Teória pravdepodobnosti: vzorce a príklady riešenia problémov. Vzorce teórie pravdepodobnosti a príklady riešenia problémov

Keďže vieme, že pravdepodobnosť sa dá zmerať, skúsme ju vyjadriť číslami. Existujú tri možné spôsoby.

Ryža. 1.1. Meranie pravdepodobnosti

PRAVDEPODOBNOSŤ URČENÁ SYMETRIOU

Sú situácie, v ktorých sú možné výsledky rovnako pravdepodobné. Napríklad pri jednorazovom hádzaní mince, ak je minca štandardná, pravdepodobnosť získania „hlavy“ alebo „chvosta“ je rovnaká, t.j. P("hlavy") = P("chvosty"). Keďže sú možné len dva výsledky, potom P(“hlavy”) + P(”konce”) = 1, teda P(”hlavy”) = P(”konce”) = 0,5.

V experimentoch, kde majú výsledky rovnaké šance na výskyt, sa pravdepodobnosť udalosti E, P (E) rovná:

Príklad 1.1. Minca sa hodí trikrát. Aká je pravdepodobnosť dvoch hláv a jedného chvosta?

Najprv nájdime všetky možné výsledky: Aby sme sa uistili, že všetko možné možnosti našli sme, použime stromový diagram (pozri kapitolu 1, časť 1.3.1).

Existuje teda 8 rovnako možných výsledkov, teda ich pravdepodobnosť je 1/8. Udalosť E – dve hlavy a chvosty – tri nastali. Preto:

Príklad 1.2. Štandardná kocka sa hodí dvakrát. Aká je pravdepodobnosť, že skóre je 9 alebo viac?

Poďme nájsť všetky možné výsledky.

Tabuľka 1.2. Celkový počet bodov získaných dvojnásobným hodom kocky

Takže v 10 z 36 možných výsledkov je súčet bodov 9 alebo preto:

EMPIRICKY STANOVENÁ PRAVDEPODOBNOSŤ

Príklad s mincou zo stola. 1.1 jasne ilustruje mechanizmus určovania pravdepodobnosti.

Vzhľadom na celkový počet úspešných experimentov sa pravdepodobnosť požadovaného výsledku vypočíta takto:

Pomer je relatívna frekvencia výskytu určitého výsledku počas dostatočne dlhého experimentu. Pravdepodobnosť sa vypočíta buď na základe údajov z vykonaného experimentu, na základe údajov z minulosti.

Príklad 1.3. Z päťsto testovaných elektrických lámp 415 pracovalo viac ako 1000 hodín. Na základe údajov z tohto experimentu môžeme konštatovať, že pravdepodobnosť normálnej prevádzky lampy tohto typu viac ako 1000 hodín je:

Poznámka. Testovanie má deštruktívny charakter, preto nie je možné testovať všetky svietidlá. Ak by sa testovala iba jedna lampa, pravdepodobnosť by bola 1 alebo 0 (t. j. či môže vydržať 1000 hodín alebo nie). Preto je potrebné experiment zopakovať.

Príklad 1.4. V tabuľke V tabuľke 1.3 sú uvedené údaje o dĺžke služby mužov pracujúcich v spoločnosti:

Tabuľka 1.3. Pracovné skúsenosti mužov

Aká je pravdepodobnosť, že ďalšia osoba najatá spoločnosťou bude pracovať aspoň dva roky:

Riešenie.

Z tabuľky vyplýva, že 38 zo 100 zamestnancov pracuje vo firme viac ako dva roky. Empirická pravdepodobnosť, že ďalší zamestnanec zostane v spoločnosti dlhšie ako dva roky, je:

Zároveň to predpokladáme nového zamestnanca„je typické a pracovné podmienky sa nemenia.

SUBJEKTÍVNE HODNOTENIE PRAVDEPODOBNOSTI

V podnikaní často vznikajú situácie, v ktorých neexistuje symetria a neexistujú ani experimentálne údaje. Stanovenie pravdepodobnosti priaznivého výsledku pod vplyvom názorov a skúseností výskumníka je preto subjektívne.

Príklad 1.5.

1. Investičný expert odhaduje, že pravdepodobnosť dosiahnutia zisku v prvých dvoch rokoch je 0,6.

2. Prognóza marketingového manažéra: pravdepodobnosť predaja 1000 kusov produktu v prvom mesiaci po jeho uvedení na trh je 0,4.

„Nehody nie sú náhodné“... Znie to ako niečo, čo povedal filozof, ale v skutočnosti je študovať nehody osudom veľká veda matematiky. V matematike sa náhodou zaoberá teória pravdepodobnosti. V článku budú uvedené vzorce a príklady úloh, ako aj základné definície tejto vedy.

Čo je teória pravdepodobnosti?

Teória pravdepodobnosti je jednou z matematických disciplín, ktorá študuje náhodné udalosti.

Aby to bolo trochu jasnejšie, dajme malý príklad: Ak hodíte mincou nahor, môže pristáť na hlavách alebo chvostoch. Kým je minca vo vzduchu, obe tieto pravdepodobnosti sú možné. To znamená, že pravdepodobnosť možných následkov je 1:1. Ak si vytiahnete jednu kartu z balíčka 36 kariet, pravdepodobnosť bude označená ako 1:36. Zdalo by sa, že tu nie je čo skúmať a predpovedať, najmä pomocou matematických vzorcov. Ak však určitú akciu zopakujete mnohokrát, môžete identifikovať určitý vzorec a na základe neho predpovedať výsledok udalostí v iných podmienkach.

Aby sme zhrnuli všetky vyššie uvedené skutočnosti, teória pravdepodobnosti v klasickom zmysle študuje možnosť výskytu jednej z možných udalostí v číselnej hodnote.

Zo stránok histórie

Teória pravdepodobnosti, vzorce a príklady prvých úloh sa objavili v ďalekom stredoveku, keď sa prvýkrát objavili pokusy predpovedať výsledok kartových hier.

Spočiatku teória pravdepodobnosti nemala nič spoločné s matematikou. Bolo to odôvodnené empirickými faktami alebo vlastnosťami udalosti, ktoré bolo možné reprodukovať v praxi. Prvé práce v tejto oblasti ako matematickej disciplíne sa objavili v 17. storočí. Zakladateľmi boli Blaise Pascal a Pierre Fermat. Dlhoštudovali hazardných hier a videli určité vzory, o ktorých sa rozhodli povedať verejnosti.

Rovnakú techniku ​​vynašiel Christiaan Huygens, aj keď nepoznal výsledky výskumu Pascala a Fermata. Zaviedol pojem „teória pravdepodobnosti“, vzorce a príklady, ktoré sa považujú za prvé v histórii disciplíny.

Nemalý význam majú aj diela Jacoba Bernoulliho, Laplaceove a Poissonove vety. Z teórie pravdepodobnosti urobili skôr matematickú disciplínu. Teória pravdepodobnosti, vzorce a príklady základných úloh dostali súčasnú podobu vďaka Kolmogorovovým axiómam. V dôsledku všetkých zmien sa teória pravdepodobnosti stala jedným z matematických odvetví.

Základné pojmy teórie pravdepodobnosti. Udalosti

Hlavným konceptom tejto disciplíny je „udalosť“. Existujú tri typy udalostí:

• Spoľahlivý. Tie, ktoré sa aj tak stanú (minca padne).
• nemožné. Udalosti, ktoré sa za žiadnych okolností nestanú (minca zostane visieť vo vzduchu).
• Náhodný. Tie, ktoré sa stanú alebo nestanú. Môžu byť ovplyvnené rôznymi faktormi, ktoré je veľmi ťažké predvídať. Ak hovoríme o minci, potom existujú náhodné faktory, ktoré môžu ovplyvniť výsledok: fyzikálne vlastnosti mince, jej tvar, pôvodná poloha, sila hodu atď.

Všetky udalosti v príkladoch sú označené veľkými písmenami latinskými písmenami, s výnimkou P, ktorý má inú úlohu. Napríklad:

• A = „študenti prišli prednášať“.
• Ā = „študenti neprišli na prednášku“.

V praktických úlohách sa udalosti zvyčajne zapisujú slovami.

Jeden z najdôležitejšie vlastnosti udalosti - ich rovnocenná možnosť. To znamená, že ak si hodíte mincou, sú možné všetky varianty počiatočného pádu, kým nepadne. Ale udalosti tiež nie sú rovnako možné. Stáva sa to vtedy, keď niekto úmyselne ovplyvňuje výsledok. Napríklad „označené“ hracie karty alebo kocky, v ktorých je posunuté ťažisko.

Udalosti môžu byť tiež kompatibilné a nekompatibilné. Kompatibilné udalosti nevylučujú vzájomný výskyt. Napríklad:

• A = „študent prišiel na prednášku“.
• B = „študent prišiel na prednášku“.

Tieto udalosti sú na sebe nezávislé a výskyt jednej z nich neovplyvňuje výskyt druhej. Nezlučiteľné udalosti sú definované skutočnosťou, že výskyt jedného vylučuje výskyt iného. Ak hovoríme o tej istej minci, potom strata „chvostov“ znemožňuje objavenie sa „hláv“ v tom istom experimente.

Akcie na udalostiach

Udalosti je možné podľa toho násobiť a pridávať, v disciplíne sú zavedené logické spojky „A“ a „ALEBO“.

Množstvo je určené skutočnosťou, že buď udalosť A alebo B, alebo dve, môžu nastať súčasne. V prípade, že sú nezlučiteľné, posledná možnosť nemožné, bude hodené buď A alebo B.

Násobenie udalostí spočíva v objavení sa A a B súčasne.

Teraz môžeme uviesť niekoľko príkladov, aby sme si lepšie zapamätali základy, teóriu pravdepodobnosti a vzorce. Príklady riešenia problémov nižšie.

Úloha 1: Spoločnosť sa zúčastňuje súťaže o zákazky na tri druhy prác. Možné udalosti, ktoré môžu nastať:

• A = „firma dostane prvú zmluvu“.
• A 1 = „spoločnosť nedostane prvú zmluvu“.
• B = „firma dostane druhú zmluvu“.
• B 1 = „firma nedostane druhú zákazku“
• C = „firma dostane tretiu zmluvu“.
• C 1 = „firma nedostane tretiu zákazku“.

Pomocou akcií na udalostiach sa pokúsime vyjadriť nasledujúce situácie:

• K = „spoločnosť dostane všetky zmluvy“.

V matematickom tvare bude mať rovnica nasledujúci tvar: K = ABC.

• M = „spoločnosť nedostane ani jednu zmluvu“.

M = A1B1C1.

Skomplikujme si úlohu: H = „spoločnosť dostane jednu zákazku“. Keďže nie je známe, ktorú zmluvu spoločnosť dostane (prvú, druhú alebo tretiu), je potrebné zaznamenať celý rad možných udalostí:

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

A 1 BC 1 je séria udalostí, kde firma nedostane prvú a tretiu zmluvu, ale dostane druhú. Ostatné boli zaznamenané pomocou zodpovedajúcej metódy. možné udalosti. Symbol υ v disciplíne označuje spojku „ALEBO“. Ak uvedený príklad preložíme do ľudskej reči, firma dostane buď tretiu zmluvu, alebo druhú, alebo prvú. PodobneĎalšie podmienky si môžete zapísať v disciplíne „Teória pravdepodobnosti“. Vzorce a príklady riešenia problémov uvedené vyššie vám pomôžu urobiť to sami.

Vlastne pravdepodobnosť

Možno, že v tejto matematickej disciplíne je pravdepodobnosť udalosti centrálny koncept. Existujú 3 definície pravdepodobnosti:

• klasický;
• štatistické;
• geometrický.

Každý má svoje miesto v štúdiu pravdepodobnosti. Používa sa najmä teória pravdepodobnosti, vzorce a príklady (9. ročník). klasická definícia, čo znie takto:

• Pravdepodobnosť situácie A sa rovná pomeru počtu výsledkov, ktoré podporujú jej výskyt, k počtu všetkých možných výsledkov.

Vzorec vyzerá takto: P(A)=m/n.

A je vlastne udalosť. Ak sa objaví prípad opačný ako A, možno ho zapísať ako Ā alebo A 1 .

m je počet možných priaznivých prípadov.

n - všetky udalosti, ktoré sa môžu stať.

Napríklad A = „vytiahnite kartu farby srdca“. V štandardnom balíčku je 36 kariet, z toho 9 sŕdc. V súlade s tým bude vzorec na riešenie problému vyzerať takto:

P(A) = 9/36 = 0,25.

V dôsledku toho bude pravdepodobnosť, že sa z balíčka vyberie karta srdcovej farby, 0,25.

Smerom k vyššej matematike

Teraz je trochu známe, čo je teória pravdepodobnosti, vzorce a príklady riešenia problémov, ktoré sa vyskytujú školské osnovy. Teória pravdepodobnosti sa však nachádza aj v vyššia matematika ktorý sa vyučuje na univerzitách. Najčastejšie pracujú s geometrickými a štatistickými definíciami teórie a zložitými vzorcami.

Teória pravdepodobnosti je veľmi zaujímavá. Je lepšie začať študovať vzorce a príklady (vyššia matematika) v malom - so štatistickou (alebo frekvenčnou) definíciou pravdepodobnosti.

Štatistický prístup nie je v rozpore s klasickým, ale mierne ho rozširuje. Ak v prvom prípade bolo potrebné určiť, s akou mierou pravdepodobnosti dôjde k udalosti, potom v tejto metóde musíte určiť, ako často sa to stane. Tu sa zavádza nový pojem „relatívnej frekvencie“, ktorý možno označiť W n (A). Vzorec sa nelíši od klasického:

Ak klasický vzorec vypočítané na predikciu, potom štatistické - podľa výsledkov experimentu. Zoberme si napríklad malú úlohu.

Oddelenie technologickej kontroly kontroluje kvalitu výrobkov. Spomedzi 100 produktov sa zistilo, že 3 sú nekvalitné. Ako zistiť frekvenčnú pravdepodobnosť kvalitného produktu?

A = „vzhľad kvalitného produktu“.

Wn(A)=97/100=0,97

Frekvencia kvalitného produktu je teda 0,97. Odkiaľ máš 97? Zo 100 kontrolovaných produktov sa zistilo, že 3 sú nekvalitné. Odpočítame 3 od 100 a dostaneme 97, to je množstvo kvalitného tovaru.

Trochu o kombinatorike

Ďalšia metóda teórie pravdepodobnosti sa nazýva kombinatorika. Jej základným princípom je, že ak je možné urobiť určitú voľbu A m rôznymi spôsobmi a výber B je n rôznymi spôsobmi, potom výber A a B možno vykonať násobením.

Napríklad z mesta A do mesta B vedie 5 ciest. Z mesta B do mesta C vedú 4 cesty. Koľkými spôsobmi sa môžete dostať z mesta A do mesta C?

Je to jednoduché: 5x4=20, čiže dvadsiatimi rôznymi spôsobmi sa môžete dostať z bodu A do bodu C.

Skomplikujme si úlohu. Koľko spôsobov je možné rozložiť karty v solitaire? V balíčku je 36 kariet - to je východiskový bod. Ak chcete zistiť počet spôsobov, musíte „odčítať“ jednu kartu naraz od počiatočného bodu a vynásobiť.

To znamená, že 36x35x34x33x32...x2x1= výsledok sa nezmestí na obrazovku kalkulačky, takže ho možno jednoducho označiť ako 36!. Podpíšte "!" vedľa čísla znamená, že celý rad čísel je vynásobený.

V kombinatorike existujú také pojmy ako permutácia, umiestnenie a kombinácia. Každý z nich má svoj vlastný vzorec.

Usporiadaná množina prvkov množiny sa nazýva usporiadanie. Umiestnenia sa môžu opakovať, to znamená, že jeden prvok možno použiť niekoľkokrát. A to bez opakovania, keď sa prvky neopakujú. n sú všetky prvky, m sú prvky, ktoré sa podieľajú na umiestnení. Vzorec pre umiestnenie bez opakovania bude vyzerať takto:

A n m = n!/(n-m)!

Spojenia n prvkov, ktoré sa líšia iba poradím umiestnenia, sa nazývajú permutácie. V matematike to vyzerá takto: P n = n!

Kombinácie n prvkov z m sú tie zlúčeniny, pri ktorých je dôležité, o aké prvky išlo a aký je ich celkový počet. Vzorec bude vyzerať takto:

A n m = n!/m! (n-m)!

Bernoulliho vzorec

V teórii pravdepodobnosti, ako aj v každej disciplíne, existujú práce vynikajúcich výskumníkov vo svojom odbore, ktorí ju priviedli nová úroveň. Jednou z týchto prác je Bernoulliho vzorec, ktorý vám umožňuje určiť pravdepodobnosť výskytu určitej udalosti za nezávislých podmienok. To naznačuje, že výskyt A v experimente nezávisí od výskytu alebo neprítomnosti rovnakej udalosti v skorších alebo nasledujúcich pokusoch.

Bernoulliho rovnica:

Pn (m) = Cnm xpm xqn-m.

Pravdepodobnosť (p) výskytu udalosti (A) je konštantná pre každý pokus. Pravdepodobnosť, že situácia nastane presne m-krát v n počte experimentov, sa vypočíta podľa vyššie uvedeného vzorca. V súlade s tým vzniká otázka, ako zistiť číslo q.

Ak sa udalosť A vyskytne p toľkokrát, nemusí nastať. Jednotka je číslo, ktoré sa používa na označenie všetkých výsledkov situácie v disciplíne. Preto q je číslo, ktoré označuje možnosť, že udalosť nenastane.

Teraz poznáte Bernoulliho vzorec (teóriu pravdepodobnosti). Príklady riešenia problémov (prvá úroveň) zvážime nižšie.

Úloha 2: Návštevník obchodu uskutoční nákup s pravdepodobnosťou 0,2. Do predajne samostatne vstúpilo 6 návštevníkov. Aká je pravdepodobnosť, že návštevník uskutoční nákup?

Riešenie: Keďže nie je známe, koľko návštevníkov by malo uskutočniť nákup, jeden alebo všetci šiesti, je potrebné vypočítať všetkých možné pravdepodobnosti pomocou Bernoulliho vzorca.

A = „návštevník uskutoční nákup.“

V tomto prípade: p = 0,2 (ako je uvedené v úlohe). V súlade s tým q = 1-0,2 = 0,8.

n = 6 (keďže v predajni je 6 zákazníkov). Číslo m sa bude meniť od 0 (ani jeden zákazník nenakúpi) do 6 (všetci návštevníci obchodu niečo kúpia). V dôsledku toho dostaneme riešenie:

P6 (0) = Co6 xp0 xq6 = q6 = (0,8)6 = 0,2621.

Žiadny z kupujúcich neuskutoční nákup s pravdepodobnosťou 0,2621.

Ako inak sa používa Bernoulliho vzorec (teória pravdepodobnosti)? Príklady riešenia problémov (druhá úroveň) nižšie.

Po vyššie uvedenom príklade vyvstávajú otázky, kam sa podeli C a r. Vo vzťahu k p sa číslo s mocninou 0 rovná jednej. Pokiaľ ide o C, možno ho nájsť podľa vzorca:

C n m = n! /m!(n-m)!

Keďže v prvom príklade m = 0, C = 1, čo v zásade neovplyvňuje výsledok. Používanie nový vzorec, skúsme zistiť, aká je pravdepodobnosť nákupu tovaru dvoma návštevníkmi.

P6 (2) = C6 2 ×p 2 ×q 4 = (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Teória pravdepodobnosti nie je až taká zložitá. Bernoulliho vzorec, ktorého príklady sú uvedené vyššie, je toho priamym dôkazom.

Poissonov vzorec

Poissonova rovnica sa používa na výpočet náhodných situácií s nízkou pravdepodobnosťou.

Základný vzorec:

Pn(m)=Am/m! x e (-λ).

V tomto prípade λ = n x p. Tu je jednoduchý Poissonov vzorec (teória pravdepodobnosti). Nižšie zvážime príklady riešenia problémov.

Úloha 3: Továreň vyrobila 100 000 dielov. Výskyt chybnej časti = 0,0001. Aká je pravdepodobnosť, že v dávke bude 5 chybných dielov?

Ako vidíte, manželstvo je nepravdepodobná udalosť, a preto sa na výpočet používa Poissonov vzorec (teória pravdepodobnosti). Príklady riešenia úloh tohto druhu sa nelíšia od iných úloh v disciplíne dosadíme potrebné údaje do daného vzorca:

A = “náhodne vybraný diel bude chybný.”

p = 0,0001 (podľa podmienok úlohy).

n = 100 000 (počet dielov).

m = 5 (chybné časti). Údaje dosadíme do vzorca a získame:

R 100 000 (5) = 105/5! Xe-io = 0,0375.

Rovnako ako Bernoulliho vzorec (teória pravdepodobnosti), príklady riešení, ktoré sú uvedené vyššie, Poissonova rovnica má neznáme e. V skutočnosti ju možno nájsť podľa vzorca:

e-λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n.

Existujú však špeciálne tabuľky, ktoré obsahujú takmer všetky hodnoty napr.

De Moivre-Laplaceova veta

Ak je počet pokusov v Bernoulliho schéme dostatočne veľký a pravdepodobnosť výskytu udalosti A vo všetkých schémach je rovnaká, potom pravdepodobnosť výskytu udalosti A v určitom počte opakovaní v sérii testov možno nájsť pomocou Laplaceov vzorec:

Р n (m) = 1/√npq x ϕ (X m).

Xm = m-np/√npq.

Aby ste si lepšie zapamätali Laplaceov vzorec (teória pravdepodobnosti), nižšie sú uvedené príklady problémov.

Najprv nájdime X m, dosadíme údaje (všetky sú uvedené vyššie) do vzorca a dostaneme 0,025. Pomocou tabuliek nájdeme číslo ϕ(0,025), ktorého hodnota je 0,3988. Teraz môžete nahradiť všetky údaje do vzorca:

P 800 (267) = 1/√ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Pravdepodobnosť, že leták bude fungovať presne 267-krát, je teda 0,03.

Bayesov vzorec

Bayesov vzorec (teória pravdepodobnosti), príklady riešenia problémov, pomocou ktorých budú uvedené nižšie, je rovnica, ktorá popisuje pravdepodobnosť udalosti na základe okolností, ktoré by s ňou mohli byť spojené. Základný vzorec je nasledujúci:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A a B sú určité udalosti.

P(A|B) je podmienená pravdepodobnosť, to znamená, že udalosť A môže nastať za predpokladu, že udalosť B je pravdivá.

P (B|A) - podmienená pravdepodobnosť udalosti B.

Takže poslednou časťou krátkeho kurzu „Teória pravdepodobnosti“ je Bayesov vzorec, príklady riešení problémov, s ktorými sú uvedené nižšie.

Úloha 5: Do skladu boli privezené telefóny od troch firiem. Zároveň je podiel telefónov vyrobených v prvom závode 25%, v druhom - 60%, v treťom - 15%. Je tiež známe, že priemerné percento chybných výrobkov v prvom závode je 2%, v druhom - 4% a v treťom - 1%. Musíte nájsť pravdepodobnosť, že náhodne vybraný telefón bude chybný.

A = „náhodne vybraný telefón“.

B 1 - telefón, ktorý vyrobila prvá továreň. Podľa toho sa objavia úvodné B 2 a B 3 (pre druhú a tretiu továreň).

V dôsledku toho dostaneme:

P(B1) = 25 %/100 % = 0,25; P(B2) = 0,6; P (B 3) = 0,15 - teda sme zistili pravdepodobnosť každej možnosti.

Teraz musíme nájsť podmienené pravdepodobnostiželaná udalosť, teda pravdepodobnosť chybných produktov v spoločnostiach:

P (A/B1) = 2 %/100 % = 0,02;

P(A/B2) = 0,04;

P (A/B3) = 0,01.

Teraz nahraďme údaje do Bayesovho vzorca a získame:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

Článok predstavuje teóriu pravdepodobnosti, vzorce a príklady riešenia problémov, ale toto je len špička ľadovca obrovskej disciplíny. A po všetkom, čo bolo napísané, bude logické položiť si otázku, či je v živote potrebná teória pravdepodobnosti. K obyčajnému človeku Je ťažké odpovedať, je lepšie sa opýtať niekoho, kto to použil na výhru jackpotu viac ako raz.

Pravdepodobnosť udalosti vyskytujúcej sa v určitom teste sa rovná pomeru , kde:

Celkový počet všetkých rovnako možných, elementárnych výstupov daného testu, ktoré tvoria celá skupina podujatí;

Počet základných výsledkov priaznivých pre udalosť.

Problém 1

Urna obsahuje 15 bielych, 5 červených a 10 čiernych loptičiek. Náhodne sa vyžrebuje 1 loptička, nájdite pravdepodobnosť, že bude: a) biela, b) červená, c) čierna.

Riešenie: Najdôležitejším predpokladom používania klasickej definície pravdepodobnosti je schopnosť spočítať celkový počet výsledkov.

V urne je spolu 15 + 5 + 10 = 30 loptičiek a očividne sú pravdivé nasledujúce skutočnosti:

Získanie akejkoľvek lopty je rovnako možné (rovnosť príležitostí výsledky), zatiaľ čo výsledky elementárne a forme celá skupina podujatí (t. j. v dôsledku testu bude jedna z 30 loptičiek určite odstránená).

teda celkový počet výsledky:

Zvážte udalosť: - z urny sa vytiahne biela guľa. Táto udalosť je podporovaná elementárnymi výsledkami, teda podľa klasickej definície:
- pravdepodobnosť, že sa z urny vytiahne biela guľa.

Napodiv, aj pri takejto jednoduchej úlohe sa dá urobiť vážna nepresnosť. Kde je tu úskalia? Je nesprávne tu argumentovať „Keďže polovica loptičiek je biela, potom je pravdepodobnosť, že vytiahnete bielu guľu » . Klasická definícia pravdepodobnosti odkazuje na ELEMENTÁRNY výsledky a zlomok sa musí zapísať!

S ostatnými bodmi podobne zvážte nasledujúce udalosti:

Z urny sa vytiahne červená guľa;
- z urny sa vytiahne čierna guľa.

Udalosť má 5 základných výsledkov a udalosť 10 základných výsledkov. Zodpovedajúce pravdepodobnosti sú teda:

Typická kontrola mnohých úloh servera sa vykonáva pomocou teorémy o súčte pravdepodobností udalostí tvoriacich ucelenú skupinu. V našom prípade udalosti tvoria ucelenú skupinu, čo znamená, že súčet zodpovedajúcich pravdepodobností sa musí nevyhnutne rovnať jednej: .

Pozrime sa, či je to pravda: o tom som sa chcel uistiť.

Odpoveď:

V praxi je bežná možnosť „vysokorýchlostného“ riešenia:

Spolu: 15 + 5 + 10 = 30 loptičiek v urne. Podľa klasickej definície:
- pravdepodobnosť, že sa z urny vytiahne biela guľa;
- pravdepodobnosť, že z urny bude vytiahnutá červená guľa;
- pravdepodobnosť, že sa z urny vytiahne čierna guľa.

Odpoveď:

Problém 2

Predajňa dostala 30 chladničiek, z ktorých päť má výrobnú chybu. Náhodne sa vyberie jedna chladnička. Aká je pravdepodobnosť, že bude bez defektu?

Problém 3

Pri vytáčaní telefónneho čísla účastník zabudol posledné dve číslice, ale pamätá si, že jedna z nich je nula a druhá nepárna. Nájdite pravdepodobnosť, že vytočí správne číslo.

Poznámka: nula je párne číslo (deliteľné 2 bez zvyšku)

Riešenie: Najprv zistíme celkový počet výsledkov. Podľa podmienky si účastník pamätá, že jedna z číslic je nula a druhá číslica je nepárna. Tu je racionálnejšie neštiepiť chĺpky kombinatorika a využiť metóda priameho súpisu výsledkov . To znamená, že pri riešení jednoducho zapíšeme všetky kombinácie:

01, 03, 05, 07, 09

10, 30, 50, 70, 90

A my ich spočítame – celkovo: 10 výsledkov.

Existuje len jeden priaznivý výsledok: správne číslo.

Podľa klasickej definície:
- pravdepodobnosť, že účastník vytočí správne číslo

Odpoveď: 0,1

Pokročilá úloha pre nezávislé riešenie:

Problém 4

Účastník zabudol PIN kód svojej SIM karty, ale pamätá si, že obsahuje tri „päťky“ a jedno z čísel je „sedem“ alebo „osem“. Aká je pravdepodobnosť úspešnej autorizácie na prvý pokus?

Tu môžete tiež rozvinúť myšlienku pravdepodobnosti, že predplatiteľ bude čeliť trestu vo forme kódu puku, ale, bohužiaľ, zdôvodnenie presahuje rámec tejto lekcie

Riešenie a odpoveď sú nižšie.

Niekedy sa zoznam kombinácií ukáže ako veľmi náročná úloha. O nič menej to platí najmä v nasledujúcom prípade populárna skupina problémy, kde sa hádžu 2 kockami (menej často - viac):

Problém 5

Nájdite pravdepodobnosť, že pri hode dvoma kockami bude celkový počet:

a) päť bodov;

b) najviac štyri body;

c) od 3 do 9 bodov vrátane.

Riešenie: nájdite celkový počet výsledkov:

Spôsoby, ako môže strana 1. kocky vypadnúť A rôznymi spôsobmi môže strana 2. kocky vypadnúť; Autor: pravidlo pre násobenie kombinácií, celkom: možné kombinácie. Inými slovami, každý tvár 1. kocky môže tvoriť usporiadaný pár s každým hrana 2. kocky. Dohodneme sa, že takúto dvojicu napíšeme v tvare , kde je číslo, ktoré sa objaví na 1. kocke, a číslo, ktoré sa objaví na 2. kocke.

Napríklad:

Prvá kocka získala 3 body, druhá kocka získala 5 bodov, celkový počet bodov: 3 + 5 = 8;
- prvá kocka získala 6 bodov, druhá - 1 bod, súčet bodov: 6 + 1 = 7;
- 2 body hodené na oboch kockách, súčet: 2 + 2 = 4.

Je zrejmé, že najmenšie množstvo je dané párom a najväčšie dve „šestky“.

a) Zvážte udalosť: - pri hode dvoma kockami sa objaví 5 bodov. Zapíšme si a spočítajme počet výsledkov, ktoré podporujú túto udalosť:

Celkom: 4 priaznivé výsledky. Podľa klasickej definície:
- požadovaná pravdepodobnosť.

b) Zvážte udalosť: - neobjavia sa viac ako 4 body. Teda buď 2, alebo 3, alebo 4 body. Opäť uvádzame a počítame výhodné kombinácie, vľavo zapíšem celkový počet bodov a za dvojbodkou vhodné dvojice:

Celkom: 6 výhodných kombinácií. Takto:
- pravdepodobnosť, že nepadne viac ako 4 body.

c) Zvážte udalosť: - Hodí sa 3 až 9 bodov vrátane. Tu môžete ísť po rovnej ceste, ale... z nejakého dôvodu to nechcete. Áno, niektoré páry už boli uvedené v predchádzajúcich odsekoch, ale stále je pred nami veľa práce.

Aký je najlepší spôsob, ako postupovať? V takýchto prípadoch sa okružná cesta ukazuje ako racionálna. Uvažujme opačná udalosť: - Hodia sa 2 alebo 10 alebo 11 alebo 12 bodov.

Aký to má zmysel? Opačnej udalosti uprednostňuje výrazne menší počet párov:

Celkom: 7 priaznivých výsledkov.

Podľa klasickej definície:
- pravdepodobnosť, že získate menej ako tri alebo viac ako 9 bodov.

Obzvlášť úzkostliví ľudia môžu uviesť všetkých 29 párov, čím dokončí kontrolu.

Odpoveď:

V ďalšej úlohe zopakujeme tabuľku násobenia:

Problém 6

Nájdite pravdepodobnosť, že pri hode dvoma kockami je súčin bodov:

a) sa bude rovnať siedmim;

b) bude ich najmenej 20;

c) bude párne.

Rýchle riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Problém 7

Do výťahu 20-poschodovej budovy na prvom poschodí nastúpili 3 ľudia. A poďme. Nájdite pravdepodobnosť, že:

a) budú vychádzať na rôznych poschodiach;

b) dvaja budú vychádzať na rovnakom poschodí;

c) všetci vystúpia na rovnakom poschodí.

Riešenie: vypočítajme celkový počet výsledkov: spôsoby, akými môže 1. cestujúci vystúpiť z výťahu A cesty - 2. cestujúci A spôsoby - tretí cestujúci. Podľa pravidla násobenia kombinácií: možné výsledky. teda každý Výstupné poschodie 1. osoby je možné kombinovať so všetkými 2. osoba výstup poschodie a so všetkými Výstupné poschodie pre 3. osobu.

Druhá metóda je založená na umiestnenia s opakovaniami:
- kto tomu jasnejšie rozumie.

a) Zvážte udalosť: - cestujúci vystúpia na rôznych poschodiach. Vypočítajme počet priaznivých výsledkov:
Pomocou týchto metód môžu vystúpiť 3 cestujúci na rôznych poschodiach. Urobte si vlastnú úvahu na základe vzorca.

Podľa klasickej definície:

c) Zvážte udalosť: - cestujúci vystúpia na tom istom poschodí. Táto udalosť má priaznivé výsledky a podľa klasickej definície aj zodpovedajúcu pravdepodobnosť: .

Vchádzame zo zadných dverí:

b) Zvážte udalosť: - dvaja ľudia vystúpia na tom istom poschodí (a teda tretí je na druhom).

Formulár udalostí celá skupina (veríme, že vo výťahu nikto nezaspí a výťah sa nezasekne, čo znamená .

V dôsledku toho je požadovaná pravdepodobnosť:

teda teorém o sčítaní pravdepodobností udalostí tvoriacich ucelenú skupinu, môže byť nielen pohodlné, ale môže sa stať aj skutočným záchrancom!

Odpoveď:

Keď sa získajú veľké frakcie, potom v dobrej forme budú uvádzať ich približné desatinné hodnoty. Zvyčajne sa zaokrúhľuje na 2-3-4 desatinné miesta.

Keďže udalosti bodov „a“, „be“, „ve“ tvoria kompletnú skupinu, má zmysel vykonať kontrolnú kontrolu a je lepšie s približnými hodnotami:

Čo bolo potrebné skontrolovať.

Niekedy v dôsledku chýb zaokrúhľovania môže byť výsledok 0,9999 alebo 1,0001, v tomto prípade by mala byť jedna z približných hodnôt „upravená“ tak, aby bol súčet „čistou“ jednotkou.

Na vlastnú päsť:

Problém 8

Hodí sa 10 mincí. Nájdite pravdepodobnosť, že:

a) na všetkých minciach budú zobrazené hlavy;

b) 9 mincí pristane hlavy a jedna minca pristane chvosty;

c) na polovici mincí sa objavia hlavy.

Problém 9

Na sedemmiestnej lavici je náhodne usadených 7 ľudí. Aká je pravdepodobnosť, že dvaja určitá osoba budú blízko?

Riešenie: Nie sú žiadne problémy s celkovým počtom výsledkov:
Na lavičke môže sedieť 7 ľudí rôznymi spôsobmi.

Ale ako vypočítať počet priaznivých výsledkov? Triviálne vzorce nie sú vhodné a jediný spôsob- to je logická úvaha. Najprv sa pozrime na situáciu, keď Sasha a Masha boli vedľa seba na ľavom okraji lavičky:

Je zrejmé, že na poradí záleží: Sasha môže sedieť vľavo, Máša vpravo a naopak. Ale to nie je všetko - pre každého Z týchto dvoch prípadov môže zvyšok ľudí sedieť na prázdnych miestach iným spôsobom. Kombinatoricky povedané, Sasha a Masha môžu byť usporiadané na susedných miestach nasledujúcimi spôsobmi: A Pre každú takúto permutáciu môžu byť iní ľudia rôznymi spôsobmi preusporiadaní.

Podľa pravidla násobenia kombinácií teda vznikajú priaznivé výsledky.

Ale to nie je všetko! Vyššie uvedené skutočnosti sú pravdivé pre každého dvojice susedných miest:

Je zaujímavé poznamenať, že ak je lavica „zaoblená“ (spojenie ľavého a pravého sedadla), potom sa vytvorí ďalší, siedmy pár susedných miest. Ale nenechajme sa rozptyľovať. Podľa rovnakého princípu násobenia kombinácií získame konečný počet priaznivých výsledkov:

Podľa klasickej definície:
- pravdepodobnosť, že nablízku budú dvaja konkrétni ľudia.

Odpoveď:

Problém 10

Dve veže, biela a čierna, sú náhodne umiestnené na šachovnici so 64 bunkami. Aká je pravdepodobnosť, že sa navzájom „nepobijú“?

Odkaz: šachovnica má veľkosť buniek; čierne a biele veže sa navzájom „bijú“, keď sa nachádzajú na rovnakej pozícii alebo na rovnakej vertikále

Nezabudnite si urobiť schematický nákres dosky a ešte lepšie, ak je v blízkosti šach. Jedna vec je uvažovať na papieri a úplne iná, keď si kúsky usporiadate vlastnými rukami.

Problém 11

Aká je pravdepodobnosť, že štyri rozdané karty budú obsahovať jedno eso a jedného kráľa?

Vypočítajme celkový počet výsledkov. Koľkými spôsobmi môžete odstrániť 4 karty z balíčka? Asi každý pochopil, že sa bavíme počet kombinácií:
pomocou týchto metód si môžete vybrať 4 karty z balíčka.

Teraz zvažujeme priaznivé výsledky. Podľa podmienky vo výbere 4 kariet musí byť jedno eso, jeden kráľ a, čo nie je uvedené v otvorenom texte - ďalšie dve karty:

Spôsoby, ako získať jedno eso;
spôsoby, ako si môžete vybrať jedného kráľa.

Esá a kráľov vylučujeme z úvahy: 36 - 4 - 4 = 28

spôsoby, ako môžete extrahovať ďalšie dve karty.

Podľa pravidla pre násobenie kombinácií:
spôsoby, ako môžete získať požadovanú kombináciu kariet (1. eso A 1. kráľ A dve ďalšie karty).

Dovoľte mi okomentovať kombinačný význam notácie iným spôsobom:
každý eso kombinuje so všetkými kráľ a s každým možný pár ďalších kariet.

Podľa klasickej definície:
- pravdepodobnosť, že medzi štyrmi rozdanými kartami bude jedno eso a jeden kráľ.

Ak máte čas a trpezlivosť, znížte veľké zlomky čo najviac.

Odpoveď:

Viac jednoduchá úloha pre nezávislé riešenie:

Problém 12

Krabička obsahuje 15 kvalitných a 5 chybných dielov. 2 diely sú odstránené náhodne.

Nájdite pravdepodobnosť, že:

a) obe časti budú vysokej kvality;

b) jedna časť bude vysokej kvality a jedna bude chybná;

c) obe časti sú chybné.

Udalosti uvedených bodov tvoria ucelenú skupinu, takže kontrola tu sa navrhuje sama. Krátke riešenie a odpoveď na konci hodiny. Vo všeobecnosti sa najzaujímavejšie veci len začínajú!

Problém 13

Študent pozná odpovede na 25 skúšobných otázok zo 60. Aká je pravdepodobnosť úspešného absolvovania skúšky, ak potrebujete zodpovedať aspoň 2 z 3 otázok?

Riešenie: Situácia je teda nasledovná: celkom 60 otázok, z ktorých 25 je „dobrých“ a teda 60 - 25 = 35 „zlých“. Situácia je neistá a nie je v prospech študenta. Poďme zistiť, aké sú jeho šance:

spôsoby, ako si môžete vybrať 3 otázky zo 60 (celkový počet výsledkov).

Ak chcete úspešne absolvovať skúšku, musíte odpovedať na 2 alebo 3 otázky. Za priaznivé kombinácie považujeme:

Spôsoby, ako vybrať 2 „dobré“ otázky A jeden je „zlý“;

spôsoby, ako si môžete vybrať 3 „dobré“ otázky.

Autor: pravidlo pre pridávanie kombinácií:
spôsobmi si môžete vybrať kombináciu 3 otázok, ktorá je priaznivá na zloženie skúšky (bez rozdielu dvoch alebo troch „dobrých“ otázok).

Podľa klasickej definície:

Odpoveď:

Problém 14

Hráč pokru dostane 5 kariet. Nájdite pravdepodobnosť, že:

a) medzi týmito kartami bude pár desiatok a pár jackov;
b) hráčovi bude rozdaná farba (5 kariet rovnakej farby);
c) hráčovi budú rozdané štyri karty rovnakého druhu (4 karty rovnakej hodnoty).

Ktorú z nasledujúcich kombinácií získate s najväčšou pravdepodobnosťou?

! Pozor! Ak podmienka kladie podobnú otázku, odpovedzte na ňu nevyhnutné dať odpoveď.
Odkaz : poker hrá tradične 52 balíček kariet, ktorý obsahuje karty 4 farieb s hodnotami od dvojok po esá.

Poker je najmatematickejšia hra (tí, čo ju hrajú, vedia), v ktorej môžete mať citeľnú výhodu oproti menej kvalifikovaným súperom.

Riešenia a odpovede:

Úloha 2: Riešenie: 30 - 5 = 25 chladničiek nemá chybu.

- pravdepodobnosť, že náhodne vybraná chladnička nemá poruchu.
Odpoveď :

Úloha 4: Riešenie: nájdite celkový počet výsledkov:
spôsoby, ako môžete vybrať miesto, kde sa nachádza pochybné číslo a na každom Z týchto 4 miest možno nájsť 2 číslice (sedem alebo osem). Podľa pravidla násobenia kombinácií celkový počet výsledkov: .
Prípadne môže riešenie jednoducho uviesť všetky výsledky (našťastie ich je málo):

7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558

Existuje len jeden priaznivý výsledok (správny PIN kód).

Takže podľa klasickej definície:
- pravdepodobnosť, že sa účastník prihlási na 1. pokus
Odpoveď :

Úloha 6: Riešenie

Úloha 6:Riešenie : nájdite celkový počet výsledkov:
čísla sa môžu objaviť na 2 kockách rôznymi spôsobmi.

a) Zvážte udalosť: - pri hode dvoma kockami sa súčin bodov rovná siedmim. Pre túto udalosť nie sú žiadne priaznivé výsledky,
, t.j. táto udalosť je nemožná.

b) Zvážte udalosť: - pri hode dvoma kockami bude súčin bodov najmenej 20. Nasledujúce výsledky podporujú túto udalosť:

Celkom: 8

Podľa klasickej definície:

- požadovaná pravdepodobnosť.

c) Zvážte opačné udalosti:

- súčin bodov bude párny;

- súčin bodov bude nepárny.

Uveďme všetky výsledky priaznivé pre túto udalosť :

Celkom: 9 priaznivých výsledkov.

Podľa klasickej definície pravdepodobnosti:

Opačné udalosti tvoria kompletnú skupinu, preto:

- požadovaná pravdepodobnosť.

Odpoveď :

Problém 8:Riešenie spôsoby, ako môžu padnúť 2 mince.
Iný spôsob: spôsob, akým môže padnúť 1. mincaA spôsob, akým môže padnúť druhá mincaA … A spôsob, akým môže padnúť 10. minca. Podľa pravidla násobenia kombinácií môže padnúť 10 mincí spôsoby.
a) Zvážte udalosť: - všetky mince budú zobrazovať hlavy. Táto udalosť je podporovaná jediným výsledkom podľa klasickej definície pravdepodobnosti: .
b) Zvážte udalosť: - 9 mincí pristane hlavy a jedna minca pristane chvostom.
Existuje mince, ktoré môžu pristáť na hlavách. Podľa klasickej definície pravdepodobnosti: .
c) Zvážte udalosť: - na polovici mincí sa objavia hlavy.
Existuje unikátne kombinácie piatich mincí, ktoré môžu pristáť hlavy. Podľa klasickej definície pravdepodobnosti:
Odpoveď:

Problém 10:Riešenie : vypočítajme celkový počet výsledkov:
spôsoby, ako umiestniť dve veže na hraciu plochu.
Ďalšia možnosť dizajnu: spôsoby výberu dvoch polí na šachovniciA spôsoby, ako umiestniť bielu a čiernu vežuv každom z roku 2016. Takže celkový počet výsledkov: .

Teraz spočítajme výsledky, v ktorých sa veže navzájom „porazili“. Zoberme si 1. vodorovnú čiaru. Je zrejmé, že figúrky naň môžu byť umiestnené akýmkoľvek spôsobom, napríklad takto:

Okrem toho môžu byť veže preskupené. Uveďme zdôvodnenie do číselnej podoby: spôsoby, ako môžete vybrať dve bunkyA spôsoby preusporiadania vežív každomz 28 prípadov. Celkom: možné polohy postáv na horizontále.
Krátka verzia dizajnu: spôsoby, ako môžete umiestniť bielu a čiernu vežu na 1. miesto.

Vyššie uvedená úvaha je správnapre každého horizontálne, takže počet kombinácií by sa mal vynásobiť ôsmimi: . Okrem toho, podobný príbeh platí pre ktorúkoľvek z ôsmich vertikál. Vypočítajme celkový počet formácií, v ktorých sa kusy navzájom „bijú“:

Potom sa v zostávajúcich variantoch usporiadania veže navzájom „nepobijú“:
4032 - 896 = 3136

Podľa klasickej definície pravdepodobnosti:
- pravdepodobnosť, že biela a čierna veža umiestnená náhodne na šachovnici sa navzájom „neporazí“.

Odpoveď :

Problém 12:Riešenie : spolu: 15 + 5 = 20 dielov v krabici. Vypočítajme celkový počet výsledkov:
pomocou týchto metód môžete z krabice vybrať 2 diely.
a) Zvážte udalosť: - obe extrahované časti budú kvalitné.
pomocou týchto metód môžete extrahovať 2 kvalitné časti.
Podľa klasickej definície pravdepodobnosti:
b) Zvážte udalosť: - jedna časť bude vysoko kvalitná a jedna bude chybná.
spôsoby, ako môžete extrahovať 1 kvalitný dielA1 chybný.
Podľa klasickej definície:
c) Zvážte udalosť: - obe extrahované časti sú chybné.
pomocou týchto metód môžete odstrániť 2 chybné časti.
Podľa klasickej definície:
Vyšetrenie: vypočítajme súčet pravdepodobností udalostí, ktoré tvoria celú skupinu: , čo bolo potrebné skontrolovať.
Odpoveď:

A teraz vezmime do rúk už známy a bezproblémový vzdelávací nástroj - kocku s celá skupina udalosti , ktoré spočívajú v tom, že pri vhodení sa objaví 1, 2, 3, 4, 5 a 6 bodov, resp.

Zvážte udalosť - v dôsledku hodu kockou sa objaví najmenej päť bodov. Táto udalosť pozostáva z dvoch nezlučiteľných výsledkov: (valec 5 alebo 6 bodov)
- pravdepodobnosť, že hod kockou bude mať za následok aspoň päť bodov.

Uvažujme udalosť, že nepadne viac ako 4 body a nájdime jej pravdepodobnosť. Podľa vety o sčítaní pravdepodobností nezlučiteľné udalosti:

Možno si to niektorí čitatelia ešte úplne neuvedomili esencia nekompatibilita. Zamyslime sa ešte raz: študent nevie odpovedať na 2 z 3 otázok a zároveň odpovedať na všetky 3 otázky. Udalosti a sú teda nezlučiteľné.

Teraz pomocou klasická definícia, nájdime ich pravdepodobnosti:

Skutočnosť úspešného absolvovania skúšky je vyjadrená sumou (odpovedzte na 2 z 3 otázok alebo na všetky otázky). Podľa vety o sčítaní pravdepodobností nezlučiteľných udalostí:
- pravdepodobnosť, že študent skúšku zvládne.

Toto riešenie je úplne ekvivalentné, vyberte si, ktoré sa vám najviac páči.

Problém 1

Predajňa dostávala produkty v krabiciach zo štyroch veľkoskladov: štyri z 1., päť z 2., sedem z 3. a štyri zo 4. Krabica na predaj je náhodne vybraná. Aká je pravdepodobnosť, že to bude krabica z prvého alebo tretieho skladu.

Riešenie: celkový počet prijatých obchodom: 4 + 5 + 7 + 4 = 20 škatúľ.

V tejto úlohe je vhodnejšie použiť „rýchly“ spôsob formátovania bez písania udalostí veľkými písmenami. Podľa klasickej definície:
- pravdepodobnosť, že na predaj bude vybraná krabica z 1. skladu;
- pravdepodobnosť, že sa na predaj vyberie krabica z 3. skladu.

Podľa vety o sčítaní nezlučiteľných udalostí:
- pravdepodobnosť, že sa na predaj vyberie krabica z prvého alebo tretieho skladu.

Odpoveď: 0,55

Samozrejme, problém je riešiteľný a čisto cez klasická definícia pravdepodobnosti priamym spočítaním počtu priaznivých výsledkov (4 + 7 = 11), ale uvažovaná metóda nie je o nič horšia. A ešte jasnejšie.

Problém 2

Krabička obsahuje 10 červených a 6 modrých gombíkov. Dve tlačidlá sú odstránené náhodne. Aká je pravdepodobnosť, že budú rovnakej farby?

Podobne - tu môžete použiť pravidlo kombinatorického súčtu, ale človek nikdy nevie... zrazu na to niekto zabudol. Potom príde na pomoc teorém na sčítanie pravdepodobností nezlučiteľných udalostí!

Teória pravdepodobnosti je pomerne rozsiahly samostatný odbor matematiky. V školskom kurze sa o teórii pravdepodobnosti hovorí veľmi povrchne, ale v Jednotnej štátnej skúške a Štátnej skúške sú problémy túto tému. Avšak riešenie problémov školský kurz nie je to tak ťažké (aspoň čo sa týka aritmetických operácií) - nie je potrebné počítať derivácie, brať integrály a riešiť komplexy trigonometrické transformácie- hlavná vec je zvládnuť prvočísla a zlomky.

Teória pravdepodobnosti - základné pojmy

Hlavnými pojmami teórie pravdepodobnosti sú test, výsledok a náhodná udalosť. Test z teórie pravdepodobnosti je experiment – ​​hod mincou, ťahanie karty, losovanie – to všetko sú testy. Výsledok testu, ako ste možno uhádli, sa nazýva výsledok.

Čo je to náhodná udalosť? V teórii pravdepodobnosti sa predpokladá, že test sa vykonáva viackrát a existuje veľa výsledkov. Náhodná udalosť je súbor výsledkov testov. Ak si napríklad hodíte mincou, môžu sa stať dve náhodné udalosti – hlavy alebo chvosty.

Nezamieňajte si pojmy výsledok a náhodná udalosť. Výsledok je výsledkom jedného pokusu. Náhodná udalosť je súbor možných výsledkov. Mimochodom, existuje taký termín ako nemožná udalosť. Napríklad udalosť „hádzanie čísla 8“ na štandardnej kocke je nemožná.

Ako zistiť pravdepodobnosť?

Všetci zhruba chápeme, čo je pravdepodobnosť a pomerne často sa používa dané slovo vo vašej slovnej zásobe. Okrem toho môžeme dokonca vyvodiť nejaké závery týkajúce sa pravdepodobnosti konkrétnej udalosti, napríklad ak je za oknom sneh, môžeme s najväčšou pravdepodobnosťou povedať, že nie je leto. Ako však môžeme číselne vyjadriť tento predpoklad?

Aby sme zaviedli vzorec na nájdenie pravdepodobnosti, zavedieme ešte jeden pojem – priaznivý výsledok, teda výsledok, ktorý je priaznivý pre konkrétnu udalosť. Definícia je, samozrejme, dosť nejednoznačná, ale podľa podmienok problému je vždy jasné, ktorý výsledok je priaznivý.

Napríklad: V triede je 25 ľudí, z toho traja sú Káťa. Učiteľ prideľuje Olyu povinnosťou a potrebuje partnera. Aká je pravdepodobnosť, že sa Káťa stane vašou partnerkou?

IN v tomto príklade priaznivý výsledok - partnerka Katya. Tento problém vyriešime o niečo neskôr. Najprv však pomocou dodatočnej definície zavedieme vzorec na nájdenie pravdepodobnosti.

• P = A/N, kde P je pravdepodobnosť, A je počet priaznivých výsledkov, N je celkový počet výsledkov.

Všetky školské problémy sa točia okolo tohto jediného vzorca a hlavný problém zvyčajne spočíva v hľadaní výsledkov. Niekedy sa dajú ľahko nájsť, niekedy nie až tak.

Ako riešiť pravdepodobnostné problémy?

Problém 1

Takže teraz poďme vyriešiť vyššie uvedený problém.

Počet priaznivých výsledkov (učiteľ vyberie Káťu) sú tri, pretože v triede sú tri Káťa, a celkový počet je 24 (25-1, pretože Olyu už vybrali). Potom je pravdepodobnosť: P = 3/24 = 1/8 = 0,125. Pravdepodobnosť, že Olyiným partnerom bude Katya, je teda 12,5%. Nie je to ťažké, však? Pozrime sa na niečo zložitejšie.

Problém 2

Minca bola hodená dvakrát, aká je pravdepodobnosť získania jednej hlavy a jedného chvosta?

Pozrime sa teda na všeobecné výsledky. Ako môžu mince pristáť – hlavy/hlavy, chvosty/chvosty, hlavy/chvosty, chvosty/hlavy? To znamená, že celkový počet výsledkov je 4. Koľko priaznivých výsledkov? Dve - hlavy/chvosty a chvosty/hlavy. Pravdepodobnosť získania kombinácie hláv a chvostov je teda:

• P = 2/4 = 0,5 alebo 50 percent.

Teraz sa pozrime na tento problém. Máša má vo vrecku 6 mincí: dve s nominálnou hodnotou 5 rubľov a štyri s nominálnou hodnotou 10 rubľov. Máša presunula 3 mince do iného vrecka. Aká je pravdepodobnosť, že 5-rubľové mince skončia v rôznych vreckách?

Pre zjednodušenie označme mince číslami - 1,2 - päťrubľové mince, 3,4,5,6 - desaťrubľové mince. Ako teda môžu byť mince vo vrecku? Celkovo existuje 20 kombinácií:

• 123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256, 345, 346, 356, 456.

Na prvý pohľad sa môže zdať, že niektoré kombinácie chýbajú, napríklad 231, ale v našom prípade sú kombinácie 123, 231 a 321 ekvivalentné.

Teraz spočítame, koľko priaznivých výsledkov máme. Za ne berieme tie kombinácie, ktoré obsahujú buď číslo 1 alebo číslo 2: 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256. Je ich teda 12 pravdepodobnosť sa rovná:

• P = 12/20 = 0,6 alebo 60 %.

Problémy pravdepodobnosti, ktoré sú tu uvedené, sú celkom jednoduché, ale nemyslite si, že pravdepodobnosť je jednoduchým odvetvím matematiky. Ak sa rozhodnete pokračovať vo vzdelávaní na univerzite (okrem humanitárne špeciality), určite budete mať hodiny vyššej matematiky, na ktorých sa zoznámite so zložitejšími pojmami tejto teórie a úlohy tam budú oveľa ťažšie.

Chcete vedieť čo matematické šance na úspech vašej stávky? Potom sú tu pre vás dve dobré správy. Po prvé: na výpočet schopnosti prechádzať cez krajinu nemusíte vykonávať zložité výpočty a míňať veľké množstvočas. Stačí použiť jednoduché vzorce, s ktorými práca zaberie pár minút. Po druhé: po prečítaní tohto článku si môžete jednoducho vypočítať pravdepodobnosť, že niektorý z vašich obchodov prejde.

Aby ste správne určili schopnosť prejsť cez krajinu, musíte urobiť tri kroky:

• Vypočítajte percento pravdepodobnosti výsledku udalosti podľa kancelárie stávkovej kancelárie;
• Vypočítajte pravdepodobnosť pomocou štatistických údajov sami;
• Zistite hodnotu stávky s prihliadnutím na obe pravdepodobnosti.

Pozrime sa podrobne na každý z krokov pomocou nielen vzorcov, ale aj príkladov.

Rýchly skok

Výpočet pravdepodobnosti zahrnutej do kurzov bookmakera

Prvým krokom je zistiť, s akou pravdepodobnosťou sám bookmaker odhaduje šance na konkrétny výsledok. Je jasné, že stávkové kancelárie nestanovujú kurzy len tak. Na tento účel použijeme nasledujúci vzorec:

PB=(1/K)*100 %,

kde P B je pravdepodobnosť výsledku podľa názoru stávkovej kancelárie;

K – kurz stávkovej kancelárie na výsledok.

Povedzme, že kurz na víťazstvo londýnskeho Arsenalu v zápase proti Bayernu Mníchov je 4. To znamená, že pravdepodobnosť jeho víťazstva je stávkovou kanceláriou hodnotená ako (1/4)*100%=25%. Alebo hrá Djokovič proti Južnému. Násobiteľ víťazstva Novaka je 1,2, jeho šance sú (1/1,2)*100%=83%.

Takto vyhodnocuje samotná stávková kancelária šance na úspech každého hráča a tímu. Po dokončení prvého kroku prejdeme k druhému.

Výpočet pravdepodobnosti udalosti hráčom

Druhým bodom nášho plánu je vlastné posúdenie pravdepodobnosti udalosti. Keďže nemôžeme matematicky brať do úvahy také parametre ako motivácia a herný tón, použijeme zjednodušený model a použijeme len štatistiky z predchádzajúcich stretnutí. Pre výpočet štatistická pravdepodobnosť ako výsledok použijeme vzorec:

PA=(UM/M)*100 %,

KdePA– pravdepodobnosť udalosti podľa hráča;

UM – počet úspešných zápasov, v ktorých k takejto udalosti došlo;

M – celkový počet zápasov.

Aby to bolo jasnejšie, uvedieme príklady. Andy Murray a Rafael Nadal medzi sebou odohrali 14 zápasov. V 6 z nich to bolo menej ako 21 hier, v 8 to bolo viac. Potrebujete zistiť pravdepodobnosť, že ďalší zápas sa odohrá s vyšším súčtom: (8/14)*100=57%. Valencia odohrala proti Atléticu na Mestalle 74 zápasov, v ktorých získala 29 víťazstiev. Pravdepodobnosť víťazstva vo Valencii: (29/74)*100%=39%.

A to všetko sa dozvedáme len vďaka štatistikám predchádzajúcich hier! Prirodzene, pre niektorých nový tím alebo hráča, nebude možné takúto pravdepodobnosť vypočítať, preto je táto stávková stratégia vhodná len pre zápasy, v ktorých sa súperi stretnú viackrát. Teraz vieme, ako určiť stávkovú kanceláriu a naše vlastné pravdepodobnosti výsledkov, a máme všetky znalosti, aby sme mohli prejsť k poslednému kroku.

Určenie hodnoty stávky

Hodnota (hodnota) stávky a priechodnosť majú priamu súvislosť: čím vyššia hodnota, tým väčšia šanca na prehratie. Hodnota sa vypočíta takto:

V=PA*K-100 %,

kde V je hodnota;

P I – pravdepodobnosť výsledku podľa tipujúceho;

K – kurz stávkovej kancelárie na výsledok.

Povedzme, že chceme staviť na víťazstvo Milána v zápase proti Rímu a vypočítame, že pravdepodobnosť výhry „červeno-čiernych“ je 45%. Stávková kancelária nám na tento výsledok ponúka kurz 2,5. Bola by takáto stávka hodnotná? Vykonávame výpočty: V=45%*2,5-100%=12,5%. Skvelé, máme pred sebou cennú stávku dobré šance prejsť.

Zoberme si ďalší prípad. Maria Šarapovová hrá proti Petre Kvitovej. Chceme uzavrieť dohodu, aby Mária vyhrala, ktorej pravdepodobnosť je podľa našich výpočtov 60%. Stávkové kancelárie ponúkajú pre tento výsledok násobiteľ 1,5. Určíme hodnotu: V=60%*1,5-100=-10%. Ako vidíte, táto stávka nemá žiadnu hodnotu a treba sa jej vyhnúť.