Mennyi az esemény valószínűségének becslése p. A játékegyensúly alapjai: véletlenszerűség és különböző események bekövetkezésének valószínűsége

Kezdetben a kockajátékkal kapcsolatos információk és empirikus megfigyelések gyűjteménye lévén a valószínűségelmélet alapos tudomány lett. Az elsők, akik matematikai keretet adtak neki, Fermat és Pascal.

Az örökkévalóról való gondolkodástól a valószínűségelméletig

Két személyiség, akiknek a valószínűségszámítás sokat köszönhet alapképletek, Blaise Pascal és Thomas Bayes mélyen vallásos emberekként ismertek, utóbbi presbiteriánus lelkész. Nyilvánvalóan e két tudós azon vágya, hogy bebizonyítsák a téves véleményt arról, hogy egy bizonyos Szerencse szerencsét ad kedvenceinek, lendületet adott a kutatásnak ezen a területen. Valójában minden szerencsejáték a maga nyereményeivel és veszteségeivel csak a matematikai elvek szimfóniája.

De Mere úriember szenvedélyének köszönhetően, aki egyaránt Szerencsejátékos és a tudomány iránt nem közömbös személy lévén Pascal kénytelen volt megtalálni a valószínűségek kiszámításának módját. De Mere-t a következő kérdés érdekelte: „Hányszor kell két kockával párban dobni ahhoz, hogy a 12 pont megszerzésének valószínűsége meghaladja az 50%-ot?” A második kérdés, amely nagyon érdekelte az úriembert: „Hogyan osszuk el a fogadást a befejezetlen játék résztvevői között?” Pascal természetesen sikeresen válaszolt de Mere mindkét kérdésére, aki akaratlanul is kezdeményezője lett a valószínűségszámítás kidolgozásának. Érdekes, hogy de Mere személye ezen a területen maradt ismert, és nem az irodalomban.

Korábban egyetlen matematikus sem kísérelte meg kiszámítani az események valószínűségét, mivel azt hitték, hogy ez csak találgatás. Blaise Pascal megadta egy esemény valószínűségének első definícióját, és megmutatta, hogy ez egy konkrét szám, amely matematikailag igazolható. A valószínűségszámítás a statisztika alapjává vált, és széles körben alkalmazzák a modern tudományban.

Mi a véletlenszerűség

Tekintettel egy megismételhető tesztre végtelen szám alkalommal, akkor definiálhatunk egy véletlenszerű eseményt. Ez a kísérlet egyik valószínű eredménye.

A tapasztalat konkrét cselekvések végrehajtása állandó feltételek mellett.

Ahhoz, hogy a kísérlet eredményeivel dolgozhassunk, az eseményeket általában A, B, C, D, E betűkkel jelöljük...

Egy véletlen esemény valószínűsége

A valószínűség matematikai részének megkezdéséhez meg kell határozni minden összetevőjét.

Az esemény valószínűsége annak a lehetőségének numerikus mérőszáma, hogy valamilyen esemény (A vagy B) bekövetkezik egy élmény eredményeként. A valószínűséget P(A) vagy P(B) jelöléssel jelöljük.

A valószínűségelméletben megkülönböztetik:

• megbízható az esemény garantáltan bekövetkezik a P(Ω) = 1 tapasztalat eredményeként;
• lehetetlen az esemény soha nem történhet meg P(Ø) = 0;
• véletlen egy esemény a megbízható és a lehetetlen között van, azaz bekövetkezésének valószínűsége lehetséges, de nem garantált (egy véletlen esemény valószínűsége mindig a 0≤Р(А)≤ 1 tartományon belül van).

Az események közötti kapcsolatok

Mind az egyik, mind az A+B események összege figyelembe vehető, amikor az eseményt akkor számoljuk, ha legalább az egyik komponens, A vagy B, vagy mindkettő, A és B, teljesül.

Az események egymáshoz viszonyítva lehetnek:

• Ugyanúgy lehetséges.
• Összeegyeztethető.
• Összeegyeztethetetlen.
• Ellentétes (egymást kizáró).
• Függő.

Ha két esemény történhet vele egyenlő valószínűséggel, aztán ők ugyanúgy lehetséges.

Ha az A esemény bekövetkezése nem csökkenti nullára a B esemény bekövetkezésének valószínűségét, akkor összeegyeztethető.

Ha az A és B események soha nem fordulnak elő egyszerre ugyanabban az élményben, akkor ezeket nevezzük összeegyeztethetetlen. Pénzfeldobás - jó példa: a fejek megjelenése automatikusan a fejek nem megjelenését jelenti.

Az ilyen összeférhetetlen események összegének valószínűsége az egyes események valószínűségeinek összegéből áll:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Ha egy esemény bekövetkezése lehetetlenné teszi egy másik esemény bekövetkezését, akkor ezeket ellentétesnek nevezzük. Ezután az egyiket A-val jelöljük, a másikat - Ā (értsd: „nem A”). Az A esemény bekövetkezése azt jelenti, hogy  nem történt meg. Ez a két esemény egy teljes csoportot alkot, amelynek valószínűségeinek összege 1.

A függő események kölcsönösen befolyásolják egymást, csökkentik vagy növelik egymás valószínűségét.

Az események közötti kapcsolatok. Példák

Példák segítségével sokkal könnyebb megérteni a valószínűségszámítás alapelveit és az események kombinációit.

A végrehajtandó kísérlet abból áll, hogy golyókat veszünk ki egy dobozból, és minden kísérlet eredménye egy elemi eredmény.

Az esemény egy kísérlet egyik lehetséges kimenetele – piros labda, kék labda, hatos labda stb.

1. számú teszt. 6 golyó van benne, amelyek közül három kék, páratlan számokkal, a másik három pedig piros, páros számokkal.

2. számú teszt. 6 golyó érintett kék színű egytől hatig terjedő számokkal.

A példa alapján elnevezhetjük a kombinációkat:

• Megbízható rendezvény. Spanyolul A 2. számú „szerezd meg a kék labdát” esemény megbízható, mivel előfordulásának valószínűsége 1, mivel minden golyó kék, és nem lehet kihagyás. Míg a „szerezd meg a labdát az 1-es számmal” esemény véletlenszerű.
• Lehetetlen esemény. Spanyolul Az 1-es számú kék és piros golyóval a „lila golyó megszerzése” esemény lehetetlen, mivel előfordulásának valószínűsége 0.
• Egyenlő lehetséges események. Spanyolul Az 1. számú, a „kapd meg a labdát a 2-es számmal” és a „kapd meg a 3-as számú labdát” események egyaránt lehetségesek, valamint a „kapd meg a labdát páros számmal” és „kapd meg a 2-es számú labdát” események. ” különböző valószínűséggel.
• Kompatibilis események. Hatost kétszer egymás után dobás közben dobókocka- ezek kompatibilis események.
• Összeférhetetlen események. Ugyanabban a spanyolban 1. számú, a „kap egy piros labdát” és a „kap egy páratlan számú labdát” események nem kombinálhatók ugyanabban az élményben.
• Ellentétes események. A legtöbb ragyogó példa Ez az érmefeldobás, ahol a fejek rajzolása egyenértékű a farok nem rajzolásával, és valószínűségeik összege mindig 1 (teljes csoport).
• Függő események. Szóval spanyolul 1. számú, célul tűzheti ki, hogy egymás után kétszer húzza ki a piros labdát. Függetlenül attól, hogy első alkalommal kerül-e lekérésre, befolyásolja a második alkalommal történő visszakeresés valószínűségét.

Látható, hogy az első esemény jelentősen befolyásolja a második valószínűségét (40% és 60%).

Eseményvalószínűségi képlet

A jóslásról a pontos adatokra való átmenet a téma matematikai síkra való lefordításán keresztül történik. Vagyis egy véletlen eseményre vonatkozó ítéletek, például a „nagy valószínűséggel” vagy a „minimális valószínűséggel” konkrét számadatokká alakíthatók. Az ilyen anyagok értékelése, összehasonlítása és összetettebb számításokba való beírása már megengedett.

Számítási szempontból egy esemény valószínűségének meghatározása az elemi pozitív kimenetelek számának és az adott eseményre vonatkozó tapasztalat összes lehetséges kimenetelének aránya. A valószínűséget P(A) jelöli, ahol P a „valószínűség” szót jelöli, amelyet franciául „valószínűség”-nek fordítanak.

Tehát egy esemény valószínűségének képlete a következő:

Ahol m az A esemény kedvező kimeneteleinek száma, n az ehhez a tapasztalathoz lehetséges összes kimenetel összege. Ebben az esetben egy esemény valószínűsége mindig 0 és 1 között van:

0 ≤ P(A) ≤ 1.

Egy esemény valószínűségének kiszámítása. Példa

Vegyük a spanyolt. 1. számú golyókkal, amit korábban leírtunk: 3 kék golyó 1/3/5 számmal és 3 piros golyó 2/4/6 számmal.

A teszt alapján több különböző probléma is mérlegelhető:

• A - piros labda kiesik. 3 piros golyó van, és összesen 6 lehetőség van legegyszerűbb példa, amelyben az esemény valószínűsége egyenlő P(A)=3/6=0,5.
• B - páros szám gördítése. 3 páros szám van (2,4,6), és a lehetséges numerikus opciók száma összesen 6. Ennek az eseménynek a valószínűsége P(B)=3/6=0,5.
• C - 2-nél nagyobb szám előfordulása. A 6 lehetséges kimenetel közül 4 ilyen lehetőség van (3,4,5,6). A C esemény valószínűsége egyenlő P(C)=4 /6=0,67.

Amint a számításokból látható, a C eseménynek megvan nagy valószínűséggel, mivel a valószínű pozitív kimenetelek száma magasabb, mint A-ban és B-ben.

Összeférhetetlen események

Az ilyen események nem jelenhetnek meg egyszerre ugyanabban az élményben. Mint spanyolul No. 1 lehetetlen egyszerre kék és piros golyót szerezni. Vagyis kaphat kék vagy piros golyót. Ugyanígy a páros és a páratlan szám nem jelenhet meg egy időben a kockában.

Két esemény valószínűségét az összegük vagy szorzatuk valószínűségének tekintjük. Az ilyen események A+B összegét olyan eseménynek tekintjük, amely az A vagy B esemény bekövetkezéséből áll, és ezek AB szorzata mindkettő bekövetkezése. Például egyszerre két hatos megjelenése két dobókocka arcán.

Több esemény összege olyan esemény, amely legalább egy esemény bekövetkezését feltételezi. Több esemény létrejötte ezek együttes előfordulása.

A valószínűségszámításban általában az „és” kötőszó használata összeget jelöl, a „vagy” kötőszó pedig a szorzást. A példákkal ellátott képletek segítenek megérteni az összeadás és szorzás logikáját a valószínűségszámításban.

Az összeférhetetlen események összegének valószínűsége

Ha a valószínűséget vesszük figyelembe összeférhetetlen események, akkor az események összegének valószínűsége egyenlő a valószínűségeik összeadásával:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Például: számoljuk ki annak valószínűségét, hogy spanyolul. Az 1. számú kék és piros golyóval egy 1 és 4 közötti szám jelenik meg.Nem egy művelettel számolunk, hanem az elemi komponensek valószínűségeinek összegével. Tehát egy ilyen kísérletben csak 6 golyó vagy 6 lehetséges az összes lehetséges kimenetel közül. A feltételt kielégítő számok 2 és 3. A 2-es szám megszerzésének valószínűsége 1/6, a 3-as szám megszerzésének valószínűsége szintén 1/6. Annak a valószínűsége, hogy 1 és 4 közötti számot kapunk:

Egy teljes csoport összeférhetetlen eseményeinek összegének valószínűsége 1.

Tehát, ha egy kockával végzett kísérletben összeadjuk az összes szám megjelenési valószínűségét, az eredmény egy lesz.

Ez igaz az ellentétes eseményekre is, például az érmével végzett kísérletben, ahol az egyik oldal az A esemény, a másik pedig az ellentétes Ā esemény, mint ismeretes.

P(A) + P(Ā) = 1

Összeférhetetlen események bekövetkezésének valószínűsége

A valószínűségi szorzást akkor használjuk, ha egy megfigyelésben két vagy több összeférhetetlen esemény előfordulását vizsgáljuk. Annak a valószínűsége, hogy az A és B események egyszerre jelennek meg benne, egyenlő valószínűségeik szorzatával, vagy:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Például annak a valószínűsége, hogy spanyolul 1. számú, két próbálkozás eredményeként kétszer jelenik meg kék golyó, egyenlő

Vagyis 25% annak a valószínűsége, hogy egy olyan esemény bekövetkezik, amikor két labdakihúzási kísérlet eredményeként csak kék golyókat húznak ki. Nagyon könnyű gyakorlati kísérleteket végezni ezzel a problémával, és megnézni, hogy ez valóban így van-e.

Közös rendezvények

Az események akkor tekinthetők együttesnek, ha az egyik esemény bekövetkezése egybeeshet egy másik eseményével. Annak ellenére, hogy közösek, a valószínűséget figyelembe veszik független események. Például két dobókocka dobása akkor adhat eredményt, ha mindkettőn megjelenik a 6. Bár az események egybeestek és egyszerre jelentek meg, függetlenek egymástól - csak egy hatos eshet ki, a második kockán nincs hatással rá.

Az együttes események valószínűségét az összegük valószínűségének tekintjük.

A közös események összegének valószínűsége. Példa

Az egymáshoz képest együttes A és B események összegének valószínűsége egyenlő az esemény valószínűségeinek összegével mínusz bekövetkezésük (vagyis együttes előfordulásuk) valószínűsége:

R ízület (A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

Tegyük fel, hogy annak a valószínűsége, hogy egy lövéssel eltaláljuk a célt, 0,4. Ekkor az A esemény az első kísérletben találja el a célt, a B pedig a második kísérletben. Ezek az események közösek, hiszen lehetséges, hogy az első és a második lövéssel is célba ér. De az események nem függnek egymástól. Mekkora a valószínűsége annak, hogy két lövéssel (legalább eggyel) eltalálja a célt? A képlet szerint:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

A kérdésre a válasz: „64% annak valószínűsége, hogy két lövéssel eltaláljuk a célt.”

Ez az esemény valószínűségének képlete alkalmazható inkompatibilis eseményekre is, ahol az esemény együttes előfordulásának valószínűsége P(AB) = 0. Ez azt jelenti, hogy az inkompatibilis események összegének valószínűsége speciális esetnek tekinthető a javasolt képletből.

A valószínűség geometriája az érthetőség kedvéért

Érdekes módon az együttes események összegének valószínűsége két A és B területként ábrázolható, amelyek egymást metszik. Amint a képen látható, az egyesülésük területe egyenlő a teljes területtel, mínusz a metszéspontjuk területével. Ez a geometriai magyarázat érthetőbbé teszi a logikátlannak tűnő képletet. Vegye figyelembe, hogy geometriai megoldások- nem ritka a valószínűségszámításban.

Sok (kettőnél több) közös esemény összegének valószínűségének meghatározása meglehetősen körülményes. Kiszámításához az ezekre az esetekre megadott képleteket kell használni.

Függő események

Az eseményeket függőnek nevezzük, ha az egyik (A) bekövetkezése befolyásolja egy másik (B) bekövetkezésének valószínűségét. Sőt, mind az A esemény bekövetkezésének, mind pedig annak be nem következésének befolyását figyelembe veszik. Bár az eseményeket definíció szerint függőnek nevezzük, csak az egyikük függő (B). A közönséges valószínűséget P(B)-ként vagy független események valószínűségeként jelöltük. A függő események esetében egy új fogalom kerül bevezetésre - a feltételes valószínűség P A (B), amely egy B függő esemény valószínűsége, az A esemény bekövetkezésének függvényében (hipotézis), amelytől függ.

De az A esemény is véletlenszerű, így annak is van egy valószínűsége, amelyre szükség van és figyelembe lehet venni az elvégzett számításoknál. A következő példa bemutatja, hogyan kell dolgozni a függő eseményekkel és egy hipotézissel.

Példa a függő események valószínűségének kiszámítására

A függő események kiszámítására jó példa egy szabványos kártyapakli.

Példaként egy 36 lapból álló pakli segítségével nézzük meg a függő eseményeket. Meg kell határoznunk annak valószínűségét, hogy a pakliból kihúzott második lap gyémántból áll, ha az első húzott kártya:

1. Bubnovaya.
2. Más színű.

Nyilvánvaló, hogy a második B esemény valószínűsége az első A-tól függ. Tehát, ha az első opció igaz, hogy 1 lappal (35) és 1 gyémánttal (8) kevesebb van a pakliban, a B esemény valószínűsége:

RA(B)=8/35=0,23

Ha a második opció igaz, akkor a pakliban most 35 lap van, és a teljes szám tambura (9), akkor a következő B esemény valószínűsége:

RA(B)=9/35=0,26.

Látható, hogy ha az A esemény feltétele, hogy az első lap egy gyémánt, akkor a B esemény valószínűsége csökken, és fordítva.

A függő események megsokszorozása

Az előző fejezettől vezérelve elfogadjuk az első eseményt (A), mint tényt, de lényegében véletlenszerű. Ennek az eseménynek a valószínűsége, nevezetesen egy gyémánt húzása a kártyapakliból, egyenlő:

P(A) = 9/36=1/4

Mivel az elmélet önmagában nem létezik, hanem gyakorlati célokat szolgál, jogos megjegyezni, hogy leginkább a függő események előidézésének valószínűségére van szükség.

A függő események valószínűségeinek szorzatára vonatkozó tétel szerint az A és B együttesen függő események bekövetkezésének valószínűsége egyenlő egy A esemény valószínűségével, megszorozva a B esemény (A-tól függő) feltételes valószínűségével:

P(AB) = P(A) *P A(B)

Ekkor a pakli példájában annak a valószínűsége, hogy két gyémántszínű kártyát húzunk:

9/36*8/35=0,0571 vagy 5,7%

És annak a valószínűsége, hogy először nem gyémántot, majd gyémántot nyerünk ki, egyenlő:

27/36*9/35=0,19 vagy 19%

Látható, hogy a B esemény bekövetkezésének valószínűsége nagyobb, feltéve, hogy az elsőként húzott lap nem gyémánt színű. Ez az eredmény logikus és érthető.

Egy esemény teljes valószínűsége

Amikor egy feladatot feltételes valószínűségek sokrétűvé válik, hagyományos módszerekkel nem számítható ki. Ha kettőnél több hipotézis létezik, nevezetesen A1, A2,…, A n, ..az események teljes csoportját alkotja, feltéve:

• P(A i)>0, i=1,2,…
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

Tehát a képlet teljes valószínűséggel a B eseményre: teljes csoport véletlenszerű események A1,A2,…,És n egyenlő:

Kitekintés a jövőbe

Egy véletlen esemény valószínűsége rendkívül szükséges a tudomány számos területén: ökonometriában, statisztikában, fizikában stb. Mivel egyes folyamatok nem írhatók le determinisztikusan, mivel maguk is valószínűségi jellegűek, speciális munkamódszerekre van szükség. Az eseményvalószínűség elmélete bármely technológiai területen felhasználható a hiba vagy meghibásodás lehetőségének meghatározására.

Elmondhatjuk, hogy a valószínűség felismerésével valamilyen módon elméleti lépést teszünk a jövőbe, a képletek prizmáján keresztül szemlélve azt.

Akár tetszik, akár nem, az életünk tele van mindenféle balesettel, kellemesekkel és kevésbé kellemesekkel egyaránt. Ezért mindannyiunknak nem ártana, ha tudná, hogyan állapíthatja meg egy adott esemény valószínűségét. Ez segít elvenni helyes döntéseket minden olyan körülmény között, amely bizonytalansággal jár. Például az ilyen ismeretek nagyon hasznosak lesznek a befektetési lehetőségek kiválasztásánál, a részvény- vagy lottónyereség lehetőségének felmérésében, a személyes célok elérésének valóságának meghatározásában stb., stb.

Valószínűségelméleti képlet

A téma tanulmányozása elvileg nem vesz igénybe túl sok időt. Ahhoz, hogy választ kapjon a következő kérdésre: „Hogyan lehet megtalálni a jelenség valószínűségét?”, meg kell értenie kulcsfogalmakés ne feledje a számítás alapjául szolgáló alapelveket. Tehát a statisztikák szerint a vizsgált eseményeket A1, A2,..., An jelöli. Mindegyiknek van kedvező kimenetele (m) és összes elemi kimenetele. Például az érdekel minket, hogyan találjuk meg annak valószínűségét, hogy a kocka felső oldalán páros számú pont lesz. Ekkor A az m dobása – 2, 4 vagy 6 pontot dob ​​ki (három kedvező opció), n pedig mind a hat lehetséges opció.

Maga a számítási képlet a következő:

Egy eredménnyel minden rendkívül egyszerű. De hogyan lehet megtalálni annak valószínűségét, ha az események egymás után történnek? Tekintsük ezt a példát: egy kártyapakliból (36 db) megjelenik az egyik kártya, majd vissza van rejtve a pakliba, és keverés után kihúzzuk a következőt. Hogyan állapítható meg annak a valószínűsége, hogy legalább egy esetben kihúzták a pikk-dámát? Létezik következő szabály: Ha olyan összetett eseményt fontolgat, amely több összeférhetetlen egyszerű eseményre osztható, először mindegyikre kiszámíthatja az eredményt, majd összeadhatja őket. A mi esetünkben ez így fog kinézni: 1/36 + 1/36 = 1/18. De mi történik akkor, ha több is előfordul egyszerre? Aztán megszorozzuk az eredményeket! Például annak a valószínűsége, hogy két érme egyidejű feldobásakor két fej jelenik meg, egyenlő lesz: ½ * ½ = 0,25.

Most vegyünk még többet összetett példa. Tegyük fel, hogy részt vettünk egy könyvsorsoláson, ahol harmincból tíz nyer. Meg kell határoznia:

1. Annak a valószínűsége, hogy mindkettő nyertes lesz.
2. Legalább egyikük díjat hoz.
3. Mindketten vesztesek lesznek.

Tehát nézzük az első esetet. Két eseményre bontható: az első jegy lesz szerencsés, a második pedig szintén szerencsés. Vegyük figyelembe, hogy az események függőek, mivel minden kihúzás után az opciók száma csökken. Kapunk:

10 / 30 * 9 / 29 = 0,1034.

A második esetben meg kell határoznia a vesztes jegy valószínűségét, és figyelembe kell vennie, hogy ez lehet az első vagy a második: 10/30 * 20/29 + 20/29 * 10/30 = 0,4598.

Végül a harmadik eset, amikor még egy könyvet sem tudsz kihozni a lottón: 20 / 30 * 19 / 29 = 0,4368.

Nyilvánvaló, hogy minden eseménynek különböző fokú előfordulásának (megvalósításának) a lehetősége. Ahhoz, hogy az eseményeket lehetőségük mértéke szerint kvantitatívan össze lehessen hasonlítani egymással, nyilvánvalóan minden eseményhez egy bizonyos számot kell társítani, amely minél nagyobb, annál valószínűbb az esemény. Ezt a számot egy esemény valószínűségének nevezzük.

Az esemény valószínűsége– az esemény bekövetkezésének objektív lehetőségének mértéke.

Vegyünk egy sztochasztikus kísérletet és egy véletlenszerű A eseményt, amelyet ebben a kísérletben figyeltek meg. Ismételjük meg ezt a kísérletet n-szer, és legyen m(A) azoknak a kísérleteknek a száma, amelyekben A esemény bekövetkezett.

Reláció (1.1)

hívott relatív gyakoriság események A az elvégzett kísérletsorozatban.

Könnyen ellenőrizhető a tulajdonságok érvényessége:

ha A és B inkonzisztens (AB= ), akkor ν(A+B) = ν(A) + ν(B) (1.2)

A relatív gyakoriságot csak kísérletsorozat után határozzák meg, és általában sorozatonként változhat. A tapasztalat azonban azt mutatja, hogy sok esetben a kísérletek számának növekedésével a relatív gyakoriság megközelít egy bizonyos számot. A relatív gyakoriság stabilitásának ezt a tényét többször igazolták, és kísérletileg megállapítottnak tekinthető.

1.19. példa.. Ha eldob egy érmét, senki sem tudja megjósolni, melyik oldalon fog a tetejére kerülni. De ha két tonna érmét dobál, akkor mindenki azt mondja, hogy körülbelül egy tonna esik fel a címerrel, vagyis a címer kiesésének relatív gyakorisága körülbelül 0,5.

Ha a kísérletek számának növekedésével a ν(A) esemény relatív gyakorisága egy bizonyos fix számra hajlik, akkor azt mondjuk, hogy Az A esemény statisztikailag stabil, és ezt a számot az A esemény valószínűségének nevezzük.

Az esemény valószínűsége A valamilyen rögzített P(A) számot hívunk, amelyre ennek az eseménynek a relatív ν(A) gyakorisága a kísérletek számának növekedésével hajlik, azaz

Ezt a meghatározást hívják a valószínűség statisztikai meghatározása .

Tekintsünk egy bizonyos sztochasztikus kísérletet, és legyen elemi eseményeinek tere véges vagy végtelen (de megszámlálható) elemi események ω 1, ω 2, …, ω i, … halmazából. Tegyük fel, hogy minden ω i elemi eseményhez hozzá van rendelve egy bizonyos - р i szám, amely egy adott elemi esemény bekövetkezésének valószínűségét jellemzi, és kielégíti a következő tulajdonságokat:

Ezt a számot p i-nek hívják elemi esemény valószínűségeωi.

Legyen A egy véletlenszerű esemény, amelyet ebben a kísérletben figyeltek meg, és feleljen meg egy bizonyos halmaznak

Ebben a beállításban egy esemény valószínűsége A nevezzük az A-t előnyben részesítő elemi események valószínűségeinek összegét(a megfelelő A készletben található):

(1.4)

Az így bevezetett valószínűség ugyanazokkal a tulajdonságokkal rendelkezik, mint a relatív gyakoriság, nevezetesen:

És ha AB = (A és B nem kompatibilisek),

akkor P(A+B) = P(A) + P(B)

Valóban, az (1.4) szerint

Az utolsó összefüggésben kihasználtuk azt a tényt, hogy egyetlen elemi esemény sem kedvezhet egyszerre két egymással össze nem egyeztethető eseménynek.

Külön megjegyezzük, hogy a valószínűségszámítás nem ad módszereket p i meghatározására, ezeket gyakorlati okokból kell keresni, vagy egy megfelelő statisztikai kísérletből kell beszerezni.

Példaként fontolja meg klasszikus séma Valószínűségi elmélet. Ehhez vegyünk egy sztochasztikus kísérletet, melynek elemi eseményeinek tere véges (n) számú elemből áll. Tegyük fel továbbá, hogy mindezek az elemi események egyformán lehetségesek, azaz az elemi események valószínűsége egyenlő p(ω i)=p i =p. Ebből következik, hogy

1.20. példa. Szimmetrikus érme dobásakor egyformán lehetséges fej és farok szerzése, ezek valószínűsége 0,5.

Példa 1.21. Szimmetrikus kockadobásnál minden lap egyformán lehetséges, valószínűségük 1/6.

Most az A eseményt részesítse előnyben m elemi esemény, ezeket szokták nevezni Az A eseménynek kedvező kimenetele. Akkor

Kapott klasszikus meghatározás valószínűségek: az A esemény P(A) valószínűsége egyenlő az A eseménynek kedvező kimenetelek számának arányával teljes szám eredmények

Példa 1.22. Az urnában m fehér és n fekete golyó található. Mennyi a valószínűsége annak, hogy fehér golyót rajzolunk?

Megoldás. Az elemi események száma összesen m+n. Mindegyik egyformán valószínű. Kedvező esemény A ebből m. Ennélfogva, .

A valószínűség definíciójából a következő tulajdonságok következnek:

1. tulajdonság. A megbízható esemény valószínűsége eggyel egyenlő.

Valójában, ha az esemény megbízható, akkor a teszt minden elemi eredménye az eseménynek kedvez. Ebben az esetben t=p, ennélfogva,

P(A)=m/n=n/n=1.(1.6)

2. tulajdonság. Egy lehetetlen esemény valószínűsége nulla.

Valójában, ha egy esemény lehetetlen, akkor a teszt egyik elemi eredménye sem kedvez az eseménynek. Ebben az esetben T= 0, tehát P(A)=m/n=0/n=0. (1.7)

3. tulajdonság.Van egy véletlenszerű esemény valószínűsége pozitív szám, nulla és egy közé zárva.

Valójában a teszt elemi eredményeinek csak egy részét részesíti előnyben egy véletlenszerű esemény. Azaz 0≤m≤n, ami 0≤m/n≤1-et jelent, tehát bármely esemény valószínűsége kielégíti a 0≤ kettős egyenlőtlenséget. P(A) ≤1. (1.8)

A valószínűség (1.5) és a relatív gyakoriság (1.1) definícióit összevetve arra a következtetésre jutunk: a valószínűség meghatározása nem igényel vizsgálatot valójában; a relatív gyakoriság meghatározása azt feltételezi teszteket valóban elvégezték. Más szavakkal, a valószínűséget a kísérlet előtt, a relatív gyakoriságot pedig a kísérlet után számítjuk ki.

A valószínűség kiszámításához azonban előzetes információra van szükség a kedvező számáról vagy valószínűségeiről ez az esemény elemi eredmények. Ilyen előzetes információk hiányában empirikus adatokkal határozzák meg a valószínűséget, vagyis egy sztochasztikus kísérlet eredményei alapján határozzák meg az esemény relatív gyakoriságát.

1.23. példa. Műszaki ellenőrzési osztály felfedezték 3 nem szabványos alkatrészek 80 véletlenszerűen kiválasztott alkatrészből álló kötegben. A nem szabványos alkatrészek előfordulásának relatív gyakorisága r(A)= 3/80.

1.24. példa. A célnak megfelelően.előállított 24 lövés, és 19 találatot rögzítettek. Relatív cél találati arány. r(A)=19/24.

A hosszú távú megfigyelések azt mutatták, hogy ha a kísérleteket azonos körülmények között végezzük, és mindegyikben kellően nagy a vizsgálatok száma, akkor a relatív gyakoriság a stabilitás tulajdonságát mutatja. Ez az ingatlan hogy a különböző kísérletekben a relatív gyakoriság keveset változik (minél kevesebbet, annál több vizsgálatot végeznek), egy bizonyos állandó szám körül ingadozik. Kiderült, hogy ez az állandó szám felvehető a valószínűség közelítő értékének.

A relatív gyakoriság és a valószínűség közötti kapcsolatot az alábbiakban részletesebben és pontosabban ismertetjük. Most példákkal illusztráljuk a stabilitás tulajdonságát.

1.25. példa. A svéd statisztika szerint a lányok születési relatív gyakoriságát 1935-ben havi bontásban a következő számok jellemzik (a számok hónapos sorrendben vannak, kezdve Január): 0,486; 0,489; 0,490; 0.471; 0,478; 0,482; 0.462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473

A relatív gyakoriság a 0,481 szám körül ingadozik, ami a lányok születési valószínűségének hozzávetőleges értékének tekinthető.

Vegye figyelembe, hogy a különböző országok statisztikai adatai megközelítőleg azonos relatív gyakorisági értéket adnak.

1.26. példa. Sokszor végeztek érmefeldobási kísérleteket, amelyek során a „címer” megjelenési számát számolták. Számos kísérlet eredményeit a táblázat tartalmazza.

A valóságban vagy a képzeletünkben megtörtént események 3 csoportra oszthatók. Ez megbízható események események, amelyek biztosan meg fognak történni, lehetetlen események és véletlenszerű események. A valószínűségszámítás véletlenszerű eseményeket vizsgál, pl. események, amelyek megtörténhetnek vagy meg nem. Ez a cikk bemutatásra kerül röviden valószínűségszámítási képletek és példák valószínűségszámítási feladatok megoldására, amelyek az Egységes Államvizsga 4. feladatában lesznek matematikából (profilszint).

Miért van szükség a valószínűségszámításra?

Történelmileg e problémák tanulmányozásának igénye a 17. században a fejlődés és a professzionalizáció kapcsán merült fel szerencsejátékés a kaszinók megjelenése. Ez egy valódi jelenség volt, amely saját tanulmányt és kutatást igényelt.

A kártyázás, a kocka és a rulett olyan helyzeteket teremtett, ahol a véges számú, egyformán lehetséges esemény bármelyike ​​bekövetkezhet. Számszerű becsléseket kellett adni egy adott esemény bekövetkezésének lehetőségéről.

A 20. században kiderült, hogy ez a látszólag komolytalan tudomány játszik fontos szerep a mikrokozmoszban végbemenő alapvető folyamatok ismeretében. Elkészült modern elmélet valószínűségek.

A valószínűségszámítás alapfogalmai

A valószínűségszámítás vizsgálatának tárgya az események és azok valószínűségei. Ha egy esemény összetett, akkor egyszerű komponensekre bontható, amelyek valószínűségét könnyű megtalálni.

Az A és B események összegét C eseménynek nevezzük, ami abból áll, hogy vagy A vagy B esemény, vagy A és B esemény egyidejűleg történt.

Az A és B események szorzata egy C esemény, ami azt jelenti, hogy A és B esemény egyaránt bekövetkezett.

Az A és B eseményeket inkompatibilisnek nevezzük, ha nem következhetnek be egyszerre.

Egy A eseményt lehetetlennek nevezünk, ha nem következhet be. Az ilyen eseményt a szimbólum jelzi.

Egy A eseményt akkor nevezünk bizonyosnak, ha biztosan megtörténik. Az ilyen eseményt a szimbólum jelzi.

Legyen minden A esemény társítva egy P(A) számmal. Ezt a P(A) számot az A esemény valószínűségének nevezzük, ha a következő feltételek teljesülnek ezzel a megfeleléssel.

Fontos speciális eset az a helyzet, amikor egyformán valószínű elemi kimenetelek vannak, és ezek közül tetszőleges kimenetelű események alkotják az A eseményeket. Ebben az esetben a valószínűséget a képlettel lehet megadni. Az így bevezetett valószínűséget ún klasszikus valószínűség. Bizonyítható, hogy ebben az esetben az 1-4 tulajdonságok teljesülnek.

A matematikai egységes államvizsgán megjelenő valószínűségszámítási problémák főként a klasszikus valószínűségszámításhoz kapcsolódnak. Az ilyen feladatok nagyon egyszerűek lehetnek. Különösen egyszerűek a valószínűségszámítási problémák demó opciók. Könnyen kiszámítható a kedvező kimenetelek száma, az összes kimenet száma közvetlenül a feltételbe van írva.

A választ a képlet segítségével kapjuk.

Példa a matematika egységes államvizsga-problémájára a valószínűség meghatározásával kapcsolatban

20 pite van az asztalon – 5 káposztával, 7 almával és 8 rizzsel. Marina el akarja vinni a pitét. Mennyi annak a valószínűsége, hogy elviszi a rizstortát?

Megoldás.

20 egyformán valószínű elemi eredmény van, vagyis Marina a 20 pite bármelyikét el tudja venni. De meg kell becsülnünk annak valószínűségét, hogy Marina elviszi a rizspitét, vagyis ahol A a rizspitét választotta. Ez azt jelenti, hogy a kedvező kimenetelek száma (rizses pite választása) mindössze 8. Ekkor a valószínűséget a következő képlet határozza meg:

Független, ellentétes és önkényes események

Azonban in nyitott tégely Bonyolultabb feladatokkal kezdtek találkozni. Ezért hívjuk fel az olvasó figyelmét a valószínűségszámításban vizsgált egyéb kérdésekre.

Az A és B eseményeket függetlennek mondjuk, ha mindegyik valószínűsége nem függ attól, hogy a másik esemény bekövetkezik-e.

B esemény az, hogy az A esemény nem történt meg, azaz. B esemény ellentétes az A eseménnyel. Az ellenkező esemény valószínűsége egyenlő eggyel mínusz a közvetlen esemény valószínűsége, azaz. .

Valószínűségi összeadási és szorzási tételek, képletek

Tetszőleges A és B események esetén ezen események összegének valószínűsége megegyezik a közös eseményük valószínűsége nélküli valószínűségeik összegével, azaz. .

Az A és B független események esetében ezen események bekövetkezésének valószínűsége egyenlő valószínűségeik szorzatával, azaz. ebben az esetben .

Az utolsó 2 állítást a valószínűségek összeadási és szorzási tételeinek nevezzük.

Az eredmények számának számolása nem mindig ilyen egyszerű. Bizonyos esetekben szükség van kombinatorikai képletekre. A legfontosabb az, hogy megszámoljuk azokat az eseményeket, amelyek megfelelnek bizonyos feltételeknek. Néha az ilyen típusú számítások önálló feladatokká válhatnak.

Hányféleképpen lehet 6 diákot leültetni 6 üres helyre? Az első tanuló a 6 hely bármelyikét elfoglalja. Ezen opciók mindegyike 5 módnak felel meg, hogy a második tanuló elfoglalja a helyét. A harmadik tanulónak 4 szabad hely maradt, a negyediknek 3, az ötödiknek 2, a hatodik pedig az egyetlen megmaradt helyet. Az összes opció számának megtalálásához meg kell találnia a terméket, amelyet a 6-os szimbólum jelöl! és a "hat faktoriális" felirat olvasható.

Általános esetben erre a kérdésre az n elem permutációinak számának képlete adja meg a választ Esetünkben.

Nézzünk most egy másik esetet diákjainkkal. Hányféleképpen lehet 2 diákot leültetni 6 üres helyre? Az első tanuló a 6 hely bármelyikét elfoglalja. Ezen opciók mindegyike 5 módnak felel meg, hogy a második tanuló elfoglalja a helyét. Az összes lehetőség kiválasztásához meg kell találnia a terméket.

Általában erre a kérdésre a választ az n elem k elem feletti elhelyezésének képlete adja meg

A mi esetünkben .

És az utolsó eset ebben a sorozatban. Hányféleképpen választhat ki 6 tanulóból három tanulót? Az első tanulót 6, a másodikat - 5, a harmadikat - négyféleképpen lehet kiválasztani. De ezek között a lehetőségek között ugyanaz a három diák hatszor jelenik meg. Az összes lehetőség számának meghatározásához ki kell számítania az értéket: . Általában erre a kérdésre a választ az elemek kombinációinak számának képlete adja meg:

A mi esetünkben .

Példák a matematika egységes államvizsga feladatmegoldására a valószínűség meghatározásához

Feladat 1. A gyűjteményből szerkesztette. Jascsenko.

30 pite van a tányéron: 3 húsos, 18 káposzta és 9 cseresznye. Sasha véletlenszerűen választ egy pitét. Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy cseresznyével végez.

.

Válasz: 0.3.

Feladat 2. A gyűjteményből szerkesztette. Jascsenko.

1000 izzóból álló tételenként átlagosan 20 hibás. Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy tételből véletlenszerűen vett izzó működni fog.

Megoldás: A működő izzók száma 1000-20=980. Ekkor annak a valószínűsége, hogy egy kötegből véletlenszerűen vett izzó működni fog:

Válasz: 0,98.

0,67 annak a valószínűsége, hogy U tanuló 9-nél több feladatot old meg helyesen egy matematikai teszt során. Annak a valószínűsége, hogy U. több mint 8 feladatot fog helyesen megoldani, 0,73. Határozza meg annak valószínűségét, hogy U pontosan 9 feladatot fog helyesen megoldani.

Ha elképzelünk egy számegyenest, és megjelöljük rajta a 8-as és 9-es pontot, akkor látni fogjuk, hogy az „U. pontosan 9 feladatot fog helyesen megoldani” szerepel az „U. több mint 8 feladatot fog helyesen megoldani”, de nem vonatkozik az „U. több mint 9 problémát fog helyesen megoldani.”

Azonban az „U. több mint 9 problémát fog helyesen megoldani” az „U. több mint 8 problémát fog helyesen megoldani.” Így ha eseményeket jelölünk ki: „U. pontosan 9 feladatot fog helyesen megoldani" - A-n keresztül, "U. több mint 8 feladatot fog helyesen megoldani" - B-n keresztül, "U. több mint 9 problémát fog helyesen megoldani” – C. A megoldás így fog kinézni:

Válasz: 0,06.

A geometria vizsgán egy diák válaszol egy kérdésre a vizsgakérdések listájából. Annak a valószínűsége, hogy ez trigonometriai kérdés, 0,2. Annak valószínűsége, hogy ez a kérdés a külső szögekre vonatkozik, 0,15. Nincsenek olyan kérdések, amelyek egyszerre vonatkoznának erre a két témára. Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy diák a vizsgán e két téma valamelyikében kap kérdést.

Gondoljuk végig, milyen rendezvényeink vannak. Két összeférhetetlen eseményt kapunk. Vagyis a kérdés vagy a „Trigonometria” vagy a „Külső szögek” témakörhöz kapcsolódik. A valószínűségi tétel szerint az összeférhetetlen események valószínűsége egyenlő az egyes események valószínűségeinek összegével, meg kell találnunk ezen események valószínűségeinek összegét, azaz:

Válasz: 0,35.

A helyiséget három lámpás lámpás világítja meg. Annak a valószínűsége, hogy egy lámpa egy éven belül kiég, 0,29. Határozza meg annak valószínűségét, hogy legalább egy lámpa nem ég ki az év során.

Nézzük a lehetséges eseményeket. Három izzónk van, amelyek mindegyike más izzóktól függetlenül kiéghet, vagy nem. Ezek független események.

Ezután jelezzük az ilyen rendezvények lehetőségeit. Használjuk a következő jelöléseket: - a villanykörte ég, - a villanykörte kiégett. És közvetlenül ezután kiszámítjuk az esemény valószínűségét. Például egy olyan esemény valószínűsége, amelyben három független esemény „kiégett a villanykörte”, „az izzó ég”, „az izzó be van kapcsolva” bekövetkezett: , ahol a „villanykörte” esemény valószínűsége be van kapcsolva” az esemény valószínűségeként kerül kiszámításra, ellentétes esemény„nem ég a lámpa”, nevezetesen: .

Vegyük észre, hogy csak 7 összeegyeztethetetlen esemény van számunkra kedvezően.. Az ilyen események valószínűsége egyenlő az egyes események valószínűségeinek összegével: .

Válasz: 0,975608.

Az ábrán egy másik probléma is látható:

Így megértettük, mi a valószínűségelmélet, képletek és példák a problémák megoldására, amelyekkel az egységes államvizsga verzióban találkozhat.

mint ontológiai kategória bármely entitás bármilyen feltételek melletti megjelenési lehetőségének mértékét tükrözi. E fogalom matematikai és logikai értelmezésével szemben az ontológiai matematika nem köti össze magát a mennyiségi kifejezés kötelezettségével. A V. jelentése a determinizmus és általában a fejlődés természetének megértésének kontextusában tárul fel.

Kiváló meghatározás

Hiányos meghatározás ↓

VALÓSZÍNŰSÉG

mennyiségeket jellemző fogalom. egy bizonyos esemény bekövetkezésének lehetőségének mértéke egy bizonyos körülmények. A tudományosban tudás három értelmezése létezik V. A klasszikus V. fogalma, amely a matematikai. B. Pascal, J. Bernoulli és P. Laplace által legteljesebben kidolgozott szerencsejáték-elemzés a nyerést a kedvező esetek számának az egyformán lehetséges esetek teljes számához viszonyított arányának tekinti. Például egy 6 oldalas kocka dobásakor mindegyik 1/6-os értékkel várható, mivel egyik oldalnak sincs előnye a másikkal szemben. A kísérleti eredmények ilyen szimmetriáját kifejezetten figyelembe veszik a játékok szervezésekor, de viszonylag ritka a tudomány és a gyakorlat objektív eseményeinek tanulmányozása során. Klasszikus V. értelmezése átadta helyét a statisztikáknak. V. fogalmai, melyek a tényleges egy bizonyos esemény bekövetkezésének megfigyelése hosszú időn keresztül. pontosan rögzített feltételek mellett szerzett tapasztalat. A gyakorlat azt igazolja, hogy minél gyakrabban fordul elő egy esemény, az több fokozat előfordulásának objektív lehetősége, vagy B. Ezért statisztikai. V. értelmezése a relates fogalmán alapul. gyakorisággal, amely kísérletileg meghatározható. V. mint elméleti a fogalom soha nem esik egybe az empirikusan meghatározott gyakorisággal, azonban többes számban. Esetenként gyakorlatilag alig tér el a relatívtól. az időtartam eredményeként talált gyakoriság. megfigyelések. Sok statisztikus úgy véli, hogy V. „kettős” utal. a gyakoriságokat, éleket statisztikailag határozzuk meg. megfigyelési eredmények tanulmányozása

vagy kísérleteket. Kevésbé reális volt a V. meghatározása, ahogy a határ vonatkozik. R. Mises által javasolt tömegrendezvények vagy csoportok gyakorisága. Mint további fejlődés A V. gyakorisági megközelítése a V. diszpozíciós vagy hajlamos értelmezését terjeszti elő (K. Popper, J. Hacking, M. Bunge, T. Settle). Ezen értelmezés szerint V. jellemzi például a feltételeket generáló tulajdonságot. kísérlet. telepítések hatalmas véletlenszerű események sorozatának eléréséhez. Pontosan ez az attitűd okozza a testi diszpozíciók, vagy hajlamok, V. amely rokonok segítségével ellenőrizhető. frekvencia

Statisztikai V. értelmezése uralja a tudományos kutatást. megismerés, mert specifikus. a véletlenszerű természetű tömegjelenségekben rejlő minták természete. Sok fizikai, biológiai, gazdasági, demográfiai. satöbbi. társadalmi folyamatok figyelembe kell venni számos véletlenszerű tényező hatását, amelyekre a gyakoriság stabil. Ezeknek a stabil frekvenciáknak és mennyiségeknek az azonosítása. V. segítségével végzett értékelése lehetővé teszi a számos baleset halmozott hatásán áttörő szükségszerűség feltárását. Itt nyilvánul meg a véletlen szükségszerűvé alakításának dialektikája (lásd F. Engels, a könyvben: K. Marx és F. Engels, Works, 20. kötet, 535-36.).

A logikai vagy induktív érvelés jellemzi a kapcsolatot a premisszák és a nem demonstratív, és különösen az induktív érvelés következtetései között. A dedukcióval ellentétben az indukció premisszái nem garantálják a következtetés igazságát, csak többé-kevésbé valószínűvé teszik azt. Ez a plauzibilitás, pontosan megfogalmazott premisszák mellett, esetenként V segítségével is felmérhető. Ennek a V. értékét leggyakrabban összehasonlítással határozzák meg. fogalmak (több, kisebb vagy egyenlő), és néha numerikus módon. Logikus Az értelmezést gyakran használják az induktív gondolkodás elemzésére és a valószínűségi logika különféle rendszereinek felépítésére (R. Carnap, R. Jeffrey). A szemantikában logikai fogalmak A V.-t gyakran úgy határozzák meg, hogy egy állítást milyen mértékben erősítenek meg mások (például egy hipotézist empirikus adatai alapján).

A döntéshozatali és játékelméletek fejlődéséhez kapcsolódóan az ún V. személyre szabott értelmezése. Bár V. egyben kifejezi az alany hitének fokát és egy bizonyos esemény bekövetkeztét, magukat V.-t úgy kell megválasztani, hogy V. kalkulusának axiómái teljesüljenek. Ezért V. ilyen értelmezéssel nem annyira a szubjektív, mint inkább az ésszerű hit mértékét fejezi ki. Következésképpen az ilyen V. alapján hozott döntések racionálisak lesznek, mert nem veszik figyelembe a pszichológiai. az alany jellemzői és hajlamai.

Ismeretelméletivel t.zr. különbség statisztikai, logikai. V. perszonalista értelmezései pedig az, hogy ha az első a véletlenszerű természetű tömegjelenségek objektív tulajdonságait és összefüggéseit jellemzi, akkor az utolsó kettő a szubjektív, megismerő jellemzőit elemzi. emberi tevékenységek bizonytalanság körülményei között.

VALÓSZÍNŰSÉG

a tudomány egyik legfontosabb fogalma, amely a világról, annak szerkezetéről, evolúciójáról és tudásáról alkotott sajátos rendszerszemléletet jellemzi. A világ valószínűségi szemléletének sajátossága a véletlenszerűség, a függetlenség és a hierarchia fogalmának (a rendszerek szerkezetének és meghatározottságának szintjeinek eszméje) beemelésén keresztül mutatkozik meg a létezés alapfogalmai közé.

A valószínűségről alkotott elképzelések az ókorban keletkeztek, és tudásunk jellemzőihez kapcsolódnak, miközben felismerték a valószínűségi tudás létezését, amely különbözik a megbízható tudástól és a hamis tudástól. A valószínűség gondolatának a tudományos gondolkodásra és az ismeretek fejlődésére gyakorolt ​​hatása közvetlenül kapcsolódik a valószínűségszámítás mint matematikai tudományág fejlődéséhez. A valószínűség matematikai doktrínájának eredete a 17. századra nyúlik vissza, amikor is kialakult egy olyan fogalommag, amely lehetővé tette. mennyiségi (numerikus) jellemzők és valószínűségi elképzelés kifejezése.

A valószínűségek intenzív alkalmazása a megismerés fejlődésére a 2. felében történik. 19 - 1. emelet 20. század A valószínűség bekerült az olyan alapvető természettudományok struktúrájába, mint a klasszikus statisztikai fizika, a genetika, kvantum elmélet, kibernetika (információelmélet). Ennek megfelelően a valószínűség személyesíti meg a tudomány fejlődésének azt a szakaszát, amelyet ma már nem klasszikus tudományként határoznak meg. A valószínűségi gondolkodásmód újdonságának és sajátosságainak feltárásához a valószínűségszámítás tárgyának és számos alkalmazásának alapjainak elemzéséből kell kiindulni. A valószínűségszámítást általában olyan matematikai tudományágként határozzák meg, amely a tömeges véletlenszerű jelenségek mintázatait vizsgálja bizonyos feltételek mellett. A véletlenszerűség azt jelenti, hogy a tömegjelleg keretein belül az egyes elemi jelenségek léte nem függ más jelenségek létezésétől, és nem is ezektől függ. Ugyanakkor maga a jelenségek tömegtermészete is stabil szerkezetű és bizonyos törvényszerűségeket tartalmaz. A tömegjelenség meglehetősen szigorúan alrendszerekre oszlik, és az elemi jelenségek relatív száma az egyes alrendszerekben (relatív gyakoriság) nagyon stabil. Ezt a stabilitást a valószínűséggel hasonlítják össze. A tömegjelenség egészét egy valószínűségi eloszlás jellemzi, vagyis az alrendszerek és a hozzájuk tartozó valószínűségek megadása. A valószínűségszámítás nyelve a valószínűségi eloszlások nyelve. Ennek megfelelően a valószínűségszámítás az eloszlásokkal való működés elvont tudománya.

A valószínűség a tudományban a statisztikai mintákról és a statisztikai rendszerekről alkotott elképzeléseket szülte. Az utolsó esszencia független vagy kvázi független entitásokból kialakított rendszerek, szerkezetüket valószínűségi eloszlások jellemzik. De hogyan lehetséges független entitásokból rendszereket kialakítani? Általában azt feltételezik, hogy az integrált jellemzőkkel rendelkező rendszerek kialakításához az elemeik között kellően stabil kapcsolatokra van szükség, amelyek a rendszereket cementálják. A statisztikai rendszerek stabilitását a külső feltételek, külső környezet, külső és nem jelenléte adja belső erők. Maga a valószínűség meghatározása mindig az iniciálé kialakulásának feltételein alapul tömeges jelenség. Még egy a legfontosabb gondolat, amely a valószínűségi paradigmát jellemzi, a hierarchia (alárendeltség) gondolata. Ez a gondolat a tulajdonságok közötti kapcsolatot fejezi ki egyedi elemekés a rendszerek holisztikus jellemzői: az utóbbiak látszólag az előbbire épülnek.

A valószínűségi módszerek jelentősége a megismerésben abban rejlik, hogy lehetővé teszik a hierarchikus, „kétszintű” felépítésű objektumok, rendszerek szerkezeti és viselkedési mintáinak tanulmányozását és elméleti kifejezését.

A valószínűség természetének elemzése annak gyakoriságán, statisztikai értelmezésén alapul. Ugyanakkor nagyon hosszú idő A tudományban a valószínűség ilyen felfogása uralkodott, amit logikai, vagy induktív valószínűségnek neveztek. A logikai valószínűséget egy különálló, egyedi ítélet bizonyos feltételek melletti érvényességének kérdései érdeklik. Lehetséges-e kvantitatív formában értékelni egy induktív következtetés (hipotetikus következtetés) megerősítési fokát (megbízhatóságát, igazságtartalmát)? A valószínűségszámítás fejlesztése során többször is szóba kerültek az ilyen kérdések, és elkezdtek beszélni a hipotetikus következtetések megerősítési fokáról. Ezt a valószínűségi mértéket a rendelkezésre álló értékek határozzák meg ez a személy információkat, tapasztalatait, világnézeteit és pszichológiai gondolkodásmódját. A valószínűség nagysága minden ilyen esetben nem alkalmas szigorú mérésekre, és gyakorlatilag kívül esik a valószínűségszámítás, mint konzisztens matematikai diszciplína kompetenciáján.

A valószínűség objektív, gyakori értelmezése jelentős nehézségekkel honosodott meg a tudományban. A valószínűség természetének megértését kezdetben erősen befolyásolták azok a filozófiai és módszertani nézetek, amelyek a klasszikus tudományra jellemzőek voltak. Történelmileg a fizikában a valószínűségszámítási módszerek kialakulása a mechanika eszméinek meghatározó hatására ment végbe: a statisztikai rendszereket egyszerűen mechanikusnak értelmezték. Mivel a megfelelő problémákat nem sikerült megoldani szigorú módszerek mechanika, majd felmerültek azok az állítások, hogy a valószínűségi módszerek és statisztikai törvények felé fordulás ismereteink hiányosságának eredménye. A klasszikus statisztikus fizika fejlődéstörténetében számtalan kísérlet történt annak alátámasztására klasszikus mechanika azonban mindegyik kudarcot vallott. A valószínűség alapja, hogy a mechanikai rendszereken kívül a rendszerek egy bizonyos osztályának szerkezeti jellemzőit fejezi ki: e rendszerek elemeinek állapotát instabilitás és speciális (mechanikára nem redukálható) kölcsönhatások jellemzik.

A valószínűség tudásba kerülése a kemény determinizmus fogalmának tagadásához, a klasszikus tudomány kialakulásának folyamatában kialakult lét és tudás alapmodelljének tagadásához vezet. A statisztikai elméletek által képviselt alapmodellek más, több általános jelleg: Ide tartoznak a véletlenszerűség és a függetlenség gondolatai. A valószínűség gondolata az objektumok és rendszerek belső dinamikájának feltárásához kapcsolódik, amelyet nem határozhatnak meg teljesen külső feltételek és körülmények.

A függetlenségről alkotott elképzelések abszolutizálásán alapuló valószínűségi világkép koncepciója (mint a merev elhatározás paradigmája előtt) mostanra felfedte korlátait, amelyek a legerősebben érintik az átmenetet. modern tudomány komplex rendszerek és az önszerveződési jelenségek fizikai és matematikai alapjainak vizsgálatának analitikai módszereihez.

Kiváló meghatározás

Hiányos meghatározás ↓