Odz - ช่วงของค่าที่ยอมรับได้ วิธีค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน

คณิตศาสตร์มีฟังก์ชันจำนวนอนันต์ และแต่ละตัวก็มีลักษณะเฉพาะของตัวเอง) หากต้องการทำงานกับฟังก์ชันที่หลากหลายที่คุณต้องการ เดี่ยวเข้าใกล้. ไม่อย่างนั้นคณิตศาสตร์แบบไหนล่ะ?!) และมีแนวทางเช่นนี้!

เมื่อทำงานกับฟังก์ชันใดๆ เราจะนำเสนอด้วยชุดคำถามมาตรฐาน และคำถามแรกที่สำคัญที่สุดก็คือ โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันบางครั้งพื้นที่นี้เรียกว่าชุดของค่าอาร์กิวเมนต์ที่ถูกต้อง พื้นที่ที่ระบุฟังก์ชัน ฯลฯ

โดเมนของฟังก์ชันคืออะไร? จะหามันได้อย่างไร? คำถามเหล่านี้มักจะดูซับซ้อนและเข้าใจยาก... แม้ว่าในความเป็นจริงแล้วทุกอย่างจะง่ายมากก็ตาม คุณสามารถดูตัวเองได้โดยการอ่านหน้านี้ ไปกันเลย?)

จะว่ายังไงล่ะ... ขอแสดงความนับถือ) ใช่แล้ว! โดเมนธรรมชาติของฟังก์ชัน (ซึ่งจะกล่าวถึงที่นี่) ไม้ขีดโดยมี ODZ ของนิพจน์รวมอยู่ในฟังก์ชัน ดังนั้นจึงค้นหาตามกฎเดียวกัน

ตอนนี้เรามาดูขอบเขตคำจำกัดความที่ไม่เป็นธรรมชาติทั้งหมด)

ข้อจำกัดเพิ่มเติมเกี่ยวกับขอบเขตของฟังก์ชัน

ที่นี่เราจะพูดถึงข้อจำกัดที่กำหนดโดยงาน เหล่านั้น. งานนี้มีเงื่อนไขเพิ่มเติมบางประการที่คอมไพเลอร์คิดขึ้นมา หรือข้อจำกัดเกิดขึ้นจากวิธีการกำหนดฟังก์ชันนั่นเอง

ส่วนข้อจำกัดในงานทุกอย่างก็เรียบง่าย โดยปกติแล้วไม่จำเป็นต้องมองหาอะไรทุกอย่างก็พูดไว้ในงานแล้ว ฉันขอเตือนคุณว่าข้อจำกัดที่เขียนโดยผู้เขียนงานจะไม่ยกเลิก ข้อจำกัดพื้นฐานของคณิตศาสตร์คุณเพียงแค่ต้องจำไว้ว่าต้องคำนึงถึงเงื่อนไขของงานด้วย

ตัวอย่างเช่น งานนี้:

ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน:

บนเซตของจำนวนบวก

เราพบโดเมนธรรมชาติของคำจำกัดความของฟังก์ชันนี้ด้านบน บริเวณนี้:

ง(ฉ)=( -∞ ; -1) ∪ (-1; 2] ∪ ∪

ในวิธีการระบุฟังก์ชันด้วยวาจา คุณต้องอ่านเงื่อนไขอย่างละเอียดและค้นหาข้อจำกัดของ X ที่นั่น บางครั้งดวงตามองหาสูตร แต่คำว่าผิวปากผ่านจิตสำนึก ใช่...) ตัวอย่างจากบทเรียนที่แล้ว:

ฟังก์ชันระบุตามเงื่อนไข: แต่ละค่าของอาร์กิวเมนต์ธรรมชาติ x เชื่อมโยงกับผลรวมของตัวเลขที่ประกอบเป็นค่า x

ควรสังเกตที่นี่ว่าเรากำลังพูดถึง เท่านั้นเกี่ยวกับค่าธรรมชาติของ X แล้ว ง(ฉ)บันทึกทันที:

ง(ฉ): x ∈ เอ็น

อย่างที่คุณเห็น โดเมนของฟังก์ชันไม่ใช่แนวคิดที่ซับซ้อนนัก การค้นหาขอบเขตนี้มาจากการตรวจสอบฟังก์ชัน การเขียนระบบอสมการ และการแก้ไขระบบนี้ แน่นอนว่ามีระบบทุกประเภท ทั้งเรียบง่ายและซับซ้อน แต่...

ฉันจะบอกความลับเล็กน้อยแก่คุณ บางครั้งฟังก์ชันที่คุณต้องการค้นหาโดเมนของคำจำกัดความอาจดูน่ากลัว ฉันอยากจะหน้าซีดและร้องไห้) แต่ทันทีที่ฉันเขียนระบบความไม่เท่าเทียมกัน... และทันใดนั้น ระบบก็กลายเป็นระบบเบื้องต้น! นอกจากนี้ บ่อยครั้ง ยิ่งฟังก์ชันแย่มาก ระบบก็ยิ่งง่ายขึ้น...

คุณธรรม: ดวงตากลัว หัวตัดสินใจ!)

จะค้นหาโดเมนของฟังก์ชันได้อย่างไร? นักเรียนมัธยมต้นมักต้องรับมือกับงานนี้

ผู้ปกครองควรช่วยให้บุตรหลานเข้าใจปัญหานี้

การระบุฟังก์ชัน

ให้เรานึกถึงเงื่อนไขพื้นฐานของพีชคณิต ในทางคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันคือการพึ่งพาตัวแปรหนึ่งกับอีกตัวแปรหนึ่ง เราสามารถพูดได้ว่านี่เป็นกฎทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวดซึ่งเชื่อมโยงตัวเลขสองตัวด้วยวิธีใดวิธีหนึ่ง

ในทางคณิตศาสตร์ เมื่อวิเคราะห์สูตร ตัวแปรตัวเลขจะถูกแทนที่ด้วยสัญลักษณ์ตัวอักษร คำที่ใช้บ่อยที่สุดคือ x (“x”) และ y (“y”) ตัวแปร x เรียกว่าอาร์กิวเมนต์ และตัวแปร y เรียกว่าตัวแปรตามหรือฟังก์ชันของ x

มีหลายวิธีในการกำหนดการขึ้นต่อกันของตัวแปร

เรามาแสดงรายการกัน:

1. ประเภทการวิเคราะห์
2. มุมมองแบบตาราง
3. จอแสดงผลกราฟิก

วิธีการวิเคราะห์แสดงโดยสูตร ลองดูตัวอย่าง: y=2x+3, y=log(x), y=sin(x) สูตร y=2x+3 เป็นสูตรทั่วไปสำหรับฟังก์ชันเชิงเส้น เมื่อแทนค่าตัวเลขของอาร์กิวเมนต์ลงในสูตรที่กำหนด เราจะได้ค่า y

วิธีการแบบตารางคือตารางที่ประกอบด้วยสองคอลัมน์ คอลัมน์แรกได้รับการจัดสรรสำหรับค่า X และในคอลัมน์ถัดไปข้อมูลของผู้เล่นจะถูกบันทึก

วิธีกราฟิกถือเป็นวิธีที่ชัดเจนที่สุด กราฟคือการแสดงเซตของจุดทั้งหมดบนระนาบ

ในการสร้างกราฟจะใช้ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ระบบประกอบด้วยเส้นตั้งฉากสองเส้น ส่วนของหน่วยที่เหมือนกันจะถูกวางบนแกน การนับจะทำจากจุดศูนย์กลางของจุดตัดของเส้นตรง

ตัวแปรอิสระจะแสดงอยู่บนเส้นแนวนอน เรียกว่าแกนแอบซิสซา เส้นแนวตั้ง (แกน y) แสดงค่าตัวเลขของตัวแปรตาม จุดจะถูกทำเครื่องหมายไว้ที่จุดตัดของตั้งฉากกับแกนเหล่านี้ เมื่อเชื่อมต่อจุดต่างๆ เข้าด้วยกัน เราจะได้เส้นทึบ เป็นพื้นฐานของกำหนดการ

ประเภทของการขึ้นต่อกันของตัวแปร

คำนิยาม.

โดยทั่วไป การพึ่งพาจะแสดงเป็นสมการ: y=f(x) จากสูตรจะได้ว่าสำหรับแต่ละค่าของตัวเลข x จะมีจำนวน y ที่แน่นอน ค่าของเกมซึ่งตรงกับตัวเลข x เรียกว่าค่าของฟังก์ชัน

ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่ตัวแปรอิสระได้รับมาจากโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน ดังนั้นชุดตัวเลขทั้งชุดของตัวแปรตามจะกำหนดช่วงของค่าของฟังก์ชัน ขอบเขตของคำจำกัดความคือค่าทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์ที่ f(x) สมเหตุสมผล

ภารกิจเริ่มแรกในการศึกษากฎทางคณิตศาสตร์คือการหาขอบเขตของคำจำกัดความ คำนี้จะต้องถูกกำหนดให้ถูกต้อง มิฉะนั้นการคำนวณเพิ่มเติมทั้งหมดจะไม่มีประโยชน์ ท้ายที่สุดแล้วปริมาตรของค่าจะถูกสร้างขึ้นบนพื้นฐานขององค์ประกอบของชุดแรก

ขอบเขตของฟังก์ชันขึ้นอยู่กับข้อจำกัดโดยตรง ข้อจำกัดเกิดจากการไม่สามารถดำเนินการบางอย่างได้ นอกจากนี้ยังมีข้อจำกัดในการใช้ค่าตัวเลขด้วย

ในกรณีที่ไม่มีข้อจำกัด โดเมนของคำจำกัดความคือช่องว่างจำนวนทั้งหมด เครื่องหมายอนันต์มีสัญลักษณ์เลขแปดแนวนอน ตัวเลขทั้งชุดเขียนดังนี้: (-∞; ∞)

ในบางกรณี ชุดข้อมูลประกอบด้วยหลายชุดย่อย ขอบเขตของช่วงตัวเลขหรือช่องว่างขึ้นอยู่กับประเภทของกฎของการเปลี่ยนแปลงพารามิเตอร์

นี่คือรายการปัจจัยที่มีอิทธิพลต่อข้อจำกัด:

• สัดส่วนผกผัน
• รากเลขคณิต
• การยกกำลัง;
• การพึ่งพาลอการิทึม
• แบบฟอร์มตรีโกณมิติ

หากมีองค์ประกอบดังกล่าวหลายประการ การค้นหาข้อ จำกัด จะถูกแบ่งสำหรับแต่ละองค์ประกอบ ปัญหาที่ใหญ่ที่สุดคือการระบุจุดวิกฤติและช่องว่าง วิธีแก้ปัญหาคือรวมชุดย่อยที่เป็นตัวเลขทั้งหมดเข้าด้วยกัน

เซตและเซตย่อยของตัวเลข

เกี่ยวกับชุด.

โดเมนของคำจำกัดความแสดงเป็น D(f) และเครื่องหมายสหภาพแสดงด้วยสัญลักษณ์ ∪ ช่วงตัวเลขทั้งหมดจะอยู่ในวงเล็บ หากชุดไม่ได้รวมขอบเขตของไซต์ให้ใส่วงเล็บครึ่งวงกลม มิฉะนั้น เมื่อมีการรวมตัวเลขในชุดย่อย ระบบจะใช้วงเล็บเหลี่ยม

สัดส่วนผกผันแสดงโดยสูตร y=k/x กราฟของฟังก์ชันเป็นเส้นโค้งที่ประกอบด้วยสองกิ่ง โดยทั่วไปเรียกว่าอติพจน์

เนื่องจากฟังก์ชันถูกแสดงเป็นเศษส่วน การค้นหาโดเมนของคำจำกัดความจึงต้องอาศัยการวิเคราะห์ตัวส่วน เป็นที่ทราบกันดีว่าการหารทางคณิตศาสตร์ด้วยศูนย์เป็นสิ่งต้องห้าม การแก้ปัญหาคือการทำให้ตัวส่วนเท่ากันกับศูนย์และค้นหาราก

นี่คือตัวอย่าง:

ให้ไว้: y=1/(x+4) ค้นหาโดเมนของคำจำกัดความ

1. เราถือตัวส่วนให้เป็นศูนย์.
   x+4=0
2. การหารากของสมการ
   x=-4
3. เรากำหนดชุดของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์
   D(f)=(-∞ ; -4)∪(-4; +∞)

คำตอบ: โดเมนของฟังก์ชันคือจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้น -4

ค่าของตัวเลขใต้เครื่องหมายรากที่สองไม่สามารถเป็นค่าลบได้ ในกรณีนี้ การกำหนดฟังก์ชันด้วยรูทจะลดลงเพื่อแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน นิพจน์รากต้องมากกว่าศูนย์

พื้นที่ในการกำหนดรูทนั้นสัมพันธ์กับความเท่าเทียมกันของตัวบ่งชี้รูท หากตัวบ่งชี้หารด้วย 2 ลงตัว นิพจน์จะสมเหตุสมผลก็ต่อเมื่อเป็นบวกเท่านั้น ตัวบ่งชี้เลขคี่บ่งบอกถึงการยอมรับค่าใด ๆ ของนิพจน์ที่รุนแรง: ทั้งบวกและลบ

อสมการได้รับการแก้ไขในลักษณะเดียวกับสมการ มีความแตกต่างเพียงอย่างเดียว หลังจากคูณอสมการทั้งสองด้านด้วยจำนวนลบแล้ว เครื่องหมายควรจะกลับด้าน

ถ้ารากที่สองอยู่ในตัวส่วน จะต้องกำหนดเงื่อนไขเพิ่มเติม ค่าตัวเลขต้องไม่เป็นศูนย์ ความไม่เท่าเทียมกันเคลื่อนเข้าสู่หมวดหมู่ของความไม่เท่าเทียมกันที่เข้มงวด

ฟังก์ชันลอการิทึมและตรีโกณมิติ

รูปแบบลอการิทึมเหมาะสมสำหรับจำนวนบวก ดังนั้น โดเมนของฟังก์ชันลอการิทึมจึงคล้ายกับฟังก์ชันรากที่สอง ยกเว้นศูนย์

ลองพิจารณาตัวอย่างของการพึ่งพาลอการิทึม: y=log(2x-6) ค้นหาโดเมนของคำจำกัดความ

• 2x-6>0
• 2x>6
• x>6/2

คำตอบ: (3; +∞)

โดเมนของคำจำกัดความของ y=sin x และ y=cos x คือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด มีข้อจำกัดสำหรับแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ เกี่ยวข้องกับการหารด้วยโคไซน์หรือไซน์ของมุม

แทนเจนต์ของมุมถูกกำหนดโดยอัตราส่วนของไซน์ต่อโคไซน์ ให้เราระบุค่ามุมที่ไม่มีค่าแทนเจนต์อยู่ ฟังก์ชัน y=tg x เหมาะสมสำหรับค่าทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์ยกเว้น x=π/2+πn, n∈Z

โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน y=ctg x คือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด โดยไม่รวม x=πn, n∈Z ถ้าอาร์กิวเมนต์เท่ากับตัวเลข π หรือผลคูณของ π ไซน์ของมุมจะเป็นศูนย์ ณ จุดเหล่านี้ (เส้นกำกับ) โคแทนเจนต์ไม่มีอยู่จริง

งานแรกในการระบุขอบเขตของคำจำกัดความเริ่มต้นในบทเรียนในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 เมื่อเริ่มใช้พีชคณิตส่วนนี้เป็นครั้งแรก นักเรียนควรเข้าใจหัวข้อนี้อย่างชัดเจน

ควรสังเกตว่าภาคเรียนนี้จะมาพร้อมกับเด็กนักเรียนและนักเรียนตลอดระยะเวลาการศึกษา

การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายถึงวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดตรวจสอบหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:

• เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่อีเมลของคุณ ฯลฯ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

• ข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณเพื่อรับข้อเสนอ โปรโมชั่น และกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้น
• ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ
• เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การดำเนินการตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามีให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
• หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

• หากจำเป็น - ตามกฎหมาย ขั้นตอนการพิจารณาคดี ในการดำเนินการทางกฎหมาย และ/หรือตามคำขอสาธารณะหรือคำขอจากหน่วยงานของรัฐในสหพันธรัฐรัสเซีย - ให้เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ
• ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่สืบทอดที่เกี่ยวข้อง

การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงด้านการบริหาร ด้านเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด

เมื่อแก้ไขปัญหาต่าง ๆ เรามักจะต้องทำการแปลงนิพจน์ที่เหมือนกัน แต่มันเกิดขึ้นที่การเปลี่ยนแปลงบางประเภทเป็นที่ยอมรับได้ในบางกรณี แต่ไม่ใช่ในบางกรณี ODZ ให้ความช่วยเหลือที่สำคัญในแง่ของการตรวจสอบการยอมรับการเปลี่ยนแปลงที่กำลังดำเนินอยู่ ลองดูรายละเอียดเพิ่มเติมนี้

สาระสำคัญของแนวทางมีดังนี้: ODZ ของตัวแปรสำหรับนิพจน์ดั้งเดิมจะถูกเปรียบเทียบกับ ODZ ของตัวแปรสำหรับนิพจน์ที่ได้รับอันเป็นผลมาจากการแปลงที่เหมือนกัน และขึ้นอยู่กับผลการเปรียบเทียบ จะได้ข้อสรุปที่เหมาะสม

โดยทั่วไปแล้ว การแปลงข้อมูลระบุตัวตนสามารถทำได้

• ไม่มีอิทธิพลต่อ DL;
• นำไปสู่การขยาย ODZ;
• ส่งผลให้ ODZ แคบลง

ลองอธิบายแต่ละกรณีด้วยตัวอย่าง

พิจารณานิพจน์ x 2 +x+3·x ODZ ของตัวแปร x สำหรับนิพจน์นี้คือเซต R ทีนี้ เรามาทำการแปลงที่เหมือนกันต่อไปนี้ด้วยนิพจน์นี้ - เรานำเสนอพจน์ที่คล้ายกัน ผลลัพธ์ที่ได้จะอยู่ในรูปแบบ x 2 +4·x แน่นอน ตัวแปร x ของนิพจน์นี้ก็คือเซต R เช่นกัน ดังนั้นการเปลี่ยนแปลงที่ดำเนินการจึงไม่เปลี่ยน DZ

เดินหน้าต่อไป ลองใช้นิพจน์ x+3/x−3/x กัน ในกรณีนี้ ODZ จะถูกกำหนดโดยเงื่อนไข x≠0 ซึ่งสอดคล้องกับเซต (−∞, 0)∪(0, +∞) นิพจน์นี้ยังมีคำศัพท์ที่คล้ายกัน หลังจากลดแล้ว เราก็มาถึงนิพจน์ x ซึ่ง ODZ คือ R สิ่งที่เราเห็น: จากการเปลี่ยนแปลง ODZ จึงถูกขยาย (เลขศูนย์ถูกเพิ่มใน ODZ ของตัวแปร x สำหรับนิพจน์ดั้งเดิม)

ยังคงต้องพิจารณาตัวอย่างของการลดช่วงของค่าที่ยอมรับได้ให้แคบลงหลังการแปลง ลองใช้นิพจน์กัน - ODZ ของตัวแปร x ถูกกำหนดโดยอสมการ (x−1)·(x−3)≥0 สำหรับวิธีแก้ปัญหาของมัน มันจึงเหมาะสม ตัวอย่างเช่น ผลที่ได้คือ (−∞, 1]∪∪; แก้ไขแล้ว โดย S. A. Telyakovsky - 17- ed. - M.: การศึกษา, 2551 - 240 หน้า: ป่วย - ISBN 978-5-09-019315-3

มอร์ดโควิช เอ.จี.พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ใน 2 ชั่วโมง ตอนที่ 1 หนังสือเรียนสำหรับนักศึกษาสถาบันการศึกษาทั่วไป / A. G. Mordkovich - ฉบับที่ 17 เสริม. - อ.: Mnemosyne, 2013. - 175 หน้า: ป่วย. ไอ 978-5-346-02432-3.

มอร์ดโควิช เอ.จี.พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ใน 2 ชั่วโมง ตอนที่ 1 หนังสือเรียนสำหรับนักศึกษาสถาบันการศึกษาทั่วไป / A. G. Mordkovich - ฉบับที่ 11 ลบแล้ว. - อ.: Mnemosyne, 2552. - 215 น.: ป่วย ไอ 978-5-346-01155-2.

มอร์ดโควิช เอ.จี.พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 ใน 2 ชั่วโมง ตอนที่ 1 หนังสือเรียนสำหรับนักเรียนสถาบันการศึกษาทั่วไป / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov - ฉบับที่ 13 ลบแล้ว. - อ.: Mnemosyne, 2011. - 222 หน้า: ป่วย. ไอ 978-5-346-01752-3.

มอร์ดโควิช เอ.จี.พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 11 ใน 2 ชั่วโมง ตอนที่ 1 หนังสือเรียนสำหรับนักเรียนสถาบันการศึกษาทั่วไป (ระดับโปรไฟล์) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov - ฉบับที่ 2, ลบแล้ว. - อ.: Mnemosyne, 2551. - 287 หน้า: ป่วย. ไอ 978-5-346-01027-2.

พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เกรด 10: หนังสือเรียน เพื่อการศึกษาทั่วไป สถาบัน: พื้นฐานและโปรไฟล์ ระดับ / [ย. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; แก้ไขโดย เอ.บี. ซิจเชนโก้. - ฉบับที่ 3 - อ.: การศึกษา, 2553.- 368 น. : ป่วย - ISBN 978-5-09-022771-1.

เราพบว่ามี เอ็กซ์- ชุดที่สูตรที่กำหนดฟังก์ชันสมเหตุสมผล ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ชุดนี้มักจะแสดงเป็น ดี (โดเมนของฟังก์ชัน - ในทางกลับกันหลายคน ยแสดงว่าเป็น อี (ช่วงฟังก์ชัน ) และในเวลาเดียวกัน ดีและ อีเรียกว่าเซตย่อย ร(เซตของจำนวนจริง)

หากฟังก์ชันถูกกำหนดโดยสูตรในกรณีที่ไม่มีการสงวนพิเศษโดเมนของคำจำกัดความจะถือเป็นชุดที่ใหญ่ที่สุดที่สูตรนี้สมเหตุสมผลนั่นคือชุดค่าอาร์กิวเมนต์ที่ใหญ่ที่สุดที่นำไปสู่ สู่ค่าจริงของฟังก์ชัน - กล่าวอีกนัยหนึ่งคือชุดของค่าอาร์กิวเมนต์ที่ "ฟังก์ชันทำงาน"

เพื่อความเข้าใจทั่วไป ตัวอย่างยังไม่มีสูตร ฟังก์ชั่นถูกระบุเป็นคู่ของความสัมพันธ์:

{(2, 1), (4, 2), (6, -6), (5, -1), (7, 10)} .

ค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันเหล่านี้

คำตอบ. องค์ประกอบแรกของคู่คือตัวแปร x- เนื่องจากข้อกำหนดคุณสมบัติยังมีองค์ประกอบที่สองของคู่ - ค่าของตัวแปร ยจากนั้นฟังก์ชันนี้เหมาะสมสำหรับค่า X ที่สอดคล้องกับค่า Y ที่แน่นอนเท่านั้น นั่นคือเรานำค่า X ทั้งหมดของคู่เหล่านี้จากน้อยไปมากและได้โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันจากพวกมัน:

{2, 4, 5, 6, 7} .

ตรรกะเดียวกันนี้ใช้งานได้หากฟังก์ชันถูกกำหนดโดยสูตร เฉพาะองค์ประกอบที่สองเป็นคู่ (นั่นคือค่าของ i) เท่านั้นที่จะได้รับโดยการแทนที่ค่า x บางอย่างลงในสูตร อย่างไรก็ตาม ในการหาโดเมนของฟังก์ชัน เราไม่จำเป็นต้องผ่านคู่ของ X และ Y ทั้งหมด

ตัวอย่างที่ 0จะค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน i เท่ากับสแควร์รูทของ x ลบห้าได้อย่างไร (นิพจน์รากศัพท์ x ลบห้า) () คุณเพียงแค่ต้องแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน

x - 5 ≥ 0 ,

เนื่องจากเพื่อให้เราได้รับมูลค่าที่แท้จริงของเกม นิพจน์รากจะต้องมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ เราได้รับวิธีแก้ปัญหา: โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันคือค่าทั้งหมดของ x มากกว่าหรือเท่ากับห้า (หรือ x อยู่ในช่วงจากห้ารวมถึงบวกอนันต์)

ในภาพด้านบนคือส่วนของแกนตัวเลข ขอบเขตของคำจำกัดความของฟังก์ชันที่พิจารณาจะถูกแรเงาในขณะที่ในทิศทาง "บวก" การฟักจะดำเนินต่อไปอย่างไม่มีกำหนดพร้อมกับแกนของมันเอง

หากคุณใช้โปรแกรมคอมพิวเตอร์ที่สร้างคำตอบตามข้อมูลที่ป้อนคุณอาจสังเกตเห็นว่าสำหรับค่าบางค่าของข้อมูลที่ป้อนโปรแกรมจะแสดงข้อความแสดงข้อผิดพลาดนั่นคือไม่สามารถคำนวณคำตอบด้วยข้อมูลดังกล่าวได้ ผู้เขียนโปรแกรมจะส่งข้อความดังกล่าวหากนิพจน์สำหรับการคำนวณคำตอบค่อนข้างซับซ้อนหรือเกี่ยวข้องกับหัวข้อที่แคบบางหัวข้อ หรือผู้เขียนภาษาการเขียนโปรแกรมจัดให้หากเกี่ยวข้องกับบรรทัดฐานที่ยอมรับโดยทั่วไป เช่น เราไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้

แต่ในทั้งสองกรณี ไม่สามารถคำนวณคำตอบ (ค่าของนิพจน์บางตัว) ได้เนื่องจากนิพจน์ไม่สมเหตุสมผลสำหรับค่าข้อมูลบางค่า

ตัวอย่าง (ยังไม่ค่อยคณิต): หากโปรแกรมแสดงชื่อของเดือนตามหมายเลขเดือนในปี จากนั้นป้อน "15" คุณจะได้รับข้อความแสดงข้อผิดพลาด

โดยส่วนใหญ่ นิพจน์ที่กำลังคำนวณเป็นเพียงฟังก์ชันเท่านั้น ดังนั้นค่าข้อมูลที่ไม่ถูกต้องดังกล่าวจะไม่รวมอยู่ในนั้น โดเมนของฟังก์ชัน - และในการคำนวณด้วยมือ การแสดงโดเมนของฟังก์ชันก็สำคัญพอๆ กัน ตัวอย่างเช่น คุณคำนวณพารามิเตอร์บางตัวของผลิตภัณฑ์บางตัวโดยใช้สูตรที่เป็นฟังก์ชัน สำหรับค่าบางค่าของอาร์กิวเมนต์อินพุต คุณจะไม่ได้รับอะไรเลยที่เอาต์พุต

โดเมนของคำจำกัดความของค่าคงที่

ค่าคงที่ (คงที่) ที่กำหนดไว้ สำหรับมูลค่าที่แท้จริงใดๆ x ร ตัวเลขจริง นอกจากนี้ยังสามารถเขียนได้ดังนี้: โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันนี้คือเส้นจำนวนทั้งหมด ]- ∞; + [ .

ตัวอย่างที่ 1 ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน ย = 2 .

สารละลาย. ไม่ได้ระบุโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน ซึ่งหมายความว่าเนื่องจากคำจำกัดความข้างต้น จึงหมายถึงโดเมนตามธรรมชาติของคำจำกัดความ การแสดงออก ฉ(x) = 2 กำหนดไว้สำหรับค่าจริงใดๆ xดังนั้น ฟังก์ชันนี้จึงถูกกำหนดไว้บนทั้งชุด ร ตัวเลขจริง

ดังนั้น ในภาพด้านบน เส้นจำนวนจะถูกแรเงาไปจนสุดตั้งแต่ลบอนันต์ไปจนถึงบวกอนันต์

พื้นที่นิยามรูท nระดับที่

ในกรณีที่กำหนดฟังก์ชันตามสูตร และ n- จำนวนธรรมชาติ:

ตัวอย่างที่ 2 ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน .

สารละลาย. จากคำจำกัดความนี้ รากของดีกรีคู่จะสมเหตุสมผลหากนิพจน์รากไม่เป็นลบ นั่นคือ ถ้า - 1 ≤ x≤ 1 ดังนั้น โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันนี้คือ [- 1; 1].

พื้นที่แรเงาของเส้นจำนวนในรูปด้านบนคือโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันนี้

โดเมนของฟังก์ชันกำลัง

โดเมนของฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม

ถ้า ก- บวก ดังนั้นโดเมนของนิยามของฟังก์ชันคือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด นั่นคือ ]- ∞; + [ ;

ถ้า ก- ลบดังนั้นโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันคือเซต ]- ∞; 0[ ∪ ]0 ;+ ∞[ นั่นคือ เส้นจำนวนทั้งหมดยกเว้นศูนย์

ในภาพวาดที่เกี่ยวข้องด้านบน เส้นจำนวนทั้งหมดจะถูกแรเงา และจุดที่ตรงกับศูนย์จะถูกเจาะออก (ไม่รวมอยู่ในโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน)

ตัวอย่างที่ 3 ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน .

สารละลาย. เทอมแรกคือกำลังจำนวนเต็มของ x เท่ากับ 3 และระดับของ x ในเทอมที่สองสามารถแสดงเป็น 1 - ก็เป็นจำนวนเต็มได้เช่นกัน ดังนั้น โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันนี้คือเส้นจำนวนทั้งหมด ซึ่งก็คือ ]- ∞; + [ .

โดเมนของฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน

ในกรณีที่กำหนดฟังก์ชันตามสูตร:

ถ้าเป็นบวก โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันจะเป็นเซต 0 + [ .

ตัวอย่างที่ 4 ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน .

สารละลาย. ทั้งสองพจน์ในนิพจน์ฟังก์ชันคือฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนบวก ดังนั้น โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันนี้คือเซต - ∞; + [ .

โดเมนของฟังก์ชันเลขชี้กำลังและลอการิทึม

โดเมนของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ในกรณีที่กำหนดฟังก์ชันโดยสูตร โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันคือเส้นจำนวนทั้งหมด ซึ่งก็คือ ] - ∞; + [ .

โดเมนของฟังก์ชันลอการิทึม

ฟังก์ชันลอการิทึมถูกกำหนดโดยมีเงื่อนไขว่าอาร์กิวเมนต์เป็นค่าบวก กล่าวคือ โดเมนของคำจำกัดความคือเซต ]0; + [ .

ค้นหาโดเมนของฟังก์ชันด้วยตัวเองแล้วดูผลเฉลย

โดเมนของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

โดเมนฟังก์ชัน ย= cos( x) - มากมาย ร ตัวเลขจริง

โดเมนฟังก์ชัน ย= ทีจี( x) - ชุด ร จำนวนจริงที่ไม่ใช่ตัวเลข .

โดเมนฟังก์ชัน ย= CTG( x) - ชุด ร จำนวนจริง ยกเว้นตัวเลข

ตัวอย่างที่ 8 ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน .

สารละลาย. ฟังก์ชันภายนอกเป็นลอการิทึมฐานสิบ และโดเมนของคำจำกัดความจะขึ้นอยู่กับเงื่อนไขของโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันลอการิทึมโดยทั่วไป นั่นคือข้อโต้แย้งของเธอจะต้องเป็นบวก อาร์กิวเมนต์ที่นี่คือไซน์ของ "x" เมื่อหมุนเข็มทิศจินตภาพเป็นวงกลม เราจะเห็นว่าสภาวะนั้นเป็นบาป x> 0 ละเมิดเมื่อ “x” เท่ากับศูนย์ “pi” สอง คูณด้วย “pi” และโดยทั่วไปเท่ากับผลคูณของ “pi” และจำนวนเต็มคู่หรือคี่ใดๆ

ดังนั้น โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันนี้จึงถูกกำหนดโดยนิพจน์

,

ที่ไหน เค- จำนวนเต็ม

โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

โดเมนฟังก์ชัน ย= อาร์คซิน( x) - ตั้งค่า [-1; 1].

โดเมนฟังก์ชัน ย= อาร์คคอส( x) - รวมถึงชุด [-1; 1].

โดเมนฟังก์ชัน ย= อาร์คแทน( x) - ชุด ร ตัวเลขจริง

โดเมนฟังก์ชัน ย= ส่วนโค้ง ( x) - มากมาย ร ตัวเลขจริง

ตัวอย่างที่ 9 ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน .

สารละลาย. มาแก้อสมการกัน:

ดังนั้นเราจึงได้โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันนี้ - ส่วน [- 4; 4].

ตัวอย่างที่ 10 ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน .

สารละลาย. ลองแก้อสมการสองประการ:

วิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันประการแรก:

คำตอบของอสมการที่สอง:

ดังนั้นเราจึงได้โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันนี้ - ส่วน

ขอบเขตเศษส่วน

ถ้าฟังก์ชันถูกกำหนดโดยนิพจน์เศษส่วนโดยที่ตัวแปรอยู่ในตัวส่วนของเศษส่วน โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันจะเป็นเซต ร จำนวนจริง ยกเว้นจำนวนเหล่านี้ xโดยที่ตัวส่วนของเศษส่วนจะกลายเป็นศูนย์

ตัวอย่างที่ 11 ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน .

สารละลาย. โดยการแก้ความเท่าเทียมกันของตัวส่วนของเศษส่วนเป็นศูนย์เราจะพบโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันนี้ - เซต ]- ∞; - 2[ ∪ ]- 2 ;+ ∞[ .