Nagy a valószínűsége annak, hogy az első. A valószínűség klasszikus és statisztikai meghatározása

Nyilvánvaló, hogy minden eseménynek különböző fokú előfordulásának (megvalósításának) a lehetősége. Ahhoz, hogy az eseményeket lehetőségük mértéke szerint kvantitatívan össze lehessen hasonlítani egymással, nyilvánvalóan minden eseményhez egy bizonyos számot kell társítani, amely minél nagyobb, annál valószínűbb az esemény. Ezt a számot egy esemény valószínűségének nevezzük.

Az esemény valószínűsége– ennek az eseménynek a bekövetkezésének objektív lehetőségének fokmérője.

Vegyünk egy sztochasztikus kísérletet és egy véletlenszerű A eseményt, amelyet ebben a kísérletben figyeltek meg. Ismételjük meg ezt a kísérletet n-szer, és legyen m(A) azoknak a kísérleteknek a száma, amelyekben A esemény bekövetkezett.

Reláció (1.1)

hívott relatív gyakoriság események A az elvégzett kísérletsorozatban.

Könnyen ellenőrizhető a tulajdonságok érvényessége:

ha A és B inkonzisztens (AB= ), akkor ν(A+B) = ν(A) + ν(B) (1.2)

A relatív gyakoriságot csak kísérletsorozat után határozzák meg, és általában sorozatonként változhat. A tapasztalat azonban azt mutatja, hogy sok esetben a kísérletek számának növekedésével a relatív gyakoriság megközelít egy bizonyos számot. A relatív gyakoriság stabilitásának ezt a tényét többször igazolták, és kísérletileg megállapítottnak tekinthető.

1.19. példa.. Ha eldob egy érmét, senki sem tudja megjósolni, hogy melyik oldalon fog a tetejére kerülni. De ha két tonna érmét dobál, akkor mindenki azt mondja, hogy körülbelül egy tonna esik fel a címerrel, vagyis a címer kiesésének relatív gyakorisága körülbelül 0,5.

Ha a kísérletek számának növekedésével a ν(A) esemény relatív gyakorisága egy bizonyos fix számra hajlik, akkor azt mondjuk, hogy Az A esemény statisztikailag stabil, és ezt a számot az A esemény valószínűségének nevezzük.

Az esemény valószínűsége A valamilyen fix P(A) számot hívunk, amelyre ennek az eseménynek a relatív ν(A) gyakorisága a kísérletek számának növekedésével hajlik, azaz

Ezt a meghatározást hívják a valószínűség statisztikai meghatározása .

Tekintsünk egy bizonyos sztochasztikus kísérletet, és legyen elemi eseményeinek tere véges vagy végtelen (de megszámlálható) elemi események ω 1, ω 2, …, ω i, … halmazából. Tegyük fel, hogy minden ω i elemi eseményhez hozzá van rendelve egy bizonyos - р i szám, amely egy adott elemi esemény bekövetkezésének valószínűségét jellemzi, és kielégíti a következő tulajdonságokat:

Ezt a számot p i-nek hívják elemi esemény valószínűségeωi.

Legyen most A egy véletlenszerű esemény, amelyet ebben a kísérletben figyeltünk meg, és feleljen meg egy bizonyos halmaznak

Ebben a beállításban egy esemény valószínűsége A nevezzük az A-t előnyben részesítő elemi események valószínűségeinek összegét(a megfelelő A készletben található):

(1.4)

Az így bevezetett valószínűség ugyanazokkal a tulajdonságokkal rendelkezik, mint a relatív gyakoriság, nevezetesen:

És ha AB = (A és B nem kompatibilisek),

akkor P(A+B) = P(A) + P(B)

Valóban, az (1.4) szerint

Az utolsó összefüggésben kihasználtuk azt a tényt, hogy egyetlen elemi esemény sem kedvezhet egyszerre két egymással össze nem egyeztethető eseménynek.

Külön megjegyezzük, hogy a valószínűségelmélet nem jelöl meg módszereket a p i meghatározására, ezeket gyakorlati okokból kell keresni, vagy megfelelő statisztikai kísérletből kell beszerezni.

Példaként fontolja meg klasszikus séma Valószínűségi elmélet. Ehhez vegyünk egy sztochasztikus kísérletet, melynek elemi eseményeinek tere véges (n) számú elemből áll. Tegyük fel továbbá, hogy mindezek az elemi események egyformán lehetségesek, azaz az elemi események valószínűsége egyenlő p(ω i)=p i =p. Ebből következik, hogy

1.20. példa. Szimmetrikus érme dobásakor egyformán lehetséges fej és farok szerzése, ezek valószínűsége 0,5.

Példa 1.21. Szimmetrikus kockadobásnál minden lap egyformán lehetséges, valószínűségük 1/6.

Most az A eseményt részesítse előnyben m elemi esemény, ezeket szokták nevezni Az A eseménynek kedvező kimenetele. Akkor

Kapott klasszikus meghatározás valószínűségek: az A esemény P(A) valószínűsége egyenlő az A eseménynek kedvező kimenetelek számának az összes kimenetelhez viszonyított arányával

Példa 1.22. Az urnában m fehér és n fekete golyó található. Mennyi a valószínűsége annak, hogy fehér golyót rajzolunk?

Megoldás. Az elemi események száma összesen m+n. Mindegyik egyformán valószínű. Kedvező esemény A ebből m. Ennélfogva, .

A valószínűség definíciójából a következő tulajdonságok következnek:

1. tulajdonság. Valószínűség megbízható esemény egyenlő eggyel.

Valójában, ha az esemény megbízható, akkor a teszt minden elemi eredménye az eseménynek kedvez. Ebben az esetben t=p, ennélfogva,

P(A)=m/n=n/n=1.(1.6)

2. tulajdonság. Egy lehetetlen esemény valószínűsége nulla.

Valójában, ha egy esemény lehetetlen, akkor a teszt egyik elemi eredménye sem kedvez az eseménynek. Ebben az esetben T= 0, tehát P(A)=m/n=0/n=0. (1.7)

3. tulajdonság.Van egy véletlenszerű esemény valószínűsége pozitív szám, nulla és egy közé zárva.

Valójában a teszt elemi eredményeinek csak egy részét részesíti előnyben egy véletlenszerű esemény. Azaz 0≤m≤n, ami 0≤m/n≤1-et jelent, tehát bármely esemény valószínűsége kielégíti a 0≤ kettős egyenlőtlenséget. P(A) ≤1. (1.8)

A valószínűség (1.5) és a relatív gyakoriság (1.1) definícióit összevetve arra a következtetésre jutunk: a valószínűség meghatározása nem igényel vizsgálatot valójában; a relatív gyakoriság meghatározása azt feltételezi teszteket valóban elvégezték. Más szavakkal, a valószínűséget a kísérlet előtt, a relatív gyakoriságot pedig a kísérlet után számítjuk ki.

A valószínűség kiszámításához azonban előzetes információkra van szükség az adott eseményre kedvező elemi eredmények számáról vagy valószínűségéről. Ilyen előzetes információk hiányában empirikus adatokkal határozzák meg a valószínűséget, vagyis egy sztochasztikus kísérlet eredményei alapján határozzák meg az esemény relatív gyakoriságát.

1.23. példa. Műszaki ellenőrzési osztály felfedezték 3 nem szabványos alkatrészek 80 véletlenszerűen kiválasztott alkatrészből álló kötegben. A nem szabványos alkatrészek előfordulásának relatív gyakorisága r(A)= 3/80.

1.24. példa. A célnak megfelelően.előállított 24 lövés, és 19 találatot rögzítettek. Relatív cél találati arány. r(A)=19/24.

A hosszú távú megfigyelések azt mutatták, hogy ha a kísérleteket azonos körülmények között végezzük, és mindegyikben kellően nagy a vizsgálatok száma, akkor a relatív gyakoriság a stabilitás tulajdonságát mutatja. Ez az ingatlan hogy a különböző kísérletekben a relatív gyakoriság keveset változik (minél kevesebbet, annál több vizsgálatot végeznek), egy bizonyos állandó szám körül ingadozik. Kiderült, hogy ez az állandó szám felvehető a valószínűség közelítő értékének.

A relatív gyakoriság és a valószínűség közötti kapcsolatot az alábbiakban részletesebben és pontosabban ismertetjük. Most példákkal illusztráljuk a stabilitás tulajdonságát.

1.25. példa. A svéd statisztika szerint a lányok születési relatív gyakoriságát 1935-ben havi bontásban a következő számok jellemzik (a számok hónapos sorrendben vannak, kezdve Január): 0,486; 0,489; 0,490; 0.471; 0,478; 0,482; 0.462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473

A relatív gyakoriság a 0,481 szám körül ingadozik, ami a lányok születési valószínűségének hozzávetőleges értékének tekinthető.

Vegye figyelembe, hogy a különböző országok statisztikai adatai megközelítőleg azonos relatív gyakorisági értéket adnak.

1.26. példa. Sokszor végeztek érmefeldobási kísérleteket, amelyek során a „címer” megjelenési számát számolták. Számos kísérlet eredményeit a táblázat tartalmazza.

Szóval, beszéljünk egy olyan témáról, ami sok embert érdekel. Ebben a cikkben arra a kérdésre fogok válaszolni, hogy hogyan kell kiszámítani egy esemény valószínűségét. Adok egy képletet egy ilyen számításhoz, és néhány példát, hogy világosabb legyen, hogyan kell ezt megtenni.

Mi a valószínűség

Kezdjük azzal, hogy annak a valószínűsége, hogy ez vagy az az esemény megtörténik- bizonyos mértékű bizalom valamilyen eredmény esetleges bekövetkezésében. Ehhez a számításhoz egy képletet dolgoztak ki teljes valószínűséggel, amely lehetővé teszi annak meghatározását, hogy az Önt érdeklő esemény bekövetkezik-e vagy sem, az ún feltételes valószínűségek. Ez a képlet így néz ki: P = n/m, a betűk változhatnak, de ez magát a lényeget nem érinti.

Példák a valószínűségre

Egy egyszerű példa segítségével elemezzük ezt a képletet és alkalmazzuk. Tegyük fel, hogy van egy bizonyos eseményed (P), legyen az egy kockadobás, azaz egy egyenlő oldalú kocka. És ki kell számolnunk, hogy mekkora a valószínűsége annak, hogy 2 pontot kapunk rá. Ehhez szükség van a pozitív események számára (n), esetünkben - 2 pont elvesztésére teljes szám események (m). 2 pontos dobás csak egy esetben fordulhat elő, ha 2 pont van a kockán, mert különben az összeg nagyobb lesz, ebből az következik, hogy n = 1. Ezután megszámoljuk a többi szám dobásának számát a kockán. kocka, 1 kockánként - ezek 1, 2, 3, 4, 5 és 6, tehát 6 kedvező eset van, azaz m = 6. Most a képlet segítségével egyszerű számítást végzünk P = 1/ 6, és azt találjuk, hogy a 2 pont dobása a kockán 1/6, vagyis az esemény valószínűsége nagyon kicsi.

Nézzünk egy példát színes golyók használatára is, amelyek egy dobozban vannak: 50 fehér, 40 fekete és 30 zöld. Meg kell határoznia, hogy mekkora a valószínűsége annak, hogy zöld golyót rajzol. És így, mivel 30 ilyen színű golyó van, azaz csak 30 pozitív esemény lehet (n = 30), az összes esemény száma 120, m = 120 (az összes golyó teljes száma alapján), a képlet segítségével kiszámítjuk, hogy a zöld golyó húzásának valószínűsége egyenlő lesz P = 30/120 = 0,25, azaz 100 25%-a. Ugyanígy kiszámítható egy golyó húzásának valószínűsége különböző színű (fekete lesz 33%, fehér 42%).

Egy esemény valószínűsége. Az életgyakorlatban a véletlenszerű eseményekre vagy jelenségekre a következő kifejezéseket használják: lehetetlen, valószínűtlen, egyformán valószínű, megbízható és egyebek, amelyek megmutatják, mennyire biztosak vagyunk ennek az eseménynek a bekövetkezésében. Amikor azt mondjuk, hogy egy véletlenszerű esemény nem valószínű, akkor azt értjük, hogy amikor ugyanazok a feltételek többször ismétlődnek, akkor ez az esemény sokkal ritkábban fordul elő, mint amennyire nem. Éppen ellenkezőleg, nagyon valószínű esemény gyakrabban előfordul, mint nem. Ha bizonyos feltételek mellett két különböző véletlenszerű esemény egyformán gyakran fordul elő, akkor azokat egyformán valószínűnek tekintjük. Ha biztosak vagyunk abban, hogy bármilyen körülmények között ez az esemény biztos megtörténik, akkor azt mondjuk, hogy biztos. Ha éppen ellenkezőleg, biztosak vagyunk abban, hogy egy esemény bizonyos feltételek mellett nem következik be, akkor azt mondjuk, hogy ez az esemény lehetetlen.

Azonban azzal, hogy így meghatározzuk egy véletlen esemény bekövetkezésének lehetőségét, nem vezethetünk be szigorú statisztikai törvényeket, mivel ez gyakran összefügg a szubjektív értékelés ennek az eseménynek a határát az ismereteink elégtelensége.

A szigorú statisztikai törvények bevezetéséhez a valószínűség szigorú matematikai meghatározása is szükséges, mint egy véletlen esemény objektív lehetőségének mértéke.

Ahhoz, hogy a valószínűség matematikai definícióját adhassuk, meg kell vizsgálnunk néhány egyszerű példát a tömegesemények előfordulására. Az ilyen események legegyszerűbb példájának általában az érme egyik vagy másik oldalának elvesztését tekintik dobáskor, vagy valamilyen szám elvesztését kockadobáskor. Itt külön eseménynek tekintjük egyik vagy másik arc (szám) elvesztését.

A gyakorlatból ismert, hogy nem lehet előre jelezni, hogy egy kockadobás (egyetlen esemény) során pontosan mekkora szám (hány pont) fog megjelenni. Ezért egy bizonyos számú pont megszerzése véletlenszerű esemény lesz.

Ha azonban egy sor hasonló eseményt figyelembe vesszük - többszöri dobás egy kockával, akkor mindkét oldal kiesik nagy szám A véletlenszerű események ismét tömegesek lesznek. Bizonyos törvények vonatkoznak rájuk.

A gyakorlatból ismert, hogy kockadobáskor ugyanazt a számot például kétszer egymás után, háromszor egymás után - már valószínűtlen, négyszer egymás után - még kevésbé valószínű, és pl. egymás után tízszer – szinte lehetetlen.

Továbbá, ha csak hat dobás a kockával, akkor egyes számok kétszer jelenhetnek meg, mások pedig egyet sem. Itt nehéz észrevenni bármilyen mintát egy bizonyos szám megjelenésében. Ha azonban a dobások számát 60-ra növelik, akkor kiderül, hogy mindegyik szám körülbelül tízszer fog megjelenni. Itt kialakul egy bizonyos minta. A kockadobás véletlenszerűsége miatt (a kezdeti helyzete, sebessége, repülési útvonala) azonban a különböző számok száma a különböző kísérletsorozatokban eltérő lesz. Ennek oka a kísérletek elégtelen száma.

Ha a dobások számát hatezerre növeljük, akkor kiderül, hogy az összes dobás körülbelül egyhatoda minden szám megjelenéséhez vezet. És minél nagyobb a dobások száma, annál közelebb lesz egy adott szám dobásának száma

Egy adott szám előfordulásai számának aránya a kockával többszöri dobáskor teljes szám dobásnak nevezzük egy adott esemény ismétlődésének gyakoriságát egy homogén kísérletsorozat során. A tesztek teljes számának növekedésével az ismétlési gyakoriság egy bizonyos, egy adott kísérletsorozat által meghatározott állandó határértékre hajlik.

Ezt a határt egy adott esemény valószínűségének nevezzük. Az ismétlési gyakoriság korlátozásának tendenciája azonban csak a tesztek számának korlátlan növekedése esetén figyelhető meg.

Általánosságban elmondható, hogy ha valamilyen esemény a kísérletek teljes számából Hz-szeresen következik be, akkor matematikailag a valószínűséget úgy definiáljuk, mint a kedvező események számának az összes (valamely homogén kísérletcsoport) eseményszámhoz viszonyított arányának határát. feltéve, hogy ebben a csoportban a kísérletek száma a végtelenségig terjed. Más szavakkal, esetünkben egy esemény valószínűségét a következőképpen írjuk le:

A fizikában véletlenszerű érték gyakran idővel változik. Ekkor például a rendszer egy bizonyos állapotának valószínűsége meghatározható a képlettel

hol van az az idő, ameddig a rendszer ebben az állapotban marad, a teljes megfigyelési idő.

Ebből következik, hogy valamilyen esemény valószínűségének kísérleti meghatározásához ha nem is végtelen, de igen nagy számú tesztet kell végezni, meg kell találni a kedvező események számát, és ezek aránya alapján meg kell találni. ennek az eseménynek a valószínűsége.

Sok gyakorlati esetben pontosan ez történik a valószínűség meghatározására. Ebben az esetben a valószínűség

minél pontosabban kerül meghatározásra a nagyobb számban teszteket kell végrehajtani, vagy minél hosszabb ideig veszik figyelembe az eseményeket.

Sok esetben azonban egy adott esemény (különösen a fizikai) valószínűsége tesztek elvégzése nélkül is kideríthető. Ez az úgynevezett előzetes valószínűség. Természetesen kísérletileg is ellenőrizhető.

A következőképpen érvelünk, hogy megtaláljuk a kockadobás esetén. Mert a dobókocka homogén és rohan különféle módokon, akkor a hat arc mindegyike azonos valószínűséggel fog megjelenni (egyik arc sem lesz előnyben a többiekkel szemben). Ezért, mivel csak hat arc van, azt mondhatjuk, hogy annak valószínűsége, hogy valamelyiket megkapjuk, egyenlő . Ebben az esetben a valószínűség meghatározásához egyáltalán nem végezhet teszteket, hanem általános megfontolások alapján keresheti meg a valószínűséget.

Elosztási funkció. A megadott példákban a valószínűségi változó csak néhányat vehet fel (egy nagyon specifikus számot) különböző jelentések. Eseménynek neveztünk, amikor egy valószínűségi változó felvette ezen értékek valamelyikét, és ezekhez az eseményekhez egy bizonyos valószínűséget rendelt.

De az ilyen mennyiségek mellett (kockadobás, érmék stb.) vannak véletlenszerű mennyiségek, amelyek számtalan különböző, végtelenül közeli értéket vehetnek fel (folyamatos spektrum). Ezt a következő jellemző jellemzi: a valószínűség külön rendezvény, ami abból áll, hogy a valószínűségi változó valamilyen szigorúan meghatározott értéket vesz fel, egyenlő nullával. Ezért van értelme csak arról beszélni, hogy egy valószínűségi változó egy bizonyos értéktartományban elhelyezkedő értékeket vesz fel.

Az intervallumban egy érték megtalálásának valószínűségét a következőképpen jelöljük: Ha egy végtelenül kicsi értékintervallumra lépünk, akkor a valószínűség már akkor is fennáll, és az ikonok jelzik, hogy a valószínűségi változó értéket vehet fel az intervallumokban vagy, azaz től ig vagy

Megértem, hogy mindenki előre tudni akarja, hogyan végződik a sportesemény, ki nyer és ki veszít. Ezen információk birtokában fogadásokat köthet sportesemények. De egyáltalán lehetséges-e, és ha igen, hogyan lehet kiszámítani egy esemény valószínűségét?

A valószínűség relatív érték, ezért nem beszélhet biztosan egyetlen eseményről sem. Ezt az értéket lehetővé teszi, hogy elemezze és értékelje egy adott versenyen való fogadás szükségességét. A valószínűségek meghatározása egy egész tudomány, amely alapos tanulmányozást és megértést igényel.

Valószínűségi együttható a valószínűségszámításban

A sportfogadásban több lehetőség is van a verseny kimenetelére:

• első csapatgyőzelem;
• a második csapat győzelme;
• húz;
• teljes

A verseny minden kimenetelének megvan a maga valószínűsége és gyakorisága, amellyel ez az esemény bekövetkezik, feltéve, hogy a kezdeti jellemzők megmaradnak. Mint korábban említettük, lehetetlen pontosan kiszámítani bármely esemény valószínűségét - lehet, hogy egybeesik, de lehet, hogy nem. Így a fogadás nyerhet vagy veszíthet.

A verseny eredményét nem lehet 100%-osan pontosan megjósolni, mivel sok tényező befolyásolja a mérkőzés kimenetelét. A fogadóirodák természetesen nem tudják előre a mérkőzés kimenetelét, és csak feltételezik az eredményt, az elemző rendszerük segítségével hoznak döntéseket, és bizonyos fogadási szorzókat kínálnak.

Hogyan lehet kiszámítani egy esemény valószínűségét?

Tegyük fel, hogy a fogadóirodák szorzója 2,1/2 – 50%-ot kapunk. Kiderül, hogy az együttható 2 egyenlő a valószínűséggel 50%. Ugyanezt az elvet alkalmazva egy megtérülési valószínűségi együtthatót kaphat - 1/valószínűség.

Sok játékos úgy gondolja, hogy többszöri vereség után biztosan megtörténik a győzelem – ez téves vélemény. A fogadás megnyerésének valószínűsége nem függ a veszteségek számától. Még akkor is, ha egy érmejátékban egymás után több fejet is megfordít, a farok megfordításának valószínűsége változatlan marad - 50%.

A valószínűségszámítás a matematika meglehetősen kiterjedt független ága. Az iskolai kurzusban a valószínűségszámítást nagyon felületesen tárgyalják, de az egységes államvizsgán és államvizsgán problémák vannak ez a téma. A problémák megoldása azonban iskolai tanfolyam nem olyan nehéz (legalábbis ami az aritmetikai műveleteket illeti) - nem kell deriváltokat számolni, integrálokat venni és komplexet megoldani trigonometrikus transzformációk- a lényeg, hogy tudd kezelni prímszámokés törtek.

Valószínűségszámítás – alapfogalmak

A valószínűségszámítás fő fogalmai a teszt, az eredmény és a véletlen esemény. A valószínűségszámításban egy teszt egy kísérlet – érme feldobás, kártyahúzás, sorsolás – ezek mind tesztek. A teszt eredményét, ahogy azt sejthette, eredménynek nevezik.

Mi az a véletlenszerű esemény? A valószínűségelméletben azt feltételezik, hogy a tesztet többször is elvégezték, és sok kimenetel van. A véletlenszerű esemény egy próba kimenetelének halmaza. Például, ha feldob egy érmét, két véletlenszerű esemény történhet – fej vagy farok.

Ne keverje össze az eredmény és a véletlen esemény fogalmát. Az eredmény egy próba egyik eredménye. A véletlenszerű esemény a lehetséges kimenetelek összessége. Egyébként van olyan kifejezés, hogy lehetetlen esemény. Például a „8-as szám dobása” egy szabványos kockán lehetetlen.

Hogyan találjuk meg a valószínűséget?

Mindannyian nagyjából értjük, mi a valószínűség, és gyakran használjuk adott szót a szókincsedben. Ezen kívül még következtetéseket is levonhatunk egy adott esemény valószínűségére vonatkozóan, például ha az ablakon kívül esik a hó, akkor nagy valószínűséggel azt mondhatjuk, hogy nem nyár van. De hogyan fejezhetjük ki ezt a feltételezést számszerűen?

A valószínűség megállapítására szolgáló képlet bevezetése érdekében bevezetünk még egy fogalmat - a kedvező eredményt, vagyis azt az eredményt, amely egy adott esemény számára kedvező. A definíció természetesen meglehetősen kétértelmű, de a probléma körülményei szerint mindig egyértelmű, hogy melyik kimenetel a kedvező.

Például: 25 ember van az osztályban, ebből hárman Katya. A tanár Olyát szolgálatra bízza, és partnerre van szüksége. Mennyi a valószínűsége, hogy Katya lesz a partnered?

BAN BEN ebben a példában kedvező eredmény - partner Katya. Ezt a problémát egy kicsit később megoldjuk. Először azonban egy további definíciót használva bevezetünk egy képletet a valószínűség meghatározásához.

• P = A/N, ahol P a valószínűség, A a kedvező kimenetelek száma, N az eredmények összessége.

Minden iskolai probléma ezen az egyetlen képlet körül forog, és a fő nehézség általában az eredmények megtalálásában rejlik. Néha könnyű megtalálni, néha nem annyira.

Hogyan lehet megoldani a valószínűségi problémákat?

1. probléma

Tehát most oldjuk meg a fenti problémát.

A kedvező eredmények száma (a tanár választja Kátyát) három, mert három Katya van az osztályban, és az összesített eredmény 24 (25-1, mert Olya már kiválasztott). Ekkor a valószínűség: P = 3/24=1/8=0,125. Így annak a valószínűsége, hogy Olya partnere Katya lesz, 12,5%. Nem nehéz, igaz? Nézzünk valami bonyolultabbat.

2. probléma

Az érmét kétszer dobták fel, mekkora a valószínűsége annak, hogy egy fejet és egy farkot kap?

Tehát nézzük az általános eredményeket. Hogyan szállhatnak le az érmék - fej/fej, farok/farok, fej/farok, farok/fej? Ez azt jelenti, hogy az összes kimenetel száma 4. Hány kedvező kimenetel? Kettő – fej/farok és farok/fej. Így a fej/farok kombináció kialakulásának valószínűsége a következő:

• P = 2/4 = 0,5 vagy 50 százalék.

Most nézzük ezt a problémát. Masha zsebében 6 érme van: kettő 5 rubel névértékű és négy 10 rubel névértékű. Masha 3 érmét tett át egy másik zsebbe. Mekkora a valószínűsége annak, hogy az 5 rubeles érmék különböző zsebekbe kerülnek?

Az egyszerűség kedvéért jelöljük meg az érméket számokkal - 1,2 - ötrubeles érmék, 3,4,5,6 - tízrubeles érmék. Szóval, hogyan lehetnek érmék a zsebedben? Összesen 20 kombináció létezik:

• 123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256, 345, 346, 356, 456.

Első pillantásra úgy tűnhet, hogy néhány kombináció hiányzik, például a 231, de esetünkben a 123, 231 és 321 kombinációk egyenértékűek.

Most számoljuk meg, hány kedvező kimenetelünk van. Számukra azokat a kombinációkat vesszük, amelyek vagy az 1-es vagy a 2-es számot tartalmazzák: 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256. Ebből 12 van a valószínűség egyenlő:

• P = 12/20 = 0,6 vagy 60%.

Az itt bemutatott valószínűségi problémák meglehetősen egyszerűek, de ne gondoljuk, hogy a valószínűség a matematika egyszerű ága. Ha úgy dönt, hogy egyetemen folytatja tanulmányait (kivéve humanitárius különlegességek), biztosan lesz párja felsőbb matematika, ahol ennek az elméletnek a bonyolultabb kifejezéseivel ismerkedsz meg, és az ottani feladatok sokkal nehezebbek lesznek.