Cara menyelesaikan persamaan rasional. Persamaan rasional paling sederhana

Presentasi dan pembelajaran dengan topik: "Persamaan rasional. Algoritma dan contoh penyelesaian persamaan rasional"

Bahan tambahan
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, ulasan, keinginan Anda! Semua materi telah diperiksa oleh program anti-virus.

Alat peraga dan simulator pendidikan di toko online Integral untuk kelas 8
Sebuah manual untuk buku teks oleh Makarychev Yu.N. Manual untuk buku teks oleh Mordkovich A.G.

Pengantar Persamaan Irasional

Teman-teman, kita belajar cara menyelesaikan persamaan kuadrat. Namun matematika tidak terbatas pada mereka saja. Hari ini kita akan belajar bagaimana menyelesaikan persamaan rasional. Konsep persamaan rasional dalam banyak hal mirip dengan konsep bilangan rasional. Hanya selain angka, sekarang kami telah memperkenalkan beberapa variabel $x$. Dan dengan demikian kita mendapatkan ekspresi yang mengandung operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan pangkat bilangan bulat.

Misalkan $r(x)$ menjadi ekspresi rasional. Ekspresi tersebut dapat berupa polinomial sederhana dalam variabel $x$ atau rasio polinomial (operasi pembagian diperkenalkan, seperti untuk bilangan rasional).
Persamaan $r(x)=0$ disebut persamaan rasional.
Persamaan apa pun yang berbentuk $p(x)=q(x)$, dengan $p(x)$ dan $q(x)$ adalah ekspresi rasional, juga akan menjadi persamaan rasional.

Mari kita lihat contoh penyelesaian persamaan rasional.

Contoh 1.
Selesaikan persamaan: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

Larutan.
Mari kita pindahkan semua ekspresi ke sisi kiri: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Jika ruas kiri persamaan diwakili oleh bilangan biasa, maka kita akan mereduksi kedua pecahan tersebut menjadi penyebut yang sama.
Mari kita lakukan ini: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Kita mendapatkan persamaannya: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

Suatu pecahan sama dengan nol jika dan hanya jika pembilang pecahan tersebut nol dan penyebutnya bukan nol. Kemudian kita samakan pembilangnya dengan nol secara terpisah dan cari akar-akar pembilangnya.
$3(x^2+2x-3)=0$ atau $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Sekarang mari kita periksa penyebut pecahan: $(x-3)*x≠0$.
Hasil kali dua bilangan sama dengan nol jika paling sedikit salah satu bilangan tersebut sama dengan nol. Kemudian: $x≠0$ atau $x-3≠0$.
$x≠0$ atau $x≠3$.
Akar-akar yang diperoleh pada pembilang dan penyebutnya tidak berhimpitan. Jadi kita tuliskan kedua akar pembilangnya pada jawaban.
Jawaban: $x=1$ atau $x=-3$.

Jika tiba-tiba salah satu akar pembilangnya bertepatan dengan akar penyebutnya, maka harus dikeluarkan. Akar seperti itu disebut asing!

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional:

1. Pindahkan semua ekspresi yang terdapat dalam persamaan ke sisi kiri tanda sama dengan.
2. Ubah bagian persamaan ini menjadi pecahan aljabar: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. Samakan pembilang yang dihasilkan dengan nol, yaitu selesaikan persamaan $p(x)=0$.
4. Samakan penyebutnya dengan nol dan selesaikan persamaan yang dihasilkan. Jika akar-akar penyebutnya sama dengan akar-akar pembilangnya, maka akar-akar tersebut harus dikeluarkan dari jawaban.

Contoh 2.
Selesaikan persamaan: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

Larutan.
Mari kita selesaikan sesuai dengan poin-poin algoritma.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Samakan pembilangnya dengan nol: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Samakan penyebutnya dengan nol:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ dan $x=-1$.
Salah satu akar $x=1$ berimpit dengan akar pembilangnya, maka kita tidak menuliskannya pada jawaban.
Jawaban: $x=-1$.

Lebih mudah untuk menyelesaikan persamaan rasional menggunakan metode perubahan variabel. Mari kita tunjukkan ini.

Contoh 3.
Selesaikan persamaan: $x^4+12x^2-64=0$.

Larutan.
Mari kita perkenalkan penggantinya: $t=x^2$.
Maka persamaan kita akan berbentuk:
$t^2+12t-64=0$ - persamaan kuadrat biasa.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; $4.
Mari kita perkenalkan substitusi terbalik: $x^2=4$ atau $x^2=-16$.
Akar persamaan pertama adalah sepasang bilangan $x=±2$. Hal kedua adalah tidak memiliki akar.
Jawaban: $x=±2$.

Contoh 4.
Selesaikan persamaan: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Larutan.
Mari kita perkenalkan variabel baru: $t=x^2+x+1$.
Maka persamaannya akan berbentuk: $t=\frac(15)(t+2)$.
Selanjutnya kita akan melanjutkan sesuai algoritma.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2.$\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3.$t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; $3.
4. $t≠-2$ - akar-akarnya tidak berhimpitan.
Mari kita perkenalkan substitusi terbalik.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Mari selesaikan setiap persamaan secara terpisah:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - tidak akar.
Dan persamaan kedua: $x^2+x-2=0$.
Akar persamaan ini adalah bilangan $x=-2$ dan $x=1$.
Jawaban: $x=-2$ dan $x=1$.

Contoh 5.
Selesaikan persamaan: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

Larutan.
Mari kita perkenalkan penggantinya: $t=x+\frac(1)(x)$.
Kemudian:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ atau $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Kita mendapatkan persamaannya: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Akar persamaan ini adalah pasangan:
$t=-3$ dan $t=2$.
Mari kita perkenalkan substitusi terbalik:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Kami akan memutuskan secara terpisah.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Mari selesaikan persamaan kedua:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Akar persamaan ini adalah bilangan $x=1$.
Jawaban: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

Masalah untuk diselesaikan secara mandiri

Selesaikan persamaan:

1.$\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3.$x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5.$(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

"Memecahkan persamaan rasional pecahan"

Tujuan pelajaran:

Pendidikan:

pembentukan konsep persamaan rasional pecahan; pertimbangkan berbagai cara untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan; pertimbangkan algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan, termasuk syarat pecahan sama dengan nol; mengajarkan penyelesaian persamaan rasional pecahan dengan menggunakan algoritma; memeriksa tingkat penguasaan topik dengan melakukan tes.

Pembangunan:

pengembangan kemampuan untuk mengoperasikan dengan benar pengetahuan yang diperoleh dan berpikir logis; pengembangan keterampilan intelektual dan operasi mental - analisis, sintesis, perbandingan dan generalisasi; pengembangan inisiatif, kemampuan mengambil keputusan, dan tidak berhenti di situ; pengembangan pemikiran kritis; pengembangan keterampilan penelitian.

Mendidik:

menumbuhkan minat kognitif terhadap mata pelajaran; menumbuhkan kemandirian dalam memecahkan masalah pendidikan; memupuk kemauan dan ketekunan untuk mencapai hasil akhir.

Jenis pelajaran: pelajaran - penjelasan materi baru.

Kemajuan pelajaran

1. Momen organisasi.

Halo teman-teman! Ada persamaan yang tertulis di papan tulis, perhatikan baik-baik. Bisakah kamu menyelesaikan semua persamaan ini? Mana yang tidak dan mengapa?

Persamaan yang ruas kiri dan kanannya merupakan ekspresi rasional pecahan disebut persamaan rasional pecahan. Menurut Anda apa yang akan kita pelajari di kelas hari ini? Merumuskan topik pelajaran. Jadi, kita membuka buku catatan kita dan menuliskan topik pelajaran “Menyelesaikan persamaan rasional pecahan”.

2. Memperbarui pengetahuan. Survei frontal, pekerjaan lisan dengan kelas.

Dan sekarang kita akan mengulangi materi teori utama yang kita perlukan untuk mempelajari topik baru. Silakan jawab pertanyaan-pertanyaan berikut:

1. Apa yang dimaksud dengan persamaan? ( Kesetaraan dengan variabel atau variabel.)

2. Apa nama persamaan no.1? ( Linier.) Suatu metode untuk menyelesaikan persamaan linear. ( Pindahkan semua bilangan yang tidak diketahui ke ruas kiri persamaan, semua bilangan ke kanan. Berikan istilah serupa. Temukan faktor yang tidak diketahui).

3. Apa nama persamaan no.3? ( Persegi.) Metode penyelesaian persamaan kuadrat. ( Mengisolasi persegi lengkap menggunakan rumus menggunakan teorema Vieta dan akibat wajarnya.)

4. Apa yang dimaksud dengan proporsi? ( Kesetaraan dua rasio.) Sifat utama proporsi. ( Jika proporsinya benar, maka hasil kali suku ekstrimnya sama dengan hasil kali suku tengahnya.)

5. Properti apa yang digunakan saat menyelesaikan persamaan? ( 1. Jika Anda memindahkan suatu suku dalam suatu persamaan dari satu bagian ke bagian lain, mengubah tandanya, Anda akan mendapatkan persamaan yang setara dengan persamaan yang diberikan. 2. Jika kedua ruas persamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan bukan nol yang sama, maka diperoleh persamaan yang ekuivalen dengan bilangan yang diberikan.)

6. Kapan pecahan sama dengan nol? ( Pecahan sama dengan nol jika pembilangnya nol dan penyebutnya bukan nol..)

3. Penjelasan materi baru.

Selesaikan persamaan No. 2 di buku catatan Anda dan di papan tulis.

Menjawab: 10.

Persamaan rasional pecahan apa yang dapat kamu coba selesaikan dengan menggunakan sifat dasar proporsi? (No.5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

x2-6x-x2-5x = 6-8

Selesaikan persamaan No. 4 di buku catatan Anda dan di papan tulis.

Menjawab: 1,5.

Persamaan rasional pecahan apa yang dapat kamu selesaikan dengan mengalikan kedua ruas persamaan tersebut dengan penyebutnya? (No.6).

D=1›0, x1=3, x2=4.

Menjawab: 3;4.

Sekarang coba selesaikan persamaan nomor 7 dengan menggunakan salah satu cara berikut.


(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x2-2x-5-x-5=0
x(x-5)(x2-3x-10)=0
x=0 x-5=0 x2-3x-10=0
x1=0 x2=5 D=49

Menjawab: 0;5;-2.			Menjawab: 5;-2.

Jelaskan mengapa ini terjadi? Mengapa ada tiga akar dalam satu kasus dan dua akar dalam kasus lainnya? Berapakah akar-akar persamaan rasional pecahan tersebut?

Sampai saat ini siswa belum menemukan konsep akar asing; memang sangat sulit bagi mereka untuk memahami mengapa hal tersebut terjadi. Jika tidak ada seorang pun di kelas yang dapat memberikan penjelasan yang jelas tentang situasi ini, maka guru akan mengajukan pertanyaan-pertanyaan yang mengarahkan.

Pada persamaan no 2 dan 4 ada bilangan penyebutnya, no 5-7 adalah ekspresi dengan variabel

Nilai variabel yang persamaannya menjadi benar

Lakukan pemeriksaan

Saat pengujian, beberapa siswa memperhatikan bahwa mereka harus membagi dengan nol. Mereka menyimpulkan bahwa angka 0 dan 5 bukanlah akar persamaan tersebut. Timbul pertanyaan: apakah ada cara untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan yang memungkinkan kita menghilangkan kesalahan ini? Ya, cara ini didasarkan pada syarat pecahan sama dengan nol.

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

Jika x=5, maka x(x-5)=0, artinya 5 adalah akar asing.

Jika x=-2, maka x(x-5)≠0.

Menjawab: -2.

Mari kita coba merumuskan algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan dengan cara ini. Anak-anak merumuskan sendiri algoritmanya.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan:

1. Pindahkan semuanya ke sisi kiri.

2. Kurangi pecahan menjadi penyebut yang sama.

3. Buatlah sistem: pecahan sama dengan nol jika pembilangnya sama dengan nol dan penyebutnya tidak sama dengan nol.

4. Selesaikan persamaannya.

5. Periksa pertidaksamaan untuk mengecualikan akar-akar asing.

6. Tuliskan jawabannya.

Pembahasan: cara memformalkan penyelesaian jika menggunakan sifat dasar proporsi dan mengalikan kedua ruas persamaan dengan penyebut yang sama. (Tambahkan ke solusinya: kecualikan dari akar-akarnya hal-hal yang membuat penyebut yang sama hilang).

4. Pemahaman awal materi baru.

Bekerja berpasangan. Siswa memilih sendiri cara menyelesaikan persamaan tergantung pada jenis persamaannya. Tugas dari buku teks “Aljabar 8”, 2007: No. 000 (b, c, i); No.000(a,d,g). Guru memantau penyelesaian tugas, menjawab setiap pertanyaan yang muncul, dan memberikan bantuan kepada siswa yang berprestasi rendah. Tes mandiri: jawaban ditulis di papan tulis.

b) 2 – akar asing. Jawaban: 3.

c) 2 – akar asing. Jawaban: 1.5.

a) Jawaban: -12.5.

g) Jawaban: 1;1.5.

5. Menetapkan pekerjaan rumah.

2. Pelajari algoritma penyelesaian persamaan rasional pecahan.

3. Menyelesaikannya dalam buku catatan No. 000 (a, d, e); Nomor 000(g, jam).

4. Cobalah untuk menyelesaikan No. 000(a) (opsional).

6. Menyelesaikan tugas kontrol pada topik yang dipelajari.

Pekerjaan itu dilakukan pada selembar kertas.

Contoh tugas:

A) Persamaan manakah yang rasional pecahan?

B) Suatu pecahan sama dengan nol jika pembilangnya __________ dan penyebutnya _______________________.

Q) Apakah angka -3 merupakan akar persamaan nomor 6?

D) Selesaikan persamaan no.7.

Kriteria penilaian tugas:

“5” diberikan jika siswa menyelesaikan lebih dari 90% tugas dengan benar. “4” - 75%-89% “3” - 50%-74% “2” diberikan kepada siswa yang menyelesaikan kurang dari 50% tugas. Peringkat 2 tidak diberikan dalam jurnal, 3 bersifat opsional.

7. Refleksi.

Pada lembar kerja mandiri, cantumkan:

1 – jika pelajarannya menarik dan dapat Anda pahami; 2 – menarik, tetapi tidak jelas; 3 – tidak menarik, tapi bisa dimengerti; 4 – tidak menarik, tidak jelas.

8. Menyimpulkan pelajaran.

Jadi, hari ini dalam pelajaran kita berkenalan dengan persamaan rasional pecahan, belajar menyelesaikan persamaan ini dengan berbagai cara, dan menguji pengetahuan kita dengan bantuan pekerjaan pendidikan mandiri. Anda akan mempelajari hasil kerja mandiri Anda pada pelajaran berikutnya, dan di rumah Anda akan memiliki kesempatan untuk mengkonsolidasikan pengetahuan Anda.

Menurut Anda, metode penyelesaian persamaan rasional pecahan manakah yang lebih mudah, mudah diakses, dan rasional? Terlepas dari metode penyelesaian persamaan rasional pecahan, apa yang harus Anda ingat? Apa yang dimaksud dengan “liciknya” persamaan rasional pecahan?

Terima kasih semuanya, pelajaran sudah selesai.

Tujuan pelajaran:

Pendidikan:

pembentukan konsep persamaan rasional pecahan;
pertimbangkan berbagai cara untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan;
pertimbangkan algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan, termasuk syarat pecahan sama dengan nol;
mengajarkan penyelesaian persamaan rasional pecahan dengan menggunakan algoritma;
memeriksa tingkat penguasaan topik dengan melakukan tes.

Pembangunan:

pengembangan kemampuan untuk mengoperasikan dengan benar pengetahuan yang diperoleh dan berpikir logis;
pengembangan keterampilan intelektual dan operasi mental - analisis, sintesis, perbandingan dan generalisasi;
pengembangan inisiatif, kemampuan mengambil keputusan, dan tidak berhenti di situ;
pengembangan pemikiran kritis;
pengembangan keterampilan penelitian.

Mendidik:

menumbuhkan minat kognitif terhadap mata pelajaran;
menumbuhkan kemandirian dalam memecahkan masalah pendidikan;
memupuk kemauan dan ketekunan untuk mencapai hasil akhir.

Jenis pelajaran: pelajaran - penjelasan materi baru.

Kemajuan pelajaran

1. Momen organisasi.

Halo teman-teman! Ada persamaan yang tertulis di papan tulis, perhatikan baik-baik. Bisakah kamu menyelesaikan semua persamaan ini? Mana yang tidak dan mengapa?

2. Memperbarui pengetahuan. Survei frontal, pekerjaan lisan dengan kelas.

Dan sekarang kita akan mengulangi materi teori utama yang kita perlukan untuk mempelajari topik baru. Silakan jawab pertanyaan-pertanyaan berikut:

Apa itu persamaan? ( Kesetaraan dengan variabel atau variabel.)
Apa nama persamaan nomor 1? ( Linier.) Suatu metode untuk menyelesaikan persamaan linear. ( Pindahkan semua bilangan yang tidak diketahui ke ruas kiri persamaan, semua bilangan ke kanan. Berikan istilah serupa. Temukan faktor yang tidak diketahui).
Apa nama persamaan nomor 3? ( Persegi.) Metode penyelesaian persamaan kuadrat. ( Mengisolasi persegi lengkap menggunakan rumus menggunakan teorema Vieta dan akibat wajarnya.)
Apa itu proporsi? ( Kesetaraan dua rasio.) Sifat utama proporsi. ( Jika proporsinya benar, maka hasil kali suku ekstrimnya sama dengan hasil kali suku tengahnya.)
Properti apa yang digunakan saat menyelesaikan persamaan? ( 1. Jika Anda memindahkan suatu suku dalam suatu persamaan dari satu bagian ke bagian lain, mengubah tandanya, Anda akan mendapatkan persamaan yang setara dengan persamaan yang diberikan. 2. Jika kedua ruas persamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan bukan nol yang sama, maka diperoleh persamaan yang ekuivalen dengan bilangan yang diberikan.)
Kapan pecahan sama dengan nol? ( Pecahan sama dengan nol jika pembilangnya nol dan penyebutnya bukan nol..)

3. Penjelasan materi baru.

Selesaikan persamaan No. 2 di buku catatan Anda dan di papan tulis.

Menjawab: 10.

Persamaan rasional pecahan apa yang dapat kamu coba selesaikan dengan menggunakan sifat dasar proporsi? (No.5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

Selesaikan persamaan No. 4 di buku catatan Anda dan di papan tulis.

Menjawab: 1,5.

Persamaan rasional pecahan apa yang dapat kamu selesaikan dengan mengalikan kedua ruas persamaan tersebut dengan penyebutnya? (No.6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.

Menjawab: 3;4.

Sekarang coba selesaikan persamaan nomor 7 dengan menggunakan salah satu cara berikut.


(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 =0 x 2 =5 D=49
x 3 =5 x 4 =-2			x 3 =5 x 4 =-2
Menjawab: 0;5;-2.			Menjawab: 5;-2.

Jelaskan mengapa ini terjadi? Mengapa ada tiga akar dalam satu kasus dan dua akar dalam kasus lainnya? Berapakah akar-akar persamaan rasional pecahan tersebut?

Apa perbedaan persamaan no 2 dan 4 dengan persamaan no 5,6,7? ( Pada persamaan no 2 dan 4 ada bilangan penyebutnya, no 5-7 adalah ekspresi dengan variabel.)
Apa akar persamaan? ( Nilai variabel yang persamaannya menjadi benar.)
Bagaimana cara mengetahui apakah suatu bilangan merupakan akar persamaan? ( Lakukan pemeriksaan.)

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 =-2.

Jika x=5, maka x(x-5)=0, artinya 5 adalah akar asing.

Jika x=-2, maka x(x-5)≠0.

Menjawab: -2.

Mari kita coba merumuskan algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan dengan cara ini. Anak-anak merumuskan sendiri algoritmanya.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan:

Pindahkan semuanya ke sisi kiri.
Kurangi pecahan menjadi penyebut yang sama.
Buatlah sistem: pecahan sama dengan nol jika pembilangnya sama dengan nol dan penyebutnya tidak sama dengan nol.
Selesaikan persamaannya.
Periksa pertidaksamaan untuk mengecualikan akar-akar asing.
Tuliskan jawabannya.

4. Pemahaman awal materi baru.

Bekerja berpasangan. Siswa memilih sendiri cara menyelesaikan persamaan tergantung pada jenis persamaannya. Tugas dari buku teks “Aljabar 8”, Yu.N. Makarychev, 2007: No.600(b,c,i); No.601(a,e,g). Guru memantau penyelesaian tugas, menjawab setiap pertanyaan yang muncul, dan memberikan bantuan kepada siswa yang berprestasi rendah. Tes mandiri: jawaban ditulis di papan tulis.

b) 2 – akar asing. Jawaban: 3.

c) 2 – akar asing. Jawaban: 1.5.

a) Jawaban: -12.5.

g) Jawaban: 1;1.5.

5. Menetapkan pekerjaan rumah.

Baca paragraf 25 dari buku teks, analisis contoh 1-3.
Pelajari algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan.
Selesaikan dalam buku catatan No. 600 (a, d, e); No.601(g,h).
Cobalah untuk menyelesaikan No. 696(a) (opsional).

6. Menyelesaikan tugas kontrol pada topik yang dipelajari.

Pekerjaan itu dilakukan pada selembar kertas.

Contoh tugas:

A) Persamaan manakah yang rasional pecahan?

B) Suatu pecahan sama dengan nol jika pembilangnya __________ dan penyebutnya _______________________.

Q) Apakah angka -3 merupakan akar persamaan nomor 6?

D) Selesaikan persamaan no.7.

Kriteria penilaian tugas:

“5” diberikan jika siswa menyelesaikan lebih dari 90% tugas dengan benar.
"4" - 75%-89%
"3" - 50%-74%
“2” diberikan kepada siswa yang menyelesaikan kurang dari 50% tugas.
Peringkat 2 tidak diberikan dalam jurnal, 3 bersifat opsional.

7. Refleksi.

Pada lembar kerja mandiri, cantumkan:

1 – jika pelajarannya menarik dan dapat Anda pahami;
2 – menarik, tetapi tidak jelas;
3 – tidak menarik, tapi bisa dimengerti;
4 – tidak menarik, tidak jelas.

8. Menyimpulkan pelajaran.

Terima kasih semuanya, pelajaran sudah selesai.

Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.

Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

Saat Anda mengajukan permohonan di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat email, dll.

Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda:

Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami menghubungi Anda dengan penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting.
Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk keperluan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian guna meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi mengenai layanan kami.
Jika Anda berpartisipasi dalam undian berhadiah, kontes, atau promosi serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.

Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

Jika diperlukan - sesuai dengan hukum, prosedur peradilan, dalam proses hukum, dan/atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari otoritas pemerintah di wilayah Federasi Rusia - untuk mengungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menganggap bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga penerus yang berlaku.

Perlindungan informasi pribadi

Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin.

Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat.

Memecahkan persamaan rasional pecahan

Panduan Referensi

Persamaan rasional adalah persamaan yang ruas kiri dan ruas kanannya merupakan ekspresi rasional.

(Ingat: ekspresi rasional adalah ekspresi bilangan bulat dan pecahan tanpa radikal, termasuk operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian atau pembagian - misalnya: 6x; (m – n)2; x/3y, dll.)

Persamaan rasional pecahan biasanya direduksi menjadi bentuk:

Di mana P(X) Dan Q(X) adalah polinomial.

Untuk menyelesaikan persamaan tersebut, kalikan kedua ruas persamaan dengan Q(x), yang dapat menyebabkan munculnya akar-akar asing. Oleh karena itu, ketika menyelesaikan persamaan rasional pecahan, perlu dilakukan pengecekan akar-akar yang ditemukan.

Persamaan rasional disebut bilangan bulat, atau aljabar, jika tidak dibagi dengan ekspresi yang mengandung variabel.

Contoh persamaan rasional utuh:

5x – 10 = 3(10 – x)

3x
- = 2x – 10
4

Jika dalam suatu persamaan rasional terdapat pembagian dengan ekspresi yang mengandung variabel (x), maka persamaan tersebut disebut rasional pecahan.

Contoh persamaan rasional pecahan:

15
x + - = 5x – 17
X

Persamaan rasional pecahan biasanya diselesaikan sebagai berikut:

1) temukan penyebut pecahan yang sama dan kalikan kedua ruas persamaan dengan penyebut tersebut;

2) selesaikan seluruh persamaan yang dihasilkan;

3) mengecualikan dari akar-akarnya yang mengurangi penyebut pecahan menjadi nol.

Contoh penyelesaian persamaan rasional bilangan bulat dan pecahan.

Contoh 1. Mari selesaikan seluruh persamaan

x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

Larutan:

Menemukan penyebut persekutuan terkecil. Ini adalah 6. Bagilah 6 dengan penyebutnya dan kalikan hasilnya dengan pembilang setiap pecahan. Kami memperoleh persamaan yang setara dengan ini:

3(x – 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

Karena ruas kiri dan ruas kanan mempunyai penyebut yang sama, maka ruas kiri dan ruas kanan dapat dihilangkan. Kemudian kita mendapatkan persamaan yang lebih sederhana:

3(x – 1) + 4x = 5x.

Kami menyelesaikannya dengan membuka tanda kurung dan menggabungkan suku-suku serupa:

3x – 3 + 4x = 5x

3x + 4x – 5x = 3

Contohnya terpecahkan.

Contoh 2. Selesaikan persamaan rasional pecahan

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x – 5 x x(x – 5)

Menemukan penyebut yang sama. Ini adalah x(x – 5). Jadi:

x 2 – 3x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x – 5) x(x – 5) x(x – 5)

Sekarang kita hilangkan lagi penyebutnya, karena penyebutnya sama untuk semua ekspresi. Kita kurangi suku-suku serupa, samakan persamaannya dengan nol dan dapatkan persamaan kuadrat:

x 2 – 3x + x – 5 = x + 5

x 2 – 3x + x – 5 – x – 5 = 0

x 2 – 3x – 10 = 0.

Setelah menyelesaikan persamaan kuadrat, kita menemukan akar-akarnya: –2 dan 5.

Mari kita periksa apakah bilangan-bilangan ini merupakan akar-akar persamaan aslinya.

Pada x = –2, penyebutnya x(x – 5) tidak hilang. Artinya –2 adalah akar persamaan awal.

Pada x = 5, penyebutnya menjadi nol, dan dua dari tiga ekspresi menjadi tidak berarti. Artinya angka 5 bukanlah akar persamaan aslinya.

Jawaban: x = –2

Lebih banyak contoh

Contoh 1.

x 1 =6, x 2 = - 2.2.

Jawaban: -2,2;6.

Contoh 2.