตัวเลือกที่ 4 จะทอย และ 3 ตัวเลือกที่ 10 จะทอย
- มี 4 ตัวเลือกสำหรับการหมุน 9
เมื่อรวมตัวเลือกทั้งหมดแล้ว เราได้ผลลัพธ์ที่ดี 16 รายการจาก 36 รายการ ดังนั้นด้วย สภาวะปกติคุณจะชนะ 16 ครั้งจากทั้งหมด 36 ครั้ง - ความน่าจะเป็นที่จะชนะน้อยกว่า 50% เล็กน้อย
แต่ในสองกรณีจากสิบหกกรณีนี้ คุณจะชนะเป็นสองเท่า - มันเหมือนกับการชนะสองครั้ง หากคุณเล่นเกมนี้ 36 ครั้ง เดิมพัน 1 ดอลลาร์ในแต่ละครั้ง และผลลัพธ์ที่เป็นไปได้แต่ละรายการเกิดขึ้นครั้งเดียว คุณจะชนะรางวัลรวม 18 ดอลลาร์ (จริง ๆ แล้วคุณจะชนะ 16 ครั้ง แต่สองรายการจะนับเป็นชัยชนะสองครั้ง) หากคุณเล่น 36 ครั้งและชนะรางวัล $18 นั่นไม่ได้หมายความว่าอัตราต่อรองจะเท่ากันใช่หรือไม่
ใช้เวลาของคุณ หากคุณนับจำนวนครั้งที่คุณสามารถแพ้ได้ คุณจะจบลงด้วย 20 ไม่ใช่ 18 หากคุณเล่น 36 ครั้ง เดิมพัน 1 ดอลลาร์ในแต่ละครั้ง คุณจะชนะรางวัลรวม 18 ดอลลาร์หากคุณเลือกชนะทั้งหมด แต่คุณจะเสียเงินทั้งหมด 20 ดอลลาร์หากคุณได้รับผลลัพธ์ที่ไม่น่าพอใจทั้ง 20 รายการ ผลก็คือ คุณจะตามหลังเล็กน้อย: คุณเสียเงินสุทธิเฉลี่ย 2 ดอลลาร์สำหรับทุก ๆ 36 เกม (คุณยังสามารถพูดได้ว่าคุณเสียเงินเฉลี่ย 1/18 ต่อวัน) ตอนนี้คุณคงเห็นว่าการทำผิดพลาดในกรณีนี้นั้นง่ายเพียงใดและคำนวณความน่าจะเป็นไม่ถูกต้อง
การจัดเรียงใหม่
จนถึงตอนนี้เราสันนิษฐานว่าลำดับของตัวเลขเมื่อโยนลูกเต๋าไม่สำคัญ การทอย 2 + 4 เหมือนกับการทอย 4 + 2 ในกรณีส่วนใหญ่ เราจะนับจำนวนผลลัพธ์ที่ดีด้วยตนเอง แต่บางครั้ง วิธีนี้ทำไม่ได้และควรใช้สูตรทางคณิตศาสตร์จะดีกว่า
ตัวอย่างของสถานการณ์นี้มาจากเกมลูกเต๋า Farkle ในแต่ละรอบใหม่ คุณจะหมุน 6d6 หากคุณโชคดีและได้ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด 1-2-3-4-5-6 (ตรง) คุณจะได้รับโบนัสก้อนใหญ่ โอกาสที่สิ่งนี้จะเกิดขึ้นคืออะไร? ในกรณีนี้ มีตัวเลือกมากมายในการรับชุดค่าผสมนี้
วิธีแก้มีดังนี้ ลูกเต๋าหนึ่งลูก (และมีเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น) ต้องมีหมายเลข 1 หมายเลข 1 จะปรากฏบนลูกเต๋าหนึ่งลูกได้กี่วิธี? มี 6 ตัวเลือกเนื่องจากมีลูกเต๋า 6 ลูกและลูกเต๋าใดลูกหนึ่งก็สามารถตกเป็นหมายเลข 1 ได้ ดังนั้นให้หยิบลูกเต๋าหนึ่งลูกแล้ววางไว้ข้างๆ ตอนนี้ลูกเต๋าที่เหลือหนึ่งลูกควรหมุนหมายเลข 2 มี 5 ตัวเลือกสำหรับสิ่งนี้ นำลูกเต๋าอีกลูกแล้ววางไว้ข้างๆ จากนั้นลูกเต๋าที่เหลือ 4 ลูกอาจตกเลข 3 ลูกเต๋าที่เหลือ 3 ลูกอาจตกเลข 4 ลูกเต๋าที่เหลือ 2 ลูกอาจตกเลข 5 ส่งผลให้เหลือลูกเต๋าหนึ่งลูกซึ่งควรลงเลข 6 (ในกรณีหลัง ลูกเต๋ามีกระดูกเพียงชิ้นเดียวและไม่มีทางเลือก)
ในการคำนวณจำนวนผลลัพธ์ที่น่าพึงพอใจสำหรับการตีเส้นตรง เราจะคูณความเป็นไปได้อิสระต่างๆ ทั้งหมด: 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1=720 - ดูเหมือนว่าจะมีความเป็นไปได้ค่อนข้างมากที่ชุดค่าผสมนี้จะเกิดขึ้น .
ในการคำนวณความน่าจะเป็นที่จะได้เส้นตรง เราต้องหาร 720 ด้วยจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับการกลิ้ง 6d6 จำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือเท่าไร? ลูกเต๋าแต่ละลูกสามารถมีได้ 6 ด้าน ดังนั้นเราจึงคูณ 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 46656 (จำนวนที่มากกว่าจำนวนก่อนหน้ามาก) หาร 720 ด้วย 46656 แล้วเราจะได้ความน่าจะเป็นประมาณ 1.5% หากคุณกำลังออกแบบเกมนี้ มันจะเป็นประโยชน์สำหรับคุณที่จะรู้สิ่งนี้ เพื่อที่คุณจะได้สามารถสร้างระบบการให้คะแนนตามนั้นได้ ตอนนี้เราเข้าใจแล้วว่าทำไมใน Farkle คุณจะได้รับโบนัสก้อนโตหากคุณทำตรง: นี่เป็นสถานการณ์ที่ค่อนข้างหายาก
ผลลัพธ์ก็น่าสนใจเช่นกันด้วยเหตุผลอื่น ตัวอย่างแสดงให้เห็นว่าผลลัพธ์ที่สอดคล้องกับความน่าจะเป็นในช่วงเวลาสั้นๆ แทบจะไม่เกิดขึ้นเลย แน่นอนว่าถ้าเราทอยลูกเต๋าหลายพันลูกเต๋า ใบหน้าที่แตกต่างกันลูกเต๋าก็จะเกิดขึ้นค่อนข้างบ่อย แต่เมื่อเราโยนลูกเต๋าไปเพียงหกลูก มันแทบไม่เคยเกิดขึ้นเลยที่ทุกหน้าจะโผล่ขึ้นมา เห็นได้ชัดว่าเป็นการโง่ที่จะคาดหวังว่าจะมีบรรทัดที่ยังไม่เกิดขึ้นเพราะ "เราไม่ได้ทอยเลข 6 มาเป็นเวลานาน" ฟังนะ เครื่องกำเนิดตัวเลขสุ่มของคุณเสีย
สิ่งนี้นำเราไปสู่ความเข้าใจผิดทั่วไปที่ว่าผลลัพธ์ทั้งหมดเกิดขึ้นที่ความถี่เดียวกันในช่วงเวลาสั้นๆ ถ้าเราโยนลูกเต๋าหลาย ๆ ครั้ง ความถี่ที่แต่ละด้านจะหลุดออกจะไม่เท่ากัน
หากคุณเคยเล่นเกมออนไลน์โดยใช้โปรแกรมสร้างตัวเลขสุ่มมาก่อน คุณคงประสบปัญหาที่ผู้เล่นเขียนถึงฝ่ายสนับสนุนทางเทคนิคโดยบ่นว่าโปรแกรมสร้างตัวเลขสุ่มไม่แสดงตัวเลขสุ่ม เขามาถึงข้อสรุปนี้เพราะเขาฆ่ามอนสเตอร์ 4 ตัวติดต่อกันและได้รับรางวัลที่เหมือนกันทั้งหมด 4 รางวัล และรางวัลเหล่านี้ควรปรากฏเพียง 10% ของเวลาเท่านั้น ดังนั้นเห็นได้ชัดว่าสิ่งนี้แทบจะไม่เคยเกิดขึ้นเลย
คุณกำลังทำการคำนวณทางคณิตศาสตร์ ความน่าจะเป็นคือ 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10 นั่นคือ 1 ผลลัพธ์ใน 10,000 ถือเป็นกรณีที่ค่อนข้างหายาก นี่คือสิ่งที่ผู้เล่นพยายามจะบอกคุณ ในกรณีนี้จะมีปัญหาหรือไม่?
ทุกอย่างขึ้นอยู่กับสถานการณ์ ขณะนี้มีผู้เล่นกี่คนบนเซิร์ฟเวอร์ของคุณ? สมมติว่าคุณมีเกมที่ได้รับความนิยมและมีผู้เล่นนับแสนคนทุกวัน ผู้เล่นสามารถฆ่ามอนสเตอร์สี่ตัวติดต่อกันได้กี่คน? อาจจะทั้งหมด หลายครั้งต่อวัน แต่สมมุติว่าครึ่งหนึ่งเป็นเพียงการแลกเปลี่ยนไอเท็มต่างๆ ในการประมูล สนทนาบนเซิร์ฟเวอร์ RP หรือทำกิจกรรมอื่นๆ ในเกม ดังนั้นมีเพียงครึ่งเดียวเท่านั้นที่กำลังล่าสัตว์ประหลาด ความน่าจะเป็นที่คนจะได้รับรางวัลเดียวกันคือเท่าไร? ในสถานการณ์นี้ คุณสามารถคาดหวังได้ว่าสิ่งนี้จะเกิดขึ้นอย่างน้อยหลายครั้งต่อวัน
อย่างไรก็ตาม นี่คือสาเหตุที่ดูเหมือนว่าทุกๆ สองสามสัปดาห์จะมีคนถูกลอตเตอรี่ แม้ว่าคนนั้นจะไม่เคยเป็นคุณหรือใครก็ตามที่คุณรู้จักก็ตาม หากมีคนเล่นเป็นประจำมากพอ ก็มีโอกาสที่จะมีผู้เล่นที่โชคดีอย่างน้อยหนึ่งคนอยู่ที่ไหนสักแห่ง แต่ถ้าคุณเล่นลอตเตอรีด้วยตัวเอง คุณก็ไม่น่าจะถูกรางวัล แต่คุณจะได้รับเชิญให้ไปทำงานที่ Infinity Ward
การ์ดและการเสพติด
เราได้พูดคุยถึงเหตุการณ์อิสระ เช่น การทอยลูกเต๋า และตอนนี้ก็ได้ทราบเครื่องมืออันทรงพลังมากมายสำหรับการวิเคราะห์การสุ่มในเกมต่างๆ การคำนวณความน่าจะเป็นจะซับซ้อนกว่าเล็กน้อยเมื่อพูดถึงการจั่วไพ่จากสำรับ เนื่องจากไพ่แต่ละใบที่เราจั่วจะส่งผลต่อไพ่ที่เหลืออยู่ในสำรับ
หากคุณมีสำรับไพ่มาตรฐาน 52 ใบ คุณจะลบหัวใจ 10 ดวงออกจากสำรับและต้องการทราบความน่าจะเป็นที่ไพ่ใบต่อไปจะเป็นดอกเดียวกัน - ความน่าจะเป็นเปลี่ยนจากต้นฉบับเพราะคุณได้ถอดไพ่ออกหนึ่งใบแล้ว ของหัวใจจากดาดฟ้า การ์ดแต่ละใบที่คุณนำออกจะเปลี่ยนความน่าจะเป็นที่การ์ดใบถัดไปจะปรากฏในสำรับ ในกรณีนี้ เหตุการณ์ก่อนหน้านี้ส่งผลต่อเหตุการณ์ถัดไป ดังนั้นเราจึงเรียกความน่าจะเป็นนี้ว่าขึ้นอยู่กับ
โปรดทราบว่าเมื่อฉันพูดว่า "การ์ด" ฉันกำลังพูดถึงกลไกเกมใดๆ ที่คุณมีชุดของวัตถุ และคุณนำวัตถุชิ้นใดชิ้นหนึ่งออกโดยไม่ต้องเปลี่ยนมัน "สำรับไพ่" ในกรณีนี้คล้ายคลึงกับถุงชิปที่คุณหยิบชิปมาหนึ่งชิปหรือโกศที่ใช้ลูกบอลสี (ฉันไม่เคยเห็นเกมที่มีโกศที่ใช้ลูกบอลสีมา แต่ครู ของทฤษฎีความน่าจะเป็นตามอะไร - เหตุผลที่ว่าทำไมตัวอย่างนี้จึงเป็นที่นิยม)
คุณสมบัติการพึ่งพา
ผมอยากจะชี้แจงว่าเมื่อไร เรากำลังพูดถึงเกี่ยวกับไพ่ ฉันเดาว่าคุณจะหยิบไพ่ออกมา ดูมัน แล้วเอามันออกจากสำรับ การกระทำแต่ละอย่างเหล่านี้เป็นทรัพย์สินที่สำคัญ ถ้าฉันมีสำรับไพ่หกใบที่มีหมายเลข 1 ถึง 6 ฉันจะสับไพ่และจั่วไพ่หนึ่งใบ จากนั้นสับไพ่ทั้งหกใบอีกครั้ง สิ่งนี้จะคล้ายกับการโยนลูกเต๋าหกด้านเพราะผลลัพธ์หนึ่งมี ไม่มีผลกับอันถัดไป และถ้าฉันหยิบไพ่ออกมาแล้วไม่แทนที่ ด้วยการหยิบไพ่ใบที่ 1 ฉันจะทำให้มีโอกาสมากขึ้นที่จะหยิบไพ่ใบที่ 6 ในครั้งต่อไป ความน่าจะเป็นจะเพิ่มขึ้นต่อไปจนกว่าฉันจะหยิบไพ่ออกมาในที่สุด การ์ดใบนั้นหรือสับไพ่
ความจริงที่ว่าเรากำลังดูไพ่ก็มีความสำคัญเช่นกัน ถ้าฉันเอาไพ่ออกจากสำรับแล้วไม่ดู ฉันก็จะไม่มี ข้อมูลเพิ่มเติมและในความเป็นจริงความน่าจะเป็นจะไม่เปลี่ยนแปลง นี่อาจฟังดูขัดกับสัญชาตญาณ วิธีพลิกไพ่แบบง่ายๆ อย่างน่าอัศจรรย์เปลี่ยนความน่าจะเป็นเหรอ? แต่ก็เป็นไปได้เพราะว่าคุณสามารถคำนวณความน่าจะเป็นสำหรับรายการที่ไม่ทราบได้จากสิ่งที่คุณรู้เท่านั้น
ตัวอย่างเช่น หากคุณสับไพ่สำรับมาตรฐานและเปิดเผยไพ่ 51 ใบ แต่ไม่มีไพ่ใดที่เป็นราชินีแห่งไพ่ คุณสามารถมั่นใจได้ 100% ว่าไพ่ที่เหลือนั้นเป็นราชินีแห่งไพ่ หากคุณสับไพ่สำรับมาตรฐานและหยิบไพ่ออกมา 51 ใบโดยไม่มองดู ความน่าจะเป็นที่ไพ่ที่เหลือจะเป็นไพ่ควีนออฟคลับจะยังคงเป็น 1/52 เมื่อคุณเปิดการ์ดแต่ละใบ คุณจะได้รับข้อมูลเพิ่มเติม
การคำนวณความน่าจะเป็นสำหรับเหตุการณ์ขึ้นอยู่กับหลักการเดียวกันกับเหตุการณ์อิสระ ยกเว้นว่าจะซับซ้อนกว่าเล็กน้อยเนื่องจากความน่าจะเป็นจะเปลี่ยนไปเมื่อคุณเปิดเผยไพ่ ดังนั้นคุณต้องคูณให้มาก ความหมายที่แตกต่างกันแทนที่จะคูณค่าเดียวกัน ความหมายจริงๆ ก็คือเราจำเป็นต้องรวมการคำนวณทั้งหมดที่เราทำเข้าด้วยกันเป็นชุดเดียว
ตัวอย่าง
คุณสับไพ่สำรับมาตรฐาน 52 ใบแล้วจั่วไพ่สองใบ ความน่าจะเป็นที่คุณจะวาดคู่เป็นเท่าใด? มีหลายวิธีในการคำนวณความน่าจะเป็นนี้ แต่บางทีวิธีที่ง่ายที่สุดก็คือ ความน่าจะเป็นที่หากคุณจั่วไพ่ใบเดียว คุณจะไม่สามารถจั่วไพ่คู่ได้เป็นเท่าใด ความน่าจะเป็นนี้เป็นศูนย์ ดังนั้นไม่สำคัญว่าคุณจะจั่วไพ่ใบแรกใบไหน ตราบใดที่มันตรงกับใบที่สอง ไม่ว่าเราจะจั่วไพ่ใบไหนก่อนก็ยังมีโอกาสจั่วคู่ได้ ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะจั่วคู่หลังจากจั่วไพ่ใบแรกคือ 100%
ความน่าจะเป็นที่ไพ่ใบที่สองตรงกับใบแรกเป็นเท่าใด? มีไพ่ที่เหลืออยู่ 51 ใบในสำรับ และ 3 ใบตรงกับไพ่ใบแรก (จริงๆ แล้วจะมี 4 ใบจาก 52 ใบ แต่คุณได้เอาไพ่ที่ตรงกันออกแล้วหนึ่งใบเมื่อคุณจั่วไพ่ใบแรก) ดังนั้นความน่าจะเป็นคือ 1/ 17. ดังนั้นครั้งต่อไปที่คุณกำลังเล่น Texas Hold'em คนที่อยู่ตรงข้ามโต๊ะกับคุณพูดว่า “เจ๋ง อีกคู่หนึ่งเหรอ? วันนี้ฉันรู้สึกโชคดี” คุณจะรู้ว่ามีความเป็นไปได้สูงที่เขากำลังบลัฟ
จะเป็นอย่างไรถ้าเราเพิ่มโจ๊กเกอร์สองตัวเพื่อให้เรามีไพ่ 54 ใบในสำรับ และต้องการทราบว่าความน่าจะเป็นที่จะได้ไพ่คู่คืออะไร? ไพ่ใบแรกอาจเป็นโจ๊กเกอร์ จากนั้นจะมีไพ่ใบเดียวในสำรับที่ตรงกัน ไม่ใช่สามใบ จะหาความน่าจะเป็นในกรณีนี้ได้อย่างไร? เราจะหารความน่าจะเป็นและคูณความเป็นไปได้แต่ละรายการ
ไพ่ใบแรกของเราอาจเป็นไพ่โจ๊กเกอร์หรือไพ่ใบอื่น ความน่าจะเป็นที่จะจั่วไพ่โจ๊กเกอร์คือ 2/54 ความน่าจะเป็นที่จะจั่วไพ่ใบอื่นคือ 52/54 ถ้าไพ่ใบแรกเป็นโจ๊กเกอร์ (2/54) ความน่าจะเป็นที่ไพ่ใบที่สองจะตรงกับใบแรกคือ 1/53 การคูณค่า (เราสามารถคูณมันได้เพราะมัน แต่ละเหตุการณ์และเราต้องการให้ทั้งสองเหตุการณ์เกิดขึ้น) และเราได้ 1/1431 - น้อยกว่าหนึ่งในสิบของเปอร์เซ็นต์
หากคุณจั่วไพ่ใบอื่นก่อน (52/54) ความน่าจะเป็นที่จะจับคู่ไพ่ใบที่สองคือ 3/53 เราคูณค่าแล้วได้ 78/1431 (มากกว่า 5.5%) เล็กน้อย เราจะทำอย่างไรกับผลลัพธ์ทั้งสองนี้? พวกมันไม่ตัดกัน และเราต้องการทราบความน่าจะเป็นของแต่ละตัว เราจึงบวกค่าเข้าด้วยกัน เราได้ผลลัพธ์สุดท้ายที่ 79/1431 (ยังคงประมาณ 5.5%)
หากเราต้องการมั่นใจในความถูกต้องของคำตอบ เราสามารถคำนวณความน่าจะเป็นของผลลัพธ์อื่นๆ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด เช่น จั่วไพ่โจ๊กเกอร์แต่ไม่ตรงกับไพ่ใบที่สอง หรือจั่วไพ่ใบอื่นแต่ไม่ตรงกับไพ่ใบที่สอง เมื่อสรุปความน่าจะเป็นเหล่านี้และความน่าจะเป็นที่จะชนะ เราจะได้ 100% พอดี ฉันจะไม่บอกคณิตศาสตร์ตรงนี้ แต่คุณสามารถลองคณิตศาสตร์เพื่อตรวจสอบอีกครั้งได้
มอนตี้ ฮอลล์ พาราด็อกซ์
สิ่งนี้นำเราไปสู่ความขัดแย้งที่มีชื่อเสียงซึ่งมักสร้างความสับสนให้กับผู้คนจำนวนมาก นั่นก็คือ Monty Hall Paradox ความขัดแย้งนี้ตั้งชื่อตามพิธีกรรายการทีวี Let's Make a Deal สำหรับผู้ที่ไม่เคยเห็นรายการทีวีนี้ มันตรงกันข้ามกับ The Price Is Right
ในราคาที่ถูกต้อง เจ้าของบ้าน (Bob Barker เคยเป็นเจ้าภาพ ตอนนี้ใครคือ Drew Carey ไม่เป็นไร) คือเพื่อนของคุณ เขาต้องการให้คุณชนะเงินหรือของรางวัลสุดเจ๋ง มันพยายามให้ทุกโอกาสแก่คุณในการชนะ ตราบใดที่คุณสามารถเดาได้ว่าสินค้าที่ผู้สนับสนุนซื้อนั้นมีมูลค่าเท่าไร
มอนตี้ ฮอลล์มีพฤติกรรมแตกต่างออกไป เขาเป็นเหมือนฝาแฝดที่ชั่วร้ายของ Bob Barker เป้าหมายของเขาคือการทำให้คุณดูเป็นคนงี่เง่าในโทรทัศน์ระดับชาติ หากคุณอยู่ในรายการ เขาเป็นคู่ต่อสู้ของคุณ คุณเล่นกับเขา และโอกาสก็เข้าข้างเขา บางทีฉันอาจรุนแรงเกินไป แต่เมื่อดูการแสดงที่คุณมีแนวโน้มที่จะสนใจมากขึ้นหากคุณสวมชุดไร้สาระ นั่นแหละสิ่งที่ฉันคิด
มีมที่โด่งดังที่สุดอย่างหนึ่งของรายการนี้คือ มีประตูสามบานอยู่ตรงหน้าคุณ ประตูหมายเลข 1 ประตูหมายเลข 2 และประตูหมายเลข 3 คุณสามารถเลือกหนึ่งประตูได้ฟรี เบื้องหลังหนึ่งในนั้นคือรางวัลอันทรงคุณค่า - เช่น รถใหม่ ไม่มีรางวัลหลังประตูอีกสองบาน ซึ่งทั้งสองประตูไม่มีค่าเลย พวกเขาควรจะทำให้คุณขายหน้า ดังนั้นเบื้องหลังพวกเขาจึงไม่ใช่แค่ไม่มีอะไร แต่ยังมีบางสิ่งโง่ๆ เช่น แพะหรือยาสีฟันหลอดใหญ่ อะไรก็ได้นอกจากรถใหม่
คุณเลือกประตูบานใดบานหนึ่ง มอนตี้กำลังจะเปิดประตูเพื่อแจ้งให้คุณทราบว่าคุณชนะหรือไม่... แต่เดี๋ยวก่อน ก่อนที่เราจะรู้ เรามาดูประตูบานใดบานหนึ่งที่คุณไม่ได้เลือกกันดีกว่า มอนตี้รู้ว่าประตูไหนที่มีรางวัลอยู่ข้างหลัง และเขาสามารถเปิดประตูที่ไม่มีรางวัลอยู่ข้างหลังได้ตลอดเวลา “คุณกำลังเลือกประตูหมายเลข 3 หรือไม่? งั้นเปิดประตูหมายเลข 1 แสดงว่าไม่มีรางวัลอยู่ข้างหลัง” และตอนนี้ด้วยความเอื้ออาทรเขาจึงเสนอโอกาสให้คุณเปลี่ยนประตูหมายเลข 3 ที่เลือกไว้กับสิ่งที่อยู่ด้านหลังประตูหมายเลข 2
ณ จุดนี้ คำถามเกี่ยวกับความน่าจะเป็นเกิดขึ้น: โอกาสนี้เพิ่มความน่าจะเป็นในการชนะของคุณ หรือลดลง หรือยังคงไม่เปลี่ยนแปลงหรือไม่? คุณคิดอย่างไร?
คำตอบที่ถูกต้อง: ความสามารถในการเลือกประตูอื่นเพิ่มความน่าจะเป็นที่จะชนะจาก 1/3 เป็น 2/3 นี่เป็นเรื่องไร้เหตุผล หากคุณไม่เคยพบกับความขัดแย้งนี้มาก่อน เป็นไปได้มากว่าคุณกำลังคิดว่า เดี๋ยวก่อน เป็นไปได้อย่างไรที่การเปิดประตูบานเดียวทำให้เราเปลี่ยนความน่าจะเป็นได้อย่างน่าอัศจรรย์? ดังที่เราได้เห็นในแผนที่แล้ว นี่คือสิ่งที่เกิดขึ้นเมื่อเราได้รับข้อมูลเพิ่มเติม แน่นอนว่าเมื่อคุณเลือกครั้งแรก ความน่าจะเป็นที่จะชนะคือ 1/3 เมื่อประตูบานหนึ่งเปิดขึ้น ความน่าจะเป็นที่จะชนะตัวเลือกแรกจะไม่เปลี่ยนเลย ความน่าจะเป็นยังคงเป็น 1/3 แต่ความน่าจะเป็นที่อีกประตูถูกคือ 2/3
ลองดูตัวอย่างนี้จากมุมมองที่ต่างออกไป คุณเลือกประตู ความน่าจะเป็นที่จะชนะคือ 1/3 ฉันขอแนะนำให้คุณเปลี่ยนประตูอีกสองบาน ซึ่งเป็นสิ่งที่มอนตี้ ฮอลล์ทำ แน่นอนว่าเขาเปิดประตูบานหนึ่งเพื่อเผยให้เห็นว่าไม่มีรางวัลอยู่เบื้องหลัง แต่เขาสามารถทำเช่นนั้นได้เสมอ ดังนั้นมันจึงไม่เปลี่ยนแปลงอะไรเลย แน่นอนว่าคุณจะต้องเลือกประตูอื่น
หากคุณไม่ค่อยเข้าใจคำถามและต้องการคำอธิบายที่น่าเชื่อถือกว่านี้ ให้คลิกที่ลิงก์นี้เพื่อเข้าสู่แอปพลิเคชัน Flash ตัวเล็กๆ ที่จะช่วยให้คุณสามารถสำรวจความขัดแย้งนี้โดยละเอียดยิ่งขึ้น คุณสามารถเล่นโดยเริ่มจากประตูประมาณ 10 ประตู จากนั้นค่อยๆ ไต่ระดับไปจนถึงเกมที่มีสามประตู นอกจากนี้ยังมีเครื่องจำลองที่คุณสามารถเล่นกับประตูจำนวนเท่าใดก็ได้ตั้งแต่ 3 ถึง 50 ประตู หรือเล่นเกมจำลองหลายพันแบบ แล้วดูว่าคุณจะชนะกี่ครั้งถ้าคุณเล่น
เลือกหนึ่งในสามประตู - ความน่าจะเป็นที่จะชนะคือ 1/3 ตอนนี้คุณมีสองกลยุทธ์: เปลี่ยนตัวเลือกของคุณหลังจากเปิดประตูผิดหรือไม่ หากคุณไม่เปลี่ยนตัวเลือก ความน่าจะเป็นจะยังคงอยู่ 1/3 เนื่องจากตัวเลือกจะเกิดขึ้นในระยะแรกเท่านั้น และคุณต้องเดาทันที หากคุณเปลี่ยน คุณสามารถชนะได้หากคุณเลือกประตูผิดก่อน (จากนั้นประตูจะเปิดอีกประตูผิด ประตูที่ถูกต้องยังคงอยู่ - โดยการเปลี่ยนการตัดสินใจของคุณ คุณจะรับมัน) ความน่าจะเป็นในการเลือกประตูผิดตั้งแต่เริ่มต้นคือ 2/3 - ปรากฎว่าเมื่อเปลี่ยนการตัดสินใจ คุณจะมีโอกาสชนะเป็นสองเท่า
ข้อสังเกตจากอาจารย์ คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นและผู้เชี่ยวชาญด้านความสมดุลของเกม Maxim Soldatov - แน่นอนว่า Schreiber ไม่มีเธอ แต่ถ้าไม่มีเธอคุณก็สามารถเข้าใจสิ่งนี้ได้ การเปลี่ยนแปลงที่มีมนต์ขลังค่อนข้างยาก
และอีกครั้งเกี่ยวกับความขัดแย้งของ Monty Hall
ในส่วนของการแสดง แม้ว่าคู่ต่อสู้ของ Monty Hall จะไม่เก่งคณิตศาสตร์ แต่เขาก็สามารถทำได้ดี นี่คือสิ่งที่เขาทำเพื่อเปลี่ยนแปลงเกมเล็กน้อย หากคุณเลือกประตูที่มีรางวัลอยู่ข้างหลัง ซึ่งมีโอกาส 1/3 เกิดขึ้น ประตูนั้นจะเสนอทางเลือกให้คุณเลือกประตูอื่นเสมอ คุณจะเลือกรถแล้วเปลี่ยนเป็นแพะ แล้วคุณจะดูงี่เง่ามาก - ซึ่งเป็นสิ่งที่คุณต้องการพอดีเพราะฮอลเป็นคนประเภทที่ชั่วร้าย
แต่ถ้าคุณเลือกประตูที่ไม่มีรางวัลอยู่ข้างหลัง เขาจะขอให้คุณเลือกอีกครึ่งหนึ่งเท่านั้น หรือเขาจะให้คุณดูแพะตัวใหม่ของคุณแล้วคุณจะออกจากเวที มาวิเคราะห์เรื่องนี้กัน เกมใหม่โดยมอนตี้ ฮอลล์สามารถตัดสินใจได้ว่าจะเสนอโอกาสให้คุณเลือกประตูอื่นหรือไม่
สมมติว่าเขาทำตามอัลกอริธึมนี้: หากคุณเลือกประตูที่มีรางวัล เขาจะเสนอโอกาสให้คุณเลือกประตูอื่นเสมอ ไม่เช่นนั้นเขาจะ ความน่าจะเป็นที่เท่ากันจะเสนอให้คุณเลือกประตูอื่นหรือให้แพะแก่คุณ ความน่าจะเป็นของคุณที่จะชนะคืออะไร?
ในหนึ่งใน สามตัวเลือกคุณเลือกประตูที่อยู่ด้านหลังรางวัลทันทีและผู้นำเสนอขอเชิญคุณเลือกประตูอื่น
จากสองตัวเลือกที่เหลือจากสามตัวเลือก (ในตอนแรกคุณเลือกประตูที่ไม่มีรางวัล) ครึ่งหนึ่งของกรณีที่ผู้นำเสนอจะเสนอให้คุณเปลี่ยนการตัดสินใจและในอีกครึ่งหนึ่งของกรณี - ไม่
ครึ่งหนึ่งของ 2/3 คือ 1/3 นั่นคือในกรณีหนึ่งในสามคุณจะได้แพะ ในกรณีหนึ่งในสามคุณจะเลือกประตูผิดและเจ้าบ้านจะขอให้คุณเลือกประตูอื่น และในหนึ่ง กรณีจากสามคุณจะเลือกประตูที่ถูกต้อง แต่เขากลับเสนออีกประตูหนึ่ง
หากผู้นำเสนอเสนอให้เลือกประตูอื่น เราก็รู้อยู่แล้วว่า 1 ใน 3 กรณีที่เขาให้แพะเราแล้วเราจากไปนั้นไม่เกิดขึ้น นี้ ข้อมูลที่เป็นประโยชน์: หมายความว่าโอกาสในการชนะของเราเปลี่ยนไป สองกรณีจากสามกรณีที่เรามีโอกาสเลือก: ในกรณีหนึ่งหมายความว่าเราเดาถูก และอีกกรณีหนึ่งเราเดาผิด ดังนั้นหากเราได้รับโอกาสในการเลือกเลย ความน่าจะเป็นของการชนะของเรา คือ 1/2 และจากมุมมองทางคณิตศาสตร์ ไม่สำคัญว่าคุณจะเลือกประตูอื่นหรือเลือกประตูอื่น
เช่นเดียวกับโป๊กเกอร์ มันเป็นเกมจิตวิทยา ไม่ใช่เกมทางคณิตศาสตร์ ทำไมมอนตี้ถึงให้คุณเลือก? เขาคิดว่าคุณเป็นคนธรรมดาที่ไม่รู้ว่าการเลือกประตูอื่นเป็นการตัดสินใจที่ "ถูกต้อง" และจะยึดมั่นในการเลือกของเขาอย่างดื้อรั้น (ท้ายที่สุดแล้วในทางจิตวิทยา สถานการณ์มีความซับซ้อนมากขึ้น,เลือกรถแล้วหาย)?
หรือเขาตัดสินใจว่าคุณฉลาดและจะเลือกประตูอื่น เขาเสนอโอกาสนี้ให้คุณเพราะเขารู้ว่าคุณทายถูกตั้งแต่แรกและจะติดใจ? หรือบางทีเขาอาจจะใจดีอย่างไม่เคยมีมาก่อนและกดดันให้คุณทำสิ่งที่เป็นประโยชน์กับคุณเพราะเขาไม่ได้แจกรถมาสักพักแล้วและโปรดิวเซอร์บอกว่าคนดูเริ่มเบื่อแล้วจะดีกว่าถ้าแจกรางวัลใหญ่เร็วๆ นี้ เรตติ้งตกเหรอ?
ด้วยวิธีนี้ มอนตี้สามารถเสนอทางเลือกได้เป็นครั้งคราว และยังคงรักษาความน่าจะเป็นโดยรวมที่จะชนะที่ 1/3 โปรดจำไว้ว่าความน่าจะเป็นที่คุณจะสูญเสียทันทีคือ 1/3 ความน่าจะเป็นที่คุณจะทายถูกทันทีคือ 1/3 และ 50% ของครั้งนั้นคุณจะชนะ (1/3 x 1/2 = 1/6)
โอกาสที่คุณจะทายผิดในตอนแรกแต่ต่อมามีโอกาสเลือกประตูอื่นคือ 1/3 และครึ่งหนึ่งของครั้งนั้นคุณจะชนะ (เช่น 1/6 เช่นกัน) เพิ่มความเป็นไปได้ในการชนะโดยอิสระสองรายการ และคุณจะได้รับความน่าจะเป็น 1/3 ดังนั้นไม่สำคัญว่าคุณจะยึดติดกับตัวเลือกของคุณหรือเลือกประตูอื่น ความน่าจะเป็นโดยรวมของคุณที่จะชนะตลอดทั้งเกมคือ 1/3
ความน่าจะเป็นไม่ได้ยิ่งใหญ่กว่าในสถานการณ์เมื่อคุณเดาประตูและผู้นำเสนอก็แสดงให้คุณเห็นว่ามีอะไรอยู่เบื้องหลังโดยไม่ต้องเสนอให้เลือกประตูอื่น ประเด็นของข้อเสนอไม่ใช่เพื่อเปลี่ยนความน่าจะเป็น แต่เพื่อทำให้กระบวนการตัดสินใจสนุกสนานในการรับชมทางโทรทัศน์มากขึ้น
อย่างไรก็ตาม นี่เป็นเหตุผลหนึ่งว่าทำไมโป๊กเกอร์ถึงน่าสนใจมาก: ในรูปแบบส่วนใหญ่ ระหว่างรอบที่มีการเดิมพัน (เช่น ฟล็อป เทิร์น และริเวอร์ใน Texas Hold'em) ไพ่จะค่อยๆ เผยออกมา และหากตอนเริ่มเกมคุณมีโอกาสชนะหนึ่งครั้ง จากนั้นหลังจากแต่ละรอบการเดิมพันเมื่อเปิด การ์ดเพิ่มเติมความน่าจะเป็นนี้เปลี่ยนไป
ความขัดแย้งของเด็กชายและเด็กหญิง
สิ่งนี้นำเราไปสู่ความขัดแย้งที่รู้จักกันดีซึ่งตามกฎแล้วทำให้ทุกคนไขปริศนา - ความขัดแย้งของเด็กชายและเด็กหญิง สิ่งเดียวที่ฉันเขียนเกี่ยวกับวันนี้ซึ่งไม่เกี่ยวข้องโดยตรงกับเกม (แม้ว่าฉันเดาว่าฉันควรจะสนับสนุนให้คุณสร้างกลไกเกมที่เหมาะสม) นี่เป็นปริศนามากกว่า แต่เป็นปริศนาที่น่าสนใจ และเพื่อที่จะแก้ไขมัน คุณต้องเข้าใจความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข ซึ่งเราได้พูดถึงไปแล้วข้างต้น
ปัญหา: ฉันมีเพื่อนที่มีลูกสองคน อย่างน้อยหนึ่งในนั้นก็เป็นเด็กผู้หญิง ความน่าจะเป็นที่ลูกคนที่สองจะเป็นเด็กผู้หญิงเป็นเท่าไร? สมมติว่าในครอบครัวใดก็ตาม โอกาสที่จะมีเด็กหญิงและเด็กชายคือ 50/50 และนี่เป็นเรื่องจริงสำหรับเด็กทุกคน
ในความเป็นจริง ผู้ชายบางคนมีสเปิร์มที่มีโครโมโซม X หรือโครโมโซม Y อยู่ในตัวอสุจิมากกว่า ดังนั้นโอกาสจึงเปลี่ยนแปลงเล็กน้อย หากคุณรู้ว่าเด็กคนหนึ่งเป็นเด็กผู้หญิง โอกาสที่จะมีลูกสาวคนที่สองก็จะสูงขึ้นเล็กน้อย และยังมีเงื่อนไขอื่นๆ อีก เช่น ภาวะกระเทย แต่การแก้ปัญหานี้เราจะไม่คำนึงถึงเรื่องนี้และถือว่าการเกิดของเด็กคือ เหตุการณ์อิสระและการเกิดของเด็กชายและเด็กหญิงก็มีแนวโน้มเท่าเทียมกัน
เนื่องจากเรากำลังพูดถึงโอกาส 1/2 ตามสัญชาตญาณแล้ว เราคาดว่าคำตอบน่าจะเป็น 1/2 หรือ 1/4 หรือจำนวนอื่นๆ ที่เป็นจำนวนเท่าของ 2 ในตัวส่วน แต่คำตอบคือ 1/3. ทำไม
ปัญหาที่นี่คือข้อมูลที่เรามีลดจำนวนความเป็นไปได้ สมมติว่าพ่อแม่เป็นแฟนพันธุ์แท้ของ Sesame Street และไม่ว่าเด็กๆ จะเป็นเพศใดก็ตาม ให้ตั้งชื่อพวกเขาว่า A และ B ภายใต้สภาวะปกติ มีความเป็นไปได้ที่มีโอกาสเท่าเทียมกันสี่ประการ: A และ B เป็นเด็กชายสองคน A และ B เป็นเด็กผู้หญิงสองคน A และ B เป็นเด็กชายสองคน A และ B เป็นเด็กผู้หญิงสองคน A เป็นเด็กผู้ชาย และ B เป็นเด็กผู้หญิง A เป็นเด็กผู้หญิง และ B เป็นเด็กผู้ชาย เนื่องจากเรารู้ว่าเด็กอย่างน้อยหนึ่งคนเป็นเด็กผู้หญิง เราจึงตัดความเป็นไปได้ที่ A และ B จะเป็นเด็กชายสองคนได้ นี่ทำให้เรามีความเป็นไปได้สามประการ - ยังคงเป็นไปได้พอๆ กัน หากความเป็นไปได้ทั้งหมดมีความน่าจะเป็นเท่ากันและมี 3 รายการ ความน่าจะเป็นของแต่ละรายการคือ 1/3 มีเพียงหนึ่งในสามตัวเลือกเท่านั้นที่เป็นทั้งเด็กผู้หญิง ดังนั้นคำตอบคือ 1/3
และอีกครั้งเกี่ยวกับความขัดแย้งของเด็กชายและเด็กหญิง
การแก้ปัญหาก็ยิ่งไร้เหตุผลมากขึ้นไปอีก ลองนึกภาพเพื่อนของฉันมีลูกสองคน และหนึ่งในนั้นเป็นผู้หญิงที่เกิดวันอังคาร สมมติว่าภายใต้สภาวะปกติ เด็กสามารถเกิดได้ทุกวันในเจ็ดวันของสัปดาห์โดยมีความน่าจะเป็นเท่ากัน ความน่าจะเป็นที่ลูกคนที่สองจะเป็นเด็กผู้หญิงเป็นเท่าไร?
คุณอาจคิดว่าคำตอบยังคงเป็น 1/3: วันอังคารสำคัญอะไร? แต่ถึงแม้ในกรณีนี้ สัญชาตญาณของเราก็ล้มเหลว คำตอบคือ 13/27 ซึ่งไม่เพียงแต่ไม่เป็นไปตามสัญชาตญาณเท่านั้น แต่ยังแปลกมากอีกด้วย ในกรณีนี้คืออะไร?
อันที่จริง วันอังคารเปลี่ยนความน่าจะเป็นเนื่องจากเราไม่รู้ว่าเด็กคนไหนเกิดในวันอังคาร หรือบางทีอาจเกิดทั้งสองคนในวันอังคาร ในกรณีนี้ เราใช้ตรรกะเดียวกัน: เรานับชุดค่าผสมที่เป็นไปได้ทั้งหมดเมื่อมีเด็กผู้หญิงที่เกิดในวันอังคารอย่างน้อยหนึ่งคน เช่นเดียวกับในตัวอย่างก่อนหน้านี้ สมมติว่ารายการย่อยมีชื่อว่า A และ B ชุดค่าผสมมีลักษณะดังนี้:
- A คือเด็กผู้หญิงที่เกิดวันอังคาร B เป็นเด็กผู้ชาย (ในสถานการณ์นี้มีความเป็นไปได้ 7 ประการ โดยหนึ่งอย่างสำหรับแต่ละวันในสัปดาห์ที่เด็กผู้ชายจะเกิดได้)
- B เป็นเด็กผู้หญิงที่เกิดวันอังคาร A เป็นเด็กผู้ชาย (เป็นไปได้ 7 ประการด้วย)
- A - เด็กผู้หญิงที่เกิดวันอังคาร B - เด็กผู้หญิงที่เกิดในวันอื่นของสัปดาห์ (6 ความเป็นไปได้)
- B คือเด็กหญิงที่เกิดวันอังคาร A คือเด็กหญิงที่ไม่ได้เกิดวันอังคาร (มีความน่าจะเป็น 6 ประการด้วย)
- A และ B เป็นเด็กผู้หญิงสองคนที่เกิดวันอังคาร (มีความเป็นไปได้ 1 ข้อ คุณต้องใส่ใจเรื่องนี้เพื่อไม่ให้นับซ้ำ)
เรารวมแล้วได้ 27 รายการที่เป็นไปได้เท่าๆ กันสำหรับการเกิดของเด็กและวัน โดยความเป็นไปได้ที่เด็กหญิงจะเกิดในวันอังคารอย่างน้อยหนึ่งครั้ง ในจำนวนนี้มีความเป็นไปได้ 13 ประการเมื่อเด็กหญิงสองคนเกิดมา ดูเหมือนว่าจะไร้เหตุผลโดยสิ้นเชิง - ดูเหมือนว่างานนี้ถูกสร้างขึ้นมาเพื่อให้ปวดหัวเท่านั้น หากคุณยังคงสับสน เว็บไซต์ของ Jesper Juhl นักทฤษฎีเกมมีคำอธิบายที่ดีเกี่ยวกับปัญหานี้
หากคุณกำลังเล่นเกมอยู่
หากมีการสุ่มในเกมที่คุณกำลังออกแบบ นี่เป็นเวลาที่ดีในการวิเคราะห์มัน เลือกองค์ประกอบบางอย่างที่คุณต้องการวิเคราะห์ ก่อนอื่นให้ถามตัวเองว่าคุณคาดหวังความน่าจะเป็นสำหรับองค์ประกอบที่กำหนดว่าจะเป็นอย่างไร และควรเป็นอย่างไรในบริบทของเกม
ตัวอย่างเช่น หากคุณกำลังสร้าง RPG และคุณสงสัยว่าความน่าจะเป็นที่ผู้เล่นจะเอาชนะสัตว์ประหลาดในการต่อสู้คืออะไร ให้ถามตัวเองว่า เปอร์เซ็นต์การชนะดูเหมือนใช่สำหรับคุณ โดยปกติแล้วในเกม RPG คอนโซล ผู้เล่นจะรู้สึกเสียใจมากเมื่อพ่ายแพ้ ดังนั้นจึงเป็นการดีที่สุดหากแพ้ไม่บ่อยนัก - 10% ของเวลาหรือน้อยกว่านั้น หากคุณเป็นนักออกแบบเกม RPG คุณคงรู้ดีกว่าฉัน แต่คุณต้องมีแนวคิดพื้นฐานว่าความน่าจะเป็นควรเป็นเช่นไร
จากนั้นถามตัวเองว่าความน่าจะเป็นของคุณขึ้นอยู่กับ (เช่น ไพ่) หรือเป็นอิสระ (เช่น ลูกเต๋า) วิเคราะห์ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้และความน่าจะเป็นทั้งหมด ตรวจสอบให้แน่ใจว่าผลรวมของความน่าจะเป็นทั้งหมดคือ 100% และแน่นอน เปรียบเทียบผลลัพธ์ที่ได้รับกับความคาดหวังของคุณ คุณสามารถทอยลูกเต๋าหรือจั่วไพ่ได้ตามต้องการหรือชัดเจนว่าต้องปรับค่าต่างๆ และแน่นอน หากคุณพบข้อบกพร่องใดๆ คุณสามารถใช้การคำนวณเดียวกันนี้เพื่อกำหนดว่าจะต้องเปลี่ยนแปลงค่ามากน้อยเพียงใด
การบ้านที่ได้รับมอบหมาย
ของคุณ การบ้าน” สัปดาห์นี้จะช่วยให้คุณฝึกฝนทักษะความน่าจะเป็น นี่คือเกมลูกเต๋าสองเกมและเกมไพ่หนึ่งเกมที่คุณจะวิเคราะห์โดยใช้ความน่าจะเป็น เช่นเดียวกับกลไกเกมแปลก ๆ ที่ฉันเคยพัฒนาซึ่งจะทดสอบวิธีมอนติคาร์โล
เกม #1 - กระดูกมังกร
นี่คือเกมลูกเต๋าที่เพื่อนร่วมงานของฉันและฉันเคยคิดขึ้นมา (ต้องขอบคุณ Jeb Havens และ Jesse King) - มันทำให้ผู้คนตะลึงด้วยความน่าจะเป็นโดยเฉพาะ มันเป็นเกมคาสิโนง่ายๆ ที่เรียกว่า Dragon Dice และเป็นการแข่งขันลูกเต๋าการพนันระหว่างผู้เล่นและเจ้ามือ
คุณจะได้รับตาย 1d6 ปกติ เป้าหมายของเกมคือการทอยตัวเลขให้สูงกว่าบ้าน ทอมได้รับ 1d6 ที่ไม่ได้มาตรฐาน - เช่นเดียวกับของคุณ แต่บนใบหน้าด้านใดด้านหนึ่งแทนที่จะเป็นหน่วยจะมีรูปมังกร (ดังนั้นคาสิโนจึงมีลูกบาศก์มังกร - 2-3-4-5-6 ). หากบ้านมีมังกร มันจะชนะโดยอัตโนมัติและคุณจะแพ้ หากได้รับทั้งคู่ หมายเลขเดียวกัน- เสมอกัน และคุณทอยลูกเต๋าอีกครั้ง ผู้ที่หมุนหมายเลขสูงสุดจะเป็นผู้ชนะ
แน่นอนว่าทุกอย่างไม่ได้เป็นไปตามความต้องการของผู้เล่นเลย เพราะคาสิโนมีข้อได้เปรียบในรูปแบบของขอบมังกร แต่นี่เป็นเรื่องจริงเหรอ? นี่คือสิ่งที่คุณต้องคำนวณ แต่ตรวจสอบสัญชาตญาณของคุณก่อน
สมมติว่าอัตราต่อรองคือ 2 ต่อ 1 ดังนั้นหากคุณชนะ คุณจะเก็บเงินเดิมพันไว้และได้รับเงินเดิมพันเป็นสองเท่า ตัวอย่างเช่น หากคุณเดิมพัน 1 ดอลลาร์และชนะ คุณจะเก็บดอลลาร์นั้นไว้และได้เพิ่มอีก 2 ดอลลาร์ รวมเป็น 3 ดอลลาร์ หากคุณแพ้ คุณจะเสียเงินเดิมพันเท่านั้น คุณจะเล่นไหม? คุณรู้สึกโดยสัญชาตญาณว่าความน่าจะเป็นนั้นมากกว่า 2 ต่อ 1 หรือคุณยังคิดว่ามันน้อยกว่าหรือไม่ กล่าวอีกนัยหนึ่ง โดยเฉลี่ยมากกว่า 3 เกม คุณคาดหวังที่จะชนะมากกว่าหนึ่งครั้ง หรือน้อยกว่า หรือหนึ่งครั้ง?
เมื่อคุณเข้าใจสัญชาตญาณแล้ว ให้ใช้คณิตศาสตร์ ลูกเต๋าทั้งสองมีตำแหน่งที่เป็นไปได้เพียง 36 ตำแหน่ง ดังนั้นคุณจึงสามารถนับทั้งหมดได้โดยไม่มีปัญหา หากคุณไม่แน่ใจเกี่ยวกับข้อเสนอ 2 ต่อ 1 ให้ลองพิจารณาสิ่งนี้: สมมติว่าคุณเล่นเกม 36 ครั้ง (เดิมพัน 1 ดอลลาร์ในแต่ละครั้ง) สำหรับการชนะแต่ละครั้ง คุณจะได้รับ 2 ดอลลาร์ สำหรับการแพ้แต่ละครั้ง คุณจะเสีย 1 ดอลลาร์ และการเสมอกันจะไม่มีการเปลี่ยนแปลงใดๆ คำนวณชัยชนะและความสูญเสียที่เป็นไปได้ทั้งหมดของคุณ และตัดสินใจว่าคุณจะแพ้หรือได้เงินดอลลาร์บ้าง แล้วถามตัวเองว่าสัญชาตญาณของคุณถูกต้องแค่ไหน แล้วจะรู้ว่าฉันเป็นคนร้ายขนาดไหน
และใช่ หากคุณคิดเกี่ยวกับคำถามนี้แล้ว ฉันตั้งใจทำให้คุณสับสนโดยบิดเบือนกลไกที่แท้จริงของเกมลูกเต๋า แต่ฉันแน่ใจว่าคุณสามารถเอาชนะอุปสรรคนี้ได้ด้วยความคิดเพียงเล็กน้อย พยายามแก้ไขปัญหานี้ด้วยตัวเอง
เกมที่ 2 - เสี่ยงโชค
นี้ การพนันในลูกเต๋าที่เรียกว่า "โยนโชค" (หรือ "กรงนก" เพราะบางครั้งลูกเต๋าจะไม่ทอยแต่วางอยู่ในกรงลวดขนาดใหญ่ชวนให้นึกถึงกรงจากบิงโก) เกมนี้เรียบง่ายและโดยพื้นฐานแล้วมีเนื้อหาดังนี้: เดิมพัน เช่น 1 ดอลลาร์จากตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 6 จากนั้นคุณทอย 3d6 สำหรับการตายแต่ละครั้ง หมายเลขของคุณตกลง คุณจะได้รับ 1 ดอลลาร์ (และคงเงินเดิมพันเดิมไว้) หากหมายเลขของคุณไม่ปรากฏบนลูกเต๋าใดๆ คาสิโนจะได้รับเงินดอลลาร์ของคุณและคุณจะไม่ได้อะไรเลย ดังนั้น หากคุณเดิมพันที่ 1 และได้ 1 ที่ด้านข้างสามครั้ง คุณจะได้รับ 3 ดอลลาร์
โดยสัญชาตญาณดูเหมือนว่าเกมนี้มีโอกาสเท่ากัน การตายแต่ละครั้งมีโอกาสชนะ 1 ใน 6 ของแต่ละบุคคล ดังนั้นจากผลรวมของการทอยทั้งสามครั้ง โอกาสในการชนะของคุณคือ 3 ใน 6 อย่างไรก็ตาม จำไว้ว่าคุณกำลังเพิ่มลูกเต๋าสามลูกแยกจากกัน และคุณได้รับอนุญาตเท่านั้น เพิ่มถ้าเรากำลังพูดถึงรายบุคคล ชุดค่าผสมที่ชนะกระดูกเดียวกัน สิ่งที่คุณจะต้องคูณ
เมื่อคุณคำนวณผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด (อาจจะทำได้ง่ายกว่าใน Excel มากกว่าด้วยมือ เนื่องจากมี 216 ผลลัพธ์) เกมยังคงดูแปลกแม้จะมองแวบแรกก็ตาม ในความเป็นจริง คาสิโนยังมีโอกาสชนะที่ดีกว่า – มากกว่านี้อีกเท่าไหร่? โดยเฉพาะอย่างยิ่ง คุณคาดหวังที่จะเสียเงินโดยเฉลี่ยเท่าใดในแต่ละรอบการเล่น?
สิ่งที่คุณต้องทำคือบวกผลชนะและแพ้ของผลลัพธ์ทั้งหมด 216 รายการ แล้วหารด้วย 216 ซึ่งน่าจะค่อนข้างง่าย แต่อย่างที่คุณเห็น มีข้อผิดพลาดหลายประการที่นี่ ซึ่งเป็นเหตุผลที่ฉันพูดว่า: ถ้าคุณคิดว่าเกมนี้มีโอกาสที่จะชนะ คุณก็คิดผิดไปหมดแล้ว
เกม #3 - โป๊กเกอร์สตั๊ดไพ่ 5 ใบ
หากคุณได้อุ่นเครื่องกับเกมก่อนหน้านี้แล้ว มาตรวจสอบสิ่งที่เรารู้เกี่ยวกับความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขโดยใช้เกมไพ่นี้เป็นตัวอย่าง ลองจินตนาการถึงเกมโป๊กเกอร์ที่มีสำรับไพ่ 52 ใบ ลองจินตนาการถึงไพ่สตั๊ด 5 ใบ โดยที่ผู้เล่นแต่ละคนจะได้รับไพ่เพียง 5 ใบเท่านั้น คุณไม่สามารถทิ้งการ์ดได้ คุณไม่สามารถจั่วการ์ดใหม่ได้ ไม่มีสำรับที่ใช้ร่วมกัน คุณจะได้รับการ์ดเพียง 5 ใบเท่านั้น
รอยัลฟลัชคือ 10-J-Q-K-A ในมือเดียว มีทั้งหมดสี่แต้ม ดังนั้นจึงมีสี่แต้ม วิธีที่เป็นไปได้รับรอยัลฟลัช คำนวณความน่าจะเป็นที่คุณจะได้ชุดค่าผสมดังกล่าว
ฉันต้องเตือนคุณถึงสิ่งหนึ่ง: จำไว้ว่าคุณสามารถจั่วไพ่ห้าใบนี้ในลำดับใดก็ได้ นั่นคือก่อนอื่นคุณสามารถจั่วเอซหรือสิบได้ไม่สำคัญ ดังนั้น เมื่อคำนวณ โปรดจำไว้ว่าจริงๆ แล้วมีมากกว่าสี่วิธีในการได้รอยัลฟลัช โดยสมมติว่าไพ่ถูกแจกตามลำดับ
เกมที่ 4 - ลอตเตอรี IMF
ปัญหาที่สี่ไม่สามารถแก้ไขได้ง่าย ๆ โดยใช้วิธีที่เราพูดถึงในวันนี้ แต่คุณสามารถจำลองสถานการณ์ได้อย่างง่ายดายโดยใช้การเขียนโปรแกรมหรือ Excel เป็นตัวอย่างของปัญหานี้ที่คุณสามารถหาวิธีมอนติคาร์โลได้
ฉันพูดถึงเกม Chron X ไปแล้วก่อนหน้านี้ซึ่งฉันเคยทำมาแล้วครั้งหนึ่งและมีเกมหนึ่งที่ชอบมาก แผนที่ที่น่าสนใจ- ลอตเตอรีไอเอ็มเอฟ นี่คือวิธีการทำงาน: คุณใช้มันในเกม หลังจากจบรอบ การ์ดจะถูกแจกจ่ายซ้ำ และมีโอกาส 10% ที่การ์ดจะออกจากการเล่น และผู้เล่นสุ่มจะได้รับทรัพยากรแต่ละประเภท 5 หน่วยซึ่งมีโทเค็นปรากฏบนการ์ดนั้น ไพ่ถูกเข้าสู่การเล่นโดยไม่มีชิปแม้แต่ตัวเดียว แต่ทุกครั้งที่ยังคงอยู่ในการเล่นเมื่อเริ่มรอบถัดไป จะได้รับชิปหนึ่งชิป
ดังนั้นจึงมีโอกาส 10% ที่ถ้าคุณใส่มันลงเล่น รอบจะจบลง การ์ดจะออกจากเกม และจะไม่มีใครได้อะไรเลย หากสิ่งนี้ไม่เกิดขึ้น (โอกาส 90%) ก็มีโอกาส 10% (จริง ๆ แล้ว 9% เนื่องจากเป็น 10% ของ 90%) ที่ในรอบต่อไปเธอจะออกจากเกมและบางคนจะได้รับทรัพยากร 5 หน่วย หากการ์ดออกจากเกมหลังจากหนึ่งรอบ (10% ของ 81% ที่มีอยู่ดังนั้นความน่าจะเป็นคือ 8.1%) บางคนจะได้รับ 10 หน่วย อีกรอบ - 15 อีกครั้ง - 20 และอื่น ๆ คำถาม: ค่าคาดหวังโดยทั่วไปของจำนวนทรัพยากรที่คุณจะได้รับจากการ์ดใบนี้เมื่อออกจากเกมในที่สุดคือเท่าไร?
โดยปกติเราจะพยายามแก้ไขปัญหานี้โดยการคำนวณความเป็นไปได้ของแต่ละผลลัพธ์แล้วคูณด้วยจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด มีโอกาส 10% ที่คุณจะได้ 0 (0.1 * 0 = 0) 9% ที่คุณจะได้รับทรัพยากร 5 หน่วย (9% * 5 = 0.45 ทรัพยากร) 8.1% ของสิ่งที่คุณจะได้รับคือ 10 (ทรัพยากร 8.1%*10=0.81 - มูลค่าที่คาดหวังโดยรวม) และอื่นๆ แล้วเราจะสรุปทั้งหมดให้ฟัง
และตอนนี้ปัญหาก็ชัดเจนสำหรับคุณ: มีโอกาสเสมอที่การ์ดจะไม่ออกจากเกมมันสามารถอยู่ในเกมได้ตลอดไปเพราะ จำนวนอนันต์รอบ จึงไม่มีทางที่จะคำนวณทุกความน่าจะเป็นได้ วิธีการที่เราได้เรียนรู้ในวันนี้ไม่อนุญาตให้เราคำนวณการเรียกซ้ำแบบไม่มีที่สิ้นสุด ดังนั้นเราจะต้องสร้างมันขึ้นมาเอง
หากคุณเก่งการเขียนโปรแกรมเพียงพอ ให้เขียนโปรแกรมที่จะจำลองแผนที่นี้ คุณควรมีไทม์ลูปที่นำตัวแปรไปยังตำแหน่งเริ่มต้นเป็นศูนย์ แสดงตัวเลขสุ่ม และมีโอกาส 10% ที่ตัวแปรจะออกจากลูป มิฉะนั้นจะเพิ่ม 5 ให้กับตัวแปรและวนซ้ำ เมื่อออกจากลูปในที่สุด ให้เพิ่มจำนวนการทดลองใช้ทั้งหมดขึ้น 1 และจำนวนทรัพยากรทั้งหมด (ขึ้นอยู่กับว่าตัวแปรสิ้นสุดที่ใด) จากนั้นรีเซ็ตตัวแปรและเริ่มต้นใหม่อีกครั้ง
รันโปรแกรมหลายพันครั้ง ในตอนท้าย ให้หารจำนวนทรัพยากรทั้งหมดด้วยจำนวนการวิ่งทั้งหมด ซึ่งจะเป็นค่ามอนติคาร์โลที่คุณคาดหวัง รันโปรแกรมหลายๆ ครั้งเพื่อให้แน่ใจว่าตัวเลขที่คุณได้รับนั้นใกล้เคียงกัน หากการกระจายยังคงมีขนาดใหญ่ ให้เพิ่มจำนวนการทำซ้ำในลูปด้านนอกจนกว่าคุณจะเริ่มได้แมตช์ คุณสามารถมั่นใจได้ว่าตัวเลขใดก็ตามที่คุณลงท้ายด้วยจะถูกต้องโดยประมาณ
หากคุณยังใหม่กับการเขียนโปรแกรม (แม้ว่าคุณจะเป็น) ต่อไปนี้คือแบบฝึกหัดสั้นๆ เพื่อทดสอบทักษะ Excel ของคุณ หากคุณเป็นนักออกแบบเกม ทักษะเหล่านี้จะไม่มีวันฟุ่มเฟือย
ตอนนี้ฟังก์ชัน if และ rand จะมีประโยชน์สำหรับคุณมาก Rand ไม่ต้องการค่า เพียงสร้างค่าสุ่มขึ้นมา เลขทศนิยมจาก 0 ถึง 1 โดยปกติแล้วเราจะรวมมันเข้ากับพื้นและข้อดีและข้อเสียเพื่อจำลองการทอยลูกเต๋าที่ผมกล่าวไว้ก่อนหน้านี้ อย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้ เราเพียงทิ้งโอกาส 10% ที่การ์ดจะออกจากเกม ดังนั้นเราจึงสามารถตรวจสอบได้ว่าค่าแรนด์น้อยกว่า 0.1 หรือไม่ และไม่ต้องกังวลกับมันอีกต่อไป
ถ้ามีสามความหมาย ตามลำดับ: เงื่อนไขที่เป็นจริงหรือเท็จ จากนั้นค่าที่ส่งคืนหากเงื่อนไขเป็นจริง และค่าที่ส่งคืนหากเงื่อนไขเป็นเท็จ ดังนั้นฟังก์ชันต่อไปนี้จะส่งคืน 5% ของเวลา และ 0 ที่เหลือ 90% ของเวลา: =ถ้า(แรนด์()<0.1,5,0) .
มีหลายวิธีในการตั้งค่าคำสั่งนี้ แต่ฉันจะใช้สูตรนี้สำหรับเซลล์ที่แสดงถึงรอบแรก สมมติว่าเป็นเซลล์ A1: =ถ้า(แรนด์()<0.1,0,-1) .
ที่นี่ฉันใช้ตัวแปรลบเพื่อหมายถึง "การ์ดใบนี้ยังไม่ออกจากเกมและยังไม่หมดทรัพยากรใดๆ" ดังนั้นหากรอบแรกจบลงและไพ่ออกจากการเล่น A1 จะเป็น 0; มิฉะนั้นจะเป็น –1
สำหรับเซลล์ถัดไปที่เป็นตัวแทนของรอบที่สอง: =IF(A1>-1, A1, IF(แรนด์()<0.1,5,-1)) - ดังนั้นหากรอบแรกจบลงและไพ่ออกจากเกมทันที A1 จะเป็น 0 (จำนวนทรัพยากร) และเซลล์นี้จะคัดลอกค่านั้น มิฉะนั้น A1 จะเป็น -1 (การ์ดยังไม่ได้ออกจากเกม) และเซลล์นี้ยังคงเคลื่อนที่แบบสุ่ม: 10% ของเวลาที่มันจะคืนทรัพยากร 5 หน่วย เวลาที่เหลือมูลค่าของมันจะยังคงเท่ากับ -1. หากเราใช้สูตรนี้กับเซลล์เพิ่มเติม เราจะได้รอบเพิ่มเติม และเซลล์ใดก็ตามที่คุณอยู่ได้จะให้ผลลัพธ์สุดท้ายแก่คุณ (หรือ -1 หากการ์ดไม่เคยออกจากเกมหลังจากคุณเล่นทุกรอบแล้ว)
นำเซลล์แถวนั้นซึ่งแสดงถึงรอบเดียวที่มีการ์ดใบนั้น แล้วคัดลอกและวางแถวหลายร้อย (หรือพัน) แถว เราอาจไม่สามารถทำการทดสอบ Excel แบบไม่มีที่สิ้นสุดได้ (ในตารางมีจำนวนเซลล์จำกัด) แต่อย่างน้อยเราก็สามารถครอบคลุมกรณีส่วนใหญ่ได้ จากนั้นเลือกเซลล์หนึ่งเซลล์ที่คุณจะวางค่าเฉลี่ยของผลลัพธ์ของทุกรอบ - Excel จะให้ฟังก์ชัน Average() ที่เป็นประโยชน์สำหรับสิ่งนี้
บน Windows อย่างน้อยคุณก็สามารถกด F9 เพื่อคำนวณตัวเลขสุ่มทั้งหมดใหม่ได้ เช่นเคย ให้ทำเช่นนี้หลายครั้งแล้วดูว่าคุณได้ค่าเท่ากันหรือไม่ หากสเปรดใหญ่เกินไป ให้เพิ่มจำนวนการวิ่งเป็นสองเท่าแล้วลองอีกครั้ง
ปัญหาที่ยังไม่ได้รับการแก้ไข
หากคุณมีวุฒิการศึกษาระดับปริญญาในทฤษฎีความน่าจะเป็นและปัญหาข้างต้นดูเหมือนง่ายเกินไปสำหรับคุณ นี่คือปัญหาสองข้อที่ฉันครุ่นคิดมานานหลายปี แต่น่าเสียดายที่ฉันไม่เก่งคณิตศาสตร์พอที่จะแก้ปัญหาเหล่านั้น
ปัญหาที่ยังไม่ได้รับการแก้ไข #1: ลอตเตอรี IMF
ปัญหาแรกที่ยังไม่ได้รับการแก้ไขคือการบ้านที่มอบหมายก่อนหน้านี้ ฉันสามารถใช้วิธี Monte Carlo ได้อย่างง่ายดาย (โดยใช้ C ++ หรือ Excel) และมั่นใจในคำตอบของคำถาม "ผู้เล่นจะได้รับทรัพยากรจำนวนเท่าใด" แต่ฉันไม่รู้ว่าจะให้คำตอบที่พิสูจน์ได้อย่างแน่นอนในทางคณิตศาสตร์อย่างไร (คือ ซีรีส์ที่ไม่มีที่สิ้นสุด)
ปัญหาที่ยังไม่ได้แก้ไข #2: ลำดับของตัวเลข
ปัญหานี้ (มันยังไปไกลกว่างานที่แก้ไขในบล็อกนี้ด้วย) เพื่อนนักเล่นเกมมอบให้ฉันเมื่อกว่าสิบปีที่แล้ว ในขณะที่เล่นแบล็คแจ็คในเวกัส เขาสังเกตเห็นสิ่งที่น่าสนใจอย่างหนึ่ง: เมื่อเขาถอดไพ่ออกจากรองเท้า 8 สำรับ เขาเห็นตัวเลขสิบตัวติดต่อกัน (ตัวเลขหรือไพ่หน้าคือ 10 โจ๊กเกอร์ คิงหรือควีน ดังนั้นจึงมี 16 ตัวใน รวมในไพ่มาตรฐาน 52 สำรับหรือ 128 ใบในฐานไพ่ 416 ใบ)
ความน่าจะเป็นที่รองเท้านี้มีอย่างน้อยหนึ่งลำดับที่มีตัวเลขสิบตัวขึ้นไปคือเท่าใด สมมติว่าพวกมันถูกสับอย่างยุติธรรมโดยสุ่มลำดับ หรือถ้าคุณต้องการ ความน่าจะเป็นที่ลำดับของตัวเลขตั้งแต่สิบตัวขึ้นไปจะไม่เกิดขึ้นที่ใดเลยคือเท่าใด
เราสามารถทำให้งานง่ายขึ้น นี่คือลำดับของ 416 ส่วน แต่ละส่วนคือ 0 หรือ 1 มี 128 ส่วนและศูนย์ 288 ตัวกระจายแบบสุ่มตลอดลำดับ มีกี่วิธีในการสุ่มกระจาย 128 ตัวกับศูนย์ 288 ตัว และกี่ครั้งในลักษณะเหล่านี้ที่จะมีอย่างน้อย 1 กลุ่มที่มีตั้งแต่ 10 ตัวขึ้นไป?
ทุกครั้งที่ฉันเริ่มแก้ไขปัญหานี้ มันดูเหมือนง่ายและชัดเจนสำหรับฉัน แต่ทันทีที่ฉันเจาะลึกรายละเอียด มันก็พังทลายลงและดูเหมือนเป็นไปไม่ได้เลย
ดังนั้นอย่ารีบโพล่งคำตอบ: นั่งลง คิดให้รอบคอบ ศึกษาเงื่อนไข พยายามแทนจำนวนจริง เพราะทุกคนที่ฉันได้พูดคุยด้วยเกี่ยวกับปัญหานี้ (รวมถึงนักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษาหลายคนที่ทำงานในสาขานี้) ต่างก็มีปฏิกิริยาโต้ตอบ เหมือนกัน: “มันชัดเจนมาก... โอ้ ไม่ เดี๋ยวก่อน มันไม่ชัดเจนเลย” นี่เป็นกรณีที่ฉันไม่มีวิธีการคำนวณตัวเลือกทั้งหมด แน่นอนว่าฉันสามารถบังคับปัญหาแบบเดรัจฉานผ่านอัลกอริธึมคอมพิวเตอร์ได้ แต่การรู้วิธีแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์จะน่าสนใจกว่ามาก