Semakin tinggi probabilitasnya, semakin pasti hasilnya. Teori probabilitas dan konsep dasar teori

Awalnya hanya sekedar kumpulan informasi dan observasi empiris tentang permainan dadu, teori probabilitas menjadi ilmu yang menyeluruh. Yang pertama memberikan kerangka matematis adalah Fermat dan Pascal.

Dari pemikiran tentang kekekalan hingga teori probabilitas

Dua kepribadian yang sangat berhutang budi pada teori probabilitas rumus mendasar, Blaise Pascal dan Thomas Bayes, dikenal sebagai orang yang sangat religius, yang terakhir adalah pendeta Presbiterian. Rupanya, keinginan kedua ilmuwan ini untuk membuktikan kekeliruan pendapat tentang Fortune tertentu, yang menganugerahkan keberuntungan kepada kesayangannya, memberi dorongan pada penelitian di bidang ini. Memang benar, permainan judi apa pun dengan kemenangan dan kekalahannya hanyalah simfoni prinsip matematika.

Terima kasih atas semangat dari pria de Mere, yang sama Sebagai seorang penjudi dan orang yang tidak peduli dengan sains, Pascal terpaksa menemukan cara untuk menghitung probabilitas. De Mere tertarik dengan pertanyaan berikut: “Berapa kali Anda perlu melempar dua dadu secara berpasangan agar peluang mendapatkan 12 poin melebihi 50%?” Pertanyaan kedua, yang sangat menarik perhatian pria tersebut: “Bagaimana cara membagi taruhan di antara para peserta dalam permainan yang belum selesai?” Tentu saja Pascal berhasil menjawab kedua pertanyaan de Mere yang tanpa disadari menjadi penggagas perkembangan teori probabilitas. Menariknya, sosok de Mere tetap dikenal di bidang ini, dan bukan di bidang sastra.

Sebelumnya, tidak ada ahli matematika yang pernah mencoba menghitung probabilitas suatu kejadian, karena diyakini bahwa ini hanyalah solusi tebakan. Blaise Pascal memberikan definisi pertama tentang probabilitas suatu peristiwa dan menunjukkan bahwa itu adalah angka spesifik yang dapat dibenarkan secara matematis. Teori probabilitas telah menjadi dasar statistik dan digunakan secara luas dalam ilmu pengetahuan modern.

Apa itu keacakan

Mengingat ujian yang bisa diulang jumlah yang tak terbatas kali, maka kita dapat mendefinisikan kejadian acak. Ini adalah salah satu kemungkinan hasil percobaan.

Pengalaman adalah implementasi tindakan tertentu dalam kondisi konstan.

Untuk dapat mengerjakan hasil percobaan, kejadian biasanya dilambangkan dengan huruf A, B, C, D, E...

Kemungkinan suatu kejadian acak

Untuk memulai bagian matematis dari probabilitas, perlu didefinisikan semua komponennya.

Probabilitas suatu peristiwa adalah ukuran numerik dari kemungkinan suatu peristiwa (A atau B) terjadi sebagai akibat dari suatu pengalaman. Probabilitas dilambangkan dengan P(A) atau P(B).

Dalam teori probabilitas mereka membedakan:

dapat diandalkan peristiwa tersebut dijamin terjadi akibat pengalaman P(Ω) = 1;
mustahil kejadian tersebut tidak akan pernah terjadi P(Ø) = 0;
acak suatu peristiwa terletak antara dapat diandalkan dan tidak mungkin, yaitu peluang terjadinya mungkin, tetapi tidak dijamin (probabilitas suatu peristiwa acak selalu dalam kisaran 0≤Р(А)≤ 1).

Hubungan antar peristiwa

Baik satu maupun jumlah kejadian A+B dipertimbangkan, bila kejadian tersebut dihitung ketika paling sedikit salah satu komponen, A atau B, atau kedua-duanya, A dan B, terpenuhi.

Sehubungan satu sama lain, peristiwa dapat berupa:

Sama mungkinnya.
Kompatibel.
Tidak kompatibel.
Berlawanan (saling eksklusif).
Bergantung.

Jika dua peristiwa dapat terjadi dengan probabilitas yang sama, lalu mereka sama mungkinnya.

Jika terjadinya peristiwa A tidak mengurangi peluang terjadinya peristiwa B menjadi nol, maka mereka kompatibel.

Jika peristiwa A dan B tidak pernah terjadi secara bersamaan dalam satu pengalaman, maka disebut tidak kompatibel. lempar koin - contoh yang baik: kemunculan kepala secara otomatis berarti tidak munculnya kepala.

Peluang jumlah kejadian-kejadian yang tidak sesuai tersebut terdiri dari jumlah peluang masing-masing kejadian:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Jika terjadinya suatu peristiwa membuat terjadinya peristiwa lain tidak mungkin terjadi, maka disebut sebaliknya. Kemudian salah satunya ditetapkan sebagai A, dan yang lainnya - Ā (dibaca “bukan A”). Terjadinya kejadian A berarti Ā tidak terjadi. Kedua kejadian ini membentuk grup lengkap dengan jumlah probabilitas sama dengan 1.

Peristiwa yang saling bergantung memiliki pengaruh timbal balik, mengurangi atau meningkatkan kemungkinan satu sama lain.

Hubungan antar peristiwa. Contoh

Dengan menggunakan contoh, akan lebih mudah untuk memahami prinsip-prinsip teori probabilitas dan kombinasi kejadian.

Percobaan yang akan dilakukan terdiri dari mengeluarkan bola-bola dari dalam kotak, dan hasil dari setiap percobaan merupakan hasil dasar.

Suatu peristiwa adalah salah satu kemungkinan hasil suatu percobaan - bola merah, bola biru, bola bernomor enam, dan seterusnya.

Tes No.1. Ada 6 bola yang terlibat, tiga di antaranya berwarna biru dengan angka ganjil, dan tiga lainnya berwarna merah dengan angka genap.

Tes No.2. 6 bola terlibat biru dengan angka dari satu sampai enam.

Berdasarkan contoh ini, kita dapat memberi nama kombinasi:

Acara yang dapat diandalkan. Dalam bahasa Spanyol Nomor 2 kejadian “dapatkan bola biru” dapat diandalkan, karena peluang terjadinya sama dengan 1, karena semua bola berwarna biru dan tidak boleh meleset. Sedangkan kejadian “dapatkan bola dengan nomor 1” bersifat acak.
Bukan peristiwa yang mungkin terjadi. Dalam bahasa Spanyol Nomor 1 dengan bola biru dan merah, kejadian “mendapatkan bola ungu” tidak mungkin terjadi, karena peluang terjadinya adalah 0.
Peristiwa yang sama mungkin terjadi. Dalam bahasa Spanyol Nomor 1, kejadian “mendapatkan bola bernomor 2” dan “mendapatkan bola bernomor 3” sama-sama mungkin terjadi, dan kejadian “mendapatkan bola bernomor genap” dan “mendapatkan bola bernomor 2” ”memiliki probabilitas yang berbeda-beda.
Acara yang Kompatibel. Dapatkan angka enam dua kali berturut-turut sambil melempar dadu- ini adalah acara yang kompatibel.
Peristiwa yang tidak kompatibel. Dalam bahasa Spanyol yang sama Nomor 1, kejadian “mendapatkan bola merah” dan “mendapatkan bola bernomor ganjil” tidak dapat digabungkan dalam pengalaman yang sama.
Peristiwa yang berlawanan. Paling contoh cemerlang Ini adalah pelemparan koin, dimana menggambar kepala sama dengan tidak menggambar ekor, dan jumlah probabilitasnya selalu 1 (grup penuh).
Peristiwa yang Bergantung. Jadi, dalam bahasa Spanyol No 1, Anda dapat menetapkan tujuan menggambar bola merah dua kali berturut-turut. Diambilnya pertama kali atau tidak akan mempengaruhi kemungkinan diambilnya kedua kalinya.

Terlihat bahwa kejadian pertama berpengaruh signifikan terhadap probabilitas kejadian kedua (40% dan 60%).

Rumus probabilitas kejadian

Transisi dari meramal ke data akurat terjadi melalui penerjemahan topik ke dalam bidang matematika. Artinya, penilaian mengenai kejadian acak seperti “probabilitas tinggi” atau “probabilitas minimal” dapat diterjemahkan ke dalam data numerik tertentu. Sudah diperbolehkan untuk mengevaluasi, membandingkan dan memasukkan materi tersebut ke dalam perhitungan yang lebih kompleks.

Dari sudut pandang perhitungan, penentuan peluang suatu peristiwa adalah rasio jumlah hasil dasar positif dengan jumlah semua kemungkinan hasil pengalaman mengenai suatu peristiwa tertentu. Probabilitas dilambangkan dengan P(A), dimana P adalah singkatan dari kata “probabilite”, yang diterjemahkan dari bahasa Perancis sebagai “probabilitas”.

Jadi, rumus peluang suatu kejadian adalah:

Dimana m adalah banyaknya hasil yang diinginkan untuk kejadian A, n adalah jumlah semua hasil yang mungkin terjadi pada percobaan ini. Dalam hal ini, peluang suatu kejadian selalu berada antara 0 dan 1:

0 ≤ P(A)≤ 1.

Perhitungan peluang suatu kejadian. Contoh

Mari kita ambil bahasa Spanyol. Nomor 1 dengan bola seperti yang telah dijelaskan sebelumnya: 3 bola biru bernomor 1/3/5 dan 3 bola merah bernomor 2/4/6.

Berdasarkan pengujian ini, beberapa masalah berbeda dapat dipertimbangkan:

A - bola merah rontok. Ada 3 bola merah, dan totalnya ada 6 pilihan contoh paling sederhana, yang peluang kejadiannya sama dengan P(A)=3/6=0,5.
B - menggulung bilangan genap. Ada 3 bilangan genap (2,4,6), dan jumlah pilihan numerik yang mungkin adalah 6. Peluang kejadian ini adalah P(B)=3/6=0,5.
C - kemunculan angka yang lebih besar dari 2. Ada 4 pilihan (3,4,5,6) dari jumlah total kemungkinan hasil 6. Peluang kejadian C sama dengan P(C)=4 /6=0,67.

Terlihat dari perhitungan, kejadian C mempunyai probabilitas tinggi, karena jumlah kemungkinan hasil positif lebih tinggi dibandingkan A dan B.

Peristiwa yang tidak kompatibel

Peristiwa seperti itu tidak bisa muncul secara bersamaan dalam pengalaman yang sama. Seperti dalam bahasa Spanyol Nomor 1 tidak mungkin mendapatkan bola biru dan merah secara bersamaan. Artinya, Anda bisa mendapatkan bola biru atau merah. Demikian pula, angka genap dan angka ganjil tidak dapat muncul dalam dadu secara bersamaan.

Peluang dua kejadian dianggap sebagai peluang jumlah atau hasil kali keduanya. Jumlah kejadian A+B dianggap suatu kejadian yang terdiri dari terjadinya kejadian A atau B, dan hasil kali AB adalah terjadinya keduanya. Misalnya munculnya dua angka enam sekaligus pada muka dua dadu dalam sekali lemparan.

Jumlah beberapa peristiwa adalah peristiwa yang mengandaikan terjadinya paling sedikit salah satu peristiwa tersebut. Produksi beberapa peristiwa merupakan kejadian bersama dari semuanya.

Dalam teori probabilitas, sebagai aturan, penggunaan konjungsi “dan” menunjukkan jumlah, dan konjungsi “atau” - perkalian. Rumus dengan contoh akan membantu Anda memahami logika penjumlahan dan perkalian dalam teori probabilitas.

Probabilitas jumlah kejadian yang tidak kompatibel

Jika probabilitas dipertimbangkan kejadian yang tidak kompatibel, maka peluang jumlah kejadian sama dengan penjumlahan peluangnya:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Misalnya: mari kita hitung probabilitasnya dalam bahasa Spanyol. Nomor 1 dengan bola biru dan merah, akan muncul angka antara 1 dan 4. Kita akan menghitung bukan dalam satu tindakan, tetapi dengan jumlah probabilitas komponen dasar. Jadi, dalam percobaan tersebut hanya terdapat 6 bola atau 6 dari seluruh kemungkinan hasil. Bilangan yang memenuhi syarat adalah 2 dan 3. Peluang terambilnya angka 2 adalah 1/6, peluang terambilnya angka 3 juga 1/6. Peluang terambilnya angka antara 1 dan 4 adalah:

Peluang munculnya jumlah kejadian-kejadian yang tidak selaras dalam suatu kelompok yang lengkap adalah 1.

Jadi, jika dalam percobaan kubus kita menjumlahkan peluang munculnya semua bilangan, maka hasilnya adalah satu.

Hal ini juga berlaku untuk kejadian yang berlawanan, misalnya pada percobaan dengan mata uang logam, dimana salah satu sisinya adalah kejadian A, dan sisi lainnya adalah kejadian sebaliknyaĀ, seperti diketahui,

P(A) + P(Ā) = 1

Kemungkinan terjadinya peristiwa yang tidak kompatibel

Perkalian probabilitas digunakan ketika mempertimbangkan terjadinya dua atau lebih kejadian yang tidak sesuai dalam satu observasi. Peluang munculnya kejadian A dan B secara bersamaan sama dengan hasil kali peluangnya, atau:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Misalnya, kemungkinan dalam bahasa Spanyol No 1, sebagai hasil dari dua percobaan, bola biru akan muncul dua kali, sama dengan

Artinya, peluang terjadinya suatu peristiwa ketika, sebagai hasil dari dua kali percobaan mengambil bola, hanya bola biru yang terambil adalah 25%. Sangat mudah untuk melakukan eksperimen praktis mengenai masalah ini dan melihat apakah hal ini benar-benar terjadi.

Acara bersama

Peristiwa-peristiwa dianggap gabungan bila terjadinya salah satu peristiwa dapat bertepatan dengan terjadinya peristiwa lain. Terlepas dari kenyataan bahwa mereka digabungkan, kemungkinan terjadinya peristiwa independen dipertimbangkan. Misalnya, melempar dua dadu dapat memberikan hasil ketika angka 6 muncul pada keduanya. Meskipun kejadiannya bertepatan dan muncul pada saat yang sama, keduanya tidak tergantung satu sama lain - hanya satu angka enam yang bisa keluar, dadu kedua tidak memilikinya. pengaruh terhadapnya.

Probabilitas kejadian-kejadian gabungan dianggap sebagai probabilitas jumlah kejadian-kejadian tersebut.

Probabilitas jumlah kejadian gabungan. Contoh

Peluang jumlah kejadian A dan B, yang digabungkan satu sama lain, sama dengan jumlah peluang kejadian dikurangi peluang terjadinya (yaitu, kejadian gabungannya):

sambungan R (A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)

Misalkan peluang mengenai sasaran dengan satu tembakan adalah 0,4. Kemudian kejadian A mengenai sasaran pada percobaan pertama, B pada percobaan kedua. Peristiwa-peristiwa ini bersifat gabungan, karena ada kemungkinan Anda dapat mengenai sasaran dengan tembakan pertama dan kedua. Tapi peristiwa tidak bergantung. Berapa peluang terjadinya sasaran dengan dua tembakan (setidaknya dengan satu tembakan)? Menurut rumus:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Jawaban dari pertanyaan tersebut adalah: “Peluang mengenai sasaran dengan dua tembakan adalah 64%.”

Rumus peluang suatu kejadian ini juga dapat diterapkan pada kejadian-kejadian yang tidak sesuai, dimana peluang terjadinya gabungan suatu kejadian P(AB) = 0. Artinya peluang jumlah kejadian-kejadian yang tidak sesuai dapat dianggap sebagai kasus khusus. dari formula yang diusulkan.

Geometri probabilitas untuk kejelasan

Menariknya, probabilitas jumlah kejadian gabungan dapat direpresentasikan sebagai dua area A dan B, yang saling berpotongan. Terlihat dari gambar, luas penyatuannya sama dengan luas total dikurangi luas perpotongannya. Penjelasan geometris ini membuat rumus yang tampaknya tidak logis ini menjadi lebih mudah dipahami. Perhatikan itu solusi geometris- tidak jarang dalam teori probabilitas.

Menentukan probabilitas dari jumlah banyak (lebih dari dua) kejadian gabungan cukup rumit. Untuk menghitungnya, Anda perlu menggunakan rumus yang disediakan untuk kasus ini.

Peristiwa yang Bergantung

Peristiwa disebut dependen jika terjadinya salah satu peristiwa (A) mempengaruhi peluang terjadinya peristiwa lain (B). Selain itu, pengaruh terjadinya peristiwa A dan tidak terjadinya peristiwa A juga diperhitungkan. Meskipun peristiwa-peristiwa disebut bergantung menurut definisi, hanya satu peristiwa yang bergantung (B). Probabilitas biasa dilambangkan dengan P(B) atau probabilitas kejadian independen. Dalam kasus kejadian dependen, konsep baru diperkenalkan - probabilitas bersyarat P A (B), yaitu probabilitas kejadian dependen B jika terjadinya peristiwa A (hipotesis) yang menjadi sandarannya.

Namun kejadian A juga bersifat acak, sehingga juga mempunyai peluang yang perlu dan dapat diperhitungkan dalam perhitungan yang dilakukan. Contoh berikut akan menunjukkan cara menangani peristiwa dependen dan hipotesis.

Contoh penghitungan probabilitas kejadian dependen

Contoh yang baik untuk menghitung kejadian dependen adalah setumpuk kartu standar.

Dengan menggunakan setumpuk 36 kartu sebagai contoh, mari kita lihat kejadian-kejadian yang saling bergantung. Kita perlu menentukan peluang terambilnya kartu kedua dari tumpukan kartu wajik jika kartu pertama yang terambil adalah:

Bubnovaya.
Warna yang berbeda.

Jelas sekali, peluang kejadian kedua B bergantung pada A pertama. Jadi, jika pilihan pertama benar, bahwa terdapat 1 kartu (35) dan 1 wajik (8) lebih sedikit di dek, peluang kejadian B:

RA (B) =8/35=0,23

Jika pilihan kedua benar, maka dek sekarang memiliki 35 kartu, dan nomor penuh rebana (9), maka peluang kejadian selanjutnya B:

RA (B) =9/35=0,26.

Terlihat jika kejadian A dikondisikan pada kartu pertama adalah wajik, maka peluang kejadian B berkurang, begitu pula sebaliknya.

Mengalikan kejadian-kejadian dependen

Berdasarkan bab sebelumnya, kita menerima peristiwa pertama (A) sebagai fakta, namun pada hakikatnya bersifat acak. Peluang terjadinya kejadian yaitu terambilnya wajik dari setumpuk kartu adalah sama dengan:

P(A) = 9/36=1/4

Karena teori tidak ada dengan sendirinya, namun dimaksudkan untuk tujuan praktis, wajar untuk dicatat bahwa yang paling sering dibutuhkan adalah probabilitas untuk menghasilkan peristiwa-peristiwa yang saling bergantung.

Menurut teorema perkalian peluang kejadian-kejadian yang saling bergantung, peluang terjadinya kejadian-kejadian yang saling bergantungan A dan B sama dengan peluang suatu kejadian A, dikalikan dengan peluang bersyarat dari kejadian B (bergantung pada A):

P(AB) = P(A) *PA(B)

Kemudian, pada contoh dek, peluang terambilnya dua kartu dengan jenis wajik adalah:

9/36*8/35=0,0571, atau 5,7%

Dan peluang terambilnya bukan intan terlebih dahulu, baru kemudian intan, adalah:

27/36*9/35=0,19, atau 19%

Terlihat bahwa peluang terjadinya kejadian B lebih besar dengan syarat diambilnya kartu pertama dari jenis selain wajik. Hasil ini cukup logis dan dapat dimengerti.

Probabilitas total suatu kejadian

Ketika suatu masalah dengan probabilitas bersyarat menjadi multifaset, maka masalah tersebut tidak dapat dihitung menggunakan metode konvensional. Apabila terdapat lebih dari dua hipotesis yaitu A1,A2,…,A n, ..membentuk kelompok kejadian lengkap dengan ketentuan:

P(A saya)>0, saya=1,2,…
A i ∩ A j =Ø,i≠j.
Σ k A k =Ω.

Jadi rumusnya kemungkinan penuh untuk acara B di kelompok penuh kejadian acak A1,A2,…,Dan n sama dengan:

Melihat ke masa depan

Kemungkinan suatu kejadian acak sangat diperlukan dalam banyak bidang ilmu pengetahuan: ekonometrik, statistik, fisika, dll. Karena beberapa proses tidak dapat dijelaskan secara deterministik, karena proses itu sendiri bersifat probabilistik, maka diperlukan metode kerja khusus. Teori probabilitas suatu peristiwa dapat digunakan dalam bidang teknologi apa pun sebagai cara untuk menentukan kemungkinan terjadinya kesalahan atau kegagalan fungsi.

Kita dapat mengatakan bahwa dengan mengenali probabilitas, kita mengambil langkah teoretis ke masa depan, melihatnya melalui prisma rumus.

Probabilitas adalah derajat (ukuran relatif, penilaian kuantitatif) kemungkinan terjadinya suatu peristiwa. Jika alasan terjadinya suatu peristiwa yang mungkin terjadi lebih besar daripada alasan sebaliknya, maka peristiwa tersebut disebut mungkin terjadi, sebaliknya - tidak mungkin atau tidak mungkin terjadi. Alasan positif lebih banyak dibandingkan alasan negatif, dan sebaliknya, bisa mencapai tingkat yang berbeda-beda, sehingga probabilitas (dan ketidakmungkinannya) bisa lebih besar atau lebih kecil. Oleh karena itu, probabilitas sering kali dinilai pada tingkat kualitatif, terutama dalam kasus di mana penilaian kuantitatif yang kurang lebih akurat tidak mungkin dilakukan atau sangat sulit. Berbagai gradasi “tingkat” probabilitas dimungkinkan.
Studi tentang probabilitas dari sudut pandang matematika merupakan disiplin khusus - teori probabilitas. Dalam teori probabilitas dan statistik matematika, konsep probabilitas diformalkan sebagai karakteristik numerik dari suatu peristiwa - ukuran probabilitas (atau nilainya) - ukuran pada serangkaian peristiwa (bagian dari serangkaian peristiwa dasar), yang mengambil nilai dari
(\gaya tampilan 0)
(\gaya tampilan 1)
Arti
(\gaya tampilan 1)
Sesuai acara yang dapat diandalkan. Suatu peristiwa yang mustahil mempunyai probabilitas 0 (kebalikannya umumnya tidak selalu benar). Jika peluang terjadinya suatu peristiwa adalah
(\gaya tampilan p)
Maka kemungkinan tidak terjadinya adalah sama dengan
(\gaya tampilan 1-p)
Khususnya, kemungkinannya
(\gaya tampilan 1/2)
Berarti peluang terjadinya dan tidak terjadinya suatu peristiwa sama besarnya.
Definisi klasik tentang probabilitas didasarkan pada konsep probabilitas hasil yang sama. Probabilitas adalah rasio jumlah hasil yang diinginkan acara ini, Ke jumlah total kemungkinan hasil yang sama. Misalnya, peluang munculnya kepala atau ekor dalam pelemparan koin secara acak adalah 1/2 jika diasumsikan bahwa hanya dua kemungkinan tersebut yang terjadi dan kemungkinan keduanya sama. “Definisi” klasik tentang probabilitas ini dapat digeneralisasikan ke kasus jumlah nilai yang mungkin tak terhingga - misalnya, jika suatu peristiwa dapat terjadi dengan probabilitas yang sama di titik mana pun (jumlah poinnya tidak terbatas) di suatu titik. wilayah terbatas ruang (pesawat), maka peluang terjadinya hal tersebut di suatu bagian tertentu wilayah yang sah sama dengan perbandingan volume (luas) bagian ini dengan volume (luas) luas semua titik yang mungkin.
“Definisi” empiris dari probabilitas berkaitan dengan frekuensi terjadinya suatu peristiwa berdasarkan fakta bahwa dengan cukup jumlah besar frekuensi pengujian harus cenderung pada tingkat objektif kemungkinan kejadian ini. Dalam presentasi teori probabilitas modern, probabilitas didefinisikan secara aksiomatis, sebagai kasus khusus dari teori abstrak ukuran himpunan. Namun, hubungan yang menghubungkan antara ukuran abstrak dan probabilitas, yang menyatakan tingkat kemungkinan terjadinya suatu peristiwa, justru adalah frekuensi pengamatannya.
Deskripsi probabilistik dari fenomena tertentu telah tersebar luas dalam sains modern, khususnya dalam ekonometrik, fisika statistik sistem makroskopik (termodinamika), di mana bahkan dalam kasus deskripsi deterministik klasik tentang pergerakan partikel, deskripsi deterministik dari keseluruhan sistem partikel tampaknya secara praktis tidak mungkin atau tidak tepat. DI DALAM fisika kuantum proses yang digambarkan sendiri bersifat probabilistik.

Faktanya, rumus (1) dan (2) adalah catatan singkat probabilitas bersyarat berdasarkan tabel karakteristik kontingensi. Mari kembali ke contoh yang dibahas (Gbr. 1). Misalkan kita mengetahui bahwa sebuah keluarga berencana membeli televisi layar lebar. Berapa kemungkinan keluarga ini benar-benar membeli TV seperti itu?

Beras. 1. Perilaku Membeli TV Layar Lebar

DI DALAM dalam hal ini kita perlu menghitung probabilitas bersyarat P (pembelian selesai | pembelian direncanakan). Karena kita mengetahui bahwa sebuah keluarga berencana untuk membeli, maka ruang sampel tidak mencakup seluruh 1000 keluarga, namun hanya mereka yang berencana membeli TV layar lebar. Dari 250 keluarga tersebut, 200 benar-benar membeli TV ini. Oleh karena itu, peluang suatu keluarga benar-benar membeli TV layar lebar jika mereka berencana melakukannya dapat dihitung dengan menggunakan rumus berikut:

P (pembelian selesai | rencana pembelian) = banyaknya keluarga yang merencanakan dan membeli TV layar lebar / banyaknya keluarga yang berencana membeli TV layar lebar = 200 / 250 = 0,8

Rumus (2) memberikan hasil yang sama:

dimana acaranya A adalah keluarga tersebut berencana membeli TV layar lebar, dan acara tersebut DI DALAM- bahwa dia benar-benar akan membelinya. Mengganti data nyata ke dalam rumus, kita mendapatkan:

Pohon keputusan

Pada Gambar. 1 keluarga dibagi menjadi empat kategori: mereka yang berencana membeli TV layar lebar dan mereka yang tidak, serta mereka yang membeli TV tersebut dan mereka yang tidak. Klasifikasi serupa dapat dilakukan dengan menggunakan pohon keputusan (Gbr. 2). Pohon yang ditunjukkan pada Gambar. 2 memiliki dua cabang yang sesuai dengan keluarga yang berencana membeli TV layar lebar dan keluarga yang tidak. Masing-masing cabang ini dibagi menjadi dua cabang tambahan sesuai dengan rumah tangga yang membeli dan tidak membeli TV layar lebar. Probabilitas yang ditulis pada akhir dua cabang utama adalah probabilitas kejadian tanpa syarat A Dan A'. Probabilitas yang ditulis pada akhir empat cabang tambahan merupakan probabilitas bersyarat dari setiap kombinasi kejadian A Dan DI DALAM. Probabilitas bersyarat dihitung dengan membagi probabilitas gabungan suatu peristiwa dengan probabilitas tanpa syarat yang sesuai dari masing-masing peristiwa.

Beras. 2. Pohon keputusan

Misalnya, untuk menghitung peluang suatu keluarga akan membeli televisi layar lebar jika memang direncanakan untuk membeli televisi layar lebar, kita harus menentukan peluang kejadian tersebut. pembelian direncanakan dan diselesaikan, lalu membaginya dengan probabilitas kejadian tersebut pembelian direncanakan. Bergerak sepanjang pohon keputusan yang ditunjukkan pada Gambar. 2, kita mendapatkan jawaban berikut (mirip dengan sebelumnya):

Independensi statistik

Dalam contoh pembelian TV layar lebar, peluang suatu keluarga yang dipilih secara acak membeli TV layar lebar jika mereka berencana membeli TV layar lebar adalah 200/250 = 0,8. Ingatlah bahwa probabilitas tanpa syarat bahwa sebuah keluarga yang dipilih secara acak membeli TV layar lebar adalah 300/1000 = 0,3. Hal ini membawa pada kesimpulan yang sangat penting. Informasi sebelumnya bahwa keluarga merencanakan pembelian mempengaruhi kemungkinan pembelian itu sendiri. Dengan kata lain, kedua peristiwa ini saling bergantung satu sama lain. Berbeda dengan contoh ini, ada secara statistik acara independen, yang probabilitasnya tidak bergantung satu sama lain. Independensi statistik dinyatakan dengan identitas: P(A|B) = P(A), Di mana P(A|B)- kemungkinan kejadian A asalkan peristiwa itu terjadi DI DALAM, P(A)- probabilitas tanpa syarat dari kejadian A.

Harap dicatat bahwa acara A Dan DI DALAM P(A|B) = P(A). Jika dalam tabel kontingensi karakteristik berukuran 2×2, kondisi ini terpenuhi untuk setidaknya satu kombinasi kejadian A Dan DI DALAM, ini akan berlaku untuk kombinasi lainnya. Dalam contoh acara kami pembelian direncanakan Dan pembelian selesai tidak independen secara statistik karena informasi mengenai suatu kejadian mempengaruhi kemungkinan kejadian lainnya.

Mari kita lihat contoh yang menunjukkan cara menguji independensi statistik dari dua peristiwa. Mari kita tanyakan kepada 300 keluarga yang membeli TV layar lebar apakah mereka puas dengan pembeliannya (Gbr. 3). Tentukan apakah tingkat kepuasan pembelian dan jenis TV berhubungan.

Beras. 3. Data yang menjelaskan tingkat kepuasan pembeli TV layar lebar

Dilihat dari data ini,

Pada saat yang sama,

P (pelanggan puas) = 240/300 = 0,80

Oleh karena itu, kemungkinan pelanggan puas dengan pembelian tersebut dan keluarga membeli HDTV adalah sama, dan peristiwa ini independen secara statistik karena tidak terkait dengan cara apa pun.

Aturan perkalian probabilitas

Rumus untuk menghitung probabilitas bersyarat memungkinkan Anda menentukan probabilitas suatu peristiwa gabungan A dan B. Setelah menyelesaikan rumus (1)

relatif terhadap probabilitas gabungan P(A dan B), kita memperoleh aturan umum untuk mengalikan probabilitas. Kemungkinan kejadian A dan B sama dengan probabilitas kejadian tersebut A asalkan peristiwa itu terjadi DI DALAM DI DALAM:

(3) P(A dan B) = P(A|B) * P(B)

Mari kita ambil contoh 80 keluarga yang membeli televisi HDTV layar lebar (Gbr. 3). Tabel tersebut menunjukkan bahwa 64 keluarga merasa puas dengan pembelian tersebut dan 16 keluarga tidak. Mari kita asumsikan bahwa dua keluarga dipilih secara acak di antara mereka. Tentukan probabilitas bahwa kedua pelanggan akan puas. Dengan menggunakan rumus (3), kita memperoleh:

P(A dan B) = P(A|B) * P(B)

dimana acaranya A adalah keluarga kedua puas dengan pembelian mereka, dan acara tersebut DI DALAM- bahwa keluarga pertama puas dengan pembelian mereka. Peluang keluarga pertama puas dengan pembeliannya adalah 64/80. Namun, kemungkinan keluarga kedua juga puas dengan pembelian mereka bergantung pada respons keluarga pertama. Jika keluarga pertama tidak kembali menjadi sampel setelah survei (seleksi tanpa pengembalian), jumlah responden berkurang menjadi 79. Jika keluarga pertama puas dengan pembeliannya, peluang keluarga kedua juga puas adalah 63 /79, karena hanya tersisa 63 keluarga sampel yang puas dengan pembelian mereka. Jadi, dengan mengganti data tertentu ke dalam rumus (3), kita memperoleh jawaban berikut:

P(A dan B) = (63/79)(64/80) = 0,638.

Oleh karena itu, kemungkinan kedua keluarga puas dengan pembeliannya adalah 63,8%.

Misalkan setelah survei, keluarga pertama kembali menjadi sampel. Tentukan peluang kedua keluarga akan puas dengan pembelian mereka. Dalam hal ini, peluang kedua keluarga puas dengan pembelian mereka adalah sama dan setara dengan 64/80. Jadi P(A dan B) = (64/80)(64/80) = 0,64. Jadi, kemungkinan kedua keluarga puas dengan pembeliannya adalah 64,0%. Contoh ini menunjukkan bahwa pilihan keluarga kedua tidak bergantung pada pilihan keluarga pertama. Jadi, mengganti probabilitas bersyarat dalam rumus (3) P(A|B) kemungkinan P(A), kita memperoleh rumus untuk mengalikan peluang kejadian independen.

Aturan untuk mengalikan peluang kejadian independen. Jika peristiwa A Dan DI DALAM independen secara statistik, kemungkinan suatu kejadian A dan B sama dengan probabilitas kejadian tersebut A, dikalikan dengan probabilitas kejadian tersebut DI DALAM.

(4) P(A dan B) = P(A)P(B)

Jika aturan ini berlaku untuk acara A Dan DI DALAM, yang berarti mereka independen secara statistik. Jadi, ada dua cara untuk menentukan independensi statistik dari dua peristiwa:

Acara A Dan DI DALAM secara statistik independen satu sama lain jika dan hanya jika P(A|B) = P(A).
Acara A Dan B secara statistik independen satu sama lain jika dan hanya jika P(A dan B) = P(A)P(B).

Jika dalam tabel kontingensi 2x2, salah satu kondisi ini terpenuhi untuk setidaknya satu kombinasi kejadian A Dan B, ini akan berlaku untuk kombinasi lainnya.

Probabilitas tanpa syarat dari suatu kejadian dasar

(5) P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2)P(B 2) + … + P(A|B k)P(B k)

dimana kejadian B 1, B 2, ... B k saling lepas dan lengkap.

Mari kita ilustrasikan penerapan rumus ini menggunakan contoh Gambar 1. Dengan menggunakan rumus (5), kita memperoleh:

P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2)P(B 2)

Di mana P(A)- kemungkinan pembelian direncanakan, P(B 1)- kemungkinan pembelian dilakukan, P(B 2)- kemungkinan pembelian tidak selesai.

TEOREMA BAYES

Probabilitas bersyarat peristiwa memperhitungkan informasi bahwa beberapa peristiwa lain telah terjadi. Pendekatan ini dapat digunakan untuk menyaring probabilitas dengan mempertimbangkan informasi yang baru diterima, dan untuk menghitung probabilitas bahwa efek yang diamati merupakan konsekuensi dari penyebab tertentu. Prosedur untuk menyempurnakan probabilitas ini disebut teorema Bayes. Ini pertama kali dikembangkan oleh Thomas Bayes pada abad ke-18.

Anggaplah perusahaan yang disebutkan di atas sedang meneliti pasar untuk model TV baru. Di masa lalu, 40% TV yang dibuat oleh perusahaan berhasil, sementara 60% modelnya tidak diakui. Sebelum mengumumkan peluncuran model baru, pakar pemasaran meneliti pasar dengan cermat dan mencatat permintaan. Di masa lalu, 80% model yang berhasil diprediksi akan berhasil, sementara 30% prediksi yang berhasil ternyata salah. Departemen pemasaran memberikan perkiraan yang baik untuk model baru ini. Seberapa besar kemungkinan model TV baru akan diminati?

Teorema Bayes dapat diturunkan dari definisi probabilitas bersyarat (1) dan (2). Untuk menghitung probabilitas P(B|A), ambil rumus (2):

dan gantikan P(A dan B) nilai dari rumus (3):

P(A dan B) = P(A|B) * P(B)

Mengganti rumus (5) dan bukan P(A), kita memperoleh teorema Bayes:

dimana kejadian B 1, B 2, ... B k saling lepas dan lengkap.

Mari kita perkenalkan notasi berikut: kejadian S - TV sangat diminati, acara S' - TV tidak diminati, acara F - prognosis yang baik, acara F' - prognosisnya buruk. Misalkan P(S) = 0,4, P(S’) = 0,6, P(F|S) = 0,8, P(F|S’) = 0,3. Menerapkan teorema Bayes kita mendapatkan:

Probabilitas permintaan model TV baru, jika perkiraannya bagus, adalah 0,64. Jadi, kemungkinan kurangnya permintaan dengan perkiraan yang baik adalah 1–0,64=0,36. Proses perhitungan ditunjukkan pada Gambar. 4.

Beras. 4. (a) Perhitungan menggunakan rumus Bayes untuk memperkirakan probabilitas permintaan televisi; (b) Pohon keputusan ketika meneliti permintaan model TV baru

Mari kita lihat contoh penggunaan teorema Bayes untuk diagnosis medis. Peluang seseorang menderita penyakit tertentu adalah 0,03. Tes medis dapat memeriksa apakah ini benar. Jika seseorang benar-benar sakit, peluang diagnosis yang akurat (mengatakan bahwa orang tersebut sakit padahal dia benar-benar sakit) adalah 0,9. Jika seseorang sehat, peluang diagnosis positif palsu (mengatakan bahwa seseorang sakit padahal dia sehat) adalah 0,02. Katakanlah tes kesehatan memberikan hasil positif. Berapa peluang seseorang benar-benar sakit? Seberapa besar kemungkinan diagnosis yang akurat?

Mari kita perkenalkan notasi berikut: kejadian D - orang tersebut sakit, acara D' - orang tersebut sehat, acara T - diagnosisnya positif, acara T' - diagnosisnya negatif. Dari kondisi soal maka P(D) = 0,03, P(D’) = 0,97, P(T|D) = 0,90, P(T|D’) = 0,02. Menerapkan rumus (6), kita memperoleh:

Peluang bahwa dengan diagnosis positif seseorang benar-benar sakit adalah 0,582 (lihat juga Gambar 5). Harap dicatat bahwa penyebut rumus Bayes sama dengan probabilitas diagnosis positif, yaitu. 0,0464.

Dibawa ke saat ini toples terbuka Soal Ujian Negara Terpadu Matematika (mathege.ru), yang penyelesaiannya hanya didasarkan pada satu rumus, yaitu definisi klasik probabilitas.

Cara termudah untuk memahami rumusnya adalah dengan contoh.
Contoh 1. Ada 9 bola merah dan 3 bola biru di dalam keranjang. Bola-bola tersebut hanya berbeda warnanya saja. Kami mengambil salah satunya secara acak (tanpa melihat). Berapa peluang terambilnya bola dengan cara ini berwarna biru?

Komentar. Dalam soal probabilitas, terjadi sesuatu (dalam hal ini, tindakan kita menggambar bola) yang dapat terjadi hasil yang berbeda- hasil. Perlu dicatat bahwa hasilnya dapat dilihat dengan cara yang berbeda. “Kami mengeluarkan semacam bola” juga merupakan hasil. “Kami mengeluarkan bola biru” - hasilnya. “Kami mengeluarkan bola ini dengan tepat dari semua kemungkinan bola” - pandangan hasil yang paling tidak umum ini disebut hasil dasar. Hasil dasar inilah yang dimaksudkan dalam rumus untuk menghitung probabilitas.

Larutan. Sekarang mari kita hitung peluang terambilnya bola biru.
Acara A: “bola yang dipilih ternyata berwarna biru”
Jumlah total semua kemungkinan hasil: 9+3=12 (jumlah semua bola yang dapat diambil)
Jumlah hasil yang menguntungkan untuk kejadian A: 3 (jumlah hasil di mana peristiwa A terjadi - yaitu, jumlah bola biru)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Jawaban: 0,25

Untuk soal yang sama, mari kita hitung peluang terambilnya bola merah.
Jumlah total hasil yang mungkin akan tetap sama, 12. Jumlah hasil yang diinginkan: 9. Probabilitas yang dicari: 9/12=3/4=0.75

Probabilitas suatu kejadian selalu terletak antara 0 dan 1.
Terkadang masuk ucapan sehari-hari(tetapi tidak dalam teori probabilitas!) probabilitas suatu peristiwa diperkirakan dalam persentase. Transisi antara skor matematika dan percakapan dicapai dengan mengalikan (atau membagi) dengan 100%.
Jadi,
Selain itu, kemungkinan nol untuk peristiwa yang tidak dapat terjadi sungguh luar biasa. Misalnya, dalam contoh kita, ini adalah probabilitas terambilnya bola hijau dari keranjang. (Jumlah hasil yang diinginkan adalah 0, P(A)=0/12=0, jika dihitung menggunakan rumus)
Probabilitas 1 mempunyai kejadian yang pasti terjadi, tanpa pilihan. Misalnya, probabilitas “bola yang dipilih berwarna merah atau biru” adalah untuk tugas kita. (Jumlah hasil yang menguntungkan: 12, P(A)=12/12=1)

Kita melihat contoh klasik yang mengilustrasikan definisi probabilitas. Semuanya serupa Tugas Ujian Negara Bersatu Menurut teori probabilitas, masalah tersebut diselesaikan dengan menggunakan rumus ini.
Di tempat bola merah dan biru mungkin ada apel dan pir, anak laki-laki dan perempuan, tiket terpelajar dan tidak terpelajar, tiket berisi dan tidak berisi pertanyaan tentang topik tertentu (prototipe,), tas atau pompa taman yang rusak dan berkualitas tinggi ( prototipe,) - prinsipnya tetap sama.

Mereka sedikit berbeda dalam rumusan masalah teori probabilitas Unified State Examination, dimana Anda perlu menghitung probabilitas suatu peristiwa terjadi pada hari tertentu. ( , ) Seperti pada soal sebelumnya, Anda perlu menentukan hasil dasar, lalu menerapkan rumus yang sama.

Contoh 2. Konferensi ini berlangsung selama tiga hari. Pada hari pertama dan kedua masing-masing 15 pembicara, pada hari ketiga - 20. Berapa peluang laporan Profesor M. jatuh pada hari ketiga jika urutan laporan ditentukan dengan undian?

Apa hasil dasarnya di sini? – Menugaskan laporan profesor salah satu dari semua kemungkinan nomor seri untuk sebuah pertunjukan. 15+15+20=50 orang berpartisipasi dalam pengundian. Jadi, laporan Profesor M. mungkin menerima satu dari 50 terbitan. Artinya hanya ada 50 hasil dasar.
Apa hasil yang menguntungkan? - Yang ternyata profesor akan berbicara pada hari ketiga. Artinya, 20 angka terakhir.
Menurut rumus, peluang P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Jawaban: 0,4

Pengundian di sini melambangkan pembentukan korespondensi acak antara orang dan tempat yang teratur. Dalam Contoh 2, pendirian korespondensi dipertimbangkan dari sudut pandang tempat mana yang dapat diambil orang tertentu. Anda dapat mendekati situasi yang sama dari sisi lain: orang mana dengan probabilitas berapa yang dapat mencapai tempat tertentu (prototipe , , , ):

Contoh 3. Pengundian mencakup 5 orang Jerman, 8 orang Prancis, dan 3 orang Estonia. Berapa peluang orang pertama (/kedua/ketujuh/terakhir – tidak masalah) adalah orang Prancis.

Banyaknya hasil dasar adalah jumlah semua kemungkinan orang yang dapat memasuki suatu tempat dengan cara mengundi. 5+8+3=16 orang.
Hasil yang menguntungkan - Perancis. 8 orang.
Probabilitas yang diperlukan: 8/16=1/2=0,5
Jawaban: 0,5

Prototipenya sedikit berbeda. Masih ada masalah tentang koin () dan dadu (), yang terbilang lebih kreatif. Solusi untuk masalah ini dapat ditemukan di halaman prototipe.

Berikut beberapa contoh pelemparan koin atau dadu.

Contoh 4. Jika kita melempar sebuah mata uang logam, berapakah peluang munculnya kepala?
Ada 2 hasil – kepala atau ekor. (diyakini bahwa koin tidak pernah mendarat di tepinya) Hasil yang menguntungkan adalah ekor, 1.
Probabilitas 1/2=0,5
Jawaban: 0,5.

Contoh 5. Bagaimana jika kita melempar koin dua kali? Berapa probabilitas mendapatkan kepala kedua kali?
Hal utama adalah menentukan hasil dasar apa yang akan kita pertimbangkan ketika melempar dua koin. Setelah melempar dua koin, salah satu hasil berikut dapat terjadi:
1) PP – kedua kali muncul kepala
2) PO – head pertama kali, head kali kedua
3) OP – memimpin pertama kali, mengikuti kedua kalinya
4) OO – kepala muncul dua kali
Tidak ada pilihan lain. Artinya ada 4 hasil dasar. Hanya yang pertama, 1, yang menguntungkan.
Probabilitas: 1/4=0,25
Jawaban: 0,25

Berapa peluang pelemparan dua buah uang logam menghasilkan hasil yang sama?
Banyaknya hasil dasar sama, 4. Hasil baik kedua dan ketiga, 2.
Peluang terambilnya satu ekor: 2/4=0,5

Dalam soal seperti itu, rumus lain mungkin berguna.
Jika dalam satu kali pelemparan sebuah mata uang logam pilihan yang memungkinkan kita mendapat 2 hasil, maka untuk dua kali lemparan hasilnya adalah 2 2 = 2 2 = 4 (seperti pada contoh 5), untuk tiga kali lemparan 2 2 2 = 2 3 = 8, untuk empat kali: 2 2 2 2 =2 4 = 16, ... untuk N lemparan, hasil yang mungkin adalah 2·2·...·2=2 N .

Jadi, Anda dapat mengetahui peluang munculnya 5 gambar dari 5 pelemparan koin.
Jumlah total hasil dasar: 2 5 =32.
Hasil yang menguntungkan: 1. (RRRRRR – melakukan head semua 5 kali)
Probabilitas: 1/32=0,03125

Hal yang sama berlaku untuk dadu. Dengan satu lemparan, ada 6 kemungkinan hasil. Jadi, untuk dua lemparan: 6 6 = 36, untuk tiga 6 6 6 = 216, dst.

Contoh 6. Kami melempar dadu. Berapa peluang terambilnya bilangan genap?

Total hasil: 6, sesuai dengan jumlah sisinya.
Menguntungkan: 3 hasil. (2, 4, 6)
Kemungkinan: 3/6=0,5

Contoh 7. Kami melempar dua dadu. Berapa peluang terambilnya angka 10? (dibulatkan ke seperseratus terdekat)

Untuk satu dadu ada 6 kemungkinan hasil. Artinya untuk dua, menurut aturan di atas, 6·6=36.
Hasil apa yang menguntungkan agar totalnya menjadi 10?
10 harus diuraikan menjadi jumlah dua angka dari 1 sampai 6. Hal ini dapat dilakukan dengan dua cara: 10=6+4 dan 10=5+5. Artinya opsi berikut ini dimungkinkan untuk kubus:
(6 pada yang pertama dan 4 pada yang kedua)
(4 pada yang pertama dan 6 pada yang kedua)
(5 pada yang pertama dan 5 pada yang kedua)
Total, 3 pilihan. Probabilitas yang diperlukan: 3/36=1/12=0,08
Jawaban: 0,08

Jenis masalah B6 lainnya akan dibahas di artikel Cara Mengatasinya di masa mendatang.

sebagai kategori ontologis mencerminkan besarnya kemungkinan munculnya suatu entitas dalam kondisi apapun. Berbeda dengan interpretasi matematis dan logis dari konsep ini, matematika ontologis tidak mengasosiasikan dirinya dengan kewajiban ekspresi kuantitatif. Makna V. terungkap dalam konteks pemahaman determinisme dan hakikat pembangunan secara umum.

Definisi yang bagus

Definisi tidak lengkap ↓

KEMUNGKINAN

konsep mengkarakterisasi besaran. ukuran kemungkinan terjadinya suatu peristiwa tertentu pada suatu waktu tertentu kondisi. Secara ilmiah pengetahuan ada tiga interpretasi dari V. Konsep klasik V., yang muncul dari matematika. analisa berjudi dan dikembangkan sepenuhnya oleh B. Pascal, J. Bernoulli dan P. Laplace, menganggap kemenangan sebagai rasio jumlah kasus yang menguntungkan dengan jumlah total semua kemungkinan yang sama. Misalnya, ketika melempar dadu yang memiliki 6 sisi, masing-masing sisi diharapkan mendarat dengan nilai 1/6, karena tidak ada satu sisi yang memiliki keunggulan dibandingkan sisi lainnya. Simetri hasil eksperimen seperti itu secara khusus diperhitungkan ketika mengatur permainan, tetapi relatif jarang ketika mempelajari peristiwa objektif dalam sains dan praktik. Klasik Interpretasi V. memberi jalan kepada statistik. Konsep V. yang didasarkan pada kenyataan mengamati terjadinya suatu peristiwa tertentu dalam jangka waktu yang lama. pengalaman dalam kondisi yang tetap. Praktek menegaskan bahwa semakin sering suatu peristiwa terjadi, semakin besar kemungkinannya lebih banyak gelar kemungkinan objektif terjadinya, atau B. Oleh karena itu, statistik. Penafsiran V. didasarkan pada konsep relasi. frekuensi, yang dapat ditentukan secara eksperimental. V. sebagai teori konsep tersebut tidak pernah bertepatan dengan frekuensi yang ditentukan secara empiris, namun dalam bentuk jamak. Dalam beberapa hal, ini praktis tidak jauh berbeda dari yang relatif. frekuensi ditemukan sebagai akibat dari durasi. pengamatan. Banyak ahli statistik menganggap V. sebagai referensi “ganda”. frekuensi, tepi ditentukan secara statistik. mempelajari hasil observasi

atau eksperimen. Yang kurang realistis adalah definisi V. sehubungan dengan batasannya. frekuensi acara massal, atau kelompok, yang dikemukakan oleh R. Mises. Sebagai pengembangan lebih lanjut Pendekatan frekuensi terhadap V. mengedepankan interpretasi disposisional, atau kecenderungan, terhadap V. (K. Popper, J. Hacking, M. Bunge, T. Settle). Menurut interpretasi ini, V. mencirikan properti kondisi pembangkitan, misalnya. percobaan. instalasi untuk mendapatkan urutan peristiwa acak besar-besaran. Justru sikap inilah yang memunculkan fisik disposisi, atau kecenderungan, V. yang dapat diperiksa dengan menggunakan kerabat. frekuensi

Statistik Interpretasi V. mendominasi penelitian ilmiah. kognisi, karena mencerminkan spesifik. sifat pola yang melekat pada fenomena massa yang bersifat acak. Dalam banyak hal fisik, biologis, ekonomi, demografi. dll. proses sosial perlu memperhitungkan aksi banyak faktor acak, yang ditandai dengan frekuensi stabil. Mengidentifikasi frekuensi dan kuantitas stabil ini. penilaiannya dengan bantuan V. memungkinkan untuk mengidentifikasi kebutuhan yang muncul melalui tindakan kumulatif dari banyak kecelakaan. Di sinilah dialektika transformasi peluang menjadi kebutuhan menemukan manifestasinya (lihat F. Engels, dalam buku: K. Marx and F. Engels, Works, vol. 20, pp. 535-36).

Penalaran logis, atau induktif, mencirikan hubungan antara premis dan kesimpulan dari penalaran non-demonstratif dan, khususnya, induktif. Berbeda dengan deduksi, premis induksi tidak menjamin kebenaran kesimpulan, namun hanya membuatnya lebih atau kurang masuk akal. Masuk akal ini, dengan premis-premis yang dirumuskan secara tepat, terkadang dapat dinilai dengan menggunakan V. Nilai V ini paling sering ditentukan dengan perbandingan. konsep (lebih besar dari, kurang dari atau sama dengan), dan terkadang dalam bentuk numerik. Logis interpretasi sering digunakan untuk menganalisis penalaran induktif dan membangun berbagai sistem logika probabilistik (R. Carnap, R. Jeffrey). Dalam semantik konsep logis V. sering didefinisikan sebagai sejauh mana satu pernyataan dikonfirmasi oleh pernyataan lain (misalnya, hipotesis dengan data empirisnya).

Sehubungan dengan berkembangnya teori pengambilan keputusan dan permainan, maka disebut interpretasi personalistik V. Meskipun V. sekaligus mengungkapkan derajat keyakinan subjek dan terjadinya peristiwa tertentu, V. sendiri harus dipilih sedemikian rupa sehingga aksioma kalkulus V. terpenuhi. Oleh karena itu, V. dengan penafsiran seperti itu tidak begitu banyak mengungkapkan tingkat subjektifnya, melainkan keyakinan yang masuk akal. Oleh karena itu, keputusan yang diambil berdasarkan V. tersebut akan bersifat rasional, karena tidak memperhitungkan faktor psikologis. karakteristik dan kecenderungan subjek.

Dengan epistemologis t.zr. perbedaan antara statistik, logis. dan interpretasi personalistik V. adalah bahwa jika yang pertama mencirikan sifat objektif dan hubungan fenomena massa yang bersifat acak, maka dua yang terakhir menganalisis ciri-ciri subjektif, sadar. aktivitas manusia dalam kondisi ketidakpastian.

KEMUNGKINAN

salah satu konsep sains terpenting, yang mencirikan visi sistemik khusus tentang dunia, strukturnya, evolusi, dan pengetahuan. Kekhususan pandangan probabilistik tentang dunia terungkap melalui dimasukkannya konsep keacakan, kemandirian dan hierarki (gagasan tentang tingkatan dalam struktur dan penentuan sistem) di antara konsep dasar keberadaan.

Gagasan tentang probabilitas berasal dari zaman kuno dan berkaitan dengan karakteristik pengetahuan kita, sedangkan keberadaan pengetahuan probabilistik diakui, yang berbeda dari pengetahuan yang dapat diandalkan dan pengetahuan palsu. Dampak gagasan probabilitas terhadap pemikiran ilmiah dan perkembangan ilmu pengetahuan berkaitan langsung dengan perkembangan teori probabilitas sebagai disiplin matematika. Asal usul doktrin matematika tentang probabilitas dimulai pada abad ke-17, ketika pengembangan inti konsep memungkinkan. karakteristik kuantitatif (numerik) dan mengungkapkan gagasan probabilistik.

Penerapan probabilitas yang intensif pada pengembangan kognisi terjadi pada paruh kedua. 19 - lantai 1 abad ke-20 Probabilitas telah memasuki struktur ilmu-ilmu dasar alam seperti fisika statistik klasik, genetika, teori kuantum, dan sibernetika (teori informasi). Oleh karena itu, probabilitas melambangkan tahap perkembangan ilmu pengetahuan, yang sekarang didefinisikan sebagai ilmu non-klasik. Untuk mengungkap kebaruan dan ciri-ciri cara berpikir probabilistik, perlu dimulai dari analisis subjek teori probabilitas dan dasar-dasar berbagai penerapannya. Teori probabilitas biasanya didefinisikan sebagai disiplin matematika yang mempelajari pola fenomena acak massa dalam kondisi tertentu. Keacakan Artinya, dalam kerangka sifat massa, keberadaan setiap fenomena elementer tidak bergantung dan tidak ditentukan oleh keberadaan fenomena lainnya. Pada saat yang sama, sifat massa dari fenomena itu sendiri memiliki struktur yang stabil dan mengandung keteraturan tertentu. Suatu fenomena massa dibagi secara ketat menjadi subsistem, dan jumlah relatif fenomena elementer di setiap subsistem (frekuensi relatif) sangat stabil. Stabilitas ini dibandingkan dengan probabilitas. Fenomena massa secara keseluruhan dicirikan oleh distribusi probabilitas, yaitu dengan menentukan subsistem dan probabilitas yang sesuai. Bahasa teori probabilitas adalah bahasa distribusi probabilitas. Oleh karena itu, teori probabilitas didefinisikan sebagai ilmu abstrak yang beroperasi dengan distribusi.

Probabilitas memunculkan gagasan dalam sains tentang pola statistik dan sistem statistik. Esensi terakhir sistem yang terbentuk dari entitas independen atau kuasi-independen, strukturnya dicirikan oleh distribusi probabilitas. Namun bagaimana mungkin membentuk sistem dari entitas independen? Biasanya diasumsikan bahwa untuk pembentukan sistem dengan karakteristik integral, diperlukan hubungan yang cukup stabil antara elemen-elemennya yang memperkuat sistem tersebut. Stabilitas sistem statistik diberikan oleh adanya kondisi eksternal, lingkungan eksternal, eksternal, dan bukan kekuatan internal. Pengertian probabilitas sendiri selalu didasarkan pada pengaturan kondisi pembentukan awal fenomena massa. Satu lagi ide yang paling penting, yang menjadi ciri paradigma probabilistik, adalah gagasan hierarki (subordinasi). Ide ini mengungkapkan hubungan antar karakteristik elemen individu dan karakteristik sistem yang holistik: sistem yang terakhir, seolah-olah, dibangun di atas sistem yang pertama.

Pentingnya metode probabilistik dalam kognisi terletak pada kenyataan bahwa metode tersebut memungkinkan untuk mempelajari dan secara teoritis mengekspresikan pola struktur dan perilaku objek dan sistem yang memiliki struktur hierarki “dua tingkat”.

Analisis sifat probabilitas didasarkan pada frekuensinya, interpretasi statistik. Pada saat yang sama, sangat waktu yang lama Dalam sains, pemahaman tentang probabilitas seperti itu berlaku, yang disebut probabilitas logis, atau induktif. Probabilitas logis tertarik pada pertanyaan tentang validitas penilaian individu yang terpisah dalam kondisi tertentu. Apakah mungkin untuk mengevaluasi tingkat konfirmasi (keandalan, kebenaran) suatu kesimpulan induktif (kesimpulan hipotetis) dalam bentuk kuantitatif? Selama pengembangan teori probabilitas, pertanyaan-pertanyaan seperti itu berulang kali dibahas, dan mereka mulai berbicara tentang tingkat konfirmasi kesimpulan hipotetis. Ukuran probabilitas ini ditentukan oleh ketersediaan orang ini informasi, pengalamannya, pandangan tentang dunia dan pola pikir psikologis. Dalam semua kasus tersebut, besarnya probabilitas tidak dapat diukur secara ketat dan secara praktis berada di luar kompetensi teori probabilitas sebagai disiplin matematika yang konsisten.

Interpretasi probabilitas yang objektif dan sering terjadi ditetapkan dalam sains dengan kesulitan yang signifikan. Pada awalnya, pemahaman tentang hakikat probabilitas sangat dipengaruhi oleh pandangan filosofis dan metodologis yang menjadi ciri ilmu pengetahuan klasik. Secara historis, perkembangan metode probabilistik dalam fisika terjadi di bawah pengaruh yang menentukan dari gagasan mekanika: sistem statistik ditafsirkan secara sederhana sebagai sistem mekanis. Karena masalah terkait tidak terpecahkan metode yang ketat mekanika, kemudian muncul pernyataan bahwa beralih ke metode probabilistik dan hukum statistik adalah akibat dari ketidaklengkapan pengetahuan kita. Dalam sejarah perkembangan fisika statistik klasik, banyak upaya dilakukan untuk membuktikannya berdasarkan mekanika klasik, namun semuanya gagal. Dasar probabilitas adalah bahwa ia mengungkapkan ciri-ciri struktural suatu kelas sistem tertentu, selain sistem mekanis: keadaan elemen-elemen sistem ini dicirikan oleh ketidakstabilan dan sifat interaksi yang khusus (tidak dapat direduksi menjadi mekanika).

Masuknya probabilitas ke dalam pengetahuan mengarah pada pengingkaran terhadap konsep determinisme keras, pengingkaran terhadap model dasar wujud dan pengetahuan yang dikembangkan dalam proses pembentukan ilmu klasik. Model dasar yang diwakili oleh teori statistik mempunyai sifat yang berbeda dan lebih umum: model tersebut mencakup gagasan keacakan dan independensi. Gagasan tentang probabilitas dikaitkan dengan pengungkapan dinamika internal objek dan sistem, yang tidak dapat sepenuhnya ditentukan oleh kondisi dan keadaan eksternal.

Konsep visi probabilistik dunia, yang didasarkan pada absolutisasi gagasan tentang kemerdekaan (seperti sebelum paradigma determinasi kaku), kini telah mengungkapkan keterbatasannya, yang paling kuat mempengaruhi transisi. ilmu pengetahuan modern hingga metode analitis untuk mempelajari sistem yang kompleks dan dasar fisik dan matematika dari fenomena pengorganisasian diri.

Definisi yang bagus

Definisi tidak lengkap ↓