Ako zistiť pravdepodobnosť udalosti. Klasické pravdepodobnostné problémy

Teória pravdepodobnosti je oblasť matematiky, ktorá študuje vzorce náhodných javov: náhodné udalosti, náhodné premenné, ich vlastnosti a operácie na nich.

Na dlhú dobu teória pravdepodobnosti nemala jasnú definíciu. Bol sformulovaný až v roku 1929. Vznik teórie pravdepodobnosti ako vedy sa datuje do stredoveku a prvých pokusov o matematickú analýzu hazardných hier (vločka, kocky, ruleta). Francúzski matematici zo 17. storočia Blaise Pascal a Pierre Fermat, ktorí skúmali predpoveď výhier v r. hazardných hier, objavil prvé pravdepodobnostné vzorce, ktoré vznikajú pri hádzaní kockou.

Teória pravdepodobnosti vznikla ako veda z presvedčenia, že určité vzorce sú základom hromadných náhodných udalostí. Teória pravdepodobnosti študuje tieto vzorce.

Teória pravdepodobnosti sa zaoberá štúdiom udalostí, ktorých výskyt nie je s určitosťou známy. Umožňuje posúdiť mieru pravdepodobnosti výskytu niektorých udalostí v porovnaní s inými.

Napríklad: nie je možné jednoznačne určiť výsledok „hlavy“ alebo „chvosta“ v dôsledku hodu mincou, ale pri viacnásobnom hode je výsledok približne rovnaké číslo„hlavy“ a „chvosty“, čo znamená, že pravdepodobnosť získania „hlavy“ alebo „chvosty“ je 50 %.

Test v tomto prípade sa nazýva implementácia určitého súboru podmienok, to znamená v v tomto prípade hod mincou. Výzvu je možné hrať neobmedzený počet krát. V tomto prípade súbor podmienok zahŕňa náhodné faktory.

Výsledok testu je udalosť. Udalosť sa koná:

Spoľahlivé (vždy sa vyskytuje ako výsledok testovania).
Nemožné (nikdy sa to nestane).
Náhodné (môže alebo nemusí nastať ako výsledok testu).

Napríklad pri hode mincou možná udalosť- minca bude na svojom okraji, náhodná udalosť - výskyt „hláv“ alebo „chvostov“. Konkrétny výsledok testu je tzv elementárna udalosť. Výsledkom testu sú iba elementárne udalosti. Súbor všetkých možných, rôznych, špecifických výsledkov testu sa nazýva priestor elementárnych udalostí.

Základné pojmy teórie

Pravdepodobnosť- miera možnosti výskytu udalosti. Keď dôvody pre nejakú možnú udalosť skutočne nastanú prevažujú nad opačnými dôvodmi, potom sa táto udalosť nazýva pravdepodobná, inak - nepravdepodobná alebo nepravdepodobná.

Náhodná premenná- je to množstvo, ktoré v dôsledku testovania môže nadobudnúť jednu alebo druhú hodnotu a nie je vopred známe, akú. Napríklad: počet na požiarnu stanicu za deň, počet zásahov s 10 výstrelmi atď.

Náhodné premenné možno rozdeliť do dvoch kategórií.

Diskrétna náhodná premenná je veličina, ktorá v dôsledku testovania môže nadobudnúť určité hodnoty istá pravdepodobnosť, tvoriaci spočítateľnú množinu (množinu, ktorej prvky možno očíslovať). Táto množina môže byť buď konečná alebo nekonečná. Napríklad počet výstrelov pred prvým zásahom do cieľa je diskrétna náhodná premenná, pretože táto veličina môže nadobudnúť nekonečný, aj keď spočítateľný počet hodnôt.
Spojitá náhodná premenná je veličina, ktorá môže nadobudnúť akúkoľvek hodnotu z nejakého konečného alebo nekonečného intervalu. Je zrejmé, že množstvo možné hodnoty spojitá náhodná premenná na neurčito.

Priestor pravdepodobnosti- koncept zavedený A.N. Kolmogorov v 30. rokoch 20. storočia formalizoval pojem pravdepodobnosti, čo dalo podnet k prudkému rozvoju teórie pravdepodobnosti ako prísnej matematickej disciplíny.

Pravdepodobný priestor je trojica (niekedy uzavretá v lomených zátvorkách: , kde

Ide o ľubovoľnú množinu, ktorej prvky sa nazývajú elementárne udalosti, výsledky alebo body;
- sigma algebra podmnožín nazývaných (náhodné) udalosti;
- miera pravdepodobnosti alebo pravdepodobnosť, t.j. sigma-aditívna konečná miera taká, že .

De Moivre-Laplaceova veta- jedna z limitných viet teórie pravdepodobnosti, ktorú založil Laplace v roku 1812. Uvádza, že počet úspechov pri opakovaní rovnakého náhodného experimentu znova a znova s dvoma možnými výsledkami je približne normálne rozdelený. Umožňuje vám nájsť približnú hodnotu pravdepodobnosti.

Ak pre každého nezávislé testy pravdepodobnosť výskytu nejakej náhodnej udalosti sa rovná () a je to počet pokusov, v ktorých k nej skutočne dôjde, potom je pravdepodobnosť, že nerovnosť je pravdivá, blízka (pre veľké hodnoty) hodnote Laplaceovho integrálu.

Distribučná funkcia v teórii pravdepodobnosti- funkcia charakterizujúca rozdelenie náhodnej premennej alebo náhodného vektora; pravdepodobnosť, že náhodná premenná X nadobudne hodnotu menšiu alebo rovnú x, kde x je ľubovoľné reálne číslo. Ak sú splnené známe podmienky, úplne určuje náhodnú premennú.

Očakávanie- priemerná hodnota náhodnej veličiny (ide o rozdelenie pravdepodobnosti náhodnej veličiny, uvažované v teórii pravdepodobnosti). IN anglická literatúra označené v ruštine - . V štatistike sa často používa zápis.

Nech je daný priestor pravdepodobnosti a na ňom definovaná náhodná premenná. To je podľa definície merateľná funkcia. Potom, ak existuje Lebesgueov integrál nad priestorom, potom sa nazýva matematické očakávanie alebo stredná hodnota a označuje sa .

Rozptyl náhodnej premennej- miera šírenia danej náhodnej veličiny, teda jej odchýlky od matematického očakávania. Označuje sa v ruskej a zahraničnej literatúre. V štatistike sa často používa zápis alebo. Druhá odmocnina rozptylu sa nazýva štandardná odchýlka, smerodajná odchýlka alebo štandardné rozpätie.

Nech je náhodná premenná definovaná na nejakom pravdepodobnostnom priestore. Potom

kde symbol označuje matematické očakávanie.

V teórii pravdepodobnosti sa nazývajú dve náhodné udalosti nezávislý, ak výskyt jedného z nich nemení pravdepodobnosť výskytu druhého. Podobne sa nazývajú dve náhodné premenné závislý, ak hodnota jednej z nich ovplyvňuje pravdepodobnosť hodnôt druhej.

Najjednoduchšia forma zákona veľké čísla- Toto je Bernoulliho teorém, ktorý hovorí, že ak je pravdepodobnosť udalosti vo všetkých pokusoch rovnaká, potom s narastajúcim počtom pokusov sa frekvencia udalosti približuje k pravdepodobnosti udalosti a prestáva byť náhodná.

Zákon veľkých čísel v teórii pravdepodobnosti hovorí, že aritmetický priemer konečnej vzorky z pevného rozdelenia je blízky teoretickému priemeru tohto rozdelenia. Podľa typu konvergencie sa rozlišuje slabý zákon veľkých čísel, kedy ku konvergencii dochádza podľa pravdepodobnosti, a silný zákon veľkých čísel, kedy je konvergencia takmer istá.

Všeobecný význam zákona veľkého počtu je spoločný postup veľké množstvo identické a nezávislé náhodné faktory vedú k výsledku, ktorý v limite nezávisí od náhody.

Metódy odhadu pravdepodobnosti založené na analýze konečných vzoriek sú založené na tejto vlastnosti. Jasným príkladom je prognóza výsledkov volieb na základe prieskumu na vzorke voličov.

Centrálne limitné vety- trieda viet v teórii pravdepodobnosti vyjadrujúca, že súčet je dostatočný veľké množstvo slabo závislé náhodné premenné, ktoré majú približne rovnaké škály (žiadny člen nedominuje ani neprispieva rozhodujúcim spôsobom k súčtu), má rozdelenie blízke normálu.

Keďže veľa náhodných premenných v aplikáciách vzniká pod vplyvom niekoľkých slabo závislých náhodných faktorov, ich rozdelenie sa považuje za normálne. V tomto prípade musí byť splnená podmienka, že žiadny z faktorov nie je dominantný. Centrálne limitné vety v týchto prípadoch oprávňujú použitie normálneho rozdelenia.

Poďme sa teda porozprávať o téme, ktorá zaujíma veľa ľudí. V tomto článku odpoviem na otázku, ako vypočítať pravdepodobnosť udalosti. Uvediem vzorce na takýto výpočet a niekoľko príkladov, aby bolo jasnejšie, ako sa to robí.

Čo je pravdepodobnosť

Začnime tým, že pravdepodobnosť, že to či ono udalosť sa stane- určitá miera dôvery v prípadný výskyt nejakého výsledku. Na tento výpočet bol vyvinutý vzorec plná pravdepodobnosť, ktorá vám umožňuje určiť, či udalosť, ktorá vás zaujíma, nastane alebo nie, prostredníctvom takzvaných podmienených pravdepodobností. Tento vzorec vyzerá takto: P = n/m, písmená sa môžu meniť, ale to neovplyvňuje samotnú podstatu.

Príklady pravdepodobnosti

Pomocou jednoduchého príkladu analyzujme tento vzorec a aplikujme ho. Povedzme, že máte určitú udalosť (P), nech je to hod kocky, teda rovnostranná kocka. A musíme vypočítať, aká je pravdepodobnosť získania 2 bodov. Na to potrebujete počet kladných udalostí (n), v našom prípade stratu 2 bodov celkový počet udalosti (m). K hodu 2 bodmi môže dôjsť iba v jednom prípade, ak sú na kocke 2 body, pretože inak bude súčet väčší, z toho vyplýva, že n = 1. Ďalej spočítame počet hodov ľubovoľných iných čísel na kocke. kocky, na 1 kocku - to sú 1, 2, 3, 4, 5 a 6, preto existuje 6 priaznivých prípadov, teda m = 6. Teraz pomocou vzorca urobíme jednoduchý výpočet P = 1/ 6 a zistíme, že hod 2 bodmi na kocke je 1/6, čiže pravdepodobnosť udalosti je veľmi nízka.

Pozrime sa tiež na príklad s použitím farebných guličiek, ktoré sú v krabici: 50 bielych, 40 čiernych a 30 zelených. Musíte určiť, aká je pravdepodobnosť nakreslenia zelenej gule. A tak, keďže existuje 30 loptičiek tejto farby, to znamená, že môže byť iba 30 pozitívnych udalostí (n = 30), počet všetkých udalostí je 120, m = 120 (na základe celkového počtu všetkých loptičiek), pomocou vzorca vypočítame, že pravdepodobnosť vytiahnutia zelenej gule sa bude rovnať P = 30/120 = 0,25, teda 25 % zo 100. Rovnakým spôsobom môžete vypočítať pravdepodobnosť vytiahnutia gule iná farba (čierna to bude 33 %, biela 42 %).

Teória pravdepodobnosti je pomerne rozsiahly samostatný odbor matematiky. V školskom kurze sa o teórii pravdepodobnosti hovorí veľmi povrchne, ale v Jednotnej štátnej skúške a Štátnej skúške sú problémy túto tému. Avšak riešenie problémov školský kurz nie je to tak ťažké (aspoň čo sa týka aritmetických operácií) - nie je potrebné počítať derivácie, brať integrály a riešiť komplexy trigonometrické transformácie- hlavná vec je zvládnuť prvočísla a zlomky.

Teória pravdepodobnosti - základné pojmy

Hlavnými pojmami teórie pravdepodobnosti sú test, výsledok a náhodná udalosť. Test z teórie pravdepodobnosti je experiment – hod mincou, ťahanie karty, losovanie – to všetko sú testy. Výsledok testu, ako ste možno uhádli, sa nazýva výsledok.

Čo je to náhodná udalosť? V teórii pravdepodobnosti sa predpokladá, že test sa vykonáva viackrát a existuje veľa výsledkov. Náhodná udalosť je súbor výsledkov pokusu. Ak si napríklad hodíte mincou, môžu sa stať dve náhodné udalosti – hlavy alebo chvosty.

Nezamieňajte si pojmy výsledok a náhodná udalosť. Výsledok je výsledkom jedného pokusu. Náhodná udalosť je súbor možných výsledkov. Mimochodom, existuje taký termín ako nemožná udalosť. Napríklad udalosť „hádzanie čísla 8“ na štandardnej kocke je nemožná.

Ako zistiť pravdepodobnosť?

Všetci zhruba chápeme, čo je pravdepodobnosť a pomerne často sa používa dané slovo vo vašej slovnej zásobe. Okrem toho môžeme dokonca vyvodiť nejaké závery týkajúce sa pravdepodobnosti konkrétnej udalosti, napríklad ak je za oknom sneh, môžeme s najväčšou pravdepodobnosťou povedať, že nie je leto. Ako však môžeme číselne vyjadriť tento predpoklad?

Aby sme zaviedli vzorec na nájdenie pravdepodobnosti, zavedieme ešte jeden pojem – priaznivý výsledok, teda výsledok, ktorý je priaznivý pre konkrétnu udalosť. Definícia je, samozrejme, dosť nejednoznačná, ale podľa podmienok problému je vždy jasné, ktorý výsledok je priaznivý.

Napríklad: V triede je 25 ľudí, z toho traja sú Káťa. Učiteľ prideľuje Olyu povinnosťou a potrebuje partnera. Aká je pravdepodobnosť, že sa Káťa stane vašou partnerkou?

IN v tomto príklade priaznivý výsledok - partnerka Katya. Tento problém vyriešime o niečo neskôr. Najprv však pomocou dodatočnej definície zavedieme vzorec na nájdenie pravdepodobnosti.

P = A/N, kde P je pravdepodobnosť, A je počet priaznivých výsledkov, N je celkový počet výsledkov.

Všetky školské problémy sa točia okolo tohto jediného vzorca a hlavný problém zvyčajne spočíva v hľadaní výsledkov. Niekedy sa dajú ľahko nájsť, niekedy nie až tak.

Ako riešiť pravdepodobnostné problémy?

Problém 1

Takže teraz poďme vyriešiť vyššie uvedený problém.

Počet priaznivých výsledkov (učiteľ vyberie Káťu) sú tri, pretože v triede sú tri Káťa, a celkový počet je 24 (25-1, pretože Olyu už vybrali). Potom je pravdepodobnosť: P = 3/24 = 1/8 = 0,125. Pravdepodobnosť, že Olyiným partnerom bude Katya, je teda 12,5%. Nie je to ťažké, však? Pozrime sa na niečo trochu zložitejšie.

Problém 2

Minca bola hodená dvakrát, aká je pravdepodobnosť získania jednej hlavy a jedného chvosta?

Pozrime sa teda na všeobecné výsledky. Ako môžu mince pristáť – hlavy/hlavy, chvosty/chvosty, hlavy/chvosty, chvosty/hlavy? To znamená, že celkový počet výsledkov je 4. Koľko priaznivých výsledkov? Dve - hlavy/chvosty a chvosty/hlavy. Pravdepodobnosť získania kombinácie hláv a chvostov je teda:

P = 2/4 = 0,5 alebo 50 percent.

Teraz sa pozrime na tento problém. Máša má vo vrecku 6 mincí: dve s nominálnou hodnotou 5 rubľov a štyri s nominálnou hodnotou 10 rubľov. Máša presunula 3 mince do iného vrecka. Aká je pravdepodobnosť, že 5-rubľové mince skončia v rôznych vreckách?

Pre zjednodušenie označme mince číslami - 1,2 - päťrubľové mince, 3,4,5,6 - desaťrubľové mince. Ako teda môžu byť mince vo vrecku? Celkovo existuje 20 kombinácií:

123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256, 345, 346, 356, 456.

Na prvý pohľad sa môže zdať, že niektoré kombinácie chýbajú, napríklad 231, ale v našom prípade sú kombinácie 123, 231 a 321 ekvivalentné.

Teraz spočítame, koľko priaznivých výsledkov máme. Za ne berieme tie kombinácie, ktoré obsahujú buď číslo 1 alebo číslo 2: 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256. Je ich teda 12 pravdepodobnosť sa rovná:

P = 12/20 = 0,6 alebo 60 %.

Problémy pravdepodobnosti, ktoré sú tu uvedené, sú celkom jednoduché, ale nemyslite si, že pravdepodobnosť je jednoduchým odvetvím matematiky. Ak sa rozhodnete pokračovať vo vzdelávaní na univerzite (okrem humanitárne špeciality), určite budete mať párov vyššia matematika, kde sa zoznámite so zložitejšími pojmami tejto teórie a úlohy tam budú oveľa ťažšie.

Všetko na svete sa deje deterministicky alebo náhodou...
Aristoteles

Pravdepodobnosť: Základné pravidlá

Teória pravdepodobnosti vypočítava pravdepodobnosti rôznych udalostí. Základom teórie pravdepodobnosti je koncept náhodnej udalosti.

Napríklad hodíte mincou, náhodne dopadne na hlavu alebo chvost. Vopred neviete, na ktorú stranu minca padne. Uzatvoríte poistnú zmluvu, vopred neviete, či budú platby realizované alebo nie.

Pri poistno-matematických výpočtoch musíte vedieť odhadnúť pravdepodobnosť rôznych udalostí, preto teória pravdepodobnosti zohráva kľúčovú úlohu. Žiadna iná oblasť matematiky sa nemôže zaoberať pravdepodobnosťou udalostí.

Pozrime sa bližšie na hádzanie mincou. Existujú 2 vzájomne sa vylučujúce výsledky: vypadne erb alebo vypadnú chvosty. Výsledok hodu je náhodný, pretože pozorovateľ nemôže analyzovať a brať do úvahy všetky faktory, ktoré ovplyvňujú výsledok. Aká je pravdepodobnosť vypadnutia erbu? Väčšina odpovie ½, ale prečo?

Nech je to formálne A označuje stratu erbu. Nechajte hádzať mincou n raz. Potom pravdepodobnosť udalosti A možno definovať ako podiel tých hodov, ktorých výsledkom je erb:

Kde n celkový počet hodov, n(A) počet pádov erbu.

Vzťah (1) sa nazýva frekvencia udalosti A v dlhej sérii testov.

Ukazuje sa, že v rôznych sériách testov zodpovedajúca frekvencia vo všeobecnosti n zhluky okolo nejakej konštantnej hodnoty P(A). Toto množstvo sa nazýva pravdepodobnosť udalosti A a je označený písm R- skratka pre anglické slovo pravdepodobnosť – pravdepodobnosť.

Formálne máme:

(2)

Tento zákon je tzv zákon veľkých čísel.

Ak je minca spravodlivá (symetrická), pravdepodobnosť získania erbu sa rovná pravdepodobnosti získania hláv a rovná sa ½.

Nechaj A A IN niektoré udalosti, napríklad, či poistná udalosť nastala alebo nie. Spojenie dvoch udalostí je udalosťou pozostávajúcou z vykonania udalosti A, udalosti IN alebo obe udalosti súčasne. Priesečník dvoch udalostí A A IN udalosť spočívajúcu v realizácii nazývaná udalosťou A a udalosti IN.

Základné pravidlá Výpočet pravdepodobnosti udalostí je nasledujúci:

1. Pravdepodobnosť akejkoľvek udalosti leží medzi nulou a jednou:

2. Nech A a B sú dve udalosti, potom:

Znie to takto: pravdepodobnosť kombinácie dvoch udalostí sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí mínus pravdepodobnosť, že sa udalosti pretínajú. Ak sú udalosti nezlučiteľné alebo sa neprekrývajú, potom sa pravdepodobnosť kombinácie (súčet) dvoch udalostí rovná súčtu pravdepodobností. Tento zákon sa nazýva zákon prídavok pravdepodobnosti.

Hovoríme, že udalosť je spoľahlivá, ak jej pravdepodobnosť je rovná 1. Pri analýze určitých javov vyvstáva otázka, ako výskyt udalosti ovplyvňuje IN pri výskyte udalosti A. Ak to chcete urobiť, zadajte podmienená pravdepodobnosť :

(4)

Znie to takto: pravdepodobnosť výskytu A vzhľadom na to IN sa rovná pravdepodobnosti priesečníka A A IN, delené pravdepodobnosťou udalosti IN.
Vzorec (4) predpokladá, že pravdepodobnosť udalosti IN viac ako nula.

Vzorec (4) možno napísať aj takto:

(5)

Toto je vzorec násobenie pravdepodobností.

Podmienená pravdepodobnosť sa tiež nazýva a posteriori pravdepodobnosť udalosti A- pravdepodobnosť výskytu A po útoku IN.

V tomto prípade sa nazýva samotná pravdepodobnosť a priori pravdepodobnosť. Existuje niekoľko ďalších dôležitých vzorcov, ktoré sa intenzívne používajú v poistno-matematických výpočtoch.

Vzorec úplnej pravdepodobnosti

Predpokladajme, že sa vykonáva experiment, ktorého podmienky je možné vopred určiť vzájomne vzájomne sa vylučujúce predpoklady (hypotézy):

Predpokladáme, že existuje buď hypotéza, alebo...alebo. Pravdepodobnosti týchto hypotéz sú známe a rovnaké:

Potom vzorec platí plný pravdepodobnosti :

(6)

Pravdepodobnosť výskytu udalosti A rovná súčtu súčinov pravdepodobnosti výskytu A pre každú hypotézu o pravdepodobnosti tejto hypotézy.

Bayesov vzorec

Bayesov vzorec umožňuje prepočítať pravdepodobnosť hypotéz vo svetle nové informáciečo dalo výsledok A.

Bayesov vzorec v určitom zmysle je inverzná hodnota vzorca celkovej pravdepodobnosti.

Zvážte nasledujúci praktický problém.

Problém 1

Predpokladajme, že dôjde k havárii lietadla a experti sú zaneprázdnení vyšetrovaním jej príčin. Vopred sú známe 4 dôvody, prečo k katastrofe došlo: buď príčina, alebo, alebo, alebo. Podľa dostupných štatistík majú tieto dôvody nasledujúce pravdepodobnosti:

Pri skúmaní miesta havárie sa podľa štatistík našli stopy po zapálení paliva, pravdepodobnosť tejto udalosti z jedného alebo druhého dôvodu je nasledovná:

Otázka: Aká je najpravdepodobnejšia príčina katastrofy?

Vypočítajme pravdepodobnosti príčin za podmienok vzniku udalosti A.

Z toho vidno, že prvý dôvod je najpravdepodobnejší, keďže jeho pravdepodobnosť je maximálna.

Problém 2

Predstavte si, že lietadlo pristáva na letisku.

Pri pristávaní môžu byť poveternostné podmienky nasledovné: žiadna nízka oblačnosť (), prítomná nízka oblačnosť (). V prvom prípade je pravdepodobnosť bezpečného pristátia P1. V druhom prípade - P2. To je jasné P1>P2.

Zariadenia, ktoré poskytujú slepé pristátie, majú pravdepodobnosť bezproblémovej prevádzky R. Ak je nízka oblačnosť a slepé pristávacie prístroje zlyhali, pravdepodobnosť úspešného pristátia je vysoká P3, a P3<Р2 . Je známe, že na danom letisku je podiel dní v roku s nízkou oblačnosťou rovný .

Nájdite pravdepodobnosť, že lietadlo bezpečne pristane.

Musíme nájsť pravdepodobnosť.

Existujú dve vzájomne sa vylučujúce možnosti: slepé pristávacie zariadenia fungujú, slepé pristávacie zariadenia zlyhali, takže máme:

Preto podľa vzorca celkovej pravdepodobnosti:

Problém 3

Životné poistenie poskytuje poisťovňa. 10 % poistencov tejto spoločnosti sú fajčiari. Ak poistenec nefajčí, pravdepodobnosť jeho úmrtia v priebehu roka je 0,01 Ak je fajčiar, tak táto pravdepodobnosť je 0,05.

Aký je podiel fajčiarov medzi poistencami, ktorí v priebehu roka zomreli?

Možné odpovede: (A) 5 %, (B) 20 %, (C) 36 %, (D) 56 %, (E) 90 %.

Riešenie

Vstúpme do udalostí:

Stav problému to znamená

Navyše, keďže udalosti tvoria kompletnú skupinu párovo nekompatibilných udalostí, potom .
Pravdepodobnosť, ktorá nás zaujíma, je .

Pomocou Bayesovho vzorca máme:

správna možnosť je teda ( IN).

Problém 4

Poisťovňa predáva zmluvy životného poistenia v troch kategóriách: štandardné, preferované a ultraprivilegované.

50 % všetkých poistencov je štandardných, 40 % preferovaných a 10 % ultraprivilegovaných.

Pravdepodobnosť úmrtia do roka pre štandardného poistenca je 0,010, pre privilegovaného - 0,005 a pre ultraprivilegovaného - 0,001.

Aká je pravdepodobnosť, že zosnulý poistenec je ultraprivilegovaný?

Riešenie

Uveďme do úvahy nasledujúce udalosti:

Z hľadiska týchto udalostí nás zaujíma pravdepodobnosť . Podľa podmienky:

Keďže udalosti , tvoria kompletnú skupinu párovo nekompatibilných udalostí, pomocou Bayesovho vzorca máme:

Náhodné veličiny a ich charakteristiky

Nech je to nejaká náhodná veličina, napríklad škoda pri požiari alebo výška poistného.
Náhodnú premennú úplne charakterizuje jej distribučná funkcia.

Definícia. Funkcia volal distribučná funkcia náhodná premenná ξ .

Definícia. Ak existuje funkcia taká, že pre ľubovoľné a dokončené

potom hovoria, že náhodná premenná ξ má funkcia hustoty pravdepodobnosti f(x).

Definícia. Nechaj . Pre funkciu kontinuálnej distribúcie F teoretický α-kvantil sa nazýva riešenie rovnice.

Toto riešenie nemusí byť jediné.

Kvantilná úroveň ½ nazývané teoretické medián , kvantilové úrovne ¼ A ¾ -dolný a horný kvartil resp.

V poistno-matematických aplikáciách hrá dôležitú úlohu Čebyševova nerovnosť:

pri akomkoľvek

Symbol matematického očakávania.

Znie to takto: pravdepodobnosť, že modul je väčší alebo rovný matematickému očakávanému modulu delené .

Životnosť ako náhodná premenná

Neistota okamihu smrti je hlavným rizikovým faktorom životného poistenia.

O okamihu smrti jednotlivca nemožno povedať nič konkrétne. Ak však máme do činenia s veľkou homogénnou skupinou ľudí a nezaujíma nás osud jednotlivých ľudí z tejto skupiny, potom sme v rámci teórie pravdepodobnosti ako vedy o hromadných náhodných javoch, ktoré majú vlastnosť frekvenčnej stability. .

resp. o strednej dĺžke života môžeme hovoriť ako o náhodnej premennej T.

Funkcia prežitia

Teória pravdepodobnosti popisuje stochastickú povahu akejkoľvek náhodnej premennej T distribučná funkcia F(x), ktorá je definovaná ako pravdepodobnosť, že náhodná premenná T menej ako číslo x:

.

V poistnej matematike je fajn pracovať nie s distribučnou funkciou, ale s doplnkovou distribučnou funkciou . Z hľadiska dlhovekosti je to pravdepodobnosť, že sa človek dožije vysokého veku x rokov.

volal funkcia prežitia(funkcia prežitia):

Funkcia prežitia má nasledujúce vlastnosti:

Tabuľky úmrtnosti zvyčajne predpokladajú, že nejaké existujú veková hranica (obmedzujúci vek) (zvyčajne roky) a podľa toho pri x>.

Pri popise úmrtnosti analytickými zákonmi sa zvyčajne predpokladá, že dĺžka života je neobmedzená, ale typ a parametre zákonov sú zvolené tak, aby pravdepodobnosť života po určitom veku bola zanedbateľná.

Funkcia prežitia má jednoduchý štatistický význam.

Povedzme, že sledujeme skupinu novorodencov (spravidla), ktorých pozorujeme a môžeme zaznamenať momenty ich smrti.

Počet žijúcich zástupcov tejto skupiny vo veku označme . potom:

.

Symbol E tu a nižšie sa používa na označenie matematického očakávania.

Funkcia prežitia sa teda rovná priemernému podielu tých, ktorí sa dožijú veku z nejakej fixnej skupiny novorodencov.

V poistnej matematike sa často nepracuje s funkciou prežitia, ale s práve zavedenou hodnotou (stanovením počiatočnej veľkosti skupiny).

Funkciu prežitia možno rekonštruovať z hustoty:

Charakteristika životnosti

Z praktického hľadiska sú dôležité tieto vlastnosti:

1 . Priemernáčas života

,
2 . Disperzia celý život

,
Kde
,

V mojom blogu je preklad ďalšej prednášky kurzu „Principles of Game Balance“ od herného dizajnéra Jana Schreibera, ktorý pracoval na projektoch ako Marvel Trading Card Game a Playboy: the Mansion.

Až doteraz bolo takmer všetko, o čom sme hovorili, deterministické a minulý týždeň sme sa bližšie pozreli na tranzitívnu mechaniku, pričom sme zašli do takých detailov, koľko viem vysvetliť. Ale doteraz sme nevenovali pozornosť inému aspektu mnohých hier, a to nedeterministickým aspektom - inými slovami náhodnosti.

Pochopenie podstaty náhodnosti je pre herných dizajnérov veľmi dôležité. Vytvárame systémy, ktoré ovplyvňujú zážitok používateľa v danej hre, takže musíme vedieť, ako tieto systémy fungujú. Ak je v systéme náhodnosť, musíme pochopiť podstatu tejto náhodnosti a vedieť, ako ju zmeniť, aby sme dosiahli výsledky, ktoré potrebujeme.

Kocky

Začnime niečím jednoduchým – hádzaním kockou. Keď väčšina ľudí myslí na kocky, predstaví si šesťstennú kocku známu ako d6. Väčšina hráčov však videla mnoho iných kociek: štvorstennú (d4), osemhrannú (d8), dvanásťstennú (d12), dvadsaťstennú (d20). Ak ste skutočný geek, možno máte niekde 30- alebo 100-hrannú kocku.

Ak nie ste oboznámení s terminológiou, d znamená kocka a číslo za ním je počet strán, ktoré má. Ak sa číslo objaví pred d, znamená to počet kociek, ktoré sa majú hodiť. Napríklad v hre Monopoly hádžete 2k6.

Takže v tomto prípade je fráza „kocky“ symbolom. Existuje obrovské množstvo iných generátorov náhodných čísel, ktoré nevyzerajú ako plastové figúrky, ale plnia rovnakú funkciu – generovanie náhodného čísla od 1 do n. Obyčajnú mincu možno znázorniť aj ako dvojstennú kocku d2.

Videl som dva návrhy sedemstenných kociek: jeden vyzeral ako kocka a druhý vyzeral skôr ako sedemstenná drevená ceruzka. Tetrahedrálny dreidel, tiež známy ako titotum, je podobný štvorstennej kosti. Otáčajúca sa šípka v hre Chutes & Ladders, kde sa skóre môže pohybovať od 1 do 6, zodpovedá šesťhrannej kocke.

Počítačový generátor náhodných čísel môže vytvoriť ľubovoľné číslo od 1 do 19, ak to konštruktér určí, aj keď počítač nemá 19-stennú kocku (vo všeobecnosti budem hovoriť viac o pravdepodobnosti, že čísla prídu na počítač budúci týždeň). Všetky tieto položky vyzerajú inak, ale v skutočnosti sú ekvivalentné: máte rovnakú šancu na každý z niekoľkých možných výsledkov.

Kocky majú niekoľko zaujímavých vlastností, o ktorých musíme vedieť. Po prvé, pravdepodobnosť pristátia na oboch stranách je rovnaká (predpokladám, že hádžete kockou pravidelného tvaru). Ak chcete poznať priemernú hodnotu hodu (pre tých, ktorí sa zaoberajú teóriou pravdepodobnosti, je to známa ako očakávaná hodnota), spočítajte hodnoty na všetkých hranách a vydeľte toto číslo počtom hrán.

Súčet hodnôt všetkých strán pre štandardnú šesťstennú kocku je 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Vydeľte 21 počtom strán a získajte priemernú hodnotu hodu: 21 / 6 = 3,5. Toto je špeciálny prípad, pretože predpokladáme, že všetky výsledky sú rovnako pravdepodobné.

Čo ak máte špeciálne kocky? Videl som napríklad hru so šiestimi hracími kockami so špeciálnymi nálepkami na stranách: 1, 1, 1, 2, 2, 3, takže sa správa ako zvláštna trojstranná kocka, ktorá skôr hodí 1 ako 2. a je pravdepodobnejšie, že padne 2 ako 3. Aký je priemerný hod touto kockou? Takže 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 10, delené 6 - ukáže sa 5 / 3 alebo približne 1,66. Takže ak máte špeciálnu kocku a hráči hodia tromi kockami a potom sčítajú výsledky - viete, že ich hod bude mať okolo 5 a na základe tohto predpokladu môžete hru vyvážiť.

Kocky a nezávislosť

Ako som už povedal, vychádzame z predpokladu, že každá strana rovnako pravdepodobne vypadne. Nezáleží na tom, koľko kociek hodíte. Každý hod kockou je nezávislý, čo znamená, že predchádzajúce hody neovplyvňujú výsledky nasledujúcich hodov. Pri dostatočnom počte pokusov si určite všimnete vzor čísel – napríklad hádzanie väčšinou vyšších alebo nižších hodnôt – alebo iné funkcie, ale to neznamená, že sú kocky „horúce“ alebo „studené“. O tom si povieme neskôr.

Ak hodíte štandardnou šesťstennou kockou a číslo 6 padne dvakrát za sebou, pravdepodobnosť, že ďalší hod bude mať za následok 6, je presne 1/6 Pravdepodobnosť sa nezvýši, pretože kocka sa „zahriala“. . Pravdepodobnosť sa zároveň neznižuje: je nesprávne usudzovať, že číslo 6 už padlo dvakrát za sebou, čo znamená, že teraz by mala prísť na rad iná strana.

Samozrejme, ak hodíte kockou dvadsaťkrát a zakaždým dostanete 6, šanca, že dvadsiaty prvý raz hodíte 6, je dosť vysoká: možno máte len nesprávnu kocku. Ale ak je kocka spravodlivá, každá strana má rovnakú pravdepodobnosť pristátia, bez ohľadu na výsledky ostatných hodov. Môžete si tiež predstaviť, že kocku vymieňame zakaždým: ak padne číslo 6 dvakrát za sebou, odstráňte „horúcu“ kocku z hry a nahraďte ju novou. Ospravedlňujem sa, ak o tom niekto z vás už vedel, ale potreboval som si to ujasniť, kým pôjdem ďalej.

Ako dosiahnuť, aby sa kocka hodila viac-menej náhodne

Poďme si povedať, ako dosiahnuť rôzne výsledky na rôznych kockách. Či už hodíte kockou len raz alebo niekoľkokrát, hra bude náhodnejšia, keď bude mať kocka viac strán. Čím častejšie musíte hádzať kockou a čím viac kociek hodíte, tým viac sa výsledky približujú k priemeru.

Napríklad v prípade 1k6 + 4 (teda ak raz hodíte štandardnou šesťstennou kockou a k výsledku pridáte 4), priemer bude číslo medzi 5 a 10. Ak hodíte 5k2, priemer by bolo tiež číslo medzi 5 a 10. Výsledkom hodenia 5d2 budú hlavne čísla 7 a 8, menej často iné hodnoty. Rovnaký rad, dokonca rovnaká priemerná hodnota (v oboch prípadoch 7,5), ale charakter náhodnosti je odlišný.

Počkaj chvíľu. Nepovedal som práve, že kocky „nehrejú“ ani „nechladia“? Teraz hovorím: ak hodíte veľa kociek, výsledky hodov sa priblížia k priemeru. prečo?

Dovoľte mi vysvetliť. Ak hodíte jednou kockou, každá strana má rovnakú pravdepodobnosť pristátia. To znamená, že ak v priebehu času hodíte veľa kociek, každá strana padne približne rovnako. Čím viac kociek hodíte, tým viac sa bude celkový výsledok približovať k priemeru.

Nie je to preto, že by vyžrebované číslo „nútilo“ vyžrebovať ďalšie číslo, ktoré ešte nebolo vyžrebované. Ale preto, že malá séria hádzania čísla 6 (alebo 20, či iného čísla) nakoniec až tak neovplyvní výsledok, ak kockou hodíte ešte desaťtisíckrát a väčšinou vám vyjde priemerné číslo. Teraz dostanete niekoľko veľkých čísel a neskôr niekoľko malých - a časom sa priblížia k priemeru.

Nie je to preto, že by predchádzajúce hody ovplyvnili kocky (vážne, kocky sú vyrobené z plastu, nemá mozog na to, aby si pomyslel: „Och, už je to nejaký čas, čo si hodil 2“), ale preto, že to je to, čo zvyčajne sa stane, keď hodíte veľa kockami

Je teda celkom jednoduché robiť výpočty pre jeden náhodný hod kockou - aspoň pre výpočet priemernej hodnoty hodu. Existujú aj spôsoby, ako vypočítať „ako je niečo náhodné“ a povedať, že výsledky hodenia 1k6+4 budú „náhodnejšie“ ako 5k2. Za 5d2 budú valčeky rozložené rovnomernejšie. Aby ste to dosiahli, musíte vypočítať smerodajnú odchýlku: čím väčšia hodnota, tým náhodnejšie budú výsledky. Nerád by som dnes dával toľko výpočtov, túto tému vysvetlím neskôr.

Jediná vec, ktorú vás požiadam, aby ste si zapamätali, je, že vo všeobecnosti platí, že čím menej kociek hodíte, tým väčšia je náhodnosť. A čím viac strán má kocka, tým väčšia je náhodnosť, pretože existuje viac možných hodnôt.

Ako vypočítať pravdepodobnosť pomocou počítania

Možno sa pýtate: ako môžeme vypočítať presnú pravdepodobnosť získania určitého výsledku? V skutočnosti je to pre mnohé hry dosť dôležité: ak na začiatku hodíte kockou - s najväčšou pravdepodobnosťou existuje nejaký optimálny výsledok. Moja odpoveď je: musíme vypočítať dve hodnoty. Po prvé, celkový počet výsledkov pri hode kockou a po druhé, počet priaznivých výsledkov. Vydelením druhej hodnoty prvou získate požadovanú pravdepodobnosť. Ak chcete získať percento, vynásobte výsledok 100.

Príklady

Tu je veľmi jednoduchý príklad. Chcete, aby číslo 4 alebo vyššie hodilo šesťstennou kockou raz. Maximálny počet výsledkov je 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Z toho 3 výsledky (4, 5, 6) sú priaznivé. To znamená, že na výpočet pravdepodobnosti vydelíme 3 x 6 a dostaneme 0,5 alebo 50 %.

Tu je príklad trochu komplikovanejší. Pri hode 2k6 chcete párne číslo. Maximálny počet výsledkov je 36 (6 možností pre každú kocku, jedna kocka neovplyvňuje druhú, takže vynásobte 6 x 6 a dostanete 36). Problém s týmto typom otázok je, že je ľahké počítať dvakrát. Napríklad pri hode 2k6 sú dva možné výsledky 3: 1+2 a 2+1. Vyzerajú rovnako, rozdiel je však v tom, ktoré číslo je zobrazené na prvej kocke a ktoré na druhej.

Môžete si tiež predstaviť, že kocky sú rôznych farieb: takže napríklad v tomto prípade je jedna kocka červená a druhá modrá. Potom spočítajte počet možností na hodenie párnym číslom:

2 (1+1);

4 (1+3);

4 (2+2);

4 (3+1);

6 (1+5);

6 (2+4);

6 (3+3);

6 (4+2);

6 (5+1);

8 (2+6);

8 (3+5);

8 (4+4);

8 (5+3);

8 (6+2);

10 (4+6);

10 (5+5);

10 (6+4);

12 (6+6).

Ukazuje sa, že existuje 18 možností priaznivého výsledku z 36 - ako v predchádzajúcom prípade je pravdepodobnosť 0,5 alebo 50%. Možno nečakané, ale celkom presné.

Simulácia Monte Carlo

Čo ak máte na tento výpočet príliš veľa kociek? Napríklad, chcete vedieť, aká je pravdepodobnosť, že pri hode 8k6 získate celkovo 15 alebo viac. Pre osem kociek existuje obrovské množstvo rôznych výsledkov a ich ručné počítanie by trvalo veľmi dlho – aj keď by sme našli nejaké dobré riešenie na zoskupenie rôznych sád hodov kockami.

V tomto prípade je najjednoduchšie nepočítať manuálne, ale použiť počítač. Existujú dva spôsoby, ako vypočítať pravdepodobnosť na počítači. Prvá metóda vám môže poskytnúť presnú odpoveď, ale zahŕňa trochu programovania alebo skriptovania. Počítač preskúma každú možnosť, vyhodnotí a spočíta celkový počet iterácií a počet iterácií, ktoré zodpovedajú požadovanému výsledku, a potom poskytne odpovede. Váš kód môže vyzerať asi takto:

Ak programovaniu nerozumiete a potrebujete skôr približnú odpoveď ako presnú, môžete si túto situáciu nasimulovať v Exceli, kde hodíte 8d6 niekoľkotisíckrát a dostanete odpoveď. Ak chcete hodiť 1d6 v Exceli, použite vzorec =FLOOR(RAND()*6)+1.

Situáciu, keď nepoznáte odpoveď a len to mnohokrát skúšate, má názov – simulácia Monte Carlo. Toto je skvelé riešenie, keď je výpočet pravdepodobnosti príliš náročný. Skvelé je, že v tomto prípade nemusíme chápať, ako matematika funguje, a vieme, že odpoveď bude „celkom dobrá“, pretože, ako už vieme, čím viac hodov, tým viac sa výsledok blíži k priemer.

Ako skombinovať nezávislé pokusy

Ak sa pýtate na viacero opakovaných, ale nezávislých pokusov, výsledok jedného hodu neovplyvní výsledky ostatných hodov. Pre túto situáciu existuje ešte jedno jednoduchšie vysvetlenie.

Ako rozlíšiť medzi niečím závislým a nezávislým? V zásade, ak môžete izolovať každý hod (alebo sériu hodov) kockou ako samostatnú udalosť, potom je nezávislý. Napríklad hodíme 8k6 a chceme celkovo 15. Túto udalosť nemožno rozdeliť na niekoľko nezávislých hodov kockou. Ak chcete získať výsledok, vypočítate súčet všetkých hodnôt, takže výsledok, ktorý sa objaví na jednej kocke, ovplyvní výsledky, ktoré by sa mali objaviť na ostatných.

Tu je príklad nezávislých hodov: Hráte kockovú hru a viackrát hádžete šesťstennou kockou. Prvý hod musí byť 2 alebo vyšší, aby ste zostali v hre. Pre druhý hod - 3 alebo vyšší. Tretí vyžaduje 4 alebo vyšší, štvrtý vyžaduje 5 alebo vyšší a piaty vyžaduje 6. Ak je všetkých päť hodov úspešných, vyhrávate. V tomto prípade sú všetky hody nezávislé. Áno, ak je jeden hod neúspešný, ovplyvní to výsledok celej hry, ale jeden hod neovplyvní druhý. Napríklad, ak je váš druhý hod kockou veľmi úspešný, neznamená to, že ďalšie hody budú také dobré. Preto môžeme zvážiť pravdepodobnosť každého hodu kockou samostatne.

Ak máte nezávislé pravdepodobnosti a chcete vedieť, aká je pravdepodobnosť, že nastanú všetky udalosti, určíte každú jednotlivú pravdepodobnosť a vynásobíte ich. Ďalší spôsob: ak spojkou „a“ popíšete viacero stavov (napríklad aká je pravdepodobnosť výskytu nejakej náhodnej udalosti a inej nezávislej náhodnej udalosti?) – spočítajte jednotlivé pravdepodobnosti a vynásobte ich.

Bez ohľadu na to, čo si myslíte, nikdy nesčítajte nezávislé pravdepodobnosti. Toto je častý omyl. Aby ste pochopili, prečo je to nesprávne, predstavte si situáciu, keď si hodíte mincou a chcete vedieť, aká je pravdepodobnosť, že dostanete hlavy dvakrát za sebou. Pravdepodobnosť, že každá strana vypadne, je 50%. Ak spočítate tieto dve pravdepodobnosti, získate 100% šancu získať hlavy, ale vieme, že to nie je pravda, pretože to mohli byť chvosty dvakrát za sebou. Ak namiesto toho vynásobíte dve pravdepodobnosti, dostanete 50 % * 50 % = 25 % – čo je správna odpoveď na výpočet pravdepodobnosti, že dostanete hlavy dvakrát za sebou.

Príklad

Vráťme sa k hre so šiestimi kockami, kde musíte najprv hodiť číslo väčšie ako 2, potom väčšie ako 3 – a tak ďalej až do 6. Aké sú šance, že v danej sérii piatich hodov budú všetky výsledky priaznivé? ?

Ako je uvedené vyššie, ide o nezávislé pokusy, preto vypočítame pravdepodobnosť pre každý jednotlivý hod a potom ich vynásobíme. Pravdepodobnosť, že výsledok prvého hodu bude priaznivý, je 5/6. Druhý - 4.6. Tretia - 3.6. Štvrtý - 2/6, piaty - 1/6. Všetky výsledky navzájom vynásobíme a dostaneme približne 1,5 %. Výhry v tejto hre sú pomerne zriedkavé, takže ak do svojej hry pridáte tento prvok, budete potrebovať pomerne veľký jackpot.

Negácia

Tu je ďalší užitočný tip: niekedy je ťažké vypočítať pravdepodobnosť, že sa udalosť stane, ale je jednoduchšie určiť pravdepodobnosť, že sa udalosť nestane. Povedzme napríklad, že máme inú hru: hodíte 6k6 a vyhráte, ak aspoň raz hodíte 6 Aká je pravdepodobnosť výhry?

V tomto prípade je potrebné zvážiť veľa možností. Je možné, že padne jedno číslo 6, to znamená, že jedna z kociek ukáže číslo 6 a ostatné čísla od 1 do 5, potom je 6 možností, ktorá z kociek ukáže 6. Číslo 6 môžete získať na dvoch kockách alebo na troch alebo aj na viacerých kockách a zakaždým budete musieť vykonať samostatný výpočet, takže sa tu môžete ľahko zmiasť.

Pozrime sa však na problém z druhej strany. Prehráte, ak žiadna z kociek nepadne 6. V tomto prípade máme 6 nezávislých pokusov. Pravdepodobnosť, že každá kocka hodí iné číslo ako 6, je 5/6. Vynásobte ich a dostanete približne 33%. Pravdepodobnosť prehry je teda jedna ku trom. Pravdepodobnosť výhry je teda 67 % (alebo dve až tri).

Z tohto príkladu je zrejmé: ak vypočítate pravdepodobnosť, že udalosť nenastane, musíte výsledok odpočítať od 100%. Ak je pravdepodobnosť výhry 67 %, potom je pravdepodobnosť prehry 100 % mínus 67 % alebo 33 % a naopak. Ak je ťažké vypočítať jednu pravdepodobnosť, ale ľahko vypočítať opačnú, vypočítajte opak a potom toto číslo odpočítajte od 100 %.

Spájame podmienky pre jeden nezávislý test

Vyššie som povedal, že by ste nikdy nemali pridávať pravdepodobnosti naprieč nezávislými skúškami. Existujú prípady, kedy je možné zhrnúť pravdepodobnosti? Áno, v jednej špeciálnej situácii.

Ak chcete vypočítať pravdepodobnosť niekoľkých nesúvisiacich priaznivých výsledkov v jednom pokuse, spočítajte pravdepodobnosti každého priaznivého výsledku. Napríklad pravdepodobnosť hodenia čísel 4, 5 alebo 6 na 1k6 sa rovná súčtu pravdepodobnosti hodenia čísla 4, pravdepodobnosti čísla 5 a pravdepodobnosti čísla 6. Túto situáciu možno znázorniť ako nasleduje: ak v otázke o pravdepodobnosti použijete spojku „alebo“ (aká je napríklad pravdepodobnosť toho či onoho výsledku jednej náhodnej udalosti?) – vypočítajte jednotlivé pravdepodobnosti a spočítajte ich.

Upozornenie: Keď vypočítate všetky možné výsledky hry, súčet pravdepodobnosti ich výskytu sa musí rovnať 100 %, inak bol váš výpočet vykonaný nesprávne. Je to dobrý spôsob, ako skontrolovať svoje výpočty. Napríklad ste analyzovali pravdepodobnosť všetkých kombinácií v pokri. Ak spočítate všetky svoje výsledky, mali by ste dostať presne 100 % (alebo aspoň pomerne blízko 100 %: ak používate kalkulačku, môže sa vyskytnúť malá chyba v zaokrúhľovaní, ale ak presné čísla spočítate ručne, všetko by sa mali sčítať). Ak súčet nekonverguje, znamená to, že ste s najväčšou pravdepodobnosťou nebrali do úvahy niektoré kombinácie alebo nesprávne vypočítali pravdepodobnosti niektorých kombinácií a výpočty je potrebné ešte raz skontrolovať.

Nerovnaké pravdepodobnosti

Doteraz sme predpokladali, že každá strana kocky sa hádže rovnakou frekvenciou, pretože sa zdá, že kocky tak fungujú. Niekedy sa však môžete stretnúť so situáciou, keď sú možné rôzne výsledky a majú rôzne šance, že sa dostavia.

Napríklad v jednom z doplnkov ku kartovej hre Nuclear War je hracie pole so šípkou, od ktorého závisí výsledok odpálenia rakety. Najčastejšie spôsobí normálne poškodenie, silnejšie alebo slabšie, ale niekedy sa poškodenie zdvojnásobí alebo strojnásobí, alebo raketa vybuchne na odpaľovacej rampe a zraní vás, alebo dôjde k inej udalosti. Na rozdiel od hracej dosky v hre Chutes & Ladders alebo A Game of Life sú výsledky hracej dosky v Nuclear War nerovnomerné. Niektoré úseky hracieho poľa sú väčšie a šíp sa na nich zastavuje oveľa častejšie, iné zase veľmi malé a šíp sa na nich zastaví len zriedka.

Takže kocka na prvý pohľad vyzerá asi takto: 1, 1, 1, 2, 2, 3 - už sme o tom hovorili, je to niečo ako vážený 1k3. Preto musíme všetky tieto sekcie rozdeliť na rovnaké časti, nájsť najmenšiu mernú jednotku, ktorej deliteľom je všetko násobok, a potom znázorniť situáciu v tvare d522 (alebo nejakej inej), kde množina kociek tváre budú predstavovať rovnakú situáciu, ale s viacerými výsledkami. Toto je jeden zo spôsobov, ako vyriešiť problém, a je to technicky možné, ale existuje jednoduchšia možnosť.

Vráťme sa k našej štandardnej šesťstennej kocke. Povedali sme, že na výpočet priemerného hodu pre normálnu kocku musíte sčítať hodnoty na všetkých plochách a vydeliť ich počtom plôch, ale ako presne funguje výpočet? Existuje aj iný spôsob, ako to vyjadriť. Pre šesťstennú kocku je pravdepodobnosť hodenia každej strany presne 1/6. Teraz vynásobíme výsledok každej hrany pravdepodobnosťou tohto výsledku (v tomto prípade 1/6 pre každú hranu) a potom výsledné hodnoty spočítame. Takže sčítanie (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6) , dostaneme rovnaký výsledok (3.5) ako vo výpočte vyššie. V skutočnosti takto počítame zakaždým: každý výsledok vynásobíme pravdepodobnosťou tohto výsledku.

Môžeme urobiť rovnaký výpočet pre šípku na ihrisku v Nuclear War? Samozrejme, že môžeme. A ak zhrnieme všetky zistené výsledky, dostaneme priemernú hodnotu. Všetko, čo musíme urobiť, je vypočítať pravdepodobnosť každého výsledku pre šípku na ihrisku a vynásobiť ju hodnotou výsledku.

Ďalší príklad

Tento spôsob výpočtu priemeru je vhodný aj vtedy, ak sú výsledky rovnako pravdepodobné, ale majú rôzne výhody – napríklad ak hodíte kockou a vyhráte na niektorých stranách viac ako na iných. Vezmime si napríklad kasínovú hru: podáte stávku a hodíte 2k6. Ak sa hodia tri čísla s nízkou hodnotou (2, 3, 4) alebo štyri čísla s vysokou hodnotou (9, 10, 11, 12), vyhráte sumu rovnajúcu sa vašej stávke. Čísla s najnižšou a najvyššou hodnotou sú špeciálne: ak hodíte 2 alebo 12, vyhrávate dvojnásobok svojej stávky. Ak padne akékoľvek iné číslo (5, 6, 7, 8), svoju stávku prehráte. Toto je celkom jednoduchá hra. Aká je však pravdepodobnosť výhry?

Začnime spočítaním, koľkokrát môžete vyhrať. Maximálny počet výsledkov pri hode 2k6 je 36. Aký je počet priaznivých výsledkov?

Je 1 možnosť, že bude hodená dvojka a jedna možnosť, že bude hodená dvojka.

Sú 2 možnosti, že 3 hodia a 2 možnosti, že 11 hod.

Existujú 3 možnosti pre hodenie 4 a 3 možnosti pre hodenie 10.

Existujú 4 možnosti pre hod 9.

Zhrnutím všetkých možností dostaneme 16 priaznivých výsledkov z 36. Za normálnych podmienok teda vyhráte 16-krát z 36 možných – pravdepodobnosť výhry je o niečo menšia ako 50 %.

Ale v dvoch prípadoch z týchto šestnástich vyhráte dvakrát toľko – je to ako vyhrať dvakrát. Ak hráte túto hru 36-krát, pričom zakaždým vsadíte 1 $ a každý z možných výsledkov príde raz, vyhráte spolu 18 $ (v skutočnosti vyhráte 16-krát, ale dve z nich sa počítajú ako dve výhry ). Ak hráte 36-krát a vyhráte 18 $, neznamená to, že šance sú rovnaké?

Neponáhľaj sa. Ak spočítate, koľkokrát môžete prehrať, skončíte s 20, nie 18. Ak hráte 36-krát a zakaždým vsadíte 1 $, vyhráte spolu 18 $, ak trafíte všetky víťazné tipy. Ak však dosiahnete všetkých 20 nepriaznivých výsledkov, stratíte celkovo 20 dolárov. V dôsledku toho budete trochu zaostávať: stratíte v priemere 2 doláre netto za každých 36 hier (môžete tiež povedať, že stratíte v priemere 1/18 dolára za deň). Teraz vidíte, aké ľahké je v tomto prípade urobiť chybu a nesprávne vypočítať pravdepodobnosť.

Preskupenie

Doteraz sme predpokladali, že na poradí čísel pri hode kockou nezáleží. Hodenie 2 + 4 je rovnaké ako hodenie 4 + 2. Vo väčšine prípadov počítame počet priaznivých výsledkov ručne, niekedy je však táto metóda nepraktická a je lepšie použiť matematický vzorec.

Príklad takejto situácie je z hry s kockami Farkle. Za každé nové kolo hodíte 6k6. Ak budete mať šťastie a získate všetky možné výsledky 1-2-3-4-5-6 (rovno), dostanete veľký bonus. Aká je pravdepodobnosť, že sa to stane? V tomto prípade existuje veľa možností na získanie tejto kombinácie.

Riešenie je nasledovné: jedna z kociek (a iba jedna) musí mať číslo 1. Koľkými spôsobmi sa môže číslo 1 objaviť na jednej kocke? Existuje 6 možností, keďže kociek je 6 a ktorákoľvek z nich môže padnúť na číslo 1. Podľa toho vezmite jednu kocku a odložte ju. Teraz by jedna zo zostávajúcich kociek mala hodiť číslo 2. Na to je 5 možností. Vezmite ďalšiu kocku a odložte ju nabok. Potom 4 zo zostávajúcich kociek môže pristáť číslo 3, 3 zo zostávajúcich kociek môže pristáť číslo 4, 2 zo zostávajúcich kociek môže pristáť číslo 5. Výsledkom je, že vám zostane jedna kocka, ktorá by mala pristáť číslo 6 (v druhom prípade je kocka len jedna kosť a nie je na výber).

Aby sme vypočítali počet priaznivých výsledkov pre zasiahnutie postupky, vynásobíme všetky rôzne nezávislé možnosti: 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 – zdá sa, že existuje pomerne veľké množstvo možností, ako táto kombinácia prísť .

Na výpočet pravdepodobnosti získania postupky musíme vydeliť 720 počtom všetkých možných výsledkov pre hod 6k6. Aký je počet všetkých možných výsledkov? Každá kocka môže mať 6 strán, preto vynásobíme 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 46656 (oveľa väčšie číslo ako predchádzajúce). Vydelíme 720 číslom 46656 a dostaneme pravdepodobnosť približne 1,5 %. Ak by ste navrhovali túto hru, bolo by pre vás užitočné to vedieť, aby ste si podľa toho mohli vytvoriť systém bodovania. Teraz už chápeme, prečo vo Farkle dostanete taký veľký bonus, ak dostanete postupku: toto je pomerne zriedkavá situácia.

Výsledok je zaujímavý aj z iného dôvodu. Príklad ukazuje, ako zriedka sa v krátkom období vyskytne výsledok, ktorý zodpovedá pravdepodobnosti. Samozrejme, ak by sme hádzali niekoľko tisíc kociek, rôzne strany kocky by sa objavovali pomerne často. Ale keď hodíme len šesť kociek, takmer nikdy sa nestane, že by sa objavila každá tvár. Ukazuje sa, že je hlúpe očakávať, že sa teraz objaví riadok, ktorý sa ešte nestal, pretože „číslo 6 sme už dlho nehádzali“. Počúvaj, tvoj generátor náhodných čísel je pokazený.

To nás vedie k všeobecnej mylnej predstave, že všetky výsledky sa vyskytujú s rovnakou frekvenciou počas krátkeho časového obdobia. Ak hádžeme kockou niekoľkokrát, frekvencia vypadávania každej strany nebude rovnaká.

Ak ste už niekedy pracovali na online hre s akýmsi generátorom náhodných čísel, s najväčšou pravdepodobnosťou ste sa stretli so situáciou, keď hráč napíše na technickú podporu so sťažnosťou, že generátor náhodných čísel nezobrazuje náhodné čísla. Dospel k tomuto záveru, pretože zabil 4 príšery v rade a dostal 4 presne rovnaké odmeny a tieto odmeny by sa mali objaviť iba v 10% prípadov, takže by sa to zrejme takmer nikdy nemalo stať.

Robíte matematický výpočet. Pravdepodobnosť je 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10, to znamená, že 1 výsledok z 10 tisíc je pomerne zriedkavý prípad. Toto sa vám hráč snaží povedať. Je v tomto prípade problém?

Všetko závisí od okolností. Koľko hráčov je momentálne na vašom serveri? Povedzme, že máte pomerne populárnu hru a každý deň ju hrá 100 tisíc ľudí. Koľko hráčov dokáže zabiť štyri príšery za sebou? Možno všetci, niekoľkokrát denne, ale predpokladajme, že polovica z nich jednoducho obchoduje s rôznymi predmetmi v aukciách, chatuje na RP serveroch alebo vykonáva iné činnosti v hre – takže len polovica z nich loví príšery. Aká je pravdepodobnosť, že niekto dostane rovnakú odmenu? V tejto situácii môžete očakávať, že sa to stane aspoň niekoľkokrát denne.

Mimochodom, práve preto sa zdá, že každých pár týždňov niekto vyhrá v lotérii, aj keď ten niekto nikdy nebol vy alebo niekto, koho poznáte. Ak bude pravidelne hrať dostatok ľudí, je pravdepodobné, že sa niekde nájde aspoň jeden šťastný hráč. Ale ak hráte lotériu sami, je nepravdepodobné, že vyhráte, ale skôr budete pozvaní pracovať v Infinity Ward.

Karty a závislosť

Diskutovali sme o nezávislých udalostiach, ako je napríklad hod kockou, a teraz poznáme mnoho výkonných nástrojov na analýzu náhodnosti v mnohých hrách. Výpočet pravdepodobnosti je trochu komplikovanejší, pokiaľ ide o ťahanie kariet z balíčka, pretože každá karta, ktorú si vytiahneme, ovplyvňuje tie, ktoré v balíčku ostanú.

Ak máte štandardný 52-kartový balíček, odoberiete z neho 10 sŕdc a chcete vedieť, aká je pravdepodobnosť, že ďalšia karta bude rovnakej farby - pravdepodobnosť sa oproti pôvodnej zmenila, pretože ste už jednu kartu farby odstránili sŕdc z paluby. Každá karta, ktorú odstránite, zmení pravdepodobnosť, že sa v balíčku objaví ďalšia karta. V tomto prípade predchádzajúca udalosť ovplyvňuje nasledujúcu, preto ju nazývame závislou na pravdepodobnosti.

Upozorňujeme, že keď hovorím „karty“, mám na mysli akúkoľvek hernú mechaniku, kde máte sadu predmetov a jeden z nich odstránite bez toho, aby ste ho nahradili. „Balík kariet“ je v tomto prípade obdobou vrecúška žetónov, z ktorého si vezmete jeden žetón, alebo urny, z ktorej sa odoberajú farebné loptičky (nikdy som nevidel hry s urnou, z ktorej sa berú farebné loptičky, ale učitelia teórie pravdepodobnosti o tom, z akého dôvodu sa uprednostňuje tento príklad).

Vlastnosti závislosti

Chcel by som objasniť, že pokiaľ ide o karty, predpokladám, že si karty potiahnete, pozriete sa na ne a odstránite ich z balíčka. Každá z týchto akcií je dôležitou vlastnosťou. Ak by som mal balíček, povedzme, šesť kariet s číslami 1 až 6, zamiešal by som ich a ťahal by som si jednu kartu, potom by som znova zamiešal všetkých šesť kariet – bolo by to podobné ako hádzanie šesťstennou kockou, pretože jeden výsledok má žiadny efekt pre ďalšie. A ak vytiahnem karty a nenahradím ich, tak vytiahnutím karty 1 zvyšujem pravdepodobnosť, že nabudúce si vytiahnem kartu s číslom 6. Pravdepodobnosť sa bude zvyšovať, až nakoniec tú kartu odstránim resp. zamiešať balíček.

Dôležitý je aj fakt, že sa pozeráme na karty. Ak vyberiem kartu z balíčka a nepozerám sa na ňu, nebudem mať žiadne ďalšie informácie a pravdepodobnosť sa v skutočnosti nezmení. Môže to znieť kontraintuitívne. Ako môže jednoduché otočenie karty magicky zmeniť šance? Ale je to možné, pretože môžete vypočítať pravdepodobnosť pre neznáme položky len z toho, čo viete.

Ak napríklad zamiešate štandardný balíček kariet a odhalíte 51 kariet a žiadna z nich nie je klubová kráľovná, môžete si byť 100% istý, že zostávajúca karta je klubová kráľovná. Ak zamiešate štandardný balíček kariet a vyberiete 51 kariet bez toho, aby ste sa na ne pozreli, pravdepodobnosť, že zostávajúca karta je kráľovnou palíc, je stále 1/52. Po otvorení každej karty získate ďalšie informácie.

Výpočet pravdepodobnosti pre závislé udalosti sa riadi rovnakými princípmi ako pre nezávislé udalosti, až na to, že je to trochu komplikovanejšie, pretože pravdepodobnosti sa menia s odkrývaním kariet. Takže musíte vynásobiť veľa rôznych hodnôt namiesto násobenia rovnakej hodnoty. To v skutočnosti znamená, že musíme spojiť všetky výpočty, ktoré sme urobili, do jednej kombinácie.

Príklad

Zamiešate štandardný 52-kartový balíček a potiahnete dve karty. Aká je pravdepodobnosť, že vyžrebujete pár? Existuje niekoľko spôsobov, ako vypočítať túto pravdepodobnosť, ale asi najjednoduchší je tento: aká je pravdepodobnosť, že ak vytiahnete jednu kartu, nebudete môcť vytiahnuť pár? Táto pravdepodobnosť je nulová, takže nezáleží na tom, ktorú prvú kartu si vytiahnete, pokiaľ sa zhoduje s druhou. Nezáleží na tom, ktorú kartu vytiahneme ako prvú, stále máme šancu vytiahnuť pár. Pravdepodobnosť vytiahnutia páru po vytiahnutí prvej karty je teda 100%.

Aká je pravdepodobnosť, že sa druhá karta zhoduje s prvou? V balíčku zostáva 51 kariet a 3 z nich sa zhodujú s prvou kartou (v skutočnosti by boli 4 z 52, ale jednu zo zodpovedajúcich kariet ste už odstránili pri ťahaní prvej karty), takže pravdepodobnosť je 1/ 17. Takže keď budete nabudúce hrať Texas Hold'em, chlapík oproti vám povie: „Super, ďalší pár? Dnes sa cítim šťastný,“ budete vedieť, že je vysoká pravdepodobnosť, že blafuje.

Čo ak pridáme dvoch žolíkov, takže máme v balíčku 54 kariet a chceme vedieť, aká je pravdepodobnosť ťahania páru? Prvá karta môže byť žolík a potom bude v balíčku iba jedna karta, ktorá sa zhoduje, a nie tri. Ako zistiť pravdepodobnosť v tomto prípade? Rozdelíme pravdepodobnosti a vynásobíme každú možnosť.

Naša prvá karta môže byť žolík alebo iná karta. Pravdepodobnosť vytiahnutia žolíka je 2/54, pravdepodobnosť vytiahnutia inej karty je 52/54. Ak je prvá karta žolík (2/54), potom pravdepodobnosť, že sa druhá karta bude zhodovať s prvou, je 1/53. Vynásobíme hodnoty (môžeme ich vynásobiť, pretože sú to samostatné udalosti a chceme, aby sa obe udalosti stali) a dostaneme 1/1431 - menej ako jednu desatinu percenta.

Ak najprv vytiahnete inú kartu (52/54), pravdepodobnosť, že sa zhoduje s druhou kartou, je 3/53. Vynásobíme hodnoty a dostaneme 78/1431 (o niečo viac ako 5,5%). Čo urobíme s týmito dvoma výsledkami? Nepretínajú sa a my chceme poznať pravdepodobnosť každého z nich, preto hodnoty sčítame. Dostaneme konečný výsledok 79/1431 (stále asi 5,5 %).

Ak by sme si chceli byť istí presnosťou odpovede, mohli by sme vypočítať pravdepodobnosť všetkých ostatných možných výsledkov: ťahanie žolíka a nezodpovedanie druhej karty alebo ťahanie inej karty a nezodpovedanie druhej karty. Sčítaním týchto pravdepodobností a pravdepodobnosti výhry by sme dostali presne 100 %. Nebudem tu uvádzať matematiku, ale môžete skúsiť matematiku pre kontrolu.

Paradox Montyho Halla

Dostávame sa tak k pomerne známemu paradoxu, ktorý veľa ľudí často mätie – Monty Hall Paradox. Paradox je pomenovaný po moderátorovi televíznej relácie Let's Make a Deal Pre tých, ktorí túto televíznu reláciu nikdy nevideli, bol opakom The Price Is Right.

V The Price Is Right je hostiteľ (Bob Barker býval hostiteľom; kto je teraz Drew Carey? Nevadí) je váš priateľ. Chce, aby ste vyhrali peniaze alebo skvelé ceny. Snaží sa vám poskytnúť každú príležitosť na výhru, pokiaľ dokážete uhádnuť, akú skutočnú hodnotu majú predmety zakúpené sponzormi.

Monty Hall sa zachoval inak. Bol ako zlé dvojča Boba Barkera. Jeho cieľom bolo, aby ste v národnej televízii vyzerali ako idiot. Ak ste boli na šou, bol to váš súper, hrali ste proti nemu a šance boli v jeho prospech. Možno som príliš drsný, ale keď sa pozriem na predstavenie, do ktorého sa s väčšou pravdepodobnosťou dostanete, ak si oblečiete smiešny kostým, presne k tomu som dospel.

Jeden z najznámejších mémov predstavenia bol tento: pred vami sú tri dvere, dvere číslo 1, dvere číslo 2 a dvere číslo 3. Jedny dvere si môžete vybrať zadarmo. Za jedným z nich je veľkolepá cena – napríklad nové auto. Za ďalšími dvoma dverami nie sú žiadne ceny, obe nemajú žiadnu hodnotu. Majú vás ponižovať, takže za nimi nie je len tak niečo, ale niečo hlúpe, napríklad koza alebo obrovská tuba zubnej pasty – čokoľvek, len nie nové auto.

Vyberiete si jedny z dverí, Monty sa ich chystá otvoriť, aby vám dal vedieť, či ste vyhrali alebo nie... ale počkajte. Než to zistíme, pozrime sa na jedny z tých dverí, ktoré ste si nevybrali. Monty vie, za ktorými dverami je cena, a vždy môže otvoriť dvere, ktoré za sebou nemajú cenu. „Vyberáte si dvere číslo 3? Potom otvorme dvere číslo 1, aby sme ukázali, že za nimi nie je žiadna cena.“ A teraz vám zo štedrosti ponúka možnosť vymeniť vybrané dvere číslo 3 za to, čo je za dverami číslo 2.

V tomto bode vyvstáva otázka pravdepodobnosti: zvyšuje táto príležitosť vašu pravdepodobnosť výhry alebo ju znižuje, alebo zostáva nezmenená? ako myslíš?

Správna odpoveď: možnosť vybrať si iné dvere zvyšuje pravdepodobnosť výhry z 1/3 na 2/3. To je nelogické. Ak ste sa s týmto paradoxom ešte nestretli, potom si s najväčšou pravdepodobnosťou hovoríte: počkajte, ako to, že sme otvorením jedných dverí magicky zmenili pravdepodobnosť? Ako sme už videli pri mapách, presne toto sa stane, keď získame viac informácií. Je zrejmé, že keď si vyberiete prvýkrát, pravdepodobnosť výhry je 1/3. Keď sa otvoria jedny dvere, vôbec to nemení pravdepodobnosť výhry pre prvú možnosť: pravdepodobnosť je stále 1/3. Ale pravdepodobnosť, že tie druhé dvere sú správne, je teraz 2/3.

Pozrime sa na tento príklad z inej perspektívy. Vyberiete si dvere. Pravdepodobnosť výhry je 1/3. Navrhujem, aby ste vymenili ďalšie dve dvere, čo robí Monty Hall. Iste, otvorí jedny z dverí, aby odhalil, že za nimi nie je žiadna cena, ale to môže urobiť vždy, takže to vlastne nič nemení. Samozrejme, budete chcieť zvoliť iné dvere.

Ak otázke celkom nerozumiete a potrebujete presvedčivejšie vysvetlenie, kliknite na tento odkaz a dostanete sa do skvelej malej Flash aplikácie, ktorá vám umožní podrobnejšie preskúmať tento paradox. Môžete hrať od približne 10 dverí a potom sa postupne prepracovať až k hre s tromi dverami. K dispozícii je tiež simulátor, v ktorom môžete hrať s ľubovoľným počtom dverí od 3 do 50 alebo spustiť niekoľko tisíc simulácií a zistiť, koľkokrát by ste vyhrali, keby ste hrali.

Vyberte si jedny z troch dverí – pravdepodobnosť výhry je 1/3. Teraz máte dve stratégie: zmeniť svoju voľbu po otvorení nesprávnych dverí alebo nie. Ak nezmeníte svoj výber, pravdepodobnosť zostane 1/3, pretože výber nastane iba v prvej fáze a musíte hneď uhádnuť. Ak sa zmeníte, potom môžete vyhrať, ak si najskôr vyberiete nesprávne dvere (potom otvoria ďalšie zlé, tie správne zostávajú - zmenou svojho rozhodnutia to beriete). Pravdepodobnosť výberu nesprávnych dverí na začiatku je 2/3 – ukazuje sa teda, že zmenou svojho rozhodnutia zdvojnásobíte pravdepodobnosť výhry.
Poznámka od vyššieho učiteľa matematiky a špecialistu na rovnováhu hier Maxima Soldatova - Schreiber ju samozrejme nemal, ale bez nej je dosť ťažké pochopiť túto magickú transformáciu

A opäť o Monty Hallovom paradoxe

Čo sa týka samotnej šou: aj keď Monty Hallovi oponenti neboli dobrí v matematike, on v nej bol dobrý. Tu je to, čo urobil, aby trochu zmenil hru. Ak by ste si vybrali dvere, ktoré mali za sebou cenu, ktorá mala 1/3 šancu, že sa tak stane, vždy vám ponúkne možnosť výberu iných dverí. Vyberiete si auto a potom ho vymeníte za kozu a budete vyzerať dosť hlúpo – čo je presne to, čo chcete, keďže Hall je tak trochu zlý chlap.

Ale ak si vyberiete dvere, za ktorými nie je žiadna cena, len polovicu času vás požiada, aby ste si vybrali iné, alebo vám len ukáže vašu novú kozu a vy odídete z javiska. Poďme analyzovať túto novú hru, kde sa Monty Hall môže rozhodnúť, či vám ponúkne možnosť vybrať si iné dvere alebo nie.

Povedzme, že postupuje podľa tohto algoritmu: ak si vyberiete dvere s cenou, vždy vám ponúkne možnosť vybrať si iné dvere, inak je rovnako pravdepodobné, že vám ponúkne vybrať si iné dvere alebo vám dá kozu. Aká je vaša pravdepodobnosť výhry?

V jednej z troch možností si hneď vyberiete dvere, za ktorými sa výhra nachádza a moderátorka vás vyzve, aby ste si vybrali ďalšie.

Zo zostávajúcich dvoch možností z troch (na začiatku si vyberiete dvere bez ceny), v polovici prípadov vám moderátor ponúkne zmenu vášho rozhodnutia av druhej polovici prípadov nie.

Polovica z 2/3 je 1/3, to znamená, že v jednom prípade z troch dostanete kozu, v jednom prípade z troch vyberiete nesprávne dvere a hostiteľ vás požiada, aby ste si vybrali iné, a v jednom prípade v prípade z troch si vyberiete správne dvere, ale on opäť ponúkne iné.

Ak moderátorka ponúkne výber iných dverí, už vieme, že ten jeden prípad z troch, keď nám dá kozu a odchádzame, sa nestal. Toto je užitočná informácia: znamená to, že naše šance na výhru sa zmenili. Dva prípady z troch, keď máme možnosť si vybrať: v jednom prípade to znamená, že sme uhádli správne a v druhom, že sme hádali zle, takže ak nám bola vôbec ponúknutá možnosť vybrať si, potom pravdepodobnosť našej výhry je 1/2 a z matematického hľadiska je jedno, či ostanete pri výbere alebo si vyberiete iné dvere.

Rovnako ako poker je to psychologická hra, nie matematická. Prečo ti dal Monty na výber? Myslí si, že ste prosťáček, ktorý nevie, že výber iných dverí je „správne“ rozhodnutie a tvrdošijne sa bude držať svojho výberu (predsa len, psychicky je situácia náročnejšia, keď ste si vybrali auto a potom ho stratili? )?

Alebo vám túto šancu ponúkne, keď sa rozhodne, že ste šikovný a vyberiete si iné dvere, pretože vie, že ste v prvom rade uhádli správne a chytíte sa? Alebo možno je netypicky láskavý a tlačí vás, aby ste urobili niečo, čo je pre vás prospešné, pretože už nejaký čas nerozdáva autá a producenti hovoria, že publikum sa začína nudiť a bolo by lepšie rozdať veľkú cenu čoskoro. klesajú hodnotenia?

Montymu sa tak darí občas ponúknuť na výber a stále udržať celkovú pravdepodobnosť výhry na 1/3. Pamätajte, že pravdepodobnosť, že prehráte úplne, je 1/3. Šanca, že hneď uhádnete správne, je 1/3 a 50 % z toho vyhráte (1/3 x 1/2 = 1/6).

Pravdepodobnosť, že najprv uhádnete zle, ale potom budete mať možnosť vybrať si iné dvere, je 1/3 a polovicu z nich vyhráte (tiež 1/6). Spočítajte dve nezávislé výherné možnosti a dostanete pravdepodobnosť 1/3, takže nezáleží na tom, či zostanete pri výbere alebo si vyberiete iné dvere – vaša celková pravdepodobnosť výhry počas celej hry je 1/3.

Pravdepodobnosť nie je väčšia ako v situácii, keď ste uhádli dvere a moderátor vám jednoducho ukázal, čo je za nimi, bez toho, aby vám ponúkol vybrať si iné. Cieľom návrhu nie je zmeniť pravdepodobnosť, ale urobiť rozhodovací proces zábavnejším sledovaním v televízii.

Mimochodom, toto je jeden z dôvodov, prečo môže byť poker taký zaujímavý: vo väčšine formátov sa medzi kolami, keď sa uzatvárajú stávky (napríklad flop, turn a river v Texas Hold'em), postupne odkrývajú karty, a ak na začiatku hry máte jednu šancu na výhru, potom sa po každom kole stávok, keď sa odhalí viac kariet, táto pravdepodobnosť zmení.

Paradox chlapca a dievčaťa

Dostávame sa tak k ďalšiemu známemu paradoxu, ktorý spravidla mätie každého – paradox chlapca a dievčaťa. Jediná vec, o ktorej dnes píšem, nesúvisí priamo s hrami (aj keď vás tuším mám len povzbudiť k vytvoreniu vhodných herných mechanizmov). Toto je skôr hádanka, ale zaujímavá, a aby ste ju vyriešili, musíte pochopiť podmienenú pravdepodobnosť, o ktorej sme hovorili vyššie.

Problém: Mám priateľa s dvoma deťmi, aspoň jedno z nich je dievča. Aká je pravdepodobnosť, že aj druhé dieťa bude dievča? Predpokladajme, že v každej rodine je šanca mať dievča a chlapca 50/50, a to platí pre každé dieťa.

V skutočnosti niektorí muži majú v spermiách viac spermií s chromozómom X alebo chromozómom Y, takže pravdepodobnosť sa mierne mení. Ak viete, že jedno dieťa je dievča, pravdepodobnosť, že budete mať druhé dievča, je o niečo vyššia a existujú aj ďalšie stavy, ako je hermafroditizmus. Ale na vyriešenie tohto problému to nebudeme brať do úvahy a budeme predpokladať, že narodenie dieťaťa je nezávislá udalosť a narodenie chlapca a dievčaťa je rovnako pravdepodobné.

Keďže hovoríme o šanci 1/2, intuitívne očakávame, že odpoveď bude s najväčšou pravdepodobnosťou 1/2 alebo 1/4, prípadne nejaké iné číslo, ktoré je v menovateli násobkom dvoch. Ale odpoveď je 1/3. prečo?

Problém je v tom, že informácie, ktoré máme, znižujú počet možností. Predpokladajme, že rodičia sú fanúšikmi Sesame Street a bez ohľadu na pohlavie detí ich pomenovali A a B. Za normálnych podmienok existujú štyri rovnako pravdepodobné možnosti: A a B sú dvaja chlapci, A a B sú dve dievčatá, A je chlapec a B je dievča, A je dievča a B je chlapec. Keďže vieme, že aspoň jedno dieťa je dievča, môžeme vylúčiť, že A a B sú dvaja chlapci. Zostávajú nám teda tri možnosti – stále rovnako pravdepodobné. Ak sú všetky možnosti rovnako pravdepodobné a sú tri, potom pravdepodobnosť každej z nich je 1/3. Len v jednej z týchto troch možností sú obe deti dievčatá, takže odpoveď je 1/3.

A opäť o paradoxe chlapca a dievčaťa

Riešenie problému sa stáva ešte nelogickejším. Predstavte si, že môj priateľ má dve deti a jedno z nich je dievča, ktoré sa narodilo v utorok. Predpokladajme, že za normálnych podmienok sa dieťa môže narodiť v každom zo siedmich dní v týždni s rovnakou pravdepodobnosťou. Aká je pravdepodobnosť, že aj druhé dieťa bude dievča?

Možno si myslíte, že odpoveď bude stále 1/3: na čom záleží utorok? Ale aj v tomto prípade nám zlyháva intuícia. Odpoveď je 13/27, čo je nielen neintuitívne, ale veľmi zvláštne. O čo ide v tomto prípade?
V skutočnosti utorok mení pravdepodobnosť, pretože nevieme, ktoré dieťa sa narodilo v utorok, alebo možno obe sa narodili v utorok. V tomto prípade používame rovnakú logiku: počítame všetky možné kombinácie, keď je aspoň jedno dieťa dievča narodené v utorok. Rovnako ako v predchádzajúcom príklade predpokladajme, že deti majú mená A a B. Kombinácie vyzerajú takto:
A je dievča, ktoré sa narodilo v utorok, B je chlapec (v tejto situácii je 7 možností, jedna na každý deň v týždni, kedy sa mohol narodiť chlapec).

B je dievča narodené v utorok, A je chlapec (tiež 7 možností).

A - dievča, ktoré sa narodilo v utorok, B - dievča, ktoré sa narodilo v iný deň v týždni (6 možností).

B je dievča, ktoré sa narodilo v utorok, A je dievča, ktoré sa nenarodilo v utorok (tiež 6 pravdepodobností).

A a B sú dve dievčatá, ktoré sa narodili v utorok (1 možnosť, treba si na to dať pozor, aby sa to nerátalo dvakrát).

Sčítame a dostaneme 27 rôznych rovnako možných kombinácií narodení detí a dní s aspoň jednou možnosťou, že sa v utorok narodí dievčatko. Z toho je 13 možností, keď sa narodia dve dievčatá. Zdá sa to tiež úplne nelogické - zdá sa, že táto úloha bola vynájdená len preto, aby spôsobovala bolesti hlavy. Ak ste stále zmätení, webová stránka herného teoretika Jespera Juhla má dobré vysvetlenie tohto problému.

Ak práve pracujete na hre

Ak je v hre, ktorú navrhujete, náhoda, je skvelý čas na jej analýzu. Vyberte prvok, ktorý chcete analyzovať. Najprv si položte otázku, akú očakávate pravdepodobnosť pre daný prvok, aká by mala byť v kontexte hry.

Ak napríklad tvoríte RPG a pýtate sa, aká by mala byť pravdepodobnosť, že hráč v boji porazí monštrum, položte si otázku, aké percento výhry sa vám zdá správne. Pri konzolových RPG sú hráči zvyčajne veľmi rozrušení, keď prehrajú, takže je najlepšie, ak prehrávajú zriedkavo – 10 % času alebo menej. Ak ste dizajnér RPG, pravdepodobne to viete lepšie ako ja, ale musíte mať základnú predstavu o tom, aká by mala byť pravdepodobnosť.

Potom si položte otázku, či sú vaše pravdepodobnosti závislé (ako pri kartách) alebo nezávislé (ako pri kockách). Analyzujte všetky možné výsledky a ich pravdepodobnosti. Uistite sa, že súčet všetkých pravdepodobností je 100 %. A, samozrejme, porovnajte získané výsledky s vašimi očakávaniami. Dokážete hádzať kockou alebo ťahať karty tak, ako ste zamýšľali, alebo je jasné, že hodnoty je potrebné upraviť. A samozrejme, ak nájdete nejaké nedostatky, môžete pomocou rovnakých výpočtov určiť, ako veľmi hodnoty zmeniť.

Zadanie domácej úlohy

Vaša domáca úloha na tento týždeň vám pomôže zdokonaliť vaše pravdepodobnostné schopnosti. Tu sú dve hry s kockami a kartová hra, ktoré budete analyzovať pomocou pravdepodobnosti, ako aj zvláštny herný mechanizmus, ktorý som kedysi vyvinul a ktorý bude testovať metódu Monte Carlo.

Hra #1 - Dračie kosti

Toto je hra s kockami, ktorú sme s kolegami kedysi vymysleli (vďaka Jebovi Heavensovi a Jesse Kingovi) – špecificky fúka do povedomia ľudí svojimi pravdepodobnosťami. Je to jednoduchá kasínová hra s názvom Dragon Dice a je to súťaž o hazardné kocky medzi hráčom a domom.

Dostanete normálnu kocku 1k6. Cieľom hry je hodiť o číslo vyššie ako je domček. Tom dostane neštandardnú 1k6 - rovnakú ako vy, ale na jednej z jeho tvárí namiesto jednotky je obrázok draka (takže kasíno má kocku draka - 2-3-4-5-6 ). Ak dom dostane draka, automaticky vyhráva a vy prehrávate. Ak obaja dostanú rovnaké číslo, je to remíza a znova hodíte kockou. Vyhráva ten, kto hodí najvyššie číslo.

Samozrejme, všetko nefunguje úplne v prospech hráča, pretože kasíno má výhodu v podobe dračieho okraja. Ale je to naozaj pravda? Toto si musíte vypočítať. Najprv však skontrolujte svoju intuíciu.

Povedzme, že kurz je 2 ku 1. Ak teda vyhráte, ponecháte si svoju stávku a získate dvojnásobok svojej stávky. Ak napríklad vsadíte 1 dolár a vyhráte, ponecháte si tento dolár a získate ďalšie 2 navrch, spolu teda 3 doláre. Ak prehráte, stratíte iba svoju stávku. Hrali by ste? Máte intuitívne pocit, že pravdepodobnosť je väčšia ako 2 ku 1, alebo si stále myslíte, že je menšia? Inými slovami, v priemere počas 3 hier očakávate, že vyhráte viac ako raz, alebo menej, alebo raz?

Akonáhle budete mať svoju intuíciu, použite matematiku. Pre obe kocky je len 36 možných pozícií, takže ich môžete bez problémov spočítať. Ak si nie ste istí ponukou 2 za 1, zvážte toto: Povedzme, že ste hru hrali 36-krát (vždy ste stavili 1 dolár). Za každú výhru dostanete 2 doláre, za každú prehru stratíte 1 a remíza nič nemení. Vypočítajte si všetky pravdepodobné výhry a prehry a rozhodnite sa, či nejaké doláre stratíte alebo získate. Potom si položte otázku, aká správna bola vaša intuícia. A potom si uvedomiť, aký som darebák.

A áno, ak ste sa už zamysleli nad touto otázkou – zámerne vás mätiem tým, že nesprávne uvádzam skutočnú mechaniku kockových hier, ale som si istý, že túto prekážku dokážete prekonať len trochou rozmýšľania. Skúste tento problém vyriešiť sami.

Hra č. 2 - Hoď pre šťastie

Ide o hazardnú hru s kockami, ktorá sa volá „Hoďte sa pre šťastie“ (nazývaná aj „Birdcage“, pretože niekedy sa kocky nehádžu, ale umiestnia sa do veľkej drôtenej klietky, ktorá pripomína klietku z Bingo). Hra je jednoduchá a v podstate sa scvrkáva na toto: vsaďte povedzme 1 dolár na číslo od 1 do 6. Potom hodíte 3k6. Za každú kocku, na ktorú dopadne vaše číslo, získate 1 dolár (a ponecháte si pôvodnú stávku). Ak vaše číslo nepadne na žiadnej z kociek, kasíno dostane váš dolár a vy nedostanete nič. Takže ak vsadíte na 1 a dostanete 1 na stranách trikrát, dostanete 3 doláre.

Intuitívne sa zdá, že táto hra má rovnaké šance. Každá kocka je individuálna šanca na výhru 1 ku 6, takže po súčte troch hodov je vaša šanca na výhru 3 ku 6. Samozrejme, nezabudnite, že pridávate tri samostatné kocky a môžete pridajte, ak hovoríme o samostatných výherných kombináciách tej istej kocky. Niečo, čo budete musieť znásobiť.

Keď spočítate všetky možné výsledky (pravdepodobne jednoduchšie v Exceli ako ručne, keďže ich je 216), hra na prvý pohľad stále vyzerá nepárno-párne. V skutočnosti má kasíno stále väčšiu šancu na výhru – o koľko viac? Konkrétne, koľko peňazí v priemere očakávate, že prehráte každé kolo hry?

Všetko, čo musíte urobiť, je sčítať výhry a prehry všetkých 216 výsledkov a potom ich vydeliť 216, čo by malo byť celkom jednoduché. Ale, ako vidíte, je tu niekoľko úskalí, a preto hovorím: ak si myslíte, že táto hra má rovnakú šancu vyhrať, mýlite sa.

Hra #3 – 5 Card Stud Poker

Ak ste sa už zohriali pri predchádzajúcich hrách, pozrime sa, čo vieme o podmienenej pravdepodobnosti pomocou tejto kartovej hry ako príkladu. Predstavme si poker s balíčkom 52 kariet. Predstavme si aj 5 card stud, kde každý hráč dostane len 5 kariet. Nemôžete zahodiť kartu, nemôžete si ťahať novú, neexistuje žiadny zdieľaný balíček – dostanete iba 5 kariet.

Royal flush je 10-J-Q-K-A v jednej hre, celkovo sú štyri, takže existujú štyri možné spôsoby, ako získať kráľovskú farbu. Vypočítajte pravdepodobnosť, že dostanete jednu takúto kombináciu.

Musím vás upozorniť na jednu vec: pamätajte, že týchto päť kariet môžete ťahať v akomkoľvek poradí. To znamená, že najskôr môžete ťahať eso alebo desiatku, na tom nezáleží. Takže keď budete počítať, majte na pamäti, že v skutočnosti existujú viac ako štyri spôsoby, ako získať kráľovskú farbu, za predpokladu, že karty boli rozdané v poradí.

Hra č. 4 - Lotéria IMF

Štvrtý problém sa nedá tak jednoducho vyriešiť metódami, o ktorých sme dnes hovorili, ale situáciu môžete jednoducho nasimulovať pomocou programovania alebo Excelu. Na príklade tohto problému môžete vypracovať metódu Monte Carlo.

Už som spomínal hru Chron X, na ktorej som kedysi pracoval, a bola tam jedna veľmi zaujímavá karta - lotéria MMF. Fungovalo to takto: použili ste ho v hre. Po skončení kola boli karty prerozdelené a existovala 10% šanca, že karta vypadne z hry a náhodný hráč dostane 5 jednotiek z každého typu zdroja, ktorého žetón sa nachádzal na danej karte. Karta bola zaradená do hry bez jediného žetónu, no zakaždým, keď zostala v hre na začiatku ďalšieho kola, dostala jeden žetón.

Bola tu teda 10% šanca, že ak to dáte do hry, kolo sa skončí, karta opustí hru a nikto nič nezíska. Ak sa tak nestane (90% šanca), je 10% šanca (v skutočnosti 9%, keďže je to 10% z 90%), že v ďalšom kole opustí hru a niekto získa 5 jednotiek surovín. Ak karta opustí hru po jednom kole (10% z 81% dostupných, takže pravdepodobnosť je 8,1%), niekto dostane 10 jednotiek, ďalšie kolo - 15, ďalšie - 20 atď. Otázka: Aká je všeobecná očakávaná hodnota počtu zdrojov, ktoré získate z tejto karty, keď konečne opustí hru?

Normálne by sme sa pokúsili vyriešiť tento problém vypočítaním možnosti každého výsledku a vynásobením počtom všetkých výsledkov. Existuje 10% šanca, že dostanete 0 (0,1 * 0 = 0). 9%, že dostanete 5 jednotiek zdrojov (9% * 5 = 0,45 zdrojov). 8,1 % z toho, čo získate, je 10 (8,1 %*10=0,81 zdrojov – celková očakávaná hodnota). A tak ďalej. A potom by sme to všetko zhrnuli.

A teraz je problém pre vás zrejmý: vždy existuje šanca, že karta neopustí hru, môže zostať v hre navždy, na nekonečný počet kôl, takže neexistuje spôsob, ako vypočítať každú pravdepodobnosť. Metódy, ktoré sme sa dnes naučili, nám neumožňujú vypočítať nekonečnú rekurziu, takže ju budeme musieť vytvoriť umelo.

Ak ste dostatočne dobrí v programovaní, napíšte program, ktorý bude túto mapu simulovať. Mali by ste mať časovú slučku, ktorá privedie premennú na počiatočnú pozíciu nula, zobrazí náhodné číslo a s 10% pravdepodobnosťou premenná opustí slučku. V opačnom prípade pridá 5 do premennej a cyklus sa opakuje. Keď konečne opustí slučku, zvýšte celkový počet pokusov o 1 a celkový počet zdrojov (o koľko závisí od toho, kde premenná skončí). Potom premennú resetujte a začnite znova.

Spustite program niekoľko tisíckrát. Nakoniec vydeľte celkový počet zdrojov celkovým počtom behov – toto bude vaša očakávaná hodnota Monte Carlo. Spustite program niekoľkokrát, aby ste sa uistili, že získané čísla sú približne rovnaké. Ak je rozptyl stále veľký, zvyšujte počet opakovaní vo vonkajšej slučke, kým nezačnete dostávať zápalky. Môžete si byť istí, že akékoľvek čísla, s ktorými skončíte, budú približne správne.

Ak ste nováčikom v programovaní (aj keď ste), tu je rýchle cvičenie na otestovanie vašich zručností v Exceli. Ak ste herný dizajnér, tieto zručnosti nebudú nikdy zbytočné.

Teraz budú pre vás veľmi užitočné funkcie if a rand. Rand nevyžaduje hodnoty, len vypľuje náhodné desatinné číslo medzi 0 a 1. Zvyčajne to kombinujeme s podlahou a plusmi a mínusmi, aby sme simulovali hod kockou, čo som už spomínal. V tomto prípade však nechávame len 10% šancu, že karta opustí hru, takže môžeme len skontrolovať, či je hodnota rand menšia ako 0,1 a už sa o to nestarať.

Ak má tri významy. V poradí: podmienka, ktorá je buď pravdivá alebo nepravdivá, potom hodnota, ktorá sa vráti, ak je podmienka pravdivá, a hodnota, ktorá sa vráti, ak je podmienka nepravdivá. Takže nasledujúca funkcia vráti 5 % času a 0 ostatných 90 % času: =IF(RAND()<0.1,5,0) .
Existuje mnoho spôsobov, ako nastaviť tento príkaz, ale použil by som tento vzorec pre bunku, ktorá predstavuje prvé kolo, povedzme, že je to bunka A1: =IF(RAND()<0.1,0,-1) .
Tu používam zápornú premennú vo význame „táto karta neopustila hru a ešte sa nevzdala žiadnych zdrojov“. Takže ak prvé kolo skončilo a karta opustila hru, A1 je 0; inak je to -1.

Pre nasledujúcu bunku predstavujúcu druhé kolo: =IF(A1>-1, A1, IF(RAND()<0.1,5,-1)) . Ak sa teda prvé kolo skončilo a karta okamžite opustila hru, A1 je 0 (počet zdrojov) a táto bunka túto hodnotu jednoducho skopíruje. V opačnom prípade je A1 -1 (karta ešte neopustila hru) a táto bunka sa naďalej pohybuje náhodne: 10 % času vráti 5 jednotiek zdrojov, zvyšok času bude jej hodnota stále rovná -1. Ak použijeme tento vzorec na ďalšie bunky, získame ďalšie kolá a ktorákoľvek bunka, s ktorou skončíte, vám dá konečný výsledok (alebo -1, ak karta neopustila hru po všetkých odohraných kolách).

Vezmite ten riadok buniek, ktorý predstavuje jediné kolo s touto kartou, a skopírujte a vložte niekoľko stoviek (alebo tisíc) riadkov. Možno sa nám nepodarí urobiť nekonečný test pre Excel (v tabuľke je obmedzený počet buniek), ale aspoň dokážeme pokryť väčšinu prípadov. Potom vyberte jednu bunku, do ktorej umiestnite priemer výsledkov všetkých kôl - Excel na to užitočne poskytuje funkciu average().

V systéme Windows môžete aspoň stlačením klávesu F9 prepočítať všetky náhodné čísla. Ako predtým, urobte to niekoľkokrát a uvidíte, či získate rovnaké hodnoty. Ak je rozptyl príliš veľký, zdvojnásobte počet cyklov a skúste to znova.

Nevyriešené problémy

Ak máte náhodou vyštudovanú teóriu pravdepodobnosti a vyššie uvedené problémy sa vám zdajú príliš jednoduché, tu sú dva problémy, nad ktorými som si lámal hlavu už roky, ale bohužiaľ nie som taký dobrý v matematike, aby som ich vyriešil.

Nevyriešený problém č. 1: Lotéria MMF

Prvým nevyriešeným problémom je predchádzajúca domáca úloha. Môžem ľahko použiť metódu Monte Carlo (pomocou C++ alebo Excelu) a byť si istý odpoveďou na otázku „koľko zdrojov hráč dostane“, ale neviem presne, ako poskytnúť presnú preukázateľnú odpoveď matematicky (je to nekonečný rad).

Nevyriešený problém č. 2: Postupnosti obrázkov

Tento problém (tiež ďaleko presahuje úlohy, ktoré sú riešené v tomto blogu) mi dal kamarát z hráčov pred viac ako desiatimi rokmi. Pri hraní blackjacku vo Vegas si všimol jednu zaujímavú vec: keď vybral karty z topánok s 8 balíčkami, uvidel desať figúrok v rade (karta figúrky alebo lícovej karty je 10, Joker, King alebo Queen, takže je ich 16 v celkom v štandardných 52-balíčkových kartách alebo 128 v 416 kartovej topánke).

Aká je pravdepodobnosť, že táto topánka obsahuje aspoň jednu postupnosť desiatich alebo viacerých číslic? Predpokladajme, že boli spravodlivo zamiešané v náhodnom poradí. Alebo, ak chcete, aká je pravdepodobnosť, že sa nikde nevyskytne postupnosť desiatich alebo viacerých číslic?

Úlohu si môžeme zjednodušiť. Tu je sekvencia 416 častí. Každá časť je 0 alebo 1. V sekvencii je náhodne rozptýlených 128 jednotiek a 288 núl. Koľko spôsobov je náhodne preložiť 128 jednotiek s 288 nulami a koľkokrát sa týmito spôsobmi vyskytne aspoň jedna skupina desiatich alebo viacerých jednotiek?

Zakaždým, keď som sa pustil do riešenia tohto problému, zdalo sa mi to jednoduché a samozrejmé, no akonáhle som sa zahĺbil do detailov, zrazu sa to rozpadlo a zdalo sa mi to jednoducho nemožné.

Neponáhľajte sa preto zahmlievať odpoveď: sadnite si, dobre si premyslite, naštudujte si podmienky, skúste zapojiť reálne čísla, pretože všetci ľudia, s ktorými som sa o tomto probléme rozprával (vrátane niekoľkých postgraduálnych študentov pracujúcich v tejto oblasti), reagovali o to isté: "Je to úplne zrejmé... oh, nie, počkajte, vôbec to nie je zrejmé." To je prípad, keď nemám metódu na výpočet všetkých možností. Mohol by som, samozrejme, brutálne vynútiť problém pomocou počítačového algoritmu, ale oveľa zaujímavejšie by bolo poznať matematické riešenie.