Možná pravdepodobnosť. Preč s neistotou alebo ako nájsť pravdepodobnosť

Pravdepodobnosť ukazuje možnosť konkrétnej udalosti pri určitom počte opakovaní. Je to počet možných výsledkov s jedným alebo viacerými výsledkami vydelený celkovým počtom možných udalostí. Pravdepodobnosť viacerých udalostí sa vypočíta tak, že sa problém rozdelí na jednotlivé pravdepodobnosti a tieto pravdepodobnosti sa potom vynásobia.

Kroky

Pravdepodobnosť jednej náhodnej udalosti

1. Vyberte udalosť so vzájomne sa vylučujúcimi výsledkami. Pravdepodobnosť je možné vypočítať len vtedy, ak daná udalosť nastane alebo nenastane. Nie je možné súčasne získať udalosť a jej opačný výsledok. Príklady takýchto udalostí sú hod 5 kockou alebo víťazstvo určitého koňa na pretekoch. Päť buď príde, alebo nie; určitý kôň buď príde prvý, alebo nie.

   • Napríklad nie je možné vypočítať pravdepodobnosť takejto udalosti: pri jednom hode kockou sa súčasne objaví 5 a 6.

2. Identifikujte všetky možné udalosti a výsledky, ktoré by mohli nastať. Predpokladajme, že potrebujete určiť pravdepodobnosť, že pri hode kockou so 6 číslami dostanete trojku. „Hodiť trojku“ je udalosť a keďže vieme, že je možné hodiť ktorékoľvek zo 6 čísel, počet možných výsledkov je šesť. Vieme teda, že v tomto prípade existuje 6 možných výsledkov a jedna udalosť, ktorej pravdepodobnosť chceme určiť. Nižšie sú uvedené ďalšie dva príklady.

   • Príklad 1. V tomto prípade je udalosťou „výber dňa, ktorý pripadá na víkend“ a počet možných výsledkov sa rovná počtu dní v týždni, teda siedmim.
   • Príklad 2. Udalosťou je „vytiahnuť červenú loptičku“ a počet možných výsledkov sa rovná celkovému počtu loptičiek, teda dvadsiatim.

3. Vydeľte počet udalostí počtom možných výsledkov. Týmto spôsobom určíte pravdepodobnosť jedinej udalosti. Ak vezmeme do úvahy prípad hodu kockou ako 3, počet udalostí je 1 (3 je len na jednej strane kocky) a celkový počet výsledkov je 6. Výsledkom je pomer 1/6, 0,166 alebo 16,6 %. Pravdepodobnosť udalosti pre dva vyššie uvedené príklady sa nachádza takto:

   • Príklad 1. Aká je pravdepodobnosť, že náhodne vyberiete deň, ktorý pripadá na víkend? Počet udalostí je 2, keďže v jednom týždni sú dva víkendy a celkový počet výsledkov je 7. Pravdepodobnosť je teda 2/7. Získaný výsledok možno zapísať aj ako 0,285 alebo 28,5 %.
   • Príklad 2. Krabička obsahuje 4 modré, 5 červených a 11 bielych loptičiek. Ak vyberiete náhodnú loptičku z krabice, aká je pravdepodobnosť, že bude červená? Počet udalostí je 5, pretože v poli je 5 červených guličiek a celkový počet výsledkov je 20. Nájdeme pravdepodobnosť: 5/20 = 1/4. Získaný výsledok možno zapísať aj ako 0,25 alebo 25 %.

4. Spočítajte pravdepodobnosti všetkých možných udalostí a zistite, či súčet je 1. Celková pravdepodobnosť všetkých možných udalostí musí byť 1 alebo 100 %. Ak sa vám to nepodarí na 100 %, s najväčšou pravdepodobnosťou ste urobili chybu a zmeškali ste jednu alebo viac možných udalostí. Skontrolujte svoje výpočty a uistite sa, že ste zvážili všetky možné výsledky.

   • Napríklad pravdepodobnosť získania 3 pri hode kockou je 1/6. V tomto prípade je pravdepodobnosť, že akékoľvek iné číslo vypadne zo zvyšných piatich, tiež rovná 1/6. V dôsledku toho dostaneme 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 6/6, to znamená 100%.
   • Ak napríklad zabudnete na číslo 4 na kocke, sčítanie pravdepodobností vám dá iba 5/6, čiže 83 %, čo sa nerovná jednej a označuje chybu.

5. Vyjadrite pravdepodobnosť nemožného výsledku ako 0. To znamená, že udalosť sa nemôže stať a jej pravdepodobnosť je 0. Týmto spôsobom môžete vypočítať nemožné udalosti.

   • Ak by ste napríklad vypočítali pravdepodobnosť, že Veľká noc pripadne v roku 2020 na pondelok, dostali by ste 0, pretože Veľká noc sa vždy oslavuje v nedeľu.

   Pravdepodobnosť niekoľkých náhodných udalostí

   1. Pri zvažovaní nezávislých udalostí vypočítajte každú pravdepodobnosť samostatne. Keď určíte, aké sú pravdepodobnosti udalostí, možno ich vypočítať samostatne. Predpokladajme, že chceme poznať pravdepodobnosť, že hodíme kockou dvakrát za sebou a dostaneme 5. Vieme, že pravdepodobnosť získania jednej 5 je 1/6 a pravdepodobnosť získania druhej 5 je tiež 1/6. Prvý výsledok nesúvisí s druhým.

      • Hovorí sa niekoľko hodov pätiek nezávislé udalosti, pretože to, čo sa stane prvýkrát, neovplyvní druhú udalosť.

   2. Zvážte vplyv predchádzajúcich výsledkov pri výpočte pravdepodobnosti pre závislé udalosti. Ak prvá udalosť ovplyvňuje pravdepodobnosť druhého výsledku, hovoríme o výpočte pravdepodobnosti závislé udalosti. Ak napríklad vyberiete dve karty z 52-kartového balíčka, po vytiahnutí prvej karty sa zloženie balíčka zmení, čo ovplyvní výber druhej karty. Ak chcete vypočítať pravdepodobnosť druhej z dvoch závislých udalostí, musíte pri výpočte pravdepodobnosti druhej udalosti odpočítať 1 od počtu možných výsledkov.

      • Príklad 1. Zvážte nasledujúcu udalosť: Z balíčka sa náhodne vytiahnu dve karty, jedna po druhej. Aká je pravdepodobnosť, že obe karty budú klubové? Pravdepodobnosť, že prvá karta bude klubová farba, je 13/52 alebo 1/4, keďže v balíčku je 13 kariet rovnakej farby.
        • Potom je pravdepodobnosť, že druhá karta bude klubová farba, 12/51, pretože jedna klubová karta už neexistuje. Je to preto, že prvá udalosť ovplyvňuje druhú. Ak si vytiahnete trojicu palíc a nevložíte ju späť, v balíčku bude o jednu kartu menej (51 namiesto 52).
      • Príklad 2. V krabici sú 4 modré, 5 červených a 11 bielych loptičiek. Ak sa náhodne vyžrebujú tri loptičky, aká je pravdepodobnosť, že prvá je červená, druhá modrá a tretia biela?
        • Pravdepodobnosť, že prvá guľa bude červená, je 5/20 alebo 1/4. Pravdepodobnosť, že druhá loptička bude modrá, je 4/19, pretože v krabici zostáva o jednu loptičku menej, ale stále 4 modrá loptu. Nakoniec, pravdepodobnosť, že tretia guľa bude biela, je 11/18, keďže sme už vytiahli dve loptičky.

   3. Vynásobte pravdepodobnosť každej jednotlivej udalosti. Bez ohľadu na to, či sa zaoberáte nezávislými alebo závislými udalosťami alebo počtom výsledkov (môže ich byť 2, 3 alebo dokonca 10), môžete vypočítať celkovú pravdepodobnosť vynásobením pravdepodobností všetkých príslušných udalostí navzájom. V dôsledku toho získate pravdepodobnosť niekoľkých udalostí, nasledujúcich jeden po druhom. Napríklad úlohou je Nájdite pravdepodobnosť, že keď hodíte kockou dvakrát za sebou, dostanete 5. Ide o dve nezávislé udalosti, pričom pravdepodobnosť každej z nich je 1/6. Pravdepodobnosť oboch udalostí je teda 1/6 x 1/6 = 1/36, teda 0,027 alebo 2,7 %.

      • Príklad 1. Z balíčka sa náhodne vytiahnu dve karty jedna po druhej. Aká je pravdepodobnosť, že obe karty budú klubové? Pravdepodobnosť prvej udalosti je 13/52. Pravdepodobnosť druhej udalosti je 12/51. Nájdeme celkovú pravdepodobnosť: 13/52 x 12/51 = 12/204 = 1/17, teda 0,058 alebo 5,8 %.
      • Príklad 2. Krabička obsahuje 4 modré, 5 červených a 11 bielych loptičiek. Ak sa z krabice náhodne vyžrebujú tri loptičky jedna po druhej, aká je pravdepodobnosť, že prvá je červená, druhá modrá a tretia biela? Pravdepodobnosť prvej udalosti je 5/20. Pravdepodobnosť druhej udalosti je 4/19. Pravdepodobnosť tretej udalosti je 18/11. Celková pravdepodobnosť je teda 5/20 x 4/19 x 11/18 = 44/1368 = 0,032 alebo 3,2 %.

Ako previesť pravdepodobnosť udalosti na koeficient? Ako nájsť hodnotný (hodnotný alebo nafúknutý) kurz na výsledok udalosti?

Ak chcete zvýšiť svoje šance na výhru, hráč musí pochopiť, ako stávková kancelária funguje.

Kurzy stávkových kancelárií predstavujú pravdepodobnosť udalosti s určitým percentom prirážky (marže), ktorá sa v rôznych kanceláriách pohybuje medzi 1,5 – 10 %. Ak by marže neexistovali, všetky stávkové kancelárie by v priebehu niekoľkých hodín prestali fungovať.

Hráč musí pochopiť, aké sú kurzy a staviť len na ceny, ktoré sú pre neho ziskové. Preto musí byť schopný premeniť kurzy na pravdepodobnosti a naopak.

Vzorec na prevod koeficientu na percento pravdepodobnosti udalosti:

V=1/odf*100 %

Prepočet pravdepodobnosti na kurzy sa vypočíta podľa vzorca:

K=100%/pravdepodobnosť

Príklad

Kurzy stávkovej kancelárie na zápas medzi Realom Madrid a Liverpoolom sú:

2,25 (výhra 1) – 3,7 (remíza) – 3,09 (výhra 2)

Prevod koeficientov pravdepodobnosti

V(P1) = 1/2,25 x 100 % = 44,4 %

V(remíza) = 1/3,7 x 100 %= 27 %

V(P2) = 1/3,09 x 100 % = 32,4 %

Spočítame pravdepodobnosti tohto zápasu a dostaneme celkovú pravdepodobnosť

V = 44,4 % + 27 % + 32,4 % = 103,8 %

Mnohí sa budú čudovať, prečo je pravdepodobnosť viac ako sto percent. Odpoveď je jednoduchá, všetko nad 100% je marža stávkovej kancelárie. V našom prípade je to 3,8 %.

Kurzy na rovnako pravdepodobné udalosti by v ideálnom prípade mali byť K(P1) = K(P2) = 2,0 (50 %), vzhľadom na maržu stávkovej kancelárie však budú podhodnotené. Napríklad, ak je prirážka stávkovej kancelárie 7 %, potom bude kurz 1,86, ak 2 %, potom bude kurz 1,96.

Kľúčom k úspechu pre úspešného hráča je vždy stávkovať s najlepšími kurzami. Stávkové kancelárie zamestnávajú obchodníkov, ktorí sa tiež môžu pomýliť vo svojich výpočtoch. Zruční hráči na takýchto prepočtoch dobre zarábajú.

Stávková kancelária napríklad odhaduje víťazstvo Juventusu nad Rímom s pravdepodobnosťou 60 % (1,66) a po starostlivom rozbore zápasu ste vypočítali pravdepodobnosť 67 % (1,49). Ak sú vaše výpočty správne, stávková kancelária dáva na tento výsledok tejto udalosti zvýšený (hodnotný) kurz. Hráč by mal určite využiť túto príležitosť a staviť na víťazstvo Juventusu. Takéto kurzy sa nazývajú hodnotové kurzy a pri dlhodobom hraní určite prinesú hráčovi zisk.

Ak by bola vaša pravdepodobnosť nižšia ako 60 %, znamenalo by to, že stávková kancelária podcenila kurzy na tento výsledok. Umiestňovanie stávok na zjavne nízky kurz je prísne zakázané!

Aby hráč našiel hodnotné stávky, musí byť schopný správne analyzovať pravdepodobnosť výsledku, hoci existuje mnoho renomovaných služieb, ktoré takéto služby poskytujú za poplatok.

Pri hode mincou môžeme povedať, že pristane heads up, príp pravdepodobnosť toto je 1/2. To samozrejme neznamená, že ak je minca hodená 10-krát, nevyhnutne 5-krát pristane na hlave. Ak je minca „spravodlivá“ a ak je hodená mnohokrát, hlavy pristanú polovicu času veľmi blízko. Existujú teda dva typy pravdepodobnosti: experimentálne A teoretická .

Experimentálna a teoretická pravdepodobnosť

Ak hodíme mincou veľakrát - povedzme 1000 - a spočítame, koľkokrát dopadne na hlavu, môžeme určiť pravdepodobnosť, že dopadne na hlavu. Ak sú hlavy vrhnuté 503-krát, môžeme vypočítať pravdepodobnosť, že pristanú:
503/1000 alebo 0,503.

Toto experimentálne určenie pravdepodobnosti. Táto definícia pravdepodobnosti pochádza z pozorovania a štúdia údajov a je celkom bežná a veľmi užitočná. Tu sú napríklad niektoré pravdepodobnosti, ktoré boli určené experimentálne:

1. Pravdepodobnosť, že žena dostane rakovinu prsníka, je 1/11.

2. Ak sa bozkávate s prechladnutým, tak pravdepodobnosť, že prechladnete aj vy, je 0,07.

3. Osoba, ktorá bola práve prepustená z väzenia, má 80% šancu na návrat do väzenia.

Ak vezmeme do úvahy hádzanie mince a berieme do úvahy, že je rovnako pravdepodobné, že sa dostane do čela, môžeme vypočítať pravdepodobnosť, že dostaneme hlavu: 1/2 Toto je teoretická definícia pravdepodobnosti. Tu sú niektoré ďalšie pravdepodobnosti, ktoré boli stanovené teoreticky pomocou matematiky:

1. Ak je v miestnosti 30 ľudí, pravdepodobnosť, že dvaja z nich majú rovnaké narodeniny (okrem roku), je 0,706.

2. Počas výletu niekoho stretnete a počas rozhovoru zistíte, že máte spoločného priateľa. Typická reakcia: "To nemôže byť!" V skutočnosti táto fráza nie je vhodná, pretože pravdepodobnosť takejto udalosti je pomerne vysoká - niečo cez 22%.

Experimentálne pravdepodobnosti sa teda určujú pozorovaním a zberom údajov. Teoretické pravdepodobnosti sa určujú pomocou matematického uvažovania. Príklady experimentálnych a teoretických pravdepodobností, ako sú uvedené vyššie, a najmä tie, ktoré neočakávame, nás vedú k dôležitosti štúdia pravdepodobnosti. Môžete sa opýtať: "Aká je skutočná pravdepodobnosť?" V skutočnosti nič také neexistuje. Pravdepodobnosti v rámci určitých limitov možno určiť experimentálne. Môžu a nemusia sa zhodovať s pravdepodobnosťami, ktoré získame teoreticky. Existujú situácie, v ktorých je oveľa jednoduchšie určiť jeden typ pravdepodobnosti ako iný. Napríklad by stačilo nájsť pravdepodobnosť prechladnutia pomocou teoretickej pravdepodobnosti.

Výpočet experimentálnych pravdepodobností

Uvažujme najskôr o experimentálnej definícii pravdepodobnosti. Základný princíp, ktorý používame na výpočet takýchto pravdepodobností, je nasledujúci.

Princíp P (experimentálne)

Ak v experimente, v ktorom sa uskutoční n pozorovaní, situácia alebo udalosť E nastane m-krát v n pozorovaniach, potom sa hovorí, že experimentálna pravdepodobnosť udalosti je P (E) = m/n.

Príklad 1 Sociologický prieskum. Bola vykonaná experimentálna štúdia na určenie počtu ľavákov, pravákov a ľudí, ktorých obe ruky sú rovnako vyvinuté. Výsledky sú znázornené v grafe.

a) Určte pravdepodobnosť, že osoba je pravák.

b) Určte pravdepodobnosť, že osoba je ľavák.

c) Určte pravdepodobnosť, že človek ovláda obe ruky rovnako.

d) Väčšina turnajov Professional Bowling Association je obmedzená na 120 hráčov. Na základe údajov z tohto experimentu, koľko hráčov by mohlo byť ľavákov?

Riešenie

a)Počet ľudí, ktorí sú praváci je 82, počet ľavákov je 17 a počet tých, ktorí ovládajú obe ruky rovnako plynule, je 1. Celkový počet pozorovaní je 100. Pravdepodobnosť že človek je pravák je P
P = 82/100 alebo 0,82 alebo 82 %.

b) Pravdepodobnosť, že je človek ľavák, je P, kde
P = 17/100 alebo 0,17 alebo 17 %.

c) Pravdepodobnosť, že človek ovláda obe ruky rovnako plynulo je P, kde
P = 1/100 alebo 0,01 alebo 1 %.

d) 120 nadhadzovačov a z (b) môžeme očakávať, že 17 % sú ľaváci. Odtiaľto
17 % zo 120 = 0,17,120 = 20,4,
to znamená, že môžeme očakávať približne 20 hráčov, ktorí budú ľaváci.

Príklad 2 Kontrola kvality . Pre výrobcu je veľmi dôležité udržiavať kvalitu svojich výrobkov na vysokej úrovni. V skutočnosti spoločnosti najímajú inšpektorov kontroly kvality, aby zabezpečili tento proces. Cieľom je vyrobiť čo najmenší počet chybných produktov. Ale keďže spoločnosť vyrába tisíce produktov každý deň, nemôže si dovoliť testovať každý produkt, aby sa zistilo, či je chybný alebo nie. Aby spoločnosť zistila, aké percento produktov je chybných, testuje oveľa menej produktov.
USDA vyžaduje, aby 80 % semien predávaných pestovateľmi vyklíčilo. Na určenie kvality semien, ktoré poľnohospodárska spoločnosť vyrába, sa vysadí 500 semien z vyrobených semien. Potom sa vypočítalo, že vyklíčilo 417 semien.

a) Aká je pravdepodobnosť, že semienko vyklíči?

b) Spĺňajú semená vládne normy?

Riešenie a) Vieme, že z 500 zasadených semien 417 vyklíčilo. Pravdepodobnosť klíčenia semien P, a
P = 417/500 = 0,834 alebo 83,4 %.

b) Keďže percento vyklíčených semien podľa potreby presiahlo 80 %, semená spĺňajú vládne normy.

Príklad 3 Televízne hodnotenia. Podľa štatistík je v USA 105 500 000 domácností s televízormi. Každý týždeň sa zhromažďujú a spracúvajú informácie o sledovanosti programov. Za jeden týždeň si 7 815 000 domácností naladilo úspešný komediálny seriál „Everybody Loves Raymond“ na CBS a 8 302 000 domácností si naladilo seriál „Zákon a poriadok“ na NBC (Zdroj: Nielsen Media Research). Aká je pravdepodobnosť, že televízor jednej domácnosti je počas daného týždňa naladený na „Všetci milujú Raymonda“?

Riešenie Pravdepodobnosť, že televízor v jednej domácnosti je naladený na „Everybody Loves Raymond“ je P, a
P = 7 815 000/105 500 000 ≈ 0,074 ≈ 7,4 %.
Šanca, že televízor v domácnosti bol naladený na zákon a poriadok, je P a
P = 8 302 000/105 500 000 ≈ 0,079 ≈ 7,9 %.
Tieto percentá sa nazývajú hodnotenia.

Teoretická pravdepodobnosť

Predpokladajme, že vykonávame experiment, napríklad hádžeme mincou alebo šípkami, ťaháme kartu z balíčka alebo testujeme kvalitu produktov na montážnej linke. Každý možný výsledok takéhoto experimentu sa nazýva Exodus . Množina všetkých možných výsledkov je tzv výsledný priestor . Udalosť je to súbor výsledkov, teda podmnožina priestoru výsledkov.

Príklad 4 Hádzanie šípok. Predpokladajme, že pri experimente s hádzaním šípok zasiahne šípka cieľ. Nájdite každú z nasledujúcich možností:

b) Priestor pre výsledky

Riešenie
a) Výsledky sú: zasiahnutie čierneho (B), červeného (R) a bieleho (B).

b) Priestor výsledkov je (trafiť do čierneho, trafiť do červeného, ​​trafiť do bieleho), čo možno jednoducho zapísať ako (H, K, B).

Príklad 5 Hádzanie kockou. Kocka je kocka so šiestimi stranami, na každej je nakreslená jedna až šesť bodiek.


Predpokladajme, že hádžeme kockou. Nájsť
a) Výsledky
b) Priestor pre výsledky

Riešenie
a) Výsledky: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Priestor výsledkov (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Pravdepodobnosť, že udalosť E nastane, označíme ako P(E). Napríklad „minca pristane na hlavách“ môže byť označená H. Potom P(H) predstavuje pravdepodobnosť, že minca dopadne na hlavy. Keď majú všetky výsledky experimentu rovnakú pravdepodobnosť výskytu, hovorí sa, že sú rovnako pravdepodobné. Ak chcete vidieť rozdiely medzi udalosťami, ktoré sú rovnako pravdepodobné, a udalosťami, ktoré nie sú, zvážte cieľ uvedený nižšie.

Pre cieľ A sú udalosti zasiahnutia čierneho, červeného a bieleho rovnako pravdepodobné, pretože čierne, červené a biele sektory sú rovnaké. Pre cieľ B však zóny s týmito farbami nie sú rovnaké, to znamená, že ich zasiahnutie nie je rovnako pravdepodobné.

Princíp P (teoretický)

Ak udalosť E môže nastať v m cestách z n možných rovnako pravdepodobných výsledkov z výsledného priestoru S, potom teoretická pravdepodobnosť udalosti, P(E) je
P(E) = m/n.

Príklad 6 Aká je pravdepodobnosť, že hodíte kockou a dostanete 3?

Riešenie Na kocke je 6 rovnako pravdepodobných výsledkov a je len jedna možnosť hodiť číslo 3. Potom bude pravdepodobnosť P P(3) = 1/6.

Príklad 7 Aká je pravdepodobnosť hodu párnym číslom na kocke?

Riešenie Udalosťou je hádzanie párneho čísla. To sa môže stať 3 spôsobmi (ak hodíte 2, 4 alebo 6). Počet rovnako pravdepodobných výsledkov je 6. Potom pravdepodobnosť P(párne) = 3/6 alebo 1/2.

Použijeme niekoľko príkladov zahŕňajúcich štandardný balík 52 kariet. Tento balíček pozostáva z kariet znázornených na obrázku nižšie.

Príklad 8 Aká je pravdepodobnosť vytiahnutia esa z dobre zamiešaného balíčka kariet?

Riešenie Existuje 52 výsledkov (počet kariet v balíčku), sú rovnako pravdepodobné (ak je balíček dobre zamiešaný) a existujú 4 spôsoby, ako ťahať eso, takže podľa princípu P je pravdepodobnosť
P(vytiahnuť eso) = 4/52 alebo 1/13.

Príklad 9 Predpokladajme, že bez toho, aby sme sa pozerali, vyberieme jednu guľu z vrecka s 3 červenými loptičkami a 4 zelenými loptičkami. Aká je pravdepodobnosť výberu červenej gule?

Riešenie Existuje 7 rovnako pravdepodobných výsledkov ťahania ľubovoľnej gule, a keďže počet spôsobov ťahania červenej gule je 3, dostaneme
P (výber červenej gule) = 3/7.

Nasledujúce vyhlásenia sú výsledkom princípu P.

Vlastnosti pravdepodobnosti

a) Ak udalosť E nemôže nastať, potom P(E) = 0.
b) Ak je isté, že nastane udalosť E, potom P(E) = 1.
c) Pravdepodobnosť, že nastane udalosť E, je číslo od 0 do 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Napríklad pri hode mincou je pravdepodobnosť, že minca dopadne na jej okraj, nulová. Pravdepodobnosť, že minca je hlava alebo chvost, má pravdepodobnosť 1.

Príklad 10 Predpokladajme, že z 52-kartového balíčka sú ťahané 2 karty. Aká je pravdepodobnosť, že oba sú vrcholy?

Riešenie Počet n spôsobov ťahania 2 kariet z dobre zamiešaného balíčka 52 kariet je 52 C 2 . Keďže 13 z 52 kariet sú piky, počet spôsobov, ako m ťahať 2 piky, je 13 C 2 . potom
P (vytiahnutie 2 píkov) = m/n = 13 C2/52 C2 = 78/1326 = 1/17.

Príklad 11 Predpokladajme, že zo skupiny 6 mužov a 4 žien sú náhodne vybraní 3 ľudia. Aká je pravdepodobnosť, že sa vyberie 1 muž a 2 ženy?

Riešenie Počet spôsobov výberu troch ľudí zo skupiny 10 ľudí je 10 C 3. Jeden muž môže byť vybraný 6 spôsobmi C 1 a 2 ženy môžu byť vybrané 4 spôsobmi C 2. Podľa základného princípu počítania je počet spôsobov, ako vybrať 1 muža a 2 ženy, 6 C 1. 4C2. Potom je pravdepodobnosť, že bude vybraný 1 muž a 2 ženy
P = 6 C1. 4 C2/10 C3 = 3/10.

Príklad 12 Hádzanie kockou. Aká je pravdepodobnosť, že hodíte celkovo 8 na dvoch kockách?

Riešenie Každá kocka má 6 možných výsledkov. Výsledky sa zdvojnásobia, čo znamená, že existuje 6,6 alebo 36 možných spôsobov, ako sa čísla na dvoch kockách môžu objaviť. (Je lepšie, ak sú kocky odlišné, povedzme, že jedna je červená a druhá modrá - pomôže to vizualizovať výsledok.)

Dvojice čísel, ktorých súčet je 8, sú znázornené na obrázku nižšie. Existuje 5 možných spôsobov, ako získať súčet rovný 8, teda pravdepodobnosť je 5/36.

Výber správnej stávky závisí nielen od intuície, športových znalostí, kurzov bookmakera, ale aj od koeficientu pravdepodobnosti udalosti. Schopnosť vypočítať takýto ukazovateľ pri stávkovaní je kľúčom k úspechu pri predpovedaní nadchádzajúcej udalosti, na ktorú sa má staviť.
V stávkových kanceláriách existujú tri typy kurzov (podrobnejšie v článku), ktorých typ určuje spôsob výpočtu pravdepodobnosti udalosti pre hráča.

Desatinný kurz

V tomto prípade sa pravdepodobnosť udalosti vypočíta pomocou vzorca: 1/koeficient. = v.i, kde koeficient. je koeficient udalosti a v.i je pravdepodobnosť výsledku. Napríklad, vezmeme si udalosť s kurzom 1,80 so stávkou jeden dolár, keď vykonáme matematickú operáciu podľa vzorca, hráč dostane, že pravdepodobnosť výsledku udalosti podľa bookmakera je 0,55 percenta.

Zlomkové šance

Pri použití zlomkových kurzov bude vzorec na výpočet pravdepodobnosti odlišný. Takže pri koeficiente 7/2, kde prvé číslo znamená možnú výšku čistého zisku a druhé veľkosť potrebnej stávky na získanie tohto zisku, bude rovnica vyzerať takto: zn.od/ pre súčet zo zn.od a chs.od = v.i . Tu je zn.coef menovateľom koeficientu, chs.coef je čitateľom koeficientu, v.i je pravdepodobnosť výsledku. Pre zlomkový kurz 7/2 teda rovnica vyzerá ako 2 / (7+2) = 2 / 9 = 0,22, teda 0,22 percentná pravdepodobnosť výsledku udalosti podľa stávkovej kancelárie.

americké kurzy

Americké kurzy nie sú medzi hráčmi veľmi obľúbené a spravidla sa používajú výlučne v USA, pričom majú zložitú a neprehľadnú štruktúru. Aby ste odpovedali na otázku: "Ako vypočítať pravdepodobnosť udalosti týmto spôsobom?", musíte vedieť, že takéto koeficienty môžu byť negatívne a pozitívne.

Koeficient so znamienkom „-“, napríklad -150, ukazuje, že hráč musí vsadiť 150 USD, aby získal čistý zisk 100 USD. Pravdepodobnosť udalosti sa vypočíta na základe vzorca, v ktorom musíte vydeliť záporný koeficient súčtom záporného koeficientu a 100. Vyzerá to na príklad stávky -150, takže (-(-150)) / ((-(-150)) + 100) = 150 / (150 + 100) = 150 / 250 = 0,6, kde 0,6 sa vynásobí 100 a pravdepodobnosť výsledku udalosti je 60 percent. Rovnaký vzorec je vhodný aj pre kladné americké kurzy.

TÉMA 1 . Klasický vzorec na výpočet pravdepodobnosti.

Základné definície a vzorce:

Experiment, ktorého výsledok nemožno predpovedať, sa nazýva náhodný experiment(SE).

Udalosť, ktorá môže, ale nemusí nastať v danom SE sa nazýva náhodná udalosť.

Elementárne výsledky udalosti, ktoré spĺňajú požiadavky, sa nazývajú:

1.pri každej implementácii SE dochádza k jedinému základnému výsledku;

2. každá udalosť je určitá kombinácia, určitý súbor elementárnych výsledkov.

Súbor všetkých možných elementárnych výsledkov úplne opisuje SE. Takáto zostava je zvyčajne tzv priestor elementárnych výsledkov(PEI). Výber PEI na popis daného SE je nejednoznačný a závisí od riešeného problému.

P(A) = n(A)/n,

kde n je celkový počet rovnako možných výsledkov,

n (A) – počet výsledkov, ktoré tvoria udalosť A, ako sa tiež hovorí, priaznivé pre udalosť A.

Slová „náhodne“, „náhodne“, „náhodne“ zaručujú rovnakú možnosť základných výsledkov.

Riešenie typických príkladov

Príklad 1 Z urny obsahujúcej 5 červených, 3 čierne a 2 biele loptičky sa náhodne vyžrebujú 3 loptičky. Nájdite pravdepodobnosti udalostí:

A– „všetky vytiahnuté gule sú červené“;

IN– „všetky vytiahnuté loptičky sú rovnakej farby“;

S– „medzi vyťaženými sú presne 2 čierne.“

Riešenie:

Základným výsledkom tohto SE je trojitý (neusporiadaný!) guľôčok. Celkový počet výsledkov je teda počet kombinácií: n == 120 (10 = 5 + 3 + 2).

Udalosť A pozostáva len z tých trojíc, ktoré boli vyžrebované z piatich červených guličiek, t.j. n(A)==10.

Udalosť IN Okrem 10 červených trojok sú priaznivé aj čierne trojky, ktorých počet je = 1. Preto: n (B)=10+1=11.

Udalosť S Uprednostňujú sa tie tri loptičky, ktoré obsahujú 2 čierne a jednu nečiernu. Každý spôsob výberu dvoch čiernych guľôčok je možné kombinovať s výberom jednej nečiernej gule (zo siedmich). Preto: n (C) = = 3 * 7 = 21.

Takže: P(A) = 10/120; P(B) = 11/120; R(S) = 21/120.

Príklad 2 V podmienkach predchádzajúcej úlohy budeme predpokladať, že gule každej farby majú svoje vlastné číslovanie, počnúc od 1. Nájdite pravdepodobnosti udalostí:

D– „maximálny extrahovaný počet je 4“;

E– „Maximálny extrahovaný počet je 3.“

Riešenie:

Pre výpočet n(D) môžeme predpokladať, že urna má jednu guľu s číslom 4, jednu guľu s vyšším číslom a 8 guľôčok (3k+3h+2b) s nižšími číslami. Udalosť D Uprednostňujú sa tie trojky loptičiek, ktoré nevyhnutne obsahujú loptičku s číslom 4 a 2 loptičky s nižšími číslami. Preto: n(D) =

P(D) = 28/120.

Pre výpočet n (E) uvažujeme: v urne sú dve loptičky s číslom 3, dve s vyššími číslami a šesť loptičiek s nižšími číslami (2k+2h+2b). Udalosť E pozostáva z trojíc dvoch typov:

1. jedna loptička s číslom 3 a dve s nižšími číslami;

2.dve loptičky s číslom 3 a jedna s nižším číslom.

Preto: n(E)=

P(E) = 36/120.

Príklad 3 Každá z M rôznych častíc je náhodne hodená do jednej z N buniek. Nájdite pravdepodobnosti udalostí:

A– všetky častice spadli do druhej bunky;

IN– všetky častice spadli do jednej bunky;

S– každá bunka neobsahuje viac ako jednu časticu (M £ N);

D– všetky bunky sú obsadené (M =N +1);

E– druhá bunka obsahuje presne Komu častice.

Riešenie:

Pre každú časticu existuje N spôsobov, ako sa dostať do konkrétnej bunky. Podľa základného princípu kombinatoriky pre M častice máme N *N *N *…*N (M-krát). Takže celkový počet výsledkov v tomto SE n = N M .

Pre každú časticu máme jednu príležitosť dostať sa do druhej bunky, takže n (A) = 1*1*…*1= 1 M = 1 a P(A) = 1/ N M.

Dostať sa do jednej bunky (pre všetky častice) znamená dostať každého do prvej, alebo každého do druhej, alebo atď. všetci v N. Ale každá z týchto N možností môže byť implementovaná jedným spôsobom. Preto n (B)=1+1+…+1(N-krát)=N a Р(В)=N/N M.

Udalosť C znamená, že každá častica má o jeden menší počet možností umiestnenia ako predchádzajúca častica a prvá môže spadnúť do ktorejkoľvek z N buniek. Preto:

n (C) = N *(N-1)*...*(N +M-1) a Р(С) =

V špeciálnom prípade s M =N: Р(С)=

Udalosť D znamená, že jedna z buniek obsahuje dve častice a každá z (N-1) zostávajúcich buniek obsahuje jednu časticu. Na nájdenie n (D) uvažujeme takto: vyberte bunku, v ktorej budú dve častice, dá sa to urobiť =N spôsobmi; potom vyberieme dve častice pre túto bunku, existujú spôsoby, ako to urobiť. Potom rozdeľujeme zvyšné (N -1) častice jednu po druhej do zostávajúcich (N -1) buniek, na to existuje (N -1)! spôsoby.

Takže n(D) =

.

Číslo n(E) možno vypočítať takto: Komu častice pre druhú bunku môžu byť vykonané spôsobmi; zostávajúce (M – K) častice sú rozdelené náhodne po (N -1) bunke (N -1) M-K spôsobmi. Preto: