เมื่อแก้สมการและอสมการ มักจำเป็นต้องแยกตัวประกอบพหุนามที่มีดีกรีเป็น 3 หรือสูงกว่า ในบทความนี้เราจะดูวิธีที่ง่ายที่สุดในการทำเช่นนี้

ตามปกติเราจะหันไปหาทฤษฎีเพื่อขอความช่วยเหลือ

ทฤษฎีบทของเบซูต์ระบุว่าส่วนที่เหลือเมื่อหารพหุนามด้วยทวินามคือ

แต่สิ่งที่สำคัญสำหรับเราไม่ใช่ทฤษฎีบท แต่เป็น ข้อพิสูจน์จากมัน:

หากตัวเลขเป็นรากของพหุนาม พหุนามก็จะหารด้วยทวินามโดยไม่มีเศษเหลือ

เรากำลังเผชิญกับภารกิจในการค้นหารากของพหุนามอย่างน้อยหนึ่งราก จากนั้นจึงหารพหุนามด้วย โดยที่รากของพหุนามอยู่ที่ไหน เป็นผลให้เราได้พหุนามซึ่งมีดีกรีน้อยกว่าดีกรีดั้งเดิมหนึ่งอัน จากนั้นหากจำเป็นคุณสามารถทำซ้ำได้

งานนี้แบ่งออกเป็นสอง: วิธีค้นหารากของพหุนาม และวิธีหารพหุนามด้วยทวินาม.

ลองมาดูประเด็นเหล่านี้ให้ละเอียดยิ่งขึ้น

1. วิธีค้นหารากของพหุนาม

ก่อนอื่น เราตรวจสอบว่าตัวเลข 1 และ -1 เป็นรากของพหุนามหรือไม่

ข้อเท็จจริงต่อไปนี้จะช่วยเราได้ที่นี่:

ถ้าผลรวมของสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของพหุนามเป็นศูนย์ ตัวเลขนั้นก็จะเป็นรากของพหุนาม

ตัวอย่างเช่น ในพหุนาม ผลรวมของสัมประสิทธิ์จะเป็นศูนย์: เป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่ารากของพหุนามคืออะไร

ถ้าผลรวมของสัมประสิทธิ์ของพหุนามที่กำลังเลขคู่ เท่ากับผลรวมของสัมประสิทธิ์ที่กำลังเลขคี่ แล้วตัวเลขดังกล่าวจะเป็นรากของพหุนามเทอมอิสระถือเป็นสัมประสิทธิ์ของดีกรีคู่ เนื่องจาก a เป็นจำนวนคู่

ตัวอย่างเช่น ในพหุนาม ผลรวมของสัมประสิทธิ์สำหรับกำลังคู่คือ : และผลรวมของสัมประสิทธิ์สำหรับกำลังคี่คือ : เป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่ารากของพหุนามคืออะไร

ถ้าทั้ง 1 และ -1 ไม่ใช่รากของพหุนาม เราก็ไปต่อ

สำหรับพหุนามรีดิวซ์ของดีกรี (นั่นคือ พหุนามที่สัมประสิทธิ์นำหน้า - สัมประสิทธิ์ที่ - เท่ากับเอกภาพ) สูตร Vieta ใช้ได้:

รากของพหุนามอยู่ที่ไหน

ยังมีสูตรเวียตต้าเกี่ยวกับสัมประสิทธิ์ที่เหลืออยู่ของพหุนามด้วย แต่เราสนใจสูตรนี้

จากสูตรเวียตต้านี้จึงเป็นไปตามนั้น ถ้ารากของพหุนามเป็นจำนวนเต็ม พวกมันก็จะเป็นตัวหารของพจน์อิสระ ซึ่งก็คือจำนวนเต็มด้วย

บนพื้นฐานนี้ เราจำเป็นต้องแยกตัวประกอบเทอมอิสระของพหุนามเป็นปัจจัย และตามลำดับจากน้อยไปมาก ให้ตรวจสอบว่าปัจจัยใดที่เป็นรากของพหุนาม

ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาพหุนาม

ตัวหารของคำอิสระ: ;

- -

ผลรวมของสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของพหุนามเท่ากับ ดังนั้น จำนวน 1 จึงไม่ใช่รากของพหุนาม

ผลรวมของสัมประสิทธิ์สำหรับกำลังคู่:

ผลรวมของสัมประสิทธิ์สำหรับกำลังคี่:

ดังนั้น ตัวเลข -1 จึงไม่ใช่รากของพหุนามด้วย

ตรวจสอบว่าหมายเลข 2 เป็นรากของพหุนามหรือไม่ ดังนั้น หมายเลข 2 จึงเป็นรากของพหุนาม ซึ่งหมายความว่า ตามทฤษฎีบทของเบซูต์ พหุนามสามารถหารด้วยทวินามได้โดยไม่มีเศษ

2. วิธีหารพหุนามให้เป็นทวินาม

พหุนามสามารถแบ่งออกเป็นทวินามได้ด้วยคอลัมน์

หารพหุนามด้วยทวินามโดยใช้คอลัมน์:

มีอีกวิธีในการหารพหุนามด้วยทวินาม - แบบแผนของฮอร์เนอร์ ชมวิดีโอนี้เพื่อทำความเข้าใจ

วิธีหารพหุนามด้วยทวินามด้วยคอลัมน์ และใช้แผนภาพฮอร์เนอร์

ฉันสังเกตว่าหากหารด้วยคอลัมน์ ระดับของสิ่งที่ไม่ทราบหายไปในพหุนามดั้งเดิม เราจะเขียน 0 ในตำแหน่งนั้น - เช่นเดียวกับเมื่อรวบรวมตารางสำหรับโครงร่างของ Horner

ดังนั้น หากเราต้องหารพหุนามด้วยทวินามและผลจากการหารทำให้เราได้พหุนาม เราก็สามารถหาค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามได้โดยใช้โครงร่างของฮอร์เนอร์: เรายังสามารถใช้ได้แผนการของฮอร์เนอร์

เพื่อตรวจสอบว่าตัวเลขที่กำหนดเป็นรากของพหุนามหรือไม่ ถ้าตัวเลขนั้นเป็นรากของพหุนาม แล้วเศษที่เหลือเมื่อหารพหุนามด้วยจะเท่ากับศูนย์ กล่าวคือ ในคอลัมน์สุดท้ายของแถวที่สองของ แผนภาพฮอร์เนอร์เราได้ 0

โดยใช้แผนของฮอร์เนอร์ เรา "ฆ่านกสองตัวด้วยหินนัดเดียว": เราตรวจสอบพร้อมกันว่าตัวเลขนั้นเป็นรากของพหุนามหรือไม่ และหารพหุนามนี้ด้วยทวินามตัวอย่าง.

แก้สมการ:

1. ลองเขียนตัวหารของเทอมอิสระแล้วค้นหารากของพหุนามจากตัวหารของเทอมอิสระ

ตัวหารของ 24:

2. ลองตรวจสอบว่าหมายเลข 1 เป็นรากของพหุนามหรือไม่

ผลรวมของสัมประสิทธิ์ของพหุนาม ดังนั้น เลข 1 จึงเป็นรากของพหุนาม

3. แบ่งพหุนามดั้งเดิมออกเป็นทวินามโดยใช้โครงร่างของฮอร์เนอร์

A) มาเขียนสัมประสิทธิ์ของพหุนามดั้งเดิมในแถวแรกของตารางกัน

เนื่องจากคำที่มีหายไปในคอลัมน์ของตารางที่ควรเขียนสัมประสิทธิ์เราจึงเขียน 0 ทางด้านซ้ายเราเขียนรูทที่พบ: หมายเลข 1

ในคอลัมน์สุดท้าย ตามที่คาดไว้ เราได้ศูนย์ เราหารพหุนามเดิมด้วยทวินามโดยไม่มีเศษ ค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามที่เกิดจากการหารจะแสดงเป็นสีน้ำเงินในแถวที่สองของตาราง:

เป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่าตัวเลข 1 และ -1 ไม่ใช่รากของพหุนาม

B) เรามาต่อตารางกัน ตรวจสอบว่าหมายเลข 2 เป็นรากของพหุนามหรือไม่:

ดังนั้นระดับของพหุนามซึ่งได้มาจากการหารด้วยหนึ่งจึงน้อยกว่าระดับของพหุนามดั้งเดิม ดังนั้นจำนวนสัมประสิทธิ์และจำนวนคอลัมน์จึงน้อยกว่าหนึ่งคอลัมน์

ในคอลัมน์สุดท้าย เราได้ -40 ซึ่งเป็นตัวเลขที่ไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้น พหุนามจึงหารด้วยทวินามด้วยเศษที่เหลือ และเลข 2 ไม่ใช่รากของพหุนาม

C) ลองตรวจสอบว่าตัวเลข -2 เป็นรากของพหุนามหรือไม่ เนื่องจากความพยายามครั้งก่อนล้มเหลว เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนกับค่าสัมประสิทธิ์ ฉันจะลบบรรทัดที่เกี่ยวข้องกับความพยายามนี้:

ยอดเยี่ยม! เราได้ศูนย์เป็นเศษ ดังนั้น พหุนามจึงถูกแบ่งออกเป็นทวินามโดยไม่มีเศษ ดังนั้น เลข -2 จึงเป็นรากของพหุนาม ค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามที่ได้จากการหารพหุนามด้วยทวินามจะแสดงเป็นสีเขียวในตาราง

ผลจากการหารทำให้เราได้ตรีโกณมิติกำลังสอง ซึ่งรากของมันหาได้ง่ายโดยใช้ทฤษฎีบทของ Vieta:

ดังนั้น รากของสมการดั้งเดิมคือ:

{}

คำตอบ: ( }

สไลด์ 3

ฮอร์เนอร์ วิลเลียมส์ จอร์จ (1786-22.9.1837) - นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ เกิดที่เมืองบริสตอล เขาศึกษาและทำงานที่นั่น จากนั้นในโรงเรียนในเมืองบาธ งานพื้นฐานเกี่ยวกับพีชคณิต ในปี ค.ศ. 1819 เผยแพร่วิธีการคำนวณรากที่แท้จริงของพหุนามซึ่งปัจจุบันเรียกว่าวิธีรัฟฟินี-ฮอร์เนอร์ (วิธีนี้เป็นที่รู้จักของชาวจีนในศตวรรษที่ 13) แผนการหารพหุนามด้วยทวินาม x-a ได้รับการตั้งชื่อ หลังจากฮอร์เนอร์

สไลด์ 4

โครงการฮอร์เนอร์

วิธีการหารพหุนามระดับที่ n ด้วยทวินามเชิงเส้น - a ขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงที่ว่าค่าสัมประสิทธิ์ของผลหารที่ไม่สมบูรณ์และส่วนที่เหลือสัมพันธ์กับค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามที่ถูกหารด้วยสูตร:

สไลด์ 5

การคำนวณตามรูปแบบของฮอร์เนอร์วางอยู่ในตาราง:

ตัวอย่างที่ 1 การหารผลหารบางส่วนคือ x3-x2+3x - 13 และเศษคือ 42=f(-3)

สไลด์ 6

ข้อได้เปรียบหลักของวิธีนี้คือความกะทัดรัดของสัญกรณ์และความสามารถในการแบ่งพหุนามออกเป็นทวินามได้อย่างรวดเร็ว อันที่จริงแล้ว แผนการของฮอร์เนอร์เป็นอีกรูปแบบหนึ่งของการบันทึกวิธีการจัดกลุ่ม แม้ว่าจะไม่เหมือนกับวิธีหลังตรงที่เป็นแบบไม่เห็นภาพเลยก็ตาม คำตอบ (การแยกตัวประกอบ) ได้มาจากตัวมันเอง และเราไม่เห็นกระบวนการของการได้คำตอบนั้น เราจะไม่มีส่วนร่วมในการพิสูจน์แผนการของฮอร์เนอร์อย่างเข้มงวด แต่จะแสดงเพียงวิธีการทำงานเท่านั้น

สไลด์ 7

ตัวอย่างที่ 2

ลองพิสูจน์ว่าพหุนาม P(x)=x4-6x3+7x-392 หารด้วย x-7 ลงตัว และหาผลหารของการหาร สารละลาย. เมื่อใช้โครงร่างของฮอร์เนอร์ เราจะพบ P(7): จากที่นี่ เราได้ P(7)=0 นั่นคือ ส่วนที่เหลือเมื่อหารพหุนามด้วย x-7 จะเท่ากับศูนย์ ดังนั้น พหุนาม P(x) จึงเป็นผลคูณของ (x-7) ยิ่งกว่านั้น ตัวเลขในแถวที่สองของตารางยังเป็นค่าสัมประสิทธิ์ของ ผลหารของ P(x) หารด้วย (x-7) ดังนั้น P(x)=(x-7)(x3+x2+7x+56)

สไลด์ 8

แยกตัวประกอบพหุนาม x3 – 5x2 – 2x + 16

พหุนามนี้มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม ถ้าจำนวนเต็มเป็นรากของพหุนามนี้ มันก็จะเป็นตัวหารของจำนวน 16 ดังนั้น หากพหุนามที่กำหนดมีรากเป็นจำนวนเต็ม ค่าเหล่านี้จะเป็นได้เพียงตัวเลข ±1 เท่านั้น ±2; ±4; ±8; ±16. จากการตรวจสอบโดยตรง เรามั่นใจว่าเลข 2 คือรากของพหุนามนี้ นั่นคือ x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)Q(x) โดยที่ Q(x) คือพหุนามของดีกรีที่สอง

สไลด์ 9

ผลลัพธ์ตัวเลข 1, −3, −8 คือสัมประสิทธิ์ของพหุนาม ซึ่งได้มาจากการหารพหุนามดั้งเดิมด้วย x – 2 ซึ่งหมายความว่าผลลัพธ์ของการหารคือ: 1 x2 + (–3)x + ( –8) = x2 – 3x – 8 ดีกรีของพหุนามที่เกิดจากการหารจะน้อยกว่าดีกรีของค่าเดิมเสมอ 1 ดังนั้น: x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)(x2 – 3x – 8)

โครงการของฮอร์เนอร์ - วิธีการหารพหุนาม

$$P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n)+a_(1)x^(n-1 )+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$$

บนทวินาม $x-a$ คุณจะต้องทำงานกับตาราง ซึ่งแถวแรกประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ของพหุนามที่กำหนด องค์ประกอบแรกของบรรทัดที่สองจะเป็นตัวเลข $a$ ซึ่งนำมาจากทวินาม $x-a$:

หลังจากหารพหุนามของดีกรีที่ n ด้วยทวินาม $x-a$ เราจะได้พหุนามที่มีดีกรีน้อยกว่าค่าเดิมหนึ่งค่า นั่นคือ เท่ากับ $n-1$ การประยุกต์ใช้แผนของ Horner โดยตรงนั้นง่ายที่สุดในการสาธิตพร้อมตัวอย่าง

ตัวอย่างหมายเลข 1

หาร $5x^4+5x^3+x^2-11$ ด้วย $x-1$ โดยใช้โครงร่างของฮอร์เนอร์

ลองสร้างตารางสองบรรทัด: ในบรรทัดแรกเราเขียนสัมประสิทธิ์ของพหุนาม $5x^4+5x^3+x^2-11$ โดยจัดเรียงกำลังของตัวแปร $x$ ตามลำดับจากมากไปน้อย โปรดทราบว่าพหุนามนี้ไม่มี $x$ อยู่ในดีกรีแรก นั่นคือ ค่าสัมประสิทธิ์ของ $x$ ยกกำลังแรกคือ 0 เนื่องจากเราหารด้วย $x-1$ เราจึงเขียนหนึ่งในบรรทัดที่สอง:

มาเริ่มเติมเซลล์ว่างในบรรทัดที่สองกัน ในเซลล์ที่สองของบรรทัดที่สอง เราเขียนตัวเลข $5$ เพียงแค่ย้ายมันออกจากเซลล์ที่เกี่ยวข้องของบรรทัดแรก:

มาเติมเซลล์ถัดไปตามหลักการนี้: $1\cdot 5+5=10$:

มาเติมเซลล์ที่สี่ของบรรทัดที่สองด้วยวิธีเดียวกัน: $1\cdot 10+1=11$:

สำหรับเซลล์ที่ห้า เราได้: $1\cdot 11+0=11$:

และสุดท้าย สำหรับเซลล์สุดท้าย เซลล์ที่ 6 เรามี: $1\cdot 11+(-11)=0$:

ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว สิ่งที่เหลืออยู่คือการเขียนคำตอบ:

อย่างที่คุณเห็น ตัวเลขที่อยู่ในบรรทัดที่สอง (ระหว่างหนึ่งกับศูนย์) คือสัมประสิทธิ์ของพหุนามที่ได้รับหลังจากหาร $5x^4+5x^3+x^2-11$ ด้วย $x-1$ โดยธรรมชาติ เนื่องจากดีกรีของพหุนามเดิม $5x^4+5x^3+x^2-11$ เท่ากับ 4 ดังนั้นดีกรีของผลลัพธ์พหุนาม $5x^3+10x^2+11x+11$ คือ น้อยกว่าหนึ่งอันนั่นคือ . เท่ากับสาม ตัวเลขสุดท้ายในบรรทัดที่สอง (ศูนย์) หมายถึงเศษเมื่อหารพหุนาม $5x^4+5x^3+x^2-11$ ด้วย $x-1$ ในกรณีของเรา ส่วนที่เหลือเป็นศูนย์ นั่นคือ พหุนามจะหารลงตัวเท่ากัน ผลลัพธ์นี้สามารถแสดงลักษณะเฉพาะได้ดังต่อไปนี้: ค่าของพหุนาม $5x^4+5x^3+x^2-11$ สำหรับ $x=1$ เท่ากับศูนย์

นอกจากนี้ยังสามารถกำหนดข้อสรุปในรูปแบบนี้ได้ เนื่องจากค่าของพหุนาม $5x^4+5x^3+x^2-11$ ที่ $x=1$ เท่ากับศูนย์ ดังนั้น ความสามัคคีจึงเป็นรากของพหุนาม $5x^4+5x^3+ x^2-11$.

ตัวอย่างหมายเลข 2

หารพหุนาม $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ ด้วย $x+3$ โดยใช้โครงร่างของฮอร์เนอร์

ให้เรากำหนดทันทีว่านิพจน์ $x+3$ จะต้องแสดงในรูปแบบ $x-(-3)$ แผนการของฮอร์เนอร์จะเกี่ยวข้องกับเงิน $-3$ อย่างแน่นอน เนื่องจากดีกรีของพหุนามดั้งเดิม $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ เท่ากับ 4 ดังนั้นจากการหาร เราจึงได้พหุนามของดีกรีที่สาม:

ผลลัพธ์ก็หมายความว่า

$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(x+3)(x^3+0\cดอท x^2 +4x-17)+4=(x+3)(x^ 3+4x-17)+4$$

ในสถานการณ์นี้ เศษที่เหลือเมื่อหาร $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ ด้วย $x+3$ จะเป็น $4$ หรือที่เหมือนกัน ค่าของพหุนาม $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ สำหรับ $x=-3$ เท่ากับ $4$ อย่างไรก็ตาม มันง่ายที่จะตรวจสอบอีกครั้งโดยการแทนที่ $x=-3$ ลงในพหุนามที่กำหนดโดยตรง:

$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(-3)^4+3 \cdot (-3)^3-5 \cdot (-3)-47=4.$$

เหล่านั้น. สามารถใช้โครงร่างของฮอร์เนอร์ได้ถ้าคุณต้องการค้นหาค่าของพหุนามสำหรับค่าที่กำหนดของตัวแปร หากเป้าหมายของเราคือการค้นหารากทั้งหมดของพหุนาม แผนของฮอร์เนอร์สามารถนำไปใช้ได้หลายครั้งติดต่อกันจนกว่าเราจะใช้รากทั้งหมดหมด ตามที่กล่าวไว้ในตัวอย่างที่ 3

ตัวอย่างหมายเลข 3

ค้นหารากจำนวนเต็มทั้งหมดของพหุนาม $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ โดยใช้โครงร่างของฮอร์เนอร์

ค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามที่เป็นปัญหาคือจำนวนเต็ม และค่าสัมประสิทธิ์ของกำลังสูงสุดของตัวแปร (เช่น $x^6$) เท่ากับ 1 ในกรณีนี้ จะต้องค้นหารากจำนวนเต็มของพหุนามในกลุ่มตัวหารของเทอมอิสระ เช่น ในบรรดาตัวหารของจำนวน 45 สำหรับพหุนามที่กำหนด รากดังกล่าวอาจเป็นตัวเลข $45 - 15; - 9; - 5; - 3; - 1$ และ $-45; - -15; - -9; - -5; - -3; - -1$. ตัวอย่างเช่น ลองตรวจสอบตัวเลข $1$:

อย่างที่คุณเห็น ค่าของพหุนาม $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ โดย $x=1$ เท่ากับ $192$ (ตัวเลขสุดท้าย ในบรรทัดที่สอง) ไม่ใช่ $0 $ ดังนั้นความสามัคคีจึงไม่ใช่รากของพหุนามนี้ เนื่องจากการตรวจสอบล้มเหลว ลองตรวจสอบค่า $x=-1$ กัน เราจะไม่สร้างตารางใหม่สำหรับสิ่งนี้ แต่จะใช้ตารางต่อไป หมายเลข 1 เพิ่มบรรทัดใหม่ (สาม) เข้าไป บรรทัดที่สองซึ่งมีการตรวจสอบมูลค่า $1$ จะถูกเน้นด้วยสีแดงและจะไม่ถูกนำมาใช้ในการสนทนาต่อไป

แน่นอนคุณสามารถเขียนตารางใหม่อีกครั้งได้ แต่การกรอกด้วยตนเองจะใช้เวลานาน นอกจากนี้ อาจมีตัวเลขหลายตัวที่การยืนยันจะล้มเหลว และเป็นการยากที่จะเขียนตารางใหม่ในแต่ละครั้ง เมื่อคำนวณ "บนกระดาษ" คุณสามารถขีดเส้นสีแดงออกได้

ดังนั้น ค่าของพหุนาม $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ ที่ $x=-1$ จะเท่ากับศูนย์ กล่าวคือ ตัวเลข $-1$ เป็นรากของพหุนามนี้ หลังจากหารพหุนาม $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ ด้วยทวินาม $x-(-1)=x+1$ เราจะได้พหุนาม $x ^5+x ^4-22x^3+2x^2+69x+45$ ค่าสัมประสิทธิ์นำมาจากแถวที่สามของตาราง หมายเลข 2 (ดูตัวอย่างหมายเลข 1) ผลลัพธ์ของการคำนวณสามารถแสดงในรูปแบบนี้:

\begin(สมการ)x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x^3+2x^2 +69x+45)\end(สมการ)

มาค้นหารากจำนวนเต็มต่อไป ตอนนี้ เราต้องค้นหารากของพหุนาม $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$ ขอย้ำอีกครั้งว่ารากจำนวนเต็มของพหุนามนี้ถูกค้นหาจากตัวหารของเทอมอิสระ ซึ่งก็คือตัวเลข $45$ ลองตรวจสอบตัวเลข $-1$ อีกครั้ง เราจะไม่สร้างตารางใหม่ แต่จะใช้ตารางก่อนหน้าต่อไป หมายเลข 2 เช่น มาเพิ่มอีกบรรทัดหนึ่ง:

ดังนั้น ตัวเลข $-1$ คือรากของพหุนาม $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$ ผลลัพธ์นี้สามารถเขียนได้ดังนี้:

\begin(สมการ)x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45=(x+1)(x^4-22x^2+24x+45) \end(สมการ)

เมื่อคำนึงถึงความเท่าเทียมกัน (2) ความเท่าเทียมกัน (1) สามารถเขียนใหม่ได้ในรูปแบบต่อไปนี้:

\begin(สมการ)\begin(จัดชิด) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x ^2+2x^2+69x+45)=\\ & =(x+1)(x+1)(x^4-22x^2+24x+45)=(x+1)^2(x^ 4-22x^2+24x+45)\end(ชิด)\end(สมการ)

ตอนนี้ เราต้องมองหารากของพหุนาม $x^4-22x^2+24x+45$ จากตัวหารของพจน์อิสระของมัน (ตัวเลข $45$) ลองตรวจสอบหมายเลข $-1$ อีกครั้ง:

จำนวน $-1$ คือรากของพหุนาม $x^4-22x^2+24x+45$ ผลลัพธ์นี้สามารถเขียนได้ดังนี้:

\begin(สมการ)x^4-22x^2+24x+45=(x+1)(x^3-x^2-21x+45) \end(สมการ)

โดยคำนึงถึงความเท่าเทียมกัน (4) เราเขียนความเท่าเทียมกัน (3) ใหม่ในรูปแบบต่อไปนี้:

\begin(สมการ)\begin(จัดชิด) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)^2(x^4-22x^3 +24x+45)= \\ & =(x+1)^2(x+1)(x^3-x^2-21x+45)=(x+1)^3(x^3-x^ 2-21x+45)\end(ชิด)\end(สมการ)

ตอนนี้เรากำลังมองหารากของพหุนาม $x^3-x^2-21x+45$ ลองตรวจสอบหมายเลข $-1$ อีกครั้ง:

การตรวจสอบสิ้นสุดลงด้วยความล้มเหลว ลองไฮไลต์บรรทัดที่หกด้วยสีแดงแล้วลองตรวจสอบหมายเลขอื่น เช่น หมายเลข $3$:

ส่วนที่เหลือเป็นศูนย์ ดังนั้นตัวเลข $3$ จึงเป็นรากของพหุนามที่ต้องการ ดังนั้น $x^3-x^2-21x+45=(x-3)(x^2+2x-15)$ ตอนนี้ความเท่าเทียมกัน (5) สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้

ด้วยโปรแกรมคณิตศาสตร์นี้ คุณสามารถหารพหุนามตามคอลัมน์ได้
โปรแกรมสำหรับการหารพหุนามด้วยพหุนามไม่เพียงแต่ให้คำตอบของปัญหาเท่านั้น แต่ยังให้คำตอบโดยละเอียดพร้อมคำอธิบาย เช่น แสดงกระบวนการเฉลยเพื่อทดสอบความรู้ทางคณิตศาสตร์และ/หรือพีชคณิต

โปรแกรมนี้มีประโยชน์สำหรับนักเรียนมัธยมปลายในโรงเรียนการศึกษาทั่วไปเมื่อเตรียมตัวสอบ ทดสอบความรู้ก่อนสอบ Unified State และสำหรับผู้ปกครองในการควบคุมการแก้ปัญหาต่าง ๆ ในคณิตศาสตร์และพีชคณิต

หรืออาจจะแพงเกินไปสำหรับคุณที่จะจ้างครูสอนพิเศษหรือซื้อตำราเรียนใหม่ หรือคุณเพียงต้องการให้ทำการบ้านคณิตศาสตร์หรือพีชคณิตให้เสร็จโดยเร็วที่สุด? ในกรณีนี้ คุณสามารถใช้โปรแกรมของเราพร้อมวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดได้

ด้วยวิธีนี้ คุณสามารถดำเนินการฝึกอบรมและ/หรือฝึกอบรมน้องชายหรือน้องสาวของคุณได้เอง ในขณะที่ระดับการศึกษาในด้านการแก้ปัญหาก็เพิ่มขึ้น หากคุณต้องการหรือลดความซับซ้อนของพหุนาม หรือคูณพหุนาม

จากนั้นเรามีโปรแกรมการทำให้เข้าใจง่าย (การคูณ) ของพหุนามแยกต่างหาก

ตัวอย่างเช่น: x^2-3x+5

ตัวอย่างเช่น: 3x-1

หารพหุนาม
พบว่าไม่ได้โหลดสคริปต์บางตัวที่จำเป็นในการแก้ปัญหานี้ และโปรแกรมอาจไม่ทำงาน
คุณอาจเปิดใช้งาน AdBlock ไว้

ในกรณีนี้ ให้ปิดการใช้งานและรีเฟรชเพจ
JavaScript ถูกปิดใช้งานในเบราว์เซอร์ของคุณ
เพื่อให้วิธีแก้ปัญหาปรากฏขึ้น คุณต้องเปิดใช้งาน JavaScript

ต่อไปนี้เป็นคำแนะนำเกี่ยวกับวิธีเปิดใช้งาน JavaScript ในเบราว์เซอร์ของคุณ
เพราะ มีคนจำนวนมากยินดีแก้ไขปัญหา คำขอของคุณอยู่ในคิวแล้ว
ภายในไม่กี่วินาทีวิธีแก้ปัญหาจะปรากฏขึ้นด้านล่าง โปรดรอ

วินาที... ถ้าคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในการแก้ปัญหา
จากนั้นคุณสามารถเขียนเกี่ยวกับเรื่องนี้ในแบบฟอร์มคำติชม อย่าลืมระบุว่างานใด คุณตัดสินใจว่าอะไร.

เข้าไปในทุ่งนา

เกม ปริศนา อีมูเลเตอร์ของเรา:

ทฤษฎีเล็กน้อย

การหารพหุนามเป็นพหุนาม (ทวินาม) ด้วยคอลัมน์ (มุม) ในพีชคณิตการหารพหุนามด้วยคอลัมน์ (มุม)

- อัลกอริธึมสำหรับการหารพหุนาม f(x) ด้วยพหุนาม (ทวินาม) g(x) ซึ่งมีดีกรีน้อยกว่าหรือเท่ากับดีกรีของพหุนาม f(x)

อัลกอริธึมการหารพหุนามต่อพหุนามเป็นรูปแบบทั่วไปของการหารคอลัมน์ของตัวเลขที่สามารถนำไปใช้งานด้วยมือได้อย่างง่ายดาย
สำหรับพหุนามใดๆ \(f(x) \) และ \(g(x) \), \(g(x) \neq 0 \) จะมีพหุนามเฉพาะ \(q(x) \) และ \(r( x ) \) เช่นนั้น
\(\frac(f(x))(g(x)) = q(x)+\frac(r(x))(g(x)) \)

และ \(r(x)\) มีดีกรีต่ำกว่า \(g(x)\)

เป้าหมายของอัลกอริทึมในการแบ่งพหุนามออกเป็นคอลัมน์ (มุม) คือการหาผลหาร \(q(x) \) และส่วนที่เหลือ \(r(x) \) สำหรับเงินปันผลที่กำหนด \(f(x) \) และตัวหารที่ไม่ใช่ศูนย์ \(g(x) \)

ลองหารพหุนามหนึ่งด้วยพหุนามอีกอัน (ทวินาม) โดยใช้คอลัมน์ (มุม):
\(\large \frac(x^3-12x^2-42)(x-3) \)

ผลหารและเศษเหลือของพหุนามเหล่านี้สามารถหาได้โดยทำตามขั้นตอนต่อไปนี้:
1. หารองค์ประกอบแรกของตัวหารด้วยตัวหารที่สูงที่สุด แล้วนำผลลัพธ์ไปไว้ใต้เส้น \((x^3/x = x^2)\)

\(x\) \(-3 \) \(x^2\)

3. ลบพหุนามที่ได้จากการคูณด้วยเงินปันผล แล้วเขียนผลลัพธ์ไว้ใต้เส้น \((x^3-12x^2+0x-42-(x^3-3x^2)=-9x^2+0x- 42) \)

\(x^3\) \(-12x^2\) \(+0x\) \(-42 \) \(x^3\) \(-3x^2\) \(-9x^2\) \(+0x\) \(-42 \)

\(x\) \(-3 \) \(x^2\)

4. ทำซ้ำ 3 ขั้นตอนก่อนหน้าโดยใช้พหุนามที่เขียนใต้เส้นเป็นเงินปันผล

\(x^3\) \(-12x^2\) \(+0x\) \(-42 \) \(x^3\) \(-3x^2\) \(-9x^2\) \(+0x\) \(-42 \) \(-9x^2\) \(+27x\) \(-27x\) \(-42 \)

\(x\) \(-3 \) \(x^2\) \(-9x\)

5. ทำซ้ำขั้นตอนที่ 4

\(x^3\) \(-12x^2\) \(+0x\) \(-42 \) \(x^3\) \(-3x^2\) \(-9x^2\) \(+0x\) \(-42 \) \(-9x^2\) \(+27x\) \(-27x\) \(-42 \) \(-27x\) \(+81 \) \(-123 \)

\(x\) \(-3 \) \(x^2\) \(-9x\) \(-27 \)

6. สิ้นสุดอัลกอริทึม
ดังนั้น พหุนาม \(q(x)=x^2-9x-27\) คือผลหารของการหารพหุนาม และ \(r(x)=-123\) คือส่วนที่เหลือของการหารพหุนาม

ผลลัพธ์ของการหารพหุนามสามารถเขียนได้ในรูปของความเท่าเทียมกันสองค่า:
\(x^3-12x^2-42 = (x-3)(x^2-9x-27)-123\)
หรือ
\(\large(\frac(x^3-12x^2-42)(x-3)) = x^2-9x-27 + \large(\frac(-123)(x-3)) \)

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

• สอนให้นักเรียนแก้สมการระดับที่สูงกว่าโดยใช้โครงร่างของฮอร์เนอร์
• พัฒนาความสามารถในการทำงานเป็นคู่
• สร้างพื้นฐานในการพัฒนาความสามารถของนักเรียนร่วมกับส่วนหลักของหลักสูตร
• ช่วยให้นักเรียนประเมินศักยภาพของตนเอง พัฒนาความสนใจในวิชาคณิตศาสตร์ ความสามารถในการคิด และพูดในหัวข้อนั้น

อุปกรณ์:การ์ดสำหรับงานกลุ่ม โปสเตอร์พร้อมแผนภาพของฮอร์เนอร์

วิธีการสอน:การบรรยาย เรื่องราว การอธิบาย การทำแบบฝึกหัด

แบบฟอร์มการควบคุม:การตรวจสอบปัญหาการแก้ปัญหาอิสระการทำงานอิสระ

ความคืบหน้าของบทเรียน

1. ช่วงเวลาขององค์กร

2. การอัพเดตความรู้ของนักศึกษา

ทฤษฎีบทใดช่วยให้คุณระบุได้ว่าตัวเลขเป็นรากของสมการที่กำหนด (กำหนดทฤษฎีบท) หรือไม่

ทฤษฎีบทของเบซูต์ ส่วนที่เหลือของการหารพหุนาม P(x) ด้วยทวินาม x-c เท่ากับ P(c) จำนวน c เรียกว่ารากของพหุนาม P(x) ถ้า P(c)=0 ทฤษฎีบทอนุญาตให้ระบุได้ว่าตัวเลขที่กำหนดเป็นรากของพหุนามโดยไม่ต้องดำเนินการหารหรือไม่

ข้อความใดที่ทำให้ค้นหารากได้ง่ายขึ้น

ก) หากค่าสัมประสิทธิ์นำหน้าของพหุนามเท่ากับหนึ่ง ควรหารากของพหุนามจากตัวหารของพจน์อิสระ

b) ถ้าผลรวมของสัมประสิทธิ์ของพหุนามเป็น 0 ดังนั้นหนึ่งในรากคือ 1

c) ถ้าผลรวมของสัมประสิทธิ์ในตำแหน่งคู่เท่ากับผลรวมของสัมประสิทธิ์ในตำแหน่งคี่ ดังนั้นรากอันใดอันหนึ่งจะเท่ากับ -1

d) ถ้าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดเป็นบวก รากของพหุนามจะเป็นจำนวนลบ

จ) พหุนามระดับคี่มีรากจริงอย่างน้อยหนึ่งราก

3. การเรียนรู้เนื้อหาใหม่

เมื่อแก้สมการพีชคณิตทั้งหมด คุณต้องค้นหาค่ารากของพหุนาม การดำเนินการนี้สามารถทำให้ง่ายขึ้นอย่างมากหากการคำนวณดำเนินการโดยใช้อัลกอริธึมพิเศษที่เรียกว่าโครงร่างฮอร์เนอร์ วงจรนี้ตั้งชื่อตามนักวิทยาศาสตร์ชาวอังกฤษ William George Horner โครงร่างของฮอร์เนอร์เป็นอัลกอริทึมสำหรับคำนวณผลหารและเศษที่เหลือของการหารพหุนาม P(x) ด้วย x-c สั้น ๆ ว่ามันทำงานอย่างไร

ให้พหุนามตามอำเภอใจ P(x) = a 0 xn + a 1 xn-1 + …+ a n-1 x+ a n การหารพหุนามนี้ด้วย x-c จะแสดงในรูปแบบ P(x)=(x-c)g(x) + r(x) บางส่วน g(x)=ใน 0 x n-1 + ใน n x n-2 +...+ใน n-2 x + ใน n-1 โดยที่ ใน 0 =a 0 ใน n =st n-1 +a n , n=1,2,3,…n-1 ส่วนที่เหลือ r(x)= st n-1 +a n วิธีการคำนวณนี้เรียกว่าโครงการฮอร์เนอร์ คำว่า "โครงร่าง" ในชื่อของอัลกอริทึมนั้นเกิดจากการที่การใช้งานมักมีรูปแบบดังนี้ อันดับแรก วาดตาราง 2(n+2) ในเซลล์ด้านซ้ายล่างให้เขียนเลข c และบรรทัดบนสุดคือค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนาม P(x) ในกรณีนี้ เซลล์ด้านซ้ายบนจะเว้นว่างไว้

	ใน 0 = 0	ใน 1 =st 1 +a 1	ใน 2 = สวี 1 + ก 2		ใน n-1 =st n-2 +a n-1	r(x)=f(c)=st n-1 +a n

ตัวเลขที่หลังจากดำเนินการอัลกอริธึมแล้ว กลับกลายเป็นว่าเขียนไว้ในเซลล์มุมขวาล่างคือเศษที่เหลือของการหารพหุนาม P(x) ด้วย x-c ตัวเลขอื่นๆ ใน 0, ใน 1, ใน 2,... ในบรรทัดล่างคือค่าสัมประสิทธิ์ของผลหาร

ตัวอย่าง: หารพหุนาม P(x)= x 3 -2x+3 ด้วย x-2

เราได้ x 3 -2x+3=(x-2) (x 2 +2x+2) + 7

4. การรวมเนื้อหาที่ศึกษา

ตัวอย่างที่ 1:แยกตัวประกอบพหุนาม P(x)=2x4-7x 3 -3x 2 +5x-1 ให้เป็นตัวประกอบที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม

เรากำลังมองหารากทั้งหมดในบรรดาตัวหารของเทอมอิสระ -1: 1; -1. มาทำตารางกันเถอะ:

X = -1 – รูท

P(x)= (x+1) (2x 3 -9x 2 +6x -1)

ลองตรวจสอบ 1/2.

					X=1/2 - รูท

ดังนั้นจึงสามารถแสดงพหุนาม P(x) ในรูปได้

P(x)= (x+1) (x-1/2) (x 2 -8x +2) = (x+1) (2x -1) (x 2 - 4x +1)

ตัวอย่างที่ 2:แก้สมการ 2x 4 - 5x 3 + 5x 2 - 2 = 0

เนื่องจากผลรวมของสัมประสิทธิ์ของพหุนามที่เขียนทางด้านซ้ายของสมการเท่ากับศูนย์ ดังนั้นหนึ่งในรากคือ 1 ลองใช้โครงร่างของฮอร์เนอร์:

						X=1 - รูท

เราได้ P(x)=(x-1) (2x 3 -3x 2 =2x +2) เราจะค้นหารากของตัวหารของเทอมอิสระ 2

เราพบว่าไม่มีรากที่สมบูรณ์อีกต่อไป ลองตรวจสอบ 1/2; -1/2.

					X= -1/2 - รูท

คำตอบ: 1; -1/2.

ตัวอย่างที่ 3:แก้สมการ 5x 4 – 3x 3 – 4x 2 -3x+ 5 = 0

เราจะค้นหารากของสมการนี้จากตัวหารของเทอมอิสระ 5: 1;-1;5;-5 x=1 คือรากของสมการ เนื่องจากผลรวมของสัมประสิทธิ์เป็นศูนย์ ลองใช้แผนของฮอร์เนอร์:

ลองนำเสนอสมการเป็นผลคูณของปัจจัยสามตัว: (x-1) (x-1) (5x 2 -7x + 5) = 0 การแก้สมการกำลังสอง 5x 2 -7x+5=0 เราได้ D=49-100=-51 ไม่มีราก

การ์ด 1

1. แยกตัวประกอบพหุนาม: x 4 +3x 3 -5x 2 -6x-8
2. แก้สมการ: 27x 3 -15x 2 +5x-1=0

การ์ด 2

1. แยกตัวประกอบพหุนาม: x 4 - x 3 -7x 2 +13x-6
2. แก้สมการ: x 4 +2x 3 -13x 2 -38x-24=0

การ์ด 3

1. แยกตัวประกอบเป็น: 2x 3 -21x 2 +37x+24
2. แก้สมการ: x 3 -2x 2 +4x-8=0

การ์ด 4

1. แยกตัวประกอบเป็น: 5x 3 -46x 2 +79x-14
2. แก้สมการ: x 4 +5x 3 +5x 2 -5x-6=0

5. สรุป

การทดสอบความรู้เมื่อทำการแก้ปัญหาเป็นคู่จะดำเนินการในชั้นเรียนโดยจดจำวิธีดำเนินการและชื่อของคำตอบ

การบ้าน:

แก้สมการ:

ก) x 4 -3x 3 +4x 2 -3x+1=0

ข) 5x 4 -36x 3 +62x 2 -36x+5=0

ค) x 4 + x 3 + x + 1 = 4x 2

ง) x 4 +2x 3 -x-2=0

วรรณกรรม

1. N.Ya. Vilenkin และคณะ, พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์, ชั้นประถมศึกษาปีที่ 10 (การศึกษาคณิตศาสตร์เชิงลึก): การตรัสรู้, 2548
2. UI Sakarchuk, L.S. Sagatelova การแก้สมการระดับที่สูงกว่า: โวลโกกราด, 2550
3. เอส.บี. กัชคอฟ ระบบตัวเลขและการประยุกต์