ค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน

ค่าสูงสุดของฟังก์ชันคือค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุด ค่าน้อยที่สุดคือค่าที่น้อยที่สุดในบรรดาค่าทั้งหมด

ฟังก์ชันสามารถมีค่าที่ใหญ่ที่สุดได้เพียงค่าเดียวและค่าน้อยที่สุดเพียงค่าเดียวเท่านั้น หรืออาจไม่มีค่าเลยก็ได้ การค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันต่อเนื่องจะขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของฟังก์ชันเหล่านี้:

1) หากในช่วงเวลาหนึ่ง (จำกัดหรือไม่มีที่สิ้นสุด) ฟังก์ชัน y=f(x) มีความต่อเนื่องและมีเพียงหนึ่งจุดสุดขั้ว และหากนี่คือค่าสูงสุด (ต่ำสุด) มันจะเป็นค่าที่ใหญ่ที่สุด (น้อยที่สุด) ของฟังก์ชัน ในช่วงเวลานี้

2) หากฟังก์ชัน f(x) ต่อเนื่องกันในบางเซ็กเมนต์ ก็จำเป็นต้องมีค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดในเซ็กเมนต์นี้ ถึงค่าเหล่านี้ที่จุดปลายสุดซึ่งอยู่ภายในส่วนหรือที่ขอบเขตของส่วนนี้

หากต้องการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดในเซ็กเมนต์ ขอแนะนำให้ใช้โครงร่างต่อไปนี้:

1. ค้นหาอนุพันธ์

2. ค้นหาจุดวิกฤตของฟังก์ชันที่มี =0 หรือไม่มีอยู่

3. ค้นหาค่าของฟังก์ชันที่จุดวิกฤติและที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์แล้วเลือกค่า f max ที่ใหญ่ที่สุดและค่า f max ที่เล็กที่สุด

เมื่อแก้ไขปัญหาที่ใช้ โดยเฉพาะการปรับให้เหมาะสม ปัญหาในการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุด (สูงสุดทั่วโลกและต่ำสุดทั่วโลก) ของฟังก์ชันในช่วงเวลา X มีความสำคัญ ในการแก้ปัญหาดังกล่าว ควรทำตามเงื่อนไข เลือกตัวแปรอิสระและแสดงค่าที่กำลังศึกษาผ่านตัวแปรนี้ จากนั้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดหรือน้อยที่สุดที่ต้องการของฟังก์ชันผลลัพธ์ ในกรณีนี้ ช่วงการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรอิสระซึ่งอาจมีขอบเขตหรือไม่มีที่สิ้นสุดก็ถูกกำหนดจากเงื่อนไขของปัญหาด้วย

ตัวอย่าง.ถังที่มีรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านบนเปิดและมีก้นสี่เหลี่ยมจัตุรัส จะต้องบรรจุกระป๋องไว้ด้านใน ขนาดของถังควรเป็นเท่าใดหากความจุ 108 ลิตร? น้ำเพื่อให้ต้นทุนในการกักเก็บน้อยที่สุด?

สารละลาย.ค่าใช้จ่ายในการเคลือบถังด้วยดีบุกจะน้อยที่สุดหากพื้นที่ผิวของถังมีน้อยตามความจุที่กำหนด ให้เราแสดงด้วย dm ด้านข้างของฐาน b dm ความสูงของถัง แล้วพื้นที่ S ของพื้นผิวจะเท่ากับ

และ

ความสัมพันธ์ที่เกิดขึ้นจะสร้างความสัมพันธ์ระหว่างพื้นที่ผิวของอ่างเก็บน้ำ S (ฟังก์ชัน) และด้านข้างของฐาน a (อาร์กิวเมนต์) ให้เราตรวจสอบฟังก์ชัน S สำหรับส่วนปลายสุด ลองหาอนุพันธ์ตัวแรก จัดให้เป็นศูนย์แล้วแก้สมการผลลัพธ์:

ดังนั้น a = 6 (a) > 0 สำหรับ a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

ตัวอย่าง- ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชัน ในช่วงเวลา

สารละลาย: ฟังก์ชันที่กำหนดจะต่อเนื่องตลอดเส้นจำนวนทั้งหมด อนุพันธ์ของฟังก์ชัน

อนุพันธ์สำหรับและสำหรับ มาคำนวณค่าฟังก์ชันที่จุดเหล่านี้:

.

ค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของช่วงเวลาที่กำหนดจะเท่ากัน ดังนั้น ค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันจะเท่ากับ at ค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันจะเท่ากับ at

คำถามทดสอบตัวเอง

1. กำหนดกฎของโลปิตาลสำหรับการเปิดเผยความไม่แน่นอนของแบบฟอร์ม รายการ ประเภทต่างๆความไม่แน่นอนที่สามารถใช้กฎของโลปิตาลได้

2. กำหนดสัญญาณของการเพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชัน

3. กำหนดค่าสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชัน

4. กำหนดเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการมีอยู่ของสุดขั้ว

5. ค่าใดของอาร์กิวเมนต์ (จุดใด) ที่เรียกว่าวิกฤต? จะหาจุดเหล่านี้ได้อย่างไร?

6. อะไรคือสัญญาณที่เพียงพอของการมีอยู่ของฟังก์ชันสุดขั้ว? เขียนโครงร่างการศึกษาฟังก์ชันที่จุดสุดขั้วโดยใช้อนุพันธ์อันดับ 1

7. สรุปโครงร่างการศึกษาฟังก์ชันที่จุดสุดขีดโดยใช้อนุพันธ์อันดับสอง

8. กำหนดความนูนและความเว้าของเส้นโค้ง

9. จุดเปลี่ยนเว้าของกราฟของฟังก์ชันเรียกว่าอะไร? ระบุวิธีการหาจุดเหล่านี้

10. กำหนดสัญญาณที่จำเป็นและเพียงพอของความนูนและความเว้าของเส้นโค้งบนส่วนที่กำหนด

11. กำหนดเส้นกำกับของเส้นโค้ง จะค้นหาเส้นกำกับแนวตั้ง แนวนอน และแนวเฉียงของกราฟของฟังก์ชันได้อย่างไร

12. สรุปโครงร่างทั่วไปสำหรับศึกษาฟังก์ชันและสร้างกราฟ

13. กำหนดกฎสำหรับการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันในช่วงเวลาที่กำหนด

มาดูวิธีการตรวจสอบฟังก์ชันโดยใช้กราฟกัน ปรากฎว่าเมื่อดูกราฟเราสามารถค้นหาทุกสิ่งที่เราสนใจได้ กล่าวคือ:

• โดเมนของฟังก์ชัน
• ช่วงฟังก์ชัน
• ฟังก์ชันศูนย์
• ช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลง
• คะแนนสูงสุดและต่ำสุด
• ค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์

มาชี้แจงคำศัพท์กัน:

แอบซิสซาคือพิกัดแนวนอนของจุด
บวช- พิกัดแนวตั้ง
แกนแอบซิสซา- แกนนอนส่วนใหญ่มักเรียกว่าแกน
แกน Y- แกนตั้งหรือแกน

การโต้แย้ง- ตัวแปรอิสระที่ค่าฟังก์ชันขึ้นอยู่กับ ส่วนใหญ่มักระบุ
กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราเลือก แทนที่ฟังก์ชันลงในสูตรและรับ

โดเมนของคำจำกัดความฟังก์ชั่น - ชุดของค่าอาร์กิวเมนต์เหล่านั้น (และเฉพาะเหล่านั้น) ที่มีฟังก์ชันอยู่
ระบุโดย: หรือ .

ในรูปของเรา โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันคือเซ็กเมนต์ อยู่ในส่วนนี้ที่วาดกราฟของฟังก์ชัน นี่เป็นที่เดียวที่มีฟังก์ชันนี้อยู่

ช่วงฟังก์ชันคือชุดของค่าที่ตัวแปรรับ ในรูปของเรา นี่คือส่วน - จากค่าต่ำสุดไปจนถึงค่าสูงสุด

ฟังก์ชันศูนย์- จุดที่ค่าของฟังก์ชันเป็นศูนย์นั่นคือ ในรูปของเรานี่คือจุด และ .

ค่าฟังก์ชันเป็นบวกที่ไหน . ในรูปของเรานี่คือช่วงเวลา และ
ค่าฟังก์ชันเป็นลบที่ไหน . สำหรับเรานี่คือช่วงเวลา (หรือช่วงเวลา) จากถึง

แนวคิดที่สำคัญที่สุด - ฟังก์ชั่นการเพิ่มและลดในบางชุด เมื่อรวมกันเป็นเซต คุณสามารถใช้เซกเมนต์ ช่วงเวลา การรวมกันของช่วงเวลา หรือเส้นจำนวนทั้งหมด

การทำงาน เพิ่มขึ้น

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ยิ่งมาก ยิ่งมาก นั่นคือกราฟจะไปทางขวาและขึ้น

การทำงาน ลดลงบนเซต ถ้ามีค่าใดค่าหนึ่งและเป็นของเซต ความไม่เท่าเทียมกันจะบ่งบอกถึงความไม่เท่าเทียมกัน

สำหรับฟังก์ชันที่ลดลง ค่าที่มากขึ้นจะสอดคล้องกับค่าที่น้อยลง กราฟไปทางขวาและลง

ในรูปของเรา ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นตามช่วงเวลา และลดลงตามช่วงเวลา และ

มากำหนดกันว่ามันคืออะไร จุดสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชัน.

จุดสูงสุด- นี่คือจุดภายในของโดเมนของคำจำกัดความ โดยที่ค่าของฟังก์ชันในนั้นมากกว่าจุดทั้งหมดที่อยู่ใกล้มันอย่างเพียงพอ
กล่าวอีกนัยหนึ่ง จุดสูงสุดคือจุดที่ค่าของฟังก์ชัน มากกว่ากว่าในบริเวณใกล้เคียง นี่คือ "เนินเขา" ในท้องถิ่นในแผนภูมิ

ในรูปของเรามีจุดสูงสุด

จุดต่ำสุด- จุดภายในของโดเมนของคำจำกัดความ โดยค่าของฟังก์ชันในนั้นน้อยกว่าจุดทั้งหมดที่อยู่ใกล้มันอย่างเพียงพอ
นั่นคือจุดต่ำสุดคือค่าของฟังก์ชันในนั้นน้อยกว่าเพื่อนบ้าน นี่คือ "รู" ในพื้นที่บนกราฟ

ในรูปของเรามีจุดต่ำสุด

ประเด็นคือขอบเขต ไม่ใช่จุดภายในของขอบเขตของคำจำกัดความ ดังนั้นจึงไม่เหมาะสมกับคำจำกัดความของจุดสูงสุด ท้ายที่สุดเธอไม่มีเพื่อนบ้านทางด้านซ้าย ในทำนองเดียวกัน บนกราฟของเราไม่สามารถมีจุดต่ำสุดได้

เรียกว่าคะแนนสูงสุดและต่ำสุดรวมกัน จุดปลายสุดของฟังก์ชัน- ในกรณีของเรานี่คือ และ

จะทำอย่างไรถ้าคุณต้องการค้นหาเช่น ฟังก์ชั่นขั้นต่ำในส่วนนี้เหรอ? ในกรณีนี้คำตอบคือ: . เพราะ ฟังก์ชั่นขั้นต่ำคือมูลค่าของมันที่จุดต่ำสุด

ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชั่นสูงสุดของเราคือ . ก็ถึงจุดนั้นแล้ว

เราสามารถพูดได้ว่าสุดขั้วของฟังก์ชันเท่ากับ และ .

บางครั้งปัญหาก็ต้องค้นหา ค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันในส่วนที่กำหนด ไม่จำเป็นต้องตรงกับความสุดขั้วเสมอไป

ในกรณีของเรา ค่าฟังก์ชันที่เล็กที่สุดบนเซ็กเมนต์จะเท่ากับและเกิดขึ้นพร้อมกับฟังก์ชันขั้นต่ำ แต่มูลค่าสูงสุดในส่วนนี้คือเท่ากับ ไปถึงที่ด้านซ้ายสุดของส่วน

ไม่ว่าในกรณีใด ค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันต่อเนื่องบนเซกเมนต์จะเกิดขึ้นที่จุดปลายสุดหรือที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์

ด้วยบริการนี้คุณสามารถทำได้ ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันตัวแปรหนึ่งตัว f(x) พร้อมโซลูชันที่จัดรูปแบบใน Word ถ้ากำหนดฟังก์ชัน f(x,y) ไว้ ก็จำเป็นต้องค้นหาจุดสิ้นสุดของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว คุณยังสามารถค้นหาช่วงเวลาของฟังก์ชันเพิ่มและลดได้

ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน

ย=

บนส่วน [ ;]

รวมทฤษฎีด้วย

กฎสำหรับการเข้าฟังก์ชั่น:

เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับฟังก์ชันสุดขั้วของตัวแปรหนึ่งตัว

สมการ f" 0 (x *) = 0 เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับปลายสุดของฟังก์ชันของตัวแปรตัวหนึ่ง นั่นคือ ณ จุด x * อนุพันธ์อันดับหนึ่งของฟังก์ชันจะต้องหายไป โดยระบุจุดที่คงที่ x c ซึ่งฟังก์ชันไม่อยู่ เพิ่มขึ้นหรือลดลง

เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับปลายสุดของฟังก์ชันของตัวแปรหนึ่งตัว

ให้ f 0 (x) สามารถหาอนุพันธ์ได้สองเท่าโดยเทียบกับ x ที่อยู่ในเซต D หากตรงจุด x * ตรงตามเงื่อนไข:

ฉ" 0 (x *) = 0
ฉ"" 0 (x *) > 0

จากนั้นจุด x * คือจุดต่ำสุดภายใน (ทั่วโลก) ของฟังก์ชัน

หากตรงจุด x * ตรงตามเงื่อนไข:

ฉ" 0 (x *) = 0
ฉ"" 0 (x *)< 0

จากนั้นจุด x * คือค่าสูงสุดเฉพาะที่ (ทั่วโลก)

ตัวอย่างหมายเลข 1 ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชัน: บนเซ็กเมนต์
สารละลาย.

จุดวิกฤติคือหนึ่ง x 1 = 2 (f’(x)=0) จุดนี้เป็นของกลุ่ม (จุด x=0 ไม่สำคัญ เนื่องจาก 0∉)
เราคำนวณค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของส่วนและที่จุดวิกฤติ
ฉ(1)=9, ฉ(2)= 5 / 2 , ฉ(3)=3 8 / 81
คำตอบ: f นาที = 5/2 ที่ x=2; f สูงสุด =9 ที่ x=1

ตัวอย่างหมายเลข 2 ใช้อนุพันธ์ลำดับที่สูงกว่า หาจุดสิ้นสุดของฟังก์ชัน y=x-2sin(x)
สารละลาย.
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน: y’=1-2cos(x) . มาหาจุดวิกฤตกัน: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z เราพบว่า y''=2sin(x) คำนวณ ซึ่งหมายความว่า x= π / 3 +2πk, k∈Z คือจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน ซึ่งหมายความว่า x=- π / 3 +2πk, k∈Z คือจุดสูงสุดของฟังก์ชัน

ตัวอย่างหมายเลข 3 ตรวจสอบฟังก์ชันปลายสุดในบริเวณใกล้กับจุด x=0
สารละลาย. ในที่นี้จำเป็นต้องค้นหาจุดสุดขีดของฟังก์ชัน หากค่าสุดขั้ว x=0 ให้ค้นหาประเภทของค่านั้น (ค่าต่ำสุดหรือค่าสูงสุด) หากจุดที่พบไม่มี x = 0 ให้คำนวณค่าของฟังก์ชัน f(x=0)
ควรสังเกตว่าเมื่ออนุพันธ์ในแต่ละด้านของจุดที่กำหนดไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย สถานการณ์ที่เป็นไปได้จะไม่หมดลงแม้แต่ฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้: มันสามารถเกิดขึ้นได้สำหรับย่านใกล้เคียงขนาดเล็กโดยพลการที่ด้านหนึ่งของจุด x 0 หรือ ทั้งสองด้านมีเครื่องหมายการเปลี่ยนแปลงอนุพันธ์ ณ จุดเหล่านี้ จำเป็นต้องใช้วิธีอื่นเพื่อศึกษาฟังก์ชันของภาวะสุดขั้ว

ในบทความนี้ ผมจะพูดถึงวิธีนำทักษะการค้นหาไปประยุกต์ใช้กับการศึกษาฟังก์ชัน เพื่อค้นหาค่าที่มากที่สุดหรือน้อยที่สุด จากนั้นเราจะแก้ไขปัญหาต่าง ๆ จากงาน B15 จาก Open Bank ของงาน

ตามปกติเรามาจำทฤษฎีกันก่อน

ในตอนเริ่มต้นของการศึกษาฟังก์ชันใดๆ เราจะพบว่า

ในการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดหรือน้อยที่สุดของฟังก์ชัน คุณต้องตรวจสอบว่าฟังก์ชันเพิ่มขึ้นในช่วงใดและลดลงช่วงใด

ในการทำเช่นนี้ เราจำเป็นต้องค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันและตรวจสอบช่วงของเครื่องหมายคงที่ นั่นคือช่วงที่อนุพันธ์ยังคงรักษาเครื่องหมายไว้

ช่วงเวลาที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นบวกคือช่วงของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น

ช่วงเวลาที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นลบคือช่วงของฟังก์ชันที่ลดลง

1. มาแก้งาน B15 (หมายเลข 245184) กัน

เพื่อแก้ปัญหานี้ เราจะทำตามอัลกอริทึมต่อไปนี้:

ก) ค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน

b) ลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกัน

c) ลองทำให้มันเป็นศูนย์กัน

d) ให้เราค้นหาช่วงเวลาของเครื่องหมายคงที่ของฟังก์ชัน

e) ค้นหาจุดที่ฟังก์ชันรับค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุด

f) ค้นหาค่าของฟังก์ชัน ณ จุดนี้

ฉันให้วิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดสำหรับงานนี้ในวิดีโอสอน:

เบราว์เซอร์ของคุณอาจไม่รองรับ หากต้องการใช้โปรแกรมจำลอง Unified State Exam Hour ให้ลองดาวน์โหลด
ไฟร์ฟอกซ์

2. มาแก้งาน B15 (หมายเลข 282862) กัน

ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน บนส่วน

เห็นได้ชัดว่าฟังก์ชันรับค่าสูงสุดของเซ็กเมนต์ที่จุดสูงสุดที่ x=2 ลองหาค่าของฟังก์ชัน ณ จุดนี้:

คำตอบ: 5

3. มาแก้งาน B15 (หมายเลข 245180):

ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน

1. title="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. เพราะตามโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันดั้งเดิม title="4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. ตัวเศษมีค่าเท่ากับศูนย์ที่ มาตรวจสอบว่า ODZ อยู่ในฟังก์ชันหรือไม่ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เรามาตรวจสอบว่าเงื่อนไข title="4-2x-x^2>0"> при .!}

หัวข้อ="4-2(-1)-((-1))^2>0">,

ซึ่งหมายความว่าจุดนั้นเป็นของฟังก์ชัน ODZ

ลองตรวจสอบเครื่องหมายของอนุพันธ์ทางด้านขวาและด้านซ้ายของจุด:

เราจะเห็นว่าฟังก์ชันนี้รับค่าสูงสุด ณ จุดนั้น ทีนี้ลองหาค่าของฟังก์ชันที่:

หมายเหตุ 1. โปรดทราบว่าในปัญหานี้ เราไม่พบโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน เราเพียงแต่แก้ไขข้อจำกัดและตรวจสอบว่าจุดที่อนุพันธ์มีค่าเท่ากับศูนย์เป็นของโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันหรือไม่ ปรากฏว่าเพียงพอแล้วสำหรับงานนี้ อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ใช่กรณีเสมอไป มันขึ้นอยู่กับงาน

หมายเหตุ 2 เมื่อศึกษาพฤติกรรมของฟังก์ชันที่ซับซ้อน คุณสามารถใช้กฎต่อไปนี้:

• ถ้าฟังก์ชันภายนอกของฟังก์ชันเชิงซ้อนเพิ่มขึ้น ฟังก์ชันก็จะรับค่าสูงสุดที่จุดเดียวกับที่ฟังก์ชันภายในรับค่าสูงสุด สิ่งนี้ตามมาจากคำจำกัดความของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น: ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นในช่วงเวลา I หากค่าที่มากกว่าของอาร์กิวเมนต์จากช่วงเวลานี้สอดคล้องกับค่าที่มากขึ้นของฟังก์ชัน
• ถ้าฟังก์ชันภายนอกของฟังก์ชันที่ซับซ้อนลดลง ฟังก์ชันนั้นจะรับค่าที่ใหญ่ที่สุด ณ จุดเดียวกับที่ฟังก์ชันภายในรับค่าที่น้อยที่สุด - สิ่งนี้ตามมาจากคำจำกัดความของฟังก์ชันที่ลดลง: ฟังก์ชันจะลดลงในช่วงเวลา I หากค่าที่มากกว่าของอาร์กิวเมนต์จากช่วงเวลานี้สอดคล้องกับค่าที่น้อยกว่าของฟังก์ชัน

ในตัวอย่างของเรา ฟังก์ชันภายนอกจะเพิ่มขึ้นทั่วทั้งขอบเขตคำจำกัดความ ภายใต้สัญลักษณ์ของลอการิทึมจะมีนิพจน์ - ตรีโกณมิติกำลังสองซึ่งมีค่าสัมประสิทธิ์นำหน้าเป็นลบรับค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุด ณ จุดนั้น - ต่อไป เราจะแทนค่า x นี้ลงในสมการของฟังก์ชัน และค้นพบคุณค่าสูงสุดของมัน