Cara mencari x pada rumus barisan geometri. Kemajuan geometris


Pelajaran dan presentasi dengan topik: "Urutan bilangan. Perkembangan geometri"

Bahan tambahan
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, ulasan, keinginan Anda! Semua materi telah diperiksa oleh program anti-virus.

Alat peraga dan simulator pendidikan di toko online Integral untuk kelas 9
Pangkat dan akar Fungsi dan grafik

Teman-teman, hari ini kita akan berkenalan dengan jenis perkembangan lainnya.
Topik pelajaran hari ini adalah perkembangan geometri.

Kemajuan geometris

Definisi. Barisan bilangan yang setiap sukunya, mulai dari suku kedua, sama dengan hasil kali suku sebelumnya dan suatu bilangan tetap disebut barisan geometri.
Mari kita definisikan barisan kita secara rekursif: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
dimana b dan q adalah bilangan tertentu. Bilangan q disebut penyebut barisan tersebut.

Contoh. 1,2,4,8,16... Suatu barisan geometri yang suku pertamanya sama dengan satu, dan $q=2$.

Contoh. 8,8,8,8... Suatu barisan geometri yang suku pertamanya sama dengan delapan,
dan $q=1$.

Contoh. 3,-3,3,-3,3... Perkembangan geometri yang suku pertamanya sama dengan tiga,
dan $q=-1$.

Perkembangan geometri mempunyai sifat monoton.
Jika $b_(1)>0$, $q>1$,
maka urutannya semakin meningkat.
Jika $b_(1)>0$, $0 Barisan tersebut biasanya dilambangkan dengan bentuk: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.

Seperti halnya barisan aritmatika, jika dalam barisan geometri jumlah anggotanya berhingga, maka barisan tersebut disebut barisan geometri berhingga.

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Perhatikan bahwa jika suatu barisan merupakan barisan geometri, maka barisan kuadrat suku-sukunya juga merupakan barisan geometri. Pada barisan kedua, suku pertamanya sama dengan $b_(1)^2$, dan penyebutnya sama dengan $q^2$.

Rumus suku ke-n suatu barisan geometri

Perkembangan geometri juga dapat ditentukan dalam bentuk analitis. Mari kita lihat cara melakukannya:
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Kita dengan mudah melihat polanya: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Rumus kita disebut "rumus suku ke-n suatu barisan geometri".

Mari kita kembali ke contoh kita.

Contoh. 1,2,4,8,16... Perkembangan geometri yang suku pertamanya sama dengan satu,
dan $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

Contoh. 16,8,4,2,1,1/2… Suatu barisan geometri yang suku pertamanya sama dengan enam belas, dan $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

Contoh. 8,8,8,8... Suatu barisan geometri yang suku pertamanya sama dengan delapan, dan $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

Contoh. 3,-3,3,-3,3... Suatu barisan geometri yang suku pertamanya sama dengan tiga, dan $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

Contoh. Diketahui barisan geometri $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
a) Diketahui $b_(1)=6, q=3$. Temukan $b_(5)$.
b) Diketahui $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Temukan n.
c) Diketahui $q=-2, b_(6)=96$. Temukan $b_(1)$.
d) Diketahui $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Temukan q.

Larutan.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$, karena $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

Contoh. Selisih suku ketujuh dan suku kelima suatu barisan geometri adalah 192, jumlah suku kelima dan keenam barisan tersebut adalah 192. Tentukan suku kesepuluh barisan tersebut.

Larutan.
Kita tahu bahwa: $b_(7)-b_(5)=192$ dan $b_(5)+b_(6)=192$.
Kita juga tahu: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Kemudian:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Kami menerima sistem persamaan:
$\begin(kasus)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(kasus)$.
Menyamakan persamaan kita, kita mendapatkan:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Kami mendapat dua solusi q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Substitusikan secara berurutan ke dalam persamaan kedua:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ tidak ada solusi.
Kita mendapatkan: $b_(1)=4, q=2$.
Mari kita cari suku kesepuluh: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

Jumlah barisan geometri berhingga

Mari kita memiliki perkembangan geometri yang terbatas. Mari kita, seperti halnya barisan aritmatika, menghitung jumlah suku-sukunya.

Misalkan suatu barisan geometri berhingga diberikan: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Mari kita perkenalkan sebutan untuk jumlah suku-sukunya: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
Dalam kasus ketika $q=1$. Semua suku barisan geometri sama dengan suku pertama, maka jelas $S_(n)=n*b_(1)$.
Sekarang mari kita perhatikan kasus $q≠1$.
Kalikan jumlah di atas dengan q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Catatan:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2 )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

Kita telah memperoleh rumus jumlah barisan geometri berhingga.


Contoh.
Tentukan jumlah tujuh suku pertama suatu barisan geometri yang suku pertamanya 4 dan penyebutnya 3.

Larutan.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

Contoh.
Tentukan suku kelima barisan geometri yang diketahui: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.

Larutan.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q=$1364.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

Sifat karakteristik perkembangan geometri

Teman-teman, diberikan barisan geometri. Mari kita lihat tiga anggota berturut-turut: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.
Kita tahu bahwa:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Kemudian:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Jika perkembangannya terbatas, maka persamaan ini berlaku untuk semua suku kecuali suku pertama dan terakhir.
Jika tidak diketahui terlebih dahulu bentuk barisan tersebut, namun diketahui: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Maka kita dapat dengan aman mengatakan bahwa ini adalah perkembangan geometri.

Suatu barisan bilangan disebut suatu barisan geometri hanya jika kuadrat setiap anggotanya sama dengan hasil kali dua anggota barisan yang berdekatan. Jangan lupa bahwa untuk perkembangan terbatas kondisi ini tidak terpenuhi pada suku pertama dan terakhir.


Mari kita lihat identitas ini: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ disebut rata-rata geometri dari bilangan a dan b.

Modulus suatu suku suatu barisan geometri sama dengan rata-rata geometri dua suku tetangganya.


Contoh.
Temukan x sedemikian rupa sehingga $x+2; 2x+2; 3x+3$ adalah tiga suku berurutan dari suatu barisan geometri.

Larutan.
Mari kita gunakan properti karakteristik:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ dan $x_(2)=-1$.
Mari kita substitusikan solusi kita secara berurutan ke dalam ekspresi aslinya:
Dengan $x=2$, kita mendapatkan barisan: 4;6;9 – barisan geometri dengan $q=1.5$.
Untuk $x=-1$, kita mendapatkan urutannya: 1;0;0.
Jawaban: $x=2.$

Masalah untuk diselesaikan secara mandiri

1. Tentukan suku pertama kedelapan barisan geometri 16;-8;4;-2….
2. Tentukan suku kesepuluh barisan geometri 11,22,44….
3. Diketahui $b_(1)=5, q=3$. Temukan $b_(7)$.
4. Diketahui $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. Temukan n.
5. Tentukan jumlah 11 suku pertama barisan geometri 3;12;48….
6. Carilah x sehingga $3x+4; 2x+4; x+5$ adalah tiga suku berurutan suatu barisan geometri.

Tujuan pelajaran: untuk memperkenalkan siswa pada jenis barisan baru - barisan geometri yang menurun tak terhingga.
Tugas:
merumuskan gagasan awal tentang limit suatu barisan bilangan;
mengenal cara lain untuk mengubah pecahan periodik tak terhingga menjadi pecahan biasa menggunakan rumus jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga;
pengembangan kualitas intelektual kepribadian anak sekolah seperti berpikir logis, kemampuan melakukan tindakan evaluatif, dan generalisasi;
membina aktivitas, gotong royong, kolektivisme, dan minat terhadap mata pelajaran.

Unduh:


Pratinjau:

Pelajaran tentang topik tersebut “Perkembangan geometri yang menurun tanpa batas” (aljabar, kelas 10)

Tujuan pelajaran: memperkenalkan siswa pada jenis barisan baru - barisan geometri yang menurun tak terhingga.

Tugas:

merumuskan gagasan awal tentang limit suatu barisan bilangan; mengenal cara lain untuk mengubah pecahan periodik tak terhingga menjadi pecahan biasa menggunakan rumus jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga;

pengembangan kualitas intelektual kepribadian anak sekolah seperti berpikir logis, kemampuan melakukan tindakan evaluatif, dan generalisasi;

membina aktivitas, gotong royong, kolektivisme, dan minat terhadap mata pelajaran.

Peralatan: kelas komputer, proyektor, layar.

Jenis pelajaran: pelajaran - mempelajari topik baru.

Kemajuan pelajaran

saya.Org. momen. Nyatakan topik dan tujuan pelajaran.

II. Memperbarui pengetahuan siswa.

Di kelas 9 Anda mempelajari perkembangan aritmatika dan geometri.

Pertanyaan

1. Pengertian barisan aritmatika.

(Perkembangan aritmatika adalah barisan yang setiap anggotanya

Mulai dari suku kedua sama dengan suku sebelumnya ditambah bilangan yang sama).

2. Rumus n suku ke-th suatu barisan aritmatika

3. Rumus jumlah yang pertama N suku-suku barisan aritmatika.

( atau )

4. Pengertian barisan geometri.

(Perkembangan geometri adalah barisan bilangan bukan nol

Setiap suku yang dimulai dari suku kedua sama dengan suku sebelumnya dikalikan

Nomor yang sama).

5. Rumus n suku ke-t barisan geometri

6. Rumus jumlah yang pertama N anggota barisan geometri.

7. Rumus apa lagi yang kamu ketahui?

(, Di mana ; ;

; , )

Pencarian

1. Perkembangan aritmatika diberikan oleh rumus sebuah = 7 – 4n . Temukan 10. (-33)

2. Dalam perkembangan aritmatika sebuah 3 = 7 dan sebuah 5 = 1 . Temukan 4 . (4)

3. Dalam perkembangan aritmatika sebuah 3 = 7 dan sebuah 5 = 1 . Temukan 17 . (-35)

4. Dalam perkembangan aritmatika sebuah 3 = 7 dan sebuah 5 = 1 . Temukan S 17. (-187)

5. Untuk perkembangan geometritemukan suku kelima.

6. Untuk barisan geometri temukan suku ke-n.

7. Secara eksponensial b 3 = 8 dan b 5 = 2. Temukan b 4 . (4)

8. Secara eksponensial b 3 = 8 dan b 5 = 2. Temukan b 1 dan q.

9. Secara eksponensial b 3 = 8 dan b 5 = 2. Temukan S5. (62)

AKU AKU AKU. Mempelajari topik baru(demonstrasi presentasi).

Perhatikan sebuah persegi yang sisinya sama dengan 1. Mari kita menggambar persegi lain yang ukuran sisinya setengah dari persegi pertama, lalu persegi lain yang panjang sisinya adalah setengah persegi kedua, lalu persegi berikutnya, dan seterusnya. Setiap kali sisi persegi baru sama dengan setengah sisi persegi sebelumnya.

Hasilnya, kami mendapatkan rangkaian sisi persegimembentuk barisan geometri dengan penyebutnya.

Dan, yang sangat penting, semakin banyak kita membuat persegi tersebut, semakin kecil sisi persegi tersebut. Misalnya ,

Itu. Dengan bertambahnya jumlah n, suku-suku perkembangannya mendekati nol.

Dengan menggunakan gambar ini, Anda dapat mempertimbangkan urutan lainnya.

Misalnya barisan luas persegi:

Dan, sekali lagi, jika n bertambah tanpa batas, maka luasnya mendekati nol sedekat yang Anda inginkan.

Mari kita lihat contoh lainnya. Segitiga sama sisi dengan panjang sisi sama dengan 1 cm. Mari kita buat segitiga berikut dengan titik sudut di titik tengah sisi-sisi segitiga ke-1, sesuai dengan teorema tentang garis tengah segitiga - sisi ke-2 sama dengan setengah sisi yang pertama, sisi ke-3 sama dengan setengah sisi ke-2, dst. Sekali lagi kita memperoleh barisan panjang sisi-sisi segitiga.

Pada .

Jika kita perhatikan barisan geometri yang penyebutnya negatif.

Lalu, lagi-lagi dengan jumlah yang semakin bertambah N syarat perkembangannya mendekati nol.

Mari kita perhatikan penyebut barisan tersebut. Di mana-mana nilai absolut penyebutnya kurang dari 1.

Kita dapat menyimpulkan: suatu barisan geometri akan berkurang tak terhingga jika modulus penyebutnya kurang dari 1.

Pekerjaan depan.

Definisi:

Suatu barisan geometri dikatakan menurun tak terhingga jika modulus penyebutnya kurang dari satu..

Dengan menggunakan definisi tersebut, Anda dapat memutuskan apakah suatu barisan geometri menurun tak terhingga atau tidak.

Tugas

Apakah barisan tersebut merupakan barisan geometri yang menurun tak terhingga jika diberikan dengan rumus:

Larutan:

Mari kita temukan q.

; ; ; .

perkembangan geometrik ini semakin menurun.

B) barisan ini bukanlah barisan geometri yang menurun tak terhingga.

Misalkan sebuah persegi dengan sisi sama dengan 1. Bagilah menjadi dua, salah satu bagiannya menjadi dua, dan seterusnya. Luas semua persegi panjang yang dihasilkan membentuk barisan geometri yang semakin menurun:

Jumlah luas semua persegi panjang yang diperoleh dengan cara ini akan sama dengan luas persegi pertama dan sama dengan 1.

Namun di sisi kiri persamaan ini adalah jumlah suku yang tak terhingga banyaknya.

Mari kita perhatikan jumlah n suku pertama.

Menurut rumus jumlah n suku pertama suatu barisan geometri adalah sama dengan.

Jika n meningkat tanpa batas, kalau begitu

atau . Oleh karena itu, yaitu. .

Jumlah barisan geometri yang menurun tak terhinggaada batas urutannya S 1, S 2, S 3, …, S n, ….

Misalnya untuk kemajuan,

kita punya

Karena

Jumlah barisan geometri yang menurun tak terhinggadapat dicari dengan menggunakan rumus.

AKU AKU AKU. Pemahaman dan konsolidasi(menyelesaikan tugas).

№13; №14; №15(1,3); №16(1,3); №18(1,3); №19; №20.

IV. Kesimpulannya.

Urutan apa yang Anda kenali hari ini?

Definisikan barisan geometri yang menurun tak terhingga.

Bagaimana membuktikan bahwa barisan geometri menurun tak terhingga?

Berikan rumus jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga.

V.Pekerjaan Rumah.

2. № 15(2,4); №16(2,4); 18(2,4).

Pratinjau:

Untuk menggunakan pratinjau presentasi, buat akun Google dan masuk ke akun tersebut: https://accounts.google.com


Keterangan slide:

Setiap orang harus mampu berpikir secara konsisten, menilai dengan bukti, dan menyangkal kesimpulan yang salah: seorang fisikawan dan penyair, seorang pengemudi traktor dan seorang ahli kimia. E. Kolman Dalam matematika, yang harus diingat bukanlah rumusnya, tetapi proses berpikirnya. V.P. Ermakov Lebih mudah menemukan kuadrat sebuah lingkaran daripada mengecoh seorang ahli matematika. Augustus de Morgan Sains apa yang lebih mulia, lebih mengagumkan, lebih bermanfaat bagi umat manusia daripada matematika? Franklin

Perkembangan geometri yang menurun tanpa batas kelas 10

SAYA. Perkembangan aritmatika dan geometri. Soal 1. Pengertian barisan aritmatika. Barisan aritmatika adalah suatu barisan yang setiap sukunya, dimulai dari suku kedua, sama dengan suku sebelumnya yang dijumlahkan dengan bilangan yang sama. 2. Rumus suku ke-n suatu barisan aritmatika. 3. Rumus jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika. 4. Pengertian barisan geometri. Barisan geometri adalah barisan bilangan bukan nol yang setiap sukunya, dimulai dari suku kedua, sama dengan suku sebelumnya dikalikan dengan bilangan yang sama 5. Rumus suku ke-n suatu barisan geometri. 6. Rumus jumlah n suku pertama suatu barisan geometri.

II. Kemajuan aritmatika. Tugas Perkembangan aritmatika diberikan oleh rumus a n = 7 – 4 n Temukan a 10 . (-33) 2. Dalam perkembangan aritmatika, a 3 = 7 dan a 5 = 1. Temukan 4 . (4) 3. Dalam barisan aritmatika a 3 = 7 dan a 5 = 1. Temukan 17 . (-35) 4. Dalam perkembangan aritmatika, a 3 = 7 dan a 5 = 1. Temukan S 17. (-187)

II. Kemajuan geometris. Tugas 5. Untuk suatu barisan geometri, carilah suku kelima 6. Untuk suatu barisan geometri, carilah suku ke-n. 7. Pada barisan geometri b 3 = 8 dan b 5 = 2. Temukan b 4 . (4) 8. Pada barisan geometri b 3 = 8 dan b 5 = 2. Temukan b 1 dan q. 9. Pada barisan geometri b 3 = 8 dan b 5 = 2. Temukan S5. (62)

definisi: Suatu barisan geometri disebut menurun tak terhingga jika modulus penyebutnya kurang dari satu.

Soal No. 1 Apakah barisan tersebut merupakan barisan geometri yang menurun tak terhingga jika diberikan dengan rumus: Penyelesaian: a) barisan geometri tersebut menurun tak terhingga. b) barisan ini bukan barisan geometri yang menurun tak terhingga.

Jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga adalah limit barisan S 1, S 2, S 3, ..., S n, .... Misalnya, untuk barisan yang kita miliki. Karena Jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga dapat dicari dengan menggunakan rumus

Menyelesaikan tugas Temukan jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga dengan suku pertama 3, suku kedua 0,3. 2. Nomor 13; Nomor 14; buku teks, hal.138 3. No.15(1;3); No.16(1;3) No.18(1;3); 4. Nomor 19; Nomor 20.

Urutan apa yang Anda kenali hari ini? Definisikan barisan geometri yang menurun tak terhingga. Bagaimana membuktikan bahwa barisan geometri menurun tak terhingga? Berikan rumus jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga. Pertanyaan

Matematikawan Polandia terkenal Hugo Steinhaus dengan bercanda menyatakan bahwa ada hukum yang dirumuskan sebagai berikut: seorang ahli matematika akan melakukannya dengan lebih baik. Yaitu, jika Anda mempercayakan dua orang, salah satunya adalah ahli matematika, untuk melakukan pekerjaan apa pun yang tidak mereka kenal, maka hasilnya akan selalu sebagai berikut: ahli matematika tersebut akan melakukannya dengan lebih baik. Hugo Steinhaus 14/01/1887-25/02/1972


Mari kita pertimbangkan seri tertentu.

7 28 112 448 1792...

Jelas sekali bahwa nilai salah satu elemennya persis empat kali lebih besar dari elemen sebelumnya. Artinya seri ini merupakan sebuah kemajuan.

Perkembangan geometri adalah barisan bilangan tak terhingga, ciri utamanya adalah bilangan berikutnya diperoleh dari bilangan sebelumnya dengan mengalikannya dengan bilangan tertentu. Hal ini diungkapkan dengan rumus berikut.

a z +1 =a z ·q, dimana z adalah banyaknya elemen yang dipilih.

Oleh karena itu, z ∈ N.

Masa dipelajarinya barisan geometri di sekolah adalah kelas 9. Contoh akan membantu Anda memahami konsepnya:

0.25 0.125 0.0625...

Berdasarkan rumus tersebut, penyebut suatu barisan dapat dicari sebagai berikut:

Baik q maupun bz tidak boleh nol. Selain itu, setiap elemen perkembangan tidak boleh sama dengan nol.

Oleh karena itu, untuk mengetahui bilangan berikutnya dalam suatu deret, Anda perlu mengalikan bilangan terakhir dengan q.

Untuk mengatur perkembangan ini, Anda harus menentukan elemen pertama dan penyebutnya. Setelah ini, Anda dapat menemukan suku-suku selanjutnya dan jumlahnya.

Varietas

Tergantung pada q dan a 1, perkembangan ini dibagi menjadi beberapa jenis:

  • Jika a 1 dan q lebih besar dari satu, maka barisan tersebut merupakan barisan geometri yang bertambah setiap elemen berikutnya. Contohnya disajikan di bawah ini.

Contoh: a 1 =3, q=2 - kedua parameter lebih besar dari satu.

Maka barisan bilangan tersebut dapat ditulis seperti ini:

3 6 12 24 48 ...

  • Jika |q| kurang dari satu, yaitu perkalian sama dengan pembagian, maka barisan yang syaratnya sama adalah barisan geometri menurun. Contohnya disajikan di bawah ini.

Contoh: a 1 =6, q=1/3 - a 1 lebih besar dari satu, q lebih kecil.

Maka barisan bilangan tersebut dapat dituliskan sebagai berikut:

6 2 2/3 ... - elemen apa pun yang berukuran 3 kali lebih besar dari elemen berikutnya.

  • Tanda bergantian. Jika q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Contoh: a 1 = -3, q = -2 - kedua parameter kurang dari nol.

Maka barisan bilangan tersebut dapat ditulis seperti ini:

3, 6, -12, 24,...

Rumus

Ada banyak rumus untuk memudahkan penggunaan barisan geometri:

  • Rumus suku Z. Memungkinkan Anda menghitung elemen dengan angka tertentu tanpa menghitung angka sebelumnya.

Contoh:Q = 3, A 1 = 4. Diperlukan untuk menghitung elemen keempat dari perkembangan tersebut.

Larutan:A 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

  • Jumlah unsur-unsur pertama yang kuantitasnya sama z. Memungkinkan Anda menghitung jumlah semua elemen suatu barisan hinggasebuah zinklusif.

Sejak (1-Q) ada pada penyebutnya, maka (1 - q)≠ 0, maka q tidak sama dengan 1.

Catatan: jika q=1, maka perkembangannya adalah rangkaian bilangan yang berulang tak terhingga.

Jumlah barisan geometri, contoh:A 1 = 2, Q= -2. Hitung S5.

Larutan:S 5 = 22 - perhitungan menggunakan rumus.

  • Jumlah jika |Q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Contoh:A 1 = 2 , Q= 0,5. Temukan jumlahnya.

Larutan:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Beberapa properti:

  • Properti karakteristik. Jika kondisi berikut bekerja untuk siapa punz, maka deret bilangan yang diberikan merupakan barisan geometri:

sebuah z 2 = sebuah z -1 · Az+1

  • Selain itu, kuadrat suatu bilangan dalam barisan geometri ditemukan dengan menjumlahkan kuadrat dua bilangan lain dalam suatu deret tertentu, jika keduanya berjarak sama dari elemen tersebut.

sebuah z 2 = sebuah z - T 2 + sebuah z + T 2 , Di manaT- jarak antara angka-angka ini.

  • Elemenberbeda dalam qsekali.
  • Logaritma unsur-unsur suatu barisan juga membentuk suatu barisan, tetapi merupakan barisan aritmatika, yaitu masing-masing lebih besar dari barisan sebelumnya dengan bilangan tertentu.

Contoh beberapa permasalahan klasik

Untuk lebih memahami apa itu barisan geometri, contoh solusi untuk kelas 9 dapat membantu.

  • Ketentuan:A 1 = 3, A 3 = 48. TemukanQ.

Solusi: setiap elemen berikutnya lebih besar dari elemen sebelumnyaQ sekali.Beberapa elemen perlu dinyatakan dalam elemen lain menggunakan penyebut.

Karena itu,A 3 = Q 2 · A 1

Saat menggantiQ= 4

  • Ketentuan:A 2 = 6, A 3 = 12. Hitung S 6.

Larutan:Untuk melakukannya, cari saja q, elemen pertama dan substitusikan ke dalam rumus.

A 3 = Q· A 2 , karena itu,Q= 2

sebuah 2 = q · sebuah 1 ,Itu sebabnya sebuah 1 = 3

S 6 = 189

  • · A 1 = 10, Q= -2. Temukan elemen keempat dari perkembangan tersebut.

Solusi: untuk melakukan ini, cukup dengan menyatakan elemen keempat melalui elemen pertama dan melalui penyebut.

a 4 = q 3· sebuah 1 = -80

Contoh aplikasi:

  • Seorang klien bank melakukan deposit sebesar 10.000 rubel, dengan ketentuan bahwa setiap tahun klien akan mendapat 6% darinya yang ditambahkan ke jumlah pokok. Berapa banyak uang yang ada di rekening setelah 4 tahun?

Solusi: Jumlah awalnya adalah 10 ribu rubel. Artinya, setahun setelah investasi, akun tersebut akan memiliki jumlah sebesar 10.000 + 10.000 · 0,06 = 10.000 1,06

Oleh karena itu, jumlah di rekening setelah satu tahun berikutnya akan dinyatakan sebagai berikut:

(10.000 · 1,06) · 0,06 + 10.000 · 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10.000

Artinya, setiap tahun jumlahnya meningkat 1,06 kali lipat. Artinya untuk mencari jumlah dana di rekening setelah 4 tahun, cukup mencari unsur keempat perkembangannya, yang diberikan unsur pertama sama dengan 10 ribu dan penyebutnya sama dengan 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Contoh soal menghitung jumlah:

Perkembangan geometri digunakan dalam berbagai masalah. Contoh mencari penjumlahan dapat diberikan sebagai berikut:

A 1 = 4, Q= 2, hitungS 5.

Solusi: semua data yang diperlukan untuk perhitungan sudah diketahui, Anda hanya perlu menggantinya ke dalam rumus.

S 5 = 124

  • A 2 = 6, A 3 = 18. Hitung jumlah enam unsur pertama.

Larutan:

Secara geom. perkembangannya, setiap elemen berikutnya q kali lebih besar dari elemen sebelumnya, yaitu, untuk menghitung jumlah, Anda perlu mengetahui elemen tersebutA 1 dan penyebutQ.

A 2 · Q = A 3

Q = 3

Demikian pula, Anda perlu menemukannyaA 1 , mengetahuiA 2 DanQ.

A 1 · Q = A 2

sebuah 1 =2

S 6 = 728.

URUTAN NUMERIK VI

§ l48. Jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga

Sampai saat ini, jika berbicara tentang penjumlahan, kita selalu berasumsi bahwa banyaknya suku dalam penjumlahan tersebut berhingga (misalnya 2, 15, 1000, dst). Tetapi ketika memecahkan beberapa masalah (terutama matematika tingkat tinggi) kita harus berurusan dengan jumlah suku yang jumlahnya tak terhingga

S= A 1 + A 2 + ... + A N + ... . (1)

Berapa jumlah ini? Menurut definisi jumlah suku yang tak terhingga banyaknya A 1 , A 2 , ..., A N , ... disebut limit jumlah S N Pertama N angka kapan N -> ∞ :

S = S N = (A 1 + A 2 + ... + A N ). (2)

Batas (2), tentu saja, mungkin ada atau tidak ada. Oleh karena itu, mereka mengatakan bahwa jumlah (1) ada atau tidak ada.

Bagaimana kita dapat mengetahui apakah jumlah (1) ada pada setiap kasus tertentu? Solusi umum terhadap masalah ini jauh melampaui cakupan program kami. Namun, ada satu kasus khusus penting yang kini harus kita pertimbangkan. Kita akan membahas tentang menjumlahkan suku-suku barisan geometri yang menurun tak terhingga.

Membiarkan A 1 , A 1 Q , A 1 Q 2, ... adalah barisan geometri yang menurun tak terhingga. Artinya | Q |< 1. Сумма первых N syarat kemajuan ini adalah sama

Dari teorema dasar tentang limit variabel (lihat § 136) kita memperoleh:

Tapi 1 = 1, a qn = 0. Oleh karena itu

Jadi, jumlah suatu barisan geometri yang menurun tak terhingga sama dengan suku pertama barisan tersebut dibagi satu dikurangi penyebut barisan tersebut.

1) Jumlah barisan geometri 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... sama dengan

dan jumlah barisan geometrinya adalah 12; -6; 3; - 3 / 2 , ... sama

2) Ubah pecahan periodik sederhana 0,454545… menjadi pecahan biasa.

Untuk menyelesaikan soal ini, bayangkan pecahan ini sebagai jumlah tak terhingga:

Ruas kanan persamaan ini adalah jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga, suku pertamanya adalah 45/100, dan penyebutnya adalah 1/100. Itu sebabnya

Dengan menggunakan metode yang dijelaskan, Anda dapat memperoleh aturan umum untuk mengubah pecahan periodik sederhana menjadi pecahan biasa (lihat Bab II, § 38):

Untuk mengubah pecahan periodik sederhana menjadi pecahan biasa, Anda perlu melakukan hal berikut: di pembilangnya masukkan periode pecahan desimal, dan di penyebutnya - bilangan yang terdiri dari sembilan, diambil sebanyak jumlah digit dalam periode tersebut dari pecahan desimal.

3) Ubah pecahan periodik campuran 0,58333….menjadi pecahan biasa.

Mari kita bayangkan pecahan ini sebagai jumlah tak terhingga:

Di sisi kanan persamaan ini, semua suku, mulai dari 3/1000, membentuk barisan geometri yang menurun tak terhingga, suku pertamanya sama dengan 3/1000, dan penyebutnya adalah 1/10. Itu sebabnya

Dengan menggunakan metode yang dijelaskan, aturan umum untuk mengubah pecahan periodik campuran menjadi pecahan biasa dapat diperoleh (lihat Bab II, § 38). Kami sengaja tidak menyajikannya di sini. Tidak perlu mengingat aturan rumit ini. Jauh lebih berguna untuk mengetahui bahwa pecahan periodik campuran apa pun dapat direpresentasikan sebagai jumlah dari barisan geometri yang menurun tak terhingga dan suatu bilangan tertentu. Dan rumusnya

untuk jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga, tentu saja Anda harus ingat.

Sebagai latihan, kami menyarankan agar Anda, selain soal No. 995-1000 yang diberikan di bawah ini, sekali lagi beralih ke soal No. 301 § 38.

Latihan

995. Apa yang disebut jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga?

996. Temukan jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga:

997. Pada nilai apa X kemajuan

apakah jumlahnya terus berkurang? Temukan jumlah perkembangan tersebut.

998. Pada segitiga sama sisi yang mempunyai sisi A segitiga baru dibuat dengan menghubungkan titik tengah sisi-sisinya; segitiga baru dimasukkan ke dalam segitiga ini dengan cara yang sama, dan seterusnya tanpa batas.

a) jumlah keliling semua segitiga tersebut;

b) jumlah luasnya.

999. Persegi dengan sisi A sebuah persegi baru dibuat dengan menghubungkan titik tengah sisi-sisinya; sebuah persegi dituliskan ke dalam persegi ini dengan cara yang sama, dan seterusnya ad infinitum. Tentukan jumlah keliling semua persegi tersebut dan jumlah luasnya.

1000. Buatlah suatu barisan geometri yang menurun tak terhingga sehingga jumlahnya sama dengan 25/4, dan jumlah kuadrat suku-sukunya sama dengan 625/24.

Perkembangan geometri, bersama dengan perkembangan aritmatika, merupakan deret bilangan penting yang dipelajari dalam mata pelajaran aljabar sekolah di kelas 9. Pada artikel ini kita akan melihat penyebut suatu barisan geometri dan bagaimana nilainya mempengaruhi sifat-sifatnya.

Pengertian barisan geometri

Pertama, mari kita berikan definisi deret bilangan ini. Perkembangan geometri adalah barisan bilangan rasional yang dibentuk dengan mengalikan unsur pertamanya secara berurutan dengan bilangan tetap yang disebut penyebut.

Misalnya bilangan pada deret 3, 6, 12, 24, ... adalah barisan geometri, karena jika 3 (elemen pertama) dikalikan dengan 2, diperoleh 6. Jika 6 dikalikan dengan 2, diperoleh 12, dan seterusnya.

Anggota barisan yang ditinjau biasanya dilambangkan dengan simbol ai, dimana i adalah bilangan bulat yang menunjukkan banyaknya elemen dalam deret tersebut.

Pengertian barisan di atas dapat ditulis dalam bahasa matematika sebagai berikut: an = bn-1 * a1, dimana b adalah penyebutnya. Sangat mudah untuk memeriksa rumus ini: jika n = 1, maka b1-1 = 1, dan kita mendapatkan a1 = a1. Jika n = 2, maka an = b * a1, dan kita kembali sampai pada definisi deret bilangan yang dimaksud. Alasan serupa dapat dilanjutkan untuk nilai n yang besar.

Penyebut barisan geometri


Angka b sepenuhnya menentukan karakter apa yang akan dimiliki seluruh rangkaian angka. Penyebut b bisa positif, negatif, atau lebih besar atau kurang dari satu. Semua opsi di atas mengarah ke urutan yang berbeda:

  • b > 1. Terdapat deret bilangan rasional yang bertambah. Misalnya 1, 2, 4, 8, ... Jika unsur a1 negatif, maka seluruh barisan hanya akan bertambah nilai absolutnya, tetapi berkurang tergantung pada tanda bilangannya.
  • b = 1. Seringkali kasus ini tidak disebut perkembangan, karena terdapat deret biasa dari bilangan rasional yang identik. Misalnya -4, -4, -4.

Rumus jumlah

Sebelum beralih ke pertimbangan masalah tertentu dengan menggunakan penyebut jenis perkembangan yang sedang dipertimbangkan, rumus penting untuk jumlah n elemen pertamanya harus diberikan. Rumusnya seperti ini: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Anda dapat memperoleh ekspresi ini sendiri jika Anda mempertimbangkan urutan suku-suku perkembangan yang rekursif. Perhatikan juga bahwa dalam rumus di atas, cukup mengetahui elemen pertama dan penyebutnya saja untuk menemukan jumlah sejumlah suku yang berubah-ubah.

Urutan menurun tanpa batas


Penjelasan telah diberikan di atas tentang apa itu. Sekarang, setelah mengetahui rumus Sn, mari kita terapkan pada deret bilangan ini. Karena bilangan apa pun yang modulusnya tidak melebihi 1 cenderung nol jika dipangkatkan besar, yaitu b∞ => 0 jika -1

Karena selisih (1 - b) akan selalu positif, berapa pun nilai penyebutnya, tanda jumlah suatu barisan geometri yang menurun tak terhingga S∞ ditentukan secara unik oleh tanda elemen pertamanya a1.

Sekarang mari kita lihat beberapa soal di mana kami akan menunjukkan bagaimana menerapkan pengetahuan yang diperoleh pada bilangan tertentu.

Tugas No. 1. Perhitungan elemen perkembangan dan jumlah yang tidak diketahui

Diketahui suatu barisan geometri, penyebut barisan tersebut adalah 2, dan unsur pertamanya adalah 3. Berapa suku ke-7 dan ke-10nya, dan berapa jumlah ketujuh unsur awalnya?

Kondisi soalnya cukup sederhana dan melibatkan penggunaan langsung rumus-rumus di atas. Jadi, untuk menghitung nomor elemen n, kita menggunakan ekspresi an = bn-1 * a1. Untuk elemen ke-7 kita mempunyai: a7 = b6 * a1, dengan mensubstitusi data yang diketahui, kita mendapatkan: a7 = 26 * 3 = 192. Kita melakukan hal yang sama untuk suku ke-10: a10 = 29 * 3 = 1536.

Mari kita gunakan rumus penjumlahan yang terkenal dan tentukan nilai ini untuk 7 elemen pertama deret tersebut. Kita mempunyai: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Soal No. 2. Menentukan jumlah elemen sembarang suatu barisan

Misalkan -2 sama dengan penyebut barisan geometri bn-1 * 4, dengan n adalah bilangan bulat. Penting untuk menentukan jumlah dari elemen ke-5 hingga ke-10 dari deret ini, inklusif.

Masalah yang diajukan tidak dapat diselesaikan secara langsung dengan menggunakan rumus-rumus yang diketahui. Itu dapat diselesaikan dengan menggunakan 2 metode berbeda. Untuk kelengkapan penyajian topik, kami hadirkan keduanya.

Metode 1. Idenya sederhana: Anda perlu menghitung dua jumlah suku pertama yang bersesuaian, lalu mengurangkan suku lainnya dari satu suku. Kita hitung jumlah yang lebih kecil: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Sekarang kita menghitung jumlah yang lebih besar: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Perhatikan bahwa dalam ekspresi terakhir hanya 4 suku yang dijumlahkan, karena suku ke-5 sudah termasuk dalam jumlah yang perlu dihitung sesuai dengan kondisi soal. Terakhir kita ambil selisihnya: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Metode 2. Sebelum mensubstitusi bilangan dan berhitung, Anda dapat memperoleh rumus jumlah antara m dan n suku deret yang bersangkutan. Kami melakukan hal yang persis sama seperti pada metode 1, hanya saja kami terlebih dahulu bekerja dengan representasi simbolis dari jumlah tersebut. Kita mempunyai: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Anda dapat mengganti angka-angka yang diketahui ke dalam ekspresi yang dihasilkan dan menghitung hasil akhirnya: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Soal No. 3. Berapakah penyebutnya?


Misalkan a1 = 2, tentukan penyebut barisan geometri tersebut, asalkan jumlah tak terhingganya adalah 3, dan diketahui bahwa barisan bilangan tersebut adalah barisan bilangan menurun.

Berdasarkan kondisi permasalahannya, tidak sulit untuk menebak rumus mana yang harus digunakan untuk menyelesaikannya. Tentu saja, jumlah perkembangannya semakin berkurang. Kita mempunyai: S∞ = a1 / (1 - b). Dari mana kita menyatakan penyebutnya: b = 1 - a1 / S∞. Tetap mengganti nilai yang diketahui dan mendapatkan nomor yang diperlukan: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 atau -0,333(3). Kita dapat memeriksa hasil ini secara kualitatif jika kita ingat bahwa untuk jenis barisan ini modulus b tidak boleh melebihi 1. Seperti yang dapat dilihat, |-1 / 3|

Tugas No. 4. Memulihkan serangkaian angka

Misalkan diberikan 2 elemen suatu deret bilangan, misalnya deret ke-5 sama dengan 30 dan deret ke-10 sama dengan 60. Seluruh deret harus direkonstruksi dari data ini, karena mengetahui bahwa deret tersebut memenuhi sifat-sifat barisan geometri.

Untuk menyelesaikan soal, pertama-tama Anda harus menuliskan ekspresi yang sesuai untuk setiap suku yang diketahui. Kita mempunyai: a5 = b4 * a1 dan a10 = b9 * a1. Sekarang bagi ekspresi kedua dengan ekspresi pertama, kita mendapatkan: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Dari sini kita menentukan penyebutnya dengan mengambil akar kelima dari perbandingan suku-suku yang diketahui dari rumusan masalah, b = 1,148698. Kita substitusikan bilangan yang dihasilkan ke dalam salah satu ekspresi unsur yang diketahui, kita peroleh: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.

Jadi, kita menemukan penyebut barisan bn, dan barisan geometri bn-1 * 17.2304966 = an, di mana b = 1.148698.

Di mana perkembangan geometri digunakan?


Jika tidak ada penerapan praktis dari deret bilangan ini, maka kajiannya akan direduksi menjadi kepentingan teoretis belaka. Tapi aplikasi seperti itu ada.


Di bawah ini adalah 3 contoh paling terkenal:

  • Paradoks Zeno, di mana Achilles yang gesit tidak dapat mengejar kura-kura yang lambat, diselesaikan dengan menggunakan konsep barisan bilangan yang semakin berkurang.
  • Jika Anda meletakkan butiran gandum pada setiap kotak papan catur sehingga pada kotak pertama Anda menaruh 1 butir, pada kotak ke-2 - 2, pada kotak ke-3 - 3, dan seterusnya, maka untuk mengisi semua kotak di papan tersebut Anda perlu 18446744073709551615 butir!
  • Dalam permainan "Menara Hanoi", untuk memindahkan disk dari satu batang ke batang lainnya, perlu melakukan operasi 2n - 1, yaitu jumlahnya bertambah secara eksponensial dengan jumlah n disk yang digunakan.


@ 2024 nobelbar.ru - Sepatu, pakaian, gaya, aksesoris, manikur, gaya rambut