Saat menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan, sering kali kita perlu memfaktorkan polinomial yang derajatnya tiga atau lebih tinggi. Pada artikel ini kita akan melihat cara termudah untuk melakukan ini.

Seperti biasa, mari beralih ke teori untuk mendapatkan bantuan.

teorema Bezout menyatakan bahwa sisa pembagian polinomial dengan binomial adalah .

Namun yang penting bagi kita bukanlah teorema itu sendiri, melainkan akibat wajar darinya:

Jika bilangan tersebut merupakan akar suatu polinomial, maka polinomial tersebut habis dibagi binomial tanpa sisa.

Kita dihadapkan pada tugas untuk menemukan setidaknya satu akar polinomial, kemudian membagi polinomial tersebut dengan , di mana adalah akar polinomial tersebut. Hasilnya, kita memperoleh polinomial yang derajatnya lebih kecil satu dari derajat aslinya. Dan kemudian, jika perlu, Anda dapat mengulangi prosesnya.

Tugas ini dibagi menjadi dua: cara mencari akar polinomial, dan cara membagi polinomial dengan binomial.

Mari kita lihat lebih dekat poin-poin ini.

1. Cara mencari akar suatu polinomial.

Pertama, kita periksa apakah bilangan 1 dan -1 merupakan akar polinomial.

Fakta-fakta berikut akan membantu kita di sini:

Jika jumlah seluruh koefisien suatu polinomial adalah nol, maka bilangan tersebut adalah akar dari polinomial tersebut.

Misalnya, dalam polinomial, jumlah koefisiennya adalah nol: . Sangat mudah untuk memeriksa apa itu akar polinomial.

Jika jumlah koefisien suatu polinomial pangkat genap sama dengan jumlah koefisien pangkat ganjil, maka bilangan tersebut adalah akar polinomial tersebut. Suku bebas dianggap sebagai koefisien derajat genap, karena a adalah bilangan genap.

Misalnya, dalam polinomial, jumlah koefisien pangkat genap adalah: , dan jumlah koefisien pangkat ganjil adalah: . Sangat mudah untuk memeriksa apa itu akar polinomial.

Jika 1 dan -1 bukan merupakan akar polinomial, maka kita lanjutkan.

Untuk derajat polinomial tereduksi (yaitu, polinomial yang koefisien utamanya - koefisien pada - sama dengan satu), rumus Vieta berlaku:

Dimana akar polinomialnya.

Ada juga rumus Vieta mengenai sisa koefisien polinomial, namun kami tertarik dengan rumus ini.

Dari formula Vieta ini dapat disimpulkan bahwa jika akar-akar suatu polinomial adalah bilangan bulat, maka akar-akar tersebut adalah pembagi suku bebasnya, yang juga merupakan bilangan bulat.

Berdasarkan ini, kita perlu memfaktorkan suku bebas polinomial tersebut menjadi faktor-faktornya, dan secara berurutan, dari yang terkecil hingga yang terbesar, memeriksa faktor mana yang merupakan akar dari polinomial tersebut.

Misalnya saja polinomial

Pembagi istilah bebas: ;

;

;

Jumlah semua koefisien suatu polinomial sama dengan , oleh karena itu, angka 1 bukanlah akar dari polinomial tersebut.

Jumlah koefisien pangkat genap:

Jumlah koefisien pangkat ganjil:

Oleh karena itu, bilangan -1 juga bukan merupakan akar polinomial.

Mari kita periksa apakah bilangan 2 adalah akar polinomial: oleh karena itu, bilangan 2 adalah akar polinomial. Artinya, menurut teorema Bezout, polinomial habis dibagi binomial tanpa sisa.

2. Cara membagi polinomial menjadi binomial.

Polinomial dapat dibagi menjadi binomial dengan kolom.

Bagilah polinomial dengan binomial menggunakan kolom: Ada cara lain untuk membagi polinomial dengan binomial - skema Horner.

Tonton video ini untuk memahaminya

cara membagi polinomial dengan binomial dengan kolom, dan menggunakan diagram Horner.

Saya perhatikan bahwa jika, ketika membagi dengan kolom, beberapa derajat yang tidak diketahui hilang dalam polinomial aslinya, kita menulis 0 sebagai gantinya - dengan cara yang sama seperti ketika menyusun tabel untuk skema Horner. Jadi, jika kita perlu membagi polinomial dengan binomial dan sebagai hasil pembagian kita mendapatkan polinomial, maka kita dapat mencari koefisien polinomial tersebut menggunakan skema Horner: Kita juga bisa menggunakan

Skema Horner

untuk memeriksa apakah suatu bilangan merupakan akar suatu polinomial: jika bilangan tersebut adalah akar suatu polinomial, maka sisa pembagian polinomial tersebut dengan sama dengan nol, yaitu pada kolom terakhir dari baris kedua dari Diagram Horner kita mendapatkan 0. Dengan menggunakan skema Horner, kita "membunuh dua burung dengan satu batu": kita secara bersamaan memeriksa apakah bilangan tersebut merupakan akar dari polinomial dan membagi polinomial ini dengan binomial.

Contoh.

Selesaikan persamaan:

1. Mari kita tuliskan pembagi suku bebas dan mencari akar-akar polinomial di antara pembagi suku bebas tersebut.

Pembagi 24:

2. Mari kita periksa apakah bilangan 1 adalah akar dari polinomial.

Jumlah koefisien suatu polinomial, oleh karena itu, angka 1 adalah akar dari polinomial tersebut.

3. Bagilah polinomial asal menjadi binomial menggunakan skema Horner.

A) Mari kita tuliskan koefisien polinomial asal pada baris pertama tabel.

Karena suku yang memuatnya tidak ada, maka pada kolom tabel yang harus dituliskan koefisiennya kita tulis 0. Di sebelah kiri kita tulis akar yang ditemukan: bilangan 1.

B) Isi baris pertama tabel.

B) Mari kita lanjutkan tabelnya. Mari kita periksa apakah bilangan 2 adalah akar polinomial:

Jadi derajat polinomial yang diperoleh dari hasil pembagian satu lebih kecil dari derajat polinomial aslinya, oleh karena itu jumlah koefisien dan jumlah kolomnya lebih sedikit satu.

Di kolom terakhir kita mendapat -40 - bilangan yang tidak sama dengan nol, oleh karena itu polinomial habis dibagi binomial dengan sisa, dan bilangan 2 bukan akar polinomial.

C) Mari kita periksa apakah bilangan -2 adalah akar polinomial. Karena upaya sebelumnya gagal, untuk menghindari kebingungan dengan koefisien, saya akan menghapus baris yang sesuai dengan upaya ini:

Besar! Kita mendapat nol sebagai sisa, oleh karena itu polinomial tersebut habis dibagi binomial tanpa sisa, oleh karena itu bilangan -2 adalah akar dari polinomial tersebut. Koefisien polinomial yang diperoleh dengan membagi polinomial dengan binomial ditunjukkan dalam tabel dengan warna hijau.

Sebagai hasil pembagian kita mendapatkan trinomial kuadrat , yang akarnya dapat dengan mudah ditemukan menggunakan teorema Vieta:

Jadi, akar-akar persamaan aslinya adalah:

{}

Menjawab: ( }

Geser 3

Horner Williams George (1786-22.9.1837) - matematikawan Inggris. Lahir di Bristol. Dia belajar dan bekerja di sana, lalu di sekolah di Bath. Karya dasar tentang aljabar. Pada tahun 1819 menerbitkan metode perhitungan perkiraan akar riil suatu polinomial, yang sekarang disebut metode Ruffini-Horner (metode ini dikenal orang Cina pada abad ke-13). Skema pembagian polinomial dengan binomial xa diberi nama setelah Horner.

Geser 4

SKEMA HORNER

Suatu cara membagi polinomial derajat ke-n dengan binomial linier - a, berdasarkan fakta bahwa koefisien hasil bagi tidak lengkap dan sisanya berhubungan dengan koefisien polinomial yang dibagi dan dengan rumus:

Geser 5

Perhitungan menurut skema Horner ditempatkan pada tabel:

Contoh 1. Bagilah Hasil bagi parsial adalah x3-x2+3x - 13 dan sisanya adalah 42=f(-3).

Geser 6

Keuntungan utama metode ini adalah notasi yang kompak dan kemampuan membagi polinomial menjadi binomial dengan cepat. Faktanya, skema Horner adalah bentuk lain dari pencatatan metode pengelompokan, meskipun, tidak seperti yang terakhir, skema ini sepenuhnya non-visual. Jawabannya (faktorisasi) di sini diperoleh dengan sendirinya, dan kita tidak melihat proses memperolehnya. Kami tidak akan membahas secara mendalam skema Horner, namun hanya akan menunjukkan cara kerjanya.

Geser 7

Contoh 2.

Mari kita buktikan bahwa polinomial P(x)=x4-6x3+7x-392 habis dibagi x-7, dan tentukan hasil bagi pembagiannya. Larutan. Dengan menggunakan skema Horner, kita menemukan P(7): Dari sini kita memperoleh P(7)=0, yaitu. sisa pembagian polinomial dengan x-7 sama dengan nol dan oleh karena itu, polinomial P(x) adalah kelipatan (x-7). hasil bagi P(x) dibagi (x-7), sehingga P(x)=(x-7)(x3+x2+7x+56).

Geser 8

Faktorkan polinomial x3 – 5x2 – 2x + 16.

Polinomial ini memiliki koefisien bilangan bulat. Jika suatu bilangan bulat adalah akar dari polinomial ini, maka ia adalah pembagi dari bilangan 16. Jadi, jika suatu polinomial tertentu mempunyai akar bilangan bulat, maka bilangan tersebut hanya dapat berupa bilangan ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. Dengan verifikasi langsung kita yakin bahwa bilangan 2 adalah akar dari polinomial tersebut, yaitu x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)Q(x), dimana Q(x) adalah polinomial derajat kedua

Geser 9

Angka yang dihasilkan 1, −3, −8 adalah koefisien polinomial yang diperoleh dengan membagi polinomial asal dengan x – 2. Artinya hasil pembagiannya adalah: 1 x2 + (–3)x + ( –8) = x2 – 3x – 8. Derajat polinomial hasil pembagian selalu lebih kecil 1 dari derajat polinomial aslinya. Jadi: x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)(x2 – 3x – 8).

Skema Horner - metode membagi polinomial

$$P_n(x)=\jumlah\batas_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n)+a_(1)x^(n-1 )+a_(2)x^(n-2)+\ltitik+a_(n-1)x+a_n$$

pada binomial $x-a$. Anda harus bekerja dengan sebuah tabel, baris pertama berisi koefisien polinomial tertentu. Elemen pertama pada baris kedua adalah bilangan $a$, yang diambil dari binomial $x-a$:

Setelah membagi polinomial berderajat ke-n dengan binomial $x-a$, kita memperoleh polinomial yang derajatnya lebih kecil satu dari polinomial aslinya, yaitu. sama dengan $n-1$. Penerapan langsung skema Horner paling mudah ditunjukkan dengan contoh.

Contoh No.1

Bagilah $5x^4+5x^3+x^2-11$ dengan $x-1$ menggunakan skema Horner.

Mari kita buat tabel yang terdiri dari dua baris: pada baris pertama kita tuliskan koefisien polinomial $5x^4+5x^3+x^2-11$, disusun dalam urutan pangkat variabel $x$. Perhatikan bahwa polinomial ini tidak mengandung $x$ sampai derajat pertama, yaitu. koefisien $x$ pangkat pertama adalah 0. Karena kita membaginya dengan $x-1$, kita tuliskan satu pada baris kedua:

Mari kita mulai mengisi sel kosong di baris kedua. Di sel kedua dari baris kedua kita menulis angka $5$, cukup dengan memindahkannya dari sel yang sesuai di baris pertama:

Mari kita isi sel berikutnya sesuai dengan prinsip ini: $1\cdot 5+5=10$:

Mari kita isi sel keempat dari baris kedua dengan cara yang sama: $1\cdot 10+1=11$:

Untuk sel kelima kita mendapatkan: $1\cdot 11+0=11$:

Dan terakhir, untuk sel keenam yang terakhir, kita memiliki: $1\cdot 11+(-11)=0$:

Masalahnya selesai, tinggal menuliskan jawabannya:

Seperti yang Anda lihat, angka-angka yang terletak di baris kedua (antara satu dan nol) adalah koefisien polinomial yang diperoleh setelah membagi $5x^4+5x^3+x^2-11$ dengan $x-1$. Tentu saja, karena derajat polinomial awal $5x^4+5x^3+x^2-11$ sama dengan empat, maka derajat polinomial yang dihasilkan $5x^3+10x^2+11x+11$ adalah kurang satu, yaitu. sama dengan tiga. Angka terakhir pada baris kedua (nol) berarti sisa pembagian polinomial $5x^4+5x^3+x^2-11$ dengan $x-1$. Dalam kasus kami, sisanya adalah nol, yaitu. polinomial habis dibagi rata. Hasil ini juga dapat dicirikan sebagai berikut: nilai polinomial $5x^4+5x^3+x^2-11$ untuk $x=1$ sama dengan nol.

Kesimpulannya juga dapat dirumuskan dalam bentuk ini: karena nilai polinomial $5x^4+5x^3+x^2-11$ pada $x=1$ sama dengan nol, maka kesatuan adalah akar dari polinomial tersebut $5x^4+5x^3+ x^2-11$.

Contoh No.2

Bagilah polinomial $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ dengan $x+3$ menggunakan skema Horner.

Mari kita segera menetapkan bahwa ekspresi $x+3$ harus disajikan dalam bentuk $x-(-3)$. Skema Horner akan melibatkan $-3$. Karena derajat polinomial asli $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ sama dengan empat, maka sebagai hasil pembagian kita memperoleh polinomial derajat ketiga:

Hasilnya berarti itu

$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(x+3)(x^3+0\cdot x^2 +4x-17)+4=(x+3)(x^ 3+4x-17)+4$$

Dalam situasi ini, sisa pembagian $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ dengan $x+3$ adalah $4$. Atau sama saja, nilai polinomial $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ untuk $x=-3$ sama dengan $4$. Omong-omong, ini mudah untuk diperiksa ulang dengan langsung mensubstitusi $x=-3$ ke dalam polinomial yang diberikan:

$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(-3)^4+3 \cdot (-3)^3-5 \cdot (-3)-47=4.$$

Itu. Skema Horner dapat digunakan jika Anda perlu mencari nilai polinomial untuk nilai variabel tertentu. Jika tujuan kita adalah mencari semua akar suatu polinomial, maka skema Horner dapat diterapkan beberapa kali berturut-turut hingga semua akarnya habis, seperti yang dibahas pada contoh No.3.

Contoh No.3

Temukan semua akar bilangan bulat dari polinomial $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ menggunakan skema Horner.

Koefisien polinomial yang dimaksud adalah bilangan bulat, dan koefisien pangkat tertinggi variabel (yaitu $x^6$) sama dengan satu. Dalam hal ini, akar bilangan bulat dari polinomial harus dicari di antara pembagi suku bebasnya, yaitu. di antara pembagi bilangan 45. Untuk polinomial tertentu, akar-akar tersebut dapat berupa bilangan $45; \; 15; \; 9; \; 5; \; 3; \; $1 dan $-45; \; -15; \; -9; \; -5; \; -3; \; -1$. Mari kita periksa, misalnya, angka $1$:

Seperti yang Anda lihat, nilai polinomial $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ dengan $x=1$ sama dengan $192$ (angka terakhir di baris kedua), dan bukan $0 $, oleh karena itu kesatuan bukanlah akar dari polinomial ini. Karena pemeriksaan gagal, mari kita periksa nilainya $x=-1$. Kami tidak akan membuat tabel baru untuk ini, tetapi akan terus menggunakan tabel tersebut. No 1, menambahkan baris baru (ketiga) ke dalamnya. Baris kedua, di mana nilai $1$ dicentang, akan disorot dengan warna merah dan tidak akan digunakan dalam diskusi lebih lanjut.

Anda tentu saja dapat menulis ulang tabel tersebut, tetapi mengisinya secara manual akan memakan banyak waktu. Selain itu, mungkin ada beberapa nomor yang verifikasinya gagal, dan sulit untuk menulis tabel baru setiap saat. Saat menghitung “di atas kertas”, garis merah cukup dicoret.

Jadi, nilai polinomial $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ pada $x=-1$ sama dengan nol, yaitu angka $-1$ adalah akar dari polinomial ini. Setelah membagi polinomial $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ dengan binomial $x-(-1)=x+1$ kita memperoleh polinomial $x ^5+x ^4-22x^3+2x^2+69x+45$, yang koefisiennya diambil dari baris ketiga tabel. No.2 (lihat contoh No.1). Hasil perhitungannya juga dapat disajikan dalam bentuk berikut:

\begin(persamaan)x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x^3+2x^2 +69x+45)\end(persamaan)

Mari lanjutkan pencarian akar bilangan bulat. Sekarang kita perlu mencari akar-akar polinomial $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. Sekali lagi, akar bilangan bulat dari polinomial ini dicari di antara pembagi suku bebasnya, yaitu bilangan $45$. Mari kita coba periksa kembali nomor $-1$. Kami tidak akan membuat tabel baru, tetapi akan tetap menggunakan tabel sebelumnya. No.2, yaitu. Mari tambahkan satu baris lagi ke dalamnya:

Jadi, bilangan $-1$ adalah akar dari polinomial $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. Hasil ini dapat ditulis seperti ini:

\begin(persamaan)x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45=(x+1)(x^4-22x^2+24x+45) \end(persamaan)

Dengan memperhatikan persamaan (2), persamaan (1) dapat ditulis ulang menjadi bentuk berikut:

\begin(persamaan)\begin(sejajar) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x ^2+2x^2+69x+45)=\\ & =(x+1)(x+1)(x^4-22x^2+24x+45)=(x+1)^2(x^ 4-22x^2+24x+45)\end(sejajar)\end(persamaan)

Sekarang kita perlu mencari akar-akar polinomial $x^4-22x^2+24x+45$, tentu saja, di antara pembagi suku bebasnya (angka $45$). Mari kita periksa kembali angka $-1$:

Bilangan $-1$ adalah akar polinomial $x^4-22x^2+24x+45$. Hasil ini dapat ditulis seperti ini:

\begin(persamaan)x^4-22x^2+24x+45=(x+1)(x^3-x^2-21x+45) \end(persamaan)

Dengan memperhatikan persamaan (4), kita menulis ulang persamaan (3) menjadi bentuk berikut:

\begin(persamaan)\begin(sejajar) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)^2(x^4-22x^3 +24x+45)= \\ & =(x+1)^2(x+1)(x^3-x^2-21x+45)=(x+1)^3(x^3-x^ 2-21x+45)\end(sejajar)\end(persamaan)

Sekarang kita mencari akar-akar polinomial $x^3-x^2-21x+45$. Mari kita periksa kembali angka $-1$:

Pemeriksaan berakhir dengan kegagalan. Mari kita sorot baris keenam dengan warna merah dan coba periksa nomor lain, misalnya nomor $3$:

Sisanya adalah nol, oleh karena itu bilangan $3$ adalah akar dari polinomial yang dimaksud. Jadi $x^3-x^2-21x+45=(x-3)(x^2+2x-15)$. Sekarang persamaan (5) dapat ditulis ulang sebagai berikut.

Dengan program matematika ini Anda dapat membagi polinomial berdasarkan kolom.
Program pembagian polinomial dengan polinomial tidak sekedar memberikan jawaban soal, tetapi juga memberikan solusi detail disertai penjelasan, yaitu. menampilkan proses penyelesaian untuk menguji pengetahuan matematika dan/atau aljabar.

Program ini dapat bermanfaat bagi siswa sekolah menengah atas di sekolah pendidikan umum ketika mempersiapkan ujian dan ujian, ketika menguji pengetahuan sebelum Ujian Negara Bersatu, dan bagi orang tua untuk mengontrol penyelesaian berbagai masalah matematika dan aljabar.

Atau mungkin terlalu mahal bagi Anda untuk menyewa seorang tutor atau membeli buku pelajaran baru? Atau apakah Anda hanya ingin menyelesaikan pekerjaan rumah matematika atau aljabar Anda secepat mungkin? Dalam hal ini, Anda juga dapat menggunakan program kami dengan solusi terperinci.

Dengan demikian, Anda dapat melakukan pembinaan sendiri dan/atau pembinaan adik-adik Anda, sehingga tingkat pendidikan di bidang pemecahan masalah semakin meningkat. Jika Anda membutuhkan atau menyederhanakan polinomial atau kalikan polinomial

, maka untuk ini kita memiliki program tersendiri Penyederhanaan (perkalian) suatu polinomial

Misalnya: x^2-3x+5

Misalnya: 3x-1

Bagilah polinomial
Anda mungkin mengaktifkan AdBlock.
Dalam hal ini, nonaktifkan dan segarkan halaman.

JavaScript dinonaktifkan di browser Anda.
Agar solusinya muncul, Anda perlu mengaktifkan JavaScript.
Berikut adalah petunjuk tentang cara mengaktifkan JavaScript di browser Anda.

Karena Ada banyak orang yang bersedia menyelesaikan masalah, permintaan Anda telah diantri.
Dalam beberapa detik solusinya akan muncul di bawah.
Harap tunggu detik...

Jika kamu melihat kesalahan dalam solusi, lalu Anda dapat menulis tentang hal ini di Formulir Masukan.
Jangan lupa menunjukkan tugas yang mana Anda memutuskan apa masuk ke dalam kolom.

Game, teka-teki, emulator kami:

Sedikit teori.

Membagi polinomial menjadi polinomial (binomial) dengan kolom (sudut)

Dalam aljabar membagi polinomial dengan kolom (sudut)- algoritma untuk membagi polinomial f(x) dengan polinomial (binomial) g(x), yang derajatnya lebih kecil atau sama dengan derajat polinomial f(x).

Algoritme pembagian polinomial demi polinomial adalah bentuk umum pembagian kolom bilangan yang dapat dengan mudah diimplementasikan dengan tangan.

Untuk setiap polinomial \(f(x) \) dan \(g(x) \), \(g(x) \neq 0 \), terdapat polinomial unik \(q(x) \) dan \(r( x ) \), sedemikian rupa sehingga
\(\frac(f(x))(g(x)) = q(x)+\frac(r(x))(g(x)) \)
dan \(r(x)\) memiliki derajat lebih rendah dari \(g(x)\).

Tujuan dari algoritma pembagian polinomial menjadi kolom (sudut) adalah untuk mencari hasil bagi \(q(x) \) dan sisanya \(r(x) \) untuk dividen tertentu \(f(x) \) dan pembagi bukan nol \(g(x) \)

Contoh

Mari kita bagi satu polinomial dengan polinomial lainnya (binomial) menggunakan kolom (sudut):
\(\besar \frac(x^3-12x^2-42)(x-3) \)

Hasil bagi dan sisa polinomial tersebut dapat dicari dengan melakukan langkah-langkah berikut:
1. Bagilah unsur pertama pembagi dengan unsur pembagi tertinggi, letakkan hasilnya di bawah garis \((x^3/x = x^2)\)

\(X\) \(-3 \) \(x^2\)

3. Kurangi polinomial hasil perkalian dari pembagi, tuliskan hasilnya di bawah garis \((x^3-12x^2+0x-42-(x^3-3x^2)=-9x^2+0x- 42) \)

\(x^3\) \(-12x^2\) \(+0x\) \(-42 \) \(x^3\) \(-3x^2\) \(-9x^2\) \(+0x\) \(-42 \)

\(X\) \(-3 \) \(x^2\)

4. Ulangi 3 langkah sebelumnya, dengan menggunakan polinomial yang tertulis di bawah garis sebagai pembagiannya.

\(x^3\) \(-12x^2\) \(+0x\) \(-42 \) \(x^3\) \(-3x^2\) \(-9x^2\) \(+0x\) \(-42 \) \(-9x^2\) \(+27x\) \(-27x\) \(-42 \)

\(X\) \(-3 \) \(x^2\) \(-9x\)

5. Ulangi langkah 4.

\(x^3\) \(-12x^2\) \(+0x\) \(-42 \) \(x^3\) \(-3x^2\) \(-9x^2\) \(+0x\) \(-42 \) \(-9x^2\) \(+27x\) \(-27x\) \(-42 \) \(-27x\) \(+81 \) \(-123 \)

\(X\) \(-3 \) \(x^2\) \(-9x\) \(-27 \)

6. Akhir dari algoritma.
Jadi, polinomial \(q(x)=x^2-9x-27\) adalah hasil bagi pembagian polinomial, dan \(r(x)=-123\) adalah sisa pembagian polinomial.

Hasil pembagian polinomial dapat ditulis sebagai dua persamaan:
\(x^3-12x^2-42 = (x-3)(x^2-9x-27)-123\)
atau
\(\besar(\frac(x^3-12x^2-42)(x-3)) = x^2-9x-27 + \besar(\frac(-123)(x-3)) \)

Tujuan pelajaran:

• mengajar siswa untuk menyelesaikan persamaan derajat yang lebih tinggi menggunakan skema Horner;
• mengembangkan kemampuan bekerja berpasangan;
• menciptakan, bersama dengan bagian-bagian utama kursus, suatu dasar untuk mengembangkan kemampuan siswa;
• membantu siswa menilai potensinya, mengembangkan minat terhadap matematika, kemampuan berpikir, dan mengutarakan topik.

Peralatan: kartu untuk kerja kelompok, poster dengan diagram Horner.

Metode Pengajaran: ceramah, cerita, penjelasan, melakukan latihan latihan.

Bentuk kontrol: memeriksa solusi mandiri masalah, kerja mandiri.

Kemajuan pelajaran

1. Momen organisasi

2. Memperbarui pengetahuan siswa

Teorema apa yang memungkinkan Anda menentukan apakah suatu bilangan merupakan akar persamaan tertentu (merumuskan teorema)?

teorema Bezout. Sisa pembagian polinomial P(x) dengan binomial x-c sama dengan P(c), bilangan c disebut akar polinomial P(x) jika P(c)=0. Teorema ini memungkinkan, tanpa melakukan operasi pembagian, untuk menentukan apakah suatu bilangan tertentu merupakan akar dari suatu polinomial.

Pernyataan apa yang memudahkan pencarian akar?

a) Jika koefisien terdepan suatu polinomial sama dengan satu, maka akar-akar polinomial tersebut harus dicari di antara pembagi suku bebasnya.

b) Jika jumlah koefisien suatu polinomial adalah 0, maka salah satu akarnya adalah 1.

c) Jika jumlah koefisien di tempat genap sama dengan jumlah koefisien di tempat ganjil, maka salah satu akarnya sama dengan -1.

d) Jika semua koefisiennya positif, maka akar-akar polinomialnya adalah bilangan negatif.

e) Suatu polinomial berderajat ganjil mempunyai paling sedikit satu akar real.

3. Mempelajari materi baru

Saat menyelesaikan seluruh persamaan aljabar, Anda harus mencari nilai akar polinomial. Operasi ini dapat disederhanakan secara signifikan jika perhitungan dilakukan menggunakan algoritma khusus yang disebut skema Horner. Sirkuit ini dinamai ilmuwan Inggris William George Horner. Skema Horner adalah algoritma untuk menghitung hasil bagi dan sisa pembagian polinomial P(x) dengan x-c. Secara singkat cara kerjanya.

Misalkan diberikan polinomial sembarang P(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + …+ a n-1 x+ a n. Membagi polinomial ini dengan x-c adalah representasinya dalam bentuk P(x)=(x-c)g(x) + r(x). Parsial g(x)=dalam 0 x n-1 + dalam n x n-2 +…+dalam n-2 x + dalam n-1, di mana dalam 0 =a 0, dalam n =st n-1 +an , n =1,2,3,…n-1. Sisa r(x)= st n-1 +an. Metode perhitungan ini disebut skema Horner. Kata “skema” pada nama algoritma disebabkan karena implementasinya biasanya diformat sebagai berikut. Pertama, gambar tabel 2(n+2). Di sel kiri bawah tulis angka c, dan di baris atas koefisien polinomial P(x). Dalam hal ini, sel kiri atas dibiarkan kosong.

	dalam 0 =a 0	dalam 1 =st 1 +a 1	dalam 2 = sv 1 + A 2		di n-1 =st n-2 +a n-1	r(x)=f(c)=st n-1 +an

Bilangan yang setelah dijalankan algoritmanya ternyata ditulis di sel kanan bawah adalah sisa pembagian polinomial P(x) dengan x-c. Angka-angka lain dalam 0, dalam 1, dalam 2,... pada baris terbawah adalah koefisien hasil bagi.

Contoh: Bagilah polinomial P(x)= x 3 -2x+3 dengan x-2.

Kita peroleh bahwa x 3 -2x+3=(x-2) (x 2 +2x+2) + 7.

4. Konsolidasi materi yang dipelajari

Contoh 1: Faktorkan polinomial P(x)=2x4-7x 3 -3x 2 +5x-1 menjadi faktor-faktor dengan koefisien bilangan bulat.

Kami mencari akar utuh di antara pembagi suku bebas -1:1; -1. Mari kita buat tabelnya:

X = -1 – akar

P(x)= (x+1) (2x 3 -9x 2 +6x -1)

Mari kita periksa 1/2.

					X=1/2 - akar

Oleh karena itu, polinomial P(x) dapat direpresentasikan dalam bentuk

P(x)= (x+1) (x-1/2) (x 2 -8x +2) = (x+1) (2x -1) (x 2 - 4x +1)

Contoh 2: Selesaikan persamaan 2x 4 - 5x 3 + 5x 2 - 2 = 0

Karena jumlah koefisien polinomial yang ditulis di sisi kiri persamaan sama dengan nol, maka salah satu akarnya adalah 1. Mari kita gunakan skema Horner:

						X=1 - akar

Kita peroleh P(x)=(x-1) (2x 3 -3x 2 =2x +2). Kita akan mencari akar-akar di antara pembagi suku bebas 2.

Kami menemukan bahwa tidak ada lagi akar yang utuh. Mari kita periksa 1/2; -1/2.

					X= -1/2 - akar

Jawaban: 1; -1/2.

Contoh 3: Selesaikan persamaan 5x 4 – 3x 3 – 4x 2 -3x+ 5 = 0.

Kita akan mencari akar persamaan ini di antara pembagi suku bebas 5:1;-1;5;-5. x=1 adalah akar persamaan, karena jumlah koefisiennya nol. Mari kita gunakan skema Horner:

Mari kita nyatakan persamaan tersebut sebagai hasil kali tiga faktor: (x-1) (x-1) (5x 2 -7x + 5) = 0. Menyelesaikan persamaan kuadrat 5x 2 -7x+5=0, kita mendapatkan D=49-100=-51, tidak ada akar.

Kartu 1

1. Faktorkan polinomialnya: x 4 +3x 3 -5x 2 -6x-8
2. Selesaikan persamaan: 27x 3 -15x 2 +5x-1=0

Kartu 2

1. Faktorkan polinomialnya: x 4 - x 3 -7x 2 +13x-6
2. Selesaikan persamaan: x 4 +2x 3 -13x 2 -38x-24=0

Kartu 3

1. Faktorkan menjadi: 2x 3 -21x 2 +37x+24
2. Selesaikan persamaan: x 3 -2x 2 +4x-8=0

Kartu 4

1. Faktorkan menjadi: 5x 3 -46x 2 +79x-14
2. Selesaikan persamaan: x 4 +5x 3 +5x 2 -5x-6=0

5. Menyimpulkan

Pengujian pengetahuan pada penyelesaian berpasangan dilakukan di kelas dengan mengenal metode tindakan dan nama jawabannya.

Pekerjaan rumah:

Selesaikan persamaan:

a) x 4 -3x 3 +4x 2 -3x+1=0

b) 5x 4 -36x 3 +62x 2 -36x+5=0

c) x 4 + x 3 + x + 1 = 4x 2

d) x 4 +2x 3 -x-2=0

Literatur

1. N.Ya. Vilenkin dkk., Aljabar dan permulaan analisis, kelas 10 (studi mendalam matematika): Pencerahan, 2005.
2. UI Sakharchuk, L.S. Sagatelova, Solusi persamaan derajat yang lebih tinggi: Volgograd, 2007.
3. S.B. Gashkov, Sistem bilangan dan penerapannya.