กฎพื้นฐานของคนรวยประการหนึ่งคือการจดบันทึกรายได้และรายจ่ายของตน ไม่ใช่บริษัทเดียว ไม่ใช่องค์กรเดียว ไม่ใช่การค้าเดียวที่สามารถทำได้โดยไม่ต้องทำบัญชี การบัญชีสมัยใหม่ใช้การลงรายการสองครั้ง - วิธีการรักษาบัญชีซึ่งมีการบันทึกความเคลื่อนไหวของเงินทุนสองครั้ง: ทางด้านซ้ายและด้านขวาของบัญชี และมีน้อยคนที่รู้ว่าผู้เขียนระบบนี้คือพระภิกษุแห่งคณะสงฆ์ Florentine Luca Pacioli

ศตวรรษอันงดงาม

เราเชื่อมโยงยุคฟื้นฟูศิลปวิทยาเข้ากับ Dante, Boccaccio, Michelangelo, Leonardo... แต่ความเจริญรุ่งเรืองของศิลปะและวิทยาศาสตร์ในรัฐของคาบสมุทร Apennine ในช่วงศตวรรษที่ 14-16 - ฟลอเรนซ์, เจนัว, เวนิส, เนเปิลส์ - คงเป็นไปไม่ได้หากไม่มี ความเจริญรุ่งเรืองของเศรษฐกิจและการค้า ศิลปิน สถาปนิก นักวิทยาศาสตร์ กวีผู้ยิ่งใหญ่ไม่ได้สร้างขึ้นด้วยตัวเอง แต่ตามคำขอของผู้สนับสนุน - ดุ๊ก กอนฟาโลเนียร์ และพลเมืองที่ร่ำรวย บุคคลสำคัญทางวัฒนธรรมที่ได้รับความนิยมเป็นพิเศษ ผู้แข็งแกร่งของโลกพวกเขาเองก็อุปถัมภ์คนที่พวกเขาเห็นพรสวรรค์ด้วย

ผู้อุปถัมภ์ที่มีชื่อเสียงคนหนึ่งคือ Duke Federico de Montefeltro ผู้ปกครองรัฐเออร์บิโน ในศตวรรษที่ 15 พระองค์ทรงดำรงราชสำนักอันมั่งคั่งและอุปถัมภ์วิทยาศาสตร์และศิลปะ ในบรรดาพรสวรรค์ที่ Duke ชอบล้อมรอบตัวเอง Leon Battista Alberti มีความโดดเด่นทั้งนักวิทยาศาสตร์ นักเขียน นักดนตรี และสถาปนิกที่โดดเด่น เขาทำลายหลักการของสถาปัตยกรรมกอธิคยุคกลางและหันไปหามรดกของโรมโบราณ

เขาเป็นคนที่สังเกตเห็นในปี 1464 Luca Pacioli วัย 19 ปีซึ่งในเวลานั้นรับหน้าที่เป็นเด็กฝึกงานของศิลปินชื่อดัง Piero della Francesca ชายหนุ่มมีพื้นเพมาจากเมืองเล็กๆ ชื่อ Borgo San Sepolcro ซึ่งตั้งอยู่บนฝั่งแม่น้ำ Tiber และต่อมาเป็นของสาธารณรัฐฟลอเรนซ์

Alberti แนะนำชายหนุ่มให้รู้จักกับ Antonio de Rompianzi พ่อค้าชาวเวนิสผู้มั่งคั่งเพื่อเป็นครูสอนคณิตศาสตร์ให้กับลูกๆ ของเขา ลุคย้ายไปเวนิส ลูกหลานของพ่อค้าจำเป็นต้องใช้คณิตศาสตร์สำหรับธุรกิจของพวกเขา - เพื่อการค้าขายอย่างเชี่ยวชาญและประสบความสำเร็จ ดังนั้น Pacioli จึงตีพิมพ์หนังสือเรียนเกี่ยวกับเลขคณิตเชิงพาณิชย์ในปี 1470

ในปีเดียวกันนั้น นักวิทยาศาสตร์หนุ่มออกจากเวนิสและย้ายไปโรมเพื่อไปหาสถาปนิกผู้อุปถัมภ์ของเขา Alberti ในเมืองนิรันดร์ ลุคมองเห็นซากปรักหักพังมากมายในเมืองหลวงของอาณาจักรโบราณ อาคารยุคกลางที่พังทลายจำนวนมาก และอาคารไม่กี่หลังของสถาปนิกผู้ยิ่งใหญ่หน้าใหม่ Pacioli มีโอกาสเห็นได้อย่างชัดเจนว่าเฉพาะผู้ที่เคยคำนวณถูกต้องมาก่อนเท่านั้นที่สร้างผลงานได้ดี

ในเวลานั้นสิ่งนี้ไม่ชัดเจนนัก: เมื่อวางรากฐานของอาคารพวกเขามักจะ "เสียสละการก่อสร้าง" โดยล้อมเด็กทารกหรือผู้หญิงที่ยังมีชีวิตอยู่ในฐานรากของบ้าน และพวกเขาพบคำอธิบายเกี่ยวกับธรรมเนียมอันป่าเถื่อนนี้ในเทววิทยาคริสเตียน: “พระบิดานิรันดร์ทรงวางพระบุตรของพระองค์เองเป็นรากฐานที่สำคัญของสิ่งสร้างทั้งมวล เพื่อช่วยโลกให้พ้นจากความเสื่อมโทรมและผ่านความตายของผู้บริสุทธิ์ เพื่อหยุดยั้งการโจมตีอันดุเดือดของกองกำลังชั่วร้าย ”

ยุคฟื้นฟูศิลปวิทยา นอกเหนือจากความเจริญรุ่งเรืองของเศรษฐศาสตร์ วิทยาศาสตร์ และศิลปะแล้ว ยังโดดเด่นด้วยความเชื่อโชคลางที่ดุร้ายที่สุดและความโหดร้ายเป็นพิเศษ นักประวัติศาสตร์และนักปรัชญา Alexei Losev เขียนว่า: “ในยุคเรอเนซองส์ พวกเขาบอกโชคลาภจากศพ เสกสรรผู้หญิงในที่สาธารณะ ทำยารัก เรียกปีศาจ ทำปฏิบัติการเวทมนตร์เมื่อวางอาคาร และฝึกโหงวเฮ้งและวิชาดูเส้นลายมือ” “การล่าแม่มด” ไม่ได้เกิดขึ้นในยุคกลางอย่างที่เชื่อกันทั่วไป แต่เกิดขึ้นในสมัยเรอเนซองส์

ภาพ: ห้องสมุดรูปภาพของ Mary Evans/Global Look

ในโลกที่ล้อมรอบ Pacioli นอกจากความโหดร้าย ความมึนเมา และความเชื่อโชคลางแล้ว ความโลภยังครอบงำอีกด้วย ตรงกันข้ามกับยุคกลางซึ่งมีอุดมการณ์นักพรตคริสเตียนอย่างแพร่หลาย ในช่วงยุคเรอเนซองส์ผู้คนมุ่งมั่นที่จะมีชีวิตที่ดี เลโอนาร์โดผู้ยิ่งใหญ่เองยอมรับว่า: "ฉันรับใช้ผู้ที่จ่ายเงินมากที่สุด" "ฉันแทบไม่สนใจว่าฉันทำอะไรและจะได้รับค่าตอบแทนอะไร" บางทีความปรารถนาที่จะตีตัวออกห่างจากสิ่งเหล่านี้ทั้งหมดและไม่ถูกรบกวนจากการวิจัยที่เขาสนใจอาจทำให้ Pacioli หันมาใช้การบำเพ็ญตบะ

ในปี 1472 เขาได้ออกจากโรมและเข้าร่วมกับนักบวชฟรานซิสกัน เขาสวมรองเท้าแตะด้วยเท้าเปล่า สวมเสื้อคลุมสีน้ำตาลที่ทำจากขนสัตว์หยาบ คาดเอวด้วยเชือกสีขาวที่มีปมสามปม เป็นสัญลักษณ์ของคำสาบานสามประการ: การเชื่อฟัง พรหมจรรย์ และความยากจน ในฐานะนักบวชแห่งคำสั่ง "เท้าเปล่า" ดังที่เรียกกันในสมัยนั้นว่า "บราเดอร์ลุค" เขียนหนังสือของเขาพร้อมคำแนะนำแก่คนรวยเกี่ยวกับวิธีการจัดการเงินและทำให้ชีวิตสวยงามและกลมกลืน เป็นที่ถกเถียงกันอยู่ว่าความมั่งคั่งเป็นอุปสรรคต่อนักวิทยาศาสตร์อย่างไร แต่ในสมัยของเรา นักคณิตศาสตร์ กริกอรี เปเรลมัน ยังปฏิเสธเงินจำนวนหนึ่งล้านดอลลาร์ที่สมควรได้รับสำหรับการพิสูจน์การคาดเดาของPoincaré

Pacioli อุทิศชีวิตให้กับวิทยาศาสตร์ ไม่ใช่เพื่อความมั่งคั่งของตัวเอง การจัดการเงินเป็นผลประโยชน์ทางวิทยาศาสตร์ล้วนๆ สำหรับเขา เขาเป็นพระภิกษุตั้งแต่ปี 1477 ถึง 1480 เขาสอนคณิตศาสตร์ที่มหาวิทยาลัยเปรูเกีย เขาใช้เวลาแปดปีใน Zara (ปัจจุบันคือซาดาร์ในโครเอเชีย) จากนั้นจึงเปลี่ยนสถานที่อยู่อาศัยของเขามากกว่าหนึ่งครั้ง และเขาเขียนงานหลักในชีวิตของเขา - สารานุกรม "ผลรวมของเลขคณิต, เรขาคณิต, ความสัมพันธ์และสัดส่วน" ในปี ค.ศ. 1493 งานเกี่ยวกับหนังสือเล่มนี้เสร็จสมบูรณ์

ราชินีแห่งวิทยาศาสตร์

พระภิกษุอุทิศงานของเขาให้กับ Guido Ubaldo de Montefeltro บุตรชายของอดีต Duke of Urbino ผู้อุปถัมภ์ระดับสูงช่วยจัดพิมพ์หนังสือเล่มนี้ในเมืองเวนิสในปี 1494 นี่เป็นสารานุกรมเล่มหนา 300 หน้า มี 224 แผ่นสำหรับวิชาเลขคณิตและพีชคณิต และ 76 แผ่นสำหรับเรขาคณิต

หนังสือเล่มนี้ไม่ได้เขียนเป็นภาษาละติน ซึ่งในสมัยนั้นผู้รอบรู้ทั่วโลกใช้ แต่เป็นภาษาอิตาลีในสมัยนั้น ในการอุทิศ ผู้เขียนอธิบายว่า: “ความเข้าใจที่ถูกต้องเกี่ยวกับคำศัพท์ยากๆ ในหมู่ชาวลาตินได้สิ้นสุดลงแล้วเนื่องจากข้อเท็จจริงที่ว่า ครูที่ดีกลายเป็นของหายาก และถึงแม้ว่าสไตล์ของซิเซโรหรือสูงกว่านั้นจะเหมาะกับดยุคของคุณมากกว่า แต่ฉันเชื่อว่าไม่ใช่ทุกคนที่จะสามารถใช้ประโยชน์จากแหล่งที่มาของคารมคมคายนี้ได้ ดังนั้น โดยคำนึงถึงผลประโยชน์ของผลประโยชน์ทั่วไปของอาสาสมัครที่เคารพนับถือของคุณ ฉันจึงตัดสินใจเขียนเรียงความของฉันเป็นภาษาท้องถิ่น เพื่อให้ทั้งผู้มีการศึกษาและไม่ได้รับการศึกษาสามารถเพลิดเพลินกับกิจกรรมเหล่านี้ได้

ในคำนำ Pacioli กล่าวถึงความเชื่อของเขาที่ว่าคณิตศาสตร์เกี่ยวข้องกับ "กฎสากลที่ใช้ได้กับทุกสิ่ง" เขายกตัวอย่างจากดาราศาสตร์ สถาปัตยกรรม และพูดคุยเกี่ยวกับจิตรกรจำนวนมากที่พัฒนาศิลปะแห่งการมองเห็น “ซึ่งหากพิจารณาอย่างถี่ถ้วนแล้ว จะเป็นสถานที่ว่างเปล่าโดยไม่ต้องใช้การคำนวณทางคณิตศาสตร์” ปรมาจารย์ด้านศิลปะซึ่งเขาชื่นชม “การใช้การคำนวณในงานของพวกเขาด้วยความช่วยเหลือในระดับและเข็มทิศ ได้นำพวกเขาไปสู่ความสมบูรณ์แบบที่ไม่ธรรมดา” Pacioli ยังกล่าวถึงความสำคัญของคณิตศาสตร์สำหรับดนตรี จักรวาลวิทยา ศิลปะเครื่องกล การสงคราม และแน่นอน การค้าขาย

ในงานอีกชิ้นของเขา "On Divine Proportion" ที่อุทิศให้กับ Duke of Milan Ludovico Sforza บราเดอร์ Luca เขียนว่า: "ผู้สุขุมรอบคอบรู้สุภาษิต: Aurum probatur igni et ingenium mathematicis นั่นคือทองคำถูกทดสอบด้วยไฟ และความเข้าใจในจิตใจโดยหลักคณิตศาสตร์ ข้อความนี้บอกคุณว่าจิตใจที่ดีของนักคณิตศาสตร์นั้นเปิดกว้างที่สุดสำหรับวิทยาศาสตร์ทุกประเภท เพราะพวกเขาคุ้นเคยกับสิ่งที่เป็นนามธรรมและความละเอียดอ่อนมากที่สุด เพราะพวกเขามักจะคำนึงถึงสิ่งที่อยู่นอกเหนือเรื่องที่สมเหตุสมผลเสมอ

ที่มหาวิทยาลัยมิลาน ซึ่ง Pacioli ได้รับเชิญให้เป็นหัวหน้าภาควิชาคณิตศาสตร์ที่สร้างขึ้นใหม่ เขาได้พบและกลายมาเป็นเพื่อนกับ Leonardo da Vinci ปรมาจารย์ผู้ยิ่งใหญ่บรรยายผลงานของพี่ลุค พวกเขาแยกทางกันในปี 1499 เมื่อมิลานถูกยึดครองโดยฝรั่งเศส

ในปี 1509 ที่เมืองเวนิส Pacioli ได้ตีพิมพ์ผลงานที่กว้างขวางยิ่งขึ้น ชื่อของมันน่าสังเกต: “สัดส่วนอันศักดิ์สิทธิ์ งานที่มีประโยชน์มากสำหรับจิตใจที่เฉียบแหลมและอยากรู้อยากเห็นทุกคน โดยที่นักศึกษาปรัชญา มุมมอง จิตรกรรม ประติมากรรม สถาปัตยกรรม ดนตรี หรือวิชาคณิตศาสตร์อื่นๆ ทุกคน จะได้ดึงเอาคำสอนที่น่าพึงพอใจ มีไหวพริบ และน่าประหลาดใจที่สุดออกมา และจะสร้างความบันเทิงให้ตัวเองด้วยคำถามต่างๆ ของ วิทยาศาสตร์ที่เป็นความลับที่สุด ดังที่เราเห็น Pacioli ถือว่าคณิตศาสตร์เป็นพื้นฐานของสาขาวิชาเกือบทั้งหมด ในความเป็นจริงเขาย้ำความคิดของพีทาโกรัสว่าพื้นฐานของจักรวาลคือจำนวน

เดบิตและเครดิต

ในบทความของเขาเรื่องบัญชีและบันทึก Pacioli อธิบายเงื่อนไขสามประการ “จำเป็นสำหรับทุกคนที่ประสงค์จะทำการค้าขายในลักษณะที่เหมาะสม” สิ่งแรกและสำคัญที่สุดคือเงินสดและของมีค่า ประการที่สองคือความสามารถในการเก็บหนังสืออย่างถูกต้องและนับเลขได้อย่างรวดเร็ว ประการที่สามคือการดำเนินกิจการของตนตามลำดับและเท่าที่ควร “เพื่อให้ได้รับข้อมูลทั้งหมดโดยไม่ชักช้า ทั้งเกี่ยวกับหนี้และการเรียกร้อง การค้าจะไม่ขยายไปสู่สิ่งอื่นใด”

ที่นี่เป็นที่ที่ Pacioli สร้างสรรค์องค์ความรู้ของเขา ซึ่งทำหน้าที่เป็นพื้นฐานสำหรับการบัญชีสมัยใหม่และยังคงใช้อยู่ในปัจจุบัน หลักการของความเป็นคู่หรือรายการคู่ถูกกำหนดไว้ในบทความดังนี้: “ ในวารสารมีสองสำนวน: หนึ่ง - ต่อ (บน), อีกอัน A - (จาก) และแต่ละรายการมีความหมายพิเศษของตัวเอง: “ บน” หมายถึงลูกหนี้ (ลูกหนี้) เสมอ - หนึ่งหรือหลาย ๆ คน“ จาก” - ผู้ดูแลผลประโยชน์ (เจ้าหนี้) เสมอ - หนึ่งหรือหลาย ๆ คน เป็นไปไม่ได้ที่จะส่งบทความธรรมดาเพียงบทความเดียวไปยังวารสาร... โดยไม่ต้องระบุทั้งสองเงื่อนไขนี้ก่อน ที่จุดเริ่มต้นของทุกบทความจะวาง "บน" เพราะก่อนอื่นจะต้องระบุลูกหนี้ จากนั้นตามด้วยเขาซึ่งเป็นผู้ดูแลผลประโยชน์ของเขานั่นคือ "จาก" เส้นหนึ่งถูกแยกออกจากกันด้วยเส้นแนวตั้งเล็กๆ สองเส้น”

ดังนั้น เมื่อสินทรัพย์ลดลง (เมื่อมีการรายการเครดิต) หนี้สินก็ลดลง (จำเป็นต้องทำรายการเดบิต) ด้วยจำนวนที่เท่ากัน ดูเหมือนว่า - รายละเอียดทางเทคนิคล้วนๆ ที่ไม่ส่งผลกระทบต่อสาระสำคัญของกระบวนการ แต่ในความเป็นจริง สิ่งนี้ให้ข้อได้เปรียบอย่างมาก: ผู้ค้าสามารถมองเห็นทั้งความต้องการและหนี้สินของเขาได้ทันที “บางทีความงดงามของการบัญชีก็คือ “ความกลมกลืน” ของบัญชีที่ประกอบเป็นงบดุลซึ่งเป็นส่วนหนึ่ง” Pacioli เชื่อ

“หลังจากที่คุณเขียนบทความทั้งหมดในวารสารแล้ว คุณควรทำการเลือกจากบทความนั้นและโอนไปยังหนังสือเล่มที่สาม - เล่มใหญ่หรือหนังสือเล่มหลัก ซึ่งโดยปกติจะเก็บไว้เป็นสองเท่าของจำนวนแผ่นเมื่อเทียบกับ วารสาร. เป็นเรื่องปกติที่จะรวมดัชนีตามตัวอักษร - ละครหรือที่เรียกว่ารีจิสเตอร์หรือดัชนี ชาวฟลอเรนซ์เรียกมันว่าสารสกัด ในทะเบียนคุณจะต้องป้อนลูกหนี้และผู้ดูแลผลประโยชน์ทั้งหมดตามลำดับตัวอักษรโดยระบุหมายเลขหน้าที่ปรากฏ บัญชีแยกประเภททั่วไปจะต้องมีเครื่องหมายเดียวกับอนุสรณ์และบันทึกประจำวัน”

พูดตามตรง ควรกล่าวว่า Pacioli ไม่ใช่คนแรกที่คิดค้นหลักการของการเข้าสองครั้ง: วิธีการรักษาบัญชีนี้ถูกใช้ไปแล้วโดยอินคาของอาณาจักรตะวันตินซูยู อย่างไรก็ตาม ระบบบัญชีปัจจุบันเป็นไปตามหลักการที่บราเดอร์ลูกาผู้ทำโทษวางไว้โดยเฉพาะ

ทุกวันนี้ ผู้คนต่างดิ้นรนเพื่อความเชี่ยวชาญ โดยตระหนักชัดเจนว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะ "โอบรับความใหญ่โต" เป็นการดีกว่าที่จะเป็นผู้เชี่ยวชาญในด้านใดด้านหนึ่งและบรรลุความสมบูรณ์แบบในด้านนั้น นี่ไม่ใช่กรณีในช่วงยุคฟื้นฟูศิลปวิทยา จากนั้นพวกเขามองโลกโดยรวมเป็นหนึ่งเดียว พยายามค้นหาความสามัคคีในโลกและเป็นกุญแจสำคัญในการทำความเข้าใจจักรวาลทั้งหมด จากมุมมองของ Luca Pacioli คณิตศาสตร์คือกุญแจสำคัญ ยิ่งกว่านั้นเมื่อพบว่ามีประโยชน์อย่างสมบูรณ์นักวิทยาศาสตร์ไม่ได้แสวงหาผลประโยชน์ให้กับตัวเอง เขาต้องการทำให้โลกดีขึ้นเล็กน้อย และเขาก็ทำสำเร็จ

หน้าปัจจุบัน: 11 (หนังสือมีทั้งหมด 21 หน้า) [ข้อความอ่านที่มีอยู่: 14 หน้า]

สัดส่วนขั้นเทพ

การค้นหาต้นกำเนิดของเราคือน้ำผลไม้รสหวานที่ทำให้นักปรัชญาพึงพอใจอย่างมาก

ลูกา ปาซิโอลี (1445–1517)

มีจิตรกรผู้ยิ่งใหญ่เพียงไม่กี่คนในประวัติศาสตร์ของมนุษย์เท่านั้นที่เป็นนักคณิตศาสตร์ที่มีพรสวรรค์เช่นกัน อย่างไรก็ตาม คำว่า "มนุษย์ยุคฟื้นฟูศิลปวิทยา" ในคำศัพท์ของเราหมายถึงบุคคลที่รวบรวมอุดมคติของยุคฟื้นฟูศิลปวิทยาด้วยมุมมองและการศึกษาที่กว้างที่สุด ดังนั้นศิลปินที่มีชื่อเสียงที่สุดในยุคเรอเนซองส์สามคน ได้แก่ ชาวอิตาลี Piero della Francesca (ประมาณปี ค.ศ. 1412-1492) และ Leonardo da Vinci และ Albrecht Dürerชาวเยอรมันก็มีส่วนสำคัญอย่างมากในด้านคณิตศาสตร์เช่นกัน บางทีก็ไม่น่าแปลกใจที่การวิจัยทางคณิตศาสตร์ของทั้งสามมีความสัมพันธ์กับอัตราส่วนทองคำ นักคณิตศาสตร์ที่กระตือรือร้นที่สุดของอัจฉริยะสามคนนี้คือ Piero della Francesca งานเขียนของอันโตนิโอ มาเรีย กราเซียนี ซึ่งเกี่ยวข้องกับเหลนของปิเอโรและซื้อบ้านของศิลปิน ระบุว่าปิเอโรเกิดในปี 1412 ที่บอร์โก ซานเซโปลโคร ทางตอนกลางของอิตาลี พ่อของเขา Benedetto เป็นนักฟอกหนังและช่างทำรองเท้าที่ประสบความสำเร็จ แทบไม่มีใครรู้อะไรเกี่ยวกับวัยเด็กของ Piero อีกต่อไป แต่มีการค้นพบเอกสารเมื่อไม่นานมานี้ซึ่งทำให้ชัดเจนว่าก่อนปี 1431 เขาใช้เวลาเป็นเด็กฝึกงานของศิลปิน Antonio D'Angiari ซึ่งผลงานยังไม่ถึงเรา ในช่วงปลายทศวรรษที่ 1430 ปิเอโรย้ายไปฟลอเรนซ์ ซึ่งเขาเริ่มร่วมงานกับศิลปินโดเมนิโก เวเนเซียโน ในฟลอเรนซ์ ศิลปินหนุ่มได้คุ้นเคยกับผลงานของศิลปินยุคเรอเนซองส์ยุคแรกๆ รวมถึง Fra Angelico และ Masaccio และกับรูปปั้นของ Donatello เขาประทับใจเป็นพิเศษกับความเงียบสงบอันงดงามของผลงานของ Fra Angelico ในหัวข้อทางศาสนาและของเขา สไตล์ของตัวเองสะท้อนอิทธิพลนี้ในทุกสิ่งที่เกี่ยวข้องกับแสงเงาและสี ในปีต่อๆ มา ปิเอโรทำงานอย่างไม่รู้จักเหน็ดเหนื่อยในเมืองต่างๆ รวมถึงริมินี อาเรซโซ และโรม ตัวเลขของเปียโรต์นั้นแตกต่างกัน ความเข้มงวดทางสถาปัตยกรรมและความยิ่งใหญ่ดังเช่นใน “การเฆี่ยนตีของพระคริสต์” (ปัจจุบันภาพนี้ถูกเก็บไว้ในนั้น) หอศิลป์แห่งชาติ Marche ในเออร์บิโน; ข้าว. 45) หรือดูเหมือนจะเป็นพื้นหลังที่ต่อเนื่องตามธรรมชาติ ดังเช่นใน “พิธีบัพติศมา” (ปัจจุบันอยู่ที่หอศิลป์แห่งชาติในลอนดอน รูปที่ 46) Giorgio Vasari นักประวัติศาสตร์ศิลปะคนแรก (1511–1574) ใน Lives of the Most Famous Painters, Sculptors and Architects เขียนว่า Piero แสดงให้เห็นความสามารถทางคณิตศาสตร์ที่น่าทึ่งตั้งแต่วัยเยาว์ และถือว่าเขาเขียนบทความทางคณิตศาสตร์ "มากมาย" บางส่วนถูกสร้างขึ้นในวัยชราเมื่อศิลปินไม่สามารถวาดภาพได้อีกต่อไปเนื่องจากความอ่อนแอ ในจดหมายอุทิศถึงดยุคกุยโดบัลโดแห่งเออร์บิโน ปิเอโรกล่าวถึงหนังสือเล่มหนึ่งของเขาที่เขียนว่า "เพื่อว่าจิตใจของเขาจะไม่แข็งกระด้างจากการเลิกใช้" ผลงานสามชิ้นของ Pierrot เกี่ยวกับคณิตศาสตร์มาถึงเราแล้ว: “ เด พรอสเปกติวา ปิงเกนดี"("ในมุมมองในการวาดภาพ"), " Libellus de Quinque Corporibus Regularibus"("หนังสือประมาณห้ารูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ") และ " ตราตตาโต ดี’อบาโก้"("บทความเกี่ยวกับการบัญชี")

ข้าว. 45

ข้าว. 46

บทความเรื่องเปอร์สเปคทีฟ (กลางคริสต์ทศวรรษ 1470 - 1480) มีการอ้างอิงถึงองค์ประกอบและทัศนศาสตร์ของยุคลิดมากมาย เนื่องจากปิเอโร เดลลา ฟรานเชสกาตัดสินใจพิสูจน์ว่าเทคนิคในการถ่ายทอดเปอร์สเปคทีฟในการวาดภาพมีพื้นฐานอยู่บนคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์และกายภาพของเปอร์สเปคทีฟโดยสิ้นเชิง ในภาพวาดของศิลปินเอง มุมมองเป็นภาชนะขนาดใหญ่ที่สอดคล้องกับคุณสมบัติทางเรขาคณิตของตัวเลขที่อยู่ในนั้น อันที่จริง สำหรับเปียโรต์ การวาดภาพนั้นมีจุดประสงค์หลักเพื่อ "แสดงรูปร่างที่เล็กลงหรือขยายใหญ่ขึ้นบนเครื่องบิน" วิธีการนี้มองเห็นได้ชัดเจนในตัวอย่างของ "The Flagellation" (รูปที่ 45 และ 47): นี่เป็นหนึ่งในภาพวาดไม่กี่ภาพในยุคเรอเนซองส์ที่มีการสร้างและทำงานเปอร์สเปคทีฟอย่างระมัดระวัง ดังที่ศิลปินร่วมสมัย David Hockney เขียนไว้ในหนังสือของเขา The Secret Knowledge ( เดวิด ฮ็อคนีย์- Secret Knowledge, 2001) Pierrot วาดภาพร่างต่างๆ “ตามที่เขาเชื่อว่าควรจะเป็น ไม่ใช่อย่างที่เขาเห็น”

เนื่องในโอกาสครบรอบ 500 ปีการเสียชีวิตของปิเอโร นักวิทยาศาสตร์ ลอรา เกตติ จากมหาวิทยาลัยโรม และลูเซียโน ฟอร์ตูนาติ จากสภาวิจัยแห่งชาติในเมืองปิซาได้ดำเนินการ การวิเคราะห์โดยละเอียด“การแจ้งเหตุ” โดยใช้คอมพิวเตอร์ พวกเขาแปลงภาพทั้งหมดเป็นดิจิทัล กำหนดพิกัดของจุดทั้งหมด วัดระยะทางทั้งหมด และรวบรวมการวิเคราะห์เปอร์สเปคทีฟโดยสมบูรณ์โดยอาศัยการคำนวณทางพีชคณิต สิ่งนี้ทำให้พวกเขาสามารถระบุตำแหน่งของ "จุดที่หายไป" ได้อย่างแม่นยำ โดยที่เส้นทั้งหมดที่นำไปสู่ขอบฟ้าจากจุดตัดของผู้ชม (รูปที่ 47) ต้องขอบคุณ Pierrot ที่สามารถบรรลุ "ความลึก" ที่สร้างความประทับใจอย่างมาก .

ข้าว. 47

หนังสือเกี่ยวกับเปอร์สเปกทีฟของเปียโรต์ซึ่งมีความชัดเจนในการนำเสนอกลายเป็นแนวทางมาตรฐานสำหรับศิลปินที่พยายามวาดภาพเครื่องบินและรูปทรงเรขาคณิต และส่วนต่างๆ ของหนังสือเล่มนี้ที่ไม่ได้มีคณิตศาสตร์มากเกินไป (และเข้าใจได้ง่ายกว่า) ก็รวมอยู่ในผลงานต่อๆ ไปส่วนใหญ่ ในมุมมอง วาซารีอ้างว่าปิเอโรได้รับการศึกษาด้านคณิตศาสตร์ที่มั่นคง ดังนั้น "ดีกว่าเรขาคณิตอื่นๆ ที่เข้าใจวิธีที่ดีที่สุดในการวาดวงกลมในร่างกายปกติ และเขาเป็นผู้ให้ความกระจ่างเกี่ยวกับคำถามเหล่านี้" ( ต่อจากนี้ไป A. Gabrichevsky และ A. Benediktov- ตัวอย่างของวิธีที่ Pierrot พัฒนาวิธีการวาดรูปห้าเหลี่ยมปกติในมุมมองอย่างระมัดระวังสามารถดูได้ในรูปที่ 1 48.

ในบทความเรื่องลูกคิดและหนังสือห้ารูปทรงหลายเหลี่ยมปกติของเขา เปียโรต์ได้ตั้ง (และแก้ไข) ปัญหามากมายที่เกี่ยวข้องกับรูปห้าเหลี่ยมและของแข็งสงบทั้งห้า คำนวณความยาว พื้นที่ และปริมาตรด้านและแนวทแยง วิธีแก้ปัญหาหลายอย่างยังขึ้นอยู่กับอัตราส่วนทองคำด้วย และเทคนิคบางอย่างของ Pierrot เป็นเครื่องพิสูจน์ถึงความฉลาดและความคิดริเริ่มสร้างสรรค์ของเขา

ข้าว. 48

Piero เช่นเดียวกับ Fibonacci รุ่นก่อนของเขา ได้เขียน Treatise on Abacus เป็นหลักเพื่อให้นักธุรกิจรุ่นเดียวกันของเขามี "สูตร" ทางคณิตศาสตร์และกฎทางเรขาคณิต ในโลกของการค้าขายในเวลานั้นไม่มีระบบน้ำหนักและการวัดแบบครบวงจร หรือแม้แต่ข้อตกลงเกี่ยวกับขนาดและรูปร่างของภาชนะบรรจุ ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะทำหากไม่มีความสามารถในการคำนวณปริมาตรของตัวเลข อย่างไรก็ตาม ความอยากรู้อยากเห็นทางคณิตศาสตร์ของ Pierrot ทำให้เขาก้าวไปไกลกว่าหัวข้อที่จำกัดความต้องการในชีวิตประจำวัน ดังนั้นในหนังสือของเขาเราจึงพบปัญหาที่ "ไร้ประโยชน์" เช่นการคำนวณความยาวของขอบของรูปแปดด้านที่จารึกไว้ในลูกบาศก์หรือเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมเล็ก ๆ ห้าวงที่จารึกไว้ในวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางใหญ่กว่า (รูปที่ 49) . เพื่อแก้ไขปัญหาสุดท้าย มีการใช้รูปห้าเหลี่ยมปกติ ดังนั้นอัตราส่วนทองคำจึงถูกนำมาใช้

ข้าว. 49

การวิจัยเกี่ยวกับพีชคณิตของ Pierrot ส่วนใหญ่รวมอยู่ในหนังสือที่ตีพิมพ์โดย Luca Pacioli (1445–1517) เรื่อง “ สรุปเลขคณิต เรขาคณิต สัดส่วน และสัดส่วน"("รหัสความรู้ทางคณิตศาสตร์ เรขาคณิต สัดส่วน และสัดส่วน") ผลงานของ Piero เกี่ยวกับรูปทรงหลายเหลี่ยมซึ่งเขียนเป็นภาษาละตินได้รับการแปลเป็นภาษาอิตาลีโดย Luca Pacioli คนเดียวกัน - และรวมอีกครั้ง (หรือพูดอย่างประณีตน้อยลงก็แค่ถูกขโมย) ในหนังสือชื่อดังของเขาเกี่ยวกับอัตราส่วนทองคำที่มีชื่อว่า "On the Divine Proportion" ( “ตามสัดส่วนของพระเจ้า” (“ตามสัดส่วนของพระเจ้า”)) ดิวิน่า สัดส่วน»).

เขาคือใคร ลูก้า ปาซิโอลี นักคณิตศาสตร์ผู้มีความขัดแย้งคนนี้ นักลอกเลียนแบบที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์ - หรือยังเป็นที่นิยมอย่างมากของวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์?

ฮีโร่ที่ไม่มีใครร้องของยุคฟื้นฟูศิลปวิทยา?

Luca Pacioli เกิดในปี 1445 ในเมือง Borgo Sansepolcro ในแคว้นทัสคานี ซึ่งเป็นที่ที่ Piero della Francesca เกิดและดูแลเวิร์คช็อปของเขา นอกจากนี้ Luca ยังได้รับการศึกษาระดับประถมศึกษาในเวิร์คช็อปของ Pierrot อย่างไรก็ตามไม่เหมือนกับนักเรียนคนอื่น ๆ ที่แสดงความถนัดในการวาดภาพ - บางคนเช่น Pietro Perugino ถูกกำหนดให้เป็นจิตรกรที่ยิ่งใหญ่ - Luca กลับกลายเป็นว่ามีแนวโน้มไปทางคณิตศาสตร์มากกว่า Piero และ Pacioli ยังคงรักษาความสัมพันธ์ฉันมิตรในอนาคต: หลักฐานนี้คือ Piero วาดภาพ Pacioli ในรูปของนักบุญเปโตรแห่งเวโรนา (Peter the Martyr) บน "แท่นบูชาแห่งมอนเตเฟลโตร" ในขณะที่ยังเป็นชายหนุ่ม Pacioli ย้ายไปเวนิสและเป็นที่ปรึกษาให้กับลูกชายทั้งสามของพ่อค้าผู้มั่งคั่งที่นั่น ในเมืองเวนิส เขาศึกษาต่อด้านคณิตศาสตร์ต่อไปภายใต้การแนะนำของนักคณิตศาสตร์ โดเมนิโก บรากาดิโน และเขียนหนังสือเล่มแรกเกี่ยวกับเลขคณิต

ในปี 1470 Pacioli ศึกษาเทววิทยาและกลายเป็นพระภิกษุฟรานซิสกัน ตั้งแต่นั้นมา เป็นเรื่องปกติที่จะเรียกเขาว่า Fra Luca Pacioli ในปีต่อๆ มา เขาเดินทางอย่างกว้างขวาง โดยสอนคณิตศาสตร์ที่มหาวิทยาลัยในเปรูจา ซาดาร์ เนเปิลส์ และโรม ในเวลานั้น Pacioli อาจจะสอน Guidobaldo Montefeltro มาระยะหนึ่งแล้ว ซึ่งในปี 1482 จะต้องเป็น Duke of Urbino บางทีภาพเหมือนที่ดีที่สุดของนักคณิตศาสตร์อาจเป็นภาพวาดของ Jacopo de Barbari (1440–1515) ซึ่งวาดภาพ Luca Pacioli กำลังให้บทเรียนเรขาคณิต (รูปที่ 50 ภาพวาดอยู่ในพิพิธภัณฑ์ Capodimonte ในเนเปิลส์) ทางด้านขวาบนหนังสือของ Pacioli " สรุป» วางหนึ่งในของแข็งพลาโตนิก - รูปทรงสิบสองหน้า Pacioli เองอยู่ใน Cassock ของฟรานซิสกัน (ซึ่งคล้ายกับรูปทรงหลายเหลี่ยมทั่วไป หากคุณมองใกล้ ๆ ) คัดลอกภาพวาดจาก Book XIII ของ Euclid's Elements รูปทรงหลายเหลี่ยมโปร่งใสที่เรียกว่า รอมบิคิวบอคทาฮีดรอน (หนึ่งในของแข็งอาร์คิมีดีน ซึ่งเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มี 26 หน้า โดย 18 หน้าเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส และ 8 ชิ้นเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า) แขวนอยู่ในอากาศและเต็มไปด้วยน้ำครึ่งหนึ่ง เป็นสัญลักษณ์ของความบริสุทธิ์และความเป็นนิรันดร์ของคณิตศาสตร์ . ศิลปินสามารถถ่ายทอดการหักเหและการสะท้อนแสงในกระจกรูปทรงหลายเหลี่ยมด้วยทักษะอันน่าทึ่ง ตัวตนของนักเรียนของ Pacioli ที่ปรากฎในภาพวาดนี้เป็นประเด็นถกเถียง โดยเฉพาะอย่างยิ่งสันนิษฐานว่าชายหนุ่มคนนี้คือ Duke Guidobaldo เอง นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ Nick MacKinnon ได้ตั้งสมมติฐานที่น่าสนใจไว้ในปี 1993 ในบทความของเขาเรื่อง “Portrait of Fra Luca Pacioli” ตีพิมพ์ใน “ ราชกิจจานุเบกษาคณิตศาสตร์” และจากการวิจัยที่แข็งแกร่งมาก MacKinnon สรุปว่านี่คือภาพเหมือนของจิตรกรชาวเยอรมันผู้ยิ่งใหญ่ Albrecht Dürer ผู้สนใจทั้งเรขาคณิตและเปอร์สเปคทีฟเป็นอย่างมาก (และเราจะกลับไปสู่ความสัมพันธ์ของเขากับ Pacioli ในภายหลัง) แท้จริงแล้ว ใบหน้าของนักเรียนมีความคล้ายคลึงกับภาพเหมือนตนเองของ Dürer อย่างเห็นได้ชัด

ข้าว. 50

ในปี 1489 Pacioli กลับไปที่ Borgo Sansepolcro โดยได้รับสิทธิพิเศษบางอย่างจากสมเด็จพระสันตะปาปาเอง แต่ได้รับการต้อนรับด้วยความอิจฉาริษยาจากสถานประกอบการทางศาสนาในท้องถิ่น เป็นเวลาประมาณสองปีที่เขาถูกห้ามไม่ให้สอนด้วยซ้ำ ในปี ค.ศ. 1494 Pacioli ไปเวนิสเพื่อพิมพ์หนังสือของเขา " สรุป"ซึ่งอุทิศให้กับ Duke Guidobaldo - สรุป"โดยธรรมชาติและขอบเขต (ประมาณ 600 หน้า) เป็นงานสารานุกรมอย่างแท้จริง โดย Pacioli ได้รวบรวมทุกสิ่งที่เป็นที่รู้จักในเวลานั้นในสาขาเลขคณิต พีชคณิต เรขาคณิต และตรีโกณมิติ ในหนังสือของเขา Pacioli ไม่ลังเลที่จะยืมปัญหาเกี่ยวกับไอโคซาฮีดรอนและสิบสองหน้าจาก “บทความ” ของปิเอโร เดลลา ฟรานเชสกา และปัญหาอื่นๆ ในเรขาคณิต รวมถึงพีชคณิตจากผลงานของฟีโบนัชชีและนักวิทยาศาสตร์คนอื่นๆ (อย่างไรก็ตาม เขามักจะแสดงความขอบคุณ ถึงผู้เขียนตามที่คาดไว้) Pacioli ยอมรับว่าแหล่งที่มาหลักของเขาคือ Fibonacci และกล่าวว่าหากไม่มีการอ้างอิงถึงบุคคลอื่น ผลงานเหล่านี้เป็นของ Leonardo of Pisa ส่วนที่น่าสนใจ « สรุป» – ระบบบัญชีรายการคู่ วิธีการที่ช่วยให้คุณติดตามว่าเงินมาจากไหนและไปที่ไหน Pacioli ไม่ได้คิดค้นระบบนี้เอง เขาเพียงรวบรวมเทคนิคของพ่อค้าชาวเวนิสในยุคฟื้นฟูศิลปวิทยาเท่านั้น แต่เชื่อกันว่านี่เป็นหนังสือเล่มแรกเกี่ยวกับการบัญชีในประวัติศาสตร์ของมนุษยชาติ ดังนั้นความปรารถนาของ Pacioli ที่จะ "ทำให้นักธุรกิจสามารถรับข้อมูลเกี่ยวกับสินทรัพย์และภาระผูกพันทางการเงินของเขาได้ทันที" ทำให้เขาได้รับฉายาว่า "บิดาแห่งการบัญชี" และในปี 1994 นักบัญชีทั่วโลกก็เฉลิมฉลองครบรอบ 100 ปีของ " สรุป"ในซานเซโปลโกร ดังที่เรียกเมืองนี้ในปัจจุบัน

ในปี 1480 สถานที่ของดยุคแห่งมิลานถูกยึดครองโดย Ludovico Sforza ในความเป็นจริงเขาเป็นเพียงผู้สำเร็จราชการแทนพระองค์ของดยุคที่แท้จริงซึ่งขณะนั้นมีอายุเพียงเจ็ดขวบเท่านั้น เหตุการณ์นี้ทำให้ช่วงเวลาแห่งการวางอุบายและการฆาตกรรมทางการเมืองสิ้นสุดลง ลูโดวิโกตัดสินใจตกแต่งราชสำนักร่วมกับศิลปินและนักวิทยาศาสตร์ และในปี 1482 ได้เชิญเลโอนาร์โด ดา วินชีมาที่ "วิทยาลัยวิศวกรดยุค" เลโอนาร์โดมีความสนใจในเรขาคณิตเป็นอย่างมาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งการประยุกต์ใช้งานในกลศาสตร์ได้จริง ตามที่เขาพูด "กลศาสตร์เป็นสวรรค์ในหมู่วิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ เนื่องจากเป็นแหล่งกำเนิดผลของคณิตศาสตร์" และต่อมาในปี 1496 เลโอนาร์โดเป็นผู้ที่มีแนวโน้มมากที่สุดว่าดยุคเชิญปาซิโอลีไปที่ศาลในฐานะครูสอนคณิตศาสตร์ เลโอนาร์โดศึกษาเรขาคณิตจาก Pacioli อย่างไม่ต้องสงสัยและปลูกฝังความรักในการวาดภาพให้กับเขา

ขณะอยู่ในมิลาน ปาซิโอลีเขียนบทความสามเล่มเรื่อง On Divine Proportion ซึ่งตีพิมพ์ในเมืองเวนิสในปี 1509 เล่มแรก" Compendio de Divina สัดส่วน” (“บทสรุปเกี่ยวกับสัดส่วนของพระเจ้า”) มีบทสรุปโดยละเอียดเกี่ยวกับคุณสมบัติทั้งหมดของอัตราส่วนทองคำ (ซึ่ง Pacioli เรียกว่า "สัดส่วนของพระเจ้า") และการศึกษาของแข็ง Platonic และรูปทรงหลายเหลี่ยมอื่น ๆ ในหน้าแรกของ “On the Divine Proportion” ปาซิโอลีค่อนข้างประกาศอย่างโอ่อ่าว่านี่คือ “งานที่จำเป็นสำหรับจิตใจมนุษย์ที่มีความอยากรู้อยากเห็นและชัดเจน ซึ่งใครก็ตามที่รักการศึกษาปรัชญา มุมมอง จิตรกรรม ประติมากรรม สถาปัตยกรรม ดนตรี และ สาขาวิชาคณิตศาสตร์อื่นๆ จะพบกับการสอนที่ละเอียดอ่อน งดงาม และมีเสน่ห์ และจะได้รับความเพลิดเพลินจากคำถามต่างๆ มากมายที่ส่งผลต่อศาสตร์ลับทั้งหมด”

Pacioli อุทิศหนังสือเล่มแรกของบทความเรื่อง "On the Divine Proportion" ให้กับ Ludovico Sforza และในบทที่ห้าเขาได้ระบุเหตุผลห้าประการในความเห็นของเขาว่าอัตราส่วนทองคำไม่ควรเรียกว่าอะไรนอกจากสัดส่วนของพระเจ้า

1. “เธอเป็นหนึ่งเดียว เป็นน้ำหนึ่งใจเดียวกันและครอบคลุมทุกด้าน” Pacioli เปรียบเทียบความเป็นเอกลักษณ์ของอัตราส่วนทองคำกับข้อเท็จจริงที่ว่า "หนึ่ง" คือ "ฉายาสูงสุดของพระเจ้าเอง"

2. Pacioli มองเห็นความคล้ายคลึงกันระหว่างความจริงที่ว่าคำจำกัดความของอัตราส่วนทองคำนั้นมีความยาวสามประการ (AC, CB และ AB ในรูปที่ 24) และการดำรงอยู่ของพระตรีเอกภาพ - พ่อ, พระบุตรและพระวิญญาณบริสุทธิ์

3. สำหรับ Pacioli ความไม่เข้าใจของพระเจ้าและความจริงที่ว่าอัตราส่วนทองคำเป็นจำนวนอตรรกยะนั้นเทียบเท่ากัน นี่คือวิธีที่เขาเขียน: “เช่นเดียวกับที่องค์พระผู้เป็นเจ้าไม่สามารถกำหนดได้อย่างเหมาะสมและไม่สามารถเข้าใจได้ด้วยคำพูด ฉันใด สัดส่วนของเราไม่สามารถถ่ายทอดเป็นตัวเลขที่เข้าใจได้และแสดงออกมาด้วยปริมาณที่มีเหตุผลใดๆ ก็ตาม สัดส่วนนั้นก็จะยังคงเป็นปริศนาตลอดไป ซ่อนไม่ให้ทุกคนเห็น และ นักคณิตศาสตร์เรียกว่าไม่มีเหตุผล”

4. Pacioli เปรียบเทียบการอยู่ทั่วไปทุกหนทุกแห่งและการเปลี่ยนแปลงไม่ได้ของพระเจ้ากับความคล้ายคลึงในตนเองซึ่งสัมพันธ์กับอัตราส่วนทองคำ: มูลค่าของมันจะไม่เปลี่ยนแปลงเสมอและไม่ขึ้นอยู่กับความยาวของส่วนซึ่งแบ่งออกเป็นสัดส่วนที่เหมาะสมหรือกับ ขนาดของรูปห้าเหลี่ยมปกติ ซึ่งคำนวณอัตราส่วนของความยาว

5. เหตุผลที่ห้าแสดงให้เห็นว่า Pacioli มีมุมมองแบบสงบเกี่ยวกับการเป็นมากกว่าตัว Plato เอง Pacioli ให้เหตุผลว่าเช่นเดียวกับที่พระเจ้าประทานชีวิตแก่จักรวาลผ่านทางแก่นสารที่สะท้อนอยู่ในรูปทรงสิบสองหน้า อัตราส่วนทองคำก็ให้ชีวิตแก่รูปทรงสิบสองหน้านั้น เนื่องจากเป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างรูปทรงสิบสองหน้าโดยไม่มีอัตราส่วนทองคำ Pacioli เสริมว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะเปรียบเทียบของแข็ง Platonic อื่นๆ (สัญลักษณ์ของน้ำ ดิน ไฟ และอากาศ) ด้วยกันโดยไม่ต้องอาศัยอัตราส่วนทองคำ

ในหนังสือเล่มนี้ Pacioli พูดจาโผงผางเกี่ยวกับคุณสมบัติของอัตราส่วนทองคำอยู่ตลอดเวลา เขาวิเคราะห์ 13 สิ่งที่เรียกว่า "ผลกระทบ" ของ "สัดส่วนของพระเจ้า" ตามลำดับ และคุณลักษณะของ "ผลกระทบ" เหล่านี้แต่ละคำ เช่น "มีมาแต่กำเนิด" "มีเอกลักษณ์" "มหัศจรรย์" "สูงสุด" ฯลฯ ตัวอย่างเช่น " เอฟเฟกต์” ที่สี่เหลี่ยมสีทองสามารถจารึกไว้ใน icosahedron ได้ (รูปที่ 22) เขาเรียกว่า “เข้าใจยาก” เขาหยุดที่ 13 "เอฟเฟกต์" โดยสรุปว่า "รายการนี้จะต้องเสร็จสิ้นเพื่อความรอดของจิตวิญญาณ" เนื่องจากมีคน 13 คนที่นั่งอยู่ที่โต๊ะในช่วงพระกระยาหารมื้อสุดท้าย

ไม่ต้องสงสัยเลยว่า Pacioli สนใจในการวาดภาพเป็นอย่างมาก และจุดประสงค์ของการสร้างบทความเรื่อง "On Divine Proportion" ส่วนหนึ่งก็เพื่อทำให้พื้นฐานทางคณิตศาสตร์คมขึ้น วิจิตรศิลป์- ในหน้าแรกของหนังสือ Pacioli แสดงความปรารถนาที่จะเปิดเผย "ความลับ" ของรูปแบบฮาร์มอนิกให้ศิลปินเห็นผ่านอัตราส่วนทองคำ เพื่อให้มั่นใจว่างานของเขามีความน่าดึงดูดใจ Pacioli จึงใช้บริการของ นักวาดภาพประกอบที่ดีที่สุดซึ่งนักเขียนคนไหนก็ได้แต่ฝันถึง: Leonardo da Vinci เองก็จัดหาภาพวาดรูปทรงหลายเหลี่ยมจำนวน 60 ภาพทั้งในรูปแบบของ "โครงกระดูก" (รูปที่ 51) และในรูปของวัตถุแข็ง (รูปที่ 52) ไม่มีคำถามเกี่ยวกับความกตัญญู - Pacioli เขียนเกี่ยวกับ Leonardo และการมีส่วนร่วมของเขาในหนังสือเช่นนี้:“ จิตรกรและปรมาจารย์ด้านมุมมองที่ดีที่สุด, สถาปนิก, นักดนตรีที่เก่งที่สุด, ชายผู้มีคุณธรรมที่เป็นไปได้ทั้งหมด - Leonardo da Vinci ผู้คิดค้นและ ดำเนินการชุดภาพแผนผังของตัวเรขาคณิตปกติ " ยอมรับว่าตัวข้อความเองไม่บรรลุเป้าหมายที่สูงส่งตามที่ระบุไว้ แม้ว่าหนังสือเล่มนี้จะเริ่มต้นด้วยคำด่าที่น่าตื่นเต้น แต่สิ่งที่ตามมาคือชุดสูตรทางคณิตศาสตร์ที่ค่อนข้างธรรมดา ซึ่งเจือจางด้วยคำจำกัดความทางปรัชญาอย่างไม่ใส่ใจ

ข้าว. 51

ข้าว. 52

หนังสือเล่มที่สองของบทความ "On Divine Proportion" อุทิศให้กับอิทธิพลของอัตราส่วนทองคำต่อสถาปัตยกรรมและการสำแดงของมันในโครงสร้างของร่างกายมนุษย์ บทความของ Pacioli มีพื้นฐานมาจากงานของสถาปนิกชาวโรมัน Marcus Vitruvius Pollio (ประมาณ 70–25 ปีก่อนคริสตกาล) วิทรูเวียส เขียนว่า:

จุดศูนย์กลางของร่างกายมนุษย์ตามธรรมชาติคือสะดือ ท้ายที่สุดแล้ว หากบุคคลหนึ่งนอนคว่ำหน้าและกางแขนและขาออก และวางเข็มทิศไว้บนสะดือ นิ้วและนิ้วเท้าของเขาก็จะสัมผัสกับวงกลมที่ล้อมรอบไว้ และเช่นเดียวกับที่ร่างกายมนุษย์ประกอบเข้ากับวงกลม คุณก็สามารถหาสี่เหลี่ยมจัตุรัสออกมาได้ ท้ายที่สุดแล้ว ถ้าเราวัดระยะห่างจากฝ่าเท้าถึงด้านบนของศีรษะ แล้วใช้การวัดนี้กับแขนที่เหยียดออก ปรากฎว่าความกว้างของรูปเท่ากับความสูงทุกประการ ดังในกรณีของ พื้นผิวเรียบที่มีรูปร่างเหมือนสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สมบูรณ์แบบ

นักวิชาการยุคเรอเนซองส์ถือว่าข้อความนี้เป็นข้อพิสูจน์เพิ่มเติมถึงความเชื่อมโยงระหว่างพื้นฐานทางธรรมชาติและเรขาคณิตของความงาม และสิ่งนี้นำไปสู่การสร้างแนวคิดของวิทรูเวียนแมน ซึ่งเลโอนาร์โดบรรยายได้อย่างสวยงามมาก (รูปที่ 53 ปัจจุบันภาพวาดถูกเก็บไว้ใน หอศิลป์ Accademia ในเมืองเวนิส) ในทำนองเดียวกัน หนังสือของ Pacioli เริ่มต้นด้วยการอภิปรายเกี่ยวกับสัดส่วนของร่างกายมนุษย์ "เนื่องจากในร่างกายมนุษย์เราสามารถหาสัดส่วนได้ทุกประเภท ซึ่งเปิดเผยโดยพระประสงค์ของผู้ทรงอำนาจผ่านความลับที่ซ่อนอยู่ของธรรมชาติ"

ข้าว. 53

ในวรรณคดีคุณมักจะพบข้อความที่ Pacioli เชื่อว่าเชื่อว่าอัตราส่วนทองคำเป็นตัวกำหนดสัดส่วนของงานศิลปะทั้งหมด แต่ในความเป็นจริงแล้วไม่ได้เป็นเช่นนั้นเลย เมื่อพูดถึงสัดส่วนและโครงสร้างภายนอก Pacioli ส่วนใหญ่จะหมายถึงระบบวิทรูเวียนซึ่งใช้เศษส่วนอย่างง่าย (ตรรกยะ) นักเขียน Roger Hertz-Fischler ได้สืบย้อนถึงต้นกำเนิดของความเข้าใจผิดที่พบบ่อยว่าอัตราส่วนทองคำคือหลักการวัดสัดส่วนของ Pacioli โดยย้อนกลับไปที่ข้อความเท็จที่ทำขึ้นใน History of Mathematics ฉบับปี 1799 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส Jean Etienne Montucle และ Jerome de Lalande ( ฌอง เอเตียน มอนตูคลา, เจอโรม เดอ ลาลองด์- ประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์)

เล่มที่สามของบทความ On Divine Proportion (หนังสือสั้นสามส่วนเกี่ยวกับเรขาคณิตปกติห้ารูป) โดยพื้นฐานแล้วเป็นการแปลตามตัวอักษรของ Five Regular Polyhedra ของ Piero della Francesca ซึ่งเขียนเป็นภาษาละติน ความจริงที่ว่า Pacioli ไม่เคยกล่าวถึงว่าเขาเป็นเพียงนักแปลหนังสือเล่มนี้ทำให้เกิดการประณามอย่างเผ็ดร้อนจากนักประวัติศาสตร์ศิลปะ Giorgio Vasari วาซารีเขียนเกี่ยวกับปิเอโร เดลลา ฟรานเชสก้า:

ถือเป็นปรมาจารย์ที่หายากในการเอาชนะความยากลำบากของร่างกายปกติตลอดจนคณิตศาสตร์และเรขาคณิต เขาประสบกับความชราภาพด้วยการตาบอดทางร่างกายและความตาย ไม่มีเวลาตีพิมพ์ผลงานที่กล้าหาญของเขาและหนังสือหลายเล่มที่เขาเขียนซึ่งได้แก่ ยังคงเก็บไว้ใน Borgo ในบ้านเกิดของเขา ผู้ที่ควรจะพยายามอย่างสุดความสามารถเพื่อเพิ่มชื่อเสียงและชื่อเสียง เพราะเขาได้เรียนรู้ทุกสิ่งที่เขารู้จากเขา พยายามเหมือนคนร้ายและคนชั่วร้าย เพื่อทำลายชื่อของปิเอโรต์ ที่ปรึกษาของเขา และยึดครอง สำหรับตัวเขาเองเกียรติยศที่ควรจะเป็นของ Pierrot เพียงผู้เดียวโดยปล่อยออกมาในนามของเขาเองคือน้องชาย Luca แห่ง Borgo [Pacioli] ผลงานทั้งหมดของชายชราผู้น่าเคารพผู้นี้ซึ่งนอกเหนือจากวิทยาศาสตร์ที่กล่าวมาข้างต้นแล้วยังเป็น จิตรกรที่ยอดเยี่ยม - ต่อ. เอ็ม. โกลบาเชวา)

Pacioli สามารถถือเป็นผู้ลอกเลียนแบบได้หรือไม่? เป็นไปได้มาก แม้ว่าใน " สรุป“เขายังคงแสดงความเคารพต่อ Pierrot โดยเรียกเขาว่า “พระมหากษัตริย์ในการวาดภาพในยุคของเรา” และเป็นคนที่ “คุ้นเคยกับผู้อ่านจากผลงานมากมายเกี่ยวกับศิลปะการวาดภาพและพลังของเส้นในมุมมอง”

อาร์ เอ็มเม็ตต์ เทย์เลอร์ (พ.ศ. 2432-2499) ตีพิมพ์หนังสือในปี พ.ศ. 2485 ชื่อ “ไม่มีหนทางของกษัตริย์” Luca Pacioli และเวลาของเขา" ( อาร์. เอ็มเม็ตต์ เทย์เลอร์- ไม่มีรอยัลโรด: Luca Pacioli และ His Times) ในหนังสือเล่มนี้ Taylor ปฏิบัติต่อ Pacioli ด้วยความเห็นอกเห็นใจอย่างยิ่งและปกป้องมุมมองที่ว่า Pacioli อาจไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับเล่มที่สามของบทความเรื่อง On Divine Proportion ตามสไตล์และงานนี้มาจากเขาเท่านั้น

ไม่ว่าสิ่งนี้จะเป็นจริงหรือไม่นั้นไม่ทราบแน่ชัด แต่แน่นอนว่าหากไม่ใช่เพราะ พิมพ์ผลงานของ Pacioli และแนวคิดของ Pierrot และโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ซึ่งไม่ได้ตีพิมพ์ในสื่อสิ่งพิมพ์อาจจะไม่ได้รับชื่อเสียงดังที่ตามมา ยิ่งไปกว่านั้น จนถึงสมัย Pacioli อัตราส่วนทองคำเป็นที่รู้จักภายใต้ชื่อที่น่ากลัว เช่น "อัตราส่วนสุดขีดและค่าเฉลี่ย" หรือ "สัดส่วนที่มีค่าเฉลี่ยและสุดขั้วสองประการ" และแนวคิดนี้เป็นที่รู้จักเฉพาะกับนักคณิตศาสตร์เท่านั้น

การตีพิมพ์ "On the Divine Proportion" ในปี 1509 ทำให้เกิดความสนใจในหัวข้ออัตราส่วนทองคำครั้งใหม่ ตอนนี้แนวคิดได้รับการตรวจสอบอย่างที่พวกเขาพูดด้วยรูปลักษณ์ใหม่: เนื่องจากมีการตีพิมพ์หนังสือเกี่ยวกับเรื่องนี้หมายความว่ามันควรค่าแก่การเคารพ ชื่อของส่วนทองคำนั้นมีความหมายทางเทววิทยาและปรัชญา ( ศักดิ์สิทธิ์สัดส่วน) และสิ่งนี้ยังทำให้อัตราส่วนทองคำไม่ใช่แค่คำถามทางคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังเป็นหัวข้อที่ปัญญาชนทุกประเภทสามารถเจาะลึกได้ และความหลากหลายนี้ขยายออกไปตามกาลเวลาเท่านั้น ในที่สุดด้วยการถือกำเนิดของผลงานของ Pacioli ศิลปินก็เริ่มศึกษาอัตราส่วนทองคำเนื่องจากตอนนี้มีการพูดถึงไม่เพียง แต่ในบทความทางคณิตศาสตร์อย่างเปิดเผยเท่านั้น - Pacioli พูดถึงมันในลักษณะที่แนวคิดนี้สามารถนำมาใช้ได้

ภาพวาดของเลโอนาร์โดสำหรับบทความเรื่อง "On Divine Proportion" ที่วาด (ตามที่ Pacioli กล่าวไว้) "ด้วยมือซ้ายที่อธิบายไม่ได้" ก็มีผลกระทบบางอย่างต่อผู้อ่านเช่นกัน นี่อาจเป็นภาพแรกของรูปทรงหลายเหลี่ยมในรูปแบบโครงร่าง ซึ่งทำให้ง่ายต่อการจินตนาการจากทุกด้าน เป็นไปได้ที่เลโอนาร์โดดึงรูปทรงหลายเหลี่ยมจากแบบจำลองไม้ เนื่องจากเอกสารของสภาฟลอเรนซ์บันทึกว่าเมืองได้ซื้อแบบจำลองไม้ของปาซิโอลีชุดหนึ่งเพื่อนำไปแสดงต่อสาธารณะ เลโอนาร์โดไม่เพียงแต่วาดไดอะแกรมสำหรับหนังสือของ Pacioli เท่านั้น เรายังเห็นภาพร่างของรูปทรงหลายเหลี่ยมทุกชนิดในบันทึกของเขาอีกด้วย มีอยู่ช่วงหนึ่งที่เลโอนาร์โดให้วิธีการโดยประมาณในการสร้างรูปห้าเหลี่ยมปกติ การผสมผสานระหว่างคณิตศาสตร์กับวิจิตรศิลป์ถึงจุดสูงสุดใน " แทรตตาโต เดลลา ปิตตูรา"("บทความเกี่ยวกับจิตรกรรม") ซึ่งรวบรวมโดย Francesco Melzi ผู้ซึ่งสืบทอดต้นฉบับของ Leonardo ตามบันทึกของเขา บทความเริ่มต้นด้วยคำเตือน: “ใครก็ตามที่ไม่ใช่นักคณิตศาสตร์ไม่ควรอ่านผลงานของฉัน!” – คุณแทบจะไม่สามารถหาข้อความดังกล่าวได้ในหนังสือเรียนสมัยใหม่เกี่ยวกับวิจิตรศิลป์!

ภาพวาดของรูปทรงเรขาคณิตจากบทความ "On Divine Proportion" ยังเป็นแรงบันดาลใจให้ Fra Giovanni da Verona สร้างผลงานด้านเทคโนโลยี อินทาร์เซีย- Intarsia เป็นการฝังไม้ชนิดพิเศษบนไม้ ทำให้เกิดเป็นโมเสกแบนที่ซับซ้อน ประมาณปี ค.ศ. 1520 Fra Giovanni ได้สร้างแผงฝังที่มีรูปไอโคซาเฮดรอน ซึ่งเกือบจะแน่นอนโดยใช้ภาพวาดแผนผังของเลโอนาร์โดเป็นแบบจำลอง

เส้นทางของ Leonardo และ Pacioli ข้ามกันหลายครั้งแม้หลังจากเสร็จสิ้นบทความ "On Divine Proportion" ก็ตาม ในเดือนตุลาคม ค.ศ. 1499 ทั้งคู่หนีออกจากมิลานเมื่อถูกกองทัพฝรั่งเศสของพระเจ้าหลุยส์ที่ 12 ยึดครอง จากนั้นพวกเขาก็แวะที่มันตัวและเวนิสช่วงสั้นๆ และตั้งรกรากที่ฟลอเรนซ์สักพัก ในช่วงที่พวกเขาเป็นเพื่อนกัน Pacioli ได้สร้างผลงานทางคณิตศาสตร์อีกสองชิ้นที่ยกย่องชื่อของเขา - การแปลเป็นภาษาละตินของ Euclid's Elements และหนังสือเกี่ยวกับความบันเทิงทางคณิตศาสตร์ที่ยังไม่ได้ตีพิมพ์ การแปลองค์ประกอบโดย Pacioli เป็นเวอร์ชันที่มีคำอธิบายประกอบโดยอิงจากการแปลก่อนหน้านี้โดย Giovanni Campano (1220–1296) ซึ่งพิมพ์ในเมืองเวนิสในปี 1482 (นี่เป็นการแปลครั้งแรก พิมพ์ฉบับ) บรรลุการตีพิมพ์คอลเลกชัน งานบันเทิงในวิชาคณิตศาสตร์และคำพูด " เด วิริบัส ควอนติทาติส"("เกี่ยวกับความสามารถของตัวเลข") Pacioli ไม่สามารถทำเช่นนี้ได้ในช่วงชีวิตของเขา - เขาเสียชีวิตในปี 1517 งานนี้เป็นผลมาจากความร่วมมือระหว่าง Pacioli และ Leonardo และบันทึกของ Leonardo เองมีปัญหาเล็กน้อยจากบทความ " เด วิริบัส ควอนติทาติส».

แน่นอนว่า Fra Luca Pacioli ได้รับการยกย่องไม่ใช่จากความคิดริเริ่มของความคิดทางวิทยาศาสตร์ แต่จากอิทธิพลของเขาที่มีต่อการพัฒนาคณิตศาสตร์โดยทั่วไปและต่อประวัติศาสตร์ของส่วนสีทองโดยเฉพาะ และข้อดีเหล่านี้ของเขาก็ไม่สามารถปฏิเสธได้

การถอดเสียง

1 Luca Pacioli และบทความของเขาเรื่อง "On Divine Proportion" A. I. SHCHETNIKOV ภาพร่างชีวประวัติ LUCA PACIOLI (LUCA PACIOLI หรือ PACIOLLO) เกิดในปี 1445 ในครอบครัวที่ยากจนของ BARTOLOMEO PACIOLI ในเมืองเล็ก ๆ ของ Borgo San Sepolcro ซึ่งตั้งอยู่บนฝั่งแม่น้ำ Tiber ที่ชายแดนทัสคานีและอุมเบรียซึ่งในขณะนั้นเป็นของสาธารณรัฐฟลอเรนซ์ ตอนเป็นวัยรุ่นเขาถูกส่งไปเรียนในเวิร์คช็อปของศิลปินชื่อดัง PIERO DELLA FRANCESCA (โอเค) ซึ่งอาศัยอยู่ในเมืองเดียวกัน การเรียนในเวิร์คช็อปไม่ได้ทำให้เขากลายเป็นศิลปิน แต่ได้พัฒนารสนิยมอันยอดเยี่ยม และที่สำคัญที่สุด ที่นี่เขาเริ่มคุ้นเคยกับคณิตศาสตร์เป็นครั้งแรก ซึ่งสนใจครูของเขาอย่างลึกซึ้ง LUCA ร่วมกับอาจารย์ของเขามักจะไปเยี่ยมศาลของ FEDERICO DE MONTEFELTRO ดยุคแห่งเออร์บิโน ที่นี่เขาสังเกตเห็นโดยสถาปนิกชาวอิตาลีผู้ยิ่งใหญ่ LEON BATISTA ALBERTI () ซึ่งในปี 1464 ได้แนะนำชายหนุ่มคนนี้ให้กับ ANTONIO DE ROMPIANZI พ่อค้าชาวเวนิสผู้มั่งคั่งให้เป็นผู้สอนประจำบ้าน ในเมืองเวนิส LUCA สอนลูกชายของผู้อุปถัมภ์และศึกษาตัวเอง โดยเข้าร่วมการบรรยายโดยนักคณิตศาสตร์ชื่อดัง DOMENICO BRAGADINO ที่โรงเรียน Rialto ในปี 1470 เขาได้รวบรวมหนังสือเล่มแรก ซึ่งเป็นตำราคณิตศาสตร์เชิงพาณิชย์ ในปีเดียวกันนั้นเขาออกจากเวนิสและย้ายไปโรมซึ่งอัลแบร์ติต้อนรับเขาและตั้งรกรากอยู่ในบ้านของเขา อย่างไรก็ตาม สองปีต่อมา PACIOLI ก็ออกจากโรมและเข้ารับตำแหน่งสงฆ์และกลายเป็นฟรานซิสกัน หลังจากผนวชแล้ว พี่ชาย LUKA ก็อาศัยอยู่ที่บ้านเกิดที่ซานเซโปลโครระยะหนึ่ง ตั้งแต่ปี 1477 ถึง 1480 เขาสอนคณิตศาสตร์ที่มหาวิทยาลัยในเปรูจา จากนั้นเขาอาศัยอยู่ที่ Zara เป็นเวลาแปดปี (ปัจจุบันคือซาดาร์ในโครเอเชีย) ซึ่งเขาศึกษาเทววิทยาและคณิตศาสตร์ บางครั้งเดินทางไปยังเมืองอื่นในอิตาลีเพื่อทำธุรกิจ ในช่วงหลายปีที่ผ่านมา PACIOLI เริ่มเขียนงานหลักในชีวิตของเขา ซึ่งได้แก่ ผลรวมสารานุกรมเลขคณิต เรขาคณิต ความสัมพันธ์ และสัดส่วน ในปี ค.ศ. 1487 เขาได้รับเชิญให้นั่งเก้าอี้ในเปรูจาอีกครั้ง ในปีต่อๆ มาเขาอาศัยอยู่ในโรม, เนเปิลส์, ปาดัว เมื่อวันที่ 12 ตุลาคม ค.ศ. 1492 ปิเอโร เดลลา ฟรานเชสกาถึงแก่กรรม ในปีต่อมา งานของ PACIOLI เกี่ยวกับการประชุมซัมมาก็เสร็จสมบูรณ์ในที่สุด ด้วยต้นฉบับนี้เขามาที่เวนิสซึ่งในเดือนพฤศจิกายน ค.ศ. 1494 หนังสือเล่มนี้ซึ่งอุทิศให้กับ GUIDO UBALDO DE MONTEFELTRO (ซึ่งกลายเป็นดยุคแห่งเออร์บิโนในปี 1482 หลังจากบิดาของเขาเสียชีวิต) ได้รับการตีพิมพ์ เป็นที่น่าสังเกตว่าหนังสือเล่มนี้ไม่ได้เขียนเป็นภาษาละตินสำหรับงานทางวิทยาศาสตร์ แต่เป็นภาษาอิตาลี ผู้เขียนบางคนสามารถอ่านได้ว่า LUCA เขียนบทความของเขาเป็นภาษาอิตาลีเพราะเขาไม่ได้รับการศึกษาที่เหมาะสมและพูดภาษาละตินไม่เก่ง อย่างไรก็ตาม เขาเป็นผู้เชี่ยวชาญด้านเทววิทยา และภาษาละตินเป็นเพียงภาษาเดียวในบทความเกี่ยวกับเทววิทยา เขาสอนคณิตศาสตร์ในมหาวิทยาลัยต่างๆ และที่นั่นทุกวิชาสอนเป็นภาษาละติน และเขายังแปล EUCLID ทั้งหมดจากภาษาละตินเป็นภาษาอิตาลีด้วย (แม้ว่าการแปลนี้จะไม่เคยได้รับการตีพิมพ์ก็ตาม) ดังนั้นแม้ว่าเขาจะไม่ได้พูดภาษาละตินแบบเห็นอกเห็นใจ แต่ภาษาละตินของโรงเรียนก็เป็นภาษาประจำวันของเขา ดังนั้นเหตุผลที่เขาชอบภาษาอิตาลีมากกว่าภาษาละตินก็เพราะว่า

2 ลูกา ปาซิโอลีและบทความของเขา “ตามสัดส่วนอันศักดิ์สิทธิ์” นี่คือสิ่งที่ LUKE พูดเกี่ยวกับเรื่องนี้ในการอุทิศตนให้กับ Summa (เขียนทั้งภาษาอิตาลีและละติน): ความเข้าใจที่ถูกต้องเกี่ยวกับคำศัพท์ยากๆ ในหมู่ชาวลาตินได้สิ้นสุดลงแล้วเนื่องจากข้อเท็จจริงที่ว่าครูที่ดีนั้นหาได้ยาก และถึงแม้ว่าสไตล์ของซิเซโรหรือสูงกว่านั้นจะเหมาะกับดยุคของคุณมากกว่า แต่ฉันเชื่อว่าไม่ใช่ทุกคนที่จะสามารถใช้ประโยชน์จากแหล่งที่มาของคารมคมคายนี้ได้ ดังนั้น โดยคำนึงถึงผลประโยชน์ของผลประโยชน์ทั่วไปของอาสาสมัครที่เคารพนับถือของคุณ ฉันจึงตัดสินใจเขียนเรียงความของฉันเป็นภาษาท้องถิ่น เพื่อให้ทั้งผู้มีการศึกษาและไม่ได้รับการศึกษาสามารถเพลิดเพลินกับกิจกรรมเหล่านี้ได้ ในคำนำของการประชุมซัมมา PACIOLI พูดถึงคนเหล่านั้น ต้องขอบคุณการสื่อสารที่เขาพัฒนาความเชื่อมั่นว่าคณิตศาสตร์ถือเป็น "กฎสากลที่ใช้บังคับกับทุกสิ่ง" เขาพูดถึงดาราศาสตร์ เกี่ยวกับแนวทางทางวิทยาศาสตร์ต่อสถาปัตยกรรมที่รวมอยู่ในผลงานของ VITRIVIUS และ ALBERTI เกี่ยวกับจิตรกรจำนวนมากที่พัฒนาศิลปะแห่งเปอร์สเปกทีฟ "ซึ่งหากพิจารณาอย่างรอบคอบ มันจะเป็นที่ว่างโดยไม่ต้องใช้การคำนวณทางคณิตศาสตร์" ซึ่ง "ราชาแห่งยุคของเรา" โดดเด่นในการวาดภาพ" PIERO DELLA FRANCESCA เกี่ยวกับช่างแกะสลักที่ยอดเยี่ยม เหล่านี้คือปรมาจารย์เหล่านั้น "ผู้ซึ่งใช้การคำนวณในงานของพวกเขาด้วยความช่วยเหลือในระดับและเข็มทิศ ได้นำพวกเขาไปสู่ความสมบูรณ์แบบที่ไม่ธรรมดา" PACIOLI ยังกล่าวถึงความสำคัญของคณิตศาสตร์สำหรับดนตรี จักรวาลวิทยา เพื่อการค้า ศิลปะเครื่องกล และกิจการทางทหาร ผลรวมของเลขคณิต เรขาคณิต ความสัมพันธ์ และสัดส่วนเป็นงานสารานุกรมที่ครอบคลุม จัดพิมพ์บน 300 หน้า ส่วนแรกของ 224 แผ่นงานมีไว้สำหรับเลขคณิตและพีชคณิต ส่วนที่สองจากเรขาคณิต 76 แผ่น การนับจำนวนแผ่นงานในทั้งสองส่วนเริ่มต้นอีกครั้ง แต่ละส่วนแบ่งออกเป็นส่วน, ส่วนเป็นบทความ, บทความเป็นบท ส่วนทางคณิตศาสตร์ของ Summa จะกำหนดวิธีการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ ส่วนนี้อิงจากหนังสือลูกคิดหลายเล่มที่เป็นของผู้แต่งหลายคน ปัญหาพีชคณิตที่แก้ไขใน Summa ไม่ได้อยู่นอกเหนือขอบเขตของปัญหาในสมการเชิงเส้นและสมการกำลังสองที่พิจารณาในบทความภาษาอาหรับเรื่อง "พีชคณิตและอัลมูคาบาลา" ในยุโรปงานเหล่านี้เป็นที่รู้จักจาก Book of the Abacus of LEONARDO OF PISA () ในบรรดาปัญหาที่ดึงดูดความสนใจของนักคณิตศาสตร์รุ่นต่อ ๆ ไป ที่น่าสังเกตคือปัญหาในการแบ่งการเดิมพันในเกมที่ยังไม่เสร็จซึ่ง LUKA เองก็แก้ไขอย่างไม่ถูกต้อง บางทีนวัตกรรมที่สำคัญที่สุดของ PACIOLI ก็คือการใช้สัญลักษณ์พีชคณิตแบบซิงโครไนซ์อย่างเป็นระบบ ซึ่งเป็นบรรพบุรุษของแคลคูลัสเชิงสัญลักษณ์ที่ตามมา หนังสือเล่มนี้ประกอบด้วยตารางเหรียญ น้ำหนัก และหน่วยวัดที่นำมาใช้ในส่วนต่างๆ ของอิตาลี รวมถึงคำแนะนำในการทำบัญชีแบบ double-entry ของเวนิส สำหรับส่วนเรขาคณิตของ Summa นั้นเป็นไปตามเรขาคณิตเชิงปฏิบัติของ LEONARDO OF PISA ในช่วงครึ่งแรกของทศวรรษที่ 90 PACIOLI อาศัยอยู่ในเออร์บิโน ตั้งแต่ยุคนี้เป็นต้นไป ภาพวาดของ JACOPO DE BARBARI มีอายุย้อนกลับไป โดยที่ PACIOLI ปรากฎพร้อมกับชายหนุ่มที่ไม่รู้จัก มีการตั้งสมมติฐานหลายประการเกี่ยวกับตัวตนของชายหนุ่มคนนี้ สมมติฐานที่เป็นไปได้มากที่สุดน่าจะเป็นว่านี่คือ Duke GUIDO UBALDO ผู้อุปถัมภ์ของ PACIOLI

3 ลูก้า ปาซิโอลีและบทความของเขา “ตามสัดส่วนอันศักดิ์สิทธิ์” 3 ภาพที่. 1. ภาพเหมือนของ LUCA PACIOLI และชายหนุ่มที่ไม่รู้จัก จิตรกรรมโดย JACOPO DE BARBARI (เนเปิลส์, พิพิธภัณฑสถานแห่งชาติ) ในปี 1496 มีการก่อตั้งประธานสาขาคณิตศาสตร์ขึ้นในมิลาน และ PACIOLI เสนอให้เข้ามาครอบครอง ที่นี่เขาให้การบรรยายด้านการศึกษาแก่นักเรียนและการบรรยายสาธารณะให้กับทุกคน ที่นี่ ที่ราชสำนักของ Duke LODOVICO MORO SFORZA () เขาสนิทสนมกับ LEONARDO DA VINCI ใน สมุดบันทึกบันทึกของ LEONARDO ยังคงอยู่: “เรียนรู้ที่จะขยายรากจาก Maestro LUCA” “ขอให้พี่ชายจาก Borgo แสดงหนังสือเกี่ยวกับตาชั่งให้คุณดู” PACIOLI คำนวณ LEONARDO จากน้ำหนักของอนุสาวรีย์นักขี่ม้าขนาดมหึมาของ FRANCESCO SFORZA ในมิลาน PACIOLI เขียนข้อความ On Divine Proportion จ่าหน้าถึง Duke LODOVICO SFORZA และ LEONARDO ก็จัดทำภาพประกอบ ตำรานี้เสร็จสมบูรณ์เมื่อวันที่ 14 ธันวาคม ค.ศ. 1498 บทความที่เขียนด้วยลายมือหลายฉบับซึ่งมอบให้กับผู้ปกครองนั้นมาพร้อมกับชุดรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติและตัวเรขาคณิตอื่นๆ ซึ่งบราเดอร์ลุคบอกว่าเขาสร้างมันด้วยมือของเขาเอง (เขาเขียนเกี่ยวกับแบบจำลองของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติใน Summa) ต้นฉบับสองฉบับของบทความนี้ได้รับการเก็บรักษาไว้ ฉบับหนึ่งอยู่ในห้องสมุดสาธารณะในเจนีวา และฉบับที่สองในห้องสมุด Ambrosian ในมิลาน ในปี 1499 กองทัพฝรั่งเศสเข้ายึดครองมิลาน และดยุคแห่ง SFORZA หนีไป; ไม่นานเลโอนาร์โดและลูก้าก็ออกจากเมืองไป ในปีต่อๆ มา LUCA PACIOLI บรรยายในเมืองปิซา (ค.ศ. 1500), เปรูจา (ค.ศ. 1500), โบโลญญา () และฟลอเรนซ์ () ในฟลอเรนซ์ เขาได้รับอุปถัมภ์โดยปิเอโตร โซเดรินี กอนฟาโลเนียเรแห่งสาธารณรัฐมาตลอดชีวิต อย่างไรก็ตาม ผลงานของ PACIOLI ยังไม่ได้รับการตีพิมพ์ทั้งหมด ดังนั้นเขาจึงไปเวนิสอีกครั้ง ที่นี่ในปี 1508 เขาได้ตีพิมพ์ แปลภาษาละติน EUCLID เป็นเจ้าของโดย GIOVANNI CAMPANO จากโนวารา การแปลนี้จัดทำขึ้นจากภาษาอาหรับในปี 1259 และได้รับการตีพิมพ์แล้วในปี 1482 และพิมพ์ซ้ำหลายครั้ง แต่การตีพิมพ์เต็มไปด้วยการพิมพ์ผิดและข้อผิดพลาด PACIOLI แก้ไขการแปล ตามฉบับนี้ พร้อมด้วยความคิดเห็นมากมาย เขาได้บรรยายในมหาวิทยาลัย อย่างไรก็ตาม สิ่งพิมพ์ดังกล่าวไม่ได้รับการอ้างสิทธิ์ เนื่องจากในปี 1505 BARTOLOMEO ZAMBERTI ตีพิมพ์ การแปลใหม่เริ่มดำเนินการโดยตรงจากต้นฉบับภาษากรีก ในปี 1509 หนังสืออีกเล่มของ PACIOLI ได้รับการตีพิมพ์ในเมืองเวนิส: Divinaสัดส่วน ดำเนินการ tutti glingegni perspicaci และ curiosi necessaria ไปที่สตูดิโอ Philosophia, Prospectiva,

4 LUCA PACIOLI และบทความของเขาเกี่ยวกับสัดส่วนอันศักดิ์สิทธิ์ ว้าว ซึ่งนักเรียนทุกคนในสาขาปรัชญา มุมมอง จิตรกรรม ประติมากรรม สถาปัตยกรรม ดนตรี หรือวิชาคณิตศาสตร์อื่นๆ จะได้ดึงเอาการสอนที่น่าพึงพอใจ มีไหวพริบ และน่าประหลาดใจที่สุดออกมา และจะสร้างความบันเทิงให้ตัวเองด้วยคำถามต่างๆ ของ วิทยาศาสตร์ที่ลึกลับที่สุด” ฉบับพิมพ์นี้มีข้อความจำนวนหนึ่ง สิ่งพิมพ์นำหน้าด้วยการอุทธรณ์ต่อ PIETRO SODERINI ชาวฟลอเรนซ์ ส่วนแรก (33 แผ่น) ประกอบด้วยข้อความเกี่ยวกับสัดส่วนของพระเจ้า บทความเกี่ยวกับสถาปัตยกรรม สัดส่วนของร่างกายมนุษย์ และหลักการสร้างตัวอักษรละติน ตามมาด้วยหนังสือในบทความสามบทความแยกกันเกี่ยวกับเนื้อหาปกติ (27 แผ่น) ซึ่งบทความแรกพิจารณาถึงรูปร่างแบน เนื้อหาปกติที่สองจารึกไว้ในทรงกลม และเนื้อหาปกติที่สามจารึกไว้ซึ่งกันและกัน ต่อไปเป็นตารางกราฟิกที่พิมพ์ลงบนด้านหนึ่งของแผ่น: สัดส่วนของใบหน้ามนุษย์ (1 แผ่น), หลักการสร้างตัวอักษรละติน (23 แผ่น), รูปภาพองค์ประกอบทางสถาปัตยกรรม (3 แผ่น), รูปภาพของปกติ และเนื้อหาอื่นๆ ที่สร้างจากภาพวาดของ LEONARDO (58 แผ่นงาน ) และสุดท้ายคือภาพวาด "ต้นไม้แห่งสัดส่วนและสัดส่วน" ซึ่ง PACIOLI จัดเตรียมไว้ให้แล้วใน Summa (1 แผ่นงาน) ในข้อความเรื่อง On Divine Proportion ของเขา LUCA PACIOLI กล่าวว่าในฐานะชายชรา ถึงเวลาแล้วที่เขาจะต้องเกษียณอายุเพื่อ "นับปีในที่ที่มีแสงแดดสดใส" ได้ยินคำขอนี้และในปี 1508 เขาก็กลายเป็นที่ตั้งของอารามในซานเซโปลโครบ้านเกิดของเขา อย่างไรก็ตามในเดือนธันวาคม ค.ศ. 1509 พระภิกษุสองคนในอารามของเขาได้ส่งจดหมายถึงนายพลของคณะโดยระบุว่า "เกจิ LUCA เป็นคนไม่เหมาะที่จะปกครองผู้อื่น" และขอให้ปลดออกจากหน้าที่ธุรการ แต่พวกเขาไม่ได้รับการสนับสนุนจากผู้บังคับบัญชา และในเดือนกุมภาพันธ์ ค.ศ. 1510 LUCA PACIOLI ก็กลายเป็นอารามประจำถิ่นของเขาเต็มตัว อย่างไรก็ตาม ความขัดแย้งภายในอารามยังคงดำเนินต่อไป ในช่วงปีสุดท้ายของชีวิต บราเดอร์ลูก้ายังคงบรรยายเป็นครั้งคราว เขาได้รับเชิญให้ไปที่เปรูจาในปี 1510 และไปที่โรมในปี 1514 ซึ่งเป็นคำเชิญครั้งสุดท้ายที่มาจากสมเด็จพระสันตะปาปาลีโอที่ 10 องค์ใหม่ LUCA PACIOLI เสียชีวิตเมื่ออายุ 72 ปีในวันที่ 19 มิถุนายน 1517 ในฟลอเรนซ์ ทบทวนข้อความ “เกี่ยวกับสัดส่วนอันศักดิ์สิทธิ์” ในข่าวสารของ LUCA PACIOLI เกี่ยวกับสัดส่วนอันศักดิ์สิทธิ์ มีการเน้นส่วนเนื้อหาต่อไปนี้: บทนำ (บทที่ 1 4) คุณสมบัติอันศักดิ์สิทธิ์ ความหมาย และคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ของสัดส่วนที่เกิดขึ้นเมื่อหารปริมาณในอัตราส่วนเฉลี่ยและอัตราส่วนสุดขั้ว (บทที่ 5 23) เกี่ยวกับร่างปกติ เหตุใดจึงมีได้ไม่เกินห้าร่าง และแต่ละร่างประกอบกันเป็นทรงกลมได้อย่างไร (บทที่) เกี่ยวกับวิธีที่ร่างกายปกติเข้ากันได้ (บทที่) เกี่ยวกับวิธีที่ทรงกลมเข้ากับแต่ละร่างเหล่านี้ (บทที่ 47) เกี่ยวกับวิธีที่ได้ร่างที่ถูกตัดทอนและโครงสร้างส่วนบนจากร่างปกติ (บทที่) เกี่ยวกับวัตถุอื่น ๆ ที่จารึกไว้ในทรงกลม (บทที่) สเฟียร์ (ช) บนเสาและปิรามิด (บทที่) ในรูปแบบวัสดุของร่างกายที่นำเสนอและภาพเปอร์สเปคทีฟ (บทที่ 70) อภิธานศัพท์ (บทที่ 71)

5 LUCA PACIOLI และตำราของเขา "ตามสัดส่วนอันศักดิ์สิทธิ์" 5 โดย "สัดส่วนอันศักดิ์สิทธิ์" PACIOLI เข้าใจสัดส่วนทางเรขาคณิตที่ต่อเนื่องของปริมาณสามปริมาณ ซึ่ง EUCLID เรียกว่า "การหารในอัตราส่วนเฉลี่ยและอัตราส่วนสุดขีด" และในศตวรรษที่ 19 มันเริ่มที่จะเป็น เรียกว่า “อัตราส่วนทองคำ” ในการกำหนดสัดส่วนนี้และอธิบายคุณสมบัติของมัน PACIOLI จะปฏิบัติตาม EUCLID สัดส่วนนี้เกิดขึ้นเมื่อทั้งหมดถูกแบ่งออกเป็นสองส่วน เมื่อทั้งหมดเกี่ยวข้องกับส่วนที่ใหญ่กว่า ในขณะที่ส่วนที่ใหญ่กว่าเกี่ยวข้องกับส่วนที่เล็กกว่า ในภาษาของความเท่าเทียมกันของพื้นที่นั้น สัดส่วนที่เท่ากันจะได้รับดังต่อไปนี้: สี่เหลี่ยมจัตุรัสบนส่วนที่ใหญ่กว่าจะเท่ากับสี่เหลี่ยมจัตุรัส โดยด้านที่เป็นด้านทั้งหมดและส่วนที่เล็กกว่า บราเดอร์ลุคให้เหตุผลถึงคุณค่าพิเศษและความแตกต่างระหว่างความสัมพันธ์ของ "สัดส่วนของพระเจ้า" ท่ามกลางความสัมพันธ์อื่นๆ ที่มีการโต้แย้งในลักษณะเลื่อนลอยและเทววิทยา ความเป็นเอกลักษณ์และความไม่สามารถเปลี่ยนรูปได้ของสัดส่วนนี้ถูกเปรียบเทียบกับความเป็นเอกลักษณ์และการไม่เปลี่ยนรูปของพระเจ้า สมาชิกสามคนที่มีภาวะ hypostases ทั้งสามของพระตรีเอกภาพ ความไร้เหตุผลของความสัมพันธ์กับความไม่สามารถเข้าใจได้และไม่สามารถอธิบายได้ของพระเจ้า แต่นอกเหนือจากข้อโต้แย้งเหล่านี้แล้ว ยังมีอีกประการหนึ่ง: สัดส่วนนี้เกี่ยวข้องกับขั้นตอนในการสร้างรูปห้าเหลี่ยมแบนปกติ และรูปทรงสิบสองหน้าที่เป็นของแข็งและรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบสามมิติ แต่เพลโตในทิเมอุสถือว่าวัตถุปกติทั้งห้านั้นเป็นองค์ประกอบห้าประการที่จักรวาลประกอบขึ้น ดังนั้น โครงสร้างทางอภิปรัชญาของ PACIOLI จึงผสมผสานแรงจูงใจของเทววิทยาคริสเตียนและจักรวาลวิทยาแบบสงบ นอกจากนี้ LUKE ยังกำหนดคุณสมบัติต่างๆ ของ "สัดส่วนอันศักดิ์สิทธิ์" ซึ่งเป็นที่รู้จักจากหนังสือ XIII และ XIV ขององค์ประกอบของ EUCLID โดยรวมแล้วเขาพิจารณาคุณสมบัติดังกล่าวสิบสามรายการโดยเชื่อมโยงหมายเลขนี้กับจำนวนผู้เข้าร่วมในกระยาหารมื้อสุดท้าย นี่คือตัวอย่างหนึ่งของคุณสมบัติเหล่านี้: “ให้เส้นตรงถูกแบ่งตามสัดส่วน โดยมีกึ่งกลางและสองขอบ จากนั้นหากครึ่งหนึ่งของเส้นแบ่งตามสัดส่วนทั้งหมดถูกบวกเข้ากับส่วนที่ใหญ่กว่า ก็จะต้องกลายเป็นว่า กำลังสองของผลรวมจะเป็นห้าเท่าเสมอ นั่นคือ 5 เท่าของกำลังสองของครึ่งที่ระบุ" เขามาพร้อมกับคุณสมบัติทั้งหมดนี้ด้วยตัวอย่างตัวเลขเดียวกัน เมื่อความยาวของส่วนทั้งหมดคือ 10 และส่วนต่างๆ ของมันคือ ยิ่งเล็กลงและใหญ่ขึ้น ตัวอย่างที่มีการหารพีชคณิตเป็น 10 ในอัตราส่วนเฉลี่ยและอัตราส่วนสุดขีดถูกยืมโดย LUCA PACIOLI จาก LEONARDO แห่ง PISA () และคนหลังจาก ABU KAMIL () และ AL-KHWAREZMI () การคำนวณรากของสมการกำลังสองที่สอดคล้องกันนั้นไม่ได้ดำเนินการในตำรา: ที่นี่ LUKA อ้างถึง Summa ของเขาเองซึ่งผลลัพธ์นี้ได้รับ "ตามกฎของพีชคณิตและอัลมูคาบาลา" และโดยทั่วไป ประเภทของข้อความที่เขาเลือกนั้นถูกกำหนดไว้ล่วงหน้าโดยข้อเท็จจริงที่ว่า PACIOLI ให้ผลลัพธ์ทั้งหมดโดยไม่มีข้อพิสูจน์ แม้ว่าเขาจะรู้หลักฐานนี้อย่างไม่ต้องสงสัยก็ตาม ต่อไปนี้ PACIOLI จะพิจารณาของแข็งพลาโตนิกทั้งห้า ขั้นแรก เขาพิสูจน์ทฤษฎีบทว่ามีวัตถุเหล่านี้อยู่ห้าชิ้นพอดี และไม่มีอีกแล้ว จากนั้นเขาก็ให้สร้างวัตถุทั้งห้าที่จารึกไว้ในทรงกลมที่กำหนดตามลำดับต่อไปนี้: จัตุรมุข, ลูกบาศก์, แปดหน้า, ทรงแปดหน้า, icosahedron, สิบสองหน้า ต่อไป จะพิจารณาสัดส่วนระหว่างด้านข้างของวัตถุเหล่านี้ซึ่งถูกจารึกไว้ในทรงกลมเดียวกัน และให้ทฤษฎีบทจำนวนหนึ่งเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างพื้นผิวของวัตถุเหล่านั้น จากนั้นจะพิจารณาถึงวิธีการบางอย่างที่สามารถจารึกเนื้อหาปกติชิ้นหนึ่งลงในอีกเนื้อหาหนึ่งได้ ท้ายที่สุด มีการกล่าวถึงทฤษฎีบทที่ว่าทรงกลมสามารถจารึกไว้ในวัตถุปกติทุกอันได้ ตอนนี้ PACIOLI ออกจาก EUCLID สักพักแล้วจึงเปลี่ยนไปสู่เนื้อหาใหม่ กล่าวคือ เขาพิจารณาวัตถุที่สามารถได้รับจากวัตถุปกติโดย "การตัดทอน" หรือ "โครงสร้างส่วนบน" เนื้อที่ได้มาจากเนื้อปกติโดยการตัดทอนคือ

6 LUCA PACIOLI และบทความของเขา “ตามสัดส่วนอันศักดิ์สิทธิ์” 6 ของแข็งกึ่งปกติบางส่วนของ ARCHIMEDES มีทั้งหมดสิบสามตัวกึ่งปกติซึ่งได้รับการพิสูจน์โดย ARCHIMEDES แต่ PACIOLI ไม่คุ้นเคยกับการทบทวนผลงานของ ARCHIMEDES ซึ่งหาได้จาก PAP จากของแข็งกึ่งปกติจำนวน 13 ชิ้น เขาพิจารณาหกชิ้น ได้แก่ ทรงสี่หน้าทรงสี่หน้าทรงลูกบาศก์ทรงลูกบาศก์ทรงแปดหน้าทรงแปดหน้าทรงปลายแหลมทรงแปดหน้าทรงแปดหน้าทรงปลายแหลมทรงแปดหน้าทรงแปดหน้าทรงปลายแหลมทรงแปดหน้าทรงแปดหน้าทรงแปดหน้าทรงแปดหน้าทรงแปดหน้าทรงปลายแหลมและทรงสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนแบบทรงปลายแหลม เขาพลาดร่างสองศพไป - ลูกบาศก์ที่ถูกตัดทอนและรูปทรงสิบสองหน้าที่ถูกตัดทอน - ด้วยเหตุผลที่ไม่ทราบสาเหตุ แม้ว่าโครงสร้างของพวกมันจะคล้ายกับการสร้างจัตุรมุขที่ถูกตัดทอน ลูกบาศก์ และไอโคซาฮีดรอนก็ตาม สำหรับรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่ถูกตัดทอน (“ตัวที่มีฐาน 26 ฐาน”) นั้น PACIOLI ดูเหมือนจะค้นพบมันเองและภูมิใจมากกับการค้นพบนี้ มันคือร่างนี้ที่ทำจากแผ่นกระจกใสและเต็มไปด้วยน้ำครึ่งหนึ่งซึ่งแสดงไว้ในภาพ ส่วนซ้ายบนของภาพวาดโดย IACOPO DE BARBARI โครงสร้างส่วนบนปกติและโครงสร้างส่วนบนของ PACIOLI ที่ถูกตัดทอนนั้นไม่เหมือนกับรูปทรงหลายเหลี่ยมรูปดาวของ KEPLER ที่ศึกษาในวิชาคณิตศาสตร์รุ่นหลัง ของแข็งของ KEPLER ได้มาจากการขยายระนาบของรูปทรงหลายเหลี่ยมดั้งเดิม ร่างกาย PACIOLI โดยการสร้างปิรามิดบนใบหน้าแต่ละหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมเดิม โดยด้านข้างเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า PACIOLI ให้ทฤษฎีบทที่น่าสนใจว่า ในไอโคซิโดเดคาฮีดรอนที่มีโครงสร้างส่วนบน จุดยอดทั้งห้าของปิรามิดรูปสามเหลี่ยมและจุดยอดของปิรามิดห้าเหลี่ยมอยู่ในระนาบเดียวกัน การพิสูจน์ที่ละเว้นนั้น “ถูกยกขึ้นโดยการฝึกพีชคณิตและอัลมูคาบาลาที่ละเอียดอ่อนที่สุดจนถึงจุดที่หาได้ยาก” ต่อไป เราจะพิจารณา "เนื้อหาที่มี 72 ฐาน" ซึ่ง EUCLID ใช้เป็นส่วนประกอบเสริมในสองประโยคสุดท้ายของหนังสือ XII of the Elements ร่างกายนี้บางครั้งเรียกว่า "ทรงกลมคัมปาโน" ในวรรณคดี (รูปที่ 2) ปาซิโอลีอ้างว่ารูปร่างของร่างกายนี้เป็นพื้นฐานทางเรขาคณิตสำหรับโดมของวิหารแพนธีออนในกรุงโรมและสำหรับห้องใต้ดินของอาคารอื่นๆ อีกจำนวนหนึ่ง ข้าว. 2. มะเดื่อ 3. หนึ่งในภาพวาดของเลโอนาร์โด ดา วินชี สลักจากบทความฉบับพิมพ์ ต่อไปนี้ PACIOLI กล่าวว่าโดยการตัดทอนและโครงสร้างส่วนบน ทำให้สามารถมีรูปทรงหลายเหลี่ยมได้ไม่จำกัดจำนวน และดำเนินการพิจารณาทรงกลม โดยแตะข้อความที่จารึกวัตถุปกติในนั้นอีกครั้ง

7 LUCA PACIOLI และบทความของเขา “ตามสัดส่วนอันศักดิ์สิทธิ์” 7 ส่วนสุดท้ายของข้อความเรื่องสัดส่วนอันศักดิ์สิทธิ์นำเรากลับไปที่ EUCLID ในกรณีนี้ เราจะพิจารณาปริซึมหลายหน้าและทรงกระบอก จากนั้นจึงพิจารณาปิรามิดหลายหน้าและกรวย จากนั้นจึงพิจารณาปิรามิดที่ถูกตัดทอน Pacioli ให้กฎสำหรับการคำนวณปริมาตรของวัตถุเหล่านี้ทั้งหมด โดยระบุว่ากฎเหล่านี้เป็นค่าโดยประมาณและกฎใดถูกต้อง PACIOLI เขียนเพิ่มเติมว่าสำเนาบทความที่เขียนด้วยลายมือที่มอบให้ดยุคและญาติของเขานั้นมาพร้อมกับตารางที่มีภาพวาดเปอร์สเปคทีฟซึ่งจัดทำโดย LEONARDO DA VINCI รวมถึง "รูปแบบวัสดุ" ของเนื้อหาทั้งหมดที่กล่าวถึงในนั้น การออกแบบและรูปร่างของรูปทรงหลายเหลี่ยมถูกสร้างขึ้นในสองรูปแบบ: แบบแข็งโดยมีขอบแบนทึบ และแบบกลวงที่มีเฉพาะขอบ ไม่ว่าเลโอนาร์โดจะวาดภาพของเขาโดยการคำนวณหรือจากชีวิตจริงก็ตาม เราไม่รู้ ภาพวาดบางภาพถูกสร้างขึ้นโดยมีข้อผิดพลาดที่มองเห็นได้ด้วยตา แต่สามารถอธิบายได้ทั้งจากความไม่ถูกต้องของการคำนวณและจากการเปลี่ยนแปลงจุดที่มองเห็นร่างกายที่ปรากฎ ข้อความลงท้ายด้วยพจนานุกรมซึ่งอธิบายคำที่ใช้ในข้อความอีกครั้ง เงื่อนไขพิเศษ- อัตราส่วนทองคำในสุนทรียภาพ "โบราณ" และ "ใหม่" หนังสือและบทความยอดนิยมและเฉพาะทางจำนวนมากที่อุทิศให้กับปัญหาสัดส่วนในงานศิลปะถือว่าอัตราส่วนทองคำเป็นสัดส่วนที่ "สมบูรณ์แบบที่สุด" และความสมบูรณ์แบบนี้ได้รับการตีความในหนังสือเหล่านี้โดยหลักจิตวิทยา: สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความสัมพันธ์ "ทอง" ของทั้งสองฝ่ายถือเป็นที่น่าพอใจที่สุดสำหรับการรับรู้ทางสายตา ฯลฯ ในสิ่งพิมพ์เหล่านี้เป็นเรื่องปกติที่จะพิจารณาผลงานวิจิตรศิลป์และอนุสรณ์สถานทางสถาปัตยกรรมต่าง ๆ ที่สร้างขึ้นโดยปรมาจารย์ด้านสมัยโบราณและยุคฟื้นฟูศิลปวิทยาเป็นตัวอย่างที่ยืนยัน วิทยานิพนธ์นี้ ควรสังเกตว่าไม่มีข้อความใดเข้าถึงเราตั้งแต่สมัยโบราณ ซึ่งการแบ่งขนาดในอัตราส่วนเฉลี่ยและสูงสุดจะถูกกล่าวถึงเป็นหลักการก่อรูปในศิลปกรรมและสถาปัตยกรรม ดูเหมือนว่าข้อความดังกล่าวไม่มีอยู่เลย สำหรับการเปรียบเทียบเราสามารถพิจารณาสิ่งที่เรียกว่าสัดส่วนทางดนตรี 12: 9 = 8: 6 ซึ่งกำหนดโครงสร้างของความสามัคคีทางดนตรี สัดส่วนนี้ค้นพบโดยชาวพีทาโกรัส มีการกล่าวถึงในตำราโบราณหลายสิบฉบับที่อุทิศให้กับทฤษฎีดนตรี ทั้งเชิงปรัชญาพิเศษและทั่วไป คงจะแปลกถ้าอัตราส่วนทองคำมีบทบาทคล้ายกันในสถาปัตยกรรม ประติมากรรม และจิตรกรรม แต่นักประพันธ์สมัยโบราณไม่มีหลักฐานใดๆ เกี่ยวกับเรื่องนี้ ตำราโบราณทั้งหมดที่กล่าวถึงการแบ่งขนาดในอัตราส่วนเฉลี่ยและอัตราส่วนสุดขีดนั้นเป็นบทความทางคณิตศาสตร์ล้วนๆ ซึ่งการก่อสร้างนี้ถือว่าเกี่ยวข้องกับการสร้างรูปห้าเหลี่ยมปกติเท่านั้น เช่นเดียวกับของแข็งพลาโตนิกปกติสองชิ้นของไอโคซาฮีดรอนและสิบสองหน้า ( หากต้องการทบทวนข้อความเหล่านี้ โปรดดู HERZ-FISHLER 1998) เป็นความจริงที่ว่าความสนใจในวัตถุปกติและด้วยเหตุนี้ในอัตราส่วนทองคำจึงไม่ได้เป็นเพียงทางคณิตศาสตร์เท่านั้น ท้ายที่สุดแล้ว PLATO ซึ่งติดตามพีทาโกรัสเริ่มถือว่าวัตถุปกติทั้งห้านั้นเป็นรากฐานพื้นฐานของจักรวาลโดยวางจัตุรมุขไว้ การติดต่อกับไฟ, ลูกบาศก์กับโลก, ทรงแปดหน้ากับอากาศ, ทรงไอโคซาเฮดรอนในน้ำ และเขาเชื่อมโยงรูปร่างของทรงสิบสองหน้ากับจักรวาลโดยรวม ในเรื่องนี้ แน่นอนว่า เราสามารถพูดถึงความสำคัญทางสุนทรีย์ของอัตราส่วนทองคำได้ ดังที่ A.F. LOSEV ทำในงานเขียนของเขา แต่ "สุนทรียศาสตร์" นี้เองไม่ได้อยู่ที่ด้านจิตวิทยาเลย แต่อยู่ในธรรมชาติของจักรวาลวิทยา

8 LUCA PACIOLI และบทความของเขา“ บนสัดส่วนอันศักดิ์สิทธิ์” 8 ในช่วงยุคฟื้นฟูศิลปวิทยาการมีการกลับคืนสู่ภาพทางจักรวาลวิทยาของลัทธิ Platonism โบราณและบทความของ LUCA PACIOLI“ เกี่ยวกับสัดส่วนอันศักดิ์สิทธิ์” เป็นอนุสาวรีย์ที่สำคัญที่สุดของทิศทางการเก็งกำไรทางคณิตศาสตร์นี้ . ลูก้าร้องเพลง " สัดส่วนอันศักดิ์สิทธิ์"ในบทเริ่มต้นของตำราของเขา เรียกคุณสมบัติของมันว่า "ไม่เป็นธรรมชาติ แต่เป็นพระเจ้าอย่างแท้จริง" อย่างไรก็ตาม มุมมองของเขาเกี่ยวกับความหมายของสัดส่วนนี้ยังคงเชื่อมโยงกับจักรวาลวิทยาของ Timaeus ของ Plato และ "ความสอดคล้องที่ยิ่งใหญ่ที่สุด" ที่เขาพูดถึงก็คือความกลมกลืนของจักรวาล ไม่ใช่สิ่งอื่นใด และถึงแม้ว่า PACIOLI จะแนบบทความเกี่ยวกับสถาปัตยกรรมและสัดส่วนของร่างกายมนุษย์มากับข้อความของเขาเรื่องสัดส่วนของพระเจ้า แต่เขาก็ไม่ได้พูดอะไรเกี่ยวกับส่วนสีทองในบทความนี้แม้แต่คำเดียว ดังนั้น เขาจึงไม่มีมุมมองอื่นใดเกี่ยวกับอัตราส่วนทองคำนอกเหนือจากอัตราส่วนทางจักรวาลวิทยาทางคณิตศาสตร์ และแนวคิดที่ว่าอัตราส่วนทองคำสามารถทำหน้าที่เป็นสัดส่วนพื้นฐานสำหรับงานสถาปัตยกรรมและจิตรกรรมก็ไม่เกิดขึ้นกับเขา มุมมองเดียวกันนี้เป็นลักษณะของ JOHANN KEPLER และนักเขียนยุคฟื้นฟูศิลปวิทยาคนอื่นๆ ที่สนใจอัตราส่วนทองคำและบทบาทของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติใน "ความสามัคคีของโลก" ดังนั้น การมองหาแนวคิดบางอย่างเกี่ยวกับอัตราส่วนทองคำที่เกี่ยวข้องกับสุนทรียภาพของงานศิลปะในงานเขียนของพวกเขาจึงเป็นแบบฝึกหัดที่ไร้ประโยชน์โดยสิ้นเชิง เนื่องจากมันไม่ได้อยู่ที่นั่น ชะตากรรมของผลงานของ Pacioli คำถามเกี่ยวกับการลอกเลียนแบบ หลังจาก PACIOLI เสียชีวิต งานเขียนของเขาไม่ได้ถูกจดจำนานเกินไป ยุคแห่งความสำเร็จทางวิทยาศาสตร์อันยิ่งใหญ่กำลังใกล้เข้ามา เมื่อผลลัพธ์ใหม่เริ่มมีคุณค่าในด้านวิทยาศาสตร์เป็นหลัก และหนังสือของ PACIOLI เป็นการทบทวนสิ่งที่เคยทำในสมัยก่อน GIROLAMO CARDANO () เรียก PACIOLI ว่าเป็นคอมไพเลอร์ ซึ่งจากมุมมองของเขา เขาค่อนข้างพูดถูก อย่างไรก็ตาม นักคณิตศาสตร์ที่โดดเด่นอีกคนหนึ่งในยุคนี้ RAFAEL BOMBELLI () กล่าวว่า PACIOLI เป็นคนแรกหลังจาก LEONARDO แห่ง PISA "ผู้ให้ความกระจ่างเกี่ยวกับวิทยาศาสตร์ของพีชคณิต" ความสนใจในบุคลิกภาพและงานเขียนของ PACIOLI กลับมาอีกครั้งในปี พ.ศ. 2412 เมื่อ Summa ตกอยู่ในมือของศาสตราจารย์คณิตศาสตร์ชาวมิลาน LUCHINI และเขาได้ค้นพบบทความเกี่ยวกับบัญชีและบันทึกในนั้น หลังจากการค้นพบนี้ PACIOLI เริ่มถูกมองว่าเป็นผู้ก่อตั้งวิทยาศาสตร์ของ การบัญชีและมันเป็นบทความชิ้นนี้ที่กลายเป็นส่วนที่เป็นที่ต้องการมากที่สุดในมรดกของเขาซึ่งแปลเป็นภาษาอื่นหลายครั้งรวมถึงภาษารัสเซียด้วย อย่างไรก็ตาม หลังจากการตีพิมพ์ Treatise on Accounts and Records เป็นครั้งแรก ก็มีการอภิปรายอย่างดุเดือดในหมู่นักวิจัยว่า LUCA PACIOLI เป็นผู้เขียนจริงหรือไม่ มีข้อสงสัยว่าบุคคลที่อยู่ห่างไกลจากการค้าขายสามารถรวบรวมบทความดังกล่าวได้หรือไม่ และถ้าเขาทำไม่ได้ เราก็ไม่ควรคิดไปเองว่ามีการลอกเลียนแบบเกิดขึ้นที่นี่หรือ? ดูเหมือนว่าข้อกล่าวหาเรื่องการลอกเลียนแบบในกรณีนี้ยังไม่ยุติธรรม PACIOLI ไม่เคยบอกว่าเขาคิดค้นการทำบัญชีแบบรายการคู่ เขาอธิบายบรรทัดฐานของมันเท่านั้น "ตามธรรมเนียมของชาวเวนิส" แต่ถ้าเราเปิดคู่มือการบัญชีสมัยใหม่มันจะเป็นคำอธิบายเชิงบรรทัดฐานเดียวกันทุกประการโดยไม่มีการอ้างอิงถึงรุ่นก่อน และถ้า PACIOLI อธิบายระบบบัญชีจากต้นฉบับที่เขาอ่าน เขาก็ไม่ได้คิดกฎการคูณคอลัมน์ขึ้นมาเหมือนกัน แต่ในกรณีนี้ไม่มีใครกล่าวหาเขาได้ว่าเขาลอกเลียนแบบ

9 ลูกา ปาซิโอลีและบทความของเขา “ตามสัดส่วนอันศักดิ์สิทธิ์” 9 เข้ามาในความคิด และเขาสามารถคุ้นเคยกับระบบการทำบัญชีแบบเข้าคู่ในทางปฏิบัติในเวลาที่เขาเป็นผู้สอนประจำบ้านในบ้านพ่อค้าที่ร่ำรวย ข้อกล่าวหาร้ายแรงอีกประการหนึ่งเกี่ยวกับการลอกเลียนแบบเกิดขึ้นกับ PACIOLI ย้อนกลับไปในปี 1550 เมื่อ GIORGE VASARI () ในหนังสือของเขาเรื่อง Lives ofจิตรกร ประติมากร และสถาปนิกที่มีชื่อเสียงในบทที่อุทิศให้กับ PIERO DELLA FRANCESCA เขียนดังต่อไปนี้: และถึงแม้ว่าเขาที่ควรลอง ด้วยความสามารถทั้งหมดของเขาเพื่อเพิ่มความรุ่งโรจน์และชื่อเสียงของเขาเพราะเขาเรียนรู้ทุกสิ่งที่เขารู้จากเขาเขาพยายามในฐานะคนร้ายและคนชั่วร้ายเพื่อทำลายชื่อของปิเอโรที่ปรึกษาของเขาและคว้าเกียรติยศที่ควรจะเป็นสำหรับตัวเอง เป็นของปิเอโรเพียงผู้เดียวโดยเผยแพร่ภายใต้ชื่อของเขาเอง ได้แก่ พี่ชายของเขา LUKA จาก Borgo ผลงานทั้งหมดของชายชราผู้น่านับถือคนนี้ ผลงานทางคณิตศาสตร์ของ PIERO DELLA FRANCESCA ถือว่าสูญหายไปนานแล้ว อย่างไรก็ตาม ในปี พ.ศ. 2446 เจ. พิตทาเรลลีค้นพบต้นฉบับของ Petri Pictoris Burgensis de quinque corporibus Regularibus ในห้องสมุดวาติกัน (“PETER ศิลปินจาก Borgo บนร่างทั้งห้า”) ในเวลาต่อมา มีการค้นพบต้นฉบับของปิเอโรอีกสองฉบับ: มุมมองในการวาดภาพ (De perspectiva pingendi) และบนลูกคิด (De abaco) ในเวลาเดียวกัน มีการยอมรับว่าต้นฉบับภาษาละตินที่พบเรื่อง On the Five Regular Bodies และบทความภาษาอิตาลีสามเรื่องเกี่ยวกับเนื้อหาปกติใน De Divina Proportione ฉบับพิมพ์นั้นเป็นข้อความเดียวกันสองฉบับที่ใกล้เคียงกัน หนังสือเขียนด้วยลายมือที่ยังมีชีวิตอยู่โดย PIERO On the Five Regular Solids อุทิศให้กับ GUIDO UBALDO DE MONTEFELTRO ดยุคแห่งเออร์บิโน เขาได้รับตำแหน่งดยุคในปี 1482 หลังจากบิดาของเขาเสียชีวิต ปิเอโรเสียชีวิตในปี 1492 ด้วยเหตุนี้สำเนาของหนังสือที่มาถึงเราจึงถูกเขียนใหม่ทั้งหมดระหว่างหลายปีที่ผ่านมา อย่างไรก็ตาม หนังสือเล่มนี้อาจจะถูกสร้างขึ้นก่อนหน้านี้ก็ได้ ลูคา ปาซิโอลีในหนังสือ Summa (VI, I, II) กล่าวว่าปิเอโรเขียนหนังสือเกี่ยวกับเปอร์สเปคทีฟเป็นภาษาอิตาลี และการแปลภาษาละตินจัดทำโดยเพื่อนของเขา มัตเตโอ ดาล บอร์โก ในทำนองเดียวกัน ข้อความภาษาละตินของหนังสือเรื่อง On the Five Regular Bodies ก็อาจเกิดขึ้นได้ ไม่ว่าในกรณีใด เป็นเรื่องปกติที่จะถือว่าข้อความภาษาอิตาลีที่ PACIOLI ตีพิมพ์ในเวลาต่อมานั้นเป็นต้นฉบับ สำหรับการตีพิมพ์ในภาคผนวกของฉบับ Divine Proportion มีชื่อเต็มดังนี้: Libellus in tres partalis tractatus divisus quinque corpore Regularium e dependium active per scrutationis D. Petro Soderino principi perpetuo populi florentinia. เอ็ม. ลูกา ปาซิโอโล, Burgense Minoritano specificiter dicatus, feliciter incipit (“หนังสือที่แบ่งออกเป็นสามบทความแยกกัน เกี่ยวกับเนื้อหาปกติและขึ้นอยู่กับเนื้อหาทั้ง 5 เนื้อหา ได้รับการตรวจสอบอย่างต่อเนื่อง ถึงนายปีเตอร์ โซเดรินี ผู้นำถาวรของชาวฟลอเรนซ์ M[aestro] LUCA PACIOLI ผู้เยาว์จาก Borgo ถูกกำหนดเป็นบางส่วน เริ่มต้นอย่างมีความสุข") ชื่อนี้ไม่ได้กล่าวถึงความสัมพันธ์ของปิเอโร เดลลา ฟรานเชสกากับบทความแต่อย่างใด แต่ PACIOLI ยังกำหนด "ผู้ประพันธ์" ของเขาเองด้วยวิธีที่แปลกมาก กล่าวคือเขาบอกว่าหนังสือเล่มนี้ถูกกำหนดให้เขาโดยเฉพาะ "ในส่วน (หรือบางส่วน?)" และไม่มีอะไรเพิ่มเติม มันทำให้คุณคิด ท้ายที่สุดแล้ว LUCA PACIOLI ในงานเขียนของเขาไม่ได้ดูเหมือนบุคคลที่พยายามปรับผลลัพธ์ของผู้อื่นอย่างไร้ยางอายเลย ดังนั้นในบทที่ 1 ของบทที่ 1 ของสัมมาเขาจึงเขียนว่า:

10 LUCA PACIOLI และบทความของเขาเกี่ยวกับสัดส่วนอันศักดิ์สิทธิ์ 10 และเนื่องจากเราจะติดตาม L. ของ PISA ส่วนใหญ่ ข้าพเจ้าตั้งใจที่จะประกาศว่าเมื่อมีประโยคใดๆ ที่ไม่มีผู้เขียน ประโยคนั้นก็เป็นของ L. นี้ และเมื่อคนอื่นๆ ที่มี ได้รับมอบหมายให้เป็นผู้ประพันธ์ มีประกาศที่คล้ายกันในบทที่ 4 ของสัดส่วนอันศักดิ์สิทธิ์: ก่อนอื่น ฉันจะสังเกตเห็นว่าเมื่อใดก็ตามที่ฉันเขียน “ครั้งแรกในครั้งแรก” “ที่สี่ในวินาที” “สิบในห้า” “20 ใน 6” และต่อๆ ไปจนถึงวันที่สิบห้า ควรเข้าใจหมายเลขแรกเป็นจำนวนประโยคเสมอ และหมายเลขที่สองของหนังสือของนักปรัชญา EUCLID ของเรา ซึ่งได้รับการยอมรับในระดับสากลว่าเป็นหัวหน้าคณะนี้ ดังนั้น เมื่อพูดถึงประโยคที่ห้าในเล่มแรก ฉันกำลังพูดถึงประโยคที่ห้าของหนังสือเล่มแรกของเขา และเกี่ยวกับหนังสือเล่มอื่นๆ ที่แยกออกมาซึ่งประกอบเป็นหนังสือทั้งเล่มเกี่ยวกับองค์ประกอบและหลักการของเลขคณิตและเรขาคณิต แต่เมื่อกล่าวถึงงานอื่นของเขาหรือหนังสือของผู้เขียนคนอื่น งานชิ้นนี้หรือผู้แต่งคนนี้ก็จะถูกเรียกตามชื่อ เราไม่ควรลืมว่าในช่วงเวลาที่ LUKA อาศัยอยู่ในบ้านเกิดของเขา เขามีโอกาสสื่อสารกับ PIERO โดยตรง เป็นเรื่องปกติที่จะคิดว่าการพบปะของนักคณิตศาสตร์ทั้งสองเกิดขึ้นค่อนข้างบ่อย และการสื่อสารของพวกเขาก็มีความหมาย แก่นแท้ของหนังสือเกี่ยวกับร่างปกติทั้งห้านั้นแทบจะมีการพูดคุยกันในบทสนทนาเหล่านี้ ดังนั้นทั้งสองจึงสามารถมองว่ามันเป็นของตนเองได้ในระดับหนึ่ง ไม่ว่าใครจะเป็นผู้ให้รูปแบบสุดท้ายก็ตาม เรายังไม่รู้อะไรเลยเกี่ยวกับอิทธิพลของผลงานของนักดาราศาสตร์และนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน JOHANN MULLER () ซึ่งเป็นที่รู้จักกันดีในชื่อภาษาละติน REGIOMONTANUS บน PIERO DELLA FRANCESCA และ LUCA PACIOLI แต่เขาอาศัยอยู่ในอิตาลีเป็นจำนวนมากและเสียชีวิตในโรม ดังนั้นนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีจึงสามารถคุ้นเคยกับเขาและต้นฉบับของเขาได้ ผลงานของเขา ได้แก่ บทความ De quinque corporibus aequilateris, quae vulgoregularia nuncupantur, quae videlicet eorum locum impleant naturalem et quae non contra commentatorem Aristotelis Averroem (“On the five equilateral bodies, โดยปกติเรียกว่าปกติ, คือ, ซึ่งในเหล่านั้นเติมเต็มสถานที่ตามธรรมชาติ และที่ไม่ขัดแย้งกับ AVERROES ผู้วิจารณ์เรื่อง ARISTOTLE") ยังไม่รอดมาจนถึงทุกวันนี้ แต่ REGIOMONTANUS ให้ภาพรวมของสิ่งนี้ในผลงานอีกชิ้นของเขา บทความนี้จะตรวจสอบการสร้างวัตถุปกติ การเปลี่ยนแปลงของวัตถุแต่ละชิ้นและการคำนวณปริมาตร นอกจากนี้ยังมีแนวคิดที่พบใน PACIOLI ที่ว่าโดยการเปลี่ยนร่างกายปกติอย่างต่อเนื่อง เราจะสามารถได้รับร่างกายกึ่งปกติได้ไม่จำกัดจำนวน นอกจากนี้ ยังมีการตีพิมพ์หนังสือเกี่ยวกับคณิตศาสตร์เล่มแรกในปี 1475 ปิเอโร เดลลา ฟรานเชสกายังคงอาศัยอยู่ในโลกของต้นฉบับ และลูคา ปาซิโอลีที่อายุน้อยกว่าก็ใช้เวลาหลายปีในโลกของหนังสือที่พิมพ์ออกมา ต้นฉบับอาจถูกเขียนใหม่เพื่อให้ผู้อื่นใช้เอง แต่จะเขียนครั้งละหนึ่งสำเนา ผู้ลอกเลียนแบบทำการกระทำของพระเจ้าเพียงเพราะเขายืดอายุของต้นฉบับและป้องกันไม่ให้พินาศ กรณีเดียวกันนี้จะเกิดขึ้นในกรณีที่ต้นฉบับที่ยังมีชีวิตอยู่กลายเป็น หนังสือที่พิมพ์- ตอนนี้เรากลับไปสู่คำถามเรื่องการลอกเลียนแบบได้แล้ว โดยมีการประเมินให้สอดคล้องกับกรอบอ้างอิงของเวลามากขึ้น ดูเหมือนว่าในยุคที่ PIERO DELLA FRANCESCA และ LUCA PACIOLI มีชีวิตอยู่ คำถามเรื่องการประพันธ์ก็ไม่ได้เกิดขึ้น (โดยวิธีการที่ยุคกลางไม่รู้จักผู้ประพันธ์เลย: เราสามารถพูดได้ไหมว่าใครคือ "ผู้เขียน" ของอาสนวิหารกอธิคที่สวยงาม? การกำหนดคำถามนี้เห็นได้ชัดว่าไม่มีความหมาย ในองค์ประกอบของ EUCLID ส่วนใหญ่ ผลลัพธ์ถูกคัดลอกมาจากหนังสือคณิตศาสตร์อื่น ๆ แต่เราด้วยเหตุผลบางอย่างเราไม่ขุ่นเคืองกับสิ่งนี้และไม่ได้กล่าวหา EUCLID เรื่องการลอกเลียนแบบ) PIERO เองก็สนใจคณิตศาสตร์และไม่มีชื่อเสียงในศตวรรษต่อ ๆ ไป ล่วงหน้า

11 LUCA PACIOLI และบทความของเขา “เกี่ยวกับสัดส่วนอันศักดิ์สิทธิ์” 11 ในถ้อยคำในหนังสือภาษาละตินของเขา เขาเขียนว่านี่จะเป็น “การรับประกันและอนุสาวรีย์” ของเขา แต่ไม่ใช่ในหมู่ลูกหลานของเขาโดยทั่วไป แต่ในหมู่ดยุคของเขา สำหรับการประพันธ์ที่เป็นข้อบ่งชี้ว่าใครเป็นคนแรกที่ทำการค้นพบดังกล่าว ช่วงเวลาทางภววิทยามีความสำคัญที่นี่ นักคณิตศาสตร์ค้นพบศพที่ไม่มีใครรู้จักมาก่อน และโคลัมบัสก็ค้นพบประเทศใหม่ๆ ในเวลาเดียวกัน แต่โคลัมบัสไม่ใช่ "ผู้เขียน" ของประเทศเหล่านี้ และในทำนองเดียวกัน นักคณิตศาสตร์ก็ไม่ใช่ "ผู้เขียน" วัตถุที่เขาค้นพบ และท้ายที่สุด เมื่อโคลัมบัสจัดคณะสำรวจ เป้าหมายของเขาคือประเทศใหม่ๆ ไม่ใช่ความทรงจำของลูกหลานที่เขาค้นพบ Luca Pacioli และการก่อตั้งสถาบันความเชี่ยวชาญ กล่าวถึงข้อความ On Divine Proportion ถึง Duke of Milan LODOVICO SFORZA, LUCA PACIOLI ไม่มีที่ไหนแนะนำตัวเองเช่นนี้: "ฉันเป็นนักคณิตศาสตร์เพราะฉันสามารถรับผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์ใหม่ๆ ได้" ไม่ เขาพูดถึงตัวเองแตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง: “ฉันเป็นนักคณิตศาสตร์เพราะฉันรู้คณิตศาสตร์และสามารถสอนคณิตศาสตร์ให้คนอื่นได้” ดังนั้น DANTE ใน Divine Comedy จึงเรียก ARISTOTLE ว่า “ครูของผู้รู้” และ LUKE ก็ให้คำพูดนี้ด้วยเหตุผล เพื่อชี้แจงข้อโต้แย้งนี้ ให้เราเปรียบเทียบกันดังต่อไปนี้ หมอรู้จักยาจึงรักษาได้ ทนายความรู้กฎหมายและสามารถเป็นทนายความได้ แต่นักคณิตศาสตร์ก็รู้คณิตศาสตร์ แล้วจะทำยังไงต่อไป? เขาสามารถสอนเธอได้ไหม? แต่แพทย์และทนายความก็สามารถสอนวิทยาศาสตร์ได้เช่นกัน ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมมหาวิทยาลัยถึงมีคณะแพทย์และนิติศาสตร์ แต่นักคณิตศาสตร์สามารถอยู่นอกสาขาวิชาอะไรได้บ้าง? ทักษะอะไรทำให้เขาแตกต่างจากคนอื่นและทำให้เขาต้องการใครสักคน? นักดาราศาสตร์สามารถคำนวณการเคลื่อนที่ของเทห์ฟากฟ้าและทำนายดวงชะตาได้ สถาปนิกสามารถสร้างวิลล่าที่สวยงาม ผู้สร้างทางทหาร และป้อมปราการที่เข้มแข็งได้ ศิลปินสร้างสรรค์ผลงานที่สวยงามน่าชม นักคณิตศาสตร์จะมีประโยชน์อะไรกับเขา? มาดูกันว่า LUKE ตอบคำถามนี้อย่างไร ประการแรก เขายืนยันว่าคณิตศาสตร์ซึ่งเป็นวิทยาศาสตร์ที่แน่นอนที่สุด เป็นรากฐานและเป็นมาตรฐานสำหรับวิทยาศาสตร์อื่นๆ ทั้งหมด “ใน [บทความของเรา] เราพูดถึงสิ่งที่สูงส่งและประณีต ซึ่งทำหน้าที่เป็นการทดสอบและเบ้าหลอมทดสอบอย่างแท้จริงสำหรับวิทยาศาสตร์และสาขาวิชาที่ขัดเกลาทั้งหมด ท้ายที่สุดแล้ว การกระทำคาดเดาอื่นๆ ทั้งหมด วิทยาศาสตร์ การปฏิบัติ และกลไกก็ไหลออกมาจากสิ่งเหล่านั้น และหากไม่มีความคุ้นเคยมาก่อนก็เป็นไปไม่ได้ที่บุคคลจะรู้หรือกระทำ ดังที่อริสโตเติลและอาเวอร์โรส์ยืนยันว่า วิทยาศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ของเราเป็นวิทยาศาสตร์ที่แท้จริงที่สุดและยืนอยู่บนระดับที่เข้มงวดลำดับแรก และหลังจากนั้นก็เป็นไปตามธรรมชาติ เหล่านั้น” (บทที่ ฉัน). จากการยกย่องคณิตศาสตร์เช่นนี้ เขาก้าวไปสู่การยกย่องนักคณิตศาสตร์: “คนฉลาดรู้สุภาษิต: Aurum probatur igni et ingenium mathematicis นั่นคือทองคำถูกทดสอบด้วยไฟ และความเข้าใจในจิตใจโดยหลักคณิตศาสตร์ ข้อความนี้บอกคุณว่าจิตใจที่ดีของนักคณิตศาสตร์นั้นเปิดกว้างที่สุดสำหรับวิทยาศาสตร์ทุกประเภท เพราะพวกเขาคุ้นเคยกับสิ่งที่เป็นนามธรรมและความละเอียดอ่อนมากที่สุด เพราะพวกเขามักจะคำนึงถึงสิ่งที่อยู่นอกเหนือเรื่องที่สมเหตุสมผลเสมอ ดังสุภาษิตทัสคันที่ว่า คนเหล่านี้คือคนที่แยกผมระหว่างบิน” (บทที่ 2) แต่โดยตัวมันเองแล้ว “การพิจารณาสิ่งที่อยู่นอกเหนือเรื่องที่สมเหตุสมผล” ไม่น่าจะน่าสนใจสำหรับผู้ปกครองที่ลุคกล่าวถึง ดังนั้น เขาจึงย้ายจากสิ่งที่เป็นอุดมคติไปสู่สิ่งที่เป็นจริง และให้เหตุผลว่าคณิตศาสตร์เป็นรากฐานที่จำเป็นของศิลปะและสถาปัตยกรรมการทหาร:

12 LUCA PACIOLI และตำราของเขา "ตามสัดส่วนอันศักดิ์สิทธิ์" 12 "พระสิริที่ดีอีกประการหนึ่งเกิดขึ้นเกี่ยวกับดยุคของคุณเมื่อความเชื่อมั่นของญาติสนิทและอาสาสมัครที่กตัญญูแข็งแกร่งขึ้นซึ่งในอาณาจักรสูงสุดของเธอพวกเขาได้รับการปกป้องจากการโจมตีทั้งหมดจากประสบการณ์ประจำวันของคุณ ดัชเชสไม่ได้ซ่อนเร้นว่าการป้องกันสาธารณรัฐขนาดใหญ่และเล็กหรือที่เรียกว่าศิลปะแห่งสงครามนั้นเป็นไปไม่ได้หากไม่มีความรู้ด้านเรขาคณิตเลขคณิตและสัดส่วนซึ่งผสมผสานกับเกียรติยศและผลประโยชน์ได้อย่างดีเยี่ยม และไม่ใช่อันเดียว อาชีพที่คุ้มค่า ของผู้ที่เกี่ยวข้องกับวิศวกรและช่างเครื่องใหม่ไม่ได้นำไปสู่การยึด [ป้อมปราการ] หรือการป้องกันระยะยาว เช่นเดียวกับที่ ARCHIMEDES เครื่องวัดพิกัดผู้ยิ่งใหญ่จากซีราคิวส์ฝึกฝนในสมัยก่อน” (บทที่ II) “ พวกเขาเรียกตัวเองว่าสถาปนิก แต่ฉันไม่เคยเห็นหนังสือที่โดดเด่นของสถาปนิกที่มีค่าที่สุดและนักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ของเรา VITRIVUS ในมือของพวกเขามาก่อนซึ่งรวบรวมบทความเกี่ยวกับสถาปัตยกรรมพร้อมคำอธิบายที่ดีที่สุดของทุกโครงสร้าง และบรรดาผู้ที่ข้าพเจ้าประหลาดใจในการเขียนบนน้ำและสร้างบนทราย และรีบสูญเสียงานศิลปะของตนไป อย่างเร่งรีบ พวกเขาเป็นสถาปนิกในนามเท่านั้น เพราะพวกเขาไม่รู้ความแตกต่างระหว่างจุดและเส้น และไม่รู้ความแตกต่างระหว่างมุม หากไม่มีสิ่งนี้ก็เป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างให้ดี อย่างไรก็ตาม ยังมีผู้ที่ชื่นชมวินัยทางคณิตศาสตร์ของเรา โดยแนะนำแนวทางที่แท้จริงของอาคารทั้งหมดตามงานเขียนของ VITROVIUS ที่กล่าวมาข้างต้น การเบี่ยงเบนจะเห็นได้ชัดเจนหากคุณดูว่าอาคารของเราเป็นอย่างไร ทั้งโบสถ์และฆราวาส ซึ่งโค้งและบิดเบี้ยว” (บทที่ XLIV) ในภาษาสมัยใหม่ LUKA แนะนำตัวเองต่อ Duke ในฐานะผู้เชี่ยวชาญและในเรื่องที่ไม่เกี่ยวกับคณิตศาสตร์อย่างเคร่งครัด (Duke ไม่ต้องการผู้เชี่ยวชาญเช่นนี้เลย) แต่เป็นแบบประยุกต์ล้วนๆ ซึ่งเกี่ยวข้องโดยตรงกับการรักษาอำนาจ (กิจการทหาร) ) และความเจริญรุ่งเรือง (สถาปัตยกรรม) สำหรับความสามารถในการรับผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์ใหม่ ในยุคนี้ยังไม่ถือว่าเป็นคุณสมบัติที่โดดเด่นที่จำเป็นของนักคณิตศาสตร์ระดับสูง ซึ่งยังคงเกิดขึ้นโดยบังเอิญและไม่ใช่คุณลักษณะที่สำคัญของอย่างหลัง วรรณกรรม GLUSHKOVA F. R., GLUSHKOV S. S. ส่วนเรขาคณิตของ "Summa" ของ Pacioli ประวัติศาสตร์และระเบียบวิธีของวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ, 29, 1982, กับ COLLINS R., RESTIVO S. Pirates และนักการเมืองในวิชาคณิตศาสตร์ Otechestvennye zapiski, 2001, 7. OLSHKI L. ประวัติศาสตร์วรรณกรรมทางวิทยาศาสตร์ในภาษาใหม่ ใน 3 เล่ม M. L.: GTTI, (พิมพ์ซ้ำ: M.: MCIFI, 2000.) SOKOLOV Y. Luca Pacioli เป็นคนและนักคิด ในหนังสือ: PACCIOLI ONION. บทความเรื่องบัญชีและบันทึก อ.: สถิติ YUSHKEVICH A. P. ประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ในยุคกลาง อ.: ฟิซแมทกิซ, อาร์ริกี จี. ปิเอโร เดลลา ฟรานเชสกา และ ลูก้า ปาซิโอลี. Rassegna della คำถามเดลปลาจิโอและ nuove valutazioni Atti della Fondazione Giorgio Ronchi, 23, 1968, p BIAGIOLI M. สถานะทางสังคมของนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี, ประวัติศาสตร์วิทยาศาสตร์, 27, 1989, p BERTATO F. M. A obra De Divina Proportione (1509) de Frà Luca Pacioli Anais do V Seminário Nacional de História da Matemática, Rio Claro, BIGGIOGERO G. M. Luca Pacioli e la sua Divina สัดส่วน Rendiconti dell"istituto lombardo di scienze e lettere, 94, 1960, p CASTRUCCI S. ลูก้า ปาซิโอลี ดาล บอร์โก ซาน เซโปลโคร Alpignano: Tallone, DAVIS M.D. Piero della Francesca บทความทางคณิตศาสตร์: “Trattato d abaco” และ “Libellus de quinque corporibus Regularibus” Ravenna: Longo Editore, FIELD J. V. ค้นพบรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบ Archimedean: Piero della Francesca, Luca Pacioli, Leonardo da Vinci, Albrecht Dürer, Daniele Barbaro และ Johannes Kepler เอกสารเก่าสำหรับประวัติศาสตร์วิทยาศาสตร์ที่แน่นอน, 50, 1997, p

13 LUCA PACIOLI และบทความของเขา “ตามสัดส่วนอันศักดิ์สิทธิ์” 13 HERZ-FISCHLER R. ประวัติศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ของการหารในอัตราส่วนสุดขีดและค่าเฉลี่ย วอเตอร์ลู: มหาวิทยาลัยวิลฟริด ลอริเอร์ กด, 1987 (2 d ed. NY, Dover, 1998) ลูคัส เด บูร์โก. สรุปเลขคณิต เรขาคณิต สัดส่วน และสัดส่วน เวเนเชีย: ปากานิโน เด ปากานินีส, ลูคัส เด บูร์โก ดิวิน่า สัดส่วน. Venetia: Paganino de Paganinis, MANCINI G. L opera De corporibus Regularibus di Pietro Franceschi deetto Della Francesca แย่งชิงจาก Luca Pacioli. Accademia dei Lincei, MORISON S. Fra Luca Pacioli จาก Borgo San Sepolcro นิวยอร์ก, PICUTTI E. Sui plagi matematici di frate Luca Pacioli. La Scienze, 246, 1989, โดย ปิเอโร เดลลา ฟรานเชสกา Libellus de quinque corporibus Regularibus. สหพันธ์ นพ. เอมิเลียนี อี. ก. ฟลอเรนซ์: Giunti, PITTARELLI G. Luca Pacioli แย่งชิงตำแหน่งตัวจริงของ Piero de Franceschi หรือไม่? Atti IV Congresso internazionale dei matematici, Roma, 6 11 เมษายน 1908, III โรม, 1909, p PORTOGHESI P. Luca Pacioli e la Divina Proportione. ใน: Civiltà delle machine, 1957, p REGIOMONTANUS ผู้วิจารณ์ เอ็ด Blaschke W., Schoppe G. Wiesbaden: Verlag der Akademie der Wissenschaften und der Literatur ในไมนซ์, RICCI I. D. Luca Pacioli, l uomo e lo scienziato. Sansepolcro, ROSE P. L. ยุคฟื้นฟูศิลปวิทยาของอิตาลี เจนีวา: Librairie Droz, SPEZIALI P. Luca Pacioli และผลงานอื่นๆ ของลูกชาย Sciences of the Renaissance, Paris, 1973, p TAYLOR R.E. ไม่มีเส้นทางหลวง: Luca Pacioli และเวลาของเขา แชเปิลฮิลล์: มหาวิทยาลัย จาก North Carolina Press, WILLIAMS K. Plagiary in the Renaissance (Luca Pacioli และ Piero della Francesca) ผู้ชาญฉลาดทางคณิตศาสตร์, 24, 2002, p

ส่วนสีทองในคณิตศาสตร์โบราณ A. I. SHCHETNIKOV 1. คำชี้แจงของปัญหา คงไม่ใช่เรื่องเกินจริงหากจะกล่าวว่าไม่มีสิ่งพิมพ์ใดที่เกี่ยวข้องกับความสัมพันธ์จะสมบูรณ์หากไม่ได้กล่าวถึงประเด็นเรื่องอัตราส่วนทองคำ

โปรแกรมสอบเข้าสาขาวิชา "คณิตศาสตร์" แนวคิดและข้อเท็จจริงทางคณิตศาสตร์พื้นฐาน: เนื้อหาของโปรแกรม 1. ตัวเลข ราก และกำลัง ลำดับจำนวน ตัวเลขธรรมชาติ เรียบง่าย

โปรแกรมงานรอง (เต็ม) การศึกษาทั่วไปในวิชาคณิตศาสตร์ (เรขาคณิต) ที่โรงเรียนมัธยม MBOU 30 ใน Penza (เกรด 10) ข้อความอธิบาย สถานะเอกสาร โปรแกรมงานสำหรับการศึกษาทั่วไประดับมัธยมศึกษา (สมบูรณ์)

โปรแกรมสอบเข้าวิชาคณิตศาสตร์ โปรแกรมนี้รวบรวมบนพื้นฐานขององค์ประกอบของรัฐบาลกลางของมาตรฐานรัฐของการศึกษาทั่วไปขั้นพื้นฐานทั่วไปและมัธยมศึกษา (สมบูรณ์) (คำสั่งของกระทรวงศึกษาธิการ)

โปรแกรมงานในวิชาคณิตศาสตร์ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5-6 ผลการวางแผนของการศึกษาคณิตศาสตร์ จำนวนตรรกยะ นักเรียนจะได้เรียนรู้: ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 5-6 1) เข้าใจคุณลักษณะของระบบเลขฐานสิบ; 2) เชี่ยวชาญแนวคิด

หมายเหตุอธิบาย โปรแกรมนี้ในเรขาคณิตสำหรับเกรด 0 รวบรวมบนพื้นฐานขององค์ประกอบของรัฐบาลกลางของมาตรฐานแห่งรัฐของการศึกษาทั่วไประดับมัธยมศึกษา (คำสั่งของกระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์ของสหพันธรัฐรัสเซียลงวันที่ 03/05/2547 089)

กระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์ของรัสเซีย งบประมาณของรัฐบาลกลาง สถาบันการศึกษา อุดมศึกษา"มหาวิทยาลัยแห่งรัฐ Syktyvkar ตั้งชื่อตาม Pitirim Sorokin" โปรแกรมทดสอบการเข้า

ภาคผนวกของโปรแกรมการศึกษาหลักของการศึกษาทั่วไประดับมัธยมศึกษา MBOU "Sergach Secondary School 1" ได้รับการอนุมัติตามคำสั่งของผู้อำนวยการเมื่อวันที่ 27 สิงหาคม 2558 โปรแกรมการทำงานครั้งที่ 64 ของวิชาวิชาการ "เรขาคณิต" 10-11

งบทฤษฎีบทพีทาโกรัส ทฤษฎีบทพีทาโกรัสระบุว่ากำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขาของมัน c 2 = a 2 + b 2 กล่าวอีกนัยหนึ่งคือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้น

สถาบันอิสระแห่งสหพันธรัฐแห่งการศึกษาวิชาชีพชั้นสูง มหาวิทยาลัยวิจัยแห่งชาติ คณะเศรษฐศาสตร์ชั้นสูง โปรแกรมทดสอบเข้าสาขาคณิตศาสตร์

กระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์ของสถาบันการศึกษางบประมาณระดับอุดมศึกษาของรัฐบาลกลางรัสเซีย "มหาวิทยาลัยเศรษฐศาสตร์และการจัดการแห่งรัฐโนโวซีบีร์สค์ "NINKh" (FSBEI HE "NGUEU", NSUEM)

CHU OOSH "Venda" WORK PROGRAM เรขาคณิตเกรด 0 - - คำอธิบายโปรแกรมการทำงานได้รับการรวบรวมบนพื้นฐานของ: องค์ประกอบของรัฐบาลกลางของมาตรฐานรัฐของการศึกษาทั่วไป, โปรแกรมตัวอย่าง

ข้อกำหนดสำหรับงานภาคเรียนวิชาคณิตศาสตร์ชั้นประถมศึกษาปีที่ 10 ชุดการดำเนินการกับชุด ชุดตัวเลข ฟังก์ชัน: การค้นหาโดเมนของคำจำกัดความ การค้นหาชุดค่า การวิจัยเกี่ยวกับ

โปรแกรมสำหรับการสอบเข้าในวิชาการศึกษาทั่วไป "คณิตศาสตร์" เมื่อเข้าศึกษาในสถาบันป่าไม้ Syktyvkar ในปี 2559 โปรแกรมนี้ออกแบบมาเพื่อเตรียมความพร้อมสำหรับการสอบเขียนจำนวนมาก

สถาบันการศึกษาอิสระเทศบาลบูซูลุก "มัธยมศึกษาปีที่ 8" โครงการงานวิชาการ "เรขาคณิต" วันที่ 206-207 ปีการศึกษาระดับ: 0- ปริมาณ

โคซินอฟ เอ็น.วี. สัดส่วนทองคำ ค่าคงที่ทองคำ และทฤษฎีบททองคำ บทคัดย่อ มีการระบุกลุ่มตัวเลขขนาดใหญ่ที่มีคุณสมบัติอยู่ในสัดส่วนทองคำ (Ф = 1.618) ตัวเลขเหล่านี้เป็นค่าคงที่

จัดทำโดย: Demenkovets Anastasia นักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 B หัวหน้างานทางวิทยาศาสตร์: Koneva Natalya Mikhailovna Gymnasium Salakhov Laboratory Surgut, 2014 วัตถุประสงค์: เพื่อพิสูจน์ว่าวัตถุทางสถาปัตยกรรมประกอบด้วย

ท่านรองฯเห็นชอบด้วย ผู้อำนวยการ SD G.I. Belikova ได้รับการอนุมัติจากผู้อำนวยการสถาบันการศึกษาเทศบาล "โรงเรียนมัธยม Boryatinskaya" E.A. Martynova 20 สถาบันการศึกษาของรัฐบาลกลาง "โรงเรียนมัธยม Boryatinskaya"

สถาบันการศึกษางบประมาณเทศบาล "สถานศึกษา" หลักสูตรในเรขาคณิต 10 ระดับชั้นประถมศึกษาปีที่ 11 ของการศึกษาทั่วไประดับมัธยมศึกษาตอนปลาย หมายเหตุคำอธิบาย หลักสูตรเชิงเรขาคณิต

สถาบันการศึกษางบประมาณของรัฐบาลกลางของการศึกษาวิชาชีพชั้นสูง "มหาวิทยาลัยรัฐ UDMURT" สถาบันคุ้มครองพลเรือน ภาควิชาวิศวกรรมทั่วไป

สถาบันการศึกษางบประมาณเทศบาล โรงเรียนมัธยม 105 ตั้งชื่อตาม M.I.Runt ของเขตเมือง Samara ทบทวนแล้ว ตกลง อนุมัติในการประชุมระเบียบวิธี รองผู้อำนวยการ

การบรรยาย ทำไมเราถึงใช้จำนวนเต็มและจำนวนตรรกยะไม่ได้? เพราะในสถานการณ์ที่เป็นธรรมชาติที่สุด เราจะพบตัวเลขที่ไม่ใช่จำนวนเต็มหรือจำนวนตรรกยะ พิจารณาหน่วยกำลังสอง.

MBOU "โรงเรียนมัธยม Oryol" ทบทวนแล้วตกลงอนุมัติในที่ประชุมของรองผู้อำนวยการฝ่ายจัดการศึกษาของเทศบาลครูรองผู้อำนวยการฝ่ายจัดการศึกษาของ MBOU "โรงเรียนมัธยม Oryol" สาขาคณิตศาสตร์และ วัตถุธรรมชาติ/เอฟาโนวา ไอ.เอ../ /เออร์โมโลวา

หมายเหตุคำอธิบาย กรอบการกำกับดูแลสำหรับการสอนวิชา โปรแกรมงานในเรขาคณิตสำหรับเกรด 7-9 ได้รับการรวบรวมบนพื้นฐานของเอกสารกำกับดูแลดังต่อไปนี้: 1. องค์ประกอบของรัฐบาลกลางของรัฐ

ผลการวางแผนการเรียนรู้วิชาวิชาการ หลักสูตร เลขคณิต ตัวเลขธรรมชาติ เศษส่วน 1) เข้าใจคุณสมบัติของระบบเลขฐานสิบ 2) ทำความเข้าใจและใช้คำศัพท์และสัญลักษณ์ที่เกี่ยวข้อง

โปรแกรมการทำงานทางเรขาคณิต ระดับ 10-11 เรียบเรียงโดย: T.A. หมายเหตุอธิบาย Burmistrova โปรแกรมงานนี้รวบรวมบนพื้นฐานของโปรแกรมต้นแบบการศึกษาทั่วไประดับมัธยมศึกษา (สมบูรณ์) ใน

บทคัดย่อของโปรแกรมการทำงานในวิชาเรขาคณิตเกรด 10-11 โปรแกรมการทำงานในวิชาคณิตศาสตร์รวบรวมบนพื้นฐานของเอกสารกำกับดูแลดังต่อไปนี้ 1. โปรแกรมการศึกษาของสถาบันการศึกษาทั่วไป

นักคิดผู้ยิ่งใหญ่ Losev A.F. การนำเสนอหนังสือของนักปรัชญาชาวรัสเซียในวันครบรอบ 120 ปีการเกิดของเขา หนังสือทั้งหมดที่นำเสนอในนิทรรศการอยู่ในกองทุน ห้องอ่านหนังสือ SEL (ห้อง B-303) ซึ่งคุณสามารถหาข้อมูลเพิ่มเติมได้

กระทรวงเกษตรของสหพันธรัฐรัสเซียกรมนโยบายวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีและการศึกษา FSBEI HPE โปรแกรมคณิตศาสตร์ "มหาวิทยาลัยเกษตรแห่งรัฐดอน" Persianovsky

หมายเหตุอธิบาย โปรแกรมงานสำหรับเรขาคณิตในเกรด 11 รวบรวมบนพื้นฐานขององค์ประกอบของรัฐบาลกลางของมาตรฐานรัฐของการศึกษาทั่วไปขั้นพื้นฐาน โปรแกรมเรขาคณิตสำหรับตำราเรียนสำหรับ

กรมภูมิภาค Smolensk เพื่อการศึกษาและวิทยาศาสตร์ Sogbou SPO "เทคนิคการเกษตรของ ELNINSKY" โปรแกรมการทดสอบการเข้าสำหรับผู้สมัครเข้าเรียนในโรงเรียนเทคนิคในสาขาวิชา "คณิตศาสตร์" (ขึ้นอยู่กับ

สถาบันการศึกษาของรัฐของการศึกษาวิชาชีพเพิ่มเติม "สถาบันการศึกษาโดเนตสค์สาธารณรัฐการศึกษาเพิ่มเติมการสอนเพิ่มเติม" แผนกคณิตศาสตร์ เกี่ยวกับข้อกำหนดสำหรับ

โปรแกรมทดสอบเข้าวิชาคณิตศาสตร์สำหรับผู้สมัคร UrFU ในปี 2555 แนวคิดและข้อเท็จจริงทางคณิตศาสตร์พื้นฐาน 1. ชุดตัวเลข การดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับตัวเลข จำนวนธรรมชาติ (N)

พวกเขา. สมีร์โนวา, เวอร์จิเนีย Smirnov เตรียมความพร้อมสำหรับการสอบ Unified State (GEOMETRY) ตัวเลขที่จารึกไว้และ จำกัด ในอวกาศ มอสโก 008 บทนำ วิธีเตรียมตัวสำหรับการสอบในเรขาคณิตและเรียนรู้วิธีแก้ปัญหาสามมิติ

1 ความมหัศจรรย์ของตัวเลขในวิทยาศาสตร์และธรรมชาติ Loskovich M.V., Natyaganov V.L., Slepova T.V. มหาวิทยาลัยแห่งรัฐมอสโกตั้งชื่อตาม เอ็มวี Lomonosov, คณะชีววิทยา, กลศาสตร์และคณิตศาสตร์, รัสเซีย, 119899,

คำอธิบายโปรแกรมการทำงานเกี่ยวกับเรขาคณิตในชั้นประถมศึกษาปีที่ 0 เพียง 2 ชั่วโมงต่อสัปดาห์ 72 ชั่วโมงต่อปี โปรแกรมการทำงานจะขึ้นอยู่กับเอกสารดังต่อไปนี้: o องค์ประกอบของรัฐบาลกลางของรัฐ

กระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์ของสหพันธรัฐรัสเซีย Kostroma State University ตั้งชื่อตาม N. A. Nekrasov T. N. Matytsina คณิตศาสตร์แบบไม่ต่อเนื่องการแก้ปัญหาความสัมพันธ์ที่เกิดซ้ำการประชุมเชิงปฏิบัติการ Kostroma

สถาบันการศึกษางบประมาณเทศบาล โรงเรียนมัธยม 9 ได้รับการยอมรับ อนุมัติโดยมติของสภาการสอน ผู้อำนวยการโรงเรียนมัธยมศึกษา MBOU ลงวันที่ 29 สิงหาคม 2555 สาขาวิชาการศึกษาทั่วไป

ชั้นเรียนวิชาวิชาการ (คู่ขนาน) คำอธิบายโปรแกรมงานเรขาคณิต (ระดับพื้นฐาน) 10 B สำหรับปีการศึกษา 2556-2557 โปรแกรมงานเรขาคณิตสำหรับเกรด 10 ได้รับการรวบรวมบนพื้นฐาน

อิวาโนวา อินนา วาเลนติโนฟนา [ป้องกันอีเมล] Skype: inna-iva68 เวลาติดต่อ: พฤหัสบดี 16.50 น. 19.00 น. หนังสือเรียนเรขาคณิตเกรด 10: เรขาคณิต 10-11 ผู้แต่ง L.S. Atanasyan, V.F. บูตูซอฟ, เอส.บี. คาดอมเซฟ

หมายเหตุอธิบาย โปรแกรมการทำงานได้รับการรวบรวมบนพื้นฐานขององค์ประกอบของรัฐบาลกลางของมาตรฐานการศึกษาของรัฐของการศึกษาทั่วไประดับมัธยมศึกษา (สมบูรณ์) ในวิชาคณิตศาสตร์และโปรแกรมแบบจำลอง

สถาบันการศึกษางบประมาณเทศบาล "โรงเรียน 11 Zelenodolsky เขตเทศบาลสาธารณรัฐตาตาร์สถาน” งานวิจัยในหัวข้อ: อัตราส่วนทองคำ เสร็จสิ้นโดย: Akhmetova A.M. หัวหน้างาน:

ภาคผนวก 2.5.2 การวางแผนโดยประมาณหลักสูตร “พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์” หนังสือเรียน 1. เอ.จี. มอร์ดโควิช, พี.วี. เซเมนอฟ พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ (ระดับโปรไฟล์) ชั้นประถมศึกษาปีที่ 10

สถาบันการศึกษาของรัฐบาลเทศบาล โรงเรียนมัธยม 3 แห่งเมือง Pudozh พิจารณาในการประชุมของกระทรวงคณิตศาสตร์และสารสนเทศรายงานการประชุม 1 วันที่ 29/08/2559 หัวหน้าภาคมอสโก Kuptsova

Sergienko P.Ya. จุดเริ่มต้นของการคำนวณทางคณิตศาสตร์ของความสามัคคี ปัญหา (ข้อเสนอ II.11) EUCLID และอัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหา ฉันได้รับเชิญให้แสดงอัลกอริทึมของฉันสำหรับการแก้ปัญหาที่ระบุชื่อโดยสิ่งพิมพ์: S.A. Yasinsky

การบริหารเมือง NIZHNY NOVGOROD สถาบันการศึกษางบประมาณเทศบาล โรงเรียนมัธยม 100 พร้อมการศึกษาเชิงลึกของแต่ละวิชา ได้รับการอนุมัติจากผู้อำนวยการโรงเรียน 100

หมายเหตุคำอธิบาย โปรแกรมงานสำหรับ "เรขาคณิต" ได้รับการรวบรวมตามองค์ประกอบของรัฐบาลกลางของมาตรฐานการศึกษาของรัฐสำหรับการศึกษาทั่วไป (2004) โปรแกรมได้รับการเรียบเรียงแล้ว

โปรแกรมการทำงานของตำราเรียน "เรขาคณิต 10-11", Atanasyan L.S. ฯลฯ 10 ชั้นเรียน “A” (ระดับพื้นฐาน) 2 ชั่วโมงต่อสัปดาห์ หมายเหตุคำอธิบาย โปรแกรมการทำงานขึ้นอยู่กับองค์ประกอบของรัฐบาลกลาง

หมายเหตุอธิบาย โปรแกรมการทำงานในเรขาคณิตสำหรับชั้นเรียนสังคมและมนุษยธรรมครั้งที่ 11 นี้รวบรวมตามองค์ประกอบของรัฐบาลกลางของมาตรฐานการศึกษาของรัฐสำหรับมัธยมศึกษา

โปรแกรมงานในเรขาคณิตเกรด 10 คำอธิบายสถานะเอกสาร โปรแกรมงานในเรขาคณิตเกรด 10 ได้รับการรวบรวมบนพื้นฐานขององค์ประกอบของรัฐบาลกลางของมาตรฐานรัฐของพื้นฐาน

ทักษะและความสามารถพื้นฐาน ผู้สมัครจะต้องสามารถ: ดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับตัวเลขที่กำหนดในรูปของเศษส่วนสามัญและทศนิยม; ปัดเศษตัวเลขและผลลัพธ์ที่กำหนดด้วยความแม่นยำที่ต้องการ

สถาบันการศึกษาระดับอุดมศึกษาเอกชน “สถาบันการบริหารสาธารณะ” ได้รับการอนุมัติจากอธิการบดีสถาบันอุดมศึกษาเอกชน “IGA” A.V. แมลงสาบ "12" 11 20_15_g. โปรแกรมเตรียมสอบเข้าวิชาคณิตศาสตร์

หมายเหตุอธิบายโปรแกรมการทำงานรวบรวมบนพื้นฐานขององค์ประกอบของรัฐบาลกลางของมาตรฐานการศึกษาทั่วไปของรัฐซึ่งเป็นโปรแกรมโดยประมาณในวิชาคณิตศาสตร์ของการศึกษาทั่วไปขั้นพื้นฐานผู้เขียน

GEOMETRY โปรแกรมการทำงานภายนอกเกรด 11 ในเรขาคณิต หมายเหตุคำอธิบายเกรด 11 โปรแกรมการทำงานได้รับการพัฒนาบนพื้นฐานขององค์ประกอบของรัฐบาลกลางของมาตรฐานรัฐของมัธยมศึกษา (เต็ม)

1 บทคัดย่อสำหรับโปรแกรมงานสำหรับวิชา "เรขาคณิต" 10-11 โปรแกรมงานนี้ในเรขาคณิตสำหรับเกรด 10-11 รวบรวมบนพื้นฐานของ: องค์ประกอบของรัฐบาลกลางของมาตรฐานการศึกษาของรัฐ

สารบัญ: 1. หมายเหตุเชิงอธิบาย 2. เนื้อหาหลักของโปรแกรม.. 3. ข้อกำหนดสำหรับระดับการเตรียมตัวของนักเรียน 4. ปฏิทินและการวางแผนเฉพาะเรื่อง 5. รายการการสนับสนุนด้านการศึกษาและระเบียบวิธี

กระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์ของสหพันธรัฐรัสเซีย FSBEI HPE "มหาวิทยาลัยรัฐโซซี" "วิทยาลัยเศรษฐศาสตร์และเทคโนโลยีมหาวิทยาลัย" โปรแกรมทดสอบทางเข้าคณิตศาสตร์

สถาบันการศึกษาของรัฐเทศบาล "โรงเรียนมัธยม Usishinskaya 2" ปฏิทินและการวางแผนเฉพาะเรื่องในวิชาเรขาคณิตวิชาระดับพื้นฐาน 68 ชั่วโมง เรียบเรียงโดย: ครูคณิตศาสตร์ Gadzhiev

หัวเรื่องวิชาคณิตศาสตร์ "พีชคณิต" ครูชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 Anastasia Vasilievna Rybalkina สิ่งที่จะต้อง "เรียนรู้" = การศึกษาเชี่ยวชาญโมดูล "พีชคณิต" ในบทเรียนคณิตศาสตร์ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 1) TOPICS (ตามโปรแกรม) I.

สถาบันการศึกษางบประมาณของรัฐ “ภาคค่ำ (กะ) โรงเรียนมัธยม 2” ที่ PKU IK-4 หัวข้อการปรึกษาหารือกลุ่ม: “การแก้ปัญหาในหัวข้อ “ปริมาตรของรูปทรงหลายเหลี่ยม” เสร็จสมบูรณ์

การบัญชีเป็นองค์ประกอบสำคัญของระบบเศรษฐกิจสมัยใหม่ ตามแนวทางปฏิบัติในอดีต แนวคิดเกี่ยวกับเงินและการไหลเวียนของเงินมีความเชื่อมโยงกับโครงสร้างทางเศรษฐกิจที่มีอยู่อย่างแยกไม่ออก ด้วยการพัฒนาของมลรัฐ ความจำเป็นในการจัดระบบและปรับปรุงธุรกรรมทางการเงินจึงเกิดขึ้น มีส่วนร่วมอย่างมาก Luca Pacioli “บิดา” แห่งการบัญชีมีส่วนช่วยแก้ไขปัญหานี้ ต่อไปเรามาดูกันว่าข้อดีของนักคณิตศาสตร์คนนี้คืออะไร

ลูก้า ปาซิโอลี: ชีวประวัติ

เขาเกิดในปี 1445 ในเมือง Apennines ในเมืองเล็กๆ ชื่อ Borgo Sansepolcro ขณะที่ยังเป็นเด็ก เขาถูกส่งไปยังวัดท้องถิ่นเพื่อศึกษากับศิลปินคนหนึ่ง ในปี 1464 Luca Pacioli ย้ายไปเวนิส ที่นั่นพระองค์ทรงเลี้ยงดูบุตรชายพ่อค้า ในขณะนั้นเองที่เขาได้พบกับกิจกรรมทางการเงินเป็นครั้งแรก ในปี 1470 Luca Pacioli (รูปถ่ายของนักคณิตศาสตร์นำเสนอในบทความ) ย้ายไปโรม ที่นั่นเขารวบรวมหนังสือเรียนเกี่ยวกับเลขคณิตเชิงพาณิชย์เสร็จแล้ว หลังจากโรม นักคณิตศาสตร์คนนี้ไปเนเปิลส์เป็นเวลาสามปี ที่นั่นเขามีส่วนร่วมในการค้าขาย แต่เห็นได้ชัดว่าไม่ประสบความสำเร็จ ในปี ค.ศ. 1475-76 เขาเข้าพิธีสาบานตนและเข้าร่วมกับพระภิกษุ ตั้งแต่ปี ค.ศ. 1477 Luca Pacioli สอนอยู่ที่มหาวิทยาลัยเปรูจาเป็นเวลา 10 ปี ในอาชีพของเขา ความสามารถในการสอนของเขาได้รับการยอมรับซ้ำแล้วซ้ำเล่าด้วยการขึ้นเงินเดือน ขณะทำงานที่มหาวิทยาลัย เขาได้สร้างงานหลักขึ้นมา ซึ่งบทหนึ่งคือ "บทความเกี่ยวกับบันทึกและบัญชี"

ในปี ค.ศ. 1488 นักคณิตศาสตร์รายนี้ออกจากแผนกและไปที่โรม ห้าปีถัดมา เขาเป็นเจ้าหน้าที่ของเปียโตร วัลเลตารี (อธิการ) ในปี 1493 Pacioli ย้ายไปเวนิส ที่นี่เขาเตรียมหนังสือสำหรับการพิมพ์ หลังจากพักผ่อนได้หนึ่งปี Pacioli ก็รับเก้าอี้ที่มหาวิทยาลัยมิลานซึ่งเขาเริ่มสอนคณิตศาสตร์ ที่นี่เขาได้พบกับ Leonardo da Vinci และกลายเป็นเพื่อนของเขา ในปี ค.ศ. 1499 พวกเขาย้ายไปฟลอเรนซ์ Pacioli สอนคณิตศาสตร์เป็นเวลาสองปีที่นั่น หลังจากนั้นเขาก็ไปโบโลญญา ในเมืองนี้ เกือบครึ่งหนึ่งได้รับการจัดสรรเพื่อการบำรุงรักษามหาวิทยาลัย การยอมรับของนักคณิตศาสตร์ในตำแหน่งที่ทำกำไรและมีชื่อเสียงดังกล่าวบ่งชี้ถึงการยอมรับของเขา

ไม่กี่ปีต่อมา หนังสือส่วนหนึ่งที่เขียนโดยลูกา ปาซิโอลี เรื่อง “Treatise on Accounts and Records” ได้รับการตีพิมพ์ในเมืองเวนิส วันที่ตีพิมพ์ผลงานนี้คือ 1504 เมื่อถึงปี 1505 นักคณิตศาสตร์คนนี้ก็เกือบจะลาออกจากการสอนและย้ายไปอยู่ที่เมืองฟลอเรนซ์ แต่ในปี ค.ศ. 1508 เขาได้ไปเวนิสอีกครั้ง ที่นั่นเขาบรรยายสาธารณะ อย่างไรก็ตาม อาชีพหลักของเขาในขณะนั้นคือการเตรียมการตีพิมพ์งานแปล Euclid ของเขา ในปี 1509 มีการตีพิมพ์หนังสือเล่มอื่นซึ่งเขียนโดย Luca Pacioli เรื่อง “On Divine Proportion” ในปี ค.ศ. 1510 นักคณิตศาสตร์รายนี้เดินทางกลับมายังบ้านเกิดและกลายเป็นคนก่อนในอารามท้องถิ่น อย่างไรก็ตาม ชีวิตของเขาเต็มไปด้วยแผนการมากมายของคนอิจฉา นี่คือเหตุผลที่สี่ปีต่อมาเขาเดินทางไปโรมอีกครั้ง ที่นั่นเขาสอนที่สถาบันคณิตศาสตร์ Luca Pacioli กลับไปยังบ้านเกิดไม่นานก่อนที่เขาจะเสียชีวิต - ในปี 1517

การมีส่วนร่วมของนักคณิตศาสตร์ในการพัฒนาวิธีการ

เพื่อให้เข้าใจถึงความสำคัญของหนังสือที่ Luca Pacioli เขียนอย่างถ่องแท้ (บทความเกี่ยวกับบัญชีและบันทึก) จำเป็นต้องชื่นชมหลักการที่เขาวางไว้ในระบบ ผู้เชี่ยวชาญเกือบทั้งหมดกล่าวว่าเกณฑ์ที่นักคณิตศาสตร์เสนอนั้นมีอยู่ตรงหน้าเขา ตัวอย่างเช่น ไม่สามารถพิจารณา Luca Pacioli ว่าเป็นผู้เขียนรายการคู่ได้ มันมีอยู่ก่อนเขา ในกรณีนี้ คำถามเกิดขึ้น: นักคณิตศาสตร์มีส่วนช่วยอะไรในกรณีเช่นนี้? Pacioli แตกต่างจากคนรุ่นเดียวกันตรงที่เชื่อว่าทุกสิ่งที่สำคัญได้รับการประดิษฐ์ขึ้นก่อนหน้านี้แล้ว เขาเห็นภารกิจหลักของนักวิทยาศาสตร์ในการสร้างหลักสูตรการฝึกอบรมที่มีประสิทธิภาพสูงสุด Pacioli ไม่ได้จินตนาการถึงความคิดสร้างสรรค์ทางวิทยาศาสตร์ที่อยู่นอกกรอบกระบวนการสอน นั่นเป็นเหตุผล กิจกรรมการสอนกลายเป็นองค์ประกอบสำคัญในชีวิตของเขา

แนวคิดที่ Luca Pacioli ได้กำหนดแนวทางทางวิทยาศาสตร์ของเขาในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์และสาขาวิชาที่เกี่ยวข้องอย่างสมบูรณ์ ตำแหน่งนี้ถูกกำหนดในภายหลังโดยกาลิเลโอค่อนข้างแม่นยำ ความรู้ทางคณิตศาสตร์ของ Luca Pacioli เชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับการศึกษาความสามัคคีของโลก ในเวลาเดียวกันความถูกต้องของรูปทรงเรขาคณิตรวมถึงการบรรจบกันของความสมดุลกลายเป็นการสำแดงความสามัคคีนี้สำหรับเขา นักวิทยาศาสตร์ไม่เพียงแต่บันทึกแนวทางปฏิบัติที่มีอยู่ก่อนหน้านี้ แต่ยังให้คำอธิบายทางวิทยาศาสตร์ด้วย นี่คือความสำคัญหลักของกิจกรรมที่ Luca Pacioli ดำเนินการ บทความเกี่ยวกับบัญชีและบันทึกจึงกลายเป็นรากฐานสำหรับการปรับปรุงระบบงบดุล

สาระสำคัญของแนวทางทางวิทยาศาสตร์

การสะท้อนข้อเท็จจริง ณ เวลาที่ดำรงอยู่นั้นแม่นยำที่สุด แต่ในขณะเดียวกัน เทคนิคดังกล่าวไม่ได้มีส่วนช่วยในการพัฒนาแนวทางปฏิบัติต่อไป เนื่องจากวิธีการรับรู้มุ่งเน้นไปที่อดีต ซึ่งเป็นการจำลองสิ่งที่เกิดขึ้นแล้วและกำลังเกิดขึ้นอย่างแม่นยำ แนวทางที่ Luca Pacioli ใช้ทำให้สามารถประเมินสถานการณ์ได้ไม่เพียงแต่ในขั้นตอนของการพัฒนาเท่านั้น แต่ยังรวมถึงในอนาคตตลอดจนจากมุมมองของความเป็นระบบและความสมบูรณ์ด้วย ในงานของเขา นักคณิตศาสตร์ไม่ได้คำนึงถึงอะไรมากนัก ทำผิดพลาดหลายครั้ง และบรรยายถึงระบบเวนิสที่ล้าสมัยมากกว่า แทนที่จะเป็นระบบฟลอเรนซ์ที่ก้าวหน้า อย่างไรก็ตาม บทความของ Luca Pacioli แสดงให้เห็นว่าวิธีการทางวิทยาศาสตร์สามารถนำไปใช้ในการเตรียมงบการเงินได้เช่นกัน เขาสามารถเปลี่ยนการก่อตัวของงบดุลให้เป็นทิศทางใดทิศทางหนึ่งได้ ซึ่งส่งผลให้ผู้คนจำนวนมาก (ไลบนิซ, คาร์ดาโน และคนอื่น ๆ) เริ่มสนใจทฤษฎีการบัญชี

การนำระบบคณิตศาสตร์ไปใช้

ในบทความของเขา Pacioli ได้เสริมวิธีการที่มีอยู่ด้วยแนวคิดเกี่ยวกับการผสมผสาน งบดุลในขณะนั้นใช้เศษส่วนเนื่องจากการใช้หลายสกุลเงินพร้อมกัน แต่ในระหว่างปฏิบัติการพวกเขาก็ถูกปัดเศษขึ้น อย่างไรก็ตาม การสนับสนุนหลักของนักคณิตศาสตร์ต่อวิธีการนี้ถือเป็นการแนะนำแนวคิดเกี่ยวกับความสมบูรณ์ของระบบบัญชีและความจริงที่ว่าการบรรจบกันของความสมดุลทำหน้าที่เป็นสัญญาณของความสามัคคี คำจำกัดความหลังได้รับการพิจารณาในเวลานั้นไม่เพียง แต่เป็นสุนทรียภาพเท่านั้น แต่ยังรวมถึงหมวดวิศวกรรมด้วย การประเมินดุลการค้าจากตำแหน่งนี้ทำให้สามารถนำเสนอองค์กรเป็นระบบบูรณาการได้ ในความเห็นของเขา วิธีที่ Luca Pacioli สมบูรณ์แบบ - การเข้าสองครั้ง - ควรใช้ไม่เพียง แต่สำหรับองค์กรการค้าที่เฉพาะเจาะจงเท่านั้น แต่สำหรับองค์กรใด ๆ และสำหรับเศรษฐกิจโดยรวมทั้งหมด สิ่งนี้ช่วยให้เราสรุปได้ว่าแนวทางที่นักคณิตศาสตร์แนะนำนั้นไม่เพียงแต่กำหนดไว้ล่วงหน้าในการพัฒนาการรายงานทางการเงินเท่านั้น แต่ยังกลายเป็นรากฐานสำหรับการก่อตัวและการนำความคิดทางเศรษฐกิจไปใช้ในภายหลัง

Luca Pacioli: "บทความเกี่ยวกับบัญชีและบันทึก" (บทสรุป)

ประการแรกควรกล่าวได้ว่าความสมดุลทางการเงินของนักคณิตศาสตร์นั้นนำเสนอในรูปแบบของลำดับการดำเนินการที่ได้รับคำสั่งอย่างเคร่งครัด ภาพสะท้อนที่สมบูรณ์ที่สุดของ "ขั้นตอน" สามารถดูได้จากหลักการดูแลรักษาสมุดบัญชี 3 เล่ม ครั้งแรก - "อนุสรณ์" - สะท้อนถึงลำดับเหตุการณ์ของทุกกรณี บทที่หกของบทความอธิบายขั้นตอนการดำเนินการ เมื่อเวลาผ่านไป อนุสรณ์สถานก็ถูกแทนที่ด้วยเอกสารหลัก ส่งผลให้วันที่ในแถลงการณ์ ธุรกรรม และการลงทะเบียนข้อเท็จจริงเกิดความไม่สอดคล้องกัน

หนังสือเล่มต่อไปคือ "The Journal" มันมีไว้สำหรับใช้ภายในเท่านั้น บันทึกการดำเนินการทั้งหมดตามที่อธิบายไว้ในการประชุมอนุสรณ์ แต่ขณะเดียวกันก็คำนึงถึงความหมายทางเศรษฐกิจด้วย (ขาดทุน กำไร และอื่นๆ) มีไว้สำหรับการโพสต์และเรียบเรียงตามลำดับเวลาด้วย หนังสือเล่มที่สามคือ "The Main" มีอธิบายไว้ในบทที่ 14 ของตำรา โดยบันทึกธุรกรรมอย่างเป็นระบบมากกว่าตามลำดับเวลา

ความชัดเจน

นี่คือหลักการถัดไปที่ Pacioli อธิบายไว้ ความชัดเจนหมายถึงการให้ข้อมูลที่ชัดเจนและครบถ้วนแก่ผู้ใช้เกี่ยวกับกิจกรรมทางธุรกิจขององค์กร รายการทั้งหมดในหนังสือตามหลักการนี้ควรรวบรวมในลักษณะที่จัดทำขึ้นใหม่ตามแนวคิด กล่าวอีกนัยหนึ่ง ธุรกรรมจะต้องได้รับการบันทึกในลักษณะที่สามารถเรียกคืนผู้เข้าร่วมในการกระทำ วัตถุ เวลา และสถานที่แห่งข้อเท็จจริงในภายหลังได้ เพื่อให้เกิดความชัดเจนสูงสุด ความเชี่ยวชาญในภาษาบัญชีจึงเป็นสิ่งจำเป็น นักคณิตศาสตร์คนนี้ใช้ภาษาถิ่นเวนิสเมื่อเขียนหนังสือและใช้แนวคิดทางคณิตศาสตร์ทุกที่ Pacioli เป็นผู้กำหนดข้อกำหนดเบื้องต้นสำหรับการสร้างภาษาการบัญชีที่นักการเงินชาวอิตาลีส่วนใหญ่เข้าใจได้มากที่สุด

แยกกันไม่ออกของทรัพย์สินของเจ้าของและวิสาหกิจ

หลักการนี้ค่อนข้างเป็นธรรมชาติในเวลานั้น ความจริงก็คือพ่อค้าหลายรายทำหน้าที่เป็นเจ้าของแต่เพียงผู้เดียวขององค์กร ผู้จัดการและผู้รับความสูญเสียและผลกำไรจากกิจกรรมการซื้อขาย ด้วยเหตุนี้การบัญชีจึงดำเนินการเพื่อประโยชน์ของเจ้าของบริษัท อย่างไรก็ตาม ในปี ค.ศ. 1840 Hippolyte Vanier ได้กำหนดแนวทางที่แตกต่างออกไป ตามที่ระบุไว้ การบัญชีไม่ได้ดำเนินการเพื่อผลประโยชน์ของเจ้าของ แต่เป็นของ บริษัท แนวทางนี้สะท้อนให้เห็นถึงการแพร่กระจายของทุนในหมู่มวลชนในวงกว้าง

เครดิตและเดบิต

หลักการที่สำคัญที่สุดประการหนึ่งของ Pacioli คือการบันทึกแบบคู่ นักคณิตศาสตร์คิดว่าแต่ละรายการควรสะท้อนให้เห็นทั้งในด้านเดบิตและเครดิต แนวทางนี้มีเป้าหมายดังต่อไปนี้:

ในงานของเขา Pacioli ให้ความสนใจกับงานแรกเป็นอย่างมาก ในขณะเดียวกัน ตัวที่สองและสามก็ยังไม่ได้รับการพัฒนา สิ่งนี้นำไปสู่การก่อตัวของวิธีการที่บิดเบือนความถูกต้องของการหมุนเวียน ความจริงก็คือ Pacioli เป็นนักวิทยาศาสตร์คนแรกและสำคัญที่สุด จากนั้นก็เป็นนักการเงิน ดังนั้นเขาจึงพิจารณาระบบการเข้าคู่ภายในขอบเขตของเหตุและผล สันนิษฐานว่านักคณิตศาสตร์มองเห็นสาเหตุในรูปเดบิต และผลกระทบในเรื่องเครดิต วิธีการดูระบบการเงินนี้พบการประยุกต์ใช้ในทางเศรษฐศาสตร์เป็นหลัก Yezersky ได้กำหนดหลักการนี้ไว้อย่างกระชับที่สุด: หากไม่มีรายจ่ายก็ไม่มีรายได้ Pacioli ยอมรับว่าประเด็นต่อไปนี้เป็นประเด็นหลักของสัญกรณ์คู่:

1. จำนวนการหมุนเวียนของเดบิตจะเท่ากันกับจำนวนเครดิตเสมอ
2. มูลค่าของยอดเดบิตจะเท่ากับมูลค่าของยอดเครดิตเสมอ

หลักการเหล่านี้แพร่หลายในระบบบัญชีในเวลาต่อมา

เรื่องของการรายงาน

บทบาทของ Pacioli คือการดำเนินการตามข้อตกลงการซื้อและการขาย การลดข้อตกลงทั้งหมดลงในเอกสารประเภทนี้ถือเป็นเรื่องปกติในช่วงเวลานั้น ไม่ต้องสงสัยเลยว่ารูปแบบชีวิตทางเศรษฐกิจที่หลากหลายในปัจจุบันไม่สามารถเข้ากับกรอบแนวคิดของการซื้อและการขายได้ (เช่น การชดเชย การแลกเปลี่ยน และอื่นๆ) อย่างไรก็ตาม ในสมัยของ Pacioli แนวคิดนี้มีความก้าวหน้ามาก นอกจากนี้ วิธีการนี้ยังช่วยให้สามารถกำหนดคำจำกัดความที่เพียงพอสำหรับช่วงเวลานั้นได้ไม่เพียงแต่เท่านั้น ราคายุติธรรมแต่ยังรวมถึงผลที่ตามมาของต้นทุนและสถานการณ์ตลาดด้วย

หลักการความเพียงพอ

สาระสำคัญก็คือค่าใช้จ่ายทั้งหมดที่องค์กรเกิดขึ้นนั้นสัมพันธ์กับรายได้ที่ได้รับเมื่อเวลาผ่านไป หลักการของความเพียงพอของ Pacioli สันนิษฐานไว้ก่อนแทนที่จะนำเสนอโดยตรงและชัดเจน เงินที่ได้รับเท่านั้นที่ถือเป็นรายได้ ในเวลานั้น แนวคิดเรื่องความสามารถในการทำกำไรและค่าเสื่อมราคาเพิ่งเริ่มก่อตัวขึ้น เมื่อนำมารวมกัน ทั้งหมดนี้มีส่วนช่วยในการสร้างสรรค์แนวคิดเกี่ยวกับทั้งทางการเงินและผลกำไรในรูปแบบอื่นๆ ตามความเข้าใจใหม่เกี่ยวกับรายได้ เราสามารถพูดได้ว่ามันถูกสร้างขึ้นไม่เพียงแต่เป็นผลมาจากธุรกรรมทางธุรกิจเท่านั้น แต่ยังเป็นผลมาจากการประยุกต์ใช้วิธีการทางบัญชีด้วย

การรักษาสมดุล

Pacioli ถือว่าการบัญชีเป็นสิ่งที่มีคุณค่าในตัวเอง และด้วยเหตุนี้ คุณค่าของผลลัพธ์การรายงานจึงทำหน้าที่เป็นแนวคิดที่สัมพันธ์กัน ผลลัพธ์ที่บันทึกไว้ในหนังสือเล่มหนึ่งหรืออีกเล่มหนึ่งขึ้นอยู่กับวิธีการรายงานเป็นส่วนใหญ่ ข้อกำหนดนี้สอดคล้องกับแนวคิดในการบันทึกธุรกรรมทางธุรกิจที่แม่นยำที่สุดในงบดุลเนื่องจากวิธีการทั้งหมดจำเป็นต้องมีการสะท้อนข้อเท็จจริงที่แม่นยำแม้ว่าข้อสรุปมักจะตรงกันข้ามก็ตาม Pacioli เข้าใจเรื่องนี้เป็นอย่างดี ในเรื่องนี้ จากผลลัพธ์หลักของการรายงานทางการเงิน เขามองเห็นผลกระทบต่อการตัดสินใจในด้านการจัดการเศรษฐกิจ

ความซื่อสัตย์

นี่เป็นหลักการสุดท้ายที่ Pacioli ประกาศไว้ในตำราของเขา คนที่รักษาสมดุลต้องซื่อสัตย์อย่างแน่นอน สิ่งนี้ควรใช้ไม่เพียงกับนายจ้างเท่านั้น นักบัญชีจะต้องซื่อสัตย์ต่อพระเจ้าเป็นหลัก ในเรื่องนี้การพึ่งพานักคณิตศาสตร์ในเกือบทุกบทนั้นไม่ได้เป็นการยกย่องประเพณีหรือการปฏิบัติหน้าที่สงฆ์ แต่ที่สำคัญที่สุด Pacioli ถือว่าการจงใจบิดเบือนข้อมูลทางบัญชีไม่เพียง แต่เป็นการละเมิดทางการเงินเท่านั้น สำหรับนักคณิตศาสตร์รายนี้ นี่เป็นความผิดปกติของความสามัคคีของพระเจ้าเป็นหลัก ซึ่งเขาพยายามทำความเข้าใจผ่านการคำนวณ

ข้อเสียของงาน

ควรจะกล่าวได้ว่างานของ Pacioli ทำหน้าที่เป็นหนังสือเชิงทฤษฎีเป็นหลัก จึงไม่ได้สะท้อนถึงองค์ประกอบหลายประการของงบการเงินที่มีอยู่ในขณะนั้น โดยเฉพาะสิ่งเหล่านี้รวมถึง:

1. การบำรุงรักษาหนังสือเพิ่มเติมและหนังสือคู่ขนาน
2. การบัญชีต้นทุนอุตสาหกรรม
3. การรักษาสมดุลเพื่อวัตถุประสงค์ในการวิเคราะห์ ในขณะนั้น การรายงานได้ดำเนินการไปแล้วไม่เพียงแต่เพื่อกระทบยอดข้อมูลและปิดบัญชีเท่านั้น แต่ยังทำหน้าที่เป็นเครื่องมือในการจัดการและควบคุมอีกด้วย
4. การดูแลรักษาบัญชี nostro และ loro
5. พื้นฐานการตรวจสอบและขั้นตอนการตรวจสอบยอดเงิน
6. วิธีการคำนวณที่เกี่ยวข้องกับการกระจายผลกำไร
7. ขั้นตอนการจองเงินทุนและการกระจายผลงวดถัดไป
8. การยืนยันการรายงานข้อมูลโดยใช้วิธีสินค้าคงคลัง

การไม่มีส่วนประกอบเหล่านี้บ่งชี้ว่า Pacioli ขาดประสบการณ์เชิงพาณิชย์เป็นหลัก เป็นไปได้ว่าเขาไม่ได้รวมรายละเอียดที่ให้ไว้ เนื่องจากมันไม่เข้ากับระบบองค์รวมที่เขาสร้างขึ้น

สรุปแล้ว

งานของ Pacioli เป็นหนึ่งในงานแรกๆ ที่ใช้ภาษาอิตาลีเป็นวิธีการแสดงออก ความคิดทางวิทยาศาสตร์- หลักการและหมวดหมู่ที่สร้างโดยนักคณิตศาสตร์ยังคงใช้อยู่ในปัจจุบัน ข้อดีหลักของ Pacioli ไม่ใช่ว่าเขาบันทึกมันไว้ - เพราะยังไงซะก็คงทำเสร็จแล้ว การมีส่วนร่วมของเขาคือต้องขอบคุณหนังสือของเขาที่ทำให้การบัญชีได้รับการยกระดับให้เป็นวิทยาศาสตร์

การค้นหาต้นกำเนิดของเราคือน้ำผลไม้รสหวานที่ทำให้นักปรัชญาพึงพอใจอย่างมาก

ลูกา ปาซิโอลี (1445–1517)
มีจิตรกรผู้ยิ่งใหญ่เพียงไม่กี่คนในประวัติศาสตร์ของมนุษย์เท่านั้นที่เป็นนักคณิตศาสตร์ที่มีพรสวรรค์เช่นกัน อย่างไรก็ตาม คำว่า "มนุษย์ยุคฟื้นฟูศิลปวิทยา" ในคำศัพท์ของเราหมายถึงบุคคลที่รวบรวมอุดมคติของยุคฟื้นฟูศิลปวิทยาด้วยมุมมองและการศึกษาที่กว้างที่สุด ดังนั้นศิลปินที่มีชื่อเสียงที่สุดในยุคเรอเนซองส์สามคน ได้แก่ ชาวอิตาลี Piero della Francesca (ประมาณปี ค.ศ. 1412-1492) และ Leonardo da Vinci และ Albrecht Dürerชาวเยอรมันก็มีส่วนสำคัญอย่างมากในด้านคณิตศาสตร์เช่นกัน บางทีก็ไม่น่าแปลกใจที่การวิจัยทางคณิตศาสตร์ของทั้งสามมีความสัมพันธ์กับอัตราส่วนทองคำ นักคณิตศาสตร์ที่กระตือรือร้นที่สุดของอัจฉริยะสามคนนี้คือ Piero della Francesca งานเขียนของอันโตนิโอ มาเรีย กราเซียนี ซึ่งเกี่ยวข้องกับเหลนของปิเอโรและซื้อบ้านของศิลปิน ระบุว่าปิเอโรเกิดในปี 1412 ที่บอร์โก ซานเซโปลโคร ทางตอนกลางของอิตาลี พ่อของเขา Benedetto เป็นนักฟอกหนังและช่างทำรองเท้าที่ประสบความสำเร็จ แทบไม่มีใครรู้อะไรเกี่ยวกับวัยเด็กของ Piero อีกต่อไป แต่มีการค้นพบเอกสารเมื่อไม่นานมานี้ซึ่งทำให้ชัดเจนว่าก่อนปี 1431 เขาใช้เวลาเป็นเด็กฝึกงานของศิลปิน Antonio D'Angiari ซึ่งผลงานยังไม่ถึงเรา ในช่วงปลายทศวรรษที่ 1430 ปิเอโรย้ายไปฟลอเรนซ์ ซึ่งเขาเริ่มร่วมงานกับศิลปินโดเมนิโก เวเนเซียโน ในฟลอเรนซ์ ศิลปินหนุ่มได้คุ้นเคยกับผลงานของศิลปินยุคเรอเนซองส์ยุคแรกๆ รวมถึง Fra Angelico และ Masaccio และกับรูปปั้นของ Donatello เขาประทับใจเป็นพิเศษกับความเงียบสงบอันงดงามของผลงานของ Fra Angelico เกี่ยวกับหัวข้อทางศาสนา และสไตล์ของเขาเองก็สะท้อนให้เห็นถึงอิทธิพลนี้ในทุกแง่มุมของ Chiaroscuro และสีสัน ในปีต่อๆ มา ปิเอโรทำงานอย่างไม่รู้จักเหน็ดเหนื่อยในเมืองต่างๆ รวมถึงริมินี อาเรซโซ และโรม ตัวเลขของ Pierrot มีความโดดเด่นด้วยความรุนแรงทางสถาปัตยกรรมและความยิ่งใหญ่เช่นเดียวกับใน "The Flagellation of Christ" (ตอนนี้ภาพวาดถูกเก็บไว้ในหอศิลป์แห่งชาติของ Marche ใน Urbino; ​​​​รูปที่ 45) หรือดูเหมือนว่าจะเป็นธรรมชาติ ความต่อเนื่องของความเป็นมา ดังเช่นใน “การบัพติศมา” (ปัจจุบันอยู่ที่หอศิลป์แห่งชาติในลอนดอน รูปที่ 46) Giorgio Vasari นักประวัติศาสตร์ศิลปะคนแรก (ค.ศ. 1511–1574) ใน "ชีวิตของจิตรกร ประติมากร และสถาปนิกที่มีชื่อเสียงที่สุด" เขียนว่า Piero แสดงให้เห็นความสามารถทางคณิตศาสตร์ที่น่าทึ่งตั้งแต่วัยเยาว์ และถือว่าเขาเขียนบทความทางคณิตศาสตร์ "มากมาย" บางส่วนถูกสร้างขึ้นในวัยชราเมื่อศิลปินไม่สามารถวาดภาพได้อีกต่อไปเนื่องจากความอ่อนแอ ในจดหมายอุทิศถึงดยุคกุยโดบัลโดแห่งเออร์บิโน ปิเอโรกล่าวถึงหนังสือเล่มหนึ่งของเขาที่เขียนว่า "เพื่อว่าจิตใจของเขาจะไม่แข็งกระด้างจากการเลิกใช้" ผลงานสามชิ้นของ Pierrot เกี่ยวกับคณิตศาสตร์มาถึงเราแล้ว: “ เด พรอสเปกติวา ปิงเกนดี"("ในมุมมองในการวาดภาพ"), " Libellus de Quinque Corporibus Regularibus"("หนังสือประมาณห้ารูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ") และ " ตราตตาโต ดี ’อบาโก้"("บทความเกี่ยวกับการบัญชี")

ข้าว. 45

ข้าว. 46
บทความเรื่องเปอร์สเปคทีฟ (กลางคริสต์ทศวรรษ 1470 - 1480) มีการอ้างอิงถึงองค์ประกอบและทัศนศาสตร์ของยุคลิดมากมาย เนื่องจากปิเอโร เดลลา ฟรานเชสกาตัดสินใจพิสูจน์ว่าเทคนิคในการถ่ายทอดเปอร์สเปคทีฟในการวาดภาพมีพื้นฐานอยู่บนคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์และกายภาพของเปอร์สเปคทีฟโดยสิ้นเชิง ในภาพวาดของศิลปินเอง มุมมองเป็นภาชนะขนาดใหญ่ที่สอดคล้องกับคุณสมบัติทางเรขาคณิตของตัวเลขที่อยู่ในนั้น อันที่จริง สำหรับเปียโรต์ การวาดภาพนั้นมีจุดประสงค์หลักเพื่อ "แสดงรูปร่างที่เล็กลงหรือขยายใหญ่ขึ้นบนเครื่องบิน" วิธีการนี้มองเห็นได้ชัดเจนในตัวอย่างของ "The Flagellation" (รูปที่ 45 และ 47): นี่เป็นหนึ่งในภาพวาดไม่กี่ภาพในยุคเรอเนซองส์ที่มีการสร้างและทำงานเปอร์สเปคทีฟอย่างระมัดระวัง ดังที่ศิลปินร่วมสมัย David Hockney เขียนไว้ในหนังสือของเขา The Secret Knowledge ( เดวิด ฮ็อคนีย์- Secret Knowledge, 2001) Pierrot วาดภาพร่างต่างๆ “ตามที่เขาเชื่อว่าควรจะเป็น ไม่ใช่อย่างที่เขาเห็น”

เนื่องในโอกาสครบรอบ 500 ปีการเสียชีวิตของปิเอโร นักวิทยาศาสตร์ ลอรา เกียตติ จากมหาวิทยาลัยโรม และลูเซียโน ฟอร์ทูนาติ จากสภาวิจัยแห่งชาติในเมืองปิซา ได้ทำการวิเคราะห์โดยละเอียดของการแฟลเจลลาชันโดยใช้คอมพิวเตอร์ พวกเขาแปลงภาพทั้งหมดเป็นดิจิทัล กำหนดพิกัดของจุดทั้งหมด วัดระยะทางทั้งหมด และรวบรวมการวิเคราะห์เปอร์สเปคทีฟโดยสมบูรณ์โดยอาศัยการคำนวณทางพีชคณิต สิ่งนี้ทำให้พวกเขาสามารถระบุตำแหน่งของ "จุดที่หายไป" ได้อย่างแม่นยำ โดยที่เส้นทั้งหมดที่นำไปสู่ขอบฟ้าจากจุดตัดของผู้ชม (รูปที่ 47) ต้องขอบคุณ Pierrot ที่สามารถบรรลุ "ความลึก" ที่สร้างความประทับใจอย่างมาก .

ข้าว. 47
หนังสือเกี่ยวกับเปอร์สเปกทีฟของเปียโรต์ซึ่งมีความชัดเจนในการนำเสนอกลายเป็นแนวทางมาตรฐานสำหรับศิลปินที่พยายามวาดภาพเครื่องบินและรูปทรงเรขาคณิต และส่วนต่างๆ ของหนังสือเล่มนี้ที่ไม่ได้มีคณิตศาสตร์มากเกินไป (และเข้าใจได้ง่ายกว่า) ก็รวมอยู่ในผลงานต่อๆ ไปส่วนใหญ่ ในมุมมอง วาซารีอ้างว่าปิเอโรได้รับการศึกษาด้านคณิตศาสตร์ที่มั่นคง ดังนั้น "ดีกว่าเรขาคณิตอื่นๆ ที่เข้าใจวิธีที่ดีที่สุดในการวาดวงกลมในร่างกายปกติ และเขาเป็นผู้ให้ความกระจ่างเกี่ยวกับคำถามเหล่านี้" ( ต่อจากนี้ไป A. Gabrichevsky และ A. Benediktov- ตัวอย่างของวิธีที่ Pierrot พัฒนาวิธีการวาดรูปห้าเหลี่ยมปกติในมุมมองอย่างระมัดระวังสามารถดูได้ในรูปที่ 1 48.

ในบทความเรื่องลูกคิดและหนังสือห้ารูปทรงหลายเหลี่ยมปกติของเขา เปียโรต์ได้ตั้ง (และแก้ไข) ปัญหามากมายที่เกี่ยวข้องกับรูปห้าเหลี่ยมและของแข็งสงบทั้งห้า คำนวณความยาว พื้นที่ และปริมาตรด้านและแนวทแยง วิธีแก้ปัญหาหลายอย่างยังขึ้นอยู่กับอัตราส่วนทองคำด้วย และเทคนิคบางอย่างของ Pierrot เป็นเครื่องพิสูจน์ถึงความฉลาดและความคิดริเริ่มสร้างสรรค์ของเขา

ข้าว. 48
Piero เช่นเดียวกับ Fibonacci รุ่นก่อนของเขา ได้เขียน Treatise on Abacus เป็นหลักเพื่อให้นักธุรกิจรุ่นเดียวกันของเขามี "สูตร" ทางคณิตศาสตร์และกฎทางเรขาคณิต ในโลกของการค้าขายในเวลานั้นไม่มีระบบน้ำหนักและการวัดแบบครบวงจร หรือแม้แต่ข้อตกลงเกี่ยวกับขนาดและรูปร่างของภาชนะบรรจุ ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะทำหากไม่มีความสามารถในการคำนวณปริมาตรของตัวเลข อย่างไรก็ตาม ความอยากรู้อยากเห็นทางคณิตศาสตร์ของ Pierrot ทำให้เขาก้าวไปไกลกว่าหัวข้อที่จำกัดความต้องการในชีวิตประจำวัน ดังนั้นในหนังสือของเขาเราจึงพบปัญหาที่ "ไร้ประโยชน์" เช่นการคำนวณความยาวของขอบของรูปแปดด้านที่จารึกไว้ในลูกบาศก์หรือเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมเล็ก ๆ ห้าวงที่จารึกไว้ในวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางใหญ่กว่า (รูปที่ 49) . เพื่อแก้ไขปัญหาสุดท้าย มีการใช้รูปห้าเหลี่ยมปกติ ดังนั้นอัตราส่วนทองคำจึงถูกนำมาใช้

ข้าว. 49
การวิจัยเกี่ยวกับพีชคณิตของ Pierrot ส่วนใหญ่รวมอยู่ในหนังสือที่ตีพิมพ์โดย Luca Pacioli (1445–1517) เรื่อง “ สรุปเลขคณิต เรขาคณิต สัดส่วน และสัดส่วน"("รหัสความรู้ทางคณิตศาสตร์ เรขาคณิต สัดส่วน และสัดส่วน") ผลงานของ Piero เกี่ยวกับรูปทรงหลายเหลี่ยมซึ่งเขียนเป็นภาษาละตินได้รับการแปลเป็นภาษาอิตาลีโดย Luca Pacioli คนเดียวกัน - และรวมอีกครั้ง (หรือพูดอย่างประณีตน้อยลงก็แค่ถูกขโมย) ในหนังสือชื่อดังของเขาเกี่ยวกับอัตราส่วนทองคำที่มีชื่อว่า "On the Divine Proportion" ( “ตามสัดส่วนของพระเจ้า” (“ตามสัดส่วนของพระเจ้า”)) ดิวิน่า สัดส่วน »).

เขาคือใคร ลูก้า ปาซิโอลี นักคณิตศาสตร์ผู้มีความขัดแย้งคนนี้ นักลอกเลียนแบบที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์ - หรือยังเป็นที่นิยมอย่างมากของวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์?

ฮีโร่ที่ไม่มีใครร้องของยุคฟื้นฟูศิลปวิทยา?

Luca Pacioli เกิดในปี 1445 ในเมือง Borgo Sansepolcro ในแคว้นทัสคานี ซึ่งเป็นที่ที่ Piero della Francesca เกิดและดูแลเวิร์คช็อปของเขา นอกจากนี้ Luca ยังได้รับการศึกษาระดับประถมศึกษาในเวิร์คช็อปของ Pierrot อย่างไรก็ตามไม่เหมือนกับนักเรียนคนอื่น ๆ ที่แสดงความถนัดในการวาดภาพ - บางคนเช่น Pietro Perugino ถูกกำหนดให้เป็นจิตรกรที่ยิ่งใหญ่ - Luca กลับกลายเป็นว่ามีแนวโน้มไปทางคณิตศาสตร์มากกว่า Piero และ Pacioli ยังคงรักษาความสัมพันธ์ฉันมิตรในอนาคต: หลักฐานนี้คือ Piero วาดภาพ Pacioli ในรูปของนักบุญเปโตรแห่งเวโรนา (Peter the Martyr) บน "แท่นบูชาแห่งมอนเตเฟลโตร" ในขณะที่ยังเป็นชายหนุ่ม Pacioli ย้ายไปเวนิสและเป็นที่ปรึกษาให้กับลูกชายทั้งสามของพ่อค้าผู้มั่งคั่งที่นั่น ในเมืองเวนิส เขาศึกษาต่อด้านคณิตศาสตร์ต่อไปภายใต้การแนะนำของนักคณิตศาสตร์ โดเมนิโก บรากาดิโน และเขียนหนังสือเล่มแรกเกี่ยวกับเลขคณิต

ในปี 1470 Pacioli ศึกษาเทววิทยาและกลายเป็นพระภิกษุฟรานซิสกัน ตั้งแต่นั้นมา เป็นเรื่องปกติที่จะเรียกเขาว่า Fra Luca Pacioli ในปีต่อๆ มา เขาเดินทางอย่างกว้างขวาง โดยสอนคณิตศาสตร์ที่มหาวิทยาลัยในเปรูจา ซาดาร์ เนเปิลส์ และโรม ในเวลานั้น Pacioli อาจจะสอน Guidobaldo Montefeltro มาระยะหนึ่งแล้ว ซึ่งในปี 1482 จะต้องเป็น Duke of Urbino บางทีภาพเหมือนที่ดีที่สุดของนักคณิตศาสตร์อาจเป็นภาพวาดของ Jacopo de Barbari (1440–1515) ซึ่งวาดภาพ Luca Pacioli กำลังให้บทเรียนเรขาคณิต (รูปที่ 50 ภาพวาดอยู่ในพิพิธภัณฑ์ Capodimonte ในเนเปิลส์) ทางด้านขวาบนหนังสือของ Pacioli " สรุป» วางหนึ่งในของแข็งพลาโตนิก - รูปทรงสิบสองหน้า Pacioli เองอยู่ใน Cassock ของฟรานซิสกัน (ซึ่งคล้ายกับรูปทรงหลายเหลี่ยมทั่วไป หากคุณมองใกล้ ๆ ) คัดลอกภาพวาดจาก Book XIII ของ Euclid's Elements รูปทรงหลายเหลี่ยมโปร่งใสที่เรียกว่า รอมบิคิวบอคทาฮีดรอน (หนึ่งในของแข็งอาร์คิมีดีน ซึ่งเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มี 26 หน้า โดย 18 หน้าเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส และ 8 ชิ้นเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า) แขวนอยู่ในอากาศและเต็มไปด้วยน้ำครึ่งหนึ่ง เป็นสัญลักษณ์ของความบริสุทธิ์และความเป็นนิรันดร์ของคณิตศาสตร์ . ศิลปินสามารถถ่ายทอดการหักเหและการสะท้อนแสงในกระจกรูปทรงหลายเหลี่ยมด้วยทักษะอันน่าทึ่ง ตัวตนของนักเรียนของ Pacioli ที่ปรากฎในภาพวาดนี้เป็นประเด็นถกเถียง โดยเฉพาะอย่างยิ่งสันนิษฐานว่าชายหนุ่มคนนี้คือ Duke Guidobaldo เอง นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ Nick MacKinnon ได้ตั้งสมมติฐานที่น่าสนใจไว้ในปี 1993 ในบทความของเขาเรื่อง “Portrait of Fra Luca Pacioli” ตีพิมพ์ใน “ ราชกิจจานุเบกษาคณิตศาสตร์” และจากการวิจัยที่แข็งแกร่งมาก MacKinnon สรุปว่านี่คือภาพเหมือนของจิตรกรชาวเยอรมันผู้ยิ่งใหญ่ Albrecht Dürer ผู้สนใจทั้งเรขาคณิตและเปอร์สเปคทีฟเป็นอย่างมาก (และเราจะกลับไปสู่ความสัมพันธ์ของเขากับ Pacioli ในภายหลัง) แท้จริงแล้ว ใบหน้าของนักเรียนมีความคล้ายคลึงกับภาพเหมือนตนเองของ Dürer อย่างเห็นได้ชัด

ข้าว. 50
ในปี 1489 Pacioli กลับไปที่ Borgo Sansepolcro โดยได้รับสิทธิพิเศษบางอย่างจากสมเด็จพระสันตะปาปาเอง แต่ได้รับการต้อนรับด้วยความอิจฉาริษยาจากสถานประกอบการทางศาสนาในท้องถิ่น เป็นเวลาประมาณสองปีที่เขาถูกห้ามไม่ให้สอนด้วยซ้ำ ในปี ค.ศ. 1494 Pacioli ไปเวนิสเพื่อพิมพ์หนังสือของเขา " สรุป"ซึ่งอุทิศให้กับ Duke Guidobaldo - สรุป"โดยธรรมชาติและขอบเขต (ประมาณ 600 หน้า) เป็นงานสารานุกรมอย่างแท้จริง โดย Pacioli ได้รวบรวมทุกสิ่งที่เป็นที่รู้จักในเวลานั้นในสาขาเลขคณิต พีชคณิต เรขาคณิต และตรีโกณมิติ ในหนังสือของเขา Pacioli ไม่ลังเลที่จะยืมปัญหาเกี่ยวกับไอโคซาฮีดรอนและสิบสองหน้าจาก “บทความ” ของปิเอโร เดลลา ฟรานเชสกา และปัญหาอื่นๆ ในเรขาคณิต รวมถึงพีชคณิตจากผลงานของฟีโบนัชชีและนักวิทยาศาสตร์คนอื่นๆ (อย่างไรก็ตาม เขามักจะแสดงความขอบคุณ ถึงผู้เขียนตามที่คาดไว้) Pacioli ยอมรับว่าแหล่งที่มาหลักของเขาคือ Fibonacci และกล่าวว่าหากไม่มีการอ้างอิงถึงบุคคลอื่น ผลงานเหล่านี้เป็นของ Leonardo of Pisa ส่วนที่น่าสนใจ " สรุป» – ระบบบัญชีรายการคู่ วิธีการที่ช่วยให้คุณติดตามว่าเงินมาจากไหนและไปที่ไหน Pacioli ไม่ได้คิดค้นระบบนี้เอง เขาเพียงรวบรวมเทคนิคของพ่อค้าชาวเวนิสในยุคฟื้นฟูศิลปวิทยาเท่านั้น แต่เชื่อกันว่านี่เป็นหนังสือเล่มแรกเกี่ยวกับการบัญชีในประวัติศาสตร์ของมนุษยชาติ ดังนั้นความปรารถนาของ Pacioli ที่จะ "ทำให้นักธุรกิจสามารถรับข้อมูลเกี่ยวกับสินทรัพย์และภาระผูกพันทางการเงินของเขาได้ทันที" ทำให้เขาได้รับฉายาว่า "บิดาแห่งการบัญชี" และในปี 1994 นักบัญชีทั่วโลกก็เฉลิมฉลองครบรอบ 100 ปีของ " สรุป"ในซานเซโปลโกร ดังที่เรียกเมืองนี้ในปัจจุบัน

ในปี 1480 สถานที่ของดยุคแห่งมิลานถูกยึดครองโดย Ludovico Sforza ในความเป็นจริงเขาเป็นเพียงผู้สำเร็จราชการแทนพระองค์ของดยุคที่แท้จริงซึ่งขณะนั้นมีอายุเพียงเจ็ดขวบเท่านั้น เหตุการณ์นี้ทำให้ช่วงเวลาแห่งการวางอุบายและการฆาตกรรมทางการเมืองสิ้นสุดลง ลูโดวิโกตัดสินใจตกแต่งราชสำนักร่วมกับศิลปินและนักวิทยาศาสตร์ และในปี 1482 ได้เชิญเลโอนาร์โด ดา วินชีมาที่ "วิทยาลัยวิศวกรดยุค" เลโอนาร์โดมีความสนใจในเรขาคณิตเป็นอย่างมาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งการประยุกต์ใช้งานในกลศาสตร์ได้จริง ตามที่เขาพูด "กลศาสตร์เป็นสวรรค์ในหมู่วิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ เนื่องจากเป็นแหล่งกำเนิดผลของคณิตศาสตร์" และต่อมาในปี 1496 เลโอนาร์โดเป็นผู้ที่มีแนวโน้มมากที่สุดว่าดยุคเชิญปาซิโอลีไปที่ศาลในฐานะครูสอนคณิตศาสตร์ เลโอนาร์โดศึกษาเรขาคณิตจาก Pacioli อย่างไม่ต้องสงสัยและปลูกฝังความรักในการวาดภาพให้กับเขา

ขณะอยู่ในมิลาน ปาซิโอลีเขียนบทความสามเล่มเรื่อง On Divine Proportion ซึ่งตีพิมพ์ในเมืองเวนิสในปี 1509 เล่มแรก" Compendio de Divina สัดส่วน” (“บทสรุปเกี่ยวกับสัดส่วนของพระเจ้า”) มีบทสรุปโดยละเอียดเกี่ยวกับคุณสมบัติทั้งหมดของอัตราส่วนทองคำ (ซึ่ง Pacioli เรียกว่า "สัดส่วนของพระเจ้า") และการศึกษาของแข็ง Platonic และรูปทรงหลายเหลี่ยมอื่น ๆ ในหน้าแรกของ “On the Divine Proportion” ปาซิโอลีค่อนข้างประกาศอย่างโอ่อ่าว่านี่คือ “งานที่จำเป็นสำหรับจิตใจมนุษย์ที่มีความอยากรู้อยากเห็นและชัดเจน ซึ่งใครก็ตามที่รักการศึกษาปรัชญา มุมมอง จิตรกรรม ประติมากรรม สถาปัตยกรรม ดนตรี และ สาขาวิชาคณิตศาสตร์อื่นๆ จะพบกับการสอนที่ละเอียดอ่อน งดงาม และมีเสน่ห์ และจะได้รับความเพลิดเพลินจากคำถามต่างๆ มากมายที่ส่งผลต่อศาสตร์ลับทั้งหมด”

Pacioli อุทิศหนังสือเล่มแรกของบทความเรื่อง "On the Divine Proportion" ให้กับ Ludovico Sforza และในบทที่ห้าเขาได้ระบุเหตุผลห้าประการในความเห็นของเขาว่าอัตราส่วนทองคำไม่ควรเรียกว่าอะไรนอกจากสัดส่วนของพระเจ้า

1. “เธอเป็นหนึ่งเดียว เป็นน้ำหนึ่งใจเดียวกันและครอบคลุมทุกด้าน” Pacioli เปรียบเทียบความเป็นเอกลักษณ์ของอัตราส่วนทองคำกับข้อเท็จจริงที่ว่า "หนึ่ง" คือ "ฉายาสูงสุดของพระเจ้าเอง"

2. Pacioli มองเห็นความคล้ายคลึงกันระหว่างความจริงที่ว่าคำจำกัดความของอัตราส่วนทองคำนั้นมีความยาวสามประการ (AC, CB และ AB ในรูปที่ 24) และการดำรงอยู่ของพระตรีเอกภาพ - พ่อ, พระบุตรและพระวิญญาณบริสุทธิ์

3. สำหรับ Pacioli ความไม่เข้าใจของพระเจ้าและความจริงที่ว่าอัตราส่วนทองคำเป็นจำนวนอตรรกยะนั้นเทียบเท่ากัน นี่คือวิธีที่เขาเขียน: “เช่นเดียวกับที่องค์พระผู้เป็นเจ้าไม่สามารถกำหนดได้อย่างเหมาะสมและไม่สามารถเข้าใจได้ด้วยคำพูด ฉันใด สัดส่วนของเราไม่สามารถถ่ายทอดเป็นตัวเลขที่เข้าใจได้และแสดงออกมาด้วยปริมาณที่มีเหตุผลใดๆ ก็ตาม สัดส่วนนั้นก็จะยังคงเป็นปริศนาตลอดไป ซ่อนไม่ให้ทุกคนเห็น และ นักคณิตศาสตร์เรียกว่าไม่มีเหตุผล”

4. Pacioli เปรียบเทียบการอยู่ทั่วไปทุกหนทุกแห่งและการเปลี่ยนแปลงไม่ได้ของพระเจ้ากับความคล้ายคลึงในตนเองซึ่งสัมพันธ์กับอัตราส่วนทองคำ: มูลค่าของมันจะไม่เปลี่ยนแปลงเสมอและไม่ขึ้นอยู่กับความยาวของส่วนซึ่งแบ่งออกเป็นสัดส่วนที่เหมาะสมหรือกับ ขนาดของรูปห้าเหลี่ยมปกติ ซึ่งคำนวณอัตราส่วนของความยาว

5. เหตุผลที่ห้าแสดงให้เห็นว่า Pacioli มีมุมมองแบบสงบเกี่ยวกับการเป็นมากกว่าตัว Plato เอง Pacioli ให้เหตุผลว่าเช่นเดียวกับที่พระเจ้าประทานชีวิตแก่จักรวาลผ่านทางแก่นสารที่สะท้อนอยู่ในรูปทรงสิบสองหน้า อัตราส่วนทองคำก็ให้ชีวิตแก่รูปทรงสิบสองหน้านั้น เนื่องจากเป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างรูปทรงสิบสองหน้าโดยไม่มีอัตราส่วนทองคำ Pacioli เสริมว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะเปรียบเทียบของแข็ง Platonic อื่นๆ (สัญลักษณ์ของน้ำ ดิน ไฟ และอากาศ) ด้วยกันโดยไม่ต้องอาศัยอัตราส่วนทองคำ
ในหนังสือเล่มนี้ Pacioli พูดจาโผงผางเกี่ยวกับคุณสมบัติของอัตราส่วนทองคำอยู่ตลอดเวลา เขาวิเคราะห์ 13 สิ่งที่เรียกว่า "ผลกระทบ" ของ "สัดส่วนของพระเจ้า" ตามลำดับ และคุณลักษณะของ "ผลกระทบ" เหล่านี้แต่ละคำ เช่น "มีมาแต่กำเนิด" "มีเอกลักษณ์" "มหัศจรรย์" "สูงสุด" ฯลฯ ตัวอย่างเช่น " เอฟเฟกต์” ที่สี่เหลี่ยมสีทองสามารถจารึกไว้ใน icosahedron ได้ (รูปที่ 22) เขาเรียกว่า “เข้าใจยาก” เขาหยุดที่ 13 "เอฟเฟกต์" โดยสรุปว่า "รายการนี้จะต้องเสร็จสิ้นเพื่อความรอดของจิตวิญญาณ" เนื่องจากมีคน 13 คนที่นั่งอยู่ที่โต๊ะในช่วงพระกระยาหารมื้อสุดท้าย

ไม่ต้องสงสัยเลยว่า Pacioli สนใจในการวาดภาพเป็นอย่างมาก และจุดประสงค์ของการสร้างบทความเรื่อง "On Divine Proportion" ส่วนหนึ่งก็เพื่อฝึกฝนพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ของวิจิตรศิลป์ ในหน้าแรกของหนังสือ Pacioli แสดงความปรารถนาที่จะเปิดเผย "ความลับ" ของรูปแบบฮาร์มอนิกให้ศิลปินเห็นผ่านอัตราส่วนทองคำ เพื่อให้มั่นใจว่างานของเขามีความน่าดึงดูดใจ Pacioli จึงใช้บริการของนักวาดภาพประกอบที่เก่งที่สุดที่นักเขียนทุกคนใฝ่ฝัน: Leonardo da Vinci เองได้จัดเตรียมหนังสือที่มีภาพวาดรูปทรงหลายเหลี่ยม 60 ภาพทั้งในรูปแบบของ "โครงกระดูก" (รูปที่ 51) และใน รูปร่างของวัตถุแข็ง (รูปที่ 52) ไม่มีคำถามเกี่ยวกับความกตัญญู - Pacioli เขียนเกี่ยวกับ Leonardo และการมีส่วนร่วมของเขาในหนังสือเช่นนี้:“ จิตรกรและปรมาจารย์ด้านมุมมองที่ดีที่สุด, สถาปนิก, นักดนตรีที่เก่งที่สุด, ชายผู้มีคุณธรรมที่เป็นไปได้ทั้งหมด - Leonardo da Vinci ผู้คิดค้นและ ดำเนินการชุดภาพแผนผังของตัวเรขาคณิตปกติ " ยอมรับว่าตัวข้อความเองไม่บรรลุเป้าหมายที่สูงส่งตามที่ระบุไว้ แม้ว่าหนังสือเล่มนี้จะเริ่มต้นด้วยคำด่าที่น่าตื่นเต้น แต่สิ่งที่ตามมาคือชุดสูตรทางคณิตศาสตร์ที่ค่อนข้างธรรมดา ซึ่งเจือจางด้วยคำจำกัดความทางปรัชญาอย่างไม่ใส่ใจ

ข้าว. 51

ข้าว. 52
หนังสือเล่มที่สองของบทความ "On Divine Proportion" อุทิศให้กับอิทธิพลของอัตราส่วนทองคำต่อสถาปัตยกรรมและการสำแดงของมันในโครงสร้างของร่างกายมนุษย์ บทความของ Pacioli มีพื้นฐานมาจากงานของสถาปนิกชาวโรมัน Marcus Vitruvius Pollio (ประมาณ 70–25 ปีก่อนคริสตกาล) วิทรูเวียส เขียนว่า:
จุดศูนย์กลางของร่างกายมนุษย์ตามธรรมชาติคือสะดือ ท้ายที่สุดแล้ว หากบุคคลหนึ่งนอนคว่ำหน้าและกางแขนและขาออก และวางเข็มทิศไว้บนสะดือ นิ้วและนิ้วเท้าของเขาก็จะสัมผัสกับวงกลมที่ล้อมรอบไว้ และเช่นเดียวกับที่ร่างกายมนุษย์ประกอบเข้ากับวงกลม คุณก็สามารถหาสี่เหลี่ยมจัตุรัสออกมาได้ ท้ายที่สุดแล้ว ถ้าเราวัดระยะห่างจากฝ่าเท้าถึงด้านบนของศีรษะ แล้วใช้การวัดนี้กับแขนที่เหยียดออก ปรากฎว่าความกว้างของรูปเท่ากับความสูงทุกประการ ดังในกรณีของ พื้นผิวเรียบที่มีรูปร่างเหมือนสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สมบูรณ์แบบ
นักวิชาการยุคเรอเนซองส์ถือว่าข้อความนี้เป็นข้อพิสูจน์เพิ่มเติมถึงความเชื่อมโยงระหว่างพื้นฐานทางธรรมชาติและเรขาคณิตของความงาม และสิ่งนี้นำไปสู่การสร้างแนวคิดของวิทรูเวียนแมน ซึ่งเลโอนาร์โดบรรยายได้อย่างสวยงามมาก (รูปที่ 53 ปัจจุบันภาพวาดถูกเก็บไว้ใน หอศิลป์ Accademia ในเมืองเวนิส) ในทำนองเดียวกัน หนังสือของ Pacioli เริ่มต้นด้วยการอภิปรายเกี่ยวกับสัดส่วนของร่างกายมนุษย์ "เนื่องจากในร่างกายมนุษย์เราสามารถหาสัดส่วนได้ทุกประเภท ซึ่งเปิดเผยโดยพระประสงค์ของผู้ทรงอำนาจผ่านความลับที่ซ่อนอยู่ของธรรมชาติ"

ข้าว. 53
ในวรรณคดีคุณมักจะพบข้อความที่ Pacioli เชื่อว่าเชื่อว่าอัตราส่วนทองคำเป็นตัวกำหนดสัดส่วนของงานศิลปะทั้งหมด แต่ในความเป็นจริงแล้วไม่ได้เป็นเช่นนั้นเลย เมื่อพูดถึงสัดส่วนและโครงสร้างภายนอก Pacioli ส่วนใหญ่จะหมายถึงระบบวิทรูเวียนซึ่งใช้เศษส่วนอย่างง่าย (ตรรกยะ) นักเขียน Roger Hertz-Fischler ได้สืบย้อนถึงต้นกำเนิดของความเข้าใจผิดที่พบบ่อยว่าอัตราส่วนทองคำคือหลักการวัดสัดส่วนของ Pacioli โดยย้อนกลับไปที่ข้อความเท็จที่ทำขึ้นใน History of Mathematics ฉบับปี 1799 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส Jean Etienne Montucle และ Jerome de Lalande ( ฌอง เอเตียน มอนตูคลา, เจอโรม เดอ ลาลองด์- ประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์)

เล่มที่สามของบทความ On Divine Proportion (หนังสือสั้นสามส่วนเกี่ยวกับเรขาคณิตปกติห้ารูป) โดยพื้นฐานแล้วเป็นการแปลตามตัวอักษรของ Five Regular Polyhedra ของ Piero della Francesca ซึ่งเขียนเป็นภาษาละติน ความจริงที่ว่า Pacioli ไม่เคยกล่าวถึงว่าเขาเป็นเพียงนักแปลหนังสือเล่มนี้ทำให้เกิดการประณามอย่างเผ็ดร้อนจากนักประวัติศาสตร์ศิลปะ Giorgio Vasari วาซารีเขียนเกี่ยวกับปิเอโร เดลลา ฟรานเชสก้า:

ถือเป็นปรมาจารย์ที่หายากในการเอาชนะความยากลำบากของร่างกายปกติตลอดจนคณิตศาสตร์และเรขาคณิต เขาประสบกับความชราภาพด้วยการตาบอดทางร่างกายและความตาย ไม่มีเวลาตีพิมพ์ผลงานที่กล้าหาญของเขาและหนังสือหลายเล่มที่เขาเขียนซึ่งได้แก่ ยังคงเก็บไว้ใน Borgo ในบ้านเกิดของเขา ผู้ที่ควรจะพยายามอย่างสุดความสามารถเพื่อเพิ่มชื่อเสียงและชื่อเสียง เพราะเขาได้เรียนรู้ทุกสิ่งที่เขารู้จากเขา พยายามเหมือนคนร้ายและคนชั่วร้าย เพื่อทำลายชื่อของปิเอโรต์ ที่ปรึกษาของเขา และยึดครอง สำหรับตัวเขาเองเกียรติยศที่ควรจะเป็นของ Pierrot เพียงผู้เดียวโดยปล่อยออกมาในนามของเขาเองคือน้องชาย Luca แห่ง Borgo [Pacioli] ผลงานทั้งหมดของชายชราผู้น่าเคารพผู้นี้ซึ่งนอกเหนือจากวิทยาศาสตร์ที่กล่าวมาข้างต้นแล้วยังเป็น จิตรกรที่ยอดเยี่ยม - ต่อ. เอ็ม. โกลบาเชวา)
Pacioli สามารถถือเป็นผู้ลอกเลียนแบบได้หรือไม่? เป็นไปได้มาก แม้ว่าใน " สรุป“เขายังคงแสดงความเคารพต่อ Pierrot โดยเรียกเขาว่า “พระมหากษัตริย์ในการวาดภาพในยุคของเรา” และเป็นคนที่ “คุ้นเคยกับผู้อ่านจากผลงานมากมายเกี่ยวกับศิลปะการวาดภาพและพลังของเส้นในมุมมอง”

อาร์ เอ็มเม็ตต์ เทย์เลอร์ (พ.ศ. 2432-2499) ตีพิมพ์หนังสือในปี พ.ศ. 2485 ชื่อ “ไม่มีหนทางของกษัตริย์” Luca Pacioli และเวลาของเขา" ( อาร์. เอ็มเม็ตต์ เทย์เลอร์- ไม่มีรอยัลโรด: Luca Pacioli และ His Times) ในหนังสือเล่มนี้ Taylor ปฏิบัติต่อ Pacioli ด้วยความเห็นอกเห็นใจอย่างยิ่งและปกป้องมุมมองที่ว่า Pacioli อาจไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับเล่มที่สามของบทความเรื่อง On Divine Proportion ตามสไตล์และงานนี้มาจากเขาเท่านั้น

ไม่ว่าสิ่งนี้จะเป็นจริงหรือไม่นั้นไม่ทราบแน่ชัด แต่แน่นอนว่าหากไม่ใช่เพราะ พิมพ์ผลงานของ Pacioli และแนวคิดของ Pierrot และโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ซึ่งไม่ได้ตีพิมพ์ในสื่อสิ่งพิมพ์อาจจะไม่ได้รับชื่อเสียงดังที่ตามมา ยิ่งไปกว่านั้น จนถึงสมัย Pacioli อัตราส่วนทองคำเป็นที่รู้จักภายใต้ชื่อที่น่ากลัว เช่น "อัตราส่วนสุดขีดและค่าเฉลี่ย" หรือ "สัดส่วนที่มีค่าเฉลี่ยและสุดขั้วสองประการ" และแนวคิดนี้เป็นที่รู้จักเฉพาะกับนักคณิตศาสตร์เท่านั้น

การตีพิมพ์ "On the Divine Proportion" ในปี 1509 ทำให้เกิดความสนใจในหัวข้ออัตราส่วนทองคำครั้งใหม่ ตอนนี้แนวคิดได้รับการตรวจสอบอย่างที่พวกเขาพูดด้วยรูปลักษณ์ใหม่: เนื่องจากมีการตีพิมพ์หนังสือเกี่ยวกับเรื่องนี้หมายความว่ามันควรค่าแก่การเคารพ ชื่อของส่วนทองคำนั้นมีความหมายทางเทววิทยาและปรัชญา ( ศักดิ์สิทธิ์สัดส่วน) และสิ่งนี้ยังทำให้อัตราส่วนทองคำไม่ใช่แค่คำถามทางคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังเป็นหัวข้อที่ปัญญาชนทุกประเภทสามารถเจาะลึกได้ และความหลากหลายนี้ขยายออกไปตามกาลเวลาเท่านั้น ในที่สุดด้วยการถือกำเนิดของผลงานของ Pacioli ศิลปินก็เริ่มศึกษาอัตราส่วนทองคำเนื่องจากตอนนี้มีการพูดถึงไม่เพียง แต่ในบทความทางคณิตศาสตร์อย่างเปิดเผยเท่านั้น - Pacioli พูดถึงมันในลักษณะที่แนวคิดนี้สามารถนำมาใช้ได้

ภาพวาดของเลโอนาร์โดสำหรับบทความเรื่อง "On Divine Proportion" ที่วาด (ตามที่ Pacioli กล่าวไว้) "ด้วยมือซ้ายที่อธิบายไม่ได้" ก็มีผลกระทบบางอย่างต่อผู้อ่านเช่นกัน นี่อาจเป็นภาพแรกของรูปทรงหลายเหลี่ยมในรูปแบบโครงร่าง ซึ่งทำให้ง่ายต่อการจินตนาการจากทุกด้าน เป็นไปได้ที่เลโอนาร์โดดึงรูปทรงหลายเหลี่ยมจากแบบจำลองไม้ เนื่องจากเอกสารของสภาฟลอเรนซ์บันทึกว่าเมืองได้ซื้อแบบจำลองไม้ของปาซิโอลีชุดหนึ่งเพื่อนำไปแสดงต่อสาธารณะ เลโอนาร์โดไม่เพียงแต่วาดไดอะแกรมสำหรับหนังสือของ Pacioli เท่านั้น เรายังเห็นภาพร่างของรูปทรงหลายเหลี่ยมทุกชนิดในบันทึกของเขาอีกด้วย มีอยู่ช่วงหนึ่งที่เลโอนาร์โดให้วิธีการโดยประมาณในการสร้างรูปห้าเหลี่ยมปกติ การผสมผสานระหว่างคณิตศาสตร์กับวิจิตรศิลป์ถึงจุดสูงสุดใน " แทรตตาโต เดลลา ปิตตูรา"("บทความเกี่ยวกับจิตรกรรม") ซึ่งรวบรวมโดย Francesco Melzi ผู้ซึ่งสืบทอดต้นฉบับของ Leonardo ตามบันทึกของเขา บทความเริ่มต้นด้วยคำเตือน: “ใครก็ตามที่ไม่ใช่นักคณิตศาสตร์ไม่ควรอ่านผลงานของฉัน!” – คุณแทบจะไม่สามารถหาข้อความดังกล่าวได้ในหนังสือเรียนสมัยใหม่เกี่ยวกับวิจิตรศิลป์!

ภาพวาดของรูปทรงเรขาคณิตจากบทความ "On Divine Proportion" ยังเป็นแรงบันดาลใจให้ Fra Giovanni da Verona สร้างผลงานด้านเทคโนโลยี อินทาร์เซีย- Intarsia เป็นการฝังไม้ชนิดพิเศษบนไม้ ทำให้เกิดเป็นโมเสกแบนที่ซับซ้อน ประมาณปี ค.ศ. 1520 Fra Giovanni ได้สร้างแผงฝังที่มีรูปไอโคซาเฮดรอน ซึ่งเกือบจะแน่นอนโดยใช้ภาพวาดแผนผังของเลโอนาร์โดเป็นแบบจำลอง

เส้นทางของ Leonardo และ Pacioli ข้ามกันหลายครั้งแม้หลังจากเสร็จสิ้นบทความ "On Divine Proportion" ก็ตาม ในเดือนตุลาคม ค.ศ. 1499 ทั้งคู่หนีออกจากมิลานเมื่อถูกกองทัพฝรั่งเศสของพระเจ้าหลุยส์ที่ 12 ยึดครอง จากนั้นพวกเขาก็แวะที่มันตัวและเวนิสช่วงสั้นๆ และตั้งรกรากที่ฟลอเรนซ์สักพัก ในช่วงที่พวกเขาเป็นเพื่อนกัน Pacioli ได้สร้างผลงานทางคณิตศาสตร์อีกสองชิ้นที่ยกย่องชื่อของเขา - การแปลเป็นภาษาละตินของ Euclid's Elements และหนังสือเกี่ยวกับความบันเทิงทางคณิตศาสตร์ที่ยังไม่ได้ตีพิมพ์ การแปลองค์ประกอบโดย Pacioli เป็นเวอร์ชันที่มีคำอธิบายประกอบโดยอิงจากการแปลก่อนหน้านี้โดย Giovanni Campano (1220–1296) ซึ่งพิมพ์ในเมืองเวนิสในปี 1482 (นี่เป็นการแปลครั้งแรก พิมพ์ฉบับ) บรรลุการตีพิมพ์รวบรวมปัญหาและคำพูดทางคณิตศาสตร์ที่สนุกสนาน " เด วิริบัส ควอนติทาติส"("เกี่ยวกับความสามารถของตัวเลข") Pacioli ไม่สามารถทำเช่นนี้ได้ในช่วงชีวิตของเขา - เขาเสียชีวิตในปี 1517 งานนี้เป็นผลมาจากความร่วมมือระหว่าง Pacioli และ Leonardo และบันทึกของ Leonardo เองมีปัญหาเล็กน้อยจากบทความ " เด วิริบัส ควอนติทาติส ».

แน่นอนว่า Fra Luca Pacioli ได้รับการยกย่องไม่ใช่จากความคิดริเริ่มของความคิดทางวิทยาศาสตร์ แต่จากอิทธิพลของเขาที่มีต่อการพัฒนาคณิตศาสตร์โดยทั่วไปและต่อประวัติศาสตร์ของส่วนสีทองโดยเฉพาะ และข้อดีเหล่านี้ของเขาก็ไม่สามารถปฏิเสธได้

เศร้าโศก

การผสมผสานที่น่าสนใจระหว่างความสนใจทางศิลปะและคณิตศาสตร์ก็เป็นลักษณะของนักคิดผู้ยิ่งใหญ่ในยุคฟื้นฟูศิลปวิทยาอีกคนหนึ่งนั่นคือ Albrecht Durer จิตรกรชาวเยอรมันผู้โด่งดัง

Dürer มักถูกมองว่าเป็นศิลปินชาวเยอรมันที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในยุคฟื้นฟูศิลปวิทยา เขาเกิดเมื่อวันที่ 21 พฤษภาคม ค.ศ. 1471 ในเมืองนูเรมเบิร์กซึ่งเป็นจักรวรรดิในตระกูลช่างอัญมณีที่ทำงานอย่างไม่รู้จักเหน็ดเหนื่อย เมื่ออายุ 19 ปี Albrecht แสดงให้เห็นความสามารถที่โดดเด่นในฐานะจิตรกรและช่างแกะสลักไม้ และแซงหน้าอาจารย์ของเขาอย่างมาก ซึ่งเป็นจิตรกรและนักวาดภาพประกอบหนังสือที่ดีที่สุดของนูเรมเบิร์ก Michael Wolgemut ดังนั้น Dürer จึงเดินทางเป็นเวลาสี่ปี และในช่วงเวลานี้เกิดความเชื่อมั่นว่าคณิตศาสตร์ ซึ่งเป็น "วิทยาศาสตร์ทั้งหมดที่มีความแม่นยำ ตรรกะ และกราฟิกที่แม่นยำที่สุด" ควรเป็นองค์ประกอบสำคัญของทัศนศิลป์

เมื่อกลับมาเขาพักที่นูเรมเบิร์กเพียงช่วงเวลาสั้น ๆ แต่ในช่วงเวลานี้เขาได้แต่งงานกับแอกเนสเฟรย์ลูกสาวของช่างฝีมือที่ประสบความสำเร็จจากนั้นก็ออกเดินทางอีกครั้ง - ไปยังอิตาลี - เพื่อขยายขอบเขตอันไกลโพ้นของเขาในทั้งสอง คณิตศาสตร์และวิจิตรศิลป์ เห็นได้ชัดว่าเขาบรรลุเป้าหมายนี้อย่างเต็มที่ระหว่างการเยือนเวนิสในปี 1494–1495 พบปะกับผู้ก่อตั้ง โรงเรียนเวนิสภาพวาดของจิโอวานนี เบลลินี (ราว ค.ศ. 1426–1516) สร้างความประทับใจไม่รู้ลืมให้กับศิลปินหนุ่ม เขาชื่นชมเบลลินีจนสิ้นอายุขัย ในเวลาเดียวกัน Dürer ยังได้พบกับ Jacopo de Barbari คนเดียวกับที่วาดภาพเหมือนของ Luca Pacioli (รูปที่ 50) และด้วยเหตุนี้จึงได้ศึกษาผลงานของ Pacioli เกี่ยวกับคณิตศาสตร์และความสำคัญของมันในวิจิตรศิลป์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง de Barbari ได้แสดงให้Dürerทราบถึงวิธีการสร้างเสื้อผ้าบุรุษและ รูปผู้หญิงโดยใช้วิธีการทางเรขาคณิต และสิ่งนี้ทำให้ Durer ศึกษาสัดส่วนและการเคลื่อนไหวของร่างกายมนุษย์

บางทีDürerอาจได้พบกับ Pacioli ด้วยตนเอง - นี่คือที่โบโลญญาระหว่างการเยือนอิตาลีครั้งที่สอง (1501-1507) ในจดหมายจากครั้งนั้น เขากล่าวถึงการเดินทางไปโบโลญญาว่า “เพื่อประโยชน์ของงานศิลปะ เนื่องจากมีชายคนหนึ่งที่นั่นซึ่งจะสอนศิลปะลับแห่งมุมมองให้ฉัน” ตามที่นักแปลหลายคนระบุว่า "ชายลึกลับจากโบโลญญา" คือ Pacioli แม้ว่าจะมีการเสนอชื่ออื่นแล้วก็ตาม เช่น สถาปนิกที่โดดเด่น Donato di Angelo Bramante (1444–1514) และนักทฤษฎีสถาปัตยกรรม Sebastiano Serlio (1475–1554) ในระหว่างการเดินทางไปอิตาลีครั้งเดียวกัน Dürer ได้พบกับ Jacopo di Barbari อีกครั้ง อย่างไรก็ตามการมาเยือนครั้งที่สองของDürerถูกบดบังด้วยความสงสัยหวาดระแวง: เขากลัวว่าศิลปินคนอื่นที่อิจฉาชื่อเสียงของเขาจะทำร้ายเขา โดยเฉพาะอย่างยิ่งเขาปฏิเสธคำเชิญไปรับประทานอาหารค่ำเพราะกลัวว่ามีคนพยายามวางยาพิษเขา

ตั้งแต่ปี 1495 Dürer แสดงให้เห็นความสนใจอย่างจริงจังในวิชาคณิตศาสตร์ เขาศึกษาเรื่อง Elements มาเป็นเวลานาน (เขาได้รับงานแปลภาษาละตินในเมืองเวนิส แม้ว่าเขาจะไม่รู้จักภาษาละตินเป็นอย่างดีก็ตาม) ผลงานของ Pacioli เกี่ยวกับคณิตศาสตร์และวิจิตรศิลป์ และผลงานที่เชื่อถือได้เกี่ยวกับสถาปัตยกรรม สัดส่วน และมุมมองของโดยสถาปนิกชาวโรมัน Vitruvius และ สถาปนิกและนักทฤษฎีชาวอิตาลี Leon Baptista Alberti (1404 – 1472)

การมีส่วนร่วมของDürerในประวัติศาสตร์อัตราส่วนทองคำประกอบด้วยทั้งงานเขียนและผลงานวิจิตรศิลป์ ในปี พ.ศ. 1525 พระราชนิพนธ์หลักของพระองค์ “ Unterweisung der Messung mit dem Zirkel และ Richtscheit"("บทความเกี่ยวกับการวัดด้วยเข็มทิศและไม้บรรทัด") หนึ่งในหนังสือเล่มแรกๆ เกี่ยวกับคณิตศาสตร์ที่ตีพิมพ์ในประเทศเยอรมนี ในบทความนี้ Dürer บ่นว่าศิลปินจำนวนมากเพิกเฉยต่อเรขาคณิต “โดยปราศจากสิ่งนี้แล้ว ก็ไม่มีใครสามารถเป็นหรือกลายเป็นศิลปินที่สมบูรณ์แบบได้” หนังสือเล่มแรกจากสี่เล่มที่ประกอบเป็นตำราให้ คำแนะนำโดยละเอียดวิธีสร้างเส้นโค้งต่างๆ รวมถึงเกลียวลอการิทึม (เท่ากัน) ซึ่งดังที่เราได้เห็นแล้วว่ามีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับอัตราส่วนทองคำ หนังสือเล่มที่สองประกอบด้วยวิธีการที่แน่นอนและโดยประมาณในการสร้างรูปหลายเหลี่ยมต่างๆ รวมถึงวิธีสร้างรูปห้าเหลี่ยมปกติสองวิธี (วิธีหนึ่งที่แน่นอนและอีกวิธีหนึ่งโดยประมาณ) หนังสือเล่มที่สี่กล่าวถึงของแข็งสงบ เช่นเดียวกับรูปทรงหลายเหลี่ยมอื่นๆ ซึ่งบางส่วนที่ Dürer คิดค้นขึ้นเอง และทฤษฎีของเปอร์สเปกทีฟและไคอาโรสคูโร หนังสือของดูเรอร์ไม่ได้มีจุดมุ่งหมายเพื่อเป็นตำราเรียนเกี่ยวกับเรขาคณิต โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เขาให้ตัวอย่างการพิสูจน์เพียงตัวอย่างเดียวเท่านั้น ในทางตรงกันข้าม Dürer มักจะเริ่มต้นด้วยการประยุกต์ใช้งานจริงเสมอ จากนั้นจึงแสดงรายการข้อมูลทางทฤษฎีขั้นพื้นฐานที่สุด หนังสือเล่มนี้ยังมีตัวอย่างแรกของการพัฒนารูปทรงหลายเหลี่ยม การพัฒนาคือการวาดภาพบนเครื่องบินที่แสดงพื้นผิวของรูปทรงหลายเหลี่ยมในรูปแบบที่สามารถตัดและพับเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมสามมิติจากรูปที่ได้ ภาพวาดของรูปทรงสิบสองหน้า (ดังที่เราทราบด้วยอัตราส่วนทองคำ) ซึ่งสร้างโดย Dürer สามารถเห็นได้ในรูปที่ 1 54.

ข้าว. 54
ความสนใจในการแกะสลักและการแกะสลักไม้ รวมกับความสนใจในคณิตศาสตร์ สะท้อนให้เห็นในงานเชิงเปรียบเทียบอันลึกลับของ Dürer เรื่อง Melancholy I (รูปที่ 55) นี่เป็นหนึ่งในสามงานแกะสลักอันงดงาม (อีกสองชิ้นมีชื่อว่า "อัศวิน ความตายและปีศาจ" และ "นักบุญเจอโรมในห้องขังของเขา") สันนิษฐานว่า Durer สร้างภาพแกะสลักนี้ระหว่างการโจมตีด้วยความเศร้าโศกหลังจากแม่ของเขาเสียชีวิต บุคคลสำคัญของ "Melancholia" เป็นผู้หญิงมีปีกนั่งอยู่บนเชิงเทินหินด้วยความสิ้นหวังและไม่แยแสอย่างสมบูรณ์ ในมือขวาของเธอเธอถือเข็มทิศ ขาที่เปิดกว้างราวกับเป็นการวัด เกือบทุกอย่างที่ปรากฎในภาพแกะสลักนี้มีความซับซ้อน ความหมายเชิงสัญลักษณ์และบทความทั้งหมดมีไว้เพื่อการตีความ ตัวอย่างเช่น เชื่อกันว่าหม้อที่อยู่ตรงกลางด้านซ้ายและตาชั่งที่อยู่ด้านบนเป็นสัญลักษณ์ของการเล่นแร่แปรธาตุ “สี่เหลี่ยมวิเศษ” ที่มุมขวาบน (นั่นคือ สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ผลรวมของตัวเลขในแต่ละแถว คอลัมน์ แนวทแยง และผลรวมของตัวเลขที่มุมทั้งสี่และผลรวมของตัวเลขกลางทั้งสี่คือ 34 - อย่างไรก็ตาม นี่คือหมายเลขฟีโบนัชชี) ซึ่งเป็นสัญลักษณ์ของคณิตศาสตร์อย่างชัดเจน (รูปที่ .56) ตัวเลขสองตัวตรงกลางแถวล่างคือ 1514 ซึ่งเป็นวันที่สร้างการแกะสลัก จัตุรัสมหัศจรรย์น่าจะเป็นผลจากอิทธิพลของ Pacioli เนื่องจากในบทความของ Pacioli “ เดอ วิริบัส» มอบสี่เหลี่ยมเวทย์มนตร์ทั้งชุด เห็นได้ชัดว่าความหมายหลักของการแกะสลักด้วยรูปทรงเรขาคณิตกุญแจค้างคาวทิวทัศน์ทะเลและอื่น ๆ คือความเศร้าโศกที่เกาะกุมศิลปินหรือนักคิดติดหล่มอยู่ในความสงสัยและความคิดเกี่ยวกับสิ่งที่เขาทำอยู่และในขณะเดียวกันเวลา - นาฬิกาทรายที่ ด้านบน - ไม่หยุดนิ่ง

ข้าว. 55

ข้าว. 56
รูปทรงหลายเหลี่ยมแปลก ๆ ที่อยู่ทางด้านซ้ายตรงกลางเป็นประเด็นที่มีการพูดคุยกันอย่างจริงจังและพยายามสร้างใหม่หลายครั้ง เมื่อมองแวบแรก ดูเหมือนว่าจะเป็นลูกบาศก์ที่มีมุมสองมุมที่ตรงข้ามกันถูกตัดออก (ซึ่งกระตุ้นให้เกิดการตีความแบบฟรอยด์) แต่ในความเป็นจริงกลับไม่เป็นเช่นนั้น นักวิจัยส่วนใหญ่เห็นพ้องกันว่านี่คือสิ่งที่เรียกว่าสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน (รูปร่างเรขาคณิตที่มีหน้าหกหน้า ซึ่งแต่ละหน้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ดูรูปที่ 57) โดยตัดเพื่อให้สามารถจารึกไว้ในทรงกลมได้ มันวางอยู่บนใบหน้าสามเหลี่ยมด้านใดด้านหนึ่ง โดยด้านหน้าชี้ไปที่จัตุรัสวิเศษโดยตรง มุมของใบหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมก็เป็นประเด็นถกเถียงเช่นกัน นักวิทยาศาสตร์หลายคนสันนิษฐานว่าอุณหภูมิเหล่านั้นอยู่ที่ 72 องศา ซึ่งจะเชื่อมโยงตัวเลขดังกล่าวกับอัตราส่วนทองคำ (ดูรูปที่ 25) แต่นักผลึกศาสตร์ชาวดัตช์ เค. จี. แมคกิลลาฟรี สรุปจากการวิเคราะห์เปอร์สเป็คทีฟว่ามุมนั้นอยู่ที่ 80 องศา คุณสมบัติลึกลับของตัวเรขาคณิตนี้อธิบายไว้อย่างสมบูรณ์แบบในบทความโดย T. Lynch ซึ่งตีพิมพ์ในปี 1982 ใน " วารสารสถาบัน Warburg และ Courtaud- นี่คือข้อสรุปที่ผู้เขียนมาถึง: “เนื่องจากการพรรณนาถึงรูปทรงหลายเหลี่ยมถือเป็นงานหลักอย่างหนึ่งของเรขาคณิตเปอร์สเปคทีฟ Dürer ซึ่งต้องการพิสูจน์ความรู้ของเขาในด้านนี้ แทบจะไม่สามารถหาวิธีที่ดีกว่าสำหรับสิ่งนี้ได้มากไปกว่าการวางลงบนตัวเขา การแกะสลักตัวเรขาคณิต ซึ่งใหม่และบางทีอาจมีเอกลักษณ์ด้วยซ้ำ แล้วปล่อยให้เป็นหน้าที่ของเรขาคณิตอื่นๆ เพื่อตัดสินใจว่ามันคืออะไรและมาจากไหน”

ข้าว. 57
ยกเว้นผลงานที่เชื่อถือได้ของ Pacioli และงานวิจัยของศิลปิน Leonardo และ Durer ที่จุดตัดของคณิตศาสตร์และวิจิตรศิลป์ ไม่มีอะไรใหม่เกิดขึ้นเป็นพิเศษในประวัติศาสตร์ของอัตราส่วนทองคำในศตวรรษที่ 16 แม้ว่านักคณิตศาสตร์หลายคน รวมถึงราฟาเอล บอมเบลลี (ค.ศ. 1526–1572) และฟรองซัวส์ ฟอย (ฟลุสเซตส์) (ค.ศ. 1502–1594) อาศัยอัตราส่วนทองคำในการแก้ปัญหาที่หลากหลาย รวมถึงปัญหาที่เกี่ยวข้องกับรูปห้าเหลี่ยมปกติและของแข็งพลาโตนิก แต่ที่น่าสนใจกว่า แอปพลิเคชันความสัมพันธ์ของเราปรากฏเฉพาะในช่วงปลายศตวรรษนี้เท่านั้น อย่างไรก็ตาม ผลงานของ Pacioli, Dürer และนักวิทยาศาสตร์คนอื่นๆ ได้ฟื้นความสนใจในคำสอนของ Plato และ Pythagoras จู่ๆ นักคิดยุคเรอเนซองส์ก็มองเห็นโอกาสที่แท้จริงในการเชื่อมโยงคณิตศาสตร์และตรรกศาสตร์เชิงเหตุผลเข้ากับโครงสร้างของจักรวาล - ด้วยจิตวิญญาณแห่งโลกทัศน์ของเพลโต แนวคิดเช่น "สัดส่วนของพระเจ้า" ในด้านหนึ่งสร้างสะพานเชื่อมระหว่างคณิตศาสตร์และโครงสร้างของจักรวาล และอีกด้านหนึ่ง ทำให้เกิดความเชื่อมโยงระหว่างฟิสิกส์ เทววิทยา และอภิปรัชญา และการผสมผสานอันน่าหลงใหลระหว่างคณิตศาสตร์และเวทย์มนต์นี้ได้ถูกรวบรวมไว้อย่างชัดเจนเป็นพิเศษในความคิดและผลงานของเขาโดยไม่มีใครอื่นนอกจาก Johannes Kepler

ความลึกลับ Cosmographicum

โยฮันเนส เคปเลอร์ได้รับการจดจำส่วนใหญ่ในฐานะนักดาราศาสตร์ที่โดดเด่น ซึ่งทิ้งกฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ทั้งสามไว้ให้เรา เหนือสิ่งอื่นใด ที่เป็นชื่อของเขา อย่างไรก็ตาม เคปเลอร์ยังเป็นนักคณิตศาสตร์ที่มีพรสวรรค์ เป็นนักอภิปรัชญาที่ละเอียดอ่อน และ นักเขียนที่อุดมสมบูรณ์- เขาเกิดในช่วงเวลาแห่งการเปลี่ยนแปลงครั้งใหญ่ทางการเมืองและสงครามศาสนา ซึ่งส่งผลกระทบอย่างรุนแรงต่อการศึกษา ชีวิต และความคิดของเขา เคปเลอร์เกิดเมื่อวันที่ 27 ธันวาคม พ.ศ. 2114 ในประเทศเยอรมนี ในเมือง Weil der Stadt ซึ่งเป็นเมืองหลวงในบ้านของ Sebald ปู่ของเขา ไฮน์ริช พ่อของโยฮันน์ ซึ่งเป็นทหารรับจ้าง ใช้เวลาในวัยเด็กของลูกชายเกือบทั้งหมดในการรณรงค์ และในระหว่างที่เขาอยู่ช่วงสั้นๆ ตามคำบอกเล่าของเคปเลอร์ เขาประพฤติตัว "ก้าวร้าว รุนแรง และทะเลาะวิวาทกัน" เมื่อเคปเลอร์อายุประมาณ 16 ปี พ่อของเขาออกจากบ้านและไม่มีใครพบเห็นอีกเลย เห็นได้ชัดว่าเขามีส่วนร่วมในการเดินทางทางทะเลบางประเภทโดยเป็นส่วนหนึ่งของกองเรือของอาณาจักรเนเปิลส์และเสียชีวิตระหว่างทางกลับบ้าน ด้วยเหตุนี้ เคปเลอร์จึงได้รับการเลี้ยงดูโดยแม่ของเขา Katharina ซึ่งทำงานในโรงแรมที่พ่อของเธอเก็บไว้เป็นหลัก Katarina เองเป็นผู้หญิงแปลก ๆ ที่ค่อนข้างไม่เป็นที่พอใจ เธอรวบรวมสมุนไพรและเชื่อมั่นในคุณสมบัติการรักษาที่มีมนต์ขลังของพวกเขา การรวมกันของสถานการณ์ - ความคับข้องใจส่วนตัวการนินทาที่โชคร้ายและความโลภ - ในที่สุดก็นำไปสู่ความจริงที่ว่า Katharina ซึ่งอยู่ในวัยชราแล้วในปี 1620 ถูกจับกุมในข้อหาใช้เวทมนตร์ ข้อกล่าวหาดังกล่าวไม่ใช่เรื่องแปลกในเวลานั้น ระหว่างปี 1615 ถึง 1629 มีผู้หญิงอย่างน้อย 38 คนถูกประหารชีวิตด้วยเวทมนตร์ในไวล์ เดอร์ ชตัดท์ เคปเลอร์เป็นบุคคลที่มีชื่อเสียงอยู่แล้วในขณะที่แม่ของเขาถูกจับกุม และข่าวการพิจารณาคดีของแม่ทำให้เขา “เศร้าโศกอย่างสุดจะพรรณนา” อันที่จริง เขารับช่วงต่อสู้คดีของเธอในศาล และขอความช่วยเหลือจากคณะนิติศาสตร์ของมหาวิทยาลัยทูบิงเงิน กระบวนการนี้ใช้เวลานาน แต่ในท้ายที่สุดข้อกล่าวหาต่อ Katharina Kepler ก็ถูกยกเลิกไป ส่วนใหญ่ต้องขอบคุณคำให้การของเธอเอง ซึ่งถูกคุกคามจากการทรมานอย่างสาหัส Katharina ดื้อรั้นปฏิเสธความผิดของเธอ เรื่องราวนี้สื่อถึงบรรยากาศที่งานทางวิทยาศาสตร์ของเคปเลอร์เกิดขึ้นและความคิดที่แพร่หลายในสมัยนั้น เคปเลอร์ถือกำเนิดในสังคมที่เพียงครึ่งศตวรรษก่อนหน้านี้ เคยประสบกับการจากไปของมาร์ติน ลูเทอร์จากคริสตจักรคาทอลิก และคำประกาศของเขาว่าสิ่งเดียวที่พระเจ้าต้องการจากบุคคลคือศรัทธา สังคมนี้ยังไม่ได้จมดิ่งสู่ความบ้าคลั่งนองเลือดของสงครามสามสิบปี สิ่งหนึ่งที่น่าประหลาดใจคือการที่เคปเลอร์ชายจากสภาพแวดล้อมเช่นนี้ซึ่งมีขึ้น ๆ ลง ๆ และชีวิตที่ปั่นป่วนเช่นนี้สามารถค้นพบสิ่งที่หลายคนคิดว่าการกำเนิดที่แท้จริงของวิทยาศาสตร์สมัยใหม่

เคปเลอร์เริ่มการวิจัยทางวิทยาศาสตร์ในขณะที่ยังอยู่ที่โรงเรียนที่อารามเมาลบรอนน์ จากนั้นในปี 1589 เขาก็ได้รับทุนจากดยุคแห่งเวือร์ทเทมแบร์ก และได้รับโอกาสเข้าเรียนเซมินารีนิกายลูเธอรันที่มหาวิทยาลัยทูบิงเงิน เขาสนใจมากที่สุดในสองหัวข้อ เทววิทยาและคณิตศาสตร์ ในใจของเขาพวกเขาเชื่อมโยงกันอย่างใกล้ชิด ในเวลานั้นดาราศาสตร์ถือว่าเป็นส่วนหนึ่งของคณิตศาสตร์ และที่ปรึกษาด้านดาราศาสตร์ของเคปเลอร์คือไมเคิล เมสต์ลิน นักวิทยาศาสตร์ผู้มีชื่อเสียง (ค.ศ. 1550–1631); เคปเลอร์ยังคงติดต่อกับเขาแม้ว่าจะออกจากทือบิงเงินแล้วก็ตาม ในระหว่างการสอนอย่างเป็นทางการ แน่นอนว่าเมสต์ลินสอนเฉพาะระบบปโตเลมีซึ่งเป็นศูนย์กลางทางภูมิศาสตร์แบบดั้งเดิมเท่านั้น ซึ่งดวงจันทร์ ดาวพุธ ดาวศุกร์ ดวงอาทิตย์ ดาวอังคาร ดาวพฤหัสบดี และดาวเสาร์โคจรรอบโลกที่อยู่นิ่ง อย่างไรก็ตาม เมสต์ลินตระหนักดีถึงระบบเฮลิโอเซนทริกของนิโคเลาส์ โคเปอร์นิคัส ซึ่งข้อมูลที่ตีพิมพ์ในปี 1543 และได้พูดคุยเป็นการส่วนตัวเกี่ยวกับข้อดีของระบบนี้กับเคปเลอร์นักเรียนคนโปรดของเขา ตามระบบโคเปอร์นิคัส ดาวเคราะห์ 6 ดวง (รวมถึงโลก แต่ไม่รวมดวงจันทร์ ซึ่งไม่ถือว่าเป็นดาวเคราะห์อีกต่อไป แต่เป็น "ดาวเทียม") โคจรรอบดวงอาทิตย์ ในทำนองเดียวกันอย่างมากกับที่จากรถที่กำลังเคลื่อนที่ คุณสามารถสังเกตการเคลื่อนที่สัมพัทธ์ของรถคันอื่นๆ เท่านั้น ในระบบโคเปอร์นิกัน การเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ในหลายๆ วิธีเพียงสะท้อนการเคลื่อนที่ของโลกเท่านั้น

ดูเหมือนว่าเคปเลอร์จะชอบระบบโคเปอร์นิคัสทันที แนวคิดพื้นฐานของจักรวาลวิทยานี้ตามที่ดวงอาทิตย์ใจกลางถูกล้อมรอบด้วยทรงกลมของดาวฤกษ์คงที่โดยมีพื้นที่เหลือบางส่วนระหว่างดวงอาทิตย์และทรงกลมนั้นสอดคล้องกับแนวคิดของจักรวาลของเคปเลอร์ทุกประการ เคปเลอร์เป็นคนเคร่งศาสนามากและเชื่อว่าจักรวาลเป็นภาพสะท้อนของผู้สร้าง ความสามัคคีของดวงอาทิตย์ดวงดาวและช่องว่างระหว่างพวกเขาเป็นสัญลักษณ์ที่เป็นสัญลักษณ์ของพระตรีเอกภาพ - พ่อพระบุตรและพระวิญญาณบริสุทธิ์สำหรับเขา

เมื่อเคปเลอร์สำเร็จการศึกษาด้วยเกียรตินิยมจากคณะวิจิตรศิลป์และพร้อมที่จะสำเร็จการศึกษาด้านเทววิทยา มีเหตุการณ์หนึ่งเกิดขึ้นที่เปลี่ยนการเลือกอาชีพของเขา เขาไม่ใช่ศิษยาภิบาล แต่เป็นครูสอนคณิตศาสตร์ โรงเรียนสอนศาสนานิกายโปรเตสแตนต์ในเมืองกราซของออสเตรียขอให้มหาวิทยาลัยทูบิงเกนแนะนำครูคณิตศาสตร์คนหนึ่งที่เสียชีวิตกะทันหัน และมหาวิทยาลัยก็เลือกเคปเลอร์ ในเดือนมีนาคม ค.ศ. 1594 เคปเลอร์ออกเดินทางอย่างไม่เต็มใจไปยังกราซในจังหวัดสติเรียของออสเตรีย ใช้เวลาเดินทางหนึ่งเดือนเต็มๆ

เมื่อตระหนักว่าโชคชะตาได้กำหนดอาชีพนักคณิตศาสตร์ให้กับเขา เคปเลอร์จึงตั้งใจที่จะทำหน้าที่คริสเตียนของเขาให้สำเร็จตามที่เขาจินตนาการไว้ นั่นคือ เพื่อทำความเข้าใจการสร้างองค์พระผู้เป็นเจ้า ซึ่งเป็นโครงสร้างของจักรวาล ดังนั้นเขาจึงศึกษาการแปลองค์ประกอบและผลงานของเรขาคณิตอเล็กซานเดรียน Apollonius และ Pappus ตามหลักการพื้นฐานของระบบเฮลิโอเซนตริกของโคเปอร์นิคัส เคปเลอร์ตัดสินใจค้นหาคำตอบสำหรับคำถามหลักสองข้อ: เหตุใดจึงมีดาวเคราะห์หกดวงอย่างแน่นอน และอะไรเป็นตัวกำหนดระยะห่างระหว่างวงโคจรของดาวเคราะห์อย่างแน่นอน คำถามว่า "ทำไม" และ "อะไร" เป็นเรื่องใหม่สำหรับดาราศาสตร์ ต่างจากรุ่นก่อน ๆ ของเขาที่พอใจเพียงแค่สังเกตตำแหน่งที่สังเกตได้ของดาวเคราะห์ เคปเลอร์พยายามหาทฤษฎีที่จะอธิบายทุกสิ่ง Kepler อธิบายแนวทางใหม่ของเขา ซึ่งเข้าถึงระดับใหม่ของความอยากรู้อยากเห็นได้อย่างสวยงามมาก:

ในการวิจัยทางจิตใดๆ มันเกิดขึ้นที่เราเริ่มต้นด้วยสิ่งที่กระทบความรู้สึก จากนั้นด้วยโครงสร้างของมัน จิตใจจึงขึ้นไปสู่จุดสูงสุด ไปสู่สิ่งที่ไม่สามารถเข้าใจได้ ไม่ว่าประสาทสัมผัสของเราจะเฉียบพลันเพียงใดก็ตาม สิ่งเดียวกันนี้เกิดขึ้นในการศึกษาทางดาราศาสตร์ เมื่อเรารับรู้ด้วยตาของเราก่อนถึงตำแหน่งที่แตกต่างกันของดาวเคราะห์ในเวลาที่ต่างกัน จากนั้นตรรกะก็เข้ามามีบทบาท และจากการสังเกตเหล่านี้ ชักนำจิตใจให้เข้าใจโครงสร้างของจักรวาล .
อย่างไรก็ตาม เคปเลอร์ถามคำถามอีกข้อ: พระเจ้าทรงออกแบบจักรวาลของพระองค์ด้วยเครื่องมืออะไร ความคิดแรกซึ่งต่อมาได้พัฒนาเป็นคำตอบที่น่าอัศจรรย์อย่างยิ่งสำหรับคำถามเกี่ยวกับจักรวาลเกิดขึ้นกับเคปเลอร์เมื่อวันที่ 19 กรกฎาคม ค.ศ. 1595 เมื่อเขาพยายามอธิบายการรวมตัวกันของดาวเคราะห์ชั้นนอก - ดาวพฤหัสบดีและดาวเสาร์ (ตำแหน่งที่เทห์ฟากฟ้าสองดวงมี พิกัดท้องฟ้าเดียวกัน) โดยทั่วไป เคปเลอร์เข้าใจสิ่งนี้: หากคุณเขียนสามเหลี่ยมด้านเท่าในวงกลม (เพื่อให้จุดยอดอยู่บนวงกลม) แล้วเขียนวงกลมอีกวงหนึ่งในสามเหลี่ยมนี้ (เพื่อให้แตะจุดกึ่งกลางของด้านข้าง ดูรูปที่ 1) 58) ความสัมพันธ์ระหว่างรัศมีของวงกลมที่ใหญ่กว่ากับรัศมีของวงกลมที่เล็กกว่าจะใกล้เคียงกับอัตราส่วนของขนาดวงโคจรของดาวเสาร์ต่อขนาดของวงโคจรของดาวพฤหัสบดี เคปเลอร์ตัดสินใจว่าเพื่อให้ได้วงโคจรของดาวอังคาร (ดาวเคราะห์ดวงถัดไปที่อยู่ใกล้ดวงอาทิตย์มากขึ้น) อย่างต่อเนื่องให้เหตุผลด้วยจิตวิญญาณเดียวกันจำเป็นต้องจารึกรูปทรงเรขาคณิตต่อไปนี้นั่นคือสี่เหลี่ยมจัตุรัสในวงกลมเล็ก ๆ อย่างไรก็ตามขนาดที่ต้องการไม่ได้ผล เคปเลอร์ไม่ยอมแพ้และเนื่องจากเขาได้ก้าวเข้าสู่เส้นทางแห่งวิธีคิดแบบสงบแล้ว - เขาเชื่อมั่นว่า "พระเจ้าเรขาคณิต" - เขาจึงใช้ขั้นตอนทางเรขาคณิตถัดไปโดยธรรมชาติและหันไปหาวัตถุสามมิติ จากผลของการฝึกจิตนี้ เคปเลอร์จึงหันมาใช้รูปทรงเรขาคณิตที่เกี่ยวข้องกับอัตราส่วนทองคำเป็นครั้งแรก

ข้าว. 58
คำตอบสำหรับคำถามสองข้อแรกที่ครอบครองเคปเลอร์นั้นมีให้ในบทความแรกของเขาเรื่อง “ ความลึกลับ Cosmographicum"("Cosmographic Riddle") ซึ่งตีพิมพ์ในปี 1597 ชื่อเต็มที่ให้ไว้ในหน้าชื่อเรื่องของหนังสือ (รูปที่ 59 แม้ว่าวันที่ตีพิมพ์คือปี 1596 แต่หนังสือเล่มนี้ก็ไม่ได้รับการตีพิมพ์จนกว่าจะถึงปีถัดไป) อ่านว่า: “บทนำเบื้องต้นเกี่ยวกับการคาดเดาเกี่ยวกับจักรวาลวิทยา ซึ่งมีปริศนาสากลแห่งความน่ายินดี สัดส่วนของทรงกลมท้องฟ้า และแท้จริงและแท้ทำให้เกิดขนาด ปริมาณ และการเคลื่อนที่เป็นระยะของสวรรค์ พิสูจน์โดยของแข็งเรขาคณิตปกติห้าก้อน”

ข้าว. 59
คำตอบสำหรับคำถามว่าทำไมเคปเลอร์ถึงมีดาวเคราะห์หกดวงนั้นง่ายมาก: เนื่องจากมีของแข็ง Platonic ปกติห้าดวงพอดี หากเราพิจารณาว่ามันกำหนดช่องว่างระหว่างดาวเคราะห์ เราจะได้ช่องว่างหกช่อง โดยนับขอบเขตทรงกลมด้านนอก - สวรรค์ที่มีดาวฤกษ์คงที่ นอกจากนี้ แบบจำลองของเคปเลอร์ยังได้รับการออกแบบเพื่อตอบคำถามเรื่องขนาดของวงโคจรอีกด้วย นี่คือวิธีที่นักวิทยาศาสตร์เขียนเอง:
ทรงกลมโลกคือการวัดวงโคจรอื่นๆ ทั้งหมด วาดทรงสิบสองหน้ารอบๆ ทรงกลมที่อยู่รอบๆ มันจะเป็นทรงกลมของดาวอังคาร อธิบายจัตุรมุขรอบดาวอังคาร ทรงกลมที่อยู่รอบๆ จะเป็นทรงกลมของดาวพฤหัสบดี อธิบายลูกบาศก์รอบดาวพฤหัสบดี ทรงกลมที่อยู่รอบๆ จะเป็นทรงกลมของดาวเสาร์ ตอนนี้ใส่รูปทรงโคซาเฮดรอนเข้าไปในวงโคจรของโลก ทรงกลมที่จารึกไว้นั้นจะเป็นทรงกลมของดาวศุกร์ จารึกรูปแปดด้านไว้ในวงโคจรของดาวศุกร์ ทรงกลมที่ถูกจารึกไว้นั้นจะเป็นทรงกลมของดาวพุธ มากสำหรับการพิสูจน์จำนวนดาวเคราะห์
ในรูป 60 แสดงแผนภาพจาก “ ความลึกลับ Cosmographicum" ซึ่งแสดงให้เห็นแบบจำลองจักรวาลวิทยาของเคปเลอร์ เคปเลอร์อธิบายอย่างละเอียดว่าทำไมเขาถึงวาดความคล้ายคลึงกันระหว่างของแข็งพลาโตนิกกับดาวเคราะห์ต่างๆ โดยพิจารณาจากคุณสมบัติทางเรขาคณิต โหราศาสตร์ และเลื่อนลอย เขาจัดเรียงตัวเรขาคณิตตามความสัมพันธ์กับทรงกลม โดยบอกว่าความแตกต่างระหว่างทรงกลมกับตัวเรขาคณิตอื่นๆ สะท้อนถึงความแตกต่างระหว่างผู้สร้างและสิ่งทรงสร้าง ในทำนองเดียวกันลูกบาศก์ก็มีลักษณะเฉพาะ หนึ่งเดียวเท่านั้นมุม - ขวา สำหรับเคปเลอร์ ความเหงาที่เป็นสัญลักษณ์นี้ซึ่งสัมพันธ์กับดาวเสาร์ ฯลฯ โดยทั่วไปแล้ว โหราศาสตร์มีความสำคัญมากสำหรับเคปเลอร์เพราะ "มนุษย์คือมงกุฎของจักรวาลและสรรพสิ่งทั้งมวล" และวิธีการเลื่อนลอยนั้นได้รับการพิสูจน์ด้วยข้อเท็จจริงที่ว่า " คุณสมบัติทางคณิตศาสตร์เป็นสาเหตุทางกายภาพ เนื่องจากพระเจ้าตั้งแต่กาลเริ่มต้นทรงบรรจุวัตถุทางคณิตศาสตร์ไว้ในตัวพระองค์เอง ซึ่งเป็นนามธรรมอันศักดิ์สิทธิ์ที่เรียบง่ายซึ่งทำหน้าที่เป็นต้นแบบสำหรับปริมาณต่างๆ ในระดับวัตถุ” ตำแหน่งของโลกถูกเลือกเพื่อแยกวัตถุที่สามารถตั้งตรงได้ (ลูกบาศก์ จัตุรมุข และสิบสองหน้า) ออกจากวัตถุที่ "ลอย" (แปดหน้าและไอโคซาฮีดรอน)

ข้าว. 60
ในบางกรณีระยะห่างระหว่างดาวเคราะห์ที่ได้จากแบบจำลองนี้ใกล้เคียงกับความเป็นจริงโดยสิ้นเชิง และในบางกรณีก็มีความแตกต่างกันอย่างเห็นได้ชัด แม้ว่าความแตกต่างจะไม่เกิน 10% ก็ตาม เคปเลอร์เชื่อมั่นอย่างไม่สั่นคลอนในความถูกต้องของแบบจำลองของเขาและถือว่าความไม่สอดคล้องกันนั้นเกิดจากข้อผิดพลาดในการวัดวงโคจร เขาส่งสำเนาหนังสือของเขาไปให้นักดาราศาสตร์หลายคนเพื่อแสดงความคิดเห็นและข้อเสนอแนะ หนึ่งในนักวิทยาศาสตร์ที่โดดเด่นที่สุดในยุคนั้นคือ Dane Tycho Brahe (1546–1601) สำเนาฉบับหนึ่งตกไปอยู่ในมือของกาลิเลโอ กาลิเลอี ผู้ยิ่งใหญ่ (ค.ศ. 1564–1642) ซึ่งบอกกับเคปเลอร์ว่าเขามั่นใจในความถูกต้องของแบบจำลองของโคเปอร์นิคัสด้วย แต่ก็ยอมรับด้วยความผิดหวังว่า "สำหรับคนจำนวนมาก เพราะตัวเลขดังกล่าวเป็นเช่นนี้" ของคนโง่” โคเปอร์นิคัส “ดูเหมือนเป็นเรื่องที่สมควรแก่การเยาะเย้ยและการโห่ร้อง”

ไม่จำเป็นต้องพูดว่าแบบจำลองทางจักรวาลวิทยาของเคปเลอร์ซึ่งมีพื้นฐานมาจากของแข็งพลาโตนิกนั้นไม่เพียงแต่ผิดทั้งหมด แต่ยังบ้าอีกด้วยแม้ตามมาตรฐานของคนรุ่นเดียวกันของนักวิทยาศาสตร์ก็ตาม การค้นพบดาวยูเรนัส (ดาวเคราะห์ดวงถัดไปหลังดาวเสาร์ นับจากดวงอาทิตย์) ในปี พ.ศ. 2324 และดาวเนปจูน (ดาวเคราะห์ดวงถัดไปรองจากดาวยูเรนัส) ในปี พ.ศ. 2389 ได้ตอกตะปูสุดท้ายลงในโลงศพของความคิดที่ยังไม่เกิดนี้ อย่างไรก็ตาม ความสำคัญของแบบจำลองของเคปเลอร์ในประวัติศาสตร์วิทยาศาสตร์ไม่สามารถมองข้ามได้ ดังที่นักดาราศาสตร์ Owen Gingerich ได้กล่าวไว้ในบทความเกี่ยวกับชีวประวัติของเคปเลอร์ว่า “มีน้อยมากในประวัติศาสตร์ที่หนังสือที่ผิดพลาดเช่นนั้นได้ชี้แนะแนวทางวิทยาศาสตร์เพิ่มเติมไปในทิศทางที่ถูกต้องเช่นนี้” เคปเลอร์อาศัยแนวคิดพีทาโกรัสเกี่ยวกับจักรวาล และนักคณิตศาสตร์จะเรียกสิ่งนี้ว่าเป็นก้าวที่ยิ่งใหญ่ เขาพัฒนาขึ้น แบบจำลองทางคณิตศาสตร์จักรวาลซึ่งในอีกด้านหนึ่งมีพื้นฐานอยู่บนข้อมูลเชิงสังเกตที่มีอยู่ในขณะนั้น และในทางกลับกันก็อาจเป็น ข้องแวะการสังเกตภายหลัง สิ่งเหล่านี้เป็นองค์ประกอบที่จำเป็นของ "วิธีการทางวิทยาศาสตร์" ซึ่งเป็นแนวทางที่เป็นระบบในการอธิบายข้อเท็จจริงที่สังเกตได้โดยใช้แบบจำลองของธรรมชาติ วิธีการทางวิทยาศาสตร์ในอุดมคติเริ่มต้นด้วยการรวบรวมข้อเท็จจริง จากนั้นจึงเสนอแบบจำลอง และจากนั้นสิ่งที่คาดการณ์ไว้จะถูกทดสอบผ่านการทดลองประดิษฐ์หรือการสังเกตเพิ่มเติม บางครั้งกระบวนการนี้อธิบายได้ด้วยคำสามคำ: การอุปนัย การนิรนัย การตรวจสอบ ในปี 1610 กาลิเลโอใช้กล้องโทรทรรศน์ของเขาเพื่อค้นพบวัตถุท้องฟ้าอีกสี่ดวงในระบบสุริยะ หากได้รับการพิสูจน์ว่าสิ่งเหล่านี้คือดาวเคราะห์ ทฤษฎีของเคปเลอร์คงจะต้องพบกับความตายครั้งใหญ่ในช่วงชีวิตของนักวิทยาศาสตร์รายนี้ อย่างไรก็ตาม ด้วยความยินดีอย่างยิ่งของเคปเลอร์ วัตถุใหม่นี้จึงกลายเป็นบริวารของดาวพฤหัสบดี คล้ายกับดวงจันทร์ของเรา ไม่ใช่ดาวเคราะห์ดวงใหม่ที่โคจรรอบดวงอาทิตย์

ทฤษฎีฟิสิกส์สมัยใหม่ซึ่งมีจุดมุ่งหมายเพื่ออธิบายการมีอยู่ของอนุภาคมูลฐาน (ซับอะตอม) ทั้งหมดและปฏิสัมพันธ์พื้นฐานระหว่างอนุภาคเหล่านั้น ยังขึ้นอยู่กับสมมาตรทางคณิตศาสตร์ด้วย และในแง่นี้มีความคล้ายคลึงกับทฤษฎีของเคปเลอร์มากซึ่งอาศัยคุณสมบัติสมมาตรของ ของแข็งพลาโตนิกเพื่ออธิบายจำนวนและคุณสมบัติของดาวเคราะห์ แบบจำลองของเคปเลอร์มีอีกสิ่งหนึ่งที่เหมือนกันกับทฤษฎีพื้นฐานสมัยใหม่ของจักรวาล: ทั้งสองทฤษฎีมีอยู่โดยเนื้อแท้ ผู้ลดขนาดนั่นคือพวกเขาพยายามอธิบายปรากฏการณ์มากมายด้วยกฎทางกายภาพจำนวนเล็กน้อย ตัวอย่างเช่น แบบจำลองของเคปเลอร์ได้มาจากทั้งจำนวนดาวเคราะห์และคุณสมบัติของวงโคจรของพวกมันจากของแข็งพลาโตนิก ในทำนองเดียวกัน ทฤษฎีสมัยใหม่ เช่น ทฤษฎีสตริง อาศัยเอนทิตีพื้นฐาน (สตริง) ที่มีขนาดเล็กมาก (เล็กกว่านิวเคลียสของอะตอมมากกว่าพันล้านพันล้านเท่า) ซึ่งเป็นที่มาของคุณสมบัติทั้งหมดของอนุภาคมูลฐาน สายต่างๆ ก็เหมือนกับสายไวโอลิน สั่นสะเทือนและสร้าง "โทนเสียง" ต่างๆ และอนุภาคมูลฐานที่รู้จักทั้งหมดก็เป็นเพียงเสียงเหล่านี้เท่านั้น

ขณะที่อยู่ในกราซ เคปเลอร์เริ่มสนใจอัตราส่วนทองคำ ซึ่งนำไปสู่ผลลัพธ์ที่น่าสนใจอีกอย่างหนึ่ง ในเดือนตุลาคม ค.ศ. 1597 นักวิทยาศาสตร์เขียนถึงอดีตอาจารย์เมสต์ลินเกี่ยวกับทฤษฎีบทต่อไปนี้: "หากส่วนที่หารด้วยอัตราส่วนสุดขีดและค่าเฉลี่ย จะมีการสร้างรูปสามเหลี่ยมมุมฉากขึ้นเพื่อให้มุมขวาวางอยู่บนฉากตั้งฉากที่จุดของการหาร แล้วขาที่เล็กกว่าจะเท่ากับส่วนที่ใหญ่กว่าที่แบ่ง" ภาพวาดสำหรับทฤษฎีบทนี้แสดงไว้ในรูปที่ 1 61. ส่วน AB หารด้วยจุด C ในอัตราส่วนทองคำ เคปเลอร์สร้างสามเหลี่ยมมุมฉาก เอ.ดี.บี.โดยมีด้านตรงข้ามมุมฉาก AB จึงเป็นมุมฉาก ดีตั้งอยู่บนเส้นตั้งฉากที่ดึงมาจากส่วนสีทองที่จุด C จากนั้นเขาก็พิสูจน์สิ่งนั้น บีดี(ขาสั้นของสามเหลี่ยมมุมฉาก) เท่ากับ AC (ส่วนที่ยาวกว่าของส่วนที่หารด้วยอัตราส่วนทองคำ) นอกเหนือจากการใช้ส่วนสีทองแล้ว รูปสามเหลี่ยมดังกล่าวยังมีชื่อเสียงจากข้อเท็จจริงที่นักวิจัยปิรามิด ฟรีดริช เรเบอร์ อ้างถึงในปี 1855 เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีเท็จประการหนึ่งที่แนะนำการใช้ส่วนสีทองในการสร้างปิรามิด Reber ไม่ทราบเกี่ยวกับผลงานของ Kepler แต่เขาใช้โครงสร้างที่คล้ายกันเพื่อยืนยันความคิดเห็นของเขาเกี่ยวกับบทบาทที่สำคัญที่สุดของ "สัดส่วนอันศักดิ์สิทธิ์" ในสถาปัตยกรรม

สิ่งตีพิมพ์ " ความลึกลับ Cosmographicum“กลายเป็นเหตุให้เคปเลอร์มารู้จักกับไทโค บราห์; สถานที่นัดพบซึ่งเกิดขึ้นเมื่อวันที่ 4 กุมภาพันธ์ ค.ศ. 1600 คือกรุงปราก ซึ่งเป็นที่ประทับของจักรพรรดิโรมันอันศักดิ์สิทธิ์ในขณะนั้น อันเป็นผลมาจากการประชุมครั้งนี้ในเดือนตุลาคมของปี 1600 เคปเลอร์ย้ายไปปรากและเป็นผู้ช่วยของ Tycho Brahe (เนื่องจากศรัทธานิกายลูเธอรันเขาจึงถูกบังคับให้ออกจากคาทอลิกกราซ) หลังจาก Brahe เสียชีวิตเมื่อวันที่ 24 ตุลาคม ค.ศ. 1601 เคปเลอร์ก็กลายเป็นนักคณิตศาสตร์ในศาล

Tycho ทิ้งข้อสังเกตไว้มากมายโดยเฉพาะที่เกี่ยวข้องกับวงโคจรของดาวเคราะห์ดาวอังคารและเคปเลอร์ได้ค้นพบกฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์สองข้อแรกซึ่งตั้งชื่อตามเขาโดยใช้ข้อมูลเหล่านี้ กฎข้อแรกของเคปเลอร์ระบุว่าวงโคจรของดาวเคราะห์ที่รู้จักรอบดวงอาทิตย์ไม่ใช่วงกลม แต่เป็นวงรีโดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่จุดโฟกัสจุดใดจุดหนึ่ง (รูปที่ 62 เพื่อความชัดเจน วงรีจะยาวมากกว่าที่เป็นจริงมาก) วงรีมีสองจุด ที่เรียกว่าจุดโฟกัส ซึ่งผลรวมของระยะทางของจุดใดๆ ของวงรีถึงจุดโฟกัสทั้งสองนั้นคงที่เสมอ กฎข้อที่สองของเคปเลอร์ระบุว่าดาวเคราะห์เคลื่อนที่เร็วที่สุดเมื่ออยู่ใกล้ดวงอาทิตย์มากที่สุด (จุดนี้เรียกว่าระยะเพอริฮีเลียน) และช้าที่สุดที่จุดที่ไกลที่สุด (เอเฟเลียน) ดังนั้นเส้นที่เชื่อมต่อดาวเคราะห์กับดวงอาทิตย์จะลากเส้น (กวาดออกไป) เท่ากัน พื้นที่เป็นระยะเวลาเท่ากัน (รูปที่ 62) คำถามที่ว่าอะไรที่ทำให้กฎของเคปเลอร์มีผลใช้ได้นั้น ถือเป็นปริศนาสำคัญทางวิทยาศาสตร์ที่ยังไม่มีคำตอบมาเป็นเวลาเกือบเจ็ดสิบปีแล้วหลังจากที่เคปเลอร์ตีพิมพ์กฎหมายของเขา อัจฉริยะของไอแซก นิวตัน (ค.ศ. 1642–1727) ต้องใช้ความอัจฉริยะในการสรุปว่าดาวเคราะห์ถูกยึดไว้ในวงโคจรด้วยแรงโน้มถ่วง นิวตันอธิบายกฎของเคปเลอร์โดยใช้สมการโดยกฎที่อธิบายการเคลื่อนที่ของวัตถุถูกนำมารวมกับกฎแรงโน้มถ่วงสากล เขาแสดงให้เห็นว่าวงโคจรทรงรีที่มีความเร็วแปรผัน (ตามกฎของเคปเลอร์) เป็นเพียงคำตอบเดียวที่เป็นไปได้สำหรับสมการเหล่านี้

ข้าว. 61

ข้าว. 62
ความพยายามอย่างกล้าหาญของเคปเลอร์ในการคำนวณวงโคจรของดาวอังคาร (การคำนวณทางคณิตศาสตร์หลายร้อยแผ่นและการตีความซึ่งเขาเองก็เรียกว่า "การรณรงค์ทางทหารของฉันกับดาวอังคาร") ตามที่นักวิจัยหลายคนระบุถือเป็นการกำเนิดของวิทยาศาสตร์สมัยใหม่ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ณ จุดหนึ่งเคปเลอร์ได้ค้นพบวงโคจรเป็นวงกลมซึ่งตรงกับการสังเกตของไทโค บราเฮเกือบทั้งหมด อย่างไรก็ตาม ในสองกรณี วงโคจรนี้ทำนายตำแหน่งที่แตกต่างจากการสังเกตประมาณหนึ่งในสี่ของเส้นผ่านศูนย์กลางเชิงมุมของพระจันทร์เต็มดวง เคปเลอร์เขียนเกี่ยวกับเรื่องนี้: “ถ้าเพียงแต่ฉันคิดว่าเราสามารถละเลยแปดนาทีนี้ [ของส่วนโค้ง] ได้ ฉันคงจะรวมสมมติฐานของฉันไว้ในบทที่ 16 ที่เกี่ยวข้อง แต่เนื่องจากไม่สามารถละเลยสิ่งเหล่านี้ได้ ปรากฎว่าแปดนาทีนี้ชี้ทางไปสู่การปฏิรูปดาราศาสตร์โดยสมบูรณ์”

ปีของเคปเลอร์ในกรุงปรากเกิดผลมากมายทั้งในด้านดาราศาสตร์และคณิตศาสตร์ ในปี 1604 เขาได้ค้นพบดาวฤกษ์ "ดวงใหม่" ซึ่งปัจจุบันเรียกว่าซูเปอร์โนวาของเคปเลอร์ ซูเปอร์โนวาคือการระเบิดอันทรงพลังซึ่งดาวฤกษ์ซึ่งปลายอยู่ใกล้จะเหวี่ยงเปลือกนอกของมันออกไป ซึ่งเคลื่อนที่ด้วยความเร็วนับหมื่นกิโลเมตรต่อวินาที ตามที่นักวิทยาศาสตร์กล่าวว่าในกาแลคซีบ้านของเรา ทางช้างเผือกควรเกิดขึ้นโดยเฉลี่ยทุกๆ ร้อยปี อันที่จริง Tycho Brahe ค้นพบซูเปอร์โนวาในปี 1572 (ซูเปอร์โนวาของ Tycho Brahe) และเคปเลอร์ค้นพบซูเปอร์โนวาของเขาในปี 1604 อย่างไรก็ตาม ตั้งแต่นั้นมา ด้วยเหตุผลที่ไม่ทราบสาเหตุ ก็ไม่มีซุปเปอร์โนวาอื่นใดในทางช้างเผือก (ยกเว้นซุปเปอร์โนวาอีกแห่งที่ดูเหมือนจะเกิดขึ้นในทศวรรษปี 1660 แต่ตรวจไม่พบ) นักดาราศาสตร์พูดติดตลกว่าการขาดซูเปอร์โนวานี้น่าจะเกิดจากการไม่มีนักดาราศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ตั้งแต่ Tycho Brahe และ Kepler

ในเดือนมิถุนายน พ.ศ. 2544 ฉันไปเยือนปราก ในบ้านที่เคปเลอร์อาศัยอยู่ เลขที่ 4 ถนนชาร์ลส์ ปัจจุบันเป็นถนนช้อปปิ้งที่พลุกพล่านและมีป้ายสนิมอยู่เหนือหมายเลข 4 ซึ่งระบุว่าเคปเลอร์อาศัยอยู่ที่นี่ระหว่างปี 1605 ถึง 1612 ง่าย ๆ ที่จะพลาด เจ้าของร้านที่อยู่ด้านล่างอพาร์ทเมนต์ของเคปเลอร์ไม่รู้ด้วยซ้ำว่ามีนักดาราศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดคนหนึ่งในประวัติศาสตร์อาศัยอยู่ที่นี่ จริงอยู่ที่ลานภายในอันน่าเบื่อมีทรงกลมเล็ก ๆ ที่มีชื่อของเคปเลอร์แกะสลักอยู่ และมีป้ายอนุสรณ์อีกอันแขวนอยู่ใกล้ตู้ไปรษณีย์ อย่างไรก็ตามอพาร์ทเมนต์ของ Kepler ไม่มีการทำเครื่องหมายเลยและไม่เปิดให้บุคคลทั่วไปเข้าชม - ตอนนี้เป็นเพียงอพาร์ทเมนต์ที่อยู่อาศัยซึ่งมีอยู่มากมายที่ชั้นบนเหนือร้านค้าและถูกครอบครองโดยครอบครัวธรรมดา

งานทางคณิตศาสตร์ของเคปเลอร์ทำให้ประวัติศาสตร์ของอัตราส่วนทองคำมีความสดใสหลายประการ ในข้อความในจดหมายที่เคปเลอร์เขียนถึงอาจารย์ในเมืองไลพ์ซิกในปี 1608 เราพบว่าเขาค้นพบความสัมพันธ์ระหว่างตัวเลขฟีโบนัชชีกับอัตราส่วนทองคำ นอกจากนี้เขายังรายงานการค้นพบนี้ในบทความที่เขาศึกษาว่าทำไมเกล็ดหิมะถึงมีรูปร่างหกแฉก เคปเลอร์ เขียนว่า:

ในบรรดารูปทรงเรขาคณิตปกติทั้งสอง - รูปทรงสิบสองหน้าและรูปทรงหลายเหลี่ยม... รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติทั้งสองนี้และในความเป็นจริงแล้ว โครงสร้างของรูปห้าเหลี่ยมที่ปกติที่สุดไม่สามารถสร้างขึ้นได้หากไม่มีสัดส่วนอันศักดิ์สิทธิ์ดังที่นักเรขาคณิตสมัยใหม่เรียกมันว่า มันถูกออกแบบในลักษณะที่เงื่อนไขที่เล็กกว่าสองคำของการก้าวหน้ารวมกันเป็นเงื่อนไขที่สาม และสองเงื่อนไขสุดท้ายหากรวมเข้าด้วยกัน ก็ประกอบขึ้นเป็นเงื่อนไขที่ตามมาทันที และต่อ ๆ ไปอย่างไม่สิ้นสุด หากเราไม่ฝ่าฝืนและ ต่อสัดส่วนนี้... ยิ่งเราถอยห่างจากเลขแรกมากเท่าไรตัวอย่างก็ยิ่งสมบูรณ์มากขึ้นเท่านั้น ให้ตัวเลขที่น้อยที่สุดเป็น 1 และ 1... บวกกันและผลรวมคือ 2 เพิ่มตัวเลขนี้เข้ากับตัวสุดท้ายของ 1 แล้วคุณจะได้ 3 บวก 2 เข้าไปแล้วคุณจะได้ 5 บวกสามแล้วคุณจะได้ 8 5 ถึง 8–13; 8 ถึง 13–21 เท่ากับ 5 ถึง 8 ดังนั้น 8 ถึง 13 - โดยประมาณ - และ 8 ถึง 13 ดังนั้น 13 ถึง 21 - โดยประมาณ
กล่าวอีกนัยหนึ่ง เคปเลอร์ค้นพบว่าอัตราส่วนของตัวเลขฟีโบนักชีที่ต่อเนื่องกันมาบรรจบกับอัตราส่วนทองคำ อันที่จริง เขาค้นพบคุณสมบัติที่น่าสนใจอีกประการหนึ่งของเลขฟีโบนัชชี นั่นคือกำลังสองของสมาชิกใดๆ ในลำดับจะต่างกันไม่เกิน 1 จากผลคูณของสมาชิกสองตัวที่อยู่ใกล้เคียงกันในลำดับ ตัวอย่างเช่น เนื่องจากลำดับฟีโบนัชชีคือ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34... ดังนั้น ถ้าเราพิจารณา 32 = 9 แล้ว 9 จะเป็นเพียง 1 เท่านั้นที่แตกต่างจากผลคูณของสองเทอมของ ลำดับที่อยู่ติดกับ 3: 2 × 5 = 10 ในทำนองเดียวกัน 132 = 169 ต่างกัน 1 จาก 8 × 21 = 168 เป็นต้น คุณภาพของตัวเลขฟีโบนัชชีนี้นำเราไปสู่ความขัดแย้งที่น่าประหลาดใจ ซึ่งถูกค้นพบครั้งแรกโดยนักประดิษฐ์ผู้ยิ่งใหญ่ของ ปริศนาทางคณิตศาสตร์, แซม ลอยด์ (1841–1911)

พิจารณารูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน 8 (โดยมีพื้นที่ 82 = 64) ในรูปที่ 1 63. ทีนี้มาตัดออกเป็นสี่ส่วนตามเส้นที่ทำเครื่องหมายไว้ จากสี่ชิ้นนี้คุณสามารถสร้างสี่เหลี่ยมผืนผ้า (รูปที่ 64) โดยมีด้าน 13 และ 5 - นั่นคือมีพื้นที่ 65! สี่เหลี่ยมพิเศษมาจากไหน! คำตอบสำหรับความขัดแย้งนี้คือ ชิ้นส่วนปริศนาไม่ได้พอดีตามเส้นทแยงมุมยาวของสี่เหลี่ยมผืนผ้าพอดี แต่เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานที่แคบและยาวซึ่งไม่สามารถมองเห็นได้เนื่องจากมีเส้นหนาที่ทำเครื่องหมายเส้นทแยงมุมยาวในรูปที่ 1 64 และพื้นที่ก็เพียงพอสำหรับพื้นที่หนึ่งยูนิตสแควร์ แน่นอนว่า 8 คือเลขฟีโบนัชชี และกำลังสองของมันคือ 82 = 64 แตกต่าง 1 จากผลคูณของเลขฟีโบนัชชีสองตัวที่อยู่ติดกัน (3 × 5 = 65): คุณสมบัติที่เคปเลอร์ค้นพบ

ข้าว. 63

ข้าว. 64
คุณอาจสังเกตแล้วว่าเคปเลอร์เรียกอัตราส่วนทองคำว่า "สัดส่วนศักดิ์สิทธิ์ อย่างที่นักเรขาคณิตยุคใหม่เรียกมันว่า" งานวิจัยทางวิทยาศาสตร์ทั้งหมดของเคปเลอร์ได้รับการระบายสีด้วยการผสมผสานระหว่างการใช้เหตุผลอย่างมีเหตุผลและความเชื่อของคริสเตียน เคปเลอร์เป็นนักธรรมชาติวิทยาที่เป็นคริสเตียนและถือว่าเป็นหน้าที่ของเขาที่จะเข้าใจไม่เพียงแต่โครงสร้างของจักรวาลเท่านั้น แต่ยังรวมไปถึงความตั้งใจของผู้สร้างด้วย เขาตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับระบบสุริยะภายใต้อิทธิพลของความอยากเลข 5 อย่างมากซึ่งรับมาจากชาวพีทาโกรัส และเขียนเกี่ยวกับอัตราส่วนทองคำดังนี้:
ลักษณะเฉพาะของความสัมพันธ์นี้คือ สัดส่วนที่ใกล้เคียงกันสามารถสร้างขึ้นจากส่วนทั้งหมดและส่วนที่ใหญ่กว่าได้ และสิ่งที่เคยเป็นส่วนที่ใหญ่กว่ากลับกลายเป็นสัดส่วนที่เล็กลง และสิ่งที่เคยเป็นสัดส่วนทั้งหมดตอนนี้กลับกลายเป็นส่วนที่ใหญ่ขึ้น และผลรวมของความสัมพันธ์ก็มีอัตราส่วน ของทั้งหมด สิ่งนี้เกิดขึ้นอย่างไม่สิ้นสุด และสัดส่วนอันศักดิ์สิทธิ์จะถูกรักษาไว้เสมอ ฉันเชื่อว่าสัดส่วนทางเรขาคณิตนี้ทำหน้าที่เป็นแนวคิดสำหรับผู้สร้างเมื่อพระองค์ทรงสร้างสิ่งที่เหมือนกันจากสิ่งที่เหมือนกันในพระฉายาและอุปมาของพระองค์เอง - และสิ่งนี้ก็เกิดขึ้นอย่างไม่สิ้นสุดเช่นกัน ฉันเห็นเลข 5 ในดอกไม้แทบทุกชนิดที่ปูทางไปสู่ผล นั่นคือ การสร้างสรรค์ ซึ่งไม่ได้ดำรงอยู่เพื่อตัวมันเอง แต่เพื่อผลตามมา รวมดอกไม้เกือบทั้งหมดไว้ที่นี่ ไม้ผล- มะนาวและส้มควรได้รับการยกเว้น แม้ว่าฉันจะไม่ได้เห็นดอกไม้ของมันและตัดสินด้วยผลไม้หรือผลเบอร์รี่เท่านั้น ซึ่งไม่ได้แบ่งออกเป็นห้าส่วน แต่แบ่งออกเป็นเจ็ด สิบเอ็ดหรือเก้าส่วน อย่างไรก็ตาม รูปร่างของเลขห้าในเรขาคณิต ซึ่งก็คือรูปห้าเหลี่ยมปกตินั้นถูกสร้างขึ้นตามสัดส่วนอันศักดิ์สิทธิ์ ซึ่งข้าพเจ้าอยากจะ [น่าจะเป็นการพิจารณา] ต้นแบบของการสร้างสรรค์ ยิ่งไปกว่านั้น [มัน] ยังถูกสังเกตระหว่างการเคลื่อนที่ของดวงอาทิตย์ (หรืออย่างที่ฉันคิดว่าโลก) และดาวศุกร์ซึ่งยืนอยู่ที่จุดสุดยอดของพลังกำเนิดของอัตราส่วน 8 และ 13 ซึ่งดังที่เราจะได้ยิน เข้าใกล้สัดส่วนอันศักดิ์สิทธิ์มาก ในที่สุด ตามความเห็นของโคเปอร์นิคัส ทรงกลมของโลกตั้งอยู่กึ่งกลางระหว่างทรงกลมของดาวอังคารและดาวศุกร์ สัดส่วนระหว่างสิ่งเหล่านี้สามารถหาได้จากรูปทรงสิบสองหน้าและรูปทรงสามมิติ ซึ่งทั้งสองอย่างนี้ในเรขาคณิตได้มาจากสัดส่วนอันศักดิ์สิทธิ์ แต่การสร้างสรรค์เกิดขึ้นบนโลกของเรา

ตอนนี้ให้เราพิจารณาว่ารูปชายและหญิงเกิดขึ้นจากสัดส่วนอันศักดิ์สิทธิ์ได้อย่างไร ในความคิดของฉัน การสืบพันธุ์ของพืชและการสืบพันธุ์ของสัตว์ประกอบด้วยความสัมพันธ์เดียวกันกับสัดส่วนทางเรขาคณิต สัดส่วนที่แสดงโดยส่วนต่างๆ ของปล้อง หรือสัดส่วนที่แสดงทางคณิตศาสตร์หรือตัวเลข

พูดง่ายๆ ก็คือ เคปเลอร์เชื่ออย่างแท้จริงว่าอัตราส่วนทองคำเป็นเครื่องมือพื้นฐานของพระเจ้าในการสร้างจักรวาล นอกจากนี้ ข้อความนี้ยังมีเนื้อหาต่อจากเคปเลอร์ที่รู้เกี่ยวกับการปรากฏของอัตราส่วนทองคำและจำนวนฟีโบนัชชีในการจัดเรียงกลีบพืช

ช่วงเวลาชีวิตที่ค่อนข้างสงบและประสบความสำเร็จอย่างมืออาชีพในปรากสิ้นสุดลงสำหรับเคปเลอร์ในปี 1611 เมื่อความโชคร้ายเกิดขึ้นกับเขาหลายครั้ง ประการแรก ฟรีดริชลูกชายของเขาเสียชีวิตด้วยโรคไข้ทรพิษ จากนั้นบาร์บาราภรรยาของเขาก็เสียชีวิตด้วยโรคไข้ติดต่อซึ่งนำโดยผู้ยึดครองชาวออสเตรีย ในท้ายที่สุด จักรพรรดิรูดอล์ฟสละราชบัลลังก์เพื่อสนับสนุนแมทเธียส น้องชายของเขา ซึ่งเป็นที่รู้จักในเรื่องทัศนคติที่ไม่ยอมรับโปรเตสแตนต์ ดังนั้นเคปเลอร์จึงถูกบังคับให้ย้ายไปที่เมืองลินซ์ในดินแดนของออสเตรียสมัยใหม่

ความสำเร็จอันยอดเยี่ยมของงานของเคปเลอร์ในเมืองลินซ์คือการตีพิมพ์ผลงานหลักชิ้นที่สองของเขาเกี่ยวกับจักรวาลวิทยาในปี 1619 “ ฮาร์โมนี มุนดี"("ความสามัคคีของโลก").

ให้เราจำไว้ว่าสำหรับพีทาโกรัสและพีทาโกรัส ดนตรีและความกลมกลืนเป็นข้อโต้แย้งข้อแรกที่สนับสนุนข้อเท็จจริงที่ว่าปรากฏการณ์จักรวาลสามารถอธิบายได้ทางคณิตศาสตร์ เสียงพยัญชนะถูกสร้างขึ้นโดยสายที่มีความยาวตรงกับเศษส่วนอย่างง่ายเท่านั้น อัตราส่วน 2:3 ฟังดูเหมือนหนึ่งในห้า, 3:4 เหมือนหนึ่งในสี่ ฯลฯ เชื่อกันว่าการจัดเรียงดาวเคราะห์ที่ประสานกันคล้ายกันทำให้เกิด "ดนตรีแห่งทรงกลม" เคปเลอร์คุ้นเคยกับแนวคิดนี้เป็นอย่างดี โดยได้อ่านหนังสือของบิดาของกาลิเลโอ กาลิเลอี วินเชนโซเกือบทั้งหมดแล้ว บทสนทนาเกี่ยวกับดนตรีโบราณและสมัยใหม่ แม้ว่าเขาจะไม่เห็นด้วยกับแนวคิดบางประการของวินเชนโซก็ตาม เนื่องจากเขาเชื่อมั่นว่าเขาได้สร้างแบบจำลองที่ครอบคลุมของระบบสุริยะ เขาจึงสามารถคำนวณ "ลวดลาย" เล็กๆ สำหรับดาวเคราะห์ต่างๆ ได้ (รูปที่ 65)

ข้าว. 65
เนื่องจากเคปเลอร์เชื่อว่า "ก่อนที่จะมีการเริ่มต้นของสิ่งต่างๆ เรขาคณิตนั้นคงอยู่ชั่วนิรันดร์เช่นเดียวกับจิตใจอันศักดิ์สิทธิ์" ความกลมกลืนของโลกจึงอุทิศให้กับเรขาคณิตเป็นส่วนใหญ่ แง่มุมหนึ่งของงานนี้มีความสำคัญเป็นพิเศษต่อประวัติศาสตร์ของอัตราส่วนทองคำ - ฉันหมายถึงงานวิจัยของเคปเลอร์ในสาขาไม้ปาร์เก้เรขาคณิต

ไม้ปาร์เก้ในรูปทรงเรขาคณิตเป็นรูปแบบหรือโครงสร้างที่ประกอบด้วย "กระเบื้อง" ที่มีรูปร่างตั้งแต่หนึ่งรูปทรงขึ้นไปซึ่งครอบคลุมระนาบทั้งหมดโดยไม่ทิ้งช่องว่าง - เหมือนกระเบื้องโมเสคบนพื้น เราจะเห็นในบทที่ 8 ว่าแนวคิดทางคณิตศาสตร์บางอย่างที่เห็นใน "ไม้ปาร์เก้" ดังกล่าวมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับอัตราส่วนทองคำ แม้ว่าเคปเลอร์จะไม่ได้ตระหนักถึงความซับซ้อนทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดของไม้ปาร์เก้ แต่ความสนใจในความสัมพันธ์ระหว่างรูปทรงเรขาคณิตต่างๆ กับความเคารพต่อรูปห้าเหลี่ยมปกติ ซึ่งรวบรวมสัดส่วนอันศักดิ์สิทธิ์ไว้อย่างชัดเจนที่สุด ทำให้เขาสามารถสร้างผลงานที่น่าสนใจบนไม้ปาร์เก้ได้ เคปเลอร์สนใจเป็นพิเศษในเรื่องความสอดคล้องกัน ("พอดีกัน") ของรูปทรงเรขาคณิตและวัตถุ เช่น รูปทรงหลายเหลี่ยมและรูปหลายเหลี่ยม ในรูป 66 แสดงตัวอย่างจาก “ความสามัคคีของโลก” รูปแบบไม้ปาร์เก้นี้ประกอบด้วยตัวเลขสี่ตัว - และทั้งหมดเกี่ยวข้องกับอัตราส่วนทองคำ: เหล่านี้คือรูปห้าเหลี่ยมปกติ รูปห้าเหลี่ยม รูปห้าเหลี่ยม รูปสิบเหลี่ยม และรูปสิบเหลี่ยมคู่ สำหรับเคปเลอร์ นี่คือศูนย์รวมของ "ความสามัคคี" เนื่องจากในภาษากรีกคำว่า "ความสอดคล้องซึ่งกันและกัน"

ข้าว. 66
ที่น่าสนใจคือมีคนอีกสองคนแสดงความสนใจในไม้ปาร์เก้ต่อหน้าเคปเลอร์ซึ่งมีบทบาทสำคัญในประวัติศาสตร์ของอัตราส่วนทองคำ (และถูกกล่าวถึงแล้วในหน้าหนังสือของเรา): Abu-l-Wafa และศิลปิน Albrecht Durer . ทั้งสองพิจารณารูปแบบของตัวเลขที่มีความสมมาตรห้ารังสี (ตัวอย่างจากภาพร่างของ Dürer แสดงในรูปที่ 67)

ข้าว. 67
หนังสือเล่มที่ห้าของ "Harmonies of the World" มีผลการวิจัยที่สำคัญที่สุดของการวิจัยทางดาราศาสตร์ของเคปเลอร์ - กฎข้อที่สามของการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ ความคิดอันเจ็บปวดทั้งหมดของเขาเกี่ยวกับขนาดของวงโคจรของดาวเคราะห์ต่าง ๆ และระยะเวลาของการปฏิวัติรอบดวงอาทิตย์ได้ถูกแสดงออกมาอย่างเต็มที่ ยี่สิบห้าปีของการทำงานมุ่งเน้นไปที่สิ่งที่น่าทึ่ง กฎหมายง่ายๆ: กำลังสองของคาบการปฏิวัติของดาวเคราะห์รอบดวงอาทิตย์สัมพันธ์กันเป็นกำลังสองของแกนกึ่งเอกของวงโคจรของดาวเคราะห์ และอัตราส่วนนี้จะเท่ากันสำหรับดาวเคราะห์ทุกดวง (แกนกึ่งเอกคือครึ่งหนึ่งของความยาว แกนของวงรี ดูรูปที่ 62) เคปเลอร์ค้นพบกฎพื้นฐานนี้ ซึ่งทำหน้าที่เป็นจุดเริ่มต้นของนิวตันในการกำหนดกฎความโน้มถ่วงสากล เมื่อหนังสือ The Harmony of the World ได้รับการตีพิมพ์แล้ว นักวิทยาศาสตร์ไม่สามารถระงับความปีติยินดีของเขาได้จึงประกาศว่า: "ฉันขโมยภาชนะทองคำของชาวอียิปต์เพื่อสร้างแท่นบูชาแด่พระเจ้าของฉันซึ่งอยู่ห่างไกลจากอียิปต์" สาระสำคัญของกฎหมายเป็นไปตามธรรมชาติจากกฎแรงโน้มถ่วงสากล: ยิ่งดาวเคราะห์อยู่ใกล้ดวงอาทิตย์มากเท่าใด แรงโน้มถ่วงก็จะยิ่งมากขึ้น ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมดาวเคราะห์ที่อยู่ใกล้มันจึงถูกบังคับให้หมุนเร็วขึ้น ไม่เช่นนั้นพวกมันก็จะตกลงไป ดวงอาทิตย์

ข้าว. 68
ในปี 1626 เคปเลอร์ย้ายไปที่ Ulm และทำงานที่นั่นบนโต๊ะ Rudolf ซึ่งในเวลานั้นเป็นตารางทางดาราศาสตร์ที่มีรายละเอียดและแม่นยำที่สุดในประวัติศาสตร์ ตอนที่ฉันอยู่ที่มหาวิทยาลัยเวียนนาในเดือนมิถุนายน พ.ศ. 2544 ฉันได้เห็นตารางฉบับพิมพ์ครั้งแรกซึ่งจัดเก็บไว้ในห้องสมุดหอดูดาว (มี 147 เล่มที่ยังมีชีวิตอยู่จนถึงทุกวันนี้) ด้านหน้าของหนังสือ (รูปที่ 68) สื่อถึงประวัติศาสตร์ดาราศาสตร์ในเชิงสัญลักษณ์ และที่มุมซ้ายล่างอาจมีภาพเหมือนตนเองเพียงภาพเดียวของเคปเลอร์ (รูปที่ 69) โดยแสดงให้เห็นเคปเลอร์ทำงานใต้แสงเทียนภายใต้บทความสั้นที่แสดงรายการสิ่งพิมพ์หลักของเขา

ข้าว. 69
เคปเลอร์เสียชีวิตเมื่อตอนเที่ยงของวันที่ 15 พฤศจิกายน ค.ศ. 1630 และถูกฝังในเรเกนสบวร์ก แม้หลังจากความตาย โชคชะตาก็ไม่ได้ทิ้งเขาไว้ตามลำพัง ราวกับว่าชีวิตที่มีพายุของเขายังไม่เพียงพอ สงครามได้กวาดล้างหลุมศพของเขาไปจากพื้นโลก โชคดีที่ภาพร่างของหลุมศพซึ่งเพื่อนของเคปเลอร์สร้างขึ้นนั้นรอดชีวิตมาได้ และยังมีข้อความจารึกสำหรับนักวิทยาศาสตร์ด้วย:
ฉันวัดท้องฟ้า ตอนนี้ฉันวัดเงาของโลก

วิญญาณของฉันอาศัยอยู่ในสวรรค์ แต่เงาของร่างกายของฉันอยู่ที่นี่
ทุกวันนี้ อาจเป็นไปไม่ได้เลยที่จะจินตนาการว่านักวิทยาศาสตร์มีความเป็นต้นฉบับและอุดมสมบูรณ์พอๆ กับเคปเลอร์ ต้องเข้าใจว่าชายผู้นี้ต้องทนทุกข์ทรมานอย่างไม่อาจจินตนาการได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในปี 1617–1618 เขาสูญเสียลูกสามคนในเวลาไม่ถึงหกเดือน บางทีกวีชาวอังกฤษ จอห์น ดอนน์ (ค.ศ. 1572–1631) กล่าวถึงสิ่งที่ดีที่สุดเกี่ยวกับตัวเขาในจุลสารเรื่อง "อิกเนเชียสและการประชุมลับของเขา": เคปเลอร์ "ทำหน้าที่ของเขาในการดูว่าไม่มีอะไรใหม่เกิดขึ้นในสวรรค์โดยที่เขาไม่รู้"