Perkalian silang vektor. Produk campuran vektor

Dalam pelajaran ini kita akan melihat dua operasi lagi dengan vektor: produk vektor dari vektor Dan produk campuran vektor (link langsung bagi yang membutuhkan). Tidak apa-apa, terkadang hal itu terjadi untuk kebahagiaan total produk skalar vektor, semakin banyak yang dibutuhkan. Ini adalah kecanduan vektor. Tampaknya kita memasuki hutan geometri analitik. Ini salah. Pada bagian matematika tingkat tinggi ini umumnya hanya terdapat sedikit kayu, kecuali mungkin cukup untuk Pinokio. Faktanya, materinya sangat umum dan sederhana - hampir tidak lebih rumit dari materi yang sama produk titik, tugas-tugas tipikal bahkan akan lebih sedikit. Hal utama dalam geometri analitik, seperti yang diyakini atau sudah diyakini banyak orang, adalah JANGAN MEMBUAT KESALAHAN DALAM PERHITUNGAN. Ulangi seperti mantra dan Anda akan bahagia =)

Jika vektor bersinar di suatu tempat yang jauh, seperti kilat di cakrawala, tidak masalah, mulailah dengan pelajaran Vektor untuk boneka untuk memulihkan atau memperoleh kembali pengetahuan dasar tentang vektor. Pembaca yang lebih siap dapat mengenal informasi secara selektif; Saya mencoba mengumpulkan kumpulan contoh terlengkap yang sering ditemukan dalam kerja praktek

Apa yang akan membuatmu bahagia saat itu juga? Ketika saya masih kecil, saya bisa menyulap dua atau bahkan tiga bola. Itu berhasil dengan baik. Sekarang Anda tidak perlu melakukan juggling sama sekali, karena kami akan mempertimbangkannya hanya vektor spasial, dan vektor datar dengan dua koordinat akan diabaikan. Mengapa? Beginilah cara tindakan ini lahir - vektor dan produk campuran vektor didefinisikan dan bekerja dalam ruang tiga dimensi. Ini sudah lebih mudah!

Operasi ini, seperti halnya perkalian skalar, melibatkan dua vektor. Biarlah ini menjadi surat-surat yang tidak dapat binasa.

Tindakan itu sendiri dilambangkan dengan sebagai berikut: . Ada pilihan lain, tapi saya terbiasa menyatakan perkalian vektor dari vektor dengan cara ini, dalam tanda kurung siku dengan tanda silang.

Dan segera pertanyaan: jika masuk produk skalar vektor dua vektor terlibat, dan di sini dua vektor juga dikalikan apa bedanya? Perbedaan yang jelas, pertama-tama, terletak pada HASILnya:

Hasil perkalian skalar vektor adalah NOMOR:

Hasil perkalian silang vektor adalah VEKTOR: , yaitu kita mengalikan vektor-vektornya dan mendapatkan sebuah vektor lagi. Klub tertutup. Sebenarnya dari sinilah nama operasi tersebut berasal. Dalam literatur pendidikan yang berbeda, sebutannya mungkin juga berbeda;

Definisi perkalian silang

Pertama akan ada definisi dengan gambar, lalu komentar.

Definisi: Produk vektor non-kolinear vektor, diambil dalam urutan ini, disebut VEKTOR, panjang yang secara numerik sama dengan luas jajaran genjang, dibangun di atas vektor-vektor ini; vektor ortogonal terhadap vektor, dan diarahkan agar landasan mempunyai orientasi yang benar:

Mari kita uraikan definisinya, ada banyak hal menarik di sini!

Jadi, poin-poin penting berikut dapat disoroti:

1) Vektor asli, ditunjukkan dengan panah merah, menurut definisi tidak kolinear. Kasus vektor collinear akan lebih tepat untuk dibahas nanti.

2) Vektor diambil dalam urutan yang ditentukan secara ketat: – "a" dikalikan dengan "menjadi", dan bukan "menjadi" dengan "a". Hasil perkalian vektor adalah VECTOR, yang ditandai dengan warna biru. Jika vektor-vektor dikalikan dalam urutan terbalik, kita memperoleh vektor yang sama panjang dan berlawanan arah (warna raspberry). Artinya, kesetaraan itu benar .

3) Sekarang mari kita mengenal arti geometri perkalian vektor. Ini adalah poin yang sangat penting! PANJANG vektor biru (dan, oleh karena itu, vektor merah tua) secara numerik sama dengan AREA jajar genjang yang dibangun di atas vektor tersebut. Pada gambar, jajaran genjang ini diberi warna hitam.

Catatan : gambarnya skematis, dan tentu saja panjang nominal hasil kali vektor tidak sama dengan luas jajaran genjang.

Mari kita mengingat kembali salah satu rumus geometri: Luas jajar genjang sama dengan hasil kali sisi-sisi yang berdekatan dan sinus sudut di antara keduanya. Oleh karena itu, berdasarkan hal di atas, rumus menghitung PANJANG suatu produk vektor adalah valid:

Saya tekankan bahwa rumusnya adalah tentang PANJANG vektor, dan bukan tentang vektor itu sendiri. Apa arti praktisnya? Dan artinya dalam soal geometri analitik, luas jajar genjang sering ditemukan melalui konsep perkalian vektor:

Mari kita dapatkan rumus penting kedua. Diagonal jajar genjang (garis putus-putus merah) membaginya menjadi dua segitiga sama besar. Oleh karena itu, luas segitiga yang dibangun di atas vektor (arsir merah) dapat dicari dengan menggunakan rumus:

4) Fakta yang sama pentingnya adalah bahwa vektor tersebut ortogonal terhadap vektor, yaitu . Tentu saja, vektor yang arahnya berlawanan (panah raspberry) juga ortogonal terhadap vektor aslinya.

5) Vektor diarahkan sedemikian rupa dasar memiliki Kanan orientasi. Dalam pelajaran tentang transisi ke dasar yang baru Saya berbicara dengan cukup detail tentangnya orientasi bidang, dan sekarang kita akan mengetahui apa itu orientasi ruang. Saya akan menjelaskannya dengan jari Anda tangan kanan. Gabungkan secara mental jari telunjuk dengan vektor dan jari tengah dengan vektor. Jari manis dan kelingking tekan ke telapak tangan Anda. Sebagai akibat ibu jari– produk vektor akan terlihat. Ini adalah basis yang berorientasi ke kanan (yang ini ada pada gambar). Sekarang ubah vektornya ( telunjuk dan jari tengah) di beberapa tempat, akibatnya ibu jari akan berputar, dan hasil kali vektor sudah terlihat ke bawah. Ini juga merupakan dasar yang berorientasi ke kanan. Mungkin Anda mempunyai pertanyaan: dasar manakah yang memiliki orientasi kiri? "Tetapkan" ke jari yang sama tangan kiri vektor, dan dapatkan basis kiri dan orientasi ruang kiri (dalam hal ini, ibu jari akan ditempatkan pada arah vektor bawah). Secara kiasan, pangkalan-pangkalan ini “memutar” atau mengarahkan ruang ke arah yang berbeda. Dan konsep ini tidak boleh dianggap sebagai sesuatu yang dibuat-buat atau abstrak - misalnya, orientasi ruang diubah oleh cermin paling biasa, dan jika Anda "menarik objek yang dipantulkan keluar dari kaca", maka secara umum itu adalah tidak akan mungkin untuk menggabungkannya dengan "asli". Ngomong-ngomong, dekatkan tiga jari ke cermin dan analisis pantulannya ;-)

...betapa bagusnya hal yang sekarang Anda ketahui berorientasi kanan dan kiri dasar, karena pernyataan beberapa dosen tentang perubahan orientasi itu menakutkan =)

Produk silang dari vektor-vektor collinear

Definisi tersebut telah dibahas secara rinci, masih harus dilihat apa yang terjadi jika vektor-vektornya segaris. Jika vektor-vektornya segaris, maka vektor-vektor tersebut dapat ditempatkan pada satu garis lurus dan jajar genjang kita juga “bertambah” menjadi satu garis lurus. Area seperti itu, seperti yang dikatakan para ahli matematika, merosot jajaran genjang sama dengan nol. Hal yang sama mengikuti rumus - sinus nol atau 180 derajat sama dengan nol, yang berarti luasnya nol

Jadi, jika , maka Dan . Perlu diketahui bahwa hasil kali vektor itu sendiri sama dengan vektor nol, namun dalam praktiknya hal ini sering diabaikan dan ditulis juga sama dengan nol.

Kasus khusus adalah perkalian silang suatu vektor dengan dirinya sendiri:

Dengan menggunakan perkalian vektor, Anda dapat memeriksa kolinearitas vektor tiga dimensi, dan kami juga akan menganalisis masalah ini, antara lain.

Untuk memecahkan contoh-contoh praktis yang mungkin Anda perlukan tabel trigonometri untuk menemukan nilai sinus darinya.

Baiklah, mari kita nyalakan apinya:

Contoh 1

a) Tentukan panjang hasil kali vektor vektor-vektor jika

b) Tentukan luas jajar genjang yang dibangun di atas vektor jika

Larutan: Bukan, ini bukan salah ketik, saya sengaja membuat data awal pada klausa sama. Karena desain solusinya akan berbeda!

a) Sesuai dengan kondisi yang perlu dicari panjang vektor (perkalian silang). Menurut rumus yang sesuai:

Menjawab:

Jika Anda ditanya tentang panjang, maka dalam jawabannya kami menunjukkan dimensi - satuan.

b) Sesuai dengan kondisi yang perlu dicari persegi jajaran genjang dibangun di atas vektor. Luas jajaran genjang ini secara numerik sama dengan panjang hasil kali vektor:

Menjawab:

Harap dicatat bahwa jawabannya tidak berbicara tentang produk vektor sama sekali; luas gambar, oleh karena itu, dimensinya adalah satuan persegi.

Kami selalu melihat APA yang perlu kami temukan sesuai kondisi, dan berdasarkan itu kami merumuskannya jernih menjawab. Ini mungkin tampak seperti literalisme, tetapi ada banyak guru yang literalis, dan tugas tersebut memiliki peluang besar untuk dikembalikan untuk direvisi. Meskipun ini bukanlah sebuah argumen yang dibuat-buat - jika jawabannya salah, maka akan ada kesan bahwa orang tersebut tidak memahami hal-hal sederhana dan/atau belum memahami esensi tugas. Poin ini harus selalu dikendalikan ketika memecahkan masalah apa pun dalam matematika tingkat tinggi, dan juga dalam mata pelajaran lain.

Kemana perginya huruf besar “en”? Pada prinsipnya, ini bisa saja dilampirkan pada solusi, tetapi untuk mempersingkat entri, saya tidak melakukan ini. Saya harap semua orang memahami hal itu dan merupakan sebutan untuk hal yang sama.

Contoh populer untuk solusi DIY:

Contoh 2

Temukan luas segitiga yang dibangun di atas vektor jika

Rumus untuk mencari luas segitiga melalui perkalian vektor diberikan dalam komentar definisi. Solusi dan jawabannya ada di akhir pelajaran.

Dalam praktiknya, tugas ini sangat umum; segitiga umumnya dapat menyiksa Anda.

Untuk memecahkan masalah lain kita memerlukan:

Sifat-sifat hasil kali vektor dari vektor

Kami telah mempertimbangkan beberapa properti produk vektor, namun saya akan memasukkannya ke dalam daftar ini.

Untuk vektor sembarang dan bilangan sembarang, sifat-sifat berikut ini benar:

1) Dalam sumber informasi lain, item ini biasanya tidak disorot dalam propertinya, tetapi sangat penting dalam istilah praktis. Jadi biarkan saja.

2) – properti juga dibahas di atas, kadang-kadang disebut antikomutatif. Dengan kata lain, urutan vektor itu penting.

3) – asosiatif atau asosiatif hukum produk vektor. Konstanta dapat dengan mudah dipindahkan ke luar perkalian vektor. Sebenarnya, apa yang harus mereka lakukan di sana?

4) – distribusi atau distributif hukum produk vektor. Buka bracketnya juga tidak ada masalah.

Untuk mendemonstrasikannya, mari kita lihat contoh singkat:

Contoh 3

Temukan jika

Larutan: Kondisi tersebut sekali lagi mengharuskan mencari panjang hasil kali vektor. Mari kita melukis miniatur kita:

(1) Menurut hukum asosiatif, kita mengambil konstanta di luar lingkup perkalian vektor.

(2) Kita memindahkan konstanta ke luar modul, dan modul “memakan” tanda minus. Panjangnya tidak boleh negatif.

(3) Selebihnya jelas.

Menjawab:

Saatnya menambahkan lebih banyak kayu ke dalam api:

Contoh 4

Hitung luas segitiga yang dibangun di atas vektor jika

Larutan: Mencari luas segitiga menggunakan rumus . Tangkapannya adalah bahwa vektor “tse” dan “de” disajikan sebagai jumlah vektor. Algoritme di sini standar dan agak mengingatkan pada contoh No. 3 dan 4 dari pelajaran Produk titik dari vektor. Untuk lebih jelasnya, kami akan membagi solusinya menjadi tiga tahap:

1) Pada langkah pertama, kita menyatakan perkalian vektor melalui perkalian vektor, pada kenyataannya, mari kita nyatakan suatu vektor dalam bentuk vektor. Belum ada kabar mengenai panjangnya!

(1) Substitusikan ekspresi vektor-vektor tersebut.

(2) Dengan menggunakan hukum distributif, kita membuka tanda kurung menurut aturan perkalian polinomial.

(3) Dengan menggunakan hukum asosiatif, kita memindahkan semua konstanta melampaui hasil kali vektor. Dengan sedikit pengalaman, langkah 2 dan 3 dapat dilakukan secara bersamaan.

(4) Suku pertama dan suku terakhir sama dengan nol (vektor nol) karena sifat bagus. Pada suku kedua kita menggunakan sifat antikomutatifitas suatu produk vektor:

(5) Kami menyajikan istilah serupa.

Hasilnya, vektor tersebut ternyata dinyatakan dalam vektor, yang ingin dicapai:

2) Pada langkah kedua, kita mencari panjang hasil kali vektor yang kita butuhkan. Tindakan ini mirip dengan Contoh 3:

3) Temukan luas segitiga yang diinginkan:

Tahapan 2-3 solusinya bisa saja ditulis dalam satu baris.

Menjawab:

Masalah yang dipertimbangkan cukup umum dalam pengujian, berikut adalah contoh penyelesaiannya sendiri:

Contoh 5

Temukan jika

Solusi singkat dan jawaban di akhir pelajaran. Mari kita lihat seberapa perhatian Anda saat mempelajari contoh sebelumnya ;-)

Produk silang vektor dalam koordinat

, ditentukan dalam dasar ortonormal, dinyatakan dengan rumus:

Rumusnya sangat sederhana: di baris atas determinan kita tulis vektor koordinatnya, di baris kedua dan ketiga kita “letakkan” koordinat vektornya, dan kita masukkan dalam urutan yang ketat– pertama koordinat vektor “ve”, kemudian koordinat vektor “double-ve”. Jika vektor perlu dikalikan dalam urutan yang berbeda, maka barisnya harus ditukar:

Contoh 10

Periksa apakah vektor-vektor ruang berikut ini segaris:
A)
B)

Larutan: Pemeriksaannya didasarkan pada salah satu pernyataan dalam pelajaran ini: jika vektor-vektornya segaris, maka hasil kali vektornya sama dengan nol (vektor nol): .

a) Temukan produk vektor:

Jadi, vektor-vektornya tidak segaris.

b) Temukan produk vektor:

Menjawab: a) tidak segaris, b)

Ini mungkin semua informasi dasar tentang perkalian vektor dari vektor.

Bagian ini tidak akan terlalu besar, karena hanya ada sedikit soal yang menggunakan perkalian campuran vektor. Faktanya, semuanya akan bergantung pada definisi, makna geometris, dan beberapa rumus kerja.

Hasil kali campuran vektor adalah hasil kali tiga buah vektor:

Jadi mereka berbaris seperti kereta api dan tidak sabar untuk diidentifikasi.

Pertama, sekali lagi, definisi dan gambarannya:

Definisi: Pekerjaan campuran non-koplanar vektor, diambil dalam urutan ini, ditelepon volume paralelepiped, dibangun di atas vektor-vektor tersebut, dilengkapi dengan tanda “+” jika basisnya di kanan, dan tanda “–” jika basisnya di kiri.

Mari kita menggambar. Garis yang tidak terlihat oleh kita digambar dengan garis putus-putus:

Mari selami definisinya:

2) Vektor diambil dalam urutan tertentu, yaitu penataan ulang vektor-vektor dalam produk, seperti yang Anda duga, bukannya terjadi tanpa konsekuensi.

3) Sebelum mengomentari makna geometris, saya akan mencatat fakta yang jelas: hasil kali campuran vektor adalah ANGKA: . Dalam literatur pendidikan, desainnya mungkin sedikit berbeda; saya biasa menyatakan hasil kali campuran dengan , dan hasil perhitungan dengan huruf “pe”.

Menurut definisi produk campuran adalah volume parallelepiped, dibangun di atas vektor (gambar digambar dengan vektor merah dan garis hitam). Artinya, jumlahnya sama dengan volume suatu parallelepiped tertentu.

Catatan : Gambarnya skematis.

4) Jangan khawatir lagi mengenai konsep orientasi dasar dan ruang. Arti dari bagian terakhir adalah dapat ditambahkan tanda minus pada volumenya. Dengan kata sederhana, produk campuran bisa menjadi negatif: .

Langsung dari definisi berikut rumus untuk menghitung volume paralelepiped yang dibangun di atas vektor.

PRODUK CAMPURAN TIGA VEKTOR DAN SIFAT-SIFATNYA

Pekerjaan campuran tiga vektor disebut bilangan yang sama dengan . Ditunjuk . Di sini dua vektor pertama dikalikan secara vektor dan kemudian vektor yang dihasilkan dikalikan secara skalar dengan vektor ketiga. Jelas, produk semacam itu jumlahnya tertentu.

Mari kita perhatikan sifat-sifat produk campuran.

Arti geometris pekerjaan campuran. Hasil kali campuran dari 3 vektor, sampai suatu tanda, sama dengan volume paralelepiped yang dibangun di atas vektor-vektor ini, seperti pada tepinya, yaitu. .
Jadi, dan .

Bukti. Mari kita kesampingkan vektor-vektor dari titik asal yang sama dan buatlah sebuah paralelepiped pada vektor-vektor tersebut. Mari kita nyatakan dan perhatikan bahwa . Menurut definisi produk skalar

Dengan asumsi itu dan dilambangkan dengan H carilah tinggi parallelepiped.

Jadi, kapan

Jika, maka demikian. Karena itu, .

Menggabungkan kedua kasus ini, kita mendapatkan atau .

Dari pembuktian sifat ini, khususnya, dapat disimpulkan bahwa jika tripel vektor bertangan kanan, maka hasil kali campurannya adalah , dan jika bertangan kiri, maka .
Untuk sembarang vektor , , persamaannya benar
Pembuktian sifat ini mengikuti Sifat 1. Memang mudah untuk menunjukkan bahwa dan . Apalagi tanda “+” dan “–” diambil secara bersamaan, karena sudut antara vektor dan dan dan keduanya lancip dan tumpul.
Jika dua faktor diurutkan ulang, hasil perkalian campuran akan berubah tandanya.
Memang, jika kita mempertimbangkan produk campuran, misalnya, atau
Hasil kali campuran jika dan hanya jika salah satu faktornya sama dengan nol atau vektor-vektornya koplanar.
Bukti.

Jadi, syarat perlu dan cukup untuk koplanaritas 3 vektor adalah hasil kali campurannya sama dengan nol. Selain itu, tiga buah vektor membentuk basis dalam ruang jika .

Jika vektor-vektor diberikan dalam bentuk koordinat, maka dapat ditunjukkan bahwa hasil kali campurannya ditentukan dengan rumus:

.

Jadi, hasil kali campuran sama dengan determinan orde ketiga yang mempunyai koordinat vektor pertama pada baris pertama, koordinat vektor kedua pada baris kedua, dan koordinat vektor ketiga pada baris ketiga.

Contoh.

GEOMETRI ANALITIS DI RUANG ANGKASA

Persamaan F(x, y, z)= 0 didefinisikan dalam ruang Oksiz beberapa permukaan, mis. tempat kedudukan titik-titik yang koordinatnya x, kamu, z memenuhi persamaan ini. Persamaan ini disebut persamaan permukaan, dan x, kamu, z– koordinat saat ini.

Namun, seringkali permukaan tidak ditentukan oleh persamaan, tetapi sebagai sekumpulan titik dalam ruang yang memiliki satu atau beberapa sifat. Dalam hal ini perlu dicari persamaan permukaan berdasarkan sifat geometrinya.

PESAWAT.

VEKTOR BIDANG NORMAL.

PERSAMAAN BIDANG YANG MELALUI TITIK TERTENTU

Mari kita perhatikan bidang sembarang σ di ruang angkasa. Posisinya ditentukan dengan menentukan vektor yang tegak lurus terhadap bidang tertentu dan beberapa titik tetap M0(x 0, kamu 0, z 0), berbaring di bidang σ.

Vektor yang tegak lurus bidang σ disebut normal vektor bidang ini. Biarkan vektor memiliki koordinat .

Mari kita turunkan persamaan bidang σ yang melalui titik ini M0 dan mempunyai vektor normal. Untuk melakukan ini, ambil titik sembarang pada bidang σ M(x, y, z) dan pertimbangkan vektornya.

Untuk poin apa pun MО σ adalah vektor. Oleh karena itu, produk skalarnya sama dengan nol. Kesetaraan ini adalah syarat yang intinya M tentang σ. Ini berlaku untuk semua titik pada bidang ini dan dilanggar segera setelah titik tersebut M akan berada di luar bidang σ.

Jika kita menyatakan titik-titik dengan vektor jari-jari M, – vektor radius suatu titik M0, maka persamaan tersebut dapat dituliskan dalam bentuk

Persamaan ini disebut vektor persamaan bidang. Mari kita tuliskan dalam bentuk koordinat. Sejak itu

Jadi, kita telah memperoleh persamaan bidang yang melalui titik ini. Jadi, untuk membuat persamaan suatu bidang, Anda perlu mengetahui koordinat vektor normal dan koordinat suatu titik yang terletak pada bidang tersebut.

Perhatikan bahwa persamaan bidang adalah persamaan derajat 1 terhadap koordinat arus x, kamu Dan z.

Contoh.

PERSAMAAN UMUM BIDANG

Dapat ditunjukkan bahwa setiap persamaan derajat pertama terhadap koordinat kartesius x, kamu, z mewakili persamaan bidang tertentu. Persamaan ini ditulis sebagai:

Kapak+Oleh+Cz+D=0

dan dipanggil persamaan umum bidang, dan koordinatnya A, B, C berikut adalah koordinat vektor normal bidang tersebut.

Mari kita perhatikan kasus-kasus khusus dari persamaan umum. Mari kita cari tahu bagaimana letak bidang relatif terhadap sistem koordinat jika satu atau lebih koefisien persamaan menjadi nol.

A adalah panjang ruas yang dipotong oleh bidang pada sumbunya Sapi. Demikian pula, dapat ditunjukkan bahwa B Dan C– panjang segmen yang dipotong oleh bidang yang ditinjau pada sumbunya Oi Dan Ons.

Lebih mudah menggunakan persamaan bidang dalam segmen untuk membuat bidang.

Pada artikel ini kita akan membahas secara rinci konsep perkalian silang dua vektor. Kami akan memberikan definisi yang diperlukan, menulis rumus untuk mencari koordinat produk vektor, membuat daftar dan membenarkan propertinya. Setelah ini, kita akan membahas arti geometris dari perkalian vektor dua vektor dan mempertimbangkan solusi dari berbagai contoh tipikal.

Navigasi halaman.

Definisi perkalian silang.

Sebelum mendefinisikan perkalian vektor, mari kita pahami orientasi rangkap tiga vektor dalam ruang tiga dimensi.

Mari kita gambarkan vektor dari satu titik. Tergantung arah vektornya, ketiganya bisa kanan atau kiri. Mari kita lihat dari ujung vektor bagaimana belokan terpendek dari vektor ke . Jika putaran terpendek terjadi berlawanan arah jarum jam, maka rangkap tiga vektornya disebut Kanan, jika tidak - kiri.

Sekarang mari kita ambil dua vektor yang tidak segaris dan . Mari kita plot vektor dan dari titik A. Mari kita buat beberapa vektor yang tegak lurus terhadap keduanya dan dan . Jelasnya, ketika membangun sebuah vektor, kita dapat melakukan dua hal, memberikannya satu arah atau sebaliknya (lihat ilustrasi).

Bergantung pada arah vektornya, triplet vektor yang terurut dapat bertangan kanan atau bertangan kiri.

Hal ini membawa kita lebih dekat pada definisi perkalian vektor. Ini diberikan untuk dua vektor yang didefinisikan dalam sistem koordinat persegi panjang dalam ruang tiga dimensi.

Definisi.

Perkalian silang dua buah vektor dan , ditentukan dalam sistem koordinat persegi panjang ruang tiga dimensi, disebut vektor sedemikian rupa sehingga

Produk silang vektor dan dilambangkan sebagai .

Koordinat hasil kali vektor.

Sekarang kita akan memberikan definisi kedua dari perkalian vektor, yang memungkinkan Anda mencari koordinatnya dari koordinat vektor yang diberikan dan.

Definisi.

Dalam sistem koordinat persegi panjang ruang tiga dimensi produk vektor dari dua vektor Dan adalah vektor, dimana adalah vektor koordinatnya.

Definisi ini memberi kita perkalian silang dalam bentuk koordinat.

Lebih mudah untuk menyatakan hasil kali vektor sebagai determinan matriks persegi orde ketiga, yang baris pertamanya adalah vektor, baris kedua berisi koordinat vektor, dan baris ketiga berisi koordinat vektor dalam suatu bilangan tertentu. sistem koordinat persegi panjang:

Jika kita memperluas determinan ini ke dalam elemen-elemen baris pertama, kita memperoleh persamaan dari definisi produk vektor dalam koordinat (jika perlu, lihat artikel):

Perlu dicatat bahwa bentuk koordinat produk vektor sepenuhnya sesuai dengan definisi yang diberikan pada paragraf pertama artikel ini. Selain itu, kedua definisi perkalian silang ini setara. Bukti fakta ini dapat Anda lihat pada buku yang tercantum di akhir artikel.

Sifat-sifat produk vektor.

Karena hasil kali vektor dalam koordinat dapat direpresentasikan sebagai determinan matriks, hal berikut dapat dengan mudah dibenarkan berdasarkan: sifat produk silang:

Sebagai contoh, mari kita buktikan sifat antikomutatif suatu produk vektor.

Menurut definisi Dan . Kita mengetahui bahwa nilai determinan suatu matriks akan dibalik jika dua barisnya dipertukarkan, oleh karena itu, , yang membuktikan sifat antikomutatif suatu produk vektor.

Produk vektor - contoh dan solusi.

Pada dasarnya ada tiga jenis masalah.

Dalam soal tipe pertama, panjang dua vektor dan sudut di antara keduanya diberikan, dan Anda perlu mencari panjang hasil kali vektor. Dalam hal ini rumus yang digunakan .

Contoh.

Tentukan panjang hasil kali vektor dari vektor-vektor dan , jika diketahui .

Larutan.

Kita mengetahui dari definisi bahwa panjang hasil kali vektor vektor dan sama dengan hasil kali panjang vektor dan sinus sudut di antara keduanya, oleh karena itu, .

Menjawab:

Soal tipe kedua berkaitan dengan koordinat vektor, di mana hasil kali vektor, panjangnya atau apa pun dicari melalui koordinat vektor yang diberikan. Dan .

Ada banyak pilihan berbeda yang mungkin ada di sini. Misalnya, bukan koordinat vektor yang dapat ditentukan, tetapi perluasannya menjadi vektor koordinat yang bentuknya dan , atau vektor dan dapat ditentukan dengan koordinat titik awal dan titik akhir.

Mari kita lihat contoh-contoh tipikal.

Contoh.

Dua vektor diberikan dalam sistem koordinat persegi panjang . Temukan produk silangnya.

Larutan.

Menurut definisi kedua, hasil kali vektor dua vektor dalam koordinat ditulis sebagai:

Kita akan mendapatkan hasil yang sama jika hasil perkalian vektor ditulis dalam bentuk determinan

Menjawab:

Contoh.

Temukan panjang produk vektor dari vektor dan , di mana adalah vektor satuan dari sistem koordinat kartesius persegi panjang.

Larutan.

Pertama kita cari koordinat hasil kali vektornya dalam sistem koordinat persegi panjang tertentu.

Karena vektor dan memiliki koordinat dan masing-masing (jika perlu, lihat artikel koordinat vektor dalam sistem koordinat persegi panjang), maka dengan definisi kedua dari produk vektor kita memiliki

Artinya, produk vektor memiliki koordinat dalam sistem koordinat tertentu.

Kita mencari panjang suatu hasil kali vektor sebagai akar kuadrat dari jumlah kuadrat koordinatnya (kita memperoleh rumus panjang suatu vektor pada bagian mencari panjang suatu vektor):

Menjawab:

Contoh.

Dalam sistem koordinat kartesius persegi panjang, koordinat tiga titik diberikan. Temukan beberapa vektor yang tegak lurus dan pada waktu yang sama.

Larutan.

Vektor dan mempunyai koordinat dan masing-masing (lihat artikel mencari koordinat suatu vektor melalui koordinat titik). Jika kita mencari hasil perkalian vektor dari vektor-vektor dan , maka menurut definisi vektor tersebut adalah vektor yang tegak lurus terhadap dan terhadap , yaitu solusi untuk masalah kita. Mari kita temukan dia

Menjawab:

- salah satu vektor tegak lurus.

Dalam soal tipe ketiga, keterampilan menggunakan sifat-sifat perkalian vektor vektor diuji. Setelah menerapkan properti, rumus yang sesuai diterapkan.

Contoh.

Vektor-vektornya tegak lurus dan panjangnya masing-masing 3 dan 4. Temukan panjang hasil perkalian silang .

Larutan.

Berdasarkan sifat distributif suatu perkalian vektor, kita dapat menulis

Karena sifat kombinasionalnya, kita menghilangkan koefisien numerik dari tanda perkalian vektor pada ekspresi terakhir:

Hasil kali vektor dan sama dengan nol, karena Dan , Kemudian .

Karena hasil kali vektor bersifat antikomutatif, maka .

Jadi, dengan menggunakan sifat-sifat perkalian vektor, kita sampai pada persamaan .

Dengan syarat, vektor-vektor dan tegak lurus, yaitu sudut antara keduanya sama dengan . Artinya, kita memiliki semua data untuk mencari panjang yang dibutuhkan

Menjawab:

Arti geometris dari produk vektor.

Menurut definisi, panjang produk vektor dari vektor adalah . Dan dari pelajaran geometri SMA kita mengetahui bahwa luas suatu segitiga sama dengan setengah hasil kali panjang kedua sisi segitiga dan sinus sudut diantara keduanya. Oleh karena itu, panjang hasil kali vektor sama dengan dua kali luas segitiga yang sisi-sisinya merupakan vektor dan , jika diplot dari satu titik. Dengan kata lain, panjang hasil kali vektor vektor-vektor dan sama dengan luas jajar genjang yang sisi-sisinya dan dan sudut antara keduanya sama dengan . Inilah arti geometris dari perkalian vektor.

7.1. Definisi perkalian silang

Tiga buah vektor tak sebidang a, b dan c, diambil menurut urutan yang ditunjukkan, membentuk triplet bersisi kanan jika, dari ujung vektor ketiga c, belokan terpendek dari vektor pertama a ke vektor kedua b terlihat berlawanan arah jarum jam, dan triplet kidal jika searah jarum jam (lihat Gambar .16).

Hasil kali vektor dari vektor a dan vektor b disebut vektor c, yang:

1. Tegak lurus terhadap vektor a dan b, yaitu c^a dan c ^ B ;

2. Memiliki panjang yang secara numerik sama dengan luas jajar genjang yang dibangun di atas vektor a danB seperti di bagian samping (lihat Gambar 17), yaitu.

3. Vektor a, b dan c membentuk tripel siku-siku.

Perkalian silang dilambangkan dengan a x b atau [a,b]. Hubungan antara vektor satuan i berikut ini langsung mengikuti definisi perkalian vektor, J Dan(lihat Gambar 18):

i x j = k, j x k = i, k x i = j.
Mari kita buktikan, misalnya, hal itu saya xj =k.

1) k^i, k ^ J ;

2) |k |=1, tetapi | saya x j| = |saya |

|J | dosa(90°)=1; Dan 3) vektor i, j dan

membentuk rangkap tiga siku-siku (lihat Gambar 16).

7.2.

Sifat-sifat produk silang 1. Ketika faktor-faktor disusun ulang, hasil kali vektor berubah tanda, yaitu. = -(dan xb =(b xa) (lihat Gambar 19).).

Vektor a xb dan b xa adalah segaris, mempunyai modul yang sama (luas jajar genjang tetap tidak berubah), tetapi arahnya berlawanan (tiga kali lipat a, b, a xb dan a, b, b x a dengan orientasi berlawanan). Karena itu

axb b x 2. Hasil kali vektor mempunyai sifat gabungan terhadap faktor skalar, yaitu l (a xb) = (l a) x b = a x (l b). B Misalkan aku >0. Vektor l (a xb) tegak lurus terhadap vektor a dan b. Vektor ( B aku b x kapak b x juga tegak lurus terhadap vektor a dan b x 2. Hasil kali vektor mempunyai sifat gabungan terhadap faktor skalar, yaitu l (a xb) = (l a) x b = a x (l b). B(vektor a,

tapi berbaring di pesawat yang sama). Artinya vektor b x(a xb) dan ( b x segaris. Jelas sekali bahwa arah mereka bertepatan. Panjangnya sama: b x<0.

Itu sebabnya B(a xb)=<=>sebuah xb. Hal serupa juga dibuktikan untuk

3. Dua vektor bukan nol a dan

adalah segaris jika dan hanya jika hasil kali vektornya sama dengan vektor nol, yaitu a ||b

(dan xb =0. Secara khusus, i *i =j *j =k *k =0 . B 4. Hasil kali vektor mempunyai sifat distribusi:

a+b)

xc = xc +

xs. Hubungan antara vektor satuan i berikut ini langsung mengikuti definisi perkalian vektor, Kami akan menerima tanpa bukti.

7.3. Menyatakan perkalian silang dalam bentuk koordinat

Kita akan menggunakan tabel perkalian silang dari vektor i, Hubungan antara vektor satuan i berikut ini langsung mengikuti definisi perkalian vektor, dan k: Dan jika arah lintasan terpendek dari vektor pertama ke vektor kedua bertepatan dengan arah panah, maka hasil kali sama dengan vektor ketiga; jika tidak bertepatan, vektor ketiga diambil dengan tanda minus. Misalkan diberikan dua buah vektor a = a x i + a y+a z Hubungan antara vektor satuan i berikut ini langsung mengikuti definisi perkalian vektor, dan b =b x Dan Saya

+oleh kamu

+bz

. Mari kita cari hasil kali vektor dari vektor-vektor ini dengan mengalikannya sebagai polinomial (sesuai dengan sifat-sifat hasil kali vektor):

Rumus yang dihasilkan dapat ditulis lebih singkat lagi:

karena ruas kanan persamaan (7.1) berhubungan dengan perluasan determinan orde ketiga dalam unsur-unsur baris pertama (7.2), mudah diingat.

7.4. Beberapa aplikasi produk silang Membangun kolinearitas vektor Mencari luas jajar genjang dan segitiga Menurut definisi perkalian vektor dari vektor A

dan b

|a xb | = |sebuah | * |b |sin g, yaitu S berpasangan = |a x b |. Dan oleh karena itu, D S =1/2|a x b |. Penentuan momen gaya terhadap suatu titik Biarkan gaya diterapkan pada titik A- suatu titik dalam ruang (lihat Gambar 20).

Diketahui dari fisika bahwa momen kekuatan F relatif terhadap intinya Biarkan gaya diterapkan pada titik A disebut vektor M, yang melewati titik tersebut Biarkan gaya diterapkan pada titik A Dan:

1) tegak lurus terhadap bidang yang melalui titik-titik tersebut HAI, SEBUAH, B;

2) secara numerik sama dengan hasil kali gaya per lengan

3) membentuk rangkap tiga siku-siku dengan vektor OA dan A B.

Oleh karena itu, M = OA x F.

Menemukan kecepatan rotasi linier

Kecepatan ay titik M suatu benda tegar yang berputar dengan kecepatan sudut w di sekitar sumbu tetap, ditentukan oleh rumus Euler v =w xr, di mana r =OM, di mana O adalah suatu titik tetap pada sumbu (lihat Gambar 21).

Sebelum memberikan konsep perkalian vektor, mari kita beralih ke pertanyaan tentang orientasi rangkap tiga vektor a →, b →, c → dalam ruang tiga dimensi.

Pertama, mari kita sisihkan vektor a → , b → , c → dari satu titik. Orientasi tripel a → , b → , c → bisa ke kanan atau ke kiri, bergantung pada arah vektor c → itu sendiri. Tipe tripel a → , b → , c → ditentukan dari arah putaran terpendek dari vektor a → ke b → dari ujung vektor c → .

Jika putaran terpendek dilakukan berlawanan arah jarum jam, maka tripel vektor a → , b → , c → disebut Kanan, jika searah jarum jam – kiri.

Selanjutnya, ambil dua vektor non-kolinear a → dan b →. Mari kita plot vektor A B → = a → dan AC → = b → dari titik A. Mari kita buat sebuah vektor A D → = c →, yang tegak lurus terhadap A B → dan A C →. Jadi, ketika membangun vektor itu sendiri A D → = c →, kita dapat melakukannya dengan dua cara, yaitu dengan memberikan satu arah atau sebaliknya (lihat ilustrasi).

Tripel vektor yang terurut a → , b → , c →, seperti yang telah kita ketahui, dapat berada di kanan atau kiri bergantung pada arah vektornya.

Dari penjelasan di atas kita dapat mengenalkan definisi perkalian vektor. Definisi ini diberikan untuk dua vektor yang didefinisikan dalam sistem koordinat persegi panjang dalam ruang tiga dimensi.

Definisi 1

Hasil kali vektor dua vektor a → dan b → kita akan menyebut vektor yang didefinisikan dalam sistem koordinat persegi panjang ruang tiga dimensi sedemikian rupa sehingga:

jika vektor a → dan b → segaris, maka vektornya nol;
itu akan tegak lurus terhadap vektor a → dan vektor b → yaitu. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
panjangnya ditentukan dengan rumus: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
rangkap tiga vektor a → , b → , c → mempunyai orientasi yang sama dengan sistem koordinat yang diberikan.

Hasil kali vektor dari vektor a → dan b → mempunyai notasi sebagai berikut: a → × b →.

Koordinat hasil kali vektor

Karena setiap vektor mempunyai koordinat tertentu dalam sistem koordinatnya, kita dapat memperkenalkan definisi kedua dari perkalian vektor, yang memungkinkan kita mencari koordinatnya menggunakan koordinat vektor yang diberikan.

Definisi 2

Dalam sistem koordinat persegi panjang ruang tiga dimensi hasil kali vektor dua vektor a → = (a x ; a y ; a z) dan b → = (b x ; b y ; b z) disebut vektor c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , dimana i → , j → , k → adalah vektor koordinat.

Hasil kali vektor dapat direpresentasikan sebagai determinan matriks persegi orde ketiga, dimana baris pertama berisi vektor vektor i → , j → , k → , baris kedua berisi koordinat vektor a → , dan baris ketiga berisi koordinat vektor b → dalam sistem koordinat persegi panjang tertentu, determinan matriksnya seperti ini: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Memperluas determinan ini ke dalam elemen baris pertama, kita memperoleh persamaan: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k → = = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Sifat-sifat produk silang

Diketahui hasil kali vektor dalam koordinat direpresentasikan sebagai determinan matriks c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , maka atas dasar sifat-sifat determinan matriks berikut ini ditampilkan sifat-sifat produk vektor:

antikomutatif a → × b → = - b → × a → ;
distributivitas a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → atau a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
asosiatifitas λ a → × b → = λ a → × b → atau a → × (λ b →) = λ a → × b →, dengan λ adalah bilangan real sembarang.

Properti ini memiliki bukti sederhana.

Sebagai contoh, kita dapat membuktikan sifat antikomutatif suatu perkalian vektor.

Bukti antikomutatif

Berdasarkan definisi, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z dan b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . Dan jika dua baris matriks tersebut ditukar, maka nilai determinan matriks tersebut akan berubah menjadi kebalikannya, maka a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , yang membuktikan bahwa hasil kali vektor bersifat antikomutatif.

Produk vektor - contoh dan solusi

Dalam kebanyakan kasus, ada tiga jenis masalah.

Dalam soal tipe pertama, panjang dua vektor dan sudut di antara keduanya biasanya diberikan, dan Anda perlu mencari panjang hasil kali vektor. Dalam hal ini, gunakan rumus berikut c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → .

Contoh 1

Tentukan panjang hasil kali vektor dari vektor a → dan b → jika diketahui a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4.

Larutan

Dengan menentukan panjang hasil kali vektor dari vektor a → dan b →, kita selesaikan soal berikut: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .

Menjawab: 15 2 2 .

Soal tipe kedua mempunyai hubungan dengan koordinat vektor, di dalamnya hasil kali vektor, panjangnya, dll. dicari melalui koordinat yang diketahui dari vektor tertentu a → = (ax; ay; az) Dan b → = (b x ; b y ; b z) .

Untuk jenis masalah ini, Anda dapat menyelesaikan banyak pilihan tugas. Misalnya, koordinat vektor a → dan b → tidak dapat ditentukan, tetapi perluasannya menjadi vektor koordinat berbentuk b → = b x · saya → + b y · j → + b z · k → dan c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →, atau vektor a → dan b → dapat ditentukan dengan koordinat awalnya dan titik akhir.

Perhatikan contoh berikut.

Contoh 2

Dalam sistem koordinat persegi panjang, diberikan dua vektor: a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). Temukan produk silangnya.

Larutan

Berdasarkan definisi kedua, kita mencari hasil perkalian vektor dua vektor dengan koordinat tertentu: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (az · b x - a x · b z) · j → + ( a x · b y - a y · b x) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2 · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Jika kita menuliskan hasil kali vektor melalui determinan matriks, maka penyelesaian contoh ini terlihat seperti ini: a → × b → = i → j → k → a x a y az b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 saya → - 2 j → - 2 k → .

Menjawab: a → × b → = - 2 saya → - 2 j → - 2 k → .

Contoh 3

Tentukan panjang hasil kali vektor dari vektor i → - j → dan i → + j → + k →, dengan i →, j →, k → adalah vektor satuan dari sistem koordinat kartesius persegi panjang.

Larutan

Pertama, cari koordinat hasil kali vektor i → - j → × i → + j → + k → dalam sistem koordinat persegi panjang tertentu.

Diketahui vektor i → - j → dan i → + j → + k → berturut-turut mempunyai koordinat (1; - 1; 0) dan (1; 1; 1). Mari kita cari panjang hasil kali vektor menggunakan determinan matriks, maka kita mempunyai i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Oleh karena itu, hasil kali vektor i → - j → × i → + j → + k → memiliki koordinat (- 1 ; - 1 ; 2) pada sistem koordinat yang diberikan.

Kita mencari panjang hasil kali vektor menggunakan rumus (lihat bagian mencari panjang vektor): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

Menjawab: saya → - j → × saya → + j → + k → = 6 . .

Contoh 4

Dalam sistem koordinat kartesius persegi panjang, diberikan koordinat tiga titik A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2). Temukan beberapa vektor yang tegak lurus A B → dan A C → secara bersamaan.

Larutan

Vektor A B → dan A C → masing-masing mempunyai koordinat sebagai berikut (- 1 ; 2 ; 2) dan (0 ; 4 ; 1). Setelah menemukan hasil kali vektor dari vektor A B → dan A C →, jelaslah bahwa vektor tersebut menurut definisi adalah vektor tegak lurus terhadap A B → dan A C →, yaitu solusi untuk masalah kita. Mari kita cari A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Menjawab: - 6 saya → + j → - 4 k → . - salah satu vektor tegak lurus.

Masalah tipe ketiga difokuskan pada penggunaan sifat-sifat perkalian vektor dari vektor. Setelah menerapkannya, kita akan mendapatkan solusi untuk masalah yang diberikan.

Contoh 5

Vektor a → dan b → tegak lurus dan panjangnya masing-masing 3 dan 4. Tentukan panjang hasil kali vektor 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → .

Larutan

Berdasarkan sifat distributif suatu perkalian vektor, kita dapat menuliskan 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Berdasarkan sifat asosiatif, kita mengambil koefisien numerik dari tanda perkalian vektor pada ekspresi terakhir: 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → + (- 1) · (- 2) · b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Hasil kali vektor a → × a → dan b → × b → sama dengan 0, karena a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 dan b → × b → = b → · b → · sin 0 = 0, lalu 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b → = - 6 · a → × b → - b → × a → . .

Dari antikomutatifitas perkalian vektor diperoleh - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × b → . .

Dengan menggunakan sifat-sifat hasil kali vektor, kita memperoleh persamaan 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Dengan syarat, vektor a → dan b → tegak lurus, yaitu sudut antara keduanya sama dengan π 2. Sekarang yang tersisa hanyalah mengganti nilai yang ditemukan ke dalam rumus yang sesuai: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · sin (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60 .

Menjawab: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.

Panjang hasil kali vektor vektor menurut definisi sama dengan a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Karena telah diketahui (dari pelajaran sekolah) bahwa luas suatu segitiga sama dengan setengah hasil kali panjang kedua sisinya dikalikan sinus sudut antara sisi-sisi tersebut. Oleh karena itu, panjang hasil kali vektor sama dengan luas jajar genjang - segitiga berlipat ganda, yaitu hasil kali sisi-sisinya yang berbentuk vektor a → dan b →, diletakkan dari satu titik, dengan sinus dari sudut antara keduanya sin ∠ a →, b →.

Inilah arti geometris dari perkalian vektor.

Arti fisik dari produk vektor

Dalam mekanika, salah satu cabang fisika, berkat perkalian vektor, Anda dapat menentukan momen suatu gaya relatif terhadap suatu titik dalam ruang.

Definisi 3

Berdasarkan momen gaya F → yang diterapkan pada titik B, relatif terhadap titik A, kita akan memahami hasil kali vektor berikut A B → × F →.

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, sorot teks tersebut dan tekan Ctrl+Enter