Hogyan mérik a valószínűséget? A játékegyensúly alapjai: véletlenszerűség és különböző események bekövetkezésének valószínűsége

• A valószínűség valamely esemény bekövetkezésének lehetőségének mértéke (relatív mértéke, mennyiségi értékelése). Ha egy lehetséges esemény tényleges bekövetkezésének okai felülmúlják az ellenkező okokat, akkor ezt az eseményt valószínűnek, egyébként valószínűtlennek vagy valószínűtlennek nevezzük. A pozitív okok túlsúlya a negatívakkal szemben, és fordítva, eltérő mértékű lehet, aminek következtében a valószínűség (és a valószínűtlenség) lehet kisebb vagy nagyobb. Ezért a valószínűséget gyakran minőségi szinten értékelik, különösen olyan esetekben, amikor a többé-kevésbé pontos mennyiségi értékelés lehetetlen vagy rendkívül nehéz. A valószínűségi „szintek” különböző fokozatai lehetségesek.

  A valószínűség matematikai szempontból történő vizsgálata egy speciális tudományágat - a valószínűségszámítást - alkot. A valószínűségszámításban és a matematikai statisztikában a valószínűség fogalmát egy esemény numerikus jellemzőjeként formalizálják - valószínűségi mértékként (vagy annak értékén) - események halmazán (elemi események halmazának részhalmazán), értékeket vesz fel. -tól

  (\displaystyle 0)

  (\displaystyle 1)

  Jelentése

  (\displaystyle 1)

  Megbízható eseménynek felel meg. Egy lehetetlen esemény valószínűsége 0 (a fordítottja általában nem mindig igaz). Ha egy esemény bekövetkezésének valószínűsége az

  (\displaystyle p)

  Ekkor a be nem következésének valószínűsége egyenlő

  (\displaystyle 1-p)

  Különösen a valószínűség

  (\displaystyle 1/2)

  Egy esemény bekövetkezésének és be nem következésének egyenlő valószínűségét jelenti.

  A valószínűség klasszikus meghatározása az eredmények egyenlő valószínűségének koncepcióján alapul. A valószínűség a kedvező kimenetelek számának aránya ez az esemény, az egyformán lehetséges kimenetelek számához. Például annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerű érmefeldobás során fejeket vagy farkat kapnak, 1/2, ha feltételezzük, hogy csak ez a két lehetőség fordul elő, és egyformán lehetségesek. A valószínűségnek ez a klasszikus "definíciója" végtelen számú lehetséges érték esetére általánosítható – például ha valamilyen esemény bekövetkezhet egyenlő valószínűséggel bármely pontban (a pontok száma végtelen) néhány korlátozott terület tér (sík), akkor annak a valószínűsége, hogy ennek valamely részén előfordul érvényes terület egyenlő ennek a résznek a térfogatának (területének) és az összes lehetséges pont tartományának térfogatának (területének) arányával.

  A valószínűség empirikus „definíciója” egy esemény előfordulási gyakoriságával függ össze azon a tényen alapul, hogy elegendő nagyszámú a tesztelés gyakoriságának az esemény lehetőségének objektív fokához kell igazodnia. A valószínűségszámítás modern bemutatásában a valószínűséget axiomatikusan, az absztrakt halmazmértékelmélet speciális eseteként határozzák meg. Az absztrakt mérték és a valószínűség közötti összekötő kapocs azonban, amely egy esemény bekövetkezésének lehetőségének fokát fejezi ki, éppen a megfigyelésének gyakorisága.

  Egyes jelenségek valószínűségi leírása széles körben elterjedt ben modern tudomány, különösen az ökonometriában, a makroszkopikus (termodinamikai) rendszerek statisztikai fizikájában, ahol még a részecskék mozgásának klasszikus determinisztikus leírása esetén sem tűnik gyakorlatilag lehetségesnek és megfelelőnek a teljes részecskerendszer determinisztikus leírása. BAN BEN kvantumfizika Maguk a leírt folyamatok valószínűségi jellegűek.

A valószínűségszámítás a matematikának egy olyan ága, amely véletlenszerű jelenségek mintázatait vizsgálja: véletlenszerű események, Véletlen változók, tulajdonságaik és a rajtuk végzett műveletek.

Hosszú ideje a valószínűségelméletnek nem volt egyértelmű meghatározása. Csak 1929-ben fogalmazták meg. A valószínűségszámítás tudományként való megjelenése a középkorig nyúlik vissza, és a szerencsejátékok (pehely, kocka, rulett) matematikai elemzésének első próbálkozásaira nyúlik vissza. A 17. századi francia matematikusok, Blaise Pascal és Pierre Fermat, miközben a szerencsejátékok nyereményének előrejelzését tanulmányozták, felfedezték az első valószínűségi mintákat, amelyek kockadobáskor jelentkeznek.

A valószínűségszámítás tudományként abból a meggyőződésből alakult ki, hogy bizonyos minták állnak a véletlenszerű tömeges események hátterében. A valószínűségszámítás ezeket a mintákat vizsgálja.

A valószínűségszámítás olyan események tanulmányozásával foglalkozik, amelyek bekövetkezése nem ismert bizonyossággal. Lehetővé teszi bizonyos események bekövetkezésének valószínűségének mértékét másokhoz képest.

Például: nem lehet egyértelműen meghatározni a „fejek” vagy „farok” eredményét egy érme feldobásakor, de többszöri feldobáskor az eredmény kb. ugyanaz a szám„fejek” és „farok”, ami azt jelenti, hogy a „fejek” vagy „farok” megszerzésének valószínűsége 50%.

Teszt ebben az esetben egy bizonyos feltételrendszer megvalósítását hívják meg, azaz in ebben az esetben pénzfeldobás. A kihívás korlátlan számú alkalommal lejátszható. Ebben az esetben a feltételrendszer véletlenszerű tényezőket tartalmaz.

A teszt eredménye az esemény. Az esemény történik:

1. Megbízható (mindig a tesztelés eredményeként fordul elő).
2. Lehetetlen (soha nem történik meg).
3. Véletlenszerű (a teszt eredményeként előfordulhat, de előfordulhat, hogy nem).

Például egy érme feldobásakor lehetetlen esemény - az érme a szélére kerül, véletlenszerű esemény - „fejek” vagy „farok” megjelenése. A konkrét vizsgálati eredményt ún elemi esemény. A teszt eredményeként csak elemi események történnek. Az összes lehetséges, különböző, specifikus vizsgálati eredmény halmazát ún elemi események tere.

Az elmélet alapfogalmai

Valószínűség- egy esemény bekövetkezésének lehetőségének mértéke. Ha egy lehetséges esemény tényleges bekövetkezésének okai felülmúlják az ellenkező okokat, akkor ezt az eseményt valószínűnek, egyébként valószínűtlennek vagy valószínűtlennek nevezzük.

Véletlenszerű érték- ez egy olyan mennyiség, amely a tesztelés eredményeként ilyen vagy olyan értéket vehet fel, és nem tudni előre, hogy melyiket. Például: száma tűzoltóállomásonként naponta, találatok száma 10 lövéssel stb.

A véletlenszerű változók két kategóriába sorolhatók.

1. Diszkrét valószínűségi változó olyan mennyiség, amely a tesztelés eredményeként bizonyos valószínűséggel bizonyos értékeket felvehet, megszámlálható halmazt alkotva (egy olyan halmazt, amelynek elemei megszámozhatók). Ez a halmaz lehet véges vagy végtelen. Például a célpont első találata előtti lövések száma diszkrét valószínűségi változó, mert ez a mennyiség végtelen számú, bár megszámlálható értéket vehet fel.
2. Folyamatos valószínűségi változó Olyan mennyiség, amely bármely véges vagy végtelen intervallumból tetszőleges értéket vehet fel. Nyilvánvaló, hogy egy folytonos valószínűségi változó lehetséges értékeinek száma végtelen.

Valószínűségi tér- koncepció, amelyet A.N. Kolmogorov a 20. század 30-as éveiben, hogy formalizálja a valószínűség fogalmát, ami a valószínűségszámítás, mint szigorú matematikai tudományág gyors fejlődéséhez vezetett.

A valószínűségi tér egy hármas (néha szögletes zárójelben: , ahol

Ez egy tetszőleges halmaz, melynek elemeit elemi eseményeknek, kimeneteknek vagy pontoknak nevezzük;
- (véletlenszerű) eseményeknek nevezett részhalmazok szigma algebra;
- valószínűségi mérték vagy valószínűség, azaz. szigma-additív véges mérték úgy, hogy .

De Moivre-Laplace tétel- a valószínűségszámítás egyik határtétele, amelyet Laplace állított fel 1812-ben. Azt állítja, hogy a sikerek száma, amikor ugyanazt a véletlenszerű kísérletet ismételjük meg újra és újra két lehetséges eredménnyel, megközelítőleg normális eloszlású. Lehetővé teszi egy közelítő valószínűségi érték meghatározását.

Ha mindegyikhez független tesztek valamely véletlen esemény bekövetkezésének valószínűsége egyenlő ()-vel, és azoknak a próbáknak a száma, amelyekben ténylegesen bekövetkezik, akkor az egyenlőtlenség igazának valószínűsége közel van (nagy értékek esetén) a Laplace-integrál értékéhez.

Eloszlási függvény a valószínűségszámításban- egy valószínűségi változó vagy valószínűségi vektor eloszlását jellemző függvény; annak a valószínűsége, hogy egy X valószínűségi változó kisebb vagy egyenlő értéket vesz fel, mint x, ahol x tetszőleges valós szám. Ha az ismert feltételek teljesülnek, akkor teljesen meghatározza a valószínűségi változót.

Várható érték- egy valószínűségi változó átlagos értéke (ez a valószínűségelméletben figyelembe vett valószínűségi változó valószínűségi eloszlása). BAN BEN angol irodalom, oroszul - . A statisztikákban gyakran használják a jelölést.

Legyen adott egy valószínűségi tér és egy azon definiált valószínűségi változó. Ez értelemszerűen mérhető függvény. Ekkor, ha van egy Lebesgue-integrál a tér felett, akkor azt matematikai elvárásnak vagy középértéknek nevezzük, és jelöljük.

Valószínűségi változó varianciája- egy adott valószínűségi változó terjedésének mértéke, vagyis a matematikai elvárástól való eltérése. Meg van jelölve az orosz és a külföldi irodalomban. A statisztikákban gyakran használják a vagy jelölést. Négyzetgyök szórásának, szórásnak vagy szórásnak nevezzük.

Legyen egy valószínűségi változó, amely valamilyen valószínűségi téren van definiálva. Akkor

ahol a szimbólum a matematikai elvárást jelöli.

A valószínűségszámításban két véletlenszerű eseményt nevezünk független, ha az egyik előfordulása nem változtat a másik előfordulási valószínűségén. Hasonlóképpen két valószínűségi változót nevezünk függő, ha az egyik értéke befolyásolja a másik értékének valószínűségét.

A jog legegyszerűbb formája nagy számok Bernoulli tétele, amely kimondja, hogy ha egy esemény valószínűsége minden kísérletben azonos, akkor a kísérletek számának növekedésével az esemény gyakorisága az esemény valószínűségére hajlik, és megszűnik véletlenszerű lenni.

A nagy számok törvénye a valószínűségszámításban kimondja, hogy egy fix eloszlásból származó véges minta számtani átlaga közel van az eloszlás elméleti átlagához. A konvergencia típusától függően különbséget teszünk a nagy számok gyenge törvénye között, amikor a konvergencia valószínűség szerint következik be, és a nagy számok erős törvénye között, amikor a konvergencia szinte biztos.

A nagy számok törvényének általános jelentése az, hogy nagyszámú azonos és független véletlentényező együttes hatása olyan eredményhez vezet, amely határértékben nem a véletlentől függ.

A véges mintaelemzésen alapuló valószínűségbecslési módszerek ezen a tulajdonságon alapulnak. Jó példa erre a választási eredmények előrejelzése a választói mintán végzett felmérés alapján.

Központi határérték tételek- a valószínűségszámítás tételeinek egy osztálya, amely azt állítja, hogy kellően nagy számú gyengén függő valószínűségi változó összege, amelyek megközelítőleg azonos skálával rendelkeznek (egyik kifejezés sem dominál, vagy nem járul hozzá meghatározó módon az összeghez) normálishoz közeli eloszlású.

Mivel az alkalmazásokban sok valószínűségi változó több gyengén függő véletlen tényező hatására jön létre, ezek eloszlása ​​normálisnak tekinthető. Ebben az esetben annak a feltételnek kell teljesülnie, hogy egyik tényező sem domináns. A centrális határeloszlás tételei ezekben az esetekben indokolják a normális eloszlás használatát.

„A balesetek nem véletlenek”... Úgy hangzik, mintha egy filozófus mondta volna, de valójában a balesetek tanulmányozása a sors nagyszerű tudomány matematika. A matematikában a véletlenekkel a valószínűségszámítás foglalkozik. A cikkben bemutatásra kerülnek a feladatok képletei és példái, valamint e tudomány főbb definíciói.

Mi a valószínűségelmélet?

A valószínűségszámítás a véletlenszerű eseményeket tanulmányozó matematikai tudományok egyike.

Hogy egy kicsit világosabb legyen, adjuk kis példa: Ha feldob egy érmét, az a fejére vagy a farkára szállhat. Amíg az érme a levegőben van, mindkét valószínűség lehetséges. Vagyis a lehetséges következmények valószínűsége 1:1. Ha egy 36 lapból álló pakliból húzol egy lapot, akkor a valószínűség 1:36 lesz. Úgy tűnik, itt nincs mit feltárni és megjósolni, különösen matematikai képletek segítségével. Ha azonban többször megismétel egy bizonyos műveletet, akkor azonosítani tud egy bizonyos mintát, és ennek alapján megjósolhatja az események kimenetelét más körülmények között.

Összefoglalva a fentieket, a klasszikus értelemben vett valószínűségelmélet a lehetséges események valamelyikének számértékben történő előfordulásának lehetőségét vizsgálja.

A történelem lapjairól

A valószínűségelmélet, a képletek és az első feladatok példái a távoli középkorban jelentek meg, amikor először merültek fel kísérletek a kártyajátékok kimenetelének előrejelzésére.

Kezdetben a valószínűségszámításnak semmi köze nem volt a matematikához. Ezt empirikus tények vagy egy esemény gyakorlatban reprodukálható tulajdonságai indokolták. Az első munkák ezen a területen, mint matematikai tudományágon a 17. században jelentek meg. Az alapítók Blaise Pascal és Pierre Fermat voltak. Hosszú idő tanultak szerencsejátékés láttak bizonyos mintákat, amelyekről úgy döntöttek, hogy elmondják a nyilvánosságnak.

Ugyanezt a technikát Christiaan Huygens találta ki, bár nem ismerte Pascal és Fermat kutatásának eredményeit. A tudományág történetében elsőként számon tartott „valószínűségszámítás” fogalmát, képleteket, példákat ő vezette be.

Nem kis jelentőségűek Jacob Bernoulli munkái, Laplace és Poisson tételei sem. Inkább matematikai diszciplínává tették a valószínűségszámítást. A valószínűségszámítás, a képletek és az alapvető feladatok példái Kolmogorov axiómáinak köszönhetően kapták jelenlegi formáját. Minden változás eredményeként a valószínűségszámítás a matematikai ágak közé került.

A valószínűségszámítás alapfogalmai. Események

Ennek a tudományágnak a fő fogalma az „esemény”. Háromféle esemény létezik:

• Megbízható. Akik úgyis megtörténnek (leesik az érme).
• Lehetetlen. Olyan események, amelyek semmilyen körülmények között nem történnek meg (az érme a levegőben lóg).
• Véletlen. Azok, amelyek megtörténnek vagy nem fognak megtörténni. Különféle tényezők befolyásolhatják, amelyeket nagyon nehéz előre megjósolni. Ha érméről beszélünk, akkor vannak véletlenszerű tényezők, amelyek befolyásolhatják az eredményt: az érme fizikai jellemzői, alakja, eredeti helyzete, a dobás ereje stb.

A példákban minden esemény nagybetűvel van jelölve latin betűkkel, kivéve a P-t, amelynek más szerepe van. Például:

• A = „diákok jöttek előadásra”.
• Ā = „a hallgatók nem jöttek el az előadásra.”

A gyakorlati feladatokban az eseményeket általában szavakkal írják le.

Az egyik a legfontosabb jellemzőket események – egyenlő esélyük. Azaz, ha feldob egy érmét, a kezdeti esés minden lehetősége lehetséges, amíg le nem esik. De az események sem egyformán lehetségesek. Ez akkor fordul elő, ha valaki szándékosan befolyásolja az eredményt. Például "felcímkézett" kártyázás vagy kocka, amelyben a súlypont eltolódik.

Az események kompatibilisek és inkompatibilisek is lehetnek. A kompatibilis események nem zárják ki egymás előfordulását. Például:

• A = „a hallgató eljött az előadásra.”
• B = „a hallgató eljött az előadásra.”

Ezek az események függetlenek egymástól, és az egyik bekövetkezése nem befolyásolja a másik bekövetkezését. Az összeférhetetlen eseményeket az határozza meg, hogy az egyik bekövetkezése kizárja a másik bekövetkezését. Ha ugyanarról az érméről beszélünk, akkor a „farok” elvesztése lehetetlenné teszi a „fejek” megjelenését ugyanabban a kísérletben.

Műveletek az eseményeken

Az események ennek megfelelően szorozhatók és összeadhatók, a tudományágban bevezetik az „ÉS” és „VAGY” logikai összefüggéseket.

Az összeget az határozza meg, hogy akár A, akár B, akár kettő történhet egyidejűleg. Ha nem kompatibilisek, utolsó lehetőség lehetetlen, vagy A vagy B dobásra kerül.

Az események szorzása abból áll, hogy A és B egyszerre jelenik meg.

Most több példát is hozhatunk, hogy jobban emlékezzünk az alapokra, a valószínűségszámításra és a képletekre. Példák a probléma megoldására alább.

1. Feladat: A cég háromféle munkára vesz részt egy pályázaton. Lehetséges események, amelyek előfordulhatnak:

• A = „a cég megkapja az első szerződést”.
• A 1 = „a cég nem kapja meg az első szerződést”.
• B = "a cég kap egy második szerződést."
• B 1 = „a cég nem kap második szerződést”
• C = "a cég kap egy harmadik szerződést."
• C 1 = "a cég nem kap harmadik szerződést."

Az eseményekkel kapcsolatos műveletek segítségével megpróbáljuk kifejezni a következő helyzeteket:

• K = "a vállalat megkapja az összes szerződést."

Matematikai formában az egyenletnek a következő alakja lesz: K = ABC.

• M = „a vállalat egyetlen szerződést sem kap.”

M = A 1 B 1 C 1.

Bonyolítsuk a feladatot: H = „egy szerződést kap a cég”. Mivel nem ismert, hogy a cég melyik szerződést kapja (első, második vagy harmadik), ezért a lehetséges események teljes sorozatát rögzíteni kell:

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

Az 1 BC 1 pedig egy olyan eseménysorozat, ahol a cég nem kapja meg az első és a harmadik szerződést, hanem a másodikat. A többi lehetséges eseményt a megfelelő módszerrel rögzítettük. A υ szimbólum a tudományágban az összekötő „VAGY”-ot jelöli. Ha a fenti példát lefordítjuk emberi nyelvre, akkor vagy a harmadik szerződést, vagy a másodikat, vagy az elsőt kapja meg a cég. Hasonló módon Más feltételeket is felírhat a „Valószínűségelmélet” tudományágban. A fent bemutatott képletek és problémamegoldási példák segítenek Önnek ebben.

Valójában a valószínűség

Talán ebben a matematikai diszciplínában egy esemény valószínűsége az központi fogalom. A valószínűségnek három definíciója van:

• klasszikus;
• statisztikai;
• geometriai.

Mindegyiknek megvan a maga helye a valószínűség vizsgálatában. Valószínűségszámítás, képletek és példák (9. osztály) főként klasszikus meghatározás, ami így hangzik:

• Az A helyzet valószínűsége megegyezik az előfordulását kedvező kimenetelek számának az összes lehetséges kimenetelhez viszonyított arányával.

A képlet így néz ki: P(A)=m/n.

A valójában egy esemény. Ha az A-val ellentétes eset jelenik meg, akkor Ā vagy A 1 -ként írható fel.

m a lehetséges kedvező esetek száma.

n - minden esemény, ami megtörténhet.

Például, A = „húzzon egy kártyát a szív színéből”. Egy szabványos pakliban 36 kártya van, ebből 9 szív. Ennek megfelelően a probléma megoldásának képlete a következőképpen néz ki:

P(A)=9/36=0,25.

Ennek eredményeként 0,25 lesz annak a valószínűsége, hogy a pakliból szív színű kártyát húznak.

A felsőbb matematika felé

Ma már kicsit ismertté vált, hogy mi a valószínűségszámítás, képletek és példák a problémák megoldására iskolai tananyag. A valószínűségszámítás azonban megtalálható a felsőbb matematikában is, amelyet az egyetemeken tanítanak. Leggyakrabban az elmélet geometriai és statisztikai definícióival és összetett képletekkel operálnak.

A valószínűségelmélet nagyon érdekes. Képletek és példák ( felsőbb matematika) érdemes kicsiben kezdeni a tanulmányozást - a valószínűség statisztikai (vagy gyakorisági) definíciójával.

A statisztikai megközelítés nem mond ellent a klasszikusnak, hanem kissé kibővíti azt. Ha az első esetben meg kellett határozni, hogy milyen valószínűséggel fog bekövetkezni egy esemény, akkor ennél a módszernél meg kell jelölni, hogy milyen gyakran fordul elő. Itt bevezetik a „relatív frekvencia” új fogalmát, amelyet W n (A)-val jelölhetünk. A képlet nem különbözik a klasszikustól:

Ha klasszikus formula előrejelzésre számított, majd statisztikai - a kísérlet eredményei szerint. Vegyünk például egy kis feladatot.

A technológiai ellenőrzési osztály a termékek minőségét ellenőrzi. 100 termék közül 3-at találtak rossz minőségűnek. Hogyan találjuk meg a minőségi termék gyakorisági valószínűségét?

A = „egy minőségi termék megjelenése”.

Wn(A)=97/100=0,97

Így a minőségi termék gyakorisága 0,97. Honnan vetted a 97-et? 100 ellenőrzött termékből 3 rossz minőségűnek bizonyult. 100-ból kivonunk 3-at, 97-et kapunk, ennyi a minőségi áru mennyisége.

Egy kicsit a kombinatorikáról

A valószínűségszámítás másik módszere a kombinatorika. Alapelve, hogy ha egy bizonyos A választás megtehető m különböző utak, és B választása n féleképpen történik, akkor A és B kiválasztása szorzással történhet.

Például 5 út vezet A városból B városba. B városból C városba 4 út vezet. Hányféleképpen juthatsz el A városból C városba?

Egyszerű: 5x4=20, vagyis húsz különböző módon lehet eljutni A pontból C pontba.

Bonyolítsuk a feladatot. Hányféleképpen lehet kártyákat kirakni pasziánszban? 36 kártya van a pakliban – ez a kiindulópont. A módok számának megismeréséhez egyszerre egy kártyát kell „kivonni” a kiindulási pontból, és meg kell szorozni.

Vagyis 36x35x34x33x32...x2x1= az eredmény nem fér ki a számológép képernyőjére, így egyszerűen 36-nak jelölhető!. Jelölje meg a "!" a szám mellett azt jelzi, hogy a teljes számsort összeszorozták.

A kombinatorikában vannak olyan fogalmak, mint a permutáció, az elhelyezés és a kombináció. Mindegyiknek megvan a maga képlete.

Egy halmaz elemeinek rendezett halmazát elrendezésnek nevezzük. Az elhelyezések ismételhetők, azaz egy elem többször is használható. És ismétlés nélkül, amikor az elemek nem ismétlődnek. n minden elem, m olyan elem, amely részt vesz az elhelyezésben. Az ismétlés nélküli elhelyezés képlete a következőképpen néz ki:

A n m =n!/(n-m)!

n elem olyan kapcsolatait, amelyek csak az elhelyezési sorrendben különböznek egymástól, permutációnak nevezzük. A matematikában így néz ki: P n = n!

Az m n elemének kombinációi azok a vegyületek, amelyekben fontos, hogy milyen elemek voltak és mennyi az összszámuk. A képlet így fog kinézni:

A n m =n!/m!(n-m)!

Bernoulli képlete

A valószínűségszámításban és minden tudományágban vannak olyan kiváló kutatók munkái a szakterületükön, akik elhozták új szint. Az egyik ilyen munka a Bernoulli-képlet, amely lehetővé teszi egy adott esemény független feltételek melletti bekövetkezésének valószínűségének meghatározását. Ez azt sugallja, hogy az A előfordulása egy kísérletben nem függ ugyanazon esemény előfordulásától vagy elmaradásától a korábbi vagy későbbi kísérletekben.

Bernoulli egyenlet:

P n (m) = C n m × p m × q n-m.

Az (A) esemény bekövetkezésének valószínűsége (p) minden próba esetében állandó. Annak valószínűségét, hogy a helyzet pontosan m-szer fordul elő n számú kísérletben, a fent bemutatott képlettel számítjuk ki. Ennek megfelelően felmerül a kérdés, hogyan lehet kideríteni a q számot.

Ha az A esemény p számú alkalommal következik be, ennek megfelelően előfordulhat, hogy nem következik be. Az egység egy szám, amelyet egy tudományágban egy helyzet összes kimenetelének megjelölésére használnak. Ezért q egy olyan szám, amely egy esemény bekövetkezésének lehetőségét jelöli.

Most már ismeri Bernoulli képletét (valószínűségelmélet). Az alábbiakban a problémamegoldásra (első szint) fogunk példákat venni.

2. feladat: Az üzlet látogatója 0,2 valószínűséggel vásárol. 6 látogató önállóan lépett be az üzletbe. Mekkora a valószínűsége annak, hogy a látogató vásárolni fog?

Megoldás: Mivel nem ismert, hogy hány látogatónak kell vásárolnia, egyet vagy mind a hatot, az összeset ki kell számítani lehetséges valószínűségek, Bernoulli képletével.

A = „a látogató vásárolni fog.”

Ebben az esetben: p = 0,2 (a feladatban jelezve). Ennek megfelelően q=1-0,2=0,8.

n = 6 (mivel 6 vásárló van az üzletben). Az m szám 0-tól (egyetlen vásárló sem fog vásárolni) 6-ig (az üzlet minden látogatója vásárol valamit) között változik. Ennek eredményeként megkapjuk a megoldást:

P 6 (0) = C 0 6 × p 0 × q 6 = q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Egyik vásárló sem fog 0,2621 valószínűséggel vásárolni.

Hogyan használják egyébként a Bernoulli-féle képletet (valószínűségelméletet)? Példák problémamegoldásra (második szint) alább.

A fenti példa után kérdések merülnek fel azzal kapcsolatban, hogy hova ment C és r. A p-hez viszonyítva a 0 hatványához tartozó szám egyenlő lesz eggyel. Ami a C-t illeti, az a következő képlettel kereshető:

C n m = n! /m!(n-m)!

Mivel az első példában m = 0, illetve C = 1, ami elvileg nem befolyásolja az eredményt. Használata új képlet, próbáljuk meg kideríteni, mekkora a valószínűsége annak, hogy két látogató árut vásárol.

P 6 (2) = C 6 2 × p 2 × q 4 = (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / ( 2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × ( 0,2 ) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

A valószínűségelmélet nem olyan bonyolult. Ennek közvetlen bizonyítéka a Bernoulli-féle képlet, amelyre fentebb bemutatunk példákat.

Poisson-képlet

A Poisson-egyenletet kis valószínűségű véletlenszerű helyzetek kiszámítására használják.

Alapképlet:

P n (m)=λ m/m! × e (-λ) .

Ebben az esetben λ = n x p. Itt van egy egyszerű Poisson-képlet (valószínűségelmélet). Az alábbiakban a problémamegoldás példáit tekintjük át.

3. feladat: A gyár 100 000 alkatrészt gyártott. Hibás alkatrész előfordulása = 0,0001. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy tételben 5 hibás alkatrész lesz?

Amint látja, a házasság nem elég valószínű esemény, ezért a számításhoz a Poisson-képletet (valószínűségelmélet) használjuk. Az ilyen jellegű feladatok megoldására szolgáló példák nem különböznek a tudományág többi feladatától, a szükséges adatokat behelyettesítjük az adott képletbe:

A = "egy véletlenszerűen kiválasztott alkatrész hibás lesz."

p = 0,0001 (a feladat feltételei szerint).

n = 100000 (alkatrészek száma).

m = 5 (hibás alkatrészek). Behelyettesítjük az adatokat a képletbe, és a következőt kapjuk:

100 000 R (5) = 10 5 / 5! Xe-10 = 0,0375.

Csakúgy, mint a Bernoulli-képlet (valószínűségelmélet), amelyre a megoldás példáit fentebb leírtuk, a Poisson-egyenletnek is van egy ismeretlen e.

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Vannak azonban speciális táblázatok, amelyek szinte az összes e-értéket tartalmazzák.

De Moivre-Laplace tétel

Ha a Bernoulli-sémában a kísérletek száma kellően nagy, és az A esemény bekövetkezésének valószínűsége minden sémában azonos, akkor az A esemény bizonyos számú előfordulásának valószínűsége egy tesztsorozatban meghatározható Laplace képlete:

Рn (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

Hogy jobban emlékezzünk Laplace képletére (valószínűségelmélet), az alábbiakban példákat találunk a problémákra.

Először keressük meg X m-t, cseréljük be az adatokat (ezek mind fent vannak) a képletbe, és kapjunk 0,025-öt. Táblázatok segítségével megtaláljuk a ϕ(0,025) számot, melynek értéke 0,3988. Most behelyettesítheti az összes adatot a képletbe:

P 800 (267) = 1/√ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Így annak a valószínűsége, hogy a szórólap pontosan 267-szer fog működni, 0,03.

Bayes képlet

A Bayes-képlet (valószínűségelmélet), amelynek segítségével az alábbiakban a problémák megoldására mutatunk be példákat, egy egyenlet, amely leírja egy esemény valószínűségét a vele összefüggésbe hozható körülmények alapján. Az alapképlet a következő:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A és B határozott események.

P(A|B) egy feltételes valószínűség, vagyis az A esemény bekövetkezhet, feltéve, hogy B esemény igaz.

P (B|A) - B esemény feltételes valószínűsége.

Tehát a „Valószínűségelmélet” rövid kurzus utolsó része a Bayes-képlet, amelyekkel kapcsolatos problémák megoldására az alábbiakban talál példákat.

5. feladat: Három cég telefonja került a raktárba. Ugyanakkor az első üzemben gyártott telefonok aránya 25%, a másodikban - 60%, a harmadikban - 15%. Az is ismert, hogy az első gyárban a hibás termékek átlagos százaléka 2%, a másodikban 4%, a harmadikban pedig 1%. Meg kell találnia annak valószínűségét, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott telefon hibás lesz.

A = „véletlenszerűen kiválasztott telefon”.

B 1 - az első gyár által gyártott telefon. Ennek megfelelően megjelenik a bevezető B 2 és B 3 (a második és harmadik gyárhoz).

Ennek eredményeként a következőket kapjuk:

P (B 1) = 25%/100% = 0,25; P(B2)=0,6; P (B 3) = 0,15 - így megtaláltuk az egyes opciók valószínűségét.

Most meg kell találnunk feltételes valószínűségek a kívánt esemény, vagyis a hibás termékek valószínűsége a vállalatoknál:

P (A/B 1) = 2%/100% = 0,02;

P(A/B2)=0,04;

P (A/B 3) = 0,01.

Most cseréljük be az adatokat a Bayes-képletbe, és kapjuk:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

A cikk valószínűségszámítást, képleteket és példákat mutat be a problémamegoldásra, de ez csak a jéghegy csúcsa egy hatalmas tudományágban. És minden leírt után logikus lenne feltenni a kérdést, hogy szükség van-e a valószínűségelméletre az életben. Az egyszerű embernek Nehéz válaszolni, jobb, ha megkér valakit, aki többször használta, hogy megnyerje a főnyereményt.

Valószínűség Az esemény egy adott esemény szempontjából kedvező elemi kimenetelek számának aránya azon tapasztalat összes egyformán lehetséges kimenetelének számához, amelyben ez az esemény megjelenhet. Az A esemény valószínűségét P(A) jelöli (itt P az első betű francia szó valószínűség – valószínűség). A meghatározás szerint
(1.2.1)
ahol az A esemény számára kedvező elemi eredmények száma; - a kísérlet valamennyi egyformán lehetséges elemi kimenetelének száma, formálás teljes csoport eseményeket.
Ezt a valószínűség-definíciót klasszikusnak nevezzük. Felmerült kezdeti szakaszban valószínűségelmélet fejlesztése.

Egy esemény valószínűsége a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
1. Egy megbízható esemény valószínűsége eggyel egyenlő. Jelöljünk egy megbízható eseményt betűvel. Egy bizonyos eseményre tehát
(1.2.2)
2. Egy lehetetlen esemény valószínűsége nulla. Egy lehetetlen eseményt jelöljünk betűvel. Lehetetlen eseményre tehát
(1.2.3)
3. Egy véletlenszerű esemény valószínűségét fejezzük ki pozitív szám, egynél kevesebb. Mivel egy véletlen eseményre a , vagy , egyenlőtlenségek teljesülnek, akkor
(1.2.4)
4. Bármely esemény valószínűsége kielégíti az egyenlőtlenségeket
(1.2.5)
Ez az (1.2.2) - (1.2.4) összefüggésekből következik.

1. példa Egy urnában 10 azonos méretű és súlyú golyó található, ebből 4 piros és 6 kék. Egy golyót húznak az urnából. Mennyi a valószínűsége, hogy a kihúzott golyó kék lesz?

Megoldás. A „kihúzott golyó kéknek bizonyult” eseményt A betűvel jelöljük. Ennek a tesztnek 10 egyformán lehetséges elemi végeredménye van, ebből 6 az A eseménynek kedvez. Az (1.2.1) képlet szerint kapjuk

2. példa Minden természetes szám 1-től 30-ig azonos kártyákra van írva, és egy urnába helyezve. A kártyák alapos megkeverése után az egyik kártyát eltávolítjuk az urnából. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a felvett kártyán szereplő szám 5 többszöröse?

Megoldás. Jelöljük A-val azt az eseményt, hogy „a felvett kártyán lévő szám 5 többszöröse”. Ebben a tesztben 30 egyformán lehetséges elemi kimenetel van, amelyek közül az A eseménynek 6 kimenetel (5, 10, 15, 20, 25, 30) kedvez. Ennélfogva,

3. példa Két kockával dobunk fel, és kiszámítjuk a felső lapokon lévő pontok összegét. Határozza meg a B esemény valószínűségét úgy, hogy a kocka felső lapjainak összesen 9 pontja legyen.

Megoldás. Ebben a tesztben csak 6 2 = 36 egyformán lehetséges elemi eredmény van. A B eseménynek 4 kimenetele kedvez: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3)

4. példa. Véletlenszerűen választunk ki egy 10-nél nem nagyobb természetes számot. Mennyi a valószínűsége, hogy ez a szám prím?

Megoldás. Jelöljük C betűvel a „választott szám prím” eseményt. Ebben az esetben n = 10, m = 4 ( prímszámok 2, 3, 5, 7). Ezért a szükséges valószínűség

5. példa Két szimmetrikus érmét dobnak fel. Mennyi annak a valószínűsége, hogy mindkét érme felső oldalán számok vannak?

Megoldás. Jelöljük D betűvel azt az eseményt, hogy „minden érme felső oldalán egy szám van”. Ebben a tesztben 4 egyformán lehetséges elemi eredmény van: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (A (G, C) jelölés azt jelenti, hogy az első érmén címer van, a másodikon szám). A D eseményt egy elemi eredmény (C, C) kedvez. Mivel m = 1, n = 4, akkor

6. példa Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott kétjegyű szám azonos számjegyeket tartalmaz?

Megoldás. Kétjegyű számok számok 10-től 99-ig; Összesen 90 ilyen szám van, 9 azonos számjegyű (ezek a 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99 számok). Mivel ebben az esetben m = 9, n = 90, akkor
,
ahol A az „azonos számjegyű szám” esemény.

7. példa. A szó betűiből differenciális Egy betű véletlenszerűen kerül kiválasztásra. Mennyi a valószínűsége, hogy ez a betű lesz: a) magánhangzó, b) mássalhangzó, c) betű h?

Megoldás. A szókülönbség 12 betűből áll, ebből 5 magánhangzó és 7 mássalhangzó. Levelek h nincs ebben a szóban. Jelöljük az eseményeket: A - "magánhangzó betű", B - "mássalhangzó betű", C - "betű" h". A kedvező elemi eredmények száma: - A eseményre, - B eseményre, - C eseményre. Mivel n = 12, akkor
, És .

8. példa. Két kockát dobunk, és feljegyezzük az egyes kockák tetején lévő pontok számát. Határozza meg annak valószínűségét, hogy mindkét kocka ugyanannyi pontot mutat.

Megoldás. Jelöljük ezt az eseményt A betűvel. Az A eseménynek 6 elemi végeredmény kedvez: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6) ;6). Az egyformán lehetséges elemi kimenetek összessége, amelyek egy teljes eseménycsoportot alkotnak, ebben az esetben n=6 2 =36. Ez azt jelenti, hogy a szükséges valószínűség

9. példa. A könyv 300 oldalas. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen megnyitott oldal lesz sorozatszám, 5 többszöröse?

Megoldás. A feladat feltételeiből az következik, hogy minden egyformán lehetséges elemi eredmény, amely egy teljes eseménycsoportot alkot, n = 300 lesz. Ebből m = 60 a megadott esemény bekövetkezésének kedvez. Valójában egy szám, amely többszöröse 5-nek, alakja 5k, ahol k természetes szám, és ahonnan . Ennélfogva,
, ahol A – az „oldal” esemény sorszáma 5-nek többszöröse.

10. példa. Két kockával dobunk fel, és kiszámítjuk a felső lapokon lévő pontok összegét. Mi a valószínűbb - összesen 7 vagy 8?

Megoldás. Jelöljük az eseményeket: A - „7 pontot dobtak”, B – „8 pontot dobtak”. Az A eseményt 6 elemi eredmény kedvez: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), és a B eseményt. 5 eredménnyel: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Minden egyformán lehetséges elemi eredmény n = 6 2 = 36. Ez azt jelenti És .

Tehát P(A)>P(B), vagyis az összesen 7 pont megszerzése valószínűbb esemény, mint az összesen 8 pont megszerzése.

Feladatok

1. Véletlenszerűen választunk ki egy 30-at meg nem haladó természetes számot. Mennyi annak a valószínűsége, hogy ez a szám többszöröse 3-nak?
2. Az urnában a piros és b kék golyók, méretben és súlyban azonosak. Mennyi annak a valószínűsége, hogy ebből az urnából véletlenszerűen kihúzott labda kék lesz?
3. Véletlenszerűen választunk ki egy 30-at meg nem haladó számot. Mennyi a valószínűsége, hogy ez a szám osztója 30-nak?
4. Az urnában A kék és b piros golyók, méretben és tömegben azonosak. Ebből az urnából kiveszünk egy labdát, és félretesszük. Ez a labda pirosnak bizonyult. Ezt követően egy másik labdát húznak az urnából. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a második golyó is piros.
5. Véletlenszerűen választunk egy nemzeti számot, amely nem haladja meg az 50-et. Mennyi a valószínűsége, hogy ez a szám prím?
6. Három dobókockát dobunk, és kiszámítjuk a felső lapokon lévő pontok összegét. Mi a valószínűbb – összesen 9 vagy 10 pont megszerzése?
7. Három kockát dobunk, és kiszámítjuk a dobott pontok összegét. Mi a valószínűbb - összesen 11 (A esemény) vagy 12 pont (B esemény)?

Válaszok

1. 1/3. 2 . b/(a+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(a+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 - összesen 9 pont megszerzésének valószínűsége; p 2 = 27/216 - összesen 10 pont megszerzésének valószínűsége; p 2 > p 1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

Kérdések

1. Hogyan nevezzük egy esemény valószínűségét?
2. Mennyi a valószínűsége egy megbízható eseménynek?
3. Mennyi a valószínűsége egy lehetetlen eseménynek?
4. Melyek a véletlenszerű esemény valószínűségének határai?
5. Melyek az események valószínűségének határai?
6. A valószínűség melyik definícióját nevezzük klasszikusnak?

A közgazdaságtanban és más területeken is emberi tevékenység vagy a természetben folyamatosan olyan eseményekkel kell szembenéznünk, amelyeket nem lehet pontosan megjósolni. Így egy termék értékesítési volumene függ a kereslettől, amely jelentősen változhat, és számos egyéb tényezőtől, amelyeket szinte lehetetlen figyelembe venni. Ezért a termelés megszervezése és az értékesítés során az ilyen tevékenységek kimenetelét vagy saját korábbi tapasztalatai, vagy mások hasonló tapasztalatai, vagy intuíciója alapján kell megjósolnia, amely nagymértékben szintén kísérleti adatokra támaszkodik.

A szóban forgó esemény valamilyen értékeléséhez figyelembe kell venni vagy speciálisan meg kell szervezni azokat a feltételeket, amelyek között ezt az eseményt rögzítik.

A szóban forgó esemény azonosítására meghatározott feltételek vagy intézkedések végrehajtását nevezzük tapasztalat vagy kísérlet.

Az esemény ún véletlen, ha a tapasztalatok eredményeként előfordulhat vagy nem.

Az esemény ún megbízható, ha az adott élmény hatására szükségszerűen megjelenik, és lehetetlen, ha ez nem jelenhet meg ebben az élményben.

Például a november 30-i havazás Moszkvában véletlenszerű esemény. A napi napkelte megszámolható megbízható esemény. Az egyenlítői hóesés lehetetlen eseménynek tekinthető.

A valószínűségszámítás egyik fő feladata egy esemény bekövetkezésének lehetőségének kvantitatív mértékének meghatározása.

Események algebra

Az eseményeket összeegyeztethetetlennek nevezzük, ha nem figyelhetők meg együtt ugyanabban az élményben. Így két és három autó egyidejű jelenléte egy eladó üzletben két összeférhetetlen esemény.

Összeg események olyan esemény, amely ezen események legalább egyikének bekövetkezéséből áll

Példa az események összegére, ha két termék közül legalább egy van az üzletben.

A munka Az események egy olyan esemény, amely mindezen események egyidejű bekövetkezéséből áll

Egy üzletben egyszerre két áru megjelenéséből álló esemény az események terméke: - egy termék megjelenése, - egy másik termék megjelenése.

Az események akkor alkotnak egy teljes eseménycsoportot, ha legalább az egyik biztosan bekövetkezik a tapasztalatban.

Példa. A kikötőben két kikötőhely található a hajók fogadására. Három eseményt lehet figyelembe venni: - hajók hiánya a kikötőhelyeken, - egy hajó jelenléte az egyik kikötőhelyen, - két hajó jelenléte két kikötőhelyen. Ez a három esemény egy teljes eseménycsoportot alkot.

Szemben két egyedi lehetséges eseményt nevezünk, amelyek egy teljes csoportot alkotnak.

Ha az egyik ellentétes eseményt jelöli, akkor az ellenkező eseményt általában jelöli.

Az esemény valószínűségének klasszikus és statisztikai meghatározásai

A tesztek (kísérletek) egyformán lehetséges eredményét elemi eredménynek nevezzük. Általában betűkkel jelölik őket. Például rohanás dobókocka. Összesen hat elemi eredmény lehet az oldalakon elért pontok száma alapján.

Az elemi eredményekből összetettebb eseményt hozhat létre. Így a páros számú pont eseményét három kimenetel határozza meg: 2, 4, 6.

A szóban forgó esemény bekövetkezésének lehetőségének mennyiségi mérőszáma a valószínűség.

Az esemény valószínűségének legszélesebb körben használt definíciói a következők: klasszikusÉs statisztikai.

A valószínűség klasszikus definíciója a kedvező kimenetel fogalmához kapcsolódik.

Az eredményt ún kedvező adott eseményhez, ha annak bekövetkezése ennek az eseménynek a bekövetkezését vonja maga után.

A fenti példában a kérdéses eseménynek – páros számú pont a görgetett oldalon – három kedvező kimenetele van. Ebben az esetben az általános
lehetséges kimenetelek száma. Ez azt jelenti, hogy itt használható az esemény valószínűségének klasszikus meghatározása.

Klasszikus meghatározás egyenlő a kedvező kimenetelek számának a lehetséges kimenetelek számához viszonyított arányával

hol van az esemény valószínűsége, az esemény szempontjából kedvező kimenetelek száma, teljes szám lehetséges eredményeket.

A vizsgált példában

A valószínűség statisztikai definíciója a kísérletekben egy esemény relatív előfordulási gyakoriságának fogalmához kapcsolódik.

Egy esemény előfordulásának relatív gyakoriságát a képlet segítségével számítjuk ki

ahol egy esemény előfordulásának száma egy kísérletsorozatban (tesztben).

Statisztikai definíció. Az esemény valószínűsége az a szám, amely körül a relatív gyakoriság stabilizálódik (halmaz) a kísérletek számának korlátlan növekedésével.

BAN BEN gyakorlati problémák egy esemény valószínűségét a relatív gyakoriságnak tekintjük kellően nagy számú kísérlet mellett.

Az esemény valószínűségének ezen definícióiból világos, hogy az egyenlőtlenség mindig teljesül

Egy esemény valószínűségének (1.1) képlet alapján történő meghatározásához gyakran alkalmaznak kombinatorikai képleteket, amelyek segítségével meg lehet találni a kedvező kimenetelek számát és a lehetséges kimenetelek számát.