เหตุการณ์ใดเรียกว่าน่าจะเป็น พื้นฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็นสำหรับนักคณิตศาสตร์ประกันภัย

คุณต้องการที่จะรู้ว่าอะไร อัตราต่อรองทางคณิตศาสตร์กับความสำเร็จของการเดิมพันของคุณ? แล้วมีสองสำหรับคุณ ข่าวดี- ประการแรก: ในการคำนวณความสามารถข้ามประเทศ คุณไม่จำเป็นต้องคำนวณที่ซับซ้อนและใช้เวลามากนัก การใช้สูตรง่ายๆ ก็เพียงพอแล้วซึ่งจะใช้เวลาสองสามนาทีในการทำงาน ประการที่สอง: หลังจากอ่านบทความนี้แล้ว คุณสามารถคำนวณความน่าจะเป็นที่การซื้อขายใดๆ ของคุณผ่านได้อย่างง่ายดาย

ในการพิจารณาความสามารถข้ามประเทศอย่างถูกต้อง คุณต้องดำเนินการสามขั้นตอน:

คำนวณเปอร์เซ็นต์ความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ของเหตุการณ์ตามสำนักงานของเจ้ามือรับแทง
คำนวณความน่าจะเป็นโดยใช้ข้อมูลทางสถิติด้วยตัวเอง
ค้นหามูลค่าของการเดิมพัน โดยคำนึงถึงความน่าจะเป็นทั้งสองอย่าง

มาดูรายละเอียดแต่ละขั้นตอนกัน ไม่ใช่แค่ใช้สูตรเท่านั้น แต่ยังใช้ตัวอย่างด้วย

กระโดดอย่างรวดเร็ว

การคำนวณความน่าจะเป็นที่รวมอยู่ในอัตราต่อรองของเจ้ามือรับแทง

ขั้นตอนแรกคือการหาความน่าจะเป็นที่เจ้ามือรับแทงเองประเมินโอกาสของผลลัพธ์นั้น ๆ เป็นที่ชัดเจนว่าเจ้ามือรับแทงไม่ได้กำหนดอัตราต่อรองเช่นนั้น เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราใช้สูตรต่อไปนี้:

ปบี=(1/K)*100%,

โดยที่ P B คือความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ตามสำนักงานของเจ้ามือรับแทง

K – อัตราต่อรองเจ้ามือรับแทงสำหรับผลลัพธ์

สมมติว่าอัตราต่อรองสำหรับชัยชนะของลอนดอนอาร์เซนอลในการแข่งขันกับบาเยิร์นมิวนิคคือ 4 ซึ่งหมายความว่าเจ้ามือรับแทงจะประเมินความน่าจะเป็นที่จะชนะเป็น (1/4)*100%=25% หรือยอโควิชเล่นกับยูซนี่ ตัวคูณสำหรับชัยชนะของ Novak คือ 1.2 โอกาสของเขาคือ (1/1.2)*100%=83%

นี่คือวิธีที่เจ้ามือรับแทงประเมินโอกาสในการประสบความสำเร็จของผู้เล่นและทีมแต่ละคน เมื่อเสร็จสิ้นขั้นตอนแรกแล้วเราก็ไปยังขั้นตอนที่สอง

การคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์โดยผู้เล่น

ประเด็นที่สองของแผนของเราคือการประเมินความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ด้วยตัวเราเอง เนื่องจากเราไม่สามารถคำนึงถึงพารามิเตอร์ต่างๆ เช่น แรงจูงใจและโทนของเกมในทางคณิตศาสตร์ได้ เราจะใช้แบบจำลองที่เรียบง่ายและใช้เฉพาะสถิติจากการประชุมครั้งก่อนๆ สำหรับการคำนวณ ความน่าจะเป็นทางสถิติผลลัพธ์เราใช้สูตร:

ปและ=(อืม/ม)*100%,

ที่ไหนปและ– ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตามผู้เล่น;

UM – จำนวนการแข่งขันที่ประสบความสำเร็จซึ่งมีเหตุการณ์ดังกล่าวเกิดขึ้น

M – จำนวนการแข่งขันทั้งหมด

เพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้นเราขอยกตัวอย่าง แอนดี เมอร์เรย์ และราฟาเอล นาดาล ลงเล่น 14 นัดระหว่างกัน ใน 6 เกมนั้นมีทั้งหมดน้อยกว่า 21 เกม และใน 8 เกมนั้นมากกว่านั้น คุณต้องค้นหาความน่าจะเป็นที่นัดถัดไปจะเล่นด้วยผลรวมที่สูงกว่า: (8/14)*100=57% บาเลนเซียลงเล่น 74 นัดกับแอตเลติโกที่เมสตายา ซึ่งพวกเขาเก็บชัยชนะได้ 29 นัด ความน่าจะเป็นที่บาเลนเซียจะชนะ: (29/74)*100%=39%.

และเราเรียนรู้ทั้งหมดนี้ด้วยสถิติของเกมก่อนหน้าเท่านั้น! โดยธรรมชาติแล้วสำหรับบางคน ทีมใหม่หรือผู้เล่นจะไม่สามารถคำนวณความน่าจะเป็นดังกล่าวได้ ดังนั้นกลยุทธ์การเดิมพันนี้จึงเหมาะสำหรับการแข่งขันที่ฝ่ายตรงข้ามพบกันมากกว่าหนึ่งครั้งเท่านั้น ตอนนี้เรารู้วิธีกำหนดเจ้ามือรับแทงและความน่าจะเป็นของผลลัพธ์แล้ว และเรามีความรู้ทั้งหมดที่จะไปยังขั้นตอนสุดท้าย

การกำหนดมูลค่าของการเดิมพัน

มูลค่า (มูลค่า) ของการเดิมพันและความสามารถในการผ่านมีความเชื่อมโยงกันโดยตรง ยิ่งมูลค่าสูงเท่าใด โอกาสที่จะผ่านก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น ค่าจะถูกคำนวณดังนี้:

วี=ปและ*K-100%,

โดยที่ V คือมูลค่า

P I – ความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ตามนักเดิมพัน

K – อัตราต่อรองเจ้ามือรับแทงสำหรับผลลัพธ์

สมมติว่าเราต้องการเดิมพันชัยชนะของมิลานในการแข่งขันกับโรม่า และเราคำนวณว่าความน่าจะเป็นที่ “แดง-ดำ” จะชนะคือ 45% เจ้ามือรับแทงเสนออัตราต่อรองให้เรา 2.5 สำหรับผลลัพธ์นี้ การเดิมพันดังกล่าวจะมีคุณค่าหรือไม่? เราทำการคำนวณ: V=45%*2.5-100%=12.5% เยี่ยมมาก เรามีเดิมพันอันล้ำค่าอยู่ตรงหน้าเรา โอกาสที่ดีที่จะผ่าน

มาดูอีกกรณีหนึ่ง มาเรีย ชาราโปวา พบกับ เปตรา ควิโตวา เราต้องการทำข้อตกลงเพื่อให้มาเรียชนะ ความน่าจะเป็นที่ตามการคำนวณของเราคือ 60% เจ้ามือรับแทงเสนอตัวคูณ 1.5 สำหรับผลลัพธ์นี้ เรากำหนดค่า: V=60%*1.5-100=-10% อย่างที่คุณเห็น การเดิมพันนี้ไม่มีค่าและควรหลีกเลี่ยง

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในการทดสอบบางอย่างจะเท่ากับอัตราส่วน โดยที่:

จำนวนรวมของผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้เท่ากันของการทดสอบที่กำหนด ซึ่งจะเกิดขึ้น เต็มกลุ่มเหตุการณ์ต่างๆ;

จำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นที่เอื้อต่อกิจกรรม

ปัญหาที่ 1

โกศประกอบด้วยลูกบอลสีขาว 15 ลูก สีแดง 5 ลูก และสีดำ 10 ลูก สุ่มหยิบลูกบอล 1 ลูก ค้นหาความน่าจะเป็น: a) สีขาว b) สีแดง c) สีดำ

สารละลาย: ข้อกำหนดเบื้องต้นที่สำคัญที่สุดสำหรับการใช้คำจำกัดความดั้งเดิมของความน่าจะเป็นคือ ความสามารถในการนับจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด.

ในโกศมีลูกบอลทั้งหมด 15 + 5 + 10 = 30 ลูก และเห็นได้ชัดว่าข้อเท็จจริงต่อไปนี้เป็นจริง:

การรับลูกบอลใด ๆ ก็เป็นไปได้อย่างเท่าเทียมกัน (โอกาสที่เท่าเทียมกันผลลัพธ์)ในขณะที่ผลลัพธ์ ระดับประถมศึกษา และรูปแบบ เหตุการณ์เต็มกลุ่ม (เช่นผลการทดสอบลูกหนึ่งใน 30 ลูกจะถูกลบออกอย่างแน่นอน).

ดังนั้น จำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด:

พิจารณาเหตุการณ์: - ลูกบอลสีขาวจะถูกดึงออกจากโกศ เหตุการณ์นี้ได้รับการสนับสนุนจากผลลัพธ์เบื้องต้น ดังนั้น ตามคำจำกัดความคลาสสิก:
- ความน่าจะเป็นที่จะดึงลูกบอลสีขาวออกมาจากโกศ

น่าแปลกที่แม้ในงานง่าย ๆ ก็สามารถทำให้เกิดความไม่ถูกต้องอย่างร้ายแรงได้ หลุมพรางอยู่ที่นี่อยู่ที่ไหน? มันไม่ถูกต้องที่จะโต้แย้งที่นี่ “เนื่องจากครึ่งหนึ่งของลูกบอลเป็นสีขาว ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีขาว » - คำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็นหมายถึง ประถมศึกษาผลลัพธ์และเศษส่วนต้องถูกเขียนลงไป!

สำหรับประเด็นอื่นๆ ให้พิจารณาเหตุการณ์ต่อไปนี้ในทำนองเดียวกัน:

ลูกบอลสีแดงจะถูกดึงออกมาจากโกศ
- ลูกบอลสีดำจะถูกดึงออกมาจากโกศ

เหตุการณ์ได้รับผลสนับสนุนจากผลลัพธ์เบื้องต้น 5 ประการ และเหตุการณ์หนึ่งได้รับผลสนับสนุนจากผลลัพธ์เบื้องต้น 10 ประการ ดังนั้นความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกันคือ:

การตรวจสอบงานเซิร์ฟเวอร์หลายอย่างโดยทั่วไปนั้นดำเนินการโดยใช้ ทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ก่อให้เกิดกลุ่มที่สมบูรณ์- ในกรณีของเรา เหตุการณ์ต่างๆ จะรวมกันเป็นกลุ่มที่สมบูรณ์ ซึ่งหมายความว่าผลรวมของความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้องจะต้องเท่ากับ 1:

มาตรวจสอบว่าสิ่งนี้เป็นจริงหรือไม่: นั่นคือสิ่งที่ฉันต้องการให้แน่ใจ

คำตอบ:

ในทางปฏิบัติ ตัวเลือกการออกแบบโซลูชัน "ความเร็วสูง" เป็นเรื่องปกติ:

รวม: 15 + 5 + 10 = 30 ลูกในโกศ ตามคำจำกัดความคลาสสิก:
- ความน่าจะเป็นที่จะดึงลูกบอลสีขาวออกมาจากโกศ
- ความน่าจะเป็นที่จะดึงลูกบอลสีแดงออกจากโกศ
- ความน่าจะเป็นที่จะดึงลูกบอลสีดำออกมาจากโกศ

คำตอบ:

ปัญหาที่ 2

ร้านค้าได้รับตู้เย็นจำนวน 30 ตู้ โดย 5 ตู้มีข้อบกพร่องจากการผลิต ตู้เย็นหนึ่งใบจะถูกสุ่มเลือก ความน่าจะเป็นที่จะไม่มีข้อบกพร่องเป็นเท่าใด?

ปัญหา 3

ขณะกดหมายเลขโทรศัพท์ผู้สมัครสมาชิกลืมตัวเลขสองตัวสุดท้าย แต่จำไว้ว่าหนึ่งในนั้นคือศูนย์และอีกอันเป็นเลขคี่ ค้นหาความน่าจะเป็นที่เขาจะกดหมายเลขที่ถูกต้อง

บันทึก: 0 เป็นเลขคู่ (หารด้วย 2 โดยไม่มีเศษ)

สารละลาย: ก่อนอื่นเราจะหาจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด ตามเงื่อนไข ผู้สมัครสมาชิกจำได้ว่าตัวเลขตัวใดตัวหนึ่งเป็นศูนย์และอีกหลักหนึ่งเป็นเลขคี่ มีเหตุผลมากกว่าที่จะไม่แยกผมด้วย เชิงผสมและใช้ประโยชน์ วิธีการแสดงรายการผลลัพธ์โดยตรง - นั่นคือเมื่อทำการแก้ปัญหา เราเพียงเขียนชุดค่าผสมทั้งหมด:

01, 03, 05, 07, 09

10, 30, 50, 70, 90

และเรานับผลลัพธ์ทั้งหมด: 10 ผลลัพธ์

ผลลัพธ์ที่ดีมีเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้นคือตัวเลขที่ถูกต้อง

ตามคำจำกัดความคลาสสิก:
- ความน่าจะเป็นที่สมาชิกจะกดหมายเลขที่ถูกต้อง

คำตอบ: 0,1

งานขั้นสูงสำหรับโซลูชันอิสระ:

ปัญหาที่ 4

ผู้ใช้บริการลืมรหัส PIN สำหรับซิมการ์ดของเขา แต่จำไว้ว่ารหัสนั้นมี "ห้า" สามตัว และหนึ่งในตัวเลขนั้นคือ "เจ็ด" หรือ "แปด" ความน่าจะเป็นที่จะอนุมัติสำเร็จในการลองครั้งแรกคือเท่าใด

ที่นี่คุณยังสามารถพัฒนาแนวคิดเกี่ยวกับความเป็นไปได้ที่สมาชิกจะถูกลงโทษในรูปแบบของรหัส puk แต่น่าเสียดายที่การให้เหตุผลจะอยู่นอกเหนือขอบเขตของบทเรียนนี้

วิธีแก้ไขและคำตอบอยู่ด้านล่าง

บางครั้งการรวมรายการเข้าด้วยกันกลายเป็นงานที่ต้องใช้ความอุตสาหะมาก โดยเฉพาะกรณีต่อไปนี้ไม่น้อย กลุ่มยอดนิยมปัญหาการทอยลูกเต๋า 2 ลูก (ไม่บ่อย-มาก):

ปัญหาที่ 5

จงหาความน่าจะเป็นที่เมื่อโยนลูกเต๋าสองลูก จำนวนรวมจะเป็นดังนี้:

ก) ห้าคะแนน;

b) ไม่เกินสี่คะแนน

c) รวม 3 ถึง 9 คะแนน

สารละลาย: ค้นหาจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด:

วิธีที่ด้านข้างของลูกเต๋าลูกที่ 1 สามารถหลุดออกมาได้ และด้วยวิธีต่างๆ ด้านข้างของลูกบาศก์ที่ 2 อาจหลุดออกมาได้ โดย กฎสำหรับการคูณชุดค่าผสม, ทั้งหมด: ชุดค่าผสมที่เป็นไปได้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง แต่ละหน้าของลูกบาศก์ที่ 1 สามารถสร้างคู่ที่สั่งได้ กับแต่ละคนขอบของลูกบาศก์ที่ 2 ให้เราตกลงกันว่าจะเขียนคู่ดังกล่าวให้อยู่ในรูป โดยที่ คือ เลขที่ปรากฏบนลูกเต๋าตัวที่ 1 และ คือ ตัวเลขที่ปรากฏบนลูกเต๋าตัวที่ 2

ตัวอย่างเช่น:

ลูกเต๋าลูกแรกได้ 3 แต้ม ลูกเต๋าลูกที่สองได้ 5 แต้ม รวมคะแนน: 3 + 5 = 8;
- ลูกเต๋าลูกแรกได้ 6 คะแนน ลูกที่สอง - 1 คะแนน ผลรวมคะแนน: 6 + 1 = 7;
- ทอยลูกเต๋าทั้งสองลูกได้ 2 แต้ม ผลรวม: 2 + 2 = 4

แน่นอนว่าจำนวนเงินที่น้อยที่สุดจะได้รับจากหนึ่งคู่ และจำนวนเงินที่ใหญ่ที่สุดคือ "หก" สองอัน

ก) พิจารณาเหตุการณ์: - เมื่อโยนลูกเต๋าสองลูก 5 แต้มจะปรากฏขึ้น มาเขียนและนับจำนวนผลลัพธ์ที่ต้องการกัน เหตุการณ์นี้:

ทั้งหมด: 4 ผลลัพธ์ที่ดี ตามคำจำกัดความคลาสสิก:
- ความน่าจะเป็นที่ต้องการ

b) พิจารณากิจกรรม: - จะมีคะแนนปรากฏไม่เกิน 4 คะแนน นั่นคือ 2 หรือ 3 หรือ 4 คะแนน เราแสดงรายการและนับชุดค่าผสมที่ดีอีกครั้งฉันจะเขียนจำนวนคะแนนทั้งหมดทางด้านซ้ายและหลังเครื่องหมายทวิภาค - คู่ที่เหมาะสม:

ทั้งหมด: 6 ชุดค่าผสมที่ดี ดังนั้น:
- ความน่าจะเป็นที่จะทอยได้ไม่เกิน 4 แต้ม

c) พิจารณากิจกรรม: - จะมีการทอยคะแนน 3 ถึง 9 แต้ม ที่นี่คุณสามารถใช้ถนนตรงได้ แต่... ด้วยเหตุผลบางอย่างที่คุณไม่ต้องการ ใช่ มีบางคู่ระบุไว้แล้วในย่อหน้าก่อนๆ แต่ยังมีงานอีกมากที่ต้องทำ

วิธีที่ดีที่สุดในการดำเนินการคืออะไร? ในกรณีเช่นนี้ เส้นทางวงเวียนจะกลายเป็นเหตุผล ลองพิจารณาดู เหตุการณ์ตรงกันข้าม: - 2 หรือ 10 หรือ 11 หรือ 12 จุดจะปรากฏขึ้น

ประเด็นคืออะไร? เหตุการณ์ตรงกันข้ามได้รับการสนับสนุนจากคู่รักจำนวนน้อยกว่ามาก:

ทั้งหมด: 7 ผลลัพธ์ที่น่าพอใจ

ตามคำจำกัดความคลาสสิก:
- ความน่าจะเป็นที่คุณจะได้น้อยกว่าสามหรือมากกว่า 9 คะแนน

โดยเฉพาะผู้ที่มีวิจารณญาณสามารถลงรายการได้ทั้งหมด 29 คู่จึงจะเสร็จสิ้นการตรวจสอบ

คำตอบ:

ในปัญหาต่อไป เราจะทำซ้ำตารางสูตรคูณ:

ปัญหาที่ 6

จงหาความน่าจะเป็นที่เมื่อโยนลูกเต๋าสองลูก ผลคูณของแต้มจะเป็น:

ก) จะเท่ากับเจ็ด;

b) จะมีอย่างน้อย 20;

c) จะเท่ากัน

วิธีแก้ปัญหาด่วนและคำตอบท้ายบทเรียน

ปัญหาที่ 7

มีคน 3 คนเข้าไปในลิฟต์ของอาคาร 20 ชั้นที่ชั้น 1 และไปกันเถอะ ค้นหาความน่าจะเป็นที่:

ก) พวกเขาจะออกบนชั้นต่างๆ

b) สองคนจะออกจากชั้นเดียวกัน

c) ทุกคนจะลงที่ชั้นเดียวกัน

สารละลาย: ลองคำนวณจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด: วิธีที่ผู้โดยสารคนแรกจะออกจากลิฟต์ได้ และวิธี - ผู้โดยสารคนที่ 2 และวิธี - ผู้โดยสารคนที่สาม ตามกฎของการคูณของชุดค่าผสม: ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ นั่นคือ ทั้งหมดชั้นทางออกบุคคลที่ 1 สามารถรวมกันได้ กับทุกคนชั้นทางออกบุคคลที่ 2 และ กับทุกคนชั้นทางออกบุคคลที่ 3

วิธีที่สองขึ้นอยู่กับ ตำแหน่งที่มีการทำซ้ำ:
- ใครก็ตามที่เข้าใจชัดเจนยิ่งขึ้น

ก) พิจารณาเหตุการณ์: - ผู้โดยสารจะลงจากชั้นต่างๆ มาคำนวณจำนวนผลลัพธ์ที่น่าพึงพอใจ:
ผู้โดยสาร 3 คนบนชั้นต่างๆ สามารถออกได้โดยใช้วิธีการเหล่านี้ ทำเหตุผลของคุณเองตามสูตร

ตามคำจำกัดความคลาสสิก:

ค) พิจารณาเหตุการณ์: - ผู้โดยสารจะลงจากชั้นเดียวกัน เหตุการณ์นี้มีผลลัพธ์ที่น่าพอใจ และตามคำจำกัดความดั้งเดิม ความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน: .

เราเข้ามาจากประตูหลัง:

b) พิจารณาเหตุการณ์: - คนสองคนจะลงจากชั้นเดียวกัน (และด้วยเหตุนี้อันที่สามจึงอยู่อีกด้านหนึ่ง).

แบบฟอร์มกิจกรรม เต็มกลุ่ม (เราเชื่อว่าไม่มีใครหลับในลิฟต์และลิฟต์จะไม่ติดซึ่งหมายความว่า

ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ต้องการคือ:

ดังนั้น, ทฤษฎีบทการบวกความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ก่อตัวเป็นกลุ่มสมบูรณ์ไม่เพียงแต่จะสะดวก แต่ยังเป็นผู้ช่วยชีวิตที่แท้จริงอีกด้วย!

คำตอบ:

เมื่อได้เศษส่วนจำนวนมากแล้ว อยู่ในสภาพที่ดีจะแสดงค่าทศนิยมโดยประมาณ มักจะปัดเศษเป็นทศนิยม 2-3-4 ตำแหน่ง

เนื่องจากเหตุการณ์ของคะแนน "a", "be", "ve" ก่อตัวเป็นกลุ่มที่สมบูรณ์จึงสมเหตุสมผลที่จะดำเนินการตรวจสอบการควบคุมและจะดีกว่าหากใช้ค่าโดยประมาณ:

ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องตรวจสอบ

บางครั้งเนื่องจากข้อผิดพลาดในการปัดเศษผลลัพธ์อาจเป็น 0.9999 หรือ 1.0001 ในกรณีนี้ค่าประมาณค่าใดค่าหนึ่งควร "ปรับ" เพื่อให้ผลรวมเป็นหน่วย "บริสุทธิ์"

ด้วยตัวเอง:

ปัญหาที่ 8

มีการโยนเหรียญ 10 เหรียญ ค้นหาความน่าจะเป็นที่:

ก) เหรียญทั้งหมดจะแสดงหัว;

b) 9 เหรียญจะลงหัว และหนึ่งเหรียญจะลงก้อย

c) หัวจะปรากฏบนเหรียญครึ่งหนึ่ง

ปัญหาที่ 9

7 คนสุ่มนั่งบนม้านั่งเจ็ดที่นั่ง ความน่าจะเป็นของสองตัวนั้นคืออะไร บุคคลบางคนพวกเขาจะอยู่ใกล้ๆ ไหม?

สารละลาย: ไม่มีปัญหากับจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด:
คน 7 คนสามารถนั่งบนม้านั่งได้หลายวิธี

แต่จะคำนวณจำนวนผลลัพธ์ที่ดีได้อย่างไร? สูตรจิ๊บจ๊อยไม่เหมาะสมและ วิธีเดียวเท่านั้น- นี่คือการใช้เหตุผลเชิงตรรกะ ก่อนอื่น ให้เราพิจารณาสถานการณ์ที่ Sasha และ Masha อยู่ข้างๆ กันที่ขอบด้านซ้ายของม้านั่ง:

เห็นได้ชัดว่าลำดับมีความสำคัญ: Sasha สามารถนั่งทางซ้าย Masha ทางด้านขวาและในทางกลับกัน แต่นั่นไม่ใช่ทั้งหมด - สำหรับทุกคนในสองกรณีนี้ คนที่เหลือสามารถนั่งในที่นั่งว่างได้ด้วยวิธีอื่น การพูดแบบผสมผสาน Sasha และ Masha สามารถจัดเรียงใหม่ในตำแหน่งที่อยู่ติดกันได้ด้วยวิธีต่อไปนี้: และสำหรับการเรียงสับเปลี่ยนแต่ละครั้ง บุคคลอื่นสามารถจัดเรียงใหม่ได้หลายวิธี

ดังนั้นตามกฎของการคูณของการรวมกันผลลัพธ์ที่ดีจึงเกิดขึ้น

แต่นั่นไม่ใช่ทั้งหมด! ข้อเท็จจริงข้างต้นเป็นจริง สำหรับแต่ละสถานที่ใกล้เคียงคู่:

เป็นที่น่าสังเกตว่าหากม้านั่งมี "โค้งมน" (เชื่อมต่อที่นั่งซ้ายและขวา)จากนั้นจะมีสถานที่ที่อยู่ติดกันคู่ที่เจ็ดเพิ่มเติมเกิดขึ้น แต่อย่าให้ฟุ้งซ่าน ตามหลักการเดียวกันของการคูณชุดค่าผสม เราได้ผลลัพธ์ที่น่าพอใจในจำนวนสุดท้าย:

ตามคำจำกัดความคลาสสิก:
- ความน่าจะเป็นที่บุคคลสองคนจะอยู่ใกล้เคียง

คำตอบ:

ปัญหาที่ 10

เรือสำราญสองลำ สีขาวและสีดำ ถูกสุ่มวางบนกระดานหมากรุกที่มี 64 เซลล์ มีโอกาสแค่ไหนที่พวกเขาจะไม่ "ตี" กัน?

อ้างอิง: กระดานหมากรุกมีขนาดเซลล์ เรือขาวดำจะ "ตี" กันเมื่อพวกมันอยู่ในอันดับเดียวกันหรือในแนวดิ่งเดียวกัน

อย่าลืมวาดแผนผังของกระดาน และดียิ่งขึ้นหากมีหมากรุกอยู่ใกล้ๆ การใช้เหตุผลบนกระดาษเป็นเรื่องหนึ่ง และอีกเรื่องหนึ่งเมื่อคุณจัดเรียงชิ้นส่วนด้วยมือของคุณเอง

ปัญหาที่ 11

ความน่าจะเป็นที่ไพ่ทั้งสี่ใบที่แจกจะมีหนึ่งเอซและคิงหนึ่งใบเป็นเท่าใด

ลองคำนวณจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด คุณสามารถนำไพ่ 4 ใบออกจากสำรับได้กี่วิธี? ทุกคนคงเข้าใจว่าเรากำลังพูดถึง จำนวนชุดค่าผสม:
โดยใช้วิธีการเหล่านี้คุณสามารถเลือกไพ่ 4 ใบจากสำรับได้

ตอนนี้เราพิจารณาผลลัพธ์ที่ดี ตามเงื่อนไข ในการเลือกไพ่ 4 ใบ จะต้องมีเอซหนึ่งใบ คิงหนึ่งใบ และซึ่งไม่ได้ระบุเป็นข้อความธรรมดา – การ์ดอีกสองใบ:

วิธีแยกเอซหนึ่งตัว
วิธีที่คุณสามารถเลือกกษัตริย์ได้หนึ่งองค์

เราไม่รวมเอซและราชาจากการพิจารณา: 36 - 4 - 4 = 28

วิธีที่คุณสามารถแยกไพ่อีกสองใบออกมาได้

ตามกฎสำหรับการคูณชุดค่าผสม:
วิธีที่คุณสามารถดึงไพ่รวมกันที่ต้องการ (1st Ace และกษัตริย์องค์ที่ 1 และอีกสองใบ)

ให้ฉันแสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับความหมายเชิงผสมของสัญกรณ์ในอีกทางหนึ่ง:
ทั้งหมดเอซรวมกัน กับทุกคนกษัตริย์และ กับแต่ละคนคู่ไพ่อื่นที่เป็นไปได้

ตามคำจำกัดความคลาสสิก:
- ความน่าจะเป็นที่ไพ่ทั้งสี่ใบที่แจกจะมีหนึ่งเอซและคิงหนึ่งใบ

หากคุณมีเวลาและความอดทน ให้ลดเศษส่วนจำนวนมากให้มากที่สุด

คำตอบ:

มากกว่า งานง่ายๆสำหรับโซลูชันอิสระ:

ปัญหาที่ 12

กล่องประกอบด้วยชิ้นส่วนคุณภาพ 15 ชิ้นและชิ้นส่วนที่ชำรุด 5 ชิ้น 2 ส่วนจะถูกลบออกโดยการสุ่ม

ค้นหาความน่าจะเป็นที่:

ก) ทั้งสองส่วนจะมีคุณภาพสูง

b) ส่วนหนึ่งจะมีคุณภาพสูงและส่วนหนึ่งจะมีข้อบกพร่อง

c) ทั้งสองส่วนมีข้อบกพร่อง

เหตุการณ์ตามรายการจะรวมกันเป็นกลุ่มที่สมบูรณ์ ดังนั้นการตรวจสอบที่นี่จึงถือเป็นการแนะนำตัวมันเอง คำตอบสั้น ๆ และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน โดยทั่วไปสิ่งที่น่าสนใจที่สุดเพิ่งเริ่มต้น!

ปัญหาที่ 13

นักเรียนรู้คำตอบของคำถามสอบ 25 ข้อจาก 60 ข้อ ความน่าจะเป็นที่จะสอบผ่านคือเท่าใดถ้าคุณต้องการตอบคำถามอย่างน้อย 2 ใน 3 ข้อ?

สารละลาย: ดังนั้น สถานการณ์จะเป็นดังนี้: ทั้งหมด 60 คำถาม โดย 25 คำถาม "ดี" และ 60 - 25 = 35 คำถาม "ไม่ดี" สถานการณ์ไม่ปลอดภัยและไม่เป็นผลดีต่อนักเรียน มาดูกันว่าโอกาสของเขาดีแค่ไหน:

วิธีที่คุณสามารถเลือก 3 คำถามจาก 60 ข้อ (จำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด).

จะสอบผ่านต้องตอบข้อ 2 หรือ 3 คำถาม เราพิจารณาชุดค่าผสมที่เหมาะสม:

วิธีเลือกคำถาม “ดี” 2 ข้อ และอันหนึ่งคือ "ไม่ดี";

วิธีที่คุณสามารถเลือกคำถาม "ดี" ได้ 3 ข้อ

โดย กฎสำหรับการเพิ่มชุดค่าผสม:
วิธีที่คุณสามารถเลือกรวมคำถาม 3 ข้อที่เหมาะกับการสอบผ่าน (ไม่มีความแตกต่างกับคำถาม "ดี") สองหรือสามข้อ).

ตามคำจำกัดความคลาสสิก:

คำตอบ:

ปัญหาที่ 14

ผู้เล่นโป๊กเกอร์จะได้รับไพ่ 5 ใบ ค้นหาความน่าจะเป็นที่:

ก) ในบรรดาไพ่เหล่านี้จะมีแจ็คสิบคู่และแจ็คหนึ่งคู่
b) ผู้เล่นจะได้รับไพ่ฟลัช (ไพ่ 5 ใบในชุดเดียวกัน)
c) ผู้เล่นจะได้รับไพ่สี่ใบที่เหมือนกัน (ไพ่ 4 ใบที่มีมูลค่าเท่ากัน)

ชุดค่าผสมใดต่อไปนี้น่าจะได้รับมากที่สุด

- ความสนใจ!หากเงื่อนไขถามคำถามที่คล้ายกัน ให้ตอบคำถามนั้น จำเป็นให้คำตอบ
อ้างอิง : โดยทั่วไปแล้วโป๊กเกอร์จะเล่นโดยใช้สำรับไพ่ 52 ใบ ซึ่งมีไพ่ 4 ดอกตั้งแต่ไพ่สองใบไปจนถึงเอซ

โป๊กเกอร์เป็นเกมทางคณิตศาสตร์ที่ดีที่สุด (ผู้ที่เล่นจะรู้ดี) ซึ่งคุณสามารถได้เปรียบอย่างเห็นได้ชัดเหนือคู่ต่อสู้ที่มีคุณสมบัติน้อยกว่า

โซลูชั่นและคำตอบ:

ภารกิจที่ 2: สารละลาย: 30 - 5 = 25 ตู้เย็นไม่มีตำหนิ

- ความน่าจะเป็นที่ตู้เย็นที่สุ่มเลือกไม่มีตำหนิ
คำตอบ :

ภารกิจที่ 4: สารละลาย: ค้นหาจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด:
วิธีที่คุณสามารถเลือกสถานที่ที่มีหมายเลขที่น่าสงสัยอยู่ และทุกๆจาก 4 ตำแหน่งนี้สามารถระบุได้ 2 หลัก (เจ็ดหรือแปด) ตามกฎของการคูณชุดค่าผสม จำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด: .
อีกวิธีหนึ่ง วิธีแก้ปัญหาสามารถแสดงรายการผลลัพธ์ทั้งหมดได้ (โชคดีที่มีเพียงไม่กี่ผลลัพธ์):

7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558

ผลลัพธ์ที่ดีมีเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น (รหัสพินที่ถูกต้อง)

ดังนั้น ตามคำจำกัดความคลาสสิก:
- ความน่าจะเป็นที่สมาชิกเข้าสู่ระบบในครั้งแรก
คำตอบ :

ภารกิจที่ 6: สารละลาย

ภารกิจที่ 6:สารละลาย : ค้นหาจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด:
ตัวเลขสามารถปรากฏบนลูกเต๋า 2 ลูกได้หลายวิธี

ก) พิจารณาเหตุการณ์: - เมื่อโยนลูกเต๋าสองลูก ผลคูณของแต้มจะเท่ากับเจ็ด ไม่มีผลลัพธ์ที่น่าพอใจสำหรับเหตุการณ์นี้
, เช่น. เหตุการณ์นี้เป็นไปไม่ได้

b) พิจารณาเหตุการณ์: - เมื่อโยนลูกเต๋าสองลูกผลคูณของแต้มจะต้องมีอย่างน้อย 20 ผลลัพธ์ต่อไปนี้สนับสนุนเหตุการณ์นี้:

รวมทั้งหมด: 8

ตามคำจำกัดความคลาสสิก:

- ความน่าจะเป็นที่ต้องการ

c) พิจารณาเหตุการณ์ตรงกันข้าม:

- ผลคูณของคะแนนจะเท่ากัน

- ผลคูณของแต้มจะเป็นคี่

เรามาดูผลลัพธ์ทั้งหมดที่เป็นผลดีต่องานนี้กัน :

ทั้งหมด: 9 ผลลัพธ์ที่น่าพอใจ

ตามคำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น:

เหตุการณ์ตรงกันข้ามจะรวมกันเป็นกลุ่มที่สมบูรณ์ ดังนั้น:

- ความน่าจะเป็นที่ต้องการ

คำตอบ :

ปัญหาที่ 8:สารละลาย วิธีที่ 2 เหรียญสามารถตกได้
อีกวิธีหนึ่ง: วิธีที่เหรียญ 1 ล้มได้และ วิธีที่เหรียญที่ 2 จะล้มได้และ … และ วิธีที่เหรียญ 10 ล้มได้ ตามกฎของการคูณการผสม 10 เหรียญสามารถล้มได้ วิธี
ก) พิจารณาเหตุการณ์: - เหรียญทั้งหมดจะแสดงหัว เหตุการณ์นี้สนับสนุนโดยผลลัพธ์เดียว ตามคำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น: .
b) พิจารณาเหตุการณ์: - 9 เหรียญจะลงหัว และ 1 เหรียญจะลงก้อย
มีอยู่ เหรียญที่อาจตกลงบนหัว ตามคำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น: .
c) พิจารณาเหตุการณ์: - หัวจะปรากฏบนเหรียญครึ่งหนึ่ง
มีอยู่ การผสมผสานที่เป็นเอกลักษณ์ของเหรียญห้าเหรียญที่สามารถลงหัวได้ ตามคำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น:
คำตอบ:

ปัญหาที่ 10:สารละลาย : ลองคำนวณจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด:
วิธีวางเรือสองลำบนกระดาน
ตัวเลือกการออกแบบอื่น: วิธีเลือกกระดานหมากรุกสองช่องและ วิธีวางเรือขาวและเรือดำในทุก ๆ จากกรณีปี 2559 ดังนั้น จำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด: .

ทีนี้มานับผลลัพธ์ที่พวกโกง "เอาชนะ" กัน ลองพิจารณาเส้นแนวนอนเส้นที่ 1 เห็นได้ชัดว่าสามารถวางตัวเลขไว้ในลักษณะใดก็ได้เช่น:

นอกจากนี้ยังสามารถจัดเรียงโกงใหม่ได้ ลองใส่เหตุผลในรูปแบบตัวเลข: วิธีที่คุณสามารถเลือกสองเซลล์ได้และ วิธีจัดเรียงโกงใหม่ในทุก ๆจากทั้งหมด 28 คดี ทั้งหมด: ตำแหน่งที่เป็นไปได้ของตัวเลขในแนวนอน
การออกแบบเวอร์ชันสั้น: วิธีที่คุณสามารถวางเรือสีขาวและสีดำไว้ที่อันดับ 1

การให้เหตุผลข้างต้นถูกต้องสำหรับแต่ละ แนวนอน ดังนั้นจำนวนชุดค่าผสมควรคูณด้วยแปด: - นอกจากนี้ เรื่องราวที่คล้ายกันนี้ถือเป็นเรื่องจริงสำหรับแนวดิ่งทั้งแปดแนว ลองคำนวณจำนวนรูปแบบทั้งหมดที่ชิ้นส่วน "ตี" กัน:

จากนั้นในเวอร์ชันที่เหลือของการจัดเรียง เรือจะไม่ "ตี" กัน:
4032 - 896 = 3136

ตามคำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น:
- ความน่าจะเป็นที่เรือสีขาวและสีดำสุ่มบนกระดานจะไม่ "ตี" กัน

คำตอบ :

ปัญหาที่ 12:สารละลาย : ทั้งหมด: 15 + 5 = 20 ชิ้นส่วนในกล่อง คำนวณจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด:
เมื่อใช้วิธีการเหล่านี้ คุณสามารถนำ 2 ส่วนออกจากกล่องได้
ก) พิจารณาเหตุการณ์: - ส่วนที่สกัดออกมาทั้งสองจะมีคุณภาพสูง
โดยใช้วิธีการเหล่านี้คุณสามารถแยกส่วนคุณภาพได้ 2 ส่วน
ตามคำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น:
b) พิจารณาเหตุการณ์: - ส่วนหนึ่งจะมีคุณภาพสูงและส่วนหนึ่งจะมีข้อบกพร่อง
วิธีที่คุณสามารถดึงส่วนคุณภาพออกมาได้ 1 ส่วนและมีข้อบกพร่อง 1 รายการ
ตามคำจำกัดความคลาสสิก:
c) พิจารณาเหตุการณ์: - ส่วนที่ถอดออกมามีตำหนิทั้งสองชิ้น
เมื่อใช้วิธีการเหล่านี้ คุณสามารถถอดชิ้นส่วนที่ชำรุด 2 ชิ้นออกได้
ตามคำจำกัดความคลาสสิก:
การตรวจสอบ: ลองคำนวณผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่รวมกันเป็นกลุ่มทั้งหมด: ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องตรวจสอบ
คำตอบ:

และตอนนี้เรามาใช้เครื่องมือการเรียนรู้ที่คุ้นเคยและไร้ปัญหาในมือของเรากันดีกว่า เหตุการณ์เต็มกลุ่ม ซึ่งประกอบด้วยว่าเมื่อโยนแล้วจะมีแต้ม 1, 2, 3, 4, 5 และ 6 ปรากฏขึ้นตามลำดับ

พิจารณาเหตุการณ์ - อันเป็นผลมาจากการขว้าง ลูกเต๋าหมุนอย่างน้อยห้าแต้ม เหตุการณ์นี้ประกอบด้วยผลลัพธ์ที่เข้ากันไม่ได้สองประการ: (ม้วนที่ 5 หรือ 6 คะแนน)
- ความน่าจะเป็นที่การทอยลูกเต๋าจะส่งผลให้มีแต้มอย่างน้อยห้าแต้ม

ลองพิจารณาเหตุการณ์ที่จะทอยได้ไม่เกิน 4 แต้มแล้วหาความน่าจะเป็น โดยทฤษฎีบทการบวกความน่าจะเป็น เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้:

บางทีผู้อ่านบางคนอาจยังไม่เข้าใจอย่างเต็มที่ สาระสำคัญความไม่เข้ากัน ลองคิดดูอีกครั้ง: นักเรียนไม่สามารถตอบคำถาม 2 ใน 3 ข้อได้ และในเวลาเดียวกันตอบคำถามทั้ง 3 ข้อ ดังนั้นเหตุการณ์ต่างๆจึงเข้ากันไม่ได้

ตอนนี้ใช้ คำจำกัดความแบบคลาสสิกเรามาค้นหาความน่าจะเป็นกันดีกว่า:

ความจริงในการผ่านการทดสอบนั้นแสดงเป็นจำนวนเงิน (ตอบ 2 ใน 3 ข้อ) หรือสำหรับคำถามทั้งหมด)- ตามทฤษฎีบทของการบวกความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้:
- ความน่าจะเป็นที่นักเรียนจะสอบผ่าน

โซลูชันนี้เทียบเท่ากันโดยสิ้นเชิง เลือกวิธีที่คุณชอบที่สุด

ปัญหาที่ 1

ร้านค้าได้รับสินค้าในกล่องจากคลังสินค้าขายส่งสี่แห่ง: สี่แห่งจากที่ 1, ห้าแห่งจากที่ 2, เจ็ดแห่งจากที่ 3 และสี่แห่งจากที่ 4 กล่องสำหรับขายจะถูกสุ่มเลือก ความน่าจะเป็นที่จะเป็นกล่องจากโกดังที่ 1 หรือ 3 เป็นเท่าใด

สารละลาย: รวมที่ร้านค้าได้รับ: 4 + 5 + 7 + 4 = 20 กล่อง

ในงานนี้ จะสะดวกกว่าหากใช้วิธีการลงทะเบียนแบบ "รวดเร็ว" โดยไม่ต้องกำหนดเวลากิจกรรมขนาดใหญ่ ในตัวอักษรละติน- ตามคำจำกัดความคลาสสิก:
- ความน่าจะเป็นที่กล่องจากคลังสินค้าที่ 1 จะถูกเลือกขาย
- ความน่าจะเป็นที่กล่องจากโกดังที่ 3 จะถูกเลือกขาย

ตามทฤษฎีบทของการบวกเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้:
- ความน่าจะเป็นที่กล่องจากคลังสินค้าที่หนึ่งหรือสามจะถูกเลือกเพื่อขาย

คำตอบ: 0,55

แน่นอนว่าปัญหาสามารถแก้ไขได้และผ่านพ้นไปได้ คำจำกัดความแบบคลาสสิกความน่าจะเป็นโดยนับจำนวนผลลัพธ์ที่ดีโดยตรง (4 + 7 = 11) แต่วิธีที่พิจารณาก็ไม่แย่ไปกว่านั้น และชัดเจนยิ่งขึ้น

ปัญหาที่ 2

ในกล่องประกอบด้วยปุ่มสีแดง 10 ปุ่มและปุ่มสีน้ำเงิน 6 ปุ่ม ปุ่มสองปุ่มจะถูกลบออกโดยการสุ่ม ความน่าจะเป็นที่จะเป็นสีเดียวกันเป็นเท่าใด?

ในทำนองเดียวกัน - คุณสามารถใช้ที่นี่ กฎผลรวมเชิงผสมแต่เธอไม่มีทางรู้หรอก...จู่ๆก็มีคนลืมไป ถ้าอย่างนั้นทฤษฎีบทสำหรับการเพิ่มความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ก็จะช่วยได้!

ความน่าจะเป็นเหตุการณ์ คืออัตราส่วนของจำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นประโยชน์ต่อเหตุการณ์หนึ่งๆ ต่อจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เท่าเทียมกันทั้งหมดของประสบการณ์ที่เหตุการณ์นี้อาจปรากฏขึ้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A เขียนแทนด้วย P(A) (โดยที่ P คืออักษรตัวแรก คำภาษาฝรั่งเศสความน่าจะเป็น - ความน่าจะเป็น) ตามคำนิยาม
(1.2.1)
โดยที่จำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นประโยชน์ต่อเหตุการณ์ A คือ - จำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้เท่าๆ กันของการทดสอบ โดยสร้างกลุ่มเหตุการณ์ที่สมบูรณ์
คำจำกัดความของความน่าจะเป็นนี้เรียกว่าคลาสสิก มันเกิดขึ้นเมื่อวันที่ ระยะเริ่มแรกการพัฒนาทฤษฎีความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:
1. ความน่าจะเป็น เหตุการณ์ที่เชื่อถือได้เท่ากับหนึ่ง ให้เราแสดงเหตุการณ์ที่เชื่อถือได้ด้วยตัวอักษร . สำหรับเหตุการณ์บางอย่างดังนั้น
(1.2.2)
2. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้คือศูนย์ ให้เราแสดงเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ด้วยตัวอักษร สำหรับเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ดังนั้น
(1.2.3)
3. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่มจะแสดงออกมา จำนวนบวกน้อยกว่าหนึ่ง เนื่องจากสำหรับเหตุการณ์สุ่มความไม่เท่าเทียมกัน หรือ เป็นที่พอใจแล้ว
(1.2.4)
4. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆ เป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน
(1.2.5)
ตามมาจากความสัมพันธ์ (1.2.2) - (1.2.4)

ตัวอย่างที่ 1โกศประกอบด้วยลูกบอล 10 ลูกที่มีขนาดและน้ำหนักเท่ากัน โดย 4 ลูกเป็นสีแดงและ 6 ลูกเป็นสีน้ำเงิน ลูกบอลหนึ่งลูกถูกดึงออกมาจากโกศ ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลที่สุ่มออกมาจะเป็นสีฟ้าเป็นเท่าไหร่?

สารละลาย- เราระบุเหตุการณ์ "ลูกบอลที่สุ่มออกมากลายเป็นสีน้ำเงิน" ด้วยตัวอักษร A การทดสอบนี้มีผลเบื้องต้นที่เป็นไปได้เท่ากัน 10 รายการ โดยมีเหตุการณ์โปรดปราน 6 รายการ A ตามสูตร (1.2.1) เราได้รับ

ตัวอย่างที่ 2ตัวเลขธรรมชาติทั้งหมดตั้งแต่ 1 ถึง 30 จะถูกเขียนบนการ์ดที่เหมือนกันและวางไว้ในโกศ หลังจากสับไพ่อย่างละเอียดแล้ว การ์ดหนึ่งใบจะถูกดึงออกจากโกศ ความน่าจะเป็นที่ตัวเลขบนไพ่ที่นำมาเป็นจำนวนทวีคูณของ 5 เป็นเท่าไหร่?

สารละลาย.ให้เราแสดงด้วยเหตุการณ์ A “ตัวเลขบนไพ่ที่นำมาเป็นจำนวนทวีคูณของ 5” ในการทดสอบนี้ มีผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้เท่ากัน 30 รายการ โดยเหตุการณ์ A ได้รับการสนับสนุนจากผลลัพธ์ 6 รายการ (ตัวเลข 5, 10, 15, 20, 25, 30) เพราะฉะนั้น,

ตัวอย่างที่ 3โยนลูกเต๋าสองลูกและคำนวณผลรวมของแต้มบนใบหน้าด้านบน จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ B โดยหน้าลูกเต๋ามีแต้มรวม 9 แต้ม

สารละลาย.ในการทดสอบนี้มีเพียง 6 2 = 36 ผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้เท่ากัน เหตุการณ์ B ได้รับการสนับสนุนจาก 4 ผลลัพธ์: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3) ดังนั้น

ตัวอย่างที่ 4- เลือกโดยการสุ่ม จำนวนธรรมชาติไม่เกิน 10 ความน่าจะเป็นที่จำนวนนี้เป็นจำนวนเฉพาะเป็นเท่าใด?

สารละลาย.ให้เราแสดงเหตุการณ์ด้วยตัวอักษร C ว่า “จำนวนที่เลือกเป็นจำนวนเฉพาะ” ใน ในกรณีนี้ n = 10, ม. = 4 ( หมายเลขเฉพาะ 2, 3, 5, 7) ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ต้องการ

ตัวอย่างที่ 5มีการโยนเหรียญสมมาตรสองเหรียญ ความน่าจะเป็นที่ด้านบนเหรียญทั้งสองมีตัวเลขเป็นเท่าใด?

สารละลาย.ให้เราแสดงเหตุการณ์ด้วยตัวอักษร D ว่า “มีตัวเลขอยู่ด้านบนเหรียญแต่ละเหรียญ” ในการทดสอบนี้ มีผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้เท่าเทียมกัน 4 แบบ: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C) (สัญลักษณ์ (G, C) หมายความว่า เหรียญใบแรกมีตราอาร์ม เหรียญที่สองมีตัวเลข) เหตุการณ์ D ได้รับการสนับสนุนจากผลลัพธ์เบื้องต้นหนึ่งรายการ (C, C) เนื่องจาก m = 1, n = 4 ดังนั้น

ตัวอย่างที่ 6ความน่าจะเป็นที่ตัวเลขสองหลักที่เลือกโดยการสุ่มจะมีตัวเลขเหมือนกันคือเท่าไร?

สารละลาย. ตัวเลขสองหลักเป็นตัวเลขตั้งแต่ 10 ถึง 99; มีทั้งหมด 90 หมายเลข โดย 9 หมายเลขมีหลักเหมือนกัน (ได้แก่ หมายเลข 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99) เนื่องจากในกรณีนี้ m = 9, n = 90 ดังนั้น
,
โดยที่ A คือเหตุการณ์ "ตัวเลขที่มีหลักเหมือนกัน"

ตัวอย่างที่ 7จากตัวอักษรของคำ ส่วนต่างจะมีการสุ่มเลือกตัวอักษรหนึ่งตัว ความน่าจะเป็นที่ตัวอักษรนี้จะเป็น: ก) สระ b) พยัญชนะ c) ตัวอักษร ชม.?

สารละลาย- คำว่าดิฟเฟอเรนเชียลมีตัวอักษร 12 ตัว โดย 5 ตัวเป็นสระ และ 7 ตัวเป็นพยัญชนะ จดหมาย ชม.ไม่มีในคำนี้ ให้เราแสดงถึงเหตุการณ์: A - "อักษรสระ", B - "อักษรพยัญชนะ", C - "ตัวอักษร ชม." จำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นที่น่าพอใจ: - สำหรับเหตุการณ์ A - สำหรับเหตุการณ์ B - สำหรับเหตุการณ์ C เนื่องจาก n = 12 ดังนั้น
, และ .

ตัวอย่างที่ 8มีการโยนลูกเต๋าสองลูกและจดจำนวนแต้มที่ด้านบนของลูกเต๋าแต่ละลูก ค้นหาความน่าจะเป็นที่ทอยลูกเต๋าทั้งคู่ หมายเลขเดียวกันคะแนน

สารละลาย.ลองเขียนเหตุการณ์นี้ด้วยตัวอักษร A กัน เหตุการณ์ A ได้รับการสนับสนุนจากผลลัพธ์เบื้องต้น 6 รายการ: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6 ;6). จำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้เท่ากันซึ่งก่อให้เกิดกลุ่มเหตุการณ์ที่สมบูรณ์ ในกรณีนี้ n=6 2 =36 ซึ่งหมายความว่าความน่าจะเป็นที่ต้องการ

ตัวอย่างที่ 9หนังสือมี 300 หน้า ความน่าจะเป็นที่หน้าเว็บที่ถูกเปิดแบบสุ่มจะมีคือเท่าใด หมายเลขซีเรียล, หลายเท่าของ 5?

สารละลาย.จากเงื่อนไขของปัญหา ผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้เท่าเทียมกันทั้งหมดซึ่งก่อให้เกิดกลุ่มเหตุการณ์ที่สมบูรณ์จะเป็น n = 300 ในจำนวนนี้ m = 60 เห็นด้วยกับการเกิดขึ้นของเหตุการณ์ที่ระบุ อันที่จริง จำนวนที่เป็นพหุคูณของ 5 จะมีรูปแบบ 5k โดยที่ k คือจำนวนธรรมชาติ และ ดังนั้น - เพราะฉะนั้น,
โดยที่ A - เหตุการณ์ “เพจ” มีหมายเลขลำดับที่เป็นจำนวนทวีคูณของ 5"

ตัวอย่างที่ 10- โยนลูกเต๋าสองลูกและคำนวณผลรวมของแต้มบนใบหน้าด้านบน อะไรจะเป็นไปได้มากกว่ากัน - ได้ทั้งหมด 7 หรือ 8?

สารละลาย- ให้เราแสดงถึงเหตุการณ์: A - "กลิ้ง 7 แต้ม", B - "กลิ้ง 8 แต้ม" เหตุการณ์ A ได้รับการสนับสนุนจากผลลัพธ์เบื้องต้น 6 รายการ: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1) และเหตุการณ์ B ได้รับการสนับสนุน โดย 5 ผลลัพธ์: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2) ผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้เท่าเทียมกันทั้งหมดคือ n = 6 2 = 36 ดังนั้น และ .

ดังนั้น P(A)>P(B) กล่าวคือ การได้คะแนนรวม 7 แต้มมีโอกาสมากกว่าการได้คะแนนรวม 8 คะแนน

งาน

1. สุ่มเลือกจำนวนธรรมชาติที่ไม่เกิน 30 ความน่าจะเป็นที่จำนวนนี้จะเป็นผลคูณของ 3 เป็นเท่าใด
2. ในโกศ กสีแดงและ ขลูกบอลสีน้ำเงิน มีขนาดและน้ำหนักเท่ากัน ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลสุ่มจากโกศนี้จะเป็นสีน้ำเงินเป็นเท่าใด
3. สุ่มเลือกจำนวนไม่เกิน 30 ความน่าจะเป็นที่จำนวนนี้จะเป็นตัวหารของ 30 เป็นเท่าใด
4. ในโกศ กสีน้ำเงินและ ขลูกบอลสีแดง มีขนาดและน้ำหนักเท่ากัน นำลูกบอลหนึ่งลูกออกจากโกศนี้แล้วพักไว้ ลูกบอลนี้กลายเป็นสีแดง หลังจากนั้นจะมีการดึงลูกบอลอีกลูกออกมาจากโกศ จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลลูกที่สองจะเป็นสีแดงด้วย
5. สุ่มเลือกหมายเลขประจำชาติไม่เกิน 50 ความน่าจะเป็นที่หมายเลขนี้เป็นจำนวนเฉพาะ?
6. โยนลูกเต๋าสามลูกแล้วคำนวณผลรวมของแต้มบนใบหน้าด้านบน มีโอกาสอะไรมากกว่ากันที่จะได้รับคะแนนรวม 9 หรือ 10 คะแนน?
7. โยนลูกเต๋าสามลูกแล้วคำนวณผลรวมของคะแนนที่ทอยได้ อะไรจะเป็นไปได้มากกว่ากัน - ที่จะได้คะแนนรวม 11 (เหตุการณ์ A) หรือ 12 คะแนน (เหตุการณ์ B)

คำตอบ

1. 1/3. 2 . ข/(ก+ข). 3 . 0,2. 4 . (ข-1)/(ก+ข-1). 5 .0,3.6 - p 1 = 25/216 - ความน่าจะเป็นที่จะได้คะแนนรวม 9 คะแนน p 2 = 27/216 - ความน่าจะเป็นที่จะได้คะแนนรวม 10 คะแนน หน้า 2 > หน้า 1 7 - P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B)

คำถาม

1. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เรียกว่าอะไร?
2. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เชื่อถือได้คือเท่าไร?
3. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้คืออะไร?
4. อะไรคือขีดจำกัดของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่ม?
5. อะไรคือขีดจำกัดของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆ?
6. คำจำกัดความของความน่าจะเป็นแบบใดเรียกว่าคลาสสิก

ความน่าจะเป็น- ตัวเลขระหว่าง 0 ถึง 1 ที่สะท้อนถึงโอกาสที่เหตุการณ์สุ่มจะเกิดขึ้น โดยที่ 0 คือ การขาดงานโดยสมบูรณ์ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น และ 1 หมายความว่าเหตุการณ์ที่เป็นปัญหาจะเกิดขึ้นอย่างแน่นอน

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E คือตัวเลขตั้งแต่ 1
ผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดร่วมกันจะเท่ากับ 1

ความน่าจะเป็นเชิงประจักษ์- ความน่าจะเป็นซึ่งคำนวณเป็นความถี่สัมพัทธ์ของเหตุการณ์ในอดีต ที่ดึงมาจากการวิเคราะห์ข้อมูลในอดีต

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่หายากมากไม่สามารถคำนวณเชิงประจักษ์ได้

ความน่าจะเป็นแบบอัตนัย- ความน่าจะเป็นขึ้นอยู่กับส่วนบุคคล การประเมินอัตนัยเหตุการณ์โดยไม่คำนึงถึงข้อมูลทางประวัติศาสตร์ นักลงทุนที่ตัดสินใจซื้อและขายหุ้นมักจะพิจารณาจากความน่าจะเป็นเชิงอัตนัย

ความน่าจะเป็นก่อนหน้า -

โอกาสคือ 1 ใน... (odds) ที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้นผ่านแนวคิดเรื่องความน่าจะเป็น โอกาสที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้นจะแสดงออกมาด้วยความน่าจะเป็นดังนี้ P/(1-P)

เช่น ถ้าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์คือ 0.5 โอกาสของเหตุการณ์จะเป็น 1 ใน 2 เพราะ 0.5/(1-0.5)

โอกาสที่เหตุการณ์จะไม่เกิดขึ้นคำนวณโดยใช้สูตร (1-P)/P

ความน่าจะเป็นที่ไม่สอดคล้องกัน- ตัวอย่างเช่น ราคาหุ้นของบริษัท A คำนึงถึงเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ E 85% และราคาหุ้นของบริษัท B คำนึงถึงเพียง 50% เท่านั้น สิ่งนี้เรียกว่าความน่าจะเป็นที่ไม่สอดคล้องกัน ตามทฤษฎีบทการเดิมพันของดัตช์ ความน่าจะเป็นที่ไม่สอดคล้องกันจะสร้างโอกาสในการทำกำไร

ความน่าจะเป็นแบบไม่มีเงื่อนไขคือคำตอบของคำถาม “ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้นเป็นเท่าใด”

ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข - นี่คือคำตอบของคำถาม: “ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A คืออะไร หากเหตุการณ์ B เกิดขึ้น” ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขแสดงเป็น P(A|B)

ความน่าจะเป็นร่วมกัน- ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A และ B จะเกิดขึ้นพร้อมกัน แสดงเป็น P(AB)

P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)

P(AB) = P(A|B)*P(B)

กฎสำหรับการสรุปความน่าจะเป็น:

ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A หรือเหตุการณ์ B จะเกิดขึ้นคือ

P (A หรือ B) = P(A) + P(B) - P(AB) (2)

ถ้าเหตุการณ์ A และ B เกิดขึ้นจากกัน

P (A หรือ B) = P(A) + P(B)

เหตุการณ์อิสระ - เหตุการณ์ A และ B เป็นอิสระต่อกัน ถ้า

P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B)

นั่นคือเป็นลำดับผลลัพธ์โดยที่ค่าความน่าจะเป็นคงที่จากเหตุการณ์หนึ่งไปอีกเหตุการณ์หนึ่ง
การโยนเหรียญเป็นตัวอย่างหนึ่งของเหตุการณ์ดังกล่าว - ผลลัพธ์ของการทอยครั้งต่อไปในแต่ละครั้งไม่ได้ขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ของการทอยครั้งก่อน

เหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพา- นี่คือเหตุการณ์ที่ความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์หนึ่งขึ้นอยู่กับความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์อื่น

กฎสำหรับการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ:
ถ้าเหตุการณ์ A และ B เป็นอิสระต่อกัน

ป(AB) = ป(ก) * ป(B) (3)

กฎความน่าจะเป็นทั้งหมด:

P(A) = P(AS) + P(AS") = P(A|S")P(S) + P (A|S")P(S") (4)

S และ S" เป็นเหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกัน

มูลค่าที่คาดหวังตัวแปรสุ่มคือค่าเฉลี่ยของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ ตัวแปรสุ่ม- สำหรับเหตุการณ์ X ความคาดหวังจะแสดงเป็น E(X)

สมมติว่าเรามีค่า 5 ค่าของเหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกันซึ่งมีความน่าจะเป็นที่แน่นอน (เช่น รายได้ของบริษัทเป็นเช่นนั้นและจำนวนเงินที่มีความน่าจะเป็นดังกล่าว) ค่าที่คาดหวังคือผลรวมของผลลัพธ์ทั้งหมดคูณด้วยความน่าจะเป็น:

การกระจายตัวของตัวแปรสุ่มคือค่าคาดหวังของการเบี่ยงเบนกำลังสองของตัวแปรสุ่มจากค่าที่คาดหวัง:

ส 2 = อี( 2 ) (6)

ค่าคาดหวังแบบมีเงื่อนไขคือค่าคาดหวังของตัวแปรสุ่ม X โดยมีเงื่อนไขว่าเหตุการณ์ S ได้เกิดขึ้นแล้ว

ต้องการทราบอัตราต่อรองทางคณิตศาสตร์ของการเดิมพันของคุณที่จะประสบความสำเร็จหรือไม่? มีข่าวดีสำหรับคุณสองประการ ประการแรก: ในการคำนวณความสามารถข้ามประเทศ คุณไม่จำเป็นต้องคำนวณที่ซับซ้อนและใช้เวลามากนัก การใช้สูตรง่ายๆ ก็เพียงพอแล้วซึ่งจะใช้เวลาสองสามนาทีในการทำงาน ประการที่สอง: หลังจากอ่านบทความนี้แล้ว คุณสามารถคำนวณความน่าจะเป็นที่การซื้อขายใดๆ ของคุณผ่านได้อย่างง่ายดาย

คำนวณเปอร์เซ็นต์ความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ของเหตุการณ์ตามสำนักงานของเจ้ามือรับแทง
คำนวณความน่าจะเป็นโดยใช้ข้อมูลทางสถิติด้วยตัวเอง
ค้นหามูลค่าของการเดิมพัน โดยคำนึงถึงความน่าจะเป็นทั้งสองอย่าง

กระโดดอย่างรวดเร็ว

การคำนวณความน่าจะเป็นที่รวมอยู่ในอัตราต่อรองของเจ้ามือรับแทง

ปบี=(1/K)*100%,

โดยที่ P B คือความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ตามสำนักงานของเจ้ามือรับแทง

K – อัตราต่อรองเจ้ามือรับแทงสำหรับผลลัพธ์

การคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์โดยผู้เล่น

ประเด็นที่สองของแผนของเราคือการประเมินความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ด้วยตัวเราเอง เนื่องจากเราไม่สามารถคำนึงถึงพารามิเตอร์ต่างๆ เช่น แรงจูงใจและโทนของเกมในทางคณิตศาสตร์ได้ เราจะใช้แบบจำลองที่เรียบง่ายและใช้เฉพาะสถิติจากการประชุมครั้งก่อนๆ ในการคำนวณความน่าจะเป็นทางสถิติของผลลัพธ์ เราใช้สูตร:

ปและ=(อืม/ม)*100%,

ที่ไหนปและ– ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตามผู้เล่น;

UM – จำนวนการแข่งขันที่ประสบความสำเร็จซึ่งมีเหตุการณ์ดังกล่าวเกิดขึ้น

M – จำนวนการแข่งขันทั้งหมด

และเราเรียนรู้ทั้งหมดนี้ด้วยสถิติของเกมก่อนหน้าเท่านั้น! โดยปกติแล้ว จะไม่สามารถคำนวณความน่าจะเป็นดังกล่าวสำหรับทีมหรือผู้เล่นใหม่ได้ ดังนั้นกลยุทธ์การเดิมพันนี้จึงเหมาะสำหรับการแข่งขันที่ฝ่ายตรงข้ามพบกันมากกว่าหนึ่งครั้งเท่านั้น ตอนนี้เรารู้วิธีกำหนดเจ้ามือรับแทงและความน่าจะเป็นของผลลัพธ์แล้ว และเรามีความรู้ทั้งหมดที่จะไปยังขั้นตอนสุดท้าย

การกำหนดมูลค่าของการเดิมพัน

วี=ปและ*K-100%,

โดยที่ V คือมูลค่า

P I – ความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ตามนักเดิมพัน

K – อัตราต่อรองเจ้ามือรับแทงสำหรับผลลัพธ์

สมมติว่าเราต้องการเดิมพันชัยชนะของมิลานในการแข่งขันกับโรม่า และเราคำนวณว่าความน่าจะเป็นที่ “แดง-ดำ” จะชนะคือ 45% เจ้ามือรับแทงเสนออัตราต่อรองให้เรา 2.5 สำหรับผลลัพธ์นี้ การเดิมพันดังกล่าวจะมีคุณค่าหรือไม่? เราทำการคำนวณ: V=45%*2.5-100%=12.5% เยี่ยมเลย เรามีการเดิมพันที่คุ้มค่าพร้อมโอกาสผ่านที่ดี