Pravdepodobnosť udalosti nemôže byť rovnaká. Jednoduché problémy v teórii pravdepodobnosti
Profesionálny stávkar musí dobre rozumieť kurzom, rýchlo a správne odhadnúť pravdepodobnosť udalosti koeficientom a v prípade potreby byť schopný previesť kurzy z jedného formátu do druhého. V tejto príručke si povieme, aké typy koeficientov existujú, a tiež použijeme príklady, ktoré ukážu, ako môžete vypočítajte pravdepodobnosť pomocou známeho koeficientu a naopak.
Aké typy šancí existujú?
Stávkové kancelárie ponúkajú hráčom tri hlavné typy kurzov: desiatkový kurz, zlomkový kurz(angličtina) a americké kurzy . Najbežnejšie kurzy v Európe sú desiatkové. IN Severná Amerika Americké kurzy sú populárne. Zlomkové kurzy sú najviac tradičný vzhľad, okamžite odrážajú informáciu o tom, koľko musíte staviť, aby ste získali určitú sumu.
Desatinný kurz
Desatinné alebo sa tiež nazývajú európske kurzy je známy číselný formát reprezentovaný desiatkový presné na stotiny a niekedy dokonca na tisíciny. Príkladom desiatkovej nepárny je 1,91. Výpočet zisku v prípade desatinných kurzov je veľmi jednoduchý, stačí vynásobiť výšku vašej stávky týmto kurzom. Napríklad v zápase „Manchester United“ - „Arsenal“ je víťazstvo „Manchester United“ nastavené s koeficientom 2,05, remíza sa odhaduje s koeficientom 3,9 a víťazstvo „Arsenal“ sa rovná 2,95. Povedzme, že sme si istí, že United vyhrajú a vsadili sme na nich 1 000 dolárov. Potom sa náš možný príjem vypočíta takto:
2.05 * $1000 = $2050;
Naozaj to nie je také zložité, však?! Pri stávke na remízu alebo víťazstvo Arsenalu sa možný príjem vypočíta rovnakým spôsobom.
Kresliť: 3.9 * $1000 = $3900;
Výhra Arsenalu: 2.95 * $1000 = $2950;
Ako vypočítať pravdepodobnosť udalosti pomocou desatinných kurzov?
Teraz si predstavte, že potrebujeme určiť pravdepodobnosť udalosti na základe desiatkového kurzu stanoveného stávkovou kanceláriou. To sa tiež robí veľmi jednoducho. Aby sme to dosiahli, vydelíme jednu týmto koeficientom.
Zoberme si existujúce údaje a vypočítame pravdepodobnosť každej udalosti:
Výhra Manchestru United: 1 / 2.05 = 0,487 = 48,7%;
Kresliť: 1 / 3.9 = 0,256 = 25,6%;
Výhra Arsenalu: 1 / 2.95 = 0,338 = 33,8%;
Zlomkové kurzy (anglicky)
Ako už názov napovedá zlomkový koeficient prezentované obyčajný zlomok. Príkladom anglického kurzu je 5/2. Čitateľ zlomku obsahuje číslo, ktoré predstavuje potenciálnu výšku čistej výhry, a menovateľ obsahuje číslo označujúce sumu, ktorú je potrebné staviť, aby ste túto výhru dostali. Jednoducho povedané, musíme staviť 2 doláre, aby sme vyhrali 5 dolárov. Kurz 3/2 znamená, že na to, aby sme získali 3 doláre v čistej výhre, budeme musieť staviť 2 doláre.
Ako vypočítať pravdepodobnosť udalosti pomocou zlomkových kurzov?
Tiež nie je ťažké vypočítať pravdepodobnosť udalosti pomocou zlomkových kurzov, stačí vydeliť menovateľa súčtom čitateľa a menovateľa.
Pre zlomok 5/2 vypočítame pravdepodobnosť: 2 / (5+2) = 2 / 7 = 0,28 = 28%;
Pre zlomok 3/2 vypočítame pravdepodobnosť:
americké kurzy
americké kurzy nepopulárny v Európe, ale veľmi populárny v Severnej Amerike. Možno je tento typ koeficientov najkomplexnejší, ale to je len na prvý pohľad. V skutočnosti v tomto type koeficientov nie je nič zložité. Teraz poďme na to všetko po poriadku.
Hlavnou črtou amerických kurzov je, že môžu byť buď pozitívne, takže negatívne. Príklad amerického kurzu - (+150), (-120). Americký kurz (+150) znamená, že aby sme zarobili 150 dolárov, musíme staviť 100 dolárov. Inými slovami, kladný americký koeficient odráža potenciálny čistý zárobok pri stávke 100 USD. Záporný americký kurz odráža výšku stávky, ktorú je potrebné uskutočniť, aby ste získali čistú výhru 100 $. Napríklad koeficient (-120) nám hovorí, že stávkou 120 USD vyhráme 100 USD.
Ako vypočítať pravdepodobnosť udalosti pomocou amerických kurzov?
Pravdepodobnosť udalosti pomocou amerického koeficientu sa vypočíta pomocou nasledujúcich vzorcov:
(-(M)) / ((-(M)) + 100), kde M je záporný americký koeficient;
100/(P+100), kde P je kladný americký koeficient;
Napríklad máme koeficient (-120), potom sa pravdepodobnosť vypočíta takto:
(-(M))/((-(M)) + 100); nahraďte „M“ hodnotou (-120);
(-(-120)) / ((-(-120)) + 100 = 120 / (120 + 100) = 120 / 220 = 0,545 = 54,5%;
Pravdepodobnosť udalosti s americkým kurzom (-120) je teda 54,5 %.
Napríklad máme koeficient (+150), potom sa pravdepodobnosť vypočíta takto:
100/(P+100); nahraďte „P“ hodnotou (+150);
100 / (150 + 100) = 100 / 250 = 0,4 = 40%;
Pravdepodobnosť udalosti s americkým kurzom (+150) je teda 40 %.
Ako, keď poznáme percento pravdepodobnosti, previesť ho na desatinný koeficient?
Ak chcete vypočítať desatinný koeficient na základe známeho percenta pravdepodobnosti, musíte vydeliť 100 pravdepodobnosťou udalosti v percentách. Napríklad pravdepodobnosť udalosti je 55%, potom sa desatinný koeficient tejto pravdepodobnosti bude rovnať 1,81.
100 / 55% = 1,81
Ako, keď poznáme percento pravdepodobnosti, previesť ho na zlomkový koeficient?
Ak chcete vypočítať zlomkový koeficient na základe známeho percenta pravdepodobnosti, musíte odpočítať jednotku od delenia 100 pravdepodobnosťou udalosti v percentách. Napríklad, ak máme percento pravdepodobnosti 40 %, potom sa zlomkový koeficient tejto pravdepodobnosti bude rovnať 3/2.
(100 / 40%) - 1 = 2,5 - 1 = 1,5;
Zlomkový koeficient je 1,5/1 alebo 3/2.
Ako, keď poznáme percento pravdepodobnosti, previesť ho na americký koeficient?
Ak je pravdepodobnosť udalosti väčšia ako 50%, výpočet sa vykoná pomocou vzorca:
- ((V) / (100 - V)) * 100, kde V je pravdepodobnosť;
Napríklad, ak je pravdepodobnosť udalosti 80%, potom americký koeficient tejto pravdepodobnosti bude rovný (-400).
- (80 / (100 - 80)) * 100 = - (80 / 20) * 100 = - 4 * 100 = (-400);
Ak je pravdepodobnosť udalosti menšia ako 50%, výpočet sa vykoná pomocou vzorca:
((100 - V) / V) * 100, kde V je pravdepodobnosť;
Napríklad, ak máme percentuálnu pravdepodobnosť udalosti 20 %, potom americký koeficient tejto pravdepodobnosti bude rovný (+400).
((100 - 20) / 20) * 100 = (80 / 20) * 100 = 4 * 100 = 400;
Ako previesť koeficient do iného formátu?
Sú chvíle, keď je potrebné previesť kurzy z jedného formátu do druhého. Napríklad máme zlomkový kurz 3/2 a musíme ho previesť na desatinné číslo. Ak chcete previesť zlomkový kurz na desatinný kurz, najprv určíme pravdepodobnosť udalosti pomocou zlomkového kurzu a potom túto pravdepodobnosť prevedieme na desatinný kurz.
Pravdepodobnosť udalosti so zlomkovým kurzom 3/2 je 40 %.
2 / (3+2) = 2 / 5 = 0,4 = 40%;
Teraz preveďte pravdepodobnosť udalosti na desatinný koeficient, aby ste to urobili, vydeľte 100 pravdepodobnosťou udalosti v percentách:
100 / 40% = 2.5;
Čiže zlomkový kurz 3/2 sa rovná desiatkový koeficient 2.5. Podobným spôsobom sa napríklad americké kurzy prepočítavajú na zlomkové, desiatkové na americké atď. Najťažšie na tom všetkom sú práve výpočty.
V skutočnosti sú vzorce (1) a (2). krátka poznámka podmienená pravdepodobnosť na základe kontingenčnej tabuľky charakteristík. Vráťme sa k diskutovanému príkladu (obr. 1). Predpokladajme, že sa dozvieme, že rodina plánuje kúpiť širokouhlý televízor. čo je pravdepodobnosť, že ze si tato rodina vlastne kupi taku TV?
Ryža. 1. Nákupné správanie širokouhlej TV
IN v tomto prípade musíme vypočítať podmienenú pravdepodobnosť P (nákup dokončený | nákup plánovaný). Keďže vieme, že rodina plánuje kúpu, vzorový priestor netvorí všetkých 1000 rodín, ale iba tie, ktoré plánujú kúpiť širokouhlý televízor. Z 250 takýchto rodín si 200 skutočne kúpilo tento televízor. Pravdepodobnosť, že si rodina skutočne kúpi širokouhlý televízor, ak to plánovala, sa preto dá vypočítať pomocou nasledujúceho vzorca:
P (nákup dokončený | plánovaný nákup) = počet rodín, ktoré plánovali a kúpili si širokouhlý televízor / počet rodín, ktoré plánujú kúpiť širokouhlý televízor = 200 / 250 = 0,8
Vzorec (2) dáva rovnaký výsledok:
kde je udalosť A je, že rodina plánuje kúpu širokouhlého televízora a event IN- že to skutočne kúpi. Nahradením skutočných údajov do vzorca dostaneme:
Rozhodovací strom
Na obr. 1 rodiny sú rozdelené do štyroch kategórií: tí, ktorí si plánovali kúpiť širokouhlý televízor a tí, ktorí si ho nekúpili, ako aj tí, ktorí si takýto televízor kúpili, a tí, ktorí nie. Podobnú klasifikáciu možno vykonať pomocou rozhodovacieho stromu (obr. 2). Strom zobrazený na obr. 2 má dve pobočky zodpovedajúce rodinám, ktoré si plánovali kúpiť širokouhlý televízor, a rodinám, ktoré tak neurobili. Každá z týchto pobočiek sa delí na dve ďalšie vetvy zodpovedajúce domácnostiam, ktoré si kúpili a nezakúpili širokouhlý televízor. Pravdepodobnosti napísané na koncoch dvoch hlavných vetiev sú bezpodmienečné pravdepodobnosti udalostí A A A'. Pravdepodobnosti napísané na koncoch štyroch dodatočných vetiev sú podmienené pravdepodobnosti každej kombinácie udalostí A A IN. Podmienené pravdepodobnosti sa vypočítajú vydelením spoločnej pravdepodobnosti udalostí zodpovedajúcou nepodmienenou pravdepodobnosťou každej z nich.
Ryža. 2. Rozhodovací strom
Napríklad na výpočet pravdepodobnosti, že si rodina kúpi širokouhlý televízor, ak to plánuje urobiť, je potrebné určiť pravdepodobnosť udalosti. nákup naplánovaný a dokončený a potom ho vydeľte pravdepodobnosťou udalosti plánovaná kúpa. Pohyb po rozhodovacom strome znázornenom na obr. 2, dostaneme nasledujúcu (podobnú predchádzajúcej) odpoveď:
Štatistická nezávislosť
V príklade nákupu širokouhlého televízora je pravdepodobnosť, že náhodne vybraná rodina kúpila širokouhlý televízor vzhľadom na to, že to plánovala urobiť, 200/250 = 0,8. Pripomeňme, že bezpodmienečná pravdepodobnosť, že si náhodne vybraná rodina kúpila širokouhlý televízor, je 300/1000 = 0,3. To vedie k veľmi dôležitému záveru. Predchádzajúca informácia, že rodina plánovala nákup, ovplyvňuje pravdepodobnosť samotného nákupu. Inými slovami, tieto dve udalosti na sebe závisia. Na rozdiel od tohto príkladu existujú štatisticky nezávislé udalosti, ktorých pravdepodobnosti na sebe nezávisia. Štatistická nezávislosť je vyjadrená identitou: P(A|B) = P(A), Kde P(A|B)- pravdepodobnosť udalosti A za predpokladu, že udalosť nastala IN, P(A)- bezpodmienečná pravdepodobnosť udalosti A.
Upozorňujeme, že udalosti A A IN P(A|B) = P(A). Ak v kontingenčnej tabuľke charakteristík s veľkosťou 2×2 je táto podmienka splnená aspoň pre jednu kombináciu udalostí A A IN, bude platiť pre akúkoľvek inú kombináciu. V našom príklade udalostí plánovaná kúpa A nákup dokončený nie sú štatisticky nezávislé, pretože informácie o jednej udalosti ovplyvňujú pravdepodobnosť inej.
Pozrime sa na príklad, ktorý ukazuje, ako testovať štatistickú nezávislosť dvoch udalostí. Opýtajme sa 300 rodín, ktoré si kúpili širokouhlý televízor, či boli s jeho kúpou spokojní (obr. 3). Zistite, či miera spokojnosti s nákupom a typ televízora súvisia.
Ryža. 3. Údaje charakterizujúce mieru spokojnosti kupujúcich širokouhlých televízorov
Súdiac podľa týchto údajov,
zároveň
P (spokojný zákazník) = 240 / 300 = 0,80
Pravdepodobnosť, že zákazník je spokojný s nákupom a že si rodina kúpila HDTV, sú teda rovnaké a tieto udalosti sú štatisticky nezávislé, pretože spolu nesúvisia.
Pravidlo násobenia pravdepodobnosti
Vzorec na výpočet podmienenej pravdepodobnosti vám umožňuje určiť pravdepodobnosť spoločnej udalosti A a B. Po vyriešení vzorca (1)
vzhľadom na spoločnú pravdepodobnosť P(A a B), získame všeobecné pravidlo pre násobenie pravdepodobností. Pravdepodobnosť udalosti A a B rovná pravdepodobnosti udalosti A za predpokladu, že udalosť nastane IN IN:
(3) P(A a B) = P(A|B) * P(B)
Zoberme si ako príklad 80 rodín, ktoré si kúpili širokouhlý HDTV televízor (obr. 3). Z tabuľky vyplýva, že 64 rodín je s kúpou spokojných a 16 nie. Predpokladajme, že sú z nich náhodne vybrané dve rodiny. Určte pravdepodobnosť, že obaja zákazníci budú spokojní. Pomocou vzorca (3) dostaneme:
P(A a B) = P(A|B) * P(B)
kde je udalosť A je, že druhá rodina je spokojná s ich nákupom, a event IN- že prvá rodina je s ich nákupom spokojná. Pravdepodobnosť, že je prvá rodina spokojná s ich nákupom, je 64/80. Pravdepodobnosť, že bude s nákupom spokojná aj druhá rodina, však závisí od reakcie prvej rodiny. Ak sa prvá rodina po prieskume nevráti do vzorky (výber bez vrátenia), počet respondentov sa zníži na 79. Ak je prvá rodina s nákupom spokojná, pravdepodobnosť, že bude spokojná aj druhá rodina, je 63 /79, keďže vo vzorke zostalo len 63 spokojných rodín s nákupom. Nahradením konkrétnych údajov do vzorca (3) dostaneme nasledujúcu odpoveď:
P(A a B) = (63/79) (64/80) = 0,638.
Pravdepodobnosť, že obe rodiny sú s nákupom spokojné, je teda 63,8 %.
Predpokladajme, že po prieskume sa prvá rodina vráti do vzorky. Určte pravdepodobnosť, že obe rodiny budú s ich nákupom spokojné. V tomto prípade je pravdepodobnosť, že obe rodiny sú s nákupom spokojné, rovnaká, rovná sa 64/80. Preto P(A a B) = (64/80)(64/80) = 0,64. Pravdepodobnosť, že obe rodiny sú s nákupom spokojné, je teda 64,0 %. Tento príklad ukazuje, že výber druhej rodiny nezávisí od výberu prvej. Nahradením podmienenej pravdepodobnosti vo vzorci (3) P(A|B) pravdepodobnosť P(A), získame vzorec na vynásobenie pravdepodobnosti nezávislých udalostí.
Pravidlo pre násobenie pravdepodobnosti nezávislých udalostí. Ak udalosti A A IN sú štatisticky nezávislé, pravdepodobnosť udalosti A a B rovná pravdepodobnosti udalosti A, vynásobené pravdepodobnosťou udalosti IN.
(4) P(A a B) = P(A)P(B)
Ak toto pravidlo platí pre udalosti A A IN, čo znamená, že sú štatisticky nezávislé. Existujú teda dva spôsoby, ako určiť štatistickú nezávislosť dvoch udalostí:
- Udalosti A A IN sú navzájom štatisticky nezávislé vtedy a len vtedy P(A|B) = P(A).
- Udalosti A A B sú navzájom štatisticky nezávislé vtedy a len vtedy P(A a B) = P(A)P(B).
Ak je v kontingenčnej tabuľke 2x2, jedna z týchto podmienok je splnená aspoň pre jednu kombináciu udalostí A A B, bude platiť pre akúkoľvek inú kombináciu.
Bezpodmienečná pravdepodobnosť elementárnej udalosti
(5) P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2)P(B 2) + … + P(A|B k)P(B k)
kde udalosti B 1, B 2, ... B k sa navzájom vylučujú a vyčerpávajú.
Ukážme si aplikáciu tohto vzorca na príklade z obr. 1. Pomocou vzorca (5) dostaneme:
P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2)P(B 2)
Kde P(A)- pravdepodobnosť, že nákup bol plánovaný, P(B 1)- pravdepodobnosť, že sa nákup uskutoční, P(B 2)- pravdepodobnosť, že nákup nie je dokončený.
BAYESOVA TEOREMA
Podmienená pravdepodobnosť udalosti berie do úvahy informáciu, že nastala nejaká iná udalosť. Tento prístup možno použiť na spresnenie pravdepodobnosti s prihliadnutím na novoprijaté informácie, ako aj na výpočet pravdepodobnosti, že pozorovaný účinok je dôsledkom špecifickej príčiny. Postup na spresnenie týchto pravdepodobností sa nazýva Bayesova veta. Prvýkrát ho vyvinul Thomas Bayes v 18. storočí.
Predpokladajme, že vyššie uvedená spoločnosť robí prieskum trhu pre nový model televízora. V minulosti bolo 40 % televízorov vytvorených spoločnosťou úspešných, zatiaľ čo 60 % modelov nebolo uznaných. Pred oznámením vydania nového modelu marketingoví špecialisti starostlivo skúmajú trh a zaznamenávajú dopyt. V minulosti sa predpokladalo, že 80 % úspešných modelov bude úspešných, zatiaľ čo 30 % úspešných predpovedí sa ukázalo ako nesprávne. Marketingové oddelenie poskytlo priaznivú predpoveď pre nový model. Aká je pravdepodobnosť, že bude dopyt po novom modeli televízora?
Bayesovu vetu možno odvodiť z definícií podmienenej pravdepodobnosti (1) a (2). Na výpočet pravdepodobnosti P(B|A) použite vzorec (2):
a namiesto P(A a B) nahraďte hodnotu zo vzorca (3):
P(A a B) = P(A|B) * P(B)
Nahradením vzorca (5) namiesto P(A) dostaneme Bayesovu vetu:
kde udalosti B 1, B 2, ... B k sa navzájom vylučujú a vyčerpávajú.
Uveďme nasledujúci zápis: udalosť S - Televízia je žiadaná, udalosť S' - TV nie je žiadaná, udalosť F - priaznivá prognóza, udalosť F' - zlá prognóza. Predpokladajme, že P(S) = 0,4, P(S’) = 0,6, P(F|S) = 0,8, P(F|S’) = 0,3. Aplikovaním Bayesovej vety dostaneme:
Pravdepodobnosť dopytu po novom modeli televízora pri priaznivej prognóze je 0,64. Pravdepodobnosť nedostatku dopytu pri priaznivej prognóze je teda 1–0,64=0,36. Proces výpočtu je znázornený na obr. 4.
Ryža. 4. a) Výpočty s použitím Bayesovho vzorca na odhad pravdepodobnosti dopytu po televízoroch; (b) Rozhodovací strom pri skúmaní dopytu po novom modeli televízora
Pozrime sa na príklad použitia Bayesovej vety pre medicínsku diagnostiku. Pravdepodobnosť, že osoba trpí konkrétnou chorobou, je 0,03. Lekársky test môže overiť, či je to pravda. Ak je človek skutočne chorý, pravdepodobnosť presnej diagnózy (hovorí, že človek je chorý, keď je naozaj chorý) je 0,9. Ak je človek zdravý, pravdepodobnosť falošne pozitívnej diagnózy (hovorí, že človek je chorý, keď je zdravý) je 0,02. Povedzme, že lekársky test dáva pozitívny výsledok. Aká je pravdepodobnosť, že je človek skutočne chorý? Aká je pravdepodobnosť presnej diagnózy?
Uveďme nasledujúci zápis: udalosť D - človek je chorý, udalosť D' - človek je zdravý, udalosť T - diagnóza je pozitívna, udalosť T' - diagnóza negatívna. Z podmienok úlohy vyplýva, že P(D) = 0,03, P(D’) = 0,97, P(T|D) = 0,90, P(T|D’) = 0,02. Použitím vzorca (6) dostaneme:
Pravdepodobnosť, že pri pozitívnej diagnóze je človek skutočne chorý, je 0,582 (pozri aj obr. 5). Všimnite si, že menovateľ Bayesovho vzorca rovná pravdepodobnosti pozitívna diagnóza, t.j. 0,0464.
O Pri posudzovaní pravdepodobnosti výskytu akejkoľvek náhodnej udalosti je veľmi dôležité dobre pochopiť, či pravdepodobnosť () výskytu udalosti, ktorá nás zaujíma, závisí od toho, ako sa vyvíjajú ostatné udalosti.
V prípade klasická schéma, keď sú všetky výsledky rovnako pravdepodobné, už vieme odhadnúť hodnoty pravdepodobnosti toho, ktorý nás zaujíma samostatné podujatie na vlastnú päsť. Môžeme to urobiť, aj keď je udalosť komplexným súborom niekoľkých základných výsledkov. Čo ak sa súčasne alebo postupne vyskytne niekoľko náhodných udalostí? Ako to ovplyvní pravdepodobnosť udalosti, o ktorú máme záujem?
Ak hodím kockou niekoľkokrát a chcem, aby prišla šestka, a stále mám smolu, znamená to, že by som mal zvýšiť svoju stávku, pretože podľa teórie pravdepodobnosti budem mať šťastie? Bohužiaľ, teória pravdepodobnosti nič také neuvádza. Žiadne kocky, žiadne karty, žiadne mince nemôžem si spomenúť čo nám ukázali minule. Vôbec im nezáleží na tom, či dnes skúšam šťastie prvýkrát alebo desiatykrát. Zakaždým, keď opakujem hod, viem len jednu vec: a tentoraz je pravdepodobnosť, že dostanem šestku, opäť jedna šestina. To samozrejme neznamená, že číslo, ktoré potrebujem, nikdy nepríde. To znamená, že moja prehra po prvom hode a po každom ďalšom hode sú nezávislé udalosti.
Udalosti A a B sa nazývajú nezávislý, ak realizácia jedného z nich nijakým spôsobom neovplyvní pravdepodobnosť inej udalosti. Napríklad pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa prvou z dvoch zbraní nezávisí od toho, či bol cieľ zasiahnutý druhou zbraňou, takže udalosti „prvá zbraň zasiahla cieľ“ a „druhá zbraň zasiahla cieľ“ sú nezávislý.
Ak sú dva javy A a B nezávislé a pravdepodobnosť každého z nich je známa, potom pravdepodobnosť súčasného výskytu udalosti A a udalosti B (označenej AB) možno vypočítať pomocou nasledujúcej vety.
Veta o násobení pravdepodobnosti pre nezávislé udalosti
P(AB) = P(A)*P(B)- pravdepodobnosť simultánne nástup dvoch nezávislý udalosti sa rovná práce pravdepodobnosti týchto udalostí.Príklad.Pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa pri streľbe z prvého a druhého dela je rovnaká: p 1 = 0,7;
p2 = 0,8. Nájdite pravdepodobnosť zásahu jednou salvou oboma zbraňami súčasne. Riešenie:
ako sme už videli, udalosti A (zásah prvou zbraňou) a B (zásah druhou zbraňou) sú nezávislé, t.j. P(AB)=P(A)*P(B)=p1*p2=0,56.
Príklad.Čo sa stane s našimi odhadmi, ak počiatočné udalosti nie sú nezávislé? Trochu zmeníme predchádzajúci príklad. Dvaja strelci na súťaži strieľajú na terče a ak jeden z nich strieľa presne, súper začína byť nervózny a jeho výsledky sa zhoršujú. Ako premeniť túto každodennú situáciu na matematický problém a načrtnúť spôsoby jeho riešenia? Je intuitívne jasné, že tieto dve možnosti musíme nejako oddeliť vývoj , vytvorte v podstate dva scenáre, dva rôzne úlohy
Na oddelenie možných scenárov (často nazývaných hypotézy) vývoja udalostí často používame diagram „stromu pravdepodobnosti“. Tento diagram má podobný význam ako rozhodovací strom, s ktorým ste sa už pravdepodobne zaoberali. Každá vetva predstavuje samostatný scenár vývoja udalostí, len teraz má vlastná hodnota tzv podmienené
pravdepodobnosti (q 1, q 2, q 1 -1, q 2 -1).
Táto schéma je veľmi vhodná na analýzu sekvenčných náhodných udalostí. Ešte jedna vec na zistenie dôležitá otázka : odkiaľ pochádzajú počiatočné hodnoty pravdepodobnosti? reálne situácie ? Koniec koncov, nie s rovnakými mincami a kocky
Príklad.funguje teória pravdepodobnosti? Zvyčajne sú tieto odhady prevzaté zo štatistík, a keď štatistické informácie nie sú k dispozícii, vykonávame vlastný prieskum. A často to musíme začať nie zberom dát, ale otázkou, aké informácie vlastne potrebujeme. Povedzme, že potrebujeme odhadnúť objem trhu pre mesto so stotisíc obyvateľmi. nový produkt , čo nie je podstatná položka napríklad pri balzame na starostlivosť o farbené vlasy. Zoberme si diagram "pravdepodobnostného stromu". V tomto prípade musíme približne odhadnúť hodnotu pravdepodobnosti na každom „vetve“.
Takže naše odhady trhovej kapacity:
1) zo všetkých obyvateľov mesta tvoria 50 % ženy,
2) zo všetkých žien si len 30 % často farbí vlasy,
3) z nich iba 10 % používa balzamy na farbené vlasy,
4) z nich len 10 % dokáže nabrať odvahu vyskúšať nový produkt,
p2 = 0,8. Nájdite pravdepodobnosť zásahu jednou salvou oboma zbraňami súčasne. 5) 70% z nich zvyčajne nekupuje všetko od nás, ale od našej konkurencie.
Podľa zákona násobenia pravdepodobností určíme pravdepodobnosť udalosti, ktorá nás zaujíma A = (obyvateľ mesta si u nás kúpi tento nový balzam) = 0,00045.
Vynásobme túto hodnotu pravdepodobnosti počtom obyvateľov mesta. Tým pádom máme len 45 potenciálnych zákazníkov a vzhľadom na to, že jedna fľaša tohto produktu vydrží aj niekoľko mesiacov, obchod nie je veľmi živý.
A predsa je tu určitý úžitok z našich hodnotení.
Po prvé, môžeme porovnať predpovede rôznych podnikateľských nápadov, ktoré budú mať v diagramoch rôzne „vidličky“ a samozrejme budú odlišné aj hodnoty pravdepodobnosti. Po druhé, ako sme už povedali, náhodná premenná Nenazýva sa náhodný, pretože vôbec na ničom nezávisí. Len ona význam nie je vopred známy. Vieme, že priemerný počet kupujúcich sa dá zvýšiť (napríklad reklamou na nový produkt). Preto má zmysel zamerať naše úsilie na tie „forky“, kde nám rozdelenie pravdepodobnosti zvlášť nevyhovuje, na tie faktory, ktoré vieme ovplyvniť.
Pozrime sa ešte na jednu kvantitatívny príklad výskum nákupného správania.
Príklad. Trh s potravinami navštívi v priemere 10 000 ľudí denne. Pravdepodobnosť, že návštevník trhu vstúpi do pavilónu mliečnych výrobkov, je 1/2.
Je známe, že tento pavilón predá v priemere 500 kg rôznych produktov denne.
Dá sa povedať, že priemerný nákup v pavilóne váži len 100 g? Diskusia.
Samozrejme, že nie. Je jasné, že nie každý, kto do pavilónu vstúpil, si tam niečo kúpil.
Ako je znázornené na diagrame, aby sme odpovedali na otázku o priemernej hmotnosti nákupu, musíme nájsť odpoveď na otázku, aká je pravdepodobnosť, že si tam človek, ktorý vstúpi do pavilónu, niečo kúpi. Ak takéto údaje nemáme k dispozícii, ale potrebujeme ich, budeme si ich musieť získať sami pozorovaním návštevníkov pavilónu nejaký čas. Povedzme, že naše pozorovania ukázali, že len pätina návštevníkov pavilónu si niečo kúpi. Po získaní týchto odhadov sa úloha stáva jednoduchou. Z 10 000 ľudí, ktorí prídu na trh, pôjde 5 000 do pavilónu mliečnych výrobkov len 1 000 nákupov. Priemerná hmotnosť nákupu je 500 gramov. Je zaujímavé poznamenať, že konštruovaťúplný obrázok
Logika podmieneného „vetvenia“ musí byť definovaná v každej fáze nášho uvažovania tak jasne, ako keby sme pracovali s „konkrétnou“ situáciou, a nie s pravdepodobnosťami.
Samotestovacie úlohy
1. Nech existuje elektrický obvod pozostávajúci z n prvkov zapojených do série, z ktorých každý pracuje nezávisle od ostatných.
Pravdepodobnosť p zlyhania každého prvku je známa. Určte pravdepodobnosť správnej činnosti celého úseku obvodu (udalosť A).
3. Výroba pozostáva zo štyroch po sebe nasledujúcich etáp, v každom z nich pracuje zariadenie, pre ktoré sa pravdepodobnosť zlyhania v priebehu nasledujúceho mesiaca rovná p 1, p 2, p 3 a p 4, v tomto poradí. Nájdite pravdepodobnosť, že za mesiac nedôjde k zastaveniu výroby z dôvodu poruchy zariadenia.
Udalosti, ktoré sa dejú v skutočnosti alebo v našej predstave, môžeme rozdeliť do 3 skupín. Toto spoľahlivé udalosti to sa určite stane, nie možné udalosti a náhodné udalosti. Teória pravdepodobnosti študuje náhodné udalosti, t.j. udalosti, ktoré sa môžu, ale nemusia stať. Tento článok bude prezentovaný v v skratke teória pravdepodobnosti, vzorce a príklady riešenia úloh z teórie pravdepodobnosti, ktoré budú v úlohe 4 Jednotnej štátnej skúšky z matematiky (profilová úroveň).
Prečo potrebujeme teóriu pravdepodobnosti?
Historicky potreba študovať tieto problémy vznikla v 17. storočí v súvislosti s rozvojom a profesionalizáciou hazardných hier a vznik kasín. To bol skutočný fenomén, ktorý si vyžadoval vlastné štúdium a výskum.
Hranie kariet, kociek a rulety vytváralo situácie, v ktorých mohla nastať ktorákoľvek z konečného počtu rovnako možných udalostí. Bolo potrebné poskytnúť číselné odhady možnosti výskytu konkrétnej udalosti.
V 20. storočí sa ukázalo, že táto zdanlivo frivolná veda hrá dôležitú úlohu v poznaní základných procesov prebiehajúcich v mikrokozme. Bol vytvorený moderná teória pravdepodobnosti.
Základné pojmy teórie pravdepodobnosti
Predmetom štúdia teórie pravdepodobnosti sú udalosti a ich pravdepodobnosti. Ak je udalosť zložitá, možno ju rozdeliť na jednoduché komponenty, ktorých pravdepodobnosti sa dajú ľahko nájsť.
Súčet udalostí A a B sa nazýva udalosť C, ktorá spočíva v tom, že buď udalosť A, alebo udalosť B, alebo udalosti A a B nastali súčasne.
Súčin udalostí A a B je udalosť C, čo znamená, že došlo k udalosti A aj udalosti B.
Udalosti A a B sa nazývajú nekompatibilné, ak sa nemôžu vyskytnúť súčasne.
Udalosť A sa nazýva nemožná, ak sa nemôže stať. Takáto udalosť je označená symbolom.
Udalosť A sa nazýva istá, ak sa určite stane. Takáto udalosť je označená symbolom.
Nech je každá udalosť A spojená s číslom P(A). Toto číslo P(A) sa nazýva pravdepodobnosť udalosti A, ak sú s touto korešpondenciou splnené nasledujúce podmienky.
Dôležitým špeciálnym prípadom je situácia, keď existujú rovnako pravdepodobné elementárne výsledky a ľubovoľné z týchto výsledkov tvoria udalosti A. V tomto prípade možno pravdepodobnosť zadať pomocou vzorca. Takto zavedená pravdepodobnosť je tzv klasická pravdepodobnosť. Dá sa dokázať, že v tomto prípade sú splnené vlastnosti 1-4.
Problémy teórie pravdepodobnosti, ktoré sa objavujú na Jednotnej štátnej skúške z matematiky, súvisia najmä s klasickou pravdepodobnosťou. Takéto úlohy môžu byť veľmi jednoduché. Obzvlášť jednoduché sú problémy v teórii pravdepodobnosti v demo možnosti. Je ľahké vypočítať počet priaznivých výsledkov, počet všetkých výsledkov je zapísaný priamo v podmienke.
Odpoveď dostaneme pomocou vzorca.
Príklad úlohy z Jednotnej štátnej skúšky z matematiky na určenie pravdepodobnosti
Na stole je 20 koláčov - 5 s kapustou, 7 s jablkami a 8 s ryžou. Marina si chce vziať koláč. Aká je pravdepodobnosť, že si dá ryžový koláč?
Riešenie.
Existuje 20 rovnako pravdepodobných základných výsledkov, to znamená, že Marina môže vziať ktorýkoľvek z 20 koláčov. Musíme však odhadnúť pravdepodobnosť, že si Marina vezme ryžový koláč, teda kde A je výber ryžového koláča. To znamená, že počet priaznivých výsledkov (výber koláčov s ryžou) je len 8. Potom sa pravdepodobnosť určí podľa vzorca:
Nezávislé, opačné a svojvoľné udalosti
Avšak v otvorená nádoba sa začali stretávať so zložitejšími úlohami. Preto upriamme pozornosť čitateľa na ďalšie problémy študované v teórii pravdepodobnosti.
Udalosti A a B sa považujú za nezávislé, ak pravdepodobnosť každej z nich nezávisí od toho, či nastane druhá udalosť.
Udalosť B je taká, že udalosť A sa nestala, t.j. udalosť B je opačná k udalosti A. Pravdepodobnosť opačnej udalosti sa rovná jednej mínus pravdepodobnosť priamej udalosti, t.j. .
Pravdepodobné vety o sčítaní a násobení, vzorce
Pre svojvoľné udalosti A a B, pravdepodobnosť súčtu týchto udalostí sa rovná súčtu ich pravdepodobností bez pravdepodobnosti ich spoločnej udalosti, t.j. .
Pre nezávislé udalosti A a B sa pravdepodobnosť výskytu týchto udalostí rovná súčinu ich pravdepodobností, t.j. v tomto prípade.
Posledné 2 tvrdenia sa nazývajú vety o sčítaní a násobení pravdepodobností.
Počítanie výsledkov nie je vždy také jednoduché. V niektorých prípadoch je potrebné použiť kombinatorické vzorce. Najdôležitejšie je spočítať počet udalostí, ktoré spĺňajú určité podmienky. Niekedy sa tieto druhy výpočtov môžu stať nezávislými úlohami.
Koľkými spôsobmi môže byť 6 študentov usadených na 6 prázdnych miestach? Prvý študent obsadí ktorékoľvek zo 6 miest. Každá z týchto možností zodpovedá 5 spôsobom, ako môže druhý študent zaujať miesto. Pre tretieho žiaka ostali 4 voľné miesta, pre štvrtého 3, pre piateho 2 a jediné zostávajúce miesto obsadí šiestak. Ak chcete zistiť počet všetkých možností, musíte nájsť produkt, ktorý je označený symbolom 6! a znie „šesť faktoriál“.
Vo všeobecnom prípade je odpoveď na túto otázku daná vzorcom pre počet permutácií n prvkov v našom prípade.
Pozrime sa teraz na ďalší prípad s našimi študentmi. Koľkými spôsobmi môžu byť 2 študenti usadení na 6 prázdnych miestach? Prvý študent obsadí ktorékoľvek zo 6 miest. Každá z týchto možností zodpovedá 5 spôsobom, ako môže druhý študent zaujať miesto. Ak chcete nájsť počet všetkých možností, musíte nájsť produkt.
Vo všeobecnosti je odpoveď na túto otázku daná vzorcom pre počet umiestnení n prvkov na k prvkom
V našom prípade.
A posledný prípad z tejto série. Koľkými spôsobmi môžete vybrať 3 študentov zo 6? Prvý študent môže byť vybraný 6 spôsobmi, druhý - 5 spôsobmi, tretí - štyrmi spôsobmi. Ale medzi týmito možnosťami sa tí istí traja študenti objavia 6-krát. Ak chcete zistiť počet všetkých možností, musíte vypočítať hodnotu: . Vo všeobecnosti je odpoveď na túto otázku daná vzorcom pre počet kombinácií prvkov podľa prvku:
V našom prípade.
Príklady riešenia úloh z Jednotnej štátnej skúšky z matematiky na určenie pravdepodobnosti
Úloha 1. Zo zborníka upravil. Jaščenko.
Na tanieri je 30 koláčov: 3 s mäsom, 18 s kapustou a 9 s čerešňami. Sasha si náhodne vyberie jeden koláč. Nájdite pravdepodobnosť, že skončí s čerešňou.
.
Odpoveď: 0,3.
Úloha 2. Zo zbierky upravil. Jaščenko.
V každej dávke 1000 žiaroviek je v priemere 20 chybných. Nájdite pravdepodobnosť, že náhodne vybratá žiarovka z dávky bude fungovať.
Riešenie: Počet funkčných žiaroviek je 1000-20=980. Potom pravdepodobnosť, že náhodne vybratá žiarovka z dávky bude fungovať:
Odpoveď: 0,98.
Pravdepodobnosť, že študent U počas testu z matematiky správne vyrieši viac ako 9 úloh, je 0,67. Pravdepodobnosť, že U správne vyrieši viac ako 8 úloh, je 0,73. Nájdite pravdepodobnosť, že U správne vyrieši práve 9 úloh.
Ak si predstavíme číselnú os a označíme na nej body 8 a 9, tak uvidíme, že podmienka „U. správne vyrieši práve 9 úloh“ je súčasťou podmienky „U. správne vyrieši viac ako 8 problémov“, ale nevzťahuje sa na podmienku „U. správne vyrieši viac ako 9 problémov.“
Avšak podmienka „U. správne vyrieši viac ako 9 problémov“ je obsiahnutá v podmienke „U. správne vyrieši viac ako 8 problémov.“ Ak teda označíme udalosti: „U. vyrieši presne 9 úloh" - cez A, "U. správne vyrieši viac ako 8 problémov“ - cez B, „U. správne vyrieši viac ako 9 problémov“ cez C. Toto riešenie bude vyzerať takto:
Odpoveď: 0,06.
Pri skúške z geometrie študent odpovedá na jednu otázku zo zoznamu skúšobných otázok. Pravdepodobnosť, že ide o trigonometrickú otázku, je 0,2. Pravdepodobnosť, že ide o otázku týkajúcu sa vonkajších uhlov, je 0,15. Neexistujú žiadne otázky, ktoré by sa súčasne týkali týchto dvoch tém. Nájdite pravdepodobnosť, že študent dostane na skúške otázku na jednu z týchto dvoch tém.
Zamyslime sa nad tým, aké akcie máme. Sú nám dané dve nezlučiteľné udalosti. To znamená, že buď sa otázka bude týkať témy „Trigonometria“ alebo témy „Vonkajšie uhly“. Podľa pravdepodobnostnej vety pravdepodobnosť nezlučiteľné udalosti sa rovná súčtu pravdepodobností každej udalosti, musíme nájsť súčet pravdepodobností týchto udalostí, to znamená:
Odpoveď: 0,35.
Miestnosť je osvetlená lampášom s tromi lampami. Pravdepodobnosť vyhorenia jednej lampy za rok je 0,29. Nájdite pravdepodobnosť, že počas roka nevyhorí aspoň jedna lampa.
Uvažujme o možných udalostiach. Máme tri žiarovky, z ktorých každá môže a nemusí vyhorieť nezávisle od akejkoľvek inej žiarovky. Sú to nezávislé udalosti.
Potom uvedieme možnosti pre takéto udalosti. Používajme nasledujúce označenia: - žiarovka svieti, - žiarovka je vypálená. A hneď potom vypočítame pravdepodobnosť udalosti. Napríklad pravdepodobnosť udalosti, pri ktorej nastanú tri nezávislé udalosti„žiarovka je vypálená“, „žiarovka svieti“, „žiarovka svieti“: , kde pravdepodobnosť udalosti „žiarovka svieti“ sa vypočíta ako pravdepodobnosť udalosti opačnej než udalosť „žiarovka nesvieti“, a to: .
Všimnite si, že existuje iba 7 nekompatibilných udalostí, ktoré sú pre nás priaznivé. Pravdepodobnosť takýchto udalostí sa rovná súčtu pravdepodobností každej udalosti: .
Odpoveď: 0,975608.
Ďalší problém môžete vidieť na obrázku:
Pochopili sme teda, čo je teória pravdepodobnosti, vzorce a príklady riešenia problémov, s ktorými sa môžete stretnúť vo verzii Unified State Exam.
Ide o pomer počtu pozorovaní, pri ktorých došlo k danej udalosti, k celkovému počtu pozorovaní. Táto interpretácia je prijateľná v prípade dostatočne veľkého počtu pozorovaní alebo experimentov. Napríklad, ak je približne polovica ľudí, ktorých stretnete na ulici, ženy, potom môžete povedať, že pravdepodobnosť, že osoba, ktorú stretnete na ulici, bude žena, je 1/2. Inými slovami, odhad pravdepodobnosti udalosti môže byť frekvenciou jej výskytu v dlhej sérii nezávislých opakovaní náhodného experimentu.
Pravdepodobnosť v matematike
V modernom matematickom prístupe je klasická (teda nie kvantová) pravdepodobnosť daná Kolmogorovovou axiomatikou. Pravdepodobnosť je miera P, ktorý je definovaný na súprave X, nazývaný pravdepodobnostný priestor. Toto opatrenie musí mať nasledujúce vlastnosti:
Z týchto podmienok vyplýva, že miera pravdepodobnosti P má tiež majetok aditívnosť: ak nastaví A 1 a A 2 sa nepretínajú, potom . Aby ste dokázali, musíte dať všetko A 3 , A 4 , ... sa rovná prázdnej množine a aplikuje vlastnosť spočítateľnej aditivity.
Miera pravdepodobnosti nemusí byť definovaná pre všetky podmnožiny súboru X. Stačí ho definovať na sigma algebre, pozostávajúcej z nejakých podmnožín množiny X. V tomto prípade sú náhodné udalosti definované ako merateľné podmnožiny priestoru X, teda ako prvky sigma algebry.
Zmysel pravdepodobnosti
Keď zistíme, že dôvody pre nejakú možnú skutočnosť skutočne nastávajúcu prevažujú nad opačnými dôvodmi, zvážime túto skutočnosť pravdepodobné, inak - neuveriteľné. Táto prevaha pozitívnych báz nad negatívnymi a naopak môže predstavovať neurčitý súbor stupňov, v dôsledku čoho pravdepodobnosť(A nepravdepodobnosť) Stáva sa to viac alebo menej .
Zložité jednotlivé fakty neumožňujú presný výpočet stupňa jej pravdepodobnosti, ale aj tu je dôležité stanoviť niektoré veľké delenia. Takže napríklad v právnej oblasti, keď sa na základe svedeckej výpovede zistí osobná skutočnosť, ktorá je predmetom súdneho konania, zostáva vždy, prísne vzaté, len pravdepodobná a je potrebné vedieť, aká významná je táto pravdepodobnosť; v rímskom práve tu bolo prijaté štvornásobné delenie: probatio plena(kde sa pravdepodobnosť prakticky zmení na spoľahlivosť), potom - probatio mínus plena, potom - probatio semiplena major a nakoniec probatio semiplena minor .
Okrem otázky pravdepodobnosti prípadu môže v oblasti práva aj v oblasti morálky (s istým etickým uhlom pohľadu) vzniknúť otázka, aká je pravdepodobnosť, že daná konkrétna skutočnosť predstavuje porušenie všeobecného zákona. Táto otázka, ktorá slúžila ako hlavný motív v náboženskej judikatúre Talmudu, dala základ aj rímskokatolíckej morálnej teológii (najmä s koncom XVI storočia) veľmi zložité systematické konštrukcie a obrovská literatúra, dogmatická a polemická (pozri Pravdepodobnosť).
Pojem pravdepodobnosti umožňuje určité číselné vyjadrenie pri aplikácii len na také skutočnosti, ktoré sú súčasťou určitých homogénna séria. Takže (v najjednoduchšom príklade), keď niekto hodí mincou stokrát za sebou, nájdeme tu jednu všeobecnú alebo veľkú sériu (súčet všetkých pádov mince), pozostávajúcu z dvoch súkromných alebo menších, v tomto prípade číselne rovná sa, séria (padá „hlavy“ a padá „chvosty“); Pravdepodobnosť, že tentoraz minci pristanú hlavy, teda že tento nový člen všeobecnej série bude patriť do tejto z dvoch menších sérií, sa rovná zlomku vyjadrujúcim číselný vzťah medzi touto malou sériou a väčšou sériou, menovite 1/2, to znamená, že rovnaká pravdepodobnosť patrí jednej alebo druhej z dvoch konkrétnych sérií. Za menej jednoduché príklady záver nemožno odvodiť priamo z údajov samotného problému, ale vyžaduje si predbežnú indukciu. Otázka teda napríklad znie: aká je pravdepodobnosť, že sa daný novorodenec dožije 80 rokov? Tu by mala byť všeobecná alebo veľká séria známe čísloľudia narodení v podobných podmienkach a zomierajúci v v rôznom veku(toto číslo by malo byť dostatočne veľké na to, aby eliminovalo náhodné odchýlky, a dosť malé na to, aby sa zachovala homogenita série, pretože pre človeka narodeného napr. v Petrohrade v bohatej kultúrnej rodine je celá miliónová populácia tzv. mesto, ktorého významnú časť tvorí rôzne skupiny ktorí môžu predčasne zomrieť – vojaci, novinári, pracovníci v nebezpečných profesiách – predstavujú skupinu príliš heterogénnu na skutočné určenie pravdepodobnosti); nech tento všeobecný rad pozostáva z desaťtisíc ľudské životy; zahŕňa menšie série predstavujúce počet ľudí žijúcich v určitom veku; jedna z týchto menších sérií predstavuje počet ľudí dožívajúcich sa veku 80 rokov. Nie je však možné určiť počet tejto menšej série (ako všetkých ostatných) a priori; toto sa deje čisto induktívne, prostredníctvom štatistík. Predpokladajme, že štatistické štúdie preukázali, že z 10 000 obyvateľov Petrohradu strednej triedy sa len 45 dožije 80 rokov; teda tento menší rad súvisí s väčším ako 45 až 10 000 a pravdepodobnosť pre tejto osoby patriť do tohto menšieho radu, teda dožiť sa 80 rokov, sa vyjadruje zlomkom 0,0045. Štúdium pravdepodobnosti z matematického hľadiska predstavuje špeciálnu disciplínu - teóriu pravdepodobnosti.
Pozri tiež
Poznámky
Literatúra
- Alfréd Renyi. Písmená o pravdepodobnosti / prekl. z maďarčiny D. Saas a A. Crumley, ed. B.V. Gnedenko. M.: Mir. 1970
- Gnedenko B.V. Kurz teórie pravdepodobnosti. M., 2007. 42 s.
- Kupcov V.I. Determinizmus a pravdepodobnosť. M., 1976. 256 s.
Nadácia Wikimedia.
2010.:Synonymá:
Antonymá
Pozrite si, čo je „pravdepodobnosť“ v iných slovníkoch: Všeobecné vedecké a filozofické. kategória označujúca kvantitatívny stupeň možnosti výskytu hromadných náhodných udalostí za pevne stanovených podmienok pozorovania, charakterizujúca stabilitu ich relatívnych frekvencií. V logike, sémantickom stupni......
Filozofická encyklopédia PRAVDEPODOBNOSŤ, číslo v rozsahu od nuly do jednej vrátane, predstavujúce možnosť výskytu tohto podujatia . Pravdepodobnosť udalosti je definovaná ako pomer počtu šancí, že sa udalosť môže vyskytnúť, k celkovému počtu možných... ...
Vedecko-technický encyklopedický slovník S najväčšou pravdepodobnosťou.. Slovník ruských synoným a podobných výrazov. pod. vyd. N. Abramova, M.: Ruské slovníky, 1999. pravdepodobnosť možnosť, pravdepodobnosť, náhoda, objektívna možnosť, maza, prípustnosť, riziko. Ant. nemožnosť......
pravdepodobnosť Slovník synoným - Miera, že udalosť pravdepodobne nastane. Poznámka Matematická definícia pravdepodobnosti je: „reálne číslo medzi 0 a 1, ktoré je spojené s náhodnou udalosťou“. Číslo môže odrážať relatívnu frekvenciu v sérii pozorovaní... ...
Technická príručka prekladateľa Pravdepodobnosť - „matematická, numerická charakteristika stupňa možnosti výskytu akejkoľvek udalosti za určitých špecifických podmienok, ktorá sa môže opakovať neobmedzene veľakrát“. Na základe tejto klasiky......
Ekonomický a matematický slovník - (pravdepodobnosť) Možnosť výskytu udalosti alebo určitého výsledku. Môže byť prezentovaná vo forme stupnice s delením od 0 do 1. Ak je pravdepodobnosť udalosti nulová, jej výskyt je nemožný. S pravdepodobnosťou rovnou 1 začiatok...