lalu mereka mengatakan itu variabel acak ξ memiliki fungsi kepadatan probabilitas f(x).

Definisi. Membiarkan . Untuk fungsi distribusi kontinu F teoritis α-kuantil disebut penyelesaian persamaan tersebut.

Solusi ini mungkin bukan satu-satunya.

Tingkat kuantil ½ disebut teoretis median , tingkat kuantil ¼ Dan ¾ -kuartil bawah dan atas masing-masing.

Dalam aplikasi aktuaria memegang peranan penting Ketimpangan Chebyshev:

kapan saja

Simbol ekspektasi matematis.

Bunyinya seperti ini: probabilitas modulus lebih besar atau sama dengan ekspektasi matematis modulus dibagi .

Seumur hidup sebagai variabel acak

Ketidakpastian saat kematian merupakan faktor risiko utama dalam asuransi jiwa.

Tidak ada hal pasti yang dapat dikatakan mengenai momen kematian seseorang. Namun, jika kita berhadapan dengan sekelompok besar orang yang homogen dan tidak tertarik dengan nasib individu dari kelompok tersebut, maka kita berada dalam kerangka teori probabilitas sebagai ilmu tentang fenomena acak massa yang memiliki sifat stabilitas frekuensi. .

Masing-masing, kita dapat berbicara tentang harapan hidup sebagai variabel acak T.

Fungsi bertahan hidup

Teori probabilitas menjelaskan sifat stokastik dari setiap variabel acak T fungsi distribusi F(x), yang didefinisikan sebagai probabilitas bahwa variabel acak T kurang dari angka X:

.

Dalam matematika aktuaria, menyenangkan untuk bekerja bukan dengan fungsi distribusi, namun dengan fungsi distribusi tambahan . Dalam hal umur panjang, ini adalah kemungkinan seseorang akan hidup sampai usia tertentu X bertahun-tahun.

ditelepon fungsi kelangsungan hidup(fungsi kelangsungan hidup):

Fungsi survival mempunyai sifat sebagai berikut:

Tabel kehidupan biasanya berasumsi ada beberapa batas usia (membatasi usia) (biasanya bertahun-tahun) dan, karenanya, pada x>.

Saat menggambarkan kematian berdasarkan hukum analitis, biasanya diasumsikan bahwa masa hidup tidak terbatas, namun jenis dan parameter hukum dipilih sedemikian rupa sehingga kemungkinan adanya kehidupan di luar usia tertentu dapat diabaikan.

Fungsi survival memiliki arti statistik sederhana.

Katakanlah kita sedang mengamati sekelompok bayi baru lahir (biasanya), yang kita amati dan dapat merekam momen kematiannya.

Mari kita nyatakan jumlah perwakilan kelompok ini yang masih hidup pada usia dengan . Kemudian:

.

Simbol E di sini dan di bawah ini digunakan untuk menunjukkan ekspektasi matematis.

Jadi, fungsi kelangsungan hidup sama dengan proporsi rata-rata mereka yang bertahan hidup sampai usia tertentu dari kelompok bayi baru lahir tertentu.

Dalam matematika aktuaria, seseorang sering kali bekerja bukan dengan fungsi kelangsungan hidup, namun dengan nilai yang baru saja diperkenalkan (menetapkan ukuran kelompok awal).

Fungsi kelangsungan hidup dapat direkonstruksi dari kepadatan:

Karakteristik Umur

Dari sudut pandang praktis, ciri-ciri berikut ini penting:

1 . Rata-rata waktu hidup

,
2 . Penyebaran seumur hidup

,
Di mana
,

Teori probabilitas adalah cabang matematika yang mempelajari pola fenomena acak: kejadian acak, variabel acak, sifat-sifatnya, dan operasinya.

Untuk waktu yang lama, teori probabilitas tidak memiliki definisi yang jelas. Itu baru dirumuskan pada tahun 1929. Munculnya teori probabilitas sebagai ilmu dimulai pada Abad Pertengahan dan upaya pertama analisis matematis perjudian (flake, dadu, roulette). Matematikawan Perancis abad ke-17 Blaise Pascal dan Pierre Fermat, saat mempelajari prediksi kemenangan dalam perjudian, menemukan pola probabilistik pertama yang muncul saat melempar dadu.

Teori probabilitas muncul sebagai ilmu dari keyakinan bahwa pola-pola tertentu mendasari peristiwa acak massal. Teori probabilitas mempelajari pola-pola ini.

Teori probabilitas berkaitan dengan studi tentang peristiwa-peristiwa yang kejadiannya tidak diketahui secara pasti. Hal ini memungkinkan Anda untuk menilai tingkat kemungkinan terjadinya beberapa peristiwa dibandingkan dengan peristiwa lainnya.

Misalnya: tidak mungkin menentukan dengan jelas hasil “kepala” atau “ekor” akibat pelemparan sebuah uang logam, tetapi jika dilempar berkali-kali, hasilnya kira-kira nomor yang sama“heads” dan “tails”, artinya peluang mendapatkan “heads” atau “tails” adalah 50%.

Tes dalam hal ini pelaksanaan sekumpulan syarat tertentu disebut, yaitu dalam hal ini lemparan koin. Tantangan ini dapat dimainkan berkali-kali tanpa batas. Dalam hal ini, himpunan kondisi mencakup faktor acak.

Hasil tesnya adalah peristiwa. Peristiwa tersebut terjadi:

1. Dapat diandalkan (selalu terjadi sebagai hasil pengujian).
2. Tidak mungkin (tidak pernah terjadi).
3. Acak (mungkin terjadi atau tidak sebagai hasil tes).

Misalnya, saat melempar koin, peristiwa yang mustahil terjadi - koin akan mendarat di tepinya, peristiwa acak - munculnya "kepala" atau "ekor". Hasil tes spesifik disebut acara dasar. Sebagai hasil dari tes tersebut, hanya kejadian-kejadian dasar yang terjadi. Himpunan semua hasil tes yang mungkin, berbeda, dan spesifik disebut ruang acara dasar.

Konsep dasar teori

Kemungkinan- derajat kemungkinan terjadinya suatu peristiwa. Jika alasan terjadinya suatu peristiwa yang mungkin terjadi lebih besar daripada alasan sebaliknya, maka peristiwa tersebut disebut mungkin terjadi, sebaliknya - tidak mungkin atau tidak mungkin terjadi.

Variabel acak- ini adalah besaran yang, sebagai hasil pengujian, dapat mengambil nilai tertentu, dan tidak diketahui sebelumnya yang mana. Misalnya: jumlah per stasiun pemadam kebakaran per hari, jumlah tembakan dengan 10 tembakan, dll.

Variabel acak dapat dibagi menjadi dua kategori.

1. Variabel acak diskrit adalah besaran yang, sebagai hasil pengujian, dapat mengambil nilai tertentu dengan probabilitas tertentu, sehingga membentuk himpunan terhitung (himpunan yang unsur-unsurnya dapat diberi nomor). Himpunan ini dapat berhingga atau tak terhingga. Misalnya, jumlah tembakan sebelum sasaran pertama mengenai sasaran merupakan variabel acak diskrit, karena besaran ini dapat mempunyai jumlah nilai yang tidak terbatas, meskipun dapat dihitung.
2. Variabel acak kontinu adalah besaran yang dapat mengambil nilai apa pun dari suatu interval berhingga atau tak terhingga. Jelasnya, jumlah nilai yang mungkin dari variabel acak kontinu tidak terbatas.

Ruang probabilitas- konsep yang diperkenalkan oleh A.N. Kolmogorov pada tahun 30-an abad ke-20 memformalkan konsep probabilitas, yang memunculkan pesatnya perkembangan teori probabilitas sebagai disiplin matematika yang ketat.

Ruang probabilitas adalah rangkap tiga (terkadang diapit tanda kurung siku: , di mana

Ini adalah himpunan arbitrer, yang elemen-elemennya disebut peristiwa, hasil, atau titik dasar;
- aljabar sigma dari himpunan bagian yang disebut peristiwa (acak);
- ukuran probabilitas atau probabilitas, mis. ukuran terbatas aditif sigma sedemikian rupa sehingga .

Teorema De Moivre-Laplace- salah satu teorema limit teori probabilitas, yang ditetapkan oleh Laplace pada tahun 1812. Dinyatakan bahwa jumlah keberhasilan ketika mengulangi percobaan acak yang sama berulang kali dengan dua kemungkinan hasil kira-kira berdistribusi normal. Ini memungkinkan Anda menemukan perkiraan nilai probabilitas.

Jika untuk masing-masing percobaan bebas peluang terjadinya suatu kejadian acak sama dengan () dan merupakan banyaknya percobaan dimana kejadian tersebut benar-benar terjadi, maka peluang terjadinya pertidaksamaan tersebut mendekati (untuk nilai yang besar) dengan nilai integral Laplace.

Fungsi distribusi dalam teori probabilitas- fungsi yang mengkarakterisasi distribusi variabel acak atau vektor acak; probabilitas bahwa variabel acak X akan bernilai kurang dari atau sama dengan x, dengan x adalah bilangan real sembarang. Jika kondisi yang diketahui terpenuhi, maka variabel acak akan ditentukan sepenuhnya.

Ekspektasi- nilai rata-rata variabel acak (ini adalah distribusi probabilitas variabel acak, yang dipertimbangkan dalam teori probabilitas). Dalam literatur berbahasa Inggris dilambangkan dengan , dalam bahasa Rusia - . Dalam statistika, notasi sering digunakan.

Biarkan ruang probabilitas diberikan dan variabel acak ditentukan di dalamnya. Menurut definisi, itu adalah fungsi yang dapat diukur. Kemudian, jika terdapat integral Lebesgue pada ruang angkasa, maka disebut ekspektasi matematis, atau nilai rata-rata, dan dilambangkan dengan .

Varians dari variabel acak- ukuran penyebaran variabel acak tertentu, yaitu penyimpangannya dari ekspektasi matematis. Itu ditunjuk dalam literatur Rusia dan asing. Dalam statistika, notasi atau sering digunakan. Akar kuadrat dari varians disebut deviasi standar, deviasi standar, atau penyebaran standar.

Misalkan suatu variabel acak didefinisikan pada ruang probabilitas tertentu. Kemudian

dimana simbol menunjukkan ekspektasi matematis.

Dalam teori probabilitas, dua kejadian acak disebut mandiri, jika kemunculan salah satu dari peristiwa tersebut tidak mengubah peluang terjadinya peristiwa lainnya. Demikian pula, dua variabel acak dipanggil bergantung, jika nilai salah satunya mempengaruhi probabilitas nilai lainnya.

Bentuk paling sederhana dari hukum bilangan besar adalah teorema Bernoulli, yang menyatakan bahwa jika peluang suatu kejadian sama di semua percobaan, maka dengan bertambahnya jumlah percobaan, frekuensi kejadian cenderung ke peluang kejadian dan tidak lagi acak.

Hukum bilangan besar dalam teori probabilitas menyatakan bahwa rata-rata aritmatika dari sampel berhingga dari suatu distribusi tetap mendekati rata-rata teoretis dari distribusi tersebut. Tergantung pada jenis konvergensi, perbedaan dibuat antara hukum bilangan besar yang lemah, ketika konvergensi terjadi karena probabilitas, dan hukum bilangan besar yang kuat, ketika konvergensi hampir pasti.

Arti umum dari hukum bilangan besar adalah bahwa aksi gabungan dari sejumlah besar faktor acak yang identik dan independen menghasilkan hasil yang, sampai batas tertentu, tidak bergantung pada kebetulan.

Metode untuk memperkirakan probabilitas berdasarkan analisis sampel terbatas didasarkan pada sifat ini. Contoh nyatanya adalah perkiraan hasil pemilu berdasarkan survei terhadap sampel pemilih.

Teorema limit pusat- kelas teorema dalam teori probabilitas yang menyatakan bahwa jumlah sejumlah besar variabel acak yang bergantung lemah yang memiliki skala yang kira-kira sama (tidak ada suku yang mendominasi atau memberikan kontribusi yang menentukan terhadap jumlah tersebut) memiliki distribusi mendekati normal.

Karena banyak variabel acak dalam aplikasi terbentuk di bawah pengaruh beberapa faktor acak yang bergantung lemah, distribusinya dianggap normal. Dalam hal ini harus dipenuhi syarat bahwa tidak ada satupun faktor yang dominan. Teorema limit pusat dalam kasus ini membenarkan penggunaan distribusi normal.

1. Rumus untuk menghitung peluang kejadian

1.3.1. Urutan tes independen (sirkuit Bernoulli)

Misalkan suatu percobaan dapat dilakukan berulang kali pada kondisi yang sama. Biarkan pengalaman ini tercipta N kali, yaitu urutan N tes.

Definisi. Selanjutnya N tes disebut saling mandiri , jika peristiwa apa pun yang terkait dengan pengujian tertentu tidak bergantung pada peristiwa apa pun yang terkait dengan pengujian lainnya.

Mari kita asumsikan bahwa suatu peristiwa A mungkin terjadi P sebagai hasil dari satu tes atau tidak mungkin terjadi Q= 1- P.

Definisi . Urutan N tes membentuk skema Bernoulli jika kondisi berikut terpenuhi:

selanjutnya N tes saling independen,

2) kemungkinan suatu kejadian A tidak berubah dari percobaan ke percobaan dan tidak bergantung pada hasil percobaan lainnya.

Peristiwa A disebut “keberhasilan” pengujian, dan kejadian sebaliknya disebut “kegagalan”. Pertimbangkan peristiwa tersebut

=( masuk N tes terjadi dengan tepat M"kesuksesan").

Untuk menghitung peluang kejadian ini, rumus Bernoulli berlaku

P() =
, M = 1, 2, …, N , (1.6)

Di mana - jumlah kombinasi N elemen oleh M :

=
=
.

Contoh 1.16. Sebuah dadu dilempar sebanyak tiga kali. Menemukan:

a) peluang munculnya 6 titik dua kali;

b) peluang munculnya angka enam tidak lebih dari dua kali.

Larutan . Kami akan mempertimbangkan “keberhasilan” pengujian ketika sisi dengan gambar 6 titik muncul pada dadu.

a) Jumlah total tes – N=3, jumlah “keberhasilan” – M = 2. Kemungkinan “berhasil” - P=, dan kemungkinan “kegagalan” adalah Q= 1 - =.

.

Kemudian, menurut rumus Bernoulli, peluang munculnya sisi yang mempunyai enam angka dua kali pada pelemparan sebuah dadu sebanyak tiga kali adalah sama dengan A b) Mari kita nyatakan dengan suatu peristiwa yang berarti bahwa pihak dengan skor 6 akan muncul tidak lebih dari dua kali. Maka peristiwa tersebut dapat direpresentasikan sebagai jumlah dari tiga yang tidak kompatibel acara
,

Di mana DI DALAM SEBUAH=

DI DALAM 3 0 – peristiwa ketika sisi yang diinginkan tidak pernah muncul,

DI DALAM 3 1 - peristiwa ketika tepi yang diinginkan muncul satu kali,

3 2 - peristiwa ketika sisi yang diinginkan muncul dua kali.

P(A) Menggunakan rumus Bernoulli (1.6) kita temukan
) = P(
)=
+
+
=

=
.

1.3.2. Probabilitas bersyarat suatu peristiwa

= hal (

Probabilitas bersyarat mencerminkan pengaruh suatu peristiwa terhadap kemungkinan peristiwa lainnya. Mengubah kondisi di mana percobaan dilakukan juga mempengaruhi

Definisi. pada kemungkinan terjadinya peristiwa yang menarik. A Membiarkan Dan B P(Dan)> 0.

– beberapa peristiwa, dan probabilitas Probabilitas bersyarat A acara Dandengan ketentuan bahwa “acara sudah P(A Dan). terjadi” adalah perbandingan peluang terjadinya peristiwa-peristiwa tersebut dengan peluang suatu peristiwa yang terjadi lebih awal dari peristiwa yang perlu dicari peluangnya. Probabilitas bersyarat dilambangkan sebagai

P (A  Dan) =
. (1.7)

Kemudian menurut definisi Contoh 1.17.

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6).

Dua buah dadu dilempar. Ruang kejadian dasar terdiri dari pasangan-pasangan bilangan yang terurut A Pada Contoh 1.16 ditentukan bahwa kejadian tersebut =(jumlah poin pada dadu pertama > 4) dan kejadian C

.

Hubungan tersebut dapat diartikan sebagai berikut. Misalkan diketahui hasil lemparan pertama, banyaknya angka pada dadu pertama > 4. Oleh karena itu pelemparan dadu kedua akan menghasilkan salah satu dari 12 hasil yang membentuk kejadian tersebut. A:

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) .

Di acara ini =(jumlah poin pada dadu pertama > 4) dan kejadian hanya dua di antaranya yang dapat menandingi (5,3) (6,2). Dalam hal ini, kemungkinan kejadiannya =(jumlah poin pada dadu pertama > 4) dan kejadian akan sama
. Demikian informasi tentang terjadinya suatu peristiwa A mempengaruhi kemungkinan terjadinya suatu peristiwa =(jumlah poin pada dadu pertama > 4) dan kejadian.

Kemungkinan terjadinya peristiwa

Teorema perkalian

Kemungkinan terjadinya peristiwaA 1 A 2  A N ditentukan oleh rumus

P(A 1 A 2  A N)= hal(A 1)P(A 2  A 1)) P(A N  A 1 A 2  A N- 1). (1.8)

Untuk hasil kali dua kejadian berikut ini

P(AB)= hal(A B) hal{Dan)= hal(Dan A)P{A). (1.9)

Contoh 1.18. Dalam batch yang terdiri dari 25 produk, 5 produk cacat. 3 item dipilih secara acak berturut-turut. Tentukan probabilitas bahwa semua produk yang dipilih cacat.

Larutan. Mari kita nyatakan peristiwanya:

A 1 = (produk pertama cacat),

A 2 = (produk kedua cacat),

A 3 = (produk ketiga cacat),

A = (semua produk cacat).

Peristiwa A adalah produk dari tiga peristiwa A = A 1 A 2 A 3 .

Dari teorema perkalian (1.6) kita dapatkan

P(A)= hal( A 1 A 2 A 3 ) = P(A 1) P(A 2  A 1))P(A 3  A 1 A 2).

Definisi klasik tentang probabilitas memungkinkan kita untuk menemukannya P(A 1) adalah perbandingan jumlah produk cacat dengan jumlah total produk:

P(A 1)= ;

P(A 2) – Ini rasio jumlah produk cacat yang tersisa setelah penghilangan satu produk dengan jumlah total produk yang tersisa:

P(A 2  A 1))= ;

P(A 3) – ini adalah perbandingan jumlah produk cacat yang tersisa setelah penghilangan dua produk cacat dengan jumlah total produk yang tersisa:

P(A 3  A 1 A 2)=.

Maka kemungkinan kejadiannya A akan sama

P(A) ==
.

Di blog saya, terjemahan kuliah berikutnya dari kursus “Prinsip Keseimbangan Game” oleh desainer game Jan Schreiber, yang mengerjakan proyek seperti Marvel Trading Card Game dan Playboy: the Mansion.

Ke Hari ini hampir semua yang kita bicarakan bersifat deterministik, dan minggu lalu kita mencermati mekanika transitif, membahas sedetail yang bisa saya jelaskan. Namun hingga saat ini kami belum memperhatikan aspek lain dari banyak permainan, yaitu aspek non-deterministik – dengan kata lain, keacakan.

Memahami sifat keacakan sangat penting bagi desainer game. Kami menciptakan sistem yang memengaruhi pengalaman pengguna dalam game tertentu, jadi kami perlu mengetahui cara kerja sistem tersebut. Jika terdapat keacakan dalam suatu sistem, kita perlu memahami sifat keacakan ini dan mengetahui cara mengubahnya agar mendapatkan hasil yang kita perlukan.

Dadu

Mari kita mulai dengan sesuatu yang sederhana - melempar dadu. Ketika kebanyakan orang memikirkan dadu, mereka memikirkan dadu bersisi enam yang dikenal sebagai d6. Tetapi sebagian besar gamer telah melihat banyak dadu lainnya: tetrahedral (d4), segi delapan (d8), dua belas sisi (d12), dua puluh sisi (d20). Jika Anda seorang geek sejati, Anda mungkin memiliki dadu bersisi 30 atau 100 di suatu tempat.

Jika Anda belum familiar dengan terminologinya, d berarti dadu, dan angka setelahnya adalah jumlah sisinya. Jika angka tersebut muncul sebelum d, berarti menunjukkan jumlah dadu yang akan dilempar. Misalnya, dalam permainan Monopoli Anda melakukan roll 2d6.

Jadi, dalam hal ini, frasa “dadu” adalah simbol. Ada jumlah yang sangat besar generator angka acak lainnya yang tidak terlihat seperti angka plastik, tetapi menjalankan fungsi yang sama - menghasilkan nomor acak dari 1 sampai n. Koin biasa juga dapat direpresentasikan sebagai dadu dihedral d2.

Saya melihat dua desain dadu bersisi tujuh: salah satunya terlihat seperti dadu, dan yang kedua lebih mirip dadu bersisi tujuh. pensil kayu. Dreidel tetrahedral, juga dikenal sebagai titotum, mirip dengan tulang tetrahedral. Papan panah berputar di Chutes & Ladders, di mana skornya dapat berkisar dari 1 hingga 6, setara dengan dadu bersisi enam.

Generator angka acak di komputer dapat menghasilkan angka apa pun dari 1 hingga 19 jika perancangnya menentukannya, meskipun komputer tersebut tidak memiliki dadu bersisi 19 (secara umum, saya akan membahas lebih lanjut tentang kemungkinan munculnya angka pada dadu bersisi 19). komputer minggu depan). Semua item ini terlihat berbeda, namun kenyataannya setara: Anda memiliki peluang yang sama untuk masing-masing dari beberapa kemungkinan hasil.

Dadu mempunyai beberapa khasiat menarik yang perlu kita ketahui. Pertama, kemungkinan mendarat di kedua sisi adalah sama (saya berasumsi Anda melempar dadu berbentuk biasa). Jika Anda ingin mengetahui nilai rata-rata sebuah gulungan (bagi mereka yang termasuk dalam probabilitas, ini dikenal sebagai nilai yang diharapkan), jumlahkan nilai pada semua sisi dan bagi angka tersebut dengan jumlah sisi.

Jumlah nilai semua sisi dadu bersisi enam standar adalah 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Bagilah 21 dengan jumlah sisinya dan dapatkan nilai rata-rata pelemparannya: 21 / 6 = 3,5. Ini kasus khusus, karena kami berasumsi bahwa semua hasil memiliki kemungkinan yang sama.

Bagaimana jika Anda memiliki dadu khusus? Misalnya, saya melihat permainan dengan segi enam dadu dengan stiker khusus di sisinya: 1, 1, 1, 2, 2, 3, sehingga berperilaku seperti dadu bersisi tiga yang aneh yang lebih mungkin untuk melempar angka 1 daripada 2, dan lebih mungkin untuk mendaratkan angka 2 daripada a 3. Berapa nilai pelemparan rata-rata dadu ini? Jadi, 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 10, dibagi 6 - hasilnya 5/3, atau kira-kira 1,66. Jadi, jika Anda memiliki dadu khusus dan para pemain melempar tiga dadu lalu menjumlahkan hasilnya - Anda tahu bahwa lemparan mereka akan berjumlah sekitar 5, dan Anda dapat menyeimbangkan permainan berdasarkan asumsi tersebut.

Dadu dan Kemerdekaan

Seperti yang telah saya katakan, kami berangkat dari asumsi bahwa masing-masing pihak memiliki kemungkinan yang sama untuk tersingkir. Tidak masalah berapa banyak dadu yang Anda lempar. Setiap pelemparan dadu bersifat independen, artinya pelemparan dadu sebelumnya tidak mempengaruhi hasil pelemparan dadu berikutnya. Dengan uji coba yang cukup, Anda pasti akan melihat pola angka - misalnya, sebagian besar nilai yang lebih tinggi atau lebih rendah - atau fitur lainnya, tetapi itu tidak berarti dadu itu "panas" atau "dingin". Kita akan membicarakannya nanti.

Jika sebuah dadu standar bersisi enam dilempar dan angka 6 muncul dua kali berturut-turut, peluang munculnya angka 6 pada pelemparan berikutnya adalah tepat 1/6. . Pada saat yang sama, probabilitasnya tidak berkurang: salah jika beralasan bahwa angka 6 telah muncul dua kali berturut-turut, yang berarti sekarang sisi lain harus muncul.

Tentu saja, jika Anda melempar sebuah dadu dua puluh kali dan mendapatkan angka 6 setiap kali, kemungkinan Anda mendapatkan angka 6 pada kedua puluh satu kali cukup tinggi: mungkin Anda hanya salah memasukkan dadu. Namun jika dadunya adil, masing-masing pihak mempunyai peluang yang sama untuk mendarat, terlepas dari hasil pelemparan dadu lainnya. Anda juga dapat membayangkan bahwa kita mengganti dadu setiap kali: jika angka 6 dilempar dua kali berturut-turut, keluarkan dadu “panas” dari permainan dan ganti dengan yang baru. Saya minta maaf jika ada di antara Anda yang sudah mengetahui hal ini, namun saya perlu menjelaskannya sebelum melanjutkan.

Cara membuat dadu bergulir kurang lebih acak

Mari kita bicara tentang cara mendapatkan hasil berbeda pada dadu yang berbeda. Baik Anda melempar dadu hanya sekali atau beberapa kali, permainan akan terasa lebih acak ketika dadu memiliki lebih banyak sisi. Semakin sering Anda harus melempar dadu, dan semakin banyak dadu yang Anda lempar, maka hasilnya semakin mendekati rata-rata.

Misalnya, dalam kasus 1d6 + 4 (yaitu, jika Anda melempar dadu standar bersisi enam satu kali dan menambahkan 4 pada hasilnya), rata-ratanya adalah angka antara 5 dan 10. Jika Anda melempar 5d2, rata-ratanya adalah juga akan berupa angka antara 5 dan 10. Hasil pengguliran 5d2 sebagian besar akan berupa angka 7 dan 8, lebih jarang nilai lainnya. Deret yang sama, meskipun nilai rata-ratanya sama (dalam kedua kasus 7,5), tetapi sifat keacakannya berbeda.

Tunggu sebentar. Bukankah saya baru saja mengatakan bahwa dadu tidak "panas" atau "dingin"? Sekarang saya katakan: jika Anda melempar banyak dadu, hasil lemparannya akan mendekati rata-rata. Mengapa?

Biar saya jelaskan. Jika Anda melempar satu dadu, setiap sisi mempunyai peluang yang sama untuk mendarat. Artinya, jika Anda melempar banyak dadu dari waktu ke waktu, setiap sisinya akan muncul dengan jumlah yang sama. Semakin banyak dadu yang Anda lempar, maka hasil totalnya akan mendekati rata-rata.

Hal ini bukan karena nomor yang ditarik “memaksa” ditariknya nomor lain yang belum ditarik. Namun karena rangkaian kecil pelemparan angka 6 (atau 20, atau angka lainnya) pada akhirnya tidak akan terlalu mempengaruhi hasil jika Anda melempar dadu sepuluh ribu kali lagi dan sebagian besar akan muncul angka rata-rata. Sekarang Anda akan mendapatkan beberapa angka besar, dan kemudian beberapa angka kecil - dan seiring waktu angka tersebut akan semakin mendekati rata-rata.

Ini bukan karena pelemparan sebelumnya mempengaruhi dadu (serius, dadu itu terbuat dari plastik, tidak punya otak untuk berpikir, "Oh, sudah lama sekali kamu tidak melempar angka 2"), tetapi karena biasanya hal ini terjadi. terjadi ketika Anda melempar banyak lemparan dadu

Oleh karena itu, cukup mudah untuk membuat perhitungan untuk satu pelemparan dadu secara acak - setidaknya untuk menghitung nilai rata-rata pelemparan tersebut. Ada juga cara untuk menghitung "seberapa acak" sesuatu dan mengatakan bahwa hasil pengguliran 1d6+4 akan "lebih acak" daripada 5d2. Untuk 5d2, gulungan akan lebih merata. Untuk melakukan ini, Anda perlu menghitung simpangan baku: semakin besar nilainya, semakin acak hasilnya. Saya tidak ingin memberikan begitu banyak perhitungan hari ini; saya akan menjelaskan topik ini nanti.

Satu-satunya hal yang saya ingin Anda ingat adalah, sebagai aturan umum, semakin sedikit dadu yang Anda lempar, semakin besar keacakannya. Dan semakin banyak sisi yang dimiliki sebuah dadu, semakin besar keacakannya, karena semakin banyak pilihan yang memungkinkan makna.

Cara Menghitung Probabilitas Menggunakan Penghitungan

Anda mungkin mempunyai pertanyaan: bagaimana kita bisa menghitung probabilitas yang tepat untuk mendapatkannya hasil tertentu? Faktanya, ini cukup penting untuk banyak permainan: jika Anda pertama kali melempar dadu, kemungkinan besar akan ada hasil yang optimal. Jawaban saya adalah: kita perlu menghitung dua nilai. Pertama, jumlah total hasil pelemparan dadu, dan kedua, jumlah hasil yang menguntungkan. Membagi nilai kedua dengan nilai pertama akan menghasilkan probabilitas yang diinginkan. Untuk mendapatkan persentasenya, kalikan hasilnya dengan 100.

Contoh

Ini adalah contoh yang sangat sederhana. Anda ingin angka 4 atau lebih tinggi melempar dadu bersisi enam satu kali. Jumlah maksimal Ada 6 hasil (1, 2, 3, 4, 5, 6). Dari jumlah tersebut, 3 hasil (4, 5, 6) menguntungkan. Artinya untuk menghitung probabilitas, kita membagi 3 dengan 6 dan mendapatkan 0,5 atau 50%.

Berikut ini contoh yang sedikit lebih rumit. Anda menginginkan bilangan genap saat menggulirkan 2d6. Jumlah hasil maksimum adalah 36 (6 pilihan untuk setiap dadu, satu dadu tidak mempengaruhi yang lain, jadi kalikan 6 dengan 6 dan dapatkan 36). Kesulitan masalah dari jenis ini adalah mudah untuk menghitung dua kali. Misalnya, saat menggulirkan 2d6, ada dua kemungkinan hasil 3: 1+2 dan 2+1. Kelihatannya sama, namun perbedaannya adalah nomor mana yang ditampilkan pada dadu pertama dan nomor mana yang ditampilkan pada dadu kedua.

Anda juga bisa membayangkan dadu itu warna yang berbeda: Jadi, misalnya dalam hal ini satu dadu berwarna merah, yang lainnya berwarna biru. Kemudian hitung jumlah opsi untuk menggulirkan bilangan genap:

• 2 (1+1);
• 4 (1+3);
• 4 (2+2);
• 4 (3+1);
• 6 (1+5);
• 6 (2+4);
• 6 (3+3);
• 6 (4+2);
• 6 (5+1);
• 8 (2+6);
• 8 (3+5);
• 8 (4+4);
• 8 (5+3);
• 8 (6+2);
• 10 (4+6);
• 10 (5+5);
• 10 (6+4);
• 12 (6+6).

Ternyata ada 18 opsi untuk hasil yang menguntungkan dari 36 opsi - seperti pada kasus sebelumnya, probabilitasnya adalah 0,5 atau 50%. Mungkin tidak terduga, tapi cukup akurat.

Simulasi Monte Carlo

Bagaimana jika Anda memiliki terlalu banyak dadu untuk perhitungan ini? Misalnya, Anda ingin mengetahui peluang mendapatkan total 15 atau lebih saat menggulirkan 8d6. Untuk delapan dadu ada variasi yang sangat besar hasil yang berbeda, dan menghitungnya secara manual akan memakan waktu yang sangat lama - meskipun kami menemukan solusi yang baik untuk mengelompokkan rangkaian lemparan dadu yang berbeda.

Dalam hal ini, cara termudah adalah tidak menghitung secara manual, melainkan menggunakan komputer. Ada dua cara untuk menghitung probabilitas di komputer. Metode pertama dapat memberi Anda jawaban yang akurat, namun melibatkan sedikit pemrograman atau skrip. Komputer akan melihat setiap kemungkinan, mengevaluasi dan menghitung jumlah total iterasi dan jumlah iterasi yang sesuai dengan hasil yang diinginkan, lalu memberikan jawabannya. Kode Anda mungkin terlihat seperti ini:

Jika Anda tidak memahami pemrograman dan Anda memerlukan jawaban perkiraan daripada jawaban pasti, Anda bisa mensimulasikan situasi ini di Excel, di mana Anda memutar 8d6 beberapa ribu kali dan mendapatkan jawabannya. Untuk menggulung 1d6 di Excel, gunakan rumus =LANTAI(RAND()*6)+1.

Ada nama untuk situasi ketika Anda tidak tahu jawabannya dan hanya mencoba berkali-kali - simulasi Monte Carlo. Ini adalah solusi bagus untuk digunakan ketika menghitung probabilitas terlalu sulit. Hal hebatnya adalah dalam kasus ini kita tidak perlu memahami cara kerja matematika, dan kita tahu bahwa jawabannya akan "cukup bagus" karena, seperti yang sudah kita ketahui, semakin banyak lemparan, semakin dekat hasilnya dengan hasil yang diperoleh. rata-rata.

Bagaimana menggabungkan uji coba independen

Jika Anda bertanya tentang beberapa pengulangan tetapi tes independen, maka hasil lemparan yang satu tidak mempengaruhi hasil lemparan lainnya. Ada penjelasan lain yang lebih sederhana untuk situasi ini.

Bagaimana membedakan sesuatu yang bergantung dan mandiri? Pada dasarnya, jika Anda dapat mengisolasi setiap lemparan (atau rangkaian lemparan) sebuah dadu sebagai kejadian terpisah, maka dadu tersebut independen. Misalnya, kita memutar 8d6 dan menginginkan total 15. Acara ini tidak dapat dibagi menjadi beberapa lemparan dadu yang berdiri sendiri. Untuk mendapatkan hasilnya, Anda menghitung jumlah semua nilai, sehingga hasil yang muncul pada satu dadu mempengaruhi hasil yang muncul pada dadu lainnya.

Berikut ini contoh lemparan independen: Anda sedang memainkan permainan dadu, dan Anda melempar dadu bersisi enam beberapa kali. Gulungan pertama harus bernilai 2 atau lebih tinggi agar dapat bertahan dalam permainan. Untuk lemparan kedua - 3 atau lebih tinggi. Yang ketiga membutuhkan angka 4 atau lebih tinggi, yang keempat membutuhkan angka 5 atau lebih tinggi, dan yang kelima membutuhkan angka 6. Jika kelima gulungan berhasil, Anda menang. Dalam hal ini, semua lemparan bersifat independen. Ya, jika satu lemparan tidak berhasil, hal itu akan mempengaruhi hasil keseluruhan permainan, tetapi satu lemparan tidak mempengaruhi lemparan lainnya. Misalnya, jika pelemparan dadu kedua Anda sangat berhasil, bukan berarti pelemparan dadu berikutnya akan sama bagusnya. Oleh karena itu, kita dapat mempertimbangkan probabilitas setiap pelemparan dadu secara terpisah.

kalau sudah probabilitas independen dan Anda ingin mengetahui probabilitas semua peristiwa yang terjadi, Anda menentukan probabilitas masing-masing dan mengalikannya. Cara lain: jika Anda menggunakan konjungsi “dan” untuk mendeskripsikan beberapa kondisi (misalnya, berapa peluang terjadinya suatu kejadian acak dan kejadian acak independen lainnya?) - hitung probabilitas individu dan kalikan.

Apa pun yang Anda pikirkan, jangan pernah menjumlahkan probabilitas independen. Ini adalah kesalahan umum. Untuk memahami mengapa hal ini salah, bayangkan situasi di mana Anda melempar koin dan ingin mengetahui kemungkinan mendapatkan gambar dua kali berturut-turut. Kemungkinan masing-masing pihak tersingkir adalah 50%. Jika Anda menjumlahkan kedua probabilitas ini, Anda mempunyai peluang 100% untuk mendapatkan gambar utama, namun kami tahu hal tersebut tidak benar karena bisa saja hasil tersebut muncul dua kali berturut-turut. Jika Anda mengalikan kedua probabilitas, Anda mendapatkan 50% * 50% = 25% - yang merupakan jawaban yang benar untuk menghitung probabilitas mendapatkan gambar dua kali berturut-turut.

Contoh

Mari kita kembali ke permainan dadu bersisi enam, di mana pertama-tama Anda harus melempar angka yang lebih besar dari 2, kemudian lebih besar dari 3 - dan seterusnya hingga 6. Berapakah peluang bahwa dalam rangkaian lima pelemparan tertentu, semua hasilnya akan menguntungkan? ?

Seperti yang dinyatakan di atas, ini adalah uji coba independen, jadi kami menghitung probabilitas untuk setiap lemparan dan kemudian mengalikannya. Peluang hasil pelemparan pertama menguntungkan adalah 5/6. Kedua - 4/6. Ketiga - 3/6. Yang keempat - 2/6, yang kelima - 1/6. Kami mengalikan semua hasil satu sama lain dan mendapatkan sekitar 1,5%. Kemenangan dalam permainan ini cukup jarang terjadi, sehingga jika Anda menambahkan elemen ini ke dalam permainan Anda, Anda memerlukan jackpot yang cukup besar.

Penyangkalan

Ini satu lagi petunjuk yang berguna: Kadang-kadang sulit untuk menghitung peluang terjadinya suatu peristiwa, namun lebih mudah untuk menentukan peluang tidak terjadinya suatu peristiwa. Sebagai contoh, katakanlah kita mempunyai permainan lain: Anda mendapatkan angka 6d6 dan menang jika Anda mendapatkan angka 6 setidaknya sekali. Berapa probabilitas untuk menang?

Dalam hal ini, ada banyak pilihan yang perlu dipertimbangkan. Kemungkinan akan keluar satu angka 6, yaitu salah satu dadu menunjukkan angka 6, dan dadu yang lain menunjukkan angka 1 sampai 5, maka ada 6 pilihan dadu yang mana yang menunjukkan angka 6. Anda bisa mendapatkan angka 6 pada dua dadu, atau tiga, atau bahkan lebih, dan setiap kali Anda perlu melakukan perhitungan terpisah, sehingga mudah menjadi bingung di sini.

Tapi mari kita lihat masalahnya dari sisi lain. Anda akan kalah jika tidak ada satu pun dadu yang menghasilkan angka 6. Dalam hal ini kita memiliki 6 percobaan independen. Peluang munculnya angka selain 6 pada setiap dadu adalah 5/6. Lipat gandakan dan Anda mendapatkan sekitar 33%. Jadi, kemungkinan kalah adalah satu banding tiga. Oleh karena itu, kemungkinan menang adalah 67% (atau dua banding tiga).

Jelas dari contoh ini: jika Anda menghitung probabilitas bahwa suatu peristiwa tidak akan terjadi, Anda perlu mengurangi hasilnya dari 100%. Jika peluang menang 67%, maka peluang kalah 100% dikurangi 67% atau 33%, begitu pula sebaliknya. Jika sulit menghitung satu probabilitas tetapi mudah menghitung kebalikannya, hitung kebalikannya lalu kurangi angka tersebut dari 100%.

Kami menggabungkan kondisi untuk satu tes independen

Saya katakan di atas bahwa Anda tidak boleh menambahkan probabilitas pada uji coba independen. Apakah ada kasus yang memungkinkan untuk menjumlahkan probabilitasnya? Ya, dalam satu situasi khusus.

Jika Anda ingin menghitung probabilitas beberapa hasil menguntungkan yang tidak berhubungan dalam satu percobaan, jumlahkan probabilitas setiap hasil menguntungkan. Misalnya, peluang munculnya angka 4, 5, atau 6 pada 1d6 sama dengan jumlah peluang munculnya angka 4, peluang munculnya angka 5, dan peluang munculnya angka 6. Situasi ini dapat dibayangkan seperti ini: jika Anda menggunakan konjungsi “atau” dalam pertanyaan tentang probabilitas (misalnya, berapa probabilitas hasil tertentu dari satu kejadian acak?) - hitung probabilitas individu dan jumlahkan.

Harap diperhatikan: saat Anda menghitung semua kemungkinan hasil suatu permainan, jumlah probabilitas kemunculannya harus sama dengan 100%, jika tidak, perhitungan Anda salah. Ini cara yang baik periksa kembali perhitungan Anda. Misalnya, Anda menganalisis probabilitas semua kombinasi dalam poker. Jika Anda menjumlahkan semua hasil, Anda akan mendapatkan tepat 100% (atau setidaknya mendekati 100%: jika Anda menggunakan kalkulator, mungkin ada kesalahan pembulatan kecil, tetapi jika Anda menjumlahkan angka pastinya dengan tangan, semuanya harus bertambah). Jika jumlahnya tidak konvergen, kemungkinan besar Anda tidak memperhitungkan beberapa kombinasi atau salah menghitung probabilitas beberapa kombinasi, dan perhitungan tersebut perlu diperiksa ulang.

Probabilitas yang tidak sama

Sejauh ini kita berasumsi bahwa setiap sisi dadu dilempar dengan frekuensi yang sama, karena seperti itulah cara kerja dadu. Namun terkadang Anda mungkin menghadapi situasi di mana hasil yang berbeda mungkin terjadi dan peluang kemunculannya berbeda.

Misalnya di salah satu add-on permainan kartu Perang Nuklir memiliki arena bermain dengan panah, yang menjadi sandaran hasil peluncuran roket. Paling sering ia menimbulkan kerusakan normal, lebih kuat atau lebih lemah, tetapi terkadang kerusakannya berlipat ganda atau tiga kali lipat, atau roket meledak di landasan peluncuran dan melukai Anda, atau peristiwa lain terjadi. Berbeda dengan lapangan bermain dengan panah di Chutes & Ladders atau A Game of Life, hasil papan permainan di Nuclear War tidak merata. Beberapa bagian lapangan permainan lebih besar dan panahnya lebih sering berhenti di sana, sementara bagian lainnya sangat kecil dan panahnya jarang berhenti di sana.

Jadi, sekilas, dadu terlihat seperti ini: 1, 1, 1, 2, 2, 3 - kita sudah membicarakannya, ini seperti 1d3 berbobot. Oleh karena itu, kita perlu membagi semua bagian ini menjadi bagian-bagian yang sama, mencari satuan ukuran terkecil, yang pembaginya adalah kelipatan semuanya, dan kemudian merepresentasikan situasinya dalam bentuk d522 (atau lainnya) di mana himpunan dadu menghadap akan mewakili situasi yang sama, tetapi dengan hasil yang lebih banyak. Ini adalah salah satu cara untuk menyelesaikan masalah, dan secara teknis dapat dilakukan, namun ada pilihan yang lebih sederhana.

Mari kita kembali ke dadu bersisi enam standar kita. Kami telah mengatakan bahwa untuk menghitung lemparan rata-rata dadu normal, Anda perlu menjumlahkan nilai pada semua sisi dan membaginya dengan jumlah sisi, tetapi bagaimana tepatnya cara kerja penghitungannya? Ada cara lain untuk mengungkapkan hal ini. Untuk sebuah dadu bersisi enam, peluang munculnya masing-masing sisi dadu tepat 1/6. Sekarang kita mengalikan hasil setiap sisi dengan probabilitas hasil tersebut (dalam hal ini, 1/6 untuk setiap sisi), lalu menjumlahkan nilai yang dihasilkan. Jadi, jumlahkan (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6 ), kita mendapatkan hasil yang sama (3,5) seperti pada perhitungan di atas. Faktanya, kita menghitung dengan cara ini setiap saat: kita mengalikan setiap hasil dengan probabilitas hasil tersebut.

Bisakah kita melakukan perhitungan yang sama untuk panah di lapangan dalam Perang Nuklir? Tentu saja kita bisa. Dan jika kita menjumlahkan semua hasil yang ditemukan, kita akan mendapatkan nilai rata-ratanya. Yang perlu kita lakukan hanyalah menghitung probabilitas setiap hasil panah di lapangan dan mengalikannya dengan nilai hasil.

Contoh lain

Metode penghitungan rata-rata ini juga cocok jika kemungkinan hasilnya sama tetapi memiliki keuntungan yang berbeda - misalnya, jika Anda melempar dadu dan menang lebih banyak di satu sisi dibandingkan sisi lainnya. Misalnya, mari kita ambil permainan kasino: Anda memasang taruhan dan melakukan roll 2d6. Jika tiga angka digulirkan nilai terendah(2, 3, 4) atau empat angka dengan nilai tinggi(9, 10, 11, 12) - Anda akan memenangkan jumlah yang sama dengan taruhan Anda. Angka dengan nilai terendah dan tertinggi adalah angka spesial: jika Anda mendapatkan angka 2 atau 12, Anda menang dua kali lipat dari taruhan Anda. Jika ada nomor lain yang keluar (5, 6, 7, 8), Anda akan kehilangan taruhan Anda. Itu cantik permainan sederhana. Tapi seberapa besar kemungkinan menangnya?

Mari kita mulai dengan menghitung berapa kali Anda bisa menang. Jumlah maksimum hasil pada pengguliran 2d6 adalah 36. Berapakah jumlah hasil yang diinginkan?

• Ada 1 opsi pelemparan angka 2, dan 1 opsi pelemparan angka 12.
• Ada 2 pilihan yang akan digulung 3 dan 2 pilihan yang akan digulung 11.
• Ada 3 pilihan dimana angka 4 akan dilempar, dan 3 pilihan dimana angka 10 akan dilempar.
• Ada 4 opsi untuk menggulirkan angka 9.

Menjumlahkan semua opsi, kami mendapatkan 16 hasil yang menguntungkan dari 36. Jadi, dengan kondisi normal Anda akan menang 16 kali dari 36 kemungkinan - kemungkinan menang sedikit kurang dari 50%.

Namun dalam dua kasus dari enam belas kasus ini, Anda akan menang dua kali lebih banyak - ini seperti menang dua kali. Jika Anda memainkan permainan ini 36 kali, bertaruh $1 setiap kali, dan setiap kemungkinan hasil muncul satu kali, Anda akan memenangkan total $18 (Anda sebenarnya akan menang 16 kali, tetapi dua di antaranya akan dihitung sebagai dua kemenangan). Jika Anda bermain 36 kali dan memenangkan $18, bukankah itu berarti peluangnya sama?

Tidak usah buru-buru. Jika Anda menghitung berapa kali Anda bisa kalah, Anda akan mendapatkan 20, bukan 18. Jika Anda bermain 36 kali, bertaruh $1 setiap kali, Anda akan memenangkan total $18 jika Anda mencapai semua pilihan pemenang. Namun Anda akan kehilangan total $20 jika Anda mendapatkan semua 20 hasil yang tidak menguntungkan. Akibatnya, Anda akan sedikit tertinggal: Anda kehilangan rata-rata $2 bersih untuk setiap 36 pertandingan (Anda juga dapat mengatakan bahwa Anda kehilangan rata-rata 1/18 dolar per hari). Sekarang Anda melihat betapa mudahnya membuat kesalahan dalam kasus ini dan salah menghitung probabilitas.

Penyusunan kembali

Selama ini kita berasumsi bahwa urutan angka pada pelemparan dadu tidak menjadi masalah. Menggulung 2 + 4 sama dengan menggulung 4 + 2. Dalam kebanyakan kasus, kami menghitung secara manual jumlah hasil yang diinginkan, namun terkadang metode ini tidak praktis dan lebih baik menggunakan rumus matematika.

Contoh situasi ini adalah dari permainan dadu Farkle. Untuk setiap babak baru, Anda mendapatkan 6d6. Jika Anda beruntung dan mendapatkan semua kemungkinan hasil 1-2-3-4-5-6 (lurus), Anda akan mendapatkan bonus besar. Seberapa besar kemungkinan hal ini terjadi? Dalam hal ini, ada banyak pilihan untuk mendapatkan kombinasi ini.

Penyelesaiannya sebagai berikut: salah satu dadu (dan hanya satu) harus berangka 1. Berapa banyak cara munculnya angka 1 pada satu dadu? Ada 6 pilihan, karena ada 6 dadu, dan salah satunya bisa jatuh pada angka 1. Oleh karena itu, ambil satu dadu dan sisihkan. Sekarang salah satu dadu yang tersisa harus melempar angka 2. Ada 5 pilihan untuk ini. Ambil dadu lain dan sisihkan. Kemudian 4 dadu yang tersisa akan menghasilkan angka 3, 3 dadu yang tersisa akan menghasilkan angka 4, 2 dadu yang tersisa akan menghasilkan angka 5. Hasilnya, Anda hanya mempunyai satu dadu yang akan menghasilkan angka 6 (dalam kasus terakhir, dadu hanya memiliki satu tulang, dan tidak ada pilihan).

Untuk menghitung jumlah hasil yang menguntungkan dalam pukulan lurus, kita mengalikan semua kemungkinan independen yang berbeda: 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1=720 - tampaknya terdapat cukup banyak kemungkinan munculnya kombinasi ini .

Untuk menghitung peluang mendapatkan garis lurus, kita perlu membagi 720 dengan jumlah semua kemungkinan hasil pada pengguliran 6d6. Berapa jumlah semua kemungkinan hasil? Setiap dadu bisa mempunyai 6 sisi, jadi kita kalikan 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 46656 (angka yang jauh lebih besar dari yang sebelumnya). Bagilah 720 dengan 46656 dan kita mendapatkan probabilitas sekitar 1,5%. Jika Anda merancang game ini, ada baiknya Anda mengetahui hal ini sehingga Anda dapat membuat sistem penilaian yang sesuai. Sekarang kami memahami mengapa di Farkle Anda mendapatkan bonus sebesar itu jika Anda mendapatkan straight: ini adalah situasi yang cukup jarang terjadi.

Hasilnya juga menarik karena alasan lain. Contoh tersebut menunjukkan betapa jarangnya hasil yang sesuai dengan probabilitas terjadi dalam waktu singkat. Tentu saja, jika kita melempar beberapa ribu dadu, wajah yang berbeda dadu akan muncul cukup sering. Namun ketika kita hanya melempar enam dadu, hampir tidak pernah muncul setiap wajah. Menjadi jelas bahwa adalah bodoh untuk mengharapkan sekarang akan muncul garis yang belum terjadi, karena “kita sudah lama tidak menggulirkan angka 6”. Dengar, generator nomor acakmu rusak.

Hal ini membawa kita pada kesalahpahaman umum bahwa semua hasil terjadi pada frekuensi yang sama dalam periode waktu yang singkat. Jika kita melempar dadu beberapa kali, frekuensi jatuhnya masing-masing sisi tidak akan sama.

Jika Anda pernah mengerjakan game online dengan semacam generator angka acak sebelumnya, kemungkinan besar Anda pernah menghadapi situasi di mana seorang pemain menulis ke dukungan teknis dengan keluhan bahwa generator angka acak tidak menampilkan angka acak. Dia sampai pada kesimpulan ini karena dia membunuh 4 monster berturut-turut dan menerima 4 hadiah yang persis sama, dan hadiah ini hanya akan muncul 10% dari waktu, jadi ini jelas hampir tidak pernah terjadi.

Anda sedang melakukan perhitungan matematis. Probabilitasnya adalah 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10, yaitu 1 hasil dalam 10 ribu adalah kasus yang jarang terjadi. Inilah yang coba disampaikan pemain kepada Anda. Apakah ada masalah dalam kasus ini?

Itu semua tergantung pada keadaan. Berapa banyak pemain yang saat ini ada di server Anda? Katakanlah Anda memiliki game yang cukup populer dan 100 ribu orang memainkannya setiap hari. Berapa banyak pemain yang bisa membunuh empat monster berturut-turut? Mungkin semuanya, beberapa kali dalam sehari, tapi anggap saja setengah dari mereka hanya memperdagangkan berbagai item di lelang, mengobrol di server RP, atau melakukan aktivitas dalam game lainnya - jadi hanya setengah dari mereka yang berburu monster. Berapa peluang seseorang mendapat imbalan yang sama? Dalam situasi ini, Anda dapat memperkirakan hal ini akan terjadi setidaknya beberapa kali sehari.

Ngomong-ngomong, inilah mengapa sepertinya setiap beberapa minggu seseorang memenangkan lotre, meskipun orang tersebut bukanlah Anda atau siapa pun yang Anda kenal. Jika cukup banyak orang yang bermain secara teratur, kemungkinan besar akan ada setidaknya satu pemain yang beruntung di suatu tempat. Namun jika Anda bermain togel sendiri, kemungkinan besar Anda tidak akan menang, melainkan Anda akan diundang untuk bekerja di Infinity Ward.

Kartu dan kecanduan

Kita telah membahas peristiwa independen, seperti melempar dadu, dan sekarang mengetahui banyak alat yang ampuh untuk menganalisis keacakan di banyak permainan. Menghitung probabilitas sedikit lebih rumit ketika mengambil kartu dari dek, karena setiap kartu yang kita ambil memengaruhi kartu yang tersisa di dek.

Jika Anda memiliki tumpukan kartu standar yang terdiri dari 52 kartu, Anda mengeluarkan 10 hati darinya dan ingin mengetahui kemungkinan bahwa kartu berikutnya akan memiliki jenis yang sama - kemungkinannya telah berubah dari aslinya karena Anda telah mengeluarkan satu kartu dari jenis tersebut hati dari dek. Setiap kartu yang Anda keluarkan mengubah kemungkinan munculnya kartu berikutnya di dek. Dalam hal ini, kejadian sebelumnya mempengaruhi kejadian berikutnya, jadi kita menyebutnya bergantung pada probabilitas.

Harap dicatat bahwa ketika saya mengatakan "kartu", yang saya maksud adalah mekanik permainan apa pun di mana Anda memiliki sekumpulan objek dan Anda menghapus salah satu objek tanpa menggantinya. “Setumpuk kartu” dalam hal ini dianalogikan dengan sekantong keripik tempat Anda mengambil satu keping, atau guci tempat diambilnya bola berwarna (Saya belum pernah melihat permainan dengan guci tempat diambilnya bola berwarna, tetapi guru teori probabilitas menurut apa -alasan mengapa contoh ini lebih disukai).

Properti Ketergantungan

Saya ingin menjelaskannya, kapan yang sedang kita bicarakan tentang kartunya, saya rasa Anda mengeluarkan kartunya, melihatnya, dan mengeluarkannya dari tumpukan. Masing-masing tindakan ini merupakan properti penting. Jika saya memiliki setumpuk, katakanlah, enam kartu dengan angka 1 sampai 6, saya akan mengocoknya dan menarik satu kartu, lalu mengocok keenam kartu itu lagi - ini akan mirip dengan melempar dadu bersisi enam, karena satu hasil memiliki tidak berpengaruh pada yang berikutnya. Dan jika saya mengeluarkan kartu dan tidak menggantinya, maka dengan mengeluarkan kartu 1, saya meningkatkan kemungkinan bahwa lain kali saya akan mengambil kartu dengan angka 6. Kemungkinannya akan meningkat hingga saya akhirnya mengeluarkan kartu itu atau mengocok dek.

Fakta bahwa kita sedang melihat kartu juga penting. Jika saya mengambil kartu dari tumpukan dan tidak melihatnya, saya tidak akan melihatnya informasi tambahan dan faktanya kemungkinannya tidak akan berubah. Ini mungkin terdengar berlawanan dengan intuisi. Bagaimana cara membalik kartu secara sederhana secara ajaib mengubah kemungkinannya? Namun hal ini mungkin terjadi karena Anda dapat menghitung probabilitas item yang tidak diketahui hanya dari apa yang Anda ketahui.

Misalnya, jika Anda mengocok setumpuk kartu standar dan memperlihatkan 51 kartu dan tidak ada satupun yang merupakan ratu klub, maka Anda dapat 100% yakin bahwa kartu yang tersisa adalah ratu klub. Jika Anda mengocok setumpuk kartu standar dan mengeluarkan 51 kartu tanpa melihatnya, kemungkinan kartu yang tersisa adalah ratu klub masih 1/52. Saat Anda membuka setiap kartu, Anda mendapatkan lebih banyak informasi.

Menghitung probabilitas untuk kejadian-kejadian dependen mengikuti prinsip yang sama seperti untuk kejadian-kejadian independen, hanya saja perhitungan ini sedikit lebih rumit karena probabilitasnya berubah seiring dengan pembukaan kartu. Jadi, Anda perlu memperbanyaknya arti yang berbeda, alih-alih mengalikan nilai yang sama. Artinya, kita perlu menggabungkan semua perhitungan yang kita lakukan ke dalam satu kombinasi.

Contoh

Anda mengocok setumpuk 52 kartu standar dan mengambil dua kartu. Berapa peluang terambilnya sepasang? Ada beberapa cara untuk menghitung probabilitas ini, tetapi mungkin yang paling sederhana adalah: berapa probabilitas jika Anda mengambil satu kartu, Anda tidak akan dapat menarik sepasang kartu? Probabilitas ini nol, jadi tidak masalah kartu pertama mana yang Anda ambil, asalkan cocok dengan kartu kedua. Tidak masalah kartu mana yang kita ambil terlebih dahulu, kita masih mempunyai peluang untuk menarik sepasang. Oleh karena itu, peluang terambilnya pasangan setelah kartu pertama diambil adalah 100%.

Berapa peluang terambilnya kartu kedua yang cocok dengan kartu pertama? Ada 51 kartu tersisa di dek, dan 3 di antaranya cocok dengan kartu pertama (sebenarnya akan ada 4 dari 52 kartu, tetapi Anda sudah mengeluarkan salah satu kartu yang cocok saat Anda mengambil kartu pertama), jadi kemungkinannya adalah 1/ 17. Jadi lain kali Anda bermain Texas Hold'em, pria di seberang meja Anda berkata, “Keren, sepasang lagi? Saya merasa beruntung hari ini,” Anda akan tahu bahwa ada kemungkinan besar dia menggertak.

Bagaimana jika kita menambahkan dua pelawak sehingga kita memiliki 54 kartu di tumpukan kartu dan ingin mengetahui berapa peluang terambilnya sepasang kartu? Kartu pertama mungkin adalah kartu joker, dan kemudian hanya akan ada satu kartu di tumpukan yang cocok, dan bukan tiga. Bagaimana cara mencari probabilitas dalam kasus ini? Kami akan membagi probabilitas dan mengalikan setiap kemungkinan.

Kartu pertama kita bisa berupa kartu joker atau kartu lainnya. Peluang terambilnya kartu joker adalah 2/54, peluang terambilnya kartu lain adalah 52/54. Jika kartu pertama adalah joker (2/54), maka peluang terambilnya kartu kedua cocok dengan kartu pertama adalah 1/53. Mengalikan nilainya (kita bisa mengalikannya karena itu peristiwa individu, dan kami ingin kedua peristiwa tersebut terjadi) dan kami mendapatkan 1/1431 - kurang dari sepersepuluh persen.

Jika Anda mengambil kartu lain terlebih dahulu (52/54), peluang terambilnya kartu kedua adalah 3/53. Kami mengalikan nilainya dan mendapatkan 78/1431 (sedikit lebih dari 5,5%). Apa yang kita lakukan dengan kedua hasil ini? Mereka tidak berpotongan, dan kami ingin mengetahui probabilitas masing-masingnya, jadi kami menambahkan nilainya. Kami mendapatkan hasil akhir 79/1431 (masih sekitar 5,5%).

Jika kita ingin memastikan keakuratan jawabannya, kita dapat menghitung probabilitas semua kemungkinan hasil lainnya: terambilnya joker dan tidak cocok dengan kartu kedua, atau terambilnya kartu lain dan tidak cocok dengan kartu kedua. Dengan menjumlahkan probabilitas ini dan probabilitas menang, kita akan mendapatkan tepat 100%. Saya tidak akan memberikan perhitungannya di sini, tetapi Anda dapat mencoba perhitungannya untuk mengecek ulang.

Paradoks Monty Hall

Hal ini membawa kita pada paradoks terkenal yang sering membingungkan banyak orang - Paradoks Monty Hall. Paradoks ini dinamai pembawa acara TV Let's Make a Deal. Bagi yang belum pernah menonton acara TV ini, ini adalah kebalikan dari The Price Is Right.

Di The Price Is Right, tuan rumah (Bob Barker dulunya adalah tuan rumah; siapa sekarang, Drew Carey? Sudahlah) adalah teman Anda. Dia ingin Anda memenangkan uang atau hadiah keren. Ini mencoba memberi Anda setiap peluang untuk menang, selama Anda bisa menebak berapa sebenarnya nilai barang yang dibeli oleh sponsor.

Monty Hall berperilaku berbeda. Dia seperti saudara kembar Bob Barker yang jahat. Tujuannya adalah membuat Anda terlihat seperti orang idiot di televisi nasional. Jika Anda tampil di acara itu, dia adalah lawan Anda, Anda bermain melawannya, dan kemungkinan besar menguntungkannya. Mungkin saya terlalu kasar, tapi melihat pertunjukan yang kemungkinan besar akan Anda ikuti jika Anda mengenakan kostum konyol, itulah yang saya pikirkan.

Salah satu meme paling terkenal dalam acara tersebut adalah: ada tiga pintu di depan Anda, pintu nomor 1, pintu nomor 2, dan pintu nomor 3. Anda dapat memilih satu pintu secara gratis. Di belakang salah satunya ada hadiah luar biasa - misalnya mobil baru. Tidak ada hadiah di balik dua pintu lainnya, keduanya tidak ada nilainya. Mereka seharusnya mempermalukan Anda, jadi di belakang mereka bukan hanya apa-apa, tapi sesuatu yang bodoh, misalnya seekor kambing atau pasta gigi yang besar - apa pun kecuali mobil baru.

Anda memilih salah satu pintu, Monty akan membukanya untuk memberi tahu Anda apakah Anda menang atau tidak... tapi tunggu. Sebelum kita mengetahuinya, mari kita lihat salah satu pintu yang tidak Anda pilih. Monty tahu pintu mana yang berisi hadiah, dan dia selalu bisa membuka pintu yang tidak ada hadiahnya. “Apakah kamu memilih pintu nomor 3? Kalau begitu mari kita buka pintu nomor 1 untuk menunjukkan bahwa tidak ada hadiah di baliknya." Dan sekarang, karena kemurahan hatinya, dia menawarkan Anda kesempatan untuk menukar pintu nomor 3 yang dipilih dengan apa yang ada di balik pintu nomor 2.

Pada titik ini, muncul pertanyaan tentang probabilitas: apakah peluang ini meningkatkan peluang Anda untuk menang, atau menurunkannya, atau tetap tidak berubah? Bagaimana menurut Anda?

Jawaban yang benar: kemampuan untuk memilih pintu lain meningkatkan kemungkinan menang dari 1/3 menjadi 2/3. Ini tidak masuk akal. Jika Anda belum pernah menemui paradoks ini sebelumnya, kemungkinan besar Anda berpikir: tunggu, bagaimana bisa dengan membuka satu pintu, kita secara ajaib mengubah kemungkinannya? Seperti yang telah kita lihat pada peta, inilah yang terjadi ketika kita memperoleh lebih banyak informasi. Tentunya saat pertama kali memilih, kemungkinan menangnya adalah 1/3. Ketika satu pintu terbuka, hal itu tidak mengubah kemungkinan menang untuk pilihan pertama sama sekali: kemungkinannya masih 1/3. Namun peluang pintu lainnya benar sekarang adalah 2/3.

Mari kita lihat contoh ini dari sudut pandang yang berbeda. Anda memilih pintu. Kemungkinan menang adalah 1/3. Saya sarankan Anda mengganti dua pintu lainnya, seperti yang dilakukan Monty Hall. Tentu, dia membuka salah satu pintu untuk mengungkapkan bahwa tidak ada hadiah di baliknya, tapi dia selalu bisa melakukan itu, jadi itu tidak mengubah apa pun. Tentu saja Anda ingin memilih pintu yang berbeda.

Jika Anda kurang memahami pertanyaannya dan memerlukan penjelasan yang lebih meyakinkan, klik tautan ini untuk dibawa ke aplikasi Flash kecil yang memungkinkan Anda menjelajahi paradoks ini lebih detail. Anda dapat bermain mulai dengan sekitar 10 pintu dan kemudian secara bertahap melanjutkan hingga permainan dengan tiga pintu. Ada juga simulator di mana Anda dapat bermain dengan jumlah pintu berapa pun dari 3 hingga 50, atau menjalankan beberapa ribu simulasi dan melihat berapa kali Anda akan menang jika bermain.

Pilih salah satu dari tiga pintu - kemungkinan menang adalah 1/3. Sekarang Anda punya dua strategi: ubah pilihan Anda setelah membuka pintu yang salah atau tidak. Jika Anda tidak mengubah pilihan Anda, maka kemungkinannya akan tetap 1/3, karena pilihan hanya terjadi pada tahap pertama, dan Anda harus segera menebaknya. Jika Anda berubah, maka Anda bisa menang jika Anda terlebih dahulu memilih pintu yang salah (kemudian mereka membuka pintu lain yang salah, yang benar tetap ada - dengan mengubah keputusan, Anda menerimanya). Peluang memilih pintu yang salah di awal adalah 2/3 - jadi ternyata dengan mengubah keputusan, Anda melipatgandakan kemungkinan menang.

Catatan dari guru matematika yang lebih tinggi dan spesialis dalam keseimbangan permainan Maxim Soldatov - tentu saja, Schreiber tidak memilikinya, tetapi tanpa dia Anda dapat memahami hal ini transformasi ajaib cukup sulit

Dan lagi tentang paradoks Monty Hall

Adapun acaranya sendiri: meskipun lawan Monty Hall tidak pandai matematika, dia pandai dalam hal itu. Inilah yang dia lakukan untuk sedikit mengubah permainan. Jika Anda memilih pintu yang memiliki hadiah di belakangnya, yang memiliki peluang 1/3 untuk terjadi, pintu tersebut akan selalu menawarkan Anda pilihan untuk memilih pintu lain. Anda akan memilih mobil dan menukarnya dengan seekor kambing dan Anda akan terlihat sangat bodoh - itulah yang Anda inginkan karena Hall adalah tipe orang jahat.

Namun jika Anda memilih pintu yang tidak memiliki hadiah di baliknya, dia hanya akan meminta Anda untuk memilih satu pintu lagi, atau dia hanya akan menunjukkan kambing baru Anda dan Anda akan meninggalkan panggung. Mari kita analisa ini permainan baru, di mana Monty Hall dapat memutuskan apakah akan menawarkan Anda kesempatan untuk memilih pintu lain atau tidak.

Misalkan dia mengikuti algoritme ini: jika Anda memilih pintu dengan hadiah, dia selalu menawarkan Anda kesempatan untuk memilih pintu lain, jika tidak, dia probabilitas yang sama akan menawarkanmu untuk memilih pintu lain atau memberimu seekor kambing. Berapa peluang Anda untuk menang?

Di salah satu tiga pilihan Anda segera memilih pintu di belakang tempat hadiah itu berada, dan presenter mempersilakan Anda untuk memilih yang lain.

Dari dua dari tiga opsi yang tersisa (Anda awalnya memilih pintu tanpa hadiah), dalam separuh kasus, presenter akan menawarkan Anda untuk mengubah keputusan, dan di separuh kasus lainnya - tidak.

Setengah dari 2/3 adalah 1/3, yaitu, dalam satu dari tiga kasus Anda akan mendapatkan seekor kambing, dalam satu dari tiga kasus Anda akan memilih pintu yang salah dan tuan rumah akan meminta Anda untuk memilih yang lain, dan dalam satu kasus dari tiga Anda akan memilih pintu yang tepat, tapi dia lagi dia akan menawarkan yang lain.

Jika presenter menawarkan untuk memilih pintu lain, kita sudah tahu bahwa satu dari tiga kasus, ketika dia memberi kita seekor kambing dan kita pergi, tidak terjadi. Ini informasi yang berguna: itu berarti peluang kita untuk menang telah berubah. Dua dari tiga kasus ketika kita memiliki kesempatan untuk memilih: dalam satu kasus berarti kita menebak dengan benar, dan di kasus lain kita salah menebak, jadi jika kita ditawari kesempatan untuk memilih, maka kemungkinan kita menang adalah 1/2 , dan dari sudut pandang matematika, tidak masalah apakah Anda tetap pada pilihan Anda atau memilih pintu lain.

Seperti poker, ini adalah permainan psikologis, bukan permainan matematika. Mengapa Monty memberi Anda pilihan? Dia berpikir bahwa Anda adalah orang bodoh yang tidak tahu bahwa memilih pintu lain adalah keputusan yang “tepat” dan akan dengan keras kepala mempertahankan pilihannya (bagaimanapun juga, secara psikologis situasinya lebih rumit, ketika Anda memilih mobil dan kemudian kehilangannya)?

Atau apakah dia, yang memutuskan bahwa Anda pintar dan akan memilih pintu lain, menawarkan Anda kesempatan ini karena dia tahu bahwa Anda menebak dengan benar dan akan ketagihan? Atau mungkin dia bersikap sangat baik dan mendorong Anda untuk melakukan sesuatu yang bermanfaat bagi Anda karena dia sudah lama tidak memberikan mobil dan produser mengatakan bahwa penonton mulai bosan dan akan lebih baik jika segera memberikan hadiah besar untuk melakukannya. ratingnya turun?

Dengan cara ini, Monty kadang-kadang berhasil menawarkan pilihan dan tetap menjaga kemungkinan menang secara keseluruhan pada 1/3. Ingatlah bahwa kemungkinan Anda kalah total adalah 1/3. Peluang Anda langsung menebak dengan benar adalah 1/3, dan 50% dari jumlah tersebut Anda akan menang (1/3 x 1/2 = 1/6).

Peluang Anda salah menebak pada awalnya tetapi kemudian mempunyai kesempatan untuk memilih pintu lain adalah 1/3, dan separuh dari waktu tersebut Anda akan menang (juga 1/6). Tambahkan dua kemungkinan kemenangan independen dan Anda mendapatkan probabilitas 1/3, jadi tidak masalah apakah Anda tetap pada pilihan Anda atau memilih pintu lain - probabilitas keseluruhan Anda untuk menang sepanjang permainan adalah 1/3.

Kemungkinannya tidak menjadi lebih besar daripada situasi ketika Anda menebak pintunya dan presenter hanya menunjukkan kepada Anda apa yang ada di baliknya, tanpa menawarkan untuk memilih yang lain. Inti dari usulan tersebut bukan untuk mengubah probabilitas, tetapi untuk membuat proses pengambilan keputusan lebih menyenangkan untuk ditonton di televisi.

Ngomong-ngomong, inilah salah satu alasan mengapa poker bisa begitu menarik: di sebagian besar format, di antara ronde ketika taruhan dibuat (misalnya, flop, turn, dan river di Texas Hold'em), kartu dibuka secara bertahap, dan jika di awal permainan Anda memiliki satu peluang untuk menang, maka setelah setiap ronde pertaruhan, saat itu terbuka lebih banyak kartu, kemungkinan ini berubah.

Paradoks laki-laki dan perempuan

Hal ini membawa kita ke paradoks terkenal lainnya, yang biasanya membingungkan semua orang - paradoks laki-laki dan perempuan. Satu-satunya hal yang saya tulis hari ini yang tidak berhubungan langsung dengan game (walaupun menurut saya saya hanya mendorong Anda untuk membuat mekanisme game yang sesuai). Ini lebih merupakan teka-teki, tetapi menarik, dan untuk menyelesaikannya, Anda perlu memahami probabilitas bersyarat, yang telah kita bicarakan di atas.

Masalah: Saya punya teman dengan dua anak, setidaknya salah satunya perempuan. Berapa peluang anak kedua juga perempuan? Mari kita asumsikan bahwa dalam keluarga mana pun peluang memiliki anak perempuan dan laki-laki adalah 50/50, dan hal ini berlaku untuk setiap anak.

Faktanya, beberapa pria memiliki lebih banyak sperma dengan kromosom X atau kromosom Y dalam spermanya, sehingga kemungkinannya sedikit berubah. Jika Anda mengetahui bahwa salah satu anak adalah perempuan, kemungkinan memiliki anak perempuan kedua sedikit lebih tinggi, dan terdapat kondisi lain, seperti hermafroditisme. Namun untuk mengatasi masalah ini, kami tidak akan memperhitungkan hal ini dan berasumsi bahwa kelahiran seorang anak adalah peristiwa yang independen dan kelahiran anak laki-laki dan perempuan memiliki kemungkinan yang sama.

Karena kita berbicara tentang peluang 1/2, secara intuitif kita berharap bahwa jawabannya kemungkinan besar adalah 1/2 atau 1/4, atau bilangan lain yang merupakan kelipatan dua penyebutnya. Tapi jawabannya 1/3. Mengapa?

Kesulitannya di sini adalah informasi yang kita miliki mengurangi jumlah kemungkinan. Misalkan orang tuanya adalah penggemar Sesame Street dan, terlepas dari jenis kelamin anak-anaknya, beri nama mereka A dan B. Dalam kondisi normal, ada empat kemungkinan yang sama: A dan B adalah dua laki-laki, A dan B adalah dua perempuan, A laki-laki, B perempuan, A perempuan, dan B laki-laki. Karena kita mengetahui bahwa setidaknya satu anak adalah perempuan, kita dapat mengesampingkan kemungkinan bahwa A dan B adalah dua laki-laki. Hal ini memberi kita tiga kemungkinan – masih sama kemungkinannya. Jika semua kemungkinan mempunyai peluang yang sama dan ada tiga kemungkinan, maka peluang masing-masing kemungkinan adalah 1/3. Hanya di salah satu dari tiga pilihan ini sama-sama anak perempuan, jadi jawabannya 1/3.

Dan lagi tentang paradoks laki-laki dan perempuan

Solusi terhadap masalah ini menjadi semakin tidak logis. Bayangkan teman saya mempunyai dua orang anak dan salah satunya adalah perempuan yang lahir pada hari Selasa. Mari kita asumsikan bahwa dalam kondisi normal, seorang anak dapat dilahirkan pada tujuh hari dalam seminggu dengan probabilitas yang sama. Berapa peluang anak kedua juga perempuan?

Anda mungkin mengira jawabannya masih 1/3: apa pentingnya hari Selasa? Namun bahkan dalam kasus ini, intuisi kita mengecewakan kita. Jawabannya adalah 27/13, yang tidak hanya tidak intuitif, tetapi juga sangat aneh. Ada apa dalam kasus ini?

Faktanya, hari Selasa mengubah probabilitas karena kita tidak tahu anak mana yang lahir pada hari Selasa, atau mungkin keduanya lahir pada hari Selasa. Dalam hal ini, kami menggunakan logika yang sama: kami menghitung semua kemungkinan kombinasi jika setidaknya satu anak adalah perempuan yang lahir pada hari Selasa. Seperti pada contoh sebelumnya, asumsikan anak tersebut diberi nama A dan B. Kombinasinya terlihat seperti ini:

• A adalah perempuan yang lahir pada hari Selasa, B adalah laki-laki (dalam situasi ini ada 7 kemungkinan, satu kemungkinan untuk setiap hari dalam seminggu dimana anak laki-laki bisa saja dilahirkan).
• B perempuan lahir hari Selasa, A laki-laki (juga 7 kemungkinan).
• A - anak perempuan yang lahir pada hari Selasa, B - anak perempuan yang lahir pada hari lain dalam seminggu (6 kemungkinan).
• B adalah anak perempuan yang lahir pada hari Selasa, A adalah anak perempuan yang tidak lahir pada hari Selasa (juga 6 kemungkinan).
• A dan B adalah dua anak perempuan yang lahir pada hari selasa (1 kemungkinan perlu diperhatikan agar tidak dihitung dua kali).

Kami menjumlahkan dan mendapatkan 27 kombinasi kelahiran anak dan hari yang sama-sama mungkin dengan setidaknya satu kemungkinan kelahiran anak perempuan pada hari Selasa. Dari jumlah tersebut, ada 13 kemungkinan lahirnya dua anak perempuan. Tampaknya juga sangat tidak masuk akal - sepertinya tugas ini diciptakan hanya untuk membuat sakit kepala. Jika Anda masih bingung, situs ahli teori permainan Jesper Juhl memiliki penjelasan yang bagus tentang masalah ini.

Jika saat ini Anda sedang mengerjakan sebuah game

Jika ada keacakan dalam game yang Anda rancang, inilah saat yang tepat untuk menganalisisnya. Pilih beberapa elemen yang ingin Anda analisis. Pertama-tama tanyakan pada diri Anda berapa kemungkinan yang Anda harapkan untuk suatu elemen tertentu, apa yang seharusnya ada dalam konteks permainan.

Misalnya, jika Anda membuat RPG dan Anda bertanya-tanya berapa kemungkinan pemain tersebut akan mengalahkan monster dalam pertempuran, tanyakan pada diri Anda berapa persentase menang tampaknya tepat bagi Anda. Biasanya dengan RPG konsol, pemain akan sangat kesal saat kalah, jadi sebaiknya mereka jarang kalah - 10% atau kurang. Jika Anda seorang desainer RPG, Anda mungkin lebih tahu daripada saya, tetapi Anda harus memiliki gambaran dasar tentang kemungkinannya.

Kemudian tanyakan pada diri Anda apakah probabilitas Anda bergantung (seperti pada kartu) atau independen (seperti pada dadu). Analisis semua kemungkinan hasil dan probabilitasnya. Pastikan jumlah semua probabilitas adalah 100%. Dan tentunya bandingkan hasil yang didapat dengan ekspektasi Anda. Apakah Anda sudah bisa melempar dadu atau menarik kartu sesuai keinginan Anda, atau sudah jelas nilainya perlu disesuaikan. Dan tentu saja, jika Anda menemukan kekurangan, Anda dapat menggunakan perhitungan yang sama untuk menentukan seberapa besar perubahan nilainya.

Tugas pekerjaan rumah

Milikmu pekerjaan rumah” minggu ini akan membantu Anda mengasah keterampilan probabilitas Anda. Berikut adalah dua permainan dadu dan permainan kartu yang akan Anda analisis menggunakan probabilitas, serta mekanisme permainan aneh yang pernah saya kembangkan yang akan menguji metode Monte Carlo.

Game #1 - Tulang Naga

Ini adalah permainan dadu yang pernah saya dan kolega saya buat (terima kasih kepada Jeb Havens dan Jesse King) - permainan ini secara khusus mengejutkan orang dengan probabilitasnya. Ini adalah permainan kasino sederhana yang disebut Dragon Dice, dan ini adalah kompetisi perjudian dadu antara pemain dan rumah.

Anda diberi dadu 1d6 normal. Tujuan permainan ini adalah untuk mendapatkan angka yang lebih tinggi dari angka rumah. Tom diberikan 1d6 non-standar - sama seperti milik Anda, tetapi di salah satu wajahnya, bukan unit, ada gambar naga (jadi, kasino memiliki kubus naga - 2-3-4-5-6 ). Jika rumah mendapat naga, otomatis menang dan Anda kalah. Jika keduanya mendapatkan angka yang sama, maka dinyatakan seri dan Anda melempar dadu lagi. Orang yang mendapatkan angka tertinggi adalah pemenangnya.

Tentu saja, semuanya tidak sepenuhnya menguntungkan pemain, karena kasino memiliki keunggulan dalam bentuk keunggulan naga. Tapi apakah ini benar? Inilah yang harus Anda hitung. Tapi periksa dulu intuisi Anda.

Katakanlah oddsnya adalah 2 banding 1. Jadi jika Anda menang, Anda pertahankan taruhan Anda dan dapatkan dua kali lipat taruhan Anda. Misalnya, jika Anda bertaruh 1 dolar dan menang, Anda menyimpan dolar itu dan mendapat 2 dolar lagi, dengan total 3 dolar. Jika kalah, Anda hanya kehilangan taruhan Anda. Maukah kamu bermain? Apakah Anda secara intuitif merasa bahwa kemungkinannya lebih besar dari 2 banding 1, atau apakah Anda masih berpikir bahwa kemungkinannya lebih kecil? Dengan kata lain, rata-rata dalam 3 pertandingan, apakah Anda berharap menang lebih dari sekali, atau kurang, atau sekali?

Setelah intuisi Anda diketahui, gunakan matematika. Hanya ada 36 kemungkinan posisi untuk kedua dadu, jadi Anda dapat menghitung semuanya tanpa masalah. Jika Anda tidak yakin dengan tawaran 2-untuk-1 tersebut, pertimbangkan ini: Katakanlah Anda memainkan permainan tersebut 36 kali (bertaruh $1 setiap kali). Untuk setiap kemenangan Anda mendapat 2 dolar, untuk setiap kekalahan Anda kehilangan 1, dan hasil imbang tidak mengubah apa pun. Hitung semua kemungkinan kemenangan dan kerugian Anda dan putuskan apakah Anda akan kehilangan atau mendapatkan sejumlah dolar. Kemudian tanyakan pada diri Anda seberapa benar intuisi Anda. Dan kemudian menyadari betapa jahatnya aku.

Dan ya, jika Anda sudah memikirkan pertanyaan ini - saya sengaja membingungkan Anda dengan salah mengartikan mekanisme permainan dadu yang sebenarnya, tapi saya yakin Anda bisa mengatasi kendala ini hanya dengan sedikit pemikiran. Cobalah untuk menyelesaikan sendiri masalah ini.

Game No. 2 - Lempar untuk keberuntungan

Ini berjudi dalam sebuah dadu yang disebut "Luck Roll" (juga disebut "Birdcage" karena terkadang dadu tidak dilempar tetapi ditempatkan di dalam sangkar kawat besar, mengingatkan pada sangkar dari Bingo). Permainan ini sederhana dan pada dasarnya bermuara pada ini: bertaruh, katakanlah, $1 pada angka dari 1 hingga 6. Kemudian Anda menggulung 3d6. Untuk setiap dadu yang nomor Anda dapatkan, Anda mendapatkan $1 (dan mempertahankan taruhan awal Anda). Jika nomor Anda tidak muncul pada dadu mana pun, kasino mendapatkan dolar Anda dan Anda tidak mendapat apa pun. Jadi jika Anda bertaruh pada angka 1 dan mendapatkan angka 1 di sisinya sebanyak tiga kali, Anda mendapat $3.

Secara intuitif, tampaknya permainan ini memiliki peluang yang sama. Setiap dadu memiliki peluang menang 1 banding 6, jadi jika dijumlahkan dari ketiga pelemparan, peluang Anda untuk menang adalah 3 banding 6. Namun, tentu saja, ingatlah bahwa Anda menambahkan tiga dadu terpisah, dan Anda hanya diperbolehkan untuk tambahkan jika kita berbicara tentang individu kombinasi pemenang tulang yang sama. Sesuatu yang perlu Anda gandakan.

Setelah Anda menghitung semua kemungkinan hasil (mungkin lebih mudah dilakukan di Excel daripada dengan tangan, karena ada 216 hasil), permainan ini masih terlihat ganjil-genap pada pandangan pertama. Faktanya, kasino masih memiliki peluang menang yang lebih baik – berapa banyak lagi? Secara khusus, berapa banyak uang rata-rata yang Anda perkirakan akan hilang pada setiap putaran permainan?

Yang harus Anda lakukan adalah menjumlahkan kemenangan dan kekalahan dari semua 216 hasil dan kemudian membaginya dengan 216, yang seharusnya cukup sederhana. Namun, seperti yang Anda lihat, ada beberapa kendala di sini, itulah sebabnya saya katakan: jika menurut Anda permainan ini memiliki peluang menang yang sama, Anda salah.

Permainan #3 – 5 Kartu Stud Poker

Jika Anda sudah melakukan pemanasan dengan game sebelumnya, mari kita lihat apa yang kami ketahui probabilitas bersyarat, menggunakan permainan kartu ini sebagai contoh. Mari kita bayangkan permainan poker dengan setumpuk 52 kartu. Bayangkan juga 5 kartu stud, dimana setiap pemain hanya menerima 5 kartu saja. Anda tidak dapat membuang satu kartu, Anda tidak dapat mengambil kartu baru, tidak ada tumpukan kartu bersama - Anda hanya mendapat 5 kartu.

Royal Flush adalah 10-J-Q-K-A di satu tangan, totalnya ada empat, jadi ada empat cara yang mungkin mendapatkan royal flush. Hitung peluang Anda mendapatkan salah satu kombinasi tersebut.

Saya harus memperingatkan Anda tentang satu hal: ingatlah bahwa Anda dapat menarik lima kartu ini dalam urutan apa pun. Artinya, pertama-tama Anda bisa menggambar kartu as atau sepuluh, tidak masalah. Jadi saat menghitung, perlu diingat bahwa sebenarnya ada lebih dari empat cara untuk mendapatkan royal flush, dengan asumsi kartu dibagikan secara berurutan.

Permainan No. 4 - Lotere IMF

Masalah keempat tidak dapat diselesaikan dengan mudah menggunakan metode yang kita bicarakan hari ini, tetapi Anda dapat dengan mudah mensimulasikan situasinya menggunakan pemrograman atau Excel. Dengan menggunakan contoh masalah inilah Anda dapat menyelesaikan metode Monte Carlo.

Saya sebutkan sebelumnya game Chron X, yang pernah saya kerjakan, dan ada satu yang sangat bagus peta yang menarik- Lotere IMF. Begini cara kerjanya: Anda menggunakannya di dalam game. Setelah putaran berakhir, kartu-kartu tersebut didistribusikan kembali, dan ada kemungkinan 10% bahwa kartu tersebut akan keluar dari permainan dan pemain acak akan menerima 5 unit dari setiap jenis sumber daya yang tokennya ada di kartu tersebut. Kartu tersebut dimasukkan ke dalam permainan tanpa satu chip pun, tetapi setiap kali kartu tersebut tetap dimainkan di awal babak berikutnya, kartu tersebut menerima satu chip.

Jadi ada kemungkinan 10% jika Anda memainkannya, putaran akan berakhir, kartu akan keluar dari permainan, dan tidak ada yang akan mendapatkan apa pun. Jika hal ini tidak terjadi (peluang 90%), ada kemungkinan 10% (sebenarnya 9%, karena 10% dari 90%) bahwa pada putaran berikutnya dia akan meninggalkan permainan dan seseorang akan menerima 5 unit sumber daya. Jika kartu keluar dari permainan setelah satu putaran (10% dari 81% tersedia, jadi kemungkinannya adalah 8,1%), seseorang akan menerima 10 unit, putaran berikutnya - 15, putaran berikutnya - 20, dan seterusnya. Pertanyaan: Berapa nilai umum yang diharapkan dari jumlah sumber daya yang akan Anda peroleh dari kartu ini ketika kartu tersebut akhirnya keluar dari permainan?

Biasanya kita akan mencoba memecahkan masalah ini dengan menghitung kemungkinan setiap hasil dan mengalikannya dengan jumlah semua hasil. Ada kemungkinan 10% Anda akan mendapatkan 0 (0,1 * 0 = 0). 9% Anda akan menerima 5 unit sumber daya (9% * 5 = 0,45 sumber daya). 8,1% dari apa yang akan Anda dapatkan adalah 10 (8,1%*10=0,81 sumber daya - nilai keseluruhan yang diharapkan). Dan sebagainya. Dan kemudian kami akan menyimpulkan semuanya.

Dan sekarang masalahnya jelas bagi Anda: selalu ada kemungkinan kartu tersebut tidak akan keluar dari permainan, kartu tersebut dapat tetap berada dalam permainan selamanya, misalnya jumlah yang tak terbatas putaran, jadi tidak ada cara untuk menghitung setiap probabilitas. Metode yang kita pelajari hari ini tidak memungkinkan kita menghitung rekursi tak terbatas, jadi kita harus membuatnya secara artifisial.

Jika Anda cukup mahir dalam pemrograman, tulislah sebuah program yang akan mensimulasikan peta ini. Anda harus memiliki perulangan waktu yang membawa variabel ke posisi awal nol, menunjukkan angka acak dan dengan peluang 10% variabel tersebut keluar dari perulangan. Jika tidak, ia menambahkan 5 ke variabel dan perulangan berulang. Ketika akhirnya keluar dari loop, tingkatkan jumlah total percobaan yang dijalankan sebesar 1 dan jumlah total sumber daya (seberapa banyak bergantung pada di mana variabel berakhir). Kemudian setel ulang variabel dan mulai lagi.

Jalankan program ini beberapa ribu kali. Pada akhirnya, bagi jumlah total sumber daya dengan jumlah total proses - ini akan menjadi nilai Monte Carlo yang Anda harapkan. Jalankan program beberapa kali untuk memastikan angka yang Anda peroleh kurang lebih sama. Jika pencarnya masih besar, tingkatkan jumlah pengulangan pada putaran terluar hingga Anda mulai mendapatkan kecocokan. Anda dapat yakin bahwa angka apa pun yang Anda hasilkan kira-kira benar.

Jika Anda baru mengenal pemrograman (walaupun Anda baru), berikut adalah latihan singkat untuk menguji kemampuan Excel Anda. Jika Anda seorang desainer game, keterampilan ini tidak akan berguna.

Sekarang fungsi if dan rand akan sangat berguna bagi Anda. Rand tidak memerlukan nilai, ia hanya menghasilkan nilai acak angka desimal dari 0 hingga 1. Kami biasanya menggabungkannya dengan lantai dan plus minus untuk mensimulasikan pelemparan dadu yang saya sebutkan sebelumnya. Namun, dalam kasus ini kita hanya menyisakan 10% kemungkinan kartu tersebut akan keluar dari permainan, jadi kita cukup memeriksa apakah nilai randnya kurang dari 0,1 dan tidak mengkhawatirkannya lagi.

Jika memiliki tiga arti. Urutan: kondisi yang bernilai benar atau salah, lalu nilai yang dikembalikan jika kondisi benar, dan nilai yang dikembalikan jika kondisi salah. Jadi fungsi berikut akan mengembalikan 5% dari waktu tersebut, dan 0 pada 90% waktu lainnya: =JIKA(RAND()<0.1,5,0) .

Ada banyak cara untuk mengatur perintah ini, tapi saya akan menggunakan rumus ini untuk sel yang mewakili putaran pertama, misalkan sel A1: =JIKA(RAND()<0.1,0,-1) .

Di sini saya menggunakan variabel negatif yang berarti "kartu ini belum keluar dari permainan dan belum menyerahkan sumber daya apa pun." Jadi jika putaran pertama selesai dan kartu keluar dari permainan, A1 adalah 0; jika tidak, maka –1.

Untuk sel berikutnya yang mewakili putaran kedua: =JIKA(A1>-1, A1, JIKA(RAND()<0.1,5,-1)) . Jadi jika putaran pertama berakhir dan kartu segera keluar dari permainan, A1 adalah 0 (jumlah sumber daya) dan sel ini hanya akan menyalin nilai tersebut. Jika tidak, A1 adalah -1 (kartu belum keluar dari permainan), dan sel ini terus bergerak secara acak: 10% dari waktu tersebut akan mengembalikan 5 unit sumber daya, sisanya nilainya akan tetap sama dengan -1. Jika kami menerapkan rumus ini ke sel tambahan, kami mendapatkan putaran tambahan, dan sel mana pun yang Anda gunakan akan memberi Anda hasil akhir (atau -1 jika kartu tidak pernah keluar dari permainan setelah semua putaran yang Anda mainkan).

Ambil baris sel tersebut, yang mewakili satu-satunya putaran dengan kartu itu, lalu salin dan tempel beberapa ratus (atau ribuan) baris. Kami mungkin tidak dapat melakukan pengujian tanpa batas untuk Excel (jumlah sel dalam tabel terbatas), namun setidaknya kami dapat mencakup sebagian besar kasus. Kemudian pilih satu sel di mana Anda akan menempatkan rata-rata hasil semua putaran - Excel menyediakan fungsi rata-rata() untuk ini.

Di Windows, Anda setidaknya dapat menekan F9 untuk menghitung ulang semua nomor acak. Seperti sebelumnya, lakukan ini beberapa kali dan lihat apakah Anda mendapatkan nilai yang sama. Jika penyebarannya terlalu besar, gandakan jumlah larinya dan coba lagi.

Masalah yang belum terpecahkan

Jika Anda kebetulan memiliki gelar dalam teori probabilitas dan soal-soal di atas tampaknya terlalu mudah bagi Anda, berikut adalah dua soal yang telah saya pikirkan selama bertahun-tahun, namun sayangnya saya tidak cukup pandai matematika untuk menyelesaikannya.

Masalah #1 yang Belum Terpecahkan: Lotere IMF

Masalah pertama yang belum terselesaikan adalah pekerjaan rumah sebelumnya. Saya dapat dengan mudah menerapkan metode Monte Carlo (menggunakan C++ atau Excel) dan yakin dengan jawaban atas pertanyaan “berapa banyak sumber daya yang akan diterima pemain”, tetapi saya tidak tahu persis bagaimana memberikan jawaban pasti yang dapat dibuktikan secara matematis (ini adalah deret tak hingga).

Masalah yang belum terpecahkan #2: Urutan angka

Masalah ini (juga melampaui tugas-tugas yang diselesaikan di blog ini) diberikan kepada saya oleh seorang teman gamer lebih dari sepuluh tahun yang lalu. Saat bermain blackjack di Vegas, dia memperhatikan satu hal yang menarik: ketika dia mengeluarkan kartu dari sepatu 8 dek, dia melihat sepuluh angka berturut-turut (angka atau kartu wajahnya adalah 10, Joker, Raja atau Ratu, jadi ada 16 di dalamnya). total dalam kartu standar 52-dek atau 128 dalam sepatu 416 kartu).

Berapa peluang bahwa sepatu ini memuat setidaknya satu urutan sepuluh angka atau lebih? Mari kita asumsikan bahwa mereka dikocok secara adil, dalam urutan acak. Atau, jika Anda mau, berapa peluang bahwa rangkaian sepuluh angka atau lebih tidak muncul di mana pun?

Kita dapat menyederhanakan tugas tersebut. Berikut adalah urutan 416 bagian. Setiap bagian adalah 0 atau 1. Ada 128 angka satu dan 288 angka nol yang tersebar secara acak di seluruh rangkaian. Berapa banyak cara yang ada untuk menyelingi 128 angka nol secara acak dengan 288 angka nol, dan berapa kali dengan cara ini paling sedikit terdapat satu kelompok yang terdiri dari sepuluh angka atau lebih?

Setiap kali saya mulai memecahkan masalah ini, tampaknya mudah dan jelas bagi saya, tetapi begitu saya mempelajari detailnya, masalah itu tiba-tiba berantakan dan tampak mustahil.

Jadi jangan terburu-buru melontarkan jawabannya: duduk, pikirkan baik-baik, pelajari kondisinya, coba masukkan bilangan real, karena semua orang yang saya ajak bicara tentang masalah ini (termasuk beberapa mahasiswa pascasarjana yang bekerja di bidang ini) bereaksi tentang sama: “Ini sangat jelas… oh, tidak, tunggu, itu tidak jelas sama sekali.” Ini adalah kasus ketika saya tidak memiliki metode untuk menghitung semua opsi. Tentu saja, saya dapat melakukan brute force masalah melalui algoritma komputer, namun akan jauh lebih menarik jika mengetahui solusi matematisnya.