ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ที่เชื่อถือได้จะเกิดขึ้นจะเท่ากัน สูตรคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์

คุณต้องการที่จะรู้ว่าอะไร อัตราต่อรองทางคณิตศาสตร์กับความสำเร็จของการเดิมพันของคุณ? แล้วมีสองสำหรับคุณ ข่าวดี- ประการแรก: ในการคำนวณความสามารถข้ามประเทศ คุณไม่จำเป็นต้องคำนวณที่ซับซ้อนและใช้เวลามากนัก การใช้สูตรง่ายๆ ก็เพียงพอแล้วซึ่งจะใช้เวลาสองสามนาทีในการทำงาน ประการที่สอง: หลังจากอ่านบทความนี้แล้ว คุณสามารถคำนวณความน่าจะเป็นที่การซื้อขายใดๆ ของคุณผ่านได้อย่างง่ายดาย

ในการพิจารณาความสามารถข้ามประเทศอย่างถูกต้อง คุณต้องดำเนินการสามขั้นตอน:

คำนวณเปอร์เซ็นต์ความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ของเหตุการณ์ตามสำนักงานเจ้ามือรับแทง
คำนวณความน่าจะเป็นโดยใช้ข้อมูลทางสถิติด้วยตนเอง
ค้นหามูลค่าของการเดิมพัน โดยคำนึงถึงความน่าจะเป็นทั้งสองอย่าง

มาดูรายละเอียดแต่ละขั้นตอนกัน ไม่ใช่แค่ใช้สูตรเท่านั้น แต่ยังใช้ตัวอย่างด้วย

กระโดดอย่างรวดเร็ว

การคำนวณความน่าจะเป็นที่รวมอยู่ในอัตราต่อรองของเจ้ามือรับแทง

ขั้นตอนแรกคือการหาความน่าจะเป็นที่เจ้ามือรับแทงเองประเมินโอกาสของผลลัพธ์นั้น ๆ เป็นที่ชัดเจนว่าเจ้ามือรับแทงไม่ได้กำหนดอัตราต่อรองเช่นนั้น เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราใช้สูตรต่อไปนี้:

ปบี=(1/K)*100%,

โดยที่ P B คือความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ตามสำนักงานของเจ้ามือรับแทง

K – อัตราต่อรองเจ้ามือรับแทงสำหรับผลลัพธ์

สมมติว่าอัตราต่อรองสำหรับชัยชนะของลอนดอนอาร์เซนอลในการแข่งขันกับบาเยิร์นมิวนิคคือ 4 ซึ่งหมายความว่าเจ้ามือรับแทงจะประเมินความน่าจะเป็นที่จะชนะเป็น (1/4)*100%=25% หรือยอโควิชเล่นกับยูซนี่ ตัวคูณสำหรับชัยชนะของ Novak คือ 1.2 โอกาสของเขาคือ (1/1.2)*100%=83%

นี่คือวิธีที่เจ้ามือรับแทงประเมินโอกาสในการประสบความสำเร็จของผู้เล่นและทีมแต่ละคน เมื่อทำตามขั้นตอนแรกเสร็จแล้วเราก็ไปยังขั้นตอนที่สอง

การคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์โดยผู้เล่น

ประเด็นที่สองของแผนของเราคือการประเมินความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ด้วยตัวเราเอง เนื่องจากเราไม่สามารถคำนึงถึงพารามิเตอร์ต่างๆ เช่น แรงจูงใจและโทนของเกมในทางคณิตศาสตร์ได้ เราจะใช้แบบจำลองที่เรียบง่ายและใช้เฉพาะสถิติจากการประชุมครั้งก่อนๆ สำหรับการคำนวณ ความน่าจะเป็นทางสถิติผลลัพธ์เราใช้สูตร:

ปและ=(อืม/ม)*100%,

ที่ไหนปและ– ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตามผู้เล่น;

UM – จำนวนการแข่งขันที่ประสบความสำเร็จซึ่งมีเหตุการณ์ดังกล่าวเกิดขึ้น

M – จำนวนการแข่งขันทั้งหมด

เพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้นเราขอยกตัวอย่าง แอนดี้ เมอร์เรย์ และ ราฟาเอล นาดาล ลงเล่น 14 นัดระหว่างกัน ใน 6 เกมนั้นมีทั้งหมดน้อยกว่า 21 เกม และใน 8 เกมนั้นมากกว่านั้น คุณต้องค้นหาความน่าจะเป็นที่นัดถัดไปจะเล่นด้วยผลรวมที่สูงกว่า: (8/14)*100=57% บาเลนเซียลงเล่น 74 นัดกับแอตเลติโกที่เมสตายา ซึ่งพวกเขาเก็บชัยชนะได้ 29 นัด ความน่าจะเป็นที่บาเลนเซียจะชนะ: (29/74)*100%=39%.

และเราเรียนรู้ทั้งหมดนี้ด้วยสถิติของเกมก่อนหน้าเท่านั้น! โดยธรรมชาติแล้วสำหรับบางคน ทีมใหม่หรือผู้เล่นจะไม่สามารถคำนวณความน่าจะเป็นดังกล่าวได้ ดังนั้นกลยุทธ์การเดิมพันนี้จึงเหมาะสำหรับการแข่งขันที่ฝ่ายตรงข้ามพบกันมากกว่าหนึ่งครั้งเท่านั้น ตอนนี้เรารู้วิธีกำหนดเจ้ามือรับแทงและความน่าจะเป็นของผลลัพธ์แล้ว และเรามีความรู้ทั้งหมดที่จะไปยังขั้นตอนสุดท้าย

การกำหนดมูลค่าของการเดิมพัน

มูลค่า (มูลค่า) ของการเดิมพันและความสามารถในการผ่านมีความเชื่อมโยงกันโดยตรง ยิ่งมูลค่าสูงเท่าใด โอกาสที่จะผ่านก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น ค่าจะถูกคำนวณดังนี้:

วี=ปและ*K-100%,

โดยที่ V คือมูลค่า

P I – ความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ตามนักเดิมพัน

K – อัตราต่อรองเจ้ามือรับแทงสำหรับผลลัพธ์

สมมติว่าเราต้องการเดิมพันชัยชนะของมิลานในการแข่งขันกับโรม่า และเราคำนวณว่าความน่าจะเป็นที่ “แดง-ดำ” จะชนะคือ 45% เจ้ามือรับแทงเสนออัตราต่อรองให้เรา 2.5 สำหรับผลลัพธ์นี้ การเดิมพันดังกล่าวจะมีคุณค่าหรือไม่? เราทำการคำนวณ: V=45%*2.5-100%=12.5% เยี่ยมมาก เรามีเดิมพันอันล้ำค่าอยู่ตรงหน้าเรา โอกาสที่ดีที่จะผ่าน

มาดูอีกกรณีหนึ่ง มาเรีย ชาราโปวา พบกับ เปตรา ควิโตวา เราต้องการทำข้อตกลงเพื่อให้มาเรียชนะ ความน่าจะเป็นที่ตามการคำนวณของเราคือ 60% เจ้ามือรับแทงเสนอตัวคูณ 1.5 สำหรับผลลัพธ์นี้ เรากำหนดค่า: V=60%*1.5-100=-10% อย่างที่คุณเห็น การเดิมพันนี้ไม่มีค่าและควรหลีกเลี่ยง

เรามาพูดถึงหัวข้อที่เป็นที่สนใจของผู้คนจำนวนมากกันดีกว่า ในบทความนี้ ฉันจะตอบคำถามว่าจะคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อย่างไร ฉันจะให้สูตรสำหรับการคำนวณและตัวอย่างต่างๆ เพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้นว่าทำอย่างไร

ความน่าจะเป็นคืออะไร

เริ่มจากข้อเท็จจริงที่ว่าความน่าจะเป็นอันนี้หรืออันนั้น เหตุการณ์จะเกิดขึ้น- ความมั่นใจจำนวนหนึ่งในการเกิดขึ้นของผลลัพธ์บางอย่างในที่สุด สำหรับการคำนวณนี้ได้มีการพัฒนาสูตรขึ้นมา ความน่าจะเป็นเต็มซึ่งช่วยให้คุณกำหนดได้ว่าเหตุการณ์ที่คุณสนใจจะเกิดขึ้นหรือไม่ ผ่านสิ่งที่เรียกว่าความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข สูตรนี้มีลักษณะดังนี้: P = n/m ตัวอักษรสามารถเปลี่ยนแปลงได้ แต่ไม่ส่งผลกระทบต่อสาระสำคัญ

ตัวอย่างความน่าจะเป็น

ใช้ตัวอย่างง่ายๆ มาวิเคราะห์สูตรนี้และนำไปใช้กัน สมมติว่าคุณมีเหตุการณ์หนึ่ง (P) ปล่อยให้เป็นการโยนลูกเต๋า นั่นคือ การตายด้านเท่ากันหมด และเราต้องคำนวณว่าความน่าจะเป็นที่จะได้ 2 แต้มเป็นเท่าไหร่. ในการทำเช่นนี้ คุณต้องมีจำนวนเหตุการณ์เชิงบวก (n) ในกรณีของเรา - เสีย 2 คะแนน เปิด จำนวนทั้งหมดเหตุการณ์ (ม.) การทอย 2 แต้มจะเกิดขึ้นได้ในกรณีเดียวเท่านั้น ถ้ามี 2 แต้มบนลูกเต๋า เพราะไม่เช่นนั้นผลรวมจะมากกว่าจึงตามมาว่า n = 1 ต่อไปเราจะนับจำนวนทอยของตัวเลขอื่นๆ บน ลูกเต๋าต่อ 1 ลูกเต๋า - เหล่านี้คือ 1, 2, 3, 4, 5 และ 6 ดังนั้นจึงมี 6 กรณีที่ดีนั่นคือ m = 6 ตอนนี้เมื่อใช้สูตรเราทำการคำนวณอย่างง่าย ๆ P = 1/ 6 และเราพบว่าการทอยลูกเต๋า 2 แต้มคือ 1/6 นั่นคือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นั้นต่ำมาก

ลองดูตัวอย่างการใช้ลูกบอลสีที่อยู่ในกล่อง: สีขาว 50 ลูก สีดำ 40 ลูก และสีเขียว 30 ลูก คุณต้องพิจารณาว่าความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีเขียวคือเท่าใด ดังนั้น เนื่องจากมีลูกบอลสีนี้ 30 ลูก กล่าวคือ สามารถมีเหตุการณ์เชิงบวกได้เพียง 30 เหตุการณ์ (n = 30) จำนวนเหตุการณ์ทั้งหมดคือ 120, m = 120 (ขึ้นอยู่กับจำนวนรวมของลูกบอลทั้งหมด) โดยใช้สูตรที่เราคำนวณว่าความน่าจะเป็นในการจั่วลูกบอลสีเขียวจะเท่ากับ P = 30/120 = 0.25 นั่นคือ 25% ของ 100 ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถคำนวณความน่าจะเป็นในการจั่วลูกบอลที่มี สีที่แตกต่าง (สีดำจะเป็น 33%, สีขาว 42%)

ทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ศึกษารูปแบบของปรากฏการณ์สุ่ม: เหตุการณ์สุ่ม ตัวแปรสุ่มคุณสมบัติและการดำเนินงานของพวกเขา

เป็นเวลานานทฤษฎีความน่าจะเป็นไม่มีคำจำกัดความที่ชัดเจน จัดทำขึ้นเฉพาะในปี พ.ศ. 2472 การเกิดขึ้นของทฤษฎีความน่าจะเป็นทางวิทยาศาสตร์ย้อนกลับไปในยุคกลางและเป็นความพยายามครั้งแรกในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ของการพนัน (เกล็ด ลูกเต๋า รูเล็ต) นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสในศตวรรษที่ 17 แบลส ปาสคาล และปิแอร์ แฟร์มาต์ ขณะศึกษาการทำนายการชนะในการพนัน ค้นพบรูปแบบความน่าจะเป็นแรกที่เกิดขึ้นเมื่อขว้างลูกเต๋า

ทฤษฎีความน่าจะเป็นเกิดขึ้นเป็นวิทยาศาสตร์จากความเชื่อที่ว่าเหตุการณ์สุ่มมวลมีพื้นฐานมาจากรูปแบบบางอย่าง ทฤษฎีความน่าจะเป็นศึกษารูปแบบเหล่านี้

ทฤษฎีความน่าจะเป็นเกี่ยวข้องกับการศึกษาเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นซึ่งไม่ทราบแน่ชัด ช่วยให้คุณสามารถตัดสินระดับความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์บางอย่างเมื่อเปรียบเทียบกับเหตุการณ์อื่น ๆ

ตัวอย่างเช่น: เป็นไปไม่ได้ที่จะระบุผลลัพธ์ของ "หัว" หรือ "ก้อย" อย่างชัดเจนอันเป็นผลมาจากการโยนเหรียญ แต่ด้วยการโยนซ้ำ ๆ จำนวน "หัว" และ "ก้อย" จะปรากฏขึ้นโดยประมาณเท่ากันซึ่งหมายความว่า ความน่าจะเป็นที่ “หัว” หรือ “ก้อย” จะล้ม " เท่ากับ 50%

ทดสอบในกรณีนี้เรียกว่าการดำเนินการตามชุดเงื่อนไขบางอย่างนั่นคือใน ในกรณีนี้โยนเหรียญ สามารถเล่น Challenge ได้ไม่จำกัดจำนวนครั้ง ในกรณีนี้ ชุดเงื่อนไขจะรวมถึงปัจจัยสุ่มด้วย

ผลการทดสอบก็คือ เหตุการณ์- เหตุการณ์เกิดขึ้น:

เชื่อถือได้ (เกิดขึ้นจากการทดสอบเสมอ)
เป็นไปไม่ได้ (ไม่เคยเกิดขึ้น)
สุ่ม (อาจเกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้นจากการทดสอบ)

ตัวอย่างเช่น เมื่อโยนเหรียญ เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ - เหรียญจะตกลงบนขอบ เหตุการณ์สุ่ม - ลักษณะของ "หัว" หรือ "ก้อย" เรียกว่าผลการทดสอบเฉพาะ เหตุการณ์เบื้องต้น- จากผลการทดสอบ มีเพียงเหตุการณ์เบื้องต้นเท่านั้นที่เกิดขึ้น ชุดของผลการทดสอบที่เป็นไปได้ แตกต่าง และเฉพาะเจาะจงทั้งหมดเรียกว่า พื้นที่จัดกิจกรรมเบื้องต้น.

แนวคิดพื้นฐานของทฤษฎี

ความน่าจะเป็น- ระดับความเป็นไปได้ของการเกิดเหตุการณ์ เมื่อสาเหตุของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ที่จะเกิดขึ้นจริงมีมากกว่าเหตุผลที่ตรงกันข้าม เหตุการณ์นี้เรียกว่าเป็นไปได้ ไม่เช่นนั้น - ไม่น่าจะเป็นไปได้หรือไม่น่าจะเป็นไปได้

ตัวแปรสุ่ม- นี่คือปริมาณที่สามารถรับค่าใดค่าหนึ่งจากการทดสอบได้ และไม่ทราบล่วงหน้าว่าค่าใด เช่น จำนวนต่อสถานีดับเพลิงต่อวัน จำนวนการเข้าชม 10 นัด เป็นต้น

ตัวแปรสุ่มสามารถแบ่งได้เป็นสองประเภท

ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องคือปริมาณที่เป็นผลมาจากการทดสอบสามารถรับค่าบางอย่างด้วยความน่าจะเป็นที่แน่นอนโดยสร้างเซตที่นับได้ (เซตที่สามารถกำหนดหมายเลของค์ประกอบได้) เซตนี้สามารถเป็นได้ทั้งแบบจำกัดหรืออนันต์ ตัวอย่างเช่น จำนวนนัดก่อนการโจมตีครั้งแรกที่เป้าหมายนั้นเป็นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง เนื่องจาก ปริมาณนี้สามารถใช้กับค่าจำนวนอนันต์แม้ว่าจะนับได้ก็ตาม
ตัวแปรสุ่มต่อเนื่องคือปริมาณที่สามารถรับค่าใดๆ จากช่วงจำกัดหรือช่วงอนันต์บางช่วงได้ จะเห็นได้ว่าปริมาณ ค่าที่เป็นไปได้ตัวแปรสุ่มต่อเนื่องไม่มีกำหนด

พื้นที่ความน่าจะเป็น- แนวคิดที่นำเสนอโดย A.N. Kolmogorov ในช่วงทศวรรษที่ 30 ของศตวรรษที่ 20 ได้สร้างแนวคิดเรื่องความน่าจะเป็นอย่างเป็นทางการ ซึ่งก่อให้เกิดการพัฒนาอย่างรวดเร็วของทฤษฎีความน่าจะเป็นในฐานะระเบียบวินัยทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวด

ปริภูมิความน่าจะเป็นคือสามเท่า (บางครั้งอยู่ในวงเล็บมุม: , โดยที่

นี่คือชุดตามอำเภอใจ องค์ประกอบที่เรียกว่าเหตุการณ์เบื้องต้น ผลลัพธ์ หรือประเด็นต่างๆ
- พีชคณิตซิกมาของเซตย่อยที่เรียกว่าเหตุการณ์ (สุ่ม)
- การวัดความน่าจะเป็นหรือความน่าจะเป็นเช่น การวัดจำกัดแบบเติมซิกมาในลักษณะที่

ทฤษฎีบทเดอมัวฟวร์-ลาปลาซ- หนึ่งในทฤษฎีบทลิมิตของทฤษฎีความน่าจะเป็น ก่อตั้งโดยลาปลาซในปี พ.ศ. 2355 โดยระบุว่าจำนวนความสำเร็จเมื่อทำการทดลองสุ่มซ้ำหลาย ๆ ครั้งโดยให้ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้สองรายการนั้นมีค่าโดยประมาณ การกระจายตัวตามปกติ- ช่วยให้คุณค้นหาค่าความน่าจะเป็นโดยประมาณได้

ถ้าสำหรับการทดลองอิสระแต่ละรายการ ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์สุ่มจะเกิดขึ้นจะเท่ากับ () และคือจำนวนการทดลองที่เกิดขึ้นจริง ความน่าจะเป็นที่ความไม่เท่าเทียมกันจะเป็นจริงจะใกล้เคียงกัน (สำหรับค่าขนาดใหญ่) ถึง ค่าอินทิกรัลลาปลาซ

ฟังก์ชันการแจกแจงในทฤษฎีความน่าจะเป็น- ฟังก์ชั่นที่แสดงลักษณะการกระจายตัวของตัวแปรสุ่มหรือเวกเตอร์สุ่ม ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่ม X จะได้รับค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ x โดยที่ x คือจำนวนจริงใดๆ หากตรงตามเงื่อนไขที่ทราบ ระบบจะกำหนดตัวแปรสุ่มโดยสมบูรณ์

ความคาดหวัง- ค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม (นี่คือการกระจายความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม ซึ่งพิจารณาในทฤษฎีความน่าจะเป็น) ใน วรรณคดีอังกฤษแสดงโดย , ในภาษารัสเซีย - . ในทางสถิติมักใช้สัญกรณ์

ปล่อยให้มีช่องว่างของความน่าจะเป็นและกำหนดตัวแปรสุ่มไว้ ตามคำนิยามแล้ว นั่นคือฟังก์ชันที่วัดได้ จากนั้น หากมีอินทิกรัล Lebesgue ของส่วนปริภูมิ จะเรียกว่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์หรือค่าเฉลี่ย และเขียนแทนด้วย

ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม- การวัดการแพร่กระจายของตัวแปรสุ่มที่กำหนด เช่น การเบี่ยงเบนไปจากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ถูกกำหนดไว้ในวรรณคดีรัสเซียและต่างประเทศ ในทางสถิติ สัญกรณ์ หรือ มักใช้ รากที่สองของความแปรปรวนเรียกว่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน หรือสเปรดมาตรฐาน

อนุญาต เป็นตัวแปรสุ่มที่กำหนดบนพื้นที่ความน่าจะเป็น แล้ว

โดยที่สัญลักษณ์แสดงถึงความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

ในทฤษฎีความน่าจะเป็น จะมีการเรียกเหตุการณ์สุ่มสองเหตุการณ์ เป็นอิสระหากการเกิดขึ้นของสิ่งหนึ่งไม่เปลี่ยนความน่าจะเป็นของการเกิดขึ้นของอีกสิ่งหนึ่ง ในทำนองเดียวกัน มีการเรียกตัวแปรสุ่มสองตัว ขึ้นอยู่กับหากค่าของค่าใดค่าหนึ่งส่งผลต่อความน่าจะเป็นของค่าของค่าอื่น

รูปแบบกฎหมายที่ง่ายที่สุด จำนวนมาก- นี่คือทฤษฎีบทของเบอร์นูลลี ซึ่งระบุว่าหากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งๆ เท่ากันในการทดลองทั้งหมด เมื่อจำนวนการทดลองเพิ่มขึ้น ความถี่ของเหตุการณ์นั้นก็จะมีแนวโน้มไปสู่ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นั้นและสิ้นสุดการสุ่ม

กฎของจำนวนจำนวนมากในทฤษฎีความน่าจะเป็นระบุว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของกลุ่มตัวอย่างที่มีขอบเขตจำกัดจากการแจกแจงคงที่นั้นใกล้เคียงกับค่าเฉลี่ยทางทฤษฎีของการแจกแจงนั้น ขึ้นอยู่กับประเภทของการลู่เข้า ความแตกต่างเกิดขึ้นระหว่างกฎอ่อนของจำนวนจำนวนมาก เมื่อการลู่เข้าเกิดขึ้นตามความน่าจะเป็น กับกฎแรงค์ของจำนวนมาก เมื่อการลู่เข้าเกือบจะแน่นอน

ความหมายทั่วไปของกฎคนจำนวนมากคือการร่วมกันกระทำการ จำนวนมากปัจจัยสุ่มที่เหมือนกันและเป็นอิสระนำไปสู่ผลลัพธ์ที่ไม่ขึ้นอยู่กับโอกาสในขีดจำกัด

วิธีการประมาณค่าความน่าจะเป็นโดยอาศัยการวิเคราะห์ตัวอย่างที่มีขอบเขตจำกัดจะขึ้นอยู่กับคุณสมบัตินี้ ตัวอย่างที่ชัดเจนคือการพยากรณ์ผลการเลือกตั้งโดยอาศัยการสำรวจกลุ่มตัวอย่างผู้มีสิทธิเลือกตั้ง

ทฤษฎีบทขีดจำกัดกลาง- คลาสของทฤษฎีบทในทฤษฎีความน่าจะเป็นที่ระบุว่าผลรวมของตัวแปรสุ่มขึ้นอยู่กับค่าเล็กน้อยจำนวนมากเพียงพอซึ่งมีสเกลเท่ากันโดยประมาณ (ไม่มีคำศัพท์ใดครอบงำหรือมีส่วนช่วยกำหนดผลรวม) มีการกระจายใกล้เคียงกับปกติ

เนื่องจากตัวแปรสุ่มจำนวนมากในการใช้งานเกิดขึ้นภายใต้อิทธิพลของปัจจัยสุ่มที่ขึ้นอยู่กับระดับอ่อนหลายตัว การกระจายตัวของตัวแปรเหล่านี้จึงถือว่าเป็นเรื่องปกติ ในกรณีนี้ต้องเป็นไปตามเงื่อนไขว่าไม่มีปัจจัยใดที่โดดเด่น ทฤษฎีบทขีดจำกัดศูนย์กลางในกรณีเหล่านี้ใช้เหตุผลในการแจกแจงแบบปกติได้

ในบล็อกของฉัน มีการแปลการบรรยายครั้งต่อไปของหลักสูตร "หลักการแห่งความสมดุลของเกม" โดยนักออกแบบเกม Jan Schreiber ซึ่งทำงานในโปรเจ็กต์ต่างๆ เช่น Marvel Trading Card Game และ Playboy: the Mansion

ถึง วันนี้เกือบทุกสิ่งที่เราพูดถึงนั้นเป็นสิ่งที่กำหนดได้ และเมื่อสัปดาห์ที่แล้วเราได้พิจารณากลศาสตร์สกรรมกริยาอย่างใกล้ชิด โดยลงรายละเอียดให้มากที่สุดเท่าที่ฉันจะอธิบายได้ แต่จนถึงขณะนี้ เรายังไม่ได้ให้ความสนใจกับแง่มุมอื่นของเกมหลายๆ เกม กล่าวคือ แง่มุมที่ไม่สามารถกำหนดได้ หรืออีกนัยหนึ่งก็คือ ความสุ่ม

การทำความเข้าใจธรรมชาติของการสุ่มเป็นสิ่งสำคัญมากสำหรับนักออกแบบเกม เราสร้างระบบที่ส่งผลต่อประสบการณ์ของผู้ใช้ในเกมนั้นๆ ดังนั้นเราจึงจำเป็นต้องรู้ว่าระบบเหล่านั้นทำงานอย่างไร หากมีการสุ่มในระบบ เราจำเป็นต้องเข้าใจธรรมชาติของการสุ่มนี้ และรู้วิธีการเปลี่ยนแปลงเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่เราต้องการ

ลูกเต๋า

มาเริ่มกันด้วยสิ่งง่ายๆ - การขว้างปา ลูกเต๋า- เมื่อคนส่วนใหญ่นึกถึงลูกเต๋า พวกเขานึกถึงลูกเต๋าหกด้านที่เรียกว่า d6 แต่นักเล่นเกมส่วนใหญ่เคยเห็นลูกเต๋าอื่นๆ มากมาย: จัตุรมุข (d4), แปดเหลี่ยม (d8), สิบสองด้าน (d12), ยี่สิบด้าน (d20) หากคุณเป็นพวกคลั่งไคล้จริงๆ คุณอาจมีลูกเต๋า 30 ด้านหรือ 100 ด้านอยู่ที่ไหนสักแห่ง

หากคุณไม่คุ้นเคยกับคำศัพท์เหล่านี้ d ย่อมาจาก die และตัวเลขที่อยู่ข้างหลังคือจำนวนด้านที่มี หากตัวเลขปรากฏก่อน d แสดงว่าจำนวนลูกเต๋าที่จะทอย ตัวอย่างเช่น ในเกม Monopoly คุณหมุน 2d6

ดังนั้นในกรณีนี้ คำว่า "ลูกเต๋า" ก็คือ เครื่องหมาย- มีอยู่ จำนวนมากเครื่องกำเนิดตัวเลขสุ่มอื่น ๆ ที่ดูไม่เหมือนตัวเลขพลาสติก แต่ทำหน้าที่เหมือนกัน - สร้าง หมายเลขสุ่มจาก 1 ถึง n เหรียญธรรมดาสามารถแสดงเป็นลูกเต๋าไดฮีดรัล d2 ได้เช่นกัน

ฉันเห็นลูกเต๋าเจ็ดด้านสองแบบ อันหนึ่งดูเหมือนลูกเต๋า และอันที่สองดูเหมือนลูกเต๋าเจ็ดหน้ามากกว่า ดินสอไม้- จัตุรมุขเดรเดลหรือที่รู้จักกันในชื่อไทโทตัม มีลักษณะคล้ายกับกระดูกจัตุรมุข กระดานลูกศรหมุนใน Chutes & Ladders ซึ่งคะแนนมีตั้งแต่ 1 ถึง 6 สอดคล้องกับลูกเต๋าหกด้าน

เครื่องสร้างตัวเลขสุ่มของคอมพิวเตอร์สามารถสร้างตัวเลขใดๆ ก็ได้ตั้งแต่ 1 ถึง 19 หากผู้ออกแบบระบุ แม้ว่าคอมพิวเตอร์จะไม่มีแม่พิมพ์ที่มี 19 ด้านก็ตาม (โดยทั่วไป ฉันจะพูดถึงความน่าจะเป็นของตัวเลขที่จะเกิดขึ้นบน คอมพิวเตอร์ในสัปดาห์หน้า) รายการทั้งหมดเหล่านี้ดูแตกต่างออกไป แต่ในความเป็นจริงแล้วสิ่งเหล่านั้นเทียบเท่ากัน: คุณมีโอกาสเท่ากันในผลลัพธ์ที่เป็นไปได้แต่ละอย่าง

ลูกเต๋ามีคุณสมบัติที่น่าสนใจที่เราต้องรู้ ประการแรก ความน่าจะเป็นที่จะลงจอดบนหน้าใดหน้าหนึ่งจะเท่ากัน (ฉันสมมติว่าคุณกำลังกลิ้งลูกเต๋ารูปทรงปกติ) หากคุณต้องการทราบค่าเฉลี่ยของม้วน (สำหรับผู้ที่มีความน่าจะเป็นซึ่งเรียกว่าค่าที่คาดหวัง) ให้บวกค่าบนขอบทั้งหมดแล้วหารตัวเลขนั้นด้วยจำนวนขอบ

ผลรวมของค่าของทุกด้านสำหรับแม่พิมพ์หกด้านมาตรฐานคือ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 หาร 21 ด้วยจำนวนด้านและรับค่าเฉลี่ยของม้วน: 21 / 6 = 3.5 นี้ กรณีพิเศษเนื่องจากเราถือว่าผลลัพธ์ทั้งหมดมีโอกาสเท่าเทียมกัน

ถ้าคุณมีลูกเต๋าพิเศษล่ะ? ตัวอย่างเช่น ฉันเห็นเกมลูกเต๋าหกด้านที่มีสติกเกอร์พิเศษอยู่ด้านข้าง: 1, 1, 1, 2, 2, 3 ดังนั้นจึงมีพฤติกรรมเหมือนลูกเต๋าสามด้านแปลก ๆ ที่มีแนวโน้มที่จะทอย 1 มากกว่า 2. และมีแนวโน้มว่าจะทอยได้ 2 มากกว่า 3. ทอยเฉลี่ยของแม่พิมพ์นี้เป็นเท่าใด? ดังนั้น 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 10 หารด้วย 6 - จะได้ 5/3 หรือประมาณ 1.66 ดังนั้น หากคุณมีลูกเต๋าพิเศษและผู้เล่นทอยลูกเต๋าสามลูกแล้วบวกผลลัพธ์ คุณรู้ว่าทอยของพวกเขาจะรวมกันได้ประมาณ 5 และคุณสามารถปรับสมดุลเกมตามสมมติฐานนั้น

ลูกเต๋าและความเป็นอิสระ

ดังที่ผมได้กล่าวไปแล้ว เราดำเนินการตามสมมติฐานที่ว่าแต่ละฝ่ายมีแนวโน้มที่จะหลุดออกไปเท่าๆ กัน ไม่สำคัญว่าคุณจะทอยลูกเต๋ากี่ลูก การทอยลูกเต๋าแต่ละครั้งมีความเป็นอิสระ ซึ่งหมายความว่าการทอยลูกเต๋าครั้งก่อนจะไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์ของการทอยครั้งต่อไป เมื่อทดลองมากพอ คุณจะสังเกตเห็นรูปแบบของตัวเลข เช่น การทอยค่าที่สูงกว่าหรือต่ำกว่าเป็นส่วนใหญ่ หรือคุณสมบัติอื่นๆ แต่นั่นไม่ได้หมายความว่าลูกเต๋าจะ "ร้อน" หรือ "เย็น" เราจะพูดถึงเรื่องนี้ในภายหลัง

หากคุณทอยลูกเต๋าหกด้านมาตรฐานแล้วเลข 6 ขึ้นมาสองครั้งติดกัน ความน่าจะเป็นที่การโยนครั้งถัดไปจะส่งผลให้ได้ 6 เท่ากับ 1/6 พอดี ความน่าจะเป็นจะไม่เพิ่มขึ้นเนื่องจากลูกเต๋า "ร้อนขึ้น" . ในขณะเดียวกัน ความน่าจะเป็นก็ไม่ลดลง: ไม่ถูกต้องโดยให้เหตุผลว่าเลข 6 ขึ้นมาสองครั้งติดต่อกันแล้ว ซึ่งหมายความว่าตอนนี้ต้องมีอีกฝ่ายขึ้นมา

แน่นอน หากคุณทอยลูกเต๋ายี่สิบครั้งและได้ 6 ในแต่ละครั้ง โอกาสที่ยี่สิบครั้งแรกที่คุณทอยลูกเต๋าได้ 6 นั้นค่อนข้างสูง บางทีคุณอาจแค่ตายผิด แต่หากการตายนั้นยุติธรรม แต่ละฝ่ายมีความน่าจะเป็นที่จะลงจอดเท่ากัน โดยไม่คำนึงถึงผลลัพธ์ของการทอยครั้งอื่น คุณสามารถจินตนาการได้ว่าเราเปลี่ยนลูกเต๋าทุกครั้ง: หากทอยหมายเลข 6 สองครั้งติดต่อกัน ให้เอาลูกเต๋าที่ "ร้อน" ออกจากเกมแล้วแทนที่ด้วยอันใหม่ ฉันขอโทษถ้าคุณมีคนรู้เรื่องนี้แล้ว แต่ฉันจำเป็นต้องเคลียร์เรื่องนี้ก่อนที่จะดำเนินการต่อ

วิธีทำให้ลูกเต๋าทอยสุ่มมากหรือน้อย

เรามาพูดถึงวิธีการได้รับผลลัพธ์ที่แตกต่างกันบนลูกเต๋าที่แตกต่างกัน ไม่ว่าคุณจะทอยลูกเต๋าเพียงครั้งเดียวหรือหลายครั้ง เกมจะรู้สึกสุ่มมากขึ้นเมื่อลูกเต๋ามีด้านมากขึ้น ยิ่งคุณต้องทอยลูกเต๋าบ่อยแค่ไหน และยิ่งทอยลูกเต๋ามากเท่าไร ผลลัพธ์ก็จะเข้าใกล้ค่าเฉลี่ยมากขึ้นเท่านั้น

ตัวอย่างเช่น ในกรณีของ 1d6 + 4 (นั่นคือ หากคุณทอยลูกเต๋าหกด้านมาตรฐานหนึ่งครั้งแล้วบวก 4 เข้ากับผลลัพธ์) ค่าเฉลี่ยจะเป็นตัวเลขระหว่าง 5 ถึง 10 หากคุณทอย 5d2 ค่าเฉลี่ย จะเป็นตัวเลขระหว่าง 5 ถึง 10 ผลลัพธ์ของการทอย 5d2 ส่วนใหญ่จะเป็นตัวเลข 7 และ 8 ซึ่งน้อยกว่าค่าอื่น ๆ ซีรีย์เดียวกันแม้ค่าเฉลี่ยเท่ากัน (ในทั้งสองกรณี 7.5) แต่ลักษณะของการสุ่มจะแตกต่างกัน

รอสักครู่. ฉันไม่ได้บอกว่าลูกเต๋าไม่ "ร้อน" หรือ "เย็น" ใช่ไหม? ตอนนี้ฉันพูดว่า: ถ้าคุณโยนลูกเต๋าจำนวนมาก ผลลัพธ์ของการทอยจะเข้าใกล้ค่าเฉลี่ย ทำไม

ให้ฉันอธิบาย. หากคุณทอยลูกเต๋าหนึ่งลูก แต่ละฝ่ายมีความน่าจะเป็นที่จะลงจอดเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าหากคุณทอยลูกเต๋าเป็นจำนวนมากเมื่อเวลาผ่านไป แต่ละด้านจะออกมาเป็นจำนวนเท่าๆ กัน ยิ่งคุณทอยลูกเต๋ามากเท่าไร ผลลัพธ์รวมก็จะยิ่งเข้าใกล้ค่าเฉลี่ยมากขึ้นเท่านั้น

ไม่ใช่เพราะว่าหมายเลขที่ออก "บังคับ" หมายเลขอื่นให้ออกที่ยังไม่ได้ออก แต่เนื่องจากการออกเลข 6 (หรือ 20 หรือเลขอื่น) ชุดเล็กๆ ในตอนท้ายจะไม่ส่งผลต่อผลมากนักหากคุณทอยลูกเต๋าอีกหมื่นครั้งและส่วนใหญ่จะได้เลขเฉลี่ยขึ้นมา ตอนนี้คุณจะได้ตัวเลขจำนวนมาก และต่อมาก็มีตัวเลขเล็กๆ สองสามตัว และเมื่อเวลาผ่านไป ตัวเลขเหล่านี้จะเข้าใกล้ค่าเฉลี่ยมากขึ้น

ไม่ใช่เพราะการทอยครั้งก่อนส่งผลต่อลูกเต๋า (เอาจริง ๆ ลูกเต๋าทำจากพลาสติก มันไม่มีสมองที่จะคิดว่า "โอ้ คุณทอย 2 มานานแล้ว") แต่เพราะนี่คือสิ่งที่ปกติ เกิดขึ้นเมื่อคุณทอยลูกเต๋าจำนวนมาก

ดังนั้นจึงค่อนข้างง่ายที่จะคำนวณการสุ่มทอยลูกเต๋าหนึ่งลูก - อย่างน้อยก็คำนวณค่าเฉลี่ยของทอย นอกจากนี้ยังมีวิธีคำนวณว่าบางสิ่งมีความ "สุ่มแค่ไหน" และบอกว่าผลลัพธ์ของการกลิ้ง 1d6+4 จะ "สุ่มมากกว่า" มากกว่า 5d2 สำหรับ 5d2 ม้วนจะกระจายเท่าๆ กันมากขึ้น ในการทำเช่นนี้ คุณจะต้องคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน: ยิ่งค่ามากเท่าไร ผลลัพธ์ก็จะยิ่งสุ่มมากขึ้นเท่านั้น วันนี้ฉันไม่ต้องการที่จะให้การคำนวณมากมายฉันจะอธิบายหัวข้อนี้ในภายหลัง

สิ่งเดียวที่ฉันจะขอให้คุณจำก็คือ ตามกฎทั่วไป ยิ่งคุณทอยลูกเต๋าน้อยลง ความสุ่มก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น และยิ่งลูกเต๋ามีด้านมากเท่าใด ความสุ่มก็ยิ่งมากขึ้นเท่านั้น เนื่องจากยิ่งมีมากขึ้น ตัวเลือกที่เป็นไปได้ความหมาย

วิธีการคำนวณความน่าจะเป็นโดยใช้การนับ

คุณอาจสงสัยว่า: เราจะคำนวณความน่าจะเป็นที่แน่นอนของการได้ผลลัพธ์ที่แน่นอนได้อย่างไร อันที่จริงสิ่งนี้ค่อนข้างสำคัญสำหรับหลาย ๆ เกม: หากคุณทอยลูกเต๋าในตอนแรก - มีแนวโน้มว่าจะได้ผลลัพธ์ที่ดีที่สุด คำตอบของฉันคือ: เราต้องคำนวณค่าสองค่า ประการแรก จำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดเมื่อขว้างลูกเต๋า และประการที่สอง จำนวนผลลัพธ์ที่ดี การหารค่าที่สองด้วยค่าแรกจะทำให้คุณได้ความน่าจะเป็นที่ต้องการ หากต้องการหาเปอร์เซ็นต์ ให้คูณผลลัพธ์ด้วย 100

ตัวอย่าง

นี่เป็นตัวอย่างง่ายๆ คุณต้องการให้หมายเลข 4 หรือสูงกว่าหมุนลูกเต๋าหกด้านหนึ่งครั้ง จำนวนสูงสุดมี 6 ผลลัพธ์ (1, 2, 3, 4, 5, 6) ในจำนวนนี้มี 3 ผลลัพธ์ (4, 5, 6) ที่เป็นที่น่าพอใจ ซึ่งหมายความว่าในการคำนวณความน่าจะเป็น เราจะหาร 3 ด้วย 6 แล้วได้ 0.5 หรือ 50%

นี่เป็นตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่านี้เล็กน้อย คุณต้องการเลขคู่เมื่อหมุน 2d6 จำนวนผลลัพธ์สูงสุดคือ 36 (6 ตัวเลือกสำหรับแต่ละลูกเต๋า การตายหนึ่งลูกจะไม่ส่งผลต่ออีกลูกเต๋า ดังนั้นให้คูณ 6 ด้วย 6 และรับ 36) ความยากง่ายของปัญหา ประเภทนี้คือมันง่ายที่จะนับสองครั้ง ตัวอย่างเช่น เมื่อทอย 2d6 มีสองผลลัพธ์ที่เป็นไปได้คือ 3: 1+2 และ 2+1 มีลักษณะเหมือนกัน แต่ความแตกต่างคือหมายเลขใดจะแสดงบนลูกเต๋าตัวแรกและหมายเลขใดจะแสดงบนลูกเต๋าที่สอง

คุณยังสามารถจินตนาการได้ว่าลูกเต๋า สีที่ต่างกัน: ตัวอย่างเช่น ในกรณีนี้ ลูกเต๋าลูกหนึ่งเป็นสีแดง และอีกลูกเป็นสีน้ำเงิน จากนั้นนับจำนวนตัวเลือกในการทอยเลขคู่:

2 (1+1);
4 (1+3);
4 (2+2);
4 (3+1);
6 (1+5);
6 (2+4);
6 (3+3);
6 (4+2);
6 (5+1);
8 (2+6);
8 (3+5);
8 (4+4);
8 (5+3);
8 (6+2);
10 (4+6);
10 (5+5);
10 (6+4);
12 (6+6).

ปรากฎว่ามี 18 ตัวเลือกสำหรับผลลัพธ์ที่ดีจาก 36 ตัวเลือก - เช่นเดียวกับในกรณีก่อนหน้านี้ ความน่าจะเป็นคือ 0.5 หรือ 50% อาจจะไม่คาดคิดแต่ค่อนข้างแม่นยำ

การจำลองมอนติคาร์โล

ถ้าคุณมีลูกเต๋ามากเกินไปสำหรับการคำนวณนี้ล่ะ? ตัวอย่างเช่น คุณต้องการทราบว่าความน่าจะเป็นที่จะได้แต้มรวม 15 หรือมากกว่าเมื่อทอย 8d6 เป็นเท่าใด สำหรับลูกเต๋าแปดลูกนั้นมีความหลากหลายมาก ผลลัพธ์ที่แตกต่างกันและการนับด้วยตนเองจะใช้เวลานานมาก - แม้ว่าเราจะพบวิธีแก้ปัญหาที่ดีในการจัดกลุ่มการทอยลูกเต๋าหลายชุดก็ตาม

ในกรณีนี้ วิธีที่ง่ายที่สุดคือไม่ต้องนับด้วยตนเอง แต่ต้องใช้คอมพิวเตอร์ มีสองวิธีในการคำนวณความน่าจะเป็นบนคอมพิวเตอร์ วิธีแรกสามารถให้คำตอบที่ถูกต้องแก่คุณได้ แต่ต้องใช้การเขียนโปรแกรมหรือการเขียนสคริปต์เล็กน้อย คอมพิวเตอร์จะพิจารณาความเป็นไปได้แต่ละรายการ ประเมินและนับจำนวนการวนซ้ำทั้งหมด และจำนวนการวนซ้ำที่ตรงกับผลลัพธ์ที่ต้องการ จากนั้นจึงให้คำตอบ รหัสของคุณอาจมีลักษณะดังนี้:

หากคุณไม่เข้าใจการเขียนโปรแกรมและต้องการคำตอบโดยประมาณมากกว่าคำตอบที่แน่นอน คุณสามารถจำลองสถานการณ์นี้ใน Excel โดยที่คุณหมุน 8d6 หลายพันครั้งและรับคำตอบ หากต้องการหมุน 1d6 ใน Excel ให้ใช้สูตร =พื้น(แรนด์()*6)+1.

มีชื่อของสถานการณ์เมื่อคุณไม่ทราบคำตอบและลองหลายครั้ง - การจำลองแบบมอนติคาร์โล นี่เป็นทางออกที่ดีที่จะใช้เมื่อคำนวณความน่าจะเป็นที่ยากเกินไป สิ่งที่ยอดเยี่ยมคือในกรณีนี้ เราไม่จำเป็นต้องเข้าใจว่าคณิตศาสตร์ทำงานอย่างไร และเรารู้ว่าคำตอบจะ "ค่อนข้างดี" เพราะอย่างที่เราทราบอยู่แล้ว ยิ่งหมุนมากเท่าไร ผลลัพธ์ก็จะเข้าใกล้มากขึ้นเท่านั้น เฉลี่ย.

วิธีรวมการทดลองอิสระ

หากถามซ้ำหลายรอบแต่ การทดสอบอิสระดังนั้นผลลัพธ์ของการโยนหนึ่งครั้งจะไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์ของการโยนครั้งอื่น มีคำอธิบายที่ง่ายกว่านี้อีกประการหนึ่งสำหรับสถานการณ์นี้

จะแยกแยะระหว่างสิ่งที่ขึ้นอยู่กับและเป็นอิสระได้อย่างไร? โดยพื้นฐานแล้ว หากคุณสามารถแยกการโยนแต่ละครั้ง (หรือการโยนต่อเนื่องกัน) ของการตายเป็นเหตุการณ์ที่แยกจากกัน มันก็จะเป็นอิสระจากกัน ตัวอย่างเช่น สมมติว่าเราทอยได้ 8d6 และต้องการผลรวมเป็น 15 งานนี้ไม่สามารถแบ่งออกเป็นทอยลูกเต๋าอิสระหลายๆ อันได้ เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ คุณจะต้องคำนวณผลรวมของค่าทั้งหมด ดังนั้นผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นจากการตายตัวหนึ่งจะส่งผลต่อผลลัพธ์ที่ควรจะเกิดขึ้นกับอีกตัวหนึ่งด้วย

นี่คือตัวอย่างของการทอยลูกเต๋าแบบอิสระ: คุณกำลังเล่นเกมลูกเต๋า และคุณกำลังทอยลูกเต๋าหกด้านหลายครั้ง การหมุนครั้งแรกต้องเป็น 2 หรือสูงกว่าจึงจะอยู่ในเกมได้ สำหรับการโยนครั้งที่สอง - 3 หรือสูงกว่า อันที่ 3 ต้องได้ 4 หรือสูงกว่า อันที่ 4 ต้องได้ 5 หรือสูงกว่า และอันที่ 5 ต้องได้ 6 หากทอยทั้งห้าสำเร็จ คุณจะชนะ ในกรณีนี้ การโยนทั้งหมดจะเป็นอิสระจากกัน ใช่ หากการโยนหนึ่งครั้งไม่สำเร็จ จะส่งผลต่อผลลัพธ์ของเกมทั้งหมด แต่การโยนครั้งหนึ่งจะไม่ส่งผลต่ออีกอัน ตัวอย่างเช่น หากการทอยลูกเต๋าครั้งที่สองของคุณประสบความสำเร็จอย่างมาก ไม่ได้หมายความว่าการทอยลูกเต๋าครั้งถัดไปจะดีเท่ากัน ดังนั้นเราจึงสามารถพิจารณาความน่าจะเป็นของการทอยลูกเต๋าแต่ละลูกแยกกัน

ถ้าคุณมี ความน่าจะเป็นที่เป็นอิสระและคุณต้องการรู้ว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ทั้งหมดที่เกิดขึ้นเป็นเท่าใด คุณจึงกำหนดความน่าจะเป็นแต่ละรายการและคูณเข้าด้วยกัน อีกวิธีหนึ่ง: หากคุณใช้คำเชื่อม "และ" เพื่ออธิบายเงื่อนไขหลายประการ (เช่น ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์สุ่มจะเกิดขึ้นและเหตุการณ์สุ่มอิสระอื่น ๆ คืออะไร) ให้นับความน่าจะเป็นแต่ละรายการแล้วคูณ

ไม่ว่าคุณจะคิดอย่างไร อย่ารวมความน่าจะเป็นที่เป็นอิสระเข้าด้วยกัน นี่เป็นข้อผิดพลาดทั่วไป เพื่อให้เข้าใจว่าเหตุใดสิ่งนี้จึงผิด ลองจินตนาการถึงสถานการณ์ที่คุณกำลังโยนเหรียญและต้องการทราบว่าความน่าจะเป็นที่จะได้หัวสองครั้งติดต่อกันเป็นเท่าใด ความน่าจะเป็นที่แต่ละฝ่ายจะหลุดคือ 50% หากคุณบวกความน่าจะเป็นทั้งสองนี้เข้าด้วยกัน คุณจะมีโอกาส 100% ที่จะได้หัว แต่เรารู้ว่ามันไม่จริง เพราะมันอาจออกก้อยสองครั้งติดต่อกัน หากคุณคูณความน่าจะเป็นทั้งสองแทน คุณจะได้ 50% * 50% = 25% ซึ่งเป็นคำตอบที่ถูกต้องสำหรับการคำนวณความน่าจะเป็นที่จะได้หัวสองครั้งติดต่อกัน

ตัวอย่าง

กลับไปที่เกมลูกเต๋าหกด้าน โดยก่อนอื่นคุณต้องทอยตัวเลขที่มากกว่า 2 จากนั้นมากกว่า 3 - และต่อไปจนถึง 6 อะไรคือโอกาสที่ในการทอยห้าครั้งที่กำหนดผลลัพธ์ทั้งหมดจะเป็นที่น่าพอใจ ?

ตามที่ระบุไว้ข้างต้น สิ่งเหล่านี้เป็นการทดลองอิสระ ดังนั้นเราจึงคำนวณความน่าจะเป็นของแต่ละทอยแล้วคูณเข้าด้วยกัน ความน่าจะเป็นที่ผลลัพธ์ของการทอยครั้งแรกจะออกมาดีคือ 5/6 วินาที - 4/6 ที่สาม - 3/6 ที่สี่ - 2/6 ที่ห้า - 1/6 เราคูณผลลัพธ์ทั้งหมดเข้าด้วยกันและได้ประมาณ 1.5% การชนะในเกมนี้ค่อนข้างหายาก ดังนั้นหากคุณเพิ่มองค์ประกอบนี้ลงในเกม คุณจะต้องมีแจ็คพอตขนาดใหญ่พอสมควร

การปฏิเสธ

นี่อีกอันหนึ่ง คำแนะนำที่เป็นประโยชน์: บางครั้งการคำนวณความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์หนึ่งจะเกิดขึ้นได้ยาก แต่จะง่ายกว่าในการกำหนดโอกาสที่เหตุการณ์นั้นจะไม่เกิดขึ้น ตัวอย่างเช่น สมมติว่าเรามีเกมอื่น: คุณทอยได้ 6d6 และชนะถ้าคุณทอยได้ 6 อย่างน้อยหนึ่งครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะชนะคืออะไร?

ในกรณีนี้ มีหลายทางเลือกที่ต้องพิจารณา เป็นไปได้ว่าจะมีการทอยเลข 6 ตัวหนึ่ง นั่นคือลูกเต๋าตัวหนึ่งจะแสดงหมายเลข 6 และอีกลูกจะแสดงตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 5 จากนั้นมี 6 ตัวเลือกซึ่งลูกเต๋าจะแสดงเลข 6 คุณสามารถได้เลข 6 จากลูกเต๋าสองลูกหรือสามลูกหรือมากกว่านั้น และแต่ละครั้งคุณจะต้องคำนวณแยกกัน ดังนั้นจึงอาจสับสนได้ง่ายที่นี่

แต่ลองดูปัญหาจากอีกด้านหนึ่ง คุณจะแพ้หากไม่มีลูกเต๋าทอยได้ 6 ในกรณีนี้ เรามีการทดลองอิสระ 6 ครั้ง ความน่าจะเป็นที่ลูกเต๋าแต่ละลูกจะทอยเป็นตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ 6 คือ 5/6 คูณพวกมันแล้วคุณจะได้ประมาณ 33% ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะแพ้คือหนึ่งในสาม ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะชนะคือ 67% (หรือสองถึงสาม)

จากตัวอย่างนี้เห็นได้ชัดเจน: หากคุณคำนวณความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะไม่เกิดขึ้น คุณจะต้องลบผลลัพธ์ออกจาก 100% หากความน่าจะเป็นที่จะชนะคือ 67% ความน่าจะเป็นที่จะแพ้คือ 100% ลบ 67% หรือ 33% และในทางกลับกัน หากการคำนวณความน่าจะเป็นหนึ่งรายการยากแต่คำนวณค่าตรงกันข้ามได้ง่าย ให้คำนวณค่าตรงกันข้ามแล้วลบตัวเลขนั้นออกจาก 100%

เรารวมเงื่อนไขสำหรับการทดสอบอิสระหนึ่งครั้ง

ฉันได้กล่าวไว้ข้างต้นว่าคุณไม่ควรเพิ่มความน่าจะเป็นในการทดลองอิสระ มีกรณีใดบ้างที่สามารถสรุปความน่าจะเป็นได้? ใช่ ในสถานการณ์พิเศษอย่างหนึ่ง

หากคุณต้องการคำนวณความน่าจะเป็นสำหรับผลลัพธ์ที่น่าพึงพอใจหลายรายการที่ไม่เกี่ยวข้องในการทดลองครั้งเดียว ให้รวมความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่น่าพึงพอใจแต่ละรายการ ตัวอย่างเช่น ความน่าจะเป็นที่จะทอยเลข 4, 5 หรือ 6 บน 1d6 เท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นที่จะทอยเลข 4 ความน่าจะเป็นที่จะทอยเลข 5 และความน่าจะเป็นที่จะทอยเลข 6 สถานการณ์เช่นนี้สามารถจินตนาการได้ด้วยวิธีนี้: หากคุณใช้คำเชื่อม "หรือ" ในคำถามเกี่ยวกับความน่าจะเป็น (เช่น ความน่าจะเป็นของผลลัพธ์อย่างใดอย่างหนึ่งของเหตุการณ์สุ่มเหตุการณ์หนึ่งคืออะไร) - นับความน่าจะเป็นแต่ละรายการและสรุปผล

โปรดทราบ: เมื่อคุณคำนวณผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของเกม ผลรวมของความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นจะต้องเท่ากับ 100% มิฉะนั้นการคำนวณของคุณจะไม่ถูกต้อง นี้ วิธีที่ดีตรวจสอบการคำนวณของคุณอีกครั้ง ตัวอย่างเช่น คุณวิเคราะห์ความน่าจะเป็นของชุดค่าผสมทั้งหมดในโป๊กเกอร์ หากคุณบวกผลลัพธ์ทั้งหมดเข้าด้วยกัน คุณควรจะได้ 100% พอดี (หรืออย่างน้อยก็เกือบ 100%: หากคุณใช้เครื่องคิดเลข อาจมีข้อผิดพลาดในการปัดเศษเล็กน้อย แต่ถ้าคุณบวกตัวเลขที่แน่นอนด้วยมือ ทุกอย่างจะเกิดข้อผิดพลาด ควรเพิ่มขึ้น) หากผลรวมไม่มาบรรจบกัน หมายความว่าคุณไม่ได้คำนึงถึงชุดค่าผสมบางชุดหรือคำนวณความน่าจะเป็นของชุดค่าผสมบางชุดไม่ถูกต้อง และการคำนวณจำเป็นต้องได้รับการตรวจสอบอีกครั้ง

ความน่าจะเป็นไม่เท่ากัน

จนถึงตอนนี้ เราสันนิษฐานว่าแต่ละด้านของลูกเต๋าถูกทอยด้วยความถี่เดียวกัน เพราะนั่นคือลักษณะการทำงานของลูกเต๋า แต่บางครั้งคุณอาจพบกับสถานการณ์ที่อาจได้รับผลลัพธ์ที่แตกต่างกันและมีโอกาสปรากฏต่างกัน

ตัวอย่างเช่นในโปรแกรมเสริมตัวใดตัวหนึ่ง เกมไพ่สงครามนิวเคลียร์มีสนามเด็กเล่นพร้อมลูกศรซึ่งขึ้นอยู่กับผลของการปล่อยจรวด ส่วนใหญ่มักจะสร้างความเสียหายตามปกติ แรงกว่าหรือเบากว่า แต่บางครั้งความเสียหายก็เพิ่มเป็นสองเท่าหรือสามเท่า หรือจรวดระเบิดบนแท่นปล่อยจรวดและทำให้คุณบาดเจ็บ หรือมีเหตุการณ์อื่นเกิดขึ้น ไม่เหมือน สนามเด็กเล่นด้วยลูกศรใน Chutes & Ladders หรือ A Game of Life ผลลัพธ์ของกระดานเกมในสงครามนิวเคลียร์นั้นไม่สม่ำเสมอ สนามเด็กเล่นบางส่วนมีขนาดใหญ่กว่าและลูกศรจะหยุดที่พวกมันบ่อยกว่ามาก ในขณะที่ส่วนอื่นๆ มีขนาดเล็กมากและลูกศรจะหยุดที่พวกมันน้อยมาก

เมื่อมองแวบแรก แม่พิมพ์จะมีลักษณะดังนี้: 1, 1, 1, 2, 2, 3 - เราได้พูดถึงไปแล้ว มันเหมือนกับ 1d3 ถ่วงน้ำหนัก ดังนั้นเราจึงต้องแบ่งส่วนเหล่านี้ออกเป็นส่วนเท่าๆ กัน หาหน่วยวัดที่เล็กที่สุด โดยมีตัวหารที่ทุกอย่างเป็นจำนวนทวีคูณ จากนั้นจึงแทนสถานการณ์ในรูปของ d522 (หรืออย่างอื่น) โดยที่เซตลูกเต๋าเผชิญหน้า จะแสดงสถานการณ์เดียวกันแต่มีผลลัพธ์มากกว่า นี่เป็นวิธีหนึ่งในการแก้ปัญหา และเป็นไปได้ในทางเทคนิค แต่มีตัวเลือกที่ง่ายกว่า

กลับไปที่ลูกเต๋าหกด้านมาตรฐานของเรากัน เราเคยกล่าวไว้ว่าในการคำนวณการหมุนเฉลี่ยของแม่พิมพ์ปกติคุณต้องบวกค่าบนหน้าทั้งหมดแล้วหารด้วยจำนวนหน้า แต่การคำนวณทำงานอย่างไรกันแน่? มีวิธีอื่นในการแสดงออกนี้ สำหรับการทอยลูกเต๋าหกด้าน ความน่าจะเป็นที่แต่ละด้านจะถูกทอยคือ 1/6 พอดี ตอนนี้เราคูณผลลัพธ์ของแต่ละเส้นขอบด้วยความน่าจะเป็นของผลลัพธ์นั้น (ในกรณีนี้คือ 1/6 สำหรับแต่ละเส้นขอบ) แล้วบวกค่าผลลัพธ์เข้าด้วยกัน ดังนั้น รวม (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6 ) เราได้ผลลัพธ์เดียวกัน (3.5) เช่นเดียวกับการคำนวณด้านบน อันที่จริง เรานับแบบนี้ทุกครั้ง: เราคูณผลลัพธ์แต่ละอย่างด้วยความน่าจะเป็นของผลลัพธ์นั้น

เราสามารถคำนวณลูกศรบนสนามแข่งขันในสงครามนิวเคลียร์แบบเดียวกันได้หรือไม่? แน่นอนเราทำได้ และถ้าเรารวมผลลัพธ์ทั้งหมดที่พบ เราก็จะได้ค่าเฉลี่ย สิ่งที่เราต้องทำคือคำนวณความน่าจะเป็นของผลลัพธ์แต่ละรายการสำหรับลูกศรบนกระดานเกมและคูณด้วยค่าผลลัพธ์

อีกตัวอย่างหนึ่ง

วิธีการคำนวณค่าเฉลี่ยนี้ยังเหมาะสมหากผลลัพธ์มีโอกาสเท่ากันแต่มีข้อได้เปรียบที่แตกต่างกัน เช่น หากคุณทอยลูกเต๋าและชนะในบางด้านมากกว่าด้านอื่นๆ ตัวอย่างเช่น เรามาเล่นเกมคาสิโนกัน: คุณวางเดิมพันและทอย 2d6 ถ้าสามตัวเลขที่มีค่าต่ำสุด (2, 3, 4) หรือสี่ตัวเลขด้วย มูลค่าสูง(9, 10, 11, 12) - คุณจะชนะจำนวนเท่ากับเงินเดิมพันของคุณ ตัวเลขที่มีค่าต่ำสุดและสูงสุดเป็นพิเศษ: หากคุณหมุน 2 หรือ 12 คุณจะชนะการเดิมพันสองเท่า หากทอยหมายเลขอื่น (5, 6, 7, 8) คุณจะเสียเงินเดิมพัน มันสวย เกมง่ายๆ- แต่ความน่าจะเป็นที่จะชนะคืออะไร?

เริ่มต้นด้วยการนับจำนวนครั้งที่คุณสามารถชนะได้ จำนวนผลลัพธ์สูงสุดเมื่อทอย 2d6 คือ 36 จำนวนผลลัพธ์ที่ดีคือเท่าไร?

มี 1 ตัวเลือกที่จะทอยได้ 2 และ 1 ตัวเลือกที่จะทอยได้ 12
มี 2 ตัวเลือกที่ 3 จะทอยและ 2 ตัวเลือกที่ 11 จะทอย
มี 3 ตัวเลือกที่ 4 จะทอย และ 3 ตัวเลือกที่ 10 จะทอย
มี 4 ตัวเลือกสำหรับการหมุน 9

เมื่อรวมตัวเลือกทั้งหมดแล้ว เราได้ผลลัพธ์ที่ดี 16 รายการจาก 36 รายการ ดังนั้นด้วย สภาวะปกติคุณจะชนะ 16 ครั้งจากทั้งหมด 36 ครั้ง - ความน่าจะเป็นที่จะชนะน้อยกว่า 50% เล็กน้อย

แต่ในสองกรณีจากสิบหกกรณีนี้ คุณจะชนะเป็นสองเท่า - มันเหมือนกับการชนะสองครั้ง หากคุณเล่นเกมนี้ 36 ครั้ง เดิมพัน 1 ดอลลาร์ในแต่ละครั้ง และผลลัพธ์ที่เป็นไปได้แต่ละรายการเกิดขึ้นครั้งเดียว คุณจะชนะรางวัลรวม 18 ดอลลาร์ (จริง ๆ แล้วคุณจะชนะ 16 ครั้ง แต่สองรายการจะนับเป็นชัยชนะสองครั้ง) หากคุณเล่น 36 ครั้งและชนะรางวัล $18 นั่นไม่ได้หมายความว่าอัตราต่อรองจะเท่ากันใช่หรือไม่

ใช้เวลาของคุณ หากคุณนับจำนวนครั้งที่คุณสามารถแพ้ได้ คุณจะจบลงด้วย 20 ไม่ใช่ 18 หากคุณเล่น 36 ครั้ง เดิมพัน 1 ดอลลาร์ในแต่ละครั้ง คุณจะชนะรางวัลรวม 18 ดอลลาร์หากคุณเลือกชนะทั้งหมด แต่คุณจะเสียเงินทั้งหมด 20 ดอลลาร์หากคุณได้รับผลลัพธ์ที่ไม่น่าพอใจทั้ง 20 รายการ ผลก็คือ คุณจะตามหลังเล็กน้อย: คุณเสียเงินสุทธิเฉลี่ย 2 ดอลลาร์สำหรับทุก ๆ 36 เกม (คุณยังสามารถพูดได้ว่าคุณเสียเงินเฉลี่ย 1/18 ต่อวัน) ตอนนี้คุณคงเห็นว่าการทำผิดพลาดในกรณีนี้นั้นง่ายเพียงใดและคำนวณความน่าจะเป็นไม่ถูกต้อง

การจัดเรียงใหม่

จนถึงตอนนี้เราได้สันนิษฐานว่าลำดับของตัวเลขเมื่อโยนลูกเต๋าไม่สำคัญ การทอย 2 + 4 เหมือนกับการทอย 4 + 2 ในกรณีส่วนใหญ่ เราจะนับจำนวนผลลัพธ์ที่ดีด้วยตนเอง แต่บางครั้ง วิธีนี้ทำไม่ได้และควรใช้สูตรทางคณิตศาสตร์จะดีกว่า

ตัวอย่างของสถานการณ์นี้มาจากเกมลูกเต๋า Farkle ในแต่ละรอบใหม่ คุณจะหมุน 6d6 หากคุณโชคดีและได้ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด 1-2-3-4-5-6 (ตรง) คุณจะได้รับโบนัสก้อนใหญ่ โอกาสที่สิ่งนี้จะเกิดขึ้นคืออะไร? ในกรณีนี้ มีตัวเลือกมากมายในการรับชุดค่าผสมนี้

วิธีแก้มีดังนี้ ลูกเต๋าหนึ่งลูก (และมีเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น) ต้องมีหมายเลข 1 หมายเลข 1 จะปรากฏบนลูกเต๋าหนึ่งลูกได้กี่วิธี? มี 6 ตัวเลือกเนื่องจากมีลูกเต๋า 6 ลูกและลูกเต๋าใดลูกหนึ่งก็สามารถตกเป็นหมายเลข 1 ได้ ดังนั้นให้หยิบลูกเต๋าหนึ่งลูกแล้ววางไว้ข้างๆ ตอนนี้ลูกเต๋าที่เหลือหนึ่งลูกควรหมุนหมายเลข 2 มี 5 ตัวเลือกสำหรับสิ่งนี้ นำลูกเต๋าอีกลูกแล้ววางไว้ข้างๆ จากนั้นลูกเต๋าที่เหลือ 4 ลูกอาจตกเลข 3 ลูกเต๋าที่เหลือ 3 ลูกอาจตกเลข 4 และลูกเต๋าที่เหลืออีก 2 ลูกอาจตกเลข 5 ผลก็คือ คุณจะเหลือลูกเต๋าหนึ่งลูกซึ่งควรจะลงที่ หมายเลข 6 (ในกรณีหลัง ลูกเต๋ามีกระดูกเพียงชิ้นเดียวและไม่มีทางเลือก)

ในการคำนวณจำนวนผลลัพธ์ที่น่าพึงพอใจสำหรับการตีเส้นตรง เราจะคูณความเป็นไปได้อิสระต่างๆ ทั้งหมด: 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1=720 - ดูเหมือนว่าจะมีความเป็นไปได้ค่อนข้างมากที่ชุดค่าผสมนี้จะเกิดขึ้น .

ในการคำนวณความน่าจะเป็นที่จะได้เส้นตรง เราต้องหาร 720 ด้วยจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับการกลิ้ง 6d6 จำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือเท่าไร? ลูกเต๋าแต่ละลูกสามารถมีได้ 6 ด้าน ดังนั้นเราจึงคูณ 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 46656 (จำนวนที่มากกว่าจำนวนก่อนหน้ามาก) หาร 720 ด้วย 46656 แล้วเราจะได้ความน่าจะเป็นประมาณ 1.5% หากคุณกำลังออกแบบเกมนี้ มันจะเป็นประโยชน์สำหรับคุณที่จะรู้สิ่งนี้ เพื่อที่คุณจะได้สามารถสร้างระบบการให้คะแนนตามนั้นได้ ตอนนี้เราเข้าใจแล้วว่าทำไมใน Farkle คุณจะได้รับโบนัสก้อนโตหากคุณทำตรง: นี่เป็นสถานการณ์ที่ค่อนข้างหายาก

ผลลัพธ์ก็น่าสนใจเช่นกันด้วยเหตุผลอื่น ตัวอย่างแสดงให้เห็นว่าผลลัพธ์ที่สอดคล้องกับความน่าจะเป็นในช่วงเวลาสั้นๆ แทบจะไม่เกิดขึ้นเลย แน่นอนว่าถ้าเราทอยลูกเต๋าหลายพันลูกเต๋า ใบหน้าที่แตกต่างกันลูกเต๋าก็จะเกิดขึ้นค่อนข้างบ่อย แต่เมื่อเราโยนลูกเต๋าไปเพียงหกลูก มันแทบไม่เคยเกิดขึ้นเลยที่ทุกหน้าจะโผล่ขึ้นมา เห็นได้ชัดว่าเป็นการโง่ที่จะคาดหวังว่าจะมีบรรทัดที่ยังไม่เกิดขึ้นเพราะ "เราไม่ได้ทอยเลข 6 มาเป็นเวลานาน" ฟังนะ เครื่องกำเนิดตัวเลขสุ่มของคุณเสีย

สิ่งนี้นำเราไปสู่ความเข้าใจผิดทั่วไปที่ว่าผลลัพธ์ทั้งหมดเกิดขึ้นที่ความถี่เดียวกันในช่วงเวลาสั้นๆ ถ้าเราโยนลูกเต๋าหลาย ๆ ครั้ง ความถี่ที่แต่ละด้านจะหลุดออกจะไม่เท่ากัน

หากคุณเคยเล่นเกมออนไลน์โดยใช้โปรแกรมสร้างตัวเลขสุ่มมาก่อน คุณคงประสบปัญหาที่ผู้เล่นเขียนถึงฝ่ายสนับสนุนทางเทคนิคโดยบ่นว่าโปรแกรมสร้างตัวเลขสุ่มไม่แสดงตัวเลขสุ่ม เขามาถึงข้อสรุปนี้เพราะเขาฆ่ามอนสเตอร์ 4 ตัวติดต่อกันและได้รับรางวัลที่เหมือนกันทั้งหมด 4 รางวัล และรางวัลเหล่านี้ควรปรากฏเพียง 10% ของเวลาเท่านั้น ดังนั้นเห็นได้ชัดว่าสิ่งนี้แทบจะไม่เคยเกิดขึ้นเลย

คุณกำลังทำการคำนวณทางคณิตศาสตร์ ความน่าจะเป็นคือ 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10 นั่นคือ 1 ผลลัพธ์ใน 10,000 ถือเป็นกรณีที่ค่อนข้างหายาก นี่คือสิ่งที่ผู้เล่นพยายามจะบอกคุณ ในกรณีนี้จะมีปัญหาหรือไม่?

ทุกอย่างขึ้นอยู่กับสถานการณ์ ขณะนี้มีผู้เล่นกี่คนบนเซิร์ฟเวอร์ของคุณ? สมมติว่าคุณมีเกมที่ได้รับความนิยมและมีผู้เล่นนับแสนคนทุกวัน ผู้เล่นสามารถฆ่ามอนสเตอร์สี่ตัวติดต่อกันได้กี่คน? อาจจะทั้งหมด หลายครั้งต่อวัน แต่สมมุติว่าครึ่งหนึ่งเป็นเพียงการแลกเปลี่ยนไอเท็มต่างๆ ในการประมูล สนทนาบนเซิร์ฟเวอร์ RP หรือทำกิจกรรมอื่นๆ ในเกม ดังนั้นมีเพียงครึ่งเดียวเท่านั้นที่กำลังล่าสัตว์ประหลาด ความน่าจะเป็นที่คนจะได้รับรางวัลเดียวกันคือเท่าไร? ในสถานการณ์นี้ คุณสามารถคาดหวังได้ว่าสิ่งนี้จะเกิดขึ้นอย่างน้อยหลายครั้งต่อวัน

อย่างไรก็ตาม นี่คือเหตุผลว่าทำไมดูเหมือนว่าทุกๆ สองสามสัปดาห์จะมีคนถูกลอตเตอรี่ แม้ว่าคนนั้นจะไม่เคยเป็นคุณหรือใครก็ตามที่คุณรู้จักก็ตาม หากมีคนเล่นเป็นประจำมากพอ ก็มีโอกาสที่จะมีผู้เล่นที่โชคดีอย่างน้อยหนึ่งคนอยู่ที่ไหนสักแห่ง แต่ถ้าคุณเล่นลอตเตอรีด้วยตัวเอง คุณก็ไม่น่าจะถูกรางวัล แต่คุณจะได้รับเชิญให้ไปทำงานที่ Infinity Ward

การ์ดและการเสพติด

เราได้พูดคุยถึงเหตุการณ์อิสระ เช่น การทอยลูกเต๋า และตอนนี้ก็ได้ทราบเครื่องมืออันทรงพลังมากมายสำหรับการวิเคราะห์การสุ่มในเกมต่างๆ การคำนวณความน่าจะเป็นจะซับซ้อนกว่าเล็กน้อยเมื่อพูดถึงการจั่วไพ่จากสำรับ เนื่องจากไพ่แต่ละใบที่เราจั่วจะส่งผลต่อไพ่ที่เหลืออยู่ในสำรับ

หากคุณมีสำรับไพ่มาตรฐาน 52 ใบ คุณจะลบหัวใจ 10 ดวงออกจากสำรับและต้องการทราบความน่าจะเป็นที่ไพ่ใบต่อไปจะเป็นดอกเดียวกัน - ความน่าจะเป็นเปลี่ยนจากต้นฉบับเพราะคุณได้ถอดไพ่ออกหนึ่งใบแล้ว ของหัวใจจากดาดฟ้า การ์ดแต่ละใบที่คุณนำออกจะเปลี่ยนความน่าจะเป็นที่การ์ดใบถัดไปจะปรากฏในสำรับ ในกรณีนี้ เหตุการณ์ก่อนหน้านี้ส่งผลต่อเหตุการณ์ถัดไป ดังนั้นเราจึงเรียกความน่าจะเป็นนี้ว่าขึ้นอยู่กับ

โปรดทราบว่าเมื่อฉันพูดว่า "การ์ด" ฉันกำลังพูดถึงกลไกเกมใดๆ ที่คุณมีชุดของวัตถุ และคุณนำวัตถุชิ้นใดชิ้นหนึ่งออกโดยไม่ต้องเปลี่ยนมัน "สำรับไพ่" ในกรณีนี้คล้ายคลึงกับถุงชิปที่คุณหยิบชิปมาหนึ่งชิปหรือโกศที่ใช้ลูกบอลสี (ฉันไม่เคยเห็นเกมที่มีโกศที่ใช้ลูกบอลสีมา แต่ครู ของทฤษฎีความน่าจะเป็นตามอะไร - เหตุผลที่ว่าทำไมตัวอย่างนี้จึงเป็นที่นิยม)

คุณสมบัติการพึ่งพา

ผมอยากจะชี้แจงว่าเมื่อไร เรากำลังพูดถึงเกี่ยวกับไพ่ ฉันเดาว่าคุณจะหยิบไพ่ออกมา ดูมัน แล้วเอามันออกจากสำรับ การกระทำแต่ละอย่างเหล่านี้เป็นทรัพย์สินที่สำคัญ ถ้าฉันมีสำรับไพ่หกใบที่มีหมายเลข 1 ถึง 6 ฉันจะสับไพ่และจั่วไพ่หนึ่งใบ จากนั้นสับไพ่ทั้งหกใบอีกครั้ง สิ่งนี้จะคล้ายกับการโยนลูกเต๋าหกด้านเพราะผลลัพธ์หนึ่งมี ไม่มีผลกับอันถัดไป และถ้าฉันหยิบไพ่ออกมาแล้วไม่แทนที่ ด้วยการหยิบไพ่ใบที่ 1 ฉันจะทำให้มีโอกาสมากขึ้นที่จะหยิบไพ่ใบที่ 6 ในครั้งต่อไป ความน่าจะเป็นจะเพิ่มขึ้นต่อไปจนกว่าฉันจะหยิบไพ่ออกมาในที่สุด การ์ดใบนั้นหรือสับไพ่

ความจริงที่ว่าเรากำลังดูไพ่ก็มีความสำคัญเช่นกัน ถ้าฉันเอาไพ่ออกจากสำรับแล้วไม่ดู ฉันก็จะไม่มี ข้อมูลเพิ่มเติมและในความเป็นจริงความน่าจะเป็นจะไม่เปลี่ยนแปลง นี่อาจฟังดูขัดกับสัญชาตญาณ วิธีพลิกไพ่แบบง่ายๆ อย่างน่าอัศจรรย์เปลี่ยนความน่าจะเป็นเหรอ? แต่ก็เป็นไปได้เพราะว่าคุณสามารถคำนวณความน่าจะเป็นสำหรับรายการที่ไม่ทราบได้จากสิ่งที่คุณรู้เท่านั้น

ตัวอย่างเช่น หากคุณสับไพ่สำรับมาตรฐานและเปิดเผยไพ่ 51 ใบ แต่ไม่มีไพ่ใดที่เป็นราชินีแห่งไพ่ คุณสามารถมั่นใจได้ 100% ว่าไพ่ที่เหลือนั้นเป็นราชินีแห่งไพ่ หากคุณสับไพ่สำรับมาตรฐานและหยิบไพ่ออกมา 51 ใบโดยไม่มองดู ความน่าจะเป็นที่ไพ่ที่เหลือจะเป็นไพ่ควีนออฟคลับจะยังคงเป็น 1/52 เมื่อคุณเปิดการ์ดแต่ละใบ คุณจะได้รับข้อมูลเพิ่มเติม

การคำนวณความน่าจะเป็นสำหรับเหตุการณ์ขึ้นอยู่กับหลักการเดียวกันกับเหตุการณ์อิสระ ยกเว้นว่าจะซับซ้อนกว่าเล็กน้อยเนื่องจากความน่าจะเป็นจะเปลี่ยนไปเมื่อคุณเปิดเผยไพ่ ดังนั้นคุณต้องคูณให้มาก ความหมายที่แตกต่างกันแทนที่จะคูณค่าเดียวกัน ความหมายจริงๆ ก็คือเราจำเป็นต้องรวมการคำนวณทั้งหมดที่เราทำเข้าด้วยกันเป็นชุดเดียว

ตัวอย่าง

คุณสับไพ่สำรับมาตรฐาน 52 ใบแล้วจั่วไพ่สองใบ ความน่าจะเป็นที่คุณจะวาดคู่เป็นเท่าใด? มีหลายวิธีในการคำนวณความน่าจะเป็นนี้ แต่บางทีวิธีที่ง่ายที่สุดก็คือ ความน่าจะเป็นที่หากคุณจั่วไพ่ใบเดียว คุณจะไม่สามารถจั่วไพ่คู่ได้เป็นเท่าใด ความน่าจะเป็นนี้เป็นศูนย์ ดังนั้นจึงไม่สำคัญว่าคุณจะจั่วไพ่ใบใดใบแรก ตราบใดที่มันตรงกับใบที่สอง ไม่ว่าเราจะจั่วไพ่ใบไหนก่อนก็ยังมีโอกาสจั่วคู่ได้ ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะจั่วคู่หลังจากจั่วไพ่ใบแรกคือ 100%

ความน่าจะเป็นที่ไพ่ใบที่สองตรงกับใบแรกเป็นเท่าใด? มีไพ่ที่เหลืออยู่ 51 ใบในสำรับ และ 3 ใบตรงกับไพ่ใบแรก (จริงๆ แล้วจะมี 4 ใบจาก 52 ใบ แต่คุณได้เอาไพ่ที่ตรงกันออกแล้วหนึ่งใบเมื่อคุณจั่วไพ่ใบแรก) ดังนั้นความน่าจะเป็นคือ 1/ 17. ดังนั้นครั้งต่อไปที่คุณกำลังเล่น Texas Hold'em ผู้ชายที่อยู่ตรงข้ามโต๊ะกับคุณพูดว่า “เจ๋ง อีกคู่หนึ่งเหรอ? วันนี้ฉันรู้สึกโชคดี” คุณจะรู้ว่ามีความเป็นไปได้สูงที่เขากำลังบลัฟ

จะเป็นอย่างไรถ้าเราเพิ่มโจ๊กเกอร์สองตัวเพื่อให้เรามีไพ่ 54 ใบในสำรับ และต้องการทราบว่าความน่าจะเป็นที่จะได้ไพ่คู่คืออะไร? ไพ่ใบแรกอาจเป็นโจ๊กเกอร์ จากนั้นจะมีไพ่ใบเดียวในสำรับที่ตรงกัน ไม่ใช่สามใบ จะหาความน่าจะเป็นในกรณีนี้ได้อย่างไร? เราจะหารความน่าจะเป็นและคูณความเป็นไปได้แต่ละรายการ

ไพ่ใบแรกของเราอาจเป็นไพ่โจ๊กเกอร์หรือไพ่ใบอื่น ความน่าจะเป็นที่จะจั่วไพ่โจ๊กเกอร์คือ 2/54 ความน่าจะเป็นที่จะจั่วไพ่ใบอื่นคือ 52/54 ถ้าไพ่ใบแรกเป็นโจ๊กเกอร์ (2/54) ความน่าจะเป็นที่ไพ่ใบที่สองจะตรงกับใบแรกคือ 1/53 การคูณค่า (เราสามารถคูณมันได้เพราะมัน แต่ละเหตุการณ์และเราต้องการให้ทั้งสองเหตุการณ์เกิดขึ้น) และเราได้ 1/1431 - น้อยกว่าหนึ่งในสิบของเปอร์เซ็นต์

หากคุณจั่วไพ่ใบอื่นก่อน (52/54) ความน่าจะเป็นที่จะจับคู่ไพ่ใบที่สองคือ 3/53 เราคูณค่าแล้วได้ 78/1431 (มากกว่า 5.5%) เล็กน้อย เราจะทำอย่างไรกับผลลัพธ์ทั้งสองนี้? พวกมันไม่ตัดกัน และเราต้องการทราบความน่าจะเป็นของแต่ละตัว เราจึงบวกค่าเข้าด้วยกัน เราได้ผลลัพธ์สุดท้ายที่ 79/1431 (ยังคงประมาณ 5.5%)

หากเราต้องการมั่นใจในความถูกต้องของคำตอบ เราสามารถคำนวณความน่าจะเป็นของผลลัพธ์อื่นๆ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด เช่น จั่วไพ่โจ๊กเกอร์แต่ไม่ตรงกับไพ่ใบที่สอง หรือจั่วไพ่ใบอื่นแต่ไม่ตรงกับไพ่ใบที่สอง เมื่อสรุปความน่าจะเป็นเหล่านี้และความน่าจะเป็นที่จะชนะ เราจะได้ 100% พอดี ฉันจะไม่บอกคณิตศาสตร์ตรงนี้ แต่คุณสามารถลองคณิตศาสตร์เพื่อตรวจสอบอีกครั้งได้

มอนตี้ ฮอลล์ พาราด็อกซ์

สิ่งนี้นำเราไปสู่ความขัดแย้งที่มีชื่อเสียงซึ่งมักสร้างความสับสนให้กับผู้คนจำนวนมาก นั่นก็คือ Monty Hall Paradox ความขัดแย้งนี้ตั้งชื่อตามพิธีกรรายการทีวี Let's Make a Deal สำหรับผู้ที่ไม่เคยเห็นรายการทีวีนี้ มันตรงกันข้ามกับ The Price Is Right

ในราคาที่ถูกต้อง เจ้าของบ้าน (Bob Barker เคยเป็นเจ้าภาพ ตอนนี้ใครคือ Drew Carey ไม่เป็นไร) คือเพื่อนของคุณ เขาต้องการให้คุณชนะเงินหรือของรางวัลสุดเจ๋ง มันพยายามให้ทุกโอกาสแก่คุณในการชนะ ตราบใดที่คุณสามารถเดาได้ว่าสินค้าที่ผู้สนับสนุนซื้อนั้นมีมูลค่าเท่าไร

มอนตี้ ฮอลล์มีพฤติกรรมแตกต่างออกไป เขาเป็นเหมือนฝาแฝดที่ชั่วร้ายของ Bob Barker เป้าหมายของเขาคือการทำให้คุณดูเป็นคนงี่เง่าในโทรทัศน์ระดับชาติ หากคุณอยู่ในรายการ เขาเป็นคู่ต่อสู้ของคุณ คุณเล่นกับเขา และโอกาสก็เข้าข้างเขา บางทีฉันอาจรุนแรงเกินไป แต่เมื่อดูการแสดงที่คุณมีแนวโน้มที่จะสนใจมากขึ้นหากคุณสวมชุดไร้สาระ นั่นแหละสิ่งที่ฉันคิด

มีมที่โด่งดังที่สุดอย่างหนึ่งของรายการนี้คือ มีประตูสามบานอยู่ตรงหน้าคุณ ประตูหมายเลข 1 ประตูหมายเลข 2 และประตูหมายเลข 3 คุณสามารถเลือกหนึ่งประตูได้ฟรี เบื้องหลังหนึ่งในนั้นคือรางวัลอันทรงคุณค่า - เช่น รถใหม่ ไม่มีรางวัลหลังประตูอีกสองบาน ซึ่งทั้งสองประตูไม่มีค่าเลย พวกเขาควรจะทำให้คุณขายหน้า ดังนั้นเบื้องหลังพวกเขาจึงไม่ใช่แค่ไม่มีอะไร แต่ยังมีอะไรที่โง่ๆ เช่น แพะหรือยาสีฟันหลอดใหญ่ อะไรก็ได้นอกจากรถใหม่

คุณเลือกประตูบานใดบานหนึ่ง มอนตี้กำลังจะเปิดประตูเพื่อแจ้งให้คุณทราบว่าคุณชนะหรือไม่... แต่เดี๋ยวก่อน ก่อนที่เราจะรู้ เรามาดูประตูบานใดบานหนึ่งที่คุณไม่ได้เลือกกันดีกว่า มอนตี้รู้ว่าประตูไหนที่มีรางวัลอยู่ข้างหลัง และเขาสามารถเปิดประตูที่ไม่มีรางวัลอยู่ข้างหลังได้ตลอดเวลา “คุณกำลังเลือกประตูหมายเลข 3 หรือไม่? งั้นเปิดประตูหมายเลข 1 แสดงว่าไม่มีรางวัลอยู่ข้างหลัง” และตอนนี้ด้วยความเอื้ออาทรเขาจึงเสนอโอกาสให้คุณเปลี่ยนประตูหมายเลข 3 ที่เลือกไว้กับสิ่งที่อยู่ด้านหลังประตูหมายเลข 2

ณ จุดนี้ คำถามเกี่ยวกับความน่าจะเป็นเกิดขึ้น: โอกาสนี้เพิ่มความน่าจะเป็นในการชนะของคุณ หรือลดลง หรือยังคงไม่เปลี่ยนแปลงหรือไม่? คุณคิดอย่างไร?

คำตอบที่ถูกต้อง: ความสามารถในการเลือกประตูอื่นเพิ่มความน่าจะเป็นที่จะชนะจาก 1/3 เป็น 2/3 นี่เป็นเรื่องไร้เหตุผล หากคุณไม่เคยพบกับความขัดแย้งนี้มาก่อน เป็นไปได้มากว่าคุณกำลังคิดว่า เดี๋ยวก่อน เป็นไปได้อย่างไรที่การเปิดประตูบานเดียวทำให้เราเปลี่ยนความน่าจะเป็นได้อย่างน่าอัศจรรย์? ดังที่เราได้เห็นในแผนที่แล้ว นี่คือสิ่งที่เกิดขึ้นเมื่อเราได้รับข้อมูลเพิ่มเติม แน่นอนว่าเมื่อคุณเลือกครั้งแรก ความน่าจะเป็นที่จะชนะคือ 1/3 เมื่อประตูบานหนึ่งเปิดขึ้น ความน่าจะเป็นที่จะชนะตัวเลือกแรกจะไม่เปลี่ยนเลย ความน่าจะเป็นยังคงเป็น 1/3 แต่ความน่าจะเป็นที่อีกประตูถูกคือ 2/3

ลองดูตัวอย่างนี้จากมุมมองที่ต่างออกไป คุณเลือกประตู ความน่าจะเป็นที่จะชนะคือ 1/3 ฉันขอแนะนำให้คุณเปลี่ยนประตูอีกสองบาน ซึ่งเป็นสิ่งที่มอนตี้ ฮอลล์ทำ แน่นอนว่าเขาเปิดประตูบานหนึ่งเพื่อเผยให้เห็นว่าไม่มีรางวัลอยู่เบื้องหลัง แต่เขาสามารถทำเช่นนั้นได้เสมอ ดังนั้นมันจึงไม่เปลี่ยนแปลงอะไรเลย แน่นอนว่าคุณจะต้องเลือกประตูอื่น

หากคุณไม่ค่อยเข้าใจคำถามและต้องการคำอธิบายที่น่าเชื่อถือกว่านี้ ให้คลิกที่ลิงก์นี้เพื่อเข้าสู่แอปพลิเคชัน Flash ตัวเล็กๆ ที่จะช่วยให้คุณสามารถสำรวจความขัดแย้งนี้โดยละเอียดยิ่งขึ้น คุณสามารถเล่นโดยเริ่มจากประตูประมาณ 10 ประตู จากนั้นค่อยๆ ไต่ระดับไปจนถึงเกมที่มีสามประตู นอกจากนี้ยังมีเครื่องจำลองที่คุณสามารถเล่นกับประตูจำนวนเท่าใดก็ได้ตั้งแต่ 3 ถึง 50 ประตู หรือเล่นเกมจำลองหลายพันแบบ แล้วดูว่าคุณจะชนะกี่ครั้งถ้าคุณเล่น

เลือกหนึ่งในสามประตู - ความน่าจะเป็นที่จะชนะคือ 1/3 ตอนนี้คุณมีสองกลยุทธ์: เปลี่ยนตัวเลือกของคุณหลังจากเปิดประตูผิดหรือไม่ หากคุณไม่เปลี่ยนตัวเลือก ความน่าจะเป็นจะยังคงอยู่ 1/3 เนื่องจากตัวเลือกจะเกิดขึ้นในระยะแรกเท่านั้น และคุณต้องเดาทันที หากคุณเปลี่ยน คุณสามารถชนะได้หากคุณเลือกประตูผิดก่อน (จากนั้นประตูจะเปิดอีกประตูผิด ประตูที่ถูกต้องยังคงอยู่ - โดยการเปลี่ยนการตัดสินใจของคุณ คุณจะรับมัน) ความน่าจะเป็นในการเลือกประตูผิดตั้งแต่เริ่มต้นคือ 2/3 - ปรากฎว่าเมื่อเปลี่ยนการตัดสินใจ คุณจะมีโอกาสชนะเป็นสองเท่า
ข้อสังเกตจากอาจารย์ คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นและเชี่ยวชาญด้าน ความสมดุลของเกม Maxim Soldatov - แน่นอนว่า Schreiber ไม่มีเธอ แต่ถ้าไม่มีเธอคุณก็สามารถเข้าใจสิ่งนี้ได้ การเปลี่ยนแปลงที่มีมนต์ขลังค่อนข้างยาก

และอีกครั้งเกี่ยวกับความขัดแย้งของ Monty Hall

ในส่วนของการแสดง แม้ว่าคู่ต่อสู้ของ Monty Hall จะไม่เก่งคณิตศาสตร์ แต่เขาก็สามารถทำได้ดี นี่คือสิ่งที่เขาทำเพื่อเปลี่ยนแปลงเกมเล็กน้อย หากคุณเลือกประตูที่มีรางวัลอยู่ด้านหลัง ซึ่งมีโอกาส 1/3 เกิดขึ้น ประตูนั้นจะเสนอทางเลือกให้คุณเลือกประตูอื่นเสมอ คุณจะเลือกรถแล้วเปลี่ยนเป็นแพะ แล้วคุณจะดูงี่เง่ามาก ซึ่งเป็นสิ่งที่คุณต้องการเลยเพราะฮอลเป็นคนประเภทที่ชั่วร้าย

แต่ถ้าคุณเลือกประตูที่ไม่มีรางวัลอยู่ข้างหลัง เขาจะขอให้คุณเลือกอีกครึ่งหนึ่งเท่านั้น หรือเขาจะให้คุณดูแพะตัวใหม่ของคุณแล้วคุณจะออกจากเวที มาวิเคราะห์เรื่องนี้กัน เกมใหม่โดยมอนตี้ ฮอลล์สามารถตัดสินใจได้ว่าจะเสนอโอกาสให้คุณเลือกประตูอื่นหรือไม่

สมมติว่าเขาทำตามอัลกอริธึมนี้: หากคุณเลือกประตูที่มีรางวัล เขาจะเสนอโอกาสให้คุณเลือกประตูอื่นเสมอ ไม่เช่นนั้นเขาจะ ความน่าจะเป็นที่เท่ากันจะเสนอให้คุณเลือกประตูอื่นหรือให้แพะแก่คุณ ความน่าจะเป็นของคุณที่จะชนะคืออะไร?

ในหนึ่งใน สามตัวเลือกคุณเลือกประตูที่อยู่ด้านหลังรางวัลทันทีและผู้นำเสนอขอเชิญคุณเลือกประตูอื่น

จากสองตัวเลือกที่เหลือจากสามตัวเลือก (ในตอนแรกคุณเลือกประตูที่ไม่มีรางวัล) ครึ่งหนึ่งของกรณีที่ผู้นำเสนอจะเสนอให้คุณเปลี่ยนการตัดสินใจและในอีกครึ่งหนึ่งของกรณี - ไม่

ครึ่งหนึ่งของ 2/3 คือ 1/3 นั่นคือในกรณีหนึ่งในสามคุณจะได้แพะ ในกรณีหนึ่งในสามคุณจะเลือกประตูผิดและเจ้าบ้านจะขอให้คุณเลือกประตูอื่น และในหนึ่ง กรณีจากสามคุณจะเลือกประตูที่ถูกต้อง แต่เขากลับเสนออีกประตูหนึ่ง

หากผู้นำเสนอเสนอให้เลือกประตูอื่น เราก็รู้อยู่แล้วว่ากรณีหนึ่งในสามกรณีที่เขาให้แพะเราและเราจากไปนั้นไม่เกิดขึ้น นี้ ข้อมูลที่เป็นประโยชน์: หมายความว่าโอกาสในการชนะของเราเปลี่ยนไป สองกรณีจากสามกรณีที่เรามีโอกาสเลือก: ในกรณีหนึ่งหมายความว่าเราเดาถูก และอีกกรณีหนึ่งเราเดาผิด ดังนั้นหากเราได้รับโอกาสในการเลือกเลย ความน่าจะเป็นของการชนะของเรา คือ 1/2 และจากมุมมองทางคณิตศาสตร์ ไม่สำคัญว่าคุณจะเลือกประตูอื่นหรือเลือกประตูอื่น

เช่นเดียวกับโป๊กเกอร์ มันเป็นเกมจิตวิทยา ไม่ใช่เกมทางคณิตศาสตร์ ทำไมมอนตี้ถึงให้คุณเลือก? เขาคิดว่าคุณเป็นคนธรรมดาที่ไม่รู้ว่าการเลือกประตูอื่นเป็นการตัดสินใจที่ "ถูกต้อง" และจะยึดมั่นในการเลือกของเขาอย่างดื้อรั้น (ท้ายที่สุดแล้วในทางจิตวิทยา สถานการณ์มีความซับซ้อนมากขึ้น,เลือกรถแล้วหาย)?

หรือเขาตัดสินใจว่าคุณฉลาดและจะเลือกประตูอื่น เขาเสนอโอกาสนี้ให้คุณเพราะเขารู้ว่าคุณทายถูกตั้งแต่แรกและจะติดใจ? หรือบางทีเขาอาจจะใจดีอย่างไม่เคยมีมาก่อนและกดดันให้คุณทำสิ่งที่เป็นประโยชน์กับคุณเพราะเขาไม่ได้แจกรถมาสักพักแล้วและโปรดิวเซอร์บอกว่าคนดูเริ่มเบื่อแล้วจะดีกว่าถ้าแจกรางวัลใหญ่เร็วๆ นี้ เรตติ้งตกเหรอ?

ด้วยวิธีนี้ มอนตี้สามารถเสนอทางเลือกได้เป็นครั้งคราว และยังคงรักษาความน่าจะเป็นโดยรวมที่จะชนะที่ 1/3 โปรดจำไว้ว่าความน่าจะเป็นที่คุณจะสูญเสียทันทีคือ 1/3 ความน่าจะเป็นที่คุณจะทายถูกทันทีคือ 1/3 และ 50% ของครั้งนั้นคุณจะชนะ (1/3 x 1/2 = 1/6)

โอกาสที่คุณจะทายผิดในตอนแรกแต่ต่อมามีโอกาสเลือกประตูอื่นคือ 1/3 และครึ่งหนึ่งของครั้งนั้นคุณจะชนะ (เช่น 1/6 เช่นกัน) เพิ่มความเป็นไปได้ในการชนะโดยอิสระสองรายการ และคุณจะได้รับความน่าจะเป็น 1/3 ดังนั้นไม่สำคัญว่าคุณจะยึดติดกับตัวเลือกของคุณหรือเลือกประตูอื่น ความน่าจะเป็นโดยรวมของคุณที่จะชนะตลอดทั้งเกมคือ 1/3

ความน่าจะเป็นไม่ได้ยิ่งใหญ่กว่าในสถานการณ์เมื่อคุณเดาประตูและผู้นำเสนอก็แสดงให้คุณเห็นว่ามีอะไรอยู่เบื้องหลังโดยไม่ต้องเสนอให้เลือกประตูอื่น ประเด็นของข้อเสนอไม่ใช่เพื่อเปลี่ยนความน่าจะเป็น แต่เพื่อทำให้กระบวนการตัดสินใจสนุกสนานในการรับชมทางโทรทัศน์มากขึ้น

อย่างไรก็ตาม นี่เป็นเหตุผลหนึ่งว่าทำไมโป๊กเกอร์ถึงน่าสนใจมาก: ในรูปแบบส่วนใหญ่ ระหว่างรอบที่มีการเดิมพัน (เช่น ฟล็อป เทิร์น และริเวอร์ใน Texas Hold'em) ไพ่จะค่อยๆ เผยออกมา และหากตอนเริ่มเกมคุณมีโอกาสชนะหนึ่งครั้ง จากนั้นหลังจากแต่ละรอบการเดิมพันเมื่อเปิด การ์ดเพิ่มเติมความน่าจะเป็นนี้เปลี่ยนไป

ความขัดแย้งของเด็กชายและเด็กหญิง

สิ่งนี้นำเราไปสู่ความขัดแย้งที่รู้จักกันดีซึ่งตามกฎแล้วทำให้ทุกคนไขปริศนา - ความขัดแย้งของเด็กชายและเด็กหญิง สิ่งเดียวที่ฉันเขียนเกี่ยวกับวันนี้ซึ่งไม่เกี่ยวข้องโดยตรงกับเกม (แม้ว่าฉันเดาว่าฉันควรจะสนับสนุนให้คุณสร้างกลไกเกมที่เหมาะสม) นี่เป็นปริศนามากกว่า แต่เป็นปริศนาที่น่าสนใจ และเพื่อที่จะแก้ไขมัน คุณต้องเข้าใจความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข ซึ่งเราได้พูดถึงไปแล้วข้างต้น

ปัญหา: ฉันมีเพื่อนที่มีลูกสองคน อย่างน้อยหนึ่งในนั้นก็เป็นเด็กผู้หญิง ความน่าจะเป็นที่ลูกคนที่สองจะเป็นเด็กผู้หญิงเป็นเท่าไร? สมมติว่าในครอบครัวใดก็ตาม โอกาสที่จะมีเด็กหญิงและเด็กชายคือ 50/50 และนี่เป็นเรื่องจริงสำหรับเด็กทุกคน

ในความเป็นจริง ผู้ชายบางคนมีสเปิร์มที่มีโครโมโซม X หรือโครโมโซม Y อยู่ในตัวอสุจิมากกว่า ดังนั้นโอกาสจึงเปลี่ยนแปลงเล็กน้อย หากคุณรู้ว่าเด็กคนหนึ่งเป็นเด็กผู้หญิง โอกาสที่จะมีลูกสาวคนที่สองก็จะสูงขึ้นเล็กน้อย และยังมีเงื่อนไขอื่นๆ อีก เช่น ภาวะกระเทย แต่เพื่อแก้ไขปัญหานี้ เราจะไม่คำนึงถึงเรื่องนี้ และถือว่าการเกิดของเด็กเป็นเหตุการณ์ที่เป็นอิสระกัน และการเกิดของเด็กชายและเด็กหญิงก็มีความน่าจะเป็นที่เท่าเทียมกัน

เนื่องจากเรากำลังพูดถึงโอกาส 1/2 ตามสัญชาตญาณแล้ว เราคาดว่าคำตอบน่าจะเป็น 1/2 หรือ 1/4 หรือจำนวนอื่นๆ ที่เป็นจำนวนเท่าของ 2 ในตัวส่วน แต่คำตอบคือ 1/3. ทำไม

ปัญหาที่นี่คือข้อมูลที่เรามีลดจำนวนความเป็นไปได้ สมมติว่าพ่อแม่เป็นแฟนพันธุ์แท้ของ Sesame Street และไม่ว่าเด็กๆ จะเป็นเพศใดก็ตาม ให้ตั้งชื่อพวกเขาว่า A และ B ภายใต้สภาวะปกติ มีความเป็นไปได้ที่มีโอกาสเท่าเทียมกันสี่ประการ: A และ B เป็นเด็กชายสองคน A และ B เป็นเด็กผู้หญิงสองคน A เป็นเด็กผู้ชาย และ B เป็นเด็กผู้หญิง A เป็นเด็กผู้หญิง และ B เป็นเด็กผู้ชาย เนื่องจากเรารู้ว่าเด็กอย่างน้อยหนึ่งคนเป็นเด็กผู้หญิง เราจึงตัดความเป็นไปได้ที่ A และ B จะเป็นเด็กชายสองคนได้ นี่ทำให้เรามีความเป็นไปได้สามประการ - ยังคงมีความเป็นไปได้เท่ากัน หากความเป็นไปได้ทั้งหมดมีความน่าจะเป็นเท่ากันและมี 3 รายการ ความน่าจะเป็นของแต่ละรายการคือ 1/3 มีเพียงหนึ่งในสามตัวเลือกเท่านั้นที่เป็นทั้งเด็กผู้หญิง ดังนั้นคำตอบคือ 1/3

และอีกครั้งเกี่ยวกับความขัดแย้งของเด็กชายและเด็กหญิง

การแก้ปัญหาก็ยิ่งไร้เหตุผลมากขึ้นไปอีก ลองนึกภาพเพื่อนของฉันมีลูกสองคน และหนึ่งในนั้นเป็นผู้หญิงที่เกิดวันอังคาร สมมติว่าภายใต้สภาวะปกติ เด็กสามารถเกิดได้ทุกวันในเจ็ดวันของสัปดาห์โดยมีความน่าจะเป็นเท่ากัน ความน่าจะเป็นที่ลูกคนที่สองจะเป็นเด็กผู้หญิงเป็นเท่าไร?

คุณอาจคิดว่าคำตอบจะยังคงเป็น 1/3: วันอังคารสำคัญอะไร? แต่ถึงแม้ในกรณีนี้ สัญชาตญาณของเราก็ล้มเหลว คำตอบคือ 13/27 ซึ่งไม่เพียงแต่ไม่เป็นไปตามสัญชาตญาณเท่านั้น แต่ยังแปลกมากอีกด้วย ในกรณีนี้คืออะไร?

อันที่จริง วันอังคารเปลี่ยนความน่าจะเป็นเนื่องจากเราไม่รู้ว่าเด็กคนไหนเกิดในวันอังคาร หรือบางทีอาจเกิดทั้งสองคนในวันอังคาร ในกรณีนี้ เราใช้ตรรกะเดียวกัน: เรานับชุดค่าผสมที่เป็นไปได้ทั้งหมดเมื่อมีเด็กผู้หญิงที่เกิดในวันอังคารอย่างน้อยหนึ่งคน เช่นเดียวกับในตัวอย่างก่อนหน้านี้ สมมติว่ารายการย่อยมีชื่อว่า A และ B ชุดค่าผสมมีลักษณะดังนี้:

A คือเด็กผู้หญิงที่เกิดวันอังคาร B เป็นเด็กผู้ชาย (ในสถานการณ์นี้มีความเป็นไปได้ 7 ประการ โดยหนึ่งอย่างสำหรับแต่ละวันในสัปดาห์ที่เด็กผู้ชายจะเกิดได้)
B เป็นเด็กผู้หญิงที่เกิดวันอังคาร A เป็นเด็กผู้ชาย (เป็นไปได้ 7 ประการด้วย)
A - เด็กผู้หญิงที่เกิดวันอังคาร B - เด็กผู้หญิงที่เกิดในวันอื่นของสัปดาห์ (6 ความเป็นไปได้)
B คือเด็กหญิงที่เกิดวันอังคาร A คือเด็กหญิงที่ไม่ได้เกิดวันอังคาร (มีความน่าจะเป็น 6 ประการด้วย)
A และ B เป็นเด็กผู้หญิงสองคนที่เกิดวันอังคาร (มีความเป็นไปได้ 1 ข้อ คุณต้องใส่ใจเรื่องนี้เพื่อไม่ให้นับซ้ำ)

เรารวมเข้าด้วยกันได้ 27 รายการที่เป็นไปได้เท่าเทียมกันของการเกิดของเด็กและวัน โดยมีความเป็นไปได้ที่จะเกิดของเด็กผู้หญิงในวันอังคารอย่างน้อยหนึ่งครั้ง ในจำนวนนี้มีความเป็นไปได้ 13 ประการเมื่อเด็กหญิงสองคนเกิดมา ดูเหมือนว่าจะไร้เหตุผลโดยสิ้นเชิง - ดูเหมือนว่างานนี้ถูกสร้างขึ้นมาเพื่อให้ปวดหัวเท่านั้น หากคุณยังคงสับสน เว็บไซต์ของ Jesper Juhl นักทฤษฎีเกมมีคำอธิบายที่ดีเกี่ยวกับปัญหานี้

หากคุณกำลังเล่นเกมอยู่

หากมีการสุ่มในเกมที่คุณกำลังออกแบบ นี่เป็นเวลาที่ดีในการวิเคราะห์มัน เลือกองค์ประกอบบางอย่างที่คุณต้องการวิเคราะห์ ก่อนอื่นให้ถามตัวเองว่าคุณคาดหวังความน่าจะเป็นสำหรับองค์ประกอบที่กำหนดว่าจะเป็นอย่างไร และควรเป็นอย่างไรในบริบทของเกม

ตัวอย่างเช่น หากคุณกำลังสร้าง RPG และคุณสงสัยว่าความน่าจะเป็นที่ผู้เล่นจะเอาชนะสัตว์ประหลาดในการต่อสู้คืออะไร ให้ถามตัวเองว่า เปอร์เซ็นต์การชนะดูเหมือนใช่สำหรับคุณ โดยปกติแล้วในเกม RPG คอนโซล ผู้เล่นจะรู้สึกเสียใจมากเมื่อพ่ายแพ้ ดังนั้นจึงเป็นการดีที่สุดหากแพ้ไม่บ่อยนัก - 10% ของเวลาหรือน้อยกว่านั้น หากคุณเป็นนักออกแบบเกม RPG คุณคงรู้ดีกว่าฉัน แต่คุณต้องมีแนวคิดพื้นฐานว่าความน่าจะเป็นควรเป็นเช่นไร

จากนั้นถามตัวเองว่าความน่าจะเป็นของคุณขึ้นอยู่กับ (เช่น ไพ่) หรือเป็นอิสระ (เช่น ลูกเต๋า) วิเคราะห์ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้และความน่าจะเป็นทั้งหมด ตรวจสอบให้แน่ใจว่าผลรวมของความน่าจะเป็นทั้งหมดคือ 100% และแน่นอน เปรียบเทียบผลลัพธ์ที่ได้รับกับความคาดหวังของคุณ คุณสามารถทอยลูกเต๋าหรือจั่วไพ่ได้ตามต้องการหรือชัดเจนว่าต้องปรับค่าต่างๆ และแน่นอน หากคุณพบข้อบกพร่องใดๆ คุณสามารถใช้การคำนวณเดียวกันนี้เพื่อกำหนดว่าจะต้องเปลี่ยนแปลงค่ามากน้อยเพียงใด

การบ้านที่ได้รับมอบหมาย

ของคุณ การบ้าน” สัปดาห์นี้จะช่วยให้คุณฝึกฝนทักษะความน่าจะเป็น นี่คือเกมลูกเต๋าสองเกมและเกมไพ่หนึ่งเกมที่คุณจะวิเคราะห์โดยใช้ความน่าจะเป็น เช่นเดียวกับกลไกเกมแปลก ๆ ที่ฉันเคยพัฒนาซึ่งจะทดสอบวิธีมอนติคาร์โล

เกม #1 - กระดูกมังกร

นี่คือเกมลูกเต๋าที่เพื่อนร่วมงานของฉันและฉันเคยคิดขึ้นมา (ต้องขอบคุณ Jeb Havens และ Jesse King) - มันทำให้ผู้คนตะลึงด้วยความน่าจะเป็นโดยเฉพาะ มันเป็นเกมคาสิโนง่ายๆ ที่เรียกว่า Dragon Dice และเป็นการแข่งขันลูกเต๋าการพนันระหว่างผู้เล่นและเจ้ามือ

คุณจะได้รับตาย 1d6 ปกติ เป้าหมายของเกมคือการทอยตัวเลขให้สูงกว่าบ้าน ทอมได้รับ 1d6 ที่ไม่ได้มาตรฐาน - เช่นเดียวกับของคุณ แต่บนใบหน้าด้านใดด้านหนึ่งแทนที่จะเป็นหน่วยจะมีรูปมังกร (ดังนั้นคาสิโนจึงมีลูกบาศก์มังกร - 2-3-4-5-6 ). หากบ้านมีมังกร มันจะชนะโดยอัตโนมัติและคุณจะแพ้ หากทั้งคู่ได้หมายเลขเท่ากัน จะถือว่าเสมอกันและคุณทอยลูกเต๋าอีกครั้ง ผู้ที่หมุนหมายเลขสูงสุดจะเป็นผู้ชนะ

แน่นอนว่าทุกอย่างไม่ได้เป็นไปตามความต้องการของผู้เล่นเลย เพราะคาสิโนมีข้อได้เปรียบในรูปแบบของขอบมังกร แต่นี่เป็นเรื่องจริงเหรอ? นี่คือสิ่งที่คุณต้องคำนวณ แต่ตรวจสอบสัญชาตญาณของคุณก่อน

สมมติว่าอัตราต่อรองคือ 2 ต่อ 1 ดังนั้นหากคุณชนะ คุณจะเก็บเงินเดิมพันไว้และได้รับเงินเดิมพันเป็นสองเท่า ตัวอย่างเช่น หากคุณเดิมพัน 1 ดอลลาร์และชนะ คุณจะเก็บดอลลาร์นั้นไว้และได้เพิ่มอีก 2 ดอลลาร์ รวมเป็น 3 ดอลลาร์ หากคุณแพ้ คุณจะเสียเงินเดิมพันเท่านั้น คุณจะเล่นไหม? คุณรู้สึกโดยสัญชาตญาณว่าความน่าจะเป็นนั้นมากกว่า 2 ต่อ 1 หรือคุณยังคิดว่ามันน้อยกว่าหรือไม่ กล่าวอีกนัยหนึ่ง โดยเฉลี่ยมากกว่า 3 เกม คุณคาดหวังที่จะชนะมากกว่าหนึ่งครั้ง หรือน้อยกว่า หรือหนึ่งครั้ง?

เมื่อคุณเข้าใจสัญชาตญาณแล้ว ให้ใช้คณิตศาสตร์ ลูกเต๋าทั้งสองมีตำแหน่งที่เป็นไปได้เพียง 36 ตำแหน่ง ดังนั้นคุณจึงสามารถนับทั้งหมดได้โดยไม่มีปัญหา หากคุณไม่แน่ใจเกี่ยวกับข้อเสนอ 2 ต่อ 1 ให้พิจารณาสิ่งนี้: สมมติว่าคุณเล่นเกม 36 ครั้ง (เดิมพัน 1 ดอลลาร์ในแต่ละครั้ง) สำหรับการชนะแต่ละครั้ง คุณจะได้รับ 2 ดอลลาร์ สำหรับการแพ้แต่ละครั้ง คุณจะเสีย 1 ดอลลาร์ และการเสมอกันจะไม่มีการเปลี่ยนแปลงใดๆ คำนวณชัยชนะและความสูญเสียที่เป็นไปได้ทั้งหมดของคุณ และตัดสินใจว่าคุณจะแพ้หรือได้เงินดอลลาร์บ้าง แล้วถามตัวเองว่าสัญชาตญาณของคุณถูกต้องแค่ไหน แล้วจะรู้ว่าฉันเป็นคนร้ายขนาดไหน

และใช่ หากคุณคิดเกี่ยวกับคำถามนี้แล้ว ฉันตั้งใจทำให้คุณสับสนโดยบิดเบือนกลไกที่แท้จริงของเกมลูกเต๋า แต่ฉันแน่ใจว่าคุณสามารถเอาชนะอุปสรรคนี้ได้ด้วยความคิดเพียงเล็กน้อย พยายามแก้ไขปัญหานี้ด้วยตัวเอง

เกมที่ 2 - เสี่ยงโชค

นี้ การพนันในลูกเต๋าที่เรียกว่า "โยนโชค" (หรือ "กรงนก" เพราะบางครั้งลูกเต๋าจะไม่ทอยแต่วางอยู่ในกรงลวดขนาดใหญ่ชวนให้นึกถึงกรงจากบิงโก) เกมนี้เรียบง่ายและโดยพื้นฐานแล้วมีเนื้อหาดังนี้: เดิมพัน เช่น 1 ดอลลาร์จากตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 6 จากนั้นคุณทอย 3d6 สำหรับการตายแต่ละครั้ง หมายเลขของคุณตกลง คุณจะได้รับ 1 ดอลลาร์ (และคงเงินเดิมพันเดิมไว้) หากหมายเลขของคุณไม่ปรากฏบนลูกเต๋าใดๆ คาสิโนจะได้รับเงินดอลลาร์ของคุณและคุณจะไม่ได้อะไรเลย ดังนั้น หากคุณเดิมพันที่ 1 และได้ 1 ที่ด้านข้างสามครั้ง คุณจะได้รับ 3 ดอลลาร์

โดยสัญชาตญาณดูเหมือนว่าเกมนี้มีโอกาสเท่ากัน การตายแต่ละครั้งมีโอกาสชนะ 1 ใน 6 ของแต่ละบุคคล ดังนั้นจากผลรวมของการทอยทั้งสามครั้ง โอกาสในการชนะของคุณคือ 3 ใน 6 อย่างไรก็ตาม จำไว้ว่าคุณกำลังเพิ่มลูกเต๋าสามลูกแยกจากกัน และคุณได้รับอนุญาตเท่านั้น เพิ่มถ้าเรากำลังพูดถึงรายบุคคล ชุดค่าผสมที่ชนะกระดูกเดียวกัน สิ่งที่คุณจะต้องคูณ

เมื่อคุณคำนวณผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด (อาจทำได้ง่ายกว่าใน Excel มากกว่าด้วยมือ เนื่องจากมี 216 ผลลัพธ์) เกมยังคงดูแปลกแม้จะมองแวบแรกก็ตาม ในความเป็นจริง คาสิโนยังมีโอกาสชนะที่ดีกว่า – มากกว่านี้อีกเท่าไหร่? โดยเฉพาะอย่างยิ่ง คุณคาดหวังที่จะเสียเงินโดยเฉลี่ยเท่าไรในแต่ละรอบการเล่น?

สิ่งที่คุณต้องทำคือบวกผลชนะและแพ้ของผลลัพธ์ทั้งหมด 216 รายการ แล้วหารด้วย 216 ซึ่งน่าจะค่อนข้างง่าย แต่อย่างที่คุณเห็น มีข้อผิดพลาดหลายประการที่นี่ ซึ่งเป็นเหตุผลที่ฉันพูดว่า: ถ้าคุณคิดว่าเกมนี้มีโอกาสที่จะชนะ คุณก็คิดผิดไปหมดแล้ว

เกม #3 - โป๊กเกอร์สตั๊ดไพ่ 5 ใบ

หากคุณได้อุ่นเครื่องกับเกมก่อนหน้านี้แล้ว เรามาดูกันดีกว่าว่าเรารู้อะไรบ้าง ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขโดยใช้เกมไพ่ใบนี้เป็นตัวอย่าง ลองจินตนาการถึงเกมโป๊กเกอร์ที่มีสำรับไพ่ 52 ใบ ลองจินตนาการถึงไพ่สตั๊ด 5 ใบ โดยที่ผู้เล่นแต่ละคนจะได้รับไพ่เพียง 5 ใบเท่านั้น คุณไม่สามารถทิ้งการ์ดได้ คุณไม่สามารถจั่วการ์ดใหม่ได้ ไม่มีสำรับที่ใช้ร่วมกัน คุณจะได้รับการ์ดเพียง 5 ใบเท่านั้น

รอยัลฟลัชคือ 10-J-Q-K-A ในมือเดียว มีทั้งหมดสี่แต้ม ดังนั้นจึงมีสี่แต้ม วิธีที่เป็นไปได้รับรอยัลฟลัช คำนวณความน่าจะเป็นที่คุณจะได้ชุดค่าผสมดังกล่าว

ฉันต้องเตือนคุณถึงสิ่งหนึ่ง: จำไว้ว่าคุณสามารถจั่วไพ่ห้าใบนี้ในลำดับใดก็ได้ นั่นคือก่อนอื่นคุณสามารถจั่วเอซหรือสิบได้ไม่สำคัญ ดังนั้น เมื่อคำนวณ โปรดจำไว้ว่าจริงๆ แล้วมีมากกว่าสี่วิธีในการได้รอยัลฟลัช โดยสมมติว่าไพ่ถูกแจกตามลำดับ

เกมที่ 4 - ลอตเตอรี IMF

ปัญหาที่สี่ไม่สามารถแก้ไขได้ง่าย ๆ โดยใช้วิธีที่เราพูดถึงในวันนี้ แต่คุณสามารถจำลองสถานการณ์ได้อย่างง่ายดายโดยใช้การเขียนโปรแกรมหรือ Excel เป็นตัวอย่างของปัญหานี้ที่คุณสามารถหาวิธีมอนติคาร์โลได้

ฉันพูดถึงเกม Chron X ก่อนหน้านี้ซึ่งฉันเคยทำและมีการ์ดที่น่าสนใจใบหนึ่งนั่นคือลอตเตอรี IMF นี่คือวิธีการทำงาน: คุณใช้มันในเกม หลังจากจบรอบ การ์ดจะถูกแจกจ่ายซ้ำ และมีโอกาส 10% ที่การ์ดจะออกจากการเล่น และผู้เล่นสุ่มจะได้รับทรัพยากรแต่ละประเภท 5 หน่วยซึ่งมีโทเค็นปรากฏบนการ์ดนั้น ไพ่ถูกเข้าสู่การเล่นโดยไม่มีชิปตัวเดียว แต่ทุกครั้งที่มันยังคงอยู่ในการเล่นเมื่อเริ่มรอบถัดไป จะได้รับหนึ่งชิป

ดังนั้นจึงมีโอกาส 10% ที่ถ้าคุณใส่มันลงเล่น รอบจะจบลง การ์ดจะออกจากเกม และจะไม่มีใครได้อะไรเลย หากสิ่งนี้ไม่เกิดขึ้น (โอกาส 90%) ก็มีโอกาส 10% (จริง ๆ แล้ว 9% เนื่องจากเป็น 10% ของ 90%) ที่ในรอบต่อไปเธอจะออกจากเกมและบางคนจะได้รับทรัพยากร 5 หน่วย หากการ์ดออกจากเกมหลังจากหนึ่งรอบ (10% ของ 81% ที่มีอยู่ดังนั้นความน่าจะเป็นคือ 8.1%) บางคนจะได้รับ 10 หน่วย อีกรอบ - 15 อีกครั้ง - 20 และอื่น ๆ คำถาม: ค่าคาดหวังโดยทั่วไปของจำนวนทรัพยากรที่คุณจะได้รับจากการ์ดใบนี้เมื่อออกจากเกมในที่สุดคือเท่าไร?

โดยปกติเราจะพยายามแก้ไขปัญหานี้โดยการคำนวณความเป็นไปได้ของแต่ละผลลัพธ์แล้วคูณด้วยจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด มีโอกาส 10% ที่คุณจะได้ 0 (0.1 * 0 = 0) 9% ที่คุณจะได้รับทรัพยากร 5 หน่วย (9% * 5 = 0.45 ทรัพยากร) 8.1% ของสิ่งที่คุณจะได้รับคือ 10 (ทรัพยากร 8.1%*10=0.81 - มูลค่าที่คาดหวังโดยรวม) และอื่นๆ แล้วเราจะสรุปทั้งหมดให้ฟัง

และตอนนี้ปัญหาก็ชัดเจนสำหรับคุณ: มีโอกาสเสมอที่การ์ดจะไม่ออกจากเกมมันสามารถอยู่ในเกมได้ตลอดไปเพราะ จำนวนอนันต์รอบ จึงไม่มีทางที่จะคำนวณทุกความน่าจะเป็นได้ วิธีการที่เราได้เรียนรู้ในวันนี้ไม่อนุญาตให้เราคำนวณการเรียกซ้ำแบบไม่มีที่สิ้นสุด ดังนั้นเราจะต้องสร้างมันขึ้นมาเอง

หากคุณเก่งพอในการเขียนโปรแกรม ให้เขียนโปรแกรมที่จะจำลองแผนที่นี้ คุณควรมีไทม์ลูปที่นำตัวแปรไปยังตำแหน่งเริ่มต้นเป็นศูนย์ แสดงตัวเลขสุ่ม และมีโอกาส 10% ที่ตัวแปรจะออกจากลูป มิฉะนั้นจะเพิ่ม 5 ให้กับตัวแปรและวนซ้ำ เมื่อออกจากลูปในที่สุด ให้เพิ่มจำนวนการทดลองใช้ทั้งหมดขึ้น 1 และจำนวนทรัพยากรทั้งหมด (ขึ้นอยู่กับว่าตัวแปรสิ้นสุดที่ใด) จากนั้นรีเซ็ตตัวแปรและเริ่มต้นใหม่อีกครั้ง

รันโปรแกรมหลายพันครั้ง ในตอนท้าย ให้หารจำนวนทรัพยากรทั้งหมดด้วยจำนวนการวิ่งทั้งหมด ซึ่งจะเป็นค่ามอนติคาร์โลที่คุณคาดหวัง รันโปรแกรมหลายๆ ครั้งเพื่อให้แน่ใจว่าตัวเลขที่คุณได้รับนั้นใกล้เคียงกัน หากการกระจายยังคงมีขนาดใหญ่ ให้เพิ่มจำนวนการทำซ้ำในลูปด้านนอกจนกว่าคุณจะเริ่มได้แมตช์ คุณสามารถมั่นใจได้ว่าตัวเลขใดก็ตามที่คุณลงท้ายด้วยจะถูกต้องโดยประมาณ

หากคุณยังใหม่กับการเขียนโปรแกรม (แม้ว่าคุณจะเป็น) ต่อไปนี้คือแบบฝึกหัดสั้นๆ เพื่อทดสอบทักษะ Excel ของคุณ หากคุณเป็นนักออกแบบเกม ทักษะเหล่านี้จะไม่มีวันฟุ่มเฟือย

ตอนนี้ฟังก์ชัน if และ rand จะมีประโยชน์สำหรับคุณมาก Rand ไม่ต้องการค่า เพียงสร้างค่าสุ่มขึ้นมา เลขทศนิยมจาก 0 ถึง 1 โดยปกติแล้วเราจะรวมมันเข้ากับพื้นและข้อดีและข้อเสียเพื่อจำลองการทอยลูกเต๋าที่ผมกล่าวไว้ก่อนหน้านี้ อย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้ เราเพียงทิ้งโอกาส 10% ที่การ์ดจะออกจากเกม ดังนั้นเราจึงสามารถตรวจสอบได้ว่าค่าแรนด์น้อยกว่า 0.1 หรือไม่ และไม่ต้องกังวลกับมันอีกต่อไป

ถ้ามีสามความหมาย ตามลำดับ: เงื่อนไขที่เป็นจริงหรือเท็จ จากนั้นค่าที่ส่งคืนหากเงื่อนไขเป็นจริง และค่าที่ส่งคืนหากเงื่อนไขเป็นเท็จ ดังนั้นฟังก์ชันต่อไปนี้จะส่งคืน 5% ของเวลา และ 0 ที่เหลือ 90% ของเวลา: =ถ้า(แรนด์()<0.1,5,0) .

มีหลายวิธีในการตั้งค่าคำสั่งนี้ แต่ฉันจะใช้สูตรนี้สำหรับเซลล์ที่แสดงถึงรอบแรก สมมติว่าเป็นเซลล์ A1: =ถ้า(แรนด์()<0.1,0,-1) .

ที่นี่ฉันใช้ตัวแปรลบเพื่อหมายถึง "การ์ดใบนี้ยังไม่ออกจากเกมและยังไม่หมดทรัพยากรใดๆ" ดังนั้นหากรอบแรกจบลงและไพ่ออกจากการเล่น A1 จะเป็น 0; มิฉะนั้นจะเป็น –1

สำหรับเซลล์ถัดไปที่เป็นตัวแทนของรอบที่สอง: =IF(A1>-1, A1, IF(แรนด์()<0.1,5,-1)) - ดังนั้นหากรอบแรกจบลงและไพ่ออกจากเกมทันที A1 จะเป็น 0 (จำนวนทรัพยากร) และเซลล์นี้จะคัดลอกค่านั้น มิฉะนั้น A1 จะเป็น -1 (การ์ดยังไม่ได้ออกจากเกม) และเซลล์นี้ยังคงเคลื่อนที่แบบสุ่ม: 10% ของเวลาที่มันจะคืนทรัพยากร 5 หน่วย เวลาที่เหลือมูลค่าของมันจะยังคงเท่ากับ -1. หากเราใช้สูตรนี้กับเซลล์เพิ่มเติม เราจะได้รอบเพิ่มเติม และเซลล์ใดก็ตามที่คุณอยู่ได้จะให้ผลลัพธ์สุดท้ายแก่คุณ (หรือ -1 หากการ์ดไม่เคยออกจากเกมหลังจากคุณเล่นทุกรอบแล้ว)

นำเซลล์แถวนั้นซึ่งแสดงถึงรอบเดียวที่มีการ์ดใบนั้น แล้วคัดลอกและวางแถวหลายร้อย (หรือพัน) แถว เราอาจไม่สามารถทำการทดสอบ Excel แบบไม่มีที่สิ้นสุดได้ (ในตารางมีจำนวนเซลล์จำกัด) แต่อย่างน้อยเราก็สามารถครอบคลุมกรณีส่วนใหญ่ได้ จากนั้นเลือกเซลล์หนึ่งเซลล์ที่คุณจะวางค่าเฉลี่ยของผลลัพธ์ของทุกรอบ - Excel จะให้ฟังก์ชัน Average() ที่เป็นประโยชน์สำหรับสิ่งนี้

บน Windows อย่างน้อยคุณก็สามารถกด F9 เพื่อคำนวณตัวเลขสุ่มทั้งหมดใหม่ได้ เช่นเคย ให้ทำเช่นนี้หลายครั้งแล้วดูว่าคุณได้ค่าเท่ากันหรือไม่ หากสเปรดใหญ่เกินไป ให้เพิ่มจำนวนการวิ่งเป็นสองเท่าแล้วลองอีกครั้ง

ปัญหาที่ยังไม่ได้รับการแก้ไข

หากคุณมีวุฒิการศึกษาระดับปริญญาในทฤษฎีความน่าจะเป็นและปัญหาข้างต้นดูเหมือนง่ายเกินไปสำหรับคุณ นี่คือปัญหาสองข้อที่ฉันครุ่นคิดมานานหลายปี แต่น่าเสียดายที่ฉันไม่เก่งคณิตศาสตร์พอที่จะแก้ปัญหาเหล่านั้น

ปัญหาที่ยังไม่ได้รับการแก้ไข #1: ลอตเตอรี IMF

ปัญหาแรกที่ยังไม่ได้รับการแก้ไขคือการบ้านที่มอบหมายก่อนหน้านี้ ฉันสามารถใช้วิธี Monte Carlo ได้อย่างง่ายดาย (โดยใช้ C ++ หรือ Excel) และมั่นใจในคำตอบของคำถาม "ผู้เล่นจะได้รับทรัพยากรจำนวนเท่าใด" แต่ฉันไม่รู้ว่าจะให้คำตอบที่พิสูจน์ได้อย่างแน่นอนในทางคณิตศาสตร์อย่างไร (คือ ซีรีส์ที่ไม่มีที่สิ้นสุด)

ปัญหาที่ยังไม่ได้แก้ไข #2: ลำดับของตัวเลข

ปัญหานี้ (มันยังไปไกลกว่างานที่แก้ไขในบล็อกนี้ด้วย) เพื่อนนักเล่นเกมมอบให้ฉันเมื่อสิบกว่าปีที่แล้ว ในขณะที่เล่นแบล็คแจ็คในเวกัส เขาสังเกตเห็นสิ่งที่น่าสนใจอย่างหนึ่ง: เมื่อเขาถอดไพ่ออกจากรองเท้า 8 สำรับ เขาเห็นตัวเลขสิบตัวติดต่อกัน (ตัวเลขหรือไพ่หน้าคือ 10 โจ๊กเกอร์ คิงหรือควีน ดังนั้นจึงมี 16 ตัวใน รวมในไพ่มาตรฐาน 52 สำรับหรือ 128 ใบในฐานไพ่ 416 ใบ)

ความน่าจะเป็นที่รองเท้านี้มีอย่างน้อยหนึ่งลำดับที่มีตัวเลขสิบตัวขึ้นไปคือเท่าใด สมมติว่าพวกมันถูกสับอย่างยุติธรรมโดยสุ่มลำดับ หรือถ้าคุณต้องการ ความน่าจะเป็นที่ลำดับของตัวเลขตั้งแต่สิบตัวขึ้นไปจะไม่เกิดขึ้นที่ใดเลยคือเท่าใด

เราสามารถทำให้งานง่ายขึ้น นี่คือลำดับของ 416 ส่วน แต่ละส่วนคือ 0 หรือ 1 มี 128 ส่วนและศูนย์ 288 ตัวกระจายแบบสุ่มตลอดลำดับ มีกี่วิธีในการสุ่มกระจาย 128 ตัวกับศูนย์ 288 ตัว และกี่ครั้งในลักษณะเหล่านี้ที่จะมีอย่างน้อย 1 กลุ่มที่มีตั้งแต่ 10 ตัวขึ้นไป?

ทุกครั้งที่ฉันเริ่มแก้ไขปัญหานี้ มันดูเหมือนง่ายและชัดเจนสำหรับฉัน แต่ทันทีที่ฉันเจาะลึกรายละเอียด มันก็พังทลายลงและดูเหมือนเป็นไปไม่ได้เลย

ดังนั้นอย่ารีบโพล่งคำตอบ: นั่งลง คิดให้รอบคอบ ศึกษาเงื่อนไข พยายามแทนจำนวนจริง เพราะทุกคนที่ฉันได้พูดคุยด้วยเกี่ยวกับปัญหานี้ (รวมถึงนักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษาหลายคนที่ทำงานในสาขานี้) ต่างก็มีปฏิกิริยาโต้ตอบ เหมือนกัน: “มันชัดเจนมาก... โอ้ ไม่ เดี๋ยวก่อน มันไม่ชัดเจนเลย” นี่เป็นกรณีที่ฉันไม่มีวิธีการคำนวณตัวเลือกทั้งหมด แน่นอนว่าฉันสามารถบังคับปัญหาแบบเดรัจฉานผ่านอัลกอริธึมคอมพิวเตอร์ได้ แต่การรู้วิธีแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์จะน่าสนใจกว่ามาก

ในตอนแรก เป็นเพียงการรวบรวมข้อมูลและการสังเกตเชิงประจักษ์เกี่ยวกับเกมลูกเต๋า ทฤษฎีความน่าจะเป็นจึงกลายเป็นวิทยาศาสตร์อย่างละเอียด คนแรกที่ให้กรอบทางคณิตศาสตร์คือแฟร์มาต์และปาสคาล

จากการคิดถึงนิรันดร์สู่ทฤษฎีความน่าจะเป็น

บุคคลสองคนที่ทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นหนี้สูตรพื้นฐานหลายประการ ได้แก่ เบลส ปาสคาล และโธมัส เบยส์ เป็นที่รู้จักในนามผู้เคร่งครัดในศาสนา โดยคนหลังเป็นรัฐมนตรีเพรสไบทีเรียน เห็นได้ชัดว่าความปรารถนาของนักวิทยาศาสตร์สองคนนี้ในการพิสูจน์ความคิดเห็นที่ผิดพลาดเกี่ยวกับโชคลาภบางอย่างซึ่งมอบความโชคดีให้กับสิ่งที่เธอโปรดปรานได้ทำให้เกิดแรงผลักดันในการวิจัยในด้านนี้ ที่จริงแล้ว เกมการพนันใดๆ ที่มีการชนะและแพ้นั้นเป็นเพียงการประสานกันของหลักการทางคณิตศาสตร์เท่านั้น

ด้วยความหลงใหลใน Chevalier de Mere ซึ่งเป็นนักพนันและชายที่ไม่แยแสกับวิทยาศาสตร์ ปาสคาลจึงถูกบังคับให้หาวิธีคำนวณความน่าจะเป็น เดอ เมียร์ สนใจคำถามต่อไปนี้: “คุณต้องโยนลูกเต๋าสองลูกเป็นคู่กี่ครั้งจึงจะมีโอกาสได้ 12 แต้มเกิน 50%” คำถามที่สองซึ่งเป็นที่สนใจของสุภาพบุรุษอย่างมาก: “จะแบ่งการเดิมพันระหว่างผู้เข้าร่วมในเกมที่ยังไม่เสร็จได้อย่างไร” แน่นอนว่า ปาสคาลสามารถตอบคำถามทั้งสองข้อของเดอ แมร์ได้สำเร็จ ซึ่งกลายเป็นผู้ริเริ่มการพัฒนาทฤษฎีความน่าจะเป็นโดยไม่รู้ตัว ที่น่าสนใจคือบุคคลของเดอ แมร์ยังคงเป็นที่รู้จักในด้านนี้ ไม่ใช่ในวรรณคดี

ก่อนหน้านี้ ไม่มีนักคณิตศาสตร์คนใดเคยพยายามคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ เนื่องจากเชื่อกันว่านี่เป็นเพียงวิธีแก้ปัญหาในการคาดเดาเท่านั้น เบลส ปาสคาล ให้คำจำกัดความแรกของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ และแสดงให้เห็นว่ามันเป็นตัวเลขเฉพาะที่สามารถพิสูจน์ได้ทางคณิตศาสตร์ ทฤษฎีความน่าจะเป็นได้กลายเป็นพื้นฐานสำหรับสถิติและมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในวิทยาศาสตร์สมัยใหม่

ความบังเอิญคืออะไร

หากเราพิจารณาการทดสอบที่สามารถทำซ้ำได้ไม่จำกัดครั้ง เราก็สามารถกำหนดเหตุการณ์สุ่มได้ นี่เป็นหนึ่งในผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของการทดสอบ

ประสบการณ์คือการดำเนินการตามการกระทำเฉพาะภายใต้เงื่อนไขคงที่

เพื่อให้สามารถทำงานกับผลลัพธ์ของการทดลองได้ เหตุการณ์มักจะถูกกำหนดด้วยตัวอักษร A, B, C, D, E...

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่ม

เพื่อเริ่มต้นส่วนทางคณิตศาสตร์ของความน่าจะเป็น จำเป็นต้องกำหนดส่วนประกอบทั้งหมด

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์คือการวัดเชิงตัวเลขของความเป็นไปได้ของเหตุการณ์บางอย่าง (A หรือ B) ที่เกิดขึ้นอันเป็นผลมาจากประสบการณ์ ความน่าจะเป็นแสดงเป็น P(A) หรือ P(B)

ในทฤษฎีความน่าจะเป็น พวกเขาแยกแยะ:

เชื่อถือได้รับประกันว่าเหตุการณ์จะเกิดขึ้นจากประสบการณ์ P(Ω) = 1;
เป็นไปไม่ได้เหตุการณ์นั้นไม่มีทางเกิดขึ้นได้ P(Ø) = 0;
สุ่มเหตุการณ์อยู่ระหว่างความน่าเชื่อถือและเป็นไปไม่ได้ กล่าวคือ ความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นนั้นเป็นไปได้ แต่ไม่รับประกัน (ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่มจะอยู่ในช่วง 0≤Р(А)≤ 1 เสมอ)

ความสัมพันธ์ระหว่างเหตุการณ์

พิจารณาทั้งหนึ่งรายการและผลรวมของเหตุการณ์ A+B เมื่อมีการนับเหตุการณ์เมื่อมีส่วนประกอบ A หรือ B อย่างน้อยหนึ่งรายการ หรือทั้งสองอย่าง A และ B ครบถ้วน

เหตุการณ์ที่สัมพันธ์กันอาจเป็น:

เป็นไปได้พอๆ กัน
เข้ากันได้
เข้ากันไม่ได้
ตรงกันข้าม (แยกออกจากกัน)
ขึ้นอยู่กับ.

หากเหตุการณ์สองเหตุการณ์สามารถเกิดขึ้นได้ด้วยความน่าจะเป็นเท่ากัน เป็นไปได้เท่าเทียมกัน.

หากการเกิดขึ้นของเหตุการณ์ A ไม่ได้ลดความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ B ลงจนเหลือศูนย์ ก็แสดงว่าเกิดขึ้น เข้ากันได้

หากเหตุการณ์ A และ B ไม่เคยเกิดขึ้นพร้อมกันในประสบการณ์เดียวกัน ระบบจะเรียกเหตุการณ์เหล่านั้น เข้ากันไม่ได้- การโยนเหรียญเป็นตัวอย่างที่ดี ลักษณะของหัวคือการไม่ปรากฏของหัวโดยอัตโนมัติ

ความน่าจะเป็นสำหรับผลรวมของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ดังกล่าวประกอบด้วยผลรวมของความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์:

ป(เอ+บี)=พี(เอ)+พี(B)

ถ้าการเกิดขึ้นของเหตุการณ์หนึ่งทำให้การเกิดขึ้นของอีกเหตุการณ์หนึ่งเป็นไปไม่ได้ ก็จะเรียกว่าตรงกันข้าม จากนั้นหนึ่งในนั้นถูกกำหนดให้เป็น A และอีกอัน - Ā (อ่านว่า "ไม่ใช่ A") การเกิดขึ้นของเหตุการณ์ A หมายความว่า Ā ไม่ได้เกิดขึ้น เหตุการณ์ทั้งสองนี้รวมกันเป็นกลุ่มที่สมบูรณ์โดยมีผลรวมของความน่าจะเป็นเท่ากับ 1

เหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพาอาศัยกันมีอิทธิพลซึ่งกันและกัน ลดหรือเพิ่มความน่าจะเป็นของกันและกัน

ความสัมพันธ์ระหว่างเหตุการณ์ ตัวอย่าง

การใช้ตัวอย่างช่วยให้เข้าใจหลักการของทฤษฎีความน่าจะเป็นและการรวมกันของเหตุการณ์ได้ง่ายกว่ามาก

การทดลองที่จะดำเนินการประกอบด้วยการนำลูกบอลออกจากกล่องและผลลัพธ์ของการทดลองแต่ละครั้งถือเป็นผลลัพธ์เบื้องต้น

เหตุการณ์เป็นหนึ่งในผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของการทดสอบ เช่น ลูกบอลสีแดง ลูกบอลสีน้ำเงิน ลูกบอลที่มีหมายเลขหก เป็นต้น

การทดสอบครั้งที่ 1 มีลูกบอลที่เกี่ยวข้อง 6 ลูก โดยสามลูกเป็นสีน้ำเงินและมีเลขคี่ และอีกสามลูกเป็นสีแดงเป็นเลขคู่

การทดสอบหมายเลข 2 มีลูกบอลสีน้ำเงิน 6 ลูกพร้อมตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 6

จากตัวอย่างนี้ เราสามารถตั้งชื่อชุดค่าผสมได้:

เหตุการณ์ที่เชื่อถือได้ในภาษาสเปน อันดับที่ 2 เหตุการณ์ “ได้ลูกบอลสีน้ำเงิน” เชื่อถือได้ เนื่องจากความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นมีค่าเท่ากับ 1 เนื่องจากลูกบอลทั้งหมดเป็นสีน้ำเงินและไม่ควรพลาด ในขณะที่กิจกรรม “ได้บอลเลข 1” จะเป็นแบบสุ่ม
เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ในภาษาสเปน อันดับ 1 ลูกบอลสีน้ำเงินและสีแดง เหตุการณ์ “ได้ลูกบอลสีม่วง” เป็นไปไม่ได้ เนื่องจากความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นคือ 0
เหตุการณ์ที่เป็นไปได้พอๆ กันในภาษาสเปน อันดับที่ 1 เหตุการณ์ “ได้บอลเลข 2” และ “ได้บอลเลข 3” เป็นไปได้พอๆ กัน และเหตุการณ์ “ได้บอลเลขคู่” และ “ได้บอลเลข 2” ” มีความน่าจะเป็นที่แตกต่างกัน
เหตุการณ์ที่เข้ากันได้การได้หกสองครั้งติดต่อกันขณะขว้างลูกเต๋าเป็นเหตุการณ์ที่เข้ากันได้
เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ในภาษาสเปนเดียวกัน อันดับที่ 1 เหตุการณ์ “ได้ลูกบอลสีแดง” และ “ได้ลูกบอลที่มีเลขคี่” ไม่สามารถรวมกันในประสบการณ์เดียวกันได้
เหตุการณ์ตรงกันข้าม.ตัวอย่างที่เด่นชัดที่สุดของเรื่องนี้คือการโยนเหรียญ โดยที่หัวที่วาดนั้นเทียบเท่ากับการไม่วาดก้อย และความน่าจะเป็นรวมจะเป็น 1 เสมอ (ทั้งกลุ่ม)
เหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพา- ดังนั้นในภาษาสเปน ลำดับที่ 1 คุณสามารถตั้งเป้าหมายในการจั่วลูกบอลสีแดง 2 ครั้งติดต่อกันได้ การดึงข้อมูลในครั้งแรกหรือไม่จะส่งผลต่อความน่าจะเป็นในการดึงข้อมูลในครั้งที่สอง

จะเห็นได้ว่าเหตุการณ์แรกส่งผลกระทบอย่างมีนัยสำคัญต่อความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่สอง (40% และ 60%)

สูตรความน่าจะเป็นของเหตุการณ์

การเปลี่ยนจากการทำนายดวงชะตาไปสู่ข้อมูลที่แม่นยำเกิดขึ้นผ่านการแปลหัวข้อเป็นระนาบทางคณิตศาสตร์ นั่นคือ การตัดสินเกี่ยวกับเหตุการณ์สุ่ม เช่น “ความน่าจะเป็นสูง” หรือ “ความน่าจะเป็นน้อยที่สุด” สามารถแปลเป็นข้อมูลตัวเลขเฉพาะได้ อนุญาตให้ประเมิน เปรียบเทียบ และป้อนเนื้อหาดังกล่าวในการคำนวณที่ซับซ้อนมากขึ้นได้แล้ว

จากมุมมองการคำนวณ การพิจารณาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์คืออัตราส่วนของจำนวนผลลัพธ์เชิงบวกเบื้องต้นต่อจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดจากประสบการณ์เกี่ยวกับเหตุการณ์เฉพาะ ความน่าจะเป็นเขียนแทนด้วย P(A) โดยที่ P ย่อมาจากคำว่า "ความน่าจะเป็น" ซึ่งแปลจากภาษาฝรั่งเศสว่า "ความน่าจะเป็น"

ดังนั้น สูตรความน่าจะเป็นของเหตุการณ์คือ:

โดยที่ m คือจำนวนผลลัพธ์ที่น่าพึงพอใจสำหรับเหตุการณ์ A และ n คือผลรวมของผลลัพธ์ทั้งหมดที่เป็นไปได้สำหรับประสบการณ์นี้ ในกรณีนี้ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จะอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 เสมอ:

0 ≤ พี(เอ)≤ 1

การคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ตัวอย่าง

มาดูภาษาสเปนกันดีกว่า หมายเลข 1 ที่มีลูกบอลซึ่งอธิบายไว้ข้างต้น: ลูกบอลสีน้ำเงิน 3 ลูกที่มีหมายเลข 1/3/5 และลูกบอลสีแดง 3 ลูกที่มีหมายเลข 2/4/6

จากการทดสอบนี้ สามารถพิจารณาปัญหาต่างๆ หลายประการได้:

เอ - ลูกบอลสีแดงหล่นลงมา มีลูกบอลสีแดง 3 ลูก และมีทั้งหมด 6 ตัวเลือก นี่คือตัวอย่างที่ง่ายที่สุดซึ่งความน่าจะเป็นของเหตุการณ์คือ P(A)=3/6=0.5
B - การหมุนเลขคู่ มีเลขคู่ 3 ตัว (2,4,6) และจำนวนตัวเลือกตัวเลขที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ 6 ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้คือ P(B)=3/6=0.5
C - การเกิดขึ้นของตัวเลขที่มากกว่า 2 มี 4 ตัวเลือกดังกล่าว (3,4,5,6) จากจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ 6 ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ C เท่ากับ P(C)=4 /6=0.67.

ดังที่เห็นได้จากการคำนวณ เหตุการณ์ C มีความเป็นไปได้สูงกว่า เนื่องจากจำนวนผลลัพธ์เชิงบวกที่เป็นไปได้นั้นสูงกว่าใน A และ B

เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้

เหตุการณ์ดังกล่าวไม่สามารถปรากฏพร้อมกันในประสบการณ์เดียวกันได้ เช่นเดียวกับในภาษาสเปน อันดับ 1 เป็นไปไม่ได้ที่จะได้ลูกบอลสีน้ำเงินและสีแดงพร้อมกัน นั่นคือคุณสามารถได้ลูกบอลสีน้ำเงินหรือสีแดง ในทำนองเดียวกัน เลขคู่และเลขคี่ไม่สามารถปรากฏในลูกเต๋าพร้อมกันได้

ความน่าจะเป็นของสองเหตุการณ์ถือเป็นความน่าจะเป็นของผลรวมหรือผลคูณของเหตุการณ์เหล่านั้น ผลรวมของเหตุการณ์ A+B ดังกล่าวถือเป็นเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยเหตุการณ์ A หรือ B และผลคูณของเหตุการณ์ A+B คือการเกิดขึ้นของทั้งสองเหตุการณ์ ตัวอย่างเช่น การปรากฏตัวของสองแต้มพร้อมกันบนใบหน้าของลูกเต๋าสองลูกในการโยนครั้งเดียว

ผลรวมของเหตุการณ์ต่างๆ คือเหตุการณ์ที่สันนิษฐานว่าจะมีเหตุการณ์อย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์เกิดขึ้น การผลิตงานต่างๆ ถือเป็นการเกิดขึ้นร่วมกันทั้งหมด

ตามทฤษฎีความน่าจะเป็น การใช้คำร่วม "และ" หมายถึงผลรวม และการใช้คำร่วม "หรือ" - การคูณ สูตรพร้อมตัวอย่างจะช่วยให้คุณเข้าใจตรรกะของการบวกและการคูณในทฤษฎีความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็นของผลรวมของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้

หากพิจารณาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ ความน่าจะเป็นของผลรวมของเหตุการณ์จะเท่ากับบวกกับความน่าจะเป็น:

ป(เอ+บี)=พี(เอ)+พี(B)

ตัวอย่างเช่น ลองคำนวณความน่าจะเป็นที่เป็นภาษาสเปนกัน หมายเลข 1 ที่มีลูกบอลสีน้ำเงินและสีแดง ตัวเลขระหว่าง 1 ถึง 4 จะปรากฏขึ้น เราจะไม่คำนวณในการกระทำเดียว แต่ด้วยผลรวมของความน่าจะเป็นขององค์ประกอบเบื้องต้น ดังนั้น ในการทดลองดังกล่าว มีเพียง 6 ลูกหรือ 6 ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด จำนวนที่ตรงตามเงื่อนไขคือ 2 และ 3 ความน่าจะเป็นที่จะได้เลข 2 คือ 1/6 ความน่าจะเป็นที่จะได้เลข 3 ก็คือ 1/6 เช่นกัน ความน่าจะเป็นที่จะได้ตัวเลขระหว่าง 1 ถึง 4 คือ:

ความน่าจะเป็นของผลรวมของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ของกลุ่มทั้งหมดคือ 1

ดังนั้น หากในการทดลองด้วยลูกบาศก์ เราบวกความน่าจะเป็นของตัวเลขทั้งหมดที่ปรากฏ ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นหนึ่ง

สิ่งนี้จะเกิดขึ้นกับเหตุการณ์ตรงกันข้ามด้วย เช่น ในการทดลองกับเหรียญ โดยที่ด้านหนึ่งคือเหตุการณ์ A และอีกด้านเป็นเหตุการณ์ตรงกันข้าม Ā ดังที่ทราบกันดีอยู่แล้ว

P(A) + P(Ā) = 1

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้เกิดขึ้น

การคูณความน่าจะเป็นใช้ในการพิจารณาการเกิดเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ตั้งแต่ 2 เหตุการณ์ขึ้นไปในการสังเกตครั้งเดียว ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A และ B จะปรากฏพร้อมกันนั้นเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นหรือ:

ป(A*B)=ป(A)*P(B)

เช่น ความน่าจะเป็นที่เป็นภาษาสเปน อันดับที่ 1 จากความพยายามสองครั้ง ลูกบอลสีน้ำเงินจะปรากฏขึ้นสองครั้งเท่ากับ

นั่นคือ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นเมื่อพยายามดึงลูกบอลสองครั้ง มีเพียงลูกบอลสีน้ำเงินเท่านั้นที่ถูกดึงออกมาคือ 25% เป็นเรื่องง่ายมากที่จะทำการทดลองเชิงปฏิบัติกับปัญหานี้และดูว่าเป็นเช่นนั้นจริงหรือไม่

กิจกรรมร่วมกัน

เหตุการณ์ถือเป็นเหตุการณ์ร่วมกันเมื่อการเกิดขึ้นของเหตุการณ์หนึ่งสามารถเกิดขึ้นพร้อมกับการเกิดขึ้นของอีกเหตุการณ์หนึ่งได้ แม้ว่าพวกเขาจะร่วมกัน แต่ก็คำนึงถึงความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ ตัวอย่างเช่น การขว้างลูกเต๋าสองลูกสามารถให้ผลลัพธ์ได้เมื่อหมายเลข 6 ปรากฏบนทั้งคู่ แม้ว่าเหตุการณ์จะเกิดขึ้นพร้อมกันและปรากฏพร้อมกัน แต่ก็แยกจากกัน - มีเพียงหกลูกเท่านั้นที่จะหลุดออกไป แต่การตายครั้งที่สองไม่มี มีอิทธิพลต่อมัน

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ร่วมถือเป็นความน่าจะเป็นของผลรวม

ความน่าจะเป็นของผลรวมของเหตุการณ์ร่วม ตัวอย่าง

ความน่าจะเป็นของผลรวมของเหตุการณ์ A และ B ซึ่งมีความสัมพันธ์ร่วมกันจะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ลบด้วยความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นร่วมกัน (นั่นคือ การเกิดขึ้นร่วมกัน):

ข้อต่ออาร์ (A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)

สมมติว่าความน่าจะเป็นที่จะยิงโดนเป้าหมายด้วยนัดเดียวคือ 0.4 จากนั้นเหตุการณ์ A เข้าถึงเป้าหมายในความพยายามครั้งแรก B - ในครั้งที่สอง เหตุการณ์เหล่านี้เป็นเหตุการณ์ร่วมกันเนื่องจากเป็นไปได้ที่คุณจะสามารถเข้าถึงเป้าหมายได้ทั้งช็อตแรกและครั้งที่สอง แต่เหตุการณ์ไม่ได้ขึ้นอยู่กับ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่จะยิงโดนเป้าหมายด้วยการยิงสองนัด (อย่างน้อยหนึ่งนัด) คืออะไร? ตามสูตร:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

คำตอบสำหรับคำถามคือ “ความน่าจะเป็นที่จะยิงโดนเป้าหมายด้วยการยิงสองนัดคือ 64%”

สูตรความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้สามารถนำไปใช้กับเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ โดยที่ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้นร่วมกัน P(AB) = 0 ซึ่งหมายความว่าความน่าจะเป็นของผลรวมของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ถือได้ว่าเป็นกรณีพิเศษ ของสูตรที่นำเสนอ

เรขาคณิตของความน่าจะเป็นเพื่อความชัดเจน

สิ่งที่น่าสนใจคือความน่าจะเป็นของผลรวมของเหตุการณ์ร่วมสามารถแสดงเป็นพื้นที่ A และ B สองพื้นที่ซึ่งตัดกัน ดังที่เห็นจากภาพ พื้นที่สหภาพจะเท่ากับพื้นที่ทั้งหมดลบด้วยพื้นที่ทางแยก คำอธิบายทางเรขาคณิตนี้ทำให้สูตรที่ดูไร้เหตุผลสามารถเข้าใจได้ง่ายขึ้น โปรดทราบว่าการแก้ปัญหาทางเรขาคณิตไม่ใช่เรื่องแปลกในทฤษฎีความน่าจะเป็น

การกำหนดความน่าจะเป็นของผลรวมของเหตุการณ์ร่วมหลายเหตุการณ์ (มากกว่าสองเหตุการณ์) ค่อนข้างยุ่งยาก ในการคำนวณ คุณต้องใช้สูตรที่กำหนดไว้สำหรับกรณีเหล่านี้

เหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพา

เหตุการณ์จะถูกเรียกว่าขึ้นอยู่กับถ้าการเกิดขึ้นของเหตุการณ์หนึ่ง (A) ส่งผลต่อความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นอีกเหตุการณ์หนึ่ง (B) นอกจากนี้ ยังคำนึงถึงอิทธิพลของทั้งการเกิดขึ้นของเหตุการณ์ A และการไม่เกิดขึ้นด้วย แม้ว่าเหตุการณ์จะถูกเรียกว่าขึ้นอยู่กับคำจำกัดความ แต่มีเหตุการณ์เดียวเท่านั้นที่ขึ้นอยู่กับ (B) ความน่าจะเป็นสามัญแสดงเป็น P(B) หรือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ ในกรณีของเหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพา มีการนำแนวคิดใหม่มาใช้ - ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข P A (B) ซึ่งเป็นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ขึ้นอยู่กับ B ขึ้นอยู่กับการเกิดขึ้นของเหตุการณ์ A (สมมติฐาน) ซึ่งขึ้นอยู่กับ

แต่เหตุการณ์ A ก็เป็นแบบสุ่มเช่นกัน ดังนั้นจึงมีความน่าจะเป็นที่ต้องการและสามารถนำมาพิจารณาในการคำนวณด้วย ตัวอย่างต่อไปนี้จะแสดงวิธีการทำงานกับเหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพาและสมมติฐาน

ตัวอย่างการคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพา

ตัวอย่างที่ดีสำหรับการคำนวณเหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพาคือสำรับไพ่มาตรฐาน

ใช้สำรับไพ่ 36 ใบเป็นตัวอย่าง มาดูเหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพากัน เราจำเป็นต้องกำหนดความน่าจะเป็นที่ไพ่ใบที่สองที่จั่วมาจากสำรับจะเป็นเพชรหากไพ่ใบแรกที่จั่วคือ:

บูบโนวายา.
สีที่แตกต่าง

แน่นอนว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ B ครั้งที่สองนั้นขึ้นอยู่กับ A ตัวแรก ดังนั้นหากตัวเลือกแรกเป็นจริง มีไพ่น้อยกว่า 1 ใบ (35) และ 1 ไดมอนด์ (8) น้อยกว่าในสำรับ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ B:

RA (B) =8/35=0.23

หากตัวเลือกที่สองเป็นจริง แสดงว่าสำรับมีไพ่ 35 ใบ และเพชรจำนวนเต็ม (9) ยังคงอยู่ ดังนั้นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ B ต่อไปนี้:

RA (B) =9/35=0.26

จะเห็นได้ว่าหากเหตุการณ์ A มีเงื่อนไขว่าไพ่ใบแรกเป็นเพชร ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ B จะลดลง และในทางกลับกัน

การคูณเหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพา

จากบทที่แล้ว เรายอมรับเหตุการณ์แรก (A) ตามความเป็นจริง แต่โดยพื้นฐานแล้ว มันเป็นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นโดยบังเอิญ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้คือการจั่วเพชรจากสำรับไพ่เท่ากับ:

พี(เอ) = 9/36=1/4

เนื่องจากทฤษฎีนี้ไม่มีอยู่ในตัวของมันเอง แต่มีจุดมุ่งหมายเพื่อใช้ในการปฏิบัติ จึงยุติธรรมที่จะทราบว่าสิ่งที่จำเป็นบ่อยที่สุดก็คือความน่าจะเป็นที่จะทำให้เกิดเหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพากัน

ตามทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลคูณของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ขึ้นอยู่กับความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพาร่วมกัน A และ B เท่ากับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A หนึ่งเหตุการณ์ คูณด้วยความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ B (ขึ้นอยู่กับ A):

P(AB) = P(A) *P A(B)

จากนั้น ในตัวอย่างสำรับ ความน่าจะเป็นที่จะจั่วไพ่สองใบที่มีชุดเพชรคือ:

9/36*8/35=0.0571 หรือ 5.7%

และความน่าจะเป็นที่จะแยกเพชรไม่ใช่ก่อน แล้วค่อยแยกเพชรก็เท่ากับ:

27/36*9/35=0.19 หรือ 19%

จะเห็นได้ว่าความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ B จะเกิดขึ้นนั้นมีมากกว่าหากไพ่ใบแรกที่จั่วเป็นไพ่ชุดอื่นที่ไม่ใช่เพชร ผลลัพธ์นี้ค่อนข้างสมเหตุสมผลและเข้าใจได้

ความน่าจะเป็นรวมของเหตุการณ์

เมื่อปัญหาเกี่ยวกับความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขมีหลายแง่มุม ก็ไม่สามารถคำนวณโดยใช้วิธีทั่วไปได้ เมื่อมีสมมติฐานมากกว่าสองข้อ ได้แก่ A1,A2,…,A n, ..จะเกิดกลุ่มเหตุการณ์ที่สมบูรณ์:

P(A i)>0, i=1,2,…
A ฉัน ∩ A j =Ø,i≠j
Σ k A k =Ω

ดังนั้น สูตรสำหรับความน่าจะเป็นรวมของเหตุการณ์ B ที่มีเหตุการณ์สุ่ม A1, A2,..., A n เท่ากับ:

มองไปสู่อนาคต

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่มมีความจำเป็นอย่างยิ่งในวิทยาศาสตร์หลายแขนง เช่น เศรษฐมิติ สถิติ ฟิสิกส์ ฯลฯ เนื่องจากกระบวนการบางอย่างไม่สามารถอธิบายได้อย่างกำหนดได้ เนื่องจากกระบวนการเหล่านี้มีความน่าจะเป็นโดยธรรมชาติ จึงจำเป็นต้องใช้วิธีการทำงานพิเศษ ทฤษฎีความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สามารถนำมาใช้ในสาขาเทคโนโลยีใดก็ได้เพื่อระบุความเป็นไปได้ที่จะเกิดข้อผิดพลาดหรือการทำงานผิดพลาด

เราสามารถพูดได้ว่าโดยการรับรู้ถึงความน่าจะเป็น เราจะก้าวไปสู่อนาคตทางทฤษฎีในทางใดทางหนึ่ง โดยมองมันผ่านปริซึมของสูตร