Existuje niekoľko typov iracionalita zlomky v menovateli. Je spojená s prítomnosťou algebraického koreňa rovnakého alebo rôzneho stupňa. Aby sme sa zbavili iracionalita, je potrebné vykonať určité matematické operácie v závislosti od situácie.

Pokyny

1. Pred zbavením sa iracionalita zlomky v menovateli treba určiť jeho typ a podľa toho pokračovať v riešení. V skutočnosti každá iracionalita vyplýva z jednoduchej prítomnosti koreňov; ich rôzne kombinácie a stupne sú predpokladané rôznymi algoritmami.

2. Druhá odmocnina menovateľa, vyjadrenie tvaru a/?bZadajte ďalší koeficient rovný?b. Aby sa zlomok nezmenil, je potrebné vynásobiť čitateľa aj menovateľa: a/?b ? (a?b)/b. Príklad 1: 10/?3 ? (10?3)/3.

3. Prítomnosť pod čiarou zlomky odmocnina zlomkovej mocniny tvaru m/n a n>mTento výraz vyzerá takto: a/?(b^m/n).

4. Zbavte sa podobných iracionalita aj zadaním násobiteľa, tentoraz náročnejšieho: b^(n-m)/n, t.j. od exponentu samotného koreňa je potrebné odpočítať stupeň výrazu pod jeho znamienkom. Potom zostane v menovateli iba prvá mocnina: a/(b^m/n) ? a ?(b^(n-m)/n)/b. Príklad 2: 5/(4^3/5) ? 5 Ä(4^2/5)/4 = 5 Ä(16^1/5)/4.

5. Súčet odmocnín Vynásobte obe zložky zlomky podobným rozdielom. Potom sa z iracionálneho sčítania koreňov menovateľ premení na rozdiel výrazov/čísel pod znamienkom koreňa: a/(?b + ?c) ? a (Ab - Ac)/(b - c). Príklad 3: 9/(A13 + A23) ? 9 (A13 - A23)/(13 - 23) = 9 (A23 - A13)/10.

6. Súčet/rozdiel kubických odmocnín Ako dodatočný faktor vyberte neúplnú druhú mocninu rozdielu, ak menovateľ obsahuje súčet, a podľa toho neúplnú druhú mocninu súčtu pre rozdiel odmocnín: a/(?b ± ?c) ? a (?b? ? (b c) + ?c?)/ ((?b ± ?c) ?b? ? (b c) + c?)/(b ± c). Príklad 4: 7/(a5 + a4) ? 7 (A25-A20 +?16)/9.

7. Ak úloha obsahuje druhú mocninu aj druhú odmocninu, rozdeľte riešenie na dve fázy: postupne odvodzujte druhú odmocninu z menovateľa a potom odmocninu. Robí sa to podľa už známych metód: v prvej akcii musíte vybrať násobiteľ rozdielu / súčtu koreňov, v druhej - neúplný štvorec súčtu / rozdielu.

Tip 2: Ako sa zbaviť iracionality v menovateli

Správny zápis zlomkového čísla neobsahuje iracionalita V menovateľ. Takýto zápis je ľahšie pochopiteľný vzhľadom, teda kedy iracionalita V menovateľ Je múdre sa toho zbaviť. V tomto prípade sa iracionalita môže stať čitateľom.

Pokyny

1. Na začiatok sa pozrime na primitívny príklad – 1/sqrt(2). Druhá odmocnina z 2 je iracionálne číslo v menovateľ.V tomto prípade treba vynásobiť čitateľa a menovateľa zlomku jeho menovateľom. To poskytne primeraný počet v menovateľ. Skutočne, sqrt(2)*sqrt(2) = sqrt(4) = 2. Ak vynásobíte 2 rovnaké odmocniny navzájom, dostanete to, čo je pod všetkými odmocninami: v tomto prípade sú výsledkom dva: 1/. sqrt(2) = (1*sqrt(2))/(sqrt(2)*sqrt(2)) = sqrt(2)/2. Tento algoritmus je vhodný aj pre zlomky, v menovateľ ktorého koreň sa vynásobí primeraným číslom. Čitateľ a menovateľ v tomto prípade musia byť vynásobené koreňom nachádzajúcim sa v menovateľ.Príklad: 1/(2*sqrt(3)) = (1*sqrt(3))/(2*sqrt(3)*sqrt(3)) = sqrt(3)/(2*3) = sqrt( 3)/6.

2. Samozrejme, niečo také by sa malo urobiť, ak menovateľ Nenájde sa odmocnina, ale povedzme kubická odmocnina alebo akýkoľvek iný stupeň. Zakoreniť menovateľ je potrebné násobiť presne tým istým koreňom a aj čitateľ sa násobí tým istým koreňom. Potom koreň prejde do čitateľa.

3. V ťažšom prípade v menovateľ existuje súčet alebo rozdiel iracionálneho a rozumného čísla alebo 2 iracionálnych čísel V prípade súčtu (rozdielu) 2 odmocnín alebo druhej odmocniny a rozumného čísla môžete použiť známy vzorec (x+y). )(x-y) = (x^2)-(y^2). Pomôže vám zbaviť sa iracionalita V menovateľ. Ak v menovateľ rozdiel, potom musíte vynásobiť čitateľa a menovateľa súčtom rovnakých čísel, ak súčet - potom rozdielom. Tento vynásobený súčet alebo rozdiel sa bude nazývať konjugovaný s výrazom in menovateľ.Výsledok tejto schémy je jasne viditeľný v príklade: 1/(sqrt(2)+1) = (sqrt(2)-1)/(sqrt(2)+1)(sqrt(2)-1) = (sqrt(2)-1)/((sqrt(2)^2)-(1^2)) = (sqrt(2)-1)/(2-1) = sqrt(2)-1.

4. Ak v menovateľ existuje súčet (rozdiel), v ktorom je prítomný koreň väčšieho stupňa, potom sa situácia stáva netriviálnou a oslobodením od iracionalita V menovateľ nie vždy prijateľné

Tip 3: Ako sa oslobodiť od iracionality v menovateli zlomku

Zlomok sa skladá z čitateľa, ktorý sa nachádza v hornej časti riadku, a menovateľa, ktorý delí, ktorý sa nachádza v spodnej časti. Iracionálne číslo je číslo, ktoré nemôže byť zastúpené vo forme zlomky s celým číslom v čitateli a prirodzeným číslom v menovateľ. Takéto čísla sú, povedzme, druhá odmocnina z 2 alebo pí. Tradične, keď sa hovorí o iracionalite v menovateľ, koreň je implikovaný.

Pokyny

1. Odstráňte iracionalitu vynásobením menovateľom. Takto sa iracionalita prenesie do čitateľa. Pri vynásobení čitateľa a menovateľa rovnakým číslom je hodnota zlomky sa nemení. Túto možnosť použite, ak je každý menovateľ koreňom.

2. Vynásobte čitateľa a menovateľa menovateľom požadovaný počet krát v závislosti od koreňa. Ak je odmocnina štvorcový, tak raz.

3. Zvážte príklad druhej odmocniny. Vezmite zlomok (56-y)/√(x+2). Má čitateľa (56-y) a iracionálneho menovateľa √(x+2), čo je druhá odmocnina.

4. Vynásobte čitateľa a menovateľa zlomky na menovateľa, teda na √(x+2). Pôvodný príklad (56-y)/√(x+2) sa zmení na ((56-y)*√(x+2))/(√(x+2)*√(x+2)). Výsledkom bude ((56-y)*√(x+2))/(x+2). Teraz je koreň v čitateli a v menovateľ neexistuje žiadna iracionalita.

5. Nie vždy menovateľ zlomky každý je pod koreňom. Zbavte sa iracionality pomocou vzorca (x+y)*(x-y)=x²-y².

6. Uvažujme príklad so zlomkom (56-y)/(√(x+2)-√y). Jeho iracionálny menovateľ obsahuje rozdiel 2 odmocničiek. Doplňte menovateľ do tvaru (x+y)*(x-y).

7. Vynásobte menovateľa súčtom koreňov. Vynásobte čitateľa rovnakým, aby ste dostali hodnotu zlomky sa nezmenil. Zlomok bude mať tvar ((56-y)*(√(x+2)+√y))/((√(x+2)-√y)*(√(x+2)+√y) ).

8. Využite vyššie uvedenú vlastnosť (x+y)*(x-y)=x²-y² a zbavte menovateľa iracionality. Výsledkom bude ((56-y)*(√(x+2)+√y))/(x+2-y). Teraz je koreň v čitateľovi a menovateľ sa zbavil iracionality.

9. V zložitých prípadoch zopakujte obe tieto možnosti a použite podľa potreby. Všimnite si, že nie vždy je možné zbaviť sa iracionality menovateľ .

Algebraický zlomok je výraz v tvare A/B, kde písmená A a B znamenajú ľubovoľné číselné alebo písmenové výrazy. Čitateľ a menovateľ v algebraických zlomkoch má často masívny tvar, ale operácie s takýmito zlomkami by sa mali vykonávať podľa rovnakých pravidiel ako činnosti s bežnými, kde čitateľ a menovateľ sú kladné celé čísla.

Pokyny

1. Ak sa podáva zmiešané zlomky, preveďte ich na nepravidelné zlomky (zlomok, v ktorom je čitateľ väčší ako menovateľ): vynásobte menovateľa celou časťou a pridajte čitateľa. Takže číslo 2 1/3 sa zmení na 7/3. Ak to chcete urobiť, vynásobte 3 x 2 a pridajte jeden.

2. Ak potrebujete previesť desatinné miesto na nesprávny zlomok, predstavte si to ako delenie čísla bez desatinnej čiarky jednotkou s toľkými nulami, koľko je čísel za desatinnou čiarkou. Povedzme, že si predstavte číslo 2,5 ako 25/10 (ak ho skrátite, dostanete 5/2) a číslo 3,61 ako 361/100. Práca s nesprávnymi zlomkami je často jednoduchšia ako so zmiešanými alebo desatinnými zlomkami.

3. Ak majú zlomky rovnakých menovateľov a potrebujete ich sčítať, potom jednoducho pridajte čitateľov; menovatele zostávajú nezmenené.

4. Ak potrebujete odčítať zlomky s rovnakými menovateľmi, odčítajte čitateľa 2. zlomku od čitateľa prvého zlomku. Menovatelia sa tiež nemenia.

5. Ak potrebujete sčítať zlomky alebo odčítať jeden zlomok od druhého a majú rôznych menovateľov, zlomky skráťte na spoločného menovateľa. Ak to chcete urobiť, nájdite číslo, ktoré bude najmenším univerzálnym násobkom (LCM) oboch menovateľov alebo niekoľkými, ak sú zlomky väčšie ako 2. LCM je číslo, ktoré bude rozdelené do menovateľov všetkých daných zlomkov. Napríklad pre 2 a 5 je toto číslo 10.

6. Za rovnítkom nakreslite vodorovnú čiaru a toto číslo (NOC) napíšte do menovateľa. Pridajte ďalšie faktory k celému výrazu - číslo, ktorým musíte vynásobiť čitateľa aj menovateľa, aby ste získali LCM. Vynásobte čitateľa krok za krokom ďalšími faktormi, pričom zachovajte znamienko sčítania alebo odčítania.

7. Vypočítajte súčet, v prípade potreby ho znížte alebo vyberte celú časť. Potrebujete ho napríklad zložiť? A?. LCM pre oba zlomky je 12. Potom je dodatočný faktor pre prvý zlomok 4, pre 2. zlomok - 3. Celkom: a+?=(1·4+1·3)/12=7/12.

8. Ak je uvedený príklad na násobenie, vynásobte čitateľov spolu (toto bude čitateľ súčtu) a menovateľov (toto bude menovateľ súčtu). V tomto prípade ich nie je potrebné redukovať na spoločného menovateľa.

9. Ak chcete zlomok rozdeliť zlomkom, musíte otočiť druhý zlomok hore nohami a vynásobiť zlomky. To znamená, a/b: c/d = a/b · d/c.

10. Čitateľ a menovateľ rozdeľte podľa potreby. Napríklad presuňte univerzálny faktor zo zátvorky alebo ho rozbaľte podľa skrátených vzorcov násobenia, aby ste potom mohli v prípade potreby zmenšiť čitateľa a menovateľa o GCD - minimálneho univerzálneho deliteľa.

Venujte pozornosť!
Pridajte čísla s číslami, písmená rovnakého druhu s písmenami rovnakého druhu. Povedzme, že nie je možné sčítať 3a a 4b, čo znamená, že ich súčet alebo rozdiel zostane v čitateli - 3a±4b.

V každodennom živote sú falošné čísla bežnejšie: 1, 2, 3, 4 atď. (5 kg zemiakov) a zlomkové, necelé čísla (5,4 kg cibule). Mnohé z nich sú prezentované v formulár desatinné zlomky. Predstavte však desatinný zlomok v formulár zlomky celkom ľahké.

Pokyny

1. Povedzme, že je dané číslo „0,12“. Ak tento desatinný zlomok nezmenšíte a neuvediete ho tak, ako je, bude vyzerať takto: 12/100 („dvanásť stotín“). Aby ste sa zbavili stovky v menovateli, musíte vydeliť čitateľa aj menovateľa číslom, ktoré ich rozdelí na celé čísla. Toto číslo je 4. Potom vydelením čitateľa a menovateľa dostaneme číslo: 3/25.

2. Ak sa pozrieme viac na každodenný život, na cenovke produktov často vidíme, že jeho hmotnosť je napríklad 0,478 kg alebo tak ďalej formulár zlomky:478/1000 = 239/500. Tento zlomok je dosť škaredý a ak by existovala pravdepodobnosť, potom by sa tento desatinný zlomok dal ešte zmenšiť. A to všetko rovnakým spôsobom: výber čísla, ktoré delí čitateľa aj menovateľa. Toto číslo sa nazýva najväčší univerzálny faktor. Faktor sa nazýva „najväčší“, pretože je oveľa pohodlnejšie okamžite deliť čitateľa aj menovateľa 4 (ako v prvom príklade), ako ho deliť dvakrát 2.

Video k téme

Desatinné zlomok- rozmanitosť zlomky, ktorý má v menovateli „okrúhle“ číslo: 10, 100, 1000 atď., Povedzme, zlomok 5/10 má desatinný zápis 0,5. Na základe tejto tézy zlomok môžu byť vyjadrené ako desatinné číslo zlomky .

Pokyny

1. Možné, treba uviesť ako desatinné číslo zlomok 18/25 Najprv sa musíte uistiť, že v menovateli je jedno z „okrúhlych“ čísel: 100, 1000 atď. Aby ste to dosiahli, musíte vynásobiť menovateľa 4. Ale budete musieť vynásobiť čitateľa aj menovateľa 4.

2. Násobenie čitateľa a menovateľa zlomky 18/25 o 4, vyjde to 72/100. Toto je zaznamenané zlomok v desatinnom tvare: 0,72.

Pri delení 2 desatinných zlomkov, keď nie je po ruke žiadna kalkulačka, majú mnohí ťažkosti. Tu naozaj nie je nič ťažké. Desatinné zlomky sa nazývajú také, ak ich menovateľ má číslo, ktoré je násobkom 10. Takéto čísla sa ako obvykle píšu na jeden riadok a zlomkovú časť od celku oddeľuje čiarka. Zrejme kvôli prítomnosti zlomkovej časti, ktorá sa tiež líši v počte číslic za desatinnou čiarkou, nie je mnohým jasné, ako vykonávať matematické operácie s takýmito číslami bez kalkulačky.

Budete potrebovať

• list papiera, ceruzka

Pokyny

1. Ukazuje sa, že ak chcete rozdeliť jeden desatinný zlomok druhým, musíte sa pozrieť na obe čísla a určiť, ktoré z nich má za desatinnou čiarkou viac číslic. Obe čísla vynásobíme číslom, ktoré je násobkom 10, t.j. 10, 1000 alebo 100000, pričom počet núl sa rovná väčšiemu počtu číslic za desatinnou čiarkou jedného z našich 2 počiatočných čísel. Teraz sú obe desatinné čísla zlomky premenili na obyčajné celé čísla. Vezmite list papiera s ceruzkou a oddeľte dve výsledné čísla „rohom“. Dostaneme výsledok.

2. Povedzme, že potrebujeme vydeliť číslo 7,456 číslom 0,43. Prvé číslo má viac desatinných miest (3 desatinné miesta), preto obe čísla vynásobíme nie 1000 a dostaneme dve primitívne celé čísla: 7456 a 430. Teraz vydelíme 7456 číslom 430 „rohom“ a dostaneme, že ak sa delí 7,456 do 0.43 to vyjde cca 17.3.

3. Existuje ďalší spôsob delenia. Zapisovanie desatinných miest zlomky vo forme primitívnych zlomkov s čitateľom a menovateľom, pre náš prípad sú to 7456/1000 a 43/100. Neskôr si zapíšeme výraz na delenie 2 primitívnych zlomkov: 7456*100/1000*43, potom desiatky zredukujeme, dostaneme: 7456/10*43 = 7456/430 V konečnom výstupe opäť dostaneme delenie 2 primitívne čísla 7456 a 430, ktoré je možné vykonať pomocou „rohu“.

Video k téme

Užitočné rady
Spôsob delenia desatinných zlomkov je teda ich zmenšenie na celé čísla s podporou vynásobenia každého z nich rovnakým číslom. Vykonávanie operácií s celými číslami, ako obvykle, nespôsobuje nikomu žiadne ťažkosti.

Video k téme

Tokarev Kirill

Práca vám pomôže naučiť sa extrahovať druhú odmocninu ľubovoľného čísla bez použitia kalkulačky a tabuľky štvorcov a oslobodiť menovateľa zlomku od iracionality.

Oslobodenie sa od iracionality menovateľa zlomku

Podstatou metódy je násobiť a deliť zlomok výrazom, ktorý odstráni iracionalitu (druhá a odmocnina) z menovateľa a zjednoduší ho. Potom je jednoduchšie zlomky zredukovať na spoločného menovateľa a nakoniec zjednodušiť pôvodný výraz.

Extrahovanie druhej odmocniny s aproximáciou na danú číslicu.

Predpokladajme, že potrebujeme extrahovať druhú odmocninu prirodzeného čísla 17358122 a je známe, že odmocninu možno extrahovať. Na nájdenie výsledku je niekedy vhodné použiť pravidlo opísané v práci.

Stiahnuť:

Ukážka:

Ak chcete použiť ukážku, vytvorte si účet Google a prihláste sa doň: https://accounts.google.com

Ukážka:

Ak chcete použiť ukážky prezentácií, vytvorte si účet Google a prihláste sa doň: https://accounts.google.com

Popisy snímok:

Radikálny. Oslobodenie sa od iracionality menovateľa zlomku. Extrahujte druhú odmocninu so špecifikovaným stupňom presnosti. Študent 9. triedy Mestského vzdelávacieho zariadenia Stredná škola č. 7, Salsk Kirill Tokarev

ZÁKLADNÁ OTÁZKA: Je možné získať druhú odmocninu ľubovoľného čísla s daným stupňom presnosti bez toho, aby ste mali kalkulačku a tabuľku druhých mocnín?

CIELE A CIELE: Zvážte prípady riešenia výrazov s radikálmi, ktoré sa neštudujú v školskom kurze matematiky, ale sú potrebné na jednotnú štátnu skúšku.

HISTÓRIA KOREŇA Koreňový znak pochádza z malého latinského písmena r (začiatok v latinskom slove radix - koreň), spojeného s horným indexom. V starých časoch sa namiesto súčasného hrania používalo podčiarknutie výrazu, takže ide len o upravený starodávny spôsob písania niečoho podobného. Tento zápis prvýkrát použil nemecký matematik Thomas Rudolf v roku 1525.

Oslobodenie od iracionality JMENOVATEĽA ZLOMKU Podstatou metódy je násobenie a delenie zlomku výrazom, ktorý odstráni iracionalitu (druhá a odmocnina) z menovateľa a zjednoduší ho. Potom je jednoduchšie zlomky zredukovať na spoločného menovateľa a nakoniec zjednodušiť pôvodný výraz. ALGORITMUS NA VYLOUČENIE Z IRRAČNOSTI V MENOVATEĽI ZLOMKOV: 1. Rozdeľte menovateľa zlomku na faktory. 2. Ak má menovateľ tvar alebo obsahuje faktor, potom by sa mal čitateľ a menovateľ vynásobiť. Ak je menovateľ v tvare alebo obsahuje faktor tohto typu, potom by sa mal čitateľ a menovateľ zlomku vynásobiť, resp. Čísla sa nazývajú konjugáty. 3. Ak je to možné, preveďte čitateľa a menovateľa zlomku a potom výsledný zlomok zmenšite.

a) b) c) d) = - Oslobodenie od iracionality v menovateli zlomku.

VYŤAHOVANIE ŠTVORCOVÉHO KOREŇA S PRÍSTUPOM K URČENEJ ČÍSLICE. 1) -1 100 96 400 281 11900 11296 24 4 281 1 2824 4 16 135 81 5481 4956 52522 49956 81 1 826 6 832) Metóda nálezu Babylonu: Príklad: Ancient 6 832) Na vyriešenie problému sa toto číslo rozloží na súčet dvoch členov: 1700 = 1600 + 100 = 40 2 + 100, z ktorých prvý je dokonalý štvorec. Potom použijeme vzorec. Algebraický spôsob:

VYŤAHOVANIE ŠTVORCOVÉHO KOREŇA S PRÍSTUPOM K URČENEJ ČÍSLICE. , 4 16 8 . 1 1 1 3 5 1 8 1 5 4 8 1 8 2 + 66 4 9 5 6 6 5 2 5 2 2 + 8 3 2 66 4 9 9 5 6 6 + 8 3 3 2 33 2 5 0 6 6 0 3

Literatúra 1. Zbierka úloh z matematiky pre vstupujúcich na univerzity, spracoval M.I. V. K. Egerev, B. A. Kordemsky, V. V. Zaitsev, „ONICS 21. storočie“, 2003. 2. Algebra a elementárne funkcie. R. A. Kalnin, „Veda“, 1973 3. Matematika. Referenčné materiály. V. A. Gusev, A. G. Mordkovich, vydavateľstvo „Prosveshcheniye“, 1990. 4. Školáci o matematike a matematikári. Zostavil M. M. Liman, Osvietenie, 1981.

V tejto téme budeme uvažovať o všetkých troch vyššie uvedených skupinách limitov s iracionalitou. Začnime s limitami obsahujúcimi neistotu tvaru $\frac(0)(0)$.

Zverejnenie neistoty $\frac(0)(0)$.

Riešenie štandardných príkladov tohto typu zvyčajne pozostáva z dvoch krokov:

• Iracionality, ktorá spôsobovala neistotu, sa zbavujeme násobením takzvaným „konjugovaným“ výrazom;
• Ak je to potrebné, rozdeľte výraz do čitateľa alebo menovateľa (alebo oboch);
• Znížime faktory vedúce k neistote a vypočítame požadovanú hodnotu limitu.

Výraz "konjugovaná expresia" použitý vyššie bude podrobne vysvetlený v príkladoch. Zatiaľ nie je dôvod sa tým podrobne zaoberať. Vo všeobecnosti môžete ísť opačným smerom, bez použitia konjugovaného výrazu. Niekedy môže dobre zvolená náhrada odstrániť iracionalitu. Takéto príklady sú v štandardných testoch zriedkavé, preto budeme brať do úvahy iba jeden príklad č. 6 na použitie náhrady (pozri druhú časť tejto témy).

Budeme potrebovať niekoľko vzorcov, ktoré napíšem nižšie:

\začiatok(rovnica) a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b) \koniec(rovnica) \začiatok(rovnica) a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2 +ab+b^2) \koniec(rovnica) \začiatok(rovnica) a^3+b^3=(a+b)\cdot(a^2-ab+b^2) \koniec(rovnica) \začiatok (rovnica) a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\end(rovnica)

Okrem toho predpokladáme, že čitateľ pozná vzorce na riešenie kvadratických rovníc. Ak $x_1$ a $x_2$ sú koreňmi kvadratického trinomu $ax^2+bx+c$, potom je možné ich faktorizovať pomocou nasledujúceho vzorca:

\začiatok(rovnica) ax^2+bx+c=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2) \end(rovnica)

Na riešenie štandardných problémov, ku ktorým teraz prejdeme, úplne postačujú vzorce (1)-(5).

Príklad č.1

Nájdite $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$.

Pretože $\lim_(x\to 3)(\sqrt(7-x)-2)=\sqrt(7-3)-2=\sqrt(4)-2=0$ a $\lim_(x\ to 3) (x-3)=3-3=0$, potom v danej limite máme neistotu tvaru $\frac(0)(0)$. Rozdiel $\sqrt(7-x)-2$ nám bráni odhaliť túto neistotu. Aby sme sa zbavili takýchto iracionalít, používa sa násobenie takzvaným „konjugovaným výrazom“. Teraz sa pozrieme na to, ako takéto násobenie funguje. Vynásobte $\sqrt(7-x)-2$ $\sqrt(7-x)+2$:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)$$

Ak chcete otvoriť zátvorky, použite príkaz , pričom na pravú stranu uvedeného vzorca nahradíte $a=\sqrt(7-x)$, $b=2$:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=(\sqrt(7-x))^2-2^2=7-x-4=3-x .$$

Ako vidíte, ak vynásobíte čitateľa $\sqrt(7-x)+2$, potom koreň (t.j. iracionalita) v čitateli zmizne. Tento výraz $\sqrt(7-x)+2$ bude konjugovať na výraz $\sqrt(7-x)-2$. Čitateľ však nemôžeme jednoducho vynásobiť $\sqrt(7-x)+2$, pretože to zmení zlomok $\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$ pod limit . Musíte vynásobiť čitateľa aj menovateľa súčasne:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)= \left|\frac(0)(0)\right|=\lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2)) $$

Teraz si pamätajte, že $(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=3-x$ a otvorte zátvorky. A po otvorení zátvoriek a malej transformácii $3-x=-(x-3)$ zlomok znížime o $x-3$:

$$ \lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt( 7-x)+2))= \lim_(x\to 3)\frac(3-x)((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))=\\ =\lim_ (x\to 3)\frac(-(x-3))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))= \lim_(x\to 3)\frac(-1 )(\sqrt(7-x)+2) $$

Neistota $\frac(0)(0)$ zmizla. Teraz môžete ľahko získať odpoveď na tento príklad:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(-1)(\sqrt(7-x)+2)=\frac(-1)(\sqrt(7-3)+2)=-\frac( 1)(\sqrt(4)+2)=-\frac(1)(4).$$

Všimol som si, že konjugovaný výraz môže zmeniť svoju štruktúru v závislosti od toho, aký druh iracionality by mal odstrániť. V príkladoch č. 4 a č. 5 (pozri druhú časť tejto témy) sa použije iný typ konjugovanej expresie.

Odpoveď: $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)=-\frac(1)(4)$.

Príklad č.2

Nájdite $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$.

Pretože $\lim_(x\to 2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\sqrt(2^2+5)-\sqrt(7\cdot 2 ^ 2-19)=3-3=0$ a $\lim_(x\to 2)(3x^2-5x-2)=3\cdot2^2-5\cdot 2-2=0$, potom sa zaoberajú neurčitosťou tvaru $\frac(0)(0)$. Zbavme sa iracionality v menovateli tohto zlomku. Aby sme to dosiahli, pridáme čitateľ aj menovateľ zlomku $\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$ do výraz $\sqrt(x^ 2+5)+\sqrt(7x^2-19)$ konjugovaný s menovateľom:

$$ \lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\left|\frac(0 )(0)\vpravo|= \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) ((\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) $$

Opäť, ako v príklade č. 1, musíte na rozšírenie použiť zátvorky. Dosadením $a=\sqrt(x^2+5)$, $b=\sqrt(7x^2-19)$ do pravej strany uvedeného vzorca získame nasledujúci výraz pre menovateľa:

$$ \left(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19)\right)\left(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)\ right)=\\ =\left(\sqrt(x^2+5)\right)^2-\left(\sqrt(7x^2-19)\right)^2=x^2+5-(7x ^2-19)=-6x^2+24=-6\cdot(x^2-4) $$

Vráťme sa k nášmu limitu:

$$ \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((\sqrt(x ^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))= \lim_(x\to 2)\frac( (3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(-6\cdot(x^2-4))=\\ =-\ frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x^2-4) $$

V príklade č. 1 sa frakcia znížila takmer okamžite po znásobení expresiou konjugátu. Tu, pred redukciou, budete musieť faktorizovať výrazy $3x^2-5x-2$ a $x^2-4$ a až potom pristúpiť k redukcii. Ak chcete rozdeliť výraz $3x^2-5x-2$, musíte použiť . Najprv vyriešme kvadratickú rovnicu $3x^2-5x-2=0$:

$$ 3x^2-5x-2=0\\ \začiatok(zarovnané) & D=(-5)^2-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49;\\ & x_1=\ frac(-(-5)-\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5-7)(6)=-\frac(2)(6)=-\frac(1)(3) ;\\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2. \end(zarovnané) $$

Nahradením $x_1=-\frac(1)(3)$, $x_2=2$ za , získame:

$$ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)(x-2)=3\cdot\left(x+\ frac(1)(3)\vpravo)(x-2)=\vľavo(3\cbodka x+3\cbodka\frac(1)(3)\vpravo)(x-2) =(3x+1)( x-2). $$

Teraz je čas na faktorizáciu výrazu $x^2-4$. Použime , pričom doň nahradíme $a=x$, $b=2$:

$$ x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2) $$

Využime získané výsledky. Keďže $x^2-4=(x-2)(x+2)$ a $3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)$, potom:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2 -19)))(x^2-4) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x ^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((x-2)(x+2)) $$

Znížením o zátvorku $ x-2 $ dostaneme:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^ 2-19)))((x-2)(x+2)) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt( x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(x+2). $$

Všetky! Neistota zmizla. Ešte jeden krok a dostávame sa k odpovedi:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x+2)=\\ =-\frac(1)(6)\cdot\frac((3\cdot 2+1)(\sqrt(2^2+5)+\sqrt(7\cdot 2 ^2-19)))(2+2)= -\frac(1)(6)\cdot\frac(7(3+3))(4)=-\frac(7)(4). $$

Odpoveď: $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=-\frac(7)( 4) $.

V nasledujúcom príklade zvážte prípad, keď budú iracionality prítomné v čitateli aj v menovateli zlomku.

Príklad č.3

Nájdite $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 )) $.

Pretože $\lim_(x\to 5)(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))=\sqrt(9)-\sqrt(9)=0$ a $\lim_( x \to 5)(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9))=\sqrt(16)-\sqrt(16)=0$, potom máme neurčitosť tvaru $ \frac (0) (0) $. Keďže v tomto prípade sú korene prítomné v menovateli aj v čitateli, aby ste sa zbavili neistoty, budete musieť násobiť dvoma zátvorkami naraz. Najprv k výrazu $\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)$ konjugujte s čitateľom. A po druhé, k výrazu $\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9)$ konjugovať s menovateľom.

$$ \lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))=\left|\frac(0)(0)\right|=\\ =\lim_(x\to 5)\frac((\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16) )(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((\sqrt(x^2) -3x+6)-\sqrt(5x-9))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9))(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2 -16))) $$ $$ -x^2+x+20=0;\\ \začiatok (zarovnané) & D=1^2-4\cdot(-1)\cdot 20=81;\\ & x_1=\frac(-1-\sqrt(81))(-2)=\frac(-10)(-2)=5;\\ & x_2=\frac(-1+\sqrt(81))( -2)=\frac(8)(-2)=-4. \end(zarovnané) \\ -x^2+x+20=-1\cdot(x-5)(x-(-4))=-(x-5)(x+4). $$

Pre výraz $x^2-8x+15$ dostaneme:

$$ x^2-8x+15=0;\\ \začiatok(zarovnané) & D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 15=4;\\ & x_1=\frac(-(- 8)-\sqrt(4))(2)=\frac(6)(2)=3;\\ & x_2=\frac(-(-8)+\sqrt(4))(2)=\frac (10)(2)=5. \end(zarovnané)\\ x^2+8x+15=1\cdot(x-3)(x-5)=(x-3)(x-5). $$

Nahradením výsledných rozšírení $-x^2+x+20=-(x-5)(x+4)$ a $x^2+8x+15=(x-3)(x-5)$ do limitu zvažujeme, budeme mať:

$$ \lim_(x\to 5)\frac((-x^2+x+20)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x^2 -8x+15)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \lim_(x\to 5)\frac(-(x-5)(x+4)(\ sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3)(x-5)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)) )=\\ =\lim_(x\to 5)\frac(-(x+4)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3) (\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \frac(-(5+4)(\sqrt(5^2-3\cdot 5+6)+\sqrt(5 \cdot 5-9)))((5-3)(\sqrt(5+4)+\sqrt(5^2-16)))=-6. $$

Odpoveď: $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 )) = -6 $.

V ďalšej (druhej) časti zvážime niekoľko ďalších príkladov, v ktorých bude mať konjugovaný výraz inú formu ako v predchádzajúcich úlohách. Hlavná vec na zapamätanie je, že účelom použitia konjugovaného výrazu je zbaviť sa iracionality, ktorá spôsobuje neistotu.

Zhrnutie lekcie

v 8. ročníku

na tému

"Oslobodenie od iracionality v menovateli"

Vedie: učiteľ matematiky

Temirová Viktória Georgievna

Téma: Oslobodenie od iracionality v menovateli zlomku.

ciele:

Zopakujte prevod výrazov druhej odmocniny pomocou skrátených vzorcov na násobenie.

Vytvorte algoritmus na odstránenie iracionality v menovateli zlomku.

Rozvíjať logické myslenie, schopnosť aplikovať získané poznatky na danú tému pri výkone samostatnej práce, rozvíjať terminologickú reč a komunikačné schopnosti.

Vzdelávať: vštepovať kultúru komunikácie - schopnosť počúvať, jasne a jasne vyjadrovať svoje myšlienky, kriticky hodnotiť predložené argumenty a rešpektovať názor partnera; pestovať pozorovanie, pozornosť, iniciatívu, dobrú vôľu.

Vybavenie: projektor, plátno, vedomostná karta, karty na mentálny výpočet, motto na plagáte

Priebeh lekcie.

Organizácia lekcie.(Dobrý deň, chlapci. Volám sa... som učiteľkou matematiky v škole Tyulpan a dnes budem vo vašej triede učiť hodinu)

Ak vám niečo nefunguje, skúsme to spolu

Nie je potrebné sa obávať a trpieť, aby ste zvládli prácu v triede.

Psychologický výcvik . A aby všetko klaplo, urobíme teraz krátke školenie

- Pošúchajte si ušné lalôčiky, aby ste lepšie počuli

- Potierajte si spánky, aby ste lepšie premýšľali

- Pošúchajte si čelo, aby ste otvorili tretie oko

- Šúchajte si koreň nosa, aby ste jasne videli

- Šúchajte si dlane, aby ste aktivovali všetky centrá mozgu.

Teraz si zapíšte číslo, skvelá práca.

Počas lekcie vám odporúčam pracovať pod mottom: "Kniha je kniha, ale používajte svoj mozog."

Ústne počítanie

1. Odstráňte multiplikátor spod koreňa:

2. Zadajte násobiteľ pod koreň:

Komunikácia témy a účelu lekcie

Čo myslíte, na akej téme budeme dnes pracovať?

Dnes v triede budeme študovať tému: "Oslobodenie od iracionality v menovateli zlomku."

Vyplňte vedomostné karty, ktoré máte na stole, len v prvých dvoch stĺpcoch. Tretí stĺpec vyplňte počas hodiny, keď si uvedomíte, že ste sa naučili niečo nové alebo sa niečo nové naučili. (2 min)

Učenie sa novej témy Aká je hlavná vlastnosť zlomku? Učiteľ zavesí na tabuľu plagát:
.

Problém je nastolený : Ak menovateľ algebraického zlomku obsahuje druhú odmocninu, potom sa zvyčajne hovorí, že menovateľ obsahuje iracionalitu. Ktorý výraz je ľahšie vypočítať: alebo ? prečo? (Pretože delenie racionálnym číslom je jednoduchšie ako delenie iracionálnym číslom.)

Ako sa oslobodiť od iracionality v menovateli? (diskusia)

Skúsme sa oslobodiť od iracionality v menovateli na nasledujúcich príkladoch:

A) ; V)
; G)
. Ak to chcete urobiť, prejdite na úlohu 4.

Akým výrazom sa má vynásobiť menovateľ zlomku, aby korene „zmizli“? Čo je potrebné urobiť, aby sa zlomok nezmenil? Získame nasledujúci záznam riešenia (plagát).

A) =
; b)
=
; V)
=
Urobme záver.

Transformácia, pri ktorej miznú korene v menovateli zlomku, sa nazýva oslobodenie od iracionality v menovateli. V menovateli sme videli dve hlavné metódy oslobodenia sa od iracionality: Vyvodiť záver

Výrazy
A
sa nazývajú konjugované výrazy.

Posilnenie preberanej témy.

Ústna práca.(ukážkové karty)

Pomenujte faktor, ktorý oslobodí menovateľa od iracionality:

3. PHYSMINUTE (zdravie šetriace technológie pre oči - diapozitív.)

4.Samostatná práca

Pomocou viacúrovňových kariet

1-in:

2-in:

Reflexia.

Pokračujte vo vete:

Najťažšia časť hodiny bola...

Aký problém nastal v triede?

Podarilo sa nám to vyriešiť?

Domáce úlohy.

č.374 (2 strany), č.352.

Ďakujem za lekciu!

Aplikácia.

A) =
;

V)
=

G)
=

Pokračujte vo vete:

Najťažšia časť hodiny bola...

Najzaujímavejšia vec pre mňa počas práce bola...

Najneočakávanejšia vec pre mňa bola...

Pokyny

Než sa zbavíte iracionalita V menovateľ, nasleduje jeho typ a podľa toho pokračujte v riešení. A hoci akákoľvek iracionalita vyplýva z jednoduchej prítomnosti, ich rôzne kombinácie a stupne znamenajú rôzne algoritmy.

Prítomnosť pod čiarou zlomky zlomková odmocnina tvaru m/n s n>m Tento výraz vyzerá takto: a/√(b^m/n).

Zbavte sa toho iracionalita aj zadaním násobiteľa, tentoraz zložitejšieho: b^(n-m)/n, t.j. Z exponentu samotného koreňa potrebujete stupeň výrazu pod jeho znamienkom. Potom v menovateľ zostane iba :a/(b^m/n) → a √(b^(n-m)/n)/b Príklad 2: 5/(4^3/5) → 5 √(4^2/5) / 4 = 5 √ (16^1/5)/4.

Súčet odmocnín Vynásobte obe zložky zlomky podobným rozdielom. Potom z iracionálneho sčítania koreňov sa menovateľ transformuje na / pod znamienkom koreňa:a/(√b + √c) → a (√b - √c)/(b - c). Príklad 3: 9/(√ 13 + √23) → 9 (√13 - √23)/(13 - 23) = 9 (√23 - √13)/10.

Súčet/rozdiel kubických koreňovVyberte čiastočnú druhú mocninu rozdielu ako dodatočný faktor, ak je v menovateľ je súčet, a teda neúplná druhá mocnina súčtu pre rozdiel koreňov: a/(∛b ± ∛c) → a (∛b² ∓ ∛(b c) + ∛c²)/ ((∛b ± ∛c ) ∛b² ∓ ∛(b c ) + ∛c²) →a (∛b² ∓ ∛(b c) + ∛c²)/(b ± c). Príklad 4: 7/(∛5 + ∛4) → 7 (∛25 - ∛20 + ∛16) /9.

Ak úloha obsahuje druhú mocninu aj , rozdeľte riešenie na dve fázy: postupne odvodzujte druhú odmocninu z menovateľa a potom kubickú odmocninu. To sa deje pomocou metód, ktoré už poznáte: v prvom kroku musíte vybrať násobiteľ rozdielu / súčtu koreňov, v druhom - neúplný štvorec súčtu / rozdielu.

Video k téme

Zdroje:

• ako sa zbaviť iracionality v zlomkoch

Tip 2: Ako sa zbaviť iracionality v menovateli

Správny zápis zlomkového čísla neobsahuje iracionalita V menovateľ. Takáto nahrávka je ľahšie vnímateľná zrakom, takže kedy iracionalita V menovateľ Je múdre sa toho zbaviť. V tomto prípade sa iracionalita môže stať čitateľom.

Pokyny

Na začiatok môžeme zvážiť ten najjednoduchší - 1/sqrt(2). Druhá odmocnina z dvoch je číslo v . V tomto prípade musíte vynásobiť čitateľa a menovateľa ich menovateľom. Toto zabezpečí menovateľ. Skutočne, sqrt(2)*sqrt(2) = sqrt(4) = 2. Vzájomným vynásobením dvoch rovnakých odmocnin v konečnom dôsledku dostaneme to, čo je pod každým z odmocnín: v tomto prípade dve: 1/. sqrt(2) = (1*sqrt(2))/(sqrt(2)*sqrt(2)) = sqrt(2)/2. Tento algoritmus platí aj pre zlomky, in menovateľ ktorého koreň sa vynásobí racionálnym číslom. Čitateľ a menovateľ v tomto prípade musia byť vynásobené koreňom nachádzajúcim sa v menovateľ.Príklad: 1/(2*sqrt(3)) = (1*sqrt(3))/(2*sqrt(3)*sqrt(3)) = sqrt(3)/(2*3) = sqrt( 3)/6.

Presne rovnakým spôsobom musíte konať, ak menovateľ Nie je nájdený koreň, ale povedzme kubický alebo akýkoľvek iný stupeň. Zakoreniť menovateľ musíte vynásobiť presne tým istým koreňom a vynásobiť čitateľa tým istým koreňom. Potom koreň prejde do čitateľa.

Vo viacerých prípadoch v menovateľ existuje súčet buď iracionálneho čísla a alebo dvoch iracionálnych čísel V prípade súčtu (rozdielu) dvoch odmocnín alebo druhej odmocniny a racionálneho čísla môžete použiť známy vzorec (x+y). (x-y) = (x^2)-(y^2) . Pomôže vám zbaviť sa menovateľ. Ak v menovateľ rozdiel, potom musíte vynásobiť čitateľa a menovateľa súčtom rovnakých čísel, ak súčet - potom rozdielom. Tento vynásobený súčet alebo rozdiel sa bude nazývať konjugát s výrazom in menovateľ.Účinok je jasne viditeľný v príklade: 1/(sqrt(2)+1) = (sqrt(2)-1)/(sqrt(2)+1)(sqrt(2)-1) = ( sqrt(2) -1)/((sqrt(2)^2)-(1^2)) = (sqrt(2)-1)/(2-1) = sqrt(2)-1.

Ak v menovateľ existuje suma (rozdiel), v ktorej je prítomný koreň väčšieho stupňa, potom sa situácia stáva netriviálnou a zbavuje sa iracionalita V menovateľ nie vždy možné

Zdroje:

• zbaviť sa koreňa v menovateli v roku 2019

Tip 3: Ako sa oslobodiť od iracionality v menovateli zlomku

Zlomok pozostáva z čitateľa umiestneného v hornej časti riadku a menovateľa, ktorým je delený, v spodnej časti. Iracionálne číslo je číslo, ktoré nemôže byť zastúpené vo forme zlomky s celým číslom v čitateli a prirodzeným číslom v menovateľ. Takéto čísla sú napríklad druhá odmocnina z dvoch alebo pí. Zvyčajne, keď hovoria o iracionalita V menovateľ, koreň je implikovaný.

Pokyny

Zbavte sa vynásobením menovateľom. Tým sa prenesie do čitateľa. Pri vynásobení čitateľa a menovateľa rovnakým číslom je hodnota zlomky sa nemení. Túto možnosť použite, ak je celý menovateľ koreňom.

Vynásobte čitateľa a menovateľa menovateľom požadovaný počet krát v závislosti od koreňa. Ak je odmocnina štvorcový, tak raz.

Vynásobte čitateľa a menovateľa zlomky na menovateľa, teda na √(x+2). Pôvodný príklad (56-y)/√(x+2) sa zmení na ((56-y)*√(x+2))/(√(x+2)*√(x+2)). Výsledkom bude ((56-y)*√(x+2))/(x+2). Teraz je koreň v čitateli a v menovateľ Nie iracionalita.

Vynásobte menovateľa súčtom koreňov. Vynásobte čitateľa rovnakým, aby ste dostali hodnotu zlomky sa nezmenil. Zlomok bude mať tvar ((56-y)*(√(x+2)+√y))/((√(x+2)-√y)*(√(x+2)+√y) ).

Využite vyššie uvedenú vlastnosť (x+y)*(x-y)=x²-y² a uvoľnite menovateľa z iracionalita. Výsledkom bude ((56-y)*(√(x+2)+√y))/(x+2-y). Teraz je koreň v čitateľovi a menovateľ sa zbavil iracionalita.

V zložitých prípadoch zopakujte obe tieto možnosti a použite podľa potreby. Upozorňujeme, že nie vždy je možné sa zbaviť iracionalita V menovateľ.

Zdroje:

Algebraický zlomok je výraz v tvare A/B, kde písmená A a B znamenajú ľubovoľný číselný alebo abecedný výraz. Čitateľ a menovateľ v algebraických zlomkoch má často ťažkopádnu formu, ale operácie s takýmito zlomkami by sa mali vykonávať podľa rovnakých pravidiel ako činnosti s bežnými, kde čitateľ a menovateľ sú kladné celé čísla.

Pokyny

Ak je daný zlomky, preveďte ich (zlomok, v ktorom je čitateľ väčší ako menovateľ): vynásobte menovateľa celou časťou a pridajte čitateľa. Takže číslo 2 1/3 sa zmení na 7/3. Ak to chcete urobiť, vynásobte 3 x 2 a pridajte jeden.

Ak potrebujete previesť zlomok na nesprávny zlomok, predstavte si to ako čísla bez desatinnej čiarky za jednu s toľkými nulami, koľko je čísel za desatinnou čiarkou. Predstavte si napríklad číslo 2,5 ako 25/10 (ak sa skráti, dostanete 5/2) a číslo 3,61 ako 361/100. Často je jednoduchšie pracovať s nepravidelnými ako so zmiešanými alebo desiatkovými.

Ak potrebujete odpočítať jeden zlomok od druhého, ale majú rôznych menovateľov, priveďte zlomky k spoločnému menovateľovi. Ak to chcete urobiť, nájdite číslo, ktoré bude najmenším spoločným násobkom (LCM) oboch menovateľov alebo niekoľkými, ak existujú viac ako dva zlomky. LCM je číslo, ktoré bude rozdelené do menovateľov všetkých daných zlomkov. Napríklad pre 2 a 5 je toto číslo 10.

Za rovnítkom nakreslite vodorovnú čiaru a toto číslo (NOC) napíšte do menovateľa. Ku každému pojmu pridajte ďalšie faktory – číslo, ktorým je potrebné vynásobiť čitateľa aj menovateľa, aby ste získali LCM. Postupne vynásobte čitateľa ďalšími faktormi, pričom zachovajte znamienko sčítania alebo odčítania.

Vypočítajte výsledok, v prípade potreby ho skráťte alebo vyberte celý diel. Napríklad musíte pridať ⅓ a ¼. LCM pre obe frakcie je 12. Potom je dodatočný faktor pre prvú frakciu 4, pre druhú - 3. Celkom: ⅓+¼=(1,4+1,3)/12=7/12.

Ak je daný na násobenie, vynásobte čitateľov (toto bude čitateľ výsledku) a menovateľov (toto bude menovateľ výsledku). V tomto prípade ich nie je potrebné redukovať na spoločného menovateľa.

Čitateľ a menovateľ rozdeľte podľa potreby. Napríklad odstráňte spoločný činiteľ zo zátvoriek alebo použite skrátené vzorce na násobenie, aby ste potom v prípade potreby mohli zmenšiť čitateľa a menovateľa o GCD - najmenšieho spoločného deliteľa.

Vezmite prosím na vedomie

Pridajte čísla s číslami, písmená rovnakého druhu s písmenami rovnakého druhu. Nemôžete napríklad sčítať 3a a 4b, čo znamená, že ich súčet alebo rozdiel zostane v čitateli - 3a±4b.

Zdroje:

• Násobenie a delenie zlomkov

V každodennom živote sa najčastejšie stretávame s neprirodzenými číslami: 1, 2, 3, 4 atď. (5 kg zemiakov) a zlomkové, necelé čísla (5,4 kg cibule). Väčšina z nich je prezentovaná v formulár desatinné zlomky. Predstavte však desatinný zlomok v formulár zlomky dosť jednoduché.

Pokyny

Napríklad je uvedené číslo "0,12". Ak nie tento zlomok a predstavte si ho taký, aký je, potom bude vyzerať takto: 12/100 („dvanásť“). Aby ste sa zbavili stovky v , musíte vydeliť čitateľa aj menovateľa číslom, ktoré delí ich čísla. Toto číslo je 4. Potom vydelením čitateľa a menovateľa dostaneme číslo: 3/25.

Ak uvažujeme o každodennejšom produkte, tak na cenovke je často jasné, že jeho hmotnosť je napríklad 0,478 kg alebo tak ďalej formulár zlomky:
478/1000 = 239/500. Tento zlomok je dosť škaredý a ak by to bolo možné, tento desatinný zlomok by sa dal ešte zmenšiť. A to všetko pomocou rovnakej metódy: výber čísla, ktoré delí čitateľa aj menovateľa. Toto číslo má najväčší spoločný faktor. Faktor je „najväčší“, pretože je oveľa pohodlnejšie okamžite deliť čitateľa aj menovateľa 4 (ako v prvom príklade), ako ho deliť dvakrát 2.