Ekspresi tanda kurung buka bisa. Bagaimana seorang tutor matematika mengajarkan topik “perkalian polinomial”

Dalam pelajaran ini Anda akan belajar bagaimana mengubah ekspresi yang mengandung tanda kurung menjadi ekspresi tanpa tanda kurung. Anda akan mempelajari cara membuka tanda kurung yang diawali dengan tanda plus dan tanda minus. Kita akan mengingat cara membuka tanda kurung menggunakan hukum perkalian distributif. Contoh-contoh yang dipertimbangkan akan memungkinkan Anda untuk menggabungkan materi baru dan materi yang telah dipelajari sebelumnya menjadi satu kesatuan.

Topik: Memecahkan persamaan

Pelajaran: Memperluas Tanda Kurung

Cara membuka tanda kurung diawali dengan tanda “+”. Menggunakan hukum asosiatif penjumlahan.

Jika Anda ingin menjumlahkan dua bilangan ke suatu bilangan, Anda dapat menambahkan suku pertama ke bilangan tersebut terlebih dahulu, lalu suku kedua.

Di sebelah kiri tanda sama dengan adalah ekspresi dengan tanda kurung, dan di sebelah kanan adalah ekspresi tanpa tanda kurung. Artinya, ketika berpindah dari ruas kiri persamaan ke ruas kanan, terjadi pembukaan tanda kurung.

Mari kita lihat contohnya.

Contoh 1.

Dengan membuka tanda kurung, kami mengubah urutan tindakan. Menghitung menjadi lebih mudah.

Contoh 2.

Contoh 3.

Perhatikan bahwa dalam ketiga contoh kita cukup menghilangkan tanda kurung. Mari kita merumuskan aturannya:

Komentar.

Apabila suku pertama dalam tanda kurung tidak bertanda tangan, maka harus ditulis dengan tanda tambah.

Anda dapat mengikuti contoh langkah demi langkah. Pertama, tambahkan 445 ke 889. Tindakan ini dapat dilakukan secara mental, namun tidak mudah. Mari kita buka tanda kurung dan lihat bahwa prosedur yang diubah akan menyederhanakan perhitungan secara signifikan.

Jika Anda mengikuti prosedur yang ditunjukkan, Anda harus mengurangi 345 dari 512 terlebih dahulu, lalu menambahkan 1345 ke hasilnya. Dengan membuka tanda kurung, kami akan mengubah prosedur dan menyederhanakan perhitungan secara signifikan.

Mengilustrasikan contoh dan aturan.

Mari kita lihat contohnya: . Anda dapat mencari nilai suatu ekspresi dengan menjumlahkan 2 dan 5, lalu mengambil bilangan yang dihasilkan dengan tanda berlawanan. Kami mendapatkan -7.

Sebaliknya, hasil yang sama dapat diperoleh dengan menjumlahkan bilangan yang berlawanan dengan bilangan aslinya.

Mari kita merumuskan aturannya:

Contoh 1.

Contoh 2.

Aturan tidak berubah jika tidak ada dua, melainkan tiga suku atau lebih dalam tanda kurung.

Contoh 3.

Komentar. Tanda-tandanya dibalik hanya di depan istilahnya.

Untuk membuka tanda kurung, dalam hal ini kita perlu mengingat sifat distributif.

Pertama, kalikan tanda kurung pertama dengan 2, dan tanda kurung kedua dengan 3.

Tanda kurung pertama diawali dengan tanda “+”, artinya tanda tersebut tidak boleh diubah. Tanda kedua diawali dengan tanda “-”, oleh karena itu semua tanda perlu diubah menjadi sebaliknya

Bibliografi

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematika kelas 6. - Gimnasium, 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Di balik halaman buku teks matematika. - Pencerahan, 1989.
4. Rurukin A.N., Tchaikovsky I.V. Tugas mata kuliah matematika kelas 5-6 - ZSh MEPHI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. Matematika 5-6. Panduan untuk siswa kelas 6 di sekolah korespondensi MEPHI. - ZSh MEPHI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematika: Buku teks-teman bicara untuk kelas 5-6 sekolah menengah. Perpustakaan guru matematika. - Pencerahan, 1989.

1. Tes online matematika ().
2. Anda dapat mengunduh yang ditentukan dalam pasal 1.2. buku().

Pekerjaan rumah

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012. (tautan lihat 1.2)
2. Pekerjaan Rumah : No.1254, No.1255, No.1256 (b,d)
3. Tugas lainnya: No.1258(c), No.1248

Pada artikel ini kita akan melihat secara rinci aturan dasar topik penting dalam kursus matematika seperti tanda kurung buka. Anda perlu mengetahui aturan pembukaan tanda kurung agar dapat menyelesaikan persamaan yang digunakan dengan benar.

Cara membuka tanda kurung dengan benar saat menjumlahkan

Perluas tanda kurung yang diawali dengan tanda “+”.

Ini adalah kasus yang paling sederhana, karena jika ada tanda penjumlahan di depan tanda kurung, maka tanda di dalamnya tidak berubah ketika tanda kurung dibuka. Contoh:

(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.

Cara membuka tanda kurung diawali dengan tanda “-”.

Dalam hal ini, Anda perlu menulis ulang semua suku tanpa tanda kurung, tetapi pada saat yang sama mengubah semua tanda di dalamnya menjadi kebalikannya. Perubahan tanda hanya terjadi pada suku-suku dalam tanda kurung yang diawali dengan tanda “-”. Contoh:

(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.

Cara membuka tanda kurung saat mengalikan

Sebelum tanda kurung ada angka pengali

Dalam hal ini, Anda perlu mengalikan setiap suku dengan faktor dan membuka tanda kurung tanpa mengubah tandanya. Jika pengali mempunyai tanda “-”, maka pada saat perkalian tanda sukunya dibalik. Contoh:

3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.

Cara membuka dua tanda kurung dengan tanda perkalian diantara keduanya

Dalam hal ini, Anda perlu mengalikan setiap suku dalam tanda kurung pertama dengan setiap suku dalam tanda kurung kedua, lalu menjumlahkan hasilnya. Contoh:

(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.

Cara membuka tanda kurung pada kotak

Jika jumlah atau selisih dua suku dikuadratkan, maka tanda kurung dibuka sesuai rumus berikut:

(x + y)^2 = x^2 + 2 * x * y + y^2.

Jika ada tanda minus di dalam tanda kurung, rumusnya tidak berubah. Contoh:

(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.

Cara memperluas tanda kurung ke tingkat yang lebih tinggi

Jika jumlah atau selisih suku dipangkatkan, misalnya ke pangkat 3 atau 4, maka Anda tinggal memecah pangkat kurung menjadi “kuadrat”. Pangkat faktor-faktor yang identik ditambahkan, dan ketika membagi, pangkat pembagi dikurangi dari pangkat pembagi. Contoh:

(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.

Cara membuka 3 bracket

Ada persamaan yang mengalikan 3 tanda kurung sekaligus. Dalam hal ini, pertama-tama Anda harus mengalikan suku-suku pada dua tanda kurung pertama, lalu mengalikan jumlah perkaliannya dengan suku-suku pada tanda kurung ketiga. Contoh:

(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.

Aturan untuk membuka tanda kurung ini berlaku sama untuk menyelesaikan persamaan linier dan trigonometri.

Fungsi utama tanda kurung adalah untuk mengubah urutan tindakan saat menghitung nilai. Misalnya, dalam ekspresi numerik \(5·3+7\) perkalian akan dihitung terlebih dahulu, lalu penjumlahan: \(5·3+7 =15+7=22\). Namun dalam ekspresi \(5·(3+7)\) penjumlahan dalam tanda kurung akan dihitung terlebih dahulu, baru kemudian perkaliannya: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Contoh. Perluas tanda kurung: \(-(4m+3)\).
Larutan : \(-(4m+3)=-4m-3\).

Contoh. Buka tanda kurung dan berikan suku serupa \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Larutan : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Contoh. Luaskan tanda kurung \(5(3-x)\).
Larutan : Di dalam kurung ada \(3\) dan \(-x\), dan sebelum kurung ada lima. Artinya, setiap anggota tanda kurung dikalikan dengan \(5\) - Saya ingatkan Anda akan hal itu Tanda perkalian antara angka dan tanda kurung tidak ditulis dalam matematika untuk memperkecil ukuran entri.

Contoh. Luaskan tanda kurung \(-2(-3x+5)\).
Larutan : Seperti pada contoh sebelumnya, \(-3x\) dan \(5\) dalam tanda kurung dikalikan dengan \(-2\).

Contoh. Sederhanakan persamaan: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Larutan : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Masih mempertimbangkan situasi terakhir.

Saat mengalikan tanda kurung dengan tanda kurung, setiap suku pada tanda kurung pertama dikalikan dengan setiap suku pada tanda kurung kedua:

\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)

Contoh. Perluas tanda kurung \((2-x)(3x-1)\).
Larutan : Kita mempunyai hasil kali tanda kurung dan dapat langsung diperluas menggunakan rumus di atas. Namun agar tidak bingung, yuk lakukan semuanya selangkah demi selangkah.
Langkah 1. Hapus tanda kurung pertama - kalikan setiap suku dengan tanda kurung kedua:

Langkah 2. Perluas hasil kali tanda kurung dan faktornya seperti dijelaskan di atas:
- Hal pertama yang pertama...

Lalu yang kedua.

Langkah 3. Sekarang kita mengalikan dan menyajikan suku-suku serupa:

Tidak perlu menjelaskan semua transformasi secara mendetail; Anda dapat langsung mengalikannya. Namun jika Anda baru belajar membuka tanda kurung, tulislah secara detail, kemungkinan terjadinya kesalahan akan lebih kecil.

Catatan untuk seluruh bagian. Sebenarnya Anda tidak perlu mengingat keempat aturan tersebut, Anda hanya perlu mengingat satu saja, yang ini: \(c(a-b)=ca-cb\) . Mengapa? Karena jika Anda menggantinya dengan c, Anda mendapatkan aturannya \((a-b)=a-b\) . Dan jika kita mengganti minus satu, kita mendapatkan aturannya \(-(a-b)=-a+b\) . Nah, jika Anda mengganti braket lain selain c, Anda bisa mendapatkan aturan terakhir.

Tanda kurung di dalam tanda kurung

Terkadang dalam praktiknya ada masalah dengan tanda kurung yang bersarang di dalam tanda kurung lainnya. Berikut adalah contoh tugas tersebut: sederhanakan ekspresi \(7x+2(5-(3x+y))\).

Agar berhasil menyelesaikan tugas-tugas tersebut, Anda perlu:
- pahami dengan cermat susunan tanda kurung - di mana tanda kurung itu berada;
- buka tanda kurung secara berurutan, dimulai misalnya dari yang paling dalam.

Penting saat membuka salah satu tanda kurung jangan sentuh ekspresi lainnya, tulis ulang saja apa adanya.
Mari kita lihat tugas yang ditulis di atas sebagai contoh.

Contoh. Buka tanda kurung dan berikan suku serupa \(7x+2(5-(3x+y))\).
Larutan:

Contoh. Buka tanda kurung dan berikan suku serupa \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Larutan :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		Ada tanda kurung rangkap tiga di sini. Mari kita mulai dengan yang paling dalam (disorot dengan warna hijau). Ada plusnya di depan bracket, jadi lepas saja.
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		Sekarang Anda perlu membuka braket kedua, braket tengah. Namun sebelum itu, kami akan menyederhanakan ekspresi suku-suku mirip hantu pada braket kedua ini.
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		Sekarang kita buka braket kedua (disorot dengan warna biru). Sebelum tanda kurung adalah faktor - jadi setiap suku dalam tanda kurung dikalikan dengan faktor tersebut.
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		Dan buka braket terakhir. Ada tanda minus di depan tanda kurung, jadi semua tandanya terbalik.

Memperluas tanda kurung adalah keterampilan dasar dalam matematika. Tanpa keterampilan ini, mustahil mendapat nilai di atas C pada kelas 8 dan 9. Oleh karena itu, saya menyarankan Anda memahami topik ini dengan baik.

Saya melanjutkan rangkaian artikel metodologis tentang topik pengajaran. Saatnya untuk mempertimbangkan kekhasan pekerjaan individu tutor matematika untuk siswa kelas 7. Dengan senang hati saya akan berbagi pemikiran saya tentang bentuk penyajian salah satu topik terpenting dalam mata pelajaran aljabar kelas 7 - “tanda kurung pembuka”. Agar tidak mencoba memahami besarnya, mari kita berhenti pada tahap awal dan menganalisis metode tutor dalam mengalikan polinomial dengan polinomial. Bagaimana guru matematika bertindak dalam situasi sulit ketika siswa yang lemah tidak menerima bentuk penjelasan klasik? Tugas apa yang perlu dipersiapkan untuk siswa kelas tujuh yang kuat? Mari kita pertimbangkan pertanyaan ini dan pertanyaan lainnya.

Tampaknya, apa yang rumit dalam hal ini? “Braket itu mudah,” kata siswa berprestasi mana pun. “Ada hukum distribusi dan sifat kekuasaan untuk bekerja dengan monomial, algoritma umum untuk sejumlah suku berapa pun. Kalikan masing-masing dengan masing-masing dan bawalah yang serupa.” Namun, tidak semuanya sesederhana itu ketika bekerja dengan orang yang lamban. Terlepas dari upaya yang dilakukan oleh tutor matematika, siswa berhasil membuat kesalahan dalam berbagai ukuran bahkan dalam transformasi paling sederhana sekalipun. Sifat kesalahannya sangat mencolok dalam keragamannya: dari kelalaian kecil dalam huruf dan tanda hingga “kesalahan berhenti” yang buntu dan serius.

Apa yang menghalangi siswa menyelesaikan transformasi dengan benar? Mengapa kesalahpahaman bisa terjadi?

Ada banyak sekali masalah individu, dan salah satu hambatan utama dalam asimilasi dan konsolidasi materi adalah kesulitan dalam mengalihkan perhatian secara tepat waktu dan cepat, kesulitan dalam memproses sejumlah besar informasi. Mungkin tampak aneh bagi sebagian orang bahwa saya berbicara tentang volume yang besar, tetapi siswa kelas 7 yang lemah mungkin tidak memiliki sumber daya ingat dan perhatian yang cukup bahkan untuk empat semester. Koefisien, variabel, derajat (indikator) mengganggu. Siswa bingung urutan operasinya, lupa monomial mana yang sudah dikalikan dan mana yang belum dikalikan, tidak ingat cara mengalikannya, dan sebagainya.

Pendekatan Numerik untuk Tutor Matematika

Tentu saja, Anda perlu memulai dengan penjelasan logika di balik konstruksi algoritma itu sendiri. Bagaimana cara melakukannya? Kita perlu mengajukan masalah: bagaimana mengubah urutan tindakan dalam sebuah ekspresi agar hasilnya tidak berubah? Saya cukup sering memberikan contoh yang menjelaskan pengoperasian aturan tertentu dengan menggunakan angka tertentu. Dan baru kemudian saya menggantinya dengan huruf. Teknik penggunaan pendekatan numerik akan dijelaskan di bawah ini.

Masalah motivasi.
Pada awal pembelajaran, sulit bagi seorang tutor matematika untuk mengumpulkan siswa jika ia tidak memahami relevansi materi yang dipelajari. Pada silabus kelas 6–7, sulit menemukan contoh penggunaan aturan perkalian polinomial. Saya akan menekankan perlunya belajar mengubah urutan tindakan dalam ekspresi Siswa harus mengetahui bahwa ini membantu memecahkan masalah berdasarkan pengalaman dalam menjumlahkan suku-suku serupa. Dia harus menjumlahkannya saat menyelesaikan persamaan. Misalnya, dalam 2x+5x+13=34 dia menggunakan 2x+5x=7x. Seorang tutor matematika hanya perlu memusatkan perhatian siswa pada hal ini.

Guru matematika sering menyebut teknik membuka tanda kurung dengan sebutan aturan "air mancur"..

Gambar ini diingat dengan baik dan harus digunakan. Namun bagaimana aturan ini terbukti? Mari kita mengingat kembali bentuk klasik, yang menggunakan transformasi identitas yang jelas:

(a+b)(c+d)=(a+b) c+(a+b) d=ac+bc+iklan+bd

Sulit bagi tutor matematika untuk mengomentari apa pun di sini. Surat-surat itu berbicara sendiri. Dan siswa kelas 7 yang kuat tidak membutuhkan penjelasan yang detail. Namun, apa yang harus dilakukan terhadap mereka yang lemah, yang tidak melihat isi apa pun dalam “campur aduk” ini?

Masalah utama yang mengganggu persepsi pembenaran matematis klasik tentang “air mancur” adalah bentuk penulisan faktor pertama yang tidak biasa. Baik di kelas 5 maupun di kelas 6 siswa tidak perlu menyeret braket pertama ke setiap semester kedua. Anak-anak hanya berurusan dengan angka (koefisien), paling sering terletak di sebelah kiri tanda kurung, misalnya:

Pada akhir kelas 6, siswa telah membentuk gambaran visual suatu objek – kombinasi tanda (tindakan) tertentu yang diasosiasikan dengan tanda kurung. Dan setiap penyimpangan dari pandangan biasa menuju sesuatu yang baru dapat menyebabkan disorientasi siswa kelas tujuh. Ini adalah gambaran visual dari pasangan “angka + tanda kurung” yang digunakan tutor matematika saat menjelaskan.

Penjelasan berikut dapat ditawarkan. Alasan tutor: “Kalau ada angka di depan tanda kurung, misalnya 5, maka kita bisa mengubah prosedurnya dalam ekspresi ini? Tentu. Kalau begitu ayo kita lakukan . Pikirkan apakah hasilnya akan berubah jika alih-alih angka 5 kita memasukkan jumlah 2+3 yang diapit tanda kurung? Siswa mana pun akan memberi tahu tutornya: “Apa bedanya cara Anda menulis: 5 atau 2+3.” Luar biasa. Anda akan mendapatkan rekamannya. Tutor matematika istirahat sejenak agar siswa mengingat secara visual gambar-gambar benda tersebut. Kemudian dia menarik perhatiannya pada fakta bahwa tanda kurung, seperti halnya bilangan, “terdistribusi” atau “melompat” ke setiap suku. Apa artinya ini? Artinya operasi ini tidak hanya dapat dilakukan dengan angka, tetapi juga dengan tanda kurung. Kami mendapat dua pasang faktor dan . Kebanyakan siswa dengan mudah mengatasinya sendiri dan menuliskan hasilnya kepada tutor. Penting untuk membandingkan pasangan yang dihasilkan dengan isi tanda kurung 2+3 dan 6+4 dan akan menjadi jelas bagaimana pasangan tersebut dibuka.

Bila perlu, setelah contoh angka, guru matematika melakukan pembuktian huruf. Ternyata ini merupakan langkah mudah melalui bagian yang sama dari algoritma sebelumnya.

Pembentukan keterampilan membuka tanda kurung

Membentuk keterampilan mengalikan tanda kurung adalah salah satu tahapan terpenting dalam pekerjaan seorang tutor matematika dengan suatu topik. Dan yang lebih penting lagi adalah tahap menjelaskan logika aturan “air mancur”. Mengapa? Alasan perubahan tersebut akan dilupakan keesokan harinya, tetapi keterampilan, jika dibentuk dan dikonsolidasikan pada waktunya, akan tetap ada. Siswa melakukan operasi secara mekanis, seolah-olah mengambil tabel perkalian dari memori. Inilah yang perlu dicapai. Mengapa? Apabila setiap siswa membuka tanda kurung ia ingat mengapa tanda kurung dibuka demikian dan bukan sebaliknya, maka ia akan melupakan soal yang sedang diselesaikannya. Itu sebabnya guru matematika mencurahkan sisa waktu pelajaran untuk mengubah pemahaman menjadi hafalan. Strategi ini sering digunakan dalam topik lain.

Bagaimana cara seorang tutor mengembangkan keterampilan membuka tanda kurung pada siswa? Untuk melakukan ini, seorang siswa kelas 7 harus menyelesaikan sejumlah latihan dalam jumlah yang cukup untuk melakukan konsolidasi. Hal ini menimbulkan masalah lain. Seorang siswa kelas tujuh yang lemah tidak dapat mengatasi peningkatan jumlah transformasi. Bahkan yang kecil sekalipun. Dan kesalahan berjatuhan satu demi satu. Apa yang harus dilakukan seorang tutor matematika? Pertama, disarankan untuk menggambar panah dari setiap suku ke masing-masing suku. Jika seorang siswa sangat lemah dan tidak dapat dengan cepat beralih dari satu jenis pekerjaan ke jenis pekerjaan lainnya, atau kehilangan konsentrasi ketika mengikuti perintah sederhana dari guru, maka guru matematika sendiri yang akan menggambar panah tersebut. Dan tidak sekaligus. Pertama, guru menghubungkan suku pertama dalam kurung kiri dengan setiap suku dalam kurung kanan dan meminta mereka melakukan perkalian yang sesuai. Baru setelah itu anak panah diarahkan dari suku kedua ke tanda kurung siku kanan yang sama. Dengan kata lain, tutor membagi proses menjadi dua tahap. Lebih baik menjaga jeda singkat (5-7 detik) antara operasi pertama dan kedua.

1) Satu set panah harus digambar di atas ekspresi, dan satu lagi di bawahnya.
2) Setidaknya penting untuk melewati yang tersirat beberapa sel. Jika tidak, rekamannya akan sangat padat, dan panah tidak hanya akan naik ke baris sebelumnya, tetapi juga akan bercampur dengan panah dari latihan berikutnya.

3) Dalam kasus perkalian tanda kurung dalam format 3 dengan 2, panah ditarik dari tanda kurung pendek ke tanda kurung panjang. Kalau tidak, yang ada bukan dua, tapi tiga “air mancur” ini. Implementasi yang ketiga terasa lebih rumit karena kurangnya ruang kosong untuk panah.
4) anak panah selalu menunjuk dari titik yang sama. Salah satu siswa saya terus mencoba untuk menempatkan mereka berdampingan dan inilah yang dia hasilkan:

Pengaturan ini tidak memungkinkan pemilihan dan pencatatan istilah yang sedang dikerjakan siswa pada setiap tahap.

Pekerjaan jari tutor

4) Untuk menjaga perhatian pada pasangan suku-suku perkalian yang terpisah, guru matematika meletakkan dua jari pada suku-suku tersebut. Hal ini harus dilakukan sedemikian rupa agar tidak menghalangi pandangan siswa. Untuk siswa yang paling lalai, Anda dapat menggunakan metode “denyut”. Tutor matematika menempatkan jari pertama di awal panah (ke salah satu suku) dan memperbaikinya, dan dengan jari kedua “mengetuk” di ujungnya (ke suku kedua). Ripple membantu memusatkan perhatian pada suku yang digunakan siswa untuk mengalikan. Setelah perkalian pertama dengan tanda kurung kanan selesai, guru matematika mengatakan: “Sekarang kita mengerjakan suku lainnya.” Tutor menggerakkan “jari tetap” ke arahnya, dan menggerakkan jari “berdenyut” pada istilah-istilah dari braket lainnya. Denyut tersebut berfungsi seperti "lampu sein" di dalam mobil dan memungkinkan Anda memusatkan perhatian siswa yang linglung pada operasi yang dilakukannya. Jika anak menulis kecil, maka digunakan dua pensil sebagai pengganti jari.

Optimalisasi pengulangan

Seperti halnya mempelajari topik lain dalam mata kuliah aljabar, perkalian polinomial dapat dan harus diintegrasikan dengan materi yang telah dibahas sebelumnya. Untuk melakukan ini, tutor matematika menggunakan tugas jembatan khusus yang memungkinkan Anda menemukan penerapan apa yang Anda pelajari dalam berbagai objek matematika. Mereka tidak hanya menghubungkan topik menjadi satu kesatuan, tetapi juga mengatur pengulangan seluruh kursus matematika dengan sangat efektif. Dan semakin banyak jembatan yang dibangun oleh tutor, semakin baik.

Secara tradisional, buku teks aljabar kelas 7 mengintegrasikan tanda kurung buka dengan penyelesaian persamaan linier. Di akhir daftar angka selalu ada tugas dengan urutan sebagai berikut: selesaikan persamaan. Saat membuka tanda kurung, kuadratnya dikurangi dan persamaannya mudah diselesaikan menggunakan alat kelas 7. Namun, karena alasan tertentu, penulis buku teks dengan mudahnya melupakan pembuatan grafik fungsi linier. Untuk memperbaiki kekurangan ini, saya menyarankan tutor matematika untuk menyertakan tanda kurung dalam ekspresi analitik fungsi linier, misalnya. Dalam latihan seperti itu, siswa tidak hanya melatih keterampilan melakukan transformasi identik, tetapi juga mengulangi grafik. Anda dapat meminta untuk menemukan titik perpotongan dua “monster”, menentukan posisi relatif garis, menemukan titik perpotongannya dengan sumbu, dll.

Kolpakov A.N. Guru matematika di Strogino. Moskow

Dalam video ini kita akan menganalisis seluruh rangkaian persamaan linear yang diselesaikan menggunakan algoritma yang sama - itulah mengapa persamaan ini disebut paling sederhana.

Pertama, mari kita definisikan: apa itu persamaan linier dan manakah yang disebut persamaan linier paling sederhana?

Persamaan linier adalah persamaan yang hanya terdapat satu variabel dan hanya sampai derajat pertama.

Persamaan paling sederhana berarti konstruksi:

Semua persamaan linear lainnya direduksi menjadi yang paling sederhana menggunakan algoritma:

1. Perluas tanda kurung, jika ada;
2. Pindahkan suku-suku yang mengandung variabel ke salah satu sisi tanda sama dengan, dan suku-suku tanpa variabel ke sisi lainnya;
3. Berikan suku-suku yang serupa pada kiri dan kanan tanda sama dengan;
4. Bagilah persamaan yang dihasilkan dengan koefisien variabel $x$.

Tentu saja algoritma ini tidak selalu membantu. Faktanya adalah terkadang setelah semua intrik ini, koefisien variabel $x$ ternyata sama dengan nol. Dalam hal ini, ada dua opsi yang mungkin:

1. Persamaan tersebut tidak memiliki solusi sama sekali. Misalnya, ketika sesuatu seperti $0\cdot x=8$ muncul, mis. di sebelah kiri adalah nol, dan di sebelah kanan adalah bilangan selain nol. Dalam video di bawah ini kita akan melihat beberapa alasan mengapa situasi ini mungkin terjadi.
2. Solusinya adalah semua angka. Satu-satunya kasus yang memungkinkan hal ini adalah ketika persamaan telah direduksi menjadi konstruksi $0\cdot x=0$. Cukup logis bahwa berapa pun $x$ yang kita gantikan, hasilnya tetap “nol sama dengan nol”, yaitu. persamaan numerik yang benar.

Sekarang mari kita lihat bagaimana semua ini bekerja dengan menggunakan contoh kehidupan nyata.

Contoh penyelesaian persamaan

Hari ini kita berurusan dengan persamaan linier, dan hanya persamaan yang paling sederhana. Secara umum, persamaan linier berarti persamaan apa pun yang memuat tepat satu variabel, dan persamaan tersebut hanya sampai pada derajat pertama.

Konstruksi tersebut diselesaikan dengan cara yang kira-kira sama:

1. Pertama-tama, Anda perlu memperluas tanda kurung, jika ada (seperti pada contoh terakhir kami);
2. Lalu gabungkan yang serupa
3. Terakhir, isolasi variabelnya, mis. pindahkan segala sesuatu yang berhubungan dengan variabel—istilah yang memuatnya—ke satu sisi, dan pindahkan segala sesuatu yang tersisa tanpa variabel ke sisi lain.

Kemudian, sebagai aturan, Anda perlu membawa persamaan serupa di setiap sisi persamaan yang dihasilkan, dan setelah itu yang tersisa hanyalah membaginya dengan koefisien “x”, dan kita akan mendapatkan jawaban akhir.

Secara teori, hal ini terlihat bagus dan sederhana, namun dalam praktiknya, bahkan siswa sekolah menengah yang berpengalaman pun dapat membuat kesalahan yang menyinggung dalam persamaan linier yang cukup sederhana. Biasanya, kesalahan terjadi baik saat membuka tanda kurung atau saat menghitung “plus” dan “minus”.

Selain itu, persamaan linier tidak memiliki solusi sama sekali, atau solusinya adalah garis bilangan keseluruhan, yaitu. nomor berapa pun. Kita akan melihat seluk-beluk ini dalam pelajaran hari ini. Tapi kita akan mulai, seperti yang sudah Anda pahami, dengan tugas yang paling sederhana.

Skema penyelesaian persamaan linear sederhana

Pertama, izinkan saya sekali lagi menulis seluruh skema untuk menyelesaikan persamaan linier paling sederhana:

1. Perluas tanda kurung, jika ada.
2. Kami mengisolasi variabel, mis. Kami memindahkan segala sesuatu yang mengandung “X” ke satu sisi, dan segala sesuatu tanpa “X” ke sisi lainnya.
3. Kami menyajikan istilah serupa.
4. Kami membagi semuanya dengan koefisien “x”.

Tentu saja, skema ini tidak selalu berhasil; ada kehalusan dan trik tertentu di dalamnya, dan sekarang kita akan mengetahuinya.

Memecahkan contoh nyata persamaan linear sederhana

Tugas No.1

Langkah pertama mengharuskan kita membuka tanda kurung. Tapi mereka tidak ada dalam contoh ini, jadi kita lewati langkah ini. Pada langkah kedua kita perlu mengisolasi variabel. Harap dicatat: kita hanya berbicara tentang istilah individual. Mari kita tuliskan:

Kami menyajikan istilah serupa di kiri dan kanan, tapi ini sudah dilakukan di sini. Oleh karena itu, kita beralih ke langkah keempat: membagi dengan koefisien:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Jadi kami mendapat jawabannya.

Tugas No.2

Kita dapat melihat tanda kurung pada soal ini, jadi mari kita kembangkan:

Baik di kiri maupun di kanan kita melihat desain yang kurang lebih sama, tetapi mari kita bertindak sesuai dengan algoritmanya, yaitu. memisahkan variabel:

Berikut beberapa yang serupa:

Pada akar apa hal ini berhasil? Jawaban: untuk apa pun. Oleh karena itu, kita dapat menulis bahwa $x$ adalah bilangan apa pun.

Tugas No.3

Persamaan linear ketiga lebih menarik:

\[\kiri(6-x \kanan)+\kiri(12+x \kanan)-\kiri(3-2x \kanan)=15\]

Ada beberapa tanda kurung disini, namun tidak dikalikan dengan apapun, hanya diawali dengan tanda yang berbeda. Mari kita uraikan:

Kami melakukan langkah kedua yang sudah kami ketahui:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Mari kita berhitung:

Kami melakukan langkah terakhir - membagi semuanya dengan koefisien “x”:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Hal yang Perlu Diingat Saat Menyelesaikan Persamaan Linier

Jika kita mengabaikan tugas yang terlalu sederhana, saya ingin mengatakan yang berikut:

• Seperti yang saya katakan di atas, tidak semua persamaan linier mempunyai solusi - terkadang tidak ada akar;
• Sekalipun ada akarnya, mungkin tidak ada akarnya - tidak ada yang salah dengan itu.

Nol adalah angka yang sama dengan angka lainnya; Anda tidak boleh mendiskriminasikannya dengan cara apa pun atau berasumsi bahwa jika Anda mendapatkan angka nol, maka Anda melakukan kesalahan.

Ciri lainnya terkait dengan pembukaan tanda kurung. Harap dicatat: jika ada "minus" di depannya, kami menghapusnya, tetapi di dalam tanda kurung kami mengubah tandanya menjadi di depan. Dan kemudian kita bisa membukanya menggunakan algoritma standar: kita akan mendapatkan apa yang kita lihat pada perhitungan di atas.

Memahami fakta sederhana ini akan membantu Anda menghindari kesalahan bodoh dan menyakitkan di sekolah menengah, karena tindakan seperti itu dianggap remeh.

Memecahkan persamaan linear yang kompleks

Mari beralih ke persamaan yang lebih kompleks. Sekarang konstruksinya akan menjadi lebih kompleks dan ketika melakukan berbagai transformasi akan muncul fungsi kuadrat. Namun kita tidak perlu takut akan hal ini, karena jika menurut rencana penulis kita menyelesaikan persamaan linier, maka selama proses transformasi semua monomial yang mengandung fungsi kuadrat pasti akan hilang.

Contoh No.1

Tentunya langkah pertama adalah membuka tanda kurung. Mari kita lakukan ini dengan sangat hati-hati:

Sekarang mari kita lihat privasi:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Berikut beberapa yang serupa:

Jelas sekali, persamaan ini tidak memiliki solusi, jadi kami akan menuliskannya di jawabannya:

\[\varnothing\]

atau tidak ada akarnya.

Contoh No.2

Kami melakukan tindakan yang sama. Langkah pertama:

Mari kita pindahkan semuanya dengan variabel ke kiri, dan tanpa variabel - ke kanan:

Berikut beberapa yang serupa:

Jelas sekali persamaan linier ini tidak memiliki solusi, jadi kita akan menuliskannya seperti ini:

\[\varnothing\],

atau tidak ada akarnya.

Nuansa solusinya

Kedua persamaan terselesaikan sepenuhnya. Dengan menggunakan dua ekspresi ini sebagai contoh, kami sekali lagi yakin bahwa bahkan dalam persamaan linier yang paling sederhana sekalipun, segala sesuatunya mungkin tidak sesederhana itu: bisa saja ada satu, atau tidak ada sama sekali, atau akar-akar yang jumlahnya tak terhingga. Dalam kasus kami, kami mempertimbangkan dua persamaan, yang keduanya tidak memiliki akar.

Namun saya ingin menarik perhatian Anda pada fakta lain: cara menggunakan tanda kurung dan cara membukanya jika ada tanda minus di depannya. Pertimbangkan ungkapan ini:

Sebelum membuka, Anda perlu mengalikan semuanya dengan “X”. Harap diperhatikan: berlipat ganda setiap istilah individu. Di dalamnya ada dua suku - masing-masing dua suku dan dikalikan.

Dan hanya setelah transformasi yang tampaknya mendasar, tetapi sangat penting dan berbahaya ini selesai, Anda dapat membuka tanda kurung dari sudut pandang fakta bahwa ada tanda minus setelahnya. Ya, ya: baru sekarang, ketika transformasi selesai, kita ingat bahwa ada tanda minus di depan tanda kurung, yang berarti semua yang di bawah hanya mengubah tanda. Pada saat yang sama, tanda kurung itu sendiri menghilang dan, yang paling penting, “minus” depan juga menghilang.

Kami melakukan hal yang sama dengan persamaan kedua:

Bukan suatu kebetulan saya memperhatikan fakta-fakta kecil yang tampaknya tidak penting ini. Karena menyelesaikan persamaan selalu merupakan rangkaian transformasi dasar, di mana ketidakmampuan untuk melakukan tindakan sederhana dengan jelas dan kompeten mengarah pada fakta bahwa siswa sekolah menengah datang kepada saya dan belajar lagi menyelesaikan persamaan sederhana tersebut.

Tentu saja, akan tiba saatnya Anda akan mengasah keterampilan ini hingga mencapai titik otomatis. Anda tidak lagi harus melakukan begitu banyak transformasi setiap kali; Anda akan menulis semuanya dalam satu baris. Namun saat Anda baru belajar, Anda perlu menulis setiap tindakan secara terpisah.

Memecahkan persamaan linear yang lebih kompleks

Apa yang akan kita selesaikan sekarang bukanlah tugas yang paling sederhana, tetapi maknanya tetap sama.

Tugas No.1

\[\kiri(7x+1 \kanan)\kiri(3x-1 \kanan)-21((x)^(2))=3\]

Mari kalikan semua elemen di bagian pertama:

Mari kita jaga privasi:

Berikut beberapa yang serupa:

Mari selesaikan langkah terakhir:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Inilah jawaban akhir kami. Dan, terlepas dari kenyataan bahwa dalam proses penyelesaian kita memiliki koefisien dengan fungsi kuadrat, mereka saling menghilangkan, sehingga persamaan tersebut linier dan bukan kuadrat.

Tugas No.2

\[\kiri(1-4x \kanan)\kiri(1-3x \kanan)=6x\kiri(2x-1 \kanan)\]

Mari kita lakukan langkah pertama dengan hati-hati: kalikan setiap elemen dari tanda kurung pertama dengan setiap elemen dari tanda kurung kedua. Seharusnya ada total empat istilah baru setelah transformasi:

Sekarang mari kita lakukan perkalian setiap suku dengan cermat:

Mari kita pindahkan suku dengan “X” ke kiri, dan suku tanpa “X” ke kanan:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Berikut istilah serupa:

Sekali lagi kami telah menerima jawaban akhir.

Nuansa solusinya

Catatan terpenting tentang kedua persamaan ini adalah sebagai berikut: segera setelah kita mulai mengalikan tanda kurung yang mengandung lebih dari satu suku, hal ini dilakukan sesuai dengan aturan berikut: kita mengambil suku pertama dari suku pertama dan mengalikannya dengan setiap elemen dari kedua; lalu kita ambil elemen kedua dari elemen pertama dan mengalikannya dengan cara yang sama dengan setiap elemen dari elemen kedua. Hasilnya, kita akan memiliki empat suku.

Tentang jumlah aljabar

Dengan contoh terakhir ini, saya ingin mengingatkan siswa apa itu penjumlahan aljabar. Dalam matematika klasik, yang kami maksud dengan $1-7$ adalah konstruksi sederhana: kurangi tujuh dari satu. Dalam aljabar yang kami maksud adalah sebagai berikut: pada bilangan “satu” kita tambahkan bilangan lain, yaitu “minus tujuh”. Inilah perbedaan jumlah aljabar dengan jumlah aritmatika biasa.

Segera setelah, saat melakukan semua transformasi, setiap penjumlahan dan perkalian, Anda mulai melihat konstruksi yang mirip dengan yang dijelaskan di atas, Anda tidak akan mengalami masalah dalam aljabar saat mengerjakan polinomial dan persamaan.

Terakhir, mari kita lihat beberapa contoh lagi yang bahkan lebih kompleks daripada yang baru saja kita lihat, dan untuk menyelesaikannya kita harus sedikit memperluas algoritma standar kita.

Menyelesaikan persamaan dengan pecahan

Untuk menyelesaikan tugas seperti itu, kita harus menambahkan satu langkah lagi ke algoritma kita. Namun pertama-tama, izinkan saya mengingatkan Anda tentang algoritme kami:

1. Buka tanda kurung.
2. Variabel terpisah.
3. Bawalah yang serupa.
4. Bagilah dengan rasionya.

Sayangnya, algoritma yang luar biasa ini, dengan segala keefektifannya, ternyata tidak sepenuhnya tepat ketika kita memiliki pecahan di depan kita. Dan pada apa yang akan kita lihat di bawah, kita memiliki pecahan di kiri dan kanan di kedua persamaan.

Bagaimana cara kerjanya dalam kasus ini? Ya, itu sangat sederhana! Untuk melakukan ini, Anda perlu menambahkan satu langkah lagi ke dalam algoritme, yang dapat dilakukan sebelum dan sesudah tindakan pertama, yaitu menghilangkan pecahan. Maka algoritmanya akan menjadi sebagai berikut:

1. Singkirkan pecahan.
2. Buka tanda kurung.
3. Variabel terpisah.
4. Bawalah yang serupa.
5. Bagilah dengan rasionya.

Apa yang dimaksud dengan “menyingkirkan pecahan”? Dan mengapa hal ini dapat dilakukan setelah dan sebelum langkah standar pertama? Faktanya, dalam kasus kami, semua pecahan memiliki penyebut numerik, yaitu. Di mana-mana penyebutnya hanyalah angka. Oleh karena itu, jika kita mengalikan kedua ruas persamaan dengan bilangan ini, kita akan menghilangkan pecahan.

Contoh No.1

\[\frac(\kiri(2x+1 \kanan)\kiri(2x-3 \kanan))(4)=((x)^(2))-1\]

Mari kita hilangkan pecahan dalam persamaan ini:

\[\frac(\kiri(2x+1 \kanan)\kiri(2x-3 \kanan)\cdot 4)(4)=\kiri(((x)^(2))-1 \kanan)\cdot 4\]

Harap dicatat: semuanya dikalikan dengan "empat" satu kali, mis. hanya karena Anda memiliki dua tanda kurung bukan berarti Anda harus mengalikan masing-masing tanda kurung dengan "empat". Mari kita tulis:

\[\kiri(2x+1 \kanan)\kiri(2x-3 \kanan)=\kiri(((x)^(2))-1 \kanan)\cdot 4\]

Sekarang mari kita kembangkan:

Kami memisahkan variabel:

Kami melakukan pengurangan istilah serupa:

\[-4x=-1\kiri| :\kiri(-4 \kanan) \kanan.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Solusi akhir sudah kita terima, mari kita lanjutkan ke persamaan kedua.

Contoh No.2

\[\frac(\kiri(1-x \kanan)\kiri(1+5x \kanan))(5)+((x)^(2))=1\]

Di sini kami melakukan semua tindakan yang sama:

\[\frac(\kiri(1-x \kanan)\kiri(1+5x \kanan)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Masalah terpecahkan.

Sebenarnya hanya itu yang ingin saya sampaikan kepada Anda hari ini.

Poin-poin penting

Temuan utamanya adalah:

• Mengetahui algoritma penyelesaian persamaan linear.
• Kemampuan untuk membuka tanda kurung.
• Jangan khawatir jika Anda memiliki fungsi kuadrat di suatu tempat, kemungkinan besar fungsi tersebut akan tereduksi dalam proses transformasi lebih lanjut.
• Ada tiga jenis akar dalam persamaan linier, bahkan yang paling sederhana sekalipun: satu akar tunggal, seluruh garis bilangan merupakan akar, dan tidak ada akar sama sekali.

Saya harap pelajaran ini akan membantu Anda menguasai topik yang sederhana namun sangat penting untuk pemahaman lebih lanjut tentang semua matematika. Jika ada yang kurang jelas, buka situsnya dan selesaikan contoh yang disajikan di sana. Nantikan terus, masih banyak hal menarik lainnya menanti Anda!