ความน่าจะเป็นที่เป็นไปได้ ลงด้วยความไม่แน่นอนหรือวิธีหาความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็นแสดงถึงความเป็นไปได้ของเหตุการณ์หนึ่งๆ เมื่อพิจารณาจากจำนวนครั้งที่กำหนด คือจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้โดยผลลัพธ์ตั้งแต่หนึ่งผลลัพธ์ขึ้นไปหารด้วยจำนวนเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หลายเหตุการณ์คำนวณโดยการแบ่งปัญหาออกเป็นความน่าจะเป็นแต่ละรายการ แล้วคูณความน่าจะเป็นเหล่านี้

ขั้นตอน

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่มเหตุการณ์เดียว

1. เลือกเหตุการณ์ที่มีผลลัพธ์ที่ไม่เกิดร่วมกันความน่าจะเป็นสามารถคำนวณได้ก็ต่อเมื่อเหตุการณ์ที่เป็นปัญหาเกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้น เป็นไปไม่ได้ที่จะได้รับเหตุการณ์และผลลัพธ์ที่ตรงกันข้ามพร้อมกัน ตัวอย่างของเหตุการณ์ดังกล่าวคือการทอยลูกเต๋า 5 แต้ม หรือการชนะม้าบางตัวในการแข่งขัน ห้าอันจะเกิดขึ้นหรือไม่ก็จะไม่เกิดขึ้น ม้าบางตัวจะมาก่อนหรือไม่ก็ตาม

   • ตัวอย่างเช่น เป็นไปไม่ได้ที่จะคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ดังกล่าว: ด้วยการโยนลูกเต๋าหนึ่งครั้ง 5 และ 6 จะปรากฏขึ้นพร้อมกัน

2. ระบุเหตุการณ์และผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่อาจเกิดขึ้นสมมติว่าคุณต้องกำหนดความน่าจะเป็นที่เมื่อโยนเกมที่ตายด้วยตัวเลข 6 ตัว คุณจะได้เลขสาม "การทอยเลขสาม" เป็นเหตุการณ์หนึ่ง และเนื่องจากเรารู้ว่าเลขตัวใดตัวหนึ่งใน 6 ตัวนั้นสามารถทอยได้ จำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้คือ 6 ตัว ดังนั้นเราจึงรู้ว่าในกรณีนี้มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ 6 รายการและมีเหตุการณ์หนึ่งเหตุการณ์ ซึ่งเป็นความน่าจะเป็นที่เราต้องการกำหนด ด้านล่างนี้คืออีกสองตัวอย่าง

   • ตัวอย่างที่ 1. ในกรณีนี้ เหตุการณ์คือ "การเลือกวันที่ตรงกับสุดสัปดาห์" และจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้จะเท่ากับจำนวนวันในสัปดาห์ ซึ่งก็คือ 7 วัน
   • ตัวอย่างที่ 2. เหตุการณ์คือ “จั่วลูกบอลสีแดง” และจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้จะเท่ากับจำนวนลูกบอลทั้งหมดนั่นคือยี่สิบ

3. หารจำนวนเหตุการณ์ด้วยจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้วิธีนี้จะช่วยกำหนดความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เดียว หากเราพิจารณากรณีการทอยลูกเต๋าเป็น 3 จำนวนเหตุการณ์คือ 1 (3 อยู่ด้านเดียวของลูกเต๋า) และจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดคือ 6 ผลลัพธ์คืออัตราส่วน 1/6 0.166 หรือ 16.6% ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สำหรับสองตัวอย่างข้างต้นพบได้ดังนี้:

   • ตัวอย่างที่ 1. ความน่าจะเป็นที่คุณจะสุ่มเลือกวันที่ตรงกับสุดสัปดาห์เป็นเท่าใดจำนวนเหตุการณ์คือ 2 เนื่องจากมีสุดสัปดาห์สองสัปดาห์ในหนึ่งสัปดาห์ และจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดคือ 7 ดังนั้น ความน่าจะเป็นคือ 2/7 ผลลัพธ์ที่ได้ยังสามารถเขียนเป็น 0.285 หรือ 28.5%
   • ตัวอย่างที่ 2. กล่องประกอบด้วยลูกบอลสีน้ำเงิน 4 ลูก สีแดง 5 ลูก และสีขาว 11 ลูก ถ้าสุ่มหยิบลูกบอลออกจากกล่อง ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลจะเป็นสีแดงเป็นเท่าใดจำนวนเหตุการณ์คือ 5 เนื่องจากมีลูกบอลสีแดง 5 ลูกในกล่อง และจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดคือ 20 เราพบความน่าจะเป็น: 5/20 = 1/4 ผลลัพธ์ที่ได้สามารถเขียนเป็น 0.25 หรือ 25% ได้

4. บวกความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดและดูว่าผลรวมเป็น 1 หรือไม่ความน่าจะเป็นรวมของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดต้องเป็น 1 หรือ 100% หากคุณไม่ได้รับ 100% เป็นไปได้มากว่าคุณทำผิดพลาดและพลาดกิจกรรมที่เป็นไปได้อย่างน้อยหนึ่งรายการ ตรวจสอบการคำนวณของคุณและให้แน่ใจว่าคุณได้พิจารณาผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดแล้ว

   • เช่น ความน่าจะเป็นที่จะได้ 3 เมื่อทอยลูกเต๋าคือ 1/6 ในกรณีนี้ ความน่าจะเป็นที่จำนวนอื่นๆ ที่หลุดออกจากห้าที่เหลือจะเท่ากับ 1/6 เช่นกัน เป็นผลให้เราได้ 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 6/6 นั่นคือ 100%
   • ตัวอย่างเช่น หากคุณลืมเลข 4 บนลูกเต๋า การบวกความน่าจะเป็นจะทำให้คุณได้เพียง 5/6 หรือ 83% ซึ่งไม่เท่ากับ 1 และบ่งบอกถึงข้อผิดพลาด

5. แสดงความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่เป็นไปไม่ได้เป็น 0ซึ่งหมายความว่าเหตุการณ์ที่กำหนดไม่สามารถเกิดขึ้นได้และความน่าจะเป็นของมันคือ 0 วิธีนี้ทำให้คุณสามารถอธิบายถึงเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ได้

   • เช่น หากคุณคำนวณความน่าจะเป็นที่เทศกาลอีสเตอร์จะตรงกับวันจันทร์ในปี 2020 คุณจะได้ 0 เพราะเทศกาลอีสเตอร์จะมีการเฉลิมฉลองในวันอาทิตย์เสมอ

   ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่มหลายเหตุการณ์

   1. เมื่อพิจารณาเหตุการณ์อิสระ ให้คำนวณความน่าจะเป็นแต่ละรายการแยกกันเมื่อคุณระบุความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ได้แล้ว ก็สามารถคำนวณแยกกันได้ สมมติว่าเราต้องการทราบความน่าจะเป็นที่จะทอยลูกเต๋าสองครั้งติดต่อกันแล้วได้แต้ม 5 เรารู้ว่าความน่าจะเป็นที่จะได้เลข 5 เท่ากับ 1/6 และความน่าจะเป็นที่จะได้เลข 5 ตัวที่สองก็คือ 1/6 เช่นกัน ผลลัพธ์แรกไม่เกี่ยวข้องกับผลลัพธ์ที่สอง

      • เรียกว่าห้าม้วนหลายม้วน กิจกรรมอิสระเนื่องจากสิ่งที่เกิดขึ้นครั้งแรกไม่ส่งผลกระทบต่อเหตุการณ์ที่สอง

   2. พิจารณาอิทธิพลของผลลัพธ์ก่อนหน้าเมื่อคำนวณความน่าจะเป็นสำหรับเหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพาหากเหตุการณ์แรกส่งผลต่อความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่สอง เราจะพูดถึงการคำนวณความน่าจะเป็น เหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพา- ตัวอย่างเช่น หากคุณเลือกไพ่สองใบจากสำรับไพ่ 52 ใบ หลังจากจั่วไพ่ใบแรก องค์ประกอบของสำรับจะเปลี่ยนไป ซึ่งส่งผลต่อการเลือกไพ่ใบที่สอง ในการคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่สองจากสองเหตุการณ์ คุณต้องลบ 1 ออกจากจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เมื่อคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่สอง

      • ตัวอย่างที่ 1- พิจารณาเหตุการณ์ต่อไปนี้: สุ่มหยิบไพ่สองใบจากสำรับ ทีละใบ ความน่าจะเป็นที่ไพ่ทั้งสองใบจะเป็นของดอกจิกเป็นเท่าใด?ความน่าจะเป็นที่ไพ่ใบแรกจะเป็นดอกจิกคือ 13/52 หรือ 1/4 เนื่องจากมีไพ่ดอกเดียวกัน 13 ใบในสำรับ
        • หลังจากนี้ ความน่าจะเป็นที่ไพ่ใบที่สองจะเป็นชุดไม้กอล์ฟคือ 12/51 เนื่องจากไม่มีไพ่คลับใบเดียวอีกต่อไป เนื่องจากเหตุการณ์แรกมีอิทธิพลต่อเหตุการณ์ที่สอง หากคุณจั่วไพ่สามดอกและไม่นำกลับคืน จะมีไพ่ในสำรับน้อยกว่าหนึ่งใบ (51 แทนที่จะเป็น 52)
      • ตัวอย่างที่ 2. ในกล่องมีลูกบอลสีน้ำเงิน 4 สีแดง 5 และสีขาว 11 ลูก ถ้าสุ่มจับลูกบอลสามลูก ความน่าจะเป็นที่ลูกแรกเป็นสีแดง ลูกที่สองเป็นสีน้ำเงิน และลูกที่สามเป็นสีขาวเป็นเท่าใด
        • ความน่าจะเป็นที่ลูกแรกจะเป็นสีแดงคือ 5/20 หรือ 1/4 ความน่าจะเป็นที่ลูกที่สองจะเป็นสีฟ้าคือ 4/19 เนื่องจากเหลือลูกอยู่ในกล่องน้อยกว่าหนึ่งลูกแต่ยังคงเป็น 4 สีฟ้าลูกบอล. สุดท้ายความน่าจะเป็นที่ลูกที่สามจะเป็นสีขาวคือ 11/18 เนื่องจากเราจั่วได้สองลูกแล้ว

   3. คูณความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์ไม่ว่าคุณจะจัดการกับเหตุการณ์อิสระหรือเหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพา หรือจำนวนผลลัพธ์ (อาจเป็น 2, 3 หรือ 10 ก็ตาม) คุณสามารถคำนวณความน่าจะเป็นโดยรวมได้โดยการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ทั้งหมดที่เป็นปัญหาด้วยกัน ผลลัพธ์ที่ได้คือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่างๆ ดังต่อไปนี้ ทีละคน- เช่น งานคือ จงหาความน่าจะเป็นที่เมื่อทอยลูกเต๋า 2 ครั้งติดต่อกัน คุณจะได้ 5- เหตุการณ์เหล่านี้เป็นเหตุการณ์อิสระสองเหตุการณ์ โดยความน่าจะเป็นของเหตุการณ์แต่ละเหตุการณ์คือ 1/6 ดังนั้น ความน่าจะเป็นของทั้งสองเหตุการณ์คือ 1/6 x 1/6 = 1/36 ซึ่งก็คือ 0.027 หรือ 2.7%

      • ตัวอย่างที่ 1. สุ่มหยิบไพ่สองใบจากสำรับ ทีละใบ ความน่าจะเป็นที่ไพ่ทั้งสองใบจะเป็นของดอกจิกเป็นเท่าใด?ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์แรกคือ 13/52 ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่สองคือ 12/51 เราพบความน่าจะเป็นทั้งหมด: 13/52 x 12/51 = 12/204 = 1/17 นั่นคือ 0.058 หรือ 5.8%
      • ตัวอย่างที่ 2. กล่องประกอบด้วยลูกบอลสีน้ำเงิน 4 ลูก สีแดง 5 ลูก และสีขาว 11 ลูก ถ้าสุ่มหยิบลูกบอลสามลูกจากกล่องทีละลูก ความน่าจะเป็นที่ลูกแรกเป็นสีแดง ลูกที่สองเป็นสีน้ำเงิน และลูกที่สามเป็นสีขาวเป็นเท่าใดความน่าจะเป็นของเหตุการณ์แรกคือ 5/20 ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่สองคือ 4/19 ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่สามคือ 11/18 ดังนั้นความน่าจะเป็นรวมคือ 5/20 x 4/19 x 11/18 = 44/1368 = 0.032 หรือ 3.2%

จะแปลงความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ให้เป็นสัมประสิทธิ์ได้อย่างไร? จะค้นหาราคาต่อรองที่มีมูลค่า (มีค่าหรือสูงเกินจริง) จากผลลัพธ์ของเหตุการณ์ได้อย่างไร?

เพื่อเพิ่มโอกาสในการชนะ ผู้เล่นจะต้องเข้าใจวิธีการทำงานของเจ้ามือรับแทง

อัตราต่อรองของเจ้ามือรับแทงแสดงถึงความน่าจะเป็นของเหตุการณ์โดยมีเปอร์เซ็นต์มาร์กอัป (มาร์จิ้น) ที่แน่นอน ซึ่งแตกต่างกันไประหว่าง 1.5-10% ในสำนักงานต่างๆ หากไม่มีมาร์จิ้น เจ้ามือรับแทงทั้งหมดจะเลิกกิจการภายในไม่กี่ชั่วโมง

ผู้เล่นจะต้องเข้าใจว่าอัตราต่อรองคืออะไรและเดิมพันเฉพาะราคาที่สร้างผลกำไรให้กับตนเองเท่านั้น ดังนั้นเขาจึงต้องสามารถแปลงอัตราต่อรองให้เป็นความน่าจะเป็นได้และในทางกลับกัน

สูตรการแปลงสัมประสิทธิ์เป็นเปอร์เซ็นต์ของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์:

V=1/odf*100%

การแปลงความน่าจะเป็นเป็นอัตราต่อรองคำนวณโดยใช้สูตร:

K=100%/ความน่าจะเป็น

ตัวอย่าง

อัตราต่อรองของเจ้ามือรับแทงสำหรับการแข่งขันระหว่างเรอัลมาดริดและลิเวอร์พูลคือ:

2.25 (Win1) – 3.7 (เสมอ) – 3.09 (Win2)

การแปลงค่าสัมประสิทธิ์ความน่าจะเป็น

วี(P1) = 1/2.25*100%= 44.4%

V(เสมอ) = 1/3.7*100%= 27%

วี(P2) = 1/3.09*100%= 32.4%

เราบวกความน่าจะเป็นของแมตช์นี้และรับความน่าจะเป็นทั้งหมด

วี = 44.4%+27%+32.4%= 103.8%

หลายคนคงสงสัยว่าเหตุใดความน่าจะเป็นจึงเกินร้อยเปอร์เซ็นต์ คำตอบนั้นง่ายมาก ทุกอย่างที่เกิน 100% คือส่วนต่างของเจ้ามือรับแทง ในกรณีของเราคือ 3.8%

อัตราต่อรองสำหรับเหตุการณ์ที่เป็นไปได้เท่าเทียมกันควรเป็น K(P1) = K(P2) = 2.0 (50%) อย่างไรก็ตาม เนื่องจากอัตรากำไรของเจ้ามือรับแทง พวกเขาจะถูกประเมินต่ำเกินไป ตัวอย่างเช่น หากมาร์กอัปของเจ้ามือรับแทงคือ 7% อัตราต่อรองจะเป็น 1.86 ถ้าเป็น 2% อัตราต่อรองจะเป็น 1.96

กุญแจสู่ความสำเร็จสำหรับผู้เล่นที่ประสบความสำเร็จคือการเดิมพันด้วยอัตราต่อรองที่ดีที่สุดเสมอ เจ้ามือรับแทงม้าจ้างเทรดเดอร์ที่สามารถทำผิดพลาดในการคำนวณได้ ผู้เล่นที่มีทักษะสามารถหาเลี้ยงชีพได้ดีจากการคำนวณผิดดังกล่าว

ตัวอย่างเช่น เจ้ามือรับแทงประเมินชัยชนะของยูเวนตุสเหนือโรมาด้วยความน่าจะเป็น 60% (1.66) และหลังจากวิเคราะห์การแข่งขันอย่างรอบคอบแล้ว คุณก็คำนวณความน่าจะเป็น 67% (1.49) หากการคำนวณของคุณถูกต้อง เจ้ามือรับแทงจะให้อัตราต่อรองที่สูงเกินจริง (มีค่า) สำหรับผลลัพธ์ของเหตุการณ์นี้ ผู้เล่นควรใช้ประโยชน์จากโอกาสนี้อย่างแน่นอนโดยการเดิมพันให้ยูเวนตุสเป็นผู้ชนะ อัตราต่อรองดังกล่าวเรียกว่าอัตราต่อรองที่คุ้มค่า และในการเล่นระยะยาว พวกเขาจะทำกำไรให้กับผู้เล่นอย่างแน่นอน

หากความน่าจะเป็นของคุณน้อยกว่า 60% นั่นหมายความว่าเจ้ามือรับแทงประเมินอัตราต่อรองของผลลัพธ์นี้ต่ำเกินไป การวางเดิมพันด้วยอัตราต่อรองที่ต่ำอย่างเห็นได้ชัดเป็นสิ่งต้องห้ามโดยเด็ดขาด!

ในการค้นหาการเดิมพันที่คุ้มค่า ผู้เล่นจะต้องสามารถวิเคราะห์ความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ได้อย่างถูกต้อง แม้ว่าจะมีบริการที่มีชื่อเสียงมากมายที่ให้บริการดังกล่าวโดยเสียค่าธรรมเนียมก็ตาม

เวลาโยนเหรียญก็บอกได้เลยว่าเหรียญหงายหรือหงายขึ้น ความน่าจะเป็น นี่คือ 1/2. แน่นอนว่าไม่ได้หมายความว่าหากโยนเหรียญ 10 ครั้ง เหรียญจะต้องตกหัว 5 ครั้ง ถ้าเหรียญ "ยุติธรรม" และถ้าโยนหลายครั้ง หัวจะตกลงมากครึ่งหนึ่งของเวลา ดังนั้น ความน่าจะเป็นจึงมีอยู่สองประเภท: ทดลอง และ ตามทฤษฎี .

ความน่าจะเป็นเชิงทดลองและเชิงทฤษฎี

ถ้าเราโยนเหรียญหลายๆ ครั้ง เช่น 1,000 ครั้ง และนับจำนวนครั้งที่เหรียญตกหัว เราจะสามารถกำหนดความน่าจะเป็นที่เหรียญจะตกหัวได้ หากโยนหัว 503 ครั้ง เราสามารถคำนวณความน่าจะเป็นที่มันจะตกได้:
503/1000 หรือ 0.503

นี้ ทดลอง คำจำกัดความของความน่าจะเป็น คำจำกัดความของความน่าจะเป็นนี้มาจากการสังเกตและการศึกษาข้อมูล ซึ่งค่อนข้างธรรมดาและมีประโยชน์มาก ตัวอย่างเช่น นี่คือความน่าจะเป็นบางส่วนที่ถูกกำหนดโดยการทดลอง:

1. ความน่าจะเป็นที่ผู้หญิงจะเป็นมะเร็งเต้านมคือ 1/11

2. หากคุณจูบคนที่เป็นหวัด ความน่าจะเป็นที่คุณจะเป็นหวัดด้วยคือ 0.07

3. ผู้ที่เพิ่งได้รับการปล่อยตัวออกจากเรือนจำมีโอกาสกลับเข้าเรือนจำถึง 80%

หากเราพิจารณาโยนเหรียญและคำนึงว่าเหรียญจะออกหัวหรือออกก้อยพอๆ กัน เราสามารถคำนวณความน่าจะเป็นที่จะได้หัว: 1/2 นี่คือคำจำกัดความทางทฤษฎีของความน่าจะเป็น ความน่าจะเป็นอื่นๆ ต่อไปนี้ถูกกำหนดตามทฤษฎีโดยใช้คณิตศาสตร์:

1. ถ้าห้องหนึ่งมีคน 30 คน ความน่าจะเป็นที่คนสองคนมีวันเกิดวันเดียวกัน (ไม่รวมปี) คือ 0.706

2. ระหว่างการเดินทาง คุณพบใครบางคน และในระหว่างการสนทนา คุณพบว่าคุณมีเพื่อนร่วมกัน ปฏิกิริยาโดยทั่วไป: “นี่เป็นไปไม่ได้!” อันที่จริงแล้ว วลีนี้ไม่เหมาะ เนื่องจากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ดังกล่าวค่อนข้างสูง - เพียงมากกว่า 22%

ดังนั้นความน่าจะเป็นในการทดลองจึงถูกกำหนดโดยการสังเกตและการรวบรวมข้อมูล ความน่าจะเป็นทางทฤษฎีถูกกำหนดโดยใช้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ ตัวอย่างของความน่าจะเป็นทางการทดลองและทางทฤษฎี เช่น ที่กล่าวไว้ข้างต้น และโดยเฉพาะอย่างยิ่งสิ่งที่เราไม่คาดคิด จะนำเราไปสู่ความสำคัญของการศึกษาความน่าจะเป็น คุณอาจถามว่า "ความน่าจะเป็นที่แท้จริงคืออะไร" ในความเป็นจริงไม่มีสิ่งนั้น ความน่าจะเป็นภายในขีดจำกัดที่กำหนดสามารถกำหนดได้จากการทดลอง อาจตรงกับความน่าจะเป็นที่เราได้รับตามทฤษฎีหรือไม่ก็ได้ มีบางสถานการณ์ที่การระบุความน่าจะเป็นประเภทหนึ่งได้ง่ายกว่าประเภทอื่นมาก ตัวอย่างเช่น ก็เพียงพอแล้วที่จะหาความน่าจะเป็นที่จะเป็นหวัดโดยใช้ความน่าจะเป็นทางทฤษฎี

การคำนวณความน่าจะเป็นเชิงทดลอง

ให้เราพิจารณาคำจำกัดความเชิงทดลองของความน่าจะเป็นก่อน หลักการพื้นฐานที่เราใช้ในการคำนวณความน่าจะเป็นมีดังนี้

หลักการ P (ทดลอง)

ถ้าในการทดลองที่มีการสังเกต n ครั้ง สถานการณ์หรือเหตุการณ์ E เกิดขึ้น m ครั้งในการสังเกต n ครั้ง ความน่าจะเป็นเชิงทดลองของเหตุการณ์ดังกล่าวจะเรียกว่า P (E) = m/n

ตัวอย่างที่ 1 การสำรวจทางสังคมวิทยา มีการศึกษาทดลองเพื่อหาจำนวนคนถนัดซ้าย คนถนัดขวา และคนที่มีมือทั้งสองข้างเท่ากัน ผลลัพธ์แสดงไว้ในกราฟ

ก) กำหนดความน่าจะเป็นที่บุคคลนั้นถนัดขวา

b) พิจารณาความน่าจะเป็นที่บุคคลนั้นถนัดซ้าย

c) กำหนดความน่าจะเป็นที่บุคคลหนึ่งจะพูดได้คล่องเท่ากันทั้งสองมือ

d) การแข่งขัน Professional Bowling Association ส่วนใหญ่จำกัดผู้เล่นไว้ที่ 120 คน จากข้อมูลจากการทดลองนี้ มีผู้เล่นที่ถนัดซ้ายได้กี่คน?

สารละลาย

ก) จำนวนคนที่ถนัดขวาคือ 82 คน, คนถนัดซ้ายคือ 17 คน และจำนวนคนที่ถนัดมือทั้งสองข้างเท่ากันคือ 1 จำนวนการสังเกตทั้งหมดคือ 100 ดังนั้น ความน่าจะเป็น ว่าคนถนัดขวาคือพี
P = 82/100 หรือ 0.82 หรือ 82%

b) ความน่าจะเป็นที่คนถนัดซ้ายคือ P โดยที่
P = 17/100 หรือ 0.17 หรือ 17%

c) ความน่าจะเป็นที่บุคคลจะพูดได้คล่องทั้งสองมือเท่ากันคือ P โดยที่
P = 1/100 หรือ 0.01 หรือ 1%

d) ผู้ขว้าง 120 คน และจาก (b) เราคาดหวังได้ว่า 17% เป็นคนถนัดซ้าย จากที่นี่
17% ของ 120 = 0.17.120 = 20.4,
นั่นคือเราสามารถคาดหวังให้ผู้เล่นถนัดซ้ายได้ประมาณ 20 คน

ตัวอย่างที่ 2 การควบคุมคุณภาพ - เป็นสิ่งสำคัญมากสำหรับผู้ผลิตที่จะต้องรักษาคุณภาพของผลิตภัณฑ์ไว้ในระดับสูง ในความเป็นจริง บริษัทต่างๆ จ้างผู้ตรวจสอบการควบคุมคุณภาพเพื่อรับรองกระบวนการนี้ เป้าหมายคือการผลิตผลิตภัณฑ์ที่มีข้อบกพร่องให้น้อยที่สุด แต่เนื่องจากบริษัทผลิตสินค้าหลายพันรายการทุกวัน จึงไม่สามารถทดสอบผลิตภัณฑ์ทุกรายการเพื่อดูว่ามีข้อบกพร่องหรือไม่ หากต้องการค้นหาเปอร์เซ็นต์ของผลิตภัณฑ์ที่มีข้อบกพร่อง บริษัทจะทดสอบผลิตภัณฑ์น้อยลงมาก
USDA กำหนดให้เมล็ดพันธุ์ที่ขายโดยผู้ปลูกต้องงอก 80% เพื่อกำหนดคุณภาพของเมล็ดพันธุ์ที่บริษัทเกษตรกรรมผลิต จะต้องปลูกเมล็ดพันธุ์ 500 เมล็ดจากเมล็ดพันธุ์ที่ผลิต หลังจากนั้นจึงคำนวณได้ว่ามีเมล็ดงอก 417 เมล็ด

ก) ความน่าจะเป็นที่เมล็ดจะงอกเป็นเท่าใด?

b) เมล็ดพันธุ์เป็นไปตามมาตรฐานของรัฐบาลหรือไม่?

สารละลายก) เรารู้ว่าจากเมล็ดที่ปลูก 500 เมล็ด มีเมล็ดงอก 417 เมล็ด ความน่าจะเป็นของการงอกของเมล็ด P และ
P = 417/500 = 0.834 หรือ 83.4%

b) เนื่องจากเปอร์เซ็นต์ของเมล็ดงอกเกิน 80% ตามที่กำหนด เมล็ดจึงเป็นไปตามมาตรฐานของรัฐบาล

ตัวอย่างที่ 3 เรตติ้งโทรทัศน์. ตามสถิติ มีครัวเรือนที่มีโทรทัศน์จำนวน 105,500,000 ครัวเรือนในสหรัฐอเมริกา ทุกสัปดาห์ข้อมูลเกี่ยวกับการรับชมรายการจะถูกรวบรวมและประมวลผล ในหนึ่งสัปดาห์ มีผู้ชม 7,815,000 ครัวเรือนรับชมซีรีส์ตลกยอดนิยมเรื่อง "Everybody Loves Raymond" ทางช่อง CBS และ 8,302,000 ครัวเรือนได้รับชมซีรีส์ยอดนิยมเรื่อง "Law & Order" ทางช่อง NBC (ที่มา: Nielsen Media Research) ความน่าจะเป็นที่ทีวีของครอบครัวหนึ่งจะปรับเป็น "Everybody Loves Raymond" ในช่วงสัปดาห์ที่กำหนดเป็นเท่าใด

สารละลายความน่าจะเป็นที่โทรทัศน์ในครัวเรือนหนึ่งจะปรับเป็น "ใครๆ ก็รักเรย์มอนด์" คือ P และ
P = 7,815,000/105,500,000 µ 0.074 µ 7.4%
โอกาสที่ทีวีของครัวเรือนได้รับการปรับเป็น Law & Order คือ P และ
P = 8,302,000/105,500,000 µm 0.079 µm 7.9%
เปอร์เซ็นต์เหล่านี้เรียกว่าการให้คะแนน

ความน่าจะเป็นทางทฤษฎี

สมมติว่าเรากำลังทำการทดลอง เช่น การขว้างเหรียญหรือลูกดอก การจั่วไพ่จากสำรับ หรือการทดสอบคุณภาพผลิตภัณฑ์ในสายการผลิต แต่ละผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของการทดลองดังกล่าวเรียกว่า อพยพ - เซตของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดเรียกว่า พื้นที่ผลลัพธ์ . เหตุการณ์ มันเป็นชุดของผลลัพธ์ นั่นคือ เซตย่อยของปริภูมิของผลลัพธ์

ตัวอย่างที่ 4 ขว้างปาเป้า สมมติว่าในการทดลองขว้างปาเป้า ลูกดอกจะโดนเป้าหมาย ค้นหาแต่ละรายการต่อไปนี้:

b) พื้นที่ผลลัพธ์

สารละลาย
a) ผลลัพธ์คือ: กดปุ่มสีดำ (B), กดปุ่มสีแดง (R) และกดปุ่มสีขาว (B)

b) ช่องผลลัพธ์คือ (ช่องสีดำ ช่องสีแดง ช่องสีขาว) ซึ่งสามารถเขียนง่ายๆ ว่า (H, K, B)

ตัวอย่างที่ 5 การขว้างลูกเต๋า ลูกเต๋าคือลูกบาศก์ที่มีหกด้าน แต่ละด้านมีจุดหนึ่งถึงหกจุด


สมมติว่าเรากำลังขว้างลูกเต๋า หา
ก) ผลลัพธ์
b) พื้นที่ผลลัพธ์

สารละลาย
ก) ผลลัพธ์: 1, 2, 3, 4, 5, 6
b) พื้นที่ผลลัพธ์ (1, 2, 3, 4, 5, 6)

เราแสดงความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ E จะเกิดขึ้นเป็น P(E) ตัวอย่างเช่น “เหรียญจะตกลงบนหัว” สามารถเขียนแทนด้วย H จากนั้น P(H) แสดงถึงความน่าจะเป็นที่เหรียญจะตกลงบนหัว เมื่อผลลัพธ์ทั้งหมดของการทดสอบมีความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นเท่ากัน ก็จะถือว่ามีความน่าจะเป็นเท่ากัน หากต้องการดูความแตกต่างระหว่างเหตุการณ์ที่มีโอกาสเท่าเทียมกันกับเหตุการณ์ที่ไม่เท่ากัน ให้พิจารณาเป้าหมายที่แสดงด้านล่าง

สำหรับเป้าหมาย A เหตุการณ์การชนสีดำ แดง และขาวมีความเป็นไปได้พอๆ กัน เนื่องจากส่วนสีดำ แดง และขาวเหมือนกัน อย่างไรก็ตาม สำหรับเป้าหมาย B โซนที่มีสีเหล่านี้ไม่เหมือนกัน กล่าวคือ การชนนั้นไม่น่าจะเป็นไปได้เท่ากัน

หลักการ P (เชิงทฤษฎี)

ถ้าเหตุการณ์ E สามารถเกิดขึ้นได้เป็น m จาก n ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เท่ากันจากสเปซผลลัพธ์ S แล้ว ความน่าจะเป็นทางทฤษฎี เหตุการณ์ P(E) คือ
P(E) = ม/n

ตัวอย่างที่ 6ความน่าจะเป็นที่จะทอยลูกเต๋าได้ 3 เป็นเท่าไหร่?

สารละลายลูกเต๋ามีผลลัพธ์ที่น่าจะเป็นไปได้เท่ากัน 6 แบบ และมีเพียงความเป็นไปได้เดียวเท่านั้นที่จะทอยเลข 3 จากนั้นความน่าจะเป็น P จะเป็น P(3) = 1/6

ตัวอย่างที่ 7ความน่าจะเป็นที่จะทอยเลขคู่บนลูกเต๋าเป็นเท่าไหร่?

สารละลายเหตุการณ์คือการขว้างเลขคู่ สิ่งนี้สามารถเกิดขึ้นได้ 3 วิธี (หากคุณหมุน 2, 4 หรือ 6) จำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เท่ากันคือ 6 จากนั้นความน่าจะเป็น P(คู่) = 3/6 หรือ 1/2

เราจะใช้ตัวอย่างจำนวนหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับสำรับไพ่มาตรฐาน 52 ใบ สำรับนี้ประกอบด้วยไพ่ที่แสดงในรูปด้านล่าง

ตัวอย่างที่ 8ความน่าจะเป็นในการจั่วไพ่เอซจากสำรับไพ่ที่สับอย่างดีคือเท่าไร?

สารละลายมีผลลัพธ์ 52 แบบ (จำนวนไพ่ในสำรับ) มีโอกาสเท่ากัน (ถ้าสับสำรับดี) และมีวิธีจั่วเอซได้ 4 วิธี ดังนั้นตามหลักการ P ความน่าจะเป็น
P(จั่วเอซ) = 4/52 หรือ 1/13

ตัวอย่างที่ 9สมมติว่าเราเลือกลูกบอลหนึ่งลูกจากถุงที่มีลูกบอลสีแดง 3 ลูกและสีเขียว 4 ลูกโดยไม่มอง ความน่าจะเป็นที่จะเลือกลูกบอลสีแดงคือเท่าไร?

สารละลายมีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้พอๆ กัน 7 แบบในการจั่วลูกบอล และเนื่องจากจำนวนวิธีในการจับลูกบอลสีแดงคือ 3 เราจึงได้
P(การเลือกลูกบอลสีแดง) = 3/7

ข้อความต่อไปนี้เป็นผลจากหลักการ P

คุณสมบัติของความน่าจะเป็น

ก) ถ้าเหตุการณ์ E ไม่สามารถเกิดขึ้นได้ ดังนั้น P(E) = 0
b) ถ้าเหตุการณ์ E เกิดขึ้นแน่นอน ดังนั้น P(E) = 1
c) ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ E จะเกิดขึ้นคือตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1

ตัวอย่างเช่น ในการโยนเหรียญ เหตุการณ์ที่เหรียญตกขอบนั้นมีความน่าจะเป็นเป็นศูนย์ ความน่าจะเป็นที่เหรียญจะออกหัวหรือก้อยมีความน่าจะเป็นเท่ากับ 1

ตัวอย่างที่ 10สมมุติว่าจั่วไพ่ 2 ใบจากสำรับไพ่ 52 ใบ ความน่าจะเป็นที่ทั้งคู่จะถึงจุดสูงสุดเป็นเท่าใด?

สารละลายจำนวนวิธีจั่วไพ่ 2 ใบจากสำรับไพ่ 52 ใบที่สับอย่างดีคือ 52 C 2 เนื่องจากไพ่ 13 ใบจากทั้งหมด 52 ใบเป็นโพดำ จำนวนวิธีที่ m จะจั่วไพ่ 2 โพดำคือ 13 C 2 แล้ว,
P(ดึง 2 ยอด) = m/n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17

ตัวอย่างที่ 11สมมติว่าสุ่มเลือกคน 3 คนจากกลุ่มชาย 6 คน และหญิง 4 คน ความน่าจะเป็นที่จะเลือกผู้ชาย 1 คน และผู้หญิง 2 คน เป็นเท่าไหร่?

สารละลายจำนวนวิธีเลือกสามคนจากกลุ่ม 10 คนคือ 10 C 3 ผู้ชายหนึ่งคนสามารถเลือกได้ 6 C 1 วิธี และผู้หญิง 2 คนสามารถเลือกได้ 4 C 2 วิธี ตามหลักการพื้นฐานของการนับ จำนวนวิธีเลือกชาย 1 คนและหญิง 2 คนคือ 6 C 1 4 ซี 2 . จากนั้นความน่าจะเป็นที่จะเลือกผู้ชาย 1 คน และผู้หญิง 2 คน คือ
ป = 6 ค 1 . 4 ค 2 / 10 ค 3 = 3/10

ตัวอย่างที่ 12 การขว้างลูกเต๋า ความน่าจะเป็นที่จะทอยลูกเต๋าสองลูกได้แต้มรวม 8 แต้มเป็นเท่าใด?

สารละลายลูกเต๋าแต่ละลูกมีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ 6 แบบ ผลลัพธ์จะเพิ่มเป็นสองเท่า ซึ่งหมายความว่ามี 6.6 หรือ 36 วิธีที่เป็นไปได้ที่ตัวเลขบนลูกเต๋าสองลูกจะปรากฏ (จะดีกว่าถ้าลูกบาศก์แตกต่างกัน สมมติว่าอันหนึ่งเป็นสีแดงและอีกอันเป็นสีน้ำเงิน ซึ่งจะช่วยให้เห็นภาพผลลัพธ์)

คู่ตัวเลขที่รวมกันได้ 8 จะแสดงในรูปด้านล่าง มี 5 วิธีที่เป็นไปได้ในการหาผลรวมเท่ากับ 8 ดังนั้นความน่าจะเป็นคือ 5/36

การเลือกเดิมพันที่เหมาะสมไม่เพียงแต่ขึ้นอยู่กับสัญชาตญาณ ความรู้ด้านกีฬา อัตราต่อรองของเจ้ามือรับแทง แต่ยังขึ้นอยู่กับค่าสัมประสิทธิ์ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ด้วย ความสามารถในการคำนวณตัวบ่งชี้ดังกล่าวในการเดิมพันเป็นกุญแจสู่ความสำเร็จในการทำนายเหตุการณ์ที่จะเกิดขึ้นซึ่งควรจะวางเดิมพัน
เจ้ามือรับแทงมีอัตราต่อรองสามประเภท (รายละเอียดเพิ่มเติมในบทความ) ประเภทที่กำหนดวิธีคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สำหรับผู้เล่น

อัตราต่อรองทศนิยม

ในกรณีนี้ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จะคำนวณโดยใช้สูตร: 1/สัมประสิทธิ์ = vi โดยที่สัมประสิทธิ์ คือสัมประสิทธิ์เหตุการณ์ และ vi คือความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ ตัวอย่างเช่น เรารับเหตุการณ์คี่ 1.80 ด้วยการเดิมพันหนึ่งดอลลาร์ ดำเนินการทางคณิตศาสตร์ตามสูตร ผู้เล่นจะได้รับความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ของเหตุการณ์ตามเจ้ามือรับแทงคือ 0.55 เปอร์เซ็นต์

อัตราต่อรองแบบเศษส่วน

เมื่อใช้อัตราต่อรองแบบเศษส่วน สูตรในการคำนวณความน่าจะเป็นจะแตกต่างออกไป ดังนั้น ด้วยค่าสัมประสิทธิ์ 7/2 โดยที่ตัวเลขแรกหมายถึงจำนวนกำไรสุทธิที่เป็นไปได้ และตัวเลขที่สองคือขนาดของการเดิมพันที่ต้องการเพื่อให้ได้กำไรนี้ สมการจะมีลักษณะดังนี้: zn.od/ สำหรับผลรวม ของ zn.od และ chs.od = vi. โดยที่ zn.coef เป็นตัวหารของสัมประสิทธิ์ chs.coef เป็นตัวเศษของสัมประสิทธิ์ vi คือความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ ดังนั้น สำหรับอัตราต่อรองที่เป็นเศษส่วนของ 7/2 สมการจะมีลักษณะดังนี้ 2 / (7+2) = 2/9 = 0.22 ดังนั้น ความน่าจะเป็น 0.22 เปอร์เซ็นต์ของผลลัพธ์ของเหตุการณ์ตามเจ้ามือรับแทง

อัตราต่อรองแบบอเมริกัน

อัตราต่อรองแบบอเมริกันไม่ได้รับความนิยมมากนักในหมู่ผู้เล่น และตามกฎแล้วจะใช้เฉพาะในสหรัฐอเมริกาเท่านั้น โดยมีโครงสร้างที่ซับซ้อนและสับสน เพื่อตอบคำถาม: “จะคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ด้วยวิธีนี้ได้อย่างไร” คุณจำเป็นต้องรู้ว่าค่าสัมประสิทธิ์ดังกล่าวอาจเป็นค่าลบและค่าบวกได้

ค่าสัมประสิทธิ์ที่มีเครื่องหมาย “-” เช่น -150 แสดงว่าผู้เล่นต้องวางเดิมพัน 150 ดอลลาร์เพื่อรับกำไรสุทธิ 100 ดอลลาร์ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จะคำนวณตามสูตรที่คุณต้องหารค่าสัมประสิทธิ์ลบด้วยผลรวมของค่าสัมประสิทธิ์ลบกับ 100 ดูเหมือนว่าจะใช้ตัวอย่างการเดิมพันที่ -150 ดังนั้น (-(-150)) / ((-(-150)) + 100) = 150 / (150 + 100) = 150 / 250 = 0.6 โดยที่ 0.6 คูณด้วย 100 และความน่าจะเป็นผลลัพธ์ของเหตุการณ์คือ 60 เปอร์เซ็นต์ สูตรเดียวกันนี้ยังเหมาะสำหรับอัตราต่อรองแบบอเมริกันที่เป็นบวกอีกด้วย

หัวข้อที่ 1 - สูตรคลาสสิกสำหรับการคำนวณความน่าจะเป็น

คำจำกัดความและสูตรพื้นฐาน:

เรียกว่าการทดลองที่ไม่สามารถคาดเดาผลลัพธ์ได้ การทดลองแบบสุ่ม(เศ).

เหตุการณ์ที่อาจเกิดหรืออาจไม่เกิดขึ้นใน SE ที่กำหนดเรียกว่า เหตุการณ์สุ่ม.

ผลลัพธ์เบื้องต้นเหตุการณ์ที่ตรงตามข้อกำหนดเรียกว่า:

1. ด้วยการดำเนินการใดๆ ของ SE ผลลัพธ์เบื้องต้นหนึ่งเดียวเท่านั้นที่เกิดขึ้น

2. ทุกเหตุการณ์คือการรวมกันที่แน่นอน ซึ่งเป็นผลลัพธ์เบื้องต้นชุดหนึ่ง

ชุดของผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้ทั้งหมดอธิบาย SE ได้อย่างสมบูรณ์ โดยปกติจะเรียกว่าชุดดังกล่าว พื้นที่ของผลลัพธ์เบื้องต้น(เป่ย). ทางเลือกของ PEI เพื่ออธิบาย SE ที่กำหนดนั้นคลุมเครือ และขึ้นอยู่กับปัญหาที่กำลังแก้ไข

P(A) = n(A)/n,

โดยที่ n คือจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เท่ากัน

n (A) – จำนวนผลลัพธ์ที่ประกอบเป็นเหตุการณ์ A ตามที่พวกเขาพูดกันว่าเป็นผลดีต่อเหตุการณ์ A

คำว่า "สุ่ม" "สุ่ม" "สุ่ม" รับประกันความเป็นไปได้ที่เท่าเทียมกันของผลลัพธ์เบื้องต้น

การแก้ตัวอย่างทั่วไป

ตัวอย่างที่ 1 จากโกศที่บรรจุลูกบอลสีแดง 5 ลูก สีดำ 3 ลูก และสีขาว 2 ลูก จะมีการสุ่มจับลูกบอล 3 ลูก ค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์:

ก– “ลูกบอลที่สุ่มออกมาทั้งหมดเป็นสีแดง”;

ใน– “ลูกบอลที่สุ่มออกมาทั้งหมดมีสีเดียวกัน”;

กับ– “ในบรรดาที่สกัดออกมานั้นมีสีดำอยู่ 2 อันพอดี”

สารละลาย:

ผลลัพธ์เบื้องต้นของ SE นี้คือลูกบอลสามเท่า (ไม่เป็นระเบียบ!) ดังนั้น จำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดคือจำนวนชุดค่าผสม: n == 120 (10 = 5 + 3 + 2)

เหตุการณ์ กประกอบด้วยลูกแฝดสามตัวที่สุ่มมาจากลูกบอลสีแดงห้าลูกเท่านั้นคือ n(ก)==10.

เหตุการณ์ ในนอกจากสามสีแดง 10 ตัวแล้ว สามสีดำก็เป็นที่นิยมเช่นกัน จำนวนคือ = 1 ดังนั้น: n (B)=10+1=11

เหตุการณ์ กับแนะนำให้ใช้ลูกบอลสามลูกที่มีสีดำ 2 ลูกและลูกที่ไม่ใช่สีดำหนึ่งลูก แต่ละวิธีในการเลือกลูกบอลสีดำสองลูกสามารถใช้ร่วมกับการเลือกลูกบอลที่ไม่ใช่สีดำหนึ่งลูกได้ (จากเจ็ดลูก) ดังนั้น: n (C) = = 3 * 7 = 21

ดังนั้น: พี(เอ) = 10/120; พี(บี) = 11/120; อาร์(ส) = 21/120.

ตัวอย่างที่ 2 ในเงื่อนไขของปัญหาที่แล้ว เราจะถือว่าลูกบอลแต่ละสีมีหมายเลขของตัวเอง โดยเริ่มจาก 1 ค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์:

ดี– “จำนวนสูงสุดที่แยกออกมาได้คือ 4”;

อี– “จำนวนสูงสุดที่สกัดได้คือ 3”

สารละลาย:

ในการคำนวณ n(D) เราสามารถสรุปได้ว่าโกศนั้นมีลูกบอลหนึ่งลูกที่มีหมายเลข 4 หนึ่งลูกที่มีจำนวนสูงกว่า และลูกบอล 8 ลูก (3k+3h+2b) ที่มีตัวเลขต่ำกว่า เหตุการณ์ ดีแนะนำให้ใช้ลูกบอลสามลูกที่จำเป็นต้องมีลูกบอลที่มีหมายเลข 4 และ 2 ที่มีหมายเลขต่ำกว่า ดังนั้น: n(D) =

พี(ล) = 28/120.

ในการคำนวณ n (E) เราพิจารณา: มีลูกบอลสองลูกในโกศที่มีหมายเลข 3, สองลูกที่มีหมายเลขสูงกว่า และลูกบอลหกลูกที่มีหมายเลขต่ำกว่า (2k+2h+2b) เหตุการณ์ อีประกอบด้วยแฝดสามสองประเภท:

1. ลูกหนึ่งลูกที่มีหมายเลข 3 และสองลูกที่มีหมายเลขต่ำกว่า

2.ลูกบอลสองลูกที่มีหมายเลข 3 และอีกหนึ่งลูกที่มีหมายเลขต่ำกว่า

ดังนั้น: n(E)=

P(อี) = 36/120.

ตัวอย่างที่ 3 อนุภาค M แต่ละอนุภาคที่แตกต่างกันจะถูกสุ่มโยนเข้าไปในเซลล์ N เซลล์ใดเซลล์หนึ่ง ค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์:

ก– อนุภาคทั้งหมดตกลงไปในเซลล์ที่สอง

ใน– อนุภาคทั้งหมดตกลงไปอยู่ในเซลล์เดียว

กับ– แต่ละเซลล์มีอนุภาคไม่เกินหนึ่งอนุภาค (M £ N)

ดี– เซลล์ทั้งหมดถูกครอบครอง (M =N +1)

อี– เซลล์ที่สองมีข้อมูลครบถ้วน ถึง อนุภาค

สารละลาย:

สำหรับแต่ละอนุภาคมี N วิธีในการเข้าไปในเซลล์ใดเซลล์หนึ่ง ตามหลักการพื้นฐานของการรวมกันสำหรับอนุภาค M เรามี N *N *N *…*N (M คูณ) ดังนั้น จำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดใน SE n = N M

สำหรับแต่ละอนุภาค เรามีโอกาสเข้าไปในเซลล์ที่สองได้เพียงครั้งเดียว ดังนั้น n (A) = 1*1*…*1= 1 M = 1 และ P(A) = 1/ N M

การเข้าไปในเซลล์เดียว (สำหรับอนุภาคทั้งหมด) หมายถึงการนำทุกคนเข้าสู่เซลล์ที่หนึ่ง หรือทุกคนเข้าสู่เซลล์ที่สอง หรืออื่นๆ ทุกคนใน Nth แต่แต่ละตัวเลือก N เหล่านี้สามารถนำไปใช้ในทางเดียวได้ ดังนั้น n (B)=1+1+…+1(N -times)=N และ Р(В)=N/N M.

เหตุการณ์ C หมายความว่าแต่ละอนุภาคมีตัวเลือกการจัดตำแหน่งน้อยกว่าอนุภาคก่อนหน้าหนึ่งตัวเลือก และอนุภาคแรกอาจอยู่ในเซลล์ N ใดก็ได้ นั่นเป็นเหตุผล:

n (C) = N *(N -1)*…*(N +M -1) และ Р(С) =

ในกรณีพิเศษด้วย M =N: Р(С)=

เหตุการณ์ D หมายความว่าเซลล์ใดเซลล์หนึ่งประกอบด้วยอนุภาค 2 อนุภาค และแต่ละเซลล์ (N -1) ที่เหลือจะมีอนุภาค 1 อนุภาค ในการค้นหา n (D) เราให้เหตุผลดังนี้: เลือกเซลล์ที่จะมีสองอนุภาค ซึ่งสามารถทำได้ด้วยวิธี =N; จากนั้นเราจะเลือกอนุภาคสองตัวสำหรับเซลล์นี้ ซึ่งมีหลายวิธีในการทำเช่นนี้ หลังจากนั้นเราจะกระจายอนุภาคที่เหลือ (N -1) ทีละเซลล์ไปยังเซลล์ (N -1) ที่เหลือเนื่องจากมี (N -1)! วิธี

ดังนั้น n(D) =

.

สามารถคำนวณจำนวน n(E) ได้ดังนี้: ถึง อนุภาคสำหรับเซลล์ที่สองสามารถทำได้หลายวิธี อนุภาคที่เหลือ (M – K) จะถูกกระจายแบบสุ่มไปบนเซลล์ (N -1) (N -1) ในลักษณะ M-K นั่นเป็นเหตุผล: