Az esemény valószínűségének kiszámításának szabálya. Valószínűségelméleti képletek és példák a problémamegoldásra

Egy profi fogadónak gyorsan és helyesen kell jól ismernie az esélyeket Egy esemény valószínűségét együtthatóval becsüljük megés ha kell, képes legyen az esélyek konvertálása egyik formátumból a másikba. Ebben a kézikönyvben beszélünk arról, hogy milyen típusú együtthatók léteznek, és példákat is használunk annak bemutatására, hogyan lehet Számítsa ki a valószínűséget egy ismert együttható segítségévelés fordítva.

Milyen típusú esélyek léteznek?

A fogadóirodák három fő szorzótípust kínálnak a játékosoknak: tizedes szorzók, tört esélyek(angol) és Amerikai esélyek . Európában a leggyakoribb tizedesjegy. BAN BEN Észak Amerika Az amerikai odds népszerű. A töredékes esélyek a legtöbbek hagyományos megjelenés, azonnal tükrözik az információt arról, hogy mennyit kell fogadnia egy bizonyos összeg megszerzéséhez.

Tizedes szorzók

Decimális vagy úgy is hívják Európai esélyekáltal képviselt ismert számformátum decimális századig, sőt néha ezredig is. A decimális páratlan példája az 1,91. A profit kiszámítása tizedes szorzók esetén nagyon egyszerű, csak meg kell szoroznia a tét összegét ezzel a szorzóval. Például a „Manchester United” - „Arsenal” mérkőzésen a „Manchester United” győzelmét 2,05-ös együtthatóval határozzák meg, a döntetlent 3,9-es együtthatóval, az „Arsenal” győzelmét pedig 2.95. Tegyük fel, hogy bízunk benne, hogy a United nyer, és 1000 dollárt fogadunk rájuk. Ekkor a lehetséges bevételünket a következőképpen számítjuk ki:

2.05 * $1000 = $2050;

Tényleg nem olyan bonyolult, ugye?! A lehetséges bevételt ugyanúgy számítják ki, amikor döntetlenre vagy az Arsenal győzelmére fogadnak.

Húz: 3.9 * $1000 = $3900;
Arsenal győzelem: 2.95 * $1000 = $2950;

Hogyan lehet kiszámítani egy esemény valószínűségét decimális szorzókkal?

Most képzeljük el, hogy meg kell határoznunk egy esemény valószínűségét a fogadóirodák által beállított tizedes szorzók alapján. Ez is nagyon egyszerűen történik. Ehhez elosztunk egyet ezzel az együtthatóval.

Vegyük a meglévő adatokat, és számítsuk ki az egyes események valószínűségét:

Manchester United győzelem: 1 / 2.05 = 0,487 = 48,7%;
Húz: 1 / 3.9 = 0,256 = 25,6%;
Arsenal győzelem: 1 / 2.95 = 0,338 = 33,8%;

Tört esély (angol)

Ahogy a név is sugallja törtegyüttható bemutatott közönséges tört. Az angol oddsra példa az 5/2. A tört számlálója egy számot tartalmaz, amely a nettó nyeremény potenciális összege, a nevező pedig azt az összeget jelöli, amelyet meg kell tenni a nyeremény megszerzéséhez. Egyszerűen fogalmazva, 2 dollárt kell fogadnunk, hogy 5 dollárt nyerjünk. A 3/2-es szorzó azt jelenti, hogy ahhoz, hogy 3 dollár nettó nyereményhez jussunk, 2 dollárt kell fogadnunk.

Hogyan lehet kiszámítani egy esemény valószínűségét tört esélyekkel?

Szintén nem nehéz kiszámítani egy esemény valószínűségét tört esélyekkel, csak el kell osztani a nevezőt a számláló és a nevező összegével.

Az 5/2 törtre kiszámítjuk a valószínűséget: 2 / (5+2) = 2 / 7 = 0,28 = 28%;
A 3/2 törtre kiszámítjuk a valószínűséget:

Amerikai esélyek

Amerikai esélyek Európában, de Észak-Amerikában nagyon népszerűtlen. Talán ez a fajta együttható a legösszetettebb, de ez csak első pillantásra. Valójában az ilyen típusú együtthatókban nincs semmi bonyolult. Most nézzük meg az egészet sorban.

Az amerikai odds fő jellemzője, hogy bármelyik lehet pozitív, így negatív. Példa az amerikai esélyekre - (+150), (-120). Az amerikai odds (+150) azt jelenti, hogy 150 dollár kereséséhez 100 dollárt kell fogadnunk. Más szóval, egy pozitív amerikai együttható a potenciális nettó bevételt tükrözi 100 dolláros fogadás mellett. A negatív amerikai odds azt az összeget tükrözi, amelyet meg kell tenni a 100 dolláros nettó nyeremény megszerzéséhez. Például az együttható (-120) azt mondja nekünk, hogy ha 120 dollárt fogadunk, 100 dollárt nyerünk.

Hogyan lehet kiszámítani egy esemény valószínűségét amerikai odds segítségével?

Egy esemény valószínűségét az amerikai együttható használatával a következő képletekkel számítjuk ki:

((M)) / (((M)) + 100), ahol M egy negatív amerikai együttható;
100/(P+100), ahol P egy pozitív amerikai együttható;

Például van egy együttható (-120), akkor a valószínűséget a következőképpen számítjuk ki:

((M)) / (((M)) + 100); cserélje ki a (-120) értéket az „M”-re;
(-(-120)) / ((-(-120)) + 100 = 120 / (120 + 100) = 120 / 220 = 0,545 = 54,5%;

Így egy amerikai oddsú (-120) esemény valószínűsége 54,5%.

Például van egy együtthatónk (+150), akkor a valószínűséget a következőképpen számítjuk ki:

100/(P+100); cserélje ki a (+150) értéket a „P”-re;
100 / (150 + 100) = 100 / 250 = 0,4 = 40%;

Így az amerikai oddsú (+150) esemény valószínűsége 40%.

A valószínűség százalékos értékének ismeretében hogyan konvertálható át decimális együtthatóvá?

A tizedesegyüttható kiszámításához a valószínűség ismert százaléka alapján, el kell osztania a 100-at az esemény százalékos valószínűségével. Például egy esemény valószínűsége 55%, akkor ennek a valószínűségnek a decimális együtthatója 1,81 lesz.

100 / 55% = 1,81

Hogyan lehet a valószínűség százalékos értékének ismeretében átváltani tört együtthatóvá?

A törtegyüttható kiszámításához a valószínűség ismert százaléka alapján, ki kell vonni egyet abból, hogy 100-at el kell osztani egy esemény valószínűségével százalékban. Például, ha a valószínűségi százalékunk 40%, akkor ennek a valószínűségnek a tört együtthatója 3/2 lesz.

(100 / 40%) - 1 = 2,5 - 1 = 1,5;
A tört együttható 1,5/1 vagy 3/2.

Hogyan lehet a valószínűség százalékos értékének ismeretében átváltani amerikai együtthatóvá?

Ha egy esemény valószínűsége több mint 50%, akkor a számítás a következő képlettel történik:

- ((V) / (100 - V)) * 100, ahol V a valószínűség;

Például, ha egy esemény valószínűsége 80%, akkor ennek a valószínűségnek az amerikai együtthatója (-400) lesz.

- (80 / (100 - 80)) * 100 = - (80 / 20) * 100 = - 4 * 100 = (-400);

Ha egy esemény valószínűsége kisebb, mint 50%, akkor a számítás a következő képlettel történik:

((100 - V) / V) * 100, ahol V a valószínűség;

Például, ha egy esemény százalékos valószínűsége 20%, akkor ennek a valószínűségnek az amerikai együtthatója (+400) lesz.

((100 - 20) / 20) * 100 = (80 / 20) * 100 = 4 * 100 = 400;

Hogyan lehet az együtthatót másik formátumba konvertálni?

Vannak esetek, amikor az esélyeket egyik formátumból a másikba kell konvertálni. Például 3/2-es tört esélyünk van, és át kell alakítanunk decimálisra. A tört esély tizedes oddssá alakításához először meghatározzuk egy esemény valószínűségét tört oddssal, majd ezt a valószínűséget tizedes oddssá alakítjuk.

A 3/2-es tört esélyű esemény valószínűsége 40%.

2 / (3+2) = 2 / 5 = 0,4 = 40%;

Ehhez alakítsuk át egy esemény valószínűségét decimális együtthatóvá, és osszuk el a 100-at az esemény valószínűségével százalékban:

100 / 40% = 2.5;

Így a 3/2 tört esélye egyenlő decimális együttható 2.5. Hasonló módon például az amerikai oddsokat törtre, tizedesjegyet amerikaira stb. A legnehezebb ebben az egészben csak a számítások.

Valószínűség Az esemény az adott esemény szempontjából kedvező elemi kimenetelek számának és az élmény minden egyformán lehetséges kimenetelének aránya, amelyben ez az esemény megjelenhet. Az A esemény valószínűségét P(A) jelöli (itt P az első betű francia szó valószínűség – valószínűség). A meghatározás szerint
(1.2.1)
ahol az A esemény számára kedvező elemi eredmények száma; - a kísérlet valamennyi egyformán lehetséges elemi kimenetelének száma, formálás teljes csoport eseményeket.
Ezt a valószínűség-definíciót klasszikusnak nevezzük. Felmerült kezdeti szakaszban valószínűségelmélet fejlesztése.

Egy esemény valószínűsége a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
1. Valószínűség megbízható esemény egyenlő eggyel. Jelöljünk egy megbízható eseményt betűvel. Egy bizonyos eseményre tehát
(1.2.2)
2. Egy lehetetlen esemény valószínűsége nulla. Jelöljük nem lehetséges esemény levél . Lehetetlen eseményre tehát
(1.2.3)
3. Egy véletlenszerű esemény valószínűségét fejezzük ki pozitív szám, egynél kevesebb. Mivel egy véletlen eseményre a , vagy , egyenlőtlenségek teljesülnek, akkor
(1.2.4)
4. Bármely esemény valószínűsége kielégíti az egyenlőtlenségeket
(1.2.5)
Ez az (1.2.2) - (1.2.4) összefüggésekből következik.

1. példa Egy urnában 10 azonos méretű és súlyú golyó található, ebből 4 piros és 6 kék. Egy golyót húznak az urnából. Mennyi a valószínűsége, hogy a kihúzott golyó kék lesz?

Megoldás. A „kihúzott golyó kéknek bizonyult” eseményt A betűvel jelöljük. Ennek a tesztnek 10 egyformán lehetséges elemi végeredménye van, ebből 6 az A eseménynek kedvez. Az (1.2.1) képlet szerint kapjuk

2. példa Minden természetes szám 1-től 30-ig azonos kártyákra van írva, és egy urnába helyezve. A kártyák alapos megkeverése után az egyik kártyát eltávolítjuk az urnából. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a felvett kártyán szereplő szám 5 többszöröse?

Megoldás. Jelöljük A-val azt az eseményt, hogy „a felvett kártyán lévő szám 5 többszöröse”. Ebben a tesztben 30 egyformán lehetséges elemi kimenetel van, amelyek közül az A eseménynek 6 kimenetel (5, 10, 15, 20, 25, 30) kedvez. Ennélfogva,

3. példa Két kockával dobunk fel, és kiszámítjuk a felső lapokon lévő pontok összegét. Határozza meg a B esemény valószínűségét úgy, hogy a kocka felső lapjainak összesen 9 pontja legyen.

Megoldás. Ebben a tesztben csak 6 2 = 36 egyformán lehetséges elemi eredmény van. A B eseménynek 4 kimenetele kedvez: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3)

4. példa. Véletlenszerűen kiválasztott természetes szám, nem haladja meg a 10-et. Mennyi a valószínűsége, hogy ez a szám prím?

Megoldás. Jelöljük C betűvel a „választott szám prím” eseményt. BAN BEN ebben az esetben n = 10, m = 4 ( prímszámok 2, 3, 5, 7). Ezért a szükséges valószínűség

5. példa. Két szimmetrikus érmét dobnak fel. Mennyi annak a valószínűsége, hogy mindkét érme felső oldalán számok vannak?

Megoldás. Jelöljük D betűvel azt az eseményt, hogy „minden érme felső oldalán egy szám van”. Ebben a tesztben 4 egyformán lehetséges elemi eredmény van: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (A (G, C) jelölés azt jelenti, hogy az első érmén címer van, a másodikon pedig szám). A D eseményt egy elemi eredmény (C, C) kedvez. Mivel m = 1, n = 4, akkor

6. példa. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott kétjegyű szám azonos számjegyeket tartalmaz?

Megoldás. Kétjegyű számok számok 10-től 99-ig; Összesen 90 ilyen szám van, amelyek egyforma számjegyűek (ezek a 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99 számok). Mivel ebben az esetben m = 9, n = 90, akkor
,
ahol A az „azonos számjegyű szám” esemény.

7. példa. A szó betűiből differenciális Egy betű véletlenszerűen kerül kiválasztásra. Mennyi a valószínűsége, hogy ez a betű lesz: a) magánhangzó, b) mássalhangzó, c) betű h?

Megoldás. A szókülönbség 12 betűből áll, ebből 5 magánhangzó és 7 mássalhangzó. Levelek h nincs ebben a szóban. Jelöljük az eseményeket: A - "magánhangzó betű", B - "mássalhangzó betű", C - "betű" h". A kedvező elemi eredmények száma: - A eseményre, - B eseményre, - C eseményre. Mivel n = 12, akkor
, És .

8. példa. Két kockát dobunk, és feljegyezzük az egyes kockák tetején lévő pontok számát. Határozza meg annak valószínűségét, hogy mindkét kocka bekerül ugyanaz a szám pontokat.

Megoldás. Jelöljük ezt az eseményt A betűvel. Az A eseménynek 6 elemi végeredmény kedvez: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6) ;6). Az egyformán lehetséges elemi kimenetek összessége, amelyek egy teljes eseménycsoportot alkotnak, ebben az esetben n=6 2 =36. Ez azt jelenti, hogy a szükséges valószínűség

9. példa. A könyv 300 oldalas. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen megnyílt oldalon 5-tel osztható sorszám lesz?

Megoldás. A feladat feltételeiből az következik, hogy minden egyformán lehetséges elemi eredmény, amely egy teljes eseménycsoportot alkot, n = 300 lesz. Ebből m = 60 a megadott esemény bekövetkezésének kedvez. Valójában egy szám, amely többszöröse 5-nek, alakja 5k, ahol k természetes szám, és ahonnan . Ennélfogva,
, ahol A – az „oldal” esemény sorszáma 5-nek többszöröse.

10. példa. Két kockával dobunk fel, és kiszámítjuk a felső lapokon lévő pontok összegét. Mi a valószínűbb - összesen 7 vagy 8?

Megoldás. Jelöljük az eseményeket: A - „7 pontot dobtak”, B – „8 pontot dobtak”. Az A eseményt 6 elemi eredmény kedvez: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), és a B eseményt. 5 eredménnyel: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Minden egyformán lehetséges elemi eredmény n = 6 2 = 36. Ez azt jelenti És .

Tehát P(A)>P(B), vagyis az összesen 7 pont megszerzése valószínűbb esemény, mint az összesen 8 pont megszerzése.

Feladatok

1. Véletlenszerűen választunk ki egy 30-nál nem nagyobb természetes számot. Mennyi a valószínűsége, hogy ez a szám többszöröse 3-nak?
2. Az urnában a piros és b kék golyók, méretben és súlyban azonosak. Mennyi annak a valószínűsége, hogy ebből az urnából véletlenszerűen kihúzott labda kék lesz?
3. Véletlenszerűen választunk ki egy 30-at meg nem haladó számot. Mennyi a valószínűsége, hogy ez a szám osztója 30-nak?
4. Az urnában A kék és b piros golyók, méretben és tömegben azonosak. Ebből az urnából kiveszünk egy labdát, és félretesszük. Ez a labda pirosnak bizonyult. Ezt követően egy másik labdát húznak az urnából. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a második golyó is piros.
5. Véletlenszerűen választunk egy nemzeti számot, amely nem haladja meg az 50-et. Mennyi a valószínűsége, hogy ez a szám prím?
6. Három kockát dobunk, és kiszámítjuk a felső lapokon lévő pontok összegét. Mi a valószínűbb – összesen 9 vagy 10 pont megszerzése?
7. Három kockát dobunk, és kiszámítjuk a dobott pontok összegét. Mi a valószínűbb - összesen 11 (A esemény) vagy 12 pont (B esemény)?

Válaszok

1. 1/3. 2 . b/(a+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(a+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 - összesen 9 pont megszerzésének valószínűsége; p 2 = 27/216 - összesen 10 pont megszerzésének valószínűsége; p 2 > p 1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

Kérdések

1. Hogyan nevezzük egy esemény valószínűségét?
2. Mennyi a valószínűsége egy megbízható eseménynek?
3. Mennyi a valószínűsége egy lehetetlen eseménynek?
4. Melyek a véletlenszerű esemény valószínűségének határai?
5. Milyen határai vannak bármely esemény valószínűségének?
6. A valószínűség melyik definícióját nevezzük klasszikusnak?

Ez azon megfigyelések számának aránya, amelyekben a kérdéses esemény bekövetkezett, az összes megfigyelés számához viszonyítva. Ez az értelmezés kellően nagy számú megfigyelés vagy kísérlet esetén elfogadható. Például, ha az utcán találkozott emberek körülbelül fele nő, akkor elmondhatja, hogy annak a valószínűsége, hogy az utcán találkozott személy nő lesz, 1/2. Más szóval, egy esemény valószínűségének becslése lehet az előfordulásának gyakorisága egy véletlenszerű kísérlet független ismétlődéseinek hosszú sorozatában.

Valószínűség a matematikában

A modern matematikai megközelítésben a klasszikus (vagyis nem kvantum) valószínűséget a Kolmogorov-axiomatika adja meg. A valószínűség egy mérték P, amely a készleten van meghatározva x, az úgynevezett valószínűségi tér. Ennek az intézkedésnek a következő tulajdonságokkal kell rendelkeznie:

Ezekből a feltételekből az következik, hogy a valószínűségi mérték P is megvan az ingatlan additívitás: ha beállítja A 1 és A 2 nem metszik egymást, akkor . A bizonyításhoz mindent meg kell tenni A 3 , A 4 , ... egyenlő az üres halmazzal, és alkalmazzuk a megszámlálható additivitás tulajdonságát.

Előfordulhat, hogy a valószínűségi mérték nem definiálható a halmaz összes részhalmazához x. Elég egy szigma algebrán definiálni, amely a halmaz néhány részhalmazából áll x. Ebben az esetben a véletlenszerű eseményeket a tér mérhető részhalmazaiként definiáljuk x, azaz a szigma algebra elemeiként.

Valószínűségérzékelés

Amikor azt tapasztaljuk, hogy valamely lehetséges tény tényleges előfordulásának okai felülmúlják az ellenkező okokat, akkor ezt a tényt figyelembe vesszük valószínű, másképp - hihetetlen. A pozitív bázisok túlsúlya a negatívakkal szemben, és fordítva, meghatározatlan fokhalmazt jelenthet, aminek eredményeként valószínűség(És lehetetlenség) Megtörténik több vagy Kevésbé .

A bonyolult egyedi tények nem teszik lehetővé pontos számítás valószínűségi foka, de még itt is fontos néhány nagy felosztást megállapítani. Így például a jogi téren, amikor egy per tárgyát képező személyes tényt tanúvallomás alapján állapítanak meg, az szigorúan véve mindig csak valószínűsíthető, és tudni kell, hogy ennek a valószínűségnek mekkora jelentősége van; a római jogban itt négyszeres felosztást fogadtak el: probatio plena(ahol a valószínűség gyakorlatilag átalakul megbízhatóság), Tovább - probatio minus plena, akkor - probatio semiplena majorés végül probatio semiplena minor .

Az eset valószínűségének kérdése mellett felmerülhet a kérdés, mind a jog, mind az erkölcsi téren (bizonyos etikai szempontból), hogy mennyire valószínű, hogy egy adott tény egy az általános törvény megsértése. Ez a kérdés, amely a Talmud vallási joggyakorlatának fő motívumaként szolgált, a római katolikus morálteológiát is megszületett (főleg késő XVI századok) nagyon összetett szisztematikus konstrukciók és hatalmas irodalom, dogmatikus és polemikus (lásd a valószínűségszámítást).

A valószínűség fogalma megenged egy bizonyos numerikus kifejezést, ha csak olyan tényekre alkalmazzuk, amelyek bizonyos részei homogén sorozat. Tehát (a legegyszerűbb példában), amikor valaki százszor egymás után dob egy érmét, itt egy általános vagy nagy sorozatot találunk (az érme összes esésének összege), amely két privát vagy kisebb, jelen esetben számszerűen egyenlő, sorozat (esik "fejek" és esik "farok"); Annak a valószínűsége, hogy ezúttal az érme fejeket fog hozni, vagyis az általános sorozatnak ez az új tagja a két kisebb sorozat közül ebbe fog tartozni, megegyezik a kis sorozat és a nagyobb sorozat közötti numerikus kapcsolatot kifejező törtrészével, nevezetesen 1/2, azaz két adott sorozat közül az egyikhez vagy a másikhoz ugyanaz a valószínűség tartozik. Kevesebb egyszerű példák a következtetés közvetlenül nem vezethető le magából a probléma adataiból, hanem előzetes indukciót igényel. Így például az a kérdés: mekkora a valószínűsége annak, hogy egy adott újszülött 80 évig él? Itt kell lennie egy általános vagy nagy sorozatnak ismert szám hasonló körülmények között született és meghalt emberek különböző korokban(ennek a számnak elég nagynak kell lennie ahhoz, hogy kiküszöbölje a véletlenszerű eltéréseket, és elég kicsinek kell lennie ahhoz, hogy fenntartsa a sorozat homogenitását, mert egy olyan ember számára, aki például Szentpéterváron, egy gazdag kultúrcsaládban született, a teljes milliós lakosság város, melynek jelentős része áll különféle csoportok akik idő előtt meghalhatnak - katonák, újságírók, veszélyes szakmákban dolgozók - túl heterogén csoportot képviselnek a valószínűség valódi meghatározásához); álljon ez az általános sor tízezerből emberi életeket; kisebb sorozatokat tartalmaz, amelyek egy adott életkort túlélők számát reprezentálják; e kisebb sorozatok egyike a 80. életévüket betöltő emberek számát mutatja. De lehetetlen meghatározni ennek a kisebb sorozatnak a számát (mint az összes többi) eleve; ez pusztán induktív módon, statisztikákon keresztül történik. Tegyük fel, hogy a statisztikai tanulmányok megállapították, hogy a 10 000 középosztálybeli szentpétervári lakosból csak 45 él 80 évig; így ez a kisebb sorozat 45 és 10 000 között kapcsolódik a nagyobbhoz, és a valószínűsége ennek a személynek ebbe a kisebb sorozatba tartozni, vagyis 80 évig élni, a 0,0045 törttel fejezzük ki. A valószínűség matematikai szempontból történő vizsgálata egy speciális tudományágat - a valószínűségszámítást - alkot.

Lásd még

Megjegyzések

Irodalom

• Rényi Alfréd. Levelek a valószínűségről / ford. magyarból D. Saas és A. Crumley, szerk. B. V. Gnedenko. M.: Mir. 1970
• Gnedenko B.V. Valószínűségszámítás tanfolyam. M., 2007. 42 p.
• Kuptsov V.I. Determinizmus és valószínűség. M., 1976. 256 p.

Wikimédia Alapítvány. 2010.

Antonímák:

Nézze meg, mi a „valószínűség” más szótárakban:

Általános tudományos és filozófiai. a tömeges véletlenszerű események fix megfigyelési feltételek melletti előfordulásának lehetőségének mennyiségi fokát jelző kategória, amely a relatív gyakoriságuk stabilitását jellemzi. Logikában, szemantikai fokon...... Filozófiai Enciklopédia

VALÓSZÍNŰSÉG, egy szám a nullától az egyig terjedő tartományban, amely az előfordulás lehetőségét jelenti ennek az eseménynek. Egy esemény valószínűségét úgy definiáljuk, mint egy esemény bekövetkezésének valószínűségének arányát a lehetséges... ... Tudományos és műszaki enciklopédikus szótár

Minden valószínűség szerint.. Orosz szinonimák és hasonló kifejezések szótára. alatt. szerk. N. Abramova, M.: Orosz szótárak, 1999. valószínűségi lehetőség, valószínűség, véletlen, objektív lehetőség, maza, elfogadhatóság, kockázat. Hangya. lehetetlenség...... Szinonima szótár

valószínűség- Egy esemény valószínű bekövetkezésének mértéke. Megjegyzés A valószínűség matematikai meghatározása a következő: „0 és 1 közötti valós szám, amely egy véletlen eseményhez kapcsolódik”. A szám tükrözheti a megfigyelések sorozatának relatív gyakoriságát... ... Műszaki fordítói útmutató

Valószínűség- „Bármely esemény bekövetkezésének valószínűségének mértékének matematikai, numerikus jellemzője bizonyos meghatározott körülmények között, amely korlátlan számú alkalommal megismételhető.” E klasszikus alapján...... Gazdasági-matematikai szótár

- (valószínűség) Egy esemény vagy egy bizonyos eredmény bekövetkezésének lehetősége. Megadható skála formájában, 0-tól 1-ig oszlik. Ha egy esemény valószínűsége nulla, akkor annak bekövetkezése lehetetlen. 1-gyel egyenlő valószínűséggel a... Üzleti kifejezések szótára

A mai napig behozva nyitott tégely Egységes államvizsga-feladatok matematikában (mathege.ru), amelyek megoldása egyetlen képletre épül, amely klasszikus meghatározás valószínűségek.

A képlet megértésének legegyszerűbb módja a példák segítségével.
1. példa 9 piros és 3 kék labda van a kosárban. A golyók csak színben különböznek egymástól. Az egyiket véletlenszerűen kivesszük (anélkül, hogy megnéznénk). Mennyi a valószínűsége, hogy az így kiválasztott labda kék lesz?

Egy komment. Valószínűségi problémák esetén történik valami (jelen esetben a labdahúzás akciónk), aminek lehet eltérő eredmény- eredmény. Meg kell jegyezni, hogy az eredményt többféleképpen lehet tekinteni. „Kihúztunk valami labdát” is eredmény. „Kihúztuk a kék labdát” - az eredmény. „Pontosan ezt a labdát húztuk ki az összes lehetséges golyóból” – ezt a legkevésbé általánosított eredményszemléletet nevezik elemi eredménynek. A valószínűségszámítási képletben az elemi eredményeket értjük.

Megoldás. Most számoljuk ki a kék golyó kiválasztásának valószínűségét.
A esemény: „a kiválasztott labda kék lett”
Az összes lehetséges végeredmény száma összesen: 9+3=12 (az összes golyó száma, amit húzhatunk)
Az A eseményre kedvező kimenetelek száma: 3 (azoknak a kimeneteleknek a száma, amelyekben az A esemény bekövetkezett – vagyis a kék golyók száma)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Válasz: 0,25

Ugyanerre a feladatra számoljuk ki a piros golyó kiválasztásának valószínűségét.
A lehetséges kimenetelek száma változatlan marad, 12. Kedvező kimenetelek száma: 9. Keresett valószínűség: 9/12=3/4=0,75

Bármely esemény valószínűsége mindig 0 és 1 között van.
Néha be mindennapi beszéd(de nem a valószínűségszámításban!) az események valószínűségét százalékban becsüljük meg. A matematikai és a társalgási pontszámok közötti átmenet 100%-kal való szorzással (vagy osztással) valósul meg.
Így,
Ráadásul a valószínűsége nulla olyan események esetében, amelyek nem történhetnek meg – hihetetlen. Például a mi példánkban ez a valószínűsége annak, hogy zöld labdát húzunk a kosárból. (A kedvező kimenetelek száma 0, P(A)=0/12=0, ha a képlettel számoljuk)
Az 1. valószínűségnek vannak olyan eseményei, amelyek teljes mértékben biztosan bekövetkeznek, opciók nélkül. Például annak a valószínűsége, hogy „a kiválasztott labda piros vagy kék lesz” a mi feladatunk. (A kedvező eredmények száma: 12, P(A)=12/12=1)

Megnéztünk egy klasszikus példát, amely szemlélteti a valószínűség definícióját. Mindegyik hasonló Egységes államvizsga-feladatok A valószínűségszámítás szerint ezek a képlet segítségével oldhatók meg.
A piros és kék golyók helyén lehetnek alma és körte, fiúk és lányok, tanult és nem tanult jegyek, adott témában kérdést tartalmazó és nem tartalmazó jegyek (prototípusok,), hibás és jó minőségű táskák vagy kerti szivattyúk ( prototípusok,) - az elv ugyanaz marad.

Kissé eltérnek az egységes államvizsga valószínűségelméleti problémájának megfogalmazásában, ahol ki kell számítani annak valószínűségét, hogy valamilyen esemény bekövetkezik egy adott napon. ( , ) Az előző feladatokhoz hasonlóan itt is meg kell határozni, hogy mi az elemi eredmény, majd alkalmazni kell ugyanazt a képletet.

2. példa A konferencia három napig tart. Az első és a második napon 15 előadó van, a harmadik napon - 20. Mennyi annak a valószínűsége, hogy M. professzor beszámolója a harmadik napra esik, ha sorshúzással határozzák meg a beszámolók sorrendjét?

Mi itt az elemi eredmény? – Egy professzori jelentés hozzárendelése az összes lehetséges közül sorozatszámok előadásra. A sorsoláson 15+15+20=50 fő vesz részt. Így M. professzor jelentése az 50 szám egyikét kaphatja meg. Ez azt jelenti, hogy csak 50 elemi eredmény létezik.
Mik a kedvező eredmények? - Azok, amelyekben kiderül, hogy a professzor harmadnap beszél. Vagyis az utolsó 20 szám.
A képlet szerint valószínűség P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Válasz: 0.4

A sorsolás itt az emberek és a rendezett helyek közötti véletlenszerű levelezés létrejöttét jelenti. A 2. példában a levelezés létesítését abból a szempontból vették figyelembe, hogy a helyek közül melyiket lehet elfoglalni különleges személy. Ugyanezt a helyzetet a másik oldalról is meg lehet közelíteni: az emberek közül ki milyen valószínűséggel juthat el egy adott helyre (prototípusok , , , ):

3. példa A sorsoláson 5 német, 8 francia és 3 észt vesz részt. Mennyi annak a valószínűsége, hogy az első (/második/hetedik/utolsó – mindegy) francia lesz.

Az elemi eredmények száma – az összes száma lehetséges emberek, akik sorshúzással eljuthattak erre a helyre. 5+8+3=16 fő.
Kedvező eredmények - francia. 8 fő.
Szükséges valószínűség: 8/16=1/2=0,5
Válasz: 0,5

A prototípus kicsit más. Továbbra is vannak problémák az érmékkel () és dobókocka(), valamivel kreatívabb. Ezekre a problémákra a megoldás a prototípus oldalakon található.

Íme néhány példa az érme vagy kocka feldobására.

4. példa Amikor feldobunk egy érmét, mekkora a valószínűsége annak, hogy fejre szállunk?
2 kimenetel van – fej vagy farok. (Úgy tartják, hogy az érme soha nem esik a szélére) Kedvező eredmény a farok, 1.
Valószínűség 1/2=0,5
Válasz: 0,5.

5. példa. Mi van, ha kétszer feldobunk egy érmét? Mekkora a valószínűsége annak, hogy mindkét alkalommal előkerül?
A lényeg az, hogy meghatározzuk, milyen alapvető eredményeket veszünk figyelembe két érme feldobásakor. Két érme feldobása után a következő eredmények egyike következhet be:
1) PP – mindkét alkalommal fejjel jött
2) PO – első alkalommal fejek, másodszor fejek
3) OP – első alkalommal fej, másodszor farok
4) OO – mindkét alkalommal fejek jöttek fel
Nincs más lehetőség. Ez azt jelenti, hogy 4 elemi eredmény van, csak az első, az 1 a kedvező.
Valószínűség: 1/4=0,25
Válasz: 0,25

Mekkora a valószínűsége annak, hogy két érmefeldobás eredménye a farok?
Az elemi kimenetek száma megegyezik, 4. Kedvező eredmény a második és a harmadik, 2.
Egy farok megszerzésének valószínűsége: 2/4=0,5

Ilyen problémák esetén egy másik képlet hasznos lehet.
Ha egy pénzfeldobás során lehetséges opciók 2 eredményünk van, akkor két dobásnál 2 2 = 2 2 = 4 lesz az eredmény (mint az 5. példában), három dobásnál 2 2 2 = 2 3 = 8, négynél: 2 2 2 2 =2 4 = 16, ... N dobásra a lehetséges eredmény 2·2·...·2=2 N .

Tehát megtalálhatja annak a valószínűségét, hogy 5 érmefeldobásból 5 fejet kap.
Összes elemi eredmények: 2 5 =32.
Kedvező eredmények: 1. (RRRRRR – mind az 5-ször fejel)
Valószínűség: 1/32=0,03125

Ugyanez igaz a kockákra is. Egy dobással 6 eredmény lehetséges tehát két dobásnál: 6 6 = 36, háromnál 6 6 6 = 216 stb.

6. példa. Dobjuk a kockát. Mennyi annak a valószínűsége, hogy páros számot dobnak?

Összes végeredmény: 6, az oldalak számától függően.
Kedvező: 3 eredmény. (2, 4, 6)
Valószínűség: 3/6=0,5

7. példa. Két kockát dobunk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy összesen 10 lesz? (kerekítve a legközelebbi századra)

Egy kocka esetén 6 kimenetel lehetséges. Ez azt jelenti, hogy kettőre a fenti szabály szerint 6·6=36.
Milyen eredmények lesznek kedvezőek a 10-es dobáshoz?
A 10-et két szám összegére kell bontani 1-től 6-ig. Ezt kétféleképpen lehet megtenni: 10=6+4 és 10=5+5. Ez azt jelenti, hogy a következő opciók lehetségesek a kockákhoz:
(6 az elsőn és 4 a másodikon)
(4 az elsőn és 6 a másodikon)
(5 az elsőn és 5 a másodikon)
Összesen, 3 lehetőség. Szükséges valószínűség: 3/36=1/12=0,08
Válasz: 0,08

A B6-problémák más típusairól egy jövőbeli Hogyan lehet megoldani cikkben lesz szó.

valószínűség- egy 0 és 1 közötti szám, amely egy véletlen esemény bekövetkezésének esélyét tükrözi, ahol 0 a 0 teljes hiánya az esemény bekövetkezésének valószínűsége, az 1 pedig azt jelenti, hogy a kérdéses esemény biztosan bekövetkezik.

Az E esemény valószínűsége egy szám 1-ig.
Az egymást kizáró események valószínűségeinek összege 1.

empirikus valószínűség- valószínűség, amely egy múltbeli esemény relatív gyakoriságaként kerül kiszámításra, a történeti adatok elemzéséből kivonva.

A nagyon ritka események valószínűsége nem számítható empirikusan.

szubjektív valószínűség- személyesen alapuló valószínűség szubjektív értékelés események a történelmi adatokra való tekintet nélkül. A részvények vételére és eladására vonatkozó döntéseket hozó befektetők gyakran a szubjektív valószínűség megfontolások alapján cselekszenek.

előzetes valószínűség -

Az esély 1 in... (esély), hogy egy esemény bekövetkezik a valószínűség fogalmán keresztül. Egy esemény bekövetkezésének esélyét a valószínűségen keresztül fejezzük ki a következőképpen: P/(1-P).

Például, ha egy esemény valószínűsége 0,5, akkor az esemény valószínűsége 1 a 2-ből, mert 0,5/(1-0,5).

Annak esélyét, hogy egy esemény nem következik be, az (1-P)/P képlet segítségével számítjuk ki

Inkonzisztens valószínűség- például az A cég részvényeinek ára 85%-ban veszi figyelembe az esetleges E eseményt, a B társaság részvényeinek árfolyama pedig csak 50%-ban. Ezt inkonzisztens valószínűségnek nevezzük. A holland fogadási tétel szerint az inkonzisztens valószínűség profitlehetőségeket teremt.

Feltétel nélküli valószínűség a válasz arra a kérdésre, hogy "Mekkora a valószínűsége annak, hogy az esemény bekövetkezik?"

Feltételes valószínűség - ez a válasz arra a kérdésre: "Mekkora az A esemény valószínűsége, ha B esemény bekövetkezik." A feltételes valószínűség jelölése P(A|B).

Együttes valószínűség- annak a valószínűsége, hogy az A és B események egyidejűleg következnek be. Jelölése: P(AB).

P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)

P(AB) = P(A|B)*P(B)

A valószínűségek összegzésének szabálya:

Annak a valószínűsége, hogy az A vagy a B esemény bekövetkezik:

P (A vagy B) = P(A) + P(B) - P(AB) (2)

Ha A és B események kölcsönösen kizárják egymást, akkor

P (A vagy B) = P(A) + P(B)

Független események - A és B események függetlenek, ha

P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B)

Vagyis ez egy olyan eredménysor, ahol a valószínűségi érték állandó az egyik eseményről a másikra.
Az érmefeldobás egy példa egy ilyen eseményre - minden további feldobás eredménye nem függ az előző eredményétől.

Függő események- ezek olyan események, ahol az egyik bekövetkezésének valószínűsége egy másik bekövetkezésének valószínűségétől függ.

A független események valószínűségének szorzásának szabálya:
Ha A és B események függetlenek, akkor

P(AB) = P(A) * P(B) (3)

Teljes valószínűségi szabály:

P(A) = P(AS) + P(AS") = P(A|S")P(S) + P (A|S")P(S") (4)

S és S" egymást kizáró események

várható érték a valószínűségi változó a lehetséges kimenetelek átlaga valószínűségi változó. X eseménynél a várakozást E(X)-ként jelöljük.

Tegyük fel, hogy van 5 értéke bizonyos valószínűséggel egymást kizáró eseményeknek (például egy cég bevétele ekkora valószínűséggel ekkora és ekkora összeget tett ki). A várható érték az összes eredmény összege szorozva a valószínűséggel:

Egy valószínűségi változó diszperziója a valószínűségi változó elvárásától való négyzetes eltérésének várható értéke:

s 2 = E( 2 ) (6)

A feltételes várható érték egy X valószínűségi változó várható értéke, feltéve, hogy az S esemény már megtörtént.