Berapa probabilitasnya... Bagaimana menggabungkan uji coba independen
Kemungkinan peristiwa adalah rasio jumlah hasil dasar yang menguntungkan suatu peristiwa tertentu dengan jumlah semua kemungkinan hasil pengalaman yang sama di mana peristiwa tersebut dapat muncul. Peluang kejadian A dilambangkan dengan P(A) (di sini P adalah huruf pertama kata Perancis probabilitas - probabilitas). Menurut definisinya
(1.2.1)
di mana banyaknya hasil dasar yang mendukung kejadian A; - jumlah semua kemungkinan hasil dasar percobaan yang sama, yang membentuk kelompok kejadian yang lengkap.
Definisi probabilitas ini disebut klasik. Itu muncul tahap awal pengembangan teori probabilitas.
Peluang suatu kejadian mempunyai ciri-ciri sebagai berikut:
1. Probabilitas acara yang dapat diandalkan sama dengan satu. Mari kita nyatakan peristiwa yang dapat dipercaya dengan surat itu . Oleh karena itu, untuk acara tertentu
(1.2.2)
2. Peluang suatu kejadian yang mustahil adalah nol. Mari kita nyatakan peristiwa yang mustahil dengan huruf . Oleh karena itu, untuk peristiwa yang mustahil
(1.2.3)
3. Peluang suatu kejadian acak dinyatakan sebagai bilangan positif yang kurang dari satu. Karena untuk kejadian acak pertidaksamaan , atau , terpenuhi, maka
(1.2.4)
4. Probabilitas suatu kejadian memenuhi pertidaksamaan
(1.2.5)
Ini mengikuti relasi (1.2.2) - (1.2.4).
Contoh 1. Sebuah guci berisi 10 bola dengan ukuran dan berat yang sama, 4 bola berwarna merah dan 6 bola biru. Satu bola diambil dari guci. Berapa peluang terambilnya bola berwarna biru?
Larutan. Peristiwa “bola yang ditarik ternyata berwarna biru” dilambangkan dengan huruf A. Tes ini mempunyai 10 kemungkinan hasil dasar yang sama, dimana 6 diantaranya menguntungkan kejadian A. Sesuai dengan rumus (1.2.1), kita memperoleh 
Contoh 2. Semua bilangan asli dari 1 sampai 30 ditulis pada kartu yang sama dan ditempatkan dalam sebuah guci. Setelah kartu dikocok seluruhnya, satu kartu dikeluarkan dari guci. Berapa peluang terambilnya angka pada kartu yang merupakan kelipatan 5?
Larutan. Mari kita nyatakan dengan A kejadian “angka pada kartu yang diambil adalah kelipatan 5”. Dalam tes ini terdapat 30 kemungkinan hasil dasar yang sama, dimana kejadian A disukai oleh 6 hasil (angka 5, 10, 15, 20, 25, 30). Karena itu, 
Contoh 3. Dua dadu dilempar dan jumlah titik pada permukaan atasnya dihitung. Tentukan peluang kejadian B sehingga permukaan atas dadu berjumlah 9 buah.
Larutan. Dalam tes ini hanya terdapat 6 2 = 36 kemungkinan hasil dasar yang sama. Peristiwa B disukai oleh 4 hasil: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), oleh karena itu 
Contoh 4. Suatu bilangan asli yang tidak lebih besar dari 10 dipilih secara acak. Berapa peluang terambilnya bilangan prima?
Larutan. Mari kita nyatakan dengan huruf C kejadian “bilangan yang dipilih adalah bilangan prima”. DI DALAM dalam hal ini n = 10, m = 4 ( bilangan prima 2, 3, 5, 7). Oleh karena itu, probabilitas yang diperlukan 
Contoh 5. Dua buah uang logam simetris dilempar. Berapa peluang terdapat angka pada sisi atas kedua koin?
Larutan. Mari kita nyatakan dengan huruf D kejadian “ada angka di sisi atas setiap koin”. Dalam tes ini terdapat 4 kemungkinan hasil dasar yang sama: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (Notasi (G, C) artinya uang logam pertama mempunyai lambang, uang logam kedua mempunyai nomor). Peristiwa D disukai oleh satu hasil dasar (C, C). Karena m = 1, n = 4, maka 
Contoh 6. Berapa peluang terambilnya dua angka yang dipilih secara acak mempunyai angka yang sama?
Larutan. Angka dua digit adalah angka dari 10 sampai 99; Total ada 90 angka seperti itu. 9 angka yang angkanya sama (yaitu angka 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Karena dalam hal ini m = 9, n = 90, maka 
,
dimana A adalah kejadian “bilangan dengan digit yang identik”.
Contoh 7. Dari huruf kata diferensial Satu huruf dipilih secara acak. Berapa peluang terambilnya huruf tersebut: a) vokal, b) konsonan, c) huruf H?
Larutan. Kata diferensial mempunyai 12 huruf, 5 diantaranya vokal dan 7 konsonan. Surat H tidak ada dalam kata ini. Mari kita nyatakan peristiwanya: A - "huruf vokal", B - "huruf konsonan", C - "huruf H". Banyaknya hasil dasar yang menguntungkan: - untuk kejadian A, - untuk kejadian B, - untuk kejadian C. Karena n = 12, maka
, Dan .
Contoh 8. Dua buah dadu dilempar dan dicatat banyaknya titik pada puncak masing-masing dadu. Tentukan peluang terambilnya kedua dadu nomor yang sama poin.
Larutan. Mari kita nyatakan kejadian ini dengan huruf A. Peristiwa A disukai oleh 6 hasil dasar: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6 ;6). Banyaknya kemungkinan hasil dasar yang sama yang membentuk sekelompok kejadian lengkap, dalam hal ini n=6 2 =36. Artinya probabilitas yang diperlukan 
Contoh 9. Buku ini memiliki 300 halaman. Berapa probabilitas halaman yang dibuka secara acak nomor seri, kelipatan 5?
Larutan. Dari kondisi soal dapat disimpulkan bahwa semua kemungkinan hasil dasar yang sama yang membentuk kelompok kejadian lengkap adalah n = 300. Dari jumlah tersebut, m = 60 mendukung terjadinya kejadian tertentu. Memang, bilangan yang merupakan kelipatan 5 mempunyai bentuk 5k, dimana k adalah bilangan asli, dan , maka 
. Karena itu, 
, dimana A - kejadian “halaman” mempunyai nomor urut yang merupakan kelipatan 5".
Contoh 10. Dua dadu dilempar dan jumlah titik pada permukaan atasnya dihitung. Mana yang lebih mungkin – mendapatkan total 7 atau 8?
Larutan. Mari kita nyatakan kejadiannya: A - “7 poin dilempar”, B – “8 poin dilempar”. Peristiwa A disukai oleh 6 hasil dasar: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), dan peristiwa B disukai dengan 5 hasil: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Semua kemungkinan hasil dasar yang sama adalah n = 6 2 = 36. Artinya Dan .
Jadi, P(A)>P(B), yaitu memperoleh total 7 poin lebih mungkin terjadi dibandingkan memperoleh total 8 poin.
Tugas
1. Sebuah bilangan asli yang tidak melebihi 30 dipilih secara acak. Berapa peluang terambilnya bilangan tersebut kelipatan 3?
2. Di dalam guci A merah dan B bola biru, ukuran dan beratnya sama. Berapa peluang terambilnya bola secara acak dari guci ini berwarna biru?
3. Suatu bilangan yang tidak melebihi 30 dipilih secara acak. Berapa peluang terambilnya bilangan tersebut adalah pembagi 30?
4. Di dalam guci A biru dan B bola merah, ukuran dan beratnya sama. Satu bola diambil dari guci ini dan disisihkan. Bola ini ternyata berwarna merah. Setelah itu, bola lain diambil dari guci. Tentukan peluang terambilnya bola kedua juga berwarna merah.
5. Sebuah bilangan nasional yang tidak melebihi 50 dipilih secara acak. Berapa peluang terambilnya bilangan prima?
6. Tiga buah dadu dilempar dan dihitung jumlah titik pada permukaan atasnya. Mana yang lebih mungkin - mendapatkan total 9 atau 10 poin?
7. Tiga buah dadu dilempar dan dihitung jumlah poinnya. Mana yang lebih mungkin - mendapatkan total 11 (peristiwa A) atau 12 poin (peristiwa B)?
Jawaban
1. 1/3. 2 . B/(A+B). 3 . 0,2. 4 . (B-1)/(A+B-1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 - kemungkinan mendapatkan total 9 poin; p 2 = 27/216 - kemungkinan mendapatkan total 10 poin; hal 2 > hal 1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).
Pertanyaan
1. Peluang suatu kejadian disebut?
2. Berapakah probabilitas suatu kejadian yang dapat diandalkan?
3. Berapa peluang terjadinya suatu kejadian yang mustahil?
4. Berapakah batas peluang terjadinya suatu kejadian acak?
5. Berapakah batas peluang suatu kejadian?
6. Definisi probabilitas apa yang disebut klasik?
Apakah Anda ingin tahu apa peluang matematika pada keberhasilan taruhan Anda? Lalu ada dua untukmu kabar baik. Pertama: untuk menghitung kemampuan lintas negara, Anda tidak perlu melakukan perhitungan dan pengeluaran yang rumit jumlah besar waktu. Cukup menggunakan rumus sederhana, yang pengerjaannya akan memakan waktu beberapa menit. Kedua: setelah membaca artikel ini, Anda dapat dengan mudah menghitung kemungkinan lolosnya perdagangan Anda.
Untuk menentukan kemampuan lintas negara dengan benar, Anda perlu melakukan tiga langkah:
- Hitung persentase probabilitas hasil suatu peristiwa menurut kantor bandar;
- Hitung sendiri probabilitasnya menggunakan data statistik;
- Cari tahu nilai taruhannya, dengan mempertimbangkan kedua probabilitas.
Mari kita lihat setiap langkah secara detail, tidak hanya menggunakan rumus, tetapi juga contoh.
Lompat Cepat
Menghitung probabilitas yang termasuk dalam peluang taruhan
Langkah pertama adalah mencari tahu berapa probabilitas bandar itu sendiri yang memperkirakan peluang hasil tertentu. Jelas bahwa bandar taruhan tidak menetapkan peluang begitu saja. Untuk melakukan ini kami menggunakan rumus berikut:
PB=(1/K)*100%,
dimana P B adalah probabilitas hasil menurut kantor bandar taruhan;
K – peluang taruhan untuk hasilnya.
Katakanlah peluang kemenangan Arsenal London pada pertandingan melawan Bayern Munich adalah 4. Artinya peluang kemenangan mereka dinilai oleh bandar taruhan sebagai (1/4)*100%=25%. Atau Djokovic bermain melawan Youzhny. Pengganda kemenangan Novak adalah 1,2, peluangnya adalah (1/1.2)*100%=83%.
Beginilah cara bandar itu sendiri mengevaluasi peluang keberhasilan setiap pemain dan tim. Setelah menyelesaikan langkah pertama, kita melanjutkan ke langkah kedua.
Perhitungan probabilitas suatu peristiwa oleh pemain
Poin kedua dari rencana kita adalah penilaian kita sendiri terhadap kemungkinan kejadian tersebut. Karena kami tidak dapat memperhitungkan secara matematis parameter seperti motivasi dan nada permainan, kami akan menggunakan model yang disederhanakan dan hanya menggunakan statistik dari pertemuan sebelumnya. Untuk menghitung probabilitas statistik suatu hasil, kami menggunakan rumus:
PDAN=(UM/M)*100%,
Di manaPDAN– kemungkinan suatu kejadian menurut pemain;
UM – jumlah pertandingan sukses di mana peristiwa tersebut terjadi;
M – jumlah total pertandingan.
Agar lebih jelas, mari kita beri contoh. Andy Murray dan Rafael Nadal memainkan 14 pertandingan bersama. Dalam 6 pertandingan totalnya kurang dari 21 pertandingan, dalam 8 pertandingan totalnya lebih banyak. Anda perlu mengetahui kemungkinan pertandingan berikutnya akan dimainkan dengan total lebih tinggi: (14/8)*100=57%. Valencia memainkan 74 pertandingan melawan Atlético di Mestalla, di mana mereka meraih 29 kemenangan. Probabilitas kemenangan Valencia: (29/74)*100%=39%.
Dan kami mempelajari semua ini hanya berkat statistik pertandingan sebelumnya! Tentu saja bagi sebagian orang tim baru atau seorang pemain, probabilitas tersebut tidak dapat dihitung, jadi strategi taruhan ini hanya cocok untuk pertandingan di mana lawan bertemu lebih dari satu kali. Sekarang kita tahu bagaimana menentukan probabilitas hasil taruhan dan kita sendiri, dan kita memiliki semua pengetahuan untuk melanjutkan ke langkah terakhir.
Menentukan nilai taruhan
Nilai (value) suatu taruhan dan keterlaluan memiliki hubungan langsung: semakin tinggi nilainya, semakin tinggi peluang untuk lolos. Nilainya dihitung sebagai berikut:
V=PDAN*K-100%,
dimana V adalah nilai;
P I – probabilitas hasil menurut petaruh;
K – peluang taruhan untuk hasilnya.
Katakanlah kita ingin bertaruh pada kemenangan Milan dalam pertandingan melawan Roma dan kita menghitung kemungkinan kemenangan “merah-hitam” adalah 45%. Taruhan menawarkan kita odds 2,5 untuk hasil ini. Apakah taruhan seperti itu akan bernilai? Kami melakukan perhitungan: V=45%*2.5-100%=12.5%. Hebat, kita punya taruhan berharga di depan kita peluang bagus untuk lulus.
Mari kita ambil kasus lain. Maria Sharapova bermain melawan Petra Kvitova. Kami ingin membuat kesepakatan agar Maria menang, yang kemungkinannya menurut perhitungan kami adalah 60%. Taruhan menawarkan pengganda 1,5 untuk hasil ini. Kita tentukan nilainya: V=60%*1,5-100=-10%. Seperti yang Anda lihat, taruhan ini tidak ada nilainya dan harus dihindari.
Jelaslah bahwa setiap peristiwa mempunyai tingkat kemungkinan terjadinya (implementasinya) yang berbeda-beda. Untuk membandingkan secara kuantitatif kejadian-kejadian yang satu dengan yang lain menurut derajat kemungkinannya, tentunya perlu dikaitkan dengan suatu bilangan tertentu dengan setiap kejadian, yang semakin besar maka semakin besar kemungkinan kejadian tersebut. Angka ini disebut peluang suatu kejadian.
Kemungkinan kejadian– adalah ukuran numerik dari tingkat kemungkinan obyektif terjadinya peristiwa ini.
Perhatikan eksperimen stokastik dan kejadian acak A yang diamati dalam eksperimen ini. Mari kita ulangi percobaan ini sebanyak n kali dan misalkan m(A) adalah banyaknya percobaan yang terjadi kejadian A.
Hubungan (1.1)
ditelepon frekuensi relatif kejadian A pada rangkaian percobaan yang dilakukan.
Sangat mudah untuk memverifikasi validitas properti:
jika A dan B tidak konsisten (AB= ), maka ν(A+B) = ν(A) + ν(B) (1.2)
Frekuensi relatif ditentukan hanya setelah serangkaian percobaan dan, secara umum, dapat bervariasi dari rangkaian ke rangkaian. Namun, pengalaman menunjukkan bahwa dalam banyak kasus, seiring dengan bertambahnya jumlah eksperimen, frekuensi relatifnya mendekati angka tertentu. Fakta stabilitas frekuensi relatif ini telah berulang kali diverifikasi dan dapat dianggap ditetapkan secara eksperimental.
Contoh 1.19.. Jika Anda melempar satu koin, tidak ada yang bisa memprediksi sisi mana koin itu akan mendarat. Tetapi jika Anda melempar dua ton koin, maka semua orang akan mengatakan bahwa sekitar satu ton akan jatuh bersama lambang, yaitu frekuensi relatif lambang yang rontok kira-kira 0,5.
Jika, dengan bertambahnya jumlah percobaan, frekuensi relatif kejadian ν(A) cenderung ke suatu bilangan tetap, maka dikatakan demikian peristiwa A stabil secara statistik, dan bilangan ini disebut peluang kejadian A.
Kemungkinan kejadian tersebut A suatu bilangan tetap P(A) disebut, yang frekuensi relatifnya ν(A) dari kejadian ini cenderung seiring dengan bertambahnya jumlah percobaan, yaitu, 
Definisi ini disebut definisi statistik probabilitas .
Mari kita pertimbangkan eksperimen stokastik tertentu dan biarkan ruang kejadian elementernya terdiri dari himpunan kejadian elementer yang berhingga atau tak terhingga (tetapi dapat dihitung) ω 1, ω 2, …, ω i, …. Mari kita asumsikan bahwa setiap peristiwa dasar ω i diberi nomor tertentu - р i, yang mencirikan tingkat kemungkinan terjadinya peristiwa dasar tertentu dan memenuhi sifat-sifat berikut:
Nomor p i ini disebut probabilitas suatu kejadian dasarωi.
Misalkan A adalah kejadian acak yang diamati dalam percobaan ini, dan misalkan A berkorespondensi dengan himpunan tertentu
Dalam pengaturan ini kemungkinan suatu peristiwa A sebutkan jumlah peluang kejadian-kejadian dasar yang menguntungkan A(termasuk dalam set A yang sesuai):
(1.4)
Probabilitas yang diperkenalkan dengan cara ini mempunyai sifat yang sama dengan frekuensi relatif, yaitu:
Dan jika AB = (A dan B tidak kompatibel),
maka P(A+B) = P(A) + P(B)
Memang, menurut (1.4)
Dalam hubungan terakhir kita mengambil keuntungan dari kenyataan bahwa tidak ada satu peristiwa dasar pun yang dapat mendukung dua peristiwa yang tidak kompatibel pada waktu yang sama.
Kami secara khusus mencatat bahwa teori probabilitas tidak menunjukkan metode untuk menentukan pi; metode tersebut harus dicari untuk alasan praktis atau diperoleh dari eksperimen statistik yang sesuai.
Sebagai contoh, pertimbangkan skema klasik teori probabilitas. Untuk melakukan ini, pertimbangkan eksperimen stokastik, ruang kejadian elementer yang terdiri dari sejumlah elemen berhingga (n). Mari kita asumsikan juga bahwa semua kejadian elementer ini sama-sama mungkin terjadi, yaitu probabilitas kejadian elementer sama dengan p(ω i)=p i =p. Oleh karena itu
Contoh 1.20. Saat melempar koin simetris, kemungkinan mendapatkan kepala dan ekor sama, probabilitasnya sama dengan 0,5.
Contoh 1.21. Pada pelemparan sebuah dadu simetris, semua muka mempunyai kemungkinan yang sama, peluangnya sama dengan 1/6.
Sekarang misalkan kejadian A diunggulkan oleh m kejadian dasar, biasa disebut demikian hasil yang menguntungkan bagi peristiwa A. Kemudian
Diterima definisi klasik probabilitas: peluang P(A) kejadian A sama dengan rasio banyaknya hasil yang menguntungkan kejadian A dengan jumlah total hasil
Contoh 1.22. Guci tersebut berisi m bola putih dan n bola hitam. Berapa peluang terambilnya bola putih?
Larutan. Banyaknya kejadian dasar adalah m+n. Semua kemungkinannya sama. Peristiwa yang menguntungkan A dimana m. Karena itu, 
.
Sifat-sifat berikut mengikuti definisi probabilitas:
Properti 1. Peluang suatu kejadian yang dapat diandalkan sama dengan satu.
Memang benar, jika kejadian tersebut dapat diandalkan, maka setiap hasil dasar dari tes tersebut akan mendukung kejadian tersebut. Dalam hal ini t=p, karena itu,
P(A)=m/n=n/n=1.(1.6)
Properti 2. Kemungkinan terjadinya suatu kejadian yang mustahil adalah nol.
Memang benar, jika suatu peristiwa tidak mungkin terjadi, maka tidak ada satu pun hasil dasar tes yang mendukung peristiwa tersebut. Dalam hal ini T= 0, oleh karena itu, P(A)=m/n=0/n=0. (1.7)
Properti 3.Ada kemungkinan terjadinya kejadian acak angka positif, diapit antara nol dan satu.
Memang benar, hanya sebagian dari jumlah total hasil tes dasar yang disukai oleh kejadian acak. Artinya, 0≤m≤n, yang berarti 0≤m/n≤1, oleh karena itu, peluang suatu kejadian memenuhi pertidaksamaan ganda 0≤ P(A) ≤1. (1.8)
Membandingkan definisi probabilitas (1.5) dan frekuensi relatif (1.1), kami menyimpulkan: definisi probabilitas tidak memerlukan pengujian untuk dilakukan pada kenyataannya; definisi frekuensi relatif mengasumsikan hal itu tes benar-benar dilakukan. Dengan kata lain, probabilitas dihitung sebelum percobaan, dan frekuensi relatif - setelah percobaan.
Namun, penghitungan probabilitas memerlukan informasi awal tentang jumlah atau probabilitas hasil dasar yang menguntungkan untuk suatu peristiwa tertentu. Dengan tidak adanya informasi awal tersebut, data empiris digunakan untuk menentukan probabilitas, yaitu frekuensi relatif kejadian ditentukan berdasarkan hasil eksperimen stokastik.
Contoh 1.23. Departemen kontrol teknis ditemukan 3 bagian non-standar dalam kumpulan 80 bagian yang dipilih secara acak. Frekuensi relatif kemunculan suku cadang non-standar r(A)= 3/80.
Contoh 1.24. Sesuai dengan tujuannya, diproduksi 24 ditembak, dan 19 pukulan dicatat. Tingkat pencapaian target relatif. r(A)=19/24.
Pengamatan jangka panjang telah menunjukkan bahwa jika percobaan dilakukan dalam kondisi yang sama, yang masing-masing jumlah pengujiannya cukup banyak, maka frekuensi relatif menunjukkan sifat stabilitas. Properti ini adalah bahwa dalam eksperimen yang berbeda, frekuensi relatifnya sedikit berubah (semakin sedikit, semakin banyak pengujian yang dilakukan), berfluktuasi di sekitar angka konstan tertentu. Ternyata bilangan konstan ini dapat dianggap sebagai nilai perkiraan probabilitas.
Hubungan antara frekuensi relatif dan probabilitas akan dijelaskan lebih detail dan tepat di bawah ini. Sekarang mari kita ilustrasikan sifat stabilitas dengan contoh.
Contoh 1.25. Menurut statistik Swedia, frekuensi relatif kelahiran anak perempuan pada tahun 1935 berdasarkan bulan ditandai dengan angka-angka berikut (angka-angka tersebut disusun menurut bulan, dimulai dengan Januari): 0,486; 0,489; 0,490; 0.471; 0,478; 0,482; 0.462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473
Frekuensi relatif berfluktuasi di sekitar angka 0,481, yang dapat dianggap sebagai nilai perkiraan kemungkinan memiliki anak perempuan.
Perhatikan bahwa data statistik dari berbagai negara memberikan nilai frekuensi relatif yang kira-kira sama.
Contoh 1.26. Eksperimen pelemparan koin dilakukan berkali-kali, di mana jumlah kemunculan “lambang” dihitung. Hasil beberapa percobaan ditunjukkan pada tabel.
Peluang terjadinya suatu peristiwa pada suatu pengujian tertentu sama dengan rasio , dimana:
Jumlah total semua kemungkinan hasil dasar yang sama dari suatu tes tertentu, yang bentuknya kumpulan acara lengkap;
Jumlah hasil dasar yang mendukung acara tersebut.
Masalah 1
Sebuah guci berisi 15 bola putih, 5 bola merah, dan 10 bola hitam. 1 bola diambil secara acak, tentukan peluang terambilnya: a) putih, b) merah, c) hitam.
Larutan: Prasyarat terpenting untuk menggunakan definisi klasik tentang probabilitas adalah kemampuan untuk menghitung jumlah total hasil.
Ada total 15 + 5 + 10 = 30 bola di dalam guci, dan fakta berikut ini benar adanya:
Mengambil bola apa pun juga bisa dilakukan (kesempatan yang sama hasil), sedangkan hasilnya dasar dan bentuk kumpulan acara lengkap (yaitu, sebagai hasil tes, salah satu dari 30 bola pasti akan dikeluarkan).
Dengan demikian, jumlah total hasil:
Perhatikan kejadian berikut: - Sebuah bola putih akan diambil dari guci. Peristiwa ini didukung oleh hasil-hasil dasar, oleh karena itu, menurut definisi klasik: 
- peluang terambilnya bola putih dari guci.
Anehnya, bahkan dalam tugas sederhana seperti itu, ketidakakuratan yang serius dapat terjadi. Di manakah letak jebakannya di sini? Tidaklah benar untuk memperdebatkan hal itu di sini “karena separuh bola berwarna putih, maka peluang terambilnya bola putih » . Definisi klasik dari probabilitas mengacu pada DASAR hasilnya, dan pecahannya harus dituliskan!
Demikian pula dengan poin-poin lain, pertimbangkan peristiwa-peristiwa berikut:
Sebuah bola merah akan diambil dari guci;
- akan diambil bola hitam dari guci.
Suatu peristiwa disukai oleh 5 hasil dasar, dan suatu peristiwa disukai oleh 10 hasil dasar. Jadi probabilitas yang sesuai adalah: 
Pemeriksaan khas dari banyak tugas server dilakukan dengan menggunakan teorema jumlah peluang kejadian-kejadian yang membentuk kelompok lengkap. Dalam kasus kita, kejadian-kejadian tersebut membentuk grup lengkap, yang berarti jumlah probabilitas yang bersesuaian harus sama dengan satu: .
Mari kita periksa apakah ini benar: itulah yang ingin saya pastikan.
Menjawab: 
Dalam praktiknya, opsi desain solusi “kecepatan tinggi” adalah hal yang umum:
Total: 15 + 5 + 10 = 30 bola di dalam guci. Menurut definisi klasik:
- peluang terambilnya bola putih dari guci;
- kemungkinan terambilnya bola merah dari guci;
- peluang terambilnya bola hitam dari guci.
Menjawab:
Masalah 2
Toko tersebut menerima 30 lemari es, lima di antaranya memiliki cacat produksi. Satu lemari es dipilih secara acak. Berapa peluangnya tanpa cacat?
Masalah 3
Saat menghubungi nomor telepon, pelanggan lupa dua digit terakhir, tetapi ingat bahwa salah satunya adalah nol dan yang lainnya ganjil. Temukan probabilitas bahwa dia akan memanggil nomor yang benar.
Catatan: nol adalah bilangan genap (habis dibagi 2 tanpa sisa)
Larutan: Pertama kita mencari jumlah total hasil. Dengan syarat, pelanggan mengingat salah satu angkanya nol, dan angka lainnya ganjil. Di sini lebih rasional untuk tidak membelah rambut kombinatorik dan manfaatkan metode pencatatan langsung hasil . Artinya, saat membuat solusi, kita cukup menuliskan semua kombinasinya:
01, 03, 05, 07, 09
10, 30, 50, 70, 90
Dan kami menghitungnya - totalnya: 10 hasil.
Hanya ada satu hasil yang menguntungkan: angka yang benar.
Menurut definisi klasik: 
- kemungkinan pelanggan akan menghubungi nomor yang benar
Menjawab: 0,1
Tugas lanjutan untuk solusi mandiri:
Masalah 4
Pelanggan lupa kode PIN untuk kartu SIM-nya, tetapi ingat bahwa di dalamnya terdapat tiga angka “lima”, dan salah satu angkanya adalah “tujuh” atau “delapan”. Berapa probabilitas otorisasi berhasil pada percobaan pertama?
Di sini Anda juga dapat mengembangkan gagasan tentang kemungkinan pelanggan akan menghadapi hukuman berupa kode puk, namun sayangnya alasannya akan melampaui cakupan pelajaran ini.
Solusi dan jawabannya ada di bawah ini.
Terkadang membuat daftar kombinasi ternyata menjadi tugas yang sangat melelahkan. Secara khusus, hal ini juga terjadi pada kasus berikut ini grup populer soal pelemparan 2 buah dadu (lebih jarang - lebih banyak):
Masalah 5
Tentukan peluang pelemparan dua buah dadu, jumlah seluruhnya adalah:
a) lima poin;
b) tidak lebih dari empat poin;
c) dari 3 hingga 9 poin inklusif.
Larutan: temukan jumlah total hasil:
Cara agar sisi dadu pertama bisa rontok Dan sisi kubus ke-2 bisa rontok dengan cara yang berbeda; Oleh aturan untuk mengalikan kombinasi, jumlah: 
kemungkinan kombinasi. Dengan kata lain, setiap muka kubus ke-1 dapat membentuk pasangan terurut dengan masing-masing tepi kubus ke-2. Mari kita sepakat untuk menuliskan pasangan tersebut dalam bentuk , dimana adalah bilangan yang muncul pada dadu pertama, dan merupakan bilangan yang muncul pada dadu kedua.
Misalnya:
Dadu pertama mendapat 3 poin, dadu kedua mendapat 5 poin, total poin: 3 + 5 = 8;
- dadu pertama mencetak 6 poin, dadu kedua - 1 poin, jumlah poin: 6 + 1 = 7;
- 2 poin dilempar pada kedua dadu, jumlah: 2 + 2 = 4.
Jelasnya, jumlah terkecil diberikan oleh sepasang, dan jumlah terbesar diberikan oleh dua “enam”.
a) Perhatikan kejadian: - pada pelemparan dua buah dadu, akan muncul 5 angka. Mari kita tulis dan hitung jumlah hasil yang mendukung kejadian ini:
Total: 4 hasil yang menguntungkan. Menurut definisi klasik:
- probabilitas yang diinginkan.
b) Perhatikan kejadiannya: - tidak lebih dari 4 poin yang akan muncul. Artinya, 2, atau 3, atau 4 poin. Sekali lagi kami membuat daftar dan menghitung kombinasi yang disukai, di sebelah kiri saya akan menuliskan jumlah total poin, dan setelah titik dua - pasangan yang cocok: 
Total: 6 kombinasi yang menguntungkan. Dengan demikian:
- probabilitas bahwa tidak lebih dari 4 poin akan diperoleh.
c) Pertimbangkan acaranya: - 3 hingga 9 poin akan bergulir, inklusif. Di sini kamu bisa mengambil jalan lurus, tapi... entah kenapa kamu tidak mau. Ya, beberapa pasangan telah disebutkan di paragraf sebelumnya, namun masih banyak pekerjaan yang harus diselesaikan.
Apa cara terbaik untuk melanjutkan? Dalam kasus seperti itu, jalan memutar menjadi rasional. Mari kita pertimbangkan kejadian sebaliknya: - 2 atau 10 atau 11 atau 12 poin akan diberikan.
Apa gunanya? Peristiwa sebaliknya disukai oleh sejumlah kecil pasangan:
Total: 7 hasil yang menguntungkan.
Menurut definisi klasik:
- kemungkinan Anda mendapatkan kurang dari tiga atau lebih dari 9 poin.
Orang yang sangat teliti dapat membuat daftar ke-29 pasangan tersebut, sehingga menyelesaikan pemeriksaan.
Menjawab: 
Pada soal berikutnya kita akan mengulangi tabel perkalian:
Masalah 6
Tentukan peluang bahwa pada pelemparan dua buah dadu, hasil kali poinnya adalah:
a) akan sama dengan tujuh;
b) setidaknya akan ada 20;
c) akan genap.
Solusi Cepat dan jawabannya di akhir pelajaran.
Masalah 7
3 orang memasuki lift gedung 20 lantai di lantai satu. Dan ayo pergi. Temukan probabilitas bahwa:
a) mereka akan keluar di lantai yang berbeda;
b) dua orang akan keluar di lantai yang sama;
c) semua orang akan turun di lantai yang sama.
Larutan: mari kita hitung jumlah total hasil: cara penumpang pertama keluar dari lift Dan cara - penumpang ke-2 Dan cara - penumpang ketiga. Menurut aturan perkalian kombinasi: hasil yang mungkin. Yaitu, setiap Lantai keluar orang pertama dapat digabungkan dengan semua orang Lantai keluar orang ke-2 dan dengan semua orang Lantai keluar orang ke-3.
Metode kedua didasarkan pada penempatan dengan pengulangan:
- siapa pun yang memahaminya lebih jelas.
a) Perhatikan kejadian : - penumpang akan turun di lantai yang berbeda. Mari kita hitung jumlah hasil yang menguntungkan: 
3 penumpang di lantai berbeda dapat keluar menggunakan metode ini. Buatlah penalaran sendiri berdasarkan rumus tersebut.
Menurut definisi klasik: 
c) Perhatikan kejadian : - penumpang akan turun di lantai yang sama. Peristiwa ini memiliki hasil yang menguntungkan dan, menurut definisi klasik, probabilitas yang sesuai: 
.
Kami masuk dari pintu belakang:
b) Perhatikan kejadian: - dua orang akan turun di lantai yang sama (dan, karenanya, yang ketiga ada di sisi lain).
Formulir acara kelompok penuh (Kami yakin tidak ada orang yang tertidur di dalam lift dan lift tidak akan macet, yang artinya.
Hasilnya, probabilitas yang diinginkan adalah:
Dengan demikian, teorema penjumlahan peluang kejadian-kejadian yang membentuk kelompok lengkap, tidak hanya nyaman, tetapi juga menjadi penyelamat nyata!
Menjawab:
Ketika pecahan besar diperoleh, maka dalam kondisi yang baik akan menunjukkan perkiraan nilai desimalnya. Biasanya dibulatkan menjadi 2-3-4 desimal.
Karena kejadian poin “a”, “be”, “ve” membentuk grup yang lengkap, masuk akal untuk melakukan pemeriksaan kontrol, dan lebih baik dengan nilai perkiraan:
Itu yang perlu diperiksa.
Terkadang, karena kesalahan pembulatan, hasilnya mungkin 0,9999 atau 1,0001; dalam hal ini, salah satu nilai perkiraan harus “disesuaikan” sehingga totalnya adalah satuan “murni”.
Sendiri:
Masalah 8
10 uang logam dilempar. Temukan probabilitas bahwa:
a) semua koin akan menunjukkan kepala;
b) 9 koin akan mendaratkan kepala, dan satu koin akan mendaratkan ekor;
c) kepala akan muncul di setengah koin.
Masalah 9
7 orang secara acak duduk di bangku tujuh tempat duduk. Berapa probabilitas bahwa dua orang tertentu akankah mereka berada di dekatnya?
Larutan: Tidak ada masalah dengan jumlah total hasil:
7 orang dapat duduk di bangku dengan cara yang berbeda.
Tapi bagaimana cara menghitung jumlah hasil yang menguntungkan? Rumus sepele tidak cocok dan satu-satunya cara- ini adalah alasan yang logis. Pertama, mari kita perhatikan situasi ketika Sasha dan Masha bersebelahan di tepi kiri bangku cadangan: 
Yang jelas, urutannya penting: Sasha boleh duduk di kiri, Masha di kanan, dan sebaliknya. Tapi bukan itu saja - untuk semua orang Dari dua kasus tersebut, masyarakat lainnya dapat duduk di kursi kosong dengan cara lain. Secara kombinatorial, Sasha dan Masha dapat disusun ulang di tempat yang berdekatan dengan cara berikut: Dan Untuk setiap permutasi seperti itu, orang lain dapat diatur ulang menurut caranya.
Jadi, menurut aturan perkalian kombinasi, hasil yang menguntungkan akan muncul.
Tapi bukan itu saja! Fakta di atas memang benar adanya untuk masing-masing pasangan tempat tetangga: 
Menarik untuk dicatat bahwa jika bangku itu “bulat” (menghubungkan kursi kiri dan kanan), kemudian terbentuk pasangan tempat yang berdekatan ketujuh tambahan. Tapi jangan sampai kita terganggu. Menurut prinsip yang sama dalam mengalikan kombinasi, kita memperoleh jumlah akhir dari hasil yang diinginkan:
Menurut definisi klasik: 
- kemungkinan bahwa dua orang tertentu akan berada di dekatnya.
Menjawab:
Masalah 10
Dua benteng, putih dan hitam, ditempatkan secara acak di papan catur berisi 64 sel. Seberapa besar kemungkinan mereka tidak akan “mengalahkan” satu sama lain?
Referensi: papan catur memiliki ukuran sel; benteng hitam dan putih “saling mengalahkan” ketika mereka berada di peringkat yang sama atau di vertikal yang sama
Pastikan untuk membuat gambar skema papan, dan lebih baik lagi jika ada catur di dekatnya. Berpikir di atas kertas adalah satu hal, dan hal lain lagi jika Anda menyusun potongan-potongan itu dengan tangan Anda sendiri.
Masalah 11
Berapa peluang keempat kartu yang dibagikan berisi satu kartu as dan satu raja?
Mari kita hitung jumlah total hasil. Dalam berapa cara Anda dapat mengeluarkan 4 kartu dari tumpukan kartu? Mungkin semua orang mengerti apa yang sedang kita bicarakan jumlah kombinasi:
dengan menggunakan metode ini Anda dapat memilih 4 kartu dari dek.
Sekarang kami mempertimbangkan hasil yang menguntungkan. Sesuai ketentuan, dalam pemilihan 4 kartu harus ada satu as, satu king dan, yang tidak disebutkan dalam teks biasa - dua kartu lainnya:
Cara mengekstrak satu kartu as;
cara Anda dapat memilih satu raja.
Kami mengecualikan kartu as dan raja dari pertimbangan: 36 - 4 - 4 = 28
cara Anda dapat mengekstrak dua kartu lainnya.
Menurut aturan perkalian kombinasi:
cara Anda dapat mengekstrak kombinasi kartu yang diinginkan (1 As Dan raja pertama Dan dua kartu lainnya).
Izinkan saya mengomentari arti kombinasional notasi tersebut dengan cara lain:
setiap kombinasi ace dengan semua orang raja dan dengan masing-masing kemungkinan pasangan kartu lain.
Menurut definisi klasik: 
- probabilitas bahwa di antara empat kartu yang dibagikan akan ada satu kartu as dan satu raja.
Jika Anda punya waktu dan kesabaran, kurangi pecahan besar sebanyak mungkin.
Menjawab:
Tugas yang lebih sederhana untuk diselesaikan sendiri:
Masalah 12
Kotak itu berisi 15 bagian berkualitas dan 5 bagian rusak. 2 bagian diambil secara acak.
Temukan probabilitas bahwa:
a) kedua bagian tersebut berkualitas tinggi;
b) satu bagian akan berkualitas tinggi, dan satu lagi akan cacat;
c) kedua bagian rusak.
Peristiwa-peristiwa dari poin-poin yang terdaftar membentuk kelompok yang lengkap, jadi pemeriksaan di sini menunjukkan dirinya sendiri. Solusi singkat dan jawaban di akhir pelajaran. Secara umum, hal yang paling menarik baru saja dimulai!
Masalah 13
Siswa mengetahui jawaban atas 25 soal ujian dari 60 soal. Berapa peluang lulus ujian jika Anda harus menjawab minimal 2 dari 3 pertanyaan?
Larutan: Jadi situasinya adalah sebagai berikut: total ada 60 pertanyaan, 25 di antaranya “baik” dan, karenanya, 60 - 25 = 35 “buruk”. Situasinya genting dan tidak berpihak pada siswa. Mari kita cari tahu seberapa besar peluangnya:
cara Anda dapat memilih 3 dari 60 pertanyaan (jumlah total hasil).
Untuk lulus ujian, Anda harus menjawab 2 atau 3 pertanyaan. Kami mempertimbangkan kombinasi yang menguntungkan:
Cara memilih 2 pertanyaan yang “bagus”. Dan yang satu “buruk”;
cara Anda dapat memilih 3 pertanyaan "bagus".
Oleh aturan untuk menambahkan kombinasi:
cara Anda dapat memilih kombinasi 3 pertanyaan yang menguntungkan untuk lulus ujian (tidak ada perbedaan dengan dua atau tiga pertanyaan "bagus").
Menurut definisi klasik: 
Menjawab:
Masalah 14
Seorang pemain poker dibagikan 5 kartu. Temukan probabilitas bahwa:
a) di antara kartu-kartu ini akan ada sepasang puluhan dan sepasang jack;
b) pemain akan dibagikan flush (5 kartu dengan jenis yang sama);
c) pemain akan dibagikan four of a kind (4 kartu dengan nilai yang sama).
Manakah dari kombinasi berikut yang paling mungkin diperoleh?
! Perhatian! Jika kondisi menanyakan pertanyaan serupa, maka jawablah diperlukan memberikan jawaban.
Referensi
: Poker secara tradisional dimainkan dengan setumpuk 52 kartu, yang berisi kartu dengan 4 jenis mulai dari deuces hingga ace.
Poker adalah permainan paling matematis (mereka yang memainkannya mengetahuinya), di mana Anda bisa mendapatkan keuntungan nyata dibandingkan lawan yang kurang berkualitas.
Solusi dan Jawaban:
Tugas 2: Larutan: 30 - 5 = 25 lemari es tidak ada cacat.
- kemungkinan lemari es yang dipilih secara acak tidak mempunyai cacat.
Menjawab
:
Tugas 4: Larutan: temukan jumlah total hasil:
cara Anda dapat memilih tempat di mana nomor yang meragukan itu berada dan pada setiap Dari 4 tempat tersebut, dapat ditemukan 2 digit (tujuh atau delapan). Menurut aturan perkalian kombinasi, jumlah hasil: 
.
Alternatifnya, solusinya cukup dengan mencantumkan semua hasil (untungnya hanya ada sedikit):
7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558
Hanya ada satu hasil yang menguntungkan (kode pin yang benar).
Jadi, menurut definisi klasik:
- kemungkinan pelanggan login pada upaya pertama
Menjawab
:
Tugas 6: Larutan
Tugas 6:Larutan
: temukan jumlah total hasil:
angka dapat muncul pada 2 dadu dengan cara yang berbeda.
a) Perhatikan kejadiannya:
- saat melempar dua dadu, hasil kali poinnya akan sama dengan tujuh. Tidak ada hasil yang menguntungkan untuk acara ini,
, yaitu peristiwa ini tidak mungkin terjadi.
b) Perhatikan kejadiannya:
- saat melempar dua dadu, hasil kali poinnya minimal 20. Hasil berikut mendukung acara ini:
Jumlah: 8
Menurut definisi klasik:
- probabilitas yang diinginkan.
c) Pertimbangkan kejadian yang berlawanan:
- hasil kali poinnya akan genap;
- hasil kali poinnya ganjil.
Mari kita buat daftar semua hasil yang menguntungkan acara tersebut :
Total: 9 hasil yang menguntungkan.
Menurut definisi klasik tentang probabilitas: 
Peristiwa yang berlawanan membentuk satu kelompok yang lengkap, oleh karena itu:
- probabilitas yang diinginkan.
Menjawab
:
Masalah 8:Larutan
cara 2 koin bisa jatuh.
Cara lain: cara koin pertama bisa jatuhDan cara koin ke-2 bisa jatuhDan …
Dan cara koin ke 10 bisa jatuh. Menurut aturan perkalian kombinasi, 10 koin bisa jatuh 
cara.
a) Perhatikan kejadiannya: - semua koin akan menunjukkan kepala. Peristiwa ini disukai oleh satu hasil, menurut definisi klasik tentang probabilitas: .
b) Perhatikan kejadiannya: - 9 koin akan mendaratkan kepala, dan satu koin akan mendaratkan ekor.
Ada koin yang mungkin mendarat di kepala. Menurut definisi klasik tentang probabilitas: 
.
c) Perhatikan kejadiannya: - kepala akan muncul di setengah koin.
Ada 
kombinasi unik dari lima koin yang dapat menghasilkan kepala. Menurut definisi klasik tentang probabilitas: 
Menjawab:
Masalah 10:Larutan
: mari kita hitung jumlah total hasil:
cara untuk menempatkan dua benteng di papan.
Pilihan desain lainnya: 
cara memilih dua kotak papan caturDan
cara menempatkan benteng putih dan hitamdi setiap
dari kasus tahun 2016. Jadi, jumlah total hasil: .
Sekarang mari kita hitung hasil di mana para benteng “mengalahkan” satu sama lain. Mari kita perhatikan garis horizontal pertama. Tentunya angka-angka tersebut dapat ditempatkan di atasnya dengan cara apapun, misalnya seperti ini:
Selain itu, benteng dapat diatur ulang. Mari kita masukkan alasannya ke dalam bentuk numerik: 
cara Anda dapat memilih dua selDan cara untuk mengatur ulang bentengdi setiapdari 28 kasus. Total: 
kemungkinan posisi gambar secara horizontal.
Versi singkat dari desain: cara kalian bisa menempatkan benteng putih dan benteng hitam di peringkat 1.
Alasan di atas ada benarnyauntuk masing-masing
horizontal, jadi jumlah kombinasinya harus dikalikan delapan:
. Selain itu, cerita serupa juga berlaku untuk delapan vertikal mana pun. Mari kita hitung jumlah total formasi di mana bidak-bidaknya “saling mengalahkan”:
Kemudian dalam varian pengaturan lainnya, benteng tidak akan “saling mengalahkan”:
4032 - 896 = 3136
Menurut definisi klasik tentang probabilitas:
- kemungkinan benteng putih dan hitam yang ditempatkan secara acak di papan tidak akan “mengalahkan” satu sama lain.
Menjawab :
Masalah 12:Larutan
: total: 15 + 5 = 20 bagian dalam satu kotak. Mari kita hitung jumlah total hasil:
dengan menggunakan metode ini Anda dapat mengeluarkan 2 bagian dari kotak.
a) Perhatikan kejadiannya: - kedua bagian yang diekstraksi akan berkualitas tinggi.
menggunakan metode ini Anda dapat mengekstrak 2 bagian berkualitas.
Menurut definisi klasik tentang probabilitas: 
b) Perhatikan kejadiannya: - satu bagian akan berkualitas tinggi, dan satu lagi akan cacat.
cara Anda dapat mengekstrak 1 bagian berkualitasDan1 cacat.
Menurut definisi klasik: 
c) Perhatikan kejadiannya: - kedua bagian yang diekstraksi rusak.
dengan menggunakan metode ini Anda dapat menghapus 2 bagian yang rusak.
Menurut definisi klasik: 
Penyelidikan: mari kita hitung jumlah peluang kejadian-kejadian yang membentuk kelompok lengkap: , itulah yang perlu diperiksa.
Menjawab:
Dan sekarang mari kita gunakan alat pembelajaran yang sudah familiar dan bebas masalah - sebuah dadu dengan kelompok penuh acara 
, yang terdiri dari fakta bahwa ketika dilempar, masing-masing akan muncul 1, 2, 3, 4, 5 dan 6 poin.
Bayangkan sebuah peristiwa - sebagai akibat dari pelemparan dadu menggulung setidaknya lima poin. Acara ini terdiri dari dua hasil yang tidak kompatibel: (gulungan 5 atau 6 poin)
- probabilitas bahwa pelemparan dadu akan menghasilkan setidaknya lima poin.
Mari kita pertimbangkan kejadian yang menghasilkan tidak lebih dari 4 poin dan temukan probabilitasnya. Dengan teorema penjumlahan probabilitas kejadian yang tidak kompatibel:
Mungkin sebagian pembaca belum sepenuhnya menyadarinya esensi ketidakcocokan. Mari kita pikirkan lagi: seorang siswa tidak dapat menjawab 2 dari 3 pertanyaan dan pada saat yang sama menjawab semua 3 pertanyaan. Dengan demikian, peristiwa dan peristiwa tersebut tidak sejalan.
Sekarang, menggunakan definisi klasik, mari kita cari probabilitasnya:
Fakta keberhasilan lulus ujian dinyatakan dalam jumlah (jawaban untuk 2 dari 3 pertanyaan atau untuk semua pertanyaan). Menurut teorema penjumlahan peluang kejadian yang tidak sesuai: 
- kemungkinan siswa tersebut lulus ujian.
Solusi ini sepenuhnya setara, pilih mana yang paling Anda sukai.
Masalah 1
Toko menerima produk dalam kotak dari empat gudang grosir: empat dari tanggal 1, lima dari tanggal 2, tujuh dari tanggal 3 dan empat dari tanggal 4. Sebuah kotak yang akan dijual dipilih secara acak. Berapa probabilitas bahwa kotak tersebut berasal dari gudang pertama atau ketiga.
Larutan: total yang diterima toko: 4 + 5 + 7 + 4 = 20 kotak.
Dalam tugas ini, akan lebih mudah menggunakan metode pendaftaran “cepat” tanpa menjadwalkan acara dalam jumlah besar dalam huruf latin. Menurut definisi klasik:
- kemungkinan sebuah kotak dari gudang pertama akan dipilih untuk dijual;
- kemungkinan sebuah kotak dari gudang ke-3 akan dipilih untuk dijual.
Menurut teorema penjumlahan kejadian tak kompatibel:
- kemungkinan sebuah kotak dari gudang pertama atau ketiga akan dipilih untuk dijual.
Menjawab: 0,55
Tentu saja, masalahnya dapat dipecahkan dan diselesaikan secara menyeluruh definisi klasik tentang probabilitas dengan menghitung langsung jumlah hasil yang diinginkan (4 + 7 = 11), namun metode yang dipertimbangkan juga tidak lebih buruk. Dan bahkan lebih jelas.
Masalah 2
Kotak itu berisi 10 tombol merah dan 6 tombol biru. Dua tombol dilepas secara acak. Berapa peluang terambilnya warna yang sama?
Demikian pula - di sini Anda dapat menggunakannya aturan penjumlahan kombinatorial, tapi entahlah... tiba-tiba ada yang lupa. Maka teorema untuk menjumlahkan probabilitas kejadian yang tidak sesuai akan membantu!
Suka atau tidak suka, hidup kita penuh dengan segala macam kecelakaan, baik yang menyenangkan maupun yang tidak menyenangkan. Oleh karena itu, sebaiknya kita masing-masing mengetahui cara mencari peluang suatu kejadian tertentu. Ini akan membantu Anda mengambil keputusan yang tepat dalam keadaan apa pun yang melibatkan ketidakpastian. Misalnya, pengetahuan seperti itu akan sangat berguna ketika memilih pilihan investasi, menilai kemungkinan memenangkan saham atau lotere, menentukan realitas pencapaian tujuan pribadi, dll, dll.
Rumus teori probabilitas
Pada prinsipnya mempelajari topik ini tidak memakan banyak waktu. Untuk mendapatkan jawaban atas pertanyaan: “Bagaimana mencari peluang suatu fenomena?”, Anda perlu memahaminya konsep-konsep kunci dan ingat prinsip dasar yang menjadi dasar perhitungannya. Jadi menurut statistik, kejadian yang diteliti dilambangkan dengan A1, A2,..., An. Masing-masing mempunyai hasil yang menguntungkan (m) dan jumlah total hasil dasar. Misalnya, kita tertarik pada cara mencari peluang banyaknya titik genap di sisi atas kubus. Maka A adalah lemparan m - menghasilkan 2, 4 atau 6 poin (tiga opsi yang menguntungkan), dan n adalah keenam opsi yang memungkinkan.
Rumus perhitungannya sendiri adalah sebagai berikut:
Dengan satu hasil, semuanya menjadi sangat mudah. Tetapi bagaimana cara mencari kemungkinan jika peristiwa terjadi satu demi satu? Perhatikan contoh ini: dari setumpuk kartu(36 buah) Satu kartu diperlihatkan, kemudian disembunyikan kembali ke dalam tumpukan, dan setelah dikocok, kartu berikutnya ditarik keluar. Bagaimana mencari peluang terambilnya ratu sekop setidaknya dalam satu kasus? Ada aturan selanjutnya: Jika Anda mempertimbangkan suatu kejadian kompleks yang dapat dibagi menjadi beberapa kejadian sederhana yang tidak kompatibel, Anda dapat menghitung terlebih dahulu hasil masing-masing kejadian tersebut lalu menjumlahkannya. Dalam kasus kita akan terlihat seperti ini: 1/36 + 1/36 = 1/18. Namun apa jadinya jika beberapa hal terjadi secara bersamaan? Lalu kita kalikan hasilnya! Misalnya, peluang munculnya dua gambar koin secara bersamaan ketika dua buah uang logam dilempar secara bersamaan adalah: ½ * ½ = 0,25.
Sekarang mari kita ambil lebih banyak lagi contoh yang kompleks. Misalkan kita mengikuti lotere buku yang mana sepuluh dari tiga puluh tiketnya menang. Anda perlu menentukan:
- Kemungkinan keduanya akan menjadi pemenang.
- Setidaknya salah satu dari mereka akan membawa hadiah.
- Keduanya akan menjadi pecundang.
Jadi, mari kita pertimbangkan kasus pertama. Ini dapat dibagi menjadi dua acara: tiket pertama akan beruntung, dan tiket kedua juga akan beruntung. Mari kita pertimbangkan bahwa kejadiannya saling bergantung, karena setelah setiap penarikan, jumlah total opsi berkurang. Kami mendapatkan:
10 / 30 * 9 / 29 = 0,1034.
Dalam kasus kedua, Anda perlu menentukan kemungkinan tiket kalah dan memperhitungkan bahwa itu bisa berupa tiket pertama atau kedua: 10/30 * 20/29 + 20/29 * 10/30 = 0,4598.
Terakhir, kasus ketiga, ketika Anda tidak bisa mendapatkan satu buku pun dari lotere: 20/30 * 19/29 = 0,4368.