Prevod číselných goniometrických výrazov. Lekcia „Zjednodušenie goniometrických výrazov“

Video lekcia „Zjednodušenie goniometrických výrazov“ je určená na rozvoj zručností študentov pri riešení goniometrických problémov pomocou základných goniometrických identít. Počas video lekcie sa rozoberajú typy goniometrických identít a príklady riešenia problémov pomocou nich. Pomocou názorných pomôcok učiteľ ľahšie dosiahne ciele hodiny. Živá prezentácia materiálu pomáha zapamätať si dôležité body. Použitie animačných efektov a voice-over vám umožňuje úplne nahradiť učiteľa vo fáze vysvetľovania látky. Učiteľ teda využívaním tejto názornej pomôcky na hodinách matematiky môže zvýšiť efektivitu vyučovania.

Na začiatku video lekcie je oznámená jej téma. Potom si spomenieme na trigonometrické identity študované skôr. Na obrazovke sa zobrazia rovnosti sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t, kde t≠π/2+πk pre kϵZ, ctg t=cos t/sin t, správne pre t≠πk, kde kϵZ, tg t· ctg t=1, pre t≠πk/2, kde kϵZ sa nazývajú základné goniometrické identity. Je potrebné poznamenať, že tieto identity sa často používajú pri riešení problémov, kde je potrebné dokázať rovnosť alebo zjednodušiť výraz.

Nižšie uvažujeme o príkladoch použitia týchto identít pri riešení problémov. Najprv sa navrhuje zvážiť riešenie problémov so zjednodušením výrazov. V príklade 1 je potrebné zjednodušiť výraz cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t. Na vyriešenie príkladu najprv vyberte spoločný faktor cos 2 t zo zátvoriek. V dôsledku tejto transformácie v zátvorke dostaneme výraz 1- cos 2 t, ktorého hodnota z hlavnej identity trigonometrie sa rovná sin 2 t. Po transformácii výrazu je zrejmé, že zo zátvoriek je možné odstrániť ďalší spoločný faktor sin 2 t, po ktorom výraz nadobudne tvar sin 2 t (sin 2 t+cos 2 t). Z rovnakej základnej identity odvodíme hodnotu výrazu v zátvorkách rovnú 1. Výsledkom zjednodušenia je cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t.

V príklade 2 je potrebné zjednodušiť výraz cena/(1- sint)+ cena/(1+ sint). Keďže čitateľ oboch zlomkov obsahuje výraz náklady, môže byť vyňatý zo zátvoriek ako spoločný faktor. Potom sa zlomky v zátvorkách zredukujú na spoločného menovateľa vynásobením (1- sint) (1+ sint). Po uvedení podobných pojmov zostáva čitateľ 2 a menovateľ 1 - sin 2 t. Na pravej strane obrazovky sa zobrazí základná trigonometrická identita sin 2 t+cos 2 t=1. Pomocou neho nájdeme menovateľ zlomku cos 2 t. Po zmenšení zlomku získame zjednodušený tvar výrazu náklady/(1- sint)+ náklady/(1+ sint)=2/náklady.

Ďalej uvažujeme o príkladoch dôkazov identity, ktoré využívajú získané poznatky o základných identitách trigonometrie. V príklade 3 je potrebné preukázať totožnosť (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t. Na pravej strane obrazovky sa zobrazujú tri identity, ktoré budú potrebné na dôkaz - tg t·ctg t=1, ctg t=cos t/sin t a tg t=sin t/cos t s obmedzeniami. Na preukázanie identity sa najprv otvoria zátvorky, potom sa vytvorí súčin, ktorý odráža vyjadrenie hlavnej goniometrickej identity tg t·ctg t=1. Potom sa podľa identity z definície kotangens transformuje ctg 2 t. V dôsledku transformácií sa získa výraz 1-cos 2t. Pomocou hlavnej identity nájdeme význam výrazu. Je teda dokázané, že (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t.

V príklade 4 musíte nájsť hodnotu výrazu tg 2 t+ctg 2 t, ak tg t+ctg t=6. Na výpočet výrazu najprv odmocnite pravú a ľavú stranu rovnosti (tg t+ctg t) 2 =6 2. Skrátený vzorec násobenia sa vyvolá na pravej strane obrazovky. Po otvorení zátvoriek na ľavej strane výrazu vznikne súčet tg 2 t+2· tg t·ctg t+ctg 2 t, na transformáciu ktorého môžete použiť jednu z goniometrických identít tg t·ctg t=1 , ktorého forma je vyvolaná na pravej strane obrazovky. Po transformácii sa získa rovnosť tg2t+ctg2t=34. Ľavá strana rovnosti sa zhoduje s podmienkou úlohy, takže odpoveď je 34. Úloha je vyriešená.

Video lekcia „Zjednodušenie goniometrických výrazov“ sa odporúča použiť na tradičnej školskej hodine matematiky. Materiál bude užitočný aj pre učiteľov poskytujúcich dištančné vzdelávanie. S cieľom rozvíjať zručnosti pri riešení goniometrických problémov.

DEKODOVANIE TEXTU:

"Zjednodušenie trigonometrických výrazov."

Rovnosti

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (sínusová štvorec te plus kosínusová štvorcová te sa rovná jednej)

2)tgt =, pre t ≠ + πk, kϵZ (tangens te sa rovná pomeru sínusu te ku kosínusu te, pričom te sa nerovná pi o dve plus pi ka, ka patrí zet)

3)ctgt = , pre t ≠ πk, kϵZ (kotangens te sa rovná pomeru kosínusu te k sínusu te, pričom te sa nerovná pi ka, ka patrí zet).

4) tgt ∙ ctgt = 1 pre t ≠ , kϵZ (súčin dotyčnice te kotangens te sa rovná jednej, keď te sa nerovná vrcholu ka, delené dvomi, ka patrí k zet)

sa nazývajú základné goniometrické identity.

Často sa používajú pri zjednodušovaní a dokazovaní goniometrických výrazov.

Pozrime sa na príklady použitia týchto vzorcov na zjednodušenie goniometrických výrazov.

PRÍKLAD 1. Zjednodušte výraz: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (výraz kosínus na druhú te mínus kosínus štvrtého stupňa te plus sínus štvrtého stupňa te).

Riešenie. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t = cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) = hriech 2 t 1 = hriech 2 t

(vyberieme spoločný činiteľ kosínusová druhá mocnina te, v zátvorkách dostaneme rozdiel medzi jednotou a druhou mocninou kosínus te, ktorý sa rovná druhej mocnine sínus te podľa prvej identity. Získame súčet štvrtej mocniny sínus te súčin kosínus kvadrát te a sínus kvadrát te Spoločný činiteľ sínus kvadrát te vytiahneme mimo zátvorky, v zátvorkách dostaneme súčet druhých mocnín kosínusu a sínusu, ktorý sa podľa základnej goniometrickej identity rovná jednej. V dôsledku toho dostaneme druhú mocninu sínusu te).

PRÍKLAD 2. Zjednodušte výraz: + .

(výraz be je súčet dvoch zlomkov v čitateli prvého kosínusu te v menovateli jedna mínus sínus te, v čitateli druhého kosínusu te v menovateli druhého plus sínus te).

(Vyberme spoločný činiteľ kosínus te zo zátvoriek a v zátvorkách ho privedieme k spoločnému menovateľovi, ktorý je súčinom jedného mínus sínus te a jedného plus sínus te.

V čitateli dostaneme: jeden plus sine te plus jeden mínus sine te, uvádzame podobné, v čitateli sa po prinesení podobných rovná dvom.

V menovateli môžete použiť skrátený vzorec násobenia (rozdiel štvorcov) a získať rozdiel medzi jednotou a druhou mocninou sínusu te, ktorý podľa základnej goniometrickej identity

rovná druhej mocnine kosínusu te. Po zmenšení o kosínus te dostaneme konečnú odpoveď: dve delené kosínusom te).

Pozrime sa na príklady použitia týchto vzorcov pri dokazovaní goniometrických výrazov.

PRÍKLAD 3. Dokážte identitu (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = sin 2 t (súčin rozdielu druhých mocnín te a sínus te druhou mocninou kotangens te sa rovná štvorcu sine te).

Dôkaz.

Transformujme ľavú stranu rovnosti:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t =1 - sin 2 t - cos 2 t = hriech 2 t

(Otvorme zátvorky; z predtým získaného vzťahu je známe, že súčin druhých mocnín tangenty te kotangens te sa rovná jednej. Pripomeňme, že kotangens te sa rovná pomeru kosínusu te ku sínusu te, ktorý znamená, že druhá mocnina kotangens je pomer druhej mocniny kosínusu te a druhej mocniny sínusu te.

Po zmenšení o sínusovú druhú te dostaneme rozdiel medzi jednotkovou a kosínusovou kvadrátou te, ktorý sa rovná sínusovej kvadrát te). Q.E.D.

PRÍKLAD 4. Nájdite hodnotu výrazu tg 2 t + ctg 2 t, ak tgt + ctgt = 6.

(súčet druhých mocnín tangens te a kotangens te, ak súčet tangens a kotangens je šesť).

Riešenie. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36

tg2t + 2 + ctg2t = 36

tg2t + ctg2t = 36-2

tg2t + ctg2t = 34

Odmocnime obe strany pôvodnej rovnosti:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (druhá mocnina súčtu tangens te a kotangens te sa rovná šiestim na druhú). Pripomeňme si vzorec na skrátené násobenie: Druhá mocnina súčtu dvoch veličín sa rovná druhej mocnine prvej plus dvojnásobku súčinu prvej a druhej plus druhej mocniny druhej. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Dostaneme tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 (tangens na druhú te plus dvojnásobok súčinu tangens te a kotangens te plus kotangens na druhú mocninu te sa rovná tridsaťšesť).

Keďže súčin tangens te a kotangens te je rovný jednej, potom tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36 (súčet druhých mocnín tangens te a kotangens te a dva sa rovná tridsiatim šiestim),

Lekcia 1

Predmet: 11. ročník (príprava na jednotnú štátnu skúšku)

Zjednodušenie goniometrických výrazov.

Riešenie jednoduchých goniometrických rovníc. (2 hodiny)

ciele:

Systematizovať, zovšeobecňovať a rozširovať vedomosti a zručnosti študentov súvisiace s používaním trigonometrických vzorcov a riešením jednoduchých goniometrických rovníc.

Vybavenie na lekciu:

Štruktúra lekcie:

Organizačný moment
Testovanie na notebookoch. Diskusia o výsledkoch.
Zjednodušenie goniometrických výrazov
Riešenie jednoduchých goniometrických rovníc
Samostatná práca.
Zhrnutie lekcie. Vysvetlenie zadania domácej úlohy.

1. Organizačný moment. (2 min.)

Učiteľ pozdraví poslucháčov, oznámi tému hodiny, pripomenie, že predtým bola zadaná úloha zopakovať trigonometrické vzorce a pripraví žiakov na testovanie.

2. Testovanie. (15 min + 3 min diskusia)

Cieľom je preveriť znalosti goniometrických vzorcov a schopnosť ich aplikovať. Každý žiak má na stole notebook s verziou testu.

Môže existovať ľubovoľný počet možností, uvediem príklad jednej z nich:

I možnosť.

Zjednodušte výrazy:

a) základné trigonometrické identity

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) adičné vzorce

3. sin5x - sin3x;

c) prevod produktu na sumu

6. 2sin8y cos3y;

d) vzorce dvojitého uhla

7. 2sin5x cos5x;

e) vzorce pre polovičné uhly

e) vzorce pre trojité uhly

g) univerzálna substitúcia

h) zníženie stupňa

16. cos 2 (3x/7);

Študenti vidia svoje odpovede na notebooku vedľa každého vzorca.

Práca je okamžite kontrolovaná počítačom. Výsledky sa zobrazia na veľkej obrazovke pre všetkých.

Po dokončení práce sa správne odpovede zobrazia na notebookoch študentov. Každý žiak vidí, kde sa stala chyba a aké vzorce potrebuje zopakovať.

3. Zjednodušenie goniometrických výrazov. (25 min.)

Cieľom je zopakovať, precvičiť a upevniť používanie základných trigonometrických vzorcov. Riešenie problémov B7 z Jednotnej štátnej skúšky.

V tejto fáze je vhodné rozdeliť triedu na skupiny silných žiakov (pracujú samostatne s následným testovaním) a slabých žiakov, ktorí spolupracujú s učiteľom.

Zadanie pre silných študentov (pripravené vopred na tlačenom základe). Hlavný dôraz sa kladie na vzorce redukcie a dvojitého uhla podľa jednotnej štátnej skúšky 2011.

Zjednodušte výrazy (pre silných študentov):

Učiteľ zároveň pracuje so slabými žiakmi, diskutuje a rieši úlohy na obrazovke pod diktátom žiakov.

Vypočítať:

5) sin(270º - α) + cos (270º + α)

Zjednodušiť:

Nastal čas diskutovať o výsledkoch práce silnej skupiny.

Odpovede sa zobrazia na obrazovke a tiež pomocou videokamery sa zobrazia práce 5 rôznych študentov (pre každého jedna úloha).

Slabá skupina vidí stav a spôsob riešenia. Prebieha diskusia a analýza. S použitím technických prostriedkov sa to deje rýchlo.

4. Riešenie jednoduchých goniometrických rovníc. (30 min.)

Cieľom je zopakovať, systematizovať a zovšeobecniť riešenie najjednoduchších goniometrických rovníc a zapísať ich korene. Riešenie úlohy B3.

Akákoľvek goniometrická rovnica, bez ohľadu na to, ako ju vyriešime, vedie k najjednoduchšej.

Pri plnení úlohy by študenti mali venovať pozornosť písaniu koreňov rovníc špeciálnych prípadov a všeobecného tvaru a výberu koreňov v poslednej rovnici.

Riešte rovnice:

Zapíšte si najmenší kladný koreň ako odpoveď.

5. Samostatná práca (10 min.)

Cieľom je otestovať nadobudnuté zručnosti, identifikovať problémy, chyby a spôsoby ich odstránenia.

Viacúrovňová práca je ponúkaná podľa výberu študenta.

Možnosť "3"

1) Nájdite hodnotu výrazu

2) Zjednodušte výraz 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Vyriešte rovnicu

Možnosť pre "4"

1) Nájdite hodnotu výrazu

2) Vyriešte rovnicu Napíšte najmenší kladný koreň vo svojej odpovedi.

Možnosť pre "5"

1) Nájdite tanα, ak

2) Nájdite koreň rovnice Ako odpoveď zapíšte najmenší kladný koreň.

6. Zhrnutie lekcie (5 min.)

Učiteľ zhŕňa skutočnosť, že na hodine opakoval a upevňoval goniometrické vzorce a riešenie najjednoduchších goniometrických rovníc.

Domáca úloha sa zadáva (vopred vytlačená) s náhodnou kontrolou na nasledujúcej hodine.

Riešte rovnice:

10) Vo svojej odpovedi uveďte najmenší kladný koreň.

2. lekcia

Predmet: 11. ročník (príprava na jednotnú štátnu skúšku)

Metódy riešenia goniometrických rovníc. Výber koreňa. (2 hodiny)

ciele:

Zhrnúť a systematizovať poznatky o riešení goniometrických rovníc rôzne druhy.
Podporovať rozvoj matematického myslenia žiakov, schopnosť pozorovať, porovnávať, zovšeobecňovať a klasifikovať.
Povzbudzujte študentov, aby prekonávali ťažkosti v procese duševnej činnosti, aby sa ovládali a skúmali svoje činnosti.

Vybavenie na lekciu: KRMu, notebooky pre každého študenta.

Štruktúra lekcie:

Organizačný moment
Diskusia o d/z a sebe. práca z poslednej hodiny
Prehľad metód riešenia goniometrických rovníc.
Riešenie goniometrických rovníc
Výber koreňov v goniometrických rovniciach.
Samostatná práca.
Zhrnutie lekcie. Domáce úlohy.

1. Organizačný moment (2 min.)

Učiteľ pozdraví poslucháčov, oznámi tému hodiny a plán práce.

2. a) Rozbor domácej úlohy (5 min.)

Cieľom je skontrolovať realizáciu. Jedno dielo sa zobrazí na obrazovke pomocou videokamery, ostatné sa selektívne zhromažďujú na kontrolu učiteľom.

b) Analýza samostatnej práce (3 min.)

Cieľom je analyzovať chyby a naznačiť spôsoby, ako ich prekonať.

Odpovede a riešenia sú na obrazovke, študenti majú svoje práce vopred rozdané. Analýza prebieha rýchlo.

3. Prehľad metód riešenia goniometrických rovníc (5 min.)

Cieľom je pripomenúť si metódy riešenia goniometrických rovníc.

Opýtajte sa žiakov, aké metódy riešenia goniometrických rovníc poznajú. Zdôraznite, že existujú takzvané základné (často používané) metódy:

variabilná náhrada,
faktorizácia,
homogénne rovnice,

a tam sú použité metódy:

pomocou vzorcov na prevod sumy na súčin a súčinu na súčet,
podľa vzorcov na zníženie stupňa,
univerzálna trigonometrická substitúcia
zavedenie pomocného uhla,
násobenie nejakou goniometrickou funkciou.

Treba tiež pripomenúť, že jedna rovnica môže byť vyriešená rôznymi spôsobmi.

4. Riešenie goniometrických rovníc (30 min.)

Cieľom je zovšeobecniť a upevniť vedomosti a zručnosti na túto tému, pripraviť sa na riešenie C1 z Jednotnej štátnej skúšky.

Považujem za vhodné riešiť rovnice pre každú metódu spolu so študentmi.

Žiak nadiktuje riešenie, učiteľ ho zapíše na tablet a celý proces sa zobrazí na obrazovke. To vám umožní rýchlo a efektívne vyvolať v pamäti predtým preberaný materiál.

Riešte rovnice:

1) nahradenie premennej 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) faktorizácia 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) homogénne rovnice sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) prevod súčtu na súčin cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) prevod súčinu na súčet 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) zníženie stupňa sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x = 0,5

7) univerzálna trigonometrická substitúcia sinx + 5cosx + 5 = 0.

Pri riešení tejto rovnice je potrebné poznamenať, že použitie tejto metódy vedie k zúženiu rozsahu definície, pretože sínus a kosínus sú nahradené tg(x/2). Preto pred napísaním odpovede musíte skontrolovať, či čísla z množiny π + 2πn, n Z sú koňmi tejto rovnice.

8) zavedenie pomocného uhla √3sinx + cosx - √2 = 0

9) násobenie nejakou goniometrickou funkciou cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Výber koreňov goniometrických rovníc (20 min.)

Keďže v podmienkach tvrdej konkurencie pri nástupe na vysoké školy nestačí vyriešiť len prvú časť skúšky, väčšina študentov by mala venovať pozornosť úlohám druhej časti (C1, C2, C3).

Cieľom tejto fázy lekcie je preto zapamätať si preštudovanú látku a pripraviť sa na riešenie úlohy C1 z Jednotnej štátnej skúšky 2011.

Existujú trigonometrické rovnice, v ktorých musíte pri písaní odpovede vybrať korene. Je to spôsobené niektorými obmedzeniami, napríklad: menovateľ zlomku sa nerovná nule, výraz pod párnym koreňom je nezáporný, výraz pod znamienkom logaritmu je kladný atď.

Takéto rovnice sú považované za rovnice so zvýšenou zložitosťou a vo verzii Unified State Exam sa nachádzajú v druhej časti, konkrétne C1.

Vyriešte rovnicu:

Zlomok sa rovná nule, ak potom pomocou jednotkového kruhu vyberieme korene (pozri obrázok 1)

Obrázok 1

dostaneme x = π + 2πn, n Z

Odpoveď: π + 2πn, n Z

Na obrazovke je výber koreňov zobrazený v kruhu na farebnom obrázku.

Súčin sa rovná nule, keď sa aspoň jeden z faktorov rovná nule a oblúk nestráca svoj význam. Potom

Pomocou jednotkového kruhu vyberieme korene (pozri obrázok 2)