Berapakah taksiran peluang terjadinya kejadian p. Dasar-dasar keseimbangan permainan: keacakan dan kemungkinan terjadinya berbagai peristiwa

Awalnya hanya sekedar kumpulan informasi dan observasi empiris tentang permainan dadu, teori probabilitas menjadi ilmu yang menyeluruh. Yang pertama memberikan kerangka matematis adalah Fermat dan Pascal.

Dari pemikiran tentang kekekalan hingga teori probabilitas

Dua kepribadian yang sangat berhutang budi pada teori probabilitas rumus mendasar, Blaise Pascal dan Thomas Bayes, dikenal sebagai orang yang sangat religius, yang terakhir adalah pendeta Presbiterian. Rupanya, keinginan kedua ilmuwan ini untuk membuktikan kekeliruan pendapat tentang Fortune tertentu yang memberikan keberuntungan kepada kesayangannya memberi dorongan untuk melakukan penelitian di bidang ini. Memang benar, permainan judi apa pun dengan kemenangan dan kekalahannya hanyalah simfoni prinsip matematika.

Terima kasih atas semangat dari pria de Mere, yang sama Sebagai seorang penjudi dan orang yang tidak peduli dengan sains, Pascal terpaksa menemukan cara untuk menghitung probabilitas. De Mere tertarik dengan pertanyaan berikut: “Berapa kali Anda perlu melempar dua dadu secara berpasangan agar peluang mendapatkan 12 poin melebihi 50%?” Pertanyaan kedua, yang sangat menarik perhatian pria tersebut: “Bagaimana cara membagi taruhan di antara para peserta dalam permainan yang belum selesai?” Tentu saja Pascal berhasil menjawab kedua pertanyaan de Mere yang tanpa disadari menjadi penggagas perkembangan teori probabilitas. Menariknya, sosok de Mere tetap dikenal di bidang ini, dan bukan di bidang sastra.

Sebelumnya, tidak ada ahli matematika yang pernah mencoba menghitung probabilitas suatu kejadian, karena diyakini bahwa ini hanyalah solusi tebakan. Blaise Pascal memberikan definisi pertama tentang probabilitas suatu peristiwa dan menunjukkan bahwa itu adalah angka spesifik yang dapat dibenarkan secara matematis. Teori probabilitas telah menjadi dasar statistik dan digunakan secara luas dalam ilmu pengetahuan modern.

Apa itu keacakan

Mengingat ujian yang bisa diulang jumlah yang tak terbatas kali, maka kita dapat mendefinisikan kejadian acak. Ini adalah salah satu kemungkinan hasil percobaan.

Pengalaman adalah implementasi tindakan tertentu dalam kondisi konstan.

Untuk dapat mengerjakan hasil percobaan, kejadian biasanya dilambangkan dengan huruf A, B, C, D, E...

Kemungkinan suatu kejadian acak

Untuk memulai bagian matematis dari probabilitas, perlu didefinisikan semua komponennya.

Probabilitas suatu peristiwa adalah ukuran numerik dari kemungkinan suatu peristiwa (A atau B) terjadi sebagai akibat dari suatu pengalaman. Probabilitas dilambangkan dengan P(A) atau P(B).

Dalam teori probabilitas mereka membedakan:

dapat diandalkan peristiwa tersebut dijamin terjadi akibat pengalaman P(Ω) = 1;
mustahil kejadian tersebut tidak akan pernah terjadi P(Ø) = 0;
acak suatu peristiwa terletak antara dapat diandalkan dan tidak mungkin, yaitu peluang terjadinya mungkin, tetapi tidak dijamin (probabilitas suatu peristiwa acak selalu berada dalam kisaran 0≤Р(А)≤ 1).

Hubungan antar peristiwa

Baik satu maupun jumlah kejadian A+B dipertimbangkan, bila kejadian tersebut dihitung ketika paling sedikit salah satu komponen, A atau B, atau kedua-duanya, A dan B, terpenuhi.

Sehubungan satu sama lain, peristiwa dapat berupa:

Sama mungkinnya.
Kompatibel.
Tidak kompatibel.
Berlawanan (saling eksklusif).
Bergantung.

Jika dua peristiwa dapat terjadi dengan probabilitas yang sama, lalu mereka sama mungkinnya.

Jika terjadinya peristiwa A tidak mengurangi peluang terjadinya peristiwa B menjadi nol, maka mereka kompatibel.

Jika peristiwa A dan B tidak pernah terjadi secara bersamaan dalam satu pengalaman, maka disebut tidak kompatibel. Melempar koin - contoh yang baik: kemunculan kepala secara otomatis berarti tidak munculnya kepala.

Peluang jumlah kejadian-kejadian yang tidak sesuai tersebut terdiri dari jumlah peluang masing-masing kejadian:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Jika terjadinya suatu peristiwa membuat terjadinya peristiwa lain tidak mungkin terjadi, maka disebut sebaliknya. Kemudian salah satunya ditetapkan sebagai A, dan yang lainnya - Ā (dibaca “bukan A”). Terjadinya kejadian A berarti Ā tidak terjadi. Kedua kejadian ini membentuk grup lengkap dengan jumlah probabilitas sama dengan 1.

Peristiwa yang saling bergantung memiliki pengaruh timbal balik, mengurangi atau meningkatkan kemungkinan satu sama lain.

Hubungan antar peristiwa. Contoh

Dengan menggunakan contoh, akan lebih mudah untuk memahami prinsip-prinsip teori probabilitas dan kombinasi kejadian.

Percobaan yang akan dilakukan terdiri dari mengeluarkan bola-bola dari dalam kotak, dan hasil dari setiap percobaan merupakan hasil dasar.

Suatu peristiwa adalah salah satu kemungkinan hasil suatu percobaan - bola merah, bola biru, bola bernomor enam, dan seterusnya.

Tes No.1. Ada 6 bola yang terlibat, tiga di antaranya berwarna biru dengan angka ganjil, dan tiga lainnya berwarna merah dengan angka genap.

Tes No.2. 6 bola terlibat biru dengan angka dari satu sampai enam.

Berdasarkan contoh ini, kita dapat memberi nama kombinasi:

Acara yang dapat diandalkan. Dalam bahasa Spanyol Nomor 2 kejadian “dapatkan bola biru” dapat diandalkan, karena peluang terjadinya sama dengan 1, karena semua bola berwarna biru dan tidak boleh meleset. Sedangkan kejadian “dapatkan bola dengan nomor 1” bersifat acak.
Peristiwa yang mustahil. Dalam bahasa Spanyol Nomor 1 dengan bola biru dan merah, kejadian “mendapatkan bola ungu” tidak mungkin terjadi, karena peluang terjadinya adalah 0.
Setara peristiwa yang mungkin terjadi. Dalam bahasa Spanyol Nomor 1, kejadian “mendapatkan bola bernomor 2” dan “mendapatkan bola bernomor 3” sama-sama mungkin terjadi, dan kejadian “mendapatkan bola bernomor genap” dan “mendapatkan bola bernomor 2” ”memiliki probabilitas yang berbeda-beda.
Acara yang Kompatibel. Dapatkan angka enam dua kali berturut-turut sambil melempar dadu- ini adalah acara yang kompatibel.
Peristiwa yang tidak kompatibel. Dalam bahasa Spanyol yang sama Nomor 1, kejadian “mendapatkan bola merah” dan “mendapatkan bola bernomor ganjil” tidak dapat digabungkan dalam pengalaman yang sama.
Peristiwa yang berlawanan. Paling contoh cemerlang Ini adalah pelemparan koin, dimana menggambar kepala sama dengan tidak menggambar ekor, dan jumlah probabilitasnya selalu 1 (grup penuh).
Peristiwa yang Bergantung. Jadi, dalam bahasa Spanyol No 1, Anda dapat menetapkan tujuan menggambar bola merah dua kali berturut-turut. Diambilnya pertama kali atau tidak akan mempengaruhi kemungkinan diambilnya yang kedua kali.

Terlihat bahwa kejadian pertama berpengaruh signifikan terhadap probabilitas kejadian kedua (40% dan 60%).

Rumus probabilitas kejadian

Transisi dari meramal ke data akurat terjadi melalui penerjemahan topik ke dalam bidang matematika. Artinya, penilaian mengenai kejadian acak seperti “probabilitas tinggi” atau “probabilitas minimal” dapat diterjemahkan ke dalam data numerik tertentu. Sudah diperbolehkan untuk mengevaluasi, membandingkan dan memasukkan materi tersebut ke dalam perhitungan yang lebih kompleks.

Dari sudut pandang perhitungan, penentuan peluang suatu peristiwa adalah rasio jumlah hasil dasar positif dengan jumlah semua kemungkinan hasil pengalaman mengenai suatu peristiwa tertentu. Probabilitas dilambangkan dengan P(A), dimana P adalah singkatan dari kata “probabilite”, yang diterjemahkan dari bahasa Perancis sebagai “probabilitas”.

Jadi, rumus peluang suatu kejadian adalah:

Dimana m adalah banyaknya hasil yang diinginkan untuk kejadian A, n adalah jumlah semua hasil yang mungkin terjadi pada percobaan ini. Dalam hal ini, peluang suatu kejadian selalu berada antara 0 dan 1:

0 ≤ P(A)≤ 1.

Perhitungan peluang suatu kejadian. Contoh

Mari kita ambil bahasa Spanyol. Nomor 1 dengan bola seperti yang telah dijelaskan sebelumnya: 3 bola biru bernomor 1/3/5 dan 3 bola merah bernomor 2/4/6.

Berdasarkan pengujian ini, beberapa masalah berbeda dapat dipertimbangkan:

A - bola merah rontok. Ada 3 bola merah, dan totalnya ada 6 pilihan contoh paling sederhana, yang peluang kejadiannya sama dengan P(A)=3/6=0,5.
B - menggulung bilangan genap. Ada 3 bilangan genap (2,4,6), dan jumlah pilihan numerik yang mungkin adalah 6. Peluang kejadian ini adalah P(B)=3/6=0,5.
C - kemunculan angka yang lebih besar dari 2. Ada 4 pilihan (3,4,5,6) dari jumlah total kemungkinan hasil 6. Peluang kejadian C sama dengan P(C)=4 /6=0,67.

Terlihat dari perhitungan, kejadian C mempunyai probabilitas tinggi, karena jumlah kemungkinan hasil positif lebih tinggi dibandingkan A dan B.

Peristiwa yang tidak kompatibel

Peristiwa seperti itu tidak bisa muncul secara bersamaan dalam pengalaman yang sama. Seperti dalam bahasa Spanyol Nomor 1 tidak mungkin mendapatkan bola biru dan merah secara bersamaan. Artinya, Anda bisa mendapatkan bola biru atau merah. Demikian pula, angka genap dan angka ganjil tidak dapat muncul dalam dadu secara bersamaan.

Peluang dua kejadian dianggap sebagai peluang jumlah atau hasil kali keduanya. Jumlah kejadian A+B dianggap suatu kejadian yang terdiri dari terjadinya kejadian A atau B, dan hasil kali AB adalah terjadinya keduanya. Misalnya munculnya dua angka enam sekaligus pada muka dua dadu dalam sekali lemparan.

Jumlah beberapa peristiwa adalah peristiwa yang mengandaikan terjadinya paling sedikit salah satu peristiwa tersebut. Produksi beberapa peristiwa merupakan kejadian bersama dari semuanya.

Dalam teori probabilitas, sebagai aturan, penggunaan konjungsi “dan” menunjukkan jumlah, dan konjungsi “atau” - perkalian. Rumus dengan contoh akan membantu Anda memahami logika penjumlahan dan perkalian dalam teori probabilitas.

Probabilitas jumlah kejadian yang tidak kompatibel

Jika probabilitas dipertimbangkan kejadian yang tidak kompatibel, maka peluang jumlah kejadian sama dengan penjumlahan peluangnya:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Misalnya: mari kita hitung probabilitasnya dalam bahasa Spanyol. Nomor 1 dengan bola biru dan merah, akan muncul angka antara 1 dan 4. Kita akan menghitung bukan dalam satu tindakan, tetapi dengan jumlah probabilitas komponen dasar. Jadi, dalam percobaan tersebut hanya terdapat 6 bola atau 6 dari seluruh kemungkinan hasil. Bilangan yang memenuhi syarat adalah 2 dan 3. Peluang terambilnya 2 adalah 1/6, peluang terambilnya 3 juga 1/6. Peluang terambilnya angka antara 1 dan 4 adalah:

Peluang munculnya jumlah kejadian-kejadian yang tidak selaras dalam suatu kelompok yang lengkap adalah 1.

Jadi, jika dalam percobaan kubus kita menjumlahkan peluang munculnya semua bilangan, maka hasilnya adalah satu.

Hal ini juga berlaku untuk kejadian yang berlawanan, misalnya pada percobaan dengan mata uang logam, dimana salah satu sisinya adalah kejadian A, dan sisi lainnya adalah kejadian sebaliknya Ā, sebagaimana diketahui,

P(A) + P(Ā) = 1

Kemungkinan terjadinya peristiwa yang tidak kompatibel

Perkalian probabilitas digunakan ketika mempertimbangkan terjadinya dua atau lebih kejadian yang tidak sesuai dalam satu observasi. Peluang munculnya kejadian A dan B secara bersamaan sama dengan hasil kali peluangnya, atau:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Misalnya, kemungkinan dalam bahasa Spanyol No 1, sebagai hasil dari dua percobaan, bola biru akan muncul dua kali, sama dengan

Artinya, peluang terjadinya suatu peristiwa ketika, sebagai hasil dari dua kali percobaan mengambil bola, hanya bola biru yang terambil adalah 25%. Sangat mudah untuk melakukan eksperimen praktis mengenai masalah ini dan melihat apakah hal ini benar-benar terjadi.

Acara bersama

Peristiwa-peristiwa dianggap gabungan bila terjadinya salah satu peristiwa dapat bertepatan dengan terjadinya peristiwa lain. Terlepas dari kenyataan bahwa mereka bersama, kemungkinannya dipertimbangkan acara independen. Misalnya, melempar dua dadu dapat memberikan hasil ketika angka 6 muncul pada keduanya. Meskipun kejadiannya bertepatan dan muncul pada saat yang sama, keduanya tidak tergantung satu sama lain - hanya satu angka enam yang bisa keluar, dadu kedua tidak memilikinya. pengaruh terhadapnya.

Probabilitas kejadian-kejadian gabungan dianggap sebagai probabilitas jumlah kejadian-kejadian tersebut.

Probabilitas jumlah kejadian gabungan. Contoh

Peluang jumlah kejadian A dan B, yang digabungkan satu sama lain, sama dengan jumlah peluang kejadian dikurangi peluang terjadinya (yaitu, kejadian gabungannya):

sambungan R (A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)

Misalkan peluang mengenai sasaran dengan satu tembakan adalah 0,4. Kemudian kejadian A mengenai sasaran pada percobaan pertama, B pada percobaan kedua. Peristiwa-peristiwa ini bersifat gabungan, karena ada kemungkinan Anda dapat mengenai sasaran dengan tembakan pertama dan kedua. Tapi peristiwa tidak bergantung. Berapa peluang terjadinya sasaran dengan dua tembakan (setidaknya dengan satu tembakan)? Menurut rumus:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Jawaban dari pertanyaan tersebut adalah: “Peluang mengenai sasaran dengan dua tembakan adalah 64%.”

Rumus peluang suatu kejadian ini juga dapat diterapkan pada kejadian-kejadian yang tidak sesuai, dimana peluang terjadinya gabungan suatu kejadian P(AB) = 0. Artinya peluang jumlah kejadian-kejadian yang tidak sesuai dapat dianggap sebagai kasus khusus. dari formula yang diusulkan.

Geometri probabilitas untuk kejelasan

Menariknya, probabilitas jumlah kejadian gabungan dapat direpresentasikan sebagai dua area A dan B, yang saling berpotongan. Terlihat dari gambar, luas penyatuannya sama dengan luas total dikurangi luas perpotongannya. Penjelasan geometris ini membuat rumus yang tampaknya tidak logis ini menjadi lebih mudah dipahami. Perhatikan itu solusi geometris- tidak jarang dalam teori probabilitas.

Menentukan probabilitas dari jumlah banyak (lebih dari dua) kejadian gabungan cukup rumit. Untuk menghitungnya, Anda perlu menggunakan rumus yang disediakan untuk kasus ini.

Peristiwa yang Bergantung

Peristiwa disebut dependen jika terjadinya salah satu peristiwa (A) mempengaruhi peluang terjadinya peristiwa lain (B). Selain itu, pengaruh terjadinya peristiwa A dan tidak terjadinya peristiwa A juga diperhitungkan. Meskipun peristiwa-peristiwa disebut bergantung menurut definisi, hanya satu peristiwa yang bergantung (B). Probabilitas biasa dilambangkan dengan P(B) atau probabilitas kejadian independen. Dalam kasus kejadian dependen, konsep baru diperkenalkan - probabilitas bersyarat P A (B), yaitu probabilitas kejadian dependen B jika terjadinya peristiwa A (hipotesis) yang menjadi sandarannya.

Namun kejadian A juga bersifat acak, sehingga juga mempunyai peluang yang perlu dan dapat diperhitungkan dalam perhitungan yang dilakukan. Contoh berikut akan menunjukkan cara menangani peristiwa dependen dan hipotesis.

Contoh penghitungan probabilitas kejadian dependen

Contoh yang baik untuk menghitung kejadian dependen adalah setumpuk kartu standar.

Dengan menggunakan setumpuk 36 kartu sebagai contoh, mari kita lihat kejadian-kejadian yang saling bergantung. Kita perlu menentukan peluang terambilnya kartu kedua dari tumpukan kartu wajik jika kartu pertama yang terambil adalah:

Bubnovaya.
Warna yang berbeda.

Jelas sekali, peluang kejadian kedua B bergantung pada A pertama. Jadi, jika pilihan pertama benar, bahwa terdapat 1 kartu (35) dan 1 wajik (8) lebih sedikit di dek, peluang kejadian B:

RA (B) =8/35=0,23

Jika pilihan kedua benar, maka dek sekarang memiliki 35 kartu, dan nomor penuh rebana (9), maka peluang kejadian selanjutnya B:

RA (B) =9/35=0,26.

Terlihat jika kejadian A dikondisikan pada kartu pertama adalah wajik, maka peluang kejadian B berkurang, begitu pula sebaliknya.

Mengalikan kejadian-kejadian dependen

Berdasarkan bab sebelumnya, kita menerima peristiwa pertama (A) sebagai fakta, namun pada hakikatnya bersifat acak. Peluang terjadinya kejadian yaitu terambilnya wajik dari setumpuk kartu adalah sama dengan:

P(A) = 9/36=1/4

Karena teori tidak ada dengan sendirinya, namun dimaksudkan untuk tujuan praktis, wajar untuk dicatat bahwa yang paling sering dibutuhkan adalah probabilitas untuk menghasilkan peristiwa-peristiwa yang saling bergantung.

Menurut teorema perkalian peluang kejadian-kejadian yang saling bergantung, peluang terjadinya kejadian-kejadian yang saling bergantungan A dan B sama dengan peluang suatu kejadian A, dikalikan dengan peluang bersyarat dari kejadian B (bergantung pada A):

P(AB) = P(A) *PA(B)

Kemudian, pada contoh dek, peluang terambilnya dua kartu dengan jenis wajik adalah:

9/36*8/35=0,0571, atau 5,7%

Dan peluang terambilnya bukan intan terlebih dahulu, baru kemudian intan, adalah:

27/36*9/35=0,19, atau 19%

Terlihat bahwa peluang terjadinya kejadian B lebih besar dengan syarat diambilnya kartu pertama dari jenis selain wajik. Hasil ini cukup logis dan dapat dimengerti.

Probabilitas total suatu kejadian

Ketika tugas dengan probabilitas bersyarat menjadi beragam, tidak dapat dihitung dengan metode konvensional. Apabila terdapat lebih dari dua hipotesis yaitu A1, A2,…, A n, ..membentuk kelompok kejadian lengkap dengan ketentuan:

P(A saya)>0, saya=1,2,…
A i ∩ A j =Ø,i≠j.
Σ k A k =Ω.

Jadi rumusnya kemungkinan penuh untuk acara B di kelompok penuh kejadian acak A1,A2,…,Dan n sama dengan:

Melihat ke masa depan

Kemungkinan suatu kejadian acak sangat diperlukan dalam banyak bidang ilmu pengetahuan: ekonometrik, statistik, fisika, dll. Karena beberapa proses tidak dapat dijelaskan secara deterministik, karena proses itu sendiri bersifat probabilistik, maka diperlukan metode kerja khusus. Teori probabilitas peristiwa dapat digunakan dalam bidang teknologi apa pun sebagai cara untuk menentukan kemungkinan terjadinya kesalahan atau kegagalan fungsi.

Kita dapat mengatakan bahwa dengan mengenali probabilitas, kita mengambil langkah teoretis ke masa depan, melihatnya melalui prisma rumus.

Suka atau tidak suka, hidup kita penuh dengan segala macam kecelakaan, baik yang menyenangkan maupun yang tidak menyenangkan. Oleh karena itu, sebaiknya kita masing-masing mengetahui cara mencari peluang suatu kejadian tertentu. Ini akan membantu Anda mengambil keputusan yang tepat dalam keadaan apa pun yang melibatkan ketidakpastian. Misalnya, pengetahuan seperti itu akan sangat berguna ketika memilih pilihan investasi, menilai kemungkinan memenangkan saham atau lotere, menentukan realitas pencapaian tujuan pribadi, dll, dll.

Rumus teori probabilitas

Pada prinsipnya mempelajari topik ini tidak memakan banyak waktu. Untuk mendapatkan jawaban atas pertanyaan: “Bagaimana mencari peluang suatu fenomena?”, Anda perlu memahaminya konsep-konsep kunci dan ingat prinsip dasar yang menjadi dasar perhitungannya. Jadi menurut statistik, kejadian yang diteliti dilambangkan dengan A1, A2,..., An. Masing-masing mempunyai hasil yang menguntungkan (m) dan jumlah total hasil dasar. Misalnya, kita tertarik pada cara mencari peluang banyaknya titik genap di sisi atas kubus. Maka A adalah lemparan m - menghasilkan 2, 4 atau 6 poin (tiga opsi yang menguntungkan), dan n adalah keenam opsi yang memungkinkan.

Rumus perhitungannya sendiri adalah sebagai berikut:

Dengan satu hasil, semuanya menjadi sangat mudah. Tetapi bagaimana cara mencari kemungkinan jika peristiwa terjadi satu demi satu? Perhatikan contoh ini: satu kartu diperlihatkan dari tumpukan kartu (36 buah), kemudian disembunyikan kembali ke dalam tumpukan, dan setelah dikocok, kartu berikutnya ditarik keluar. Bagaimana mencari peluang terambilnya ratu sekop setidaknya dalam satu kasus? Ada aturan selanjutnya: Jika Anda mempertimbangkan suatu kejadian kompleks yang dapat dibagi menjadi beberapa kejadian sederhana yang tidak kompatibel, Anda dapat menghitung terlebih dahulu hasil masing-masing kejadian tersebut lalu menjumlahkannya. Dalam kasus kita akan terlihat seperti ini: 1/36 + 1/36 = 1/18. Namun apa jadinya jika beberapa hal terjadi secara bersamaan? Lalu kita kalikan hasilnya! Misalnya, peluang munculnya dua gambar koin secara bersamaan ketika dua buah uang logam dilempar secara bersamaan adalah: ½ * ½ = 0,25.

Sekarang mari kita ambil lebih banyak lagi contoh yang kompleks. Misalkan kita mengikuti lotere buku yang mana sepuluh dari tiga puluh tiketnya menang. Anda perlu menentukan:

Kemungkinan keduanya akan menjadi pemenang.
Setidaknya salah satu dari mereka akan membawa hadiah.
Keduanya akan menjadi pecundang.

Jadi, mari kita pertimbangkan kasus pertama. Ini dapat dibagi menjadi dua acara: tiket pertama akan beruntung, dan tiket kedua juga akan beruntung. Mari kita pertimbangkan bahwa kejadiannya saling bergantung, karena setelah setiap penarikan, jumlah total opsi berkurang. Kami mendapatkan:

10 / 30 * 9 / 29 = 0,1034.

Dalam kasus kedua, Anda perlu menentukan kemungkinan tiket kalah dan memperhitungkan bahwa itu bisa berupa tiket pertama atau kedua: 10/30 * 20/29 + 20/29 * 10/30 = 0,4598.

Terakhir, kasus ketiga, ketika Anda tidak bisa mendapatkan satu buku pun dari lotere: 20/30*19/29 = 0,4368.

Jelas bahwa setiap peristiwa mempunyai tingkat kemungkinan terjadinya (implementasinya) yang berbeda-beda. Untuk membandingkan secara kuantitatif kejadian-kejadian yang satu dengan yang lain menurut derajat kemungkinannya, tentunya perlu dikaitkan dengan suatu bilangan tertentu dengan setiap kejadian, yang semakin besar maka semakin besar kemungkinan kejadian tersebut. Angka ini disebut peluang suatu kejadian.

Kemungkinan kejadian– adalah ukuran numerik dari tingkat kemungkinan obyektif terjadinya peristiwa ini.

Perhatikan eksperimen stokastik dan kejadian acak A yang diamati dalam eksperimen ini. Mari kita ulangi percobaan ini sebanyak n kali dan misalkan m(A) adalah banyaknya percobaan yang terjadi kejadian A.

Hubungan (1.1)

ditelepon frekuensi relatif kejadian A pada rangkaian percobaan yang dilakukan.

Sangat mudah untuk memverifikasi validitas properti:

jika A dan B tidak konsisten (AB= ), maka ν(A+B) = ν(A) + ν(B) (1.2)

Frekuensi relatif ditentukan hanya setelah serangkaian percobaan dan, secara umum, dapat bervariasi dari rangkaian ke rangkaian. Namun, pengalaman menunjukkan bahwa dalam banyak kasus, seiring dengan bertambahnya jumlah eksperimen, frekuensi relatifnya mendekati angka tertentu. Fakta stabilitas frekuensi relatif ini telah berulang kali diverifikasi dan dapat dianggap ditetapkan secara eksperimental.

Contoh 1.19.. Jika Anda melempar satu koin, tidak ada yang bisa memprediksi sisi mana koin itu akan mendarat. Tetapi jika Anda melempar dua ton koin, maka semua orang akan mengatakan bahwa sekitar satu ton akan jatuh bersama lambang, yaitu frekuensi relatif lambang yang rontok kira-kira 0,5.

Jika, dengan bertambahnya jumlah percobaan, frekuensi relatif kejadian ν(A) cenderung ke suatu bilangan tetap, maka dikatakan bahwa peristiwa A stabil secara statistik, dan bilangan ini disebut peluang kejadian A.

Kemungkinan kejadian tersebut A suatu bilangan tetap P(A) disebut, yang frekuensi relatifnya ν(A) dari kejadian ini cenderung seiring dengan bertambahnya jumlah percobaan, yaitu,

Definisi ini disebut penentuan statistik probabilitas .

Mari kita pertimbangkan eksperimen stokastik tertentu dan biarkan ruang kejadian elementernya terdiri dari himpunan kejadian elementer yang berhingga atau tak terhingga (tetapi dapat dihitung) ω 1, ω 2, …, ω i, …. Mari kita asumsikan bahwa setiap peristiwa dasar ω i diberi nomor tertentu - р i, yang mencirikan tingkat kemungkinan terjadinya peristiwa dasar tertentu dan memenuhi sifat-sifat berikut:

Nomor p i ini disebut probabilitas suatu kejadian dasarωi.

Misalkan A adalah kejadian acak yang diamati dalam percobaan ini, dan misalkan A berkorespondensi dengan himpunan tertentu

Dalam pengaturan ini kemungkinan suatu peristiwa A sebutkan jumlah peluang kejadian-kejadian dasar yang mendukung A(termasuk dalam set A yang sesuai):

(1.4)

Probabilitas yang diperkenalkan dengan cara ini mempunyai sifat yang sama dengan frekuensi relatif, yaitu:

Dan jika AB = (A dan B tidak kompatibel),

maka P(A+B) = P(A) + P(B)

Memang, menurut (1.4)

Dalam hubungan terakhir kita mengambil keuntungan dari kenyataan bahwa tidak ada satu peristiwa dasar pun yang dapat mendukung dua peristiwa yang tidak kompatibel pada waktu yang sama.

Kami secara khusus mencatat bahwa teori probabilitas tidak menunjukkan metode untuk menentukan pi; metode tersebut harus dicari untuk alasan praktis atau diperoleh dari eksperimen statistik yang sesuai.

Sebagai contoh, pertimbangkan skema klasik teori probabilitas. Untuk melakukan ini, pertimbangkan eksperimen stokastik, ruang kejadian elementer yang terdiri dari sejumlah elemen berhingga (n). Mari kita asumsikan juga bahwa semua kejadian elementer ini sama-sama mungkin terjadi, yaitu probabilitas kejadian elementer sama dengan p(ω i)=p i =p. Oleh karena itu

Contoh 1.20. Saat melempar koin simetris, kemungkinan mendapatkan kepala dan ekor sama, probabilitasnya sama dengan 0,5.

Contoh 1.21. Pada pelemparan sebuah dadu simetris, semua muka mempunyai kemungkinan yang sama, peluangnya sama dengan 1/6.

Sekarang misalkan kejadian A diunggulkan oleh m kejadian dasar, biasa disebut demikian hasil yang menguntungkan bagi peristiwa A. Kemudian

Diterima definisi klasik probabilitas: peluang P(A) kejadian A sama dengan rasio banyaknya hasil yang menguntungkan kejadian A jumlah total hasil

Contoh 1.22. Guci tersebut berisi m bola putih dan n bola hitam. Berapa peluang terambilnya bola putih?

Larutan. Banyaknya kejadian dasar adalah m+n. Semua kemungkinannya sama. Peristiwa yang menguntungkan A dimana m. Karena itu, .

Sifat-sifat berikut mengikuti definisi probabilitas:

Properti 1. Peluang suatu kejadian yang dapat diandalkan sama dengan satu.

Memang benar, jika kejadian tersebut dapat diandalkan, maka setiap hasil tes yang mendasar akan mendukung kejadian tersebut. Dalam hal ini t=p, karena itu,

P(A)=m/n=n/n=1.(1.6)

Properti 2. Kemungkinan terjadinya suatu kejadian yang mustahil adalah nol.

Memang benar, jika suatu peristiwa tidak mungkin terjadi, maka tidak ada satu pun hasil dasar tes yang mendukung peristiwa tersebut. Dalam hal ini T= 0, oleh karena itu, P(A)=m/n=0/n=0. (1.7)

Properti 3.Ada kemungkinan terjadinya kejadian acak angka positif, diapit antara nol dan satu.

Memang benar, kejadian acak hanya menguntungkan sebagian dari jumlah total hasil tes dasar. Artinya, 0≤m≤n, yang berarti 0≤m/n≤1, oleh karena itu, peluang suatu kejadian memenuhi pertidaksamaan ganda 0≤ P(A) ≤1. (1.8)

Membandingkan definisi probabilitas (1.5) dan frekuensi relatif (1.1), kami menyimpulkan: definisi probabilitas tidak memerlukan pengujian untuk dilakukan pada kenyataannya; definisi frekuensi relatif mengasumsikan hal itu tes benar-benar dilakukan. Dengan kata lain, probabilitas dihitung sebelum percobaan, dan frekuensi relatif - setelah percobaan.

Namun, menghitung probabilitas memerlukan informasi sebelumnya tentang jumlah atau probabilitas yang menguntungkan acara ini hasil dasar. Dengan tidak adanya informasi awal tersebut, data empiris digunakan untuk menentukan probabilitas, yaitu frekuensi relatif kejadian ditentukan berdasarkan hasil eksperimen stokastik.

Contoh 1.23. Departemen kontrol teknis ditemukan 3 bagian non-standar dalam kumpulan 80 bagian yang dipilih secara acak. Frekuensi relatif kemunculan suku cadang non-standar r(A)= 3/80.

Contoh 1.24. Sesuai dengan tujuannya, diproduksi 24 ditembak, dan 19 pukulan dicatat. Tingkat pencapaian target relatif. r(A)=19/24.

Pengamatan jangka panjang telah menunjukkan bahwa jika percobaan dilakukan dalam kondisi yang identik, yang masing-masing jumlah pengujiannya cukup banyak, maka frekuensi relatif menunjukkan sifat stabilitas. Properti ini adalah bahwa dalam eksperimen yang berbeda, frekuensi relatifnya sedikit berubah (semakin sedikit, semakin banyak pengujian yang dilakukan), berfluktuasi di sekitar angka konstan tertentu. Ternyata bilangan konstan ini dapat dianggap sebagai nilai perkiraan probabilitas.

Hubungan antara frekuensi relatif dan probabilitas akan dijelaskan lebih detail dan tepat di bawah ini. Sekarang mari kita ilustrasikan sifat stabilitas dengan contoh.

Contoh 1.25. Menurut statistik Swedia, frekuensi relatif kelahiran anak perempuan pada tahun 1935 berdasarkan bulan ditandai dengan angka-angka berikut (angka-angka tersebut disusun menurut bulan, dimulai dengan Januari): 0,486; 0,489; 0,490; 0.471; 0,478; 0,482; 0.462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473

Frekuensi relatif berfluktuasi di sekitar angka 0,481, yang dapat dianggap sebagai nilai perkiraan kemungkinan memiliki anak perempuan.

Perhatikan bahwa data statistik dari berbagai negara memberikan nilai frekuensi relatif yang kira-kira sama.

Contoh 1.26. Eksperimen pelemparan koin dilakukan berkali-kali, di mana jumlah kemunculan “lambang” dihitung. Hasil beberapa percobaan ditunjukkan pada tabel.

Peristiwa yang terjadi dalam kenyataan atau imajinasi kita dapat dibagi menjadi 3 kelompok. Ini peristiwa yang dapat diandalkan peristiwa yang pasti terjadi, peristiwa yang tidak mungkin terjadi, dan peristiwa yang tidak disengaja. Teori probabilitas mempelajari kejadian acak, mis. peristiwa yang mungkin atau mungkin tidak terjadi. Artikel ini akan disajikan di secara singkat rumus teori probabilitas dan contoh penyelesaian masalah teori probabilitas yang akan ada pada tugas 4 UN Unified State matematika (tingkat profil).

Mengapa kita membutuhkan teori probabilitas?

Secara historis, kebutuhan untuk mempelajari masalah-masalah ini muncul pada abad ke-17 sehubungan dengan pembangunan dan profesionalisasi berjudi dan munculnya kasino. Ini merupakan fenomena nyata yang memerlukan kajian dan penelitian tersendiri.

Bermain kartu, dadu, dan roulette menciptakan situasi di mana kejadian yang sama-sama mungkin terjadi dalam jumlah terbatas dapat terjadi. Ada kebutuhan untuk memberikan perkiraan numerik tentang kemungkinan terjadinya suatu peristiwa tertentu.

Pada abad ke-20, ternyata ilmu pengetahuan yang terkesan remeh ini berperan peran penting dalam pengetahuan tentang proses mendasar yang terjadi di mikrokosmos. Telah dibuat teori modern probabilitas.

Konsep dasar teori probabilitas

Objek kajian teori probabilitas adalah peristiwa dan probabilitasnya. Jika suatu kejadian bersifat kompleks, maka kejadian tersebut dapat dipecah menjadi komponen-komponen sederhana yang probabilitasnya mudah ditemukan.

Jumlah kejadian A dan B disebut kejadian C, yang terdiri dari fakta bahwa kejadian A, atau kejadian B, atau kejadian A dan B terjadi secara bersamaan.

Hasil kali kejadian A dan B adalah kejadian C, yang berarti kejadian A dan kejadian B terjadi.

Peristiwa A dan B disebut inkompatibel apabila tidak dapat terjadi secara bersamaan.

Suatu peristiwa A disebut mustahil jika tidak dapat terjadi. Peristiwa seperti itu ditunjukkan dengan simbol.

Suatu peristiwa A disebut pasti jika pasti terjadi. Peristiwa seperti itu ditunjukkan dengan simbol.

Biarkan setiap kejadian A dikaitkan dengan bilangan P(A). Bilangan P(A) ini disebut peluang kejadian A jika syarat-syarat berikut ini dipenuhi dengan korespondensi ini.

Kasus khusus yang penting adalah situasi ketika terdapat kemungkinan hasil dasar yang sama, dan hasil acak tersebut membentuk kejadian A. Dalam hal ini, probabilitas dapat dimasukkan menggunakan rumus. Probabilitas yang muncul dengan cara ini disebut probabilitas klasik. Dapat dibuktikan bahwa dalam hal ini sifat 1-4 terpenuhi.

Permasalahan teori probabilitas yang muncul pada Unified State Examination matematika terutama berkaitan dengan probabilitas klasik. Tugas-tugas tersebut bisa sangat sederhana. Yang paling sederhana adalah masalah dalam teori probabilitas opsi demo. Sangat mudah untuk menghitung jumlah hasil yang menguntungkan; jumlah semua hasil ditulis tepat dalam kondisi tersebut.

Kami mendapatkan jawabannya menggunakan rumus.

Contoh soal Unified State Examination matematika tentang penentuan probabilitas

Ada 20 pai di atas meja - 5 dengan kubis, 7 dengan apel, dan 8 dengan nasi. Marina ingin mengambil kuenya. Berapa peluang dia akan mengambil kue beras tersebut?

Larutan.

Ada 20 kemungkinan hasil dasar yang sama, yaitu Marina dapat mengambil salah satu dari 20 pai tersebut. Namun kita perlu memperkirakan probabilitas Marina akan mengambil kue beras tersebut, yaitu A adalah pilihan kue beras tersebut. Artinya kita hanya mempunyai 8 hasil yang menguntungkan (memilih pai nasi).

Peristiwa yang Independen, Berlawanan, dan Sewenang-wenang

Namun, di toples terbuka Tugas-tugas yang lebih kompleks mulai dihadapi. Oleh karena itu, mari kita menarik perhatian pembaca pada isu-isu lain yang dipelajari dalam teori probabilitas.

Peristiwa A dan B dikatakan saling bebas apabila peluang masing-masing peristiwa tersebut tidak bergantung pada terjadinya peristiwa yang lain.

Peristiwa B adalah peristiwa A tidak terjadi, yaitu. kejadian B berlawanan dengan kejadian A. Peluang kejadian sebaliknya sama dengan satu dikurangi peluang kejadian langsung, yaitu. .

Teorema penjumlahan dan perkalian probabilitas, rumus

Untuk kejadian sembarang A dan B, peluang jumlah kejadian-kejadian tersebut sama dengan jumlah peluangnya tanpa peluang kejadian gabungannya, yaitu. .

Untuk kejadian bebas A dan B, peluang terjadinya kejadian-kejadian tersebut sama dengan hasil kali peluangnya, yaitu. dalam hal ini.

2 pernyataan terakhir disebut teorema penjumlahan dan perkalian peluang.

Menghitung jumlah hasil tidak selalu mudah. Dalam beberapa kasus, perlu menggunakan rumus kombinatorik. Yang terpenting adalah menghitung banyaknya kejadian yang memenuhi syarat tertentu. Terkadang perhitungan semacam ini bisa menjadi tugas mandiri.

Berapa cara 6 siswa dapat duduk pada 6 kursi kosong? Siswa pertama akan mengambil salah satu dari 6 tempat. Masing-masing pilihan ini berhubungan dengan 5 cara bagi siswa kedua untuk mengambil tempat. Ada 4 tempat kosong tersisa untuk siswa ketiga, 3 untuk siswa keempat, 2 untuk siswa kelima, dan siswa keenam akan mengambil satu-satunya tempat yang tersisa. Untuk mencari banyaknya semua pilihan, Anda perlu mencari hasil perkaliannya, yang dilambangkan dengan simbol 6! dan berbunyi "enam faktorial".

Dalam kasus umum, jawaban atas pertanyaan ini diberikan oleh rumus jumlah permutasi n elemen.

Sekarang mari kita pertimbangkan kasus lain yang menimpa siswa kita. Berapa banyak cara 2 siswa dapat duduk pada 6 kursi kosong? Siswa pertama akan mengambil salah satu dari 6 tempat. Masing-masing pilihan ini berhubungan dengan 5 cara bagi siswa kedua untuk mengambil tempat. Untuk menemukan jumlah semua opsi, Anda perlu mencari produknya.

Secara umum jawaban atas pertanyaan ini diberikan oleh rumus banyaknya penempatan n elemen pada k elemen

Dalam kasus kami.

Dan kasus terakhir dalam seri ini. Dalam berapa cara Anda dapat memilih tiga dari 6 siswa? Siswa pertama dapat dipilih dengan 6 cara, siswa kedua dengan 5 cara, dan siswa ketiga dengan empat cara. Namun di antara pilihan tersebut, tiga siswa yang sama muncul sebanyak 6 kali. Untuk menemukan jumlah semua opsi, Anda perlu menghitung nilainya: . Secara umum jawaban atas pertanyaan ini diberikan oleh rumus banyaknya kombinasi unsur demi unsur:

Dalam kasus kami.

Contoh penyelesaian soal UN Unified State matematika untuk menentukan probabilitas

Tugas 1. Dari koleksi yang diedit oleh. Yashchenko.

Ada 30 pai di piring: 3 dengan daging, 18 dengan kubis, dan 9 dengan ceri. Sasha memilih satu pai secara acak. Temukan kemungkinan dia mendapatkan buah ceri.

Jawaban: 0,3.

Tugas 2. Dari koleksi yang diedit oleh. Yashchenko.

Dalam setiap kumpulan 1000 bola lampu, rata-rata ada 20 bola lampu yang rusak. Tentukan peluang bola lampu yang diambil secara acak dari suatu kelompok akan berfungsi.

Penyelesaian: Banyaknya bola lampu yang berfungsi adalah 1000-20=980. Maka peluang terambilnya bola lampu secara acak dari suatu kumpulan akan berfungsi:

Jawaban: 0,98.

Peluang siswa U menyelesaikan lebih dari 9 soal dengan benar pada suatu ulangan matematika adalah 0,67. Peluang U. menyelesaikan lebih dari 8 soal dengan benar adalah 0,73. Tentukan peluang U menyelesaikan tepat 9 soal dengan benar.

Jika kita membayangkan sebuah garis bilangan dan menandai titik 8 dan 9 di atasnya, maka kita akan melihat bahwa kondisi “U. akan menyelesaikan tepat 9 soal dengan benar” termasuk dalam kondisi “U. akan menyelesaikan lebih dari 8 soal dengan benar”, tetapi tidak berlaku untuk kondisi “U. akan menyelesaikan lebih dari 9 masalah dengan benar.”

Namun kondisi “U. akan menyelesaikan lebih dari 9 soal dengan benar” terdapat dalam kondisi “U. akan menyelesaikan lebih dari 8 masalah dengan benar.” Jadi, jika kita menunjuk peristiwa: “U. akan menyelesaikan tepat 9 soal dengan benar" - melalui A, "U. akan menyelesaikan lebih dari 8 soal dengan benar" - hingga B, "U. akan menyelesaikan lebih dari 9 masalah dengan benar” melalui C. Solusinya akan terlihat seperti ini:

Jawaban: 0,06.

Pada ujian geometri, siswa menjawab satu soal dari daftar soal ujian. Peluang terambilnya soal Trigonometri adalah 0,2. Peluang terambilnya pertanyaan tentang Sudut Luar adalah 0,15. Tidak ada pertanyaan yang berhubungan dengan kedua topik ini secara bersamaan. Temukan probabilitas bahwa seorang siswa akan mendapat pertanyaan tentang salah satu dari dua topik ini dalam ujian.

Mari kita pikirkan acara apa yang kita adakan. Kami diberikan dua peristiwa yang tidak kompatibel. Artinya, pertanyaan tersebut akan berhubungan dengan topik “Trigonometri” atau dengan topik “Sudut Luar”. Menurut teorema peluang, peluang terjadinya kejadian-kejadian yang tidak sesuai sama dengan jumlah peluang setiap kejadian, kita harus mencari jumlah peluang kejadian-kejadian tersebut, yaitu:

Jawaban: 0,35.

Ruangan ini diterangi oleh lentera dengan tiga buah lampu. Peluang satu lampu padam dalam satu tahun adalah 0,29. Tentukan peluang paling sedikit satu lampu tidak akan padam sepanjang tahun.

Mari kita pertimbangkan kejadian yang mungkin terjadi. Kami memiliki tiga bola lampu, yang masing-masing mungkin padam atau tidak, terlepas dari bola lampu lainnya. Ini adalah acara independen.

Kemudian kami akan menunjukkan opsi untuk acara tersebut. Mari kita gunakan notasi berikut: - bola lampu menyala, - bola lampu padam. Dan selanjutnya kita menghitung probabilitas kejadian tersebut. Misalnya, peluang suatu kejadian yang terjadi tiga kejadian saling bebas “bola lampu padam”, “bola lampu menyala”, “bola lampu menyala”: , dimana peluang kejadian “bola lampu aktif” dihitung sebagai probabilitas kejadian, kejadian sebaliknya“lampunya tidak menyala”, yaitu: .

Perhatikan bahwa hanya ada 7 kejadian yang tidak kompatibel yang menguntungkan kita. Probabilitas kejadian tersebut sama dengan jumlah probabilitas masing-masing kejadian: .

Jawaban: 0,975608.

Anda dapat melihat masalah lain pada gambar:

Dengan demikian, kita telah memahami apa itu teori probabilitas, rumus dan contoh penyelesaian masalah yang mungkin Anda temui pada versi Ujian Negara Terpadu.

sebagai kategori ontologis mencerminkan besarnya kemungkinan munculnya suatu entitas dalam kondisi apapun. Berbeda dengan interpretasi matematis dan logis dari konsep ini, matematika ontologis tidak mengasosiasikan dirinya dengan kewajiban ekspresi kuantitatif. Makna V. terungkap dalam konteks pemahaman determinisme dan hakikat pembangunan secara umum.

Definisi yang bagus

Definisi tidak lengkap ↓

KEMUNGKINAN

konsep mengkarakterisasi besaran. ukuran kemungkinan terjadinya suatu peristiwa tertentu pada suatu waktu tertentu kondisi. Secara ilmiah pengetahuan ada tiga interpretasi dari V. Konsep klasik V., yang muncul dari matematika. analisis perjudian dan dikembangkan sepenuhnya oleh B. Pascal, J. Bernoulli dan P. Laplace, menganggap kemenangan sebagai rasio jumlah kasus yang menguntungkan dengan jumlah total semua kemungkinan yang sama. Misalnya, ketika sebuah dadu dilempar yang memiliki 6 sisi, masing-masing sisi diharapkan mendarat dengan nilai 1/6, karena tidak ada satu sisi yang lebih unggul dari sisi lainnya. Simetri hasil eksperimen seperti itu secara khusus diperhitungkan ketika mengatur permainan, tetapi relatif jarang ketika mempelajari peristiwa objektif dalam sains dan praktik. Klasik Interpretasi V. memberi jalan kepada statistik. Konsep V. yang didasarkan pada kenyataan mengamati terjadinya suatu peristiwa tertentu dalam jangka waktu yang lama. pengalaman dalam kondisi yang tetap. Praktek menegaskan bahwa semakin sering suatu peristiwa terjadi, semakin besar kemungkinannya lebih banyak gelar kemungkinan objektif terjadinya, atau B. Oleh karena itu, statistik. Penafsiran V. didasarkan pada konsep relasi. frekuensi, yang dapat ditentukan secara eksperimental. V. sebagai teori konsep tersebut tidak pernah bertepatan dengan frekuensi yang ditentukan secara empiris, namun dalam bentuk jamak. Dalam beberapa hal, ini praktis tidak jauh berbeda dari yang relatif. frekuensi ditemukan sebagai akibat dari durasi. pengamatan. Banyak ahli statistik menganggap V. sebagai referensi “ganda”. frekuensi, tepi ditentukan secara statistik. mempelajari hasil observasi

atau eksperimen. Yang kurang realistis adalah definisi V. sehubungan dengan batasannya. frekuensi acara massal, atau kelompok, yang dikemukakan oleh R. Mises. Sebagai pengembangan lebih lanjut Pendekatan frekuensi terhadap V. mengedepankan interpretasi disposisional, atau kecenderungan, terhadap V. (K. Popper, J. Hacking, M. Bunge, T. Settle). Menurut interpretasi ini, V. mencirikan properti kondisi pembangkitan, misalnya. percobaan. instalasi untuk mendapatkan urutan peristiwa acak besar-besaran. Justru sikap inilah yang memunculkan fisik disposisi, atau kecenderungan, V. yang dapat diperiksa dengan menggunakan kerabat. frekuensi

Statistik Interpretasi V. mendominasi penelitian ilmiah. kognisi, karena mencerminkan spesifik. sifat pola yang melekat pada fenomena massa yang bersifat acak. Dalam banyak hal fisik, biologis, ekonomi, demografi. dll. proses sosial perlu memperhitungkan aksi banyak faktor acak, yang ditandai dengan frekuensi stabil. Mengidentifikasi frekuensi dan kuantitas stabil ini. penilaiannya dengan bantuan V. memungkinkan untuk mengidentifikasi kebutuhan yang muncul melalui tindakan kumulatif dari banyak kecelakaan. Di sinilah dialektika transformasi peluang menjadi kebutuhan menemukan manifestasinya (lihat F. Engels, dalam buku: K. Marx and F. Engels, Works, vol. 20, pp. 535-36).

Penalaran logis, atau induktif, mencirikan hubungan antara premis dan kesimpulan dari penalaran non-demonstratif dan, khususnya, induktif. Berbeda dengan deduksi, premis induksi tidak menjamin kebenaran kesimpulan, namun hanya membuatnya lebih atau kurang masuk akal. Masuk akal ini, dengan premis-premis yang dirumuskan secara tepat, terkadang dapat dinilai dengan menggunakan V. Nilai V. ini paling sering ditentukan dengan perbandingan. konsep (lebih dari, kurang dari, atau sama dengan), dan terkadang dalam bentuk numerik. Logis interpretasi sering digunakan untuk menganalisis penalaran induktif dan membangun berbagai sistem logika probabilistik (R. Carnap, R. Jeffrey). Dalam semantik konsep logis V. sering didefinisikan sebagai sejauh mana satu pernyataan dikonfirmasi oleh pernyataan lain (misalnya, hipotesis dengan data empirisnya).

Sehubungan dengan berkembangnya teori pengambilan keputusan dan permainan, maka disebut interpretasi personalistik V. Meskipun V. sekaligus mengungkapkan derajat keyakinan subjek dan terjadinya peristiwa tertentu, V. sendiri harus dipilih sedemikian rupa sehingga aksioma kalkulus V. terpenuhi. Oleh karena itu, V. dengan penafsiran seperti itu tidak begitu banyak mengungkapkan tingkat subjektifnya, melainkan keyakinan yang masuk akal. Oleh karena itu, keputusan yang diambil berdasarkan V. tersebut akan bersifat rasional, karena tidak memperhitungkan faktor psikologis. karakteristik dan kecenderungan subjek.

Dengan epistemologis t.zr. perbedaan antara statistik, logis. dan interpretasi personalistik V. adalah bahwa jika yang pertama mencirikan sifat objektif dan hubungan fenomena massa yang bersifat acak, maka dua yang terakhir menganalisis ciri-ciri subjektif, sadar. aktivitas manusia dalam kondisi ketidakpastian.

KEMUNGKINAN

salah satu konsep sains terpenting, yang mencirikan visi sistemik khusus tentang dunia, strukturnya, evolusi, dan pengetahuannya. Kekhususan pandangan probabilistik tentang dunia terungkap melalui dimasukkannya konsep keacakan, kemandirian dan hierarki (gagasan tentang tingkatan dalam struktur dan penentuan sistem) di antara konsep dasar keberadaan.

Gagasan tentang probabilitas berasal dari zaman kuno dan berkaitan dengan karakteristik pengetahuan kita, sedangkan keberadaan pengetahuan probabilistik diakui, yang berbeda dari pengetahuan yang dapat diandalkan dan pengetahuan palsu. Dampak gagasan probabilitas terhadap pemikiran ilmiah dan perkembangan ilmu pengetahuan berkaitan langsung dengan perkembangan teori probabilitas sebagai suatu disiplin matematika. Asal usul doktrin matematika tentang probabilitas dimulai pada abad ke-17, ketika pengembangan inti konsep memungkinkan. karakteristik kuantitatif (numerik) dan mengungkapkan gagasan probabilistik.

Penerapan probabilitas yang intensif pada pengembangan kognisi terjadi pada paruh kedua. 19 - lantai 1 abad ke-20 Probabilitas telah memasuki struktur ilmu-ilmu dasar alam seperti fisika statistik klasik, genetika, teori kuantum, sibernetika (teori informasi). Oleh karena itu, probabilitas melambangkan tahap perkembangan ilmu pengetahuan, yang sekarang didefinisikan sebagai ilmu non-klasik. Untuk mengungkap kebaruan dan ciri-ciri cara berpikir probabilistik, perlu dimulai dari analisis pokok bahasan teori probabilitas dan dasar-dasar berbagai penerapannya. Teori probabilitas biasanya didefinisikan sebagai disiplin matematika yang mempelajari pola fenomena acak massa dalam kondisi tertentu. Keacakan artinya dalam kerangka sifat massa, keberadaan setiap fenomena elementer tidak bergantung dan tidak ditentukan oleh keberadaan fenomena lainnya. Pada saat yang sama, sifat massa dari fenomena itu sendiri memiliki struktur yang stabil dan mengandung keteraturan tertentu. Suatu fenomena massa dibagi secara ketat menjadi subsistem, dan jumlah relatif fenomena elementer di setiap subsistem (frekuensi relatif) sangat stabil. Stabilitas ini dibandingkan dengan probabilitas. Fenomena massa secara keseluruhan dicirikan oleh distribusi probabilitas, yaitu dengan menentukan subsistem dan probabilitas yang sesuai. Bahasa teori probabilitas adalah bahasa distribusi probabilitas. Oleh karena itu, teori probabilitas didefinisikan sebagai ilmu abstrak yang beroperasi dengan distribusi.

Probabilitas memunculkan gagasan dalam sains tentang pola statistik dan sistem statistik. Esensi terakhir sistem yang terbentuk dari entitas independen atau kuasi-independen, strukturnya dicirikan oleh distribusi probabilitas. Namun bagaimana mungkin membentuk sistem dari entitas independen? Biasanya diasumsikan bahwa untuk pembentukan sistem dengan karakteristik integral, diperlukan hubungan yang cukup stabil antara elemen-elemennya yang memperkuat sistem tersebut. Stabilitas sistem statistik diberikan oleh adanya kondisi eksternal, lingkungan eksternal, eksternal, dan bukan kekuatan internal. Pengertian probabilitas sendiri selalu didasarkan pada pengaturan kondisi pembentukan awal fenomena massa. Satu lagi ide yang paling penting, yang menjadi ciri paradigma probabilistik, adalah gagasan hierarki (subordinasi). Ide ini mengungkapkan hubungan antar karakteristik elemen individu dan karakteristik sistem yang holistik: sistem yang terakhir tampaknya dibangun di atas sistem yang pertama.

Pentingnya metode probabilistik dalam kognisi terletak pada kenyataan bahwa metode tersebut memungkinkan untuk mempelajari dan secara teoritis mengekspresikan pola struktur dan perilaku objek dan sistem yang memiliki struktur hierarki “dua tingkat”.

Analisis sifat probabilitas didasarkan pada frekuensinya, interpretasi statistik. Pada saat yang sama, sangat waktu yang lama Dalam sains, pemahaman tentang probabilitas seperti itu berlaku, yang disebut probabilitas logis, atau induktif. Probabilitas logis tertarik pada pertanyaan tentang validitas penilaian individu yang terpisah dalam kondisi tertentu. Apakah mungkin untuk mengevaluasi tingkat konfirmasi (keandalan, kebenaran) suatu kesimpulan induktif (kesimpulan hipotetis) dalam bentuk kuantitatif? Selama pengembangan teori probabilitas, pertanyaan-pertanyaan seperti itu berulang kali dibahas, dan mereka mulai berbicara tentang tingkat konfirmasi kesimpulan hipotetis. Ukuran probabilitas ini ditentukan oleh ketersediaan orang ini informasi, pengalamannya, pandangan tentang dunia dan pola pikir psikologis. Dalam semua kasus tersebut, besarnya probabilitas tidak dapat diukur secara ketat dan secara praktis berada di luar kompetensi teori probabilitas sebagai disiplin matematika yang konsisten.

Interpretasi probabilitas yang objektif dan sering terjadi ditetapkan dalam sains dengan kesulitan yang signifikan. Pada awalnya, pemahaman tentang hakikat probabilitas sangat dipengaruhi oleh pandangan filosofis dan metodologis yang menjadi ciri ilmu pengetahuan klasik. Secara historis, perkembangan metode probabilistik dalam fisika terjadi di bawah pengaruh yang menentukan dari gagasan mekanika: sistem statistik ditafsirkan secara sederhana sebagai sistem mekanis. Karena masalah terkait tidak terpecahkan metode yang ketat mekanika, kemudian muncul pernyataan bahwa beralih ke metode probabilistik dan hukum statistik adalah akibat dari ketidaklengkapan pengetahuan kita. Dalam sejarah perkembangan fisika statistik klasik, banyak upaya telah dilakukan untuk membuktikannya atas dasar tersebut mekanika klasik Namun, semuanya gagal. Dasar probabilitas adalah bahwa ia mengungkapkan ciri-ciri struktural suatu kelas sistem tertentu, selain sistem mekanis: keadaan elemen-elemen sistem ini dicirikan oleh ketidakstabilan dan sifat interaksi yang khusus (tidak dapat direduksi menjadi mekanika).

Masuknya probabilitas ke dalam pengetahuan mengarah pada pengingkaran terhadap konsep determinisme keras, pengingkaran terhadap model dasar wujud dan pengetahuan yang dikembangkan dalam proses pembentukan ilmu klasik. Model dasar yang diwakili oleh teori statistik mempunyai perbedaan yang lebih banyak karakter umum: Ini termasuk gagasan tentang keacakan dan kemandirian. Gagasan tentang probabilitas dikaitkan dengan pengungkapan dinamika internal objek dan sistem, yang tidak dapat sepenuhnya ditentukan oleh kondisi dan keadaan eksternal.

Konsep visi probabilistik dunia, yang didasarkan pada absolutisasi gagasan tentang kemerdekaan (seperti sebelum paradigma determinasi kaku), kini telah mengungkapkan keterbatasannya, yang paling kuat mempengaruhi transisi. ilmu pengetahuan modern hingga metode analitis untuk mempelajari sistem yang kompleks dan dasar fisik dan matematika dari fenomena pengorganisasian diri.

Definisi yang bagus

Definisi tidak lengkap ↓