Je vysoká pravdepodobnosť, že prvý. Klasická a štatistická definícia pravdepodobnosti

Je zrejmé, že každá udalosť má rôznu mieru možnosti svojho vzniku (jej realizácie). Aby bolo možné kvantitatívne porovnávať udalosti medzi sebou podľa stupňa ich možnosti, je zrejmé, že je potrebné priradiť ku každej udalosti určité číslo, ktoré je tým väčšie, čím je udalosť pravdepodobnejšia. Toto číslo sa nazýva pravdepodobnosť udalosti.

Pravdepodobnosť udalosti– je číselným meradlom miery objektívnej možnosti vzniku tejto udalosti.

Zvážte stochastický experiment a náhodnú udalosť A pozorovanú v tomto experimente. Zopakujme tento experiment n-krát a nech m(A) je počet experimentov, v ktorých nastala udalosť A.

Vzťah (1.1)

volal relatívna frekvencia udalosti A v sérii vykonaných experimentov.

Je ľahké overiť platnosť vlastností:

ak sú A a B nekonzistentné (AB= ), potom ν(A+B) = ν(A) + ν(B) (1.2)

Relatívna frekvencia sa určuje až po sérii experimentov a vo všeobecnosti sa môže meniť od série k sérii. Skúsenosti však ukazujú, že v mnohých prípadoch, keď sa počet experimentov zvyšuje, relatívna frekvencia sa blíži k určitému číslu. Táto skutočnosť stability relatívnej frekvencie bola opakovane overená a možno ju považovať za experimentálne preukázanú.

Príklad 1.19.. Ak hodíte jednu mincu, nikto nemôže predpovedať, na ktorej strane pristane navrchu. Ale ak hodíte dve tony mincí, každý povie, že s erbom vypadne asi jedna tona, to znamená, že relatívna frekvencia vypadávania erbu je približne 0,5.

Ak s nárastom počtu experimentov relatívna frekvencia udalosti ν(A) smeruje k nejakému pevnému číslu, potom sa hovorí, že udalosť A je štatisticky stabilná a toto číslo sa nazýva pravdepodobnosť udalosti A.

Pravdepodobnosť udalosti A zavolá sa nejaké pevné číslo P(A), ku ktorému sa relatívna frekvencia ν(A) tejto udalosti približuje so zvyšujúcim sa počtom experimentov, tj.

Táto definícia sa nazýva štatistické určenie pravdepodobnosti .

Uvažujme istý stochastický experiment a priestor jeho elementárnych dejov nech pozostáva z konečnej alebo nekonečnej (ale spočítateľnej) množiny elementárnych dejov ω 1, ω 2, …, ω i, …. Predpokladajme, že každej elementárnej udalosti ω i je priradené určité číslo - р i, charakterizujúce mieru možnosti výskytu danej elementárnej udalosti a spĺňajúce nasledujúce vlastnosti:

Toto číslo p i sa nazýva pravdepodobnosť elementárnej udalostiωi.

Nech je teraz A náhodná udalosť pozorovaná v tomto experimente a nech zodpovedá určitej množine

V tomto nastavení pravdepodobnosť udalosti A nazvite súčet pravdepodobností elementárnych udalostí v prospech A(zahrnuté v zodpovedajúcej sade A):

(1.4)

Takto zavedená pravdepodobnosť má rovnaké vlastnosti ako relatívna frekvencia, a to:

A ak AB = (A a B sú nezlučiteľné),

potom P(A+B) = P(A) + P(B)

Skutočne, podľa (1.4)

V poslednom vzťahu sme využili skutočnosť, že ani jedna elementárna udalosť nemôže uprednostniť dve nezlučiteľné udalosti súčasne.

Zvlášť poznamenávame, že teória pravdepodobnosti neuvádza metódy na určenie p i, musia sa hľadať z praktických dôvodov alebo získať zo zodpovedajúceho štatistického experimentu.

Ako príklad zvážte klasická schéma teória pravdepodobnosti. Za týmto účelom uvažujme stochastický experiment, ktorého priestor elementárnych udalostí pozostáva z konečného (n) počtu prvkov. Predpokladajme navyše, že všetky tieto elementárne udalosti sú rovnako možné, to znamená, že pravdepodobnosti elementárnych udalostí sa rovnajú p(ω i)=p i =p. Z toho vyplýva

Príklad 1.20. Pri hode symetrickou mincou je rovnako možné dostať hlavy a chvosty, ich pravdepodobnosť sa rovná 0,5.

Príklad 1.21. Pri hode symetrickou kockou sú všetky tváre rovnako možné, ich pravdepodobnosti sa rovnajú 1/6.

Teraz nech je udalosť A uprednostňovaná m elementárnymi udalosťami, ktoré sa zvyčajne nazývajú výsledky priaznivé pre udalosť A. Potom

Prijaté klasická definícia pravdepodobnosti: pravdepodobnosť P(A) udalosti A sa rovná pomeru počtu výsledkov priaznivých pre udalosť A k celkovému počtu výsledkov

Príklad 1.22. Urna obsahuje m bielych loptičiek a n čiernych loptičiek. Aká je pravdepodobnosť vytiahnutia bielej gule?

Riešenie. Celkový počet elementárnych udalostí je m+n. Všetky sú rovnako pravdepodobné. Priaznivá udalosť A z toho m. teda .

Z definície pravdepodobnosti vyplývajú tieto vlastnosti:

Nehnuteľnosť 1. Pravdepodobnosť spoľahlivá udalosť rovný jednej.

V skutočnosti, ak je udalosť spoľahlivá, potom každý elementárny výsledok testu podporuje udalosť. V tomto prípade t=p, teda,

P(A)=m/n=n/n=1.(1.6)

Nehnuteľnosť 2. Pravdepodobnosť nemožnej udalosti je nulová.

V skutočnosti, ak je udalosť nemožná, potom žiadny z elementárnych výsledkov testu nepodporuje danú udalosť. V tomto prípade T= 0, teda P(A)=m/n=0/n=0. (1.7)

Nehnuteľnosť 3.Existuje pravdepodobnosť náhodnej udalosti kladné číslo, uzavreté medzi nulou a jednotkou.

Náhodná udalosť skutočne uprednostňuje iba časť celkového počtu základných výsledkov testu. To znamená 0≤m≤n, čo znamená 0≤m/n≤1, preto pravdepodobnosť akejkoľvek udalosti spĺňa dvojitú nerovnosť 0≤ P(A) ≤1. (1.8)

Porovnaním definícií pravdepodobnosti (1.5) a relatívnej frekvencie (1.1) dospejeme k záveru: definícia pravdepodobnosti nevyžaduje vykonanie testov v skutočnosti; definícia relatívnej frekvencie predpokladá, že testy sa skutočne vykonali. Inými slovami, pravdepodobnosť sa vypočíta pred experimentom a relatívna frekvencia - po experimente.

Výpočet pravdepodobnosti si však vyžaduje predbežné informácie o počte alebo pravdepodobnostiach elementárnych výsledkov priaznivých pre danú udalosť. Ak takéto predbežné informácie neexistujú, na určenie pravdepodobnosti sa použijú empirické údaje, to znamená, že relatívna frekvencia udalosti sa určí na základe výsledkov stochastického experimentu.

Príklad 1.23. Oddelenie technickej kontroly objavený 3 neštandardné diely v dávke 80 náhodne vybraných dielov. Relatívna frekvencia výskytu neštandardných častí r(A)= 3/80.

Príklad 1.24. Podľa účelu.vyrobené 24 výstrel a bolo zaznamenaných 19 zásahov. Relatívna cieľová miera zásahov. r(A)=19/24.

Dlhodobé pozorovania ukázali, že ak sa experimenty uskutočňujú za rovnakých podmienok, pričom v každom z nich je počet testov dostatočne veľký, potom relatívna frekvencia vykazuje vlastnosť stability. Táto nehnuteľnosť je že v rôznych experimentoch sa relatívna frekvencia mení málo (čím menej, tým viac testov sa vykonáva), kolíše okolo určitého konštantného čísla. Ukázalo sa, že toto konštantné číslo možno brať ako približnú hodnotu pravdepodobnosti.

Vzťah medzi relatívnou frekvenciou a pravdepodobnosťou bude podrobnejšie a presnejšie popísaný nižšie. Teraz ilustrujme vlastnosť stability na príkladoch.

Príklad 1.25. Podľa švédskych štatistík je relatívna frekvencia pôrodov dievčat za rok 1935 podľa mesiacov charakterizovaná nasledujúcimi číslami (čísla sú usporiadané v poradí mesiacov, počnúc január): 0,486; 0,489; 0,490; 0.471; 0,478; 0,482; 0.462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473

Relatívna frekvencia kolíše okolo čísla 0,481, čo možno považovať za približnú hodnotu pravdepodobnosti mať dievčatá.

Všimnite si, že štatistické údaje z rôznych krajín poskytujú približne rovnakú hodnotu relatívnej frekvencie.

Príklad 1.26. Mnohokrát sa uskutočňovali experimenty s hádzaním mincí, pri ktorých sa počítal počet výskytov „erbu“. Výsledky niekoľkých experimentov sú uvedené v tabuľke.

Poďme sa teda porozprávať o téme, ktorá zaujíma veľa ľudí. V tomto článku odpoviem na otázku, ako vypočítať pravdepodobnosť udalosti. Uvediem vzorce na takýto výpočet a niekoľko príkladov, aby bolo jasnejšie, ako sa to robí.

Čo je pravdepodobnosť

Začnime tým, že pravdepodobnosť, že to či ono udalosť sa stane- určitá miera dôvery v prípadný výskyt nejakého výsledku. Na tento výpočet bol vyvinutý vzorec plná pravdepodobnosť, umožňujúci určiť, či sa udalosť, o ktorú máte záujem, uskutoční alebo nie, prostredníctvom tzv podmienené pravdepodobnosti. Tento vzorec vyzerá takto: P = n/m, písmená sa môžu meniť, ale to neovplyvňuje samotnú podstatu.

Príklady pravdepodobnosti

Pomocou jednoduchého príkladu analyzujme tento vzorec a aplikujme ho. Povedzme, že máte určitú udalosť (P), nech je to hod kockou, teda rovnostranná kocka. A musíme vypočítať, aká je pravdepodobnosť získania 2 bodov. Na to potrebujete počet kladných udalostí (n), v našom prípade stratu 2 bodov celkový počet udalosti (m). K hodu 2 bodmi môže dôjsť iba v jednom prípade, ak sú na kocke 2 body, keďže inak bude súčet väčší, z toho vyplýva, že n = 1. Ďalej spočítame počet hodov ľubovoľných iných čísel na kocke. kocky, na 1 kocku - to sú 1, 2, 3, 4, 5 a 6, preto existuje 6 priaznivých prípadov, teda m = 6. Teraz pomocou vzorca urobíme jednoduchý výpočet P = 1/ 6 a zistíme, že hod 2 bodmi na kocke je 1/6, čiže pravdepodobnosť udalosti je veľmi nízka.

Pozrime sa tiež na príklad s použitím farebných guličiek, ktoré sú v krabici: 50 bielych, 40 čiernych a 30 zelených. Musíte určiť, aká je pravdepodobnosť nakreslenia zelenej gule. A tak, keďže existuje 30 loptičiek tejto farby, to znamená, že môže byť iba 30 pozitívnych udalostí (n = 30), počet všetkých udalostí je 120, m = 120 (na základe celkového počtu všetkých loptičiek), pomocou vzorca vypočítame, že pravdepodobnosť vytiahnutia zelenej gule sa bude rovnať P = 30/120 = 0,25, teda 25 % zo 100. Rovnakým spôsobom môžete vypočítať pravdepodobnosť vytiahnutia gule iná farba (čierna to bude 33 %, biela 42 %).

Pravdepodobnosť udalosti. V životnej praxi sa pre náhodné udalosti alebo javy používajú tieto výrazy: nemožné, nepravdepodobné, rovnako pravdepodobné, spoľahlivé a iné, ktoré ukazujú, nakoľko sme si istí výskytom tejto udalosti. Keď hovoríme, že náhodná udalosť je nepravdepodobná, myslíme tým, že keď sa rovnaké podmienky opakujú mnohokrát, táto udalosť sa vyskytuje oveľa menej často, ako sa nevyskytuje. Práve naopak, veľmi pravdepodobná udalosť stáva častejšie ako nie. Ak sa za určitých podmienok vyskytujú dve rôzne náhodné udalosti rovnako často, potom sa považujú za rovnako pravdepodobné. Ak sme si istí, že za akýchkoľvek podmienok túto udalosť sa určite stane, potom hovoríme, že je to isté. Ak sme si naopak istí, že sa udalosť za určitých podmienok nestane, potom hovoríme, že táto udalosť je nemožná.

Stanovením možnosti výskytu náhodnej udalosti týmto spôsobom však nemôžeme zaviesť prísne štatistické zákony, pretože to často súvisí s našimi subjektívne hodnotenie tejto udalosti, limitovaný nedostatočnými našimi poznatkami.

Na zavedenie prísnych štatistických zákonitostí je potrebná aj striktná matematická definícia pravdepodobnosti ako miery objektívnej možnosti náhodnej udalosti.

Aby sme dali matematickú definíciu pravdepodobnosti, je potrebné zvážiť jednoduchý príklad výskytu hromadných udalostí. Za najjednoduchšie príklady takýchto udalostí sa zvyčajne považuje strata jednej alebo druhej strany mince pri hode, alebo nejakého čísla pri hode kockou. Tu sa za samostatnú udalosť považuje strata jednej alebo druhej tváre (čísla).

Z praxe je známe, že nie je možné vopred presne určiť, aké číslo (koľko bodov) sa objaví v jednom hode kockou (jedinej udalosti). Preto získanie určitého počtu bodov bude náhodná udalosť.

Ak však vezmeme do úvahy celú sériu podobných udalostí – viacnásobné hodenie kockou, tak každá strana vypadne veľké množstvo Náhodné udalosti už budú opäť masívne. Platia pre nich určité zákony.

Z praxe je známe, že pri hode kockou bude možné získať rovnaké číslo napríklad dvakrát za sebou, trikrát za sebou - už nepravdepodobné, štyrikrát za sebou - ešte menej pravdepodobné, a napr. desaťkrát za sebou - takmer nemožné.

Ďalej, ak urobíte iba šesť hodov kockou, niektoré čísla sa môžu objaviť dvakrát a niektoré - žiadne. Tu je ťažké si všimnúť akýkoľvek vzor vo vzhľade určitého čísla. Ak sa však počet hodov zvýši na 60, potom sa ukáže, že každé číslo sa objaví približne desaťkrát. Tu vzniká určitý vzorec. Avšak kvôli náhodnosti pri hádzaní kockou (jej počiatočná poloha, rýchlosť, dráha letu) bude počet rôznych čísel v rôznych sériách experimentov rôzny. Je to spôsobené nedostatočným počtom samotných experimentov.

Ak zvýšime počet hodov na šesť tisíc, potom sa ukáže, že asi jedna šestina všetkých hodov povedie k objaveniu sa každého čísla. A čím väčší je počet hodov, tým viac sa bude približovať počet kvapiek daného čísla

Pomer počtu výskytov konkrétneho čísla pri viacnásobnom hode kockou k plný počet hádzanie sa nazýva frekvencia opakovania danej udalosti v sérii homogénnych pokusov. S nárastom celkového počtu testov bude mať frekvencia opakovania tendenciu k určitej konštantnej hranici určenej danou sériou experimentov.

Táto hranica sa nazýva pravdepodobnosť danej udalosti. Tendencia k obmedzeniu frekvencie opakovania sa však prejaví len pri neobmedzenom zvyšovaní počtu testov.

Vo všeobecnosti, ak sa nejaká udalosť vyskytne Hz krát z celkového počtu pokusov, potom je pravdepodobnosť matematicky definovaná ako hranica pomeru počtu priaznivých udalostí k celkovému počtu udalostí (niektorej homogénnej skupiny pokusov), za predpokladu, že počet pokusov v tejto skupine má tendenciu k nekonečnu. Inými slovami, pravdepodobnosť udalosti v našom prípade bude napísaná takto:

Vo fyzike náhodná premenná sa často mení v priebehu času. Potom sa dá vzorcom určiť napríklad pravdepodobnosť určitého stavu systému

kde je čas, počas ktorého systém zostáva v tomto stave, celkový čas pozorovania.

Z toho vyplýva, že na experimentálne určenie pravdepodobnosti nejakej udalosti je potrebné vykonať ak nie nekonečný, tak veľmi veľký počet testov, zistiť počet priaznivých udalostí a na základe ich pomeru zistiť pravdepodobnosť tejto udalosti.

V mnohých praktických prípadoch je to presne to, čo sa robí na určenie pravdepodobnosti. V tomto prípade pravdepodobnosť

bude určená tým presnejšie väčšie číslo sa vykonajú testy, alebo čím dlhšie je časové obdobie, počas ktorého sa udalosti zvažujú.

Pravdepodobnosť konkrétnej udalosti (najmä fyzickej) sa však v mnohých prípadoch dá zistiť aj bez vykonania testov. Toto je takzvaná predchádzajúca pravdepodobnosť. Dá sa to overiť, samozrejme, experimentálne.

Aby sme ho našli v prípade hodu kockou, budeme uvažovať takto. Od r kocky homogénne a ponáhľa sa rôznymi spôsobmi, potom sa každá zo šiestich tvárí objaví s rovnakou pravdepodobnosťou (žiadna tvár nebude mať výhodu oproti ostatným). Preto, keďže existuje iba šesť tvárí, môžeme povedať, že pravdepodobnosť získania jednej z nich sa rovná . V tomto prípade na určenie pravdepodobnosti nemôžete vykonať testy vôbec, ale nájdite pravdepodobnosť na základe všeobecných úvah.

Distribučná funkcia. V uvedených príkladoch môže náhodná premenná trvať len niekoľko (veľmi konkrétne číslo) rôzne významy. Nazvali sme udalosti, keď náhodná premenná nadobudla jednu z týchto hodnôt, a týmto udalostiam sme priradili určitú pravdepodobnosť.

Ale spolu s takýmito veličinami (hádzanie kociek, mincí atď.) existujú náhodné veličiny, ktoré môžu nadobudnúť nespočetné množstvo rôznych nekonečne blízkych hodnôt (spojité spektrum). Toto je charakterizované nasledujúcim znakom: pravdepodobnosť samostatné podujatie, ktorá spočíva v tom, že náhodná premenná nadobudne nejakú presne definovanú hodnotu, sa rovná nule. Preto má zmysel hovoriť iba o pravdepodobnosti, že náhodná premenná nadobúda hodnoty nachádzajúce sa v určitom rozsahu hodnôt od do

Pravdepodobnosť nájdenia hodnoty v intervale je označená ako Pri prechode do nekonečne malého intervalu hodnôt pravdepodobnosť už bude a ikony označujú, že náhodná premenná môže nadobúdať hodnoty v intervaloch alebo t.j. od do alebo

Chápem, že každý chce vopred vedieť, ako sa športové podujatie skončí, kto vyhrá a kto prehrá. S týmito informáciami môžete uzatvárať stávky športové podujatia. Je to však vôbec možné, a ak áno, ako vypočítať pravdepodobnosť udalosti?

Pravdepodobnosť je relatívna hodnota, preto nemôže s istotou hovoriť o žiadnej udalosti. Táto hodnota umožňuje analyzovať a vyhodnotiť potrebu staviť na konkrétnu súťaž. Stanovenie pravdepodobností je celá veda, ktorá si vyžaduje starostlivé štúdium a pochopenie.

Koeficient pravdepodobnosti v teórii pravdepodobnosti

V športových stávkach existuje niekoľko možností pre výsledok súťaže:

• víťazstvo prvého tímu;
• víťazstvo druhého tímu;
• kresliť;
• celkom

Každý výsledok súťaže má svoju vlastnú pravdepodobnosť a frekvenciu, s akou k tejto udalosti dôjde, za predpokladu, že sa zachovajú počiatočné charakteristiky. Ako sme už povedali, nie je možné presne vypočítať pravdepodobnosť akejkoľvek udalosti - môže, ale nemusí sa zhodovať. Vaša stávka teda môže vyhrať alebo prehrať.

Nemôže byť 100% presná predpoveď výsledkov súťaže, pretože výsledok zápasu ovplyvňuje veľa faktorov. Stávkové kancelárie prirodzene nepoznajú výsledok zápasu vopred a len predpokladajú výsledok, rozhodujú sa pomocou svojho analytického systému a ponúkajú určité kurzy na stávkovanie.

Ako vypočítať pravdepodobnosť udalosti?

Predpokladajme, že kurz stávkovej kancelárie je 2,1/2 – dostaneme 50 %. Ukazuje sa, že koeficient je 2 rovná pravdepodobnosti 50 %. Rovnakým princípom môžete získať koeficient zlomovej pravdepodobnosti - 1/pravdepodobnosť.

Mnoho hráčov si myslí, že po niekoľkých opakovaných prehrách určite príde k výhre – to je mylný názor. Pravdepodobnosť výhry stávky nezávisí od počtu prehier. Aj keď v mincovej hre prehodíte niekoľko hláv za sebou, pravdepodobnosť prehodenia chvostov zostáva rovnaká – 50 %.

Teória pravdepodobnosti je pomerne rozsiahly samostatný odbor matematiky. V školskom kurze sa o teórii pravdepodobnosti hovorí veľmi povrchne, ale v Jednotnej štátnej skúške a Štátnej skúške sú problémy túto tému. Avšak riešenie problémov školský kurz nie je to tak ťažké (aspoň čo sa týka aritmetických operácií) - nie je potrebné počítať derivácie, brať integrály a riešiť komplexy trigonometrické transformácie- hlavná vec je zvládnuť prvočísla a zlomky.

Teória pravdepodobnosti - základné pojmy

Hlavnými pojmami teórie pravdepodobnosti sú test, výsledok a náhodná udalosť. Test z teórie pravdepodobnosti je experiment – ​​hod mincou, ťahanie karty, losovanie – to všetko sú testy. Výsledok testu, ako ste možno uhádli, sa nazýva výsledok.

Čo je to náhodná udalosť? V teórii pravdepodobnosti sa predpokladá, že test sa vykonáva viackrát a existuje veľa výsledkov. Náhodná udalosť je súbor výsledkov pokusu. Ak si napríklad hodíte mincou, môžu sa stať dve náhodné udalosti – hlavy alebo chvosty.

Nezamieňajte si pojmy výsledok a náhodná udalosť. Výsledok je výsledkom jedného pokusu. Náhodná udalosť je súbor možných výsledkov. Mimochodom, existuje taký termín ako nemožná udalosť. Napríklad udalosť „hádzanie čísla 8“ na štandardnej kocke je nemožná.

Ako zistiť pravdepodobnosť?

Všetci zhruba chápeme, čo je pravdepodobnosť a pomerne často sa používa dané slovo vo vašej slovnej zásobe. Okrem toho môžeme dokonca vyvodiť nejaké závery týkajúce sa pravdepodobnosti konkrétnej udalosti, napríklad ak je za oknom sneh, môžeme s najväčšou pravdepodobnosťou povedať, že nie je leto. Ako však môžeme číselne vyjadriť tento predpoklad?

Aby sme zaviedli vzorec na nájdenie pravdepodobnosti, zavedieme ešte jeden pojem – priaznivý výsledok, teda výsledok, ktorý je priaznivý pre konkrétnu udalosť. Definícia je, samozrejme, dosť nejednoznačná, ale podľa podmienok problému je vždy jasné, ktorý výsledok je priaznivý.

Napríklad: V triede je 25 ľudí, z toho traja sú Káťa. Učiteľ prideľuje Olyu povinnosťou a potrebuje partnera. Aká je pravdepodobnosť, že sa Káťa stane vašou partnerkou?

IN v tomto príklade priaznivý výsledok - partnerka Katya. Tento problém vyriešime o niečo neskôr. Najprv však pomocou dodatočnej definície zavedieme vzorec na nájdenie pravdepodobnosti.

• P = A/N, kde P je pravdepodobnosť, A je počet priaznivých výsledkov, N je celkový počet výsledkov.

Všetky školské problémy sa točia okolo tohto jediného vzorca a hlavný problém zvyčajne spočíva v hľadaní výsledkov. Niekedy sa dajú ľahko nájsť, niekedy nie až tak.

Ako riešiť pravdepodobnostné problémy?

Problém 1

Takže teraz poďme vyriešiť vyššie uvedený problém.

Počet priaznivých výsledkov (učiteľ vyberie Káťu) sú tri, pretože v triede sú tri Káťa, a celkový počet je 24 (25-1, pretože Olyu už vybrali). Potom je pravdepodobnosť: P = 3/24 = 1/8 = 0,125. Pravdepodobnosť, že Olyiným partnerom bude Katya, je teda 12,5%. Nie je to ťažké, však? Pozrime sa na niečo trochu zložitejšie.

Problém 2

Minca bola hodená dvakrát, aká je pravdepodobnosť získania jednej hlavy a jedného chvosta?

Pozrime sa teda na všeobecné výsledky. Ako môžu mince pristáť – hlavy/hlavy, chvosty/chvosty, hlavy/chvosty, chvosty/hlavy? To znamená, že celkový počet výsledkov je 4. Koľko priaznivých výsledkov? Dve - hlavy/chvosty a chvosty/hlavy. Pravdepodobnosť získania kombinácie hláv a chvostov je teda:

• P = 2/4 = 0,5 alebo 50 percent.

Teraz sa pozrime na tento problém. Máša má vo vrecku 6 mincí: dve s nominálnou hodnotou 5 rubľov a štyri s nominálnou hodnotou 10 rubľov. Máša presunula 3 mince do iného vrecka. Aká je pravdepodobnosť, že 5-rubľové mince skončia v rôznych vreckách?

Pre zjednodušenie označme mince číslami - 1,2 - päťrubľové mince, 3,4,5,6 - desaťrubľové mince. Ako teda môžu byť mince vo vrecku? Celkovo existuje 20 kombinácií:

• 123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256, 345, 346, 356, 456.

Na prvý pohľad sa môže zdať, že niektoré kombinácie chýbajú, napríklad 231, ale v našom prípade sú kombinácie 123, 231 a 321 ekvivalentné.

Teraz spočítame, koľko priaznivých výsledkov máme. Za ne berieme tie kombinácie, ktoré obsahujú buď číslo 1 alebo číslo 2: 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256. Je ich teda 12 pravdepodobnosť sa rovná:

• P = 12/20 = 0,6 alebo 60 %.

Problémy pravdepodobnosti, ktoré sú tu uvedené, sú celkom jednoduché, ale nemyslite si, že pravdepodobnosť je jednoduchým odvetvím matematiky. Ak sa rozhodnete pokračovať vo vzdelávaní na univerzite (okrem humanitárne špeciality), určite budete mať párov vyššia matematika, kde sa zoznámite so zložitejšími pojmami tejto teórie a úlohy tam budú oveľa ťažšie.