ความน่าจะเป็นที่ว่า... วิธีรวมการทดลองอิสระ
ความน่าจะเป็นเหตุการณ์ คืออัตราส่วนของจำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นประโยชน์ต่อเหตุการณ์หนึ่งๆ ต่อจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เท่าเทียมกันทั้งหมดของประสบการณ์ที่เหตุการณ์นี้อาจปรากฏขึ้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A เขียนแทนด้วย P(A) (โดยที่ P คืออักษรตัวแรก คำภาษาฝรั่งเศสความน่าจะเป็น - ความน่าจะเป็น) ตามคำนิยาม
(1.2.1)
โดยที่จำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นประโยชน์ต่อเหตุการณ์ A คือ - จำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้เท่าๆ กันของการทดลอง โดยสร้างกลุ่มเหตุการณ์ที่สมบูรณ์
คำจำกัดความของความน่าจะเป็นนี้เรียกว่าคลาสสิก มันเกิดขึ้นเมื่อวันที่ ระยะเริ่มแรกการพัฒนาทฤษฎีความน่าจะเป็น
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:
1. ความน่าจะเป็น เหตุการณ์ที่เชื่อถือได้เท่ากับหนึ่ง ให้เราแสดงเหตุการณ์ที่เชื่อถือได้ด้วยตัวอักษร . สำหรับเหตุการณ์บางอย่างดังนั้น
(1.2.2)
2. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้คือศูนย์ ให้เราแสดงเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ด้วยตัวอักษร สำหรับเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ดังนั้น
(1.2.3)
3. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่มจะแสดงเป็นจำนวนบวกที่น้อยกว่าหนึ่ง เนื่องจากสำหรับเหตุการณ์สุ่มความไม่เท่าเทียมกัน หรือ เป็นที่พอใจแล้ว
(1.2.4)
4. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆ เป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน
(1.2.5)
ตามมาจากความสัมพันธ์ (1.2.2) - (1.2.4)
ตัวอย่างที่ 1โกศประกอบด้วยลูกบอล 10 ลูกที่มีขนาดและน้ำหนักเท่ากัน โดย 4 ลูกเป็นสีแดงและ 6 ลูกเป็นสีน้ำเงิน ลูกบอลหนึ่งลูกถูกดึงออกมาจากโกศ ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลที่สุ่มออกมาจะเป็นสีฟ้าเป็นเท่าไหร่?
สารละลาย- เราระบุเหตุการณ์ "ลูกบอลที่สุ่มออกมากลายเป็นสีน้ำเงิน" ด้วยตัวอักษร A การทดสอบนี้มีผลเบื้องต้นที่เป็นไปได้เท่ากัน 10 รายการ โดยมีเหตุการณ์โปรดปราน 6 รายการ A ตามสูตร (1.2.1) เราได้รับ 
ตัวอย่างที่ 2ตัวเลขธรรมชาติทั้งหมดตั้งแต่ 1 ถึง 30 จะถูกเขียนบนการ์ดที่เหมือนกันและวางไว้ในโกศ หลังจากสับไพ่อย่างละเอียดแล้ว การ์ดหนึ่งใบจะถูกดึงออกจากโกศ ความน่าจะเป็นที่ตัวเลขบนไพ่ที่นำมาเป็นจำนวนทวีคูณของ 5 เป็นเท่าไหร่?
สารละลาย.ให้เราแสดงด้วยเหตุการณ์ A “ตัวเลขบนไพ่ที่นำมาเป็นจำนวนทวีคูณของ 5” ในการทดสอบนี้ มีผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้เท่ากัน 30 รายการ โดยเหตุการณ์ A ได้รับการสนับสนุนจากผลลัพธ์ 6 รายการ (ตัวเลข 5, 10, 15, 20, 25, 30) เพราะฉะนั้น, 
ตัวอย่างที่ 3โยนลูกเต๋าสองลูกและคำนวณผลรวมของแต้มบนใบหน้าด้านบน จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ B โดยหน้าลูกเต๋ามีแต้มรวม 9 แต้ม
สารละลาย.ในการทดสอบนี้มีเพียง 6 2 = 36 ผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้เท่ากัน เหตุการณ์ B ได้รับการสนับสนุนจาก 4 ผลลัพธ์: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3) ดังนั้น 
ตัวอย่างที่ 4- สุ่มเลือกจำนวนธรรมชาติที่ไม่เกิน 10 ความน่าจะเป็นที่จำนวนนี้เป็นจำนวนเฉพาะคืออะไร?
สารละลาย.ให้เราแสดงเหตุการณ์ “จำนวนที่เลือกเป็นจำนวนเฉพาะ” ด้วยตัวอักษร C ใน ในกรณีนี้ n = 10, ม. = 4 ( หมายเลขเฉพาะ 2, 3, 5, 7) ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ต้องการ 
ตัวอย่างที่ 5มีการโยนเหรียญสมมาตรสองเหรียญ ความน่าจะเป็นที่ด้านบนเหรียญทั้งสองมีตัวเลขเป็นเท่าใด?
สารละลาย.ให้เราแสดงเหตุการณ์ด้วยตัวอักษร D ว่า “มีตัวเลขอยู่ด้านบนเหรียญแต่ละเหรียญ” ในการทดสอบนี้ มีผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้เท่าเทียมกัน 4 แบบ: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C) (สัญลักษณ์ (G, C) หมายความว่า เหรียญใบแรกมีตราอาร์ม เหรียญที่สองมีตัวเลข) เหตุการณ์ D ได้รับการสนับสนุนจากผลลัพธ์เบื้องต้นหนึ่งรายการ (C, C) เนื่องจาก m = 1, n = 4 ดังนั้น 
ตัวอย่างที่ 6ความน่าจะเป็นที่ตัวเลขสองหลักที่เลือกโดยการสุ่มจะมีตัวเลขเหมือนกันคือเท่าไร?
สารละลาย. ตัวเลขสองหลักเป็นตัวเลขตั้งแต่ 10 ถึง 99; มีทั้งหมด 90 หมายเลข มี 9 หมายเลขที่มีหลักเหมือนกัน (ได้แก่ หมายเลข 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99) เนื่องจากในกรณีนี้ m = 9, n = 90 ดังนั้น 
,
โดยที่ A คือเหตุการณ์ "ตัวเลขที่มีหลักเหมือนกัน"
ตัวอย่างที่ 7จากตัวอักษรของคำ ส่วนต่างจะมีการสุ่มเลือกตัวอักษรหนึ่งตัว ความน่าจะเป็นที่ตัวอักษรนี้จะเป็น: ก) สระ b) พยัญชนะ c) ตัวอักษร ชม.?
สารละลาย- คำว่าดิฟเฟอเรนเชียลมีตัวอักษร 12 ตัว โดย 5 ตัวเป็นสระ และ 7 ตัวเป็นพยัญชนะ จดหมาย ชม.ไม่มีในคำนี้ ให้เราแสดงถึงเหตุการณ์: A - "อักษรสระ", B - "อักษรพยัญชนะ", C - "ตัวอักษร ชม." จำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นที่น่าพอใจ: - สำหรับเหตุการณ์ A - สำหรับเหตุการณ์ B - สำหรับเหตุการณ์ C เนื่องจาก n = 12 ดังนั้น
, และ .
ตัวอย่างที่ 8มีการโยนลูกเต๋าสองลูกและจดจำนวนแต้มที่ด้านบนของลูกเต๋าแต่ละลูก ค้นหาความน่าจะเป็นที่ทอยลูกเต๋าทั้งคู่ หมายเลขเดียวกันคะแนน
สารละลาย.ลองเขียนเหตุการณ์นี้ด้วยตัวอักษร A กัน เหตุการณ์ A ได้รับการสนับสนุนจากผลลัพธ์เบื้องต้น 6 รายการ: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6 ;6). จำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้เท่ากันซึ่งก่อให้เกิดกลุ่มเหตุการณ์ที่สมบูรณ์ ในกรณีนี้ n=6 2 =36 ซึ่งหมายความว่าความน่าจะเป็นที่ต้องการ 
ตัวอย่างที่ 9หนังสือมี 300 หน้า ความน่าจะเป็นที่หน้าเว็บที่ถูกเปิดแบบสุ่มจะมีคือเท่าใด หมายเลขซีเรียล, หลายเท่าของ 5?
สารละลาย.จากเงื่อนไขของปัญหา ผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้เท่าเทียมกันทั้งหมดซึ่งก่อให้เกิดกลุ่มเหตุการณ์ที่สมบูรณ์จะเป็น n = 300 ในจำนวนนี้ m = 60 เห็นด้วยกับการเกิดขึ้นของเหตุการณ์ที่ระบุ อันที่จริง จำนวนที่เป็นพหุคูณของ 5 จะมีรูปแบบ 5k โดยที่ k คือจำนวนธรรมชาติ และ ดังนั้น 
- เพราะฉะนั้น, 
โดยที่ A - เหตุการณ์ “เพจ” มีหมายเลขลำดับที่เป็นจำนวนทวีคูณของ 5"
ตัวอย่างที่ 10- โยนลูกเต๋าสองลูกและคำนวณผลรวมของแต้มบนใบหน้าด้านบน อะไรจะเป็นไปได้มากกว่ากัน - ได้ทั้งหมด 7 หรือ 8?
สารละลาย- ให้เราแสดงถึงเหตุการณ์: A - "กลิ้ง 7 แต้ม", B - "กลิ้ง 8 แต้ม" เหตุการณ์ A ได้รับการสนับสนุนจากผลลัพธ์เบื้องต้น 6 รายการ: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1) และเหตุการณ์ B ได้รับการสนับสนุน โดย 5 ผลลัพธ์: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2) ผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้เท่ากันทั้งหมดคือ n = 6 2 = 36 ซึ่งหมายความว่า และ .
ดังนั้น P(A)>P(B) กล่าวคือ การได้คะแนนรวม 7 แต้มมีโอกาสมากกว่าการได้คะแนนรวม 8 คะแนน
งาน
1. สุ่มเลือกจำนวนธรรมชาติที่ไม่เกิน 30 ความน่าจะเป็นที่จำนวนนี้จะเป็นผลคูณของ 3 เป็นเท่าใด
2. ในโกศ กสีแดงและ ขลูกบอลสีน้ำเงิน มีขนาดและน้ำหนักเท่ากัน ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลสุ่มจากโกศนี้จะเป็นสีน้ำเงินเป็นเท่าใด
3. สุ่มเลือกจำนวนไม่เกิน 30 ความน่าจะเป็นที่จำนวนนี้จะเป็นตัวหารของ 30 เป็นเท่าใด
4. ในโกศ กสีน้ำเงินและ ขลูกบอลสีแดง มีขนาดและน้ำหนักเท่ากัน นำลูกบอลหนึ่งลูกออกจากโกศนี้แล้วพักไว้ ลูกบอลนี้กลายเป็นสีแดง หลังจากนั้นจะมีการดึงลูกบอลอีกลูกออกมาจากโกศ จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลลูกที่สองจะเป็นสีแดงด้วย
5. สุ่มเลือกหมายเลขประจำชาติไม่เกิน 50 ความน่าจะเป็นที่หมายเลขนี้เป็นจำนวนเฉพาะ?
6. โยนลูกเต๋าสามลูกแล้วคำนวณผลรวมของแต้มบนใบหน้าด้านบน อะไรจะเป็นไปได้มากกว่ากัน - ที่จะได้คะแนนรวม 9 หรือ 10 คะแนน?
7. โยนลูกเต๋าสามลูกแล้วคำนวณผลรวมของคะแนนที่ทอยได้ อะไรจะเป็นไปได้มากกว่ากัน - ที่จะได้คะแนนรวม 11 (เหตุการณ์ A) หรือ 12 คะแนน (เหตุการณ์ B)?
คำตอบ
1. 1/3. 2 . ข/(ก+ข). 3 . 0,2. 4 . (ข-1)/(ก+ข-1). 5 .0,3.6 - p 1 = 25/216 - ความน่าจะเป็นที่จะได้คะแนนรวม 9 คะแนน p 2 = 27/216 - ความน่าจะเป็นที่จะได้ทั้งหมด 10 แต้ม; หน้า 2 > หน้า 1 7 - P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B)
คำถาม
1. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เรียกว่าอะไร?
2. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เชื่อถือได้คือเท่าไร?
3. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้คืออะไร?
4. อะไรคือขีดจำกัดของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่ม?
5. อะไรคือขีดจำกัดของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆ?
6. คำจำกัดความของความน่าจะเป็นแบบใดเรียกว่าคลาสสิก
คุณต้องการที่จะรู้ว่าอะไร อัตราต่อรองทางคณิตศาสตร์กับความสำเร็จของการเดิมพันของคุณ? แล้วมีสองสำหรับคุณ ข่าวดี- ประการแรก: ในการคำนวณความสามารถข้ามประเทศ คุณไม่จำเป็นต้องคำนวณและใช้จ่ายที่ซับซ้อน จำนวนมากเวลา. การใช้สูตรง่ายๆ ก็เพียงพอแล้วซึ่งจะใช้เวลาสองสามนาทีในการทำงาน ประการที่สอง: หลังจากอ่านบทความนี้แล้ว คุณสามารถคำนวณความน่าจะเป็นที่ธุรกรรมใดๆ ของคุณผ่านได้อย่างง่ายดาย
ในการพิจารณาความสามารถข้ามประเทศอย่างถูกต้อง คุณต้องดำเนินการสามขั้นตอน:
- คำนวณเปอร์เซ็นต์ความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ของเหตุการณ์ตามสำนักงานเจ้ามือรับแทง
- คำนวณความน่าจะเป็นโดยใช้ข้อมูลทางสถิติด้วยตัวเอง
- ค้นหามูลค่าของการเดิมพัน โดยคำนึงถึงความน่าจะเป็นทั้งสองอย่าง
มาดูรายละเอียดแต่ละขั้นตอนกัน ไม่ใช่แค่ใช้สูตรเท่านั้น แต่ยังใช้ตัวอย่างด้วย
กระโดดอย่างรวดเร็ว
การคำนวณความน่าจะเป็นที่รวมอยู่ในอัตราต่อรองของเจ้ามือรับแทง
ขั้นตอนแรกคือการหาความน่าจะเป็นที่เจ้ามือรับแทงเองประเมินโอกาสของผลลัพธ์นั้น ๆ เป็นที่ชัดเจนว่าเจ้ามือรับแทงไม่ได้กำหนดอัตราต่อรองเช่นนั้น เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราใช้สูตรต่อไปนี้:
ปบี=(1/K)*100%,
โดยที่ P B คือความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ตามสำนักงานของเจ้ามือรับแทง
K – อัตราต่อรองเจ้ามือรับแทงสำหรับผลลัพธ์
สมมติว่าอัตราต่อรองสำหรับชัยชนะของลอนดอนอาร์เซนอลในการแข่งขันกับบาเยิร์นมิวนิคคือ 4 ซึ่งหมายความว่าเจ้ามือรับแทงจะประเมินความน่าจะเป็นที่จะชนะเป็น (1/4)*100%=25% หรือยอโควิชเล่นกับยูซนี่ ตัวคูณสำหรับชัยชนะของ Novak คือ 1.2 โอกาสของเขาคือ (1/1.2)*100%=83%
นี่คือวิธีที่เจ้ามือรับแทงประเมินโอกาสในการประสบความสำเร็จของผู้เล่นและทีมแต่ละคน เมื่อทำตามขั้นตอนแรกเสร็จแล้วเราก็ไปยังขั้นตอนที่สอง
การคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์โดยผู้เล่น
ประเด็นที่สองของแผนของเราคือการประเมินความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ด้วยตัวเราเอง เนื่องจากเราไม่สามารถคำนึงถึงพารามิเตอร์ต่างๆ เช่น แรงจูงใจและโทนของเกมในทางคณิตศาสตร์ได้ เราจะใช้แบบจำลองที่เรียบง่ายและใช้เฉพาะสถิติจากการประชุมครั้งก่อนๆ ในการคำนวณความน่าจะเป็นทางสถิติของผลลัพธ์ เราใช้สูตร:
ปและ=(อืม/ม)*100%,
ที่ไหนปและ– ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตามผู้เล่น;
UM – จำนวนการแข่งขันที่ประสบความสำเร็จซึ่งมีเหตุการณ์ดังกล่าวเกิดขึ้น
M – จำนวนการแข่งขันทั้งหมด
เพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้นเราขอยกตัวอย่าง แอนดี้ เมอร์เรย์ และ ราฟาเอล นาดาล ลงเล่น 14 นัดระหว่างกัน ใน 6 เกมนั้นมีทั้งหมดน้อยกว่า 21 เกม และใน 8 เกมนั้นมากกว่านั้น คุณต้องค้นหาความน่าจะเป็นที่นัดถัดไปจะเล่นด้วยผลรวมที่สูงกว่า: (8/14)*100=57% บาเลนเซียลงเล่น 74 นัดกับแอตเลติโกที่เมสตายา ซึ่งพวกเขาเก็บชัยชนะได้ 29 นัด ความน่าจะเป็นที่บาเลนเซียจะชนะ: (29/74)*100%=39%.
และเราเรียนรู้ทั้งหมดนี้ด้วยสถิติของเกมก่อนหน้าเท่านั้น! โดยธรรมชาติแล้วสำหรับบางคน ทีมใหม่หรือผู้เล่นจะไม่สามารถคำนวณความน่าจะเป็นดังกล่าวได้ ดังนั้นกลยุทธ์การเดิมพันนี้จึงเหมาะสำหรับการแข่งขันที่ฝ่ายตรงข้ามพบกันมากกว่าหนึ่งครั้งเท่านั้น ตอนนี้เรารู้วิธีกำหนดเจ้ามือรับแทงและความน่าจะเป็นของผลลัพธ์แล้ว และเรามีความรู้ทั้งหมดที่จะไปยังขั้นตอนสุดท้าย
การกำหนดมูลค่าของการเดิมพัน
มูลค่า (มูลค่า) ของการเดิมพันและความสามารถในการผ่านมีความเชื่อมโยงกันโดยตรง ยิ่งมูลค่าสูงเท่าใด โอกาสที่จะผ่านก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น ค่าจะถูกคำนวณดังนี้:
วี=ปและ*K-100%,
โดยที่ V คือมูลค่า
P I – ความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ตามนักเดิมพัน
K – อัตราต่อรองเจ้ามือรับแทงสำหรับผลลัพธ์
สมมติว่าเราต้องการเดิมพันชัยชนะของมิลานในการแข่งขันกับโรม่า และเราคำนวณว่าความน่าจะเป็นที่ “แดง-ดำ” จะชนะคือ 45% เจ้ามือรับแทงเสนออัตราต่อรองให้เรา 2.5 สำหรับผลลัพธ์นี้ การเดิมพันดังกล่าวจะมีคุณค่าหรือไม่? เราทำการคำนวณ: V=45%*2.5-100%=12.5% เยี่ยมมาก เรามีเดิมพันอันล้ำค่าอยู่ตรงหน้าเรา โอกาสที่ดีที่จะผ่าน
มาดูอีกกรณีหนึ่ง มาเรีย ชาราโปวา พบกับ เปตรา ควิโตวา เราต้องการทำข้อตกลงเพื่อให้มาเรียชนะ ความน่าจะเป็นที่ตามการคำนวณของเราคือ 60% เจ้ามือรับแทงเสนอตัวคูณ 1.5 สำหรับผลลัพธ์นี้ เรากำหนดค่า: V=60%*1.5-100=-10% อย่างที่คุณเห็น การเดิมพันนี้ไม่มีค่าและควรหลีกเลี่ยง
เป็นที่ชัดเจนว่าแต่ละเหตุการณ์มีระดับความเป็นไปได้ที่จะเกิดขึ้น (การนำไปปฏิบัติ) ที่แตกต่างกันไป เพื่อที่จะเปรียบเทียบเหตุการณ์ต่างๆ ในเชิงปริมาณตามระดับความเป็นไปได้ จำเป็นต้องเชื่อมโยงตัวเลขจำนวนหนึ่งกับแต่ละเหตุการณ์ ซึ่งยิ่งมากก็ยิ่งเป็นไปได้มากขึ้นเท่านั้น จำนวนนี้เรียกว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์– เป็นการวัดเชิงตัวเลขของระดับความเป็นไปได้ตามวัตถุประสงค์ของการเกิดเหตุการณ์นี้
พิจารณาการทดลองสุ่มและเหตุการณ์สุ่ม A ที่พบในการทดลองนี้ ลองทำการทดลองนี้ซ้ำ n ครั้ง และให้ m(A) เป็นจำนวนการทดลองที่มีเหตุการณ์ A เกิดขึ้น
ความสัมพันธ์ (1.1)
เรียกว่า ความถี่สัมพัทธ์เหตุการณ์ A ในชุดการทดลองที่ทำขึ้น
ง่ายต่อการตรวจสอบความถูกต้องของคุณสมบัติ:
ถ้า A และ B ไม่สอดคล้องกัน (AB= ) ดังนั้น ν(A+B) = ν(A) + ν(B) (1.2)
ความถี่สัมพัทธ์จะถูกกำหนดหลังจากการทดลองชุดหนึ่งเท่านั้น และโดยทั่วไปแล้ว อาจแตกต่างกันไปในแต่ละชุด อย่างไรก็ตาม จากประสบการณ์แสดงให้เห็นว่าในหลายกรณี เมื่อจำนวนการทดลองเพิ่มขึ้น ความถี่สัมพัทธ์จะเข้าใกล้จำนวนที่แน่นอน ข้อเท็จจริงเกี่ยวกับความเสถียรของความถี่สัมพัทธ์นี้ได้รับการตรวจสอบซ้ำแล้วซ้ำอีกและสามารถพิจารณาได้จากการทดลอง
ตัวอย่าง 1.19.- หากคุณโยนเหรียญหนึ่งเหรียญ ไม่มีใครสามารถคาดเดาได้ว่าเหรียญนั้นจะตกลงไปด้านใด แต่ถ้าคุณโยนเหรียญสองตัน ทุกคนก็จะบอกว่าแขนเสื้อจะหล่นลงมาประมาณหนึ่งตันนั่นคือความถี่สัมพัทธ์ของแขนเสื้อที่หลุดออกมาจะอยู่ที่ประมาณ 0.5
เมื่อจำนวนการทดลองเพิ่มขึ้น หากความถี่สัมพัทธ์ของเหตุการณ์ ν(A) มีแนวโน้มเป็นจำนวนคงที่ ก็จะกล่าวได้ว่า เหตุการณ์ A มีความเสถียรทางสถิติและจำนวนนี้เรียกว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ กเรียก P(A) จำนวนคงที่จำนวนหนึ่ง ซึ่งความถี่สัมพัทธ์ ν(A) ของเหตุการณ์นี้มีแนวโน้มเมื่อจำนวนการทดลองเพิ่มขึ้น กล่าวคือ 
คำจำกัดความนี้เรียกว่า คำจำกัดความทางสถิติความน่าจะเป็น .
ลองพิจารณาการทดลองแบบสุ่มและปล่อยให้สเปซของเหตุการณ์เบื้องต้นประกอบด้วยชุดของเหตุการณ์เบื้องต้นที่มีขอบเขตจำกัดหรืออนันต์ (แต่นับได้) ω 1, ω 2, …, ω i, …. ให้เราสมมติว่าแต่ละเหตุการณ์เบื้องต้น ω i ได้รับการกำหนดหมายเลขที่แน่นอน - р i โดยระบุระดับความเป็นไปได้ของการเกิดเหตุการณ์เบื้องต้นที่กำหนดและเป็นไปตามคุณสมบัติต่อไปนี้:
หมายเลขนี้เรียกว่า p i ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เบื้องต้นωi
ให้ A เป็นเหตุการณ์สุ่มที่พบในการทดลองนี้ และปล่อยให้มันสอดคล้องกับเซตใดเซตหนึ่ง
ในการตั้งค่านี้ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ก เรียกผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เบื้องต้นที่สนับสนุน A(รวมอยู่ในชุด A ที่เกี่ยวข้อง):
(1.4)
ความน่าจะเป็นที่นำเสนอในลักษณะนี้มีคุณสมบัติเช่นเดียวกับความถี่สัมพัทธ์ กล่าวคือ:
และถ้า AB = (A และ B เข้ากันไม่ได้)
จากนั้น P(A+B) = P(A) + P(B)
แท้จริงแล้วตาม (1.4)
ในความสัมพันธ์ครั้งล่าสุด เราใช้ประโยชน์จากข้อเท็จจริงที่ว่าไม่มีเหตุการณ์พื้นฐานเพียงเหตุการณ์เดียวที่สามารถสนับสนุนเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้สองเหตุการณ์ในเวลาเดียวกัน
เราสังเกตเป็นพิเศษว่าทฤษฎีความน่าจะเป็นไม่ได้ระบุวิธีการหาค่า p i แต่จะต้องค้นหาด้วยเหตุผลเชิงปฏิบัติหรือได้มาจากการทดลองทางสถิติที่เกี่ยวข้อง
เป็นตัวอย่างให้พิจารณา โครงการคลาสสิกทฤษฎีความน่าจะเป็น เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้พิจารณาการทดลองสุ่ม ซึ่งเป็นสเปซของเหตุการณ์เบื้องต้นที่ประกอบด้วยองค์ประกอบจำนวนจำกัด (n) ให้เราสมมติเพิ่มเติมว่าเหตุการณ์เบื้องต้นทั้งหมดนี้เป็นไปได้เท่ากัน กล่าวคือ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เบื้องต้นเท่ากับ p(ω i)=p i =p มันเป็นไปตามนั้น
ตัวอย่าง 1.20- เมื่อโยนเหรียญสมมาตร จะได้หัวและก้อยเท่ากัน ความน่าจะเป็นจะเท่ากับ 0.5
ตัวอย่างที่ 1.21- เมื่อขว้างลูกเต๋าแบบสมมาตร ใบหน้าทั้งหมดจะเป็นไปได้เท่ากัน ความน่าจะเป็นจะเท่ากับ 1/6
ทีนี้ ให้เหตุการณ์ A เป็นที่โปรดปรานของเหตุการณ์ระดับประถมศึกษา m ซึ่งปกติจะเรียกว่า ผลลัพธ์ที่เอื้ออำนวยต่อเหตุการณ์ A- แล้ว
ได้รับ คำจำกัดความแบบคลาสสิกความน่าจะเป็น: ความน่าจะเป็น P(A) ของเหตุการณ์ A เท่ากับอัตราส่วนของจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นประโยชน์ต่อเหตุการณ์ A ต่อจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด
ตัวอย่างที่ 1.22- โกศประกอบด้วยลูกบอลสีขาวจำนวนหนึ่งลูก และลูกบอลสีดำจำนวนหนึ่งลูก ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีขาวเป็นเท่าไร?
สารละลาย- จำนวนเหตุการณ์เบื้องต้นทั้งหมดคือ m+n ล้วนมีความน่าจะเป็นเท่ากัน เหตุการณ์อันเป็นมงคล A ซึ่งม. เพราะฉะนั้น, 
.
คุณสมบัติต่อไปนี้เป็นไปตามคำจำกัดความของความน่าจะเป็น:
คุณสมบัติ 1. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เชื่อถือได้มีค่าเท่ากับหนึ่ง
แท้จริงแล้ว หากเหตุการณ์นั้นเชื่อถือได้ ผลการทดสอบเบื้องต้นทุกประการก็สนับสนุนเหตุการณ์นั้น ในกรณีนี้ เสื้อ=พี,เพราะฉะนั้น,
P(A)=ม/n=n/n=1(1.6)
คุณสมบัติ 2. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้คือศูนย์
อันที่จริง ถ้าเหตุการณ์หนึ่งเป็นไปไม่ได้ ก็ไม่มีผลลัพธ์เบื้องต้นของการทดสอบใดที่สนับสนุนเหตุการณ์นั้น ในกรณีนี้ ต= 0 ดังนั้น P(A)=ม/n=0/n=0 (1.7)
คุณสมบัติ 3.มีความเป็นไปได้ที่จะเกิดเหตุการณ์สุ่ม จำนวนบวกล้อมรอบระหว่างศูนย์ถึงหนึ่ง
แท้จริงแล้วมีเพียงส่วนหนึ่งของจำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นของการทดสอบทั้งหมดเท่านั้นที่ได้รับการสนับสนุนจากเหตุการณ์สุ่ม นั่นคือ 0≤m≤n ซึ่งหมายถึง 0≤m/n≤1 ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆ จะเป็นที่น่าพอใจกับอสมการสองเท่า 0≤ พี(เอ) ≤1. (1.8)
เมื่อเปรียบเทียบคำจำกัดความของความน่าจะเป็น (1.5) และความถี่สัมพัทธ์ (1.1) เราสรุป: คำจำกัดความของความน่าจะเป็น ไม่ต้องทำการทดสอบในความเป็นจริง; คำจำกัดความของความถี่สัมพัทธ์ถือว่าเป็นเช่นนั้น มีการทดสอบจริง- กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความน่าจะเป็นจะคำนวณก่อนการทดลอง และความถี่สัมพัทธ์ - หลังการทดลอง
อย่างไรก็ตาม การคำนวณความน่าจะเป็นจำเป็นต้องมีข้อมูลเบื้องต้นเกี่ยวกับจำนวนหรือความน่าจะเป็นของผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นประโยชน์สำหรับเหตุการณ์หนึ่งๆ ในกรณีที่ไม่มีข้อมูลเบื้องต้นดังกล่าว ข้อมูลเชิงประจักษ์จะถูกนำมาใช้เพื่อกำหนดความน่าจะเป็น นั่นคือความถี่สัมพัทธ์ของเหตุการณ์จะถูกกำหนดตามผลลัพธ์ของการทดลองสุ่ม
ตัวอย่างที่ 1.23- ฝ่ายควบคุมด้านเทคนิค ค้นพบ 3ชิ้นส่วนที่ไม่ได้มาตรฐานในชุด 80 ชิ้นสุ่มเลือก ความถี่สัมพัทธ์ของการเกิดชิ้นส่วนที่ไม่ได้มาตรฐาน ร(เอ)= 3/80.
ตัวอย่างที่ 1.24- ตามวัตถุประสงค์ที่ผลิต 24 ยิงและบันทึกการตี 19 ครั้ง อัตราการเข้าชมเป้าหมายแบบสัมพันธ์ ร(เอ)=19/24.
การสังเกตในระยะยาวแสดงให้เห็นว่าหากการทดลองดำเนินการภายใต้สภาวะที่เหมือนกัน โดยในแต่ละการทดสอบมีจำนวนการทดสอบมากพอ ความถี่สัมพัทธ์จะแสดงคุณสมบัติของความเสถียร คุณสมบัตินี้คือ ในการทดลองต่างๆ ความถี่สัมพัทธ์จะเปลี่ยนแปลงเพียงเล็กน้อย (ยิ่งน้อย ก็ยิ่งทำการทดสอบมากขึ้น) โดยจะผันผวนไปตามจำนวนคงที่ที่แน่นอนปรากฎว่าจำนวนคงที่นี้สามารถใช้เป็นค่าประมาณของความน่าจะเป็นได้
ความสัมพันธ์ระหว่างความถี่สัมพัทธ์และความน่าจะเป็นจะมีการอธิบายโดยละเอียดและชัดเจนยิ่งขึ้นด้านล่าง ตอนนี้ให้เราแสดงคุณสมบัติของความมั่นคงด้วยตัวอย่าง
ตัวอย่างที่ 1.25- ตามสถิติของสวีเดน ความถี่สัมพัทธ์ของการเกิดของเด็กผู้หญิงในปี พ.ศ. 2478 ในแต่ละเดือนมีลักษณะเป็นตัวเลขต่อไปนี้ (ตัวเลขจัดเรียงตามลำดับเดือนโดยเริ่มจาก มกราคม): 0,486; 0,489; 0,490; 0.471; 0,478; 0,482; 0.462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473
ความถี่สัมพัทธ์ผันผวนประมาณเลข 0.481 ซึ่งถือเป็นค่าประมาณความน่าจะเป็นที่จะมีบุตรสาว
โปรดทราบว่าข้อมูลทางสถิติจากประเทศต่างๆ ให้ค่าความถี่สัมพัทธ์ที่เท่ากันโดยประมาณ
ตัวอย่างที่ 1.26มีการทดลองโยนเหรียญหลายครั้ง โดยนับจำนวนที่ปรากฏของ "เสื้อคลุมแขน" ผลลัพธ์ของการทดลองหลายครั้งแสดงไว้ในตาราง
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในการทดสอบบางอย่างจะเท่ากับอัตราส่วน โดยที่:
จำนวนรวมของผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้เท่ากันของการทดสอบที่กำหนด ซึ่งจะเกิดขึ้น เหตุการณ์เต็มกลุ่ม;
จำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นที่เอื้อต่อกิจกรรม
ปัญหาที่ 1
โกศประกอบด้วยลูกบอลสีขาว 15 ลูก สีแดง 5 ลูก และสีดำ 10 ลูก สุ่มหยิบลูกบอล 1 ลูก ค้นหาความน่าจะเป็น: a) สีขาว b) สีแดง c) สีดำ
สารละลาย: ข้อกำหนดเบื้องต้นที่สำคัญที่สุดสำหรับการใช้คำจำกัดความดั้งเดิมของความน่าจะเป็นคือ ความสามารถในการนับจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด.
ในโกศมีลูกบอลทั้งหมด 15 + 5 + 10 = 30 ลูก และเห็นได้ชัดว่าข้อเท็จจริงต่อไปนี้เป็นจริง:
การรับลูกบอลใด ๆ ก็เป็นไปได้อย่างเท่าเทียมกัน (โอกาสที่เท่าเทียมกันผลลัพธ์)ในขณะที่ผลลัพธ์ ระดับประถมศึกษา และรูปแบบ เหตุการณ์เต็มกลุ่ม (เช่นผลการทดสอบลูกหนึ่งใน 30 ลูกจะถูกลบออกอย่างแน่นอน).
ดังนั้น, จำนวนทั้งหมดผลลัพธ์:
พิจารณาเหตุการณ์: - ลูกบอลสีขาวจะถูกดึงออกมาจากโกศ เหตุการณ์นี้ได้รับการสนับสนุนจากผลลัพธ์เบื้องต้น ดังนั้น ตามคำจำกัดความดั้งเดิม: 
- ความน่าจะเป็นที่จะดึงลูกบอลสีขาวออกมาจากโกศ
น่าแปลกที่แม้ในงานง่าย ๆ ก็สามารถทำให้เกิดความไม่ถูกต้องอย่างร้ายแรงได้ หลุมพรางอยู่ที่นี่อยู่ที่ไหน? มันไม่ถูกต้องที่จะโต้แย้งที่นี่ “เนื่องจากครึ่งหนึ่งของลูกบอลเป็นสีขาว ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีขาว » - คำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็นหมายถึง ประถมศึกษาผลลัพธ์และเศษส่วนต้องถูกเขียนลงไป!
สำหรับประเด็นอื่นๆ ให้พิจารณาเหตุการณ์ต่อไปนี้ในทำนองเดียวกัน:
ลูกบอลสีแดงจะถูกดึงออกมาจากโกศ
- ลูกบอลสีดำจะถูกดึงออกมาจากโกศ
เหตุการณ์ได้รับผลสนับสนุนจากผลลัพธ์เบื้องต้น 5 ประการ และเหตุการณ์หนึ่งได้รับผลสนับสนุนจากผลลัพธ์เบื้องต้น 10 ประการ ดังนั้นความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกันคือ: 
การตรวจสอบงานเซิร์ฟเวอร์หลายอย่างโดยทั่วไปนั้นดำเนินการโดยใช้ ทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ก่อให้เกิดกลุ่มที่สมบูรณ์- ในกรณีของเรา เหตุการณ์ต่างๆ จะรวมกันเป็นกลุ่มที่สมบูรณ์ ซึ่งหมายความว่าผลรวมของความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้องจะต้องเท่ากับ 1:
มาตรวจสอบว่าสิ่งนี้เป็นจริงหรือไม่: นั่นคือสิ่งที่ฉันต้องการให้แน่ใจ
คำตอบ: 
ในทางปฏิบัติ ตัวเลือกการออกแบบโซลูชัน "ความเร็วสูง" เป็นเรื่องปกติ:
รวม: 15 + 5 + 10 = 30 ลูกในโกศ ตามคำจำกัดความคลาสสิก:
- ความน่าจะเป็นที่จะดึงลูกบอลสีขาวออกมาจากโกศ
- ความน่าจะเป็นที่จะดึงลูกบอลสีแดงออกจากโกศ
- ความน่าจะเป็นที่จะดึงลูกบอลสีดำออกมาจากโกศ
คำตอบ:
ปัญหาที่ 2
ร้านค้าได้รับตู้เย็นจำนวน 30 ตู้ โดย 5 ตู้มีข้อบกพร่องจากการผลิต ตู้เย็นหนึ่งใบจะถูกสุ่มเลือก ความน่าจะเป็นที่จะไม่มีข้อบกพร่องเป็นเท่าใด?
ปัญหา 3
เมื่อกดหมายเลขโทรศัพท์ผู้สมัครสมาชิกลืมตัวเลขสองตัวสุดท้าย แต่จำไว้ว่าหนึ่งในนั้นคือศูนย์และอีกอันเป็นเลขคี่ ค้นหาความน่าจะเป็นที่เขาจะกดหมายเลขที่ถูกต้อง
บันทึก: 0 เป็นเลขคู่ (หารด้วย 2 โดยไม่มีเศษ)
สารละลาย: ก่อนอื่นเราจะหาจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด ตามเงื่อนไข ผู้สมัครสมาชิกจำได้ว่าตัวเลขตัวใดตัวหนึ่งเป็นศูนย์และอีกหลักหนึ่งเป็นเลขคี่ มีเหตุผลมากกว่าที่จะไม่แยกผมด้วย เชิงผสมและใช้ประโยชน์ วิธีการแสดงรายการผลลัพธ์โดยตรง - นั่นคือเมื่อทำการแก้ปัญหา เราเพียงเขียนชุดค่าผสมทั้งหมด:
01, 03, 05, 07, 09
10, 30, 50, 70, 90
และเรานับผลลัพธ์ทั้งหมด: 10 ผลลัพธ์
ผลลัพธ์ที่ดีมีเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้นคือตัวเลขที่ถูกต้อง
ตามคำจำกัดความคลาสสิก: 
- ความน่าจะเป็นที่สมาชิกจะกดหมายเลขที่ถูกต้อง
คำตอบ: 0,1
งานขั้นสูงสำหรับโซลูชันอิสระ:
ปัญหาที่ 4
ผู้ใช้บริการลืมรหัส PIN สำหรับซิมการ์ดของเขา แต่จำไว้ว่ารหัสนั้นมี "ห้า" สามตัว และหนึ่งในตัวเลขนั้นคือ "เจ็ด" หรือ "แปด" ความน่าจะเป็นที่จะอนุมัติสำเร็จในการลองครั้งแรกเป็นเท่าใด
ที่นี่คุณยังสามารถพัฒนาแนวคิดเกี่ยวกับความเป็นไปได้ที่สมาชิกจะถูกลงโทษในรูปแบบของรหัส puk แต่น่าเสียดายที่การให้เหตุผลจะอยู่นอกเหนือขอบเขตของบทเรียนนี้
วิธีแก้ไขและคำตอบอยู่ด้านล่าง
บางครั้งการรวมรายการเข้าด้วยกันกลายเป็นงานที่ต้องใช้ความอุตสาหะมาก โดยเฉพาะกรณีต่อไปนี้ไม่น้อย กลุ่มยอดนิยมปัญหาการทอยลูกเต๋า 2 ลูก (ไม่บ่อย-มาก):
ปัญหาที่ 5
จงหาความน่าจะเป็นที่เมื่อโยนลูกเต๋าสองลูก จำนวนรวมจะเป็นดังนี้:
ก) ห้าคะแนน;
b) ไม่เกินสี่คะแนน
c) รวม 3 ถึง 9 คะแนน
สารละลาย: ค้นหาจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด:
วิธีที่ด้านข้างของลูกเต๋าลูกที่ 1 สามารถหลุดออกมาได้ และด้วยวิธีต่างๆ ด้านข้างของลูกบาศก์ที่ 2 อาจหลุดออกมาได้ โดย กฎสำหรับการคูณชุดค่าผสม, ทั้งหมด: 
การรวมกันที่เป็นไปได้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง แต่ละหน้าของลูกบาศก์ที่ 1 สามารถสร้างคู่ที่สั่งได้ กับแต่ละคนขอบของลูกบาศก์ที่ 2 ให้เราตกลงกันว่าจะเขียนคู่ดังกล่าวให้อยู่ในรูป โดยที่ คือ เลขที่ปรากฏบนลูกเต๋าตัวที่ 1 และ คือ ตัวเลขที่ปรากฏบนลูกเต๋าตัวที่ 2
ตัวอย่างเช่น:
ลูกเต๋าลูกแรกได้ 3 แต้ม ลูกเต๋าลูกที่สองได้ 5 แต้ม รวมคะแนน: 3 + 5 = 8;
- ลูกเต๋าลูกแรกได้ 6 คะแนน ลูกที่สอง - 1 คะแนน ผลรวมคะแนน: 6 + 1 = 7;
- ทอยลูกเต๋าทั้งสองลูกได้ 2 แต้ม ผลรวม: 2 + 2 = 4
แน่นอนว่าจำนวนเงินที่น้อยที่สุดจะได้รับจากคู่หนึ่ง และจำนวนที่ใหญ่ที่สุดคือ "หก" สองอัน
ก) พิจารณาเหตุการณ์: - เมื่อโยนลูกเต๋าสองลูก 5 แต้มจะปรากฏขึ้น มาเขียนและนับจำนวนผลลัพธ์ที่สนับสนุนเหตุการณ์นี้:
ทั้งหมด: 4 ผลลัพธ์ที่น่าพอใจ ตามคำจำกัดความคลาสสิก:
- ความน่าจะเป็นที่ต้องการ
b) พิจารณากิจกรรม: - จะมีคะแนนปรากฏไม่เกิน 4 คะแนน นั่นคือ 2 หรือ 3 หรือ 4 คะแนน เราแสดงรายการและนับชุดค่าผสมที่ดีอีกครั้งฉันจะเขียนจำนวนคะแนนทั้งหมดทางด้านซ้ายและหลังเครื่องหมายทวิภาค - คู่ที่เหมาะสม: 
ทั้งหมด: 6 ชุดค่าผสมที่ดี ดังนั้น:
- ความน่าจะเป็นที่จะทอยได้ไม่เกิน 4 แต้ม
c) พิจารณากิจกรรม: - จะมีการทอยคะแนน 3 ถึง 9 แต้ม ที่นี่คุณสามารถใช้ถนนตรงได้ แต่... ด้วยเหตุผลบางอย่างที่คุณไม่ต้องการ ใช่ มีบางคู่ระบุไว้แล้วในย่อหน้าก่อนๆ แต่ยังมีงานอีกมากที่ต้องทำ
วิธีที่ดีที่สุดในการดำเนินการคืออะไร? ในกรณีเช่นนี้ เส้นทางวงเวียนจะกลายเป็นเหตุผล ลองพิจารณาดู เหตุการณ์ตรงกันข้าม: - 2 หรือ 10 หรือ 11 หรือ 12 จุดจะปรากฏขึ้น
ประเด็นคืออะไร? เหตุการณ์ตรงกันข้ามได้รับการสนับสนุนจากคู่รักจำนวนน้อยกว่ามาก:
ทั้งหมด: 7 ผลลัพธ์ที่น่าพอใจ
ตามคำจำกัดความคลาสสิก:
- ความน่าจะเป็นที่คุณจะได้น้อยกว่าสามหรือมากกว่า 9 คะแนน
โดยเฉพาะผู้ที่มีวิจารณญาณสามารถลงรายการได้ทั้งหมด 29 คู่จึงจะเสร็จสิ้นการตรวจสอบ
คำตอบ: 
ในปัญหาต่อไปเราจะทำซ้ำตารางสูตรคูณ:
ปัญหาที่ 6
จงหาความน่าจะเป็นที่เมื่อโยนลูกเต๋าสองลูก ผลคูณของแต้มจะเป็น:
ก) จะเท่ากับเจ็ด;
b) จะมีอย่างน้อย 20;
c) จะเท่ากัน
วิธีแก้ปัญหาด่วนและคำตอบท้ายบทเรียน
ปัญหาที่ 7
มีคน 3 คนเข้าไปในลิฟต์ของอาคาร 20 ชั้นที่ชั้น 1 และไปกันเถอะ ค้นหาความน่าจะเป็นที่:
ก) พวกเขาจะออกบนชั้นต่างๆ
b) สองคนจะออกจากชั้นเดียวกัน
c) ทุกคนจะลงที่ชั้นเดียวกัน
สารละลาย: ลองคำนวณจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด: วิธีที่ผู้โดยสารคนแรกจะออกจากลิฟต์ได้ และวิธี - ผู้โดยสารคนที่ 2 และวิธี - ผู้โดยสารคนที่สาม ตามกฎของการคูณของชุดค่าผสม: ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ นั่นคือ ทั้งหมดชั้นทางออกบุคคลที่ 1 สามารถรวมกันได้ กับทุกคนชั้นทางออกบุคคลที่ 2 และ กับทุกคนชั้นทางออกบุคคลที่ 3
วิธีที่สองขึ้นอยู่กับ ตำแหน่งที่มีการทำซ้ำ:
- ใครก็ตามที่เข้าใจชัดเจนยิ่งขึ้น
ก) พิจารณาเหตุการณ์: - ผู้โดยสารจะลงจากชั้นต่างๆ มาคำนวณจำนวนผลลัพธ์ที่น่าพึงพอใจ: 
ผู้โดยสาร 3 คนบนชั้นต่างๆ สามารถออกได้โดยใช้วิธีการเหล่านี้ ทำเหตุผลของคุณเองตามสูตร
ตามคำจำกัดความคลาสสิก: 
ค) พิจารณาเหตุการณ์: - ผู้โดยสารจะลงจากชั้นเดียวกัน เหตุการณ์นี้มีผลลัพธ์ที่น่าพอใจ และตามคำจำกัดความดั้งเดิม ความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน: 
.
เราเข้ามาจากประตูหลัง:
b) พิจารณาเหตุการณ์: - คนสองคนจะลงจากชั้นเดียวกัน (และด้วยเหตุนี้อันที่สามจึงอยู่อีกด้านหนึ่ง).
แบบฟอร์มกิจกรรม เต็มกลุ่ม (เราเชื่อว่าไม่มีใครหลับในลิฟต์และลิฟต์จะไม่ติดซึ่งหมายความว่า
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ต้องการคือ:
ดังนั้น, ทฤษฎีบทการบวกความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ก่อตัวเป็นกลุ่มสมบูรณ์ไม่เพียงแต่จะสะดวก แต่ยังเป็นผู้ช่วยชีวิตที่แท้จริงอีกด้วย!
คำตอบ:
เมื่อได้เศษส่วนจำนวนมากแล้ว อยู่ในสภาพที่ดีจะแสดงค่าทศนิยมโดยประมาณ มักจะปัดเศษเป็นทศนิยม 2-3-4 ตำแหน่ง
เนื่องจากเหตุการณ์ของคะแนน "a", "be", "ve" ก่อตัวเป็นกลุ่มที่สมบูรณ์จึงสมเหตุสมผลที่จะดำเนินการตรวจสอบการควบคุมและจะดีกว่าหากใช้ค่าโดยประมาณ:
ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องตรวจสอบ
บางครั้งเนื่องจากข้อผิดพลาดในการปัดเศษผลลัพธ์อาจเป็น 0.9999 หรือ 1.0001 ในกรณีนี้ค่าประมาณค่าใดค่าหนึ่งควร "ปรับ" เพื่อให้ผลรวมเป็นหน่วย "บริสุทธิ์"
ด้วยตนเอง:
ปัญหาที่ 8
มีการโยนเหรียญ 10 เหรียญ ค้นหาความน่าจะเป็นที่:
ก) เหรียญทั้งหมดจะแสดงหัว;
b) 9 เหรียญจะลงหัว และหนึ่งเหรียญจะลงก้อย
c) หัวจะปรากฏบนเหรียญครึ่งหนึ่ง
ปัญหาที่ 9
7 คนสุ่มนั่งบนม้านั่งเจ็ดที่นั่ง ความน่าจะเป็นของสองตัวนั้นคืออะไร บุคคลบางคนพวกเขาจะอยู่ใกล้ๆ ไหม?
สารละลาย: ไม่มีปัญหากับจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด:
คน 7 คนสามารถนั่งบนม้านั่งได้หลายวิธี
แต่จะคำนวณจำนวนผลลัพธ์ที่ดีได้อย่างไร? สูตรเล็กน้อยไม่เหมาะสมและ วิธีเดียวเท่านั้น- นี่คือการใช้เหตุผลเชิงตรรกะ ก่อนอื่น ให้เราพิจารณาสถานการณ์ที่ Sasha และ Masha อยู่ข้างๆ กันที่ขอบด้านซ้ายของม้านั่ง: 
เห็นได้ชัดว่าลำดับมีความสำคัญ: Sasha สามารถนั่งทางซ้าย Masha ทางด้านขวาและในทางกลับกัน แต่นั่นไม่ใช่ทั้งหมด - สำหรับทุกคนในสองกรณีนี้ คนที่เหลือสามารถนั่งในที่นั่งว่างได้ด้วยวิธีอื่น การพูดแบบผสมผสาน Sasha และ Masha สามารถจัดเรียงใหม่ในตำแหน่งที่อยู่ติดกันได้ด้วยวิธีต่อไปนี้: และสำหรับการเรียงสับเปลี่ยนแต่ละครั้ง บุคคลอื่นสามารถจัดเรียงใหม่ได้หลายวิธี
ดังนั้นตามกฎของการคูณของการรวมกันผลลัพธ์ที่ดีจึงเกิดขึ้น
แต่นั่นไม่ใช่ทั้งหมด! ข้อเท็จจริงข้างต้นเป็นจริง สำหรับแต่ละสถานที่ใกล้เคียงคู่: 
เป็นที่น่าสังเกตว่าหากม้านั่งมี "โค้งมน" (เชื่อมต่อที่นั่งซ้ายและขวา)จากนั้นจะมีสถานที่ที่อยู่ติดกันคู่ที่เจ็ดเพิ่มเติมเกิดขึ้น แต่อย่าให้ฟุ้งซ่าน ตามหลักการเดียวกันของการคูณชุดค่าผสม เราได้ผลลัพธ์ที่น่าพอใจในจำนวนสุดท้าย:
ตามคำจำกัดความคลาสสิก: 
- ความน่าจะเป็นที่บุคคลสองคนจะอยู่ใกล้เคียง
คำตอบ:
ปัญหาที่ 10
เรือสำราญสองลำ สีขาวและสีดำ ถูกสุ่มวางบนกระดานหมากรุกที่มี 64 เซลล์ มีโอกาสแค่ไหนที่พวกเขาจะไม่ "ตี" กัน?
อ้างอิง: กระดานหมากรุกมีขนาดเซลล์ เรือขาวดำจะ "ตี" กันเมื่อพวกมันอยู่ในอันดับเดียวกันหรือในแนวดิ่งเดียวกัน
อย่าลืมวาดแผนผังของกระดาน และดียิ่งขึ้นหากมีหมากรุกอยู่ใกล้ๆ การใช้เหตุผลบนกระดาษเป็นเรื่องหนึ่ง และอีกเรื่องหนึ่งเมื่อคุณจัดเรียงชิ้นส่วนด้วยมือของคุณเอง
ปัญหาที่ 11
ความน่าจะเป็นที่ไพ่ทั้งสี่ใบที่แจกจะมีหนึ่งเอซและคิงหนึ่งใบเป็นเท่าใด
ลองคำนวณจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด คุณสามารถนำไพ่ 4 ใบออกจากสำรับได้กี่วิธี? ทุกคนคงเข้าใจว่าเรากำลังพูดถึง จำนวนชุดค่าผสม:
โดยใช้วิธีการเหล่านี้คุณสามารถเลือกไพ่ 4 ใบจากสำรับได้
ตอนนี้เราพิจารณาผลลัพธ์ที่ดี ตามเงื่อนไขในการเลือกไพ่ 4 ใบจะต้องมีเอซหนึ่งใบหนึ่งคิงและซึ่งไม่ได้ระบุไว้ในข้อความเปิด - การ์ดอีกสองใบ:
วิธีแยกเอซหนึ่งตัว
วิธีที่คุณสามารถเลือกกษัตริย์ได้หนึ่งองค์
เราไม่รวมเอซและราชาจากการพิจารณา: 36 - 4 - 4 = 28
วิธีที่คุณสามารถแยกไพ่อีกสองใบออกมาได้
ตามกฎสำหรับการคูณชุดค่าผสม:
วิธีแยกไพ่ที่ต้องการ (1st Ace และกษัตริย์องค์ที่ 1 และอีกสองใบ)
ให้ฉันแสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับความหมายเชิงผสมของสัญกรณ์ในอีกทางหนึ่ง:
ทั้งหมดเอซรวมกัน กับทุกคนกษัตริย์และ กับแต่ละคนคู่ไพ่อื่นที่เป็นไปได้
ตามคำจำกัดความคลาสสิก: 
- ความน่าจะเป็นที่ไพ่ทั้งสี่ใบที่แจกจะมีหนึ่งเอซและคิงหนึ่งใบ
หากคุณมีเวลาและความอดทน ให้ลดเศษส่วนจำนวนมากให้มากที่สุด
คำตอบ:
งานที่ง่ายกว่าในการแก้ไขด้วยตัวเอง:
ปัญหาที่ 12
กล่องประกอบด้วยชิ้นส่วนคุณภาพ 15 ชิ้นและชิ้นส่วนที่ชำรุด 5 ชิ้น 2 ส่วนจะถูกลบออกโดยการสุ่ม
ค้นหาความน่าจะเป็นที่:
ก) ทั้งสองส่วนจะมีคุณภาพสูง
b) ส่วนหนึ่งจะมีคุณภาพสูงและส่วนหนึ่งจะมีข้อบกพร่อง
c) ทั้งสองส่วนมีข้อบกพร่อง
เหตุการณ์ตามรายการจะรวมกันเป็นกลุ่มที่สมบูรณ์ ดังนั้นการตรวจสอบที่นี่จึงถือเป็นการแนะนำตัวมันเอง คำตอบสั้น ๆ และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน โดยทั่วไปสิ่งที่น่าสนใจที่สุดเพิ่งเริ่มต้น!
ปัญหาที่ 13
นักเรียนรู้คำตอบของคำถามสอบ 25 ข้อจาก 60 ข้อ ความน่าจะเป็นที่จะสอบผ่านคือเท่าใดถ้าคุณต้องการตอบคำถามอย่างน้อย 2 ใน 3 ข้อ?
สารละลาย: ดังนั้น สถานการณ์จะเป็นดังนี้: ทั้งหมด 60 คำถาม โดย 25 คำถาม "ดี" และ 60 - 25 = 35 คำถาม "ไม่ดี" สถานการณ์ไม่ปลอดภัยและไม่เป็นผลดีต่อนักเรียน มาดูกันว่าโอกาสของเขาดีแค่ไหน:
วิธีที่คุณสามารถเลือก 3 คำถามจาก 60 ข้อ (จำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด).
จะสอบผ่านต้องตอบข้อ 2 หรือ 3 คำถาม เราพิจารณาชุดค่าผสมที่เหมาะสม:
วิธีเลือกคำถาม “ดี” 2 ข้อ และอันหนึ่งคือ "ไม่ดี";
วิธีที่คุณสามารถเลือกคำถาม "ดี" ได้ 3 ข้อ
โดย กฎสำหรับการเพิ่มชุดค่าผสม:
วิธีที่คุณสามารถเลือกรวมคำถาม 3 ข้อที่เหมาะกับการสอบผ่าน (ไม่มีความแตกต่างกับคำถาม "ดี") สองหรือสามข้อ).
ตามคำจำกัดความคลาสสิก: 
คำตอบ:
ปัญหาที่ 14
ผู้เล่นโป๊กเกอร์จะได้รับไพ่ 5 ใบ ค้นหาความน่าจะเป็นที่:
ก) ในบรรดาไพ่เหล่านี้จะมีแจ็คหนึ่งคู่และสิบคู่
b) ผู้เล่นจะได้รับไพ่ฟลัช (ไพ่ 5 ใบในชุดเดียวกัน)
c) ผู้เล่นจะได้รับไพ่สี่ใบที่เหมือนกัน (ไพ่ 4 ใบที่มีมูลค่าเท่ากัน)
ชุดค่าผสมใดต่อไปนี้น่าจะได้รับมากที่สุด
- ความสนใจ!หากเงื่อนไขถามคำถามที่คล้ายกัน ให้ตอบคำถามนั้น จำเป็นให้คำตอบ
อ้างอิง
: โดยทั่วไปแล้วโป๊กเกอร์จะเล่นโดยใช้สำรับไพ่ 52 ใบ ซึ่งมีไพ่ 4 ดอกตั้งแต่ไพ่สองใบไปจนถึงเอซ
โป๊กเกอร์เป็นเกมทางคณิตศาสตร์ที่ดีที่สุด (ผู้ที่เล่นจะรู้ดี) ซึ่งคุณสามารถได้เปรียบอย่างเห็นได้ชัดเหนือคู่ต่อสู้ที่มีคุณสมบัติน้อยกว่า
โซลูชั่นและคำตอบ:
ภารกิจที่ 2: สารละลาย: 30 - 5 = 25 ตู้เย็นไม่มีตำหนิ
- ความน่าจะเป็นที่ตู้เย็นที่สุ่มเลือกไม่มีตำหนิ
คำตอบ
:
ภารกิจที่ 4: สารละลาย: ค้นหาจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด:
วิธีที่คุณสามารถเลือกสถานที่ซึ่งมีหมายเลขที่น่าสงสัยอยู่ และทุกๆจาก 4 ตำแหน่งนี้สามารถระบุได้ 2 หลัก (เจ็ดหรือแปด) ตามกฎของการคูณชุดค่าผสม จำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด: 
.
อีกวิธีหนึ่ง วิธีแก้ปัญหาสามารถแสดงรายการผลลัพธ์ทั้งหมดได้ (โชคดีที่มีเพียงไม่กี่ผลลัพธ์):
7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558
ผลลัพธ์ที่ดีมีเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น (รหัสพินที่ถูกต้อง)
ดังนั้น ตามคำจำกัดความคลาสสิก:
- ความน่าจะเป็นที่สมาชิกเข้าสู่ระบบในครั้งแรก
คำตอบ
:
ภารกิจที่ 6: สารละลาย
ภารกิจที่ 6:สารละลาย
: ค้นหาจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด:
ตัวเลขสามารถปรากฏบนลูกเต๋า 2 ลูกได้หลายวิธี
ก) พิจารณาเหตุการณ์:
- เมื่อโยนลูกเต๋าสองลูก ผลคูณของแต้มจะเท่ากับเจ็ด ไม่มีผลลัพธ์ที่น่าพอใจสำหรับเหตุการณ์นี้
, เช่น. เหตุการณ์นี้เป็นไปไม่ได้
b) พิจารณาเหตุการณ์:
- เมื่อโยนลูกเต๋าสองลูกผลคูณของแต้มจะต้องมีอย่างน้อย 20 ผลลัพธ์ต่อไปนี้สนับสนุนเหตุการณ์นี้:
รวมทั้งหมด: 8
ตามคำจำกัดความคลาสสิก:
- ความน่าจะเป็นที่ต้องการ
ค) พิจารณา เหตุการณ์ตรงกันข้าม:
- ผลคูณของคะแนนจะเท่ากัน
- ผลคูณของแต้มจะเป็นคี่
เรามาดูผลลัพธ์ทั้งหมดที่เป็นผลดีต่องานนี้กัน :
ทั้งหมด: 9 ผลลัพธ์ที่น่าพอใจ
ตามคำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น: 
เหตุการณ์ตรงกันข้ามจะรวมกันเป็นกลุ่มที่สมบูรณ์ ดังนั้น:
- ความน่าจะเป็นที่ต้องการ
คำตอบ
:
ปัญหาที่ 8:สารละลาย
วิธีที่ 2 เหรียญสามารถตกได้
อีกวิธีหนึ่ง: วิธีที่เหรียญ 1 ล้มได้และ วิธีที่เหรียญที่ 2 จะล้มได้และ …
และ วิธีที่เหรียญ 10 ล้มได้ ตามกฎของการคูณการผสม 10 เหรียญสามารถล้มได้ 
วิธี
ก) พิจารณาเหตุการณ์: - เหรียญทั้งหมดจะแสดงหัว เหตุการณ์นี้สนับสนุนโดยผลลัพธ์เดียว ตามคำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น: .
b) พิจารณาเหตุการณ์: - 9 เหรียญจะลงหัว และ 1 เหรียญจะลงก้อย
มีอยู่ เหรียญที่อาจตกลงบนหัว ตามคำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น: 
.
c) พิจารณาเหตุการณ์: - หัวจะปรากฏบนเหรียญครึ่งหนึ่ง
มีอยู่ 
การผสมผสานที่เป็นเอกลักษณ์ของเหรียญห้าเหรียญที่สามารถลงหัวได้ ตามคำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น: 
คำตอบ:
ปัญหาที่ 10:สารละลาย
: ลองคำนวณจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด:
วิธีวางเรือสองลำบนกระดาน
ตัวเลือกการออกแบบอื่น: 
วิธีเลือกกระดานหมากรุกสองช่องและ
วิธีวางเรือขาวและเรือดำในทุก ๆ
จากกรณีปี 2559 ดังนั้น จำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด: .
ทีนี้มานับผลลัพธ์ที่พวกโกง "เอาชนะ" กัน ลองพิจารณาเส้นแนวนอนเส้นที่ 1 เห็นได้ชัดว่าสามารถวางตัวเลขไว้ในลักษณะใดก็ได้เช่น:
นอกจากนี้ยังสามารถจัดเรียงโกงใหม่ได้ ลองใส่เหตุผลในรูปแบบตัวเลข: 
วิธีที่คุณสามารถเลือกสองเซลล์ได้และ วิธีจัดเรียงโกงใหม่ในทุก ๆจากทั้งหมด 28 คดี ทั้งหมด: 
ตำแหน่งที่เป็นไปได้ของตัวเลขในแนวนอน
การออกแบบเวอร์ชันสั้น: วิธีที่คุณสามารถวางเรือสีขาวและสีดำไว้ที่อันดับ 1
การให้เหตุผลข้างต้นถูกต้องสำหรับแต่ละ
แนวนอน ดังนั้นจำนวนชุดค่าผสมควรคูณด้วยแปด:
- นอกจากนี้ เรื่องราวที่คล้ายกันนี้ถือเป็นเรื่องจริงสำหรับแนวดิ่งทั้งแปดแนว ลองคำนวณจำนวนรูปแบบทั้งหมดที่ชิ้นส่วน "ตี" กัน:
จากนั้นในเวอร์ชันที่เหลือของการจัดเรียง เรือจะไม่ "ตี" กัน:
4032 - 896 = 3136
ตามคำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น:
- ความน่าจะเป็นที่เรือสีขาวและสีดำสุ่มบนกระดานจะไม่ "ตี" กัน
คำตอบ :
ปัญหาที่ 12:สารละลาย
: ทั้งหมด: 15 + 5 = 20 ชิ้นส่วนในกล่อง คำนวณจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด:
เมื่อใช้วิธีการเหล่านี้ คุณสามารถนำ 2 ส่วนออกจากกล่องได้
ก) พิจารณาเหตุการณ์: - ส่วนที่สกัดออกมาทั้งสองจะมีคุณภาพสูง
โดยใช้วิธีการเหล่านี้คุณสามารถแยกส่วนคุณภาพได้ 2 ส่วน
ตามคำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น: 
b) พิจารณาเหตุการณ์: - ส่วนหนึ่งจะมีคุณภาพสูงและส่วนหนึ่งจะมีข้อบกพร่อง
วิธีที่คุณสามารถดึงส่วนคุณภาพออกมาได้ 1 ส่วนและมีข้อบกพร่อง 1 รายการ
ตามคำจำกัดความคลาสสิก: 
c) พิจารณาเหตุการณ์: - ส่วนที่ถอดออกมามีตำหนิทั้งสองชิ้น
เมื่อใช้วิธีการเหล่านี้ คุณสามารถถอดชิ้นส่วนที่ชำรุด 2 ชิ้นออกได้
ตามคำจำกัดความคลาสสิก: 
การตรวจสอบ: ลองคำนวณผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่รวมกันเป็นกลุ่มทั้งหมด: ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องตรวจสอบ
คำตอบ:
และตอนนี้เรามาใช้เครื่องมือการเรียนรู้ที่คุ้นเคยและไร้ปัญหาในมือของเรากันดีกว่า เต็มกลุ่มเหตุการณ์ต่างๆ 
ซึ่งประกอบด้วยความจริงที่ว่าเมื่อโยนออกไป 1, 2, 3, 4, 5 และ 6 คะแนนจะปรากฏขึ้นตามลำดับ
พิจารณาเหตุการณ์ - อันเป็นผลมาจากการขว้าง ลูกเต๋าหมุนอย่างน้อยห้าแต้ม งานนี้ประกอบด้วยผลลัพธ์ที่เข้ากันไม่ได้สองประการ: (ม้วนที่ 5 หรือ 6 คะแนน)
- ความน่าจะเป็นที่การทอยลูกเต๋าจะส่งผลให้มีแต้มอย่างน้อยห้าแต้ม
ลองพิจารณาเหตุการณ์ที่จะทอยได้ไม่เกิน 4 แต้มแล้วหาความน่าจะเป็น โดยทฤษฎีบทการบวกความน่าจะเป็น เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้:
บางทีผู้อ่านบางคนอาจยังไม่เข้าใจอย่างเต็มที่ สาระสำคัญความไม่เข้ากัน ลองคิดดูอีกครั้ง: นักเรียนไม่สามารถตอบคำถาม 2 ใน 3 ข้อได้ และในเวลาเดียวกันตอบคำถามทั้ง 3 ข้อ ดังนั้นเหตุการณ์ต่างๆจึงเข้ากันไม่ได้
ตอนนี้ใช้ คำจำกัดความแบบคลาสสิกเรามาค้นหาความน่าจะเป็นกันดีกว่า:
ความจริงในการผ่านการทดสอบนั้นแสดงเป็นจำนวนเงิน (ตอบ 2 ใน 3 ข้อ) หรือสำหรับคำถามทั้งหมด)- ตามทฤษฎีบทของการบวกความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้: 
- ความน่าจะเป็นที่นักเรียนจะสอบผ่าน
โซลูชันนี้เทียบเท่ากันโดยสิ้นเชิง เลือกวิธีที่คุณชอบที่สุด
ปัญหาที่ 1
ร้านค้าได้รับสินค้าในกล่องจากคลังสินค้าขายส่งสี่แห่ง: สี่แห่งจากที่ 1, ห้าแห่งจากที่ 2, เจ็ดแห่งจากที่ 3 และสี่แห่งจากที่ 4 กล่องสำหรับขายจะถูกสุ่มเลือก ความน่าจะเป็นที่จะเป็นกล่องจากโกดังที่ 1 หรือ 3 เป็นเท่าใด
สารละลาย: รวมที่ร้านค้าได้รับ: 4 + 5 + 7 + 4 = 20 กล่อง
ในงานนี้ จะสะดวกกว่าหากใช้วิธีการลงทะเบียนแบบ "รวดเร็ว" โดยไม่ต้องกำหนดเวลากิจกรรมขนาดใหญ่ ในตัวอักษรละติน- ตามคำจำกัดความคลาสสิก:
- ความน่าจะเป็นที่กล่องจากคลังสินค้าที่ 1 จะถูกเลือกขาย
- ความน่าจะเป็นที่กล่องจากโกดังที่ 3 จะถูกเลือกขาย
ตามทฤษฎีบทของการบวกเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้:
- ความน่าจะเป็นที่กล่องจากคลังสินค้าที่หนึ่งหรือสามจะถูกเลือกเพื่อขาย
คำตอบ: 0,55
แน่นอนว่าปัญหาสามารถแก้ไขได้และผ่านพ้นไปได้ คำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็นโดยนับจำนวนผลลัพธ์ที่ดีโดยตรง (4 + 7 = 11) แต่วิธีที่พิจารณาก็ไม่แย่ไปกว่านั้น และชัดเจนยิ่งขึ้น
ปัญหาที่ 2
ในกล่องประกอบด้วยปุ่มสีแดง 10 ปุ่มและปุ่มสีน้ำเงิน 6 ปุ่ม ปุ่มสองปุ่มจะถูกลบออกโดยการสุ่ม ความน่าจะเป็นที่จะเป็นสีเดียวกันเป็นเท่าใด?
ในทำนองเดียวกัน - คุณสามารถใช้ได้ที่นี่ กฎผลรวมเชิงผสมแต่เธอไม่มีทางรู้หรอก...จู่ๆก็มีคนลืมไป ถ้าอย่างนั้นทฤษฎีบทสำหรับการเพิ่มความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ก็จะช่วยได้!
ไม่ว่าเราจะชอบหรือไม่ ชีวิตเราก็เต็มไปด้วยอุบัติเหตุทุกประเภท ทั้งน่าพอใจ และไม่น่ารื่นรมย์นัก ดังนั้นการรู้วิธีค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งๆ จึงไม่ทำร้ายเราแต่ละคน นี้จะช่วยให้คุณใช้เวลา การตัดสินใจที่ถูกต้องภายใต้สถานการณ์ใด ๆ ที่เกี่ยวข้องกับความไม่แน่นอน ตัวอย่างเช่น ความรู้ดังกล่าวจะมีประโยชน์มากในการเลือกตัวเลือกการลงทุน การประเมินความเป็นไปได้ในการถูกรางวัลหุ้นหรือลอตเตอรี การกำหนดความเป็นจริงของการบรรลุเป้าหมายส่วนตัว เป็นต้น
สูตรทฤษฎีความน่าจะเป็น
โดยหลักการแล้วการศึกษาหัวข้อนี้ใช้เวลาไม่นานนัก คุณต้องเข้าใจเพื่อที่จะได้คำตอบสำหรับคำถาม: “จะค้นหาความน่าจะเป็นของปรากฏการณ์ได้อย่างไร” แนวคิดหลักและจดจำหลักการพื้นฐานที่ใช้คำนวณ ดังนั้น ตามสถิติ เหตุการณ์ที่อยู่ระหว่างการศึกษาจะแสดงด้วย A1, A2,..., An แต่ละคนมีทั้งผลลัพธ์ที่ดี (m) และผลลัพธ์เบื้องต้นจำนวนทั้งหมด ตัวอย่างเช่น เราสนใจที่จะหาความน่าจะเป็นที่ด้านบนสุดของลูกบาศก์จะมีจุดเป็นจำนวนคู่ จากนั้น A คือการทอย m - กลิ้งออก 2, 4 หรือ 6 คะแนน (สามตัวเลือกที่ดี) และ n คือตัวเลือกที่เป็นไปได้ทั้งหกตัวเลือก
สูตรการคำนวณมีดังนี้:
ด้วยผลลัพธ์เดียว ทุกอย่างก็ง่ายมาก แต่จะค้นหาความน่าจะเป็นได้อย่างไรหากเหตุการณ์เกิดขึ้นต่อเนื่องกัน? ลองพิจารณาตัวอย่างนี้: จาก สำรับไพ่(36 ชิ้น) แสดงไพ่หนึ่งใบจากนั้นซ่อนกลับเข้าไปในสำรับและหลังจากสับไพ่ใบถัดไปจะถูกดึงออกมา จะค้นหาความน่าจะเป็นที่อย่างน้อยก็ในกรณีหนึ่งที่ราชินีโพดำถูกดึงออกมาได้อย่างไร? มีอยู่ กฎถัดไป: หากคุณกำลังพิจารณาเหตุการณ์ที่ซับซ้อนซึ่งสามารถแบ่งออกเป็นเหตุการณ์ง่าย ๆ ที่เข้ากันไม่ได้หลายเหตุการณ์ คุณสามารถคำนวณผลลัพธ์สำหรับแต่ละเหตุการณ์ก่อนแล้วจึงบวกเข้าด้วยกัน ในกรณีของเรามันจะเป็นดังนี้: 1/36 + 1/36 = 1/18 แต่จะเกิดอะไรขึ้นเมื่อมีหลายอย่างเกิดขึ้นพร้อมกัน? จากนั้นเราก็คูณผลลัพธ์! เช่น ความน่าจะเป็นที่เมื่อโยนเหรียญสองเหรียญพร้อมกัน สองหัวจะปรากฎจะเท่ากับ: ½ * ½ = 0.25
ตอนนี้เรามาดูกันดีกว่า ตัวอย่างที่ซับซ้อน- สมมติว่าเราเข้าลอตเตอรีหนังสือซึ่งมีตั๋วสิบใบจากสามสิบใบถูกรางวัล คุณต้องกำหนด:
- ความน่าจะเป็นที่ทั้งสองจะเป็นผู้ชนะ
- อย่างน้อยหนึ่งคนจะได้รับรางวัล
- จะเป็นผู้แพ้ทั้งคู่
ลองพิจารณากรณีแรกกัน สามารถแบ่งออกเป็นสองเหตุการณ์: ตั๋วใบแรกจะโชคดี และใบที่สองก็จะโชคดีเช่นกัน พิจารณาว่าเหตุการณ์นั้นขึ้นอยู่กับ เนื่องจากหลังจากดึงออกแต่ละครั้ง จำนวนตัวเลือกทั้งหมดจะลดลง เราได้รับ:
10 / 30 * 9 / 29 = 0,1034.
ในกรณีที่สอง คุณจะต้องกำหนดความน่าจะเป็นของตั๋วที่เสียและพิจารณาว่าอาจเป็นตั๋วใบแรกหรือใบที่สองก็ได้: 10/30 * 20/29 + 20/29 * 10/30 = 0.4598
สุดท้าย กรณีที่สาม เมื่อคุณไม่สามารถได้หนังสือเล่มเดียวจากลอตเตอรี: 20/30 * 19/29 = 0.4368