มีความเป็นไปได้ที่จะเป็นเธอ คำจำกัดความของความน่าจะเป็น
ที่ เมื่อประเมินความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์สุ่มใดๆ สิ่งสำคัญมากคือต้องมีความเข้าใจที่ดีว่าความน่าจะเป็น () ของการเกิดเหตุการณ์ที่เราสนใจนั้นขึ้นอยู่กับการพัฒนาของเหตุการณ์อื่นๆ อย่างไร
ในกรณีของแผนคลาสสิก เมื่อผลลัพธ์ทั้งหมดมีความน่าจะเป็นเท่ากัน เราก็สามารถประมาณค่าความน่าจะเป็นของค่าที่เราสนใจได้แล้ว แยกเหตุการณ์ด้วยตัวเอง เราสามารถทำได้แม้ว่าเหตุการณ์จะเป็นการรวบรวมผลลัพธ์เบื้องต้นที่ซับซ้อนหลายอย่างก็ตาม จะเกิดอะไรขึ้นหากเหตุการณ์สุ่มหลายเหตุการณ์เกิดขึ้นพร้อมกันหรือต่อเนื่องกัน? สิ่งนี้ส่งผลต่อโอกาสที่เหตุการณ์ที่เราสนใจจะเกิดขึ้นอย่างไร?
ถ้าฉันทอยลูกเต๋าหลายครั้งและต้องการให้ได้หกแต้ม และฉันโชคไม่ดี นั่นหมายความว่าฉันควรเพิ่มเดิมพันเพราะตามทฤษฎีความน่าจะเป็น ฉันกำลังจะโชคดีใช่หรือไม่ อนิจจา ทฤษฎีความน่าจะเป็นไม่ได้ระบุอะไรเช่นนี้ ไม่มีลูกเต๋า ไม่มีไพ่ ไม่มีเหรียญ จำไม่ได้ สิ่งที่พวกเขาแสดงให้เราเห็นครั้งสุดท้าย มันไม่สำคัญสำหรับพวกเขาเลยไม่ว่าจะเป็นครั้งแรกหรือครั้งที่สิบที่ฉันทดสอบโชคในวันนี้ ทุกครั้งที่ฉันทอยซ้ำ ฉันรู้เพียงสิ่งเดียว: และคราวนี้ความน่าจะเป็นที่จะได้หกก็คืออีกครั้งหนึ่งในหก แน่นอนว่านี่ไม่ได้หมายความว่าจำนวนที่ฉันต้องการจะไม่มีวันเกิดขึ้น นี่หมายความว่าการสูญเสียของฉันหลังจากการโยนครั้งแรกและหลังจากการโยนครั้งอื่นเป็นเหตุการณ์ที่ไม่เกี่ยวข้องกัน
มีการเรียกเหตุการณ์ A และ B เป็นอิสระหากการดำเนินการตามหนึ่งในนั้นไม่ส่งผลกระทบต่อความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อื่นในทางใดทางหนึ่ง ตัวอย่างเช่น ความน่าจะเป็นที่จะโจมตีเป้าหมายด้วยอาวุธชิ้นแรกจากสองชิ้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าเป้าหมายนั้นถูกโจมตีด้วยอาวุธอีกชิ้นหรือไม่ ดังนั้นเหตุการณ์ “อาวุธชิ้นแรกโจมตีเป้าหมาย” และ “อาวุธชิ้นที่สองโจมตีเป้าหมาย” คือ เป็นอิสระ.
หากเหตุการณ์ A และ B สองเหตุการณ์เป็นอิสระจากกัน และทราบความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์ ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A และเหตุการณ์ B จะเกิดขึ้นพร้อมกัน (แสดงโดย AB) สามารถคำนวณได้โดยใช้ทฤษฎีบทต่อไปนี้
ทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นสำหรับเหตุการณ์อิสระ
พี(เอบี) = พี(เอ)*พี(บี)- ความน่าจะเป็น พร้อมกันการโจมตีของสองคน เป็นอิสระเหตุการณ์ก็เท่ากับ งานความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้ตัวอย่าง.ความน่าจะเป็นที่จะโจมตีเป้าหมายเมื่อทำการยิงปืนกระบอกแรกและปืนที่สองมีค่าเท่ากันตามลำดับ: p 1 =0.7;
สารละลาย:ดังที่เราได้เห็นไปแล้ว เหตุการณ์ A (โดนปืนนัดแรก) และ B (โดนปืนนัดที่สอง) เป็นอิสระจากกัน กล่าวคือ P(AB)=P(A)*P(B)=p 1 *p 2 =0.56.
จะเกิดอะไรขึ้นกับการประมาณการของเราหากเหตุการณ์เริ่มแรกไม่เป็นอิสระจากกัน ลองเปลี่ยนตัวอย่างก่อนหน้านี้เล็กน้อย
ตัวอย่าง.นักยิงปืนสองคนยิงใส่เป้าหมายในการแข่งขัน และหากคนใดคนหนึ่งยิงได้อย่างแม่นยำ คู่ต่อสู้จะเริ่มวิตกกังวลและผลลัพธ์ของเขาแย่ลง จะเปลี่ยนสถานการณ์ในชีวิตประจำวันให้กลายเป็นปัญหาทางคณิตศาสตร์และสรุปวิธีแก้ปัญหาได้อย่างไร เป็นที่ชัดเจนโดยสัญชาตญาณว่าเราจำเป็นต้องแยกทั้งสองตัวเลือกออกจากกัน การพัฒนาโดยพื้นฐานแล้วสร้างสองสถานการณ์ สอง งานที่แตกต่างกัน- ในกรณีแรก หากคู่ต่อสู้พลาด สถานการณ์จะเอื้ออำนวยต่อนักกีฬาประสาทและความแม่นยำของเขาจะสูงขึ้น ในกรณีที่สอง หากคู่ต่อสู้ใช้โอกาสอย่างเหมาะสม ความน่าจะเป็นที่จะเข้าเป้าสำหรับนักกีฬาคนที่สองจะลดลง
เพื่อแยกสถานการณ์ที่เป็นไปได้ (มักเรียกว่าสมมติฐาน) สำหรับการพัฒนาเหตุการณ์ เรามักจะใช้แผนภาพ "แผนผังความน่าจะเป็น" แผนภาพนี้มีความหมายคล้ายกับแผนผังการตัดสินใจที่คุณอาจเผชิญอยู่แล้ว แต่ละสาขาแสดงถึงสถานการณ์ที่แยกจากกันสำหรับการพัฒนากิจกรรม เฉพาะตอนนี้เท่านั้นที่มีค่าลักษณะเฉพาะ ที่เรียกว่ามีเงื่อนไข
ความน่าจะเป็น (q 1, q 2, q 1 -1, q 2 -1)
รูปแบบนี้สะดวกมากสำหรับการวิเคราะห์เหตุการณ์สุ่มตามลำดับ ยังมีอีกสิ่งหนึ่งที่ต้องค้นหาคำถามสำคัญ : ความน่าจะเป็นเริ่มต้นมาจากไหน? สถานการณ์จริง - ท้ายที่สุดไม่ใช่ด้วยเหรียญเดียวกันและลูกเต๋า
ตัวอย่าง.ทฤษฎีความน่าจะเป็นได้ผลไหม? โดยปกติแล้วการประมาณการเหล่านี้นำมาจากสถิติ และเมื่อไม่มีข้อมูลทางสถิติ เราจะดำเนินการวิจัยของเราเอง และเรามักจะต้องเริ่มต้นด้วยการไม่รวบรวมข้อมูล แต่ต้องเริ่มต้นด้วยคำถามว่าเราต้องการข้อมูลใดจริงๆ สมมติว่าเราจำเป็นต้องประมาณปริมาณตลาดสำหรับเมืองหนึ่งที่มีประชากรหนึ่งแสนคนสินค้าใหม่ ซึ่งไม่ใช่สิ่งของจำเป็น เช่น บาล์มสำหรับดูแลผมทำสี ลองพิจารณาแผนภาพ "ต้นไม้ความน่าจะเป็น" ในกรณีนี้ เราจำเป็นต้องประมาณค่าความน่าจะเป็นของ "สาขา" แต่ละสาขาโดยประมาณ
ดังนั้นการประมาณการกำลังการผลิตในตลาดของเรา:
1) ของชาวเมืองทั้งหมด 50% เป็นผู้หญิง
2) ของผู้หญิงทุกคน มีเพียง 30% เท่านั้นที่ย้อมผมบ่อย
3) ในจำนวนนี้มีเพียง 10% เท่านั้นที่ใช้บาล์มสำหรับผมทำสี
5) 70% ของพวกเขามักจะซื้อทุกอย่างที่ไม่ใช่จากเรา แต่ซื้อจากคู่แข่งของเรา
สารละลาย:ตามกฎของการคูณความน่าจะเป็น เรากำหนดความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เราสนใจ A = (ชาวเมืองซื้อยาหม่องใหม่นี้จากเรา) = 0.00045
ลองคูณค่าความน่าจะเป็นนี้ด้วยจำนวนผู้อยู่อาศัยในเมือง เป็นผลให้เรามีผู้มีโอกาสเป็นลูกค้าเพียง 45 ราย และเมื่อพิจารณาว่าผลิตภัณฑ์นี้หนึ่งขวดกินเวลานานหลายเดือน การค้าขายก็ไม่คึกคักมากนัก
และยังมีประโยชน์บางประการจากการประเมินของเรา
ประการแรก เราสามารถเปรียบเทียบการคาดการณ์ของแนวคิดทางธุรกิจที่แตกต่างกันได้ ซึ่งจะมี "ทางแยก" ที่แตกต่างกันในไดอะแกรม และแน่นอนว่าค่าความน่าจะเป็นก็จะแตกต่างกันด้วย
ประการที่สอง ดังที่เราได้กล่าวไปแล้วว่า ตัวแปรสุ่มไม่เรียกว่าสุ่มเพราะไม่ได้ขึ้นอยู่กับสิ่งใดเลย แค่เธอ ที่แน่นอนความหมายไม่เป็นที่รู้จักล่วงหน้า เรารู้ว่าคุณสามารถเพิ่มจำนวนผู้ซื้อโดยเฉลี่ยได้ (เช่น โดยการโฆษณาผลิตภัณฑ์ใหม่) ดังนั้นจึงสมเหตุสมผลที่จะมุ่งเน้นความพยายามของเราไปที่ "ทางแยก" ซึ่งการแจกแจงความน่าจะเป็นไม่เหมาะกับเราเป็นพิเศษ บนปัจจัยเหล่านั้นที่เราสามารถมีอิทธิพลต่อได้
ลองดูอีกอันหนึ่ง ตัวอย่างเชิงปริมาณการวิจัยพฤติกรรมการซื้อ
ตัวอย่าง.โดยเฉลี่ยแล้วมีคนมาเยี่ยมชมตลาดอาหารประมาณ 10,000 คนต่อวัน ความน่าจะเป็นที่ผู้เข้าชมตลาดจะเข้าสู่ศาลาผลิตภัณฑ์นมคือ 1/2
เป็นที่รู้กันว่าศาลาแห่งนี้จำหน่ายสินค้าต่างๆ โดยเฉลี่ย 500 กิโลกรัมต่อวัน
เราสามารถพูดได้ว่าการซื้อโดยเฉลี่ยในศาลามีน้ำหนักเพียง 100 กรัมหรือไม่?การอภิปราย.
ไม่แน่นอน เห็นได้ชัดว่าไม่ใช่ทุกคนที่เข้าไปในศาลาสุดท้ายที่จะซื้อของที่นั่น ดังแสดงในแผนภาพ เพื่อตอบคำถามเกี่ยวกับน้ำหนักเฉลี่ยของการซื้อ เราต้องหาคำตอบของคำถามว่าอะไรคือความน่าจะเป็นนั้น
ว่าคนที่เข้ามาในศาลาจะซื้อของที่นั่น หากเราไม่มีข้อมูลดังกล่าว แต่เราจำเป็นต้องใช้ เราจะต้องได้มาเองโดยการสังเกตผู้มาเยี่ยมชมศาลาเป็นระยะเวลาหนึ่ง สมมติว่าข้อสังเกตของเราแสดงให้เห็นว่ามีผู้เข้าชมศาลาเพียงหนึ่งในห้าเท่านั้นที่ซื้อของบางอย่าง เมื่อเราได้รับค่าประมาณเหล่านี้แล้ว งานก็กลายเป็นเรื่องง่าย จากจำนวนผู้ที่มาตลาด 10,000 คน จะไปเข้าศาลาผลิตภัณฑ์นม 5,000 คน โดยจะมีการซื้อเพียง 1,000 ครั้ง น้ำหนักซื้อเฉลี่ยอยู่ที่ 500 กรัม เป็นที่น่าสนใจที่จะทราบว่าการสร้างเกิดขึ้น ตรรกะของ "การแตกแขนง" แบบมีเงื่อนไขจะต้องถูกกำหนดไว้ในแต่ละขั้นตอนของการให้เหตุผลของเราให้ชัดเจนราวกับว่าเรากำลังทำงานกับสถานการณ์ที่ "เป็นรูปธรรม" และไม่ใช่ด้วยความน่าจะเป็น
งานทดสอบตัวเอง
1. ให้มีวงจรไฟฟ้าที่ประกอบด้วยองค์ประกอบ n ตัวต่ออนุกรมกัน โดยแต่ละองค์ประกอบทำงานแยกจากกัน
ทราบความน่าจะเป็น p ของความล้มเหลวของแต่ละองค์ประกอบ กำหนดความน่าจะเป็นของการทำงานที่เหมาะสมของส่วนทั้งหมดของวงจร (เหตุการณ์ A)
2. นักเรียนรู้ข้อสอบ 20 ข้อจาก 25 ข้อ ค้นหาความน่าจะเป็นที่นักเรียนรู้คำถามสามข้อที่ผู้คุมสอบมอบให้
3. การผลิตประกอบด้วยสี่ขั้นตอนติดต่อกันโดยแต่ละอุปกรณ์ทำงานซึ่งความน่าจะเป็นของความล้มเหลวในเดือนถัดไปจะเท่ากับ p 1, p 2, p 3 และ p 4 ตามลำดับ ค้นหาความน่าจะเป็นที่จะไม่มีการหยุดการผลิตเนื่องจากอุปกรณ์ขัดข้องในหนึ่งเดือน
ทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่ค่อนข้างเป็นอิสระ ในหลักสูตรของโรงเรียน มีการกล่าวถึงทฤษฎีความน่าจะเป็นอย่างผิวเผินมาก แต่ในการสอบ Unified State และ State Examination มีปัญหาเกี่ยวกับ หัวข้อนี้- อย่างไรก็ตาม การแก้ปัญหา หลักสูตรของโรงเรียนไม่ยากนัก (อย่างน้อยก็เท่าที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์) - ไม่จำเป็นต้องนับอนุพันธ์ หาปริพันธ์ และแก้โจทย์ที่ซับซ้อน การแปลงตรีโกณมิติ- สิ่งสำคัญคือต้องสามารถจัดการได้ หมายเลขเฉพาะและเศษส่วน
ทฤษฎีความน่าจะเป็น-คำศัพท์พื้นฐาน
เงื่อนไขหลักของทฤษฎีความน่าจะเป็นคือการทดสอบ ผลลัพธ์ และเหตุการณ์สุ่ม การทดสอบในทฤษฎีความน่าจะเป็นคือการทดลอง การโยนเหรียญ การจั่วไพ่ การจับสลาก ทั้งหมดนี้ถือเป็นการทดสอบ ผลการทดสอบตามที่คุณอาจเดาได้เรียกว่าผลลัพธ์
เหตุการณ์สุ่มคืออะไร? ในทฤษฎีความน่าจะเป็น สันนิษฐานว่าการทดสอบดำเนินการมากกว่าหนึ่งครั้งและมีผลลัพธ์มากมาย เหตุการณ์สุ่มคือชุดผลลัพธ์ของการทดลอง ตัวอย่างเช่น หากคุณโยนเหรียญ เหตุการณ์สุ่มสองเหตุการณ์สามารถเกิดขึ้นได้ - หัวหรือก้อย
อย่าสับสนระหว่างแนวคิดเรื่องผลลัพธ์และเหตุการณ์สุ่ม ผลลัพธ์คือผลลัพธ์หนึ่งของการทดลองหนึ่งครั้ง เหตุการณ์สุ่มคือชุดของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ อย่างไรก็ตาม มีคำที่เรียกว่าเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ ตัวอย่างเช่น เหตุการณ์ “ทอยเลข 8” บนลูกเต๋ามาตรฐานเป็นไปไม่ได้
จะหาความน่าจะเป็นได้อย่างไร?
เราทุกคนเข้าใจคร่าวๆ ว่าความน่าจะเป็นคืออะไรและค่อนข้างจะใช้บ่อย คำพูดที่ได้รับในคำศัพท์ของคุณ นอกจากนี้เรายังสามารถสรุปผลบางอย่างเกี่ยวกับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งได้ เช่น หากมีหิมะอยู่นอกหน้าต่าง เราก็อาจพูดได้ว่าไม่ใช่ฤดูร้อน อย่างไรก็ตาม เราจะแสดงสมมติฐานนี้เป็นตัวเลขได้อย่างไร?
เพื่อที่จะแนะนำสูตรในการค้นหาความน่าจะเป็น เราได้แนะนำแนวคิดอีกหนึ่งแนวคิด - ผลลัพธ์ที่น่าพอใจ นั่นคือ ผลลัพธ์ที่ดีสำหรับเหตุการณ์หนึ่งๆ แน่นอนว่าคำจำกัดความค่อนข้างคลุมเครือ แต่ตามเงื่อนไขของปัญหาจะชัดเจนเสมอว่าผลลัพธ์ใดดี
ตัวอย่างเช่น: ในชั้นเรียนมี 25 คน โดย 3 คนคือคัทย่า ครูมอบหมายให้โอลิยาทำหน้าที่ และเธอต้องการคู่หู ความน่าจะเป็นที่คัทย่าจะกลายเป็นคู่ของคุณคือเท่าไร?
ในตัวอย่างนี้ ผลลัพธ์ที่ดีคือคู่หูคัทย่า เราจะแก้ไขปัญหานี้ในภายหลัง แต่ก่อนอื่น เมื่อใช้คำจำกัดความเพิ่มเติม เราจะแนะนำสูตรในการค้นหาความน่าจะเป็น
- P = A/N โดยที่ P คือความน่าจะเป็น A คือจำนวนผลลัพธ์ที่น่าพึงพอใจ N คือจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด
ปัญหาในโรงเรียนทั้งหมดเกี่ยวข้องกับสูตรนี้ และปัญหาหลักมักจะอยู่ที่การหาผลลัพธ์ บางครั้งก็หาง่ายบางครั้งก็ไม่มากนัก
วิธีแก้ปัญหาความน่าจะเป็น?
ปัญหาที่ 1
ตอนนี้เรามาแก้ไขปัญหาข้างต้นกันดีกว่า
จำนวนผลลัพธ์ที่ดี (ครูจะเลือกคัทย่า) คือสามเนื่องจากมีคัทย่าสามตัวในชั้นเรียนและผลลัพธ์ทั้งหมดคือ 24 (25-1 เนื่องจากโอลิยาถูกเลือกแล้ว) ความน่าจะเป็นคือ: P = 3/24=1/8=0.125 ดังนั้นความน่าจะเป็นที่คู่หูของ Olya จะเป็น Katya คือ 12.5% ไม่ยากใช่ไหม? ลองดูสิ่งที่ซับซ้อนกว่านี้
ปัญหาที่ 2
เหรียญถูกโยน 2 ครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะได้หัว 1 หาง 1 ครั้งเป็นเท่าไหร่?
ลองพิจารณาผลลัพธ์โดยรวมกัน เหรียญลงจอดได้อย่างไร หัว/หัว ก้อย/ก้อย หัว/ก้อย ก้อย/หัว? ซึ่งหมายความว่าจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดคือ 4 ผลลัพธ์ที่น่าพอใจมีกี่รายการ? สองหัว/ก้อย และก้อย/หัว ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะได้หัว/ก้อยรวมกันคือ:
- P = 2/4 = 0.5 หรือ 50 เปอร์เซ็นต์
ตอนนี้เรามาดูปัญหานี้กัน Masha มีเหรียญ 6 เหรียญในกระเป๋าของเธอ: สองเหรียญมีมูลค่าหน้า 5 รูเบิลและสี่เหรียญมีมูลค่าหน้า 10 รูเบิล Masha ย้ายเหรียญ 3 เหรียญไปที่กระเป๋าอื่น ความน่าจะเป็นที่เหรียญ 5 รูเบิลจะจบลงในกระเป๋าที่แตกต่างกันคือเท่าไร?
เพื่อความง่าย เรามากำหนดเหรียญตามตัวเลข - 1,2 - เหรียญห้ารูเบิล, 3,4,5,6 - เหรียญสิบรูเบิล แล้วเหรียญจะอยู่ในกระเป๋าของคุณได้อย่างไร? มีทั้งหมด 20 ชุด:
- 123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256, 345, 346, 356, 456.
เมื่อมองแวบแรก อาจดูเหมือนว่าชุดค่าผสมบางชุดหายไป เช่น 231 แต่ในกรณีของเรา ชุดค่าผสม 123, 231 และ 321 นั้นเทียบเท่ากัน
ตอนนี้เรานับผลลัพธ์ที่ดีที่เรามีมากมายแล้ว สำหรับพวกเขาเราใช้ชุดค่าผสมที่มีหมายเลข 1 หรือหมายเลข 2: 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256 มี 12 รายการ ความน่าจะเป็นเท่ากับ:
- P = 12/20 = 0.6 หรือ 60%
ปัญหาความน่าจะเป็นที่นำเสนอนี้ค่อนข้างง่าย แต่อย่าคิดว่าความน่าจะเป็นเป็นสาขาง่ายๆ ของคณิตศาสตร์ หากคุณตัดสินใจที่จะศึกษาต่อในมหาวิทยาลัย (ยกเว้น ความเชี่ยวชาญด้านมนุษยธรรม) คุณจะมีคู่แน่นอน คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นซึ่งคุณจะได้รู้จักกับคำศัพท์ที่ซับซ้อนมากขึ้นของทฤษฎีนี้ และงานต่างๆ ที่นั่นจะยากขึ้นมาก
ไม่ว่าเราจะชอบหรือไม่ ชีวิตเราก็เต็มไปด้วยอุบัติเหตุทุกประเภท ทั้งน่าพอใจ และไม่น่ารื่นรมย์นัก ดังนั้นจึงเป็นการดีสำหรับเราแต่ละคนที่จะรู้วิธีค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งๆ นี้จะช่วยให้คุณใช้เวลา การตัดสินใจที่ถูกต้องภายใต้สถานการณ์ใด ๆ ที่เกี่ยวข้องกับความไม่แน่นอน ตัวอย่างเช่น ความรู้ดังกล่าวจะมีประโยชน์มากในการเลือกตัวเลือกการลงทุน การประเมินความเป็นไปได้ในการถูกรางวัลหุ้นหรือลอตเตอรี การกำหนดความเป็นจริงของการบรรลุเป้าหมายส่วนตัว เป็นต้น
สูตรทฤษฎีความน่าจะเป็น
โดยหลักการแล้วการศึกษาหัวข้อนี้ใช้เวลาไม่นานนัก เพื่อที่จะได้คำตอบสำหรับคำถาม: “จะค้นหาความน่าจะเป็นของปรากฏการณ์ได้อย่างไร” คุณต้องเข้าใจ แนวคิดหลักและจดจำหลักการพื้นฐานที่ใช้คำนวณ ดังนั้น ตามสถิติ เหตุการณ์ที่อยู่ระหว่างการศึกษาจะแสดงด้วย A1, A2,..., An แต่ละคนมีทั้งผลลัพธ์ที่ดี (m) และผลลัพธ์เบื้องต้นจำนวนทั้งหมด ตัวอย่างเช่น เราสนใจที่จะหาความน่าจะเป็นที่ด้านบนสุดของลูกบาศก์จะมีจุดเป็นจำนวนคู่ จากนั้น A คือการทอย m - กลิ้งออก 2, 4 หรือ 6 คะแนน (สามตัวเลือกที่ดี) และ n คือตัวเลือกที่เป็นไปได้ทั้งหกตัวเลือก
สูตรการคำนวณมีดังนี้:
ด้วยผลลัพธ์เดียว ทุกอย่างก็ง่ายมาก แต่จะค้นหาความน่าจะเป็นได้อย่างไรหากเหตุการณ์เกิดขึ้นต่อเนื่องกัน? ลองพิจารณาตัวอย่างนี้: ไพ่ใบหนึ่งถูกแสดงจากสำรับไพ่ (36 ใบ) จากนั้นจะถูกซ่อนกลับเข้าไปในสำรับ และหลังจากสับไพ่ ใบถัดไปจะถูกดึงออกมา จะค้นหาความน่าจะเป็นที่อย่างน้อยก็ในกรณีหนึ่งที่ราชินีโพดำถูกดึงออกมาได้อย่างไร? มีอยู่ กฎถัดไป: หากคุณกำลังพิจารณาเหตุการณ์ที่ซับซ้อนซึ่งสามารถแบ่งออกเป็นเหตุการณ์ง่าย ๆ ที่เข้ากันไม่ได้หลายเหตุการณ์ คุณสามารถคำนวณผลลัพธ์สำหรับแต่ละเหตุการณ์ก่อนแล้วจึงบวกเข้าด้วยกัน ในกรณีของเรามันจะเป็นดังนี้: 1/36 + 1/36 = 1/18 แต่จะเกิดอะไรขึ้นเมื่อมีหลายอย่างเกิดขึ้นพร้อมกัน? จากนั้นเราก็คูณผลลัพธ์! เช่น ความน่าจะเป็นที่เมื่อโยนเหรียญสองเหรียญพร้อมกัน สองหัวจะปรากฎจะเท่ากับ: ½ * ½ = 0.25
ตอนนี้เรามาดูกันดีกว่า ตัวอย่างที่ซับซ้อน- สมมติว่าเราเข้าลอตเตอรีหนังสือซึ่งมีตั๋วสิบใบจากสามสิบใบถูกรางวัล คุณต้องกำหนด:
- ความน่าจะเป็นที่ทั้งสองจะเป็นผู้ชนะ
- อย่างน้อยหนึ่งคนจะได้รับรางวัล
- จะเป็นผู้แพ้ทั้งคู่
ลองพิจารณากรณีแรกกัน สามารถแบ่งออกเป็นสองเหตุการณ์: ตั๋วใบแรกจะโชคดี และใบที่สองก็จะโชคดีเช่นกัน พิจารณาว่าเหตุการณ์นั้นขึ้นอยู่กับ เนื่องจากหลังจากดึงออกแต่ละครั้ง จำนวนตัวเลือกทั้งหมดจะลดลง เราได้รับ:
10 / 30 * 9 / 29 = 0,1034.
ในกรณีที่สอง คุณจะต้องกำหนดความน่าจะเป็นของตั๋วที่เสียและพิจารณาว่าอาจเป็นตั๋วใบแรกหรือใบที่สองก็ได้: 10/30 * 20/29 + 20/29 * 10/30 = 0.4598
สุดท้าย กรณีที่สาม เมื่อคุณไม่สามารถได้หนังสือเล่มหนึ่งจากลอตเตอรี: 20 / 30 * 19 / 29 = 0.4368
นักพนันมืออาชีพจะต้องมีความเข้าใจเรื่องอัตราต่อรองเป็นอย่างดี รวดเร็ว และถูกต้อง ประมาณการความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ด้วยค่าสัมประสิทธิ์และถ้าจำเป็นก็สามารถทำได้ แปลงอัตราต่อรองจากรูปแบบหนึ่งไปอีกรูปแบบหนึ่ง- ในคู่มือนี้ เราจะพูดถึงประเภทของสัมประสิทธิ์ที่มีอยู่ และใช้ตัวอย่างเพื่อแสดงวิธีที่คุณสามารถทำได้ คำนวณความน่าจะเป็นโดยใช้ค่าสัมประสิทธิ์ที่ทราบและในทางกลับกัน
มีอัตราต่อรองประเภทใดบ้าง?
มีอัตราต่อรองหลักสามประเภทที่เจ้ามือรับแทงเสนอให้ผู้เล่น: อัตราต่อรองทศนิยม, อัตราต่อรองแบบเศษส่วน(ภาษาอังกฤษ) และ อัตราต่อรองแบบอเมริกัน - อัตราต่อรองที่พบบ่อยที่สุดในยุโรปคือทศนิยม ใน ทวีปอเมริกาเหนืออัตราต่อรองแบบอเมริกันเป็นที่นิยม อัตราต่อรองแบบเศษส่วนมีมากที่สุด ดูแบบดั้งเดิมจะแสดงข้อมูลทันทีว่าคุณต้องเดิมพันเท่าใดจึงจะได้รับจำนวนหนึ่ง
อัตราต่อรองทศนิยม
ทศนิยมหรือเรียกอีกอย่างว่า อัตราต่อรองยุโรปคือรูปแบบตัวเลขที่คุ้นเคยซึ่งแสดงโดย ทศนิยมแม่นยำถึงหลักร้อย และบางครั้งก็ถึงหลักพันด้วยซ้ำ ตัวอย่างของเลขคี่ทศนิยมคือ 1.91 การคำนวณกำไรในกรณีของอัตราต่อรองทศนิยมนั้นง่ายมาก คุณเพียงแค่ต้องคูณจำนวนเงินเดิมพันของคุณด้วยอัตราต่อรองนี้ ตัวอย่างเช่น ในการแข่งขัน “แมนเชสเตอร์ยูไนเต็ด” - “อาร์เซนอล” ชัยชนะของ “แมนเชสเตอร์ยูไนเต็ด” ถูกกำหนดโดยค่าสัมประสิทธิ์ 2.05 เสมอกันโดยประมาณด้วยค่าสัมประสิทธิ์ 3.9 และชัยชนะของ “อาร์เซนอล” เท่ากับ 2.95. สมมติว่าเรามั่นใจว่ายูไนเต็ดจะชนะและเราเดิมพัน 1,000 ดอลลาร์กับพวกเขา จากนั้นรายได้ที่เป็นไปได้ของเราจะถูกคำนวณดังนี้:
2.05 * $1000 = $2050;
มันไม่ได้ซับซ้อนขนาดนั้นจริงๆเหรอ?! รายได้ที่เป็นไปได้จะคำนวณในลักษณะเดียวกันเมื่อเดิมพันผลเสมอหรือชัยชนะของอาร์เซนอล
วาด: 3.9 * $1000 = $3900;
อาร์เซนอลชนะ: 2.95 * $1000 = $2950;
จะคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์โดยใช้อัตราต่อรองทศนิยมได้อย่างไร?
ตอนนี้ลองจินตนาการว่าเราจำเป็นต้องกำหนดความน่าจะเป็นของเหตุการณ์โดยพิจารณาจากอัตราต่อรองทศนิยมที่กำหนดโดยเจ้ามือรับแทง นี่ก็ทำได้ง่ายมาก เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราหารหนึ่งด้วยสัมประสิทธิ์นี้
ลองใช้ข้อมูลที่มีอยู่แล้วคำนวณความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์:
แมนเชสเตอร์ ยูไนเต็ด ชนะ: 1 / 2.05 = 0,487 = 48,7%;
วาด: 1 / 3.9 = 0,256 = 25,6%;
อาร์เซนอลชนะ: 1 / 2.95 = 0,338 = 33,8%;
อัตราต่อรองแบบเศษส่วน (อังกฤษ)
ตามที่ชื่อแนะนำ สัมประสิทธิ์เศษส่วน นำเสนอ เศษส่วนสามัญ- ตัวอย่างอัตราต่อรองภาษาอังกฤษคือ 5/2 ตัวเศษของเศษส่วนประกอบด้วยตัวเลขที่เป็นจำนวนเงินที่เป็นไปได้ของเงินรางวัลสุทธิ และตัวส่วนประกอบด้วยตัวเลขที่ระบุจำนวนเงินที่ต้องเดิมพันเพื่อที่จะได้รับเงินรางวัลนี้ พูดง่ายๆ ก็คือ เราต้องเดิมพัน 2 ดอลลาร์เพื่อรับรางวัล 5 ดอลลาร์ อัตราต่อรอง 3/2 หมายความว่าเพื่อที่จะได้รับ $3 ในการชนะสุทธิ เราจะต้องเดิมพัน $2
จะคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์โดยใช้อัตราต่อรองแบบเศษส่วนได้อย่างไร?
การคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์โดยใช้อัตราต่อรองแบบเศษส่วนนั้นไม่ใช่เรื่องยาก คุณเพียงแค่ต้องหารตัวส่วนด้วยผลรวมของตัวเศษและตัวส่วน
สำหรับเศษส่วน 5/2 เราคำนวณความน่าจะเป็น: 2 / (5+2) = 2 / 7 = 0,28 = 28%;
สำหรับเศษส่วน 3/2 เราคำนวณความน่าจะเป็น:
อัตราต่อรองแบบอเมริกัน
อัตราต่อรองแบบอเมริกันไม่เป็นที่นิยมในยุโรป แต่เป็นอย่างมากในอเมริกาเหนือ บางทีค่าสัมประสิทธิ์ประเภทนี้อาจซับซ้อนที่สุด แต่นี่เป็นเพียงการมองแวบแรกเท่านั้น ที่จริงแล้วไม่มีอะไรซับซ้อนในสัมประสิทธิ์ประเภทนี้ ทีนี้ลองคิดออกทั้งหมดตามลำดับ
คุณสมบัติหลักของอัตราต่อรองแบบอเมริกันก็คือสามารถเป็นได้ทั้ง เชิงบวก, ดังนั้น เชิงลบ- ตัวอย่างอัตราต่อรองอเมริกัน - (+150), (-120) อัตราต่อรองแบบอเมริกัน (+150) หมายความว่าเพื่อที่จะได้รับ $150 เราจำเป็นต้องเดิมพัน $100 กล่าวอีกนัยหนึ่ง ค่าสัมประสิทธิ์อเมริกันที่เป็นบวกสะท้อนถึงกำไรสุทธิที่เป็นไปได้ที่เดิมพัน $100 อัตราต่อรองอเมริกันที่เป็นลบสะท้อนถึงจำนวนเงินเดิมพันที่ต้องทำเพื่อที่จะได้รับเงินรางวัลสุทธิ 100 ดอลลาร์ ตัวอย่างเช่น ค่าสัมประสิทธิ์ (-120) บอกเราว่าการเดิมพัน $120 เราจะชนะ $100
จะคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์โดยใช้อัตราต่อรองอเมริกันได้อย่างไร?
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ใช้สัมประสิทธิ์อเมริกันคำนวณโดยใช้สูตรต่อไปนี้:
(-(ม)) / ((-(ม)) + 100), โดยที่ M คือสัมประสิทธิ์อเมริกันที่เป็นลบ
100/(ป+100), โดยที่ P คือสัมประสิทธิ์อเมริกันที่เป็นบวก
ตัวอย่างเช่น เรามีสัมประสิทธิ์ (-120) จากนั้นความน่าจะเป็นจะคำนวณดังนี้:
(-(ม)) / ((-(ม)) + 100); แทนที่ค่า (-120) สำหรับ "M";
(-(-120)) / ((-(-120)) + 100 = 120 / (120 + 100) = 120 / 220 = 0,545 = 54,5%;
ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่มีอัตราต่อรองอเมริกัน (-120) คือ 54.5%
ตัวอย่างเช่น เรามีสัมประสิทธิ์ (+150) จากนั้นความน่าจะเป็นจะคำนวณดังนี้:
100/(ป+100); แทนที่ค่า (+150) สำหรับ "P";
100 / (150 + 100) = 100 / 250 = 0,4 = 40%;
ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่มีอัตราต่อรองอเมริกัน (+150) คือ 40%
เมื่อทราบเปอร์เซ็นต์ของความน่าจะเป็น จะแปลงเป็นค่าสัมประสิทธิ์ทศนิยมได้อย่างไร
ในการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ทศนิยมตามเปอร์เซ็นต์ของความน่าจะเป็นที่ทราบ คุณต้องหาร 100 ด้วยความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เป็นเปอร์เซ็นต์ ตัวอย่างเช่น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์คือ 55% ดังนั้นค่าสัมประสิทธิ์ทศนิยมของความน่าจะเป็นนี้จะเท่ากับ 1.81
100 / 55% = 1,81
การรู้เปอร์เซ็นต์ของความน่าจะเป็นจะแปลงเป็นสัมประสิทธิ์เศษส่วนได้อย่างไร
ในการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์เศษส่วนตามเปอร์เซ็นต์ของความน่าจะเป็นที่ทราบ คุณต้องลบค่าหนึ่งจากการหาร 100 ด้วยความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งๆ เป็นเปอร์เซ็นต์ เช่น หากเรามีเปอร์เซ็นต์ความน่าจะเป็น 40% ค่าสัมประสิทธิ์เศษส่วนของความน่าจะเป็นนี้จะเท่ากับ 3/2
(100 / 40%) - 1 = 2,5 - 1 = 1,5;
ค่าสัมประสิทธิ์เศษส่วนคือ 1.5/1 หรือ 3/2
เมื่อรู้เปอร์เซ็นต์ของความน่าจะเป็นแล้ว จะแปลงมันเป็นสัมประสิทธิ์แบบอเมริกันได้อย่างไร?
หากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์มากกว่า 50% การคำนวณจะทำโดยใช้สูตร:
- ((วี) / (100 - โวลต์)) * 100, โดยที่ V คือความน่าจะเป็น
ตัวอย่างเช่น หากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์คือ 80% ค่าสัมประสิทธิ์ความน่าจะเป็นแบบอเมริกันจะเท่ากับ (-400)
- (80 / (100 - 80)) * 100 = - (80 / 20) * 100 = - 4 * 100 = (-400);
หากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์น้อยกว่า 50% การคำนวณจะทำโดยใช้สูตร:
((100 - โวลต์) / โวลต์) * 100, โดยที่ V คือความน่าจะเป็น
ตัวอย่างเช่น หากเรามีเปอร์เซ็นต์ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ 20% ค่าสัมประสิทธิ์ความน่าจะเป็นแบบอเมริกันจะเท่ากับ (+400)
((100 - 20) / 20) * 100 = (80 / 20) * 100 = 4 * 100 = 400;
จะแปลงค่าสัมประสิทธิ์เป็นรูปแบบอื่นได้อย่างไร?
มีหลายครั้งที่จำเป็นต้องแปลงอัตราต่อรองจากรูปแบบหนึ่งไปเป็นอีกรูปแบบหนึ่ง ตัวอย่างเช่น เรามีอัตราต่อรองแบบเศษส่วนเป็น 3/2 และเราต้องแปลงเป็นทศนิยม ในการแปลงอัตราต่อรองแบบเศษส่วนให้เป็นอัตราต่อรองแบบทศนิยม ก่อนอื่นเราจะกำหนดความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ด้วยอัตราต่อรองแบบเศษส่วน จากนั้นจึงแปลงความน่าจะเป็นนี้เป็นอัตราต่อรองแบบทศนิยม
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่มีอัตราต่อรองเป็นเศษส่วน 3/2 คือ 40%
2 / (3+2) = 2 / 5 = 0,4 = 40%;
ทีนี้มาแปลงความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ให้เป็นค่าสัมประสิทธิ์ทศนิยม โดยหาร 100 ด้วยความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เป็นเปอร์เซ็นต์:
100 / 40% = 2.5;
ดังนั้น อัตราต่อรองเศษส่วนของ 3/2 จึงเท่ากับ ค่าสัมประสิทธิ์ทศนิยม 2.5. ในทำนองเดียวกัน ตัวอย่างเช่น อัตราต่อรองอเมริกันจะถูกแปลงเป็นเศษส่วน ทศนิยมเป็นอเมริกัน ฯลฯ สิ่งที่ยากที่สุดในทั้งหมดนี้เป็นเพียงการคำนวณเท่านั้น
เป็นที่ชัดเจนว่าแต่ละเหตุการณ์มีระดับความเป็นไปได้ที่จะเกิดขึ้น (การนำไปปฏิบัติ) ที่แตกต่างกันไป เพื่อที่จะเปรียบเทียบเหตุการณ์ต่างๆ ในเชิงปริมาณตามระดับความเป็นไปได้ จำเป็นต้องเชื่อมโยงตัวเลขจำนวนหนึ่งกับแต่ละเหตุการณ์ ซึ่งยิ่งมากก็ยิ่งเป็นไปได้มากขึ้นเท่านั้น จำนวนนี้เรียกว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์– เป็นการวัดเชิงตัวเลขของระดับความเป็นไปได้ตามวัตถุประสงค์ของการเกิดเหตุการณ์นี้
พิจารณาการทดลองสุ่มและเหตุการณ์สุ่ม A ที่พบในการทดลองนี้ ลองทำการทดลองนี้ซ้ำ n ครั้ง และให้ m(A) เป็นจำนวนการทดลองที่มีเหตุการณ์ A เกิดขึ้น
ความสัมพันธ์ (1.1)
เรียกว่า ความถี่สัมพัทธ์เหตุการณ์ A ในชุดการทดลองที่ทำขึ้น
ง่ายต่อการตรวจสอบความถูกต้องของคุณสมบัติ:
ถ้า A และ B ไม่สอดคล้องกัน (AB= ) ดังนั้น ν(A+B) = ν(A) + ν(B) (1.2)
ความถี่สัมพัทธ์จะถูกกำหนดหลังจากการทดลองชุดหนึ่งเท่านั้น และโดยทั่วไปแล้ว อาจแตกต่างกันไปในแต่ละชุด อย่างไรก็ตาม จากประสบการณ์แสดงให้เห็นว่าในหลายกรณี เมื่อจำนวนการทดลองเพิ่มขึ้น ความถี่สัมพัทธ์จะเข้าใกล้จำนวนที่แน่นอน ข้อเท็จจริงเกี่ยวกับความเสถียรของความถี่สัมพัทธ์นี้ได้รับการตรวจสอบซ้ำแล้วซ้ำอีกและสามารถพิจารณาได้จากการทดลอง
ตัวอย่าง 1.19.- หากคุณโยนเหรียญหนึ่งเหรียญ ไม่มีใครสามารถคาดเดาได้ว่าเหรียญนั้นจะตกลงไปด้านใด แต่ถ้าคุณโยนเหรียญสองตัน ทุกคนก็จะบอกว่าแขนเสื้อจะหล่นลงมาประมาณหนึ่งตันนั่นคือความถี่สัมพัทธ์ของแขนเสื้อที่หลุดออกมาจะอยู่ที่ประมาณ 0.5
เมื่อจำนวนการทดลองเพิ่มขึ้น หากความถี่สัมพัทธ์ของเหตุการณ์ ν(A) มีแนวโน้มเป็นจำนวนคงที่ ก็จะกล่าวได้ว่า เหตุการณ์ A มีความเสถียรทางสถิติและจำนวนนี้เรียกว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ กเรียก P(A) จำนวนคงที่จำนวนหนึ่ง ซึ่งความถี่สัมพัทธ์ ν(A) ของเหตุการณ์นี้มีแนวโน้มเมื่อจำนวนการทดลองเพิ่มขึ้น กล่าวคือ 
คำจำกัดความนี้เรียกว่า คำจำกัดความทางสถิติความน่าจะเป็น .
ลองพิจารณาการทดลองแบบสุ่มและปล่อยให้สเปซของเหตุการณ์เบื้องต้นประกอบด้วยชุดของเหตุการณ์เบื้องต้นที่มีขอบเขตจำกัดหรืออนันต์ (แต่นับได้) ω 1, ω 2, …, ω i, …. ให้เราสมมติว่าแต่ละเหตุการณ์เบื้องต้น ω i ได้รับการกำหนดหมายเลขที่แน่นอน - р i โดยระบุระดับความเป็นไปได้ของการเกิดเหตุการณ์เบื้องต้นที่กำหนดและเป็นไปตามคุณสมบัติต่อไปนี้:
หมายเลขนี้เรียกว่า p i ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เบื้องต้นωi
ให้ A เป็นเหตุการณ์สุ่มที่พบในการทดลองนี้ และปล่อยให้มันสอดคล้องกับเซตใดเซตหนึ่ง
ในการตั้งค่านี้ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ก เรียกผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เบื้องต้นที่สนับสนุน A(รวมอยู่ในชุด A ที่เกี่ยวข้อง):
(1.4)
ความน่าจะเป็นที่นำเสนอในลักษณะนี้มีคุณสมบัติเช่นเดียวกับความถี่สัมพัทธ์ กล่าวคือ:
และถ้า AB = (A และ B เข้ากันไม่ได้)
จากนั้น P(A+B) = P(A) + P(B)
แท้จริงแล้วตาม (1.4)
ในความสัมพันธ์ครั้งล่าสุด เราใช้ประโยชน์จากข้อเท็จจริงที่ว่าไม่มีเหตุการณ์พื้นฐานเพียงเหตุการณ์เดียวที่สามารถสนับสนุนเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้สองเหตุการณ์ในเวลาเดียวกัน
เราสังเกตเป็นพิเศษว่าทฤษฎีความน่าจะเป็นไม่ได้ระบุวิธีการหาค่า p i แต่จะต้องค้นหาด้วยเหตุผลเชิงปฏิบัติหรือได้มาจากการทดลองทางสถิติที่เกี่ยวข้อง
เป็นตัวอย่างให้พิจารณา โครงการคลาสสิกทฤษฎีความน่าจะเป็น เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้พิจารณาการทดลองสุ่ม ซึ่งเป็นสเปซของเหตุการณ์เบื้องต้นที่ประกอบด้วยองค์ประกอบจำนวนจำกัด (n) ให้เราสมมติเพิ่มเติมว่าเหตุการณ์เบื้องต้นทั้งหมดนี้เป็นไปได้เท่ากัน กล่าวคือ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เบื้องต้นเท่ากับ p(ω i)=p i =p มันเป็นไปตามนั้น
ตัวอย่าง 1.20- เมื่อโยนเหรียญสมมาตร จะได้หัวและก้อยเท่ากัน ความน่าจะเป็นจะเท่ากับ 0.5
ตัวอย่างที่ 1.21- เมื่อขว้างลูกเต๋าแบบสมมาตร ใบหน้าทั้งหมดจะเป็นไปได้เท่ากัน ความน่าจะเป็นจะเท่ากับ 1/6
ทีนี้ ให้เหตุการณ์ A เป็นที่โปรดปรานของเหตุการณ์ระดับประถมศึกษา m ซึ่งปกติจะเรียกว่า ผลลัพธ์ที่เอื้ออำนวยต่อเหตุการณ์ A- แล้ว
ได้รับ คำจำกัดความแบบคลาสสิกความน่าจะเป็น: ความน่าจะเป็น P(A) ของเหตุการณ์ A เท่ากับอัตราส่วนของจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นประโยชน์ต่อเหตุการณ์ A ต่อจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด
ตัวอย่างที่ 1.22- โกศประกอบด้วยลูกบอลสีขาวจำนวนหนึ่งลูก และลูกบอลสีดำจำนวนหนึ่งลูก ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีขาวเป็นเท่าไร?
สารละลาย- จำนวนเหตุการณ์เบื้องต้นทั้งหมดคือ m+n ล้วนมีความน่าจะเป็นเท่ากัน เหตุการณ์อันเป็นมงคล A ซึ่งม. เพราะฉะนั้น, 
.
คุณสมบัติต่อไปนี้เป็นไปตามคำจำกัดความของความน่าจะเป็น:
คุณสมบัติ 1. ความน่าจะเป็น เหตุการณ์ที่เชื่อถือได้เท่ากับหนึ่ง
แท้จริงแล้ว หากเหตุการณ์นั้นเชื่อถือได้ ผลการทดสอบเบื้องต้นทุกประการก็สนับสนุนเหตุการณ์นั้นด้วย ในกรณีนี้ เสื้อ=พี,เพราะฉะนั้น,
P(A)=ม/n=n/n=1(1.6)
คุณสมบัติ 2. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้คือศูนย์
อันที่จริง ถ้าเหตุการณ์หนึ่งเป็นไปไม่ได้ ก็ไม่มีผลลัพธ์เบื้องต้นของการทดสอบใดที่สนับสนุนเหตุการณ์นั้น ในกรณีนี้ ต= 0 ดังนั้น P(A)=ม/n=0/n=0 (1.7)
คุณสมบัติ 3.มีความเป็นไปได้ที่จะเกิดเหตุการณ์สุ่ม จำนวนบวกล้อมรอบระหว่างศูนย์ถึงหนึ่ง
อันที่จริงเหตุการณ์สุ่มได้รับการสนับสนุนจากบางคนเท่านั้น จำนวนทั้งหมดผลการทดสอบเบื้องต้น นั่นคือ 0≤m≤n ซึ่งหมายถึง 0≤m/n≤1 ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆ จะเป็นที่น่าพอใจกับอสมการสองเท่า 0≤ พี(เอ) ≤1. (1.8)
เมื่อเปรียบเทียบคำจำกัดความของความน่าจะเป็น (1.5) และความถี่สัมพัทธ์ (1.1) เราสรุป: คำจำกัดความของความน่าจะเป็น ไม่ต้องทำการทดสอบในความเป็นจริง; คำจำกัดความของความถี่สัมพัทธ์ถือว่าเป็นเช่นนั้น มีการทดสอบจริง- กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความน่าจะเป็นจะคำนวณก่อนการทดลอง และความถี่สัมพัทธ์ - หลังการทดลอง
อย่างไรก็ตาม การคำนวณความน่าจะเป็นจำเป็นต้องมีข้อมูลก่อนหน้าเกี่ยวกับจำนวนหรือความน่าจะเป็นของผลดี เหตุการณ์นี้ผลลัพธ์เบื้องต้น ในกรณีที่ไม่มีข้อมูลเบื้องต้นดังกล่าว ข้อมูลเชิงประจักษ์จะถูกนำมาใช้เพื่อกำหนดความน่าจะเป็น นั่นคือความถี่สัมพัทธ์ของเหตุการณ์จะถูกกำหนดตามผลลัพธ์ของการทดลองสุ่ม
ตัวอย่างที่ 1.23- ฝ่ายควบคุมด้านเทคนิค ค้นพบ 3ชิ้นส่วนที่ไม่ได้มาตรฐานในชุด 80 ชิ้นสุ่มเลือก ความถี่สัมพัทธ์ของการเกิดชิ้นส่วนที่ไม่ได้มาตรฐาน ร(เอ)= 3/80.
ตัวอย่างที่ 1.24- ตามวัตถุประสงค์ที่ผลิต 24 ยิงและบันทึกการตี 19 ครั้ง อัตราการเข้าชมเป้าหมายแบบสัมพันธ์ ร(เอ)=19/24.
การสังเกตในระยะยาวแสดงให้เห็นว่าหากการทดลองดำเนินการภายใต้สภาวะที่เหมือนกัน โดยในแต่ละการทดสอบมีจำนวนการทดสอบมากพอ ความถี่สัมพัทธ์จะแสดงคุณสมบัติของความเสถียร คุณสมบัตินี้คือ ในการทดลองต่างๆ ความถี่สัมพัทธ์จะเปลี่ยนแปลงเพียงเล็กน้อย (ยิ่งน้อย ก็ยิ่งทำการทดสอบมากขึ้น) โดยจะผันผวนไปตามจำนวนคงที่ที่แน่นอนปรากฎว่าจำนวนคงที่นี้สามารถใช้เป็นค่าประมาณของความน่าจะเป็นได้
ความสัมพันธ์ระหว่างความถี่สัมพัทธ์และความน่าจะเป็นจะมีการอธิบายโดยละเอียดและชัดเจนยิ่งขึ้นด้านล่าง ตอนนี้ให้เราแสดงคุณสมบัติของความมั่นคงด้วยตัวอย่าง
ตัวอย่างที่ 1.25- ตามสถิติของสวีเดน ความถี่สัมพัทธ์ของการเกิดของเด็กผู้หญิงในปี พ.ศ. 2478 ในแต่ละเดือนมีลักษณะเป็นตัวเลขต่อไปนี้ (ตัวเลขจัดเรียงตามลำดับเดือนโดยเริ่มจาก มกราคม): 0,486; 0,489; 0,490; 0.471; 0,478; 0,482; 0.462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473
ความถี่สัมพัทธ์ผันผวนประมาณเลข 0.481 ซึ่งถือเป็นค่าประมาณความน่าจะเป็นที่จะมีบุตรสาว
โปรดทราบว่าข้อมูลทางสถิติจากประเทศต่างๆ ให้ค่าความถี่สัมพัทธ์ที่เท่ากันโดยประมาณ
ตัวอย่างที่ 1.26มีการทดลองโยนเหรียญหลายครั้ง โดยนับจำนวนที่ปรากฏของ "เสื้อคลุมแขน" ผลลัพธ์ของการทดลองหลายครั้งแสดงไว้ในตาราง