Výraz otvorené zátvorky áno. Ako učiteľ matematiky učí tému „násobenie polynómov“

V tejto lekcii sa naučíte, ako transformovať výraz obsahujúci zátvorky na výraz bez zátvoriek. Naučíte sa otvárať zátvorky, pred ktorými je znamienko plus a znamienko mínus. Spomenieme si, ako otvárať zátvorky pomocou distributívneho zákona násobenia. Uvažované príklady vám umožnia spojiť nový a predtým študovaný materiál do jedného celku.

Téma: Riešenie rovníc

Lekcia: Rozšírenie zátvoriek

Ako rozbaliť zátvorky, pred ktorými je znak „+“. Použitie asociatívneho zákona sčítania.

Ak potrebujete k číslu pridať súčet dvoch čísel, môžete k tomuto číslu najskôr pridať prvý výraz a potom druhý.

Naľavo od znamienka rovnosti je výraz so zátvorkami a napravo je výraz bez zátvoriek. To znamená, že pri prechode z ľavej strany rovnosti na pravú došlo k otvoreniu zátvoriek.

Pozrime sa na príklady.

Príklad 1

Otvorením zátvoriek sme zmenili poradie akcií. Stalo sa pohodlnejšie počítať.

Príklad 2

Príklad 3

Všimnite si, že vo všetkých troch príkladoch sme jednoducho odstránili zátvorky. Sformulujme pravidlo:

Komentujte.

Ak je prvý výraz v zátvorkách bez znamienka, musí byť napísaný so znamienkom plus.

Môžete postupovať podľa príkladu krok za krokom. Najprv pridajte 445 k 889. Túto akciu je možné vykonať mentálne, ale nie je to veľmi jednoduché. Otvorme zátvorky a uvidíme, že zmenený postup výrazne zjednoduší výpočty.

Ak dodržíte naznačený postup, musíte najskôr od 512 odčítať 345 a potom k výsledku pripočítať 1345 Otvorením zátvoriek zmeníme postup a výrazne zjednodušíme výpočty.

Ilustrujúci príklad a pravidlo.

Pozrime sa na príklad: . Hodnotu výrazu zistíte tak, že sčítate 2 a 5 a potom zoberiete výsledné číslo s opačným znamienkom. Dostávame -7.

Na druhej strane, rovnaký výsledok možno získať sčítaním opačných čísel pôvodných.

Sformulujme pravidlo:

Príklad 1

Príklad 2

Pravidlo sa nemení, ak v zátvorkách nie sú dva, ale tri alebo viac výrazov.

Príklad 3

Komentujte. Značky sú obrátené iba pred pojmami.

Aby sme otvorili zátvorky, v tomto prípade si musíme zapamätať distributívnu vlastnosť.

Najprv vynásobte prvú zátvorku 2 a druhú 3.

Pred prvou zátvorkou je znamienko „+“, čo znamená, že znamienka musia zostať nezmenené. Pred druhým znakom je znak „-“, preto je potrebné všetky znaky zmeniť na opačný

Referencie

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematika 6. ročník. - Gymnázium, 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Za stránkami učebnice matematiky. - Osvietenstvo, 1989.
4. Rurukin A.N., Čajkovskij I.V. Úlohy do 5.-6. ročníka kurzu matematiky - ZSh MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Čajkovskij K.G. Matematika 5-6. Príručka pre žiakov 6. ročníka korešpondenčnej školy MEPhI. - ZSh MEPhI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematika: Učebnica-príhovor pre 5-6 ročníkov strednej školy. Knižnica učiteľa matematiky. - Osvietenstvo, 1989.

1. Online testy z matematiky ().
2. Môžete si stiahnuť tie, ktoré sú uvedené v článku 1.2. knihy ().

Domáce úlohy

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012. (odkaz pozri 1.2)
2. Domáca úloha: č. 1254, č. 1255, č. 1256 (b, d)
3. Ďalšie úlohy: č.1258(c), č.1248

V tomto článku sa podrobne pozrieme na základné pravidlá takej dôležitej témy v kurze matematiky, ako je otváranie zátvoriek. Aby ste správne vyriešili rovnice, v ktorých sa používajú, musíte poznať pravidlá otvárania zátvoriek.

Ako správne otvárať zátvorky pri pridávaní

Rozbaľte zátvorky, pred ktorými je znak „+“.

Toto je najjednoduchší prípad, pretože ak je pred zátvorkami znak pridávania, znaky v nich sa pri otvorení zátvoriek nemenia. Príklad:

(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.

Ako rozbaliť zátvorky, pred ktorými je znak „-“.

V tomto prípade musíte prepísať všetky výrazy bez zátvoriek, ale zároveň zmeniť všetky znamienka v nich na opačné. Značky sa menia len pre výrazy z tých zátvoriek, ktorým predchádzal znak „-“. Príklad:

(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.

Ako otvárať zátvorky pri násobení

Pred zátvorkami je číslo násobiteľa

V tomto prípade musíte vynásobiť každý výraz koeficientom a otvoriť zátvorky bez zmeny značiek. Ak má násobiteľ znamienko „-“, počas násobenia sa znamienka výrazov obrátia. Príklad:

3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.

Ako otvoriť dve zátvorky so znamienkom násobenia medzi nimi

V tomto prípade musíte vynásobiť každý výraz z prvých zátvoriek každým výrazom z druhých zátvoriek a potom pridať výsledky. Príklad:

(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.

Ako otvoriť zátvorky v štvorci

Ak je súčet alebo rozdiel dvoch výrazov na druhú, zátvorky by sa mali otvárať podľa nasledujúceho vzorca:

(x + y)^2 = x^2 + 2 * x * y + y^2.

V prípade mínusu v zátvorkách sa vzorec nemení. Príklad:

(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.

Ako rozšíriť zátvorky na iný stupeň

Ak sa súčet alebo rozdiel členov zvýši napríklad na 3. alebo 4. mocninu, potom stačí rozdeliť mocninu zátvorky na „štvorce“. Sčítajú sa mocniny identických faktorov a pri delení sa mocnina deliteľa odpočítava od mocniny dividendy. Príklad:

(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.

Ako otvoriť 3 zátvorky

Existujú rovnice, v ktorých sú 3 zátvorky naraz vynásobené. V tomto prípade musíte najskôr vynásobiť členy prvých dvoch zátvoriek dohromady a potom vynásobiť súčet tohto násobenia členmi tretej zátvorky. Príklad:

(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.

Tieto pravidlá otvárania zátvoriek platia rovnako pre riešenie lineárnych aj goniometrických rovníc.

Hlavnou funkciou zátvoriek je zmeniť poradie akcií pri výpočte hodnôt. Napríklad, v číselnom vyjadrení \(5·3+7\) sa najskôr vypočíta násobenie a potom sčítanie: \(5·3+7 =15+7=22\). Ale vo výraze \(5·(3+7)\) sa najskôr vypočíta sčítanie v zátvorkách a až potom násobenie: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Príklad. Rozbaľte zátvorku: \(-(4m+3)\).
Riešenie : \(-(4m+3)=-4m-3\).

Príklad. Otvorte zátvorku a zadajte podobné výrazy \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Riešenie : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Príklad. Rozbaľte zátvorky \(5(3-x)\).
Riešenie : V zátvorke máme \(3\) a \(-x\) a pred zátvorkou je päťka. To znamená, že každý člen zátvorky sa vynásobí \(5\) - to vám pripomínam Znamienko násobenia medzi číslom a zátvorkou sa v matematike nepíše, aby sa zmenšila veľkosť položiek.

Príklad. Rozbaľte zátvorky \(-2(-3x+5)\).
Riešenie : Rovnako ako v predchádzajúcom príklade sú \(-3x\) a \(5\) v zátvorkách vynásobené \(-2\).

Príklad. Zjednodušte výraz: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Riešenie : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Zostáva zvážiť poslednú situáciu.

Pri násobení zátvorky zátvorkou sa každý člen prvej zátvorky vynásobí každým členom druhej zátvorky:

\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)

Príklad. Rozbaľte zátvorky \((2-x)(3x-1)\).
Riešenie : Máme produkt zátvoriek a možno ho okamžite odhaliť pomocou vyššie uvedeného vzorca. Ale aby sme sa nemýlili, urobme všetko krok za krokom.
Krok 1. Odstráňte prvú zátvorku - vynásobte každý jej výraz druhou zátvorkou:

Krok 2. Rozbaľte súčin zátvoriek a faktor, ako je popísané vyššie:
- Najprv veci...

Potom druhý.

Krok 3. Teraz vynásobíme a predstavíme podobné výrazy:

Nie je potrebné popisovať všetky premeny tak podrobne, môžete ich hneď znásobiť. Ale ak sa práve učíte otvárať zátvorky, píšte podrobne, bude menšia šanca robiť chyby.

Poznámka k celej sekcii. V skutočnosti si nemusíte pamätať všetky štyri pravidlá, stačí si zapamätať jedno, toto: \(c(a-b)=ca-cb\) . prečo? Pretože ak namiesto c dosadíte jedno, dostanete pravidlo \((a-b)=a-b\) . A ak dosadíme mínus jedna, dostaneme pravidlo \(-(a-b)=-a+b\) . No, ak nahradíte inú zátvorku namiesto c, môžete získať posledné pravidlo.

Zátvorka v zátvorke

Niekedy sa v praxi vyskytujú problémy so zátvorkami vnorenými do iných zátvoriek. Tu je príklad takejto úlohy: zjednodušte výraz \(7x+2(5-(3x+y))\).

Na úspešné vyriešenie takýchto úloh potrebujete:
- pozorne porozumieť vnoreniu zátvoriek - ktorá je v ktorej;
- postupne otvárajte zátvorky, začnite napríklad najvnútornejším.

Je to dôležité pri otváraní jednej zo zátvoriek nedotýkajte sa zvyšku výrazu, len to prepíšem tak, ako je.
Pozrime sa ako príklad na vyššie napísanú úlohu.

Príklad. Otvorte zátvorky a zadajte podobné výrazy \(7x+2(5-(3x+y))\).
Riešenie:

Príklad. Otvorte zátvorky a zadajte podobné výrazy \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Riešenie :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		Je tu trojité vnorenie zátvoriek. Začnime tým najvnútornejším (zvýrazneným zelenou farbou). Pred držiakom je plus, takže sa jednoducho zíde.
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		Teraz musíte otvoriť druhú konzolu, strednú. Predtým však zjednodušíme vyjadrenie výrazov podobných duchom v tejto druhej zátvorke.
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		Teraz otvoríme druhú zátvorku (zvýraznenú modrou farbou). Pred zátvorkou je faktor - takže každý výraz v zátvorke sa ním vynásobí.
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		A otvorte poslednú zátvorku. Pred zátvorkou je znamienko mínus, takže všetky znamienka sú obrátené.

Rozšírenie zátvoriek je základná zručnosť v matematike. Bez tejto zručnosti nie je možné mať známku nad C v 8. a 9. ročníku. Preto vám odporúčam, aby ste tejto téme dobre porozumeli.

Pokračujem v sérii metodických článkov na tému vyučovania. Je čas zvážiť vlastnosti individuálnej práce učiteľ matematiky pre žiakov 7. ročníka. S veľkým potešením sa podelím o svoje myšlienky o formách prezentácie jednej z najdôležitejších tém v kurze algebry 7. ročníka - „zátvorky“. Aby sme sa nepokúšali uchopiť tú nesmiernosť, zastavme sa v jej počiatočnom štádiu a analyzujme tútorskú metódu práce s násobením polynómu polynómom. Ako učiteľ matematiky koná v ťažkých situáciách, keď slabý študent neprijíma klasickú formu vysvetlenia? Aké úlohy by si mal pripraviť silný siedmak? Pozrime sa na tieto a ďalšie otázky.

Zdalo by sa, čo je na tom také zložité? „Zátvorky sú také ľahké ako lúskanie hrušiek,“ povie každý vynikajúci študent. „Existuje zákon o rozdelení a vlastnosti mocnín pre prácu s monočlánkami, všeobecný algoritmus pre ľubovoľný počet výrazov. Vynásobte každý každým a prineste podobné.“ Pri práci s oneskorencami však nie je všetko také jednoduché. Napriek úsiliu učiteľa matematiky sa študentom darí robiť chyby všetkých veľkostí aj v tých najjednoduchších transformáciách. Povaha chýb je pozoruhodná svojou rozmanitosťou: od malých vynechaní písmen a znakov až po vážne slepé „chyby“.

Čo bráni študentovi správne dokončiť premeny? Prečo je možné nedorozumenie?

Existuje veľké množstvo individuálnych problémov a jednou z hlavných prekážok asimilácie a konsolidácie materiálu je problém včasného a rýchleho prepínania pozornosti, ťažkosti so spracovaním veľkého množstva informácií. Niekomu sa môže zdať zvláštne, že hovorím o veľkom objeme, ale slabému žiakovi 7. ročníka nemusí stačiť pamäť a pozornosť ani na štyri semestre. Koeficienty, premenné, stupne (ukazovatele) interferujú. Žiak si pomýli poradie operácií, zabudne, ktoré monomiály už boli znásobené a ktoré zostali nedotknuté, nevie si spomenúť, ako sú násobené atď.

Numerický prístup pre tútora matematiky

Samozrejme, musíte začať s vysvetlením logiky konštrukcie samotného algoritmu. Ako na to? Musíme nastoliť problém: ako zmeniť poradie akcií vo výraze aby sa výsledok nezmenil? Pomerne často uvádzam príklady, ktoré vysvetľujú, ako fungujú určité pravidlá pomocou konkrétnych čísel. A až potom ich nahrádzam písmenami. Technika použitia numerického prístupu bude opísaná nižšie.

Problémy s motiváciou.
Na začiatku hodiny je pre učiteľa matematiky ťažké zhromaždiť študenta, ak nerozumie relevantnosti toho, čo sa študuje. V učebných osnovách pre ročníky 6–7 je ťažké nájsť príklady použitia pravidla na násobenie polynómov. Zdôraznil by som potrebu učiť sa zmeniť poradie akcií vo výrazochŠtudent by mal vedieť, že to pomáha riešiť problémy zo skúseností pri pridávaní podobných pojmov. Pri riešení rovníc ich musel sčítať. Napríklad v 2x+5x+13=34 použije 2x+5x=7x. Doučovateľ matematiky na to jednoducho potrebuje zamerať pozornosť študenta.

Učitelia matematiky často označujú techniku ​​otvárania zátvoriek ako pravidlo „fontána“..

Tento obrázok je dobre zapamätateľný a určite by sa mal použiť. Ako sa však toto pravidlo dokazuje? Pripomeňme si klasickú formu, ktorá využíva zrejmé transformácie identity:

(a+b)(c+d)=(a+b) c+(a+b) d=ac+bc+ad+bd

Pre učiteľa matematiky je ťažké tu niečo komentovať. Listy hovoria samé za seba. A silný žiak 7. ročníka nepotrebuje podrobné vysvetlenia. Čo však robiť so slabým, ktorý v tejto „doslovnej spleti“ nevidí žiadny obsah?

Hlavným problémom, ktorý zasahuje do vnímania klasického matematického zdôvodnenia „fontány“ je nezvyčajná forma zápisu prvého faktora. Ani v 5. ročníku, ani v 6. ročníku nemusel žiak ťahať prvú zátvorku do každého termínu druhého. Deti sa zaoberali iba číslami (koeficientmi), najčastejšie umiestnenými naľavo od zátvoriek, napr.

Žiak si na konci 6. ročníka vytvoril vizuálny obraz predmetu – určitú kombináciu znakov (činov) spojených so zátvorkami. A každá odchýlka od zaužívaného pohľadu smerom k niečomu novému môže siedmaka dezorientovať. Je to vizuálny obraz dvojice „číslo + zátvorka“, ktorý učiteľ matematiky používa pri vysvetľovaní.

Je možné ponúknuť nasledujúce vysvetlenie. Lektor to zdôvodňuje: „Ak by bolo pred zátvorkou nejaké číslo, napríklad 5, tak by sme mohli zmeniť postup v tomto výraze? určite. Tak poďme na to . Zamyslite sa nad tým, či sa jeho výsledok zmení, ak namiesto čísla 5 zadáme súčet 2+3 v zátvorke? Každý študent povie tútorovi: "Aký je rozdiel v tom, ako píšeš: 5 alebo 2+3." úžasné. Dostanete záznam. Učiteľ matematiky si urobí krátku prestávku, aby si študent vizuálne zapamätal obrázok-obrázok predmetu. Potom upriami pozornosť na skutočnosť, že zátvorka, podobne ako číslo, „rozdelila“ alebo „preskočila“ ku každému termínu. čo to znamená? To znamená, že túto operáciu možno vykonať nielen s číslom, ale aj so zátvorkou. Máme dva páry faktorov a . Väčšina študentov si s nimi ľahko poradí sama a výsledok napíše tútorovi. Je dôležité porovnať výsledné dvojice s obsahom zátvoriek 2+3 a 6+4 a bude jasné, ako sa otvárajú.

Ak je to potrebné, učiteľ matematiky po príklade s číslami vykoná listový dôkaz. Ukázalo sa, že ide o prechádzku rovnakými časťami predchádzajúceho algoritmu.

Formovanie zručnosti otvárania zátvoriek

Formovanie zručnosti násobenia zátvoriek je jednou z najdôležitejších fáz práce učiteľa matematiky s témou. A ešte dôležitejšie ako štádium vysvetľovania logiky pravidla „fontány“. prečo? Zdôvodnenie zmien bude zabudnuté hneď na druhý deň, ale zručnosť, ak sa vytvorí a upevní včas, zostane. Žiaci vykonajú operáciu mechanicky, akoby si z pamäte vytiahli násobilku. Toto je potrebné dosiahnuť. prečo? Ak si pri každom otvorení zátvorky žiak spomenie, prečo sa otvára práve takto a nie inak, zabudne na problém, ktorý rieši. Preto učiteľ matematiky venuje zostávajúci čas hodiny transformácii porozumenia na memorovanie naspamäť. Táto stratégia sa často používa v iných témach.

Ako môže tútor rozvíjať u študenta zručnosť otvárania zátvoriek? K tomu musí žiak 7. ročníka absolvovať množstvo cvičení v dostatočnom množstve na upevnenie. To vyvoláva ďalší problém. Slabý siedmak nezvláda zvýšený počet premien. Aj malé. A chyby padajú jedna za druhou. Čo by mal robiť učiteľ matematiky? Po prvé, odporúča sa nakresliť šípky od každého výrazu ku každému. Ak je študent veľmi slabý a nie je schopný rýchlo prejsť z jedného typu práce na druhý, alebo stráca koncentráciu pri vykonávaní jednoduchých príkazov od učiteľa, potom tieto šípky kreslí sám učiteľ matematiky. A nie všetko naraz. Najprv učiteľ spojí prvý výraz v ľavej zátvorke s každým výrazom v pravej zátvorke a požiada ich, aby vykonali zodpovedajúce násobenie. Až potom sú šípky nasmerované z druhého výrazu do rovnakej pravej zátvorky. Inými slovami, tútor rozdeľuje proces na dve fázy. Medzi prvou a druhou operáciou je lepšie dodržať krátku pauzu (5-7 sekúnd).

1) Jedna sada šípok by mala byť nakreslená nad výrazmi a druhá pod nimi.
2) Je dôležité aspoň preskakovať medzi riadkami pár buniek. V opačnom prípade bude záznam veľmi hustý a šípky nielenže vylezú na predchádzajúci riadok, ale budú sa miešať aj so šípkami z nasledujúceho cvičenia.

3) V prípade násobenia zátvoriek vo formáte 3 x 2 sa šípky ťahajú od krátkej zátvorky k dlhej. V opačnom prípade nebudú tieto „fontány“ dve, ale tri. Implementácia tretieho je citeľne komplikovanejšia kvôli nedostatku voľného miesta pre šípky.
4) šípky vždy smerujú z toho istého bodu. Jeden z mojich študentov sa ich snažil postaviť vedľa seba a prišiel s týmto:

Toto usporiadanie neumožňuje vybrať a zaznamenať aktuálny termín, s ktorým študent v jednotlivých etapách pracuje.

Práca učiteľa prstom

4) Aby sa udržala pozornosť na samostatnom páre násobených výrazov, učiteľ matematiky na ne položí dva prsty. Musí to byť vykonané tak, aby nebránilo študentovi vo výhľade. Pre najnepozornejších študentov môžete použiť metódu „pulzácie“. Učiteľ matematiky umiestni prvý prst na začiatok šípky (k jednému z výrazov) a zafixuje ho a druhý „klope“ na jej koniec (do druhého termínu). Ripple pomáha sústrediť pozornosť na pojem, ktorým študent násobí. Po dokončení prvého násobenia pravou zátvorkou učiteľ matematiky povie: „Teraz pracujeme s druhým pojmom.“ Lektor k nemu posunie „pevný prst“ a „pulzujúcim“ prstom prejde po výrazoch z druhej zátvorky. Pulzácia funguje ako „smerovka“ v aute a umožňuje vám sústrediť pozornosť neprítomného študenta na operáciu, ktorú vykonáva. Ak dieťa píše malé, potom sa namiesto prstov použijú dve ceruzky.

Optimalizácia opakovania

Ako pri štúdiu akejkoľvek inej témy v kurze algebry, násobiace polynómy môžu a mali by byť integrované s predtým preberaným materiálom. Doučovateľ matematiky na to používa špeciálne mostové úlohy, ktoré vám umožnia nájsť uplatnenie toho, čo študujete, v rôznych matematických objektoch. Nielenže spájajú témy do jedného celku, ale veľmi efektívne organizujú opakovanie celého kurzu matematiky. A čím viac mostov tútor postaví, tým lepšie.

Učebnice algebry pre siedmy ročník tradične integrujú úvodné zátvorky s riešením lineárnych rovníc. Na konci zoznamu čísel sú vždy úlohy v poradí: vyriešte rovnicu. Pri otváraní zátvoriek sa štvorce zmenšia a rovnica sa jednoducho vyrieši pomocou nástrojov 7. ročníka. Na zostrojenie grafu lineárnej funkcie však autori učebníc z nejakého dôvodu pohodlne zabúdajú. Na nápravu tohto nedostatku by som učiteľom matematiky poradil, aby napríklad do analytických vyjadrení lineárnych funkcií zahrnuli zátvorky. V takýchto cvičeniach si študent nielen trénuje zručnosti vykonávania identických transformácií, ale aj opakuje grafy. Môžete požiadať o nájdenie priesečníka dvoch „príšer“, určiť vzájomnú polohu čiar, nájsť body ich priesečníka s osami atď.

Kolpakov A.N. Doučovateľ matematiky v Strogine. Moskva

V tomto videu budeme analyzovať celý súbor lineárnych rovníc, ktoré sú riešené pomocou rovnakého algoritmu - preto sa nazývajú najjednoduchšie.

Najprv si definujme: čo je lineárna rovnica a ktorá sa nazýva najjednoduchšia?

Lineárna rovnica je taká, v ktorej existuje iba jedna premenná a iba do prvého stupňa.

Najjednoduchšia rovnica znamená konštrukciu:

Všetky ostatné lineárne rovnice sú redukované na najjednoduchšie pomocou algoritmu:

1. Rozbaľte zátvorky, ak existujú;
2. Presuňte výrazy obsahujúce premennú na jednu stranu znamienka rovnosti a výrazy bez premennej na druhú;
3. Uveďte podobné výrazy vľavo a vpravo od znamienka rovnosti;
4. Výslednú rovnicu vydeľte koeficientom premennej $x$.

Samozrejme, tento algoritmus nie vždy pomáha. Faktom je, že niekedy po všetkých týchto machináciách sa koeficient premennej $ x $ rovná nule. V tomto prípade sú možné dve možnosti:

1. Rovnica nemá vôbec žiadne riešenia. Keď napríklad vyjde niečo ako $0\cdot x=8$, t.j. vľavo je nula a vpravo je číslo iné ako nula. Vo videu nižšie sa pozrieme na niekoľko dôvodov, prečo je táto situácia možná.
2. Riešením sú všetky čísla. Jediný prípad, kedy je to možné, je, keď bola rovnica zredukovaná na konštrukciu $0\cdot x=0$. Je celkom logické, že bez ohľadu na to, aké $x$ dosadíme, stále to vyjde „nula sa rovná nule“, t.j. správna číselná rovnosť.

Teraz sa pozrime, ako to všetko funguje na príkladoch zo skutočného života.

Príklady riešenia rovníc

Dnes sa zaoberáme lineárnymi rovnicami, a to len tými najjednoduchšími. Vo všeobecnosti lineárna rovnica znamená akúkoľvek rovnosť, ktorá obsahuje práve jednu premennú a ide len do prvého stupňa.

Takéto konštrukcie sú riešené približne rovnakým spôsobom:

1. Najprv musíte rozbaliť zátvorky, ak nejaké existujú (ako v našom poslednom príklade);
2. Potom skombinujte podobné
3. Nakoniec izolujte premennú, t.j. presunúť všetko, čo je spojené s premennou – pojmy, v ktorých je obsiahnutá – na jednu stranu a všetko, čo zostane bez nej, presunúť na druhú stranu.

Potom spravidla musíte priniesť podobné na každú stranu výslednej rovnosti a potom už zostáva len deliť koeficientom „x“ a dostaneme konečnú odpoveď.

Teoreticky to vyzerá pekne a jednoducho, ale v praxi môžu aj skúsení stredoškoláci robiť útočné chyby v celkom jednoduchých lineárnych rovniciach. Chyby sa zvyčajne robia buď pri otváraní zátvoriek alebo pri výpočte „plusov“ a „mínusov“.

Okrem toho sa stáva, že lineárna rovnica nemá vôbec žiadne riešenia, alebo že riešením je celá číselná os, t.j. ľubovoľné číslo. Na tieto jemnosti sa pozrieme v dnešnej lekcii. Ale začneme, ako ste už pochopili, s najjednoduchšími úlohami.

Schéma riešenia jednoduchých lineárnych rovníc

Najprv mi dovoľte ešte raz napísať celú schému riešenia najjednoduchších lineárnych rovníc:

1. Rozbaľte zátvorky, ak existujú.
2. Izolujeme premenné, t.j. Všetko, čo obsahuje „X“ presunieme na jednu stranu a všetko bez „X“ na druhú stranu.
3. Uvádzame podobné pojmy.
4. Všetko vydelíme koeficientom „x“.

Samozrejme, táto schéma nie vždy funguje, sú v nej určité jemnosti a triky a teraz ich spoznáme.

Riešenie reálnych príkladov jednoduchých lineárnych rovníc

Úloha č.1

Prvý krok vyžaduje, aby sme otvorili zátvorky. Ale nie sú v tomto príklade, takže tento krok preskočíme. V druhom kroku musíme izolovať premenné. Pozor: hovoríme len o jednotlivých termínoch. Poďme si to zapísať:

Podobné výrazy uvádzame vľavo a vpravo, ale to tu už bolo urobené. Preto prejdeme na štvrtý krok: delenie koeficientom:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Tak sme dostali odpoveď.

Úloha č.2

V tomto probléme vidíme zátvorky, tak ich rozviňme:

Naľavo aj napravo vidíme približne rovnaký dizajn, ale konajme podľa algoritmu, t.j. oddelenie premenných:

Tu sú niektoré podobné:

Na akých koreňoch to funguje? Odpoveď: pre akékoľvek. Preto môžeme napísať, že $x$ je ľubovoľné číslo.

Úloha č.3

Zaujímavejšia je tretia lineárna rovnica:

\[\vľavo(6-x \vpravo)+\vľavo(12+x \vpravo)-\vľavo(3-2x \vpravo)=15\]

Zátvoriek je tu niekoľko, ale nie sú ničím násobené, jednoducho sú pred nimi rôzne znamienka. Poďme si ich rozobrať:

Vykonávame druhý krok, ktorý je nám známy:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Poďme si to spočítať:

Vykonáme posledný krok - všetko vydelíme koeficientom „x“:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Na čo treba pamätať pri riešení lineárnych rovníc

Ak ignorujeme príliš jednoduché úlohy, rád by som povedal nasledovné:

• Ako som povedal vyššie, nie každá lineárna rovnica má riešenie - niekedy jednoducho neexistujú žiadne korene;
• Aj keď sú korene, môže byť medzi nimi nula – na tom nie je nič zlé.

Nula je rovnaké číslo ako ostatné, nemali by ste ho nijako diskriminovať ani predpokladať, že ak dostanete nulu, urobili ste niečo zle.

Ďalšia funkcia súvisí s otváraním zátvoriek. Upozornenie: keď je pred nimi „mínus“, odstránime ho, ale v zátvorkách zmeníme znamienka na opak. A potom ho môžeme otvoriť pomocou štandardných algoritmov: dostaneme to, čo sme videli vo výpočtoch vyššie.

Pochopenie tohto jednoduchého faktu vám pomôže vyhnúť sa hlúpym a zraňujúcim chybám na strednej škole, keď sa takéto veci považujú za samozrejmosť.

Riešenie zložitých lineárnych rovníc

Prejdime k zložitejším rovniciam. Teraz budú konštrukcie zložitejšie a pri rôznych transformáciách sa objaví kvadratická funkcia. Nemali by sme sa toho však báť, pretože ak podľa plánu autora riešime lineárnu rovnicu, potom sa počas transformačného procesu určite zrušia všetky monomály obsahujúce kvadratickú funkciu.

Príklad č.1

Je zrejmé, že prvým krokom je otvorenie zátvoriek. Urobme to veľmi opatrne:

Teraz sa pozrime na súkromie:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Tu sú niektoré podobné:

Je zrejmé, že táto rovnica nemá žiadne riešenia, takže to napíšeme do odpovede:

\[\varnothing\]

alebo tam nie sú korene.

Príklad č.2

Vykonávame rovnaké akcie. Prvý krok:

Presuňme všetko s premennou doľava a bez nej - doprava:

Tu sú niektoré podobné:

Je zrejmé, že táto lineárna rovnica nemá riešenie, takže ju napíšeme takto:

\[\varnothing\],

alebo tam nie sú korene.

Nuansy riešenia

Obe rovnice sú úplne vyriešené. Na príklade týchto dvoch výrazov sme sa opäť presvedčili, že ani v najjednoduchších lineárnych rovniciach nemusí byť všetko také jednoduché: môže byť buď jeden, alebo žiadny, alebo nekonečne veľa koreňov. V našom prípade sme zvažovali dve rovnice, obe jednoducho nemajú korene.

Chcel by som vás však upozorniť na inú skutočnosť: ako pracovať so zátvorkami a ako ich otvárať, ak je pred nimi znamienko mínus. Zvážte tento výraz:

Pred otvorením musíte všetko vynásobiť „X“. Poznámka: násobí sa každý jednotlivý termín. Vo vnútri sú dva termíny – respektíve dva termíny a násobené.

A až po dokončení týchto zdanlivo elementárnych, no veľmi dôležitých a nebezpečných premien, môžete zátvorku otvárať z pohľadu toho, že je za ňou znamienko mínus. Áno, áno: až teraz, keď sú transformácie dokončené, si pamätáme, že pred zátvorkami je znamienko mínus, čo znamená, že všetko nižšie jednoducho mení znamienka. Zároveň zmiznú samotné zátvorky a čo je najdôležitejšie, zmizne aj predné „mínus“.

To isté urobíme s druhou rovnicou:

Nie náhodou venujem pozornosť týmto malým, zdanlivo bezvýznamným skutočnostiam. Pretože riešenie rovníc je vždy sled elementárnych transformácií, kde neschopnosť jasne a kompetentne vykonávať jednoduché úkony vedie k tomu, že za mnou chodia stredoškoláci a opäť sa učia riešiť takéto jednoduché rovnice.

Samozrejme, príde deň, keď tieto zručnosti vycibríte až do automatizácie. Už nebudete musieť zakaždým vykonávať toľko transformácií, všetko budete písať na jeden riadok. Ale kým sa len učíte, musíte si každú akciu napísať samostatne.

Riešenie aj zložitejších lineárnych rovníc

To, čo teraz vyriešime, možno len ťažko nazvať najjednoduchšou úlohou, no význam zostáva rovnaký.

Úloha č.1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Vynásobme všetky prvky v prvej časti:

Urobme si trochu súkromia:

Tu sú niektoré podobné:

Dokončime posledný krok:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Tu je naša konečná odpoveď. A napriek tomu, že v procese riešenia sme mali koeficienty s kvadratickou funkciou, navzájom sa rušili, čím je rovnica lineárna a nie kvadratická.

Úloha č.2

\[\vľavo(1-4x \vpravo)\vľavo(1-3x \vpravo)=6x\vľavo(2x-1 \vpravo)\]

Opatrne vykonajte prvý krok: vynásobte každý prvok z prvej zátvorky každým prvkom z druhej. Po transformáciách by mali byť celkom štyri nové termíny:

Teraz opatrne vykonajte násobenie v každom výraze:

Presuňme výrazy s „X“ doľava a výrazy bez – doprava:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Tu sú podobné výrazy:

Opäť sme dostali konečnú odpoveď.

Nuansy riešenia

Najdôležitejšia poznámka o týchto dvoch rovniciach je nasledujúca: akonáhle začneme násobiť zátvorky, ktoré obsahujú viac ako jeden člen, robíme to podľa nasledujúceho pravidla: vezmeme prvý člen z prvého a násobíme každým prvkom z druhý; potom vezmeme druhý prvok z prvého a podobne vynásobíme každým prvkom z druhého. V dôsledku toho budeme mať štyri volebné obdobia.

O algebraickom súčte

Týmto posledným príkladom by som chcel študentom pripomenúť, čo je to algebraický súčet. V klasickej matematike pod pojmom $1-7$ rozumieme jednoduchú konštrukciu: odpočítajte sedem od jednej. V algebre tým myslíme nasledovné: k číslu „jedna“ pridáme ďalšie číslo, a to „mínus sedem“. Týmto sa algebraický súčet líši od obyčajného aritmetického súčtu.

Akonáhle pri vykonávaní všetkých transformácií, každého sčítania a násobenia, začnete vidieť konštrukcie podobné tým, ktoré sú popísané vyššie, jednoducho nebudete mať problémy v algebre pri práci s polynómami a rovnicami.

Nakoniec sa pozrime na niekoľko ďalších príkladov, ktoré budú ešte zložitejšie ako tie, na ktoré sme sa práve pozreli, a na ich vyriešenie budeme musieť mierne rozšíriť náš štandardný algoritmus.

Riešenie rovníc so zlomkami

Na vyriešenie takýchto úloh budeme musieť do nášho algoritmu pridať ešte jeden krok. Najprv mi však dovoľte pripomenúť náš algoritmus:

1. Otvorte zátvorky.
2. Samostatné premenné.
3. Prineste si podobné.
4. Vydeliť pomerom.

Bohužiaľ, tento úžasný algoritmus sa pri všetkej svojej účinnosti ukazuje ako nie úplne vhodný, keď máme pred sebou zlomky. A v tom, čo uvidíme nižšie, máme zlomok vľavo aj vpravo v oboch rovniciach.

Ako v tomto prípade pracovať? Áno, je to veľmi jednoduché! Aby ste to dosiahli, musíte do algoritmu pridať ešte jeden krok, ktorý je možné vykonať pred aj po prvej akcii, konkrétne zbaviť sa zlomkov. Algoritmus bude teda nasledujúci:

1. Zbavte sa zlomkov.
2. Otvorte zátvorky.
3. Samostatné premenné.
4. Prineste si podobné.
5. Vydeliť pomerom.

Čo to znamená „zbaviť sa zlomkov“? A prečo sa to dá urobiť aj po, aj pred prvým štandardným krokom? V skutočnosti sú v našom prípade všetky zlomky vo svojom menovateli číselné, t.j. Všade je menovateľom len číslo. Ak teda vynásobíme obe strany rovnice týmto číslom, zbavíme sa zlomkov.

Príklad č.1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Zbavme sa zlomkov v tejto rovnici:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Pozor: všetko sa násobí „štyri“ raz, t.j. to, že máte dve zátvorky, neznamená, že musíte každú z nich vynásobiť „štyri“. Zapíšme si:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Teraz rozšírime:

Vylúčime premennú:

Vykonávame redukciu podobných výrazov:

\[-4x=-1\vľavo| :\vľavo(-4 \vpravo) \vpravo.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Dostali sme konečné riešenie, prejdime k druhej rovnici.

Príklad č.2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Tu vykonávame všetky rovnaké akcie:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problém je vyriešený.

To je vlastne všetko, čo som vám dnes chcel povedať.

Kľúčové body

Kľúčové zistenia sú:

• Poznať algoritmus na riešenie lineárnych rovníc.
• Možnosť otvárania zátvoriek.
• Nerobte si starosti, ak máte niekde kvadratické funkcie, s najväčšou pravdepodobnosťou sa znížia v procese ďalších transformácií.
• V lineárnych rovniciach existujú tri typy koreňov, dokonca aj tie najjednoduchšie: jeden jediný koreň, celá číselná os je koreň a žiadne korene.

Dúfam, že vám táto lekcia pomôže zvládnuť jednoduchú, no veľmi dôležitú tému pre ďalšie pochopenie celej matematiky. Ak niečo nie je jasné, prejdite na stránku a vyriešte príklady, ktoré sú tam uvedené. Zostaňte naladení, čaká na vás ešte veľa zaujímavých vecí!