จำนวนที่ใหญ่ที่สุดในโลก ชื่ออนันต์จำนวนอนันต์

สองสิ่งที่ไม่มีที่สิ้นสุดอย่างแท้จริง:
จักรวาลและความโง่เขลาของมนุษย์
อย่างไรก็ตามเกี่ยวกับจักรวาลที่ฉันมี
มีข้อสงสัยอยู่บ้าง
อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์

เราได้หยิบยกปัญหานี้ขึ้นมาเมื่อเร็ว ๆ นี้ แต่มันสำคัญมากที่จะต้องพิจารณารายละเอียดเพิ่มเติม

หากบางครั้งมีการกล่าวถึงวัตถุหนึ่งถึงอีกวัตถุหนึ่งด้วยคำเดียวกัน ไม่ได้หมายความว่าวัตถุเหล่านี้มีคุณสมบัติเหมือนกัน

นี่เป็นประโยคที่ยาวและเข้าใจยาก ดังนั้นฉันจะอธิบายด้วยตัวอย่าง:
คุณสามารถพูดว่า "โทรเข้าโทรศัพท์" หรือพูดว่า "กดกริ่ง" - การกระทำที่แตกต่างกันมาก แต่มีคำกริยาเดียว จากนี้เราไม่สามารถสรุปได้ว่าการกระทำอื่น ๆ ทั้งหมดกับโทรศัพท์ (การรับ SMS, หน่วยความจำ 200 หมายเลขและอื่น ๆ ) เป็นลักษณะของเสียงระฆัง เห็นได้ชัดว่าย่อหน้านี้ดูไร้สาระ

แต่ทำไมคนจำนวนมากถึงใช้คำว่าอนันต์ได้อย่างง่ายดายราวกับว่ามันเป็นตัวเลข? ใช่ คุณสามารถใช้การกระทำบางอย่างกับอนันต์ที่ทำงานกับตัวเลขได้สำเร็จ ( ทำการจองที่จำเป็น):
2 + ∞ = ∞,
∞ - 5 = ∞,
2 * ∞ = ∞,
∞ / 5 = ∞,
∞ + ∞ = ∞ (ยิ่งไปกว่านั้น ชุดของจำนวนจริงมักจะถูกขยายด้วยองค์ประกอบคู่หนึ่ง +∞ และ -∞ แต่ กำหนดอย่างเคร่งครัดจะจัดการอย่างไร)

ซึ่งหมายความว่าไม่ใช่ทุกสิ่งจะสามารถทำได้ด้วย "อนันต์" ดังกล่าว เช่น ∞ - ∞ = ? (ในที่นี้เรามีความไม่แน่นอน เนื่องจากเราไม่สามารถให้คำตอบโดยไม่ทราบธรรมชาติของ “อนันต์” ทั้งสองนี้) ไม่ว่าในกรณีใด เป็นการไร้เดียงสาที่จะพูดทันทีว่าผลต่างจะเป็นศูนย์

และถ้าการพูดคุยเริ่มต้นเกี่ยวกับข้อเท็จจริงที่ว่าปริมาณบางจำนวนมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์หรืออนันต์ ก็บ่อยครั้งที่การให้เหตุผลที่ถูกต้องไม่เคยเกิดขึ้นเลย อย่างไรก็ตาม เมื่อหกเดือนที่แล้ว เราได้จัดการกับการใช้แนวคิดเรื่องอนันต์ในชีวิตประจำวัน จากนั้นเราก็สามารถ "พิสูจน์" ว่าผลรวมของขาของสามเหลี่ยมจะเท่ากับด้านตรงข้ามมุมฉากเสมอ นี่ไม่ใช่ตัวอย่างง่ายๆ แต่เป็นตัวอย่างที่มีประโยชน์ มีสิ่งก่อสร้างโบราณและมีชื่อเสียงอีกมากมายที่ดูเรียบง่ายจนไม่ชัดเจนว่าจะเกิดปัญหาได้อย่างไร

มาจำ Aporia แบบคลาสสิกของ Zeno กัน:
หากรู้ว่าจุดอ่อนวิ่งเร็วกว่าเต่าถึง 10 เท่า และอยู่ห่างจากเต่า 1 กิโลเมตร ในช่วงเวลาที่จุดอ่อนวิ่งบนกิโลเมตรนี้ เต่าจะคลานเป็นระยะทาง 100 เมตร ดังนั้นเมื่อจุดอ่อนวิ่งอีก 100 เมตร เต่าจะคลานได้ 10 เมตร ไปเรื่อยๆ กระบวนการนี้จะดำเนินต่อไปอย่างไม่มีกำหนด และอคิลลิสจะไม่สามารถตามเต่าทันได้ แม้ว่าเขาจะเคลื่อนที่เร็วขึ้นก็ตาม

ความสามารถในการพูดสิ่งที่เข้าใจได้เกี่ยวกับปัญหาดังกล่าวเป็นสิ่งจำเป็นเพื่อที่จะเข้าใจเหตุผลเกี่ยวกับความทะเยอทะยาน ขีดจำกัด อนันต์ และแนวคิดอื่นๆ ที่ชัดเจนแต่ค่อนข้างซับซ้อนในเชิงสัญชาตญาณ หากไม่มีสิ่งนี้ บทสนทนามักจะกลายเป็น "ใครมีเสียงที่ดังกว่า" แม้ว่าประเด็นของวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์จะไม่ได้ป้องกันไม่ให้ตัวเองถูกโน้มน้าวใจไม่ว่าจะด้วยวิธีใดก็ตาม อนิจจา ในช่วงหลายทศวรรษที่ผ่านมา มีคนแยกแยะความถูกต้องจากวิทยาศาสตร์น้อยลงเรื่อยๆ ดังนั้นจึงมักถือว่าการหยุดตะโกนและโน้มน้าวใจสำคัญกว่าการเข้าใกล้ความจริงมากขึ้น

แล้วเราจะแก้ปัญหาจุดอ่อนและเต่าได้อย่างไร? โปรดอย่าเขียนว่าเมื่อ Achilles วิ่งไปอีกหนึ่งกิโลเมตร เต่าจะถูกทิ้งไว้ข้างหลังมาก สิ่งนี้ชัดเจนสำหรับทุกคน แต่ก็ไม่ได้ช่วยอะไรเลย ที่นี่คุณจะต้องรู้สึกถึงปัญหาในแนวทางแก้ไขปัญหาเดิม และอย่าคิดทบทวนถึงสภาพเดียวกันของคุณเอง

ขอให้เป็นวันที่ดี!

กาลครั้งหนึ่งในวัยเด็ก เราเรียนรู้ที่จะนับถึงสิบ ร้อย และถึงพัน แล้วคุณรู้จำนวนมากที่สุดเท่าไหร่? หนึ่งพัน หนึ่งล้าน หนึ่งพันล้าน หนึ่งล้าน... แล้วไงล่ะ? Petallion มีคนพูดและเขาจะผิดเพราะเขาสร้างความสับสนให้กับคำนำหน้า SI ด้วยแนวคิดที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง

ที่จริงแล้วคำถามนั้นไม่ง่ายอย่างที่คิดเมื่อมองแวบแรก ประการแรก เรากำลังพูดถึงการตั้งชื่อชื่อผู้มีอำนาจเป็นพัน และตรงนี้ ข้อแตกต่างแรกที่หลายคนรู้จากภาพยนตร์อเมริกัน ก็คือพวกเขาเรียกเราว่าพันล้านหนึ่งพันล้าน

นอกจากนี้ยังมีเครื่องชั่งสองประเภท - ยาวและสั้น ในประเทศของเรามีการใช้มาตราส่วนสั้น ในระดับนี้ ในแต่ละขั้นตอน แมนทิสซาจะเพิ่มขึ้นสามลำดับความสำคัญ กล่าวคือ คูณด้วยพัน - พัน 10 3, ล้าน 10 6, พันล้าน/พันล้าน 10 9, ล้านล้าน (10 12) ในระยะยาว หลังจาก 1 พันล้าน 10 9 ก็จะมี 10 12 พันล้าน และต่อมาแมนทิสซาก็เพิ่มขึ้น 6 ลำดับขนาด และจำนวนถัดไปซึ่งเรียกว่าล้านล้านก็หมายถึง 10 18 อยู่แล้ว

แต่ขอกลับไปสู่ระดับพื้นเมืองของเรา ต้องการทราบว่าจะเกิดอะไรขึ้นหลังจากล้านล้าน? โปรด:

10 3 พัน
10 6 ล้าน
10 9 พันล้าน
10 12 ล้านล้าน
10 15 สี่ล้านล้าน
10 18 ล้านล้าน
10 21 เจ็ดล้าน
10 24 เซทิลล้าน
10 27 ออคทิลเลียน
10 30 ล้านล้าน
10 33 ล้าน
10 36 ล้านล้าน
10 39 สิบล้านล้าน
10 42 ล้านล้าน
10 45 ควอตโตร์เดซิล้าน
10 48 ล้านล้าน
10 51 ล้านล้าน
10 54 กันยายน
10 57 ดูโอดีวิจินล้านล้าน
10 60 ล้านล้าน
10 63 ล้านล้าน
10 66 พันล้านล้าน
10 69 ดูโอวิจินล้านล้าน
10 72 ล้านล้าน
10 75 ควอเตอร์วิจินล้านล้าน
10 78 ล้านล้านล้าน
10 81 sexvigintillion
10 84 กันยายนล้านล้าน
10 87 ออคโตวิกินล้าน
10 90 พ.ย.ล้านล้าน
10 93 ล้านล้าน
10 96 แอนติจินล้านล้าน

เมื่อถึงจำนวนนี้ ขนาดที่สั้นของเราไม่สามารถทนได้ และต่อมาตั๊กแตนตำข้าวก็จะเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ

10 100 กูเกิล
10,123 สี่ล้านล้าน
10,153 ล้านล้านล้าน
10,183 ล้านล้านเซ็ก
10,213 เจ็ดล้านล้าน
10,243 แปดล้านล้าน
10,273 ล้านล้าน
10,303 ล้านล้าน
10,306 ล้านล้าน
10,309 เซ็นต์ตัน
10,312 ล้านล้าน
10,315 เซ็นต์สี่ล้านล้าน
10,402 ล้านล้านล้านล้าน
10,603 ล้านล้าน
10,903 ล้านล้านล้าน
10 1203 สี่ล้านล้าน
10 1503 ล้านล้าน
10 1803 เซเซนล้าน
10 2103 กันยายนล้านล้าน
10 2403 oxtingentillion
10 2703 นอนเจนล้านล้าน
10 3003 ล้าน
10 6003 ดูโอล้าน
10 9003 สามล้าน
10 3000003 ล้านล้าน
10 6000003 duomimiliaillion
10 10 100 กูเกิลเพล็กซ์
10 3×n+3 ซิลเลียน

Google(จากภาษาอังกฤษ googol) - ตัวเลขที่แสดงในระบบเลขฐานสิบด้วยหน่วยตามด้วยศูนย์ 100 ตัว:
10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
ในปี 1938 นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน Edward Kasner (1878-1955) กำลังเดินเล่นในสวนสาธารณะกับหลานชายสองคนและพูดคุยกันเป็นจำนวนมาก ในระหว่างการสนทนา เราได้พูดคุยเกี่ยวกับตัวเลขที่มีศูนย์นับร้อยซึ่งไม่มีชื่อเป็นของตัวเอง Milton Sirotta หลานชายคนหนึ่งวัย 9 ขวบ แนะนำให้เรียกหมายเลขนี้ว่า "googol" ในปี 1940 Edward Kasner ร่วมกับ James Newman เขียนหนังสือวิทยาศาสตร์ยอดนิยมเรื่อง Mathematics and Imagination ("New Names in Mathematics") ซึ่งเขาเล่าให้คนรักคณิตศาสตร์ฟังเกี่ยวกับหมายเลข googol
คำว่า "googol" ไม่มีความหมายเชิงทฤษฎีหรือปฏิบัติที่จริงจัง แคสเนอร์เสนอให้อธิบายความแตกต่างระหว่างจำนวนมหาศาลกับอนันต์อย่างเหลือเชื่อ และบางครั้งคำนี้ใช้ในการสอนคณิตศาสตร์เพื่อจุดประสงค์นี้

กูเกิลเพล็กซ์(จากภาษาอังกฤษ googolplex) - ตัวเลขที่แสดงโดยหน่วยที่มี googol เป็นศูนย์ เช่นเดียวกับ googol คำว่า "googolplex" ได้รับการประกาศเกียรติคุณจากนักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน Edward Kasner และหลานชายของเขา Milton Sirotta
จำนวน googols นั้นมากกว่าจำนวนอนุภาคทั้งหมดในส่วนของจักรวาลที่เรารู้จัก ซึ่งมีตั้งแต่ 1,079 ถึง 1,081 ดังนั้น จำนวน googolplex ที่ประกอบด้วยตัวเลข (googol + 1) จึงไม่สามารถเขียนลงในรูปได้ รูปแบบ "ทศนิยม" แบบคลาสสิก แม้ว่าสสารในส่วนที่รู้จักของจักรวาลจะกลายเป็นกระดาษและหมึกหรือพื้นที่ดิสก์ของคอมพิวเตอร์ก็ตาม

ซิลเลี่ยน(ภาษาอังกฤษ zillion) - ชื่อทั่วไปสำหรับจำนวนที่มีขนาดใหญ่มาก

คำนี้ไม่มีคำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวด ในปี 1996 Conway (อังกฤษ J. H. Conway) และ Guy (eng. R. K. Guy) ในหนังสือภาษาอังกฤษของพวกเขา หนังสือแห่งตัวเลขกำหนด zillion ยกกำลังที่ n เป็น 10 3×n+3 สำหรับระบบการตั้งชื่อหมายเลขสเกลสั้น

10 ยกกำลัง 3003

ข้อพิพาทเกี่ยวกับตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดในโลกยังคงดำเนินต่อไป ระบบแคลคูลัสที่ต่างกันเสนอทางเลือกที่แตกต่างกัน ผู้คนไม่รู้ว่าจะเชื่ออะไร และจำนวนใดที่ถือว่ามากที่สุด

คำถามนี้ทำให้นักวิทยาศาสตร์สนใจมาตั้งแต่สมัยจักรวรรดิโรมัน ปัญหาที่ใหญ่ที่สุดอยู่ที่คำจำกัดความว่า "ตัวเลข" คืออะไร และ "ตัวเลข" คืออะไร ครั้งหนึ่งคนเคยถือว่าจำนวนที่มากที่สุดคือหน่วยเดซิล้าน ซึ่งก็คือ 10 ยกกำลัง 33 แต่หลังจากที่นักวิทยาศาสตร์เริ่มศึกษาระบบเมตริกของอเมริกาและอังกฤษอย่างจริงจัง ก็พบว่าจำนวนที่ใหญ่ที่สุดในโลกคือ 10 ยกกำลัง 3003 - หนึ่งล้าน ผู้คนในชีวิตประจำวันเชื่อว่าจำนวนที่มากที่สุดคือหนึ่งล้านล้าน ยิ่งกว่านั้น นี่ค่อนข้างเป็นทางการ เนื่องจากหลังจากหนึ่งล้านล้านชื่อก็ไม่ได้รับการบอกกล่าว เนื่องจากการนับเริ่มซับซ้อนเกินไป อย่างไรก็ตาม ตามทฤษฎีแล้ว คุณสามารถเพิ่มจำนวนศูนย์ได้อย่างไม่มีกำหนด ดังนั้นจึงแทบเป็นไปไม่ได้เลยที่จะจินตนาการถึงล้านล้านด้วยสายตาล้วนๆ และสิ่งที่ตามมา

ในเลขโรมัน

ในทางกลับกัน คำจำกัดความของ "ตัวเลข" ที่นักคณิตศาสตร์เข้าใจนั้นแตกต่างออกไปเล็กน้อย ตัวเลข หมายถึง เครื่องหมายที่เป็นที่ยอมรับในระดับสากล และใช้เพื่อระบุปริมาณที่แสดงเป็นตัวเลขที่เทียบเท่ากัน แนวคิดที่สองของ "ตัวเลข" หมายถึง การแสดงคุณลักษณะเชิงปริมาณในรูปแบบที่สะดวกโดยใช้ตัวเลข จากนี้ไปตัวเลขจะประกอบด้วยตัวเลข สิ่งสำคัญคือตัวเลขนั้นมีคุณสมบัติเชิงสัญลักษณ์ เป็นสิ่งกำหนดเงื่อนไข เป็นที่จดจำ ไม่เปลี่ยนแปลง ตัวเลขก็มีคุณสมบัติเครื่องหมายเช่นกัน แต่ตามมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าตัวเลขประกอบด้วยตัวเลข จากนี้เราสามารถสรุปได้ว่าล้านล้านไม่ใช่ตัวเลข แต่เป็นตัวเลข แล้วตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดในโลกถ้าไม่ใช่ล้านล้านจะเป็นตัวเลขอะไร?

สิ่งสำคัญคือมีการใช้ตัวเลขเป็นส่วนประกอบของตัวเลข แต่ไม่ใช่แค่นั้น อย่างไรก็ตาม ตัวเลขก็คือตัวเลขเดียวกันหากเรากำลังพูดถึงบางสิ่ง โดยนับจากศูนย์ถึงเก้า คุณลักษณะของระบบนี้ไม่เพียงแต่ใช้กับเลขอารบิกที่คุ้นเคยเท่านั้น แต่ยังใช้กับเลขโรมัน I, V, X, L, C, D, M อีกด้วย ซึ่งเป็นเลขโรมัน ในทางกลับกัน V I I I เป็นเลขโรมัน ในแคลคูลัสภาษาอาหรับจะตรงกับเลขแปด

ในเลขอารบิค

ดังนั้นปรากฎว่าการนับหน่วยตั้งแต่ศูนย์ถึงเก้าถือเป็นตัวเลข และสิ่งอื่น ๆ ก็เป็นตัวเลข จึงสรุปได้ว่าจำนวนที่มากที่สุดในโลกคือเก้า 9 เป็นเครื่องหมาย และตัวเลขเป็นนามธรรมเชิงปริมาณอย่างง่าย ล้านล้านเป็นตัวเลข ไม่ใช่ตัวเลขเลย ดังนั้นจึงไม่สามารถเป็นตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดในโลกได้ ล้านล้านสามารถเรียกได้ว่าเป็นจำนวนที่ใหญ่ที่สุดในโลก และนั่นเป็นเพียงการนามเท่านั้น เนื่องจากสามารถนับจำนวนได้ไม่จำกัด จำนวนหลักมีจำนวนจำกัดอย่างเคร่งครัด - ตั้งแต่ 0 ถึง 9

ควรจำไว้ว่าตัวเลขและตัวเลขของระบบตัวเลขที่แตกต่างกันไม่ตรงกันดังที่เราเห็นจากตัวอย่างที่มีตัวเลขและตัวเลขอารบิกและโรมัน สิ่งนี้เกิดขึ้นเพราะตัวเลขและตัวเลขเป็นแนวคิดง่ายๆ ที่มนุษย์ประดิษฐ์ขึ้นมาเอง ดังนั้นตัวเลขในระบบตัวเลขหนึ่งอาจเป็นตัวเลขในอีกระบบหนึ่งและในทางกลับกันได้อย่างง่ายดาย

ดังนั้น จำนวนที่มากที่สุดจึงมีนับไม่ถ้วน เนื่องจากสามารถบวกจากตัวเลขต่อไปได้ไม่จำกัด สำหรับตัวเลขนั้น ในระบบที่ยอมรับกันโดยทั่วไป 9 ถือเป็นจำนวนที่มากที่สุด

นอกจากนี้ยังมีกลุ่มตัวเลขที่ยาวกว่าซึ่งจะถูกเก็บรักษาไว้ในผลคูณของพวกเขาซึ่งอยู่ท้ายตัวเลขด้วย ดังที่เราจะแสดงจำนวนกลุ่มตัวเลขนั้นมีจำนวนมหาศาลอย่างไม่สิ้นสุด

เรารู้จักกลุ่มตัวเลขสองหลักที่มีคุณสมบัตินี้ ได้แก่ 25 และ 76 หากต้องการค้นหากลุ่มที่มีสามหลัก คุณต้องเพิ่มตัวเลขที่ด้านหน้าของหมายเลข 25 หรือ 76 เพื่อให้ผลลัพธ์เป็นตัวเลขสามหลัก กลุ่มตัวเลขก็มีคุณสมบัติที่ต้องการเช่นกัน

ควรกำหนดตัวเลขใดให้กับหมายเลข 76? ลองแทนมันด้วย k จากนั้นจะแสดงตัวเลขสามหลักที่ต้องการ:

100,000 + 76

นิพจน์ทั่วไปสำหรับตัวเลขที่ลงท้ายด้วยตัวเลขกลุ่มนี้คือ:

1,000a + 100k + 76, 1,000b + 100k + 76 ฯลฯ

ลองคูณตัวเลขประเภทนี้สองตัว เราได้รับ:

1000000ab + 100000ak + 100000bk + 76000a + 76000b + 10000k 2 + 15200k + 5776

ทุกพจน์ ยกเว้นสองอันสุดท้าย มีเลขศูนย์อย่างน้อยสามตัวต่อท้าย ดังนั้นสินค้าจะลงท้ายด้วย 1006+76 หากผลต่าง

15200k + 5776 - (100k + 76) = 15100k + 5700 = 15000k + 5000 + 100 (k + 7)

หารด้วย 1,000 ลงตัว ซึ่งแน่นอนว่าจะเกิดขึ้นกับ k = 3 เท่านั้น

ดังนั้น กลุ่มตัวเลขที่ต้องการจะมีรูปแบบ 376 ดังนั้น ทุกเลขยกกำลังของ 376 จะลงท้ายด้วย 376 ตัวอย่างเช่น

376 2 = 141376.

หากเราต้องการค้นหากลุ่มตัวเลขสี่หลักที่มีคุณสมบัติเหมือนกัน เราจะต้องบวกหลักอีกหลักหนึ่งที่ 376 ข้างหน้า หากเราแทนตัวเลขนี้ด้วย l เราก็จะเจอปัญหา: สำหรับอะไร ล. ผลิตภัณฑ์

(10,000a + 1,000l + 376) (10,000b + 1,000l + 376)

ลงท้ายด้วย 1,000l + 376? หากในผลิตภัณฑ์นี้เราเปิดวงเล็บและละทิ้งคำศัพท์ทั้งหมดที่ลงท้ายด้วยศูนย์ 4 ตัวขึ้นไป เงื่อนไขนั้นจะยังคงอยู่

752000l + 141376.

สินค้าลงท้ายด้วย 1000l + 376 หากต่างกัน

752000l + 141376 - (1,000l + 376) = 751000l + 141000 = (750000l + 140000) + 1,000(l + 1)

หารด้วย 10,000 ลงตัว ซึ่งจะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อ l = 9 เท่านั้น

กลุ่มตัวเลขสี่หลักที่ต้องการคือ 9376

กลุ่มตัวเลขสี่หลักที่เป็นผลลัพธ์สามารถเสริมด้วยตัวเลขอีกหนึ่งตัวได้ ซึ่งคุณต้องให้เหตุผลในลักษณะเดียวกับที่กล่าวข้างต้นทุกประการ เราได้ 09376 ก้าวไปอีกขั้นหนึ่ง เราก็พบกลุ่มตัวเลข 109376 ตามด้วย 7109376 เป็นต้น

การกำหนดตัวเลขทางซ้ายนี้สามารถทำได้ไม่จำกัดจำนวนครั้ง เป็นผลให้เราได้รับ "ตัวเลข" ที่มีตัวเลขมากมายไม่สิ้นสุด:

7109376.

"ตัวเลข" ดังกล่าวสามารถเพิ่มและคูณได้ตามกฎปกติ: ท้ายที่สุดแล้วพวกมันจะถูกเขียนจากขวาไปซ้ายและการบวกและการคูณ ("คอลัมน์") จะดำเนินการจากขวาไปซ้ายเช่นกัน ดังนั้นในผลรวมและผลิตภัณฑ์ ของตัวเลขสองตัวดังกล่าว เราสามารถคำนวณได้ทีละหลัก - มากเท่าที่คุณต้องการตัวเลข

เป็นที่น่าสนใจว่า "จำนวน" อนันต์ที่เขียนไว้ด้านบนนั้นเป็นไปตามสมการนี้ ซึ่งดูเหมือนว่าจะน่าเหลือเชื่อ

X 2 = x

อันที่จริง กำลังสองของ "ตัวเลข" นี้ (นั่นคือ ผลคูณของมันเอง) ลงท้ายด้วย 76 เนื่องจากแต่ละตัวประกอบมี 76 ต่อท้าย ด้วยเหตุผลเดียวกัน กำลังสองของ "ตัวเลข" ที่เขียนไว้จึงลงท้ายด้วย 376 ลงท้ายด้วย 9376 เป็นต้น กล่าวอีกนัยหนึ่งโดยการคำนวณทีละหลักของ "ตัวเลข" x 2 โดยที่ x =... 7109376 เราจะได้ตัวเลขเดียวกันกับที่อยู่ในตัวเลข x ดังนั้น x 2 = x.

เราดูกลุ่มตัวเลขที่ลงท้ายด้วย 76 * หากใช้เหตุผลที่คล้ายกันสำหรับกลุ่มตัวเลขที่ลงท้ายด้วย 5 เราจะได้กลุ่มตัวเลขดังต่อไปนี้:

5, 25, 625, 0625, 90625, 890625, 2890 625 ฯลฯ

* (โปรดทราบว่ากลุ่มตัวเลขสองหลัก 76 สามารถพบได้โดยใช้เหตุผลที่คล้ายกับที่ให้ไว้ข้างต้น: ก็เพียงพอแล้วที่จะตอบคำถามที่ต้องกำหนดหลักไว้ที่ด้านหน้าของหมายเลข 6 เพื่อให้กลุ่มสองหลักที่เป็นผลลัพธ์ของ ตัวเลขมีคุณสมบัติที่ต้องการ ดังนั้นสามารถรับ "หมายเลข" ... 7109376 ได้โดยการเพิ่มตัวเลขที่ด้านหน้าของเลขหกทีละตัว)

เป็นผลให้เราสามารถเขียน "ตัวเลข" ได้อีกอันไม่สิ้นสุด

2890625,

เป็นไปตามสมการ x 2 = x ด้วย อาจแสดงให้เห็นว่า "จำนวน" อนันต์นี้ "เท่ากับ"

5 2 2 2...

ผลลัพธ์ที่น่าสนใจที่ได้รับในภาษาของ "ตัวเลข" ที่ไม่มีที่สิ้นสุดมีสูตรดังนี้: สมการ x 2 = x มี (นอกเหนือจากปกติ x = 0 และ x = 1) วิธีแก้ปัญหา "อนันต์" สองข้อ:

X = ...7109376 และ x = ...2890625,

และไม่มีคำตอบอื่นใด (ในระบบเลขฐานสิบ) *

* ("ตัวเลข" ที่ไม่มีที่สิ้นสุดสามารถพิจารณาได้ไม่เฉพาะในรูปแบบทศนิยมเท่านั้น แต่ยังพิจารณาในระบบตัวเลขอื่นด้วย จำนวนดังกล่าวที่พิจารณาในระบบจำนวนที่มีฐาน p เรียกว่าจำนวน p-adic คุณสามารถอ่านบางอย่างเกี่ยวกับตัวเลขเหล่านี้ได้ในหนังสือ “Mathematical Conversations” โดย E. B. Dynkin และ V. A. Uspensky (Gostekhizdat, 1952))

มีตัวเลขจำนวนมากมายมหาศาลอย่างไม่น่าเชื่อ จนต้องใช้ทั้งจักรวาลในการเขียนลงไป แต่นี่คือสิ่งที่บ้าจริงๆ... จำนวนมหาศาลที่ไม่อาจหยั่งรู้เหล่านี้บางส่วนมีความสำคัญต่อการทำความเข้าใจโลก

เมื่อฉันพูดว่า "จำนวนที่ใหญ่ที่สุดในจักรวาล" ฉันหมายถึงจำนวนที่ใหญ่ที่สุดจริงๆ สำคัญ number คือจำนวนสูงสุดที่เป็นไปได้ซึ่งมีประโยชน์ในทางใดทางหนึ่ง มีผู้เข้าแข่งขันหลายคนสำหรับชื่อนี้ แต่ฉันจะเตือนคุณทันที: มีความเสี่ยงจริงๆ ที่การพยายามคิดออกทั้งหมดจะทำให้คุณทึ่ง และยิ่งไปกว่านั้น ถ้าคณิตมากเกินไป คุณจะไม่สนุกเลย

กูกอล และกูกอลเพล็กซ์

เอ็ดเวิร์ด แคสเนอร์

เราอาจเริ่มต้นด้วยตัวเลขสองตัวที่ใหญ่ที่สุดที่คุณเคยได้ยินมา และนี่คือตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดสองตัวที่เป็นที่ยอมรับโดยทั่วไปในภาษาอังกฤษ (มีการใช้ระบบการตั้งชื่อที่ค่อนข้างแม่นยำเพื่อระบุตัวเลขที่มีขนาดใหญ่เท่าที่คุณต้องการ แต่ทุกวันนี้ คุณจะไม่พบตัวเลขสองตัวนี้ในพจนานุกรม) Googol เนื่องจากมันโด่งดังไปทั่วโลก (ถึงแม้จะมีข้อผิดพลาด โปรดสังเกต จริงๆ แล้วมันคือ googol ) ในรูปแบบของ Google ถือกำเนิดในปี 1920 เพื่อให้เด็กๆ สนใจเรื่องจำนวนมาก

ด้วยเหตุนี้ Edward Kasner (ในภาพ) จึงพาหลานชายสองคนของเขา Milton และ Edwin Sirott เดินเล่นใน New Jersey Palisades เขาเชิญชวนให้พวกเขาเสนอไอเดีย จากนั้นมิลตันวัย 9 ขวบก็เสนอชื่อ "googol" ไม่ทราบที่มาที่เขาได้รับคำนี้ แต่แคสเนอร์ตัดสินใจเช่นนั้น หรือตัวเลขที่มีศูนย์หนึ่งร้อยตามหลังหน่วยจะเรียกว่า googol

แต่มิลตันในวัยเยาว์ไม่ได้หยุดเพียงแค่นั้น เขาเสนอ googolplex จำนวนมากยิ่งขึ้น ตามข้อมูลของมิลตัน นี่คือตัวเลข โดยที่อันดับแรกคือ 1 แล้วตามด้วยเลขศูนย์มากเท่าที่คุณสามารถเขียนได้ก่อนที่คุณจะรู้สึกเหนื่อย แม้ว่าแนวคิดนี้จะน่าสนใจ แต่ Kasner ก็ตัดสินใจว่าจำเป็นต้องมีคำจำกัดความที่เป็นทางการกว่านี้ ดังที่เขาอธิบายไว้ในหนังสือคณิตศาสตร์และจินตนาการของเขาเมื่อปี 1940 คำจำกัดความของมิลตันเปิดโอกาสที่มีความเสี่ยงที่ตัวตลกสุ่มอาจกลายเป็นนักคณิตศาสตร์ที่เหนือกว่าอัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ เพียงเพราะเขามีความแข็งแกร่งมากกว่า

Kasner จึงตัดสินใจว่า googolplex จะเป็น หรือ 1 แล้วก็ googol ที่เป็นศูนย์ มิฉะนั้น และในรูปแบบที่คล้ายกับที่เราจะจัดการกับตัวเลขอื่นๆ เราจะบอกว่า googolplex คือ เพื่อแสดงให้เห็นว่าสิ่งนี้น่าหลงใหลเพียงใด คาร์ล เซแกนเคยตั้งข้อสังเกตว่าเป็นไปไม่ได้ทางกายภาพที่จะเขียนเลขศูนย์ทั้งหมดของ googolplex เนื่องจากมีพื้นที่ในจักรวาลไม่เพียงพอ หากเราเติมอนุภาคฝุ่นขนาดเล็กขนาดประมาณ 1.5 ไมครอนไปทั่วทั้งปริมาตรของจักรวาลที่สังเกตได้ จำนวนวิธีต่างๆ ในการจัดเรียงอนุภาคเหล่านี้จะเท่ากับประมาณหนึ่ง googolplex

ในทางภาษาศาสตร์ googol และ googolplex อาจเป็นตัวเลขนัยสำคัญสองตัวที่ใหญ่ที่สุด (อย่างน้อยก็ในภาษาอังกฤษ) แต่ดังที่เราจะพิสูจน์กันในตอนนี้ มีหลายวิธีในการนิยาม "ความสำคัญ" อย่างไม่สิ้นสุด

โลกแห่งความเป็นจริง

หากเราพูดถึงจำนวนนัยสำคัญที่มากที่สุด ก็มีข้อโต้แย้งที่สมเหตุสมผลว่านั่นหมายความว่าเราต้องค้นหาจำนวนที่มากที่สุดโดยมีค่าที่มีอยู่จริงในโลก เราสามารถเริ่มจากจำนวนประชากรมนุษย์ในปัจจุบันซึ่งปัจจุบันมีอยู่ประมาณ 6920 ล้านคน GDP โลกในปี 2010 คาดว่าจะอยู่ที่ประมาณ 61,960 พันล้านดอลลาร์ แต่ตัวเลขทั้งสองนี้ไม่มีนัยสำคัญเลยเมื่อเทียบกับเซลล์ประมาณ 100 ล้านล้านเซลล์ที่ประกอบเป็นร่างกายมนุษย์ แน่นอนว่าไม่มีตัวเลขใดที่สามารถเปรียบเทียบกับจำนวนอนุภาคทั้งหมดในจักรวาลซึ่งโดยทั่วไปถือว่ามีค่าประมาณ และจำนวนนี้มีขนาดใหญ่มากจนภาษาของเราไม่มีคำอธิบาย

เราสามารถเล่นกับระบบการวัดได้นิดหน่อย ทำให้ตัวเลขมีขนาดใหญ่ขึ้นเรื่อยๆ ดังนั้น มวลของดวงอาทิตย์มีหน่วยเป็นตันจะน้อยกว่าหน่วยปอนด์ วิธีที่ดีในการทำเช่นนี้คือการใช้ระบบหน่วยพลังค์ ซึ่งเป็นมาตรการที่เล็กที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ซึ่งยังคงใช้กฎของฟิสิกส์อยู่ ตัวอย่างเช่น อายุของจักรวาลในเวลาพลังค์คือประมาณ หากเราย้อนกลับไปที่หน่วยเวลาพลังค์แรกหลังบิกแบง เราจะเห็นว่าตอนนั้นความหนาแน่นของจักรวาลอยู่ที่ เราได้รับมากขึ้นเรื่อยๆ แต่เรายังไปไม่ถึง googol ด้วยซ้ำ

จำนวนที่มากที่สุดที่มีการประยุกต์ในโลกแห่งความเป็นจริง - หรือในกรณีนี้คือการประยุกต์ใช้ในโลกแห่งความเป็นจริง - อาจเป็นหนึ่งในการประมาณจำนวนจักรวาลในลิขสิทธิ์ครั้งล่าสุด ตัวเลขนี้มีขนาดใหญ่มากจนสมองของมนุษย์ไม่สามารถรับรู้จักรวาลต่างๆ เหล่านี้ได้ เนื่องจากสมองมีความสามารถในการกำหนดค่าโดยประมาณเท่านั้น อันที่จริงแล้ว ตัวเลขนี้น่าจะเป็นตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดที่สมเหตุสมผลในทางปฏิบัติ เว้นแต่คุณจะคำนึงถึงแนวคิดเรื่องลิขสิทธิ์โดยรวมด้วย อย่างไรก็ตาม ยังมีตัวเลขอีกมากมายที่ซุ่มซ่อนอยู่ที่นั่น แต่เพื่อที่จะค้นหาพวกมัน เราต้องเข้าไปในขอบเขตของคณิตศาสตร์ล้วนๆ และไม่มีที่ใดที่จะดีไปกว่าการเริ่มต้นจำนวนเฉพาะ

ไพรม์เมอร์แซนน์

ส่วนหนึ่งของความท้าทายคือการให้คำจำกัดความที่ดีว่าตัวเลขที่ “มีนัยสำคัญ” คืออะไร วิธีหนึ่งคือการคิดในแง่ของจำนวนเฉพาะและจำนวนประกอบ จำนวนเฉพาะ ดังที่คุณคงจำได้จากคณิตศาสตร์ของโรงเรียน คือจำนวนธรรมชาติใดๆ (หมายเหตุไม่เท่ากับ 1) ที่หารด้วยตัวมันเองเท่านั้น ดังนั้น และ เป็นจำนวนเฉพาะ และเป็นจำนวนประกอบ ซึ่งหมายความว่าจำนวนประกอบใดๆ ก็สามารถแทนได้ด้วยตัวประกอบเฉพาะของมันในที่สุด ในบางแง่ ตัวเลขมีความสำคัญมากกว่า เช่น เนื่องจากไม่มีทางจะแสดงมันในรูปผลคูณของจำนวนที่น้อยกว่าได้

แน่นอนว่าเราสามารถไปได้ไกลกว่านี้อีกสักหน่อย ตัวอย่างเช่น จริงๆ แล้วเป็นเพียง ซึ่งหมายความว่าในโลกสมมติที่ความรู้เกี่ยวกับตัวเลขของเราถูกจำกัดอยู่เพียงเท่านั้น นักคณิตศาสตร์ยังคงสามารถแสดงจำนวนได้ แต่จำนวนถัดไปเป็นจำนวนเฉพาะ ซึ่งหมายความว่าวิธีเดียวที่จะแสดงออกได้คือต้องรู้โดยตรงเกี่ยวกับการมีอยู่ของมัน ซึ่งหมายความว่าจำนวนเฉพาะที่รู้จักมากที่สุดมีบทบาทสำคัญ แต่จริงๆ แล้ว Googol ซึ่งท้ายที่สุดแล้วเป็นเพียงชุดของตัวเลขและ คูณเข้าด้วยกัน กลับไม่ได้เป็นเช่นนั้น และเนื่องจากโดยพื้นฐานแล้วจำนวนเฉพาะจะเป็นแบบสุ่ม จึงไม่มีทางทราบได้ว่าจำนวนเฉพาะจำนวนมากนั้นจะเป็นจำนวนเฉพาะจริงๆ จนถึงทุกวันนี้ การค้นพบจำนวนเฉพาะใหม่ๆ เป็นเรื่องยาก

นักคณิตศาสตร์ของกรีกโบราณมีแนวคิดเรื่องจำนวนเฉพาะอย่างน้อยตั้งแต่ 500 ปีก่อนคริสตกาล และ 2,000 ปีต่อมา ผู้คนยังคงรู้ว่าตัวเลขใดเป็นจำนวนเฉพาะไม่เกิน 750 เท่านั้น นักคิดในสมัยยุคลิดมองเห็นความเป็นไปได้ที่จะทำให้ง่ายขึ้น แต่ก็ไม่ใช่ จนกระทั่งนักคณิตศาสตร์ยุคเรอเนซองส์ไม่สามารถใช้ในทางปฏิบัติได้จริงๆ ตัวเลขเหล่านี้เรียกว่าตัวเลข Mersenne ซึ่งตั้งชื่อตาม Marin Mersenne นักวิทยาศาสตร์ชาวฝรั่งเศสในศตวรรษที่ 17 แนวคิดนี้ค่อนข้างง่าย: หมายเลข Mersenne คือตัวเลขใดๆ ก็ตามที่อยู่ในรูปแบบ ตัวอย่างเช่น และจำนวนนี้เป็นจำนวนเฉพาะ ก็เป็นจริงสำหรับ เช่นกัน

การระบุจำนวนเฉพาะของ Mersenne ได้เร็วและง่ายกว่ามากเมื่อเทียบกับจำนวนเฉพาะประเภทอื่นๆ และคอมพิวเตอร์ก็ทำงานหนักในการค้นหาจำนวนเฉพาะเหล่านี้มาตลอดหกทศวรรษที่ผ่านมา จนถึงปี 1952 จำนวนเฉพาะที่รู้จักมากที่สุดคือตัวเลข ซึ่งเป็นตัวเลขที่มีตัวเลข ในปีเดียวกันนั้น คอมพิวเตอร์คำนวณว่าตัวเลขนั้นเป็นจำนวนเฉพาะ และตัวเลขนี้ประกอบด้วยตัวเลข ซึ่งทำให้มีขนาดใหญ่กว่า googol มาก

ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา คอมพิวเตอร์ก็ถูกตามล่า และในปัจจุบัน หมายเลข Mersenne ถือเป็นจำนวนเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดที่มนุษย์รู้จัก ค้นพบในปี พ.ศ. 2551 มีจำนวนเกือบล้านหลัก เป็นตัวเลขที่ทราบมากที่สุดซึ่งไม่สามารถแสดงเป็นตัวเลขที่น้อยกว่าได้ และหากคุณต้องการความช่วยเหลือในการค้นหาหมายเลข Mersenne ที่มากขึ้น คุณ (และคอมพิวเตอร์ของคุณ) สามารถเข้าร่วมการค้นหาได้ที่ http://www.mersenne org /.

ตัวเลขสกิว

สแตนลีย์ สกิวส์

มาดูเลขเด่นกันอีกครั้ง อย่างที่ผมบอกไป พวกมันมีพฤติกรรมผิดขั้นพื้นฐาน ซึ่งหมายความว่าไม่มีทางที่จะคาดเดาได้ว่าจำนวนเฉพาะตัวต่อไปจะเป็นเท่าใด นักคณิตศาสตร์ถูกบังคับให้หันไปใช้การวัดที่น่าอัศจรรย์บางอย่างเพื่อหาวิธีทำนายจำนวนเฉพาะในอนาคต แม้จะคลุมเครือก็ตาม ความพยายามที่ประสบความสำเร็จมากที่สุดน่าจะเป็นฟังก์ชันการนับจำนวนเฉพาะ ซึ่งคิดค้นขึ้นในช่วงปลายศตวรรษที่ 18 โดยนักคณิตศาสตร์ในตำนาน คาร์ล ฟรีดริช เกาส์

ผมจะแบ่งคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนกว่านี้ให้คุณ - เรายังมีอะไรอีกมากมายรออยู่ - แต่สาระสำคัญของฟังก์ชันคือ: สำหรับจำนวนเต็มใดๆ คุณสามารถประมาณได้ว่ามีจำนวนเฉพาะจำนวนเท่าใดที่น้อยกว่า ตัวอย่างเช่น ถ้า ฟังก์ชันคาดการณ์ว่าควรมีจำนวนเฉพาะ ควรมีจำนวนเฉพาะน้อยกว่า และถ้า แสดงว่าต้องเป็นจำนวนเฉพาะที่น้อยกว่า

การจัดเรียงจำนวนเฉพาะนั้นไม่ปกติและเป็นเพียงการประมาณจำนวนจริงของจำนวนเฉพาะเท่านั้น อันที่จริง เรารู้ว่ามีจำนวนเฉพาะน้อยกว่า จำนวนเฉพาะน้อยกว่า และจำนวนเฉพาะน้อยกว่า แน่นอนว่านี่เป็นการประมาณการที่ดีเยี่ยม แต่จะเป็นเพียงการประมาณการเสมอ... และที่เจาะจงกว่านั้นคือการประมาณการจากด้านบน

ในกรณีที่ทราบทั้งหมดจนถึง ฟังก์ชันที่ค้นหาจำนวนเฉพาะจะประเมินค่าสูงเกินไปเล็กน้อยกับจำนวนจำนวนเฉพาะจริงที่น้อยกว่า นักคณิตศาสตร์เคยคิดว่าสิ่งนี้จะเป็นเช่นนั้นตลอดไป และแน่นอนว่าสิ่งนี้ใช้ได้กับจำนวนมหาศาลอย่างเหลือเชื่อ แต่ในปี 1914 จอห์น เอเดนเซอร์ ลิตเติลวูด พิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนมหาศาลที่ไม่รู้จักจำนวนหนึ่ง ฟังก์ชันนี้จะเริ่มสร้างจำนวนเฉพาะน้อยลง จากนั้นจะสลับระหว่างค่าประมาณด้านบนและค่าประมาณด้านล่างเป็นจำนวนไม่จำกัด

การตามล่าเป็นจุดเริ่มต้นของการแข่งขัน และจากนั้น Stanley Skewes ก็ปรากฏตัวขึ้น (ดูรูป) ในปีพ.ศ. 2476 เขาพิสูจน์ว่าขีดจำกัดบนเมื่อฟังก์ชันประมาณจำนวนเฉพาะจะสร้างค่าที่น้อยกว่าได้ก่อนคือตัวเลข เป็นเรื่องยากที่จะเข้าใจอย่างแท้จริงแม้ในแง่นามธรรมที่สุดว่าตัวเลขนี้แสดงถึงอะไร และจากมุมมองนี้ ตัวเลขดังกล่าวเป็นตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดที่เคยใช้ในการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์อย่างจริงจัง นับแต่นั้นมานักคณิตศาสตร์สามารถลดขอบเขตบนให้เหลือจำนวนที่ค่อนข้างน้อยได้ แต่จำนวนเดิมยังคงเรียกว่าหมายเลข Skewes

แล้วจำนวนคนแคระแม้แต่ googolplex อันยิ่งใหญ่นั้นใหญ่แค่ไหน? ใน The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers David Wells เล่าถึงวิธีหนึ่งที่นักคณิตศาสตร์ Hardy สามารถกำหนดแนวคิดเกี่ยวกับขนาดของตัวเลข Skuse ได้:

“ฮาร์ดีคิดว่ามันเป็น “ตัวเลขที่มากที่สุดเท่าที่เคยมีมาเพื่อจุดประสงค์เฉพาะใดๆ ในวิชาคณิตศาสตร์” และแนะนำว่าหากเล่นเกมหมากรุกโดยให้อนุภาคทั้งหมดของจักรวาลเป็นชิ้นๆ การเคลื่อนไหวหนึ่งครั้งจะประกอบด้วยการสลับอนุภาคสองตัว และ เกมจะหยุดเมื่อตำแหน่งเดิมซ้ำเป็นครั้งที่สาม จากนั้นจำนวนเกมที่เป็นไปได้ทั้งหมดจะเท่ากับจำนวน Skuse โดยประมาณ

สิ่งสุดท้ายก่อนที่เราจะไปต่อ: เราได้พูดถึงตัวเลข Skewes ที่เล็กกว่าสองตัวแล้ว มีหมายเลข Skuse อีกหมายเลขหนึ่ง ซึ่งนักคณิตศาสตร์ค้นพบในปี 1955 จำนวนแรกได้มาจากข้อเท็จจริงที่ว่าสิ่งที่เรียกว่าสมมติฐานรีมันน์เป็นจริง ซึ่งเป็นสมมติฐานที่ยากเป็นพิเศษในวิชาคณิตศาสตร์ที่ยังไม่ได้รับการพิสูจน์ และมีประโยชน์มากเมื่อพูดถึงจำนวนเฉพาะ อย่างไรก็ตาม หากสมมติฐานของรีมันน์เป็นเท็จ Skuse พบว่าจุดเริ่มต้นของการกระโดดเพิ่มขึ้นเป็น

ปัญหาขนาด

ก่อนที่เราจะไปถึงตัวเลขที่ทำให้แม้แต่ตัวเลข Skewes ดูเล็ก เราต้องคุยกันเรื่องมาตราส่วนสักหน่อย เพราะไม่เช่นนั้น เราจะไม่มีทางประเมินได้ว่าเรากำลังจะไปที่ไหน ก่อนอื่น เรามาลองตัวเลขกันก่อน มันเป็นตัวเลขเล็กๆ น้อยๆ มากจนผู้คนสามารถเข้าใจความหมายได้โดยสัญชาตญาณ มีตัวเลขน้อยมากที่ตรงกับคำอธิบายนี้ เนื่องจากตัวเลขที่มากกว่า 6 จะไม่แยกจากกันและกลายเป็น "หลาย" "หลาย" ฯลฯ

ทีนี้มาใช้เวลากัน นั่นคือ - แม้ว่าจริงๆ แล้วเราไม่สามารถเข้าใจได้โดยสัญชาตญาณ เช่นเดียวกับที่เราทำกับตัวเลข แต่เข้าใจว่ามันคืออะไร มันง่ายมากที่จะจินตนาการว่ามันคืออะไร จนถึงตอนนี้ดีมาก แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราย้ายไป? นี่เท่ากับ หรือ เราไม่สามารถจินตนาการถึงปริมาณนี้ได้มากนัก เช่นเดียวกับปริมาณที่ใหญ่มากอื่นๆ เราสูญเสียความสามารถในการเข้าใจแต่ละส่วนประมาณล้านส่วน (ยอมรับว่าอาจใช้เวลานานมากในการนับสิ่งใดๆ ให้เป็นล้านสิ่งจริงๆ แต่ประเด็นก็คือเรายังคงสามารถรับรู้จำนวนนั้นได้)

อย่างไรก็ตาม แม้ว่าเราจะจินตนาการไม่ออก แต่อย่างน้อยเราก็สามารถเข้าใจในแง่ทั่วไปว่า 7,600 พันล้านดอลลาร์คืออะไร บางทีโดยการเปรียบเทียบกับ GDP ของสหรัฐฯ เราได้ย้ายจากสัญชาตญาณไปสู่การเป็นตัวแทนไปสู่ความเข้าใจที่เรียบง่าย แต่อย่างน้อยเราก็ยังคงมีช่องว่างในการทำความเข้าใจว่าตัวเลขคืออะไร นั่นกำลังจะเปลี่ยนไปเมื่อเราขยับอีกขั้นขึ้นบันได

ในการดำเนินการนี้ เราต้องย้ายไปยังสัญลักษณ์ที่ Donald Knuth แนะนำ หรือที่เรียกว่าสัญลักษณ์ลูกศร สัญกรณ์นี้สามารถเขียนเป็น . เมื่อเราไปแล้วเราจะได้ตัวเลขเป็น นี่เท่ากับจำนวนรวมของสามคือ ขณะนี้เราได้เหนือกว่าตัวเลขอื่นๆ ทั้งหมดที่เราได้พูดถึงไปแล้วอย่างแท้จริง ท้ายที่สุดแล้ว แม้แต่กลุ่มที่ใหญ่ที่สุดก็มีเพียงสามหรือสี่พจน์ในชุดตัวบ่งชี้ ตัวอย่างเช่น แม้แต่หมายเลข super-Skuse ก็ยัง "เท่านั้น" - แม้ว่าทั้งฐานและเลขชี้กำลังจะมีขนาดใหญ่กว่ามาก แต่ก็ยังไม่มีอะไรเลยเมื่อเทียบกับขนาดของหอคอยตัวเลขที่มีสมาชิกนับพันล้านคน .

แน่นอนว่าไม่มีทางที่จะเข้าใจจำนวนมหาศาลเช่นนี้ได้... แต่ถึงกระนั้น กระบวนการที่พวกมันถูกสร้างขึ้นก็ยังสามารถเข้าใจได้ เราไม่สามารถเข้าใจปริมาณที่แท้จริงที่ได้รับจากหอคอยแห่งพลังที่มีแฝดสามพันล้าน แต่โดยพื้นฐานแล้วเราสามารถจินตนาการถึงหอคอยที่มีเงื่อนไขหลายเงื่อนไขได้ และซูเปอร์คอมพิวเตอร์ที่ดีจริงๆ จะสามารถจัดเก็บหอคอยดังกล่าวไว้ในหน่วยความจำได้ แม้ว่าจะ ไม่สามารถคำนวณมูลค่าที่แท้จริงได้

สิ่งนี้กำลังกลายเป็นนามธรรมมากขึ้นเรื่อยๆ แต่จะแย่ลงเท่านั้น คุณอาจคิดว่าหอคอยแห่งองศาที่มีความยาวเลขชี้กำลังเท่ากัน (อันที่จริง ในเวอร์ชันก่อนหน้าของโพสต์นี้ ฉันทำผิดข้อนี้จริงๆ) แต่มันง่ายมาก กล่าวอีกนัยหนึ่ง ลองจินตนาการถึงความสามารถในการคำนวณค่าที่แน่นอนของหอคอยพลังของแฝดสามที่ประกอบด้วยองค์ประกอบต่างๆ จากนั้นคุณก็นำค่านั้นมาสร้างหอคอยใหม่ที่มีจำนวนมากในนั้นเท่ากับ... ที่ให้

ทำซ้ำขั้นตอนนี้กับแต่ละหมายเลขถัดไป ( บันทึกเริ่มจากทางขวา) จนกระทั่งคุณทำครั้ง และสุดท้ายคุณก็จะได้ . นี่เป็นตัวเลขที่มีขนาดใหญ่อย่างไม่น่าเชื่อ แต่อย่างน้อยขั้นตอนในการทำให้ดูเหมือนเข้าใจได้หากคุณทำทุกอย่างช้ามาก เราไม่สามารถเข้าใจตัวเลขหรือจินตนาการถึงขั้นตอนที่ได้รับอีกต่อไป แต่อย่างน้อยเราก็สามารถเข้าใจอัลกอริธึมพื้นฐานได้ในเวลานานพอสมควรเท่านั้น

ทีนี้เรามาเตรียมใจให้ระเบิดจริงๆกันดีกว่า

หมายเลขเกรแฮม (เกรแฮม)

โรนัลด์ เกรแฮม

นี่คือวิธีที่คุณจะได้หมายเลขของ Graham ซึ่งถูกบันทึกลงใน Guinness Book of World Records ว่าเป็นจำนวนที่มากที่สุดเท่าที่เคยใช้ในการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ เป็นไปไม่ได้เลยที่จะจินตนาการว่ามันใหญ่แค่ไหน และยากพอๆ กันที่จะอธิบายว่ามันคืออะไร โดยพื้นฐานแล้ว หมายเลขของ Graham จะปรากฏขึ้นเมื่อต้องรับมือกับไฮเปอร์คิวบ์ ซึ่งเป็นรูปทรงเรขาคณิตทางทฤษฎีที่มีมากกว่าสามมิติ นักคณิตศาสตร์ Ronald Graham (ดูรูป) ต้องการทราบว่าคุณสมบัติบางอย่างของไฮเปอร์คิวบ์จะมีขนาดน้อยที่สุดเท่าใดจึงจะคงตัวได้ (ขออภัยสำหรับคำอธิบายที่คลุมเครือ แต่ฉันแน่ใจว่าเราทุกคนจำเป็นต้องได้รับปริญญาทางคณิตศาสตร์อย่างน้อยสององศาเพื่อให้แม่นยำยิ่งขึ้น)

ไม่ว่าในกรณีใด ตัวเลขเกรแฮมจะเป็นค่าประมาณด้านบนของจำนวนมิติขั้นต่ำนี้ แล้วขอบบนนี่ใหญ่แค่ไหน? กลับไปที่ตัวเลขกันเถอะ มากจนเราสามารถเข้าใจอัลกอริธึมในการรับมันได้อย่างคลุมเครือเท่านั้น ตอนนี้ แทนที่จะกระโดดขึ้นไปอีกระดับหนึ่งเป็น เราจะนับจำนวนที่มีลูกศรอยู่ระหว่างสามตัวแรกและตัวสุดท้าย ตอนนี้เราอยู่ไกลเกินความเข้าใจแม้แต่น้อยว่าตัวเลขนี้คืออะไร หรือแม้แต่สิ่งที่เราต้องทำเพื่อคำนวณมัน

ตอนนี้เรามาทำซ้ำขั้นตอนนี้อีกครั้งหนึ่ง ( บันทึกในแต่ละขั้นตอนถัดไปเราจะเขียนจำนวนลูกศรเท่ากับจำนวนที่ได้รับในขั้นตอนก่อนหน้า)

ท่านสุภาพสตรีและสุภาพบุรุษ นี่คือตัวเลขของเกรแฮม ซึ่งเป็นลำดับความสำคัญที่สูงกว่าความเข้าใจของมนุษย์ มันคือจำนวนที่มากกว่าจำนวนใดๆ ที่คุณสามารถจินตนาการได้—มันมากกว่าค่าอนันต์ใดๆ ที่คุณเคยหวังที่จะจินตนาการ—มันท้าทายแม้แต่คำอธิบายที่เป็นนามธรรมที่สุด

แต่นี่คือสิ่งที่แปลก เนื่องจากโดยพื้นฐานแล้วเลขเกรแฮมเป็นเพียงแฝดสามคูณกัน เราจึงทราบคุณสมบัติบางอย่างของมันโดยไม่ต้องคำนวณจริงๆ เราไม่สามารถแสดงเลขเกรแฮมโดยใช้สัญกรณ์ที่คุ้นเคยได้ แม้ว่าเราจะใช้จักรวาลทั้งหมดเขียนลงไปก็ตาม แต่ฉันสามารถบอกคุณได้ว่าเลขสิบสองหลักสุดท้ายของเลขเกรแฮมในตอนนี้: และนั่นไม่ใช่ทั้งหมด อย่างน้อยเราก็รู้เลขหลักสุดท้ายของเลขเกรแฮม

แน่นอนว่า ควรจำไว้ว่าตัวเลขนี้เป็นเพียงขอบเขตบนของปัญหาเดิมของเกรแฮม ค่อนข้างเป็นไปได้ที่จำนวนการวัดจริงที่จำเป็นเพื่อให้ได้คุณสมบัติที่ต้องการนั้นน้อยกว่ามาก ตามข้อมูลของผู้เชี่ยวชาญส่วนใหญ่ในสาขานี้ เชื่อกันมาตั้งแต่ทศวรรษ 1980 ว่าแท้จริงแล้วมีเพียงหกมิติ ซึ่งเป็นจำนวนที่น้อยมากจนเราสามารถเข้าใจได้โดยสัญชาตญาณ ขอบเขตล่างถูกยกขึ้นเป็น แต่ยังคงมีโอกาสที่ดีที่วิธีแก้ปัญหาของเกรแฮมไม่ได้อยู่ใกล้ตัวเลขที่มีขนาดใหญ่เท่ากับจำนวนของเกรแฮม

ไปสู่ความไม่มีที่สิ้นสุด

แล้วมีจำนวนมากกว่าเลขของเกรแฮมหรือเปล่า? แน่นอนว่าสำหรับผู้เริ่มต้น จะต้องมีหมายเลขเกรแฮมด้วย สำหรับจำนวนนัยสำคัญ... ก็มีบางสาขาคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนอย่างร้ายกาจ (โดยเฉพาะพื้นที่ที่เรียกว่าเชิงคณิตศาสตร์) และวิทยาการคอมพิวเตอร์ซึ่งมีตัวเลขมากกว่าเลขของเกรแฮมด้วยซ้ำ แต่เราเกือบจะถึงขีดจำกัดของสิ่งที่ฉันหวังว่าจะได้รับการอธิบายอย่างมีเหตุผลแล้ว สำหรับผู้ที่โง่เขลาพอที่จะไปไกลกว่านี้ แนะนำให้อ่านเพิ่มเติมโดยยอมรับความเสี่ยงเอง

ตอนนี้เป็นคำพูดที่น่าทึ่งซึ่งมาจาก Douglas Ray ( บันทึกจริงๆ แล้วฟังดูตลกดี:

“ฉันเห็นกลุ่มตัวเลขคลุมเครือที่ซ่อนอยู่ในความมืด ด้านหลังจุดเล็กๆ แห่งแสงสว่างที่เทียนแห่งเหตุผลให้ไว้ พวกเขากระซิบกัน สมรู้ร่วมคิดเกี่ยวกับใครจะรู้อะไร บางทีพวกเขาอาจไม่ชอบเรามากนักที่นึกถึงน้องชายคนเล็กของพวกเขาในใจเรา หรือบางทีพวกเขาก็แค่ใช้ชีวิตหลักเดียว นอกนั้น เกินกว่าความเข้าใจของเรา