Pravdepodobnosť výskytu spoľahlivej udalosti je rovnaká. Vzorce na výpočet pravdepodobnosti udalostí

Chcete vedieť čo matematické šance na úspech vašej stávky? Potom sú tu pre vás dve dobré správy. Po prvé: na výpočet schopnosti prechádzať cez krajinu nemusíte vykonávať zložité výpočty a tráviť veľa času. Stačí použiť jednoduché vzorce, s ktorými práca zaberie pár minút. Po druhé: po prečítaní tohto článku si môžete ľahko vypočítať pravdepodobnosť, že niektorá z vašich transakcií prejde.

Aby ste správne určili schopnosť prejsť cez krajinu, musíte urobiť tri kroky:

• Vypočítajte percento pravdepodobnosti výsledku udalosti podľa kancelárie stávkovej kancelárie;
• Vypočítajte pravdepodobnosť pomocou štatistických údajov sami;
• Zistite hodnotu stávky s prihliadnutím na obe pravdepodobnosti.

Pozrime sa podrobne na každý z krokov pomocou nielen vzorcov, ale aj príkladov.

Rýchly skok

Výpočet pravdepodobnosti zahrnutej do kurzov bookmakera

Prvým krokom je zistiť, s akou pravdepodobnosťou sám bookmaker odhaduje šance na konkrétny výsledok. Je jasné, že stávkové kancelárie nestanovujú kurzy len tak. Na tento účel použijeme nasledujúci vzorec:

PB=(1/K)*100 %,

kde P B je pravdepodobnosť výsledku podľa kancelárie stávkovej kancelárie;

K – kurz stávkovej kancelárie na výsledok.

Povedzme, že kurz na víťazstvo londýnskeho Arsenalu v zápase proti Bayernu Mníchov je 4. To znamená, že pravdepodobnosť jeho víťazstva je stávkovou kanceláriou hodnotená ako (1/4)*100%=25%. Alebo hrá Djokovič proti Južnému. Násobiteľ víťazstva Novaka je 1,2, jeho šance sú (1/1,2)*100%=83%.

Takto vyhodnocuje samotná stávková kancelária šance na úspech každého hráča a tímu. Po dokončení prvého kroku prejdeme k druhému.

Výpočet pravdepodobnosti udalosti hráčom

Druhým bodom nášho plánu je vlastné posúdenie pravdepodobnosti udalosti. Keďže nemôžeme matematicky brať do úvahy také parametre ako motivácia a herný tón, použijeme zjednodušený model a použijeme len štatistiky z predchádzajúcich stretnutí. Pre výpočet štatistická pravdepodobnosť výsledok pomocou vzorca:

PA=(UM/M)*100 %,

KdePA– pravdepodobnosť udalosti podľa hráča;

UM – počet úspešných zápasov, v ktorých k takejto udalosti došlo;

M – celkový počet zápasov.

Aby to bolo jasnejšie, uvedieme príklady. Andy Murray a Rafael Nadal medzi sebou odohrali 14 zápasov. V 6 z nich to bolo menej ako 21 hier, v 8 to bolo viac. Potrebujete zistiť pravdepodobnosť, že ďalší zápas sa odohrá s vyšším súčtom: (8/14)*100=57%. Valencia odohrala proti Atléticu na Mestalle 74 zápasov, v ktorých získala 29 víťazstiev. Pravdepodobnosť víťazstva vo Valencii: (29/74)*100%=39%.

A to všetko sa dozvedáme len vďaka štatistikám predchádzajúcich hier! Prirodzene, pre niektorých nový tím alebo hráča, nebude možné takúto pravdepodobnosť vypočítať, preto je táto stávková stratégia vhodná len pre zápasy, v ktorých sa súperi stretnú viackrát. Teraz vieme, ako určiť stávkovú kanceláriu a naše vlastné pravdepodobnosti výsledkov, a máme všetky znalosti, aby sme mohli prejsť k poslednému kroku.

Určenie hodnoty stávky

Hodnota (hodnota) stávky a priechodnosť majú priamu súvislosť: čím vyššia hodnota, tým väčšia šanca na prehratie. Hodnota sa vypočíta takto:

V=PA*K-100%,

kde V je hodnota;

P I – pravdepodobnosť výsledku podľa tipujúceho;

K – kurz stávkovej kancelárie na výsledok.

Povedzme, že chceme staviť na víťazstvo Milána v zápase proti Rímu a vypočítame, že pravdepodobnosť výhry „červeno-čiernych“ je 45%. Stávková kancelária nám na tento výsledok ponúka kurz 2,5. Bola by takáto stávka hodnotná? Vykonávame výpočty: V=45%*2,5-100%=12,5%. Skvelé, máme pred sebou cennú stávku dobré šance prejsť.

Zoberme si ďalší prípad. Maria Šarapovová hrá proti Petre Kvitovej. Chceme uzavrieť dohodu, aby Mária vyhrala, ktorej pravdepodobnosť je podľa našich výpočtov 60%. Stávkové kancelárie ponúkajú pre tento výsledok násobiteľ 1,5. Určíme hodnotu: V=60%*1,5-100=-10%. Ako vidíte, táto stávka nemá žiadnu hodnotu a treba sa jej vyhnúť.

Poďme sa teda porozprávať o téme, ktorá zaujíma veľa ľudí. V tomto článku odpoviem na otázku, ako vypočítať pravdepodobnosť udalosti. Uvediem vzorce na takýto výpočet a niekoľko príkladov, aby bolo jasnejšie, ako sa to robí.

Čo je pravdepodobnosť

Začnime tým, že pravdepodobnosť, že to či ono udalosť sa stane- určitá miera dôvery v prípadný výskyt nejakého výsledku. Na tento výpočet bol vyvinutý vzorec plná pravdepodobnosť, ktorá vám umožňuje určiť, či udalosť, ktorá vás zaujíma, nastane alebo nie, prostredníctvom takzvaných podmienených pravdepodobností. Tento vzorec vyzerá takto: P = n/m, písmená sa môžu meniť, ale to neovplyvňuje samotnú podstatu.

Príklady pravdepodobnosti

Pomocou jednoduchého príkladu analyzujme tento vzorec a aplikujme ho. Povedzme, že máte určitú udalosť (P), nech je to hod kockou, teda rovnostranná kocka. A musíme vypočítať, aká je pravdepodobnosť získania 2 bodov. Na to potrebujete počet kladných udalostí (n), v našom prípade stratu 2 bodov celkový počet udalosti (m). K hodu 2 bodmi môže dôjsť iba v jednom prípade, ak sú na kocke 2 body, pretože inak bude súčet väčší, z toho vyplýva, že n = 1. Ďalej spočítame počet hodov ľubovoľných iných čísel na kocke. kocky, na 1 kocku - to sú 1, 2, 3, 4, 5 a 6, preto existuje 6 priaznivých prípadov, teda m = 6. Teraz pomocou vzorca urobíme jednoduchý výpočet P = 1/ 6 a zistíme, že hod 2 bodmi na kocke je 1/6, čiže pravdepodobnosť udalosti je veľmi nízka.

Pozrime sa tiež na príklad s použitím farebných guličiek, ktoré sú v krabici: 50 bielych, 40 čiernych a 30 zelených. Musíte určiť, aká je pravdepodobnosť nakreslenia zelenej gule. A tak, keďže existuje 30 loptičiek tejto farby, to znamená, že môže byť iba 30 pozitívnych udalostí (n = 30), počet všetkých udalostí je 120, m = 120 (na základe celkového počtu všetkých loptičiek), pomocou vzorca vypočítame, že pravdepodobnosť vytiahnutia zelenej gule sa bude rovnať P = 30/120 = 0,25, teda 25 % zo 100. Rovnakým spôsobom môžete vypočítať pravdepodobnosť vytiahnutia gule iná farba (čierna to bude 33 %, biela 42 %).

Teória pravdepodobnosti je oblasť matematiky, ktorá študuje vzorce náhodných javov: náhodné udalosti, náhodné premenné, ich vlastnosti a operácie na nich.

Na dlhú dobu teória pravdepodobnosti nemala jasnú definíciu. Bol sformulovaný až v roku 1929. Vznik teórie pravdepodobnosti ako vedy sa datuje do stredoveku a prvých pokusov o matematickú analýzu hazardných hier (vločka, kocky, ruleta). Francúzski matematici 17. storočia Blaise Pascal a Pierre Fermat pri štúdiu predpovedí výhier v hazardných hrách objavili prvé pravdepodobnostné vzorce, ktoré vznikajú pri hádzaní kockami.

Teória pravdepodobnosti vznikla ako veda z presvedčenia, že hromadné náhodné udalosti sú založené na určitých vzorcoch. Teória pravdepodobnosti študuje tieto vzorce.

Teória pravdepodobnosti sa zaoberá štúdiom udalostí, ktorých výskyt nie je s určitosťou známy. Umožňuje vám posúdiť mieru pravdepodobnosti výskytu niektorých udalostí v porovnaní s inými.

Napríklad: nie je možné jednoznačne určiť výsledok „hlavy“ alebo „chvosta“ v dôsledku hodu mincou, ale pri opakovanom hádzaní sa objaví približne rovnaký počet „hlavy“ a „chvosta“, čo znamená, že pravdepodobnosť, že padnú „hlavy“ alebo „chvosty“, sa rovná 50 %.

Test v tomto prípade sa nazýva implementácia určitého súboru podmienok, to znamená v v tomto prípade hod mincou. Výzvu je možné hrať neobmedzený počet krát. V tomto prípade súbor podmienok zahŕňa náhodné faktory.

Výsledok testu je udalosť. Udalosť sa koná:

1. Spoľahlivé (vždy sa vyskytuje ako výsledok testovania).
2. Nemožné (nikdy sa to nestane).
3. Náhodné (môže alebo nemusí nastať ako výsledok testu).

Napríklad pri hádzaní mince je nemožná udalosť - minca pristane na jej okraji, náhodná udalosť - vzhľad „hlavy“ alebo „chvosty“. Konkrétny výsledok testu je tzv elementárna udalosť. Výsledkom testu sú iba elementárne udalosti. Súbor všetkých možných, rôznych, špecifických výsledkov testu sa nazýva priestor elementárnych udalostí.

Základné pojmy teórie

Pravdepodobnosť- miera možnosti výskytu udalosti. Keď dôvody pre nejakú možnú udalosť skutočne nastanú prevažujú nad opačnými dôvodmi, potom sa táto udalosť nazýva pravdepodobná, inak - nepravdepodobná alebo nepravdepodobná.

Náhodná premenná- je to množstvo, ktoré v dôsledku testovania môže nadobudnúť jednu alebo druhú hodnotu a nie je vopred známe, akú. Napríklad: počet na požiarnu stanicu za deň, počet zásahov s 10 výstrelmi atď.

Náhodné premenné možno rozdeliť do dvoch kategórií.

1. Diskrétna náhodná premenná je veličina, ktorá v dôsledku testovania môže s určitou pravdepodobnosťou nadobudnúť určité hodnoty a vytvoriť tak počítateľnú množinu (množinu, ktorej prvky možno očíslovať). Táto množina môže byť buď konečná alebo nekonečná. Napríklad počet výstrelov pred prvým zásahom do cieľa je diskrétna náhodná premenná, pretože táto veličina môže nadobudnúť nekonečný, aj keď spočítateľný počet hodnôt.
2. Spojitá náhodná premenná je veličina, ktorá môže nadobudnúť akúkoľvek hodnotu z nejakého konečného alebo nekonečného intervalu. Je zrejmé, že množstvo možné hodnoty spojitá náhodná premenná na neurčito.

Priestor pravdepodobnosti- koncept zavedený A.N. Kolmogorov v 30. rokoch 20. storočia formalizoval pojem pravdepodobnosti, čo dalo podnet k prudkému rozvoju teórie pravdepodobnosti ako prísnej matematickej disciplíny.

Pravdepodobný priestor je trojica (niekedy uzavretá v lomených zátvorkách: , kde

Ide o ľubovoľnú množinu, ktorej prvky sa nazývajú elementárne udalosti, výsledky alebo body;
- sigma algebra podmnožín nazývaných (náhodné) udalosti;
- miera pravdepodobnosti alebo pravdepodobnosť, t.j. sigma-aditívna konečná miera taká, že .

De Moivre-Laplaceova veta- jedna z limitných viet teórie pravdepodobnosti, ktorú založil Laplace v roku 1812. Uvádza, že počet úspechov pri opakovaní rovnakého náhodného experimentu mnohokrát s dvoma možnými výsledkami je približne normálne rozdelenie. Umožňuje vám nájsť približnú hodnotu pravdepodobnosti.

Ak sa pre každý z nezávislých pokusov pravdepodobnosť výskytu nejakej náhodnej udalosti rovná () a je to počet pokusov, v ktorých k nej skutočne dôjde, potom je pravdepodobnosť, že nerovnosť platí, blízka (pri veľkých hodnotách) hodnota Laplaceovho integrálu.

Distribučná funkcia v teórii pravdepodobnosti- funkcia charakterizujúca rozdelenie náhodnej premennej alebo náhodného vektora; pravdepodobnosť, že náhodná premenná X nadobudne hodnotu menšiu alebo rovnú x, kde x je ľubovoľné reálne číslo. Ak sú splnené známe podmienky, úplne určuje náhodnú premennú.

Očakávanie- priemerná hodnota náhodnej veličiny (ide o rozdelenie pravdepodobnosti náhodnej veličiny, uvažované v teórii pravdepodobnosti). IN anglická literatúra označené v ruštine - . V štatistike sa často používa zápis.

Nech je daný pravdepodobnostný priestor a náhodná premenná na ňom definovaná. To je podľa definície merateľná funkcia. Potom, ak existuje Lebesgueov integrál nad priestorom, potom sa nazýva matematické očakávanie alebo stredná hodnota a označuje sa .

Rozptyl náhodnej premennej- miera šírenia danej náhodnej veličiny, teda jej odchýlky od matematického očakávania. Označuje sa v ruskej a zahraničnej literatúre. V štatistike sa často používa zápis alebo. Druhá odmocnina rozptylu sa nazýva štandardná odchýlka, smerodajná odchýlka alebo štandardné rozpätie.

Nech je náhodná premenná definovaná na nejakom pravdepodobnostnom priestore. Potom

kde symbol označuje matematické očakávanie.

V teórii pravdepodobnosti sa nazývajú dve náhodné udalosti nezávislý, ak výskyt jedného z nich nemení pravdepodobnosť výskytu druhého. Podobne sa nazývajú dve náhodné premenné závislý, ak hodnota jednej z nich ovplyvňuje pravdepodobnosť hodnôt druhej.

Najjednoduchšia forma zákona veľké čísla je Bernoulliho teorém, ktorý hovorí, že ak je pravdepodobnosť udalosti vo všetkých pokusoch rovnaká, potom s narastajúcim počtom pokusov sa frekvencia udalosti približuje k pravdepodobnosti udalosti a prestáva byť náhodná.

Zákon veľkých čísel v teórii pravdepodobnosti hovorí, že aritmetický priemer konečnej vzorky z pevného rozdelenia je blízky teoretickému priemeru tohto rozdelenia. Podľa typu konvergencie sa rozlišuje slabý zákon veľkých čísel, kedy ku konvergencii dochádza podľa pravdepodobnosti, a silný zákon veľkých čísel, kedy je konvergencia takmer istá.

Všeobecný význam zákona veľkého počtu je spoločný postup veľké množstvo identické a nezávislé náhodné faktory vedú k výsledku, ktorý v limite nezávisí od náhody.

Metódy odhadu pravdepodobnosti založené na analýze konečných vzoriek sú založené na tejto vlastnosti. Jasným príkladom je prognóza výsledkov volieb na základe prieskumu na vzorke voličov.

Centrálne limitné vety- trieda viet v teórii pravdepodobnosti, ktorá hovorí, že súčet dostatočne veľkého počtu slabo závislých náhodných premenných, ktoré majú približne rovnaké škály (žiadny z členov nedominuje ani neprispieva k súčtu určujúcim spôsobom), má rozdelenie blízke normálu.

Keďže veľa náhodných premenných v aplikáciách vzniká pod vplyvom niekoľkých slabo závislých náhodných faktorov, ich rozdelenie sa považuje za normálne. V tomto prípade musí byť splnená podmienka, že žiadny z faktorov nie je dominantný. Centrálne limitné vety v týchto prípadoch oprávňujú použitie normálneho rozdelenia.

V mojom blogu je preklad ďalšej prednášky kurzu „Principles of Game Balance“ od herného dizajnéra Jana Schreibera, ktorý pracoval na projektoch ako Marvel Trading Card Game a Playboy: the Mansion.

Komu dnes takmer všetko, o čom sme hovorili, bolo deterministické a minulý týždeň sme sa podrobne pozreli na tranzitívnu mechaniku, pričom sme zašli do takých detailov, koľko viem vysvetliť. Ale doteraz sme nevenovali pozornosť inému aspektu mnohých hier, a to nedeterministickým aspektom - inými slovami náhodnosti.

Pochopenie podstaty náhodnosti je pre herných dizajnérov veľmi dôležité. Vytvárame systémy, ktoré ovplyvňujú zážitok používateľa v danej hre, takže musíme vedieť, ako tieto systémy fungujú. Ak je v systéme náhodnosť, musíme pochopiť podstatu tejto náhodnosti a vedieť, ako ju zmeniť, aby sme dosiahli výsledky, ktoré potrebujeme.

Kocky

Začnime niečím jednoduchým – hádzaním kocky. Keď väčšina ľudí myslí na kocky, predstaví si šesťstennú kocku známu ako d6. Väčšina hráčov však videla mnoho iných kociek: štvorstennú (d4), osemhrannú (d8), dvanásťstennú (d12), dvadsaťstennú (d20). Ak ste skutočný geek, možno máte niekde 30- alebo 100-hrannú kocku.

Ak nie ste oboznámení s terminológiou, d znamená kocka a číslo za ním je počet strán, ktoré má. Ak sa číslo objaví pred d, znamená to počet kociek, ktoré sa majú hodiť. Napríklad v hre Monopoly hádžete 2k6.

Takže v tomto prípade je fráza „kocky“. symbol. Existuje obrovské množstvo iné generátory náhodných čísel, ktoré nevyzerajú ako plastové figúrky, ale plnia rovnakú funkciu – generujú náhodné číslo od 1 do n. Obyčajnú mincu možno znázorniť aj ako dvojstennú kocku d2.

Videl som dva návrhy sedemstenných kociek: jeden vyzeral ako kocka a druhý vyzeral skôr ako sedemstenná kocka drevená ceruzka. Tetrahedrálny dreidel, tiež známy ako titotum, je podobný štvorstennej kosti. Otáčajúca sa šípka v hre Chutes & Ladders, kde sa skóre môže pohybovať od 1 do 6, zodpovedá šesťhrannej kocke.

Počítačový generátor náhodných čísel môže vytvoriť ľubovoľné číslo od 1 do 19, ak to konštruktér určí, aj keď počítač nemá 19-stennú kocku (vo všeobecnosti budem hovoriť viac o pravdepodobnosti, že čísla prídu na počítač budúci týždeň). Všetky tieto položky vyzerajú inak, ale v skutočnosti sú ekvivalentné: máte rovnakú šancu na každý z niekoľkých možných výsledkov.

Kocky majú niekoľko zaujímavých vlastností, o ktorých musíme vedieť. Po prvé, pravdepodobnosť pristátia na oboch stranách je rovnaká (predpokladám, že hádžete kockou pravidelného tvaru). Ak chcete poznať priemernú hodnotu hodu (pre tých, ktorí sa zaoberajú pravdepodobnosťou, je to známa ako očakávaná hodnota), spočítajte hodnoty na všetkých hranách a vydeľte toto číslo počtom hrán.

Súčet hodnôt všetkých strán pre štandardnú šesťstennú kocku je 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Vydeľte 21 počtom strán a získajte priemernú hodnotu hodu: 21 / 6 = 3,5. Toto špeciálny prípad, pretože predpokladáme, že všetky výsledky sú rovnako pravdepodobné.

Čo ak máte špeciálne kocky? Videl som napríklad hru so šiestimi hracími kockami so špeciálnymi nálepkami na stranách: 1, 1, 1, 2, 2, 3, takže sa správa ako zvláštna trojstranná kocka, ktorá skôr hodí 1 ako 2. a je pravdepodobnejšie, že padne 2 ako 3. Aký je priemerný hod touto kockou? Takže 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 10, delené 6 - ukáže sa 5 / 3 alebo približne 1,66. Takže ak máte špeciálnu kocku a hráči hodia tromi kockami a potom sčítajú výsledky - viete, že ich hod bude mať okolo 5 a na základe tohto predpokladu môžete hru vyvážiť.

Kocky a nezávislosť

Ako som už povedal, vychádzame z predpokladu, že každá strana rovnako pravdepodobne vypadne. Nezáleží na tom, koľko kociek hodíte. Každý hod kockou je nezávislý, čo znamená, že predchádzajúce hody neovplyvňujú výsledky nasledujúcich hodov. Pri dostatočnom počte pokusov si určite všimnete vzor čísel – napríklad hádzanie väčšinou vyšších alebo nižších hodnôt – alebo iné funkcie, ale to neznamená, že sú kocky „horúce“ alebo „studené“. O tom si povieme neskôr.

Ak hodíte štandardnou šesťstennou kockou a číslo 6 padne dvakrát za sebou, pravdepodobnosť, že ďalší hod bude mať za následok 6, je presne 1/6 Pravdepodobnosť sa nezvýši, pretože kocka sa „zahriala“. . Pravdepodobnosť sa zároveň neznižuje: je nesprávne usudzovať, že číslo 6 už padlo dvakrát za sebou, čo znamená, že teraz by mala prísť na rad iná strana.

Samozrejme, ak hodíte kockou dvadsaťkrát a zakaždým dostanete 6, šanca, že dvadsiaty prvý raz hodíte 6, je dosť vysoká: možno máte len nesprávnu kocku. Ale ak je kocka spravodlivá, každá strana má rovnakú pravdepodobnosť pristátia, bez ohľadu na výsledky ostatných hodov. Môžete si tiež predstaviť, že kocku vymieňame zakaždým: ak padne číslo 6 dvakrát za sebou, odstráňte „horúcu“ kocku z hry a nahraďte ju novou. Ospravedlňujem sa, ak o tom niekto z vás už vedel, ale potreboval som si to ujasniť, kým pôjdem ďalej.

Ako dosiahnuť, aby sa kocka hodila viac-menej náhodne

Poďme si povedať, ako dosiahnuť rôzne výsledky na rôznych kockách. Či už hodíte kockou len raz alebo niekoľkokrát, hra bude náhodnejšia, keď bude mať kocka viac strán. Čím častejšie musíte hádzať kockou a čím viac kociek hodíte, tým viac sa výsledky približujú k priemeru.

Napríklad v prípade 1k6 + 4 (teda ak raz hodíte štandardnou šesťstennou kockou a k výsledku pridáte 4), priemer bude číslo medzi 5 a 10. Ak hodíte 5k2, priemer by bolo tiež číslo medzi 5 a 10. Výsledkom hodenia 5d2 budú hlavne čísla 7 a 8, menej často iné hodnoty. Rovnaký rad, dokonca rovnaká priemerná hodnota (v oboch prípadoch 7,5), ale charakter náhodnosti je odlišný.

Počkaj chvíľu. Nepovedal som práve, že kocky „nehrejú“ ani „nechladia“? Teraz hovorím: ak hodíte veľa kociek, výsledky hodov sa priblížia k priemeru. prečo?

Dovoľte mi vysvetliť. Ak hodíte jednou kockou, každá strana má rovnakú pravdepodobnosť pristátia. To znamená, že ak v priebehu času hodíte veľa kociek, každá strana padne približne rovnako. Čím viac kociek hodíte, tým viac sa celkový výsledok priblíži k priemeru.

Nie je to preto, že vyžrebované číslo „núti“ vyžrebovať ďalšie číslo, ktoré ešte nebolo vyžrebované. Ale preto, že malá séria hádzania čísla 6 (alebo 20, či iného čísla) nakoniec až tak neovplyvní výsledok, ak kockou hodíte ešte desaťtisíckrát a väčšinou vám vyjde priemerné číslo. Teraz dostanete niekoľko veľkých čísel a neskôr niekoľko malých - a časom sa priblížia k priemeru.

Nie je to preto, že by predchádzajúce hody ovplyvnili kocky (vážne, kocky sú vyrobené z plastu, nemá mozog na to, aby si pomyslel: „Och, už je to nejaký čas, čo si hodil 2“), ale preto, že to je to, čo zvyčajne sa stane, keď hodíte veľa kockami

Je teda celkom jednoduché urobiť výpočty pre jeden náhodný hod kockou - aspoň vypočítať priemernú hodnotu hodu. Existujú aj spôsoby, ako vypočítať „ako je niečo náhodné“ a povedať, že výsledky hodenia 1k6+4 budú „náhodnejšie“ ako 5k2. Za 5d2 budú rožky rozložené rovnomernejšie. Aby ste to dosiahli, musíte vypočítať smerodajnú odchýlku: čím väčšia hodnota, tým náhodnejšie budú výsledky. Nerád by som dnes dával toľko výpočtov, túto tému vysvetlím neskôr.

Jediná vec, ktorú vás požiadam, aby ste si zapamätali, je, že vo všeobecnosti platí, že čím menej kociek hodíte, tým väčšia je náhodnosť. A čím viac strán má kocka, tým väčšia je náhodnosť, pretože tým viac možné možnosti významy.

Ako vypočítať pravdepodobnosť pomocou počítania

Možno máte otázku: ako môžeme vypočítať presnú pravdepodobnosť získania určitého výsledku? V skutočnosti je to pre mnohé hry dosť dôležité: ak na začiatku hodíte kockou - s najväčšou pravdepodobnosťou existuje nejaký optimálny výsledok. Moja odpoveď je: musíme vypočítať dve hodnoty. Po prvé, celkový počet výsledkov pri hode kockou a po druhé, počet priaznivých výsledkov. Vydelením druhej hodnoty prvou získate požadovanú pravdepodobnosť. Ak chcete získať percento, vynásobte výsledok 100.

Príklady

Tu je veľmi jednoduchý príklad. Chcete, aby číslo 4 alebo vyššie hodilo šesťstennou kockou raz. Maximálny počet Existuje 6 výsledkov (1, 2, 3, 4, 5, 6). Z toho 3 výsledky (4, 5, 6) sú priaznivé. To znamená, že na výpočet pravdepodobnosti vydelíme 3 x 6 a dostaneme 0,5 alebo 50 %.

Tu je príklad trochu komplikovanejší. Pri hode 2k6 chcete párne číslo. Maximálny počet výsledkov je 36 (6 možností pre každú kocku, jedna kocka neovplyvňuje druhú, takže vynásobte 6 x 6 a dostanete 36). Náročnosť problematiky tohto typuže je ľahké počítať dvakrát. Napríklad pri hode 2k6 sú dva možné výsledky 3: 1+2 a 2+1. Vyzerajú rovnako, rozdiel je však v tom, ktoré číslo je zobrazené na prvej kocke a ktoré na druhej.

Môžete si tiež predstaviť, že kocky rôzne farby: Takže napríklad v tomto prípade je jedna kocka červená a druhá modrá. Potom spočítajte počet možností na hodenie párnym číslom:

• 2 (1+1);
• 4 (1+3);
• 4 (2+2);
• 4 (3+1);
• 6 (1+5);
• 6 (2+4);
• 6 (3+3);
• 6 (4+2);
• 6 (5+1);
• 8 (2+6);
• 8 (3+5);
• 8 (4+4);
• 8 (5+3);
• 8 (6+2);
• 10 (4+6);
• 10 (5+5);
• 10 (6+4);
• 12 (6+6).

Ukazuje sa, že existuje 18 možností priaznivého výsledku z 36 - ako v predchádzajúcom prípade je pravdepodobnosť 0,5 alebo 50%. Možno nečakané, ale celkom presné.

Simulácia Monte Carlo

Čo ak máte na tento výpočet príliš veľa kociek? Napríklad, chcete vedieť, aká je pravdepodobnosť, že pri hode 8k6 získate celkovo 15 alebo viac. Pre osem kociek existuje obrovská rozmanitosť rozdielne výsledky a ich manuálne počítanie by trvalo veľmi dlho – aj keby sme našli nejaké dobré riešenie na zoskupenie rôznych sérií hodov kockami.

V tomto prípade je najjednoduchšie nepočítať manuálne, ale použiť počítač. Existujú dva spôsoby, ako vypočítať pravdepodobnosť na počítači. Prvá metóda vám môže poskytnúť presnú odpoveď, ale zahŕňa trochu programovania alebo skriptovania. Počítač preskúma každú možnosť, vyhodnotí a spočíta celkový počet iterácií a počet iterácií, ktoré zodpovedajú požadovanému výsledku, a potom poskytne odpovede. Váš kód môže vyzerať asi takto:

Ak programovaniu nerozumiete a potrebujete skôr približnú odpoveď ako presnú, môžete si túto situáciu nasimulovať v Exceli, kde hodíte 8d6 niekoľkotisíckrát a dostanete odpoveď. Ak chcete hodiť 1d6 v Exceli, použite vzorec =FLOOR(RAND()*6)+1.

Existuje názov pre situáciu, keď nepoznáte odpoveď a skúšate to znova a znova - simulácia Monte Carlo. Toto je skvelé riešenie, keď je výpočet pravdepodobnosti príliš náročný. Skvelé je, že v tomto prípade nemusíme chápať, ako matematika funguje, a vieme, že odpoveď bude „celkom dobrá“, pretože, ako už vieme, čím viac hodov, tým viac sa výsledok blíži k priemer.

Ako skombinovať nezávislé pokusy

Ak sa pýtate na niekoľko opakujúcich sa ale nezávislé testy, potom výsledok jedného hodu neovplyvní výsledky ostatných hodov. Pre túto situáciu existuje ešte jedno jednoduchšie vysvetlenie.

Ako rozlíšiť medzi niečím závislým a nezávislým? V zásade, ak môžete izolovať každý hod (alebo sériu hodov) kockou ako samostatnú udalosť, potom je nezávislý. Povedzme napríklad, že hodíme 8k6 a chceme celkovo 15. Táto udalosť nemožno rozdeliť na niekoľko nezávislých hodov kockou. Ak chcete získať výsledok, vypočítate súčet všetkých hodnôt, takže výsledok, ktorý sa objaví na jednej kocke, ovplyvní výsledky, ktoré by sa mali objaviť na ostatných.

Tu je príklad nezávislých hodov: Hráte kockovú hru a viackrát hádžete šesťstennou kockou. Prvý hod musí byť 2 alebo vyšší, aby ste zostali v hre. Pre druhý hod - 3 alebo vyšší. Tretí vyžaduje 4 alebo vyšší, štvrtý vyžaduje 5 alebo vyšší a piaty vyžaduje 6. Ak je všetkých päť hodov úspešných, vyhrávate. V tomto prípade sú všetky hody nezávislé. Áno, ak je jeden hod neúspešný, ovplyvní to výsledok celej hry, ale jeden hod neovplyvní druhý. Napríklad, ak je váš druhý hod kockou veľmi úspešný, neznamená to, že ďalšie hody budú také dobré. Preto môžeme zvážiť pravdepodobnosť každého hodu kockou samostatne.

Ak máte nezávislé pravdepodobnosti a chcete vedieť, aká je pravdepodobnosť všetkých udalostí, ktoré sa stanú, určíte každú jednotlivú pravdepodobnosť a vynásobíte ich. Ďalší spôsob: ak spojkou „a“ popíšete viacero stavov (napríklad aká je pravdepodobnosť výskytu nejakej náhodnej udalosti a inej nezávislej náhodnej udalosti?) – spočítajte jednotlivé pravdepodobnosti a vynásobte ich.

Bez ohľadu na to, čo si myslíte, nikdy nesčítajte nezávislé pravdepodobnosti. Toto je častý omyl. Aby ste pochopili, prečo je to nesprávne, predstavte si situáciu, keď si hodíte mincou a chcete vedieť, aká je pravdepodobnosť, že dostanete hlavy dvakrát za sebou. Pravdepodobnosť, že každá strana vypadne, je 50%. Ak spočítate tieto dve pravdepodobnosti, získate 100% šancu získať hlavy, ale vieme, že to nie je pravda, pretože to mohli byť chvosty dvakrát za sebou. Ak namiesto toho vynásobíte dve pravdepodobnosti, dostanete 50 % * 50 % = 25 % – čo je správna odpoveď na výpočet pravdepodobnosti, že dostanete hlavy dvakrát za sebou.

Príklad

Vráťme sa k hre so šiestimi kockami, kde musíte najprv hodiť číslo väčšie ako 2, potom väčšie ako 3 – a tak ďalej až do 6. Aké sú šance, že v danej sérii piatich hodov budú všetky výsledky priaznivé? ?

Ako je uvedené vyššie, ide o nezávislé pokusy, preto vypočítame pravdepodobnosť pre každý jednotlivý hod a potom ich vynásobíme. Pravdepodobnosť, že výsledok prvého hodu bude priaznivý, je 5/6. Druhý - 4.6. Tretia - 3.6. Štvrtý - 2/6, piaty - 1/6. Všetky výsledky navzájom vynásobíme a dostaneme približne 1,5 %. Výhry v tejto hre sú pomerne zriedkavé, takže ak do svojej hry pridáte tento prvok, budete potrebovať pomerne veľký jackpot.

Negácia

Tu je ďalší užitočná rada: Niekedy je ťažké vypočítať pravdepodobnosť, že k udalosti dôjde, ale je jednoduchšie určiť pravdepodobnosť, že k udalosti nedôjde. Povedzme napríklad, že máme inú hru: hodíte 6k6 a vyhráte, ak aspoň raz hodíte 6 Aká je pravdepodobnosť výhry?

V tomto prípade je potrebné zvážiť veľa možností. Je možné, že padne jedno číslo 6, to znamená, že jedna z kociek ukáže číslo 6 a ostatné čísla od 1 do 5, potom je 6 možností, ktorá z kociek ukáže 6. Číslo 6 môžete získať na dvoch kockách alebo na troch alebo aj na viacerých kockách a zakaždým budete musieť vykonať samostatný výpočet, takže sa tu môžete ľahko zmiasť.

Pozrime sa však na problém z druhej strany. Prehráte, ak žiadna z kociek nepadne 6. V tomto prípade máme 6 nezávislých pokusov. Pravdepodobnosť, že každá kocka hodí iné číslo ako 6, je 5/6. Vynásobte ich a dostanete približne 33%. Pravdepodobnosť prehry je teda jedna ku trom. Pravdepodobnosť výhry je teda 67 % (alebo dve až tri).

Z tohto príkladu je zrejmé: ak vypočítate pravdepodobnosť, že udalosť nenastane, musíte výsledok odpočítať od 100%. Ak je pravdepodobnosť výhry 67 %, potom je pravdepodobnosť prehry 100 % mínus 67 % alebo 33 % a naopak. Ak je ťažké vypočítať jednu pravdepodobnosť, ale ľahko vypočítať opačnú, vypočítajte opak a potom toto číslo odpočítajte od 100 %.

Spájame podmienky pre jeden nezávislý test

Vyššie som povedal, že by ste nikdy nemali pridávať pravdepodobnosti naprieč nezávislými skúškami. Existujú prípady, kedy je možné zhrnúť pravdepodobnosti? Áno, v jednej špeciálnej situácii.

Ak chcete vypočítať pravdepodobnosť niekoľkých nesúvisiacich priaznivých výsledkov v jednom pokuse, spočítajte pravdepodobnosti každého priaznivého výsledku. Napríklad pravdepodobnosť hodenia 4, 5 alebo 6 na 1k6 sa rovná súčtu pravdepodobnosti hodenia 4, pravdepodobnosti hodenia 5 a pravdepodobnosti hodenia 6. Táto situácia si možno predstaviť takto: ak v otázke o pravdepodobnosti použijete spojku „alebo“ (aká je napríklad pravdepodobnosť toho či onoho výsledku jednej náhodnej udalosti?) – spočítajte jednotlivé pravdepodobnosti a zrátajte ich.

Upozornenie: Keď vypočítate všetky možné výsledky hry, súčet pravdepodobnosti ich výskytu sa musí rovnať 100 %, inak bol váš výpočet vykonaný nesprávne. Toto dobrý spôsob prekontrolujte svoje výpočty. Napríklad ste analyzovali pravdepodobnosť všetkých kombinácií v pokri. Ak spočítate všetky svoje výsledky, mali by ste dostať presne 100 % (alebo aspoň pomerne blízko 100 %: ak používate kalkulačku, môže sa vyskytnúť malá chyba v zaokrúhľovaní, ale ak presné čísla spočítate ručne, všetko by sa mali sčítať). Ak súčet nekonverguje, znamená to, že ste s najväčšou pravdepodobnosťou nebrali do úvahy niektoré kombinácie alebo nesprávne vypočítali pravdepodobnosti niektorých kombinácií a výpočty je potrebné ešte raz skontrolovať.

Nerovnaké pravdepodobnosti

Doteraz sme predpokladali, že každá strana kocky sa hádže rovnakou frekvenciou, pretože sa zdá, že kocky tak fungujú. Ale niekedy sa môžete stretnúť so situáciou, kedy sú možné rôzne výsledky a majú rôzne šance na objavenie.

Napríklad v jednom z doplnkov kartová hra Nuclear War má hracie pole so šípkou, od ktorej závisí výsledok odpálenia rakety. Najčastejšie spôsobí normálne poškodenie, silnejšie alebo slabšie, ale niekedy sa poškodenie zdvojnásobí alebo strojnásobí, alebo raketa vybuchne na odpaľovacej rampe a zraní vás, alebo dôjde k inej udalosti. Na rozdiel od ihrisko so šípkou v hre Chutes & Ladders alebo A Game of Life sú výsledky na hernom pláne v Nuclear War nerovnomerné. Niektoré úseky hracieho poľa sú väčšie a šíp sa na nich zastavuje oveľa častejšie, iné zase veľmi malé a šíp sa na nich zastaví len zriedka.

Takže kocka na prvý pohľad vyzerá asi takto: 1, 1, 1, 2, 2, 3 - už sme o tom hovorili, je to niečo ako vážený 1k3. Preto musíme rozdeliť všetky tieto časti na rovnaké časti, nájsť najmenšiu mernú jednotku, ktorej deliteľom je všetko násobok, a potom znázorniť situáciu v tvare d522 (alebo nejakej inej), kde je množina kociek otočená bude predstavovať rovnakú situáciu, ale s viacerými výsledkami. Toto je jeden zo spôsobov, ako vyriešiť problém, a je to technicky možné, ale existuje jednoduchšia možnosť.

Vráťme sa k našej štandardnej šesťstennej kocke. Povedali sme, že na výpočet priemerného hodu pre normálnu kocku musíte sčítať hodnoty na všetkých plochách a vydeliť ich počtom plôch, ale ako presne funguje výpočet? Existuje aj iný spôsob, ako to vyjadriť. Pre šesťstennú kocku je pravdepodobnosť hodenia každej strany presne 1/6. Teraz vynásobíme výsledok každej hrany pravdepodobnosťou tohto výsledku (v tomto prípade 1/6 pre každú hranu) a potom výsledné hodnoty spočítame. Takže sčítanie (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6) , dostaneme rovnaký výsledok (3.5) ako vo výpočte vyššie. V skutočnosti takto počítame zakaždým: každý výsledok vynásobíme pravdepodobnosťou tohto výsledku.

Môžeme urobiť rovnaký výpočet pre šípku na ihrisku v Nuclear War? Samozrejme, že môžeme. A ak zhrnieme všetky zistené výsledky, dostaneme priemernú hodnotu. Všetko, čo musíme urobiť, je vypočítať pravdepodobnosť každého výsledku pre šípku na hernom pláne a vynásobiť ju hodnotou výsledku.

Ďalší príklad

Tento spôsob výpočtu priemeru je vhodný aj vtedy, ak sú výsledky rovnako pravdepodobné, ale majú rôzne výhody – napríklad ak hodíte kockou a vyhráte na niektorých stranách viac ako na iných. Vezmime si napríklad kasínovú hru: podáte stávku a hodíte 2k6. Ak tri čísla s najnižšou hodnotou (2, 3, 4) alebo štyri čísla s vysoká hodnota(9, 10, 11, 12) - vyhráte sumu rovnajúcu sa vašej stávke. Čísla s najnižšou a najvyššou hodnotou sú špeciálne: ak hodíte 2 alebo 12, vyhrávate dvojnásobok svojej stávky. Ak padne akékoľvek iné číslo (5, 6, 7, 8), svoju stávku prehráte. Je to pekné jednoduchá hra. Aká je však pravdepodobnosť výhry?

Začnime spočítaním, koľkokrát môžete vyhrať. Maximálny počet výsledkov pri hode 2k6 je 36. Aký je počet priaznivých výsledkov?

• Je 1 možnosť, že bude hodená dvojka a jedna možnosť, že bude hodená dvojka.
• Sú 2 možnosti, že 3 hodia a 2 možnosti, že 11 hod.
• Existujú 3 možnosti, na ktoré padne 4, a 3 možnosti, na ktoré padne 10.
• Existujú 4 možnosti pre hod 9.

Zhrnutím všetkých možností dostaneme 16 priaznivých výsledkov z 36. Teda s normálnych podmienkach vyhráte 16-krát z 36 možných – pravdepodobnosť výhry je o niečo menšia ako 50 %.

Ale v dvoch prípadoch z týchto šestnástich vyhráte dvakrát toľko – je to ako vyhrať dvakrát. Ak hráte túto hru 36-krát, pričom zakaždým vsadíte 1 $ a každý z možných výsledkov príde raz, vyhráte spolu 18 $ (v skutočnosti vyhráte 16-krát, ale dve z nich sa počítajú ako dve výhry ). Ak hráte 36-krát a vyhráte 18 $, neznamená to, že šance sú rovnaké?

Neponáhľaj sa. Ak spočítate, koľkokrát môžete prehrať, skončíte s 20, nie 18. Ak hráte 36-krát a zakaždým vsadíte 1 $, vyhráte spolu 18 $, ak trafíte všetky víťazné tipy. Ak však dosiahnete všetkých 20 nepriaznivých výsledkov, stratíte celkovo 20 dolárov. V dôsledku toho budete trochu zaostávať: stratíte v priemere 2 doláre netto za každých 36 hier (môžete tiež povedať, že stratíte v priemere 1/18 dolára za deň). Teraz vidíte, aké ľahké je v tomto prípade urobiť chybu a nesprávne vypočítať pravdepodobnosť.

Preskupenie

Doteraz sme predpokladali, že na poradí čísel pri hode kockou nezáleží. Hodenie 2 + 4 je rovnaké ako hodenie 4 + 2. Vo väčšine prípadov manuálne počítame počet priaznivých výsledkov, ale niekedy túto metódu je nepraktické a je lepšie použiť matematický vzorec.

Príklad takejto situácie je z hry s kockami Farkle. Za každé nové kolo hodíte 6k6. Ak budete mať šťastie a získate všetky možné výsledky 1-2-3-4-5-6 (rovno), dostanete veľký bonus. Aká je pravdepodobnosť, že sa to stane? V tomto prípade existuje veľa možností na získanie tejto kombinácie.

Riešenie je nasledovné: jedna z kociek (a iba jedna) musí mať číslo 1. Koľkými spôsobmi sa môže číslo 1 objaviť na jednej kocke? Existuje 6 možností, keďže kociek je 6 a ktorákoľvek z nich môže padnúť na číslo 1. Podľa toho vezmite jednu kocku a odložte ju. Teraz by jedna zo zostávajúcich kociek mala hodiť číslo 2. Na to je 5 možností. Vezmite ďalšiu kocku a odložte ju nabok. Potom 4 zo zostávajúcich kociek môže pristáť číslo 3, 3 zo zostávajúcich kociek môže pristáť číslo 4, 2 zo zostávajúcich kociek môže pristáť číslo 5. Výsledkom je, že vám zostane jedna kocka, ktorá by mala pristáť číslo 6 (v druhom prípade je kocka len jedna kosť a nie je na výber).

Aby sme vypočítali počet priaznivých výsledkov pre zasiahnutie postupky, vynásobíme všetky rôzne nezávislé možnosti: 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 – zdá sa, že existuje pomerne veľké množstvo možností, ako táto kombinácia prísť .

Na výpočet pravdepodobnosti získania postupky musíme vydeliť 720 počtom všetkých možných výsledkov pre hod 6k6. Aký je počet všetkých možných výsledkov? Každá kocka môže mať 6 strán, takže vynásobíme 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 46656 (oveľa väčšie číslo ako predchádzajúce). Vydelíme 720 číslom 46656 a dostaneme pravdepodobnosť približne 1,5 %. Ak by ste navrhovali túto hru, bolo by pre vás užitočné to vedieť, aby ste si podľa toho mohli vytvoriť systém bodovania. Teraz už chápeme, prečo vo Farkle dostanete taký veľký bonus, ak dostanete postupku: toto je pomerne zriedkavá situácia.

Výsledok je zaujímavý aj z iného dôvodu. Príklad ukazuje, ako zriedka sa v krátkom období vyskytne výsledok, ktorý zodpovedá pravdepodobnosti. Samozrejme, ak by sme hádzali niekoľko tisíc kociek, rôzne tváre kocky by prichádzali dosť často. Ale keď hodíme len šesť kociek, takmer nikdy sa nestane, že by sa objavila každá tvár. Ukazuje sa, že je hlúpe očakávať, že sa teraz objaví riadok, ktorý sa ešte nestal, pretože „číslo 6 sme už dlho nehádzali“. Počúvaj, tvoj generátor náhodných čísel je pokazený.

To nás vedie k všeobecnej mylnej predstave, že všetky výsledky sa vyskytujú s rovnakou frekvenciou počas krátkeho časového obdobia. Ak hádžeme kockou niekoľkokrát, frekvencia vypadávania každej strany nebude rovnaká.

Ak ste už niekedy pracovali na online hre s akýmsi generátorom náhodných čísel, s najväčšou pravdepodobnosťou ste sa stretli so situáciou, keď hráč napíše na technickú podporu so sťažnosťou, že generátor náhodných čísel nezobrazuje náhodné čísla. Dospel k tomuto záveru, pretože zabil 4 príšery v rade a dostal 4 presne rovnaké odmeny a tieto odmeny by sa mali objaviť iba v 10% prípadov, takže by sa to zrejme takmer nikdy nemalo stať.

Robíte matematický výpočet. Pravdepodobnosť je 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10, to znamená, že 1 výsledok z 10 tisíc je pomerne zriedkavý prípad. Toto sa vám hráč snaží povedať. Je v tomto prípade problém?

Všetko závisí od okolností. Koľko hráčov je momentálne na vašom serveri? Povedzme, že máte pomerne populárnu hru a každý deň ju hrá 100 tisíc ľudí. Koľko hráčov dokáže zabiť štyri príšery za sebou? Možno všetci, niekoľkokrát denne, ale predpokladajme, že polovica z nich si jednoducho vymieňa rôzne predmety na aukciách, chatuje na RP serveroch alebo vykonáva iné činnosti v hre – takže len polovica z nich loví príšery. Aká je pravdepodobnosť, že niekto dostane rovnakú odmenu? V tejto situácii môžete očakávať, že sa to stane aspoň niekoľkokrát denne.

Mimochodom, práve preto sa zdá, že každých pár týždňov niekto vyhrá v lotérii, aj keď ten niekto nikdy nebol vy alebo niekto, koho poznáte. Ak bude pravidelne hrať dostatok ľudí, je pravdepodobné, že sa niekde nájde aspoň jeden šťastný hráč. Ale ak hráte lotériu sami, je nepravdepodobné, že vyhráte, ale skôr budete pozvaní pracovať v Infinity Ward.

Karty a závislosť

Diskutovali sme o nezávislých udalostiach, ako je napríklad hod kockou, a teraz poznáme mnoho výkonných nástrojov na analýzu náhodnosti v mnohých hrách. Výpočet pravdepodobnosti je trochu komplikovanejší, pokiaľ ide o ťahanie kariet z balíčka, pretože každá karta, ktorú si vytiahneme, ovplyvňuje tie, ktoré v balíčku ostanú.

Ak máte štandardný 52-kartový balíček, odoberiete z neho 10 sŕdc a chcete vedieť, aká je pravdepodobnosť, že ďalšia karta bude rovnakej farby - pravdepodobnosť sa oproti pôvodnej zmenila, pretože ste už jednu kartu farby odstránili sŕdc z paluby. Každá karta, ktorú odstránite, zmení pravdepodobnosť, že sa v balíčku objaví ďalšia karta. V tomto prípade predchádzajúca udalosť ovplyvňuje nasledujúcu, preto ju nazývame závislou na pravdepodobnosti.

Upozorňujeme, že keď hovorím „karty“, mám na mysli akúkoľvek hernú mechaniku, kde máte sadu predmetov a jeden z nich odstránite bez toho, aby ste ho nahradili. „Balík kariet“ je v tomto prípade obdobou vrecúška žetónov, z ktorého si vezmete jeden žetón, alebo urny, z ktorej sa odoberajú farebné loptičky (nikdy som nevidel hry s urnou, z ktorej sa berú farebné loptičky, ale učitelia teórie pravdepodobnosti podľa akého -dôvodu, prečo sa uprednostňuje tento príklad).

Vlastnosti závislosti

Chcel by som objasniť, že kedy hovoríme oČo sa týka kariet, predpokladám, že vyberiete karty, pozriete sa na ne a vyberiete ich z balíčka. Každá z týchto akcií je dôležitou vlastnosťou. Ak by som mal balíček, povedzme, šesť kariet s číslami 1 až 6, zamiešal by som ich a ťahal by som si jednu kartu, potom by som znova zamiešal všetkých šesť kariet – bolo by to podobné ako hádzanie šesťstennou kockou, pretože jeden výsledok má žiadny efekt pre ďalšie. A ak vytiahnem karty a nenahradím ich, tak vytiahnutím karty 1 zvyšujem pravdepodobnosť, že nabudúce si vytiahnem kartu s číslom 6. Pravdepodobnosť sa bude zvyšovať, až nakoniec tú kartu odstránim resp. zamiešať balíček.

Dôležitý je aj fakt, že sa pozeráme na karty. Ak vyberiem kartu z balíčka a nepozerám sa na ňu, nebudem mať dodatočné informácie a v skutočnosti sa pravdepodobnosť nezmení. Môže to znieť kontraintuitívne. Ako môže jednoduché otočenie karty magicky zmeniť pravdepodobnosť? Ale je to možné, pretože môžete vypočítať pravdepodobnosť pre neznáme položky len z toho, čo viete.

Ak napríklad zamiešate štandardný balíček kariet a odhalíte 51 kariet a žiadna z nich nie je klubová kráľovná, môžete si byť 100% istý, že zostávajúca karta je klubová kráľovná. Ak zamiešate štandardný balíček kariet a vyberiete 51 kariet bez toho, aby ste sa na ne pozreli, pravdepodobnosť, že zostávajúca karta je kráľovnou palíc, je stále 1/52. Po otvorení každej karty získate ďalšie informácie.

Výpočet pravdepodobnosti pre závislé udalosti sa riadi rovnakými princípmi ako pre nezávislé udalosti, až na to, že je to trochu komplikovanejšie, pretože pravdepodobnosti sa menia s odkrývaním kariet. Treba sa teda veľa množiť rôzne významy namiesto násobenia rovnakej hodnoty. To v skutočnosti znamená, že musíme spojiť všetky výpočty, ktoré sme urobili, do jednej kombinácie.

Príklad

Zamiešate štandardný 52-kartový balíček a potiahnete dve karty. Aká je pravdepodobnosť, že vyžrebujete pár? Existuje niekoľko spôsobov, ako vypočítať túto pravdepodobnosť, ale asi najjednoduchší je tento: aká je pravdepodobnosť, že ak vytiahnete jednu kartu, nebudete môcť vytiahnuť pár? Táto pravdepodobnosť je nulová, takže nezáleží na tom, ktorú prvú kartu si vytiahnete, pokiaľ sa zhoduje s druhou. Nezáleží na tom, ktorú kartu vytiahneme ako prvú, stále máme šancu vytiahnuť pár. Pravdepodobnosť vytiahnutia páru po vytiahnutí prvej karty je teda 100%.

Aká je pravdepodobnosť, že sa druhá karta zhoduje s prvou? V balíčku zostáva 51 kariet a 3 z nich sa zhodujú s prvou kartou (v skutočnosti by boli 4 z 52, ale jednu zo zodpovedajúcich kariet ste už odstránili pri ťahaní prvej karty), takže pravdepodobnosť je 1/ 17. Takže keď budete nabudúce hrať Texas Hold'em, chlapík oproti vám povie: „Super, ďalší pár? Dnes sa cítim šťastný,“ budete vedieť, že je vysoká pravdepodobnosť, že blafuje.

Čo ak pridáme dvoch žolíkov, takže máme v balíčku 54 kariet a chceme vedieť, aká je pravdepodobnosť ťahania páru? Prvá karta môže byť žolík a potom bude v balíčku iba jedna karta, ktorá sa zhoduje, a nie tri. Ako zistiť pravdepodobnosť v tomto prípade? Rozdelíme pravdepodobnosti a vynásobíme každú možnosť.

Naša prvá karta môže byť žolík alebo iná karta. Pravdepodobnosť vytiahnutia žolíka je 2/54, pravdepodobnosť vytiahnutia inej karty je 52/54. Ak je prvá karta žolík (2/54), potom pravdepodobnosť, že sa druhá karta bude zhodovať s prvou, je 1/53. Násobenie hodnôt (môžeme ich vynásobiť, pretože to jednotlivé udalosti a chceme, aby nastali obe udalosti) a dostaneme 1/1431 – menej ako jednu desatinu percenta.

Ak najprv vytiahnete inú kartu (52/54), pravdepodobnosť, že sa zhoduje s druhou kartou, je 3/53. Vynásobíme hodnoty a dostaneme 78/1431 (o niečo viac ako 5,5%). Čo urobíme s týmito dvoma výsledkami? Nepretínajú sa a my chceme poznať pravdepodobnosť každého z nich, preto hodnoty sčítame. Dostaneme konečný výsledok 79/1431 (stále asi 5,5 %).

Ak by sme si chceli byť istí presnosťou odpovede, mohli by sme vypočítať pravdepodobnosť všetkých ostatných možných výsledkov: ťahanie žolíka a nezodpovedanie druhej karty alebo ťahanie inej karty a nezodpovedanie druhej karty. Sčítaním týchto pravdepodobností a pravdepodobnosti výhry by sme dostali presne 100 %. Nebudem tu uvádzať matematiku, ale môžete skúsiť matematiku pre kontrolu.

Paradox Montyho Halla

Dostávame sa tak k pomerne známemu paradoxu, ktorý veľa ľudí často mätie – Monty Hall Paradox. Paradox je pomenovaný po moderátorovi televíznej relácie Let's Make a Deal Pre tých, ktorí túto televíznu reláciu nikdy nevideli, bol opakom The Price Is Right.

V The Price Is Right je hostiteľ (Bob Barker býval hostiteľom; kto je teraz Drew Carey? Nevadí) je váš priateľ. Chce, aby ste vyhrali peniaze alebo skvelé ceny. Snaží sa vám poskytnúť každú príležitosť na výhru, pokiaľ dokážete uhádnuť, akú skutočnú hodnotu majú predmety zakúpené sponzormi.

Monty Hall sa zachoval inak. Bol ako zlé dvojča Boba Barkera. Jeho cieľom bolo, aby ste v národnej televízii vyzerali ako idiot. Ak ste boli na šou, bol to váš súper, hrali ste proti nemu a šance boli v jeho prospech. Možno som príliš drsný, ale keď sa pozriem na predstavenie, do ktorého sa s väčšou pravdepodobnosťou dostanete, ak si oblečiete smiešny kostým, presne k tomu som dospel.

Jeden z najznámejších mémov predstavenia bol tento: pred vami sú tri dvere, dvere číslo 1, dvere číslo 2 a dvere číslo 3. Jedny dvere si môžete vybrať zadarmo. Za jedným z nich je veľkolepá cena – napríklad nové auto. Za ďalšími dvoma dverami nie sú žiadne ceny, obe nemajú žiadnu hodnotu. Majú vás ponižovať, takže za nimi nie je len tak niečo, ale niečo hlúpe, napríklad koza alebo obrovská tuba zubnej pasty – čokoľvek, len nie nové auto.

Vyberiete si jedny z dverí, Monty sa ich chystá otvoriť, aby vám dal vedieť, či ste vyhrali alebo nie... ale počkajte. Než to zistíme, pozrime sa na jedny z tých dverí, ktoré ste si nevybrali. Monty vie, za ktorými dverami je cena, a vždy môže otvoriť dvere, za ktorými nie je žiadna cena. „Vyberáte si dvere číslo 3? Potom otvorme dvere číslo 1, aby sme ukázali, že za nimi nie je žiadna cena.“ A teraz vám zo štedrosti ponúka možnosť vymeniť vybrané dvere číslo 3 za to, čo je za dverami číslo 2.

V tomto bode vyvstáva otázka pravdepodobnosti: zvyšuje táto príležitosť vašu pravdepodobnosť výhry alebo ju znižuje, alebo zostáva nezmenená? ako myslíš?

Správna odpoveď: možnosť vybrať si iné dvere zvyšuje pravdepodobnosť výhry z 1/3 na 2/3. To je nelogické. Ak ste sa s týmto paradoxom ešte nestretli, potom si s najväčšou pravdepodobnosťou hovoríte: počkajte, ako to, že sme otvorením jedných dverí magicky zmenili pravdepodobnosť? Ako sme už videli pri mapách, presne toto sa stane, keď získame viac informácií. Je zrejmé, že keď si vyberiete prvýkrát, pravdepodobnosť výhry je 1/3. Keď sa otvoria jedny dvere, vôbec to nemení pravdepodobnosť výhry pre prvú možnosť: pravdepodobnosť je stále 1/3. Ale pravdepodobnosť, že tie druhé dvere sú správne, je teraz 2/3.

Pozrime sa na tento príklad z inej perspektívy. Vyberiete si dvere. Pravdepodobnosť výhry je 1/3. Navrhujem, aby ste vymenili ďalšie dve dvere, čo robí Monty Hall. Iste, otvorí jedny z dverí, aby odhalil, že za nimi nie je žiadna cena, ale to môže urobiť vždy, takže to vlastne nič nemení. Samozrejme, budete chcieť zvoliť iné dvere.

Ak otázke celkom nerozumiete a potrebujete presvedčivejšie vysvetlenie, kliknite na tento odkaz a dostanete sa do skvelej malej Flash aplikácie, ktorá vám umožní podrobnejšie preskúmať tento paradox. Môžete hrať od približne 10 dverí a potom sa postupne prepracovať až k hre s tromi dverami. K dispozícii je tiež simulátor, v ktorom môžete hrať s ľubovoľným počtom dverí od 3 do 50 alebo spustiť niekoľko tisíc simulácií a zistiť, koľkokrát by ste vyhrali, keby ste hrali.

Vyberte si jedny z troch dverí – pravdepodobnosť výhry je 1/3. Teraz máte dve stratégie: zmeniť svoju voľbu po otvorení nesprávnych dverí alebo nie. Ak nezmeníte svoj výber, pravdepodobnosť zostane 1/3, pretože výber nastane iba v prvej fáze a musíte hneď uhádnuť. Ak sa zmeníte, potom môžete vyhrať, ak si najskôr vyberiete nesprávne dvere (potom otvoria ďalšie zlé, tie správne zostávajú - zmenou svojho rozhodnutia to beriete). Pravdepodobnosť výberu nesprávnych dverí na začiatku je 2/3 – ukazuje sa teda, že zmenou svojho rozhodnutia zdvojnásobíte pravdepodobnosť výhry.

Poznámka od učiteľa vyššia matematika a špecialista na herná rovnováha Maxim Soldatov - samozrejme, Schreiber ju nemal, ale bez nej to môžete pochopiť magická premena dosť ťažké

A opäť o Monty Hallovom paradoxe

Čo sa týka samotnej šou: aj keď Monty Hallovi oponenti neboli dobrí v matematike, on v nej bol dobrý. Tu je to, čo urobil, aby trochu zmenil hru. Ak by ste si vybrali dvere, ktoré mali za sebou cenu, ktorá mala 1/3 šancu, že sa tak stane, vždy vám ponúkne možnosť výberu iných dverí. Vyberiete si auto a potom ho vymeníte za kozu a budete vyzerať dosť hlúpo – čo je presne to, čo chcete, keďže Hall je tak trochu zlý chlap.

Ale ak si vyberiete dvere, za ktorými nie je žiadna cena, len polovicu času vás požiada, aby ste si vybrali iné, alebo vám len ukáže vašu novú kozu a vy odídete z javiska. Poďme to analyzovať nová hra, v ktorom sa Monty Hall môže rozhodnúť, či vám ponúkne možnosť vybrať si iné dvere alebo nie.

Predpokladajme, že postupuje podľa tohto algoritmu: ak si vyberiete dvere s cenou, vždy vám ponúkne možnosť vybrať si iné dvere, inak rovnaká pravdepodobnosť vám ponúkne vybrať si iné dvere alebo vám dá kozu. Aká je vaša pravdepodobnosť výhry?

V jednom z tri možnosti hneď si vyberiete dvere, za ktorými sa výhra nachádza, a moderátor vás vyzve, aby ste si vybrali ďalšie.

Zo zostávajúcich dvoch možností z troch (na začiatku si vyberiete dvere bez ceny), v polovici prípadov vám moderátor ponúkne zmenu vášho rozhodnutia av druhej polovici prípadov nie.

Polovica z 2/3 je 1/3, to znamená, že v jednom prípade z troch dostanete kozu, v jednom prípade z troch vyberiete nesprávne dvere a hostiteľ vás požiada, aby ste si vybrali iné, a v jednom prípade v prípade z troch si vyberiete správne dvere, ale on opäť ponúkne iné.

Ak moderátorka ponúkne výber iných dverí, už vieme, že ten jeden prípad z troch, keď nám dá kozu a odchádzame, sa nestal. Toto užitočné informácie: znamená to, že naše šance na výhru sa zmenili. Dva prípady z troch, keď máme možnosť si vybrať: v jednom prípade to znamená, že sme uhádli správne a v druhom, že sme hádali zle, takže ak nám bola vôbec ponúknutá možnosť vybrať si, potom pravdepodobnosť našej výhry je 1/2 a z matematického hľadiska je jedno, či ostanete pri výbere alebo si vyberiete iné dvere.

Rovnako ako poker je to psychologická hra, nie matematická. Prečo ti dal Monty na výber? Myslí si, že ste hlupák, ktorý nevie, že výber iných dverí je „správne“ rozhodnutie a bude sa tvrdohlavo držať svojho výberu (predsa len psychologicky situácia je zložitejšia, keď ste si vybrali auto a potom ho stratili)?

Alebo vám túto šancu ponúkne, keď sa rozhodne, že ste šikovný a vyberiete si iné dvere, pretože vie, že ste v prvom rade uhádli správne a chytíte sa? Alebo je možno netypicky láskavý a núti vás urobiť niečo, z čoho budete mať úžitok, pretože už nejaký čas nerozdáva autá a producenti tvrdia, že publikum sa začína nudiť a bolo by lepšie rozdať veľkú cenu čoskoro. klesajú hodnotenia?

Montymu sa tak darí občas ponúknuť na výber a stále udržať celkovú pravdepodobnosť výhry na 1/3. Pamätajte, že pravdepodobnosť, že prehráte úplne, je 1/3. Šanca, že hneď uhádnete správne, je 1/3 a 50 % z toho vyhráte (1/3 x 1/2 = 1/6).

Pravdepodobnosť, že najprv uhádnete zle, ale potom budete mať možnosť vybrať si iné dvere, je 1/3 a polovicu z nich vyhráte (tiež 1/6). Spočítajte dve nezávislé výherné možnosti a dostanete pravdepodobnosť 1/3, takže nezáleží na tom, či zostanete pri výbere alebo si vyberiete iné dvere – vaša celková pravdepodobnosť výhry počas celej hry je 1/3.

Pravdepodobnosť nie je väčšia ako v situácii, keď ste uhádli dvere a moderátor vám jednoducho ukázal, čo je za nimi, bez toho, aby vám ponúkol vybrať si iné. Cieľom návrhu nie je zmeniť pravdepodobnosť, ale urobiť rozhodovací proces zábavnejším sledovaním v televízii.

Mimochodom, toto je jeden z dôvodov, prečo môže byť poker taký zaujímavý: vo väčšine formátov sa medzi kolami, keď sa uzatvárajú stávky (napríklad flop, turn a river v Texas Hold'em), postupne odkrývajú karty, a ak na začiatku hry máte jednu šancu na výhru, potom po každom stávkovom kole, keď je otvorené viac kariet, táto pravdepodobnosť sa mení.

Paradox chlapca a dievčaťa

Dostávame sa tak k ďalšiemu známemu paradoxu, ktorý spravidla mätie každého – paradox chlapca a dievčaťa. Jediná vec, o ktorej dnes píšem, nesúvisí priamo s hrami (aj keď vás tuším mám len povzbudiť, aby ste si vytvorili vhodné herné mechanizmy). Toto je skôr hádanka, ale zaujímavá, a aby ste ju vyriešili, musíte pochopiť podmienenú pravdepodobnosť, o ktorej sme hovorili vyššie.

Problém: Mám priateľa s dvoma deťmi, aspoň jedno z nich je dievča. Aká je pravdepodobnosť, že aj druhé dieťa bude dievča? Predpokladajme, že v každej rodine je šanca mať dievča a chlapca 50/50, a to platí pre každé dieťa.

V skutočnosti niektorí muži majú v spermiách viac spermií s chromozómom X alebo chromozómom Y, takže pravdepodobnosť sa mierne mení. Ak viete, že jedno dieťa je dievča, pravdepodobnosť, že budete mať druhé dievča, je o niečo vyššia a existujú aj ďalšie stavy, ako je hermafroditizmus. Ale na vyriešenie tohto problému to nebudeme brať do úvahy a budeme predpokladať, že narodenie dieťaťa je nezávislá udalosť a narodenie chlapca a dievčaťa je rovnako pravdepodobné.

Keďže hovoríme o šanci 1/2, intuitívne očakávame, že odpoveď bude s najväčšou pravdepodobnosťou 1/2 alebo 1/4, prípadne nejaké iné číslo, ktoré je v menovateli násobkom dvoch. Ale odpoveď je 1/3. prečo?

Problém je v tom, že informácie, ktoré máme, znižujú počet možností. Predpokladajme, že rodičia sú fanúšikmi Sesame Street a bez ohľadu na pohlavie detí ich pomenovali A a B. Za normálnych podmienok existujú štyri rovnako pravdepodobné možnosti: A a B sú dvaja chlapci, A a B sú dve dievčatá, A je chlapec a B je dievča, A je dievča a B je chlapec. Keďže vieme, že aspoň jedno dieťa je dievča, môžeme vylúčiť, že A a B sú dvaja chlapci. Zostávajú nám teda tri možnosti – stále rovnako pravdepodobné. Ak sú všetky možnosti rovnako pravdepodobné a sú tri, potom pravdepodobnosť každej z nich je 1/3. Len v jednej z týchto troch možností sú obe deti dievčatá, takže odpoveď je 1/3.

A opäť o paradoxe chlapca a dievčaťa

Riešenie problému sa stáva ešte nelogickejším. Predstavte si, že môj priateľ má dve deti a jedno z nich je dievča, ktoré sa narodilo v utorok. Predpokladajme, že za normálnych podmienok sa dieťa môže narodiť v každom zo siedmich dní v týždni s rovnakou pravdepodobnosťou. Aká je pravdepodobnosť, že aj druhé dieťa bude dievča?

Možno si myslíte, že odpoveď bude stále 1/3: na čom záleží utorok? Ale aj v tomto prípade nám zlyháva intuícia. Odpoveď je 13/27, čo je nielen neintuitívne, ale veľmi zvláštne. O čo ide v tomto prípade?

V skutočnosti utorok mení pravdepodobnosť, pretože nevieme, ktoré dieťa sa narodilo v utorok, alebo možno obe sa narodili v utorok. V tomto prípade používame rovnakú logiku: počítame všetky možné kombinácie, keď je aspoň jedno dieťa dievča narodené v utorok. Rovnako ako v predchádzajúcom príklade predpokladajme, že deti majú mená A a B. Kombinácie vyzerajú takto:

• A je dievča, ktoré sa narodilo v utorok, B je chlapec (v tejto situácii je 7 možností, jedna na každý deň v týždni, kedy sa mohol narodiť chlapec).
• B je dievča narodené v utorok, A je chlapec (tiež 7 možností).
• A - dievča, ktoré sa narodilo v utorok, B - dievča, ktoré sa narodilo v iný deň v týždni (6 možností).
• B je dievča, ktoré sa narodilo v utorok, A je dievča, ktoré sa nenarodilo v utorok (tiež 6 pravdepodobností).
• A a B sú dve dievčatá, ktoré sa narodili v utorok (1 možnosť, treba si na to dať pozor, aby sa to nerátalo dvakrát).

Sčítame a dostaneme 27 rôznych rovnako možných kombinácií narodení detí a dní s aspoň jednou možnosťou, že sa v utorok narodí dievčatko. Z toho je 13 možností, keď sa narodia dve dievčatá. Zdá sa to tiež úplne nelogické - zdá sa, že táto úloha bola vynájdená len preto, aby spôsobovala bolesti hlavy. Ak ste stále zmätení, webová stránka herného teoretika Jespera Juhla má dobré vysvetlenie tohto problému.

Ak práve pracujete na hre

Ak je v hre, ktorú navrhujete, náhoda, je skvelý čas na jej analýzu. Vyberte prvok, ktorý chcete analyzovať. Najprv si položte otázku, akú očakávate pravdepodobnosť pre daný prvok, aká by mala byť v kontexte hry.

Napríklad, ak robíte RPG a zaujíma vás, aká by mala byť pravdepodobnosť, že hráč porazí v boji monštrum, položte si otázku, čo percentá výhra sa ti zdá správna. Pri konzolových RPG sú hráči zvyčajne veľmi rozrušení, keď prehrajú, takže je najlepšie, ak prehrávajú zriedkavo – 10 % času alebo menej. Ak ste dizajnér RPG, pravdepodobne to viete lepšie ako ja, ale musíte mať základnú predstavu o tom, aká by mala byť pravdepodobnosť.

Potom si položte otázku, či sú vaše pravdepodobnosti závislé (ako pri kartách) alebo nezávislé (ako pri kockách). Analyzujte všetky možné výsledky a ich pravdepodobnosti. Uistite sa, že súčet všetkých pravdepodobností je 100 %. A, samozrejme, porovnajte získané výsledky s vašimi očakávaniami. Dokážete hádzať kockou alebo ťahať karty tak, ako ste zamýšľali, alebo je jasné, že hodnoty je potrebné upraviť? A samozrejme, ak nájdete nejaké nedostatky, môžete pomocou rovnakých výpočtov určiť, ako veľmi hodnoty zmeniť.

Zadanie domácej úlohy

Váš domáce úlohy“Tento týždeň vám pomôže zdokonaliť vaše schopnosti pravdepodobnosti. Tu sú dve hry s kockami a kartová hra, ktoré budete analyzovať pomocou pravdepodobnosti, ako aj zvláštny herný mechanizmus, ktorý som kedysi vyvinul a ktorý bude testovať metódu Monte Carlo.

Hra #1 - Dračie kosti

Toto je hra s kockami, ktorú sme s kolegami kedysi vymysleli (vďaka Jebovi Heavensovi a Jesse Kingovi) – špecificky fúka do povedomia ľudí svojimi pravdepodobnosťami. Je to jednoduchá kasínová hra s názvom Dragon Dice a je to súťaž o hazardné kocky medzi hráčom a domom.

Dostanete normálnu kocku 1k6. Cieľom hry je hodiť o číslo vyššie ako je domček. Tom dostane neštandardnú 1k6 - rovnakú ako vy, ale na jednej z jeho tvárí namiesto jednotky je obrázok draka (takže kasíno má kocku draka - 2-3-4-5-6 ). Ak dom dostane draka, automaticky vyhráva a vy prehrávate. Ak obaja dostanú rovnaké číslo, je to remíza a znova hodíte kockou. Vyhráva ten, kto hodí najvyššie číslo.

Samozrejme, všetko nefunguje úplne v prospech hráča, pretože kasíno má výhodu v podobe dračieho okraja. Ale je to naozaj pravda? Toto si musíte vypočítať. Najprv však skontrolujte svoju intuíciu.

Povedzme, že kurz je 2 ku 1. Ak teda vyhráte, ponecháte si svoju stávku a získate dvojnásobok svojej stávky. Ak napríklad vsadíte 1 dolár a vyhráte, ponecháte si tento dolár a získate ďalšie 2 navrch, spolu teda 3 doláre. Ak prehráte, stratíte iba svoju stávku. Hrali by ste? Máte intuitívne pocit, že pravdepodobnosť je väčšia ako 2 ku 1, alebo si stále myslíte, že je menšia? Inými slovami, v priemere počas 3 hier očakávate, že vyhráte viac ako raz, alebo menej, alebo raz?

Akonáhle budete mať svoju intuíciu, použite matematiku. Pre obe kocky je len 36 možných pozícií, takže ich môžete bez problémov spočítať. Ak si nie ste istí ponukou 2 za 1, zvážte toto: Povedzme, že ste hru hrali 36-krát (vždy ste stavili 1 dolár). Za každú výhru dostanete 2 doláre, za každú prehru prehráte 1 a remíza nič nemení. Vypočítajte si všetky pravdepodobné výhry a straty a rozhodnite sa, či nejaké doláre stratíte alebo získate. Potom si položte otázku, aká správna bola vaša intuícia. A potom si uvedomiť, aký som darebák.

A áno, ak ste sa už zamysleli nad touto otázkou – zámerne vás mätiem tým, že nesprávne uvádzam skutočnú mechaniku kockových hier, ale som si istý, že túto prekážku dokážete prekonať len trochou rozmýšľania. Skúste tento problém vyriešiť sami.

Hra č. 2 - Hoď pre šťastie

Toto hazardných hier v kocke nazývanej „Hod šťastia“ (tiež „Birdcage“, pretože niekedy sa kocky nehádžu, ale umiestnia sa do veľkej drôtenej klietky, ktorá pripomína klietku z Binga). Hra je jednoduchá a v podstate sa scvrkáva na toto: vsaďte povedzme 1 dolár na číslo od 1 do 6. Potom hodíte 3k6. Za každú kocku, ktorá vám pristane číslo, získate 1 dolár (a ponecháte si pôvodnú stávku). Ak vaše číslo nepadne na žiadnej z kociek, kasíno dostane váš dolár a vy nedostanete nič. Takže ak vsadíte na 1 a dostanete 1 na stranách trikrát, dostanete 3 doláre.

Intuitívne sa zdá, že táto hra má rovnaké šance. Každá kocka je individuálna šanca na výhru 1 ku 6, takže po súčte troch hodov je vaša šanca na výhru 3 ku 6. Samozrejme, nezabudnite, že pridávate tri samostatné kocky a môžete pridajte, ak hovoríme o jednotlivcoch výherné kombinácie tá istá kosť. Niečo, čo budete musieť znásobiť.

Keď spočítate všetky možné výsledky (pravdepodobne jednoduchšie v Exceli ako ručne, keďže ich je 216), hra na prvý pohľad stále vyzerá nepárno-párne. V skutočnosti má kasíno stále väčšiu šancu na výhru – o koľko viac? Konkrétne, koľko peňazí v priemere očakávate, že prehráte každé kolo hry?

Všetko, čo musíte urobiť, je sčítať výhry a prehry všetkých 216 výsledkov a potom ich vydeliť 216, čo by malo byť celkom jednoduché. Ale, ako vidíte, je tu niekoľko úskalí, a preto hovorím: ak si myslíte, že táto hra má rovnakú šancu vyhrať, mýlite sa.

Hra č. 3 – 5 Card Stud Poker

Ak ste sa už zohriali na predchádzajúce hry, poďme sa pozrieť, o čom vieme podmienená pravdepodobnosť, pričom ako príklad použijeme túto kartovú hru. Predstavme si pokrovú hru s balíčkom 52 kariet. Predstavme si aj 5 card stud, kde každý hráč dostane len 5 kariet. Nemôžete zahodiť kartu, nemôžete si ťahať novú, neexistuje žiadny zdieľaný balíček – dostanete iba 5 kariet.

Royal Flush je 10-J-Q-K-A v jednej hre, celkovo sú štyri, takže sú štyri možné spôsoby získať kráľovský výplach. Vypočítajte pravdepodobnosť, že dostanete jednu takúto kombináciu.

Musím vás upozorniť na jednu vec: pamätajte, že týchto päť kariet môžete ťahať v ľubovoľnom poradí. To znamená, že najskôr si môžete vytiahnuť eso alebo desiatku, na tom nezáleží. Takže keď budete počítať, majte na pamäti, že v skutočnosti existujú viac ako štyri spôsoby, ako získať kráľovskú farbu, za predpokladu, že karty boli rozdané v poradí.

Hra č. 4 - Lotéria IMF

Štvrtý problém sa nedá tak jednoducho vyriešiť metódami, o ktorých sme dnes hovorili, ale situáciu môžete jednoducho nasimulovať pomocou programovania alebo Excelu. Na príklade tohto problému môžete vypracovať metódu Monte Carlo.

Už som spomínal hru Chron X, na ktorej som kedysi pracoval, a bola tam jedna veľmi zaujímavá karta - lotéria MMF. Fungovalo to takto: použili ste ho v hre. Po skončení kola boli karty prerozdelené a existovala 10% šanca, že karta vypadne z hry a náhodný hráč dostane 5 jednotiek z každého typu zdroja, ktorého žetón sa nachádzal na danej karte. Karta bola zaradená do hry bez jediného žetónu, no zakaždým, keď zostala v hre na začiatku ďalšieho kola, dostala jeden žetón.

Bola teda 10% šanca, že ak to dáte do hry, kolo sa skončí, karta opustí hru a nikto nič nezíska. Ak sa tak nestane (90% šanca), je 10% šanca (v skutočnosti 9%, keďže je to 10% z 90%), že v ďalšom kole opustí hru a niekto získa 5 jednotiek surovín. Ak karta opustí hru po jednom kole (10% z 81% dostupných, takže pravdepodobnosť je 8,1%), niekto dostane 10 jednotiek, ďalšie kolo - 15, ďalšie - 20 atď. Otázka: Aká je všeobecná očakávaná hodnota počtu zdrojov, ktoré získate z tejto karty, keď konečne opustí hru?

Normálne by sme sa pokúsili vyriešiť tento problém vypočítaním možnosti každého výsledku a vynásobením počtom všetkých výsledkov. Existuje 10% šanca, že dostanete 0 (0,1 * 0 = 0). 9%, že dostanete 5 jednotiek zdrojov (9% * 5 = 0,45 zdrojov). 8,1 % z toho, čo získate, je 10 (8,1 %*10=0,81 zdrojov – celková očakávaná hodnota). A tak ďalej. A potom by sme to všetko zhrnuli.

A teraz je vám problém jasný: vždy existuje šanca, že karta neopustí hru, môže zostať v hre navždy, napr. nekonečné číslo kolách, takže neexistuje spôsob, ako vypočítať každú pravdepodobnosť. Metódy, ktoré sme sa dnes naučili, nám neumožňujú vypočítať nekonečnú rekurziu, takže ju budeme musieť vytvoriť umelo.

Ak ste dostatočne dobrí v programovaní, napíšte program, ktorý bude túto mapu simulovať. Mali by ste mať časovú slučku, ktorá privedie premennú na počiatočnú pozíciu nula, zobrazí náhodné číslo a s 10% pravdepodobnosťou premenná opustí slučku. V opačnom prípade pridá 5 do premennej a cyklus sa opakuje. Keď konečne opustí slučku, zvýšte celkový počet pokusov o 1 a celkový počet zdrojov (o koľko závisí od toho, kde premenná skončí). Potom premennú resetujte a začnite znova.

Spustite program niekoľko tisíckrát. Nakoniec vydeľte celkový počet zdrojov celkovým počtom behov – toto bude vaša očakávaná hodnota Monte Carlo. Spustite program niekoľkokrát, aby ste sa uistili, že získané čísla sú približne rovnaké. Ak je rozptyl stále veľký, zvyšujte počet opakovaní vo vonkajšej slučke, kým nezačnete dostávať zápalky. Môžete si byť istí, že akékoľvek čísla, s ktorými skončíte, budú približne správne.

Ak ste nováčikom v programovaní (aj keď ste), tu je rýchle cvičenie na otestovanie vašich zručností v Exceli. Ak ste herný dizajnér, tieto zručnosti nebudú nikdy zbytočné.

Teraz zistíte, že funkcie if a rand sú veľmi užitočné. Rand nevyžaduje hodnoty, len vytvára náhodnú hodnotu desatinné číslo od 0 do 1. Zvyčajne to kombinujeme s podlahou a plusmi a mínusmi, aby sme simulovali hod kockou, ktorý som už spomínal. V tomto prípade však nechávame len 10% šancu, že karta opustí hru, takže môžeme len skontrolovať, či je hodnota rand menšia ako 0,1 a už sa o to nestarať.

Ak má tri významy. V poradí: podmienka, ktorá je buď pravdivá alebo nepravdivá, potom hodnota, ktorá sa vráti, ak je podmienka pravdivá, a hodnota, ktorá sa vráti, ak je podmienka nepravdivá. Takže nasledujúca funkcia vráti 5 % času a 0 ostatných 90 % času: =IF(RAND()<0.1,5,0) .

Existuje mnoho spôsobov, ako nastaviť tento príkaz, ale použil by som tento vzorec pre bunku, ktorá predstavuje prvé kolo, povedzme, že je to bunka A1: =IF(RAND()<0.1,0,-1) .

Tu používam zápornú premennú vo význame „táto karta neopustila hru a ešte sa nevzdala žiadnych zdrojov“. Ak sa teda prvé kolo skončí a karta opustí hru, A1 je 0; inak je to -1.

Pre nasledujúcu bunku predstavujúcu druhé kolo: =IF(A1>-1, A1, IF(RAND()<0.1,5,-1)) . Ak sa teda prvé kolo skončilo a karta okamžite opustila hru, A1 je 0 (počet zdrojov) a táto bunka túto hodnotu jednoducho skopíruje. V opačnom prípade je A1 -1 (karta ešte neopustila hru) a táto bunka sa naďalej náhodne pohybuje: 10 % času vráti 5 jednotiek zdrojov, zvyšok času bude jej hodnota stále rovná -1. Ak použijeme tento vzorec na ďalšie bunky, získame ďalšie kolá a ktorákoľvek bunka, s ktorou skončíte, vám dá konečný výsledok (alebo -1, ak karta neopustila hru po všetkých odohraných kolách).

Vezmite ten riadok buniek, ktorý predstavuje jediné kolo s touto kartou, a skopírujte a vložte niekoľko stoviek (alebo tisíc) riadkov. Možno sa nám nepodarí urobiť nekonečný test pre Excel (v tabuľke je obmedzený počet buniek), ale aspoň dokážeme pokryť väčšinu prípadov. Potom vyberte jednu bunku, do ktorej umiestnite priemer výsledkov všetkých kôl - Excel na to užitočne poskytuje funkciu average().

V systéme Windows môžete aspoň stlačením klávesu F9 prepočítať všetky náhodné čísla. Ako predtým, urobte to niekoľkokrát a uvidíte, či získate rovnaké hodnoty. Ak je rozptyl príliš veľký, zdvojnásobte počet cyklov a skúste to znova.

Nevyriešené problémy

Ak máte náhodou vyštudovanú teóriu pravdepodobnosti a vyššie uvedené problémy sa vám zdajú príliš jednoduché, tu sú dva problémy, nad ktorými som si lámal hlavu už roky, ale bohužiaľ nie som taký dobrý v matematike, aby som ich vyriešil.

Nevyriešený problém č. 1: Lotéria MMF

Prvým nevyriešeným problémom je predchádzajúca domáca úloha. Môžem ľahko použiť metódu Monte Carlo (pomocou C++ alebo Excelu) a byť si istý odpoveďou na otázku „koľko zdrojov hráč dostane“, ale neviem presne, ako poskytnúť presnú preukázateľnú odpoveď matematicky (je to nekonečný rad).

Nevyriešený problém č. 2: Postupnosti obrázkov

Tento problém (tiež ďaleko presahuje úlohy, ktoré sú riešené v tomto blogu) mi dal kamarát z hráčov pred viac ako desiatimi rokmi. Pri hraní blackjacku vo Vegas si všimol jednu zaujímavú vec: keď vybral karty z topánok s 8 balíčkami, uvidel desať figúrok v rade (karta figúrky alebo lícovej karty je 10, Joker, King alebo Queen, takže je ich 16 v celkom v štandardných 52-balíčkových kartách alebo 128 v 416 kartovej topánke).

Aká je pravdepodobnosť, že táto topánka obsahuje aspoň jednu postupnosť desiatich alebo viacerých číslic? Predpokladajme, že boli spravodlivo zamiešané v náhodnom poradí. Alebo, ak chcete, aká je pravdepodobnosť, že sa nikde nevyskytne postupnosť desiatich alebo viacerých číslic?

Úlohu si môžeme zjednodušiť. Tu je sekvencia 416 častí. Každá časť je 0 alebo 1. V sekvencii je náhodne rozptýlených 128 jednotiek a 288 núl. Koľko spôsobov je náhodne preložiť 128 jednotiek s 288 nulami a koľkokrát sa týmito spôsobmi vyskytne aspoň jedna skupina desiatich alebo viacerých jednotiek?

Zakaždým, keď som sa pustil do riešenia tohto problému, zdalo sa mi to jednoduché a samozrejmé, no akonáhle som sa zahĺbil do detailov, zrazu sa to rozpadlo a zdalo sa mi to jednoducho nemožné.

Neponáhľajte sa preto zahmlievať odpoveď: sadnite si, dobre si premyslite, naštudujte si podmienky, skúste zapojiť reálne čísla, pretože všetci ľudia, s ktorými som sa o tomto probléme rozprával (vrátane niekoľkých postgraduálnych študentov pracujúcich v tejto oblasti), reagovali o to isté: "Je to úplne zrejmé... oh, nie, počkajte, vôbec to nie je zrejmé." To je prípad, keď nemám metódu na výpočet všetkých možností. Mohol by som, samozrejme, brutálne vynútiť problém pomocou počítačového algoritmu, ale oveľa zaujímavejšie by bolo poznať matematické riešenie.

Pôvodne bola teória pravdepodobnosti len zbierkou informácií a empirických pozorovaní o hre v kocky a stala sa dôkladnou vedou. Prví, ktorí tomu dali matematický rámec, boli Fermat a Pascal.

Od uvažovania o večnom k ​​teórii pravdepodobnosti

Dvaja jednotlivci, ktorým teória pravdepodobnosti vďačí za mnohé zo svojich základných vzorcov, Blaise Pascal a Thomas Bayes, sú známi ako hlboko veriaci ľudia, pričom druhý je presbyteriánskym kazateľom. Zrejme túžba týchto dvoch vedcov dokázať mylnosť názoru o istej Fortune, ktorá obdarúva svojich obľúbencov šťastie, dala impulz výskumu v tejto oblasti. Veď v skutočnosti je každá hazardná hra so svojimi výhrami a prehrami len symfóniou matematických princípov.

Vďaka vášni rytiera de Mere, ktorý bol rovnako hazardným hráčom a mužom, ktorému veda nebola ľahostajná, bol Pascal nútený nájsť spôsob, ako vypočítať pravdepodobnosť. De Mere sa zaujímal o nasledujúcu otázku: „Koľkokrát je potrebné hodiť dve kocky v pároch, aby pravdepodobnosť získania 12 bodov presiahla 50 %?“ Druhá otázka, ktorá pána veľmi zaujala: „Ako rozdeliť stávku medzi účastníkov nedokončenej hry? Pascal samozrejme úspešne odpovedal na obe otázky de Mereho, ktorý sa stal nevedomým iniciátorom rozvoja teórie pravdepodobnosti. Je zaujímavé, že osoba de Mere zostala známa v tejto oblasti, a nie v literatúre.

Predtým sa žiadny matematik nikdy nepokúsil vypočítať pravdepodobnosti udalostí, pretože sa verilo, že ide len o hádanie. Blaise Pascal dal prvú definíciu pravdepodobnosti udalosti a ukázal, že ide o špecifický údaj, ktorý možno matematicky zdôvodniť. Teória pravdepodobnosti sa stala základom štatistiky a je široko používaná v modernej vede.

Čo je náhodnosť

Ak vezmeme do úvahy test, ktorý sa môže opakovať nekonečne veľakrát, potom môžeme definovať náhodnú udalosť. Toto je jeden z pravdepodobných výsledkov experimentu.

Skúsenosť je realizácia konkrétnych akcií za stálych podmienok.

Aby bolo možné s výsledkami experimentu pracovať, udalosti sa zvyčajne označujú písmenami A, B, C, D, E...

Pravdepodobnosť náhodnej udalosti

Aby sme mohli začať s matematickou časťou pravdepodobnosti, je potrebné definovať všetky jej zložky.

Pravdepodobnosť udalosti je numerická miera možnosti, že nejaká udalosť (A alebo B) nastane v dôsledku zážitku. Pravdepodobnosť sa označuje ako P(A) alebo P(B).

V teórii pravdepodobnosti rozlišujú:

• spoľahlivý udalosť sa zaručene vyskytne ako výsledok skúsenosti P(Ω) = 1;
• nemožné udalosť sa nikdy nemôže stať P(Ø) = 0;
• náhodný udalosť leží medzi spoľahlivou a nemožnou, to znamená, že pravdepodobnosť jej výskytu je možná, ale nie je zaručená (pravdepodobnosť náhodnej udalosti je vždy v rozsahu 0≤Р(А)≤ 1).

Vzťahy medzi udalosťami

Jedna aj súčet udalostí A+B sa berú do úvahy, keď sa udalosť počíta, keď je splnená aspoň jedna zo zložiek A alebo B alebo obe zložky A a B.

Vo vzájomnom vzťahu môžu byť udalosti:

• Rovnako možné.
• Kompatibilné.
• Nekompatibilné.
• Opačný (vzájomne sa vylučujúci).
• Závislá.

Ak sa dve udalosti môžu stať s rovnakou pravdepodobnosťou, tak potom rovnako možné.

Ak výskyt udalosti A nezníži na nulu pravdepodobnosť výskytu udalosti B, potom oni kompatibilné.

Ak udalosti A a B nikdy nenastanú súčasne v tej istej skúsenosti, potom sa nazývajú nezlučiteľné. Dobrým príkladom je hod mincou: vzhľad hláv je automaticky tým, že sa hlavy neobjavia.

Pravdepodobnosť súčtu takýchto nezlučiteľných udalostí pozostáva zo súčtu pravdepodobností každej z týchto udalostí:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Ak výskyt jednej udalosti znemožňuje výskyt inej udalosti, potom sa nazývajú opačné. Potom je jeden z nich označený ako A a druhý - Ā (čítaj ako „nie A“). Výskyt udalosti A znamená, že Ā nenastala. Tieto dve udalosti tvoria kompletnú skupinu so súčtom pravdepodobností rovným 1.

Závislé udalosti majú vzájomný vplyv, znižujú alebo zvyšujú pravdepodobnosť toho druhého.

Vzťahy medzi udalosťami. Príklady

Pomocou príkladov je oveľa jednoduchšie pochopiť princípy teórie pravdepodobnosti a kombinácií udalostí.

Experiment, ktorý sa uskutoční, pozostáva z vyberania loptičiek z krabice a výsledkom každého experimentu je elementárny výsledok.

Udalosť je jedným z možných výsledkov experimentu – červená guľa, modrá guľa, guľa s číslom šesť atď.

Test č.1. Ide o 6 guľôčok, z ktorých tri sú modré s nepárnymi číslami a ďalšie tri sú červené s párnymi číslami.

Test č.2. K dispozícii je 6 modrých guličiek s číslami od jedna do šesť.

Na základe tohto príkladu môžeme pomenovať kombinácie:

• Spoľahlivé podujatie. v španielčine Udalosť č. 2 „získaj modrú loptičku“ je spoľahlivá, pretože pravdepodobnosť jej výskytu je rovná 1, pretože všetky loptičky sú modré a nemôže chýbať. Zatiaľ čo udalosť „získaj loptu s číslom 1“ je náhodná.
• Nemožná udalosť. v španielčine 1 s modrými a červenými loptičkami je udalosť „získanie fialovej gule“ nemožná, pretože pravdepodobnosť jej výskytu je 0.
• Rovnako možné udalosti. v španielčine č. 1, udalosti „získaj loptu s číslom 2“ a „získaj loptu s číslom 3“ sú rovnako možné a udalosti „získaj loptu s párnym číslom“ a „získaj loptu s číslom 2“ “ majú rôzne pravdepodobnosti.
• Kompatibilné udalosti. Dostať šestku dvakrát za sebou pri hode kockou je kompatibilná udalosť.
• Nekompatibilné udalosti. V tej istej španielčine Č. 1, udalosti „získaj červenú loptičku“ a „získaj loptičku s nepárnym číslom“ nemožno kombinovať v rovnakom zážitku.
• Opačné udalosti. Najvýraznejším príkladom je hádzanie mincou, kde sa kresliť hlavy rovná nenakresleniu chvostov a súčet ich pravdepodobností je vždy 1 (celá skupina).
• Závislé udalosti. Takže po španielsky Č. 1, môžete si nastaviť cieľ ťahať červenú guľu dvakrát za sebou. To, či je alebo nie je načítané prvýkrát, ovplyvňuje pravdepodobnosť získania druhýkrát.

Je vidieť, že prvá udalosť výrazne ovplyvňuje pravdepodobnosť druhej (40 % a 60 %).

Vzorec pravdepodobnosti udalosti

Prechod od veštenia k presným údajom nastáva prekladom témy do matematickej roviny. To znamená, že úsudky o náhodnej udalosti, ako je „vysoká pravdepodobnosť“ alebo „minimálna pravdepodobnosť“, možno previesť do konkrétnych číselných údajov. Takýto materiál je už prípustné vyhodnocovať, porovnávať a zadávať do zložitejších výpočtov.

Z hľadiska výpočtu je určenie pravdepodobnosti udalosti pomerom počtu elementárnych pozitívnych výsledkov k počtu všetkých možných výsledkov skúseností týkajúcich sa konkrétnej udalosti. Pravdepodobnosť sa označuje ako P(A), kde P znamená slovo „pravdepodobnosť“, čo sa z francúzštiny prekladá ako „pravdepodobnosť“.

Takže vzorec pre pravdepodobnosť udalosti je:

Kde m je počet priaznivých výsledkov pre udalosť A, n je súčet všetkých možných výsledkov pre túto skúsenosť. V tomto prípade je pravdepodobnosť udalosti vždy medzi 0 a 1:

0 ≤ P(A) ≤ 1.

Výpočet pravdepodobnosti udalosti. Príklad

Vezmime si španielčinu. č. 1 s loptičkami, ktorý bol popísaný vyššie: 3 modré gule s číslami 1/3/5 a 3 červené gule s číslami 2/4/6.

Na základe tohto testu možno zvážiť niekoľko rôznych problémov:

• A - vypadávajúca červená guľa. Existujú 3 červené guľôčky a celkovo 6 možností Toto je najjednoduchší príklad, v ktorom sa pravdepodobnosť udalosti rovná P(A) = 3/6 = 0,5.
• B - hádzanie párneho čísla. Existujú 3 párne čísla (2,4,6) a celkový počet možných číselných možností je 6. Pravdepodobnosť tejto udalosti je P(B)=3/6=0,5.
• C - výskyt čísla väčšieho ako 2. Existujú 4 takéto možnosti (3,4,5,6) z celkového počtu možných výsledkov 6. Pravdepodobnosť udalosti C sa rovná P(C)=4 /6 = 0,67.

Ako je možné vidieť z výpočtov, udalosť C má vyššiu pravdepodobnosť, pretože počet pravdepodobných pozitívnych výsledkov je vyšší ako v prípade A a B.

Nekompatibilné udalosti

Takéto udalosti sa nemôžu objaviť súčasne v tej istej skúsenosti. Ako v španielčine č. 1 nie je možné získať modrú a červenú loptičku súčasne. To znamená, že môžete získať modrú alebo červenú guľu. Rovnako tak sa na kocke nemôže objaviť súčasne párne a nepárne číslo.

Pravdepodobnosť dvoch udalostí sa považuje za pravdepodobnosť ich súčtu alebo súčinu. Súčet takýchto udalostí A+B sa považuje za udalosť, ktorá pozostáva z výskytu udalosti A alebo B a ich súčin AB je výskyt oboch. Napríklad vzhľad dvoch šestiek naraz na tvárach dvoch kociek v jednom hode.

Súčet viacerých udalostí je udalosť, ktorá predpokladá výskyt aspoň jednej z nich. Výroba niekoľkých podujatí je spoločným výskytom všetkých.

V teórii pravdepodobnosti spravidla použitie spojky „a“ ​​označuje súčet a spojka „alebo“ - násobenie. Vzorce s príkladmi vám pomôžu pochopiť logiku sčítania a násobenia v teórii pravdepodobnosti.

Pravdepodobnosť súčtu nezlučiteľných udalostí

Ak sa berie do úvahy pravdepodobnosť nekompatibilných udalostí, potom sa pravdepodobnosť súčtu udalostí rovná súčtu ich pravdepodobností:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Napríklad: vypočítajme pravdepodobnosť, že v španielčine. 1 s modrými a červenými guľôčkami sa objaví číslo medzi 1 a 4. Počítame nie v jednej akcii, ale súčtom pravdepodobností elementárnych zložiek. Takže v takomto experimente je len 6 loptičiek alebo 6 zo všetkých možných výsledkov. Čísla, ktoré spĺňajú podmienku, sú 2 a 3. Pravdepodobnosť získania čísla 2 je 1/6, pravdepodobnosť získania čísla 3 je tiež 1/6. Pravdepodobnosť získania čísla medzi 1 a 4 je:

Pravdepodobnosť súčtu nekompatibilných udalostí celej skupiny je 1.

Ak teda pri pokuse s kockou spočítame pravdepodobnosti všetkých vystupujúcich čísel, výsledkom bude jedna.

To platí aj pre opačné udalosti, napríklad pri pokuse s mincou, kde jedna strana je udalosť A a druhá opačná udalosť Ā, ako je známe.

P(A) + P(Ā) = 1

Pravdepodobnosť výskytu nezlučiteľných udalostí

Násobenie pravdepodobnosti sa používa pri zvažovaní výskytu dvoch alebo viacerých nezlučiteľných udalostí v jednom pozorovaní. Pravdepodobnosť, že sa v ňom udalosti A a B objavia súčasne, sa rovná súčinu ich pravdepodobností, alebo:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Napríklad pravdepodobnosť, že v španielčine č. 1, v dôsledku dvoch pokusov sa dvakrát objaví modrá guľa, ktorá sa rovná

To znamená, že pravdepodobnosť udalosti, ktorá nastane, keď sa v dôsledku dvoch pokusov o extrakciu loptičiek vytiahnu iba modré loptičky, je 25 %. Je veľmi jednoduché urobiť praktické experimenty s týmto problémom a zistiť, či je to skutočne tak.

Spoločné akcie

Udalosti sa považujú za spoločné, ak sa výskyt jednej z nich môže zhodovať s výskytom inej. Napriek tomu, že sú spoločné, zvažuje sa pravdepodobnosť nezávislých udalostí. Napríklad hod dvoma kockami môže dať výsledok, keď sa na oboch objaví číslo 6. Hoci sa udalosti zhodovali a objavili sa v rovnakom čase, sú na sebe nezávislé – vypadnúť mohla len jedna šestka, druhá kocka nemá žiadnu. vplyv na to.

Pravdepodobnosť spoločných udalostí sa považuje za pravdepodobnosť ich súčtu.

Pravdepodobnosť súčtu spoločných udalostí. Príklad

Pravdepodobnosť súčtu udalostí A a B, ktoré sú vo vzájomnom vzťahu spoločné, sa rovná súčtu pravdepodobností udalosti mínus pravdepodobnosť ich výskytu (teda ich spoločného výskytu):

R kĺb (A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)

Predpokladajme, že pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa jednou ranou je 0,4. Potom udalosť A zasiahne cieľ v prvom pokuse, B - v druhom. Tieto udalosti sú spoločné, pretože je možné, že zasiahnete cieľ prvým aj druhým výstrelom. Ale udalosti nie sú závislé. Aká je pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa dvoma ranami (aspoň jednou)? Podľa vzorca:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Odpoveď na otázku znie: „Pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa dvoma ranami je 64 %.

Tento vzorec pravdepodobnosti udalosti možno aplikovať aj na nezlučiteľné udalosti, kde pravdepodobnosť spoločného výskytu udalosti P(AB) = 0. To znamená, že pravdepodobnosť súčtu nezlučiteľných udalostí možno považovať za špeciálny prípad. navrhovaného vzorca.

Geometria pravdepodobnosti pre prehľadnosť

Zaujímavé je, že pravdepodobnosť súčtu spoločných udalostí možno znázorniť ako dve oblasti A a B, ktoré sa navzájom prelínajú. Ako je zrejmé z obrázku, plocha ich spojenia sa rovná celkovej ploche mínus plocha ich priesečníka. Toto geometrické vysvetlenie robí zdanlivo nelogický vzorec zrozumiteľnejším. Všimnite si, že geometrické riešenia nie sú v teórii pravdepodobnosti nezvyčajné.

Určiť pravdepodobnosť súčtu mnohých (viac ako dvoch) spoločných udalostí je dosť ťažkopádne. Na jej výpočet je potrebné použiť vzorce, ktoré sú pre tieto prípady poskytnuté.

Závislé udalosti

Udalosti sa nazývajú závislé, ak výskyt jednej (A) z nich ovplyvňuje pravdepodobnosť výskytu inej (B). Okrem toho sa berie do úvahy vplyv tak výskytu udalosti A, ako aj jej neprítomnosti. Hoci udalosti sa podľa definície nazývajú závislé, iba jedna z nich je závislá (B). Obyčajná pravdepodobnosť bola označená ako P(B) alebo pravdepodobnosť nezávislých udalostí. V prípade závislých udalostí sa zavádza nový pojem - podmienená pravdepodobnosť P A (B), čo je pravdepodobnosť závislej udalosti B, za predpokladu výskytu udalosti A (hypotéza), od ktorej závisí.

Udalosť A je však tiež náhodná, takže má tiež pravdepodobnosť, ktorú je potrebné a môže sa vziať do úvahy pri vykonávaných výpočtoch. Nasledujúci príklad ukáže, ako pracovať so závislými udalosťami a hypotézou.

Príklad výpočtu pravdepodobnosti závislých udalostí

Dobrým príkladom na výpočet závislých udalostí by bol štandardný balíček kariet.

Pomocou balíčka 36 kariet ako príkladu sa pozrime na závislé udalosti. Musíme určiť pravdepodobnosť, že druhá vytiahnutá karta z balíčka bude diamantová, ak prvá vytiahnutá karta je:

1. Bubnovaja.
2. Iná farba.

Je zrejmé, že pravdepodobnosť druhej udalosti B závisí od prvej udalosti A. Ak teda platí prvá možnosť, že v balíčku je o 1 kartu (35) a 1 diamant (8) menej, pravdepodobnosť udalosti B:

RA (B) = 8/35 = 0,23

Ak platí druhá možnosť, potom má balíček 35 kariet a stále zostáva zachovaný plný počet diamantov (9), potom pravdepodobnosť nasledujúcej udalosti B:

RA (B) = 9/35 = 0,26.

Je vidieť, že ak je udalosť A podmienená tým, že prvou kartou je diamant, tak pravdepodobnosť udalosti B klesá a naopak.

Násobenie závislých udalostí

Riadiac sa predchádzajúcou kapitolou, prijímame prvú udalosť (A) ako fakt, ale v podstate je náhodného charakteru. Pravdepodobnosť tejto udalosti, konkrétne ťahanie diamantu z balíčka kariet, sa rovná:

P(A) = 9/36 = 1/4

Keďže teória neexistuje sama o sebe, ale má slúžiť na praktické účely, je spravodlivé poznamenať, že najčastejšie je potrebná pravdepodobnosť vzniku závislých udalostí.

Podľa vety o súčine pravdepodobností závislých udalostí sa pravdepodobnosť výskytu spoločne závislých udalostí A a B rovná pravdepodobnosti jednej udalosti A, vynásobenej podmienenou pravdepodobnosťou udalosti B (závislej od A):

P(AB) = P(A) *PA(B)

Potom v príklade balíčka je pravdepodobnosť ťahania dvoch kariet s diamantovou farbou:

9/36 * 8/35 = 0,0571 alebo 5,7 %

A pravdepodobnosť, že sa najskôr vyťažia nie diamanty a potom diamanty, sa rovná:

27/36 * 9/35 = 0,19 alebo 19 %

Je zrejmé, že pravdepodobnosť udalosti B je väčšia za predpokladu, že sa vytiahne prvá karta inej farby ako diamanty. Tento výsledok je celkom logický a pochopiteľný.

Celková pravdepodobnosť udalosti

Keď sa problém s podmienenými pravdepodobnosťami stane mnohostranným, nemožno ho vypočítať pomocou konvenčných metód. Ak existujú viac ako dve hypotézy, menovite A1, A2,…, A n, ..tvoria kompletnú skupinu udalostí za predpokladu, že:

• P(Ai)>0, i=1,2,…
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

Takže vzorec pre celkovú pravdepodobnosť pre udalosť B s úplnou skupinou náhodných udalostí A1, A2,..., A n sa rovná:

Pohľad do budúcnosti

Pravdepodobnosť náhodnej udalosti je mimoriadne potrebná v mnohých oblastiach vedy: ekonometria, štatistika, fyzika atď. Keďže niektoré procesy nemožno opísať deterministicky, pretože samy majú pravdepodobnostný charakter, sú potrebné špeciálne pracovné metódy. Teória pravdepodobnosti udalosti môže byť použitá v akejkoľvek technologickej oblasti ako spôsob určenia možnosti chyby alebo poruchy.

Dá sa povedať, že rozpoznaním pravdepodobnosti nejakým spôsobom urobíme teoretický krok do budúcnosti, keď sa na ňu pozrieme cez prizmu vzorcov.