A legnagyobb szám a világon. A végtelenség végtelen számú neve

Két dolog valóban végtelen:
Az univerzum és az emberi hülyeség.
Azonban a nálam lévő Univerzumról
vannak kétségek.
Albert Einstein

Ezt a kérdést a közelmúltban már felvetettük, de annyira fontos, hogy érdemes részletesebben elidőzni rajta.

Ha néha ugyanazokat a szavakat mondják egy tárgyról, mint egy másikról, ez nem jelenti azt, hogy ezeknek az objektumoknak ugyanazok a tulajdonságaik vannak.

Ez egy hosszú és érthetetlen mondat, ezért egy példával magyarázom:
Kimondhatja, hogy „hívja a telefont”, vagy mondhatja, hogy „csengessen” – nagyon különböző műveletek, de csak egy ige. Ebből nem vonhatjuk le azt a következtetést, hogy a telefonnal végzett összes többi művelet (SMS fogadása, memória 200 számhoz stb.) a csengőre jellemző. Ez annyira nyilvánvaló, hogy ez a bekezdés abszurdnak tűnik.

De akkor miért operálnak sokan olyan könnyen a végtelen szóval, mintha az egy szám lenne? Igen, alkalmazhat néhány műveletet a végtelenbe, amelyek sikeresen működnek a számokkal ( a szükséges fenntartások megtétele):
2 + ∞ = ∞,
∞ - 5 = ∞,
2 * ∞ = ∞,
∞ / 5 = ∞,
∞ + ∞ = ∞ (sőt, a valós számok sorozatát gyakran bővítik +∞ és -∞ elempárral, de szigorúan előírják hogyan lehet őket kezelni).

Ez azt jelenti, hogy ilyen „végtelenséggel” nem lehet mindent megcsinálni. Például ∞ - ∞ = ? (itt bizonytalanság van, hiszen e két „végtelen” természetének ismerete nélkül nem tudunk választ adni). Mindenesetre naivitás azonnal azt mondani, hogy a különbség nulla lesz.

És ha arról kezdenek beszélni, hogy bizonyos mennyiségek a nullára vagy a végtelenre hajlanak, akkor nagyon gyakran soha nem jut el a helyes érveléshez. Egyébként hat hónapja foglalkoztunk a végtelen fogalmának mindennapi használatával. Ezután sikerült „bizonyítanunk”, hogy egy háromszög szárainak összege mindig egyenlő a befogóval. Ez nem volt túl egyszerű példa, de hasznos példa volt. Léteznek sokkal ősibb és híresebb építmények, amelyek olyan egyszerűnek tűnnek, hogy egyáltalán nem világos, hogyan lehetséges velük probléma.

Emlékezzünk Zeno klasszikus apóriájára:
Ha ismert, hogy Akhilleusz tízszer gyorsabban fut, mint egy teknős, és 1 kilométerre van tőle, akkor az idő alatt, amit Akhilleusz ezen a kilométeren tölt, a teknős 100 métert kúszik. Ennek megfelelően, amikor Akhilleusz még 100 métert fut, a teknősbéka 10 métert kúszik, és így tovább. A folyamat a végtelenségig folytatódik, és Akhilleusz soha nem fogja tudni utolérni a teknőst, bár gyorsabban mozog.

Az ilyen problémákról való érthető mondanivaló képessége szükséges ahhoz, hogy legalább valahogy megértsük a törekvésről, a határról, a végtelenről és más intuitív módon világos, de meglehetősen összetett fogalmakról szóló érvelést. Enélkül a beszélgetés általában arra fajul, hogy „kinek a hangosabb a hangja”, bár a matematika tudományának egyáltalán nem az a célja, hogy bármi áron megakadályozza a meggyőződést. Sajnos az utóbbi évtizedekben egyre kevesebben különböztetik meg a helyeset a tudományostól, ezért sokszor fontosabbnak tartják a kiabálást és a meggyőzést, mint az igazsághoz való közelebb kerülést.

Tehát hogyan oldhatjuk meg Akhilleusz és a teknősbéka problémáját? Kérlek, ne írd, hogy ha Akhilleusz lefutja a második kilométert, a teknősbéka messze lemarad. Ez mindenki számára nyilvánvaló, de egyáltalán nem segít. Itt érezni kell a problémát az eredeti megoldásban, és nem a saját nézeteddel kell előállni ugyanarról az állapotról.

Legyen szép napod!

Egyszer gyerekkorunkban megtanultunk számolni tízig, majd százig, majd ezerig. Szóval mi a legnagyobb szám, amit ismersz? Ezer, millió, milliárd, billió... És akkor? Petalion, mondja valaki, és tévedni fog, mert az SI előtagot egy teljesen más fogalommal keveri össze.

Valójában a kérdés nem olyan egyszerű, mint amilyennek első pillantásra tűnik. Először is ezres hatalmak nevének megnevezéséről beszélünk. És itt az első árnyalat, amit sokan tudnak az amerikai filmekből, hogy a mi milliárdunkat milliárdnak hívják.

Ezenkívül kétféle mérleg létezik - hosszú és rövid. Hazánkban rövid skálát használnak. Ebben a skálán minden lépésnél a mantissza három nagyságrenddel növekszik, azaz. szorozzuk meg ezerrel - ezer 10 3, millió 10 6, milliárd/milliárd 10 9, billió (10 12). A hosszú skálán egy milliárd 10 9 után van egy milliárd 10 12, és ezt követően a mantissza hat nagyságrenddel növekszik, és a következő szám, amelyet billiónak neveznek, már 10 18-at jelent.

De térjünk vissza natív léptékünkhöz. Szeretné tudni, mi jön egy billió után? Kérem:

10 3 ezer
10 6 millió
10 9 milliárd
10 12 billió
10 15 kvadrillió
10 18 kvintillió
10 21 szextillió
10 24 szeptillió
10 27 oktillió
10 30 millió
10 33 milliárd
10 36 bizonytalan
10 39 dodecillion
10 42 tredecillion
10 45 quattoordecillion
10 48 kvindecill
10 51 cedecillion
10 54 septdecillion
10 57 duodevigintillion
10 60 undevigintillion
10 63 vigintillion
10 66 anvigintillion
10 69 duovigintillion
10 72 trevigintillion
10 75 quattorvigintillion
10 78 quinvigintillion
10 81 sexvigintillion
10 84 septemvigintillion
10 87 octovigintillion
10 90 novemvigintillion
10 93 triginillió
10 96 antigintillion

Ennél a számnál a rövid pikkelyünk nem bírja, és ezt követően a sáska fokozatosan növekszik.

10 100 googol
10 123 kvadragintillion
10 153 quinquagintilia
10 183 szexagintillion
10 213 septuagintillion
10 243 oktogintillió
10 273 nonagintillion
10 303 centi
10 306 centunillió
10 309 centulion
10 312 centi billió
10 315 centquadrillió
10 402 középtrigintillion
10 603 decentillió
10 903 trcentillió
10 1203 kvadringensmilliárd
10 1503 kvingentillió
10 1803 szeszcentillió
10 2103 septingentillió
10 2403 oxtingensillió
10 2703 nongentillion
10 3003 millió
10 6003 duómillió
10 9003 három millió
10 3000003 millió millió
10 6000003 duomiliaiillion
10 10 100 googolplex
10 3×n+3 millió

Google(az angol googol szóból) - egy szám, amelyet a decimális számrendszerben egy egység, majd 100 nulla követ:
10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
1938-ban Edward Kasner (1878-1955) amerikai matematikus két unokaöccsével sétált a parkban, és nagy számokról beszélgetett velük. A beszélgetés során egy száz nullás számról beszéltünk, aminek nem volt saját neve. Az egyik unokaöccs, a kilencéves Milton Sirotta azt javasolta, hogy hívják ezt a számot „googol”-nak. 1940-ben Edward Kasner James Newmannel együtt megírta a „Mathematics and Imagination” („Új nevek a matematikában”) című népszerű tudományos könyvet, amelyben a matematika szerelmeseinek mesélt a googol-számról.
A „googol” kifejezésnek nincs komoly elméleti vagy gyakorlati jelentése. Kasner az elképzelhetetlenül nagy szám és a végtelen közötti különbség szemléltetésére javasolta, és a kifejezést a matematikatanításban is használják erre a célra.

Googolplex(az angol googolplex szóból) - egy szám, amelyet nullák googoljával jellemeznek. A googolhoz hasonlóan a "googolplex" kifejezést is Edward Kasner amerikai matematikus és unokaöccse, Milton Sirotta alkotta meg.
A googolok száma nagyobb, mint az összes részecske száma az univerzum általunk ismert részében, amely 1079 és 1081 között mozog. Így a googolplex szám, amely (googol + 1) számjegyekből áll, nem írható le a klasszikus „tizedes” forma, még akkor is, ha az univerzum ismert részein minden anyag papírrá és tintává vagy számítógép lemezterületté változott.

Zillion(angolul zillion) - nagyon nagy számok általános neve.

Ennek a kifejezésnek nincs szigorú matematikai meghatározása. 1996-ban Conway (angol. J. H. Conway) és Guy (ang. R. K. Guy) az angol című könyvében. A számok könyve n-edik hatványig 10 3×n+3-ként határozta meg a ziliót a rövid léptékű számelnevezési rendszerhez.

10-től a 3003-as hatványig

Folyamatban vannak a viták arról, hogy melyik a világ legnagyobb alakja. A különböző számítási rendszerek különböző lehetőségeket kínálnak, és az emberek nem tudják, mit higgyenek, és melyik számot tekintsék a legnagyobbnak.

Ez a kérdés már a Római Birodalom idejétől foglalkoztatta a tudósokat. A legnagyobb probléma annak meghatározásában rejlik, hogy mi a „szám” és mi a „számjegy”. Egy időben az emberek hosszú ideig a legnagyobb számnak egy tizedet, azaz 10-et a 33. hatványhoz tartottak. De miután a tudósok elkezdték aktívan tanulmányozni az amerikai és az angol metrikus rendszereket, kiderült, hogy a világon a legnagyobb szám a 10-től a 3003. hatványig terjed - egy millió. Az emberek a mindennapi életben azt hiszik, hogy a legnagyobb szám egy billió. Sőt, ez meglehetősen formális, mivel egy billió után egyszerűen nem adnak meg neveket, mert a számolás túl bonyolulttá válik. Tisztán elméletileg azonban a nullák száma korlátlanul hozzáadható. Ezért szinte lehetetlen még tisztán vizuálisan is elképzelni egy billiót és azt, ami azt követi.

Római számokkal

Másrészt a „szám” matematikusok által értelmezett meghatározása egy kicsit más. A szám olyan jelet jelent, amely általánosan elfogadott, és számszerű egyenértékben kifejezett mennyiség jelzésére szolgál. A „szám” második fogalma a mennyiségi jellemzők kényelmes formában történő kifejezését jelenti számok használatával. Ebből az következik, hogy a számok számjegyekből állnak. Az is fontos, hogy a szám szimbolikus tulajdonságokkal rendelkezzen. Feltételezettek, felismerhetők, megváltoztathatatlanok. A számoknak is vannak előjeltulajdonságai, de ezek abból a tényből következnek, hogy a számok számjegyekből állnak. Ebből arra következtethetünk, hogy a billió egyáltalán nem szám, hanem szám. Akkor mi a legnagyobb szám a világon, ha nem trillió, ami egy szám?

A lényeg az, hogy a számokat a számok összetevőjeként használják, de nem csak azt. Egy szám azonban ugyanaz a szám, ha bizonyos dolgokról beszélünk, nullától kilencig számolva azokat. Ez a jellemzőrendszer nemcsak az ismert arab számokra vonatkozik, hanem a római I, V, X, L, C, D, M számokra is. Ezek római számok. Másrészt a V I I I római szám. Az arab számításban a nyolcas számnak felel meg.

Arab számokkal

Így kiderül, hogy a nullától kilencig tartó egységek számlálása számnak számít, minden más pedig szám. Innen a következtetés, hogy a világon a legnagyobb szám kilenc. A 9 egy jel, a szám pedig egy egyszerű mennyiségi absztrakció. A billió egy szám, és egyáltalán nem szám, ezért nem lehet a legnagyobb szám a világon. A trillió nevezhető a világ legnagyobb számának, és ez pusztán névlegesen, hiszen a számok a végtelenségig számolhatók. A számjegyek száma szigorúan korlátozott - 0-tól 9-ig.

Emlékeztetni kell arra is, hogy a különböző számok számjai és számai nem esnek egybe, amint azt az arab és római számok és számok példáiból láthattuk. Ez azért történik, mert a számok és a számok egyszerű fogalmak, amelyeket maga az ember talált ki. Ezért egy szám az egyik számrendszerben könnyen lehet szám egy másikban, és fordítva.

Így a legnagyobb szám megszámlálhatatlan, mert számjegyekből korlátlanul összeadható. Ami magukat a számokat illeti, az általánosan elfogadott rendszerben a 9-et tekintik a legnagyobb számnak.

Vannak hosszabb számjegycsoportok is, amelyek a számok végén lévén a szorzatukban is megmaradnak. Az ilyen számcsoportok száma, mint látni fogjuk, végtelenül nagy.

Ismerünk olyan kétjegyű számcsoportokat, amelyek rendelkeznek ezzel a tulajdonsággal: ezek a 25 és 76. A háromjegyű csoportok megtalálásához a 25 vagy 76 szám elejéhez hozzá kell rendelni egy számjegyet, hogy a kapott háromjegyű legyen. számcsoport is rendelkezik a szükséges tulajdonsággal.

Milyen számjegyet kell a 76-os számhoz rendelni? Jelöljük k-vel. Ezután megjelenik a kívánt háromjegyű szám:

100 ezer + 76.

Az ezzel a számjegycsoporttal végződő számok általános kifejezése a következő:

1000a + 100k + 76, 1000b + 100k + 76 stb.

Szorozzunk meg két ilyen típusú számot; kapunk:

1000000ab + 100000ak + 100000bk + 76000a + 76000b + 10000k 2 + 15200k + 5776.

Az utolsó kettő kivételével minden kifejezésnek legalább három nulla van a végén. Ezért a szorzat 1006+76-ra végződik, ha a különbség

15 200 000 + 5776 - (100 000 + 76) = 15100 000 + 5700 = 15 000 000 + 5000 + 100 (k + 7)

osztható 1000-el. Ez nyilván csak k = 3 esetén fog megtörténni.

Tehát a szükséges számcsoport alakja 376. Ezért a 376 szám minden hatványa 376-ra végződik. Például:

376 2 = 141376.

Ha most egy négyjegyű számjegycsoportot akarunk találni, amelynek ugyanaz a tulajdonsága, akkor a 376-hoz egy másik számjegyet kell hozzáadnunk. Ha ezt a számot l-vel jelöljük, akkor eljutunk a problémához: mire l a szorzat

(10000a + 1000l + 376) (10000b + 1000l + 376)

1000l + 376-tal végződik? Ha ebben a termékben kinyitjuk a zárójeleket, és eldobunk minden olyan kifejezést, amely 4 vagy több nullára végződik, akkor a feltételek megmaradnak

752000l + 141376.

A termék végeredménye 1000l + 376, ha a különbség

752000l + 141376 - (1000l + 376) = 751000l + 141000 = (750000l + 140000) + 1000 (l + 1)

osztható 10000-rel. Ez nyilvánvalóan csak akkor történik meg, ha l = 9.

A szükséges négyjegyű számcsoport a 9376.

Az így kapott négyjegyű számcsoport kiegészíthető még egy számmal, amihez pontosan ugyanúgy kell érvelni, mint fent. 09376-ot kapunk. Még egy lépést megtéve találunk egy számcsoportot: 109376, majd 7109376, stb.

Ez a bal oldali számok hozzárendelése korlátlan számú alkalommal elvégezhető. Ennek eredményeként egy végtelen sok számjegyből álló „számot” kapunk:

7109376.

Az ilyen „számok” a szokásos szabályok szerint összeadhatók és szorozhatók: végül is jobbról balra írják, és az összeadást és a szorzást („oszlop”) is jobbról balra hajtják végre, így az összegben és a szorzatban két ilyen számból ki lehet számítani egy számjegyet a másik után - amennyire csak szereti a számokat

Érdekes, hogy a fent leírt végtelen „szám” – bármennyire is hihetetlennek tűnik – kielégíti az egyenletet.

X 2 = x.

Valójában ennek a „számnak” a négyzete (vagyis a szorzata önmagában) 76-ban végződik, mivel mindegyik tényezőnek 76 van a végén; ugyanezért az írott „szám” négyzete 376-ban végződik; 9376-ra végződik, stb. Más szóval, egyenként kiszámolva a „szám” x 2 számjegyeit, ahol x =... 7109376, ugyanazokat a számjegyeket kapjuk, amelyek az x számban vannak, tehát x 2 = x.

Megnéztük a 76 *-ra végződő számcsoportokat. Ha hasonló érvelést végzünk 5-re végződő számcsoportokra, akkor a következő számcsoportokat kapjuk:

5, 25, 625, 0625, 90625, 890625, 2890 625 stb.

* (Megjegyzendő, hogy a 76-os számjegyek kétjegyű csoportja a fentiekhez hasonló érveléssel kereshető meg: elegendő azt a kérdést megoldani, hogy melyik számjegyet kell a 6-os szám elé rendelni, hogy a kapott kétjegyű csoport számjegy rendelkezik a kérdéses tulajdonsággal. Ezért a „szám” ... 7109376 úgy kapható meg, hogy egymás után hozzáadjuk a számokat a hatos elejéhez.)

Ennek eredményeként egy újabb végtelen "számot" tudunk majd írni

2890625,

kielégítve az x 2 = x egyenletet is. Meg lehet mutatni, hogy ez a végtelen "szám" "egyenlő"

5 2 2 2...

A végtelen „számok” nyelvén kapott érdekes eredményt a következőképpen fogalmazzuk meg: az x 2 = x egyenletnek (a szokásos x = 0 és x = 1 mellett) két „végtelen” megoldása van:

X = ...7109376 és x = ...2890625,

és nincs más megoldása (tizedes számrendszerben) *.

* (A végtelen "számok" nem csak decimális, hanem más számrendszerekben is számításba vehetők. Az ilyen számokat a számrendszerben p bázissal tekintjük p-adikus számoknak. Ezekről a számokról olvashat E. B. Dynkin és V. A. Uspensky „Matetikai beszélgetések” című könyvében (Gostekhizdat, 1952).)

Vannak számok, amelyek olyan hihetetlenül, hihetetlenül nagyok, hogy az egész univerzumra lenne szükség, hogy leírják őket. De itt van, ami igazán őrült... ezeknek a kifürkészhetetlenül nagy számoknak némelyike ​​elengedhetetlen a világ megértéséhez.

Amikor azt mondom, hogy „a legnagyobb szám az univerzumban”, valójában a legnagyobbra gondolok jelentős szám, a lehető legnagyobb szám, amely valamilyen szempontból hasznos. Sok versenyző van erre a címre, de azonnal figyelmeztetlek: valóban fennáll annak a veszélye, hogy az egész megértése felborítja a fejét. Ráadásul túl sok matekkal nem fog szórakozni.

Googol és googolplex

Edward Kasner

Kezdhetnénk azzal, ami valószínűleg a két legnagyobb szám, amiről valaha is hallottál, és valóban ez a két legnagyobb szám, amely általánosan elfogadott definíciókkal rendelkezik az angol nyelvben. (Van egy elég precíz nómenklatúra a tetszőleges nagy számok jelölésére, de ezt a két számot manapság nem találod meg a szótárakban.) Googol, mióta világhírű lett (bár hibákkal, figyeld. valójában ez a googol ) a Google formájában, amely 1920-ban született, hogy felkeltse a gyerekek érdeklődését a nagy számok iránt.

Ennek érdekében Edward Kasner (a képen) két unokaöccsét, Miltont és Edwin Sirottot vitte el sétálni a New Jersey Palisades-en. Felkérte őket, hogy álljanak elő bármilyen ötlettel, majd a kilencéves Milton a „googol”-t javasolta. Hogy honnan kapta ezt a szót, nem tudni, de Kasner úgy döntött vagy egy olyan számot, amelyben száz nulla követi az egységet, ezentúl googolnak nevezzük.

De az ifjú Milton nem állt meg itt, hanem egy még nagyobb számot javasolt, a googolplexet. Ez egy szám Milton szerint, amelyben az első hely 1, majd annyi nulla, amennyit csak le tud írni, mielőtt elfáradt. Noha az ötlet lenyűgöző, Kasner úgy döntött, formálisabb meghatározásra van szükség. Amint azt 1940-es Mathematics and the Imagination című könyvében kifejtette, Milton definíciója nyitva hagyja annak kockázatos lehetőségét, hogy egy véletlenül elbukó emberből Albert Einsteinnél jobb matematikus válhat egyszerűen azért, mert nagyobb az állóképessége.

Ezért Kasner úgy döntött, hogy a googolplex , vagy 1, majd egy nullák googolja. Ellenkező esetben a többi számhoz hasonló jelöléssel azt mondjuk, hogy a googolplex . Carl Sagan, hogy megmutassa, mennyire lenyűgöző ez, egyszer megjegyezte, hogy fizikailag lehetetlen leírni a googolplex összes nulláját, mert egyszerűen nincs elég hely az univerzumban. Ha a megfigyelhető Univerzum teljes térfogatát megtöltjük körülbelül 1,5 mikron méretű kis porszemcsékkel, akkor ezeknek a részecskéknek a különböző elrendezési módjainak száma megközelítőleg egy googolplexnek felel meg.

Nyelvi szempontból a googol és a googolplex valószínűleg a két legnagyobb szignifikáns szám (legalábbis az angol nyelvben), de amint azt most meg fogjuk állapítani, végtelenül sok módja van a „jelentősség” meghatározásának.

Való Világ

Ha a legnagyobb szignifikáns számról beszélünk, akkor ésszerű érvelés, hogy ez valóban azt jelenti, hogy meg kell találnunk a világon ténylegesen létező legnagyobb számot. Kezdhetjük a jelenlegi emberi populációval, amely jelenleg 6920 millió körül van. A világ GDP-jét 2010-ben körülbelül 61 960 milliárd dollárra becsülték, de mindkét szám elenyésző az emberi testet alkotó körülbelül 100 billió sejthez képest. Természetesen e számok egyike sem hasonlítható össze az Univerzumban található részecskék teljes számával, amelyet általában körülbelül -nak tartanak, és ez a szám olyan nagy, hogy nyelvünkben nincs rá szó.

Egy kicsit játszhatunk a mértékrendszerekkel, egyre nagyobbá téve a számokat. Így a Nap tömege tonnában kisebb lesz, mint fontban. Ennek nagyszerű módja a Planck mértékegységrendszer használata, amely a lehető legkisebb mérték, amelyre a fizika törvényei még érvényesek. Például az Univerzum kora Planck-időben kb. Ha visszamegyünk az ősrobbanás utáni első Planck-időegységhez, látni fogjuk, hogy az Univerzum sűrűsége akkor volt. Egyre többen vagyunk, de még a googolt sem értük el.

A legnagyobb szám a valós világban – vagy ebben az esetben a valós világban – valószínűleg az egyik legfrissebb becslés a multiverzum univerzumainak számáról. Ez a szám olyan nagy, hogy az emberi agy szó szerint nem fogja tudni érzékelni ezeket a különféle univerzumokat, mivel az agy csak hozzávetőleges konfigurációkra képes. Valójában ez a szám valószínűleg a legnagyobb szám, aminek gyakorlati értelme van, hacsak nem vesszük figyelembe a multiverzum egészét. Azonban még mindig sokkal nagyobb számok lappangnak ott. De ahhoz, hogy megtaláljuk őket, a tiszta matematika birodalmába kell mennünk, és nincs is jobb kiindulás, mint a prímszámok.

Mersenne prím

A kihívás része a „jelentős” szám jó meghatározása. Az egyik módja a prímszámokban és az összetett számokban való gondolkodás. A prímszám, amint azt az iskolai matematikából valószínűleg emlékszik, bármely természetes szám (a jegyzet nem egyenlő eggyel), amely csak önmagával osztható. Tehát az és prímszámok, és és összetett számok. Ez azt jelenti, hogy bármely összetett szám végső soron a prímtényezőivel reprezentálható. Bizonyos szempontból a szám fontosabb, mint mondjuk , mert nem lehet kisebb számok szorzatával kifejezni.

Nyilván mehetünk egy kicsit tovább. , például valójában csak , ami azt jelenti, hogy egy hipotetikus világban, ahol a számokkal kapcsolatos ismereteink a -ra korlátozódnak, a matematikus még mindig ki tudja fejezni a számot. De a következő szám prímszám, ami azt jelenti, hogy csak úgy lehet kifejezni, ha közvetlenül tudunk a létezéséről. Ez azt jelenti, hogy a legnagyobb ismert prímszámok fontos szerepet játszanak, de mondjuk a googolnak - ami végső soron csak számok gyűjteménye, és szorozva - valójában nem. És mivel a prímszámok alapvetően véletlenszerűek, nem ismert mód annak megjóslására, hogy egy hihetetlenül nagy szám valóban prím lesz. A mai napig nehéz vállalkozás az új prímszámok felfedezése.

Az ókori Görögország matematikusai már Kr.e. 500-ban felfogták a prímszámokat, és 2000 évvel később is csak körülbelül 750-ig tudták, mely számok prímszámok. Eukleidész korának gondolkodói látták az egyszerűsítés lehetőségét, de nem így volt. amíg a reneszánsz matematikusok nem igazán tudták a gyakorlatban használni. Ezeket a számokat Mersenne-számoknak nevezik, a 17. századi francia tudós, Marin Mersenne után nevezték el. Az ötlet meglehetősen egyszerű: a Mersenne-szám tetszőleges szám alakú. Tehát például , és ez a szám prím, ugyanez igaz a -ra is.

Sokkal gyorsabb és egyszerűbb a Mersenne-prímek meghatározása, mint bármely más prímszám, és a számítógépek keményen dolgoztak ezek után az elmúlt hat évtizedben. 1952-ig a legnagyobb ismert prímszám szám volt – számjegyekből álló szám. Ugyanebben az évben a számítógép kiszámolta, hogy a szám prím, és ez a szám számjegyekből áll, ami jóval nagyobb, mint egy googol.

A számítógépek azóta is vadásznak, és jelenleg a Mersenne-szám az emberiség által ismert legnagyobb prímszám. 2008-ban fedezték fel, és csaknem millió számjegyből áll. Ez a legnagyobb ismert szám, amelyet nem lehet kisebb számokkal kifejezni, és ha segítségre van szüksége egy még nagyobb Mersenne-szám megtalálásához, Ön (és számítógépe) bármikor csatlakozhat a kereséshez a http://www.mersenne.org oldalon. /.

Skewes szám

Stanley Skews

Nézzük újra a prímszámokat. Mint mondtam, alapvetően rosszul viselkednek, vagyis nem lehet megjósolni, hogy mi lesz a következő prímszám. A matematikusok kénytelenek voltak egészen fantasztikus mérésekhez folyamodni, hogy valamilyen módot találjanak a jövőbeli prímszámok előrejelzésére, még ha valami homályos módon is. E kísérletek közül a legsikeresebb valószínűleg a prímszám-számláló függvény, amelyet a legendás matematikus, Carl Friedrich Gauss talált fel a 18. század végén.

Megkíméllek a bonyolultabb matematikától – egyébként még sok minden vár ránk –, de a függvény lényege a következő: bármely egész számra megbecsülheti, hogy hány olyan prímszám van, amely kisebb, mint . Például, ha , akkor a függvény azt jósolja, hogy legyenek prímszámok, ha legyenek kisebb prímszámok, mint , és ha , akkor legyenek kisebb prímszámok.

A prímszámok elrendezése valóban szabálytalan, és csak a prímszámok valós számának közelítése. Valójában tudjuk, hogy vannak -nál kisebb prímszámok, -nál kisebb prímszámok és -nál kisebb prímszámok. Ez kétségtelenül kiváló becslés, de mindig csak becslés... és pontosabban felülről jövő becslés.

A -ig minden ismert esetben a prímszámot megkereső függvény kissé túlbecsüli a -nál kisebb prímszámok tényleges számát. A matematikusok egykor azt hitték, hogy ez mindig így lesz, a végtelenségig, és ez bizonyosan érvényes lesz néhány elképzelhetetlenül nagy számra, de 1914-ben John Edensor Littlewood bebizonyította, hogy valami ismeretlen, elképzelhetetlenül hatalmas szám esetén ez a függvény kevesebb prímszámot kezd előállítani. , majd végtelen számú alkalommal vált a felső és az alsó becslés között.

A vadászat a versenyek kiindulópontjára irányult, majd megjelent Stanley Skewes (lásd a fotót). 1933-ban bebizonyította, hogy a felső határ, amikor a prímszámok számát közelítő függvény először kisebb értéket ad, a szám. Még a legelvontabb értelemben is nehéz igazán megérteni, hogy ez a szám valójában mit is jelent, és ebből a szempontból ez volt a legnagyobb szám, amelyet valaha komoly matematikai bizonyításhoz használtak. A matematikusok azóta viszonylag kis számra csökkentették a felső korlátot, de az eredeti szám továbbra is Skewes-számként ismert.

Tehát mekkora az a szám, amely még a hatalmas googolplex mellett is eltörpül? A The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers című könyvében David Wells elmesél egy módot, amellyel Hardy matematikus meg tudta képzelni a Skuse-szám méretét:

„Hardy úgy gondolta, hogy ez „a valaha volt legnagyobb szám, amelyet bármilyen célra szolgáltak a matematikában”, és azt javasolta, hogy ha egy sakkjátszmát az Univerzum összes részecskéivel bábuként játszanának, akkor egy lépés két részecske felcseréléséből állna. A játék leállna, ha ugyanaz a helyzet harmadszor is megismétlődik, akkor az összes lehetséges meccs száma megközelítőleg megegyezik Skuse számával.'

Még egy utolsó dolog, mielőtt továbblépnénk: a két Skewes-szám közül a kisebbről beszéltünk. Van még egy Skuse-szám, amelyet a matematikus 1955-ben fedezett fel. Az első szám abból a tényből származik, hogy az úgynevezett Riemann-hipotézis igaz – ez egy különösen nehéz hipotézis a matematikában, amely nem bizonyított, nagyon hasznos, ha prímszámokról van szó. Ha azonban a Riemann-hipotézis hamis, Skuse úgy találta, hogy az ugrások kiindulópontja -ra növekszik.

Nagyságrendi probléma

Mielőtt rátérnénk arra a számra, amelytől még a Skewes-szám is aprónak tűnik, beszélnünk kell egy kicsit a léptékről, mert különben nem tudjuk felmérni, hogy merre fogunk menni. Először is vegyünk egy számot – ez egy apró szám, olyan kicsi, hogy az emberek valójában intuitív módon megérthetik, mit jelent. Nagyon kevés szám illik ehhez a leíráshoz, mivel a hatnál nagyobb számok megszűnnek külön számok lenni, és „több”, „sok” stb.

Most vegyük , azaz. . Bár valójában nem tudjuk intuitív módon megérteni, mi az, de nagyon könnyű elképzelni, hogy mi az. Eddig jó. De mi történik, ha elköltözünk? Ez egyenlő a , vagy . Nagyon messze vagyunk attól, hogy ezt a mennyiséget el tudjuk képzelni, mint bármely más nagyon nagy mennyiséget – valahol egymillió körül elveszítjük az egyes részek megértésének képességét. (El kell ismerni, hogy őrülten sok időbe telne, hogy bármit is egymillióig számoljunk, de a lényeg az, hogy még mindig képesek vagyunk érzékelni ezt a számot.)

Azonban, bár nem tudjuk elképzelni, legalább általánosságban megérthetjük, mi az a 7600 milliárd, talán olyasmivel, mint az Egyesült Államok GDP-jével összehasonlítva. Az intuíciótól a reprezentáció felé haladtunk az egyszerű megértés felé, de legalább még mindig van némi hiányosság a számok megértésében. Ez hamarosan megváltozik, ahogy feljebb lépünk a létrán.

Ehhez át kell térnünk a Donald Knuth által bevezetett jelölésre, amelyet nyíljelölésként ismerünk. Ez a jelölés így írható fel. Amikor ezután a címre megyünk, a kapott szám a következő lesz. Ez egyenlő azzal, ahol a hármasok összege van. Mára messze és valóban felülmúltuk az összes többi számot, amelyről már beszéltünk. Hiszen a legnagyobbak közül is csak három-négy tag szerepelt az indikátorsorokban. Például még a szuper-Skuse-szám is „csak” – még ha figyelembe vesszük, hogy az alap és a kitevők is jóval nagyobbak, mint , még mindig semmiség egy milliárd tagú számtorony méretéhez képest. .

Nyilvánvalóan nem lehet felfogni ilyen hatalmas számokat... és mégis, a keletkezésük folyamata még mindig érthető. Nem tudtuk megérteni a valós mennyiséget, amit egy milliárd hármas erőtorony ad, de alapvetően el tudunk képzelni egy ilyen tornyot sokféle kifejezéssel, és egy igazán rendes szuperszámítógép képes lenne ilyen tornyokat tárolni a memóriában akkor is, ha nem tudták kiszámítani a tényleges értéküket.

Ez egyre elvontabb, de ez csak rosszabb lesz. Azt gondolhatnánk, hogy egy olyan fokos torony, amelynek kitevője egyenlő (valóban, a bejegyzés előző verziójában pontosan ezt a hibát követtem el), de ez egyszerű. Más szóval, képzeld el, hogy ki tudod számítani egy elemekből álló hármasból álló erőtorony pontos értékét, majd vetted ezt az értéket, és létrehoztál egy új tornyot annyival, amennyi... ami .

Ismételje meg ezt a folyamatot minden következő számmal ( jegyzet jobbról kezdve), amíg meg nem teszed, és végül megkapod a . Ez egy olyan szám, amely egyszerűen hihetetlenül nagy, de legalább az eléréséhez szükséges lépések érthetőnek tűnnek, ha mindent nagyon lassan csinálsz. A számokat már nem tudjuk megérteni, sem elképzelni, hogy milyen eljárással kapjuk meg őket, de legalább az alapalgoritmust megértjük, csak elég hosszú időn belül.

Most készítsük fel az elmét, hogy valóban felrobbantsa.

Graham-szám (Graham)

Ronald Graham

Így kapod meg Graham számát, amely a Guinness-rekordok könyvében szerepel, mint a valaha használt legnagyobb szám matematikai bizonyításban. Teljesen elképzelhetetlen, hogy mekkora, és ugyanolyan nehéz megmagyarázni, hogy pontosan mi is. Alapvetően Graham száma akkor jelenik meg, amikor a hiperkockákkal foglalkozunk, amelyek háromnál több dimenziójú elméleti geometriai alakzatok. Ronald Graham matematikus (lásd a fotót) azt akarta kideríteni, hogy a hiperkocka bizonyos tulajdonságai hány legkisebb méretnél maradnak stabilak. (Elnézést a homályos magyarázatért, de biztos vagyok benne, hogy mindannyiunknak legalább két diplomát kell szereznünk matematikából, hogy pontosabbá tegyük.)

Mindenesetre a Graham-szám a dimenziók minimális számának felső becslése. Szóval mekkora ez a felső határ? Térjünk vissza a számhoz, amely akkora, hogy csak homályosan tudjuk megérteni a megszerzési algoritmust. Most ahelyett, hogy még egy szinttel feljebb ugornánk a -ra, megszámoljuk azt a számot, amelynek az első és az utolsó három között nyilak vannak. Most már messze túl vagyunk azon, hogy mi is ez a szám, vagy mit kell tennünk a kiszámításához.

Most ismételjük meg ezt a folyamatot egyszer ( jegyzet minden következő lépésben felírjuk az előző lépésben kapott számmal megegyező számú nyilak számát).

Ez, hölgyeim és uraim, Graham száma, amely körülbelül egy nagyságrenddel magasabb, mint az emberi megértés. Ez egy olyan szám, amely sokkal nagyobb minden elképzelhető számnál – sokkal nagyobb minden olyan végtelennél, amelyet valaha is el tud képzelni –, egyszerűen dacol még a legelvontabb leírással is.

De van itt egy furcsa dolog. Mivel a Graham-szám alapvetően csak hármasok, amelyeket összeszorozunk, néhány tulajdonságát ismerjük anélkül, hogy ténylegesen kiszámolnánk. A Graham-számot nem tudjuk bármilyen ismert jelöléssel ábrázolni, még akkor sem, ha az egész univerzumot felhasználtuk a feljegyzéshez, de a Graham-szám utolsó tizenkét számjegyét most meg tudom mondani: . És ez még nem minden: Graham számának legalább az utolsó számjegyeit ismerjük.

Természetesen érdemes megjegyezni, hogy ez a szám csak egy felső korlát Graham eredeti problémájában. Nagyon valószínű, hogy a kívánt tulajdonság eléréséhez szükséges tényleges mérések száma sokkal, de sokkal kevesebb. Valójában a legtöbb szakértő szerint az 1980-as évek óta úgy gondolják, hogy valójában csak hat dimenzió létezik – ez a szám olyan kicsi, hogy intuitív módon megértjük. Az alsó korlátot azóta -ra emelték, de még mindig nagyon jó esély van arra, hogy Graham problémájának megoldása közel sem olyan nagy szám, mint Grahamé.

A végtelen felé

Tehát vannak Graham számánál nagyobb számok? Kezdetnek természetesen ott van a Graham-szám. Ami a jelentős számot illeti... nos, a matematikának (különösen a kombinatorikának) és a számítástechnikának van néhány ördögien összetett területe, ahol még Graham számánál is nagyobb számok fordulnak elő. De majdnem elértük a határt annak, amit remélem, valaha is racionálisan meg lehet magyarázni. Azok számára, akik elég merészek ahhoz, hogy még tovább menjenek, a további olvasást saját felelősségükre javasoljuk.

Nos, most egy csodálatos idézet, amelyet Douglas Ray-nek tulajdonítanak ( jegyzetŐszintén szólva elég viccesen hangzik:

„Homályos számcsoportokat látok, amelyek ott rejtőznek a sötétben, a kis fényfolt mögött, amelyet az értelem gyertyája ad. Suttognak egymásnak; összeesküdni arról, hogy ki mit tud. Talán nem nagyon szeretnek minket, amiért megragadjuk a kistestvéreiket. Vagy talán egyszerűen egy számjegyű életet élnek odakint, fel nem értve.