Ako napísať pravdepodobnosť. Preč s neistotou alebo ako nájsť pravdepodobnosť
Ide o pomer počtu pozorovaní, pri ktorých došlo k danej udalosti, k celkovému počtu pozorovaní. Tento výklad je prijateľný v prípade dostatočného veľké množstvo pozorovania alebo experimenty. Napríklad, ak je približne polovica ľudí, ktorých stretnete na ulici, ženy, potom môžete povedať, že pravdepodobnosť, že osoba, ktorú stretnete na ulici, bude žena, je 1/2. Inými slovami, odhad pravdepodobnosti udalosti môže byť frekvenciou jej výskytu v dlhej sérii nezávislých opakovaní náhodného experimentu.
Pravdepodobnosť v matematike
V modernom matematickom prístupe je klasická (teda nie kvantová) pravdepodobnosť daná Kolmogorovovou axiomatikou. Pravdepodobnosť je miera P, ktorý je definovaný na súprave X, nazývaný priestor pravdepodobnosti. Toto opatrenie musí mať nasledujúce vlastnosti:
Z týchto podmienok vyplýva, že miera pravdepodobnosti P má tiež majetok aditívnosť: ak nastaví A 1 a A 2 sa nepretínajú, potom . Aby ste dokázali, musíte dať všetko A 3 , A 4 , ... sa rovná prázdnej množine a aplikuje vlastnosť spočítateľnej aditivity.
Miera pravdepodobnosti nemusí byť definovaná pre všetky podmnožiny súboru X. Stačí ho definovať na sigma algebre, pozostávajúcej z nejakých podmnožín množiny X. V tomto prípade sú náhodné udalosti definované ako merateľné podmnožiny priestoru X, teda ako prvky sigma algebry.
Zmysel pravdepodobnosti
Keď zistíme, že dôvody pre nejakú možnú skutočnosť skutočne nastávajúcu prevažujú nad opačnými dôvodmi, zvážime túto skutočnosť pravdepodobné, inak - neuveriteľné. Táto prevaha pozitívnych báz nad negatívnymi a naopak môže predstavovať neurčitý súbor stupňov, v dôsledku čoho pravdepodobnosť(A nepravdepodobnosť) Stáva sa to viac alebo menej .
Zložité jednotlivé fakty neumožňujú presný výpočet stupňa jej pravdepodobnosti, ale aj tu je dôležité stanoviť niektoré veľké delenia. Takže napríklad v právnej oblasti, keď sa na základe svedeckej výpovede zistí osobná skutočnosť, ktorá je predmetom súdneho konania, zostáva vždy, prísne vzaté, len pravdepodobná a je potrebné vedieť, aká významná je táto pravdepodobnosť; v rímskom práve tu bolo prijaté štvornásobné delenie: probatio plena(kde sa pravdepodobnosť prakticky zmení na spoľahlivosť), potom - probatio mínus plena, potom - probatio semiplena major a nakoniec probatio semiplena minor .
Okrem otázky pravdepodobnosti prípadu môže v oblasti práva aj v oblasti morálky (s istým etickým uhlom pohľadu) vzniknúť otázka, aká je pravdepodobnosť, že daná konkrétna skutočnosť predstavuje porušenie všeobecného zákona. Táto otázka, ktorá slúžila ako hlavný motív v náboženskej judikatúre Talmudu, dala základ aj rímskokatolíckej morálnej teológii (najmä s koniec XVI storočia) veľmi zložité systematické konštrukcie a obrovská literatúra, dogmatická a polemická (pozri Pravdepodobnosť).
Pojem pravdepodobnosti umožňuje určité číselné vyjadrenie pri aplikácii len na také skutočnosti, ktoré sú súčasťou určitých homogénna séria. Teda (v najjednoduchšom príklade), keď niekto hodí mincou stokrát za sebou, nájdeme tu jednu všeobecnú alebo veľkú sériu (súčet všetkých mincí padne), pozostávajúcu z dvoch konkrétnych alebo menších, v v tomto prípadečíselne rovnaké riadky (padajúce „hlavy“ a klesajúce „chvosty“); Pravdepodobnosť, že tentoraz minci pristanú hlavy, teda že tento nový člen všeobecnej série bude patriť do tejto z dvoch menších sérií, sa rovná zlomku vyjadrujúcim číselný vzťah medzi touto malou sériou a väčšou sériou, menovite 1/2, to znamená, že rovnaká pravdepodobnosť patrí jednej alebo druhej z dvoch konkrétnych sérií. Za menej jednoduché príklady záver nemožno odvodiť priamo z údajov samotného problému, ale vyžaduje si predbežnú indukciu. Otázka teda napríklad znie: aká je pravdepodobnosť, že sa daný novorodenec dožije 80 rokov? Tu by mala existovať všeobecná alebo veľká séria známe čísloľudia narodení v podobných podmienkach a zomierajúci v v rôznom veku(toto číslo by malo byť dostatočne veľké na to, aby eliminovalo náhodné odchýlky, a dosť malé na to, aby sa zachovala homogenita série, pretože pre človeka narodeného napr. v Petrohrade v bohatej kultúrnej rodine je celá miliónová populácia tzv. mesto, ktorého významnú časť tvorí rôzne skupiny ktorí môžu predčasne zomrieť – vojaci, novinári, pracovníci v nebezpečných profesiách – predstavujú skupinu príliš heterogénnu na skutočné určenie pravdepodobnosti); nech tento všeobecný rad pozostáva z desaťtisíc ľudské životy; zahŕňa menšie série predstavujúce počet ľudí žijúcich v určitom veku; jedna z týchto menších sérií predstavuje počet ľudí dožívajúcich sa veku 80 rokov. Nie je však možné určiť počet tejto menšej série (ako všetkých ostatných) a priori; toto sa deje čisto induktívne, prostredníctvom štatistík. Predpokladajme, že štatistické štúdie preukázali, že z 10 000 obyvateľov Petrohradu strednej triedy sa len 45 dožije 80 rokov; teda tento menší rad súvisí s väčším ako 45 až 10 000 a pravdepodobnosť pre tejto osoby patriť do tohto menšieho radu, teda dožiť sa 80 rokov, sa vyjadruje zlomkom 0,0045. Štúdium pravdepodobnosti z matematického hľadiska predstavuje špeciálnu disciplínu - teóriu pravdepodobnosti.
Pozri tiež
Poznámky
Literatúra
- Alfréd Renyi. Písmená o pravdepodobnosti / prekl. z maďarčiny D. Saas a A. Crumley, ed. B.V. Gnedenko. M.: Mir. 1970
- Gnedenko B.V. Kurz teórie pravdepodobnosti. M., 2007. 42 s.
- Kupcov V.I. Determinizmus a pravdepodobnosť. M., 1976. 256 s.
Nadácia Wikimedia.
2010.:Synonymá:
Antonymá
Pozrite si, čo je „pravdepodobnosť“ v iných slovníkoch: Všeobecné vedecké a filozofické. kategória označujúca kvantitatívny stupeň možnosti výskytu hromadných náhodných udalostí za pevne stanovených podmienok pozorovania, charakterizujúca stabilitu ich relatívnych frekvencií. V logike, sémantickom stupni......
Filozofická encyklopédia PRAVDEPODOBNOSŤ, číslo v rozsahu od nuly do jednej vrátane, predstavujúce možnosť výskytu danej udalosti. Pravdepodobnosť udalosti je definovaná ako pomer počtu šancí, že sa udalosť môže vyskytnúť, k celkovému počtu možných... ...
Vedecko-technický encyklopedický slovník S najväčšou pravdepodobnosťou.. Slovník ruských synoným a podobných výrazov. pod. vyd. N. Abramova, M.: Ruské slovníky, 1999. pravdepodobnosť možnosť, pravdepodobnosť, náhoda, objektívna možnosť, maza, prípustnosť, riziko. Ant. nemožnosť......
pravdepodobnosť Slovník synoným - Miera, že udalosť pravdepodobne nastane. Poznámka Matematická definícia pravdepodobnosti je: „reálne číslo medzi 0 a 1, ktoré je spojené s náhodnou udalosťou“. Číslo môže odrážať relatívnu frekvenciu v sérii pozorovaní... ...
Technická príručka prekladateľa Pravdepodobnosť - „matematická, numerická charakteristika stupňa možnosti výskytu akejkoľvek udalosti za určitých špecifických podmienok, ktorá sa môže opakovať neobmedzene veľakrát“. Na základe tejto klasiky......
- (pravdepodobnosť) Možnosť výskytu udalosti alebo určitého výsledku. Môže byť prezentovaná vo forme stupnice s delením od 0 do 1. Ak je pravdepodobnosť udalosti nulová, jej výskyt je nemožný. S pravdepodobnosťou rovnou 1 začiatok... Slovník obchodných pojmov
V skutočnosti sú vzorce (1) a (2). krátka poznámka podmienená pravdepodobnosť na základe kontingenčnej tabuľky charakteristík. Vráťme sa k diskutovanému príkladu (obr. 1). Predpokladajme, že sa dozvieme, že rodina plánuje kúpiť širokouhlý televízor. Aká je pravdepodobnosť, že si táto rodina takýto televízor skutočne kúpi?
Ryža. 1. Nákupné správanie širokouhlej TV
V tomto prípade musíme vypočítať podmienenú pravdepodobnosť P (nákup dokončený | plánovaný nákup). Keďže vieme, že rodina plánuje kúpu, vzorový priestor netvorí všetkých 1000 rodín, ale iba tie, ktoré plánujú kúpiť širokouhlý televízor. Z 250 takýchto rodín si 200 skutočne kúpilo tento televízor. Pravdepodobnosť, že si rodina skutočne kúpi širokouhlý televízor, ak to plánovala, sa preto dá vypočítať pomocou nasledujúceho vzorca:
P (nákup dokončený | plánovaný nákup) = počet rodín, ktoré plánovali a kúpili si širokouhlý televízor / počet rodín, ktoré plánujú kúpiť širokouhlý televízor = 200 / 250 = 0,8
Vzorec (2) dáva rovnaký výsledok:
kde je udalosť A je, že rodina plánuje kúpu širokouhlého televízora a event IN- že to skutočne kúpi. Nahradením skutočných údajov do vzorca dostaneme:
Rozhodovací strom
Na obr. 1 rodiny sú rozdelené do štyroch kategórií: tí, ktorí si plánovali kúpiť širokouhlý televízor a tí, ktorí si ho nekúpili, ako aj tí, ktorí si takýto televízor kúpili, a tí, ktorí nie. Podobnú klasifikáciu možno vykonať pomocou rozhodovacieho stromu (obr. 2). Strom zobrazený na obr. 2 má dve pobočky zodpovedajúce rodinám, ktoré si plánovali kúpiť širokouhlý televízor, a rodinám, ktoré tak neurobili. Každá z týchto pobočiek sa delí na dve ďalšie vetvy zodpovedajúce domácnostiam, ktoré si kúpili a nezakúpili širokouhlý televízor. Pravdepodobnosti napísané na koncoch dvoch hlavných vetiev sú bezpodmienečné pravdepodobnosti udalostí A A A'. Pravdepodobnosti napísané na koncoch štyroch dodatočných vetiev sú podmienené pravdepodobnosti každej kombinácie udalostí A A IN. Podmienené pravdepodobnosti sa vypočítajú vydelením spoločnej pravdepodobnosti udalostí zodpovedajúcou nepodmienenou pravdepodobnosťou každej z nich.
Ryža. 2. Rozhodovací strom
Napríklad na výpočet pravdepodobnosti, že si rodina kúpi širokouhlý televízor, ak to plánuje urobiť, je potrebné určiť pravdepodobnosť udalosti. nákup naplánovaný a dokončený a potom ho vydeľte pravdepodobnosťou udalosti plánovaná kúpa. Pohyb po rozhodovacom strome znázornenom na obr. 2, dostaneme nasledujúcu (podobnú predchádzajúcej) odpoveď:
Štatistická nezávislosť
V príklade nákupu širokouhlého televízora je pravdepodobnosť, že náhodne vybraná rodina kúpila širokouhlý televízor vzhľadom na to, že to plánovala urobiť, 200/250 = 0,8. Pripomeňme, že bezpodmienečná pravdepodobnosť, že si náhodne vybraná rodina kúpila širokouhlý televízor, je 300/1000 = 0,3. To vedie k veľmi dôležitému záveru. Predchádzajúca informácia, že rodina plánovala nákup, ovplyvňuje pravdepodobnosť samotného nákupu. Inými slovami, tieto dve udalosti na sebe závisia. Na rozdiel od tohto príkladu sú štatisticky nezávislé udalosti, ktorých pravdepodobnosti na sebe nezávisia. Štatistická nezávislosť je vyjadrená identitou: P(A|B) = P(A), Kde P(A|B)- pravdepodobnosť udalosti A za predpokladu, že udalosť nastala IN, P(A)- bezpodmienečná pravdepodobnosť udalosti A.
Upozorňujeme, že udalosti A A IN P(A|B) = P(A). Ak v kontingenčnej tabuľke charakteristík s veľkosťou 2×2 je táto podmienka splnená aspoň pre jednu kombináciu udalostí A A IN, bude platiť pre akúkoľvek inú kombináciu. V našom príklade udalostí plánovaná kúpa A nákup dokončený nie sú štatisticky nezávislé, pretože informácie o jednej udalosti ovplyvňujú pravdepodobnosť inej.
Pozrime sa na príklad, ktorý ukazuje, ako testovať štatistickú nezávislosť dvoch udalostí. Opýtajme sa 300 rodín, ktoré si kúpili širokouhlý televízor, či boli s jeho kúpou spokojní (obr. 3). Zistite, či miera spokojnosti s nákupom a typ televízora súvisia.
Ryža. 3. Údaje charakterizujúce mieru spokojnosti kupujúcich širokouhlých televízorov
Súdiac podľa týchto údajov,
zároveň
P (spokojný zákazník) = 240 / 300 = 0,80
Pravdepodobnosť, že zákazník je spokojný s nákupom a že si rodina kúpila HDTV, sú teda rovnaké a tieto udalosti sú štatisticky nezávislé, pretože spolu nesúvisia.
Pravidlo násobenia pravdepodobnosti
Vzorec na výpočet podmienenej pravdepodobnosti vám umožňuje určiť pravdepodobnosť spoločnej udalosti A a B. Po vyriešení vzorca (1)
vzhľadom na spoločnú pravdepodobnosť P(A a B), získame všeobecné pravidlo pre násobenie pravdepodobností. Pravdepodobnosť udalosti A a B rovná pravdepodobnosti udalosti A za predpokladu, že udalosť nastane IN IN:
(3) P(A a B) = P(A|B) * P(B)
Zoberme si ako príklad 80 rodín, ktoré si kúpili širokouhlý HDTV televízor (obr. 3). Z tabuľky vyplýva, že 64 rodín je s kúpou spokojných a 16 nie. Predpokladajme, že sú z nich náhodne vybrané dve rodiny. Určte pravdepodobnosť, že obaja zákazníci budú spokojní. Pomocou vzorca (3) dostaneme:
P(A a B) = P(A|B) * P(B)
kde je udalosť A je, že druhá rodina je spokojná s ich nákupom, a event IN- že prvá rodina je s ich nákupom spokojná. Pravdepodobnosť, že je prvá rodina spokojná s ich nákupom, je 64/80. Pravdepodobnosť, že bude s nákupom spokojná aj druhá rodina, však závisí od reakcie prvej rodiny. Ak sa prvá rodina po prieskume nevráti do vzorky (výber bez vrátenia), počet respondentov sa zníži na 79. Ak je prvá rodina s nákupom spokojná, pravdepodobnosť, že bude spokojná aj druhá rodina, je 63 /79, keďže vo vzorke zostalo len 63 spokojných rodín s nákupom. Nahradením konkrétnych údajov do vzorca (3) dostaneme nasledujúcu odpoveď:
P(A a B) = (63/79) (64/80) = 0,638.
Pravdepodobnosť, že obe rodiny sú s nákupom spokojné, je teda 63,8 %.
Predpokladajme, že po prieskume sa prvá rodina vráti do vzorky. Určte pravdepodobnosť, že obe rodiny budú s ich nákupom spokojné. V tomto prípade sú pravdepodobnosti, že sú obe rodiny s nákupom spokojné, rovnaké a rovnajú sa 64/80. Preto P(A a B) = (64/80)(64/80) = 0,64. Pravdepodobnosť, že obe rodiny sú s nákupom spokojné, je teda 64,0 %. Tento príklad ukazuje, že výber druhej rodiny nezávisí od výberu prvej. Nahradením podmienenej pravdepodobnosti vo vzorci (3) P(A|B) pravdepodobnosť P(A), získame vzorec na vynásobenie pravdepodobnosti nezávislých udalostí.
Pravidlo pre násobenie pravdepodobnosti nezávislých udalostí. Ak udalosti A A IN sú štatisticky nezávislé, pravdepodobnosť udalosti A a B rovná pravdepodobnosti udalosti A, vynásobené pravdepodobnosťou udalosti IN.
(4) P(A a B) = P(A)P(B)
Ak toto pravidlo platí pre udalosti A A IN, čo znamená, že sú štatisticky nezávislé. Existujú teda dva spôsoby, ako určiť štatistickú nezávislosť dvoch udalostí:
- Udalosti A A IN sú navzájom štatisticky nezávislé vtedy a len vtedy P(A|B) = P(A).
- Udalosti A A B sú navzájom štatisticky nezávislé vtedy a len vtedy P(A a B) = P(A)P(B).
Ak v kontingenčnej tabuľke charakteristík s veľkosťou 2×2 je jedna z týchto podmienok splnená aspoň pre jednu kombináciu udalostí A A B, bude platiť pre akúkoľvek inú kombináciu.
Bezpodmienečná pravdepodobnosť elementárnej udalosti
(5) P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2)P(B 2) + … + P(A|B k)P(B k)
kde udalosti B 1, B 2, ... B k sa navzájom vylučujú a vyčerpávajú.
Ukážme si aplikáciu tohto vzorca na príklade z obr. 1. Pomocou vzorca (5) dostaneme:
P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2)P(B 2)
Kde P(A)- pravdepodobnosť, že nákup bol plánovaný, P(B 1)- pravdepodobnosť, že sa nákup uskutoční, P(B 2)- pravdepodobnosť, že nákup nie je dokončený.
BAYESOVA TEOREM
Podmienená pravdepodobnosť udalosti berie do úvahy informáciu, že nastala nejaká iná udalosť. Tento prístup možno použiť na spresnenie pravdepodobnosti s prihliadnutím na novoprijaté informácie, ako aj na výpočet pravdepodobnosti, že pozorovaný účinok je dôsledkom špecifickej príčiny. Postup na spresnenie týchto pravdepodobností sa nazýva Bayesova veta. Prvýkrát ho vyvinul Thomas Bayes v 18. storočí.
Predpokladajme, že vyššie uvedená spoločnosť robí prieskum trhu pre nový model televízora. V minulosti bolo 40 % televízorov vytvorených spoločnosťou úspešných, zatiaľ čo 60 % modelov nebolo uznaných. Pred oznámením vydania nového modelu marketingoví špecialisti starostlivo skúmajú trh a zaznamenávajú dopyt. V minulosti sa predpokladalo, že 80 % úspešných modelov bude úspešných, zatiaľ čo 30 % úspešných predpovedí sa ukázalo ako nesprávne. Marketingové oddelenie poskytlo priaznivú predpoveď pre nový model. Aká je pravdepodobnosť, že bude dopyt po novom modeli televízora?
Bayesovu vetu možno odvodiť z definícií podmienenej pravdepodobnosti (1) a (2). Na výpočet pravdepodobnosti P(B|A) použite vzorec (2):
a namiesto P(A a B) nahraďte hodnotu zo vzorca (3):
P(A a B) = P(A|B) * P(B)
Nahradením vzorca (5) namiesto P(A) dostaneme Bayesovu vetu:
kde udalosti B 1, B 2, ... B k sa navzájom vylučujú a vyčerpávajú.
Uveďme nasledujúci zápis: udalosť S - Televízia je žiadaná, udalosť S' - TV nie je žiadaná, udalosť F - priaznivá prognóza, udalosť F' - zlá prognóza. Predpokladajme, že P(S) = 0,4, P(S’) = 0,6, P(F|S) = 0,8, P(F|S’) = 0,3. Aplikovaním Bayesovej vety dostaneme:
Pravdepodobnosť dopytu po novom modeli televízora pri priaznivej prognóze je 0,64. Pravdepodobnosť nedostatku dopytu pri priaznivej prognóze je teda 1–0,64=0,36. Proces výpočtu je znázornený na obr. 4.
Ryža. 4. a) Výpočty s použitím Bayesovho vzorca na odhad pravdepodobnosti dopytu po televízoroch; (b) Rozhodovací strom pri skúmaní dopytu po novom modeli televízora
Pozrime sa na príklad použitia Bayesovej vety pre medicínsku diagnostiku. Pravdepodobnosť, že osoba trpí konkrétnou chorobou, je 0,03. Lekársky test môže overiť, či je to pravda. Ak je človek skutočne chorý, pravdepodobnosť presnej diagnózy (hovorí, že človek je chorý, keď je naozaj chorý) je 0,9. Ak je človek zdravý, pravdepodobnosť falošne pozitívnej diagnózy (hovorí, že človek je chorý, keď je zdravý) je 0,02. Povedzme, že lekársky test dáva pozitívny výsledok. Aká je pravdepodobnosť, že je človek skutočne chorý? Aká je pravdepodobnosť presnej diagnózy?
Uveďme nasledujúci zápis: udalosť D - človek je chorý, udalosť D' - človek je zdravý, udalosť T - diagnóza je pozitívna, udalosť T' - diagnóza negatívna. Z podmienok úlohy vyplýva, že P(D) = 0,03, P(D’) = 0,97, P(T|D) = 0,90, P(T|D’) = 0,02. Použitím vzorca (6) dostaneme:
Pravdepodobnosť, že pri pozitívnej diagnóze je človek skutočne chorý, je 0,582 (pozri aj obr. 5). Všimnite si, že menovateľ Bayesovho vzorca rovná pravdepodobnosti pozitívna diagnóza, t.j. 0,0464.
Profesionálny stávkar musí dobre rozumieť kurzom, rýchlo a správne odhadnúť pravdepodobnosť udalosti koeficientom a v prípade potreby byť schopný previesť kurzy z jedného formátu do druhého. V tejto príručke si povieme o tom, aké typy koeficientov existujú, a tiež použijeme príklady, ktoré ukážu, ako môžete vypočítajte pravdepodobnosť pomocou známeho koeficientu a naopak.
Aké typy šancí existujú?
Stávkové kancelárie ponúkajú hráčom tri hlavné typy kurzov: desiatkový kurz, zlomkový kurz(angličtina) a americké kurzy . Najbežnejšie kurzy v Európe sú desiatkové. IN Severná Amerika Americké kurzy sú populárne. Zlomkové kurzy sú najviac tradičný vzhľad, okamžite odrážajú informáciu o tom, koľko musíte staviť, aby ste získali určitú sumu.
Desatinný kurz
Desatinné alebo sa tiež nazývajú európske kurzy je známy číselný formát reprezentovaný desiatkový presné na stotiny a niekedy aj na tisíciny. Príkladom desiatkovej nepárny je 1,91. Výpočet zisku v prípade desatinných kurzov je veľmi jednoduchý, stačí vynásobiť výšku vašej stávky týmto kurzom. Napríklad v zápase „Manchester United“ - „Arsenal“ je víťazstvo „Manchester United“ nastavené s koeficientom 2,05, remíza sa odhaduje s koeficientom 3,9 a víťazstvo „Arsenal“ sa rovná 2,95. Povedzme, že sme si istí, že United vyhrajú a vsadili sme na nich 1 000 dolárov. Potom sa náš možný príjem vypočíta takto:
2.05 * $1000 = $2050;
Naozaj to nie je také zložité, však?! Pri stávke na remízu alebo víťazstvo Arsenalu sa možný príjem vypočíta rovnakým spôsobom.
Kresliť: 3.9 * $1000 = $3900;
Výhra Arsenalu: 2.95 * $1000 = $2950;
Ako vypočítať pravdepodobnosť udalosti pomocou desatinných kurzov?
Teraz si predstavte, že potrebujeme určiť pravdepodobnosť udalosti na základe desiatkového kurzu stanoveného stávkovou kanceláriou. To sa tiež robí veľmi jednoducho. Aby sme to dosiahli, vydelíme jednu týmto koeficientom.
Vezmime si existujúce údaje a vypočítame pravdepodobnosť každej udalosti:
Výhra Manchestru United: 1 / 2.05 = 0,487 = 48,7%;
Kresliť: 1 / 3.9 = 0,256 = 25,6%;
Výhra Arsenalu: 1 / 2.95 = 0,338 = 33,8%;
zlomkové kurzy (anglicky)
Ako už názov napovedá zlomkový koeficient prezentované obyčajný zlomok. Príkladom anglického kurzu je 5/2. Čitateľ zlomku obsahuje číslo, ktoré predstavuje potenciálnu výšku čistej výhry, a menovateľ obsahuje číslo označujúce sumu, ktorú je potrebné staviť, aby ste túto výhru dostali. Jednoducho povedané, musíme staviť 2 doláre, aby sme vyhrali 5 dolárov. Kurz 3/2 znamená, že na to, aby sme získali 3 doláre v čistej výhre, budeme musieť staviť 2 doláre.
Ako vypočítať pravdepodobnosť udalosti pomocou zlomkových kurzov?
Tiež nie je ťažké vypočítať pravdepodobnosť udalosti pomocou zlomkových kurzov, stačí vydeliť menovateľa súčtom čitateľa a menovateľa.
Pre zlomok 5/2 vypočítame pravdepodobnosť: 2 / (5+2) = 2 / 7 = 0,28 = 28%;
Pre zlomok 3/2 vypočítame pravdepodobnosť:
americké kurzy
americké kurzy nepopulárny v Európe, ale veľmi populárny v Severnej Amerike. Možno je tento typ koeficientov najkomplexnejší, ale to je len na prvý pohľad. V skutočnosti v tomto type koeficientov nie je nič zložité. Teraz poďme na to všetko po poriadku.
Hlavnou črtou amerických kurzov je, že môžu byť buď pozitívne, takže negatívne. Príklad amerického kurzu - (+150), (-120). Americký kurz (+150) znamená, že aby sme zarobili 150 dolárov, musíme staviť 100 dolárov. Inými slovami, kladný americký koeficient odráža potenciálny čistý zárobok pri stávke 100 USD. Záporný americký kurz odráža výšku stávky, ktorú je potrebné uskutočniť, aby ste získali čistú výhru 100 $. Napríklad koeficient (-120) nám hovorí, že stávkou 120 USD vyhráme 100 USD.
Ako vypočítať pravdepodobnosť udalosti pomocou amerických kurzov?
Pravdepodobnosť udalosti pomocou amerického koeficientu sa vypočíta pomocou nasledujúcich vzorcov:
(-(M)) / ((-(M)) + 100), kde M je záporný americký koeficient;
100/(P+100), kde P je kladný americký koeficient;
Napríklad máme koeficient (-120), potom sa pravdepodobnosť vypočíta takto:
(-(M))/((-(M)) + 100); nahraďte „M“ hodnotou (-120);
(-(-120)) / ((-(-120)) + 100 = 120 / (120 + 100) = 120 / 220 = 0,545 = 54,5%;
Pravdepodobnosť udalosti s americkým kurzom (-120) je teda 54,5 %.
Napríklad máme koeficient (+150), potom sa pravdepodobnosť vypočíta takto:
100/(P+100); nahraďte „P“ hodnotou (+150);
100 / (150 + 100) = 100 / 250 = 0,4 = 40%;
Pravdepodobnosť udalosti s americkým kurzom (+150) je teda 40 %.
Ako, keď poznáme percento pravdepodobnosti, previesť ho na desatinný koeficient?
Ak chcete vypočítať desatinný koeficient na základe známeho percenta pravdepodobnosti, musíte vydeliť 100 pravdepodobnosťou udalosti v percentách. Napríklad pravdepodobnosť udalosti je 55%, potom sa desatinný koeficient tejto pravdepodobnosti bude rovnať 1,81.
100 / 55% = 1,81
Ako, keď poznáme percento pravdepodobnosti, previesť ho na zlomkový koeficient?
Ak chcete vypočítať zlomkový koeficient na základe známeho percenta pravdepodobnosti, musíte odpočítať jednotku od delenia 100 pravdepodobnosťou udalosti v percentách. Napríklad, ak máme percento pravdepodobnosti 40 %, potom sa zlomkový koeficient tejto pravdepodobnosti bude rovnať 3/2.
(100 / 40%) - 1 = 2,5 - 1 = 1,5;
Zlomkový koeficient je 1,5/1 alebo 3/2.
Ako, keď poznáme percento pravdepodobnosti, previesť ho na americký koeficient?
Ak je pravdepodobnosť udalosti väčšia ako 50%, výpočet sa vykoná pomocou vzorca:
- ((V) / (100 - V)) * 100, kde V je pravdepodobnosť;
Napríklad, ak je pravdepodobnosť udalosti 80 %, potom americký koeficient tejto pravdepodobnosti bude rovný (-400).
- (80 / (100 - 80)) * 100 = - (80 / 20) * 100 = - 4 * 100 = (-400);
Ak je pravdepodobnosť udalosti menšia ako 50%, výpočet sa vykoná pomocou vzorca:
((100 - V) / V) * 100, kde V je pravdepodobnosť;
Napríklad, ak máme percentuálnu pravdepodobnosť udalosti 20 %, potom americký koeficient tejto pravdepodobnosti bude rovný (+400).
((100 - 20) / 20) * 100 = (80 / 20) * 100 = 4 * 100 = 400;
Ako previesť koeficient do iného formátu?
Sú chvíle, keď je potrebné previesť kurzy z jedného formátu do druhého. Napríklad máme zlomkový kurz 3/2 a musíme ho previesť na desatinné číslo. Ak chcete previesť zlomkový kurz na desatinný kurz, najprv určíme pravdepodobnosť udalosti pomocou zlomkového kurzu a potom túto pravdepodobnosť prevedieme na desatinný kurz.
Pravdepodobnosť udalosti so zlomkovým kurzom 3/2 je 40 %.
2 / (3+2) = 2 / 5 = 0,4 = 40%;
Teraz preveďte pravdepodobnosť udalosti na desatinný koeficient, aby ste to urobili, vydeľte 100 pravdepodobnosťou udalosti v percentách:
100 / 40% = 2.5;
Čiže zlomkový kurz 3/2 sa rovná desiatkový koeficient 2.5. Podobným spôsobom sa napríklad americké kurzy prepočítavajú na zlomkové, desiatkové na americké atď. Najťažšie na tom všetkom sú práve výpočty.
V ekonomike, ako aj v iných oblastiach ľudská činnosť alebo v prírode sa neustále musíme zaoberať udalosťami, ktoré sa nedajú presne predpovedať. Objem predaja produktu teda závisí od dopytu, ktorý sa môže výrazne líšiť, a od množstva ďalších faktorov, ktoré je takmer nemožné vziať do úvahy. Preto pri organizovaní výroby a realizácii predaja musíte predvídať výsledok takýchto aktivít buď na základe vlastných predchádzajúcich skúseností, alebo podobných skúseností iných ľudí, prípadne intuície, ktorá sa do veľkej miery opiera aj o experimentálne dáta.
Aby bolo možné nejako zhodnotiť predmetnú udalosť, je potrebné vziať do úvahy alebo špeciálne zorganizovať podmienky, v ktorých sa táto udalosť zaznamenáva.
Nazýva sa implementácia určitých podmienok alebo akcií na identifikáciu predmetnej udalosti skúsenosti alebo experimentovať.
Podujatie sa volá náhodný, ak v dôsledku skúseností môže, ale nemusí nastať.
Podujatie sa volá spoľahlivý, ak sa nevyhnutne objaví ako výsledok danej skúsenosti, a nemožné, ak sa nemôže objaviť v tomto zážitku.
Napríklad sneženie v Moskve 30. novembra je náhodná udalosť. Každodenný východ slnka možno považovať za spoľahlivú udalosť. Sneženie na rovníku možno považovať za nemožnú udalosť.
Jednou z hlavných úloh teórie pravdepodobnosti je úloha určiť kvantitatívnu mieru možnosti výskytu udalosti.
Algebra udalostí
Udalosti sa nazývajú nezlučiteľné, ak ich nemožno pozorovať spolu v rovnakom zážitku. Prítomnosť dvoch a troch áut v jednej predajni na predaj v rovnakom čase sú teda dve nezlučiteľné udalosti.
Suma udalosťou je udalosť pozostávajúca z výskytu aspoň jednej z týchto udalostí
Príkladom súčtu udalostí je prítomnosť aspoň jedného z dvoch produktov v predajni.
Dielo udalosti je udalosť pozostávajúca zo súčasného výskytu všetkých týchto udalostí
Udalosť pozostávajúca z objavenia sa dvoch tovarov v predajni súčasne je produktom udalostí: - vzhľad jedného produktu, - vzhľad iného produktu.
Formulár udalostí celá skupina udalosti, ak sa aspoň jedna z nich určite vyskytne.
Príklad. Prístav má dve kotviská na prijímanie lodí. Do úvahy možno považovať tri udalosti: - neprítomnosť lodí v kotviskách, - prítomnosť jednej lode na jednom z kotvísk, - prítomnosť dvoch lodí na dvoch kotviskách. Tieto tri udalosti tvoria ucelenú skupinu udalostí.
Naproti volajú sa len dvaja možné udalosti, tvoriaci ucelenú skupinu.
Ak je jedna z opačných udalostí označená ako , potom sa opačná udalosť zvyčajne označuje ako .
Klasické a štatistické definície pravdepodobnosti udalosti
Každý z rovnako možných výsledkov testov (experimentov) sa nazýva elementárny výsledok. Zvyčajne sú označené písmenami. Napríklad ponáhľa kocky. Na základe počtu bodov na stranách môže byť celkovo šesť základných výsledkov.
Z elementárnych výsledkov môžete vytvoriť komplexnejšiu udalosť. Udalosť s párnym počtom bodov je teda určená tromi výsledkami: 2, 4, 6.
Kvantitatívnym meradlom možnosti výskytu predmetnej udalosti je pravdepodobnosť.
Najpoužívanejšie definície pravdepodobnosti udalosti sú: klasický A štatistické.
Klasická definícia pravdepodobnosti je spojená s pojmom priaznivý výsledok.
Výsledok je tzv priaznivé túto udalosť, ak jeho vzhľad znamená výskyt tejto udalosti.
Vo vyššie uvedenom príklade má daná udalosť – párny počet bodov na hodenej strane – tri priaznivé výsledky. V tomto prípade generál
počet možných výsledkov. Takže tu môžete použiť klasická definícia pravdepodobnosť udalosti.
Klasická definícia sa rovná pomeru počtu priaznivých výsledkov k celkovému počtu možných výsledkov
kde je pravdepodobnosť udalosti, je počet výsledkov priaznivých pre udalosť, celkový počet možné výsledky.
V uvažovanom príklade
Štatistická definícia pravdepodobnosti je spojená s pojmom relatívnej frekvencie výskytu udalosti v experimentoch.
Relatívna frekvencia výskytu udalosti sa vypočíta pomocou vzorca
kde je počet výskytov udalosti v sérii experimentov (testov).
Štatistická definícia. Pravdepodobnosť udalosti je číslo, okolo ktorého sa relatívna frekvencia ustáli (nastaví) s neobmedzeným nárastom počtu experimentov.
IN praktické problémy pravdepodobnosť udalosti sa považuje za dostatočnú relatívnu frekvenciu veľké množstvo testy.
Z týchto definícií pravdepodobnosti udalosti je zrejmé, že nerovnosť je vždy splnená
Na určenie pravdepodobnosti udalosti na základe vzorca (1.1) sa často používajú kombinatorikové vzorce, ktoré sa používajú na zistenie počtu priaznivých výsledkov a celkového počtu možných výsledkov.
Pravdepodobnosť udalosť je pomer počtu elementárnych výsledkov priaznivých pre danú udalosť k počtu všetkých rovnako možných výsledkov skúsenosti, v ktorej sa táto udalosť môže objaviť. Pravdepodobnosť udalosti A je označená P(A) (tu P je prvé písmeno Francúzske slovo pravdepodobnosť – pravdepodobnosť). Podľa definície
(1.2.1)
kde je počet základných výsledkov priaznivých pre udalosť A; - počet všetkých rovnako možných elementárnych výstupov experimentu, tvoriacich ucelenú skupinu dejov.
Táto definícia pravdepodobnosti sa nazýva klasická. Vznikla dňa počiatočné štádium vývoj teórie pravdepodobnosti.
Pravdepodobnosť udalosti má nasledujúce vlastnosti:
1. Pravdepodobnosť spoľahlivá udalosť rovný jednej. Spoľahlivú udalosť označme písmenom . Na určitú udalosť teda
(1.2.2)
2. Pravdepodobnosť nemožnej udalosti je nulová. Nemožnú udalosť označme písmenom . Na nemožnú udalosť teda
(1.2.3)
3. Vyjadrí sa pravdepodobnosť náhodnej udalosti kladné číslo, menej ako jeden. Keďže pre náhodnú udalosť sú splnené nerovnosti , alebo
(1.2.4)
4. Pravdepodobnosť akejkoľvek udalosti spĺňa nerovnosti
(1.2.5)
Vyplýva to zo vzťahov (1.2.2) - (1.2.4).
Príklad 1 Urna obsahuje 10 loptičiek rovnakej veľkosti a hmotnosti, z ktorých sú 4 červené a 6 modrých. Z urny sa vytiahne jedna loptička. Aká je pravdepodobnosť, že vytiahnutá loptička bude modrá?
Riešenie. Udalosť „vytiahnutá loptička sa ukázala ako modrá“ označujeme písmenom A. Tento test má 10 rovnako možných elementárnych výsledkov, z ktorých 6 uprednostňuje udalosť A. Podľa vzorca (1.2.1) dostaneme 
Príklad 2 Všetky prirodzené čísla od 1 do 30 sú napísané na rovnakých kartičkách a vložené do urny. Po dôkladnom zamiešaní kariet sa z urny vyberie jedna karta. Aká je pravdepodobnosť, že číslo na odobranej karte je násobkom 5?
Riešenie. Označme A udalosť „číslo na prevzatej karte je násobkom 5“. V tomto teste existuje 30 rovnako možných základných výsledkov, z ktorých je udalosť A uprednostňovaná 6 výsledkami (čísla 5, 10, 15, 20, 25, 30). teda 
Príklad 3 Hodia sa dve kocky a vypočíta sa súčet bodov na horných plochách. Nájdite pravdepodobnosť udalosti B takú, že horné strany kociek majú spolu 9 bodov.
Riešenie. V tomto teste je len 6 2 = 36 rovnako možných elementárnych výsledkov. Udalosť B uprednostňujú 4 výsledky: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), preto 
Príklad 4. Prirodzené číslo nie väčšie ako 10 je vybrané náhodne. Aká je pravdepodobnosť, že toto číslo je prvočíslo?
Riešenie. Označme písmenom C udalosť „zvolené číslo je prvočíslo“. V tomto prípade n = 10, m = 4 ( prvočísla 2, 3, 5, 7). Preto požadovaná pravdepodobnosť 
Príklad 5. Hodia sa dve symetrické mince. Aká je pravdepodobnosť, že na horných stranách oboch mincí sú čísla?
Riešenie. Označme písmenom D udalosť „na vrchnej strane každej mince je číslo“. V tomto teste sú 4 rovnako možné základné výsledky: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (Zápis (G, C) znamená, že na prvej minci je erb, na druhej je číslo). Udalosť D je zvýhodnená jedným základným výsledkom (C, C). Pretože m = 1, n = 4, potom 
Príklad 6. Aká je pravdepodobnosť, že náhodne vybrané dvojciferné číslo má rovnaké číslice?
Riešenie. Dvojciferné čísla sú čísla od 10 do 99; Takýchto čísel je celkovo 90, pričom 9 čísel má rovnaké číslice (sú to čísla 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Pretože v tomto prípade m = 9, n = 90, potom 
,
kde A je udalosť „číslo s rovnakými číslicami“.
Príklad 7. Z písmen slova diferenciál Jedno písmeno sa vyberie náhodne. Aká je pravdepodobnosť, že toto písmeno bude: a) samohláska, b) spoluhláska, c) písmeno h?
Riešenie. Slovo diferenciál má 12 písmen, z toho 5 samohlások a 7 spoluhlások. Listy h v tomto slove nie je žiadne. Označme udalosti: A - „písmeno samohlásky“, B - „písmeno spoluhlásky“, C - „písmeno h". Počet priaznivých elementárnych výsledkov: - pre udalosť A, - pre udalosť B, - pre udalosť C. Keďže n = 12, potom
, A .
Príklad 8. Hodia sa dve kocky a zaznamená sa počet bodov na vrchu každej kocky. Nájdite pravdepodobnosť, že obe kocky dostanú rovnaké číslo bodov.
Riešenie. Označme túto udalosť písmenom A. Udalosť A uprednostňuje 6 základných výsledkov: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6 ;6). Celkový počet rovnako možných elementárnych výsledkov, ktoré tvoria kompletnú skupinu udalostí, v tomto prípade n=6 2 =36. To znamená, že požadovaná pravdepodobnosť 
Príklad 9. Kniha má 300 strán. Akú pravdepodobnosť bude mať náhodne otvorená stránka sériové číslo, násobok 5?
Riešenie. Z podmienok úlohy vyplýva, že všetky rovnako možné elementárne výsledky, ktoré tvoria ucelenú skupinu udalostí, budú n = 300. Z nich m = 60 uprednostňuje výskyt špecifikovanej udalosti. V skutočnosti číslo, ktoré je násobkom 5, má tvar 5k, kde k je prirodzené číslo a , odkiaľ 
. teda 
, kde A - udalosť „stránka“ má poradové číslo, ktoré je násobkom 5“.
Príklad 10. Hodia sa dve kocky a vypočíta sa súčet bodov na horných plochách. Čo je pravdepodobnejšie - získať celkovo 7 alebo 8?
Riešenie. Označme udalosti: A - „Hodí sa 7 bodov“, B – „Hodí sa 8 bodov“. Udalosť A je uprednostnená na základe 6 základných výsledkov: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1) a uprednostňuje sa udalosť B o 5 výsledkov: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Všetky rovnako možné elementárne výsledky sú n = 6 2 = 36. A .
Takže, P(A)>P(B), to znamená, že získanie celkového počtu 7 bodov je pravdepodobnejšia udalosť ako získanie celkového počtu 8 bodov.
Úlohy
1. Náhodne sa vyberie prirodzené číslo nepresahujúce 30 Aká je pravdepodobnosť, že toto číslo je násobkom 3?
2. V urne ačervená a b modré gule rovnakej veľkosti a hmotnosti. Aká je pravdepodobnosť, že náhodne vytiahnutá loptička z tejto urny bude modrá?
3. Náhodne sa vyberie číslo nepresahujúce 30 Aká je pravdepodobnosť, že toto číslo je deliteľom 30?
4. V urne A modrá a bčervené gule rovnakej veľkosti a hmotnosti. Z tejto urny sa vyberie jedna loptička a odloží sa. Táto guľa sa ukázala ako červená. Potom sa z urny vytiahne ďalšia loptička. Nájdite pravdepodobnosť, že druhá guľa je tiež červená.
5. Náhodne sa vyberie národné číslo nepresahujúce 50. Aká je pravdepodobnosť, že toto číslo je prvočíslo?
6. Hodia sa tri kocky a vypočíta sa súčet bodov na horných plochách. Čo je pravdepodobnejšie - získať spolu 9 alebo 10 bodov?
7. Hodia sa tri kocky a vypočíta sa súčet hodených bodov. Čo je pravdepodobnejšie – získať spolu 11 (udalosť A) alebo 12 bodov (udalosť B)?
Odpovede
1. 1/3. 2 . b/(a+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(a+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 - pravdepodobnosť získania celkovo 9 bodov; p 2 = 27/216 - pravdepodobnosť získania celkovo 10 bodov; p 2 > p 1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).
Otázky
1. Ako sa nazýva pravdepodobnosť udalosti?
2. Aká je pravdepodobnosť spoľahlivej udalosti?
3. Aká je pravdepodobnosť nemožnej udalosti?
4. Aké sú hranice pravdepodobnosti náhodnej udalosti?
5. Aké sú hranice pravdepodobnosti akejkoľvek udalosti?
6. Aká definícia pravdepodobnosti sa nazýva klasická?