Teori probabilitas: rumus dan contoh pemecahan masalah. Rumus teori probabilitas dan contoh pemecahan masalah

Mengetahui bahwa probabilitas dapat diukur, mari kita coba menyatakannya dalam angka. Ada tiga cara yang mungkin.

Beras. 1.1. Mengukur Probabilitas

PROBABILITAS DITENTUKAN OLEH SYMMETRY

Ada situasi-situasi di mana hasil-hasil yang mungkin terjadi mempunyai kemungkinan yang sama. Misalnya, ketika sebuah koin dilempar satu kali, jika koinnya standar, peluang munculnya “kepala” atau “ekor” adalah sama, yaitu. P("kepala") = P("ekor"). Karena hanya dua hasil yang mungkin terjadi, maka P(“kepala”) + P(“ekor”) = 1, oleh karena itu, P(“kepala”) = P(“ekor”) = 0,5.

Dalam percobaan yang hasil-hasilnya mempunyai peluang terjadinya yang sama, peluang terjadinya kejadian E, P (E) sama dengan:

Contoh 1.1. Koin tersebut dilempar sebanyak tiga kali. Berapa peluang terambilnya dua kepala dan satu ekor?

Pertama, mari kita cari semua hasil yang mungkin: Untuk memastikan semuanya pilihan yang memungkinkan kita menemukannya, mari kita gunakan diagram pohon (lihat Bab 1, Bagian 1.3.1).

Jadi, ada 8 kemungkinan hasil yang sama, jadi peluang terjadinya kejadian tersebut adalah 1/8. Peristiwa E - dua kepala dan ekor - tiga terjadi. Itu sebabnya:

Contoh 1.2. Sebuah dadu standar dilempar dua kali. Berapa peluang terambilnya skor 9 atau lebih?

Mari kita temukan semua kemungkinan hasil.

Tabel 1.2. Jumlah total poin yang diperoleh dengan melempar dua kali dadu

Jadi, dalam 10 dari 36 kemungkinan hasil, jumlah poinnya adalah 9 atau oleh karena itu:

PROBABILITAS YANG DITENTUKAN SECARA EMPIRIS

Contoh dengan koin dari meja. 1.1 dengan jelas menggambarkan mekanisme penentuan probabilitas.

Mengingat jumlah total percobaan yang berhasil, probabilitas hasil yang diperlukan dihitung sebagai berikut:

Rasio adalah frekuensi relatif terjadinya suatu hasil tertentu selama percobaan yang cukup lama. Probabilitas dihitung baik berdasarkan data percobaan yang dilakukan, berdasarkan data masa lalu.

Contoh 1.3. Dari lima ratus lampu listrik yang diuji, 415 bekerja lebih dari 1000 jam. Berdasarkan data percobaan ini, kita dapat menyimpulkan bahwa kemungkinan lampu berfungsi normal dari jenis ini lebih dari 1000 jam adalah:

Catatan. Pengujian bersifat merusak, sehingga tidak semua lampu dapat diuji. Jika hanya satu lampu yang diuji, probabilitasnya adalah 1 atau 0 (yaitu apakah lampu tersebut dapat bertahan 1000 jam atau tidak). Oleh karena itu perlunya mengulangi percobaan.

Contoh 1.4. Dalam tabel Tabel 1.3 menunjukkan data masa kerja laki-laki yang bekerja di perusahaan:

Tabel 1.3. Pengalaman kerja pria

Berapa probabilitas bahwa orang berikutnya yang dipekerjakan oleh perusahaan tersebut akan bekerja setidaknya selama dua tahun:

Larutan.

Tabel tersebut menunjukkan bahwa 38 dari 100 karyawan telah bekerja di perusahaan selama lebih dari dua tahun. Probabilitas empiris bahwa karyawan berikutnya akan tetap bekerja di perusahaan tersebut selama lebih dari dua tahun adalah:

Pada saat yang sama, kami berasumsi demikian karyawan baru“Itu tipikal, dan kondisi kerja tidak berubah.

PENILAIAN PROBABILITAS SUBJEKTIF

Dalam bisnis, sering kali muncul situasi di mana tidak ada simetri, dan juga tidak ada data eksperimen. Oleh karena itu, menentukan kemungkinan hasil yang menguntungkan di bawah pengaruh pandangan dan pengalaman peneliti bersifat subjektif.

Contoh 1.5.

1. Seorang ahli investasi memperkirakan kemungkinan memperoleh keuntungan dalam dua tahun pertama adalah 0,6.

2. Ramalan manajer pemasaran: peluang terjualnya 1000 unit suatu produk pada bulan pertama setelah kemunculannya di pasar adalah 0,4.

“Kecelakaan bukanlah suatu kebetulan”... Kedengarannya seperti perkataan seorang filsuf, namun kenyataannya, mempelajari kecelakaan adalah takdirnya. ilmu pengetahuan yang hebat matematika. Dalam matematika, peluang ditangani dengan teori probabilitas. Rumus dan contoh tugas, serta definisi utama ilmu ini akan disajikan dalam artikel.

Apa itu teori probabilitas?

Teori probabilitas merupakan salah satu disiplin ilmu matematika yang mempelajari kejadian acak.

Agar lebih jelas, mari kita berikan contoh kecil: Jika Anda melempar koin, koin tersebut mungkin mendarat di bagian kepala atau ekor. Saat koin berada di udara, kedua kemungkinan ini mungkin terjadi. Artinya, probabilitas akibat yang mungkin terjadi adalah 1:1. Jika seseorang diambil dari setumpuk 36 kartu, maka probabilitasnya akan ditunjukkan sebagai 1:36. Nampaknya tidak ada yang perlu dieksplorasi dan diprediksi di sini, apalagi dengan bantuan rumus matematika. Namun, jika Anda mengulangi tindakan tertentu berkali-kali, Anda dapat mengidentifikasi pola tertentu dan, berdasarkan pola tersebut, memprediksi hasil peristiwa dalam kondisi lain.

Untuk meringkas semua hal di atas, teori probabilitas dalam pengertian klasik mempelajari kemungkinan terjadinya salah satu peristiwa yang mungkin terjadi dalam nilai numerik.

Dari halaman sejarah

Teori probabilitas, rumus dan contoh tugas pertama kali muncul pada Abad Pertengahan, ketika upaya untuk memprediksi hasil permainan kartu pertama kali muncul.

Awalnya, teori probabilitas tidak ada hubungannya dengan matematika. Hal ini dibenarkan oleh fakta empiris atau sifat suatu peristiwa yang dapat direproduksi dalam praktik. Karya pertama di bidang ini sebagai disiplin matematika muncul pada abad ke-17. Pendirinya adalah Blaise Pascal dan Pierre Fermat. Lama sekali mereka belajar berjudi dan melihat pola-pola tertentu, yang mereka putuskan untuk diberitahukan kepada publik.

Teknik yang sama ditemukan oleh Christiaan Huygens, meskipun ia tidak mengetahui hasil penelitian Pascal dan Fermat. Konsep "teori probabilitas", rumus dan contoh, yang dianggap pertama dalam sejarah disiplin ilmu ini, diperkenalkan olehnya.

Karya-karya Jacob Bernoulli, teorema Laplace dan Poisson juga tidak kalah pentingnya. Mereka menjadikan teori probabilitas lebih seperti disiplin matematika. Teori probabilitas, rumus dan contoh tugas dasar mendapat bentuknya saat ini berkat aksioma Kolmogorov. Akibat semua perubahan tersebut, teori probabilitas menjadi salah satu cabang matematika.

Konsep dasar teori probabilitas. Acara

Konsep utama dari disiplin ini adalah “peristiwa”. Ada tiga jenis acara:

Dapat diandalkan. Hal-hal itu akan tetap terjadi (koin akan jatuh).
Mustahil. Peristiwa yang tidak akan terjadi dalam keadaan apapun (koin akan tetap menggantung di udara).
Acak. Yang akan terjadi atau tidak akan terjadi. Hal tersebut dapat dipengaruhi oleh berbagai faktor yang sangat sulit diprediksi. Jika kita berbicara tentang sebuah koin, maka ada faktor acak yang dapat mempengaruhi hasilnya: ciri fisik koin, bentuknya, posisi aslinya, kekuatan lemparannya, dll.

Semua peristiwa dalam contoh ditunjukkan dengan huruf kapital dalam huruf latin, kecuali P yang mempunyai peran berbeda. Misalnya:

A = “siswa datang untuk kuliah.”
Ā = “siswa tidak datang ke perkuliahan.”

Dalam tugas praktek, peristiwa biasanya dituliskan dengan kata-kata.

Salah satu karakteristik yang paling penting peristiwa - kemungkinannya sama. Artinya, jika Anda melempar koin, semua varian awal jatuhnya mungkin terjadi hingga koin tersebut jatuh. Namun kejadian-kejadian juga tidak mungkin terjadi. Hal ini terjadi ketika seseorang dengan sengaja mempengaruhi suatu hasil. Misalnya, "berlabel" bermain kartu atau dadu yang pusat gravitasinya digeser.

Acara juga bisa kompatibel dan tidak kompatibel. Peristiwa yang kompatibel tidak mengecualikan terjadinya satu sama lain. Misalnya:

A = “mahasiswa datang ke perkuliahan.”
B = “mahasiswa datang ke perkuliahan.”

Peristiwa-peristiwa ini tidak bergantung satu sama lain, dan terjadinya salah satu peristiwa tersebut tidak mempengaruhi terjadinya peristiwa lainnya. Peristiwa-peristiwa yang tidak sesuai ditentukan oleh fakta bahwa terjadinya suatu peristiwa tidak termasuk terjadinya peristiwa lainnya. Jika kita berbicara tentang koin yang sama, maka hilangnya “ekor” membuat tidak mungkin munculnya “kepala” dalam percobaan yang sama.

Tindakan pada acara

Peristiwa dapat dikalikan dan ditambahkan; oleh karena itu, kata penghubung logis “DAN” dan “ATAU” diperkenalkan dalam disiplin ilmu.

Besarnya ditentukan oleh fakta bahwa peristiwa A atau B, atau dua peristiwa, dapat terjadi secara bersamaan. Jika keduanya tidak kompatibel, pilihan terakhir tidak mungkin, A atau B akan digulirkan.

Perkalian kejadian terdiri dari kemunculan A dan B secara bersamaan.

Sekarang kita dapat memberikan beberapa contoh untuk lebih mengingat dasar-dasar, teori probabilitas, dan rumus. Contoh penyelesaian masalah dibawah ini.

Tugas 1: Perusahaan mengikuti kompetisi untuk mendapatkan kontrak untuk tiga jenis pekerjaan. Kemungkinan kejadian yang mungkin terjadi:

A = “perusahaan akan menerima kontrak pertama.”
A 1 = “perusahaan tidak akan menerima kontrak pertama.”
B = “perusahaan akan menerima kontrak kedua.”
B 1 = “perusahaan tidak akan menerima kontrak kedua”
C = “perusahaan akan menerima kontrak ketiga.”
C 1 = “perusahaan tidak akan menerima kontrak ketiga.”

Dengan menggunakan tindakan pada peristiwa, kami akan mencoba mengungkapkan situasi berikut:

K = “perusahaan akan menerima semua kontrak.”

Dalam bentuk matematika, persamaannya akan berbentuk sebagai berikut: K = ABC.

M = “perusahaan tidak akan menerima satu kontrak pun.”

M = SEBUAH 1 B 1 C 1.

Mari kita rumitkan tugasnya: H = “perusahaan akan menerima satu kontrak.” Karena tidak diketahui kontrak mana yang akan diterima perusahaan (pertama, kedua atau ketiga), maka perlu dicatat seluruh rangkaian kejadian yang mungkin terjadi:

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

Dan 1 BC 1 adalah rangkaian peristiwa dimana perusahaan tidak menerima kontrak pertama dan ketiga, melainkan menerima kontrak kedua. Lainnya dicatat menggunakan metode yang sesuai. peristiwa yang mungkin terjadi. Simbol υ dalam disiplin menunjukkan kata penghubung “ATAU”. Jika kita menerjemahkan contoh di atas ke dalam bahasa manusia, maka perusahaan akan menerima kontrak ketiga, atau kedua, atau pertama. Juga Anda dapat menuliskan kondisi lain dalam disiplin “Teori Probabilitas”. Rumus dan contoh pemecahan masalah yang disajikan di atas akan membantu Anda melakukannya sendiri.

Sebenarnya, kemungkinannya

Barangkali, dalam disiplin matematika ini, peluang suatu kejadian adalah konsep sentral. Ada 3 definisi probabilitas:

klasik;
statistik;
geometris.

Masing-masing mempunyai tempatnya sendiri dalam studi probabilitas. Teori probabilitas, rumus dan contoh (kelas 9) terutama digunakan definisi klasik, yang terdengar seperti ini:

Probabilitas situasi A sama dengan rasio jumlah hasil yang mendukung terjadinya situasi tersebut dengan jumlah semua hasil yang mungkin.

Rumusnya terlihat seperti ini: P(A)=m/n.

A sebenarnya adalah sebuah peristiwa. Jika muncul kasus yang berlawanan dengan A, dapat ditulis sebagai Ā atau A 1 .

m adalah jumlah kemungkinan kasus yang menguntungkan.

n - semua kejadian yang bisa terjadi.

Misalnya, A = “gambar kartu bergambar hati”. Ada 36 kartu dalam satu dek standar, 9 di antaranya berbentuk hati. Dengan demikian, rumus penyelesaian masalah tersebut akan terlihat seperti:

P(A)=9/36=0,25.

Akibatnya, peluang terambilnya kartu bergambar hati dari dek adalah 0,25.

Menuju matematika yang lebih tinggi

Sekarang sudah sedikit diketahui apa itu teori probabilitas, rumus dan contoh penyelesaian masalah yang ditemui kurikulum sekolah. Namun, teori probabilitas juga ditemukan matematika yang lebih tinggi yang diajarkan di universitas. Paling sering mereka beroperasi dengan definisi geometris dan statistik dari teori dan rumus kompleks.

Teori probabilitas sangat menarik. Lebih baik mulai mempelajari rumus dan contoh (matematika tingkat tinggi) dari yang kecil - dengan definisi probabilitas statistik (atau frekuensi).

Pendekatan statistik tidak bertentangan dengan pendekatan klasik, tetapi sedikit memperluasnya. Jika dalam kasus pertama perlu untuk menentukan dengan tingkat probabilitas berapa suatu peristiwa akan terjadi, maka dalam metode ini Anda perlu menentukan seberapa sering hal itu akan terjadi. Di sini konsep baru “frekuensi relatif” diperkenalkan, yang dapat dilambangkan dengan W n (A). Rumusnya tidak berbeda dengan rumus klasik:

Jika rumus klasik dihitung untuk prediksi, kemudian statistik - berdasarkan hasil percobaan. Mari kita ambil tugas kecil sebagai contoh.

Departemen kontrol teknologi memeriksa kualitas produk. Di antara 100 produk, 3 produk ditemukan berkualitas buruk. Bagaimana cara mencari probabilitas frekuensi suatu produk yang berkualitas?

A = “penampilan produk yang berkualitas.”

W n (A)=97/100=0,97

Jadi, frekuensi suatu produk yang berkualitas adalah 0,97. Dari mana Anda mendapatkan 97? Dari 100 produk yang diperiksa, 3 produk ditemukan kualitasnya buruk. Kita kurangi 3 dari 100, kita dapat 97, ini jumlah barang yang berkualitas.

Sedikit tentang kombinatorik

Metode teori probabilitas lainnya disebut kombinatorik. Prinsip dasarnya adalah jika suatu pilihan tertentu A dapat dibuat m dengan cara yang berbeda, dan pemilihan B dalam n cara berbeda, maka pemilihan A dan B dapat dilakukan dengan cara perkalian.

Misalnya ada 5 jalan yang menghubungkan kota A ke kota B. Ada 4 jalur dari kota B ke kota C. Ada berapa cara yang dapat kamu tempuh dari kota A ke kota C?

Sederhana saja: 5x4=20, yaitu dengan dua puluh cara berbeda Anda dapat berpindah dari titik A ke titik C.

Mari kita mempersulit tugas ini. Berapa banyak cara menyusun kartu dalam solitaire? Ada 36 kartu di dek - ini adalah titik awalnya. Untuk mengetahui banyaknya cara, Anda perlu “mengurangi” satu kartu sekaligus dari titik awal dan mengalikannya.

Artinya, 36x35x34x33x32...x2x1= hasilnya tidak sesuai dengan layar kalkulator, jadi cukup diberi tanda 36!. Tanda "!" di sebelah angka menunjukkan bahwa seluruh rangkaian angka dikalikan.

Dalam kombinatorik terdapat konsep seperti permutasi, penempatan dan kombinasi. Masing-masing mempunyai formula tersendiri.

Himpunan yang tersusun dari unsur-unsur suatu himpunan disebut susunan. Penempatannya dapat diulang, yaitu satu elemen dapat digunakan beberapa kali. Dan tanpa pengulangan, ketika elemen tidak terulang. n adalah semua elemen, m adalah elemen yang ikut serta dalam penempatan. Rumus penempatan tanpa pengulangan akan terlihat seperti:

A n m =n!/(nm)!

Koneksi n elemen yang hanya berbeda urutan penempatannya disebut permutasi. Dalam matematika bentuknya seperti: P n = n!

Gabungan n unsur m adalah senyawa yang penting unsur-unsurnya dan berapa jumlah seluruhnya. Rumusnya akan terlihat seperti:

A n m =n!/m!(n-m)!

rumus Bernoulli

Dalam teori probabilitas, serta dalam setiap disiplin ilmu, terdapat karya peneliti terkemuka di bidangnya yang membawanya tingkat baru. Salah satu karyanya adalah rumus Bernoulli, yang memungkinkan Anda menentukan probabilitas suatu peristiwa tertentu terjadi dalam kondisi independen. Hal ini menunjukkan bahwa terjadinya A dalam suatu percobaan tidak bergantung pada ada tidaknya kejadian yang sama pada percobaan sebelumnya atau berikutnya.

Persamaan Bernoulli:

P n (m) = C n m ×p m ×q n-m.

Peluang (p) terjadinya kejadian (A) adalah konstan untuk setiap percobaan. Probabilitas bahwa situasi tersebut akan terjadi tepat m kali dalam n jumlah percobaan akan dihitung dengan rumus yang disajikan di atas. Oleh karena itu, timbul pertanyaan bagaimana cara mengetahui bilangan q.

Oleh karena itu, jika peristiwa A terjadi sebanyak p beberapa kali, maka peristiwa tersebut mungkin tidak terjadi. Satuan adalah angka yang digunakan untuk menunjukkan semua hasil dari suatu situasi dalam suatu disiplin ilmu. Oleh karena itu, q adalah bilangan yang menunjukkan kemungkinan tidak terjadinya suatu peristiwa.

Sekarang Anda tahu rumus Bernoulli (teori probabilitas). Contoh pemecahan masalah (tingkat pertama) akan kita bahas di bawah ini.

Tugas 2: Seorang pengunjung toko akan melakukan pembelian dengan probabilitas 0,2. 6 pengunjung secara mandiri memasuki toko. Seberapa besar kemungkinan pengunjung akan melakukan pembelian?

Solusi: Karena tidak diketahui berapa banyak pengunjung yang harus melakukan pembelian, satu atau keenamnya, maka perlu dihitung semuanya kemungkinan yang mungkin terjadi, menggunakan rumus Bernoulli.

A = “pengunjung akan melakukan pembelian.”

Dalam hal ini: p = 0,2 (seperti yang ditunjukkan dalam tugas). Oleh karena itu, q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (karena ada 6 pelanggan di toko tersebut). Angka m akan bervariasi dari 0 (tidak ada satu pun pelanggan yang melakukan pembelian) hingga 6 (semua pengunjung toko akan membeli sesuatu). Hasilnya, kami mendapatkan solusinya:

P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 ×q 6 =q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Tidak ada pembeli yang akan melakukan pembelian dengan probabilitas 0,2621.

Bagaimana lagi rumus Bernoulli (teori probabilitas) digunakan? Contoh penyelesaian masalah (tingkat kedua) di bawah ini.

Setelah contoh di atas, timbul pertanyaan tentang kemana perginya C dan r. Sehubungan dengan p, bilangan pangkat 0 akan sama dengan satu. Sedangkan untuk C dapat dicari dengan rumus:

C n m = n! /m!(nm)!

Karena pada contoh pertama m = 0, masing-masing C = 1, yang pada prinsipnya tidak mempengaruhi hasil. Menggunakan rumus baru, mari kita coba mencari tahu berapa peluang dua orang pengunjung membeli suatu barang.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Teori probabilitas tidaklah rumit. Rumus Bernoulli, contohnya disajikan di atas, adalah bukti langsungnya.

rumus Poisson

Persamaan Poisson digunakan untuk menghitung situasi acak dengan probabilitas rendah.

Rumus dasar:

P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .

Dalam hal ini λ = nxp. Berikut adalah rumus Poisson sederhana (teori probabilitas). Kami akan mempertimbangkan contoh pemecahan masalah di bawah ini.

Tugas 3: Pabrik memproduksi 100.000 suku cadang. Terjadinya bagian yang rusak = 0,0001. Berapa peluang terdapat 5 bagian yang rusak dalam satu batch?

Seperti yang Anda lihat, pernikahan adalah peristiwa yang tidak mungkin terjadi, dan oleh karena itu rumus Poisson (teori probabilitas) digunakan untuk perhitungan. Contoh penyelesaian masalah semacam ini tidak berbeda dengan tugas lain dalam disiplin ilmu; kami mengganti data yang diperlukan ke dalam rumus yang diberikan:

A = “bagian yang dipilih secara acak akan rusak.”

p = 0,0001 (sesuai kondisi tugas).

n = 100000 (jumlah bagian).

m = 5 (bagian yang rusak). Kami mengganti data ke dalam rumus dan mendapatkan:

Rp 100.000 (5) = 10 5 /5! X e -10 = 0,0375.

Sama seperti rumus Bernoulli (teori probabilitas), contoh penyelesaian yang ditulis di atas, persamaan Poisson memiliki e yang tidak diketahui, sebenarnya dapat dicari dengan rumus:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Namun, ada tabel khusus yang memuat hampir semua nilai e.

Teorema De Moivre-Laplace

Jika dalam skema Bernoulli jumlah percobaan cukup besar, dan peluang terjadinya kejadian A pada semua skema adalah sama, maka peluang terjadinya kejadian A beberapa kali dalam serangkaian pengujian dapat dicari dengan: Rumus Laplace:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

Untuk lebih mengingat rumus Laplace (teori probabilitas), contoh soal di bawah ini dapat membantu.

Pertama, cari X m, substitusikan datanya (semuanya tercantum di atas) ke dalam rumus dan dapatkan 0,025. Dengan menggunakan tabel, kita menemukan bilangan ϕ(0,025), yang nilainya 0,3988. Sekarang Anda dapat mengganti semua data ke dalam rumus:

P 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Jadi, peluang bahwa penerbang tersebut akan bekerja tepat 267 kali adalah 0,03.

rumus Bayes

Rumus Bayes (teori probabilitas), contoh penyelesaian masalah yang akan diberikan di bawah ini, adalah persamaan yang menggambarkan probabilitas suatu peristiwa berdasarkan keadaan yang mungkin terkait dengannya. Rumus dasarnya adalah sebagai berikut:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A dan B adalah kejadian pasti.

P(A|B) merupakan peluang bersyarat, yaitu kejadian A dapat terjadi asalkan kejadian B benar.

P (B|A) - probabilitas bersyarat dari kejadian B.

Jadi, bagian terakhir dari kursus singkat “Teori Probabilitas” adalah rumus Bayes, contoh penyelesaian masalah ada di bawah ini.

Tugas 5: Telepon dari tiga perusahaan dibawa ke gudang. Pada saat yang sama, pangsa ponsel yang diproduksi di pabrik pertama adalah 25%, di pabrik kedua - 60%, di pabrik ketiga - 15%. Diketahui juga bahwa rata-rata persentase produk cacat di pabrik pertama adalah 2%, di pabrik kedua - 4%, dan di pabrik ketiga - 1%. Anda perlu mencari kemungkinan bahwa telepon yang dipilih secara acak akan rusak.

A = “telepon yang dipilih secara acak.”

B 1 - telepon yang diproduksi pabrik pertama. Dengan demikian, pengenalan B 2 dan B 3 akan muncul (untuk pabrik kedua dan ketiga).

Hasilnya kita mendapatkan:

P(B1) = 25%/100% = 0,25; P(B 2) = 0,6; P (B 3) = 0,15 - jadi kami menemukan probabilitas setiap opsi.

Sekarang kita perlu menemukannya probabilitas bersyarat peristiwa yang diinginkan, yaitu kemungkinan produk cacat di perusahaan:

P (A/B 1) = 2%/100% = 0,02;

P(A/B 2) = 0,04;

P (A/B 3) = 0,01.

Sekarang mari kita substitusikan data tersebut ke dalam rumus Bayes dan dapatkan:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

Artikel ini menyajikan teori probabilitas, rumus dan contoh pemecahan masalah, tetapi ini hanyalah puncak gunung es dari suatu disiplin ilmu yang luas. Dan setelah semua yang telah ditulis, masuk akal untuk mengajukan pertanyaan apakah teori probabilitas diperlukan dalam kehidupan. Untuk orang biasa Sulit untuk menjawabnya, lebih baik bertanya kepada seseorang yang telah menggunakannya untuk memenangkan jackpot lebih dari satu kali.

Peluang terjadinya suatu peristiwa pada suatu pengujian tertentu sama dengan rasio , dimana:

Jumlah total semua kemungkinan hasil dasar yang sama dari suatu tes tertentu, yang bentuknya kumpulan acara lengkap;

Jumlah hasil dasar yang mendukung acara tersebut.

Masalah 1

Sebuah guci berisi 15 bola putih, 5 bola merah, dan 10 bola hitam. 1 bola diambil secara acak, tentukan peluang terambilnya: a) putih, b) merah, c) hitam.

Larutan: Prasyarat terpenting untuk menggunakan definisi klasik tentang probabilitas adalah kemampuan untuk menghitung jumlah total hasil.

Ada total 15 + 5 + 10 = 30 bola di dalam guci, dan fakta berikut ini benar adanya:

Mengambil bola apa pun juga bisa dilakukan (kesempatan yang sama hasil), sedangkan hasilnya dasar dan bentuk kumpulan acara lengkap (yaitu, sebagai hasil tes, salah satu dari 30 bola pasti akan dikeluarkan).

Dengan demikian, jumlah total hasil:

Perhatikan kejadian berikut: - Sebuah bola putih akan diambil dari guci. Peristiwa ini didukung oleh hasil-hasil dasar, oleh karena itu, menurut definisi klasik:
- peluang terambilnya bola putih dari guci.

Anehnya, bahkan dalam tugas sederhana seperti itu, ketidakakuratan yang serius dapat terjadi. Di manakah letak jebakannya di sini? Tidaklah benar untuk memperdebatkan hal itu di sini “karena separuh bola berwarna putih, maka peluang terambilnya bola putih » . Definisi klasik dari probabilitas mengacu pada DASAR hasilnya, dan pecahannya harus dituliskan!

Demikian pula dengan poin-poin lain, pertimbangkan peristiwa-peristiwa berikut:

Sebuah bola merah akan diambil dari guci;
- akan diambil bola hitam dari guci.

Suatu peristiwa disukai oleh 5 hasil dasar, dan suatu peristiwa disukai oleh 10 hasil dasar. Jadi probabilitas yang sesuai adalah:

Pemeriksaan khas dari banyak tugas server dilakukan dengan menggunakan teorema jumlah peluang kejadian-kejadian yang membentuk kelompok lengkap. Dalam kasus kita, kejadian-kejadian tersebut membentuk grup lengkap, yang berarti jumlah probabilitas yang bersesuaian harus sama dengan satu: .

Mari kita periksa apakah ini benar: itulah yang ingin saya pastikan.

Menjawab:

Dalam praktiknya, opsi desain solusi “kecepatan tinggi” adalah hal yang umum:

Total: 15 + 5 + 10 = 30 bola di dalam guci. Menurut definisi klasik:
- peluang terambilnya bola putih dari guci;
- kemungkinan terambilnya bola merah dari guci;
- peluang terambilnya bola hitam dari guci.

Menjawab:

Masalah 2

Toko tersebut menerima 30 lemari es, lima di antaranya memiliki cacat produksi. Satu lemari es dipilih secara acak. Berapa peluangnya tanpa cacat?

Masalah 3

Saat menghubungi nomor telepon, pelanggan lupa dua digit terakhir, tetapi ingat bahwa salah satunya adalah nol dan yang lainnya ganjil. Temukan kemungkinan dia akan memanggil nomor yang benar.

Catatan: nol adalah bilangan genap (habis dibagi 2 tanpa sisa)

Larutan: Pertama kita mencari jumlah total hasil. Dengan syarat, pelanggan mengingat salah satu angkanya nol, dan angka lainnya ganjil. Di sini lebih rasional untuk tidak membelah rambut kombinatorik dan mengambil keuntungan metode pencatatan langsung hasil . Artinya, saat membuat solusi, kita cukup menuliskan semua kombinasinya:

01, 03, 05, 07, 09

10, 30, 50, 70, 90

Dan kami menghitungnya - totalnya: 10 hasil.

Hanya ada satu hasil yang menguntungkan: angka yang benar.

Menurut definisi klasik:
- kemungkinan pelanggan akan menghubungi nomor yang benar

Menjawab: 0,1

Tugas lanjutan untuk solusi mandiri:

Masalah 4

Pelanggan lupa kode PIN untuk kartu SIM-nya, tetapi ingat bahwa di dalamnya terdapat tiga angka “lima”, dan salah satu angkanya adalah “tujuh” atau “delapan”. Berapa probabilitas otorisasi berhasil pada percobaan pertama?

Di sini Anda juga dapat mengembangkan gagasan tentang kemungkinan pelanggan akan menghadapi hukuman berupa kode puk, namun sayangnya alasannya sudah melampaui cakupan pelajaran ini.

Solusi dan jawabannya ada di bawah ini.

Terkadang membuat daftar kombinasi ternyata menjadi tugas yang sangat melelahkan. Secara khusus, hal ini juga terjadi pada kasus berikut ini grup populer soal pelemparan 2 buah dadu (lebih jarang - lebih banyak):

Masalah 5

Tentukan peluang pelemparan dua dadu, jumlah totalnya adalah:

a) lima poin;

b) tidak lebih dari empat poin;

c) dari 3 hingga 9 poin inklusif.

Larutan: temukan jumlah total hasil:

Cara agar sisi dadu pertama bisa rontok Dan sisi kubus ke-2 bisa rontok dengan cara yang berbeda; Oleh aturan untuk mengalikan kombinasi, jumlah: kemungkinan kombinasi. Dengan kata lain, setiap muka kubus ke-1 dapat membentuk pasangan terurut dengan masing-masing tepi kubus ke-2. Mari kita sepakat untuk menuliskan pasangan tersebut dalam bentuk , dimana adalah bilangan yang muncul pada dadu pertama, dan merupakan bilangan yang muncul pada dadu kedua.

Misalnya:

Dadu pertama mendapat 3 poin, dadu kedua mendapat 5 poin, total poin: 3 + 5 = 8;
- dadu pertama mencetak 6 poin, dadu kedua - 1 poin, jumlah poin: 6 + 1 = 7;
- 2 poin dilempar pada kedua dadu, jumlah: 2 + 2 = 4.

Jelasnya, jumlah terkecil diberikan oleh sepasang, dan jumlah terbesar diberikan oleh dua “enam”.

a) Perhatikan kejadian: - pada pelemparan dua buah dadu, akan muncul 5 angka. Mari kita tulis dan hitung jumlah hasil yang mendukung kejadian ini:

Total: 4 hasil yang menguntungkan. Menurut definisi klasik:
- probabilitas yang diinginkan.

b) Perhatikan kejadiannya: - tidak lebih dari 4 poin yang akan muncul. Artinya, 2, atau 3, atau 4 poin. Sekali lagi kami membuat daftar dan menghitung kombinasi yang disukai, di sebelah kiri saya akan menuliskan jumlah total poin, dan setelah titik dua - pasangan yang cocok:

Total: 6 kombinasi yang menguntungkan. Dengan demikian:
- probabilitas bahwa tidak lebih dari 4 poin akan diperoleh.

c) Pertimbangkan acaranya: - 3 hingga 9 poin akan bergulir, inklusif. Di sini kamu bisa mengambil jalan lurus, tapi... entah kenapa kamu tidak mau. Ya, beberapa pasangan telah disebutkan di paragraf sebelumnya, namun masih banyak pekerjaan yang harus diselesaikan.

Apa cara terbaik untuk melanjutkan? Dalam kasus seperti itu, jalan memutar menjadi rasional. Mari kita pertimbangkan kejadian sebaliknya: - Akan muncul 2 atau 10 atau 11 atau 12 poin.

Apa gunanya? Peristiwa sebaliknya disukai oleh sejumlah kecil pasangan:

Total: 7 hasil yang menguntungkan.

Menurut definisi klasik:
- kemungkinan Anda mendapatkan kurang dari tiga atau lebih dari 9 poin.

Orang yang sangat teliti dapat membuat daftar ke-29 pasangan tersebut, sehingga menyelesaikan pemeriksaan.

Menjawab:

Pada soal berikutnya kita akan mengulangi tabel perkalian:

Masalah 6

Tentukan peluang bahwa pada pelemparan dua buah dadu, hasil kali poinnya adalah:

a) akan sama dengan tujuh;

b) setidaknya akan ada 20;

c) akan genap.

Solusi Cepat dan jawabannya di akhir pelajaran.

Masalah 7

3 orang memasuki lift gedung 20 lantai di lantai satu. Dan ayo pergi. Temukan probabilitas bahwa:

a) mereka akan keluar di lantai yang berbeda;

b) dua orang akan keluar di lantai yang sama;

c) semua orang akan turun di lantai yang sama.

Larutan: mari kita hitung jumlah hasil: cara penumpang pertama keluar dari lift Dan cara - penumpang ke-2 Dan cara - penumpang ketiga. Menurut aturan perkalian kombinasi: hasil yang mungkin. Yaitu, setiap Lantai keluar orang pertama dapat digabungkan dengan semua orang Lantai keluar orang ke-2 dan dengan semua orang Lantai keluar orang ke-3.

Metode kedua didasarkan pada penempatan dengan pengulangan:
- siapa pun yang memahaminya lebih jelas.

a) Perhatikan kejadian : - Penumpang akan turun di lantai yang berbeda. Mari kita hitung jumlah hasil yang menguntungkan:
3 penumpang di lantai berbeda dapat keluar menggunakan metode ini. Buatlah penalaran sendiri berdasarkan rumus tersebut.

Menurut definisi klasik:

c) Perhatikan kejadian : - penumpang akan turun di lantai yang sama. Peristiwa ini memiliki hasil yang menguntungkan dan, menurut definisi klasik, probabilitas yang sesuai: .

Kami masuk dari pintu belakang:

b) Perhatikan kejadian: - dua orang akan turun di lantai yang sama (dan, karenanya, yang ketiga ada di sisi lain).

Formulir acara kelompok penuh (Kami yakin tidak ada orang yang tertidur di dalam lift dan lift tidak akan macet, yang artinya.

Hasilnya, probabilitas yang diinginkan adalah:

Dengan demikian, teorema penjumlahan peluang kejadian-kejadian yang membentuk kelompok lengkap, tidak hanya nyaman, tetapi juga menjadi penyelamat nyata!

Menjawab:

Ketika pecahan besar diperoleh, maka dalam kondisi yang baik akan menunjukkan perkiraan nilai desimalnya. Biasanya dibulatkan menjadi 2-3-4 desimal.

Karena kejadian poin “a”, “be”, “ve” membentuk grup yang lengkap, masuk akal untuk melakukan pemeriksaan kontrol, dan lebih baik dengan nilai perkiraan:

Itu yang perlu diperiksa.

Terkadang, karena kesalahan pembulatan, hasilnya mungkin 0,9999 atau 1,0001; dalam hal ini, salah satu nilai perkiraan harus “disesuaikan” sehingga totalnya adalah satuan “murni”.

Sendiri:

Masalah 8

10 uang logam dilempar. Temukan probabilitas bahwa:

a) semua koin akan menunjukkan kepala;

b) 9 koin akan mendaratkan kepala, dan satu koin akan mendaratkan ekor;

c) kepala akan muncul di setengah koin.

Masalah 9

7 orang secara acak duduk di bangku tujuh kursi. Berapa probabilitas bahwa dua orang tertentu akankah mereka berada di dekatnya?

Larutan: Tidak ada masalah dengan jumlah total hasil:
7 orang dapat duduk di bangku dengan cara yang berbeda.

Tapi bagaimana cara menghitung jumlah hasil yang menguntungkan? Rumus sepele tidak cocok dan satu-satunya cara- ini adalah alasan yang logis. Pertama, mari kita perhatikan situasi ketika Sasha dan Masha bersebelahan di tepi kiri bangku cadangan:

Yang jelas, urutannya penting: Sasha boleh duduk di kiri, Masha di kanan, dan sebaliknya. Tapi bukan itu saja - untuk semua orang Dari dua kasus tersebut, masyarakat lainnya dapat duduk di kursi kosong dengan cara lain. Secara kombinatorial, Sasha dan Masha dapat disusun ulang di tempat yang berdekatan dengan cara berikut: Dan Untuk setiap permutasi seperti itu, orang lain dapat diatur ulang menurut caranya.

Jadi, menurut aturan perkalian kombinasi, akan muncul hasil yang menguntungkan.

Tapi bukan itu saja! Fakta di atas memang benar adanya untuk masing-masing pasangan tempat tetangga:

Menarik untuk dicatat bahwa jika bangku itu “bulat” (menghubungkan kursi kiri dan kanan), kemudian terbentuk pasangan tempat yang berdekatan ketujuh tambahan. Tapi jangan sampai kita terganggu. Menurut prinsip yang sama dalam mengalikan kombinasi, kita memperoleh jumlah akhir dari hasil yang diinginkan:

Menurut definisi klasik:
- kemungkinan bahwa dua orang tertentu akan berada di dekatnya.

Menjawab:

Masalah 10

Dua benteng, putih dan hitam, ditempatkan secara acak di papan catur berisi 64 sel. Seberapa besar kemungkinan mereka tidak akan “mengalahkan” satu sama lain?

Referensi: papan catur memiliki ukuran sel; benteng hitam dan putih “saling mengalahkan” ketika mereka berada di peringkat yang sama atau di vertikal yang sama

Pastikan untuk membuat gambar skema papan, dan lebih baik lagi jika ada catur di dekatnya. Berpikir di atas kertas adalah satu hal, dan hal lain lagi jika Anda menyusun potongan-potongan itu dengan tangan Anda sendiri.

Masalah 11

Berapa peluang keempat kartu yang dibagikan berisi satu kartu as dan satu raja?

Mari kita hitung jumlah total hasil. Dalam berapa cara Anda dapat mengeluarkan 4 kartu dari tumpukan kartu? Mungkin semua orang mengerti apa yang sedang kita bicarakan jumlah kombinasi:
dengan menggunakan metode ini Anda dapat memilih 4 kartu dari dek.

Sekarang kami mempertimbangkan hasil yang menguntungkan. Sesuai ketentuan, dalam pemilihan 4 kartu harus ada satu as, satu king dan, yang tidak disebutkan dalam teks biasa - dua kartu lainnya:

Cara mengekstrak satu kartu as;
cara Anda dapat memilih satu raja.

Kami mengecualikan kartu as dan raja dari pertimbangan: 36 - 4 - 4 = 28

cara Anda dapat mengekstrak dua kartu lainnya.

Menurut aturan perkalian kombinasi:
cara Anda dapat mengekstrak kombinasi kartu yang diinginkan (1 As Dan raja pertama Dan dua kartu lainnya).

Izinkan saya mengomentari arti kombinasional notasi tersebut dengan cara lain:
setiap kombinasi ace dengan semua orang raja dan dengan masing-masing kemungkinan pasangan kartu lain.

Menurut definisi klasik:
- probabilitas bahwa di antara empat kartu yang dibagikan akan ada satu kartu as dan satu raja.

Jika Anda punya waktu dan kesabaran, kurangi pecahan besar sebanyak mungkin.

Menjawab:

Lagi tugas sederhana untuk solusi independen:

Masalah 12

Kotak berisi 15 bagian berkualitas dan 5 bagian rusak. 2 bagian diambil secara acak.

Temukan probabilitas bahwa:

a) kedua bagian tersebut berkualitas tinggi;

b) satu bagian akan berkualitas tinggi, dan satu lagi akan cacat;

c) kedua bagian rusak.

Peristiwa-peristiwa dari poin-poin yang terdaftar membentuk kelompok yang lengkap, jadi pemeriksaan di sini menunjukkan dirinya sendiri. Solusi singkat dan jawaban di akhir pelajaran. Secara umum, hal yang paling menarik baru saja dimulai!

Masalah 13

Siswa mengetahui jawaban atas 25 soal ujian dari 60 soal. Berapa peluang lulus ujian jika Anda harus menjawab minimal 2 dari 3 pertanyaan?

Larutan: Jadi situasinya adalah sebagai berikut: total ada 60 pertanyaan, 25 di antaranya “baik” dan, karenanya, 60 - 25 = 35 “buruk”. Situasinya genting dan tidak berpihak pada siswa. Mari kita cari tahu seberapa besar peluangnya:

cara Anda dapat memilih 3 dari 60 pertanyaan (jumlah total hasil).

Untuk lulus ujian, Anda harus menjawab 2 atau 3 pertanyaan. Kami mempertimbangkan kombinasi yang menguntungkan:

Cara memilih 2 pertanyaan yang “bagus”. Dan yang satu “buruk”;

cara Anda dapat memilih 3 pertanyaan "bagus".

Oleh aturan untuk menambahkan kombinasi:
cara Anda dapat memilih kombinasi 3 pertanyaan yang menguntungkan untuk lulus ujian (tidak ada perbedaan dengan dua atau tiga pertanyaan "bagus").

Menurut definisi klasik:

Menjawab:

Masalah 14

Seorang pemain poker dibagikan 5 kartu. Temukan probabilitas bahwa:

a) di antara kartu-kartu ini akan ada sepasang puluhan dan sepasang jack;
b) pemain akan dibagikan flush (5 kartu dengan jenis yang sama);
c) pemain akan dibagikan four of a kind (4 kartu dengan nilai yang sama).

Manakah dari kombinasi berikut yang paling mungkin diperoleh?

! Perhatian! Jika kondisi menanyakan pertanyaan serupa, maka jawablah diperlukan memberikan jawaban.
Referensi : poker secara tradisional dimainkan oleh 52 orang setumpuk kartu, yang berisi kartu 4 jenis dengan nilai mulai dari deuces hingga ace.

Poker adalah permainan paling matematis (mereka yang memainkannya mengetahuinya), di mana Anda bisa mendapatkan keuntungan nyata dibandingkan lawan yang kurang berkualitas.

Solusi dan Jawaban:

Tugas 2: Larutan: 30 - 5 = 25 lemari es tidak ada cacat.

- kemungkinan lemari es yang dipilih secara acak tidak mempunyai cacat.
Menjawab :

Tugas 4: Larutan: temukan jumlah total hasil:
cara Anda dapat memilih tempat di mana nomor yang meragukan itu berada dan pada setiap Dari 4 tempat tersebut, dapat ditemukan 2 digit (tujuh atau delapan). Menurut aturan perkalian kombinasi, jumlah hasil: .
Alternatifnya, solusinya cukup dengan mencantumkan semua hasil (untungnya hanya ada sedikit):

7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558

Hanya ada satu hasil yang menguntungkan (kode pin yang benar).

Jadi, menurut definisi klasik:
- kemungkinan pelanggan login pada upaya pertama
Menjawab :

Tugas 6: Larutan

Tugas 6:Larutan : temukan jumlah total hasil:
angka dapat muncul pada 2 dadu dengan cara yang berbeda.

a) Perhatikan kejadiannya: - saat melempar dua dadu, hasil kali poinnya akan sama dengan tujuh. Tidak ada hasil yang menguntungkan untuk acara ini,
, yaitu peristiwa ini tidak mungkin terjadi.

b) Perhatikan kejadiannya: - saat melempar dua dadu, hasil kali poinnya minimal 20. Hasil berikut mendukung acara ini:

Jumlah: 8

Menurut definisi klasik:

- probabilitas yang diinginkan.

c) Pertimbangkan kejadian yang berlawanan:

- hasil kali poinnya akan genap;

- hasil kali poinnya ganjil.

Mari kita buat daftar semua hasil yang menguntungkan acara tersebut :

Total: 9 hasil yang menguntungkan.

Menurut definisi klasik tentang probabilitas:

Peristiwa yang berlawanan membentuk satu kelompok yang lengkap, oleh karena itu:

- probabilitas yang diinginkan.

Menjawab :

Masalah 8:Larutan cara 2 koin bisa jatuh.
Cara lain: cara koin pertama bisa jatuhDan cara koin ke-2 bisa jatuhDan … Dan cara koin ke 10 bisa jatuh. Menurut aturan perkalian kombinasi, 10 koin bisa jatuh cara.
a) Perhatikan kejadiannya: - semua koin akan menunjukkan kepala. Peristiwa ini disukai oleh satu hasil, menurut definisi klasik tentang probabilitas: .
b) Perhatikan kejadiannya: - 9 koin akan mendaratkan kepala, dan satu koin akan mendaratkan ekor.
Ada koin yang mungkin mendarat di kepala. Menurut definisi klasik tentang probabilitas: .
c) Perhatikan kejadiannya: - kepala akan muncul di setengah koin.
Ada kombinasi unik dari lima koin yang dapat menghasilkan kepala. Menurut definisi klasik tentang probabilitas:
Menjawab:

Masalah 10:Larutan : mari kita hitung jumlah total hasil:
cara untuk menempatkan dua benteng di papan.
Pilihan desain lainnya: cara memilih dua kotak papan caturDan cara menempatkan benteng putih dan hitamdi setiap dari kasus tahun 2016. Jadi, jumlah total hasil: .

Sekarang mari kita hitung hasil di mana para benteng “mengalahkan” satu sama lain. Mari kita perhatikan garis horizontal pertama. Tentunya angka-angka tersebut dapat ditempatkan di atasnya dengan cara apapun, misalnya seperti ini:

Selain itu, benteng dapat diatur ulang. Mari kita masukkan alasannya ke dalam bentuk numerik: cara Anda dapat memilih dua selDan cara untuk mengatur ulang bentengdi setiapdari 28 kasus. Total: kemungkinan posisi gambar secara horizontal.
Versi singkat dari desain: cara kalian bisa menempatkan benteng putih dan benteng hitam di peringkat 1.

Alasan di atas ada benarnyauntuk masing-masing horizontal, jadi jumlah kombinasinya harus dikalikan delapan: . Selain itu, cerita serupa juga berlaku untuk delapan vertikal mana pun. Mari kita hitung jumlah total formasi di mana bidak-bidaknya “saling mengalahkan”:

Kemudian dalam varian pengaturan lainnya, benteng tidak akan “saling mengalahkan”:
4032 - 896 = 3136

Menurut definisi klasik tentang probabilitas:
- kemungkinan benteng putih dan hitam yang ditempatkan secara acak di papan tidak akan “mengalahkan” satu sama lain.

Menjawab :

Masalah 12:Larutan : total: 15 + 5 = 20 bagian dalam satu kotak. Mari kita hitung jumlah total hasil:
dengan menggunakan metode ini Anda dapat mengeluarkan 2 bagian dari kotak.
a) Perhatikan kejadiannya: - kedua bagian yang diekstraksi akan berkualitas tinggi.
menggunakan metode ini Anda dapat mengekstrak 2 bagian berkualitas.
Menurut definisi klasik tentang probabilitas:
b) Perhatikan kejadiannya: - satu bagian akan berkualitas tinggi, dan satu lagi akan cacat.
cara Anda dapat mengekstrak 1 bagian berkualitasDan1 cacat.
Menurut definisi klasik:
c) Perhatikan kejadiannya: - kedua bagian yang diekstraksi rusak.
dengan menggunakan metode ini Anda dapat menghapus 2 bagian yang rusak.
Menurut definisi klasik:
Penyelidikan: mari kita hitung jumlah peluang kejadian-kejadian yang membentuk kelompok lengkap: , itulah yang perlu diperiksa.
Menjawab:

Dan sekarang mari kita gunakan alat pembelajaran yang sudah familiar dan bebas masalah - sebuah dadu dengan kelompok penuh acara , yang terdiri dari fakta bahwa ketika dilempar, masing-masing akan muncul 1, 2, 3, 4, 5 dan 6 poin.

Pertimbangkan peristiwa tersebut - sebagai hasil pelemparan dadu, setidaknya lima poin akan muncul. Acara ini terdiri dari dua hasil yang tidak kompatibel: (gulungan 5 atau 6 poin)
- probabilitas bahwa pelemparan dadu akan menghasilkan setidaknya lima poin.

Mari kita pertimbangkan kejadian yang menghasilkan tidak lebih dari 4 poin dan temukan probabilitasnya. Dengan teorema penjumlahan probabilitas kejadian yang tidak kompatibel:

Mungkin sebagian pembaca belum sepenuhnya menyadarinya esensi ketidakcocokan. Mari kita pikirkan lagi: seorang siswa tidak dapat menjawab 2 dari 3 pertanyaan dan pada saat yang sama menjawab semua 3 pertanyaan. Dengan demikian, peristiwa dan peristiwa tersebut tidak sejalan.

Sekarang, menggunakan definisi klasik, mari kita cari probabilitasnya:

Fakta keberhasilan lulus ujian dinyatakan dalam jumlah (jawaban untuk 2 dari 3 pertanyaan atau untuk semua pertanyaan). Menurut teorema penjumlahan peluang kejadian yang tidak sesuai:
- kemungkinan siswa tersebut lulus ujian.

Solusi ini sepenuhnya setara, pilih mana yang paling Anda sukai.

Masalah 1

Toko menerima produk dalam kotak dari empat gudang grosir: empat dari tanggal 1, lima dari tanggal 2, tujuh dari tanggal 3 dan empat dari tanggal 4. Sebuah kotak yang akan dijual dipilih secara acak. Berapa probabilitas bahwa kotak tersebut berasal dari gudang pertama atau ketiga.

Larutan: total yang diterima toko: 4 + 5 + 7 + 4 = 20 kotak.

Dalam tugas ini, akan lebih mudah menggunakan metode pemformatan "cepat" tanpa menulis acara dalam huruf kapital. Menurut definisi klasik:
- kemungkinan sebuah kotak dari gudang pertama akan dipilih untuk dijual;
- kemungkinan sebuah kotak dari gudang ke-3 akan dipilih untuk dijual.

Menurut teorema penjumlahan kejadian tak kompatibel:
- kemungkinan sebuah kotak dari gudang pertama atau ketiga akan dipilih untuk dijual.

Menjawab: 0,55

Tentu saja, masalahnya dapat dipecahkan dan diselesaikan secara menyeluruh definisi klasik tentang probabilitas dengan menghitung langsung jumlah hasil yang diinginkan (4 + 7 = 11), namun metode yang dipertimbangkan juga tidak lebih buruk. Dan bahkan lebih jelas.

Masalah 2

Kotak itu berisi 10 tombol merah dan 6 tombol biru. Dua tombol dilepas secara acak. Berapa peluang terambilnya warna yang sama?

Demikian pula - di sini Anda dapat menggunakannya aturan penjumlahan kombinatorial, tapi entahlah... tiba-tiba ada yang lupa. Maka teorema untuk menjumlahkan probabilitas kejadian yang tidak sesuai akan membantu!

Teori probabilitas adalah cabang matematika independen yang cukup luas. Dalam pelajaran sekolah, teori probabilitas dibahas dengan sangat dangkal, tetapi dalam Ujian Negara Bersatu dan Ujian Negara terdapat permasalahan pada topik ini. Namun, menyelesaikan masalah kursus sekolah tidak terlalu sulit (setidaknya dalam hal operasi aritmatika) - tidak perlu menghitung turunan, mengambil integral, dan menyelesaikan masalah kompleks transformasi trigonometri- yang penting bisa mengatasinya bilangan prima dan pecahan.

Teori probabilitas - istilah dasar

Istilah utama teori probabilitas adalah tes, hasil dan kejadian acak. Tes dalam teori probabilitas adalah sebuah eksperimen - melempar koin, menggambar kartu, menggambar banyak - semua ini adalah tes. Hasil tes, seperti yang sudah Anda duga, disebut hasil.

Apa yang dimaksud dengan kejadian acak? Dalam teori probabilitas, diasumsikan bahwa pengujian dilakukan lebih dari satu kali dan hasilnya banyak. Peristiwa acak adalah sekumpulan hasil tes. Misalnya, jika Anda melempar koin, dua kejadian acak dapat terjadi - kepala atau ekor.

Jangan bingung antara konsep hasil dan kejadian acak. Suatu hasil adalah salah satu hasil dari satu percobaan. Peristiwa acak adalah serangkaian kemungkinan hasil. Ngomong-ngomong, ada istilah kejadian yang mustahil. Misalnya, kejadian “melempar angka 8” pada dadu standar tidak mungkin dilakukan.

Bagaimana cara mencari probabilitas?

Kita semua secara kasar memahami apa itu probabilitas, dan cukup sering menggunakannya kata yang diberikan dalam kosa kata Anda. Selain itu, kita bahkan dapat menarik beberapa kesimpulan mengenai kemungkinan terjadinya suatu peristiwa tertentu, misalnya jika ada salju di luar jendela, kemungkinan besar kita dapat mengatakan bahwa ini bukan musim panas. Namun, bagaimana kita dapat menyatakan asumsi ini secara numerik?

Untuk memperkenalkan rumus mencari probabilitas, kami memperkenalkan konsep lain - hasil yang menguntungkan, yaitu hasil yang menguntungkan untuk peristiwa tertentu. Definisi tersebut tentu saja cukup ambigu, namun berdasarkan kondisi permasalahan selalu jelas hasil mana yang menguntungkan.

Contoh: Ada 25 orang di kelas, tiga diantaranya adalah Katya. Guru menugaskan Olya untuk bertugas, dan dia membutuhkan pasangan. Berapa kemungkinan Katya akan menjadi pasangan Anda?

DI DALAM dalam contoh ini hasil yang menguntungkan - mitra Katya. Kami akan menyelesaikan masalah ini nanti. Namun pertama-tama, dengan menggunakan definisi tambahan, kami memperkenalkan rumus untuk mencari probabilitas.

P = A/N, dimana P adalah probabilitas, A adalah jumlah hasil yang diinginkan, N adalah jumlah total hasil.

Semua permasalahan sekolah berkisar pada rumus yang satu ini, dan kesulitan utama biasanya terletak pada menemukan hasilnya. Terkadang mudah ditemukan, terkadang tidak begitu banyak.

Bagaimana cara mengatasi masalah probabilitas?

Masalah 1

Jadi sekarang mari kita selesaikan masalah di atas.

Banyaknya hasil yang disukai (guru akan memilih Katya) adalah tiga, karena ada tiga Katya di kelas, dan total hasil adalah 24 (25-1, karena Olya sudah terpilih). Maka peluangnya adalah: P = 3/24=1/8=0,125. Jadi, kemungkinan pasangan Olya adalah Katya adalah 12,5%. Tidak sulit, bukan? Mari kita lihat sesuatu yang sedikit lebih rumit.

Masalah 2

Sebuah koin dilempar sebanyak dua kali, berapakah peluang terambilnya satu kepala dan satu ekor?

Jadi, mari kita pertimbangkan hasil umumnya. Bagaimana koin bisa mendarat - kepala/kepala, ekor/ekor, kepala/ekor, ekor/kepala? Artinya jumlah seluruh hasil adalah 4. Berapa banyak hasil yang diinginkan? Dua - kepala/ekor dan ekor/kepala. Jadi, peluang terambilnya kombinasi kepala/ekor adalah:

P = 2/4 = 0,5 atau 50 persen.

Sekarang mari kita lihat masalah ini. Masha memiliki 6 koin di sakunya: dua dengan nilai nominal 5 rubel dan empat dengan nilai nominal 10 rubel. Masha memindahkan 3 koin ke saku lain. Berapa peluang koin 5 rubel masuk ke kantong yang berbeda?

Untuk mempermudah, mari kita tentukan koin dengan angka - 1,2 - koin lima rubel, 3,4,5,6 - koin sepuluh rubel. Jadi, bagaimana koin bisa ada di saku Anda? Ada total 20 kombinasi:

123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256, 345, 346, 356, 456.

Pada pandangan pertama, mungkin tampak ada beberapa kombinasi yang hilang, misalnya 231, tetapi dalam kasus kami, kombinasi 123, 231 dan 321 setara.

Sekarang kita hitung berapa banyak hasil positif yang kita peroleh. Baginya kita ambil kombinasi yang mengandung angka 1 atau angka 2: 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256. Jadi, ada 12 probabilitasnya sama dengan:

P = 12/20 = 0,6 atau 60%.

Masalah probabilitas yang disajikan di sini cukup sederhana, namun jangan berpikir bahwa probabilitas adalah cabang matematika yang sederhana. Jika Anda memutuskan untuk melanjutkan pendidikan di universitas (kecuali spesialisasi kemanusiaan), Anda pasti akan mendapatkan kelas matematika yang lebih tinggi, di mana Anda akan diperkenalkan dengan istilah-istilah yang lebih kompleks dari teori ini, dan tugas-tugas di sana akan jauh lebih sulit.

Apakah Anda ingin tahu apa peluang matematika pada keberhasilan taruhan Anda? Lalu ada dua untukmu kabar baik. Pertama: untuk menghitung kemampuan lintas negara, Anda tidak perlu melakukan perhitungan dan pengeluaran yang rumit jumlah besar waktu. Cukup menggunakan rumus sederhana, yang pengerjaannya akan memakan waktu beberapa menit. Kedua: setelah membaca artikel ini, Anda dapat dengan mudah menghitung kemungkinan lolosnya perdagangan Anda.

Untuk menentukan kemampuan lintas negara dengan benar, Anda perlu melakukan tiga langkah:

Hitung persentase probabilitas hasil suatu peristiwa menurut kantor bandar;
Hitung sendiri probabilitasnya menggunakan data statistik;
Cari tahu nilai taruhannya, dengan mempertimbangkan kedua probabilitas.

Mari kita lihat setiap langkah secara detail, tidak hanya menggunakan rumus, tetapi juga contoh.

Lompat Cepat

Menghitung probabilitas yang termasuk dalam peluang taruhan

Langkah pertama adalah mencari tahu berapa probabilitas bandar itu sendiri yang memperkirakan peluang hasil tertentu. Jelas bahwa bandar taruhan tidak menetapkan peluang begitu saja. Untuk melakukan ini kami menggunakan rumus berikut:

PB=(1/K)*100%,

dimana P B adalah probabilitas hasil menurut kantor bandar taruhan;

K – peluang taruhan untuk hasilnya.

Katakanlah peluang kemenangan Arsenal London pada pertandingan melawan Bayern Munich adalah 4. Artinya peluang kemenangan mereka dinilai oleh bandar taruhan sebagai (1/4)*100%=25%. Atau Djokovic bermain melawan Youzhny. Pengganda kemenangan Novak adalah 1,2, peluangnya adalah (1/1.2)*100%=83%.

Beginilah cara bandar itu sendiri mengevaluasi peluang keberhasilan setiap pemain dan tim. Setelah menyelesaikan langkah pertama, kita melanjutkan ke langkah kedua.

Perhitungan probabilitas suatu peristiwa oleh pemain

Poin kedua dari rencana kita adalah penilaian kita sendiri terhadap kemungkinan kejadian tersebut. Karena kami tidak dapat memperhitungkan secara matematis parameter seperti motivasi dan nada permainan, kami akan menggunakan model yang disederhanakan dan hanya menggunakan statistik dari pertemuan sebelumnya. Untuk perhitungan probabilitas statistik hasilnya kita terapkan rumus:

PDAN=(UM/M)*100%,

Di manaPDAN– probabilitas suatu kejadian menurut pemain;

UM – jumlah pertandingan sukses di mana peristiwa tersebut terjadi;

M – jumlah total pertandingan.

Agar lebih jelas, mari kita beri contoh. Andy Murray dan Rafael Nadal memainkan 14 pertandingan bersama. Dalam 6 pertandingan totalnya kurang dari 21 pertandingan, dalam 8 pertandingan totalnya lebih banyak. Anda perlu mengetahui kemungkinan pertandingan berikutnya akan dimainkan dengan total lebih tinggi: (14/8)*100=57%. Valencia memainkan 74 pertandingan melawan Atlético di Mestalla, di mana mereka meraih 29 kemenangan. Probabilitas kemenangan Valencia: (29/74)*100%=39%.

Dan kami mempelajari semua ini hanya berkat statistik pertandingan sebelumnya! Tentu saja bagi sebagian orang tim baru atau seorang pemain, probabilitas tersebut tidak dapat dihitung, jadi strategi taruhan ini hanya cocok untuk pertandingan di mana lawan bertemu lebih dari satu kali. Sekarang kita tahu bagaimana menentukan probabilitas hasil taruhan dan kita sendiri, dan kita memiliki semua pengetahuan untuk melanjutkan ke langkah terakhir.

Menentukan nilai taruhan

Nilai (value) suatu taruhan dan keterlaluan memiliki hubungan langsung: semakin tinggi nilainya, semakin tinggi peluang untuk lolos. Nilainya dihitung sebagai berikut:

V=PDAN*K-100%,

dimana V adalah nilai;

P I – probabilitas hasil menurut petaruh;

K – peluang taruhan untuk hasilnya.

Katakanlah kita ingin bertaruh pada kemenangan Milan dalam pertandingan melawan Roma dan kita menghitung kemungkinan kemenangan “merah-hitam” adalah 45%. Taruhan menawarkan kita odds 2,5 untuk hasil ini. Apakah taruhan seperti itu akan bernilai? Kami melakukan perhitungan: V=45%*2.5-100%=12.5%. Hebat, kita punya taruhan berharga di depan kita peluang bagus untuk lulus.

Mari kita ambil kasus lain. Maria Sharapova bermain melawan Petra Kvitova. Kami ingin membuat kesepakatan agar Maria menang, yang kemungkinannya menurut perhitungan kami adalah 60%. Taruhan menawarkan pengganda 1,5 untuk hasil ini. Kita tentukan nilainya: V=60%*1,5-100=-10%. Seperti yang Anda lihat, taruhan ini tidak ada nilainya dan harus dihindari.