Krížový súčin vektorov. Zmiešaný súčin vektorov

V tejto lekcii sa pozrieme na ďalšie dve operácie s vektormi: vektorový súčin vektorov A zmiešaný súčin vektorov (okamžitý odkaz pre tých, ktorí to potrebujú). To je v poriadku, niekedy sa stane, že pre úplné šťastie, navyše skalárny súčin vektorov, sú potrebné ďalšie a ďalšie. Toto je vektorová závislosť. Môže sa zdať, že sa dostávame do džungle analytickej geometrie. Toto je nesprávne. V tejto časti vyššej matematiky je vo všeobecnosti málo dreva, možno až na Pinocchia. V skutočnosti je materiál veľmi bežný a jednoduchý - sotva komplikovanejší ako ten istý bodkový produkt, bude dokonca menej typických úloh. Hlavná vec v analytickej geometrii, ako sa mnohí presvedčia alebo už presvedčili, je NEROBIŤ CHYBY VO VÝPOČTOCH. Opakujte ako kúzlo a budete šťastní =)

Ak niekde ďaleko zažiaria vektory, ako blesky na obzore, nevadí, začnite s lekciou Vektory pre figuríny obnoviť alebo znovu získať základné vedomosti o vektoroch. Pripravenejší čitatelia sa môžu zoznámiť s informáciami selektívne. Snažil som sa zhromaždiť čo najkompletnejšiu zbierku príkladov, ktoré sa často vyskytujú v praktickej práci

Čo vás hneď poteší? Keď som bol malý, vedel som žonglovať s dvomi alebo aj tromi loptičkami. Dobre to dopadlo. Teraz už nebudete musieť vôbec žonglovať, pretože zvážime iba priestorové vektory a ploché vektory s dvoma súradnicami budú vynechané. prečo? Takto sa zrodili tieto akcie – vektor a zmiešaný súčin vektorov sú definované a fungujú v trojrozmernom priestore. Už je to jednoduchšie!

Táto operácia, rovnako ako skalárny súčin, zahŕňa dva vektory. Nech sú to nehynúce písmená.

Samotná akcia označené takto: . Existujú aj iné možnosti, ale ja som zvyknutý označovať vektorový súčin vektorov týmto spôsobom v hranatých zátvorkách s krížikom.

A hneď otázka: ak je v skalárny súčin vektorov sú zapojené dva vektory a tu sa teda dva vektory tiež vynásobia aký je rozdiel? Zjavný rozdiel je predovšetkým vo VÝSLEDKU:

Výsledkom skalárneho súčinu vektorov je ČÍSLO:

Výsledkom krížového súčinu vektorov je VEKTOR: , čiže vektory vynásobíme a opäť dostaneme vektor. Uzavretý klub. Odtiaľ vlastne pochádza aj názov operácie. V rôznej náučnej literatúre sa môžu líšiť aj označenia budem používať písm.

Definícia krížového produktu

Najprv bude definícia s obrázkom, potom komentáre.

Definícia: Vektorový produkt nekolineárne vektory, prijaté v tomto poradí, s názvom VECTOR, dĺžkačo je číselne rovná ploche rovnobežníka, postavený na týchto vektoroch; vektor ortogonálne k vektorom a je nasmerovaný tak, aby základ mal správnu orientáciu:

Poďme si rozobrať definíciu, je tu veľa zaujímavých vecí!

Preto je možné zdôrazniť nasledujúce dôležité body:

1) Pôvodné vektory označené červenými šípkami podľa definície nie kolineárne. O niečo neskôr bude vhodné zvážiť prípad kolineárnych vektorov.

2) Zoberú sa vektory v presne stanovenom poradí: – "a" sa vynásobí "byť", nie „byť“ s „a“. Výsledok násobenia vektorov je VEKTOR, ktorý je označený modrou farbou. Ak sa vektory vynásobia v opačnom poradí, získame vektor rovnakej dĺžky a opačného smeru (malinová farba). To znamená, že rovnosť je pravdivá .

3) Teraz sa zoznámime s geometrickým významom vektorového súčinu. Toto je veľmi dôležitý bod! DĹŽKA modrého vektora (a teda karmínového vektora) sa číselne rovná PLOHE rovnobežníka postaveného na vektoroch. Na obrázku je tento rovnobežník zatienený čiernou farbou.

Poznámka : výkres je schematický a nominálna dĺžka vektorového produktu sa prirodzene nerovná ploche rovnobežníka.

Pripomeňme si jeden z geometrických vzorcov: Plocha rovnobežníka sa rovná súčinu susedných strán a sínusu uhla medzi nimi. Preto na základe vyššie uvedeného platí vzorec na výpočet DĹŽKY vektorového produktu:

Zdôrazňujem, že vzorec je o DĹŽKE vektora, a nie o vektore samotnom. Aký je praktický význam? A význam je, že v problémoch analytickej geometrie sa oblasť rovnobežníka často nachádza prostredníctvom konceptu vektorového produktu:

Získame druhý dôležitý vzorec. Uhlopriečka rovnobežníka (červená bodkovaná čiara) ho rozdeľuje na dva rovnaké trojuholníky. Preto oblasť trojuholníka postavená na vektoroch (červené tieňovanie) možno nájsť pomocou vzorca:

4) Nemenej dôležitým faktom je, že vektor je k vektorom ortogonálny, tzn . Samozrejme, opačne smerovaný vektor (malinová šípka) je tiež ortogonálny k pôvodným vektorom.

5) Vektor smeruje tak, že základ má správne orientácia. V lekcii o prechod na nový základ Hovoril som dostatočne podrobne o rovinná orientácia a teraz zistíme, aká je orientácia v priestore. Vysvetlím na vašich prstoch pravá ruka. Mentálne kombinovať ukazovák s vektorom a prostredný prst s vektorom. Prstenník a malíček stlačte ho do dlane. V dôsledku toho palec– vektorový produkt sa vyhľadá. Toto je správne orientovaný základ (je to tento na obrázku). Teraz zmeňte vektory ( ukazovákom a prostredníkom) na niektorých miestach sa palec otočí a vektorový súčin sa už bude pozerať nadol. To je tiež správne orientovaný základ. Môžete mať otázku: ktorý základ opustil orientáciu? „Priradiť“ rovnakým prstom ľavá ruka vektory a získajte ľavú základňu a ľavú orientáciu priestoru (v tomto prípade bude palec umiestnený v smere spodného vektora). Obrazne povedané, tieto základy „krútia“ alebo orientujú priestor v rôznych smeroch. A tento koncept by sa nemal považovať za niečo pritiahnuté za vlasy alebo abstraktné - napríklad orientácia priestoru sa zmení najbežnejším zrkadlom a ak „vytiahnete odrazený objekt zo zrkadla“, potom to vo všeobecnosti nebude možné kombinovať s „originálom“. Mimochodom, držte tri prsty hore k zrkadlu a analyzujte odraz ;-)

...aké je dobré, že o tom teraz viete orientované vpravo a vľavo základy, lebo vyjadrenia niektorých lektorov o zmene orientácie sú desivé =)

Krížový súčin kolineárnych vektorov

Definícia bola podrobne prediskutovaná, zostáva len vidieť, čo sa stane, keď sú vektory kolineárne. Ak sú vektory kolineárne, potom môžu byť umiestnené na jednej priamke a náš rovnobežník sa tiež „sčíta“ do jednej priamky. Oblasť takých, ako hovoria matematici, degenerovať rovnobežník sa rovná nule. To isté vyplýva zo vzorca - sínus nuly alebo 180 stupňov sa rovná nule, čo znamená, že plocha je nula

Teda ak , tak A . Upozorňujeme, že samotný krížový súčin sa rovná nulovému vektoru, ale v praxi sa to často zanedbáva a píše sa, že sa tiež rovná nule.

Špeciálnym prípadom je krížový súčin vektora so sebou samým:

Pomocou vektorového súčinu môžete skontrolovať kolinearitu trojrozmerných vektorov a okrem iného budeme analyzovať aj tento problém.

Na riešenie praktických príkladov budete možno potrebovať trigonometrická tabuľka nájsť z neho hodnoty sínusov.

No, zapálime oheň:

Príklad 1

a) Nájdite dĺžku vektorového súčinu vektorov ak

b) Nájdite oblasť rovnobežníka postaveného na vektoroch, ak

Riešenie: Nie, toto nie je preklep, schválne som urobil počiatočné údaje vo vetách rovnaké. Pretože dizajn riešení bude iný!

a) Podľa stavu musíte nájsť dĺžka vektor (krížový produkt). Podľa zodpovedajúceho vzorca:

Odpoveď:

Ak sa vás pýtali na dĺžku, tak v odpovedi uvádzame rozmer – jednotky.

b) Podľa stavu treba nájsť štvorec rovnobežník postavený na vektoroch. Plocha tohto rovnobežníka sa číselne rovná dĺžke vektorového produktu:

Odpoveď:

Upozorňujeme, že odpoveď vôbec nehovorí o vektorovom produkte, na ktorý sme sa pýtali oblasť postavy, teda rozmer je štvorcových jednotiek.

Vždy sa pozeráme na to, ČO potrebujeme nájsť podľa podmienky a na základe toho formulujeme jasné odpoveď. Môže sa to zdať doslovné, ale je medzi nimi dosť doslovných učiteľov a úloha má veľkú šancu vrátiť sa na prepracovanie. Aj keď to nie je príliš pritiahnutá hádka – ak je odpoveď nesprávna, človek má dojem, že daný človek nerozumie jednoduchým veciam a/alebo nepochopil podstatu úlohy. Tento bod treba mať vždy pod kontrolou pri riešení akéhokoľvek problému vo vyššej matematike, ale aj v iných predmetoch.

Kam zmizlo veľké písmeno „en“? V zásade to mohlo byť dodatočne priložené k riešeniu, ale v záujme skrátenia zápisu som to neurobil. Dúfam, že to každý chápe a je to označenie pre to isté.

Populárny príklad riešenia DIY:

Príklad 2

Nájdite oblasť trojuholníka postaveného na vektoroch, ak

Vzorec na nájdenie oblasti trojuholníka cez vektorový produkt je uvedený v komentároch k definícii. Riešenie a odpoveď sú na konci lekcie.

V praxi je úloha skutočne veľmi bežná, trojuholníky vás môžu vo všeobecnosti potrápiť.

Na vyriešenie ďalších problémov budeme potrebovať:

Vlastnosti vektorového súčinu vektorov

Niektoré vlastnosti vektorového súčinu sme už zvažovali, do tohto zoznamu ich však zaradím.

Pre ľubovoľné vektory a ľubovoľné číslo platia nasledujúce vlastnosti:

1) V iných zdrojoch informácií táto položka zvyčajne nie je zvýraznená vo vlastnostiach, ale z praktického hľadiska je veľmi dôležitá. Tak nech je.

2) – o majetku sa hovorí aj vyššie, niekedy je tzv antikomutatívnosť. Inými slovami, na poradí vektorov záleží.

3) – priraďovacie resp asociatívne zákony o vektorových produktoch. Konštanty sa dajú ľahko presunúť mimo vektorového súčinu. Ozaj, čo by tam mali robiť?

4) – distribúcia resp distributívny zákony o vektorových produktoch. Problémy nie sú ani s otváraním držiakov.

Aby sme to demonštrovali, pozrime sa na krátky príklad:

Príklad 3

Nájdite ak

Riešenie: Podmienka opäť vyžaduje zistenie dĺžky vektorového súčinu. Namaľujeme našu miniatúru:

(1) Podľa asociatívnych zákonov berieme konštanty mimo rozsah vektorového súčinu.

(2) Konštantu presunieme mimo modul a modul „zožerie“ znamienko mínus. Dĺžka nemôže byť záporná.

(3) Zvyšok je jasný.

Odpoveď:

Je čas pridať viac dreva do ohňa:

Príklad 4

Vypočítajte obsah trojuholníka postaveného na vektoroch, ak

Riešenie: Nájdite oblasť trojuholníka pomocou vzorca . Háčik je v tom, že samotné vektory „tse“ a „de“ sú prezentované ako súčty vektorov. Algoritmus je tu štandardný a trochu pripomína príklady č. 3 a 4 z lekcie Bodový súčin vektorov. Pre prehľadnosť rozdelíme riešenie do troch etáp:

1) V prvom kroku vyjadríme vektorový produkt prostredníctvom vektorového produktu, v skutočnosti, vyjadrime vektor pomocou vektora. O dĺžkach zatiaľ ani slovo!

(1) Náhradné výrazy za vektory.

(2) Pomocou distributívnych zákonov otvárame zátvorky podľa pravidla násobenia polynómov.

(3) Pomocou asociatívnych zákonov presunieme všetky konštanty za vektorové súčiny. S trochou skúseností možno kroky 2 a 3 vykonať súčasne.

(4) Prvý a posledný člen sa rovnajú nule (nulový vektor) kvôli vlastnosti nice. V druhom člene využívame vlastnosť antikomutatívnosti vektorového súčinu:

(5) Uvádzame podobné výrazy.

V dôsledku toho sa ukázalo, že vektor je vyjadrený prostredníctvom vektora, čo bolo potrebné na dosiahnutie:

2) V druhom kroku nájdeme dĺžku vektorového súčinu, ktorý potrebujeme. Táto akcia je podobná ako v príklade 3:

3) Nájdite oblasť požadovaného trojuholníka:

Fázy 2-3 riešenia mohli byť napísané v jednom riadku.

Odpoveď:

Uvažovaný problém je v testoch celkom bežný, tu je príklad, ako ho vyriešiť sami:

Príklad 5

Nájdite ak

Krátke riešenie a odpoveď na konci hodiny. Pozrime sa, ako pozorní ste boli pri štúdiu predchádzajúcich príkladov ;-)

Krížový súčin vektorov v súradniciach

, špecifikované na ortonormálnom základe, vyjadrené vzorcom:

Vzorec je naozaj jednoduchý: do horného riadku determinantu napíšeme súradnicové vektory, do druhého a tretieho riadku „vložíme“ súradnice vektorov a dáme v prísnom poradí– najprv súradnice vektora „ve“, potom súradnice vektora „double-ve“. Ak je potrebné vektory vynásobiť v inom poradí, riadky by sa mali vymeniť:

Príklad 10

Skontrolujte, či sú nasledujúce priestorové vektory kolineárne:
A)
b)

Riešenie: Kontrola je založená na jednom z tvrdení v tejto lekcii: ak sú vektory kolineárne, ich vektorový súčin sa rovná nule (nulový vektor): .

a) Nájdite vektorový súčin:

Vektory teda nie sú kolineárne.

b) Nájdite vektorový súčin:

Odpoveď: a) nie kolineárne, b)

Tu sú snáď všetky základné informácie o vektorovom súčine vektorov.

Táto časť nebude príliš veľká, pretože existuje len málo problémov, kde sa používa zmiešaný súčin vektorov. V skutočnosti bude všetko závisieť od definície, geometrického významu a niekoľkých pracovných vzorcov.

Zmiešaný súčin vektorov je súčinom troch vektorov:

Zoradili sa teda ako vlak a nevedia sa dočkať, kedy budú identifikovaní.

Najprv opäť definícia a obrázok:

Definícia: Zmiešaná práca nekoplanárne vektory, prijaté v tomto poradí, volal objem rovnobežnostenu, postavené na týchto vektoroch, vybavené znamienkom „+“, ak je základ pravý, a znamienkom „–“, ak je základ vľavo.

Urobme kresbu. Pre nás neviditeľné čiary sú nakreslené bodkovanými čiarami:

Poďme sa ponoriť do definície:

2) Zoberú sa vektory v určitom poradí, to znamená, že preskupenie vektorov v produkte, ako by ste mohli hádať, neprebehne bez následkov.

3) Pred komentovaním geometrického významu si všimnem zrejmú skutočnosť: zmiešaný súčin vektorov je ČÍSLO: . V náučnej literatúre môže byť dizajn mierne odlišný. Zmiešaný produkt zvyknem označovať a výsledok výpočtov písmenom „pe“.

Podľa definície zmiešaný produkt je objem kvádra, postavený na vektoroch (postava je nakreslená červenými vektormi a čiernymi čiarami). To znamená, že číslo sa rovná objemu daného rovnobežnostena.

Poznámka : Výkres je schematický.

4) Netrápme sa znova konceptom orientácie základne a priestoru. Význam záverečnej časti je, že k objemu možno pridať znamienko mínus. Jednoducho povedané, zmiešaný produkt môže byť negatívny: .

Priamo z definície vyplýva vzorec na výpočet objemu kvádra postaveného na vektoroch.

ZMIEŠANÝ PRODUKT TROCH VEKTOROV A JEHO VLASTNOSTI

Zmiešaná práca tri vektory sa nazýva číslo rovné . Určené . Tu sa prvé dva vektory vynásobia vektorovo a výsledný vektor sa potom skalárne vynásobí tretím vektorom. Je zrejmé, že takýto produkt je určitý počet.

Uvažujme o vlastnostiach zmiešaného produktu.

Geometrický význam zmiešaná práca. Zmiešaný súčin 3 vektorov až po znamienko sa rovná objemu kvádra postaveného na týchto vektoroch, ako na hranách, t.j. .
Takto a .

Dôkaz. Nechajme bokom vektory zo spoločného počiatku a zostrojme na nich rovnobežnosten. Označme a všimnime si, že . Podľa definície skalárneho súčinu

Za predpokladu, že a označovať tým h nájdite výšku rovnobežnostena.

Teda kedy

Ak, tak áno. Preto, .

Kombináciou oboch týchto prípadov dostaneme alebo .

Z dôkazu tejto vlastnosti predovšetkým vyplýva, že ak je trojica vektorov pravotočivá, potom zmiešaný súčin je , a ak je ľavotočivý, potom .
Pre všetky vektory , platí rovnosť
Dôkaz tejto vlastnosti vyplýva z vlastnosti 1. V skutočnosti je ľahké preukázať, že a . Okrem toho sa znaky „+“ a „–“ berú súčasne, pretože uhly medzi vektormi a a a sú ostré aj tupé.
Keď sú akékoľvek dva faktory preusporiadané, zmiešaný produkt zmení znamienko.
Ak totiž uvažujeme o zmiešanom produkte, tak napr
Zmiešaný súčin vtedy a len vtedy, ak sa jeden z faktorov rovná nule alebo sú vektory koplanárne.
Dôkaz.

Nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou pre koplanaritu 3 vektorov je teda to, že ich zmiešaný súčin je rovný nule. Okrem toho z toho vyplýva, že tri vektory tvoria základ v priestore, ak .

Ak sú vektory uvedené v súradnicovej forme, potom je možné ukázať, že ich zmiešaný produkt sa nachádza podľa vzorca:

.

Zmiešaný súčin sa teda rovná determinantu tretieho rádu, ktorý má súradnice prvého vektora v prvom riadku, súradnice druhého vektora v druhom riadku a súradnice tretieho vektora v treťom riadku.

Príklady.

ANALYTICKÁ GEOMETRIA V PRIESTORE

Rovnica F(x, y, z)= 0 definuje v priestore Oxyz nejaký povrch, t.j. geometrické ťažisko bodov, ktorých súradnice x, y, z splniť túto rovnicu. Táto rovnica sa nazýva povrchová rovnica a x, y, z– aktuálne súradnice.

Často však povrch nie je špecifikovaný rovnicou, ale ako množina bodov v priestore, ktoré majú tú či onú vlastnosť. V tomto prípade je potrebné nájsť rovnicu povrchu na základe jeho geometrických vlastností.

PLANE (lietadlo).

NORMÁLNY ROVINNÝ VEKTOR.

ROVNICE LETADLA PRECHÁDZAJÚCEHO CEZ DANÝ BOD

Uvažujme ľubovoľnú rovinu σ v priestore. Jeho poloha je určená špecifikovaním vektora kolmého na túto rovinu a nejakého pevného bodu M0(x 0, y 0, z 0), ležiace v rovine σ.

Vektor kolmý na rovinu σ sa nazýva normálne vektor tejto roviny. Nech má vektor súradnice .

Odvoďme rovnicu roviny σ prechádzajúcej týmto bodom M0 a majúci normálny vektor. Za týmto účelom zoberte ľubovoľný bod v rovine σ M(x, y, z) a zvážte vektor .

Za akýkoľvek bod MО σ je vektor Preto sa ich skalárny súčin rovná nule. Táto rovnosť je podmienkou, že bod MО σ. Platí pre všetky body tejto roviny a porušuje sa hneď po bode M bude mimo roviny σ.

Ak body označíme polomerovým vektorom M, – vektor polomeru bodu M0, potom môže byť rovnica napísaná v tvare

Táto rovnica sa nazýva vektor rovinná rovnica. Napíšme to v súradnicovom tvare. Odvtedy

Získali sme teda rovnicu roviny prechádzajúcej týmto bodom. Na vytvorenie rovnice roviny teda potrebujete poznať súradnice normálového vektora a súradnice nejakého bodu ležiaceho v rovine.

Všimnite si, že rovnica roviny je rovnicou 1. stupňa vzhľadom na aktuálne súradnice x, y A z.

Príklady.

VŠEOBECNÁ ROVNICE LIETADLA

Dá sa ukázať, že akákoľvek rovnica prvého stupňa vzhľadom na karteziánske súradnice x, y, z predstavuje rovnicu určitej roviny. Táto rovnica je napísaná takto:

Ax+By+Cz+D=0

a volá sa všeobecná rovnica rovinu a súradnice A, B, C tu sú súradnice normálového vektora roviny.

Uvažujme o špeciálnych prípadoch všeobecnej rovnice. Poďme zistiť, ako je rovina umiestnená vzhľadom na súradnicový systém, ak sa jeden alebo viac koeficientov rovnice stane nulou.

A je dĺžka segmentu odrezaného rovinou na osi Ox. Podobne sa dá ukázať, že b A c– dĺžky segmentov odrezaných uvažovanou rovinou na osiach Oj A Oz.

Na konštrukciu rovín je vhodné použiť rovnicu roviny v segmentoch.

V tomto článku sa bližšie pozrieme na koncept krížového súčinu dvoch vektorov. Dáme potrebné definície, napíšeme vzorec na zistenie súradníc vektorového súčinu, vypíšeme a zdôvodníme jeho vlastnosti. Potom sa zastavíme pri geometrickom význame vektorového súčinu dvoch vektorov a zvážime riešenia rôznych typických príkladov.

Navigácia na stránke.

Definícia krížového produktu.

Pred definovaním vektorového súčinu pochopme orientáciu usporiadanej trojice vektorov v trojrozmernom priestore.

Nakreslíme vektory z jedného bodu. V závislosti od smeru vektora môžu byť tri vpravo alebo vľavo. Pozrime sa od konca vektora na to, ako najkratšia odbočka z vektora na . Ak nastane najkratšia rotácia proti smeru hodinových ručičiek, potom sa volá trojica vektorov správne, inak - vľavo.

Teraz zoberme dva nekolineárne vektory a . Nakreslite vektory a z bodu A. Zostrojme nejaký vektor kolmý na obe a a . Je zrejmé, že pri konštrukcii vektora môžeme urobiť dve veci a dať mu jeden alebo opačný smer (pozri ilustráciu).

V závislosti od smeru vektora môže byť usporiadaná trojica vektorov pravotočivá alebo ľavotočivá.

To nás približuje k definícii vektorového produktu. Udáva sa pre dva vektory definované v pravouhlom súradnicovom systéme trojrozmerného priestoru.

Definícia.

Krížový súčin dvoch vektorov a , špecifikovaný v pravouhlom súradnicovom systéme trojrozmerného priestoru, sa nazýva vektor taký, že

Krížový súčin vektorov a je označený ako .

Súradnice vektorového súčinu.

Teraz si dáme druhú definíciu vektorového súčinu, ktorá umožňuje nájsť jeho súradnice zo súradníc daných vektorov a.

Definícia.

V pravouhlom súradnicovom systéme trojrozmerného priestoru vektorový súčin dvoch vektorov A je vektor , kde sú súradnicové vektory.

Táto definícia nám dáva krížový súčin v súradnicovej forme.

Vektorový súčin je vhodné reprezentovať ako determinant štvorcovej matice tretieho rádu, ktorej prvý riadok sú vektory, druhý riadok obsahuje súradnice vektora a tretí súradnice vektora v danom pravouhlý súradnicový systém:

Ak tento determinant rozšírime na prvky prvého riadku, získame rovnosť z definície vektorového súčinu v súradniciach (ak je to potrebné, pozrite si článok):

Je potrebné poznamenať, že súradnicová forma vektorového produktu je plne v súlade s definíciou uvedenou v prvom odseku tohto článku. Okrem toho sú tieto dve definície krížového produktu ekvivalentné. Dôkaz o tejto skutočnosti môžete vidieť v knihe uvedenej na konci článku.

Vlastnosti vektorového produktu.

Pretože vektorový súčin v súradniciach môže byť reprezentovaný ako determinant matice, môže byť na základe ľahko odôvodnené nasledujúce vlastnosti krížového produktu:

Ako príklad ukážme antikomutatívnu vlastnosť vektorového súčinu.

Podľa definície A . Vieme, že hodnota determinantu matice je obrátená, ak sa vymenia dva riadky, preto , ktorý dokazuje antikomutatívnu vlastnosť vektorového súčinu.

Vektorový produkt - príklady a riešenia.

Ide najmä o tri typy problémov.

V úlohách prvého typu sú uvedené dĺžky dvoch vektorov a uhol medzi nimi a musíte nájsť dĺžku vektorového súčinu. V tomto prípade sa použije vzorec .

Príklad.

Nájdite dĺžku vektorového súčinu vektorov a , ak sú známe .

Riešenie.

Z definície vieme, že dĺžka vektorového súčinu vektorov a je rovná súčinu dĺžok vektorov a sínusu uhla medzi nimi, teda, .

odpoveď:

Problémy druhého typu súvisia so súradnicami vektorov, v ktorých sa vektorový súčin, jeho dĺžka alebo čokoľvek iné hľadá cez súradnice daných vektorov. A .

Je tu možné množstvo rôznych možností. Napríklad nie súradnice vektorov a môžu byť špecifikované, ale ich expanzia do súradnicových vektorov tvaru a , alebo vektory a môžu byť špecifikované súradnicami ich počiatočného a koncového bodu.

Pozrime sa na typické príklady.

Príklad.

V pravouhlom súradnicovom systéme sú uvedené dva vektory . Nájdite ich krížový produkt.

Riešenie.

Podľa druhej definície je vektorový súčin dvoch vektorov v súradniciach zapísaný ako:

K rovnakému výsledku by sme dospeli, ak by bol vektorový súčin zapísaný ako determinant

odpoveď:

Príklad.

Nájdite dĺžku vektorového súčinu vektorov a , kde sú jednotkové vektory pravouhlého karteziánskeho súradnicového systému.

Riešenie.

Najprv nájdeme súradnice vektorového súčinu v danom pravouhlom súradnicovom systéme.

Keďže vektory a majú súradnice, resp. (ak je to potrebné, pozri súradnice článku vektora v pravouhlom súradnicovom systéme), potom podľa druhej definície vektorového súčinu máme

Teda vektorový súčin má súradnice v danom súradnicovom systéme.

Dĺžku vektorového súčinu nájdeme ako druhú odmocninu súčtu druhých mocnín jeho súradníc (tento vzorec pre dĺžku vektora sme získali v časti o hľadaní dĺžky vektora):

odpoveď:

Príklad.

V pravouhlom karteziánskom súradnicovom systéme sú uvedené súradnice troch bodov. Nájdite nejaký vektor, ktorý je kolmý a zároveň.

Riešenie.

Vektory a majú súradnice resp. (pozri článok hľadanie súradníc vektora pomocou súradníc bodov). Ak nájdeme vektorový súčin vektorov a , potom je to podľa definície vektor kolmý na aj na , čiže je to riešenie nášho problému. Poďme ho nájsť

odpoveď:

- jeden z kolmých vektorov.

V úlohách tretieho typu sa testuje zručnosť využitia vlastností vektorového súčinu vektorov. Po aplikácii vlastností sa použijú zodpovedajúce vzorce.

Príklad.

Vektory a sú kolmé a ich dĺžka je 3 a 4. Nájdite dĺžku krížového produktu .

Riešenie.

Podľa distribučnej vlastnosti vektorového súčinu môžeme písať

Kvôli kombinačnej vlastnosti odoberáme číselné koeficienty zo znamienka vektorových súčinov v poslednom výraze:

Vektorové súčiny a sú rovné nule, pretože A , Potom .

Keďže vektorový súčin je antikomutatívny, potom .

Takže pomocou vlastností vektorového súčinu sme dospeli k rovnosti .

Podľa podmienky sú vektory a kolmé, to znamená, že uhol medzi nimi je rovný . To znamená, že máme všetky údaje, aby sme našli požadovanú dĺžku

odpoveď:

Geometrický význam vektorového súčinu.

Podľa definície je dĺžka vektorového súčinu vektorov . A z kurzu geometrie na strednej škole vieme, že plocha trojuholníka sa rovná polovici súčinu dĺžok dvoch strán trojuholníka a sínusu uhla medzi nimi. V dôsledku toho sa dĺžka vektorového produktu rovná dvojnásobku plochy trojuholníka, ktorého strany sú vektory a , ak sú vynesené z jedného bodu. Inými slovami, dĺžka vektorového súčinu vektorov a sa rovná ploche rovnobežníka so stranami a a uhol medzi nimi sa rovná . Toto je geometrický význam vektorového súčinu.

7.1. Definícia krížového produktu

Tri nekoplanárne vektory a, b a c, brané v uvedenom poradí, tvoria pravotočivý triplet, ak od konca tretieho vektora c najkratšia odbočka z prvého vektora a do druhého vektora b byť proti smeru hodinových ručičiek a ľavotočivá trojica v smere hodinových ručičiek (pozri obr. .16).

Vektorový súčin vektora a a vektora b sa nazýva vektor c, ktorý:

1. Kolmo na vektory a a b, teda c ^ a a c ^ b;

2. Má dĺžku, ktorá sa číselne rovná ploche rovnobežníka skonštruovaného na vektoroch a ab ako na bokoch (pozri obr. 17), t.j.

3. Vektory a, b a c tvoria pravotočivú trojicu.

Krížový súčin sa označuje axb alebo [a,b]. Nasledujúce vzťahy medzi jednotkovými vektormi priamo vyplývajú z definície vektorového súčinu: j A(pozri obr. 18):

i x j = k, j x k = i, k x i = j.
Dokážme to napríklad i xj = k.

1) k ^ i, k ^ j;

2) |k |=1, ale | i x j| = |i |

|J | sin(90°)=1; A 3) vektory i, ja

tvoria pravú trojicu (pozri obr. 16).

7.2.

Vlastnosti krížového produktu 1. Pri preusporiadaní faktorov vektorový súčin zmeny znamienka, t.j. = -(a xb = (b xa) (pozri obr. 19).).

Vektory a xb a b xa sú kolineárne, majú rovnaké moduly (plocha rovnobežníka zostáva nezmenená), ale sú opačne orientované (trojice a, b, a xb a a, b, b x a opačnej orientácie). Preto

axb b xa 2. Vektorový súčin má kombinačnú vlastnosť vzhľadom na skalárny faktor, t.j. l (a xb) = (la) x b = a x (l b). b Nech l >0. Vektor l (a xb) je kolmý na vektory a a b. vektor ( b l b xa a)x b xa je tiež kolmá na vektory a a b xa 2. Vektorový súčin má kombinačnú vlastnosť vzhľadom na skalárny faktor, t.j. l (a xb) = (la) x b = a x (l b). b(vektory a,

ale ležia v rovnakej rovine). To znamená, že vektory b xa(a xb) a ( b xa kolineárne. Je zrejmé, že ich smery sa zhodujú. Majú rovnakú dĺžku: b xa<0.

Preto b(a xb)=<=>a xb. Dokazuje sa to podobným spôsobom pre

3. Dva nenulové vektory a a

sú kolineárne vtedy a len vtedy, ak sa ich vektorový súčin rovná nulovému vektoru, t.j. a ||b

(a xb = 0. Konkrétne i*i=j*j=k*k=0. b 4. Vektorový súčin má distribučnú vlastnosť:

a+b)

xc = a xc +

xs. Nasledujúce vzťahy medzi jednotkovými vektormi priamo vyplývajú z definície vektorového súčinu: Prijmeme bez dôkazu.

7.3. Vyjadrenie krížového súčinu pomocou súradníc

Použijeme tabuľku krížových súčinov vektorov i, Nasledujúce vzťahy medzi jednotkovými vektormi priamo vyplývajú z definície vektorového súčinu: a k: A ak sa smer najkratšej cesty z prvého vektora do druhého zhoduje so smerom šípky, potom sa súčin rovná tretiemu vektoru, ak sa nezhoduje, tretí vektor sa berie so znamienkom mínus. Nech sú dané dva vektory a =a x i +a y+a z Nasledujúce vzťahy medzi jednotkovými vektormi priamo vyplývajú z definície vektorového súčinu: a b = b x A i

+b y

+b z

. Nájdite vektorový súčin týchto vektorov ich vynásobením ako polynómy (podľa vlastností vektorového súčinu):

Výsledný vzorec možno napísať ešte stručnejšie:

keďže pravá strana rovnosti (7.1) zodpovedá rozšíreniu determinantu tretieho rádu z hľadiska prvkov prvého radu Rovnosť (7.2) je ľahko zapamätateľná.

7.4. Niektoré aplikácie krížového produktu Stanovenie kolinearity vektorov Nájdenie oblasti rovnobežníka a trojuholníka Podľa definície vektorového súčinu vektorov A

a b

|a xb | = |a | * |b |sin g, teda S párov = |a x b |. A preto D S = 1/2|a x b |. Určenie momentu sily okolo bodu Nech v bode A pôsobí sila- nejaký bod v priestore (pozri obr. 20).

Z fyziky je známe, že moment sily F vzhľadom na bod Nech v bode A pôsobí sila nazývaný vektor M, ktorý prechádza cez bod Nech v bode A pôsobí sila a:

1) kolmo na rovinu prechádzajúcu bodmi O, A, B;

2) číselne sa rovná súčinu sily na rameno

3) tvorí pravú trojicu s vektormi OA a A B.

Preto M = OA x F.

Nájdenie lineárnej rýchlosti otáčania

Rýchlosť v bod M tuhého telesa rotujúceho uhlovou rýchlosťou w okolo pevnej osi, je určený Eulerovým vzorcom v =w xr, kde r =OM, kde O je nejaký pevný bod osi (pozri obr. 21).

Predtým, ako uvedieme pojem vektorového súčinu, prejdime k otázke orientácie usporiadanej trojice vektorov a →, b →, c → v trojrozmernom priestore.

Na začiatok odložme vektory a → , b → , c → z jedného bodu. Orientácia trojice a → , b → , c → môže byť pravá alebo ľavá, v závislosti od smeru samotného vektora c →. Typ trojice a → , b → , c → určíme zo smeru, v ktorom sa najkratšia odbočka vykoná z vektora a → do b → od konca vektora c → .

Ak sa najkratšia otáčka vykoná proti smeru hodinových ručičiek, potom sa nazýva trojica vektorov a → , b → , c → správne, ak v smere hodinových ručičiek - vľavo.

Ďalej zoberte dva nekolineárne vektory a → a b →. Potom vynesme vektory A B → = a → a A C → = b → z bodu A. Zostrojme vektor A D → = c →, ktorý je súčasne kolmý na A B → aj A C →. Takže pri konštrukcii samotného vektora A D → = c → to môžeme urobiť dvoma spôsobmi, pričom mu dáme buď jeden smer, alebo opačný (pozri obrázok).

Usporiadaná trojica vektorov a → , b → , c → môže byť, ako sme zistili, pravá alebo ľavá v závislosti od smeru vektora.

Z vyššie uvedeného môžeme zaviesť definíciu vektorového súčinu. Táto definícia je uvedená pre dva vektory definované v pravouhlom súradnicovom systéme trojrozmerného priestoru.

Definícia 1

Vektorový súčin dvoch vektorov a → a b → budeme volať taký vektor definovaný v pravouhlom súradnicovom systéme trojrozmerného priestoru tak, že:

ak sú vektory a → a b → kolineárne, bude to nula;
bude kolmý na vektor a → aj vektor b → t.j. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
jeho dĺžka je určená vzorcom: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
trojica vektorov a → , b → , c → má rovnakú orientáciu ako daný súradnicový systém.

Krížový súčin vektorov a → a b → má nasledujúci zápis: a → × b → .

Súradnice vektorového súčinu

Keďže každý vektor má v súradnicovom systéme určité súradnice, môžeme zaviesť druhú definíciu vektorového súčinu, ktorá nám umožní nájsť jeho súradnice pomocou daných súradníc vektorov.

Definícia 2

V pravouhlom súradnicovom systéme trojrozmerného priestoru vektorový súčin dvoch vektorov a → = (a x ; a y ; a z) a b → = (b x ; b y ; b z) sa nazýva vektor c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , kde i → , j → , k → sú súradnicové vektory.

Vektorový súčin možno znázorniť ako determinant štvorcovej matice tretieho rádu, kde prvý riadok obsahuje vektorové vektory i → , j → , k → , druhý riadok obsahuje súradnice vektora a → a tretí riadok obsahuje súradnice vektora b → v danom pravouhlom súradnicovom systéme, toto je determinant matice vyzerá takto: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Rozšírením tohto determinantu na prvky prvého riadku dostaneme rovnosť: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Vlastnosti krížového produktu

Je známe, že vektorový súčin v súradniciach je reprezentovaný ako determinant matice c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , potom na zákl. vlastnosti maticového determinantu zobrazia sa nasledovné vlastnosti vektorového produktu:

antikomutatívnosť a → × b → = - b → × a → ;
distributivita a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → alebo a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
asociativita λ a → × b → = λ a → × b → alebo a → × (λ b →) = λ a → × b →, kde λ je ľubovoľné reálne číslo.

Tieto vlastnosti majú jednoduché dôkazy.

Ako príklad môžeme dokázať antikomutatívnu vlastnosť vektorového produktu.

Dôkaz antikomutatívnosti

Podľa definície a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z a b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . A ak sa vymenia dva riadky matice, potom by sa hodnota determinantu matice mala zmeniť na opačnú, teda a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , čo a dokazuje, že vektorový súčin je antikomutatívny.

Vektorový produkt - príklady a riešenia

Vo väčšine prípadov ide o tri typy problémov.

V úlohách prvého typu sa zvyčajne udávajú dĺžky dvoch vektorov a uhol medzi nimi a musíte nájsť dĺžku vektorového súčinu. V tomto prípade použite nasledujúci vzorec c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → .

Príklad 1

Nájdite dĺžku vektorového súčinu vektorov a → a b →, ak poznáte a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4.

Riešenie

Určením dĺžky vektorového súčinu vektorov a → a b → vyriešime tento problém: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .

odpoveď: 15 2 2 .

Úlohy druhého typu majú súvislosť so súradnicami vektorov, v nich vektorový súčin, jeho dĺžka atď. sa hľadajú cez známe súradnice daných vektorov a → = (a x; a y; a z) A b → = (b x ; b y ; b z) .

Pre tento typ problému môžete vyriešiť veľa možností úloh. Napríklad nie je možné špecifikovať súradnice vektorov a → a b →, ale ich expanzie do súradnicových vektorov tvaru b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → a c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →, alebo vektory a → a b → môžu byť špecifikované súradnicami ich začiatku a koncové body.

Zvážte nasledujúce príklady.

Príklad 2

V pravouhlom súradnicovom systéme sú dané dva vektory: a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). Nájdite ich krížový produkt.

Riešenie

Podľa druhej definície nájdeme vektorový súčin dvoch vektorov v daných súradniciach: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + ( a x · b y - a y · b x) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2 · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Ak vektorový súčin zapíšeme cez determinant matice, potom riešenie tohto príkladu vyzerá takto: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

odpoveď: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Príklad 3

Nájdite dĺžku vektorového súčinu vektorov i → - j → a i → + j → + k →, kde i →, j →, k → sú jednotkové vektory pravouhlého karteziánskeho súradnicového systému.

Riešenie

Najprv nájdime súradnice daného vektorového súčinu i → - j → × i → + j → + k → v danom pravouhlom súradnicovom systéme.

Je známe, že vektory i → - j → a i → + j → + k → majú súradnice (1; - 1; 0) a (1; 1; 1). Nájdite dĺžku vektorového súčinu pomocou determinantu matice, potom máme i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Preto vektorový súčin i → - j → × i → + j → + k → má súradnice (- 1 ; - 1 ; 2) v danom súradnicovom systéme.

Dĺžku vektorového súčinu zistíme pomocou vzorca (pozri časť o hľadaní dĺžky vektora): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

odpoveď: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

Príklad 4

V pravouhlom karteziánskom súradnicovom systéme sú uvedené súradnice troch bodov A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2). Nájdite nejaký vektor kolmý na A B → a A C → súčasne.

Riešenie

Vektory A B → a AC → majú nasledujúce súradnice (-1; 2; 2) a (0; 4; 1). Po nájdení vektorového súčinu vektorov A B → a A C → je zrejmé, že ide o kolmý vektor podľa definície k A B → aj A C →, to znamená, že je riešením nášho problému. Nájdeme to A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

odpoveď: - 6 i → + j → - 4 k → . - jeden z kolmých vektorov.

Úlohy tretieho typu sú zamerané na využitie vlastností vektorového súčinu vektorov. Po jeho aplikácii získame riešenie daného problému.

Príklad 5

Vektory a → a b → sú kolmé a ich dĺžky sú 3 a 4. Nájdite dĺžku vektorového súčinu 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → .

Riešenie

Distribučnou vlastnosťou vektorového súčinu môžeme napísať 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Vlastnosťou asociatívnosti odoberieme číselné koeficienty zo znamienka vektorových súčinov v poslednom výraze: 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → + (- 1) · (- 2) · b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Vektorové produkty a → × a → a b → × b → sa rovnajú 0, pretože a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 a b → × b → = b → · b → · sin 0 = 0, potom 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b → = - 6 · a → × b → - b → × a → . .

Z antikomutatívnosti vektorového súčinu vyplýva - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × b → . .

Pomocou vlastností vektorového súčinu získame rovnosť 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Podľa podmienky sú vektory a → a b → kolmé, to znamená, že uhol medzi nimi je rovný π 2. Teraz už len ostáva dosadiť nájdené hodnoty do príslušných vzorcov: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = = 5 a → × b → = 5 a → b → · sin (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60 .

odpoveď: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.

Dĺžka vektorového súčinu vektorov sa podľa definície rovná a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Pretože je už známe (zo školského kurzu), že plocha trojuholníka sa rovná polovici súčinu dĺžok jeho dvoch strán vynásobených sínusom uhla medzi týmito stranami. V dôsledku toho sa dĺžka vektorového súčinu rovná ploche rovnobežníka - zdvojeného trojuholníka, konkrétne súčinu strán vo forme vektorov a → a b →, usporiadaných z jedného bodu, sínusom uhol medzi nimi sin ∠ a →, b →.

Toto je geometrický význam vektorového produktu.

Fyzikálny význam vektorového súčinu

V mechanike, jednom z odvetví fyziky, môžete vďaka vektorovému súčinu určiť moment sily vzhľadom na bod v priestore.

Definícia 3

Momentom sily F → pôsobiacej na bod B vzhľadom na bod A budeme rozumieť nasledujúci vektorový súčin A B → × F →.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter