Peristiwa apa yang disebut kemungkinan. Dasar-dasar Teori Probabilitas bagi Aktuaris

Apakah Anda ingin tahu apa peluang matematika pada keberhasilan taruhan Anda? Lalu ada dua untukmu kabar baik. Pertama: untuk menghitung kemampuan lintas negara, Anda tidak perlu melakukan perhitungan yang rumit dan menghabiskan banyak waktu. Cukup menggunakan rumus sederhana, yang pengerjaannya akan memakan waktu beberapa menit. Kedua: setelah membaca artikel ini, Anda dapat dengan mudah menghitung kemungkinan lolosnya perdagangan Anda.

Untuk menentukan kemampuan lintas negara dengan benar, Anda perlu melakukan tiga langkah:

Hitung persentase probabilitas hasil suatu peristiwa menurut kantor bandar;
Hitung sendiri probabilitasnya menggunakan data statistik;
Cari tahu nilai taruhannya, dengan mempertimbangkan kedua probabilitas.

Mari kita lihat setiap langkah secara detail, tidak hanya menggunakan rumus, tetapi juga contoh.

Lompat Cepat

Menghitung probabilitas yang termasuk dalam peluang taruhan

Langkah pertama adalah mencari tahu berapa probabilitas bandar itu sendiri yang memperkirakan peluang hasil tertentu. Jelas bahwa bandar taruhan tidak menetapkan peluang begitu saja. Untuk melakukan ini kami menggunakan rumus berikut:

PB=(1/K)*100%,

dimana P B adalah probabilitas hasil menurut kantor bandar taruhan;

K – peluang taruhan untuk hasilnya.

Katakanlah peluang kemenangan Arsenal London pada pertandingan melawan Bayern Munich adalah 4. Artinya peluang kemenangan mereka dinilai oleh bandar taruhan sebagai (1/4)*100%=25%. Atau Djokovic bermain melawan Youzhny. Pengganda kemenangan Novak adalah 1,2, peluangnya adalah (1/1.2)*100%=83%.

Beginilah cara bandar itu sendiri mengevaluasi peluang keberhasilan setiap pemain dan tim. Setelah menyelesaikan langkah pertama, kita melanjutkan ke langkah kedua.

Perhitungan probabilitas suatu peristiwa oleh pemain

Poin kedua dari rencana kita adalah penilaian kita sendiri terhadap kemungkinan kejadian tersebut. Karena kami tidak dapat memperhitungkan secara matematis parameter seperti motivasi dan nada permainan, kami akan menggunakan model yang disederhanakan dan hanya menggunakan statistik dari pertemuan sebelumnya. Untuk perhitungan probabilitas statistik hasilnya kita terapkan rumus:

PDAN=(UM/M)*100%,

Di manaPDAN– probabilitas suatu kejadian menurut pemain;

UM – jumlah pertandingan sukses di mana peristiwa tersebut terjadi;

M – jumlah total pertandingan.

Agar lebih jelas, mari kita beri contoh. Andy Murray dan Rafael Nadal memainkan 14 pertandingan bersama. Dalam 6 pertandingan totalnya kurang dari 21 pertandingan, dalam 8 pertandingan totalnya lebih banyak. Anda perlu mengetahui kemungkinan pertandingan berikutnya akan dimainkan dengan total lebih tinggi: (14/8)*100=57%. Valencia memainkan 74 pertandingan melawan Atlético di Mestalla, di mana mereka meraih 29 kemenangan. Probabilitas kemenangan Valencia: (29/74)*100%=39%.

Dan kami mempelajari semua ini hanya berkat statistik pertandingan sebelumnya! Tentu saja bagi sebagian orang tim baru atau seorang pemain, probabilitas tersebut tidak dapat dihitung, jadi strategi taruhan ini hanya cocok untuk pertandingan di mana lawan bertemu lebih dari satu kali. Sekarang kita tahu bagaimana menentukan probabilitas hasil taruhan dan kita sendiri, dan kita memiliki semua pengetahuan untuk melanjutkan ke langkah terakhir.

Menentukan nilai taruhan

Nilai (value) suatu taruhan dan keterlaluan mempunyai hubungan langsung: semakin tinggi nilainya, semakin tinggi peluang untuk lolos. Nilainya dihitung sebagai berikut:

V=PDAN*K-100%,

dimana V adalah nilai;

P I – probabilitas hasil menurut petaruh;

K – peluang taruhan untuk hasilnya.

Katakanlah kita ingin bertaruh pada kemenangan Milan dalam pertandingan melawan Roma dan kita menghitung kemungkinan kemenangan “merah-hitam” adalah 45%. Taruhan menawarkan kita odds 2,5 untuk hasil ini. Apakah taruhan seperti itu akan bernilai? Kami melakukan perhitungan: V=45%*2.5-100%=12.5%. Hebat, kita punya taruhan berharga di depan kita peluang bagus untuk lulus.

Mari kita ambil kasus lain. Maria Sharapova bermain melawan Petra Kvitova. Kami ingin membuat kesepakatan agar Maria menang, yang kemungkinannya menurut perhitungan kami adalah 60%. Taruhan menawarkan pengganda 1,5 untuk hasil ini. Kita tentukan nilainya: V=60%*1,5-100=-10%. Seperti yang Anda lihat, taruhan ini tidak ada nilainya dan harus dihindari.

Peluang terjadinya suatu peristiwa pada suatu pengujian tertentu sama dengan rasio , dimana:

Jumlah total semua kemungkinan hasil dasar yang sama dari suatu tes tertentu, yang bentuknya kelompok penuh acara;

Jumlah hasil dasar yang mendukung acara tersebut.

Masalah 1

Sebuah guci berisi 15 bola putih, 5 bola merah, dan 10 bola hitam. 1 bola diambil secara acak, tentukan peluang terambilnya: a) putih, b) merah, c) hitam.

Larutan: Prasyarat terpenting untuk menggunakan definisi klasik tentang probabilitas adalah kemampuan untuk menghitung jumlah total hasil.

Ada total 15 + 5 + 10 = 30 bola di dalam guci, dan fakta berikut ini benar adanya:

Mengambil bola apa pun juga bisa dilakukan (kesempatan yang sama hasil), sedangkan hasilnya dasar dan bentuk kumpulan acara lengkap (yaitu, sebagai hasil tes, salah satu dari 30 bola pasti akan dikeluarkan).

Jadi, jumlah total hasil:

Perhatikan kejadian berikut: - Sebuah bola putih akan diambil dari guci. Peristiwa ini didukung oleh hasil-hasil dasar, oleh karena itu, menurut definisi klasik:
- peluang terambilnya bola putih dari guci.

Anehnya, bahkan dalam tugas sederhana seperti itu, ketidakakuratan yang serius dapat terjadi. Di manakah letak jebakannya di sini? Tidaklah benar untuk memperdebatkan hal itu di sini “karena separuh bola berwarna putih, maka peluang terambilnya bola putih » . Definisi klasik dari probabilitas mengacu pada DASAR hasilnya, dan pecahannya harus dituliskan!

Demikian pula dengan poin-poin lain, pertimbangkan peristiwa-peristiwa berikut:

Sebuah bola merah akan diambil dari guci;
- akan diambil bola hitam dari guci.

Suatu peristiwa disukai oleh 5 hasil dasar, dan suatu peristiwa disukai oleh 10 hasil dasar. Jadi probabilitas yang sesuai adalah:

Pemeriksaan khas dari banyak tugas server dilakukan dengan menggunakan teorema jumlah peluang kejadian-kejadian yang membentuk kelompok lengkap. Dalam kasus kita, kejadian-kejadian tersebut membentuk grup lengkap, yang berarti jumlah probabilitas yang bersesuaian harus sama dengan satu: .

Mari kita periksa apakah ini benar: itulah yang ingin saya pastikan.

Menjawab:

Dalam praktiknya, opsi desain solusi “kecepatan tinggi” adalah hal yang umum:

Total: 15 + 5 + 10 = 30 bola di dalam guci. Menurut definisi klasik:
- peluang terambilnya bola putih dari guci;
- kemungkinan terambilnya bola merah dari guci;
- peluang terambilnya bola hitam dari guci.

Menjawab:

Masalah 2

Toko tersebut menerima 30 lemari es, lima di antaranya memiliki cacat produksi. Satu lemari es dipilih secara acak. Berapa peluangnya tanpa cacat?

Masalah 3

Saat menghubungi nomor telepon, pelanggan lupa dua digit terakhir, tetapi ingat bahwa salah satunya adalah nol dan yang lainnya ganjil. Temukan probabilitas bahwa dia akan memanggil nomor yang benar.

Catatan: nol adalah bilangan genap (habis dibagi 2 tanpa sisa)

Larutan: Pertama kita mencari jumlah total hasil. Dengan syarat, pelanggan mengingat salah satu angkanya nol, dan angka lainnya ganjil. Di sini lebih rasional untuk tidak membelah rambut kombinatorik dan mengambil keuntungan metode pencatatan langsung hasil . Artinya, saat membuat solusi, kita cukup menuliskan semua kombinasinya:

01, 03, 05, 07, 09

10, 30, 50, 70, 90

Dan kami menghitungnya - totalnya: 10 hasil.

Hanya ada satu hasil yang menguntungkan: angka yang benar.

Menurut definisi klasik:
- kemungkinan pelanggan akan menghubungi nomor yang benar

Menjawab: 0,1

Tugas lanjutan untuk solusi mandiri:

Masalah 4

Pelanggan lupa kode PIN untuk kartu SIM-nya, tetapi ingat bahwa di dalamnya terdapat tiga angka “lima”, dan salah satu angkanya adalah “tujuh” atau “delapan”. Berapa probabilitas otorisasi berhasil pada percobaan pertama?

Di sini Anda juga dapat mengembangkan gagasan tentang kemungkinan pelanggan akan menghadapi hukuman berupa kode puk, namun sayangnya alasannya akan melampaui cakupan pelajaran ini.

Solusi dan jawabannya ada di bawah ini.

Terkadang membuat daftar kombinasi ternyata menjadi tugas yang sangat melelahkan. Secara khusus, hal ini juga terjadi pada kasus berikut ini grup populer soal pelemparan 2 buah dadu (lebih jarang - lebih banyak):

Masalah 5

Tentukan peluang pelemparan dua buah dadu, jumlah seluruhnya adalah:

a) lima poin;

b) tidak lebih dari empat poin;

c) dari 3 hingga 9 poin inklusif.

Larutan: temukan jumlah total hasil:

Cara agar sisi dadu pertama bisa rontok Dan sisi kubus ke-2 bisa rontok dengan cara yang berbeda; Oleh aturan untuk mengalikan kombinasi, jumlah: kemungkinan kombinasi. Dengan kata lain, setiap muka kubus ke-1 dapat membentuk pasangan terurut dengan masing-masing tepi kubus ke-2. Mari kita sepakat untuk menuliskan pasangan tersebut dalam bentuk , dimana adalah bilangan yang muncul pada dadu pertama, dan merupakan bilangan yang muncul pada dadu kedua.

Misalnya:

Dadu pertama mendapat 3 poin, dadu kedua mendapat 5 poin, total poin: 3 + 5 = 8;
- dadu pertama mencetak 6 poin, dadu kedua - 1 poin, jumlah poin: 6 + 1 = 7;
- 2 poin dilempar pada kedua dadu, jumlah: 2 + 2 = 4.

Jelasnya, jumlah terkecil diberikan oleh sepasang, dan jumlah terbesar diberikan oleh dua “enam”.

a) Perhatikan kejadian: - pada pelemparan dua buah dadu, akan muncul 5 angka. Mari kita tulis dan hitung jumlah hasil yang menguntungkan acara ini:

Total: 4 hasil yang menguntungkan. Menurut definisi klasik:
- probabilitas yang diinginkan.

b) Pertimbangkan kejadiannya: - tidak lebih dari 4 poin yang akan muncul. Artinya, 2, atau 3, atau 4 poin. Sekali lagi kami membuat daftar dan menghitung kombinasi yang disukai, di sebelah kiri saya akan menuliskan jumlah total poin, dan setelah titik dua - pasangan yang cocok:

Total: 6 kombinasi yang menguntungkan. Dengan demikian:
- probabilitas bahwa tidak lebih dari 4 poin akan diperoleh.

c) Pertimbangkan acaranya: - 3 hingga 9 poin akan bergulir, inklusif. Di sini kamu bisa mengambil jalan lurus, tapi... entah kenapa kamu tidak mau. Ya, beberapa pasangan telah disebutkan di paragraf sebelumnya, tetapi masih banyak pekerjaan yang harus diselesaikan.

Apa cara terbaik untuk melanjutkan? Dalam kasus seperti itu, jalan memutar menjadi rasional. Mari kita pertimbangkan kejadian sebaliknya: - 2 atau 10 atau 11 atau 12 poin akan diberikan.

Apa gunanya? Peristiwa sebaliknya disukai oleh sejumlah kecil pasangan:

Total: 7 hasil yang menguntungkan.

Menurut definisi klasik:
- kemungkinan Anda mendapatkan kurang dari tiga atau lebih dari 9 poin.

Orang yang sangat teliti dapat membuat daftar ke-29 pasangan tersebut, sehingga menyelesaikan pemeriksaan.

Menjawab:

Pada soal berikutnya kita akan mengulangi tabel perkalian:

Masalah 6

Tentukan peluang bahwa pada pelemparan dua buah dadu, hasil kali poinnya adalah:

a) akan sama dengan tujuh;

b) setidaknya akan ada 20;

c) akan genap.

Solusi Cepat dan jawabannya di akhir pelajaran.

Masalah 7

3 orang memasuki lift gedung 20 lantai di lantai satu. Dan ayo pergi. Temukan probabilitas bahwa:

a) mereka akan keluar di lantai yang berbeda;

b) dua orang akan keluar di lantai yang sama;

c) semua orang akan turun di lantai yang sama.

Larutan: mari kita hitung jumlah hasil: cara penumpang pertama keluar dari lift Dan cara - penumpang ke-2 Dan cara - penumpang ketiga. Menurut aturan perkalian kombinasi: hasil yang mungkin. Yaitu, setiap Lantai keluar orang pertama dapat digabungkan dengan semua orang Lantai keluar orang ke-2 dan dengan semua orang Lantai keluar orang ke-3.

Metode kedua didasarkan pada penempatan dengan pengulangan:
- siapa pun yang memahaminya lebih jelas.

a) Perhatikan kejadian : - Penumpang akan turun di lantai yang berbeda. Mari kita hitung jumlah hasil yang menguntungkan:
3 penumpang di lantai berbeda dapat keluar menggunakan metode ini. Buatlah penalaran sendiri berdasarkan rumus tersebut.

Menurut definisi klasik:

c) Perhatikan kejadian : - penumpang akan turun di lantai yang sama. Peristiwa ini memiliki hasil yang menguntungkan dan, menurut definisi klasik, probabilitas yang sesuai: .

Kami masuk dari pintu belakang:

b) Perhatikan kejadian: - dua orang akan turun di lantai yang sama (dan, karenanya, yang ketiga ada di sisi lain).

Formulir acara kelompok penuh (Kami yakin tidak ada orang yang tertidur di dalam lift dan lift tidak akan macet, yang artinya.

Hasilnya, probabilitas yang diinginkan adalah:

Dengan demikian, teorema penjumlahan peluang kejadian-kejadian yang membentuk kelompok lengkap, tidak hanya nyaman, tetapi juga menjadi penyelamat nyata!

Menjawab:

Ketika pecahan besar diperoleh, maka dalam kondisi yang baik akan menunjukkan perkiraan nilai desimalnya. Biasanya dibulatkan menjadi 2-3-4 desimal.

Karena kejadian poin "a", "be", "ve" membentuk grup yang lengkap, masuk akal untuk melakukan pemeriksaan kontrol, dan lebih baik dengan nilai perkiraan:

Itu yang perlu diperiksa.

Terkadang, karena kesalahan pembulatan, hasilnya mungkin 0,9999 atau 1,0001; dalam hal ini, salah satu nilai perkiraan harus “disesuaikan” sehingga totalnya adalah satuan “murni”.

Sendiri:

Masalah 8

10 uang logam dilempar. Temukan probabilitas bahwa:

a) semua koin akan menunjukkan kepala;

b) 9 koin akan mendaratkan kepala, dan satu koin akan mendaratkan ekor;

c) kepala akan muncul di setengah koin.

Masalah 9

7 orang secara acak duduk di bangku tujuh tempat duduk. Berapa probabilitas bahwa dua orang tertentu akankah mereka berada di dekatnya?

Larutan: Tidak ada masalah dengan jumlah total hasil:
7 orang dapat duduk di bangku dengan cara yang berbeda.

Tapi bagaimana cara menghitung jumlah hasil yang menguntungkan? Rumus sepele tidak cocok dan satu-satunya cara- ini adalah alasan yang logis. Pertama, mari kita perhatikan situasi ketika Sasha dan Masha bersebelahan di tepi kiri bangku cadangan:

Yang jelas, urutannya penting: Sasha boleh duduk di kiri, Masha di kanan, dan sebaliknya. Tapi bukan itu saja - untuk semua orang Dari dua kasus tersebut, masyarakat lainnya dapat duduk di kursi kosong dengan cara lain. Secara kombinatorial, Sasha dan Masha dapat disusun ulang di tempat yang berdekatan dengan cara berikut: Dan Untuk setiap permutasi seperti itu, orang lain dapat diatur ulang menurut caranya.

Jadi, menurut aturan perkalian kombinasi, hasil yang menguntungkan akan muncul.

Tapi bukan itu saja! Fakta di atas memang benar adanya untuk masing-masing pasangan tempat tetangga:

Menarik untuk dicatat bahwa jika bangku itu “bulat” (menghubungkan kursi kiri dan kanan), kemudian terbentuk pasangan tempat yang berdekatan ketujuh tambahan. Tapi jangan sampai kita terganggu. Menurut prinsip yang sama dalam mengalikan kombinasi, kita memperoleh jumlah akhir dari hasil yang diinginkan:

Menurut definisi klasik:
- kemungkinan bahwa dua orang tertentu akan berada di dekatnya.

Menjawab:

Masalah 10

Dua benteng, putih dan hitam, ditempatkan secara acak di papan catur berisi 64 sel. Seberapa besar kemungkinan mereka tidak akan “mengalahkan” satu sama lain?

Referensi: papan catur memiliki ukuran sel; benteng hitam dan putih “saling mengalahkan” ketika mereka berada di peringkat yang sama atau di vertikal yang sama

Pastikan untuk membuat gambar skema papan, dan lebih baik lagi jika ada catur di dekatnya. Berpikir di atas kertas adalah satu hal, dan hal lain lagi jika Anda menyusun potongan-potongan itu dengan tangan Anda sendiri.

Masalah 11

Berapa peluang keempat kartu yang dibagikan berisi satu kartu as dan satu raja?

Mari kita hitung jumlah total hasil. Dalam berapa cara Anda dapat mengeluarkan 4 kartu dari tumpukan kartu? Mungkin semua orang mengerti apa yang sedang kita bicarakan jumlah kombinasi:
dengan menggunakan metode ini Anda dapat memilih 4 kartu dari dek.

Sekarang kami mempertimbangkan hasil yang menguntungkan. Sesuai ketentuan, dalam pemilihan 4 kartu harus ada satu as, satu king dan, yang tidak disebutkan dalam teks biasa - dua kartu lainnya:

Cara mengekstrak satu kartu as;
cara Anda dapat memilih satu raja.

Kami mengecualikan kartu as dan raja dari pertimbangan: 36 - 4 - 4 = 28

cara Anda dapat mengekstrak dua kartu lainnya.

Menurut aturan perkalian kombinasi:
cara Anda dapat mengekstrak kombinasi kartu yang diinginkan (1 As Dan raja pertama Dan dua kartu lainnya).

Izinkan saya mengomentari makna kombinasional notasi tersebut dengan cara lain:
setiap kombinasi ace dengan semua orang raja dan dengan masing-masing kemungkinan pasangan kartu lain.

Menurut definisi klasik:
- probabilitas bahwa di antara empat kartu yang dibagikan akan ada satu kartu as dan satu raja.

Jika Anda punya waktu dan kesabaran, kurangi pecahan besar sebanyak mungkin.

Menjawab:

Lagi tugas sederhana untuk solusi independen:

Masalah 12

Kotak itu berisi 15 bagian berkualitas dan 5 bagian rusak. 2 bagian diambil secara acak.

Temukan probabilitas bahwa:

a) kedua bagian tersebut berkualitas tinggi;

b) satu bagian akan berkualitas tinggi, dan satu lagi akan cacat;

c) kedua bagian rusak.

Peristiwa-peristiwa dari poin-poin yang terdaftar membentuk kelompok yang lengkap, jadi pemeriksaan di sini menunjukkan dirinya sendiri. Solusi singkat dan jawaban di akhir pelajaran. Secara umum, hal yang paling menarik baru saja dimulai!

Masalah 13

Siswa mengetahui jawaban atas 25 soal ujian dari 60 soal. Berapa peluang lulus ujian jika Anda harus menjawab minimal 2 dari 3 pertanyaan?

Larutan: Jadi situasinya adalah sebagai berikut: total ada 60 pertanyaan, 25 di antaranya “baik” dan, karenanya, 60 - 25 = 35 “buruk”. Situasinya genting dan tidak berpihak pada siswa. Mari kita cari tahu seberapa besar peluangnya:

cara Anda dapat memilih 3 dari 60 pertanyaan (jumlah total hasil).

Untuk lulus ujian, Anda harus menjawab 2 atau 3 pertanyaan. Kami mempertimbangkan kombinasi yang menguntungkan:

Cara memilih 2 pertanyaan yang “bagus”. Dan yang satu “buruk”;

cara Anda dapat memilih 3 pertanyaan "bagus".

Oleh aturan untuk menambahkan kombinasi:
cara Anda dapat memilih kombinasi 3 pertanyaan yang menguntungkan untuk lulus ujian (tidak ada perbedaan dengan dua atau tiga pertanyaan "bagus").

Menurut definisi klasik:

Menjawab:

Masalah 14

Seorang pemain poker dibagikan 5 kartu. Temukan probabilitas bahwa:

a) di antara kartu-kartu ini akan ada sepasang puluhan dan sepasang jack;
b) pemain akan dibagikan flush (5 kartu dengan jenis yang sama);
c) pemain akan dibagikan four of a kind (4 kartu dengan nilai yang sama).

Manakah dari kombinasi berikut yang paling mungkin diperoleh?

! Perhatian! Jika kondisi menanyakan pertanyaan serupa, maka jawablah diperlukan memberikan jawaban.
Referensi : Poker secara tradisional dimainkan dengan setumpuk 52 kartu, yang berisi kartu dengan 4 jenis mulai dari deuces hingga ace.

Poker adalah permainan paling matematis (mereka yang memainkannya mengetahuinya), di mana Anda bisa mendapatkan keuntungan nyata dibandingkan lawan yang kurang berkualitas.

Solusi dan Jawaban:

Tugas 2: Larutan: 30 - 5 = 25 lemari es tidak ada cacat.

- kemungkinan lemari es yang dipilih secara acak tidak mempunyai cacat.
Menjawab :

Tugas 4: Larutan: temukan jumlah total hasil:
cara Anda dapat memilih tempat di mana nomor yang meragukan itu berada dan pada setiap Dari 4 tempat tersebut, dapat ditemukan 2 digit (tujuh atau delapan). Menurut aturan perkalian kombinasi, jumlah hasil: .
Alternatifnya, solusinya cukup dengan mencantumkan semua hasil (untungnya hanya ada sedikit):

7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558

Hanya ada satu hasil yang menguntungkan (kode pin yang benar).

Jadi, menurut definisi klasik:
- kemungkinan pelanggan login pada upaya pertama
Menjawab :

Tugas 6: Larutan

Tugas 6:Larutan : temukan jumlah total hasil:
angka dapat muncul pada 2 dadu dengan cara yang berbeda.

a) Perhatikan kejadiannya: - saat melempar dua dadu, hasil kali poinnya akan sama dengan tujuh. Tidak ada hasil yang menguntungkan untuk acara ini,
, yaitu peristiwa ini tidak mungkin terjadi.

b) Perhatikan kejadiannya: - saat melempar dua dadu, hasil kali poinnya minimal 20. Hasil berikut mendukung acara ini:

Jumlah: 8

Menurut definisi klasik:

- probabilitas yang diinginkan.

c) Perhatikan kejadian sebaliknya:

- hasil kali poinnya akan genap;

- hasil kali poinnya ganjil.

Mari kita buat daftar semua hasil yang menguntungkan acara tersebut :

Total: 9 hasil yang menguntungkan.

Menurut definisi klasik tentang probabilitas:

Peristiwa yang berlawanan membentuk satu kelompok yang lengkap, oleh karena itu:

- probabilitas yang diinginkan.

Menjawab :

Masalah 8:Larutan cara 2 koin bisa jatuh.
Cara lain: cara koin pertama bisa jatuhDan cara koin ke-2 bisa jatuhDan … Dan cara koin ke 10 bisa jatuh. Menurut aturan perkalian kombinasi, 10 koin bisa jatuh cara.
a) Perhatikan kejadiannya: - semua koin akan menunjukkan kepala. Peristiwa ini disukai oleh satu hasil, menurut definisi klasik tentang probabilitas: .
b) Perhatikan kejadiannya: - 9 koin akan mendaratkan kepala, dan satu koin akan mendaratkan ekor.
Ada koin yang mungkin mendarat di kepala. Menurut definisi klasik tentang probabilitas: .
c) Perhatikan kejadiannya: - kepala akan muncul di setengah koin.
Ada kombinasi unik dari lima koin yang dapat menghasilkan kepala. Menurut definisi klasik tentang probabilitas:
Menjawab:

Masalah 10:Larutan : mari kita hitung jumlah total hasil:
cara untuk menempatkan dua benteng di papan.
Pilihan desain lainnya: cara memilih dua kotak papan caturDan cara menempatkan benteng putih dan hitamdi setiap dari kasus tahun 2016. Jadi, jumlah total hasil: .

Sekarang mari kita hitung hasil di mana para benteng “mengalahkan” satu sama lain. Mari kita perhatikan garis horizontal pertama. Tentunya angka-angka tersebut dapat ditempatkan di atasnya dengan cara apapun, misalnya seperti ini:

Selain itu, benteng dapat diatur ulang. Mari kita masukkan alasannya ke dalam bentuk numerik: cara Anda dapat memilih dua selDan cara untuk mengatur ulang bentengdi setiapdari 28 kasus. Total: kemungkinan posisi gambar secara horizontal.
Versi singkat dari desain: cara kalian bisa menempatkan benteng putih dan benteng hitam di peringkat 1.

Alasan di atas ada benarnyauntuk masing-masing horizontal, jadi jumlah kombinasinya harus dikalikan delapan: . Selain itu, cerita serupa juga berlaku untuk delapan vertikal mana pun. Mari kita hitung jumlah total formasi di mana bidak-bidaknya “saling mengalahkan”:

Kemudian dalam varian pengaturan lainnya, benteng tidak akan “saling mengalahkan”:
4032 - 896 = 3136

Menurut definisi klasik tentang probabilitas:
- kemungkinan benteng putih dan hitam yang ditempatkan secara acak di papan tidak akan “mengalahkan” satu sama lain.

Menjawab :

Masalah 12:Larutan : total: 15 + 5 = 20 bagian dalam satu kotak. Mari kita hitung jumlah total hasil:
dengan menggunakan metode ini Anda dapat mengeluarkan 2 bagian dari kotak.
a) Perhatikan kejadiannya: - kedua bagian yang diekstraksi akan berkualitas tinggi.
dengan menggunakan metode ini Anda dapat mengekstrak 2 bagian berkualitas tinggi.
Menurut definisi klasik tentang probabilitas:
b) Perhatikan kejadiannya: - satu bagian akan berkualitas tinggi, dan satu lagi akan cacat.
cara Anda dapat mengekstrak 1 bagian berkualitasDan1 cacat.
Menurut definisi klasik:
c) Perhatikan kejadiannya: - kedua bagian yang diekstraksi rusak.
dengan menggunakan metode ini Anda dapat menghapus 2 bagian yang rusak.
Menurut definisi klasik:
Penyelidikan: mari kita hitung jumlah peluang kejadian-kejadian yang membentuk kelompok lengkap: , itulah yang perlu diperiksa.
Menjawab:

Dan sekarang mari kita gunakan alat pembelajaran yang sudah familiar dan bebas masalah - sebuah dadu dengan kumpulan acara lengkap , yang terdiri dari fakta bahwa ketika dilempar, akan muncul masing-masing poin 1, 2, 3, 4, 5 dan 6.

Bayangkan sebuah peristiwa - sebagai akibat dari pelemparan dadu Setidaknya lima poin akan digulirkan. Peristiwa ini terdiri dari dua hasil yang tidak kompatibel: (gulungan 5 atau 6 poin)
- probabilitas bahwa pelemparan dadu akan menghasilkan setidaknya lima poin.

Mari kita pertimbangkan kejadian yang menghasilkan tidak lebih dari 4 poin dan temukan probabilitasnya. Dengan teorema penjumlahan probabilitas kejadian yang tidak kompatibel:

Mungkin sebagian pembaca belum sepenuhnya menyadarinya esensi ketidakcocokan. Mari kita pikirkan lagi: seorang siswa tidak dapat menjawab 2 dari 3 pertanyaan dan pada saat yang sama menjawab semua 3 pertanyaan. Dengan demikian, peristiwa dan peristiwa tersebut tidak sejalan.

Sekarang, menggunakan definisi klasik, mari kita cari probabilitasnya:

Fakta keberhasilan lulus ujian dinyatakan dalam jumlah (jawaban untuk 2 dari 3 pertanyaan atau untuk semua pertanyaan). Menurut teorema penjumlahan peluang kejadian yang tidak sesuai:
- kemungkinan siswa tersebut lulus ujian.

Solusi ini sepenuhnya setara, pilih mana yang paling Anda sukai.

Masalah 1

Toko menerima produk dalam kotak dari empat gudang grosir: empat dari tanggal 1, lima dari tanggal 2, tujuh dari tanggal 3 dan empat dari tanggal 4. Sebuah kotak yang akan dijual dipilih secara acak. Berapa probabilitas bahwa kotak tersebut berasal dari gudang pertama atau ketiga.

Larutan: total yang diterima toko: 4 + 5 + 7 + 4 = 20 kotak.

Dalam tugas ini, akan lebih mudah menggunakan metode pendaftaran “cepat” tanpa menjadwalkan acara dalam jumlah besar dalam huruf latin. Menurut definisi klasik:
- kemungkinan sebuah kotak dari gudang pertama akan dipilih untuk dijual;
- kemungkinan sebuah kotak dari gudang ke-3 akan dipilih untuk dijual.

Menurut teorema penjumlahan kejadian tak kompatibel:
- kemungkinan sebuah kotak dari gudang pertama atau ketiga akan dipilih untuk dijual.

Menjawab: 0,55

Tentu saja, masalahnya dapat dipecahkan dan diselesaikan secara menyeluruh definisi klasik probabilitas dengan menghitung langsung jumlah hasil yang diinginkan (4 + 7 = 11), namun metode yang dipertimbangkan juga tidak lebih buruk. Dan bahkan lebih jelas.

Masalah 2

Kotak itu berisi 10 tombol merah dan 6 tombol biru. Dua tombol dilepas secara acak. Berapa peluang terambilnya warna yang sama?

Demikian pula - di sini Anda dapat menggunakannya aturan penjumlahan kombinatorial, tapi entahlah... tiba-tiba ada yang lupa. Maka teorema untuk menjumlahkan probabilitas kejadian yang tidak sesuai akan membantu!

Kemungkinan Peristiwa adalah rasio jumlah hasil dasar yang menguntungkan suatu peristiwa tertentu dengan jumlah semua kemungkinan hasil pengalaman yang sama di mana peristiwa tersebut dapat muncul. Peluang kejadian A dilambangkan dengan P(A) (di sini P adalah huruf pertama kata Perancis probabilitas - probabilitas). Menurut definisinya
(1.2.1)
di mana banyaknya hasil dasar yang mendukung kejadian A; - jumlah semua kemungkinan hasil dasar percobaan yang sama, yang membentuk kelompok kejadian yang lengkap.
Definisi probabilitas ini disebut klasik. Itu muncul tahap awal pengembangan teori probabilitas.

Peluang suatu kejadian mempunyai ciri-ciri sebagai berikut:
1. Probabilitas acara yang dapat diandalkan sama dengan satu. Mari kita nyatakan peristiwa yang dapat dipercaya dengan surat itu . Oleh karena itu, untuk acara tertentu
(1.2.2)
2. Peluang suatu kejadian yang mustahil adalah nol. Mari kita nyatakan peristiwa yang mustahil dengan huruf . Oleh karena itu, untuk peristiwa yang mustahil
(1.2.3)
3. Probabilitas suatu kejadian acak dinyatakan angka positif, kurang dari satu. Karena untuk kejadian acak pertidaksamaan , atau , terpenuhi, maka
(1.2.4)
4. Probabilitas suatu kejadian memenuhi pertidaksamaan
(1.2.5)
Ini mengikuti relasi (1.2.2) - (1.2.4).

Contoh 1. Sebuah guci berisi 10 bola dengan ukuran dan berat yang sama, 4 bola berwarna merah dan 6 bola biru. Satu bola diambil dari guci. Berapa peluang terambilnya bola berwarna biru?

Larutan. Peristiwa “bola yang ditarik ternyata berwarna biru” dilambangkan dengan huruf A. Tes ini mempunyai 10 kemungkinan hasil dasar yang sama, dimana 6 diantaranya menguntungkan kejadian A. Sesuai dengan rumus (1.2.1), kita memperoleh

Contoh 2. Semua bilangan asli dari 1 sampai 30 ditulis pada kartu yang sama dan ditempatkan dalam sebuah guci. Setelah kartu dikocok seluruhnya, satu kartu dikeluarkan dari guci. Berapa peluang terambilnya angka pada kartu yang merupakan kelipatan 5?

Larutan. Mari kita nyatakan dengan A kejadian “angka pada kartu yang diambil adalah kelipatan 5”. Dalam tes ini terdapat 30 kemungkinan hasil dasar yang sama, dimana kejadian A disukai oleh 6 hasil (angka 5, 10, 15, 20, 25, 30). Karena itu,

Contoh 3. Dua dadu dilempar dan jumlah titik pada permukaan atasnya dihitung. Tentukan peluang kejadian B sehingga permukaan atas dadu berjumlah 9 buah.

Larutan. Dalam tes ini hanya terdapat 6 2 = 36 kemungkinan hasil dasar yang sama. Peristiwa B disukai oleh 4 hasil: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), oleh karena itu

Contoh 4. Dipilih secara acak bilangan asli, tidak melebihi 10. Berapa peluang terambilnya bilangan prima?

Larutan. Mari kita nyatakan dengan huruf C kejadian “bilangan yang dipilih adalah bilangan prima”. DI DALAM dalam hal ini n = 10, m = 4 ( bilangan prima 2, 3, 5, 7). Oleh karena itu, probabilitas yang diperlukan

Contoh 5. Dua buah uang logam simetris dilempar. Berapa peluang terdapat angka pada sisi atas kedua koin?

Larutan. Mari kita nyatakan dengan huruf D kejadian “ada angka di sisi atas setiap koin”. Dalam tes ini terdapat 4 kemungkinan hasil dasar yang sama: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (Notasi (G, C) artinya uang logam pertama mempunyai lambang, uang logam kedua mempunyai nomor). Peristiwa D disukai oleh satu hasil dasar (C, C). Karena m = 1, n = 4, maka

Contoh 6. Berapa peluang terambilnya dua angka yang dipilih secara acak mempunyai angka yang sama?

Larutan. Angka dua digit adalah angka dari 10 sampai 99; Total ada 90 angka seperti itu. 9 angka yang angkanya sama (yaitu angka 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Karena dalam hal ini m = 9, n = 90, maka
,
dimana A adalah kejadian “bilangan dengan digit yang identik”.

Contoh 7. Dari huruf kata diferensial Satu huruf dipilih secara acak. Berapa peluang terambilnya huruf tersebut: a) vokal, b) konsonan, c) huruf H?

Larutan. Kata diferensial mempunyai 12 huruf, 5 diantaranya vokal dan 7 konsonan. Surat H tidak ada dalam kata ini. Mari kita nyatakan peristiwanya: A - "huruf vokal", B - "huruf konsonan", C - "huruf H". Banyaknya hasil dasar yang menguntungkan: - untuk kejadian A, - untuk kejadian B, - untuk kejadian C. Karena n = 12, maka
, Dan .

Contoh 8. Dua buah dadu dilempar dan dicatat jumlah titik pada puncak masing-masing dadu. Tentukan peluang terambilnya kedua dadu nomor yang sama poin.

Larutan. Mari kita nyatakan kejadian ini dengan huruf A. Peristiwa A disukai oleh 6 hasil dasar: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6 ;6). Banyaknya kemungkinan hasil dasar yang sama yang membentuk sekelompok kejadian lengkap, dalam hal ini n=6 2 =36. Artinya probabilitas yang diperlukan

Contoh 9. Buku ini memiliki 300 halaman. Berapa probabilitas halaman yang dibuka secara acak nomor seri, kelipatan 5?

Larutan. Dari kondisi soal dapat disimpulkan bahwa semua kemungkinan hasil dasar yang sama yang membentuk kelompok kejadian lengkap adalah n = 300. Dari jumlah tersebut, m = 60 mendukung terjadinya kejadian tertentu. Memang benar, suatu bilangan yang merupakan kelipatan 5 mempunyai bentuk 5k, dimana k adalah bilangan asli, dan , maka . Karena itu,
, dimana A - kejadian “halaman” mempunyai nomor urut yang merupakan kelipatan 5".

Contoh 10. Dua dadu dilempar dan jumlah titik pada permukaan atasnya dihitung. Mana yang lebih mungkin – mendapatkan total 7 atau 8?

Larutan. Mari kita nyatakan kejadiannya: A - “7 poin dilempar”, B – “8 poin dilempar”. Peristiwa A disukai oleh 6 hasil dasar: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), dan peristiwa B disukai dengan 5 hasil: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Semua kemungkinan hasil dasar yang sama adalah n = 6 2 = 36. Oleh karena itu, Dan .

Jadi, P(A)>P(B), yaitu memperoleh total 7 poin lebih mungkin terjadi dibandingkan memperoleh total 8 poin.

Tugas

1. Sebuah bilangan asli yang tidak melebihi 30 dipilih secara acak. Berapa peluang terambilnya bilangan tersebut kelipatan 3?
2. Di dalam guci A merah dan B bola biru, ukuran dan beratnya sama. Berapa peluang terambilnya bola secara acak dari guci ini berwarna biru?
3. Sebuah bilangan yang tidak melebihi 30 dipilih secara acak. Berapa peluang terambilnya bilangan tersebut adalah pembagi 30?
4. Di dalam guci A biru dan B bola merah, ukuran dan beratnya sama. Satu bola diambil dari guci ini dan disisihkan. Bola ini ternyata berwarna merah. Setelah itu, bola lain diambil dari guci. Tentukan peluang terambilnya bola kedua juga berwarna merah.
5. Sebuah bilangan nasional yang tidak melebihi 50 dipilih secara acak. Berapa peluang terambilnya bilangan prima?
6. Tiga buah dadu dilempar dan dihitung jumlah titik pada permukaan atasnya. Mana yang lebih mungkin - mendapatkan total 9 atau 10 poin?
7. Tiga buah dadu dilempar dan dihitung jumlah poinnya. Mana yang lebih mungkin - mendapatkan total 11 (peristiwa A) atau 12 poin (peristiwa B)?

Jawaban

1. 1/3. 2 . B/(A+B). 3 . 0,2. 4 . (B-1)/(A+B-1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 - kemungkinan mendapatkan total 9 poin; p 2 = 27/216 - kemungkinan mendapatkan total 10 poin; hal 2 > hal 1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

Pertanyaan

1. Peluang suatu kejadian disebut?
2. Berapakah probabilitas suatu kejadian yang dapat diandalkan?
3. Berapa peluang terjadinya suatu kejadian yang mustahil?
4. Berapakah batas peluang terjadinya suatu kejadian acak?
5. Berapa batas kemungkinan suatu kejadian?
6. Definisi probabilitas apa yang disebut klasik?

kemungkinan- angka antara 0 dan 1 yang mencerminkan kemungkinan terjadinya peristiwa acak, dimana 0 adalah ketidakhadiran total peluang terjadinya suatu peristiwa, dan 1 berarti peristiwa tersebut pasti akan terjadi.

Peluang kejadian E adalah bilangan dari sampai 1.
Jumlah peluang kejadian saling lepas sama dengan 1.

probabilitas empiris- probabilitas, yang dihitung sebagai frekuensi relatif suatu peristiwa di masa lalu, yang diambil dari analisis data historis.

Kemungkinan terjadinya kejadian yang sangat langka tidak dapat dihitung secara empiris.

kemungkinan subjektif- probabilitas berdasarkan pribadi penilaian subjektif peristiwa tanpa memperhatikan data sejarah. Investor yang mengambil keputusan untuk membeli dan menjual saham seringkali bertindak berdasarkan pertimbangan probabilitas subjektif.

probabilitas sebelumnya -

Peluangnya adalah 1 in... (peluang) suatu peristiwa akan terjadi melalui konsep probabilitas. Peluang terjadinya suatu peristiwa dinyatakan melalui probabilitas sebagai berikut: P/(1-P).

Misalnya, jika peluang suatu kejadian adalah 0,5, maka peluang kejadian tersebut adalah 1 dari 2 karena 0,5/(1-0,5).

Peluang tidak terjadinya suatu peristiwa dihitung dengan rumus (1-P)/P

Kemungkinan tidak konsisten- misalnya harga saham perusahaan A memperhitungkan kemungkinan kejadian E sebesar 85%, dan harga saham perusahaan B hanya memperhitungkan 50%. Ini disebut probabilitas tidak konsisten. Menurut Teorema Taruhan Belanda, probabilitas yang tidak konsisten menciptakan peluang keuntungan.

Kemungkinan tanpa syarat adalah jawaban atas pertanyaan “Berapa peluang terjadinya peristiwa tersebut?”

Probabilitas bersyarat - inilah jawaban dari pertanyaan: “Berapa peluang kejadian A jika kejadian B terjadi.” Probabilitas bersyarat dinotasikan sebagai P(A|B).

Probabilitas bersama- peluang kejadian A dan B terjadi secara bersamaan. Dilambangkan sebagai P(AB).

P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)

P(AB) = P(A|B)*P(B)

Aturan untuk menjumlahkan probabilitas:

Peluang terjadinya kejadian A atau kejadian B adalah

P (A atau B) = P(A) + P(B) - P(AB) (2)

Jika kejadian A dan B saling lepas, maka

P (A atau B) = P(A) + P(B)

Acara independen - kejadian A dan B saling bebas jika

P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B)

Artinya, ini adalah rangkaian hasil yang nilai probabilitasnya konstan dari satu kejadian ke kejadian berikutnya.
Pelemparan koin adalah contoh dari peristiwa semacam itu - hasil dari setiap pelemparan berikutnya tidak bergantung pada hasil pelemparan sebelumnya.

Peristiwa yang Bergantung- ini adalah peristiwa di mana kemungkinan terjadinya suatu peristiwa bergantung pada kemungkinan terjadinya peristiwa lain.

Aturan untuk mengalikan peluang kejadian independen:
Jika kejadian A dan B saling bebas, maka

P(AB) = P(A) * P(B) (3)

Aturan probabilitas total:

P(A) = P(AS) + P(AS") = P(A|S")P(S) + P (A|S")P(S") (4)

S dan S" adalah kejadian yang saling lepas

nilai yang diharapkan variabel acak adalah rata-rata hasil yang mungkin variabel acak. Untuk kejadian X, ekspektasinya dilambangkan dengan E(X).

Katakanlah kita memiliki 5 nilai peristiwa yang saling eksklusif dengan probabilitas tertentu (misalnya, pendapatan perusahaan adalah jumlah ini dan itu dengan probabilitas seperti itu). Ekspektasi matematisnya adalah jumlah semua hasil dikalikan dengan probabilitasnya:

Dispersi suatu variabel acak adalah ekspektasi deviasi kuadrat suatu variabel acak dari ekspektasinya:

s 2 = E( 2 ) (6)

Nilai ekspektasi bersyarat adalah nilai ekspektasi dari variabel acak X, asalkan kejadian S sudah terjadi.

Ingin mengetahui peluang matematis taruhan Anda berhasil? Lalu ada dua kabar baik untuk Anda. Pertama: untuk menghitung kemampuan lintas negara, Anda tidak perlu melakukan perhitungan yang rumit dan menghabiskan banyak waktu. Cukup menggunakan rumus sederhana, yang pengerjaannya akan memakan waktu beberapa menit. Kedua: setelah membaca artikel ini, Anda dapat dengan mudah menghitung kemungkinan lolosnya perdagangan Anda.

Untuk menentukan kemampuan lintas negara dengan benar, Anda perlu melakukan tiga langkah:

Hitung persentase probabilitas hasil suatu peristiwa menurut kantor bandar;
Hitung sendiri probabilitasnya menggunakan data statistik;
Cari tahu nilai taruhannya, dengan mempertimbangkan kedua probabilitas.

Mari kita lihat setiap langkah secara detail, tidak hanya menggunakan rumus, tetapi juga contoh.

Lompat Cepat

Menghitung probabilitas yang termasuk dalam peluang taruhan

PB=(1/K)*100%,

dimana P B adalah probabilitas hasil menurut kantor bandar taruhan;

K – peluang taruhan untuk hasilnya.

Beginilah cara bandar itu sendiri mengevaluasi peluang keberhasilan setiap pemain dan tim. Setelah menyelesaikan langkah pertama, kita melanjutkan ke langkah kedua.

Perhitungan probabilitas suatu peristiwa oleh pemain

Poin kedua dari rencana kita adalah penilaian kita sendiri terhadap kemungkinan kejadian tersebut. Karena kami tidak dapat memperhitungkan secara matematis parameter seperti motivasi dan nada permainan, kami akan menggunakan model yang disederhanakan dan hanya menggunakan statistik dari pertemuan sebelumnya. Untuk menghitung probabilitas statistik suatu hasil, kami menggunakan rumus:

PDAN=(UM/M)*100%,

Di manaPDAN– probabilitas suatu kejadian menurut pemain;

UM – jumlah pertandingan sukses di mana peristiwa tersebut terjadi;

M – jumlah total pertandingan.

Dan kami mempelajari semua ini hanya berkat statistik pertandingan sebelumnya! Tentu saja, probabilitas seperti itu tidak dapat dihitung untuk tim atau pemain baru, jadi strategi taruhan ini hanya cocok untuk pertandingan di mana lawan bertemu lebih dari satu kali. Sekarang kita tahu bagaimana menentukan probabilitas hasil taruhan dan kita sendiri, dan kita memiliki semua pengetahuan untuk melanjutkan ke langkah terakhir.

Menentukan nilai taruhan

Nilai (value) suatu taruhan dan keterlaluan mempunyai hubungan langsung: semakin tinggi nilainya, semakin tinggi peluang untuk lolos. Nilainya dihitung sebagai berikut:

V=PDAN*K-100%,

dimana V adalah nilai;

P I – probabilitas hasil menurut petaruh;

K – peluang taruhan untuk hasilnya.

Katakanlah kita ingin bertaruh pada kemenangan Milan dalam pertandingan melawan Roma dan kita menghitung kemungkinan kemenangan “merah-hitam” adalah 45%. Taruhan menawarkan kita odds 2,5 untuk hasil ini. Apakah taruhan seperti itu akan bernilai? Kami melakukan perhitungan: V=45%*2.5-100%=12.5%. Hebat, kami memiliki taruhan berharga dengan peluang bagus untuk lolos.