Probabilitasnya adalah 1, yang artinya. Rumus untuk menghitung peluang kejadian

lalu mereka mengatakan itu variabel acak ξ memiliki fungsi kepadatan probabilitas f(x).

Definisi. Membiarkan . Untuk fungsi distribusi kontinu F teoritis α-kuantil disebut penyelesaian persamaan tersebut.

Solusi ini mungkin bukan satu-satunya.

Tingkat kuantil ½ disebut teoritis median , tingkat kuantil ¼ Dan ¾ -kuartil bawah dan atas masing-masing.

Dalam aplikasi aktuaria memegang peranan penting Ketimpangan Chebyshev:

kapan saja

Simbol ekspektasi matematis.

Bunyinya seperti ini: probabilitas modulus lebih besar atau sama dengan ekspektasi matematis modulus dibagi .

Seumur hidup sebagai variabel acak

Ketidakpastian saat kematian merupakan faktor risiko utama dalam asuransi jiwa.

Tidak ada hal pasti yang dapat dikatakan mengenai momen kematian seseorang. Namun, jika kita berhadapan dengan sekelompok besar orang yang homogen dan tidak tertarik dengan nasib individu dari kelompok tersebut, maka kita berada dalam kerangka teori probabilitas sebagai ilmu tentang fenomena acak massa yang memiliki sifat stabilitas frekuensi. .

Masing-masing, kita dapat berbicara tentang harapan hidup sebagai variabel acak T.

Fungsi bertahan hidup

Teori probabilitas menjelaskan sifat stokastik dari setiap variabel acak T fungsi distribusi F(x), yang didefinisikan sebagai probabilitas bahwa variabel acak T kurang dari angka X:

.

Dalam matematika aktuaria, menyenangkan untuk bekerja bukan dengan fungsi distribusi, namun dengan fungsi distribusi tambahan . Dalam hal umur panjang, ini adalah kemungkinan seseorang akan hidup sampai usia tertentu X bertahun-tahun.

ditelepon fungsi kelangsungan hidup(fungsi kelangsungan hidup):

Fungsi survival mempunyai sifat sebagai berikut:

Tabel kehidupan biasanya berasumsi ada beberapa batas usia (membatasi usia) (biasanya bertahun-tahun) dan, karenanya, pada x>.

Saat menggambarkan kematian berdasarkan hukum analitis, biasanya diasumsikan bahwa masa hidup tidak terbatas, namun jenis dan parameter hukum dipilih sedemikian rupa sehingga kemungkinan adanya kehidupan di luar usia tertentu dapat diabaikan.

Fungsi survival memiliki arti statistik sederhana.

Katakanlah kita sedang mengamati sekelompok bayi baru lahir (biasanya), yang kita amati dan dapat merekam momen kematiannya.

Mari kita nyatakan jumlah perwakilan kelompok ini yang masih hidup pada usia dengan . Kemudian:

.

Simbol E di sini dan di bawah ini digunakan untuk menunjukkan ekspektasi matematis.

Jadi, fungsi kelangsungan hidup sama dengan proporsi rata-rata mereka yang bertahan hidup sampai usia tertentu dari kelompok bayi baru lahir tertentu.

Dalam matematika aktuaria, seseorang sering kali bekerja bukan dengan fungsi kelangsungan hidup, namun dengan nilai yang baru saja diperkenalkan (menetapkan ukuran grup awal).

Fungsi kelangsungan hidup dapat direkonstruksi dari kepadatan:

Karakteristik Umur

Dari sudut pandang praktis, ciri-ciri berikut ini penting:

1 . Rata-rata waktu hidup

,
2 . Penyebaran seumur hidup

,
Di mana
,

Pada Saat menilai probabilitas terjadinya suatu peristiwa acak, sangat penting untuk memiliki pemahaman yang baik tentang apakah probabilitas () terjadinya peristiwa yang kita minati bergantung pada bagaimana peristiwa lain berkembang.

Dalam kasus skema klasik, ketika semua hasil memiliki kemungkinan yang sama, kita sudah dapat memperkirakan nilai probabilitas dari peristiwa individu yang kita minati secara mandiri. Kita dapat melakukan hal ini meskipun kejadian tersebut merupakan kumpulan kompleks dari beberapa hasil dasar. Bagaimana jika beberapa kejadian acak terjadi secara bersamaan atau berurutan? Bagaimana hal ini mempengaruhi kemungkinan terjadinya peristiwa yang kita minati?

Jika saya melempar dadu beberapa kali dan menginginkan angka enam yang muncul, namun saya terus-menerus tidak beruntung, apakah itu berarti saya harus meningkatkan taruhan saya karena, menurut teori probabilitas, saya akan mendapatkan keberuntungan? Sayangnya, teori probabilitas tidak menyatakan hal seperti ini. Tanpa dadu, tanpa kartu, tanpa koin tidak dapat mengingatnya apa yang mereka tunjukkan kepada kita terakhir kali. Tidak masalah bagi mereka sama sekali apakah ini pertama kalinya atau yang kesepuluh kalinya saya menguji keberuntungan saya hari ini. Setiap kali saya mengulang lemparan, saya hanya tahu satu hal: dan kali ini kemungkinan mendapatkan angka enam lagi-lagi seperenam. Tentu saja bukan berarti nomor yang saya butuhkan tidak akan pernah muncul. Ini hanya berarti bahwa kekalahan saya setelah lemparan pertama dan setelah lemparan lainnya adalah peristiwa yang independen.

Peristiwa A dan B disebut mandiri, jika penerapan salah satunya tidak mempengaruhi kemungkinan kejadian lainnya. Misalnya, peluang mengenai suatu sasaran dengan senjata pertama dari dua senjata tidak bergantung pada apakah sasaran tersebut terkena senjata yang lain, sehingga kejadian “senjata pertama mengenai sasaran” dan “senjata kedua mengenai sasaran” adalah mandiri.

Jika dua kejadian A dan B saling bebas dan peluang masing-masing kejadian diketahui, maka peluang terjadinya kejadian A dan kejadian B secara bersamaan (dilambangkan AB) dapat dihitung dengan menggunakan teorema berikut.

Teorema perkalian peluang untuk kejadian bebas

Contoh.Peluang mengenai sasaran ketika menembakkan senjata pertama dan kedua masing-masing sama: p 1 =0,7;

hal 2 =0,8. Temukan peluang terjadinya serangan dengan satu tembakan oleh kedua senjata secara bersamaan. Larutan:

Apa yang terjadi pada estimasi kami jika kejadian awal tidak independen? Mari kita ubah sedikit contoh sebelumnya.

Contoh.Dua penembak menembak sasaran di sebuah kompetisi, dan jika salah satu dari mereka menembak dengan akurat, lawan mulai gugup dan hasilnya memburuk. Bagaimana mengubah situasi sehari-hari ini menjadi masalah matematika dan menguraikan cara untuk menyelesaikannya? Secara intuitif jelas bahwa dua opsi untuk pengembangan peristiwa perlu dipisahkan, untuk pada dasarnya membuat dua skenario, dua tugas yang berbeda. Dalam kasus pertama, jika lawan meleset, skenarionya akan menguntungkan bagi atlet yang gugup dan akurasinya akan lebih tinggi. Dalam kasus kedua, jika lawan memanfaatkan peluangnya dengan baik, kemungkinan atlet kedua mengenai sasaran berkurang.

Untuk memisahkan skenario yang mungkin (sering disebut hipotesis) untuk perkembangan peristiwa, kita sering menggunakan diagram “pohon probabilitas”. Diagram ini memiliki arti yang mirip dengan pohon keputusan yang mungkin pernah Anda tangani. Setiap cabang mewakili skenario terpisah untuk perkembangan peristiwa, hanya sekarang yang disebut memiliki arti tersendiri bersyarat

probabilitas (q 1, q 2, q 1 -1, q 2 -1).

Skema ini sangat cocok untuk menganalisis kejadian acak berurutan. Masih perlu diperjelas satu pertanyaan penting lagi: dari mana nilai awal probabilitas berasal? situasi nyata

Contoh.? Lagi pula, teori probabilitas tidak bekerja hanya dengan koin dan dadu? Biasanya perkiraan ini diambil dari statistik, dan bila informasi statistik tidak tersedia, kami melakukan penelitian sendiri. Dan seringkali kita harus memulainya bukan dengan pengumpulan data, namun dengan pertanyaan tentang informasi apa yang sebenarnya kita butuhkan. Katakanlah kita perlu memperkirakan di sebuah kota yang berpenduduk seratus ribu jiwa, volume pasar untuk produk baru yang bukan merupakan barang penting, misalnya balsem untuk perawatan rambut diwarnai. Mari kita perhatikan diagram "pohon probabilitas". Dalam hal ini, kita perlu memperkirakan secara kasar nilai probabilitas pada setiap “cabang”.

Jadi, perkiraan kami mengenai kapasitas pasar:

1) dari seluruh penduduk kota, 50% adalah perempuan,

2) dari seluruh wanita, hanya 30% yang sering mewarnai rambutnya,

3) dari jumlah tersebut, hanya 10% yang menggunakan balsem untuk rambut diwarnai,

4) dari mereka, hanya 10% yang berani mencoba produk baru,

hal 2 =0,8. Temukan peluang terjadinya serangan dengan satu tembakan oleh kedua senjata secara bersamaan. Menurut hukum perkalian peluang, kita menentukan peluang kejadian yang kita minati A = (seorang penduduk kota membeli balsem baru ini dari kita) = 0,00045.

Mari kalikan nilai probabilitas ini dengan jumlah penduduk kota. Alhasil, calon pelanggan kami hanya memiliki 45 orang, dan mengingat satu botol produk ini bisa bertahan beberapa bulan, maka perdagangannya tidak terlalu ramai.

Namun ada beberapa manfaat dari penilaian kami.

Pertama, kita dapat membandingkan perkiraan ide bisnis yang berbeda; mereka akan memiliki “garpu” yang berbeda dalam diagram, dan, tentu saja, nilai probabilitasnya juga akan berbeda.

Kedua, seperti yang telah kami katakan, variabel acak tidak disebut acak karena tidak bergantung pada apapun sama sekali. Hanya dia akurat maknanya tidak diketahui sebelumnya. Kita tahu bahwa rata-rata jumlah pembeli dapat ditingkatkan (misalnya dengan mengiklankan produk baru). Jadi masuk akal untuk memfokuskan upaya kita pada “percabangan” yang distribusi probabilitasnya tidak sesuai dengan kita, pada faktor-faktor yang dapat kita pengaruhi.

Mari kita lihat contoh kuantitatif lain dari penelitian perilaku konsumen.

Contoh. Rata-rata, 10.000 orang mengunjungi pasar makanan per hari. Peluang pengunjung pasar memasuki paviliun produk susu adalah 1/2.

Diketahui, paviliun ini rata-rata menjual 500 kg berbagai produk per harinya.

Bisakah kita mengatakan bahwa rata-rata pembelian di paviliun beratnya hanya 100 g? Diskusi.

Tentu saja tidak. Jelas tidak semua orang yang memasuki paviliun akhirnya membeli sesuatu di sana.

Seperti terlihat pada diagram, untuk menjawab pertanyaan tentang rata-rata berat suatu pembelian, kita harus menemukan jawaban atas pertanyaan, berapa peluang seseorang yang memasuki paviliun akan membeli sesuatu di sana. Jika kami tidak memiliki data tersebut, tetapi kami membutuhkannya, kami harus mendapatkannya sendiri dengan mengamati pengunjung paviliun selama beberapa waktu. Katakanlah pengamatan kami menunjukkan bahwa hanya seperlima pengunjung paviliun yang membeli sesuatu.

Setelah kita memperoleh perkiraan ini, tugasnya menjadi sederhana. Dari 10.000 orang yang datang ke pasar, 5.000 orang akan pergi ke paviliun produk susu, yang pembelian hanya 1.000 orang. Rata-rata berat pembelian adalah 500 gram. Menarik untuk dicatat bahwa untuk membangun gambaran lengkap tentang apa yang terjadi, logika “percabangan” bersyarat harus didefinisikan pada setiap tahap penalaran kita sejelas seolah-olah kita sedang bekerja dengan situasi “spesifik”, dan bukan dengan probabilitas.

1. Misalkan ada suatu rangkaian listrik yang terdiri dari n elemen yang dihubungkan secara seri, yang masing-masing beroperasi secara independen satu sama lain.

Probabilitas p kegagalan setiap elemen diketahui. Tentukan peluang berfungsinya seluruh bagian rangkaian (peristiwa A).

2. Siswa mengetahui 20 dari 25 soal ujian. Tentukan peluang siswa tersebut mengetahui tiga soal yang diberikan oleh penguji.

3. Produksi terdiri dari empat tahap yang berurutan, pada masing-masing tahap peralatan beroperasi, yang probabilitas kegagalannya pada bulan berikutnya masing-masing sama dengan p 1, p 2, p 3 dan p 4. Temukan probabilitas bahwa dalam sebulan tidak akan ada penghentian produksi karena kegagalan peralatan.

Jelaslah bahwa setiap peristiwa mempunyai tingkat kemungkinan terjadinya (implementasinya) yang berbeda-beda. Untuk membandingkan secara kuantitatif kejadian-kejadian yang satu dengan yang lain menurut derajat kemungkinannya, tentunya perlu dikaitkan dengan suatu bilangan tertentu dengan setiap kejadian, yang semakin besar maka semakin besar kemungkinan kejadian tersebut. Angka ini disebut peluang suatu kejadian.

Kemungkinan kejadian– adalah ukuran numerik dari tingkat kemungkinan obyektif terjadinya peristiwa ini.

Perhatikan eksperimen stokastik dan kejadian acak A yang diamati dalam eksperimen ini. Mari kita ulangi percobaan ini sebanyak n kali dan misalkan m(A) adalah banyaknya percobaan yang terjadi kejadian A.

Hubungan (1.1)

ditelepon frekuensi relatif kejadian A pada rangkaian percobaan yang dilakukan.

Sangat mudah untuk memverifikasi validitas properti:

jika A dan B tidak konsisten (AB= ), maka ν(A+B) = ν(A) + ν(B) (1.2)

Frekuensi relatif ditentukan hanya setelah serangkaian percobaan dan, secara umum, dapat bervariasi dari rangkaian ke rangkaian. Namun, pengalaman menunjukkan bahwa dalam banyak kasus, seiring dengan bertambahnya jumlah eksperimen, frekuensi relatifnya mendekati angka tertentu. Fakta stabilitas frekuensi relatif ini telah berulang kali diverifikasi dan dapat dianggap ditetapkan secara eksperimental.

Contoh 1.19.. Jika Anda melempar satu koin, tidak ada yang bisa memprediksi sisi mana koin itu akan mendarat. Tetapi jika Anda melempar dua ton koin, maka semua orang akan mengatakan bahwa sekitar satu ton akan jatuh bersama lambang, yaitu frekuensi relatif jatuhnya lambang adalah sekitar 0,5.

Jika, dengan bertambahnya jumlah percobaan, frekuensi relatif kejadian ν(A) cenderung ke bilangan tertentu yang tetap, maka dikatakan bahwa peristiwa A stabil secara statistik, dan bilangan ini disebut peluang kejadian A.

Kemungkinan kejadian tersebut A suatu bilangan tetap P(A) disebut, yang frekuensi relatifnya ν(A) dari kejadian ini cenderung seiring dengan bertambahnya jumlah percobaan, yaitu,

Definisi ini disebut penentuan statistik probabilitas .

Mari kita pertimbangkan eksperimen stokastik tertentu dan biarkan ruang kejadian elementernya terdiri dari himpunan kejadian elementer yang berhingga atau tak terhingga (tetapi dapat dihitung) ω 1, ω 2, …, ω i, …. Mari kita asumsikan bahwa setiap peristiwa dasar ω i diberi nomor tertentu - р i, yang mencirikan tingkat kemungkinan terjadinya peristiwa dasar tertentu dan memenuhi sifat-sifat berikut:

Nomor p i ini disebut probabilitas suatu kejadian dasarωi.

Misalkan A adalah kejadian acak yang diamati dalam percobaan ini, dan misalkan A berkorespondensi dengan himpunan tertentu

Dalam pengaturan ini kemungkinan suatu peristiwa A sebutkan jumlah peluang kejadian-kejadian dasar yang menguntungkan A(termasuk dalam set A yang sesuai):

(1.4)

Probabilitas yang diperkenalkan dengan cara ini mempunyai sifat yang sama dengan frekuensi relatif, yaitu:

Dan jika AB = (A dan B tidak kompatibel),

maka P(A+B) = P(A) + P(B)

Memang, menurut (1.4)

Dalam hubungan terakhir kita mengambil keuntungan dari fakta bahwa tidak ada satu peristiwa dasar pun yang dapat mendukung dua peristiwa yang tidak kompatibel pada waktu yang sama.

Kami secara khusus mencatat bahwa teori probabilitas tidak menunjukkan metode untuk menentukan pi; metode tersebut harus dicari untuk alasan praktis atau diperoleh dari eksperimen statistik yang sesuai.

Sebagai contoh, perhatikan skema klasik teori probabilitas. Untuk melakukan ini, pertimbangkan eksperimen stokastik, ruang kejadian elementer yang terdiri dari sejumlah elemen berhingga (n). Mari kita asumsikan juga bahwa semua kejadian elementer ini sama-sama mungkin terjadi, yaitu probabilitas kejadian elementer sama dengan p(ω i)=p i =p. Oleh karena itu

Contoh 1.20. Saat melempar koin simetris, kemungkinan mendapatkan kepala dan ekor sama, probabilitasnya sama dengan 0,5.

Contoh 1.21. Pada pelemparan sebuah dadu simetris, semua muka mempunyai kemungkinan yang sama, peluangnya sama dengan 1/6.

Sekarang misalkan kejadian A diunggulkan oleh m kejadian dasar, biasa disebut demikian hasil yang menguntungkan bagi peristiwa A. Kemudian

Diterima definisi klasik tentang probabilitas: peluang P(A) kejadian A sama dengan rasio banyaknya hasil yang menguntungkan kejadian A dengan jumlah total hasil

Contoh 1.22. Guci tersebut berisi m bola putih dan n bola hitam. Berapa peluang terambilnya bola putih?

Larutan. Banyaknya kejadian dasar adalah m+n. Semua kemungkinannya sama. Peristiwa yang menguntungkan A dimana m. Karena itu, .

Sifat-sifat berikut mengikuti definisi probabilitas:

Properti 1. Peluang suatu kejadian yang dapat diandalkan sama dengan satu.

Memang benar, jika kejadian tersebut dapat diandalkan, maka setiap hasil dasar dari tes tersebut akan mendukung kejadian tersebut. Dalam hal ini t=p, karena itu,

P(A)=m/n=n/n=1.(1.6)

Properti 2. Peluang terjadinya suatu kejadian yang mustahil adalah nol.

Memang benar, jika suatu peristiwa tidak mungkin terjadi, maka tidak ada satu pun hasil dasar tes yang mendukung peristiwa tersebut. Dalam hal ini T= 0, oleh karena itu, P(A)=m/n=0/n=0. (1.7)

Properti 3.Peluang suatu kejadian acak adalah bilangan positif antara nol dan satu.

Memang benar, hanya sebagian dari jumlah total hasil tes dasar yang disukai oleh kejadian acak. Artinya, 0≤m≤n, yang berarti 0≤m/n≤1, oleh karena itu, peluang suatu kejadian memenuhi pertidaksamaan ganda 0≤ P(A) ≤1. (1.8)

Membandingkan definisi probabilitas (1.5) dan frekuensi relatif (1.1), kami menyimpulkan: definisi probabilitas tidak memerlukan pengujian untuk dilakukan pada kenyataannya; definisi frekuensi relatif mengasumsikan hal itu tes benar-benar dilakukan. Dengan kata lain, probabilitas dihitung sebelum percobaan, dan frekuensi relatif - setelah percobaan.

Namun, penghitungan probabilitas memerlukan informasi awal tentang jumlah atau probabilitas hasil dasar yang menguntungkan untuk suatu peristiwa tertentu. Dengan tidak adanya informasi awal tersebut, data empiris digunakan untuk menentukan probabilitas, yaitu frekuensi relatif kejadian ditentukan berdasarkan hasil eksperimen stokastik.

Contoh 1.23. Departemen kontrol teknis ditemukan 3 bagian non-standar dalam kumpulan 80 bagian yang dipilih secara acak. Frekuensi relatif kemunculan suku cadang non-standar r(A)= 3/80.

Contoh 1.24. Sesuai dengan tujuannya, diproduksi 24 ditembak, dan 19 pukulan dicatat. Tingkat pencapaian target relatif. r(A)=19/24.

Pengamatan jangka panjang telah menunjukkan bahwa jika percobaan dilakukan dalam kondisi yang sama, yang masing-masing jumlah pengujiannya cukup banyak, maka frekuensi relatif menunjukkan sifat stabilitas. Properti ini adalah bahwa dalam eksperimen yang berbeda, frekuensi relatifnya sedikit berubah (semakin sedikit, semakin banyak pengujian yang dilakukan), berfluktuasi di sekitar angka konstan tertentu. Ternyata bilangan konstan ini dapat dianggap sebagai nilai perkiraan probabilitas.

Hubungan antara frekuensi relatif dan probabilitas akan dijelaskan lebih detail dan tepat di bawah ini. Sekarang mari kita ilustrasikan sifat stabilitas dengan contoh.

Contoh 1.25. Menurut statistik Swedia, frekuensi relatif kelahiran anak perempuan pada tahun 1935 berdasarkan bulan ditandai dengan angka-angka berikut (angka-angka tersebut disusun menurut bulan, dimulai dengan Januari): 0,486; 0,489; 0,490; 0.471; 0,478; 0,482; 0.462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473

Frekuensi relatifnya berfluktuasi di sekitar angka 0,481, yang dapat dianggap sebagai nilai perkiraan kemungkinan memiliki anak perempuan.

Perhatikan bahwa data statistik dari berbagai negara memberikan nilai frekuensi relatif yang kira-kira sama.

Contoh 1.26. Eksperimen pelemparan koin dilakukan berkali-kali, di mana jumlah kemunculan “lambang” dihitung. Hasil beberapa percobaan ditunjukkan pada tabel.

Mengetahui bahwa probabilitas dapat diukur, mari kita coba menyatakannya dalam angka. Ada tiga cara yang mungkin.

Beras. 1.1. Mengukur Probabilitas

PROBABILITAS DITENTUKAN OLEH SYMMETRY

Ada situasi-situasi di mana hasil-hasil yang mungkin terjadi mempunyai kemungkinan yang sama. Misalnya, ketika sebuah koin dilempar satu kali, jika koinnya standar, peluang munculnya “kepala” atau “ekor” adalah sama, yaitu. P("kepala") = P("ekor"). Karena hanya dua hasil yang mungkin terjadi, maka P(“kepala”) + P(“ekor”) = 1, oleh karena itu, P(“kepala”) = P(“ekor”) = 0,5.

Dalam percobaan yang hasil-hasilnya mempunyai peluang terjadinya yang sama, peluang terjadinya kejadian E, P (E) sama dengan:

Contoh 1.1. Koin tersebut dilempar sebanyak tiga kali. Berapa peluang terambilnya dua kepala dan satu ekor?

Pertama, mari kita cari semua kemungkinan hasil: Untuk memastikan bahwa kita telah menemukan semua opsi yang memungkinkan, kita akan menggunakan diagram pohon (lihat Bab 1, Bagian 1.3.1).

Jadi, ada 8 kemungkinan hasil yang sama, jadi peluang terjadinya kejadian tersebut adalah 1/8. Peristiwa E - dua kepala dan ekor - tiga terjadi. Itu sebabnya:

Contoh 1.2. Sebuah dadu standar dilempar dua kali. Berapa peluang terambilnya skor 9 atau lebih?

Mari kita temukan semua kemungkinan hasil.

Tabel 1.2. Jumlah total poin yang diperoleh dengan melempar sebuah dadu sebanyak dua kali

Jadi, dalam 10 dari 36 kemungkinan hasil, jumlah poinnya adalah 9 atau oleh karena itu:

PROBABILITAS YANG DITENTUKAN SECARA EMPIRIS

Contoh dengan koin dari meja. 1.1 dengan jelas menggambarkan mekanisme penentuan probabilitas.

Mengingat jumlah total percobaan yang berhasil, probabilitas hasil yang diperlukan dihitung sebagai berikut:

Rasio adalah frekuensi relatif terjadinya suatu hasil tertentu selama percobaan yang cukup lama. Probabilitas dihitung baik berdasarkan data percobaan yang dilakukan, berdasarkan data masa lalu.

Contoh 1.3. Dari lima ratus lampu listrik yang diuji, 415 bekerja lebih dari 1000 jam. Berdasarkan data percobaan ini, kita dapat menyimpulkan bahwa peluang pengoperasian normal lampu jenis ini selama lebih dari 1000 jam adalah:

Catatan. Pengujian bersifat merusak, sehingga tidak semua lampu dapat diuji. Jika hanya satu lampu yang diuji, probabilitasnya adalah 1 atau 0 (yaitu apakah lampu tersebut dapat bertahan 1000 jam atau tidak). Oleh karena itu perlunya mengulangi percobaan.

Contoh 1.4. Dalam tabel 1.3 menunjukkan data masa kerja laki-laki yang bekerja di perusahaan:

Tabel 1.3. Pengalaman kerja pria

Berapa probabilitas bahwa orang berikutnya yang dipekerjakan oleh perusahaan tersebut akan bekerja setidaknya selama dua tahun:

Larutan.

Tabel tersebut menunjukkan bahwa 38 dari 100 karyawan telah bekerja di perusahaan selama lebih dari dua tahun. Probabilitas empiris bahwa karyawan berikutnya akan tetap bekerja di perusahaan tersebut selama lebih dari dua tahun adalah:

Pada saat yang sama, kami berasumsi bahwa karyawan baru tersebut “tipikal dan kondisi kerjanya tidak berubah.

PENILAIAN PROBABILITAS SUBJEKTIF

Dalam bisnis, sering kali muncul situasi di mana tidak ada simetri, dan juga tidak ada data eksperimen. Oleh karena itu, menentukan kemungkinan hasil yang menguntungkan di bawah pengaruh pandangan dan pengalaman peneliti bersifat subjektif.

Contoh 1.5.

1. Seorang ahli investasi memperkirakan kemungkinan memperoleh keuntungan dalam dua tahun pertama adalah 0,6.

2. Ramalan manajer pemasaran: peluang terjualnya 1000 unit suatu produk pada bulan pertama setelah kemunculannya di pasar adalah 0,4.