Cara menulis probabilitas. Turun dengan ketidakpastian, atau bagaimana menemukan probabilitas
Ini adalah perbandingan jumlah observasi di mana peristiwa tersebut terjadi dengan jumlah total observasi. Penafsiran ini dapat diterima dalam hal mencukupi jumlah besar pengamatan atau percobaan. Misalnya, jika sekitar setengah dari orang yang Anda temui di jalan adalah perempuan, maka Anda dapat mengatakan bahwa peluang orang yang Anda temui di jalan adalah perempuan adalah 1/2. Dengan kata lain, perkiraan probabilitas suatu peristiwa dapat berupa frekuensi kejadiannya dalam serangkaian pengulangan independen yang panjang dari suatu eksperimen acak.
Probabilitas dalam matematika
Dalam pendekatan matematika modern, probabilitas klasik (yaitu, bukan kuantum) diberikan oleh aksiomatik Kolmogorov. Probabilitas adalah sebuah ukuran P, yang ditentukan di set X, disebut ruang probabilitas. Ukuran ini harus memiliki sifat-sifat berikut:
Dari kondisi tersebut maka probabilitas diukur P juga memiliki properti tersebut aditif: jika set A 1 dan A 2 jangan berpotongan, kalau begitu. Untuk membuktikannya, Anda perlu memasukkan semuanya A 3 , A 4 , ... sama dengan himpunan kosong dan menerapkan properti aditif yang dapat dihitung.
Ukuran probabilitas mungkin tidak ditentukan untuk semua himpunan bagian X. Cukup dengan mendefinisikannya pada aljabar sigma, yang terdiri dari beberapa himpunan bagian dari himpunan X. Dalam hal ini, peristiwa acak didefinisikan sebagai himpunan bagian ruang yang dapat diukur X, yaitu sebagai elemen aljabar sigma.
Arti probabilitas
Ketika kami menemukan bahwa alasan untuk beberapa fakta yang mungkin terjadi sebenarnya lebih besar daripada alasan sebaliknya, kami mempertimbangkan fakta tersebut mungkin, jika tidak - menakjubkan. Jumlah basa positif yang lebih banyak dibandingkan basa negatif, dan sebaliknya, dapat mewakili serangkaian derajat yang tidak terbatas, sebagai akibatnya kemungkinan(Dan ketidakmungkinan) Itu terjadi lagi atau lebih sedikit .
Fakta tunggal yang kompleks tidak memungkinkan perhitungan yang akurat derajat kemungkinannya, namun bahkan di sini penting untuk menetapkan beberapa divisi besar. Jadi, misalnya, dalam bidang hukum, ketika suatu fakta pribadi yang diadili ditetapkan berdasarkan kesaksian, faktanya, sebenarnya, selalu hanya mungkin, dan perlu diketahui seberapa signifikan kemungkinan tersebut; dalam hukum Romawi, pembagian empat kali lipat diadopsi di sini: sidang percobaan(di mana probabilitasnya secara praktis berubah menjadi keandalan), Kemudian - masa percobaan dikurangi sidang pleno, Kemudian - masa percobaan semiplena mayor dan akhirnya masa percobaan semiplena minor .
Selain pertanyaan tentang kemungkinan terjadinya suatu kasus, mungkin timbul pertanyaan, baik dalam bidang hukum maupun dalam bidang moral (dengan sudut pandang etika tertentu), tentang seberapa besar kemungkinan suatu fakta tertentu merupakan suatu kasus. pelanggaran terhadap hukum umum. Pertanyaan ini, yang menjadi motif utama dalam yurisprudensi agama Talmud, juga memunculkan teologi moral Katolik Roma (terutama dengan akhir XVI abad) konstruksi sistematis yang sangat kompleks dan literatur yang sangat banyak, dogmatis dan polemik (lihat Probabilisme).
Konsep probabilitas memungkinkan adanya ekspresi numerik tertentu bila diterapkan hanya pada fakta-fakta yang merupakan bagian dari fakta tertentu seri homogen. Jadi (dalam contoh paling sederhana), ketika seseorang melempar sebuah koin seratus kali berturut-turut, di sini kita menemukan satu deret umum atau deret besar (jumlah seluruh jatuhnya koin), yang terdiri dari dua deret tertentu atau lebih kecil, di dalam hal ini baris yang jumlahnya sama (jatuhnya "kepala" dan jatuhnya "ekor"); Peluang bahwa kali ini koin tersebut akan mendarat dengan kepala, yaitu anggota baru dari deret umum tersebut akan termasuk dalam dua deret yang lebih kecil, sama dengan pecahan yang menyatakan hubungan numerik antara deret kecil ini dan deret yang lebih besar, yaitu 1/2, artinya peluang yang sama dimiliki oleh salah satu dari dua rangkaian tertentu. Dalam waktu kurang contoh sederhana kesimpulannya tidak dapat ditarik langsung dari data permasalahan itu sendiri, melainkan memerlukan induksi awal. Jadi, misalnya, pertanyaannya adalah: berapa peluang seorang bayi baru lahir untuk hidup sampai usia 80 tahun? Di sini harus ada rangkaian umum atau besar nomor yang diketahui orang yang lahir dalam kondisi serupa dan meninggal di dalamnya pada usia yang berbeda(jumlah ini harus cukup besar untuk menghilangkan penyimpangan acak, dan cukup kecil untuk menjaga homogenitas rangkaian, karena untuk seseorang yang lahir, misalnya, di St. Petersburg dalam keluarga budaya kaya, seluruh juta penduduk negara tersebut kota, yang sebagian besar terdiri dari berbagai kelompok yang mungkin meninggal sebelum waktunya - tentara, jurnalis, pekerja dalam profesi berbahaya - mewakili kelompok yang terlalu heterogen untuk menentukan probabilitas secara nyata); biarlah baris umum ini terdiri dari sepuluh ribu kehidupan manusia; ini mencakup rangkaian lebih kecil yang mewakili jumlah orang yang bertahan hidup sampai usia tertentu; salah satu rangkaian yang lebih kecil ini mewakili jumlah orang yang hidup hingga usia 80 tahun. Tetapi tidak mungkin untuk menentukan jumlah rangkaian yang lebih kecil ini (seperti rangkaian lainnya) secara apriori; ini dilakukan secara induktif murni, melalui statistik. Misalkan studi statistik menunjukkan bahwa dari 10.000 penduduk kelas menengah Sankt Peterburg, hanya 45 orang yang hidup hingga usia 80 tahun; jadi rangkaian yang lebih kecil ini terkait dengan rangkaian yang lebih besar sebesar 45 hingga 10.000, dan kemungkinannya dari orang ini untuk termasuk dalam deret yang lebih kecil ini, yaitu hidup sampai usia 80 tahun, dinyatakan dengan pecahan 0,0045. Studi tentang probabilitas dari sudut pandang matematika merupakan disiplin khusus - teori probabilitas.
Lihat juga
Catatan
Literatur
- Alfred Renyi. Surat tentang probabilitas / trans. dari Hongaria D. Saas dan A. Crumley, eds. B.V. Gnedenko. M.: Mir. 1970
- Gnedenko B.V. Mata kuliah teori probabilitas. M., 2007. 42 hal.
- Kuptsov V.I. determinisme dan probabilitas. M., 1976.256 hal.
Yayasan Wikimedia.
2010.:Sinonim:
Antonim
Lihat apa itu “Probabilitas” di kamus lain: Ilmiah umum dan filosofis. kategori yang menunjukkan tingkat kuantitatif kemungkinan terjadinya peristiwa acak massal dalam kondisi pengamatan tetap, yang mencirikan stabilitas frekuensi relatifnya. Secara logika, derajat semantik... ...
Ensiklopedia Filsafat PROBABILITAS, angka yang berkisar dari nol hingga satu inklusif, yang mewakili kemungkinan terjadinya suatu peristiwa. Peluang suatu kejadian didefinisikan sebagai perbandingan banyaknya peluang terjadinya suatu kejadian dengan banyaknya kemungkinan... ...
Kamus ensiklopedis ilmiah dan teknis Kemungkinan besar.. Kamus sinonim Rusia dan ekspresi serupa. di bawah. ed. N. Abramova, M.: Kamus Rusia, 1999. kemungkinan kemungkinan, kemungkinan, peluang, kemungkinan obyektif, maza, penerimaan, risiko. Semut. ketidakmungkinan... ...
kemungkinan Kamus sinonim - Suatu ukuran bahwa suatu peristiwa mungkin terjadi. Catatan Definisi matematis dari probabilitas adalah: “bilangan real antara 0 dan 1 yang dikaitkan dengan kejadian acak.” Angka tersebut mungkin mencerminkan frekuensi relatif dalam serangkaian pengamatan... ...
Panduan Penerjemah Teknis Kemungkinan - “karakteristik matematis dan numerik dari tingkat kemungkinan terjadinya suatu peristiwa dalam kondisi spesifik tertentu yang dapat diulangi dalam jumlah yang tidak terbatas.” Berdasarkan klasik ini......
- (probabilitas) Kemungkinan terjadinya suatu peristiwa atau akibat tertentu. Hal ini dapat disajikan dalam bentuk skala dengan pembagian dari 0 sampai 1. Jika peluang suatu kejadian adalah nol, maka kejadian tersebut tidak mungkin terjadi. Dengan probabilitas sama dengan 1, timbulnya... Kamus istilah bisnis
Faktanya, rumus (1) dan (2) adalah catatan singkat probabilitas bersyarat berdasarkan tabel kontingensi karakteristik. Mari kembali ke contoh yang dibahas (Gbr. 1). Misalkan kita mengetahui bahwa sebuah keluarga berencana membeli televisi layar lebar. Berapa kemungkinan keluarga ini benar-benar membeli TV seperti itu?
Beras. 1. Perilaku Membeli TV Layar Lebar
Dalam hal ini, kita perlu menghitung probabilitas bersyarat P (pembelian selesai | pembelian direncanakan). Karena kita mengetahui bahwa sebuah keluarga berencana untuk membeli, maka ruang sampel tidak terdiri dari 1000 keluarga seluruhnya, namun hanya mereka yang berencana membeli TV layar lebar. Dari 250 keluarga tersebut, 200 benar-benar membeli TV ini. Oleh karena itu, peluang suatu keluarga benar-benar membeli TV layar lebar jika mereka berencana melakukannya dapat dihitung dengan menggunakan rumus berikut:
P (pembelian selesai | rencana pembelian) = banyaknya keluarga yang merencanakan dan membeli TV layar lebar / banyaknya keluarga yang berencana membeli TV layar lebar = 200 / 250 = 0,8
Rumus (2) memberikan hasil yang sama:
dimana acaranya A adalah keluarga tersebut berencana membeli TV layar lebar, dan acara tersebut DI DALAM- bahwa dia benar-benar akan membelinya. Mengganti data nyata ke dalam rumus, kita mendapatkan:
Pohon keputusan
Pada Gambar. 1 keluarga dibagi menjadi empat kategori: mereka yang berencana membeli TV layar lebar dan mereka yang tidak, serta mereka yang membeli TV tersebut dan mereka yang tidak. Klasifikasi serupa dapat dilakukan dengan menggunakan pohon keputusan (Gbr. 2). Pohon yang ditunjukkan pada Gambar. 2 memiliki dua cabang yang sesuai dengan keluarga yang berencana membeli TV layar lebar dan keluarga yang tidak. Masing-masing cabang ini dibagi menjadi dua cabang tambahan sesuai dengan rumah tangga yang membeli dan tidak membeli TV layar lebar. Probabilitas yang ditulis pada akhir dua cabang utama adalah probabilitas kejadian tanpa syarat A Dan A'. Probabilitas yang ditulis pada akhir empat cabang tambahan merupakan probabilitas bersyarat dari setiap kombinasi kejadian A Dan DI DALAM. Probabilitas bersyarat dihitung dengan membagi probabilitas gabungan suatu peristiwa dengan probabilitas tanpa syarat yang sesuai dari masing-masing peristiwa.
Beras. 2. Pohon keputusan
Misalnya, untuk menghitung peluang suatu keluarga akan membeli televisi layar lebar jika memang direncanakan untuk membeli televisi layar lebar, kita harus menentukan peluang kejadian tersebut. pembelian direncanakan dan diselesaikan, lalu membaginya dengan probabilitas kejadian tersebut pembelian direncanakan. Bergerak sepanjang pohon keputusan yang ditunjukkan pada Gambar. 2, kita mendapatkan jawaban berikut (mirip dengan sebelumnya):
Independensi statistik
Dalam contoh pembelian TV layar lebar, peluang suatu keluarga yang dipilih secara acak membeli TV layar lebar jika mereka berencana membeli TV layar lebar adalah 200/250 = 0,8. Ingatlah bahwa probabilitas tanpa syarat bahwa sebuah keluarga yang dipilih secara acak membeli TV layar lebar adalah 300/1000 = 0,3. Hal ini membawa pada kesimpulan yang sangat penting. Informasi sebelumnya bahwa keluarga merencanakan pembelian mempengaruhi kemungkinan pembelian itu sendiri. Dengan kata lain, kedua peristiwa ini saling bergantung satu sama lain. Berbeda dengan contoh ini, ada secara statistik acara independen, yang probabilitasnya tidak bergantung satu sama lain. Independensi statistik dinyatakan dengan identitas: P(A|B) = P(A), Di mana P(A|B)- kemungkinan kejadian A asalkan peristiwa itu terjadi DI DALAM, P(A)- probabilitas tanpa syarat dari kejadian A.
Harap dicatat bahwa acara A Dan DI DALAM P(A|B) = P(A). Jika dalam tabel kontingensi karakteristik berukuran 2×2, kondisi ini terpenuhi untuk setidaknya satu kombinasi kejadian A Dan DI DALAM, ini akan berlaku untuk kombinasi lainnya. Dalam contoh acara kita pembelian direncanakan Dan pembelian selesai tidak independen secara statistik karena informasi mengenai suatu kejadian mempengaruhi kemungkinan kejadian lainnya.
Mari kita lihat contoh yang menunjukkan cara menguji independensi statistik dari dua peristiwa. Mari kita tanyakan kepada 300 keluarga yang membeli TV layar lebar apakah mereka puas dengan pembeliannya (Gbr. 3). Tentukan apakah tingkat kepuasan pembelian dan jenis TV berhubungan.
Beras. 3. Data yang menjelaskan tingkat kepuasan pembeli TV layar lebar
Dilihat dari data ini,
Pada saat yang sama,
P (pelanggan puas) = 240/300 = 0,80
Oleh karena itu, kemungkinan pelanggan puas dengan pembelian dan keluarga membeli HDTV adalah sama, dan peristiwa ini independen secara statistik karena tidak terkait satu sama lain.
Aturan perkalian probabilitas
Rumus untuk menghitung probabilitas bersyarat memungkinkan Anda menentukan probabilitas suatu peristiwa gabungan A dan B. Setelah menyelesaikan rumus (1)
relatif terhadap probabilitas gabungan P(A dan B), kita memperoleh aturan umum untuk mengalikan probabilitas. Kemungkinan kejadian A dan B sama dengan probabilitas kejadian tersebut A asalkan peristiwa itu terjadi DI DALAM DI DALAM:
(3) P(A dan B) = P(A|B) * P(B)
Mari kita ambil contoh 80 keluarga yang membeli televisi HDTV layar lebar (Gbr. 3). Tabel tersebut menunjukkan bahwa 64 keluarga merasa puas dengan pembelian tersebut dan 16 keluarga tidak. Mari kita asumsikan bahwa dua keluarga dipilih secara acak di antara mereka. Tentukan probabilitas bahwa kedua pelanggan akan puas. Dengan menggunakan rumus (3), kita memperoleh:
P(A dan B) = P(A|B) * P(B)
dimana acaranya A adalah keluarga kedua puas dengan pembelian mereka, dan acara tersebut DI DALAM- bahwa keluarga pertama puas dengan pembelian mereka. Peluang keluarga pertama puas dengan pembeliannya adalah 64/80. Namun, kemungkinan keluarga kedua juga puas dengan pembelian mereka bergantung pada respons keluarga pertama. Jika keluarga pertama tidak kembali menjadi sampel setelah survei (seleksi tanpa pengembalian), jumlah responden berkurang menjadi 79. Jika keluarga pertama puas dengan pembeliannya, peluang keluarga kedua juga puas adalah 63 /79, karena hanya tersisa 63 keluarga sampel yang puas dengan pembelian mereka. Jadi, dengan mengganti data tertentu ke dalam rumus (3), kita memperoleh jawaban berikut:
P(A dan B) = (63/79)(64/80) = 0,638.
Oleh karena itu, kemungkinan kedua keluarga puas dengan pembeliannya adalah 63,8%.
Misalkan setelah survei, keluarga pertama kembali menjadi sampel. Tentukan peluang kedua keluarga akan puas dengan pembelian mereka. Dalam hal ini peluang kedua keluarga puas dengan pembeliannya adalah sama, yaitu 64/80. Jadi P(A dan B) = (64/80)(64/80) = 0,64. Jadi, kemungkinan kedua keluarga puas dengan pembeliannya adalah 64,0%. Contoh ini menunjukkan bahwa pilihan keluarga kedua tidak bergantung pada pilihan keluarga pertama. Jadi, mengganti probabilitas bersyarat dalam rumus (3) P(A|B) kemungkinan P(A), kita memperoleh rumus untuk mengalikan peluang kejadian independen.
Aturan untuk mengalikan peluang kejadian independen. Jika peristiwa A Dan DI DALAM independen secara statistik, kemungkinan suatu kejadian A dan B sama dengan probabilitas kejadian tersebut A, dikalikan dengan probabilitas kejadian tersebut DI DALAM.
(4) P(A dan B) = P(A)P(B)
Jika aturan ini berlaku untuk acara A Dan DI DALAM, yang berarti mereka independen secara statistik. Jadi, ada dua cara untuk menentukan independensi statistik dari dua peristiwa:
- Acara A Dan DI DALAM secara statistik independen satu sama lain jika dan hanya jika P(A|B) = P(A).
- Acara A Dan B secara statistik independen satu sama lain jika dan hanya jika P(A dan B) = P(A)P(B).
Jika dalam tabel kontingensi karakteristik berukuran 2×2, salah satu kondisi ini terpenuhi untuk setidaknya satu kombinasi kejadian A Dan B, ini akan berlaku untuk kombinasi lainnya.
Probabilitas tanpa syarat dari suatu kejadian dasar
(5) P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2)P(B 2) + … + P(A|B k)P(B k)
dimana kejadian B 1, B 2, ... B k saling lepas dan lengkap.
Mari kita ilustrasikan penerapan rumus ini menggunakan contoh Gambar 1. Dengan menggunakan rumus (5), kita memperoleh:
P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2)P(B 2)
Di mana P(A)- kemungkinan pembelian direncanakan, P(B 1)- kemungkinan pembelian dilakukan, P(B 2)- kemungkinan pembelian tidak selesai.
TEOREMA BAYES
Probabilitas bersyarat suatu peristiwa memperhitungkan informasi bahwa peristiwa lain telah terjadi. Pendekatan ini dapat digunakan untuk menyaring probabilitas dengan mempertimbangkan informasi yang baru diterima, dan untuk menghitung probabilitas bahwa efek yang diamati merupakan konsekuensi dari penyebab tertentu. Prosedur untuk menyempurnakan probabilitas ini disebut teorema Bayes. Ini pertama kali dikembangkan oleh Thomas Bayes pada abad ke-18.
Anggaplah perusahaan yang disebutkan di atas sedang meneliti pasar untuk model TV baru. Di masa lalu, 40% TV yang dibuat oleh perusahaan berhasil, sementara 60% modelnya tidak diakui. Sebelum mengumumkan peluncuran model baru, pakar pemasaran meneliti pasar dengan cermat dan mencatat permintaan. Di masa lalu, 80% model yang berhasil diprediksi akan berhasil, sementara 30% prediksi yang berhasil ternyata salah. Departemen pemasaran memberikan perkiraan yang baik untuk model baru ini. Seberapa besar kemungkinan model TV baru akan diminati?
Teorema Bayes dapat diturunkan dari definisi probabilitas bersyarat (1) dan (2). Untuk menghitung probabilitas P(B|A), ambil rumus (2):
dan gantikan P(A dan B) nilai dari rumus (3):
P(A dan B) = P(A|B) * P(B)
Mengganti rumus (5) dan bukan P(A), kita memperoleh teorema Bayes:
dimana kejadian B 1, B 2, ... B k saling lepas dan lengkap.
Mari kita perkenalkan notasi berikut: kejadian S - TV sangat diminati, acara S' - TV tidak diminati, acara F - prognosis yang baik, acara F' - prognosisnya buruk. Misalkan P(S) = 0,4, P(S’) = 0,6, P(F|S) = 0,8, P(F|S’) = 0,3. Menerapkan teorema Bayes kita mendapatkan:
Probabilitas permintaan model TV baru, jika perkiraannya bagus, adalah 0,64. Jadi, kemungkinan kurangnya permintaan dengan perkiraan yang baik adalah 1–0,64=0,36. Proses perhitungan ditunjukkan pada Gambar. 4.
Beras. 4. (a) Perhitungan menggunakan rumus Bayes untuk memperkirakan probabilitas permintaan televisi; (b) Pohon keputusan ketika mempelajari permintaan model TV baru
Mari kita lihat contoh penggunaan teorema Bayes untuk diagnosis medis. Peluang seseorang menderita suatu penyakit tertentu adalah 0,03. Tes medis dapat memeriksa apakah ini benar. Jika seseorang benar-benar sakit, peluang diagnosis yang akurat (mengatakan bahwa orang tersebut sakit padahal dia benar-benar sakit) adalah 0,9. Jika seseorang sehat, peluang diagnosis positif palsu (mengatakan bahwa seseorang sakit padahal dia sehat) adalah 0,02. Katakanlah tes kesehatan memberikan hasil positif. Berapa peluang seseorang benar-benar sakit? Seberapa besar kemungkinan diagnosis yang akurat?
Mari kita perkenalkan notasi berikut: kejadian D - orang tersebut sakit, acara D' - orang tersebut sehat, acara T - diagnosisnya positif, acara T' - diagnosisnya negatif. Dari kondisi soal maka P(D) = 0,03, P(D’) = 0,97, P(T|D) = 0,90, P(T|D’) = 0,02. Menerapkan rumus (6), kita memperoleh:
Peluang bahwa dengan diagnosis positif seseorang benar-benar sakit adalah 0,582 (lihat juga Gambar 5). Perhatikan bahwa penyebut rumus Bayes sama dengan probabilitas diagnosis positif, yaitu 0,0464.
Seorang petaruh profesional harus memiliki pemahaman yang baik tentang peluang, cepat dan benar memperkirakan kemungkinan suatu kejadian dengan koefisien dan, jika perlu, mampu mengonversi peluang dari satu format ke format lainnya. Dalam manual ini kita akan membahas tentang jenis koefisien apa saja yang ada, dan juga menggunakan contoh untuk menunjukkan caranya hitung probabilitas menggunakan koefisien yang diketahui dan sebaliknya.
Jenis peluang apa yang ada?
Ada tiga jenis peluang utama yang ditawarkan bandar taruhan kepada pemain: peluang desimal, peluang pecahan(Bahasa Inggris) dan Peluang Amerika . Peluang paling umum di Eropa adalah desimal. DI DALAM Amerika Utara Peluang Amerika sangat populer. Peluang pecahan adalah yang paling banyak tampilan tradisional, mereka segera mencerminkan informasi tentang berapa banyak Anda perlu bertaruh untuk mendapatkan jumlah tertentu.
Peluang desimal
Desimal atau mereka juga disebut peluang Eropa adalah format angka familiar yang diwakili oleh desimal akurat hingga seperseratus, dan terkadang bahkan seperseribu. Contoh ganjil desimal adalah 1,91. Menghitung keuntungan dalam odds desimal sangat sederhana; Anda hanya perlu mengalikan jumlah taruhan Anda dengan odds ini. Misalnya pada pertandingan “Manchester United” - “Arsenal”, kemenangan “Manchester United” ditetapkan dengan koefisien 2,05, hasil imbang diperkirakan dengan koefisien 3,9, dan kemenangan “Arsenal” sama dengan 2.95. Katakanlah kita yakin United akan menang dan kita bertaruh $1.000 pada mereka. Kemudian kemungkinan pendapatan kita dihitung sebagai berikut:
2.05 * $1000 = $2050;
Sebenarnya tidak terlalu rumit kan?! Kemungkinan pendapatan dihitung dengan cara yang sama ketika bertaruh pada hasil imbang atau kemenangan untuk Arsenal.
Menggambar: 3.9 * $1000 = $3900;
Kemenangan Arsenal: 2.95 * $1000 = $2950;
Bagaimana cara menghitung peluang suatu kejadian menggunakan odds desimal?
Sekarang bayangkan kita perlu menentukan probabilitas suatu kejadian berdasarkan odds desimal yang ditetapkan oleh bandar taruhan. Hal ini juga dilakukan dengan sangat sederhana. Untuk melakukan ini, kita membagi satu dengan koefisien ini.
Mari kita ambil data yang ada dan menghitung probabilitas setiap kejadian:
Kemenangan Manchester United: 1 / 2.05 = 0,487 = 48,7%;
Menggambar: 1 / 3.9 = 0,256 = 25,6%;
Kemenangan Arsenal: 1 / 2.95 = 0,338 = 33,8%;
Peluang pecahan (Bahasa Inggris)
Seperti namanya koefisien pecahan disajikan pecahan biasa. Contoh odds bahasa Inggris adalah 5/2. Pembilang pecahan berisi angka yang merupakan potensi jumlah kemenangan bersih, dan penyebutnya berisi angka yang menunjukkan jumlah yang harus dipertaruhkan untuk menerima kemenangan tersebut. Sederhananya, kita harus bertaruh $2 dolar untuk memenangkan $5. Peluang 3/2 berarti untuk mendapatkan kemenangan bersih $3, kita harus bertaruh $2.
Bagaimana cara menghitung peluang suatu kejadian menggunakan odds pecahan?
Menghitung peluang suatu kejadian dengan menggunakan odds pecahan juga tidak sulit; Anda hanya perlu membagi penyebutnya dengan jumlah pembilang dan penyebutnya.
Untuk pecahan 5/2 kita menghitung probabilitasnya: 2 / (5+2) = 2 / 7 = 0,28 = 28%;
Untuk pecahan 3/2 kita menghitung probabilitasnya:
Peluang Amerika
Peluang Amerika tidak populer di Eropa, tetapi sangat populer di Amerika Utara. Mungkin jenis koefisien ini adalah yang paling rumit, tetapi ini hanya sekilas saja. Sebenarnya, tidak ada yang rumit dalam koefisien jenis ini. Sekarang mari kita selesaikan semuanya secara berurutan.
Fitur utama dari peluang Amerika adalah bahwa mereka dapat berupa keduanya positif, Jadi negatif. Contoh odds Amerika - (+150), (-120). Peluang Amerika (+150) berarti untuk mendapatkan $150 kita perlu bertaruh $100. Dengan kata lain, koefisien Amerika yang positif mencerminkan potensi laba bersih pada taruhan $100. Peluang Amerika negatif mencerminkan jumlah taruhan yang perlu dibuat untuk mendapatkan kemenangan bersih sebesar $100. Misalnya, koefisien (-120) memberi tahu kita bahwa dengan bertaruh $120 kita akan memenangkan $100.
Bagaimana cara menghitung probabilitas suatu peristiwa menggunakan odds Amerika?
Peluang suatu kejadian dengan menggunakan koefisien Amerika dihitung dengan menggunakan rumus berikut:
(-(L)) / ((-(L)) + 100), dimana M adalah koefisien Amerika negatif;
100/(P+100), dimana P adalah koefisien Amerika positif;
Misalnya kita mempunyai koefisien (-120), maka probabilitasnya dihitung sebagai berikut:
(-(L)) / ((-(L)) + 100); gantikan nilai (-120) dengan “M”;
(-(-120)) / ((-(-120)) + 100 = 120 / (120 + 100) = 120 / 220 = 0,545 = 54,5%;
Jadi, probabilitas suatu kejadian dengan odds Amerika (-120) adalah 54,5%.
Misalnya kita mempunyai koefisien (+150), maka probabilitasnya dihitung sebagai berikut:
100/(P+100); gantikan nilai (+150) dengan “P”;
100 / (150 + 100) = 100 / 250 = 0,4 = 40%;
Jadi, probabilitas suatu kejadian dengan odds Amerika (+150) adalah 40%.
Bagaimana, mengetahui persentase probabilitas, mengubahnya menjadi koefisien desimal?
Untuk menghitung koefisien desimal berdasarkan persentase probabilitas yang diketahui, Anda perlu membagi 100 dengan probabilitas kejadian sebagai persentase. Misalnya peluang suatu kejadian adalah 55%, maka koefisien desimal peluang tersebut adalah 1,81.
100 / 55% = 1,81
Bagaimana, mengetahui persentase probabilitas, mengubahnya menjadi koefisien pecahan?
Untuk menghitung koefisien pecahan berdasarkan persentase probabilitas yang diketahui, Anda perlu mengurangi satu dari pembagian 100 dengan probabilitas suatu kejadian sebagai persentase. Misalnya, jika kita mempunyai persentase probabilitas sebesar 40%, maka koefisien pecahan dari probabilitas tersebut akan sama dengan 3/2.
(100 / 40%) - 1 = 2,5 - 1 = 1,5;
Koefisien pecahannya adalah 1,5/1 atau 3/2.
Bagaimana, mengetahui persentase probabilitas, mengubahnya menjadi koefisien Amerika?
Jika peluang suatu kejadian lebih dari 50%, maka perhitungannya dilakukan dengan menggunakan rumus:
- ((V) / (100 - V)) * 100, dimana V adalah probabilitas;
Misalnya, jika probabilitas suatu peristiwa adalah 80%, maka koefisien probabilitas Amerika adalah (-400).
- (80 / (100 - 80)) * 100 = - (80 / 20) * 100 = - 4 * 100 = (-400);
Jika peluang suatu kejadian kurang dari 50%, maka perhitungannya dilakukan dengan rumus:
((100 - V) / V) * 100, dimana V adalah probabilitas;
Misalnya, jika kita memiliki persentase probabilitas suatu peristiwa sebesar 20%, maka koefisien Amerika untuk probabilitas tersebut akan sama dengan (+400).
((100 - 20) / 20) * 100 = (80 / 20) * 100 = 4 * 100 = 400;
Bagaimana cara mengubah koefisien ke format lain?
Ada kalanya perlu untuk mengubah peluang dari satu format ke format lainnya. Misalnya, kita mempunyai odds pecahan 3/2 dan kita perlu mengubahnya menjadi desimal. Untuk mengubah peluang pecahan menjadi peluang desimal, pertama-tama kita tentukan peluang suatu kejadian dengan peluang pecahan, lalu ubah peluang ini menjadi peluang desimal.
Peluang terjadinya suatu kejadian dengan odds pecahan 3/2 adalah 40%.
2 / (3+2) = 2 / 5 = 0,4 = 40%;
Sekarang mari kita ubah peluang suatu kejadian menjadi koefisien desimal, untuk melakukan ini, bagi 100 dengan peluang kejadian dalam persentase:
100 / 40% = 2.5;
Jadi, peluang pecahan 3/2 sama dengan koefisien desimal 2.5. Dengan cara serupa, misalnya, peluang Amerika diubah menjadi pecahan, desimal menjadi Amerika, dll. Hal tersulit dari semua ini hanyalah perhitungannya.
Di bidang ekonomi, serta di bidang lainnya aktivitas manusia atau di alam, kita terus-menerus harus menghadapi kejadian-kejadian yang tidak dapat diprediksi secara akurat. Jadi, volume penjualan suatu produk bergantung pada permintaan, yang dapat sangat bervariasi, dan pada sejumlah faktor lain yang hampir mustahil untuk diperhitungkan. Oleh karena itu, ketika mengatur produksi dan melaksanakan penjualan, Anda harus memprediksi hasil dari kegiatan tersebut berdasarkan pengalaman Anda sebelumnya, atau pengalaman serupa dari orang lain, atau intuisi, yang sebagian besar juga bergantung pada data eksperimen.
Untuk mengevaluasi peristiwa yang dipermasalahkan, perlu mempertimbangkan atau mengatur secara khusus kondisi di mana peristiwa ini dicatat.
Penerapan kondisi atau tindakan tertentu untuk mengidentifikasi peristiwa yang dimaksud disebut pengalaman atau percobaan.
Acara tersebut dinamakan acak, jika sebagai akibat dari pengalaman hal itu mungkin terjadi atau tidak.
Acara tersebut dinamakan dapat diandalkan, jika hal itu muncul sebagai akibat dari pengalaman tertentu, dan mustahil, jika tidak dapat muncul dalam pengalaman ini.
Misalnya, hujan salju di Moskow pada tanggal 30 November adalah kejadian acak. Matahari terbit setiap hari dapat dianggap sebagai peristiwa yang dapat diandalkan. Hujan salju di garis khatulistiwa bisa dibilang peristiwa yang mustahil terjadi.
Salah satu tugas utama dalam teori probabilitas adalah tugas menentukan ukuran kuantitatif kemungkinan terjadinya suatu peristiwa.
Aljabar peristiwa
Peristiwa disebut tidak kompatibel jika peristiwa tersebut tidak dapat diamati bersama-sama dalam pengalaman yang sama. Dengan demikian, kehadiran dua atau tiga mobil dalam satu toko untuk dijual sekaligus merupakan dua peristiwa yang tidak sejalan.
Jumlah peristiwa adalah peristiwa yang terdiri dari terjadinya paling sedikit salah satu peristiwa tersebut
Contoh penjumlahan kejadian adalah kehadiran setidaknya satu dari dua produk di toko.
Pekerjaan Peristiwa adalah suatu peristiwa yang terdiri atas terjadinya serentak semua peristiwa tersebut
Suatu peristiwa yang terdiri dari kemunculan dua barang sekaligus dalam suatu toko merupakan produk dari peristiwa: - kemunculan suatu produk, - kemunculan produk lain.
Formulir acara kelompok penuh peristiwa jika setidaknya salah satu dari peristiwa tersebut pasti terjadi dalam pengalaman.
Contoh. Pelabuhan ini memiliki dua tempat berlabuh untuk menerima kapal. Tiga peristiwa yang dapat dipertimbangkan: - tidak adanya kapal di tempat berlabuh, - adanya satu kapal di salah satu tempat berlabuh, - adanya dua kapal di dua tempat berlabuh. Ketiga peristiwa ini membentuk satu kelompok peristiwa yang utuh.
Di depan hanya dua yang dipanggil peristiwa yang mungkin terjadi, membentuk kelompok yang lengkap.
Jika salah satu kejadian yang berlawanan dilambangkan dengan , maka kejadian yang berlawanan tersebut biasanya dilambangkan dengan .
Definisi klasik dan statistik dari probabilitas peristiwa
Setiap hasil tes (percobaan) yang sama-sama mungkin disebut hasil dasar. Mereka biasanya dilambangkan dengan huruf. Misalnya saja terburu-buru dadu. Terdapat total enam hasil dasar berdasarkan jumlah titik pada sisinya.
Dari hasil dasar, Anda dapat membuat acara yang lebih kompleks. Jadi, kejadian jumlah poin genap ditentukan oleh tiga hasil: 2, 4, 6.
Ukuran kuantitatif terhadap kemungkinan terjadinya suatu peristiwa yang dimaksud adalah probabilitas.
Definisi peluang suatu kejadian yang paling banyak digunakan adalah: klasik Dan statistik.
Definisi klasik tentang probabilitas dikaitkan dengan konsep hasil yang menguntungkan.
Hasilnya disebut baik acara ini, jika kemunculannya menyebabkan terjadinya peristiwa ini.
Dalam contoh di atas, kejadian yang dimaksud—jumlah poin genap pada sisi yang digulirkan—memiliki tiga hasil yang menguntungkan. Dalam hal ini, jenderal
sejumlah kemungkinan hasil. Jadi di sini Anda dapat menggunakan definisi klasik kemungkinan suatu peristiwa.
Definisi klasik sama dengan rasio jumlah hasil yang diinginkan dengan jumlah total hasil yang mungkin
dimana adalah probabilitas suatu kejadian, adalah jumlah hasil yang menguntungkan bagi kejadian tersebut, jumlah total hasil yang mungkin.
Dalam contoh yang dipertimbangkan
Definisi statistik probabilitas dikaitkan dengan konsep frekuensi relatif terjadinya suatu peristiwa dalam eksperimen.
Frekuensi relatif terjadinya suatu peristiwa dihitung dengan menggunakan rumus
dimana adalah banyaknya kemunculan suatu peristiwa dalam serangkaian percobaan (pengujian).
Definisi statistik. Probabilitas suatu peristiwa adalah angka di mana frekuensi relatif stabil (ditetapkan) dengan peningkatan jumlah percobaan yang tidak terbatas.
DI DALAM masalah praktis probabilitas suatu kejadian dianggap frekuensi relatif dengan cukup jumlah besar tes.
Dari definisi peluang suatu kejadian jelas bahwa pertidaksamaan selalu terpenuhi
Untuk menentukan peluang suatu kejadian berdasarkan rumus (1.1), sering digunakan rumus kombinatorik, yang digunakan untuk mencari jumlah hasil yang diinginkan dan jumlah total hasil yang mungkin.
Kemungkinan peristiwa adalah rasio jumlah hasil dasar yang menguntungkan suatu peristiwa tertentu dengan jumlah semua kemungkinan hasil pengalaman yang sama di mana peristiwa tersebut dapat muncul. Peluang kejadian A dilambangkan dengan P(A) (di sini P adalah huruf pertama kata Perancis probabilitas - probabilitas). Menurut definisinya
(1.2.1)
di mana banyaknya hasil dasar yang mendukung kejadian A; - jumlah semua kemungkinan hasil dasar percobaan yang sama, yang membentuk kelompok kejadian yang lengkap.
Definisi probabilitas ini disebut klasik. Itu muncul tahap awal pengembangan teori probabilitas.
Peluang suatu kejadian mempunyai ciri-ciri sebagai berikut:
1. Probabilitas acara yang dapat diandalkan sama dengan satu. Mari kita nyatakan peristiwa yang dapat dipercaya dengan surat itu . Oleh karena itu, untuk acara tertentu
(1.2.2)
2. Peluang suatu kejadian yang mustahil adalah nol. Mari kita nyatakan peristiwa yang mustahil dengan huruf . Oleh karena itu, untuk peristiwa yang mustahil
(1.2.3)
3. Probabilitas suatu kejadian acak dinyatakan angka positif, kurang dari satu. Karena untuk kejadian acak pertidaksamaan , atau , terpenuhi, maka
(1.2.4)
4. Probabilitas suatu kejadian memenuhi pertidaksamaan
(1.2.5)
Ini mengikuti relasi (1.2.2) - (1.2.4).
Contoh 1. Sebuah guci berisi 10 bola dengan ukuran dan berat yang sama, 4 bola berwarna merah dan 6 bola biru. Satu bola diambil dari guci. Berapa peluang terambilnya bola berwarna biru?
Larutan. Peristiwa “bola yang ditarik ternyata berwarna biru” dilambangkan dengan huruf A. Tes ini mempunyai 10 kemungkinan hasil dasar yang sama, dimana 6 diantaranya menguntungkan kejadian A. Sesuai dengan rumus (1.2.1), kita memperoleh 
Contoh 2. Semua bilangan asli dari 1 sampai 30 ditulis pada kartu yang sama dan ditempatkan dalam sebuah guci. Setelah kartu dikocok seluruhnya, satu kartu dikeluarkan dari guci. Berapa peluang terambilnya angka pada kartu yang merupakan kelipatan 5?
Larutan. Mari kita nyatakan dengan A kejadian “angka pada kartu yang diambil adalah kelipatan 5”. Dalam tes ini terdapat 30 kemungkinan hasil dasar yang sama, dimana kejadian A disukai oleh 6 hasil (angka 5, 10, 15, 20, 25, 30). Karena itu, 
Contoh 3. Dua dadu dilempar dan jumlah titik pada permukaan atasnya dihitung. Tentukan peluang kejadian B sehingga permukaan atas dadu berjumlah 9 buah.
Larutan. Dalam tes ini hanya terdapat 6 2 = 36 kemungkinan hasil dasar yang sama. Peristiwa B disukai oleh 4 hasil: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), oleh karena itu 
Contoh 4. Suatu bilangan asli yang tidak lebih besar dari 10 dipilih secara acak. Berapa peluang terambilnya bilangan prima?
Larutan. Mari kita nyatakan kejadian “bilangan yang dipilih adalah bilangan prima” dengan huruf C. Dalam hal ini n = 10, m = 4 ( bilangan prima 2, 3, 5, 7). Oleh karena itu, probabilitas yang diperlukan 
Contoh 5. Dua buah uang logam simetris dilempar. Berapa peluang terdapat angka pada sisi atas kedua koin?
Larutan. Mari kita nyatakan dengan huruf D kejadian “ada angka di sisi atas setiap koin”. Dalam tes ini terdapat 4 kemungkinan hasil dasar yang sama: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (Notasi (G, C) artinya uang logam pertama mempunyai lambang, uang logam kedua mempunyai nomor). Peristiwa D disukai oleh satu hasil dasar (C, C). Karena m = 1, n = 4, maka 
Contoh 6. Berapa peluang terambilnya dua angka yang dipilih secara acak mempunyai angka yang sama?
Larutan. Angka dua digit adalah angka dari 10 sampai 99; Total ada 90 angka seperti itu. 9 angka yang angkanya sama (yaitu angka 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Karena dalam hal ini m = 9, n = 90, maka 
,
dimana A adalah kejadian “bilangan dengan digit yang identik”.
Contoh 7. Dari huruf kata diferensial Satu huruf dipilih secara acak. Berapa peluang terambilnya huruf tersebut: a) vokal, b) konsonan, c) huruf H?
Larutan. Kata diferensial mempunyai 12 huruf, 5 diantaranya vokal dan 7 konsonan. Surat H tidak ada dalam kata ini. Mari kita nyatakan peristiwanya: A - "huruf vokal", B - "huruf konsonan", C - "huruf H". Banyaknya hasil dasar yang menguntungkan: - untuk kejadian A, - untuk kejadian B, - untuk kejadian C. Karena n = 12, maka
, Dan .
Contoh 8. Dua buah dadu dilempar dan dicatat jumlah titik pada puncak masing-masing dadu. Tentukan peluang terambilnya kedua dadu nomor yang sama poin.
Larutan. Mari kita nyatakan peristiwa ini dengan huruf A. Peristiwa A disukai oleh 6 hasil dasar: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6 ;6). Banyaknya kemungkinan hasil dasar yang sama yang membentuk sekelompok kejadian lengkap, dalam hal ini n=6 2 =36. Artinya probabilitas yang diperlukan 
Contoh 9. Buku ini memiliki 300 halaman. Berapa probabilitas halaman yang dibuka secara acak nomor seri, kelipatan 5?
Larutan. Dari kondisi soal dapat disimpulkan bahwa semua kemungkinan hasil dasar yang sama yang membentuk kelompok kejadian lengkap adalah n = 300. Dari jumlah tersebut, m = 60 mendukung terjadinya kejadian tertentu. Memang, bilangan yang merupakan kelipatan 5 mempunyai bentuk 5k, dimana k adalah bilangan asli, dan , maka 
. Karena itu, 
, dimana A - kejadian “halaman” mempunyai nomor urut yang merupakan kelipatan 5".
Contoh 10. Dua dadu dilempar dan jumlah titik pada permukaan atasnya dihitung. Mana yang lebih mungkin – mendapatkan total 7 atau 8?
Larutan. Mari kita nyatakan kejadiannya: A - “7 poin dilempar”, B – “8 poin dilempar”. Peristiwa A disukai oleh 6 hasil dasar: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), dan peristiwa B disukai dengan 5 hasil: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Semua kemungkinan hasil dasar yang sama adalah n = 6 2 = 36. Artinya Dan .
Jadi, P(A)>P(B), yaitu memperoleh total 7 poin lebih mungkin terjadi dibandingkan memperoleh total 8 poin.
Tugas
1. Sebuah bilangan asli yang tidak melebihi 30 dipilih secara acak. Berapa peluang terambilnya bilangan tersebut kelipatan 3?
2. Di dalam guci A merah dan B bola biru, ukuran dan beratnya sama. Berapa peluang terambilnya bola secara acak dari guci ini berwarna biru?
3. Suatu bilangan yang tidak melebihi 30 dipilih secara acak. Berapa peluang terambilnya bilangan tersebut adalah pembagi 30?
4. Di dalam guci A biru dan B bola merah, ukuran dan beratnya sama. Satu bola diambil dari guci ini dan disisihkan. Bola ini ternyata berwarna merah. Setelah itu, bola lain diambil dari guci. Tentukan peluang terambilnya bola kedua juga berwarna merah.
5. Sebuah bilangan nasional yang tidak melebihi 50 dipilih secara acak. Berapa peluang terambilnya bilangan prima?
6. Tiga buah dadu dilempar dan dihitung jumlah titik pada permukaan atasnya. Mana yang lebih mungkin - mendapatkan total 9 atau 10 poin?
7. Tiga buah dadu dilempar dan dihitung jumlah poinnya. Mana yang lebih mungkin - mendapatkan total 11 (peristiwa A) atau 12 poin (peristiwa B)?
Jawaban
1. 1/3. 2 . B/(A+B). 3 . 0,2. 4 . (B-1)/(A+B-1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 - kemungkinan mendapatkan total 9 poin; p 2 = 27/216 - kemungkinan mendapatkan total 10 poin; hal 2 > hal 1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).
Pertanyaan
1. Peluang suatu kejadian disebut?
2. Berapakah probabilitas suatu kejadian yang dapat diandalkan?
3. Berapa peluang terjadinya suatu kejadian yang mustahil?
4. Berapakah batas peluang terjadinya suatu kejadian acak?
5. Berapa batas peluang suatu kejadian?
6. Definisi probabilitas apa yang disebut klasik?