คุณจะหาจำนวนธรรมชาติสองตัวได้อย่างไร? การค้นหาตัวคูณร่วมน้อยที่สุด: วิธีการ ตัวอย่างการค้นหา LCM

หัวข้อ “เลขหลายตัว” ศึกษาในชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5 เป้าหมายคือการพัฒนาทักษะการคำนวณทางคณิตศาสตร์ทั้งการเขียนและการพูด ในบทเรียนนี้ จะมีการแนะนำแนวคิดใหม่ๆ เช่น "จำนวนหลายจำนวน" และ "ตัวหาร" เทคนิคการค้นหาตัวหารและจำนวนทวีคูณของจำนวนธรรมชาติ และความสามารถในการค้นหา LCM ในรูปแบบต่างๆ

หัวข้อนี้มีความสำคัญมาก ความรู้นี้สามารถนำไปใช้เมื่อแก้ตัวอย่างด้วยเศษส่วน ในการทำเช่นนี้ คุณต้องค้นหาตัวส่วนร่วมด้วยการคำนวณตัวคูณร่วมน้อย (LCM)

ผลคูณของ A คือจำนวนเต็มที่หารด้วย A ลงตัวโดยไม่มีเศษ

จำนวนธรรมชาติทุกจำนวนมีจำนวนทวีคูณเป็นอนันต์ ก็ถือว่ามีขนาดเล็กที่สุด ตัวคูณต้องไม่น้อยกว่าตัวเลขนั้นเอง

คุณต้องพิสูจน์ว่าตัวเลข 125 เป็นผลคูณของ 5 เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณต้องหารตัวเลขแรกด้วยวินาที ถ้า 125 หารด้วย 5 ลงตัวโดยไม่มีเศษ คำตอบคือ ใช่

วิธีนี้ใช้ได้กับจำนวนน้อย

มีกรณีพิเศษเมื่อคำนวณ LOC

1. หากคุณต้องการค้นหาผลคูณร่วมของตัวเลข 2 ตัว (เช่น 80 และ 20) โดยที่หนึ่งในนั้น (80) หารด้วยอีกจำนวนหนึ่งลงตัว (20) แล้ว จำนวนนี้ (80) จะเป็นจำนวนน้อยที่สุดของจำนวนเหล่านี้ ตัวเลขสองตัว

ล.ซม.(80, 20) = 80.

2. ถ้าสองตัวไม่มีตัวหารร่วม เราก็บอกได้ว่า LCM เป็นผลคูณของตัวเลขสองตัวนี้

ล.ซม.(6, 7) = 42.

ลองดูตัวอย่างสุดท้าย 6 และ 7 เทียบกับ 42 เป็นตัวหาร พวกเขาหารผลคูณของจำนวนโดยไม่มีเศษ

ในตัวอย่างนี้ 6 และ 7 เป็นตัวประกอบที่จับคู่กัน ผลคูณของพวกเขามีค่าเท่ากับจำนวนทวีคูณมากที่สุด (42)

จำนวนเต็มเรียกว่าจำนวนเฉพาะหากหารด้วยตัวมันเองหรือ 1 ลงตัวเท่านั้น (3:1=3; 3:3=1) ส่วนที่เหลือเรียกว่าคอมโพสิต

อีกตัวอย่างหนึ่งเกี่ยวข้องกับการพิจารณาว่า 9 เป็นตัวหารของ 42 หรือไม่

42:9=4 (เหลือ 6)

คำตอบ: 9 ไม่ใช่ตัวหารของ 42 เพราะคำตอบนั้นมีเศษอยู่

ตัวหารแตกต่างจากตัวคูณตรงที่ตัวหารคือตัวเลขที่ใช้หารจำนวนธรรมชาติ และตัวพหุคูณนั้นหารด้วยจำนวนนี้ลงตัว

ตัวหารร่วมมากของตัวเลข กและ ขคูณด้วยตัวคูณน้อยที่สุดจะได้ผลลัพธ์ของตัวเลขนั้นเอง กและ ข.

กล่าวคือ: gcd (a, b) x gcd (a, b) = a x b

ผลคูณร่วมของจำนวนเชิงซ้อนมีดังต่อไปนี้

เช่น ค้นหา LCM สำหรับ 168, 180, 3024

เราแยกตัวประกอบตัวเลขเหล่านี้เป็นตัวประกอบเฉพาะและเขียนเป็นผลคูณของกำลัง:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

ลทบ.(168, 180, 3024) = 15120.

ตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขสองตัวมีความสัมพันธ์โดยตรงกับตัวหารร่วมมากของตัวเลขเหล่านั้น นี้ การเชื่อมต่อระหว่าง GCD และ NOCถูกกำหนดโดยทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท.

ผลคูณร่วมน้อยของจำนวนเต็มบวกสองตัว a และ b เท่ากับผลคูณของ a และ b หารด้วยตัวหารร่วมมากของ a และ b นั่นคือ LCM(a, b)=a b:GCD(a, b).

การพิสูจน์.

อนุญาต M เป็นผลคูณของจำนวน a และ b นั่นคือ M หารด้วย a ลงตัว และตามคำจำกัดความของการหารลงตัว จะมีจำนวนเต็ม k บางตัวที่ทำให้ความเท่าเทียมกัน M=a·k เป็นจริง แต่ M ก็หารด้วย b ลงตัวเช่นกัน แล้ว a·k ก็หารด้วย b ลงตัว

ลองแสดงว่า gcd(a, b) เป็น d จากนั้นเราสามารถเขียนค่าเท่ากัน a=a 1 ·d และ b=b 1 ·d และ a 1 =a:d และ b 1 =b:d จะเป็นจำนวนเฉพาะที่ค่อนข้างมาก ดังนั้น เงื่อนไขที่ได้รับในย่อหน้าก่อนหน้าที่ว่า a · k หารด้วย b ลงตัวสามารถจัดรูปแบบใหม่ได้ดังนี้: a 1 · d · k หารด้วย b 1 · d และนี่ เนื่องจากคุณสมบัติของการหารลงตัว จึงเท่ากับ โดยมีเงื่อนไขว่า a 1 · k หารด้วย b 1 ลงตัว

คุณต้องเขียนข้อพิสูจน์ที่สำคัญสองประการจากทฤษฎีบทที่พิจารณาด้วย

ผลคูณร่วมของตัวเลขสองตัวจะเหมือนกับผลคูณของตัวคูณร่วมน้อย

เป็นเช่นนี้จริง เนื่องจากตัวคูณร่วมใดๆ ของ M ของตัวเลข a และ b ถูกกำหนดโดยความเท่าเทียมกัน M=LMK(a, b)·t สำหรับค่าจำนวนเต็มบางค่า t

ตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนบวกที่เป็นจำนวนเฉพาะร่วมกัน a และ b เท่ากับผลคูณของมัน

เหตุผลสำหรับข้อเท็จจริงข้อนี้ค่อนข้างชัดเจน เนื่องจาก a และ b ค่อนข้างเป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้น gcd(a, b)=1 ดังนั้น GCD(a, b)=ab: GCD(a, b)=a b:1=a b.

ตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขสามตัวขึ้นไป

การค้นหาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขสามตัวขึ้นไปสามารถลดเป็นการค้นหา LCM ของตัวเลขสองตัวตามลำดับ วิธีการทำถูกระบุไว้ในทฤษฎีบทต่อไปนี้ a 1 , a 2 , …, a k ตรงกับผลคูณร่วมของตัวเลข m k-1 และ a k ดังนั้น จึงตรงกับผลคูณร่วมของตัวเลข m k และเนื่องจากตัวคูณบวกที่น้อยที่สุดของตัวเลข m k คือตัวเลข m k นั่นเอง ดังนั้นตัวคูณร่วมที่น้อยที่สุดของตัวเลข a 1, a 2, ..., a k ก็คือ m k

อ้างอิง.

• วิเลนคิน เอ็น.ยา. และอื่น ๆ คณิตศาสตร์ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6: หนังสือเรียนสำหรับสถานศึกษาทั่วไป
• วิโนกราดอฟ ไอ.เอ็ม. พื้นฐานของทฤษฎีจำนวน
• มิเคโลวิช ช.เอช. ทฤษฎีจำนวน
• Kulikov L.Ya. และอื่น ๆ รวบรวมปัญหาพีชคณิตและทฤษฎีจำนวน: หนังสือเรียนสำหรับนักศึกษาวิชาฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ เฉพาะทางของสถาบันการสอน

หมายเลขที่สอง: ข=

ตัวคั่นหลักพันไม่มีตัวคั่นช่องว่าง "´

ผลลัพธ์:

ตัวหารร่วมมาก gcd( ก,ข)=6

ตัวคูณร่วมน้อยของ LCM( ก,ข)=468

เรียกว่าจำนวนธรรมชาติที่ใหญ่ที่สุดที่สามารถหารด้วยจำนวน a และ b โดยไม่มีเศษเหลือ ตัวหารร่วมมาก(GCD) ของตัวเลขเหล่านี้ เขียนแทนด้วย gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) หรือ hcf(a,b)

ตัวคูณร่วมน้อย LCM ของจำนวนเต็มสองตัว a และ b คือจำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุดที่หารด้วย a และ b ลงตัวโดยไม่มีเศษ แสดงว่า LCM(a,b) หรือ lcm(a,b)

เรียกจำนวนเต็ม a และ b สำคัญซึ่งกันและกันถ้าไม่มีตัวหารร่วมกันนอกจาก +1 และ −1

ตัวหารร่วมมาก

ให้เลขบวกสองตัวมา ก 1 และ ก 2 1) จำเป็นต้องค้นหาตัวหารร่วมของตัวเลขเหล่านี้ เช่น หาตัวเลขดังกล่าว λ ซึ่งแบ่งตัวเลข ก 1 และ ก 2 ในเวลาเดียวกัน มาอธิบายอัลกอริทึมกัน

1) ในบทความนี้ เราจะเข้าใจว่าคำว่า number เป็นจำนวนเต็ม

อนุญาต ก 1 ≥ ก 2 และปล่อยให้

ที่ไหน ม 1 , ก 3 เป็นจำนวนเต็มบางตัว ก 3 <ก 2 (ส่วนที่เหลือของดิวิชั่น ก 1 ต่อ ก 2 ควรน้อยกว่านี้ ก 2).

สมมุติว่า λ แบ่ง ก 1 และ ก 2 แล้ว λ แบ่ง ม 1 ก 2 และ λ แบ่ง ก 1 −ม 1 ก 2 =ก 3 (ข้อความที่ 2 ของบทความ “การหารของตัวเลข การทดสอบการหาร”) ตามมาด้วยตัวหารร่วมทุกตัว ก 1 และ ก 2 คือตัวหารร่วม ก 2 และ ก 3. สิ่งที่ตรงกันข้ามก็เป็นจริงเช่นกันหาก λ ตัวหารร่วม ก 2 และ ก 3 แล้ว ม 1 ก 2 และ ก 1 =ม 1 ก 2 +ก 3 ก็หารด้วย λ - ดังนั้นตัวหารร่วม ก 2 และ ก 3 เป็นตัวหารร่วมด้วย ก 1 และ ก 2. เพราะ ก 3 <ก 2 ≤ก 1 แล้วเราก็บอกได้ว่าคำตอบของโจทย์การหาตัวหารร่วมของตัวเลข ก 1 และ ก 2 ลดเหลือเป็นปัญหาที่ง่ายกว่าในการหาตัวหารร่วมของตัวเลข ก 2 และ ก 3 .

ถ้า ก 3 ≠0 เราก็หารได้ ก 2 ต่อ ก 3. แล้ว

,

ที่ไหน ม 1 และ ก 4 เป็นจำนวนเต็มบางตัว ( กเหลืออีก 4 นัดจากดิวิชั่น ก 2 ต่อ ก 3 (ก 4 <ก 3)). ด้วยเหตุผลเดียวกัน เราก็ได้ข้อสรุปว่าตัวหารร่วมของตัวเลข ก 3 และ ก 4 เกิดขึ้นพร้อมกับตัวหารร่วมของตัวเลข ก 2 และ ก 3 และยังมีตัวหารร่วมด้วย ก 1 และ ก 2. เพราะ ก 1 , ก 2 , ก 3 , ก 4, ... คือจำนวนที่ลดลงอย่างต่อเนื่อง และเนื่องจากมีจำนวนเต็มระหว่างจำนวนจำกัด ก 2 และ 0 จากนั้นในบางขั้นตอน n, ส่วนที่เหลือของการแบ่ง กไม่มี ก n+1 จะเท่ากับศูนย์ ( ก n+2 =0)

.

ตัวหารร่วมทุกตัว λ ตัวเลข ก 1 และ ก 2 เป็นตัวหารของตัวเลขด้วย ก 2 และ ก 3 , ก 3 และ ก 4 , .... กและ ก n+1 . บทสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน นั่นคือตัวหารร่วมของตัวเลข กและ ก n+1 ก็เป็นตัวหารของตัวเลขเช่นกัน ก n−1 และ กไม่ , .... , ก 2 และ ก 3 , ก 1 และ ก 2. แต่ตัวหารร่วมของตัวเลข กและ ก n+1 คือตัวเลข ก n+1 เพราะ กและ ก n+1 หารด้วย ก n+1 (จำไว้ว่า ก n+2 =0) เพราะฉะนั้น ก n+1 ก็เป็นตัวหารของตัวเลขเช่นกัน ก 1 และ ก 2 .

โปรดทราบว่าหมายเลข ก n+1 เป็นตัวหารที่มากที่สุดของตัวเลข กและ ก n+1 เนื่องจากตัวหารที่ยิ่งใหญ่ที่สุด ก n+1 คือตัวมันเอง ก n+1 . ถ้า ก n+1 สามารถแสดงเป็นผลคูณของจำนวนเต็มได้ จากนั้นตัวเลขเหล่านี้ก็เป็นตัวหารร่วมของตัวเลขเช่นกัน ก 1 และ ก 2. ตัวเลข กเรียกว่า n+1 ตัวหารร่วมมากตัวเลข ก 1 และ ก 2 .

ตัวเลข ก 1 และ ก 2 อาจเป็นจำนวนบวกหรือลบก็ได้ ถ้าตัวเลขตัวใดตัวหนึ่งมีค่าเท่ากับศูนย์ ตัวหารร่วมมากของตัวเลขเหล่านี้จะเท่ากับค่าสัมบูรณ์ของอีกจำนวนหนึ่ง ตัวหารร่วมมากที่สุดของจำนวนศูนย์นั้นไม่ได้ถูกกำหนดไว้

อัลกอริทึมข้างต้นเรียกว่า อัลกอริทึมแบบยุคลิดเพื่อหาตัวหารร่วมมากของจำนวนเต็มสองตัว

ตัวอย่างการหาตัวหารร่วมมากของตัวเลขสองตัว

ค้นหาตัวหารร่วมมากของตัวเลขสองตัว 630 และ 434

• ขั้นตอนที่ 1 หารตัวเลข 630 ด้วย 434 ส่วนที่เหลือคือ 196
• ขั้นตอนที่ 2 หารตัวเลข 434 ด้วย 196 ส่วนที่เหลือคือ 42
• ขั้นตอนที่ 3 หารตัวเลข 196 ด้วย 42 ส่วนที่เหลือคือ 28
• ขั้นตอนที่ 4 หารตัวเลข 42 ด้วย 28 ส่วนที่เหลือคือ 14
• ขั้นตอนที่ 5 หารตัวเลข 28 ด้วย 14 ส่วนที่เหลือคือ 0

ในขั้นตอนที่ 5 ส่วนที่เหลือของการหารคือ 0 ดังนั้น ตัวหารร่วมมากของตัวเลข 630 และ 434 จึงเป็น 14 โปรดทราบว่าตัวเลข 2 และ 7 ก็เป็นตัวหารของตัวเลข 630 และ 434 เช่นกัน

ตัวเลขโคไพรม์

คำนิยาม 1. ให้ตัวหารร่วมมากของตัวเลข ก 1 และ ก 2 เท่ากับหนึ่ง จากนั้นจึงเรียกหมายเลขเหล่านี้ หมายเลขโคไพรม์โดยไม่มีตัวหารร่วมกัน

ทฤษฎีบท 1. ถ้า ก 1 และ ก 2 หมายเลขโคไพรม์ และ λ ตัวเลขจำนวนหนึ่ง แล้วก็ตัวหารร่วมของตัวเลข แล 1 และ ก 2 เป็นตัวหารร่วมของตัวเลขด้วย λ และ ก 2 .

การพิสูจน์. พิจารณาอัลกอริทึมแบบยุคลิดในการค้นหาตัวหารร่วมมากของตัวเลข ก 1 และ ก 2 (ดูด้านบน)

.

จากเงื่อนไขของทฤษฎีบท จะได้ว่าตัวหารร่วมมากของจำนวนนั้นเป็นไปตามนั้น ก 1 และ ก 2 และดังนั้น กและ ก n+1 คือ 1 นั่นคือ ก n+1 = 1

ลองคูณความเท่าเทียมกันทั้งหมดนี้ด้วย λ , แล้ว

.

ให้ตัวหารร่วม ก 1 λ และ ก 2 ใช่ δ - แล้ว δ มาเป็นตัวคูณใน ก 1 λ , ม 1 ก 2 λ และใน ก 1 λ -ม 1 ก 2 λ =ก 3 λ (ดู "การหารตัวเลข" คำแถลง 2) ต่อไป δ มาเป็นตัวคูณใน ก 2 λ และ ม 2 ก 3 λ และดังนั้นจึงเป็นปัจจัยในการ ก 2 λ -ม 2 ก 3 λ =ก 4 λ .

ด้วยการใช้เหตุผลเช่นนี้ เราก็มั่นใจว่า δ มาเป็นตัวคูณใน ก n−1 λ และ ม n−1 ก n λ และด้วยเหตุนี้จึงเข้า ก n−1 λ −ม n−1 ก n λ =ก n+1 λ - เพราะ ก n+1 =1 แล้ว δ มาเป็นตัวคูณใน λ - ดังนั้นจำนวน δ เป็นตัวหารร่วมของตัวเลข λ และ ก 2 .

ให้เราพิจารณากรณีพิเศษของทฤษฎีบท 1

ผลที่ตามมา 1. อนุญาต กและ คจำนวนเฉพาะค่อนข้างมาก ข- แล้วผลิตภัณฑ์ของพวกเขา เครื่องปรับอากาศเป็นจำนวนเฉพาะเทียบกับ ข.

จริงหรือ. จากทฤษฎีบท 1 เครื่องปรับอากาศและ ขมีตัวหารร่วมเหมือนกันกับ คและ ข- แต่ตัวเลข คและ ขค่อนข้างง่าย เช่น มีตัวหารร่วมเพียงตัวเดียวคือ 1. แล้ว เครื่องปรับอากาศและ ขมีตัวหารร่วมร่วมตัวเดียวคือ 1 ดังนั้น เครื่องปรับอากาศและ ขเรียบง่ายซึ่งกันและกัน

ผลที่ตามมา 2. อนุญาต กและ ขตัวเลขโคไพรม์แล้วปล่อยให้ ขแบ่ง อาก้า- แล้ว ขแบ่งและ เค.

จริงหรือ. จากเงื่อนไขการอนุมัติ อาก้าและ ขมีตัวหารร่วมกัน ข- โดยอาศัยทฤษฎีบทที่ 1 ขจะต้องเป็นตัวหารร่วม ขและ เค- เพราะฉะนั้น ขแบ่ง เค.

ข้อพิสูจน์ที่ 1 สามารถสรุปได้

ผลที่ตามมา 3. 1. ให้ตัวเลข ก 1 , ก 2 , ก 3 , ..., ก m เป็นจำนวนเฉพาะสัมพันธ์กับจำนวน ข- แล้ว ก 1 ก 2 , ก 1 ก 2 · ก 3 , ..., ก 1 ก 2 ก 3 ··· ก m ผลคูณของจำนวนเหล่านี้เป็นจำนวนเฉพาะสัมพันธ์กับจำนวนนั้น ข.

2. ขอให้เรามีตัวเลขสองแถว

โดยให้ทุกจำนวนในชุดแรกเป็นจำนวนเฉพาะในอัตราส่วนของทุกจำนวนในชุดที่สอง แล้วสินค้า

คุณต้องค้นหาตัวเลขที่หารด้วยตัวเลขเหล่านี้แต่ละตัว

ถ้าจำนวนนั้นหารด้วย ก 1 ก็จะมีรูปแบบ ซา 1 ที่ไหน สหมายเลขบางอย่าง ถ้า ถามเป็นตัวหารร่วมมากของตัวเลข ก 1 และ ก 2 แล้ว

ที่ไหน ส 1 เป็นจำนวนเต็ม แล้ว

เป็น ผลคูณร่วมน้อยของตัวเลข ก 1 และ ก 2 .

ก 1 และ ก 2 ค่อนข้างเป็นจำนวนเฉพาะ จากนั้นก็เป็นตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนนั้น ก 1 และ ก 2:

เราจำเป็นต้องหาตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนเหล่านี้

จากที่กล่าวมาข้างต้นจะเป็นไปตามจำนวนทวีคูณใดๆ ก 1 , ก 2 , ก 3 ต้องเป็นจำนวนทวีคูณ ε และ ก 3 และกลับ. ให้ตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลข ε และ ก 3 ใช่ ε 1. ต่อไปเป็นทวีคูณของตัวเลข ก 1 , ก 2 , ก 3 , ก 4 ต้องเป็นจำนวนทวีคูณ ε 1 และ ก 4. ให้ตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลข ε 1 และ ก 4 ใช่ ε 2. ดังนั้นเราจึงพบว่ามีจำนวนทวีคูณทั้งหมด ก 1 , ก 2 , ก 3 ,...,ก m ตรงกับผลคูณของจำนวนหนึ่ง ε n ซึ่งเรียกว่าตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนที่กำหนด

ในกรณีพิเศษเมื่อมีตัวเลข ก 1 , ก 2 , ก 3 ,...,ก m ค่อนข้างเป็นจำนวนเฉพาะ จากนั้นก็เป็นตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนนั้น ก 1 , ก 2 ดังแสดงข้างต้น มีรูปแบบ (3) ต่อไปตั้งแต่ ก 3 ไพรม์สัมพันธ์กับตัวเลข ก 1 , ก 2 แล้ว ก 3 จำนวนเฉพาะ ก 1 · ก 2 (ข้อพิสูจน์ 1) หมายถึงตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลข ก 1 ,ก 2 ,ก 3 เป็นตัวเลข ก 1 · ก 2 · ก 3. เมื่อพิจารณาในทำนองเดียวกัน เราก็ได้ข้อความต่อไปนี้

คำแถลง 1. ตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนโคไพรม์ ก 1 , ก 2 , ก 3 ,...,ก m เท่ากับผลคูณของมัน ก 1 · ก 2 · ก 3 ··· กม.

คำแถลง 2. จำนวนใดๆ ที่หารด้วยจำนวนโคไพรม์แต่ละตัวลงตัว ก 1 , ก 2 , ก 3 ,...,ก m ก็หารด้วยผลคูณของมันได้เช่นกัน ก 1 · ก 2 · ก 3 ··· กม.

แต่จำนวนธรรมชาติจำนวนมากก็หารด้วยจำนวนธรรมชาติอื่นๆ ด้วยเช่นกัน

ตัวอย่างเช่น:

จำนวน 12 หารด้วย 1, 2, 3, 4, 6, 12 ลงตัว;

เลข 36 หารด้วย 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36 ลงตัว

ตัวเลขที่จำนวนหารด้วยจำนวนเต็มลงตัว (สำหรับ 12 ได้แก่ 1, 2, 3, 4, 6 และ 12) เรียกว่า ตัวหารของตัวเลข- ตัวหารของจำนวนธรรมชาติ ก- เป็นจำนวนธรรมชาติที่หารจำนวนที่กำหนด กไร้ร่องรอย เรียกว่าจำนวนธรรมชาติที่มีตัวหารมากกว่าสองตัว คอมโพสิต .

โปรดทราบว่าตัวเลข 12 และ 36 มีตัวประกอบร่วมกัน ตัวเลขเหล่านี้ได้แก่ 1, 2, 3, 4, 6, 12 ตัวหารที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของตัวเลขเหล่านี้คือ 12 ตัวหารร่วมของตัวเลขสองตัวนี้ กและ ข- คือจำนวนที่ใช้หารตัวเลขที่ให้มาทั้งสองจำนวนโดยไม่มีเศษเหลือ กและ ข.

ทวีคูณทั่วไปตัวเลขหลายตัวคือตัวเลขที่หารด้วยตัวเลขเหล่านี้แต่ละตัว ตัวอย่างเช่นตัวเลข 9, 18 และ 45 มีผลคูณร่วมของ 180 แต่ 90 และ 360 ก็เป็นตัวคูณร่วมเช่นกัน ในบรรดาตัวคูณร่วมทั้งหมด จะมีตัวคูณที่เล็กที่สุดเสมอ ในกรณีนี้นี่คือ 90 หมายเลขนี้เรียกว่า เล็กที่สุดตัวคูณร่วม (CMM).

LCM จะเป็นจำนวนธรรมชาติที่ต้องมากกว่าจำนวนที่ใหญ่ที่สุดของจำนวนที่กำหนดไว้เสมอ

ตัวคูณร่วมน้อย (LCM) คุณสมบัติ.

การสับเปลี่ยน:

การเชื่อมโยง:

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้า และ เป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้น:

ตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนเต็มสองตัว มและ nเป็นตัวหารของตัวคูณร่วมอื่นๆ ทั้งหมด มและ n- นอกจากนี้ เซตของตัวคูณร่วม มเกิดขึ้นพร้อมกับเซตของทวีคูณสำหรับ LCM( ม).

เส้นกำกับสำหรับสามารถแสดงในรูปของฟังก์ชันเชิงทฤษฎีจำนวนบางตัวได้

ดังนั้น, ฟังก์ชันเชบีเชฟ- และยัง:

ตามมาจากคำจำกัดความและคุณสมบัติของฟังก์ชัน Landau กรัม(n).

สิ่งที่ตามมาจากกฎการกระจายตัวของจำนวนเฉพาะ

การหาตัวคูณร่วมน้อย (LCM)

NOC( ก, ข) สามารถคำนวณได้หลายวิธี:

1. หากทราบตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุด คุณสามารถใช้การเชื่อมโยงกับ LCM ได้:

2. ปล่อยให้การสลายตัวตามบัญญัติของตัวเลขทั้งสองเป็นตัวประกอบเฉพาะ:

ที่ไหน หน้า 1 ,...,หน้า- จำนวนเฉพาะต่างๆ และ วัน 1 ,...,งและ อี 1 ,...,เช่น เค— จำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ (สามารถเป็นศูนย์ได้ถ้าจำนวนเฉพาะที่สอดคล้องกันไม่อยู่ในส่วนขยาย)

แล้ว NOC ( ก,ข) คำนวณโดยสูตร:

กล่าวอีกนัยหนึ่ง การสลายตัวของ LCM ประกอบด้วยปัจจัยเฉพาะทั้งหมดที่รวมอยู่ในการสลายตัวของตัวเลขอย่างน้อยหนึ่งรายการ ก, ขและใช้เลขชี้กำลังที่ใหญ่ที่สุดจากสองตัวคูณของตัวคูณนี้

ตัวอย่าง:

การคำนวณตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขหลายตัวสามารถลดลงเป็นการคำนวณ LCM ของตัวเลขสองตัวตามลำดับได้หลายรายการ:

กฎ.หากต้องการค้นหา LCM ของชุดตัวเลข คุณต้องมี:

- แยกตัวเลขออกเป็นปัจจัยเฉพาะ

- ถ่ายโอนการสลายตัวที่ใหญ่ที่สุด (ผลคูณของตัวประกอบของจำนวนที่มากที่สุดที่กำหนด) ไปยังปัจจัยของผลิตภัณฑ์ที่ต้องการแล้วบวกปัจจัยจากการสลายตัวของตัวเลขอื่น ๆ ที่ไม่ปรากฏในตัวเลขแรกหรือปรากฏในนั้น น้อยลง;

— ผลคูณผลลัพธ์ของตัวประกอบเฉพาะจะเป็น LCM ของตัวเลขที่กำหนด

จำนวนธรรมชาติตั้งแต่สองตัวขึ้นไปจะมี LCM ของตัวเอง ถ้าตัวเลขไม่ทวีคูณกันหรือไม่มีตัวประกอบเหมือนกันในการขยาย LCM จะเท่ากับผลคูณของตัวเลขเหล่านี้

ตัวประกอบเฉพาะของจำนวน 28 (2, 2, 7) จะถูกเสริมด้วยตัวประกอบของ 3 (จำนวน 21) ผลคูณที่ได้ (84) จะเป็นจำนวนที่น้อยที่สุดที่หารด้วย 21 และ 28 ลงตัว

ตัวประกอบเฉพาะของจำนวนที่มากที่สุด 30 จะถูกเสริมด้วยตัวประกอบ 5 ของจำนวน 25 ผลลัพธ์ที่ได้ 150 จะมากกว่าจำนวนที่ใหญ่ที่สุด 30 และหารด้วยจำนวนที่กำหนดทั้งหมดโดยไม่มีเศษเหลือ นี่คือผลคูณที่เล็กที่สุดที่เป็นไปได้ (150, 250, 300...) ซึ่งเป็นผลคูณของตัวเลขที่ระบุทั้งหมด

ตัวเลข 2,3,11,37 เป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้น LCM ของพวกมันจึงเท่ากับผลคูณของตัวเลขที่กำหนด

กฎ- ในการคำนวณ LCM ของจำนวนเฉพาะ คุณต้องคูณตัวเลขเหล่านี้ทั้งหมดเข้าด้วยกัน

ตัวเลือกอื่น:

หากต้องการค้นหาตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ของตัวเลขหลายตัว คุณต้องมี:

1) แทนแต่ละตัวเลขเป็นผลคูณของตัวประกอบเฉพาะ ตัวอย่างเช่น:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) เขียนกำลังของตัวประกอบเฉพาะทั้งหมด:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) เขียนตัวหารเฉพาะ (ตัวคูณ) ของแต่ละตัวเลขเหล่านี้

4) เลือกระดับที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของแต่ละอันซึ่งพบได้ในการขยายตัวเลขเหล่านี้ทั้งหมด

5) คูณพลังเหล่านี้

ตัวอย่าง- ค้นหา LCM ของตัวเลข: 168, 180 และ 3024

สารละลาย- 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

เราเขียนกำลังที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของตัวหารเฉพาะทั้งหมดแล้วคูณมัน:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120

ผลคูณคือตัวเลขที่หารด้วยจำนวนที่กำหนดโดยไม่มีเศษ ตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ของกลุ่มตัวเลขคือจำนวนที่น้อยที่สุดที่หารด้วยแต่ละตัวเลขในกลุ่มโดยไม่ทิ้งเศษ ในการหาตัวคูณร่วมน้อย คุณต้องหาตัวประกอบเฉพาะของตัวเลขที่กำหนด LCM ยังสามารถคำนวณได้โดยใช้วิธีการอื่นอีกหลายวิธีที่ใช้กับกลุ่มที่มีตัวเลขตั้งแต่สองตัวขึ้นไป

ขั้นตอน

อนุกรมของทวีคูณ

ดูตัวเลขเหล่านี้สิวิธีที่อธิบายไว้ในที่นี้เหมาะที่สุดเมื่อให้ตัวเลขสองตัว ซึ่งแต่ละตัวมีค่าน้อยกว่า 10 ถ้าให้ตัวเลขมากกว่า ให้ใช้วิธีอื่น

• เช่น หาตัวคูณร่วมน้อยของ 5 กับ 8 ซึ่งเป็นตัวเลขเล็กๆ คุณจึงใช้วิธีนี้ได้

1. ผลคูณคือตัวเลขที่หารด้วยจำนวนที่กำหนดโดยไม่มีเศษ หลายรายการสามารถพบได้ในตารางสูตรคูณ

   • ตัวอย่างเช่น ตัวเลขที่เป็นทวีคูณของ 5 ได้แก่ 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40

2. เขียนชุดตัวเลขที่เป็นจำนวนทวีคูณของจำนวนแรกทำสิ่งนี้ด้วยการคูณตัวเลขแรกเพื่อเปรียบเทียบตัวเลขสองชุด

   • ตัวอย่างเช่น ตัวเลขที่เป็นทวีคูณของ 8 คือ 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 และ 64

3. ค้นหาจำนวนที่น้อยที่สุดที่มีอยู่ในชุดทวีคูณทั้งสองชุดคุณอาจต้องเขียนชุดผลคูณยาวๆ เพื่อหาจำนวนทั้งหมด จำนวนที่น้อยที่สุดที่มีอยู่ในตัวคูณทั้งสองชุดคือตัวคูณร่วมน้อย

   • ตัวอย่างเช่น จำนวนที่น้อยที่สุดที่ปรากฏในชุดผลคูณของ 5 และ 8 คือหมายเลข 40 ดังนั้น 40 จึงเป็นจำนวนตัวคูณร่วมน้อยของ 5 และ 8

   การแยกตัวประกอบเฉพาะ

   1. ดูตัวเลขเหล่านี้สิวิธีที่อธิบายไว้ในที่นี้เหมาะที่สุดเมื่อให้ตัวเลขสองตัว ซึ่งแต่ละตัวมีค่ามากกว่า 10 ถ้าให้ตัวเลขน้อยกว่า ให้ใช้วิธีอื่น

      • เช่น ค้นหาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลข 20 และ 84 แต่ละตัวเลขมีค่ามากกว่า 10 คุณจึงใช้วิธีนี้ได้

   2. แยกตัวประกอบจำนวนแรกให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ.นั่นคือคุณต้องค้นหาจำนวนเฉพาะที่เมื่อคูณแล้วจะได้จำนวนที่กำหนด เมื่อคุณพบปัจจัยเฉพาะแล้ว ให้เขียนพวกมันว่ามีความเท่าเทียมกัน

      • ตัวอย่างเช่น, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20)และ 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10)- ดังนั้น ตัวประกอบเฉพาะของจำนวน 20 คือตัวเลข 2, 2 และ 5 เขียนเป็นนิพจน์:

   3. แยกตัวประกอบจำนวนที่สองให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ.ทำแบบเดียวกับที่คุณแยกตัวประกอบจำนวนแรก นั่นคือ หาจำนวนเฉพาะที่เมื่อคูณแล้วจะได้จำนวนที่กำหนด

      • ตัวอย่างเช่น, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42)และ 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6)- ดังนั้น ตัวประกอบเฉพาะของเลข 84 คือตัวเลข 2, 7, 3 และ 2 เขียนเป็นนิพจน์:

   4. เขียนตัวประกอบร่วมของตัวเลขทั้งสอง.เขียนตัวประกอบเช่นการดำเนินการคูณ ขณะที่คุณเขียนตัวประกอบแต่ละตัว ให้ขีดฆ่าทั้งสองนิพจน์ (นิพจน์ที่อธิบายการแยกตัวประกอบของตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ)

      • ตัวอย่างเช่น ตัวเลขทั้งสองมีตัวประกอบร่วมกันคือ 2 ดังนั้นจงเขียน 2 × (\displaystyle 2\times )และขีดฆ่า 2 ในทั้งสองพจน์
      • สิ่งที่ตัวเลขทั้งสองมีเหมือนกันคือตัวประกอบของ 2 อีกตัว ดังนั้นจงเขียนไว้ 2 × 2 (\รูปแบบการแสดงผล 2\คูณ 2)และขีดฆ่า 2 ตัวที่สองในทั้งสองนิพจน์

   5. เพิ่มตัวประกอบที่เหลือในการคูณปัจจัยเหล่านี้เป็นปัจจัยที่ไม่ได้ขีดฆ่าในทั้งสองนิพจน์ กล่าวคือ ปัจจัยที่ไม่เหมือนกันในตัวเลขทั้งสอง

      • ตัวอย่างเช่นในนิพจน์ 20 = 2 × 2 × 5 (\รูปแบบการแสดงผล 20=2\คูณ 2\คูณ 5)สอง (2) ทั้งสองถูกขีดฆ่าเนื่องจากเป็นปัจจัยร่วมกัน ไม่มีการขีดฆ่าตัวประกอบ 5 ดังนั้นเขียนการดำเนินการคูณดังนี้: 2 × 2 × 5 (\รูปแบบการแสดงผล 2\คูณ 2\คูณ 5)
      • ในการแสดงออก 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\รูปแบบการแสดงผล 84=2\คูณ 7\คูณ 3\คูณ 2)ทั้งสอง (2) ก็ถูกขีดฆ่าเช่นกัน ไม่มีการขีดฆ่าตัวประกอบ 7 และ 3 ดังนั้นให้เขียนการดำเนินการคูณดังนี้: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\รูปแบบการแสดงผล 2\คูณ 2\คูณ 5\คูณ 7\คูณ 3).

   6. คำนวณตัวคูณร่วมน้อย.เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณตัวเลขในการดำเนินการคูณที่เป็นลายลักษณ์อักษร

      • ตัวอย่างเช่น, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\รูปแบบการแสดงผล 2\คูณ 2\คูณ 5\คูณ 7\คูณ 3=420)- ดังนั้นตัวคูณร่วมน้อยของ 20 กับ 84 คือ 420

   การหาปัจจัยร่วมกัน

   1. วาดตารางเหมือนกับเกมโอเอกซ์ตารางดังกล่าวประกอบด้วยเส้นคู่ขนานสองเส้นที่ตัดกัน (ที่มุมฉาก) กับเส้นคู่ขนานอีกสองเส้น นี่จะทำให้คุณมีสามแถวและสามคอลัมน์ (ตารางจะดูเหมือนไอคอน # มาก) เขียนตัวเลขแรกในบรรทัดแรกและคอลัมน์ที่สอง เขียนตัวเลขตัวที่สองในแถวแรกและคอลัมน์ที่สาม

      • เช่น หาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลข 18 และ 30 เขียนเลข 18 ในแถวแรกและคอลัมน์ที่สอง และเขียนเลข 30 ในแถวแรกและคอลัมน์ที่สาม

   2. หาตัวหารร่วมของตัวเลขทั้งสอง.เขียนลงในแถวแรกและคอลัมน์แรก เป็นการดีกว่าที่จะมองหาปัจจัยสำคัญ แต่นี่ไม่ใช่ข้อกำหนด

      • ตัวอย่างเช่น 18 และ 30 เป็นจำนวนคู่ ดังนั้นตัวประกอบร่วมคือ 2 ดังนั้นให้เขียน 2 ในแถวแรกและคอลัมน์แรก

   3. หารแต่ละตัวเลขด้วยตัวหารตัวแรกเขียนแต่ละผลหารภายใต้จำนวนที่เหมาะสม ผลหารคือผลลัพธ์ของการหารตัวเลขสองตัว

      • ตัวอย่างเช่น, 18 ۞ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9)ดังนั้นเขียน 9 ต่ำกว่า 18
      • 30 ۞ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15)ดังนั้นเขียน 15 ลงไปต่ำกว่า 30

   4. หาตัวหารร่วมของผลหารทั้งสอง.หากไม่มีตัวหารดังกล่าว ให้ข้ามสองขั้นตอนถัดไป หรือเขียนตัวหารในแถวที่สองและคอลัมน์แรก

      • เช่น 9 และ 15 หารด้วย 3 ลงตัว ดังนั้นให้เขียน 3 ในแถวที่สองและคอลัมน์แรก

   5. หารแต่ละผลหารด้วยตัวหารที่สอง.เขียนผลการหารแต่ละผลภายใต้ผลหารที่สอดคล้องกัน

      • ตัวอย่างเช่น, 9 ۞ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3)ดังนั้นเขียน 3 ใต้ 9.
      • 15 ۞ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5)ดังนั้นเขียน 5 ต่ำกว่า 15

   6. หากจำเป็น ให้เพิ่มเซลล์เพิ่มเติมลงในตารางทำซ้ำขั้นตอนที่อธิบายไว้จนกว่าผลหารจะมีตัวหารร่วม

   7. วงกลมตัวเลขในคอลัมน์แรกและแถวสุดท้ายของตารางจากนั้นเขียนตัวเลขที่เลือกเป็นการคูณ

      • ตัวอย่างเช่น ตัวเลข 2 และ 3 อยู่ในคอลัมน์แรก และตัวเลข 3 และ 5 อยู่ในแถวสุดท้าย ดังนั้นให้เขียนการดำเนินการคูณดังนี้: 2 × 3 × 3 × 5 (\รูปแบบการแสดงผล 2\คูณ 3\คูณ 3\คูณ 5).

   8. ค้นหาผลลัพธ์ของการคูณตัวเลขวิธีนี้จะคำนวณตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขที่กำหนดสองตัว

      • ตัวอย่างเช่น, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\รูปแบบการแสดงผล 2\คูณ 3\คูณ 3\คูณ 5=90)- ดังนั้นตัวคูณร่วมน้อยของ 18 กับ 30 คือ 90

   อัลกอริธึมของยุคลิด

   1. จำคำศัพท์ที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการแบ่งเงินปันผลคือจำนวนที่จะหาร ตัวหารคือตัวเลขที่ถูกหารด้วย ผลหารคือผลลัพธ์ของการหารตัวเลขสองตัว เศษคือจำนวนที่เหลือเมื่อหารตัวเลขสองตัว

      • ตัวอย่างเช่นในนิพจน์ 15 ۞ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2)เพลงประกอบละคร 3:
        15 คือเงินปันผล
        6 เป็นตัวหาร
        2 คือความฉลาดทาง
        3 คือส่วนที่เหลือ