ความน่าจะเป็นวัดได้อย่างไร? พื้นฐานของความสมดุลของเกม: การสุ่มและความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่างๆ ที่เกิดขึ้น

• ความน่าจะเป็นคือระดับ (การวัดเชิงสัมพันธ์ การประเมินเชิงปริมาณ) ของความเป็นไปได้ในการเกิดเหตุการณ์บางอย่าง เมื่อสาเหตุของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ที่จะเกิดขึ้นจริงมีมากกว่าเหตุผลที่ตรงกันข้าม เหตุการณ์นี้เรียกว่าเป็นไปได้ ไม่เช่นนั้น - ไม่น่าจะเป็นไปได้หรือไม่น่าจะเป็นไปได้ ความเหนือกว่าของเหตุผลเชิงบวกมากกว่าเหตุผลเชิงลบ และในทางกลับกัน อาจมีระดับที่แตกต่างกัน ซึ่งเป็นผลมาจากความน่าจะเป็น (และความไม่น่าจะเป็นไปได้) อาจมากหรือน้อยก็ได้ ดังนั้น ความน่าจะเป็นจึงมักถูกประเมินในระดับคุณภาพ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในกรณีที่การประเมินเชิงปริมาณที่แม่นยำไม่มากก็น้อยเป็นไปไม่ได้หรือยากมาก สามารถไล่ระดับ "ระดับ" ของความน่าจะเป็นได้หลากหลาย

  การศึกษาความน่าจะเป็นจากมุมมองทางคณิตศาสตร์ถือเป็นวินัยพิเศษ - ทฤษฎีความน่าจะเป็น ในทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์ แนวคิดของความน่าจะเป็นถูกกำหนดให้เป็นลักษณะตัวเลขของเหตุการณ์อย่างเป็นทางการ - การวัดความน่าจะเป็น (หรือมูลค่าของมัน) - การวัดชุดของเหตุการณ์ (ชุดย่อยของชุดของเหตุการณ์เบื้องต้น) การรับค่า ​​จาก

  (\รูปแบบการแสดงผล 0)

  (\displaystyle 1)

  ความหมาย

  (\displaystyle 1)

  สอดคล้องกับเหตุการณ์ที่เชื่อถือได้ เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้มีความน่าจะเป็นเป็น 0 (โดยทั่วไปแล้วการสนทนาจะไม่เป็นจริงเสมอไป) หากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นคือ

  (\displaystyle p)

  แล้วความน่าจะเป็นของการไม่เกิดขึ้นจะเท่ากับ

  (\displaystyle 1-p)

  โดยเฉพาะความน่าจะเป็น

  (\displaystyle 1/2)

  หมายถึงความน่าจะเป็นที่เท่าเทียมกันในการเกิดและการไม่เกิดขึ้นของเหตุการณ์

  คำจำกัดความดั้งเดิมของความน่าจะเป็นขึ้นอยู่กับแนวคิดเรื่องความน่าจะเป็นที่เท่าเทียมกันของผลลัพธ์ ความน่าจะเป็นคืออัตราส่วนของจำนวนผลลัพธ์ที่น่าพอใจ เหตุการณ์นี้เท่ากับจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เท่ากัน ตัวอย่างเช่น ความน่าจะเป็นที่จะได้หัวหรือก้อยในการสุ่มเหรียญคือ 1/2 หากสันนิษฐานว่ามีเพียงความเป็นไปได้สองอย่างนี้เท่านั้นที่เกิดขึ้นและเป็นไปได้เท่ากัน "คำจำกัดความ" แบบคลาสสิกของความน่าจะเป็นนี้สามารถสรุปได้ในกรณีของค่าที่เป็นไปได้จำนวนอนันต์ - ตัวอย่างเช่นหากเหตุการณ์บางอย่างสามารถเกิดขึ้นได้กับ ความน่าจะเป็นที่เท่ากันณ จุดใดจุดหนึ่ง (จำนวนจุดไม่มีที่สิ้นสุด) ของบางจุด พื้นที่จำกัดพื้นที่ (ระนาบ) แล้วความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นในส่วนนี้ พื้นที่ที่ถูกต้องเท่ากับอัตราส่วนของปริมาตร (พื้นที่) ของส่วนนี้ต่อปริมาตร (พื้นที่) ของขอบเขตของจุดที่เป็นไปได้ทั้งหมด

  “คำจำกัดความ” เชิงประจักษ์ของความน่าจะเป็นสัมพันธ์กับความถี่ของการเกิดเหตุการณ์โดยพิจารณาจากข้อเท็จจริงที่ว่าด้วยความเพียงพอ จำนวนมากความถี่ในการทดสอบควรมีแนวโน้มตามระดับวัตถุประสงค์ของความเป็นไปได้ของเหตุการณ์นี้ ในการนำเสนอทฤษฎีความน่าจะเป็นสมัยใหม่ ความน่าจะเป็นถูกกำหนดตามสัจพจน์ เป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีนามธรรมของหน่วยวัดที่กำหนด อย่างไรก็ตาม ความเชื่อมโยงระหว่างการวัดเชิงนามธรรมและความน่าจะเป็นซึ่งแสดงถึงระดับความเป็นไปได้ของการเกิดเหตุการณ์นั้น อยู่ที่ความถี่ของการสังเกตอย่างแม่นยำ

  คำอธิบายความน่าจะเป็นของปรากฏการณ์บางอย่างได้แพร่หลายเข้ามา วิทยาศาสตร์สมัยใหม่โดยเฉพาะอย่างยิ่งในเศรษฐมิติ ฟิสิกส์เชิงสถิติของระบบมหภาค (อุณหพลศาสตร์) ซึ่งแม้แต่ในกรณีของคำอธิบายเชิงกำหนดแบบดั้งเดิมของการเคลื่อนที่ของอนุภาค คำอธิบายเชิงกำหนดของระบบอนุภาคทั้งหมดก็ดูเหมือนจะเป็นไปไม่ได้ในทางปฏิบัติและเหมาะสม ใน ฟิสิกส์ควอนตัมกระบวนการที่อธิบายไว้นั้นมีลักษณะที่น่าจะเป็นไปได้

ทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ศึกษารูปแบบของปรากฏการณ์สุ่ม: เหตุการณ์สุ่ม ตัวแปรสุ่มคุณสมบัติและการดำเนินงานของพวกเขา

เป็นเวลานานทฤษฎีความน่าจะเป็นไม่มีคำจำกัดความที่ชัดเจน จัดทำขึ้นในปี พ.ศ. 2472 เท่านั้น การเกิดขึ้นของทฤษฎีความน่าจะเป็นทางวิทยาศาสตร์ย้อนกลับไปในยุคกลางและเป็นความพยายามครั้งแรกในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ของการพนัน (เกล็ด ลูกเต๋า รูเล็ต) นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสในศตวรรษที่ 17 แบลส ปาสคาล และปิแอร์ แฟร์มาต์ ขณะศึกษาการทำนายการชนะในการพนัน ค้นพบรูปแบบความน่าจะเป็นแรกที่เกิดขึ้นเมื่อขว้างลูกเต๋า

ทฤษฎีความน่าจะเป็นเกิดขึ้นเป็นวิทยาศาสตร์จากความเชื่อที่ว่ารูปแบบบางอย่างรองรับเหตุการณ์สุ่มจำนวนมาก ทฤษฎีความน่าจะเป็นศึกษารูปแบบเหล่านี้

ทฤษฎีความน่าจะเป็นเกี่ยวข้องกับการศึกษาเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นซึ่งไม่ทราบแน่ชัด ช่วยให้คุณสามารถตัดสินระดับความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์บางอย่างเมื่อเปรียบเทียบกับเหตุการณ์อื่น ๆ

ตัวอย่างเช่น ไม่สามารถระบุผลลัพธ์ของ "หัว" หรือ "ก้อย" ได้อย่างแน่ชัดเนื่องจากการโยนเหรียญ แต่เมื่อโยนหลายครั้งผลลัพธ์จะอยู่ที่ประมาณ หมายเลขเดียวกัน“หัว” และ “ก้อย” ซึ่งหมายความว่าความน่าจะเป็นที่จะได้ “หัว” หรือ “ก้อย” คือ 50%

ทดสอบในกรณีนี้เรียกว่าการดำเนินการตามชุดเงื่อนไขบางอย่างนั่นคือใน ในกรณีนี้โยนเหรียญ สามารถเล่น Challenge ได้ไม่จำกัดจำนวนครั้ง ในกรณีนี้ ชุดเงื่อนไขจะรวมถึงปัจจัยสุ่มด้วย

ผลการทดสอบก็คือ เหตุการณ์- เหตุการณ์เกิดขึ้น:

1. เชื่อถือได้ (เกิดขึ้นจากการทดสอบเสมอ)
2. เป็นไปไม่ได้ (ไม่เคยเกิดขึ้น)
3. สุ่ม (อาจเกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้นจากการทดสอบ)

ตัวอย่างเช่น เมื่อโยนเหรียญ เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ - เหรียญจะตกลงบนขอบ เหตุการณ์สุ่ม - ลักษณะของ "หัว" หรือ "ก้อย" เรียกว่าผลการทดสอบเฉพาะ เหตุการณ์เบื้องต้น- จากผลการทดสอบ มีเพียงเหตุการณ์เบื้องต้นเท่านั้นที่เกิดขึ้น ชุดของผลการทดสอบที่เป็นไปได้ แตกต่าง และเฉพาะเจาะจงทั้งหมดเรียกว่า พื้นที่จัดกิจกรรมเบื้องต้น.

แนวคิดพื้นฐานของทฤษฎี

ความน่าจะเป็น- ระดับความเป็นไปได้ของการเกิดเหตุการณ์ เมื่อสาเหตุของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ที่จะเกิดขึ้นจริงมีมากกว่าเหตุผลที่ตรงกันข้าม เหตุการณ์นี้เรียกว่าเป็นไปได้ ไม่เช่นนั้น - ไม่น่าจะเป็นไปได้หรือไม่น่าจะเป็นไปได้

ตัวแปรสุ่ม- นี่คือปริมาณที่สามารถรับค่าใดค่าหนึ่งจากการทดสอบได้ และไม่ทราบล่วงหน้าว่าค่าใด เช่น จำนวนต่อสถานีดับเพลิงต่อวัน จำนวนการเข้าชม 10 นัด เป็นต้น

ตัวแปรสุ่มสามารถแบ่งออกเป็นสองประเภท

1. ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องคือปริมาณที่เป็นผลมาจากการทดสอบสามารถรับค่าบางอย่างด้วยความน่าจะเป็นที่แน่นอนโดยสร้างเซตที่นับได้ (เซตที่สามารถกำหนดหมายเลของค์ประกอบได้) เซตนี้สามารถเป็นได้ทั้งแบบจำกัดหรืออนันต์ ตัวอย่างเช่น จำนวนนัดก่อนการโจมตีครั้งแรกที่เป้าหมายนั้นเป็นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง เนื่องจาก ปริมาณนี้สามารถใช้กับค่าจำนวนอนันต์แม้ว่าจะนับได้ก็ตาม
2. ตัวแปรสุ่มต่อเนื่องคือปริมาณที่สามารถรับค่าใดๆ จากช่วงจำกัดหรือช่วงอนันต์บางช่วงได้ เห็นได้ชัดว่าจำนวนค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องนั้นไม่มีที่สิ้นสุด

พื้นที่ความน่าจะเป็น- แนวคิดที่นำเสนอโดย A.N. Kolmogorov ในช่วงทศวรรษที่ 30 ของศตวรรษที่ 20 ได้สร้างแนวคิดเรื่องความน่าจะเป็นอย่างเป็นทางการ ซึ่งก่อให้เกิดการพัฒนาอย่างรวดเร็วของทฤษฎีความน่าจะเป็นในฐานะระเบียบวินัยทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวด

ปริภูมิความน่าจะเป็นคือสามเท่า (บางครั้งอยู่ในวงเล็บมุม: , โดยที่

นี่คือชุดตามอำเภอใจ องค์ประกอบที่เรียกว่าเหตุการณ์เบื้องต้น ผลลัพธ์ หรือประเด็นต่างๆ
- พีชคณิตซิกมาของเซตย่อยที่เรียกว่าเหตุการณ์ (สุ่ม)
- การวัดความน่าจะเป็นหรือความน่าจะเป็นเช่น การวัดจำกัดแบบเติมซิกมาในลักษณะที่

ทฤษฎีบทเดอมัวฟวร์-ลาปลาซ- หนึ่งในทฤษฎีบทลิมิตของทฤษฎีความน่าจะเป็น ก่อตั้งโดยลาปลาซในปี พ.ศ. 2355 โดยระบุว่าจำนวนความสำเร็จเมื่อทำการทดลองแบบสุ่มซ้ำแล้วซ้ำเล่าโดยให้ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้สองอย่างโดยประมาณนั้นจะมีการแจกแจงแบบปกติโดยประมาณ ช่วยให้คุณค้นหาค่าความน่าจะเป็นโดยประมาณได้

ถ้าสำหรับแต่ละคน การทดสอบอิสระความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์สุ่มจะเกิดขึ้นจะเท่ากับ () และคือจำนวนการทดลองที่เกิดขึ้นจริง จากนั้นความน่าจะเป็นที่อสมการจะเป็นจริงนั้นใกล้เคียง (สำหรับค่ามาก) กับค่าของอินทิกรัลลาปลาซ

ฟังก์ชันการแจกแจงในทฤษฎีความน่าจะเป็น- ฟังก์ชั่นที่แสดงลักษณะการกระจายตัวของตัวแปรสุ่มหรือเวกเตอร์สุ่ม ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่ม X จะได้รับค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ x โดยที่ x คือจำนวนจริงใดๆ หากตรงตามเงื่อนไขที่ทราบ ระบบจะกำหนดตัวแปรสุ่มโดยสมบูรณ์

ความคาดหวัง- ค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม (นี่คือการกระจายความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม ซึ่งพิจารณาในทฤษฎีความน่าจะเป็น) ใน วรรณคดีอังกฤษแสดงโดย , ในภาษารัสเซีย - . ในทางสถิติมักใช้สัญกรณ์

ปล่อยให้มีช่องว่างความน่าจะเป็นและตัวแปรสุ่มที่กำหนดไว้ ตามคำนิยามแล้ว นั่นคือฟังก์ชันที่วัดได้ จากนั้น หากมีอินทิกรัล Lebesgue ของส่วนปริภูมิ จะเรียกว่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์หรือค่าเฉลี่ย และเขียนแทนด้วย

ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม- การวัดการแพร่กระจายของตัวแปรสุ่มที่กำหนด เช่น การเบี่ยงเบนไปจากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ถูกกำหนดไว้ในวรรณคดีรัสเซียและต่างประเทศ ในทางสถิติ สัญกรณ์ หรือ มักใช้ รากที่สองของความแปรปรวนเรียกว่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน หรือสเปรดมาตรฐาน

อนุญาต เป็นตัวแปรสุ่มที่กำหนดบนพื้นที่ความน่าจะเป็น แล้ว

โดยที่สัญลักษณ์แสดงถึงความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

ในทฤษฎีความน่าจะเป็น จะมีการเรียกเหตุการณ์สุ่มสองเหตุการณ์ เป็นอิสระหากการเกิดขึ้นของสิ่งหนึ่งไม่เปลี่ยนความน่าจะเป็นของการเกิดขึ้นของอีกสิ่งหนึ่ง ในทำนองเดียวกัน มีการเรียกตัวแปรสุ่มสองตัว ขึ้นอยู่กับหากค่าของค่าใดค่าหนึ่งส่งผลต่อความน่าจะเป็นของค่าของค่าอื่น

รูปแบบกฎหมายที่ง่ายที่สุด จำนวนมาก- นี่คือทฤษฎีบทของเบอร์นูลลี ซึ่งระบุว่าหากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งๆ เท่ากันในการทดลองทั้งหมด เมื่อจำนวนการทดลองเพิ่มขึ้น ความถี่ของเหตุการณ์นั้นก็จะมีแนวโน้มไปสู่ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นั้นและสิ้นสุดการสุ่ม

กฎของจำนวนจำนวนมากในทฤษฎีความน่าจะเป็นระบุว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของกลุ่มตัวอย่างที่มีขอบเขตจำกัดจากการแจกแจงคงที่นั้นใกล้เคียงกับค่าเฉลี่ยทางทฤษฎีของการแจกแจงนั้น ขึ้นอยู่กับประเภทของการลู่เข้า ความแตกต่างเกิดขึ้นระหว่างกฎอ่อนของจำนวนจำนวนมาก เมื่อการลู่เข้าเกิดขึ้นตามความน่าจะเป็น กับกฎแรงค์ของจำนวนมาก เมื่อการลู่เข้าเกือบจะแน่นอน

ความหมายทั่วไปของกฎจำนวนมากก็คือ การกระทำร่วมกันของปัจจัยสุ่มที่เหมือนกันและเป็นอิสระจำนวนมาก นำไปสู่ผลลัพธ์ที่ไม่ขึ้นอยู่กับโอกาสในขีดจำกัด

วิธีการประมาณค่าความน่าจะเป็นโดยอาศัยการวิเคราะห์ตัวอย่างที่มีขอบเขตจำกัดจะขึ้นอยู่กับคุณสมบัตินี้ ตัวอย่างที่ชัดเจนคือการพยากรณ์ผลการเลือกตั้งโดยอาศัยการสำรวจกลุ่มตัวอย่างผู้มีสิทธิเลือกตั้ง

ทฤษฎีบทขีดจำกัดกลาง- คลาสของทฤษฎีบทในทฤษฎีความน่าจะเป็นที่ระบุว่าผลรวมของตัวแปรสุ่มขึ้นอยู่กับค่าเล็กน้อยจำนวนมากเพียงพอซึ่งมีสเกลเท่ากันโดยประมาณ (ไม่มีคำศัพท์ใดครอบงำหรือมีส่วนช่วยกำหนดผลรวม) มีการกระจายใกล้เคียงกับปกติ

เนื่องจากตัวแปรสุ่มจำนวนมากในการใช้งานเกิดขึ้นภายใต้อิทธิพลของปัจจัยสุ่มที่ขึ้นอยู่กับระดับอ่อนหลายตัว การกระจายตัวของตัวแปรเหล่านี้จึงถือว่าเป็นเรื่องปกติ ในกรณีนี้ต้องเป็นไปตามเงื่อนไขว่าไม่มีปัจจัยใดที่โดดเด่น ทฤษฎีบทขีดจำกัดศูนย์กลางในกรณีเหล่านี้ใช้เหตุผลในการแจกแจงแบบปกติได้

“อุบัติเหตุไม่ใช่เรื่องบังเอิญ”...ฟังดูเหมือนนักปราชญ์เคยกล่าวไว้ แต่จริงๆ แล้วการศึกษาเรื่องอุบัติเหตุคือโชคชะตา วิทยาศาสตร์ที่ยอดเยี่ยมคณิตศาสตร์. ในทางคณิตศาสตร์ โอกาสถูกจัดการโดยทฤษฎีความน่าจะเป็น สูตรและตัวอย่างของงานตลอดจนคำจำกัดความพื้นฐานของวิทยาศาสตร์นี้จะนำเสนอในบทความ

ทฤษฎีความน่าจะเป็นคืออะไร?

ทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นหนึ่งในสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่ศึกษาเหตุการณ์สุ่ม

เพื่อให้ชัดเจนขึ้นอีกหน่อยก็ให้ครับ ตัวอย่างเล็ก ๆ: หากคุณพลิกเหรียญขึ้น เหรียญอาจตกลงบนหัวหรือก้อยได้ ในขณะที่เหรียญลอยอยู่ในอากาศ ความน่าจะเป็นทั้งสองนี้ก็เป็นไปได้ นั่นคือ ความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่อาจเกิดขึ้นคือ 1:1 หากจั่วไพ่หนึ่งสำรับที่มีไพ่ 36 ใบ ความน่าจะเป็นจะแสดงเป็น 1:36 ดูเหมือนว่าจะไม่มีอะไรให้สำรวจและทำนายที่นี่ โดยเฉพาะอย่างยิ่งด้วยความช่วยเหลือของสูตรทางคณิตศาสตร์ อย่างไรก็ตาม หากคุณทำซ้ำการกระทำบางอย่างหลายครั้ง คุณจะสามารถระบุรูปแบบบางอย่าง และคาดการณ์ผลลัพธ์ของเหตุการณ์ในเงื่อนไขอื่นๆ ตามรูปแบบนั้นได้

เพื่อสรุปทั้งหมดข้างต้น ทฤษฎีความน่าจะเป็นในความหมายคลาสสิกเป็นการศึกษาความเป็นไปได้ของการเกิดเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งที่เป็นไปได้ในค่าตัวเลข

จากหน้าประวัติศาสตร์

ทฤษฎีความน่าจะเป็น สูตร และตัวอย่างของงานแรกปรากฏในยุคกลางอันห่างไกล เมื่อความพยายามที่จะทำนายผลลัพธ์ของเกมไพ่เกิดขึ้นครั้งแรก

ในตอนแรก ทฤษฎีความน่าจะเป็นไม่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์เลย ได้รับการพิสูจน์ด้วยข้อเท็จจริงเชิงประจักษ์หรือคุณสมบัติของเหตุการณ์ที่สามารถทำซ้ำได้ในทางปฏิบัติ ผลงานชิ้นแรกในด้านนี้ในฐานะวินัยทางคณิตศาสตร์ปรากฏในศตวรรษที่ 17 ผู้ก่อตั้งคือ เบลส ปาสคาล และปิแอร์ แฟร์มาต์ เวลานานพวกเขาเรียน การพนันและได้เห็นรูปแบบบางอย่างที่พวกเขาตัดสินใจบอกต่อสาธารณชน

เทคนิคเดียวกันนี้คิดค้นโดย Christiaan Huygens แม้ว่าเขาจะไม่คุ้นเคยกับผลการวิจัยของ Pascal และ Fermat ก็ตาม เขาแนะนำแนวคิดของ "ทฤษฎีความน่าจะเป็น" สูตรและตัวอย่างซึ่งถือเป็นสิ่งแรกในประวัติศาสตร์ของระเบียบวินัย

ผลงานของจาค็อบ แบร์นูลลี ทฤษฎีบทของลาปลาซ และปัวซองก็มีความสำคัญไม่น้อยเช่นกัน พวกเขาทำให้ทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นเหมือนวินัยทางคณิตศาสตร์มากขึ้น ทฤษฎีความน่าจะเป็น สูตร และตัวอย่างของงานพื้นฐานได้รับรูปแบบปัจจุบันด้วยสัจพจน์ของ Kolmogorov จากการเปลี่ยนแปลงทั้งหมด ทฤษฎีความน่าจะเป็นจึงกลายเป็นหนึ่งในสาขาทางคณิตศาสตร์

แนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็น กิจกรรม

แนวคิดหลักของระเบียบวินัยนี้คือ "เหตุการณ์" เหตุการณ์มีสามประเภท:

• เชื่อถือได้.สิ่งที่จะเกิดขึ้นต่อไป(เหรียญจะตก)
• เป็นไปไม่ได้.เหตุการณ์ที่จะไม่เกิดขึ้นไม่ว่าในกรณีใด ๆ (เหรียญจะยังคงลอยอยู่ในอากาศ)
• สุ่มที่จะเกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้น ปัจจัยเหล่านี้อาจได้รับอิทธิพลจากปัจจัยต่างๆ ที่คาดเดาได้ยากมาก ถ้าเราพูดถึงเหรียญ มันก็มีปัจจัยสุ่มที่อาจส่งผลต่อผลลัพธ์ได้ เช่น ลักษณะทางกายภาพของเหรียญ รูปร่างของมัน ตำแหน่งเดิม แรงโยน ฯลฯ

เหตุการณ์ทั้งหมดในตัวอย่างจะระบุด้วยตัวพิมพ์ใหญ่ ในตัวอักษรละตินยกเว้น P ซึ่งมีบทบาทที่แตกต่างกัน ตัวอย่างเช่น:

• A = “นักศึกษามาบรรยาย”
• Ā = “นักศึกษาไม่ได้มาบรรยาย”

ในงานภาคปฏิบัติ มักจะเขียนเหตุการณ์ต่างๆ ไว้เป็นคำพูด

หนึ่งใน ลักษณะที่สำคัญที่สุดเหตุการณ์ - ความเป็นไปได้ที่เท่าเทียมกัน นั่นคือ หากคุณโยนเหรียญ รูปแบบการล้มครั้งแรกทั้งหมดจะเป็นไปได้จนกว่าเหรียญจะตกลง แต่เหตุการณ์ต่างๆ ก็ไม่สามารถทำได้เท่ากัน สิ่งนี้เกิดขึ้นเมื่อมีคนจงใจมีอิทธิพลต่อผลลัพธ์ เช่น "ติดป้ายกำกับ" เล่นไพ่หรือลูกเต๋าที่มีการเลื่อนจุดศูนย์ถ่วง

เหตุการณ์ยังสามารถเข้ากันได้และเข้ากันไม่ได้ เหตุการณ์ที่เข้ากันได้ไม่แยกการเกิดขึ้นของกันและกัน ตัวอย่างเช่น:

• A = “นักเรียนมาบรรยาย”
• B = “นักเรียนมาบรรยาย”

เหตุการณ์เหล่านี้เป็นอิสระจากกัน และการเกิดขึ้นของเหตุการณ์หนึ่งจะไม่ส่งผลกระทบต่อการเกิดขึ้นของอีกเหตุการณ์หนึ่ง เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ถูกกำหนดโดยข้อเท็จจริงที่ว่าการเกิดขึ้นของเหตุการณ์หนึ่งไม่รวมการเกิดขึ้นของอีกเหตุการณ์หนึ่ง หากเราพูดถึงเหรียญเดียวกัน การสูญเสีย "ก้อย" ทำให้เป็นไปไม่ได้ที่จะมี "หัว" ในการทดลองเดียวกัน

การดำเนินการกับเหตุการณ์

เหตุการณ์สามารถคูณและเพิ่มได้ ดังนั้น การเชื่อมโยงเชิงตรรกะ “AND” และ “OR” จึงถูกนำมาใช้ในระเบียบวินัย

จำนวนเงินถูกกำหนดโดยข้อเท็จจริงที่ว่าเหตุการณ์ A หรือ B หรือสองเหตุการณ์สามารถเกิดขึ้นพร้อมกันได้ ในกรณีที่เข้ากันไม่ได้ ตัวเลือกสุดท้ายเป็นไปไม่ได้ ทั้ง A หรือ B จะถูกทอย

การคูณเหตุการณ์ประกอบด้วยการปรากฏตัวของ A และ B ในเวลาเดียวกัน

ตอนนี้เราสามารถยกตัวอย่างได้หลายตัวอย่างเพื่อจดจำพื้นฐาน ทฤษฎีความน่าจะเป็น และสูตรได้ดียิ่งขึ้น ตัวอย่างการแก้ปัญหาด้านล่าง

ภารกิจที่ 1: บริษัทเข้าร่วมการแข่งขันเพื่อรับสัญญาจ้างงาน 3 ประเภท เหตุการณ์ที่อาจเกิดขึ้น:

• A = “บริษัทจะได้รับสัญญาฉบับแรก”
• A 1 = “บริษัทจะไม่ได้รับสัญญาฉบับแรก”
• B = “บริษัทจะได้รับสัญญาฉบับที่สอง”
• B 1 = “บริษัทจะไม่ได้รับสัญญาฉบับที่สอง”
• C = “บริษัทจะได้รับสัญญาฉบับที่สาม”
• C 1 = “บริษัทจะไม่ได้รับสัญญาฉบับที่สาม”

เราจะพยายามแสดงสถานการณ์ต่อไปนี้โดยใช้การดำเนินการกับเหตุการณ์:

• K = “บริษัทจะได้รับสัญญาทั้งหมด”

ในรูปแบบทางคณิตศาสตร์ สมการจะมีรูปแบบดังนี้ K = ABC

• M = “บริษัทจะไม่ได้รับสัญญาฉบับเดียว”

ม = ก 1 ข 1 ค 1

มาทำให้งานซับซ้อนขึ้น: H = “บริษัทจะได้รับสัญญาหนึ่งฉบับ” เนื่องจากไม่ทราบว่าบริษัทจะได้รับสัญญาใด (ฉบับที่หนึ่ง ที่สอง หรือสาม) จึงจำเป็นต้องบันทึกเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด:

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

และ 1 BC 1 เป็นเหตุการณ์ต่อเนื่องกันที่บริษัทไม่ได้รับสัญญาฉบับแรกและฉบับที่สาม แต่ได้รับสัญญาฉบับที่สอง เหตุการณ์ที่เป็นไปได้อื่นๆ ได้รับการบันทึกโดยใช้วิธีการที่เหมาะสม สัญลักษณ์ υ ในวินัยหมายถึงการเชื่อมโยง “หรือ” หากเราแปลตัวอย่างข้างต้นเป็นภาษามนุษย์ บริษัทจะได้รับสัญญาฉบับที่สาม หรือสัญญาฉบับที่สอง หรือสัญญาฉบับแรก เช่นเดียวกันคุณสามารถเขียนเงื่อนไขอื่นๆ ลงในระเบียบวินัย “ทฤษฎีความน่าจะเป็น” สูตรและตัวอย่างการแก้ปัญหาที่นำเสนอข้างต้นจะช่วยให้คุณทำสิ่งนี้ได้ด้วยตัวเอง

จริงๆแล้วความน่าจะเป็น

บางที ในสาขาวิชาคณิตศาสตร์นี้ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อาจเป็นได้ แนวคิดกลาง- ความน่าจะเป็นมี 3 คำจำกัดความ:

• คลาสสิค;
• เชิงสถิติ;
• เรขาคณิต

แต่ละคนมีสถานที่ในการศึกษาความน่าจะเป็น ทฤษฎีความน่าจะเป็น สูตร และตัวอย่าง (เกรด 9) ใช้เป็นหลัก คำจำกัดความแบบคลาสสิกซึ่งฟังดูเหมือนนี้:

• ความน่าจะเป็นของสถานการณ์ A เท่ากับอัตราส่วนของจำนวนผลลัพธ์ที่สนับสนุนให้สถานการณ์ A เกิดขึ้นกับจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด

สูตรมีลักษณะดังนี้: P(A)=m/n

A จริงๆ แล้วเป็นเหตุการณ์ หากปรากฏกรณีที่ตรงข้ามกับ A สามารถเขียนเป็น Ā หรือ A 1 ได้

m คือจำนวนกรณีที่เป็นไปได้ที่เป็นไปได้

n - เหตุการณ์ทั้งหมดที่สามารถเกิดขึ้นได้

เช่น A = “จั่วไพ่ชุดหัวใจ” ในสำรับมาตรฐานมีไพ่ 36 ใบ โดย 9 ใบเป็นไพ่หัวใจ ดังนั้นสูตรการแก้ปัญหาจะมีลักษณะดังนี้:

P(ก)=9/36=0.25.

ส่งผลให้ความน่าจะเป็นที่จะจั่วไพ่ชุดฮาร์ทสูทออกจากสำรับจะเป็น 0.25

ไปสู่คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น

ตอนนี้เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าทฤษฎีความน่าจะเป็นคืออะไร สูตรและตัวอย่างการแก้ปัญหาที่พบเจอ หลักสูตรของโรงเรียน- อย่างไรก็ตาม ทฤษฎีความน่าจะเป็นยังพบได้ในคณิตศาสตร์ระดับอุดมศึกษาซึ่งมีการสอนในมหาวิทยาลัยอีกด้วย ส่วนใหญ่มักใช้คำจำกัดความทางเรขาคณิตและสถิติของทฤษฎีและสูตรที่ซับซ้อน

ทฤษฎีความน่าจะเป็นน่าสนใจมาก สูตรและตัวอย่าง ( คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น) เป็นการดีกว่าที่จะเริ่มศึกษาเรื่องเล็กๆ - ด้วยคำจำกัดความทางสถิติ (หรือความถี่) ของความน่าจะเป็น

วิธีการทางสถิติไม่ได้ขัดแย้งกับวิธีดั้งเดิม แต่จะขยายออกไปเล็กน้อย หากในกรณีแรกจำเป็นต้องพิจารณาว่าเหตุการณ์จะเกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็นเท่าใด ในกรณีนี้ จำเป็นต้องระบุว่าเหตุการณ์จะเกิดขึ้นบ่อยแค่ไหน ต่อไปนี้เป็นแนวคิดใหม่เกี่ยวกับ "ความถี่สัมพัทธ์" ซึ่งสามารถเขียนแทนด้วย W n (A) สูตรไม่แตกต่างจากสูตรคลาสสิก:

ถ้า สูตรคลาสสิคคำนวณเพื่อการทำนายตามด้วยสถิติ - ตามผลการทดลอง เรามาทำงานเล็กๆ น้อยๆ กัน

แผนกควบคุมเทคโนโลยีตรวจสอบคุณภาพผลิตภัณฑ์ จากผลิตภัณฑ์ 100 รายการ พบว่า 3 รายการมีคุณภาพไม่ดี จะหาความน่าจะเป็นความถี่ของผลิตภัณฑ์ที่มีคุณภาพได้อย่างไร?

A = “รูปลักษณ์ของผลิตภัณฑ์ที่มีคุณภาพ”

W n (A)=97/100=0.97

ดังนั้นความถี่ของผลิตภัณฑ์ที่มีคุณภาพคือ 0.97 97 เอามาจากไหน? จากการตรวจสอบผลิตภัณฑ์ 100 รายการ พบว่า 3 รายการมีคุณภาพไม่ดี เราลบ 3 จาก 100 แล้วได้ 97 นี่คือจำนวนสินค้าที่มีคุณภาพ

เล็กน้อยเกี่ยวกับการผสมผสาน

ทฤษฎีความน่าจะเป็นอีกวิธีหนึ่งเรียกว่าเชิงร่วม หลักการพื้นฐานของมันคือว่าหากสามารถเลือก A บางอย่างได้ m ในรูปแบบที่แตกต่างกันและการเลือก B มี n วิธีที่แตกต่างกัน ดังนั้นการเลือก A และ B สามารถทำได้โดยการคูณ

เช่น มีถนน 5 สายที่ทอดจากเมือง A ไปยังเมือง B จากเมือง B ไปยังเมือง C มี 4 เส้นทาง คุณสามารถเดินทางจากเมือง A ไปยังเมือง C ได้กี่วิธี?

ง่ายมาก: 5x4=20 นั่นคือจากจุด A ไปยังจุด C ได้ด้วยวิธีต่างๆ 20 วิธี

มาทำให้งานซับซ้อนขึ้น มีกี่วิธีในการวางไพ่ในเกมโซลิแทร์? ในสำรับมีไพ่ 36 ใบ - นี่คือจุดเริ่มต้น หากต้องการทราบจำนวนวิธี คุณต้อง "ลบ" ไพ่ทีละใบจากจุดเริ่มต้นแล้วคูณ

นั่นคือ 36x35x34x33x32...x2x1= ผลลัพธ์ไม่พอดีกับหน้าจอเครื่องคิดเลข จึงสามารถกำหนดเป็น 36! ได้ เข้าสู่ระบบ "!" ถัดจากตัวเลขแสดงว่าชุดตัวเลขทั้งหมดคูณกัน

ในวิชาเชิงผสมมีแนวคิดต่างๆ เช่น การเรียงสับเปลี่ยน ตำแหน่ง และการรวมกัน แต่ละคนมีสูตรของตัวเอง

ชุดองค์ประกอบที่ได้รับการจัดลำดับของชุดเรียกว่าการจัดเตรียม ตำแหน่งสามารถทำซ้ำได้นั่นคือองค์ประกอบเดียวสามารถใช้ได้หลายครั้ง และไม่มีการซ้ำซ้อนเมื่อธาตุไม่เกิดซ้ำ n คือองค์ประกอบทั้งหมด m คือองค์ประกอบที่มีส่วนร่วมในตำแหน่ง สูตรการจัดวางโดยไม่ซ้ำกันจะมีลักษณะดังนี้:

n ม = n!/(n-m)!

การเชื่อมต่อขององค์ประกอบ n ที่แตกต่างกันตามลำดับตำแหน่งเท่านั้นเรียกว่าการเรียงสับเปลี่ยน ในทางคณิตศาสตร์ดูเหมือนว่า: P n = n!

ผลรวมขององค์ประกอบ n ของ m คือสารประกอบเหล่านั้น โดยที่สิ่งสำคัญคือองค์ประกอบเหล่านี้เป็นองค์ประกอบอะไร และจำนวนรวมเป็นเท่าใด สูตรจะมีลักษณะดังนี้:

A n m = n!/m! (n-m)!

สูตรของเบอร์นูลลี

ในทฤษฎีความน่าจะเป็น เช่นเดียวกับในทุกสาขาวิชา มีผลงานของนักวิจัยที่โดดเด่นในสาขาของตนที่นำเรื่องนี้มาสู่ ระดับใหม่- ผลงานชิ้นหนึ่งคือสูตรเบอร์นูลลี ซึ่งช่วยให้คุณระบุความน่าจะเป็นของเหตุการณ์บางอย่างที่เกิดขึ้นภายใต้เงื่อนไขที่เป็นอิสระ สิ่งนี้ชี้ให้เห็นว่าการเกิดขึ้นของ A ในการทดลองไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้นของเหตุการณ์เดียวกันในการทดลองครั้งก่อนหรือครั้งต่อๆ ไป

สมการของเบอร์นูลลี:

P n (m) = C n m × p m × q n-m

ความน่าจะเป็น (p) ของการเกิดเหตุการณ์ (A) จะคงที่สำหรับการทดลองแต่ละครั้ง ความน่าจะเป็นที่สถานการณ์จะเกิดขึ้นอย่างแน่นอน m ครั้งในการทดลองจำนวน n ครั้งจะคำนวณโดยสูตรที่นำเสนอข้างต้น ดังนั้นจึงมีคำถามเกิดขึ้นว่าจะหาจำนวน q ได้อย่างไร

ถ้าเหตุการณ์ A เกิดขึ้น p จำนวนครั้ง อาจไม่เกิดขึ้นเลย หน่วยคือตัวเลขที่ใช้เพื่อกำหนดผลลัพธ์ทั้งหมดของสถานการณ์ในระเบียบวินัย ดังนั้น q คือตัวเลขที่แสดงถึงความเป็นไปได้ที่เหตุการณ์จะไม่เกิดขึ้น

ตอนนี้คุณรู้สูตรของเบอร์นูลลีแล้ว (ทฤษฎีความน่าจะเป็น) เราจะพิจารณาตัวอย่างการแก้ปัญหา (ระดับแรก) ด้านล่าง

ภารกิจที่ 2:ผู้เยี่ยมชมร้านค้าจะซื้อสินค้าด้วยความน่าจะเป็น 0.2 ผู้เยี่ยมชม 6 คนเข้าร้านอย่างอิสระ โอกาสที่ผู้เข้าชมจะซื้อคืออะไร?

วิธีแก้ไข: เนื่องจากไม่ทราบว่ามีผู้เข้าชมกี่คนที่ควรซื้อสินค้า หนึ่งหรือทั้งหมดหกคน จึงจำเป็นต้องคำนวณทั้งหมด ความน่าจะเป็นที่เป็นไปได้โดยใช้สูตรของเบอร์นูลลี

A = “ผู้เข้าชมจะทำการซื้อ”

ในกรณีนี้: p = 0.2 (ตามที่ระบุในงาน) ดังนั้น q=1-0.2 = 0.8

n = 6 (เนื่องจากมีลูกค้าในร้าน 6 คน) ตัวเลข m จะแตกต่างจาก 0 (ไม่ใช่ลูกค้ารายเดียวที่จะซื้อสินค้า) ถึง 6 (ผู้เข้าชมร้านค้าทั้งหมดจะซื้อบางสิ่งบางอย่าง) เป็นผลให้เราได้รับวิธีแก้ปัญหา:

P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 ×q 6 =q 6 = (0.8) 6 = 0.2621

ไม่มีผู้ซื้อรายใดจะทำการซื้อด้วยความน่าจะเป็น 0.2621

สูตรของเบอร์นูลลี (ทฤษฎีความน่าจะเป็น) ใช้อย่างอื่นอย่างไร? ตัวอย่างการแก้ปัญหา (ระดับที่สอง) ด้านล่าง

หลังจากตัวอย่างข้างต้น คำถามก็เกิดขึ้นว่า C และ r ไปอยู่ที่ไหน สัมพันธ์กับ p ตัวเลขยกกำลัง 0 จะเท่ากับ 1 สำหรับ C สามารถพบได้โดยสูตร:

ค n ม = n! /ม!(น-ม)!

เนื่องจากในตัวอย่างแรก m = 0 ตามลำดับ C = 1 ซึ่งโดยหลักการแล้วไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์ โดยใช้ สูตรใหม่ลองหาว่าความน่าจะเป็นที่ผู้เข้าชมสองคนจะซื้อสินค้าเป็นเท่าใด

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0.2) 2 × ( 0.8) 4 = 15 × 0.04 × 0.4096 = 0.246

ทฤษฎีความน่าจะเป็นไม่ได้ซับซ้อนขนาดนั้น สูตรของเบอร์นูลลี ซึ่งเป็นตัวอย่างที่นำเสนอข้างต้น ถือเป็นข้อพิสูจน์โดยตรงในเรื่องนี้

สูตรของปัวซอง

สมการปัวซองใช้ในการคำนวณสถานการณ์สุ่มความน่าจะเป็นต่ำ

สูตรพื้นฐาน:

Pn (m)=แลม m /m! × อี (-แล) .

ในกรณีนี้ แล = n x p นี่คือสูตรปัวซองง่ายๆ (ทฤษฎีความน่าจะเป็น) เราจะพิจารณาตัวอย่างการแก้ปัญหาด้านล่าง

ภารกิจที่ 3: โรงงานผลิตชิ้นส่วนได้ 100,000 ชิ้น การเกิดขึ้นของชิ้นส่วนที่ชำรุด = 0.0001 ความน่าจะเป็นที่จะมีชิ้นส่วนชำรุด 5 ชิ้นในหนึ่งชุดเป็นเท่าใด

อย่างที่คุณเห็นการแต่งงานยังไม่เพียงพอ เหตุการณ์ที่เป็นไปได้ดังนั้นจึงใช้สูตรปัวซอง (ทฤษฎีความน่าจะเป็น) ในการคำนวณ ตัวอย่างของการแก้ปัญหาประเภทนี้ไม่แตกต่างจากงานอื่น ๆ ในระเบียบวินัย เราแทนที่ข้อมูลที่จำเป็นลงในสูตรที่กำหนด:

A = “ชิ้นส่วนที่เลือกแบบสุ่มจะมีข้อบกพร่อง”

p = 0.0001 (ตามเงื่อนไขงาน)

n = 100,000 (จำนวนชิ้นส่วน)

m = 5 (ชิ้นส่วนชำรุด) เราแทนที่ข้อมูลลงในสูตรและรับ:

100,000 แรนด์ (5) = 10 5/5! X อี -10 = 0.0375

เช่นเดียวกับสูตรเบอร์นูลลี (ทฤษฎีความน่าจะเป็น) ตัวอย่างของการแก้ปัญหาที่เขียนไว้ข้างต้น สมการปัวซองมี e ที่ไม่รู้จัก จริงๆ แล้วสามารถหาได้จากสูตร:

e -แล = lim n ->∞ (1-แล/n) n

อย่างไรก็ตาม มีตารางพิเศษที่มีค่า e เกือบทั้งหมด

ทฤษฎีบทเดอมัวฟวร์-ลาปลาซ

ถ้าในโครงการแบร์นูลี จำนวนการทดลองมีมากเพียงพอ และความน่าจะเป็นที่จะเกิดเหตุการณ์ A ในทุกแผนภาพเท่ากัน ความน่าจะเป็นที่จะเกิดเหตุการณ์ A จำนวนครั้งในชุดการทดสอบสามารถหาได้จาก สูตรของลาปลาซ:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m)

X m = m-np/√npq

เพื่อให้จำสูตรของ Laplace ได้ดีขึ้น (ทฤษฎีความน่าจะเป็น) ด้านล่างนี้เป็นตัวอย่างของปัญหาเพื่อช่วย

ขั้นแรก หา X m แทนที่ข้อมูล (ทั้งหมดอยู่ในรายการด้านบน) ลงในสูตรแล้วได้ 0.025 เมื่อใช้ตาราง เราจะพบตัวเลข ϕ(0.025) ซึ่งมีค่าเท่ากับ 0.3988 ตอนนี้คุณสามารถแทนที่ข้อมูลทั้งหมดลงในสูตรได้:

P 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0.3988 = 3/40 x 0.3988 = 0.03

ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่นักบินจะทำงานได้ 267 ครั้งพอดีคือ 0.03

สูตรเบย์

สูตรเบย์ (ทฤษฎีความน่าจะเป็น) ตัวอย่างของการแก้ปัญหาโดยได้รับความช่วยเหลือดังที่แสดงด้านล่างนี้ คือสมการที่อธิบายความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตามสถานการณ์ที่อาจเกี่ยวข้องกับเหตุการณ์นั้น สูตรพื้นฐานมีดังนี้:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B)

A และ B เป็นเหตุการณ์ที่แน่นอน

P(A|B) คือความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข กล่าวคือ เหตุการณ์ A สามารถเกิดขึ้นได้ โดยมีเงื่อนไขว่าเหตุการณ์ B เป็นจริง

P (B|A) - ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ B

ดังนั้นส่วนสุดท้ายของหลักสูตรระยะสั้น "ทฤษฎีความน่าจะเป็น" คือสูตรเบย์ ตัวอย่างวิธีแก้ปัญหาอยู่ด้านล่างนี้

ภารกิจที่ 5: โทรศัพท์จากสามบริษัทถูกนำมาที่โกดัง ในขณะเดียวกันส่วนแบ่งของโทรศัพท์ที่ผลิตในโรงงานแห่งแรกคือ 25% ที่โรงงานที่สอง - 60% และโรงงานที่สาม - 15% เป็นที่ทราบกันดีว่าเปอร์เซ็นต์เฉลี่ยของผลิตภัณฑ์ที่มีข้อบกพร่องในโรงงานแห่งแรกคือ 2% ที่โรงงานที่สอง - 4% และที่โรงงานที่สาม - 1% คุณต้องค้นหาความน่าจะเป็นที่โทรศัพท์ที่เลือกแบบสุ่มจะชำรุด

A = “โทรศัพท์ที่สุ่มเลือก”

B 1 - โทรศัพท์ที่ผลิตจากโรงงานแห่งแรก ดังนั้นข้อมูลเบื้องต้น B 2 และ B 3 จะปรากฏขึ้น (สำหรับโรงงานแห่งที่สองและสาม)

เป็นผลให้เราได้รับ:

พี (B 1) = 25%/100% = 0.25; พี(ข 2) = 0.6; P (B 3) = 0.15 - ดังนั้นเราจึงพบความน่าจะเป็นของแต่ละตัวเลือก

ตอนนี้เราต้องค้นหา ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขเหตุการณ์ที่ต้องการ นั่นคือ ความน่าจะเป็นของผลิตภัณฑ์ที่มีข้อบกพร่องในบริษัท:

P (A/B 1) = 2%/100% = 0.02;

P(A/B 2) = 0.04;

พี (A/B 3) = 0.01

ตอนนี้เรามาแทนที่ข้อมูลลงในสูตร Bayes และรับ:

P (A) = 0.25 x 0.2 + 0.6 x 0.4 + 0.15 x 0.01 = 0.0305

บทความนี้นำเสนอทฤษฎีความน่าจะเป็น สูตร และตัวอย่างการแก้ปัญหา แต่นี่เป็นเพียงส่วนเล็กๆ ของระเบียบวินัยอันกว้างใหญ่เท่านั้น และหลังจากทุกสิ่งที่เขียนไปแล้ว มันก็สมเหตุสมผลที่จะถามคำถามว่าทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นสิ่งจำเป็นในชีวิตหรือไม่ ถึงคนทั่วไปตอบยากครับ ถามคนเคยใช้ถูกแจ็กพอตมากกว่าหนึ่งครั้งดีกว่า

ความน่าจะเป็นเหตุการณ์ คืออัตราส่วนของจำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นประโยชน์ต่อเหตุการณ์หนึ่งๆ ต่อจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เท่าเทียมกันทั้งหมดของประสบการณ์ที่เหตุการณ์นี้อาจปรากฏขึ้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A เขียนแทนด้วย P(A) (โดยที่ P คืออักษรตัวแรก คำภาษาฝรั่งเศสความน่าจะเป็น - ความน่าจะเป็น) ตามคำนิยาม
(1.2.1)
โดยที่จำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นประโยชน์ต่อเหตุการณ์ A คือ - จำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้เท่าเทียมกันของการทดลองที่กำลังก่อตัว เต็มกลุ่มเหตุการณ์ต่างๆ
คำจำกัดความของความน่าจะเป็นนี้เรียกว่าคลาสสิก มันเกิดขึ้นเมื่อวันที่ ระยะเริ่มแรกการพัฒนาทฤษฎีความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:
1. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เชื่อถือได้มีค่าเท่ากับหนึ่ง ให้เราแสดงเหตุการณ์ที่เชื่อถือได้ด้วยตัวอักษร . สำหรับเหตุการณ์บางอย่างดังนั้น
(1.2.2)
2. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้คือศูนย์ ให้เราแสดงเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ด้วยตัวอักษร สำหรับเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ดังนั้น
(1.2.3)
3. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่มจะแสดงออกมา จำนวนบวกน้อยกว่าหนึ่ง เนื่องจากสำหรับเหตุการณ์สุ่มความไม่เท่าเทียมกัน หรือ เป็นที่พอใจแล้ว
(1.2.4)
4. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆ เป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน
(1.2.5)
ตามมาจากความสัมพันธ์ (1.2.2) - (1.2.4)

ตัวอย่างที่ 1โกศประกอบด้วยลูกบอล 10 ลูกที่มีขนาดและน้ำหนักเท่ากัน โดย 4 ลูกเป็นสีแดงและ 6 ลูกเป็นสีน้ำเงิน ลูกบอลหนึ่งลูกถูกดึงออกมาจากโกศ ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลที่สุ่มออกมาจะเป็นสีฟ้าเป็นเท่าไหร่?

สารละลาย- เราระบุเหตุการณ์ "ลูกบอลที่สุ่มออกมากลายเป็นสีน้ำเงิน" ด้วยตัวอักษร A การทดสอบนี้มีผลเบื้องต้นที่เป็นไปได้เท่ากัน 10 รายการ โดยมีเหตุการณ์โปรดปราน 6 รายการ A ตามสูตร (1.2.1) เราได้รับ

ตัวอย่างที่ 2ตัวเลขธรรมชาติทั้งหมดตั้งแต่ 1 ถึง 30 จะถูกเขียนบนการ์ดที่เหมือนกันและวางไว้ในโกศ หลังจากสับไพ่อย่างละเอียดแล้ว การ์ดหนึ่งใบจะถูกดึงออกจากโกศ ความน่าจะเป็นที่ตัวเลขบนไพ่ที่นำมาเป็นจำนวนทวีคูณของ 5 เป็นเท่าไหร่?

สารละลาย.ให้เราแสดงด้วยเหตุการณ์ A “ตัวเลขบนไพ่ที่นำมาเป็นจำนวนทวีคูณของ 5” ในการทดสอบนี้ มีผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้เท่ากัน 30 รายการ โดยเหตุการณ์ A ได้รับการสนับสนุนจากผลลัพธ์ 6 รายการ (ตัวเลข 5, 10, 15, 20, 25, 30) เพราะฉะนั้น,

ตัวอย่างที่ 3โยนลูกเต๋าสองลูกและคำนวณผลรวมของแต้มบนใบหน้าด้านบน จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ B โดยหน้าลูกเต๋ามีแต้มรวม 9 แต้ม

สารละลาย.ในการทดสอบนี้มีเพียง 6 2 = 36 ผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้เท่ากัน เหตุการณ์ B ได้รับการสนับสนุนจาก 4 ผลลัพธ์: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3) ดังนั้น

ตัวอย่างที่ 4- สุ่มเลือกจำนวนธรรมชาติที่ไม่เกิน 10 ความน่าจะเป็นที่จำนวนนี้เป็นจำนวนเฉพาะคืออะไร?

สารละลาย.ให้เราแสดงเหตุการณ์ด้วยตัวอักษร C ว่า “จำนวนที่เลือกเป็นจำนวนเฉพาะ” ในกรณีนี้ n = 10, m = 4 ( หมายเลขเฉพาะ 2, 3, 5, 7) ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ต้องการ

ตัวอย่างที่ 5มีการโยนเหรียญสมมาตรสองเหรียญ ความน่าจะเป็นที่ด้านบนเหรียญทั้งสองมีตัวเลขเป็นเท่าใด?

สารละลาย.ให้เราแสดงเหตุการณ์ด้วยตัวอักษร D ว่า “มีตัวเลขอยู่ด้านบนเหรียญแต่ละเหรียญ” ในการทดสอบนี้ มี 4 ผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้เท่าเทียมกัน: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C) (สัญลักษณ์ (G, C) หมายความว่า เหรียญใบแรกมีตราอาร์ม เหรียญที่สองมีตัวเลข) เหตุการณ์ D ได้รับการสนับสนุนจากผลลัพธ์เบื้องต้นหนึ่งรายการ (C, C) เนื่องจาก m = 1, n = 4 ดังนั้น

ตัวอย่างที่ 6ความน่าจะเป็นที่ตัวเลขสองหลักที่เลือกโดยการสุ่มจะมีตัวเลขเหมือนกันคือเท่าไร?

สารละลาย. ตัวเลขสองหลักเป็นตัวเลขตั้งแต่ 10 ถึง 99; มีทั้งหมด 90 หมายเลข โดย 9 หมายเลขมีหลักเหมือนกัน (ได้แก่ หมายเลข 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99) เนื่องจากในกรณีนี้ m = 9, n = 90 ดังนั้น
,
โดยที่ A คือเหตุการณ์ "ตัวเลขที่มีหลักเหมือนกัน"

ตัวอย่างที่ 7จากตัวอักษรของคำ ส่วนต่างจะมีการสุ่มเลือกตัวอักษรหนึ่งตัว ความน่าจะเป็นที่ตัวอักษรนี้จะเป็น: ก) สระ b) พยัญชนะ c) ตัวอักษร ชม.?

สารละลาย- คำว่าดิฟเฟอเรนเชียลมีตัวอักษร 12 ตัว โดย 5 ตัวเป็นสระ และ 7 ตัวเป็นพยัญชนะ จดหมาย ชม.ไม่มีในคำนี้ ให้เราแสดงถึงเหตุการณ์: A - "อักษรสระ", B - "อักษรพยัญชนะ", C - "ตัวอักษร ชม." จำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นที่น่าพอใจ: - สำหรับเหตุการณ์ A - สำหรับเหตุการณ์ B - สำหรับเหตุการณ์ C เนื่องจาก n = 12 ดังนั้น
, และ .

ตัวอย่างที่ 8มีการโยนลูกเต๋าสองลูกและจดจำนวนแต้มที่ด้านบนของลูกเต๋าแต่ละลูก จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกเต๋าทั้งสองลูกจะมีแต้มเท่ากัน

สารละลาย.ลองเขียนเหตุการณ์นี้ด้วยตัวอักษร A กัน เหตุการณ์ A ได้รับการสนับสนุนจากผลลัพธ์เบื้องต้น 6 รายการ: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6 ;6). จำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้เท่ากันซึ่งก่อให้เกิดกลุ่มเหตุการณ์ที่สมบูรณ์ ในกรณีนี้ n=6 2 =36 ซึ่งหมายความว่าความน่าจะเป็นที่ต้องการ

ตัวอย่างที่ 9หนังสือมี 300 หน้า ความน่าจะเป็นที่หน้าเว็บที่ถูกเปิดแบบสุ่มจะมีคือเท่าใด หมายเลขซีเรียล, หลายเท่าของ 5?

สารละลาย.จากเงื่อนไขของปัญหา ผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้เท่าเทียมกันทั้งหมดซึ่งก่อให้เกิดกลุ่มเหตุการณ์ที่สมบูรณ์จะเป็น n = 300 ในจำนวนนี้ m = 60 เห็นด้วยกับการเกิดขึ้นของเหตุการณ์ที่ระบุ อันที่จริง จำนวนที่เป็นพหุคูณของ 5 จะมีรูปแบบ 5k โดยที่ k คือจำนวนธรรมชาติ และ ดังนั้น - เพราะฉะนั้น,
โดยที่ A - เหตุการณ์ “เพจ” มีหมายเลขลำดับที่เป็นจำนวนทวีคูณของ 5"

ตัวอย่างที่ 10- โยนลูกเต๋าสองลูกและคำนวณผลรวมของแต้มบนใบหน้าด้านบน อะไรจะเป็นไปได้มากกว่ากัน - ได้ทั้งหมด 7 หรือ 8?

สารละลาย- ให้เราแสดงถึงเหตุการณ์: A - "กลิ้ง 7 แต้ม", B - "กลิ้ง 8 แต้ม" เหตุการณ์ A ได้รับการสนับสนุนจากผลลัพธ์เบื้องต้น 6 รายการ: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1) และเหตุการณ์ B ได้รับการสนับสนุน โดย 5 ผลลัพธ์: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2) ผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้เท่ากันทั้งหมดคือ n = 6 2 = 36 ซึ่งหมายความว่า และ .

ดังนั้น P(A)>P(B) กล่าวคือ การได้คะแนนรวม 7 แต้มมีโอกาสมากกว่าการได้คะแนนรวม 8 คะแนน

งาน

1. สุ่มเลือกจำนวนธรรมชาติที่ไม่เกิน 30 ความน่าจะเป็นที่จำนวนนี้จะเป็นผลคูณของ 3 เป็นเท่าใด
2. ในโกศ กสีแดงและ ขลูกบอลสีน้ำเงิน มีขนาดและน้ำหนักเท่ากัน ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลสุ่มจากโกศนี้จะเป็นสีน้ำเงินเป็นเท่าใด
3. สุ่มเลือกจำนวนไม่เกิน 30 ความน่าจะเป็นที่จำนวนนี้จะเป็นตัวหารของ 30 เป็นเท่าใด
4. ในโกศ กสีน้ำเงินและ ขลูกบอลสีแดง มีขนาดและน้ำหนักเท่ากัน นำลูกบอลหนึ่งลูกออกจากโกศนี้แล้วพักไว้ ลูกบอลนี้กลายเป็นสีแดง หลังจากนั้นจะมีการดึงลูกบอลอีกลูกออกมาจากโกศ จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลลูกที่สองจะเป็นสีแดงด้วย
5. สุ่มเลือกหมายเลขประจำชาติไม่เกิน 50 ความน่าจะเป็นที่หมายเลขนี้เป็นจำนวนเฉพาะ?
6. โยนลูกเต๋าสามลูกและคำนวณผลรวมของแต้มบนใบหน้าด้านบน อะไรจะเป็นไปได้มากกว่ากัน - ที่จะได้คะแนนรวม 9 หรือ 10 คะแนน?
7. โยนลูกเต๋าสามลูกแล้วคำนวณผลรวมของคะแนนที่ทอยได้ อะไรจะเป็นไปได้มากกว่ากัน - ที่จะได้คะแนนรวม 11 (เหตุการณ์ A) หรือ 12 คะแนน (เหตุการณ์ B)

คำตอบ

1. 1/3. 2 . ข/(ก+ข). 3 . 0,2. 4 . (ข-1)/(ก+ข-1). 5 .0,3.6 - p 1 = 25/216 - ความน่าจะเป็นที่จะได้คะแนนรวม 9 คะแนน p 2 = 27/216 - ความน่าจะเป็นที่จะได้คะแนนรวม 10 คะแนน หน้า 2 > หน้า 1 7 - P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B)

คำถาม

1. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เรียกว่าอะไร?
2. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เชื่อถือได้คือเท่าไร?
3. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้คืออะไร?
4. อะไรคือขีดจำกัดของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่ม?
5. อะไรคือขีดจำกัดของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆ?
6. คำจำกัดความของความน่าจะเป็นแบบใดเรียกว่าคลาสสิก?

ในด้านเศรษฐศาสตร์รวมถึงในด้านอื่น ๆ กิจกรรมของมนุษย์หรือโดยธรรมชาติแล้ว เราต้องรับมือกับเหตุการณ์ที่ไม่สามารถคาดเดาได้อย่างแม่นยำอยู่ตลอดเวลา ดังนั้นปริมาณการขายของผลิตภัณฑ์จึงขึ้นอยู่กับความต้องการซึ่งอาจเปลี่ยนแปลงได้อย่างมาก และขึ้นอยู่กับปัจจัยอื่นๆ อีกหลายประการที่แทบจะเป็นไปไม่ได้เลยที่จะนำมาพิจารณา ดังนั้นเมื่อจัดการการผลิตและดำเนินการขาย คุณต้องคาดการณ์ผลลัพธ์ของกิจกรรมดังกล่าวโดยพิจารณาจากประสบการณ์ก่อนหน้าของคุณเองหรือประสบการณ์ที่คล้ายกันของผู้อื่น หรือสัญชาตญาณ ซึ่งส่วนใหญ่ต้องอาศัยข้อมูลการทดลองด้วย

ในการประเมินเหตุการณ์ที่เป็นปัญหามีความจำเป็นต้องพิจารณาหรือจัดเงื่อนไขพิเศษในการบันทึกเหตุการณ์นี้เป็นพิเศษ

การดำเนินการตามเงื่อนไขหรือการดำเนินการบางอย่างเพื่อระบุเหตุการณ์ที่เป็นปัญหาเรียกว่า ประสบการณ์หรือ การทดลอง.

งานนี้เรียกว่า สุ่มหากจากประสบการณ์นั้นอาจเกิดขึ้นหรือไม่ก็ได้

งานนี้เรียกว่า เชื่อถือได้หากจำเป็นต้องปรากฏเป็นผลจากประสบการณ์ที่ได้รับ และ เป็นไปไม่ได้หากไม่สามารถปรากฏในประสบการณ์นี้ได้

ตัวอย่างเช่น หิมะตกในมอสโกในวันที่ 30 พฤศจิกายนเป็นเหตุการณ์สุ่ม สามารถนับพระอาทิตย์ขึ้นในแต่ละวันได้ เหตุการณ์ที่เชื่อถือได้- หิมะตกที่เส้นศูนย์สูตรถือเป็นเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้

งานหลักอย่างหนึ่งในทฤษฎีความน่าจะเป็นคืองานในการกำหนดการวัดเชิงปริมาณของความเป็นไปได้ที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้น

พีชคณิตของเหตุการณ์

เหตุการณ์จะเรียกว่าเข้ากันไม่ได้หากไม่สามารถสังเกตร่วมกันในประสบการณ์เดียวกันได้ ดังนั้นการมีรถยนต์สองและสามคันในร้านค้าเดียวที่ขายในเวลาเดียวกันจึงเป็นเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้สองเหตุการณ์

จำนวน events คือเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยการเกิดขึ้นของเหตุการณ์เหล่านี้อย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์

ตัวอย่างผลรวมของเหตุการณ์คือการมีผลิตภัณฑ์อย่างน้อยหนึ่งรายการจากสองรายการในร้านค้า

การทำงาน events คือเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นพร้อมๆ กันของเหตุการณ์ทั้งหมดนี้

เหตุการณ์ที่ประกอบด้วยการปรากฏตัวของสินค้าสองรายการในร้านค้าในเวลาเดียวกันถือเป็นผลิตภัณฑ์ของเหตุการณ์: - การปรากฏตัวของผลิตภัณฑ์หนึ่ง - การปรากฏตัวของผลิตภัณฑ์อื่น

เหตุการณ์ต่างๆ จะรวมกันเป็นกลุ่มเหตุการณ์ที่สมบูรณ์ หากมีอย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นอย่างแน่นอน

ตัวอย่าง.ท่าเรือมีท่าเทียบเรือสองท่าสำหรับรับเรือ สามารถพิจารณาเหตุการณ์ได้สามเหตุการณ์: - การไม่มีเรืออยู่ที่ท่าเทียบเรือ - การมีเรือลำหนึ่งอยู่ที่ท่าเทียบเรือลำใดท่าหนึ่ง - การมีเรือสองลำอยู่ที่ท่าเทียบเรือสองลำ เหตุการณ์ทั้งสามนี้ประกอบกันเป็นกลุ่มเหตุการณ์ที่สมบูรณ์

ตรงข้ามเรียกว่าเหตุการณ์ที่เป็นไปได้เฉพาะสองเหตุการณ์ที่รวมกันเป็นกลุ่มที่สมบูรณ์

หากเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งที่อยู่ตรงข้ามกันแสดงด้วย แสดงว่าเหตุการณ์ตรงข้ามมักจะแสดงด้วย

คำจำกัดความคลาสสิกและสถิติของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์

ผลลัพธ์การทดสอบ (การทดลอง) ที่เป็นไปได้เท่าเทียมกันแต่ละรายการเรียกว่าผลลัพธ์เบื้องต้น มักจะถูกกำหนดด้วยตัวอักษร ตัวอย่างเช่น รีบเร่ง ลูกเต๋า- สามารถมีผลลัพธ์เบื้องต้นได้ทั้งหมดหกคะแนนตามจำนวนคะแนนที่อยู่ด้านข้าง

จากผลลัพธ์เบื้องต้น คุณสามารถสร้างเหตุการณ์ที่ซับซ้อนมากขึ้นได้ ดังนั้น เหตุการณ์ที่มีคะแนนเป็นเลขคู่จึงถูกกำหนดโดยผลลัพธ์ 3 รายการ: 2, 4, 6

การวัดความเป็นไปได้ในเชิงปริมาณของเหตุการณ์ที่เป็นปัญหาคือความน่าจะเป็น

คำจำกัดความที่ใช้กันอย่างแพร่หลายที่สุดของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์คือ: คลาสสิคและ เชิงสถิติ.

คำจำกัดความดั้งเดิมของความน่าจะเป็นมีความเกี่ยวข้องกับแนวคิดเรื่องผลลัพธ์ที่น่าพึงพอใจ

เรียกว่าได้ผล ดีไปยังเหตุการณ์ที่กำหนดหากการเกิดขึ้นนั้นก่อให้เกิดเหตุการณ์นี้

ในตัวอย่างข้างต้น เหตุการณ์ที่เป็นปัญหา—จำนวนแต้มบนฝั่งม้วนเป็นเลขคู่—มีผลลัพธ์ที่ดีสามประการ ในกรณีนี้ทั่วไป
จำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถใช้คำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ได้ที่นี่

คำจำกัดความคลาสสิกเท่ากับอัตราส่วนของจำนวนผลลัพธ์ที่น่าพึงพอใจต่อจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด

โดยที่ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์คือจำนวนผลลัพธ์ที่เอื้ออำนวยต่อเหตุการณ์นั้น จำนวนทั้งหมดผลลัพธ์ที่เป็นไปได้

ในตัวอย่างที่พิจารณา

คำจำกัดความทางสถิติของความน่าจะเป็นสัมพันธ์กับแนวคิดเรื่องความถี่สัมพัทธ์ของการเกิดเหตุการณ์ในการทดลอง

ความถี่สัมพัทธ์ของการเกิดเหตุการณ์คำนวณโดยใช้สูตร

โดยที่ คือจำนวนเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในชุดการทดลอง (การทดสอบ)

คำจำกัดความทางสถิติ- ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์คือจำนวนรอบที่ความถี่สัมพัทธ์คงที่ (ชุด) โดยเพิ่มจำนวนการทดลองได้ไม่จำกัด

ใน ปัญหาในทางปฏิบัติความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จะถือว่าเป็นความถี่สัมพัทธ์ที่มีการทดลองจำนวนมากพอสมควร

จากคำจำกัดความของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้ เห็นได้ชัดว่าความไม่เท่าเทียมกันเป็นที่พอใจเสมอ

ในการพิจารณาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตามสูตร (1.1) มักใช้สูตรเชิงผสม ซึ่งใช้เพื่อค้นหาจำนวนผลลัพธ์ที่น่าพอใจและจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด