Ako riešiť racionálne rovnice. Najjednoduchšie racionálne rovnice

Prezentácia a lekcia na tému: "Racionálne rovnice. Algoritmus a príklady riešenia racionálnych rovníc"

Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje komentáre, recenzie, priania! Všetky materiály boli skontrolované antivírusovým programom.

Edukačné pomôcky a simulátory v internetovom obchode Integral pre 8. ročník
Manuál k učebnici od Makarycheva Yu.N. Manuál k učebnici od Mordkovicha A.G.

Úvod do iracionálnych rovníc

Chlapci, naučili sme sa riešiť kvadratické rovnice. Ale matematika sa neobmedzuje len na nich. Dnes sa naučíme riešiť racionálne rovnice. Pojem racionálnych rovníc je v mnohom podobný pojmu racionálne čísla. Len okrem čísel máme teraz zavedenú aj nejakú premennú $x$. A tak dostaneme výraz, v ktorom sú prítomné operácie sčítania, odčítania, násobenia, delenia a umocňovania na celé číslo.

Nech je $r(x)$ racionálne vyjadrenie. Takýmto výrazom môže byť jednoduchý polynóm v premennej $x$ alebo pomer polynómov (zavádza sa operácia delenia, ako pri racionálnych číslach).
Zavolá sa rovnica $r(x)=0$ racionálna rovnica.
Akákoľvek rovnica v tvare $p(x)=q(x)$, kde $p(x)$ a $q(x)$ sú racionálne výrazy, bude tiež racionálna rovnica.

Pozrime sa na príklady riešenia racionálnych rovníc.

Príklad 1
Vyriešte rovnicu: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

Riešenie.
Presuňme všetky výrazy na ľavú stranu: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Ak by bola ľavá strana rovnice reprezentovaná obyčajnými číslami, potom by sme tieto dva zlomky zredukovali na spoločného menovateľa.
Urobme toto: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Dostali sme rovnicu: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

Zlomok sa rovná nule práve vtedy, ak je čitateľ zlomku nulový a menovateľ nenulový. Potom oddelene prirovnáme čitateľa k nule a nájdeme korene čitateľa.
$3(x^2+2x-3)=0$ alebo $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Teraz skontrolujme menovateľ zlomku: $(x-3)*x≠0$.
Súčin dvoch čísel sa rovná nule, keď sa aspoň jedno z týchto čísel rovná nule. Potom: $x≠0$ alebo $x-3≠0$.
$x≠0$ alebo $x≠3$.
Korene získané v čitateli a menovateli sa nezhodujú. Do odpovede teda zapíšeme oba korene čitateľa.
Odpoveď: $x=1$ alebo $x=-3$.

Ak sa náhle jeden z koreňov čitateľa zhoduje s koreňom menovateľa, mal by sa vylúčiť. Takéto korene sa nazývajú cudzie!

Algoritmus na riešenie racionálnych rovníc:

1. Presuňte všetky výrazy obsiahnuté v rovnici na ľavú stranu znamienka rovnosti.
2. Preveďte túto časť rovnice na algebraický zlomok: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. Výsledný čitateľ prirovnajte k nule, čiže vyriešte rovnicu $p(x)=0$.
4. Priraďte menovateľa k nule a vyriešte výslednú rovnicu. Ak sa korene menovateľa zhodujú s koreňmi čitateľa, mali by byť z odpovede vylúčené.

Príklad 2
Vyriešte rovnicu: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

Riešenie.
Riešime podľa bodov algoritmu.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Prirovnajte čitateľa k nule: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Prirovnajte menovateľa k nule:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ a $x=-1$.
Jeden z koreňov $x=1$ sa zhoduje s koreňom čitateľa, potom ho do odpovede nezapisujeme.
Odpoveď: $x=-1$.

Racionálne rovnice je vhodné riešiť metódou zmeny premenných. Poďme si to ukázať.

Príklad 3
Vyriešte rovnicu: $x^4+12x^2-64=0$.

Riešenie.
Predstavme si náhradu: $t=x^2$.
Potom bude mať naša rovnica tvar:
$t^2+12t-64=0$ - obyčajná kvadratická rovnica.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4 doláre.
Zavedme opačnú substitúciu: $x^2=4$ alebo $x^2=-16$.
Korene prvej rovnice sú dvojice čísel $x=±2$. Druhá vec je, že nemá korene.
Odpoveď: $x=±2$.

Príklad 4.
Vyriešte rovnicu: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Riešenie.
Predstavme si novú premennú: $t=x^2+x+1$.
Potom bude mať rovnica tvar: $t=\frac(15)(t+2)$.
Ďalej budeme postupovať podľa algoritmu.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3 doláre.
4. $t≠-2$ - korene sa nezhodujú.
Zavedieme spätnú substitúciu.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Poďme riešiť každú rovnicu samostatne:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - nie korene.
A druhá rovnica: $x^2+x-2=0$.
Korene tejto rovnice budú čísla $x=-2$ a $x=1$.
Odpoveď: $x=-2$ a $x=1$.

Príklad 5.
Vyriešte rovnicu: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

Riešenie.
Predstavme si náhradu: $t=x+\frac(1)(x)$.
potom:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ alebo $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Dostali sme rovnicu: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Korene tejto rovnice sú dvojice:
$t=-3$ a $t=2$.
Predstavme si spätnú substitúciu:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Rozhodneme sa samostatne.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Poďme vyriešiť druhú rovnicu:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Koreňom tejto rovnice je číslo $x=1$.
Odpoveď: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

Problémy riešiť samostatne

Riešte rovnice:

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

"Riešenie zlomkových racionálnych rovníc"

Ciele lekcie:

Vzdelávacie:

tvorba konceptu zlomkových racionálnych rovníc; zvážiť rôzne spôsoby riešenia zlomkových racionálnych rovníc; zvážiť algoritmus na riešenie zlomkových racionálnych rovníc vrátane podmienky, že zlomok sa rovná nule; učiť riešenie zlomkových racionálnych rovníc pomocou algoritmu; overenie úrovne zvládnutia témy vykonaním testu.

vývojové:

rozvíjanie schopnosti správne pracovať so získanými vedomosťami a logicky myslieť; rozvoj intelektuálnych schopností a mentálnych operácií - analýza, syntéza, porovnávanie a zovšeobecňovanie; rozvoj iniciatívy, schopnosť robiť rozhodnutia a nezastaviť sa tam; rozvoj kritického myslenia; rozvoj výskumných zručností.

Vzdelávanie:

podpora kognitívneho záujmu o predmet; podpora samostatnosti pri riešení vzdelávacích problémov; pestovanie vôle a vytrvalosti dosiahnuť konečné výsledky.

Typ lekcie: lekcia - vysvetlenie novej látky.

Pokrok v lekcii

1. Organizačný moment.

Ahojte chalani! Na tabuli sú napísané rovnice, pozorne si ich pozrite. Dokážete vyriešiť všetky tieto rovnice? Ktoré nie sú a prečo?

Rovnice, v ktorých ľavá a pravá strana sú zlomkové racionálne výrazy, sa nazývajú zlomkové racionálne rovnice. Čo si myslíte, že sa dnes budeme v triede učiť? Formulujte tému lekcie. Otvorte si teda zošity a zapíšte si tému lekcie „Riešenie zlomkových racionálnych rovníc“.

2. Aktualizácia vedomostí. Frontálny prieskum, ústna práca s triedou.

A teraz si zopakujeme hlavný teoretický materiál, ktorý budeme potrebovať na preštudovanie novej témy. Odpovedzte prosím na nasledujúce otázky:

1. Čo je to rovnica? ( Rovnosť s premennou alebo premennými.)

2. Ako sa volá rovnica č.1? ( Lineárne.) Metóda riešenia lineárnych rovníc. ( Presuňte všetko s neznámou na ľavú stranu rovnice, všetky čísla doprava. Uveďte podobné podmienky. Nájdite neznámy faktor).

3. Ako sa volá rovnica č.3? ( Štvorcový.) Metódy riešenia kvadratických rovníc. ( Izolácia celého štvorca pomocou vzorcov pomocou Vietovej vety a jej dôsledkov.)

4. Čo je to proporcia? ( Rovnosť dvoch pomerov.) Hlavná vlastnosť proporcie. ( Ak je pomer správny, potom sa súčin jeho extrémnych členov rovná súčinu stredných členov.)

5. Aké vlastnosti sa využívajú pri riešení rovníc? ( 1. Ak presuniete člen v rovnici z jednej časti do druhej a zmeníte jej znamienko, dostanete rovnicu ekvivalentnú danej rovnici. 2. Ak sú obe strany rovnice vynásobené alebo delené rovnakým nenulovým číslom, dostanete rovnicu ekvivalentnú danej rovnici.)

6. Kedy sa zlomok rovná nule? ( Zlomok sa rovná nule, keď je čitateľ nula a menovateľ nie je nula..)

3. Vysvetlenie nového materiálu.

Riešte rovnicu č.2 do zošitov a na tabuľu.

Odpoveď: 10.

Akú zlomkovú racionálnu rovnicu môžete skúsiť vyriešiť pomocou základnej vlastnosti proporcie? (č. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

x2-6x-x2-5x = 6-8

Vyriešte rovnicu č. 4 do zošitov a na tabuľu.

Odpoveď: 1,5.

Akú zlomkovú racionálnu rovnicu sa môžete pokúsiť vyriešiť vynásobením oboch strán rovnice menovateľom? (č. 6).

D=1›0, x1=3, x2=4.

Odpoveď: 3;4.

Teraz skúste vyriešiť rovnicu číslo 7 pomocou jednej z nasledujúcich metód.


(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x2-2x-5-x-5=0
x(x-5)(x2-3x-10)=0
x=0 x-5=0 x2-3x-10=0
x1=0 x2=5 D=49

Odpoveď: 0;5;-2.			Odpoveď: 5;-2.

Vysvetlite, prečo sa to stalo? Prečo sú v jednom prípade tri korene a v druhom dva? Aké čísla sú koreňmi tejto zlomkovej racionálnej rovnice?

Doteraz sa študenti s pojmom cudzieho koreňa nestretli, je pre nich skutočne veľmi ťažké pochopiť, prečo sa tak stalo. Ak nikto v triede nevie dať jasné vysvetlenie tejto situácie, potom učiteľ položí navádzacie otázky.

V rovniciach č.2 a 4 sú v menovateli čísla, č.5-7 sú výrazy s premennou

Hodnota premennej, pri ktorej sa rovnica stáva pravdivou

Vykonajte kontrolu

Pri testovaní si niektorí žiaci všimnú, že musia deliť nulou. Dospeli k záveru, že čísla 0 a 5 nie sú koreňmi tejto rovnice. Vynára sa otázka: existuje spôsob riešenia zlomkových racionálnych rovníc, ktorý nám umožní túto chybu odstrániť? Áno, táto metóda je založená na podmienke, že zlomok sa rovná nule.

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

Ak x=5, potom x(x-5)=0, čo znamená, že 5 je cudzí koreň.

Ak x=-2, potom x(x-5)≠0.

Odpoveď: -2.

Skúsme týmto spôsobom sformulovať algoritmus na riešenie zlomkových racionálnych rovníc. Deti formulujú algoritmus samy.

Algoritmus na riešenie zlomkových racionálnych rovníc:

1. Presuňte všetko na ľavú stranu.

2. Redukujte zlomky na spoločného menovateľa.

3. Vytvorte sústavu: zlomok sa rovná nule, keď sa čitateľ rovná nule a menovateľ sa nerovná nule.

4. Vyriešte rovnicu.

5. Skontrolujte nerovnosť, aby ste vylúčili cudzie korene.

6. Zapíšte si odpoveď.

Diskusia: ako formalizovať riešenie, ak sa použije základná vlastnosť proporcie a násobenia oboch strán rovnice spoločným menovateľom. (Doplňte k riešeniu: vylúčte z jeho koreňov tie, ktoré spôsobujú, že spoločný menovateľ zaniká).

4. Počiatočné pochopenie nového materiálu.

Pracujte vo dvojiciach. Študenti si sami vyberajú spôsob riešenia rovnice v závislosti od typu rovnice. Úlohy z učebnice „Algebra 8“, 2007: č. 000 (b, c, i); č. 000 (a, d, g). Učiteľ sleduje splnenie úlohy, odpovedá na prípadné otázky a poskytuje pomoc žiakom so slabým výkonom. Autotest: odpovede sú napísané na tabuli.

b) 2 – cudzí koreň. odpoveď: 3.

c) 2 – cudzí koreň. Odpoveď: 1.5.

a) Odpoveď: -12.5.

g) Odpoveď: 1;1.5.

5. Stanovenie domácich úloh.

2. Naučte sa algoritmus na riešenie zlomkových racionálnych rovníc.

3. Riešte v zošitoch č. 000 (a, d, e); Č. 000 (g, h).

4. Skúste vyriešiť č. 000(a) (voliteľné).

6. Splnenie kontrolnej úlohy na preberanú tému.

Práca sa vykonáva na kusoch papiera.

Príklad úlohy:

A) Ktoré z rovníc sú zlomkové racionálne?

B) Zlomok sa rovná nule, ak je čitateľ _______________________ a menovateľ je ________________________.

Q) Je číslo -3 koreňom rovnice číslo 6?

D) Riešte rovnicu č.7.

Kritériá hodnotenia úlohy:

„5“ sa uvádza, ak študent správne dokončil viac ako 90 % úlohy. „4“ - 75%-89% „3“ - 50%-74% „2“ sa prideľuje študentovi, ktorý dokončil menej ako 50 % úlohy. Hodnotenie 2 sa v časopise neuvádza, 3 je voliteľné.

7. Reflexia.

Na samostatné pracovné listy napíšte:

1 – ak bola lekcia pre vás zaujímavá a zrozumiteľná; 2 – zaujímavé, ale nejasné; 3 – nie zaujímavé, ale zrozumiteľné; 4 – nie je zaujímavé, nie je jasné.

8. Zhrnutie lekcie.

Dnes sme sa teda v lekcii zoznámili so zlomkovými racionálnymi rovnicami, naučili sme sa tieto rovnice riešiť rôznymi spôsobmi a otestovali si svoje vedomosti pomocou samostatnej vzdelávacej práce. Výsledky svojej samostatnej práce sa dozviete na ďalšej lekcii a doma budete mať možnosť upevniť si vedomosti.

Ktorá metóda riešenia zlomkových racionálnych rovníc je podľa vás jednoduchšia, dostupnejšia a racionálnejšia? Čo by ste si mali pamätať, bez ohľadu na metódu riešenia zlomkových racionálnych rovníc? V čom spočíva „prefíkanosť“ zlomkových racionálnych rovníc?

Ďakujem všetkým, lekcia sa skončila.

Ciele lekcie:

Vzdelávacie:

tvorba konceptu zlomkových racionálnych rovníc;
zvážiť rôzne spôsoby riešenia zlomkových racionálnych rovníc;
zvážiť algoritmus na riešenie zlomkových racionálnych rovníc vrátane podmienky, že zlomok sa rovná nule;
učiť riešenie zlomkových racionálnych rovníc pomocou algoritmu;
overenie úrovne zvládnutia témy vykonaním testu.

vývojové:

rozvíjanie schopnosti správne pracovať so získanými vedomosťami a logicky myslieť;
rozvoj intelektuálnych schopností a mentálnych operácií - analýza, syntéza, porovnávanie a zovšeobecňovanie;
rozvoj iniciatívy, schopnosť robiť rozhodnutia a nezastaviť sa tam;
rozvoj kritického myslenia;
rozvoj výskumných zručností.

Vzdelávanie:

podpora kognitívneho záujmu o predmet;
podpora samostatnosti pri riešení vzdelávacích problémov;
pestovanie vôle a vytrvalosti dosiahnuť konečné výsledky.

Typ lekcie: lekcia - vysvetlenie novej látky.

Pokrok v lekcii

1. Organizačný moment.

Ahojte chalani! Na tabuli sú napísané rovnice, pozorne si ich pozrite. Dokážete vyriešiť všetky tieto rovnice? Ktoré nie sú a prečo?

2. Aktualizácia vedomostí. Frontálny prieskum, ústna práca s triedou.

A teraz si zopakujeme hlavný teoretický materiál, ktorý budeme potrebovať na preštudovanie novej témy. Odpovedzte prosím na nasledujúce otázky:

čo je rovnica? ( Rovnosť s premennou alebo premennými.)
Ako sa volá rovnica číslo 1? ( Lineárne.) Metóda riešenia lineárnych rovníc. ( Presuňte všetko s neznámou na ľavú stranu rovnice, všetky čísla doprava. Uveďte podobné podmienky. Nájdite neznámy faktor).
Ako sa volá rovnica číslo 3? ( Štvorcový.) Metódy riešenia kvadratických rovníc. ( Izolácia celého štvorca pomocou vzorcov pomocou Vietovej vety a jej dôsledkov.)
Čo je to proporcia? ( Rovnosť dvoch pomerov.) Hlavná vlastnosť proporcie. ( Ak je pomer správny, potom sa súčin jeho extrémnych členov rovná súčinu stredných členov.)
Aké vlastnosti sa používajú pri riešení rovníc? ( 1. Ak presuniete člen v rovnici z jednej časti do druhej a zmeníte jej znamienko, dostanete rovnicu ekvivalentnú danej rovnici. 2. Ak sú obe strany rovnice vynásobené alebo delené rovnakým nenulovým číslom, dostanete rovnicu ekvivalentnú danej rovnici.)
Kedy sa zlomok rovná nule? ( Zlomok sa rovná nule, keď je čitateľ nula a menovateľ nie je nula..)

3. Vysvetlenie nového materiálu.

Riešte rovnicu č.2 do zošitov a na tabuľu.

Odpoveď: 10.

Akú zlomkovú racionálnu rovnicu môžete skúsiť vyriešiť pomocou základnej vlastnosti proporcie? (č. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

Vyriešte rovnicu č. 4 do zošitov a na tabuľu.

Odpoveď: 1,5.

Akú zlomkovú racionálnu rovnicu sa môžete pokúsiť vyriešiť vynásobením oboch strán rovnice menovateľom? (č. 6).

x 2 - 7 x + 12 = 0

D = 1>0, x 1 = 3, x 2 = 4.

Odpoveď: 3;4.

Teraz skúste vyriešiť rovnicu číslo 7 pomocou jednej z nasledujúcich metód.


(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x 2-2x-5-x-5=0
x(x-5)(x2-3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2-3x-10=0
x 1 = 0 x 2 = 5 D = 49
x 3 = 5 x 4 = -2			x 3 = 5 x 4 = -2
Odpoveď: 0;5;-2.			Odpoveď: 5;-2.

Vysvetlite, prečo sa to stalo? Prečo sú v jednom prípade tri korene a v druhom dva? Aké čísla sú koreňmi tejto zlomkovej racionálnej rovnice?

Čím sa líšia rovnice č. 2 a 4 od rovníc č. 5,6,7? ( V rovniciach č.2 a 4 sú v menovateli čísla, č.5-7 sú výrazy s premennou.)
Čo je koreňom rovnice? ( Hodnota premennej, pri ktorej sa rovnica stáva pravdivou.)
Ako zistiť, či je číslo koreňom rovnice? ( Vykonajte kontrolu.)

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

Ak x=5, potom x(x-5)=0, čo znamená, že 5 je cudzí koreň.

Ak x=-2, potom x(x-5)≠0.

Odpoveď: -2.

Skúsme týmto spôsobom sformulovať algoritmus na riešenie zlomkových racionálnych rovníc. Deti formulujú algoritmus samy.

Algoritmus na riešenie zlomkových racionálnych rovníc:

Presuňte všetko na ľavú stranu.
Zmenšiť zlomky na spoločného menovateľa.
Vytvorte systém: zlomok sa rovná nule, keď sa čitateľ rovná nule a menovateľ sa nerovná nule.
Vyriešte rovnicu.
Skontrolujte nerovnosť, aby ste vylúčili cudzie korene.
Zapíšte si odpoveď.

4. Počiatočné pochopenie nového materiálu.

Pracujte vo dvojiciach. Študenti si sami vyberajú spôsob riešenia rovnice v závislosti od typu rovnice. Úlohy z učebnice „Algebra 8“, Yu.N. Makarychev, 2007: č. 600(b,c,i); č. 601(a,e,g). Učiteľ sleduje splnenie úlohy, odpovedá na prípadné otázky a poskytuje pomoc žiakom so slabým výkonom. Autotest: odpovede sú napísané na tabuli.

b) 2 – cudzí koreň. odpoveď: 3.

c) 2 – cudzí koreň. Odpoveď: 1.5.

a) Odpoveď: -12.5.

g) Odpoveď: 1;1.5.

5. Stanovenie domácich úloh.

Prečítajte si odsek 25 z učebnice, analyzujte príklady 1-3.
Naučte sa algoritmus na riešenie zlomkových racionálnych rovníc.
Riešte v zošitoch č. 600 (a, d, e); Č. 601(g,h).
Skúste vyriešiť č. 696(a) (voliteľné).

6. Splnenie kontrolnej úlohy na preberanú tému.

Práca sa vykonáva na kusoch papiera.

Príklad úlohy:

A) Ktoré z rovníc sú zlomkové racionálne?

B) Zlomok sa rovná nule, ak je čitateľ _______________________ a menovateľ je ________________________.

Q) Je číslo -3 koreňom rovnice číslo 6?

D) Riešte rovnicu č.7.

Kritériá hodnotenia úlohy:

„5“ sa uvádza, ak študent správne dokončil viac ako 90 % úlohy.
"4" – 75 % – 89 %
"3" – 50 % – 74 %
„2“ dostane študent, ktorý splnil menej ako 50 % úlohy.
Hodnotenie 2 sa v časopise neuvádza, 3 je voliteľné.

7. Reflexia.

Na samostatné pracovné listy napíšte:

1 – ak bola lekcia pre vás zaujímavá a zrozumiteľná;
2 – zaujímavé, ale nejasné;
3 – nie zaujímavé, ale zrozumiteľné;
4 – nie je zaujímavé, nie je jasné.

8. Zhrnutie lekcie.

Ďakujem všetkým, lekcia sa skončila.

Zachovanie vášho súkromia je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si naše postupy ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nižšie sú uvedené niektoré príklady typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás s jedinečnými ponukami, propagačnými akciami a inými udalosťami a pripravovanými udalosťami.
Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a komunikácie.
Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobnej propagačnej akcie, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na správu takýchto programov.

Sprístupnenie informácií tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

V prípade potreby – v súlade so zákonom, súdnym konaním, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí vládnych orgánov v Ruskej federácii – sprístupniť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak usúdime, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo na iné účely verejného významu.
V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú nástupnícku tretiu stranu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Rešpektovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o štandardoch ochrany osobných údajov a bezpečnosti a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Riešenie zlomkových racionálnych rovníc

Referenčná príručka

Racionálne rovnice sú rovnice, v ktorých ľavá aj pravá strana sú racionálnymi výrazmi.

(Pamätajte, že racionálne výrazy sú celočíselné a zlomkové výrazy bez radikálov vrátane operácií sčítania, odčítania, násobenia alebo delenia – napríklad: 6x; (m – n)2; x/3y atď.)

Zlomkové racionálne rovnice sa zvyčajne redukujú do tvaru:

Kde P(x) A Q(x) sú polynómy.

Na vyriešenie takýchto rovníc vynásobte obe strany rovnice Q(x), čo môže viesť k objaveniu sa cudzích koreňov. Preto pri riešení zlomkových racionálnych rovníc je potrebné skontrolovať nájdené korene.

Racionálna rovnica sa nazýva celá alebo algebraická, ak sa nedelí výrazom obsahujúcim premennú.

Príklady celej racionálnej rovnice:

5x – 10 = 3 (10 – x)

3x
- = 2x - 10
4

Ak v racionálnej rovnici existuje delenie výrazom obsahujúcim premennú (x), potom sa rovnica nazýva zlomková racionálna.

Príklad zlomkovej racionálnej rovnice:

15
x + - = 5x – 17
x

Zlomkové racionálne rovnice sa zvyčajne riešia takto:

1) nájdite spoločného menovateľa zlomkov a vynásobte ním obe strany rovnice;

2) vyriešiť výslednú celú rovnicu;

3) vylúčiť z koreňov tie, ktoré redukujú spoločného menovateľa zlomkov na nulu.

Príklady riešenia celočíselných a zlomkových racionálnych rovníc.

Príklad 1. Vyriešme celú rovnicu

x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

Riešenie:

Hľadanie najmenšieho spoločného menovateľa. To je 6. Vydeľte 6 menovateľom a výsledný výsledok vynásobte čitateľom každého zlomku. Získame rovnicu ekvivalentnú tejto:

3 (x – 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

Keďže ľavá a pravá strana majú rovnakého menovateľa, možno ho vynechať. Potom dostaneme jednoduchšiu rovnicu:

3(x – 1) + 4x = 5x.

Riešime to otvorením zátvoriek a spojením podobných výrazov:

3x – 3 + 4x = 5x

3x + 4x – 5x = 3

Príklad je vyriešený.

Príklad 2. Vyriešte zlomkovú racionálnu rovnicu

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x – 5 x x (x – 5)

Hľadanie spoločného menovateľa. Toto je x(x – 5). Takže:

x 2 – 3 x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x – 5) x(x – 5) x(x – 5)

Teraz sa opäť zbavíme menovateľa, keďže je rovnaký pre všetky výrazy. Zredukujeme podobné členy, prirovnáme rovnicu k nule a získame kvadratickú rovnicu:

x 2 – 3 x + x – 5 = x + 5

x 2 – 3x + x – 5 – x – 5 = 0

x 2 – 3 x – 10 = 0.

Po vyriešení kvadratickej rovnice nájdeme jej korene: –2 a 5.

Pozrime sa, či tieto čísla sú koreňmi pôvodnej rovnice.

Pri x = –2 spoločný menovateľ x(x – 5) nezmizne. To znamená, že –2 je koreň pôvodnej rovnice.

Pri x = 5 sa spoločný menovateľ dostane na nulu a dva z troch výrazov strácajú zmysel. To znamená, že číslo 5 nie je koreňom pôvodnej rovnice.

Odpoveď: x = –2

Viac príkladov

Príklad 1

x 1 = 6, x 2 = - 2,2.

Odpoveď: -2,2;6.

Príklad 2