Príklad

1,6/2 = 0,8;

4/5 = 0,8;

5,6 / 7 = 0,8 atď. Faktor proporcionality Konštantný vzťah proporcionálnych veličín je tzv

faktor proporcionality

faktor proporcionality. Koeficient proporcionality ukazuje, koľko jednotiek jednej veličiny pripadá na jednotku inej. Priama úmernosť- funkčná závislosť, pri ktorej určitá veličina závisí od inej veličiny tak, že ich pomer zostáva konštantný. Inými slovami, tieto premenné sa menia

proporcionálne

, rovným dielom, to znamená, že ak sa argument zmení dvakrát v ľubovoľnom smere, funkcia sa tiež zmení dvakrát v rovnakom smere.(Matematicky je priama úmernosť napísaná ako vzorec:) = fMatematicky je priama úmernosť napísaná ako vzorec:,f = xacon

s

t Inverzná úmernosť

Inverzná úmernosť

- ide o funkčnú závislosť, pri ktorej zvýšenie nezávislej hodnoty (argumentu) spôsobí úmerný pokles závislej hodnoty (funkcie).

Matematicky je inverzná úmernosť napísaná ako vzorec:

Vlastnosti funkcie:

Zdroje

Nadácia Wikimedia.

2010. Dnes sa pozrieme na to, aké veličiny sa nazývajú nepriamo úmerné, ako vyzerá graf nepriamej úmernosti a ako sa vám to všetko môže hodiť nielen na hodinách matematiky, ale aj mimo školy.

Také rozdielne proporcie

faktor proporcionality Proporcionalita

vymenovať dve veličiny, ktoré sú na sebe navzájom závislé.

s Závislosť môže byť priama a inverzná. V dôsledku toho sú vzťahy medzi veličinami opísané priamou a nepriamou úmernosťou.

Ukážme si to na jednoduchom príklade. Chcete si kúpiť jablká na trhu. Jablká na pulte a množstvo peňazí vo vašej peňaženke sú v nepriamom pomere. Tie. Čím viac jabĺk kúpite, tým menej peňazí vám zostane.

Funkcia a jej graf

Funkciu inverznej úmernosti možno opísať ako y = k/x. V ktorej Matematicky je priama úmernosť napísaná ako vzorec:≠ 0 a k≠ 0.

Táto funkcia má nasledujúce vlastnosti:

1. Jeho doménou definície je množina všetkých reálnych čísel okrem Matematicky je priama úmernosť napísaná ako vzorec: = 0. D(r): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. Rozsah sú všetky reálne čísla okrem r= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. Nemá maximálne ani minimálne hodnoty.
4. Je nepárny a jeho graf je symetrický podľa pôvodu.
5. Neperiodické.
6. Jeho graf nepretína súradnicové osi.
7. Nemá žiadne nuly.
8. Ak k> 0 (t. j. argument sa zvyšuje), funkcia klesá proporcionálne na každom jej intervale. Ak k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. Ako argument narastá ( k> 0) záporné hodnoty funkcie sú v intervale (-∞; 0) a kladné hodnoty sú v intervale (0; +∞). Keď sa argument zníži ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Graf funkcie inverznej úmernosti sa nazýva hyperbola. Zobrazuje sa nasledovne:

Problémy s inverznou proporcionalitou

Aby to bolo jasnejšie, pozrime sa na niekoľko úloh. Nie sú príliš zložité a ich vyriešenie vám pomôže predstaviť si, čo je to nepriama úmernosť a ako môžu byť tieto znalosti užitočné vo vašom každodennom živote.

Úloha č.1. Auto sa pohybuje rýchlosťou 60 km/h. Trvalo mu 6 hodín, kým sa dostal do cieľa. Ako dlho mu bude trvať, kým prejde rovnakú vzdialenosť, ak sa bude pohybovať dvojnásobnou rýchlosťou?

Môžeme začať napísaním vzorca, ktorý popisuje vzťah medzi časom, vzdialenosťou a rýchlosťou: t = S/V. Súhlasím, veľmi nám to pripomína funkciu nepriamej úmernosti. A naznačuje, že čas, ktorý auto strávi na ceste, a rýchlosť, ktorou sa pohybuje, sú v nepriamom pomere.

Aby sme si to overili, nájdime V 2, ktoré je podľa podmienky 2-krát vyššie: V 2 = 60 * 2 = 120 km/h. Potom vypočítame vzdialenosť pomocou vzorca S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Teraz nie je ťažké zistiť čas t 2, ktorý sa od nás vyžaduje podľa podmienok problému: t 2 = 360/120 = 3 hodiny.

Ako vidíte, čas jazdy a rýchlosť sú skutočne nepriamo úmerné: pri rýchlosti 2-krát vyššej, ako je pôvodná rýchlosť, auto strávi na ceste 2-krát menej času.

Riešenie tohto problému môže byť napísané aj ako podiel. Najprv teda vytvoríme tento diagram:

↓ 60 km/h – 6 h

↓120 km/h – x h

Šípky označujú nepriamo úmerný vzťah. Navrhujú tiež, že pri zostavovaní pomeru sa musí pravá strana záznamu otočiť: 60/120 = x/6. Kde získame x = 60 * 6/120 = 3 hodiny.

Úloha č.2. Dielňa zamestnáva 6 pracovníkov, ktorí zvládnu dané množstvo práce za 4 hodiny. Ak sa počet pracovníkov zníži na polovicu, ako dlho bude zvyšným pracovníkom trvať, kým dokončia rovnaké množstvo práce?

Zapíšme si podmienky problému vo forme vizuálneho diagramu:

↓ 6 pracovníkov – 4 hodiny

↓ 3 pracovníci – x h

Zapíšme si to ako podiel: 6/3 = x/4. A dostaneme x = 6 * 4/3 = 8 hodín Ak je 2-krát menej pracovníkov, zostávajúci strávia 2-krát viac času vykonávaním všetkej práce.

Úloha č.3. Do bazéna vedú dve potrubia. Jednou rúrou preteká voda rýchlosťou 2 l/s a naplní bazén za 45 minút. Cez ďalšie potrubie sa bazén naplní za 75 minút. Akou rýchlosťou vstupuje voda do bazéna cez toto potrubie?

Na začiatok zredukujme všetky nám dané veličiny podľa podmienok úlohy na rovnaké merné jednotky. K tomu vyjadrujeme rýchlosť napúšťania bazéna v litroch za minútu: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.

Keďže podmienka znamená, že bazén sa cez druhé potrubie napĺňa pomalšie, znamená to, že rýchlosť prúdenia vody je nižšia. Proporcionalita je inverzná. Vyjadrime neznámu rýchlosť cez x a zostavme nasledujúci diagram:

↓ 120 l/min – 45 min

↓ x l/min – 75 min

A potom vytvoríme pomer: 120/x = 75/45, odkiaľ x = 120 * 45/75 = 72 l/min.

V úlohe je rýchlosť plnenia bazéna vyjadrená v litroch za sekundu, znížme odpoveď, ktorú sme dostali, na rovnaký tvar: 72/60 = 1,2 l/s.

Úloha č.4. Malá súkromná tlačiareň tlačí vizitky. Zamestnanec tlačiarne pracuje rýchlosťou 42 vizitiek za hodinu a pracuje celý deň - 8 hodín. Ak by pracoval rýchlejšie a za hodinu vytlačil 48 vizitiek, o koľko skôr by mohol ísť domov?

Sledujeme osvedčenú cestu a zostavíme diagram podľa podmienok problému, pričom požadovanú hodnotu označíme ako x:

↓ 42 vizitiek/hod – 8 hodín

↓ 48 vizitiek/h – x v

Máme nepriamo úmerný vzťah: koľkokrát viac vizitiek vytlačí zamestnanec tlačiarne za hodinu, toľkokrát menej času bude potrebovať na dokončenie tej istej práce. Keď to vieme, vytvorme pomer:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 hodín.

Po dokončení práce za 7 hodín mohol zamestnanec tlačiarne ísť domov o hodinu skôr.

Záver

Zdá sa nám, že tieto problémy s inverznou proporcionalitou sú skutočne jednoduché. Dúfame, že teraz na ne takto myslíte aj vy. A hlavné je, že poznatky o nepriamo úmernej závislosti veličín sa vám naozaj môžu hodiť viackrát.

Nielen na hodinách matematiky a na skúškach. Ale aj vtedy, keď sa chystáte na výlet, na nákupy, rozhodnete sa privyrobiť si cez prázdniny atď.

Povedzte nám v komentároch, aké príklady inverzných a priamo úmerných vzťahov si všimnete vo svojom okolí. Nech je to taká hra. Uvidíte, aké to bude vzrušujúce. Nezabudnite tento článok zdieľať na sociálnych sieťach, aby si zahrali aj vaši kamaráti a spolužiaci.

webová stránka, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na zdroj.

Pojem priamej úmernosti

Predstavte si, že si plánujete kúpiť svoje obľúbené cukríky (alebo čokoľvek, čo máte naozaj radi). Sladkosti v obchode majú svoju cenu. Povedzme 300 rubľov za kilogram. Čím viac cukríkov si kúpite, tým viac peňazí zaplatíte. To znamená, že ak chcete 2 kilogramy, zaplaťte 600 rubľov a ak chcete 3 kilogramy, zaplaťte 900 rubľov. Zdá sa, že toto je všetko jasné, však?

Ak áno, tak už je vám jasné, čo je priama úmernosť – ide o pojem, ktorý popisuje vzťah dvoch na sebe závislých veličín. A pomer týchto veličín zostáva nezmenený a konštantný: o koľko dielov sa jedna z nich zväčšuje alebo zmenšuje, o rovnaký počet dielov sa úmerne zvyšuje alebo znižuje druhá.

Priamu úmernosť možno opísať nasledujúcim vzorcom: f(x) = a*x a a v tomto vzorci je konštantná hodnota (a = const). V našom príklade o cukríkoch je cena konštantná hodnota, konštanta. Nezvyšuje sa ani neznižuje, bez ohľadu na to, koľko cukríkov sa rozhodnete kúpiť. Nezávislá premenná (argument) x je koľko kilogramov cukroviniek sa chystáte kúpiť. A závislá premenná f(x) (funkcia) vyjadruje, koľko peňazí nakoniec zaplatíte za svoj nákup. Takže môžeme dosadiť čísla do vzorca a získať: 600 rubľov. = 300 rubľov. * 2 kg.

Medzizáver je tento: ak argument rastie, funkcia sa tiež zvyšuje, ak argument klesá, funkcia tiež klesá

Funkcia a jej vlastnosti

Priama úmerná funkcia je špeciálny prípad lineárnej funkcie. Ak je lineárna funkcia y = k*x + b, tak pre priamu úmernosť to vyzerá takto: y = k*x, kde k sa nazýva koeficient úmernosti a vždy ide o nenulové číslo. Je ľahké vypočítať k - nájdeme ho ako podiel funkcie a argumentu: k = y/x.

Aby to bolo jasnejšie, uveďme si ďalší príklad. Predstavte si, že sa auto pohybuje z bodu A do bodu B. Jeho rýchlosť je 60 km/h. Ak predpokladáme, že rýchlosť pohybu zostáva konštantná, potom ju možno považovať za konštantnú. A potom napíšeme podmienky v tvare: S = 60*t, pričom tento vzorec je podobný funkcii priamej úmernosti y = k *x. Nakreslíme paralelu ďalej: ak k = y/x, potom rýchlosť auta možno vypočítať so vedomím vzdialenosti medzi A a B a času stráveného na ceste: V = S /t.

A teraz, od aplikovanej aplikácie poznatkov o priamej úmernosti, sa vráťme späť k jej funkcii. Medzi vlastnosti ktorých patrí:

jej doménou definície je množina všetkých reálnych čísel (ako aj jej podmnožín);

funkcia je nepárna;

zmena premenných je priamo úmerná po celej dĺžke číselnej osi.

Priama úmernosť a jej graf

Graf funkcie priamej úmernosti je priamka, ktorá pretína počiatok. Na jej postavenie stačí označiť už len jeden bod navyše. A spojte ho a počiatok súradníc priamkou.

V prípade grafu je k sklon. Ak je sklon menší ako nula (k< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k >0), graf a os x zvierajú ostrý uhol a funkcia sa zvyšuje.

A ešte jedna vlastnosť grafu funkcie priamej úmernosti priamo súvisí so sklonom k. Predpokladajme, že máme dve neidentické funkcie a podľa toho dva grafy. Ak sú teda koeficienty k týchto funkcií rovnaké, ich grafy sú umiestnené rovnobežne so súradnicovou osou. A ak sa koeficienty k navzájom nerovnajú, grafy sa pretínajú.

Vzorové problémy

Teraz poďme vyriešiť pár problémy priamej úmernosti

Začnime niečím jednoduchým.

Úloha 1: Predstavte si, že 5 sliepok znesie 5 vajec za 5 dní. A ak je 20 sliepok, koľko vajec znesú za 20 dní?

Riešenie: Neznáme označme kx. A budeme uvažovať takto: koľkokrát viac kurčiat sa stalo? Vydeľte 20 5 a zistite, že je to 4 krát. Koľkokrát viac vajec znesie 20 sliepok za rovnakých 5 dní? Tiež 4 krát viac. Takže naše nájdeme takto: 5*4*4 = 80 vajec znesie 20 sliepok za 20 dní.

Teraz je príklad trochu komplikovanejší, parafrázujme problém z Newtonovej „všeobecnej aritmetiky“. Úloha 2: Spisovateľ dokáže zložiť 14 strán novej knihy za 8 dní. Ak by mal asistentov, koľko ľudí by bolo potrebných na napísanie 420 strán za 12 dní?

Riešenie: Domnievame sa, že počet ľudí (spisovateľ + asistenti) rastie s objemom práce, ak ju treba urobiť za rovnaký čas. Ale koľkokrát? Vydelením 420 číslom 14 zistíme, že sa zvýši 30-krát. Ale keďže podľa podmienok úlohy je na prácu poskytnutý viac času, počet asistentov sa zvyšuje nie 30-krát, ale týmto spôsobom: x = 1 (spisovateľ) * 30 (krát): 12/8 ( dní). Transformujme sa a zistíme, že x = 20 ľudí napíše 420 strán za 12 dní.

Vyriešme ďalší problém podobný tým v našich príkladoch.

Problém 3: Dve autá sa vydali na tú istú cestu. Jeden sa pohyboval rýchlosťou 70 km/h a rovnakú vzdialenosť prekonal za 2 hodiny ako druhému za 7 hodín. Nájdite rýchlosť druhého auta.

Riešenie: Ako si pamätáte, dráha je určená rýchlosťou a časom - S = V *t. Keďže obe autá prešli rovnakú vzdialenosť, môžeme dať tieto dva výrazy rovnítkom: 70*2 = V*7. Ako zistíme, že rýchlosť druhého auta je V = 70*2/7 = 20 km/h.

A ešte pár príkladov úloh s funkciami priamej úmernosti. Niekedy problémy vyžadujú zistenie koeficientu k.

Úloha 4: Vzhľadom na funkcie y = - x/16 a y = 5x/2 určte ich koeficienty úmernosti.

Riešenie: Ako si pamätáte, k = y/x. To znamená, že pre prvú funkciu je koeficient rovný -1/16 a pre druhú k = 5/2.

Môžete sa stretnúť aj s úlohou ako je Úloha 5: Zapíšte si priamu úmernosť pomocou vzorca. Jeho graf a graf funkcie y = -5x + 3 sú umiestnené paralelne.

Riešenie: Funkcia, ktorá je nám daná v podmienke, je lineárna. Vieme, že priama úmernosť je špeciálny prípad lineárnej funkcie. A tiež vieme, že ak sú koeficienty k funkcií rovnaké, ich grafy sú rovnobežné. To znamená, že stačí vypočítať koeficient známej funkcie a nastaviť priamu úmernosť pomocou nám známeho vzorca: y = k *x. Koeficient k = -5, priama úmernosť: y = -5*x.

Záver

Teraz ste sa naučili (alebo si zapamätali, ak ste už túto tému preberali), čo sa nazýva priama úmernosť a pozrel sa na to príklady. Hovorili sme aj o funkcii priamej úmernosti a jej grafe a riešili niekoľko príkladov.

Ak bol tento článok užitočný a pomohol vám pochopiť tému, povedzte nám o tom v komentároch. Aby sme vedeli, či vám môžeme pomôcť.

blog.site, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti sa vyžaduje odkaz na pôvodný zdroj.

Priama a nepriama úmernosť

Ak t je čas pohybu chodca (v hodinách), s je prejdená vzdialenosť (v kilometroch) a pohybuje sa rovnomerne rýchlosťou 4 km/h, potom vzťah medzi týmito veličinami možno vyjadriť vzorcom s = 4t. Keďže každej hodnote t zodpovedá jedna hodnota s, môžeme povedať, že funkcia je definovaná pomocou vzorca s = 4t. Nazýva sa priama úmernosť a je definovaná nasledovne.

Definícia. Priama úmernosť je funkcia, ktorú je možné špecifikovať pomocou vzorca y=kx, kde k je nenulové reálne číslo.

Názov funkcie y = k x je spôsobený tým, že vo vzorci y = k x sú premenné x a y, ktoré môžu byť hodnotami veličín. A ak sa pomer dvoch veličín rovná nejakému číslu odlišnému od nuly, volajú sa priamo úmerné . V našom prípade = k (k≠0). Toto číslo sa volá koeficient proporcionality.

Funkcia y = k x je matematickým modelom mnohých reálnych situácií uvažovaných už v počiatočnom kurze matematiky. Jeden z nich je opísaný vyššie. Ďalší príklad: ak jedno vrece múky obsahuje 2 kg a takýchto vriec bolo nakúpených x, potom celú hmotnosť nakúpenej múky (označíme y) možno znázorniť vzorcom y = 2x, t.j. vzťah medzi počtom vriec a celkovou hmotnosťou nakupovanej múky je priamo úmerný koeficientu k=2.

Pripomeňme si niektoré vlastnosti priamej úmernosti, ktoré sa študujú v školskom kurze matematiky.

1. Definičný obor funkcie y = k x a rozsah jej hodnôt je množina reálnych čísel.

2. Graf priamej úmernosti je priamka prechádzajúca počiatkom súradníc. Na zostrojenie grafu priamej úmernosti teda stačí nájsť len jeden bod, ktorý mu patrí a nezhoduje sa s počiatkom súradníc, a potom cez tento bod a počiatok súradníc nakresliť priamku.

Napríklad na zostrojenie grafu funkcie y = 2x stačí mať bod so súradnicami (1, 2), cez ktorý potom nakresliť priamku a počiatok súradníc (obr. 7).

3. Pre k > 0 funkcia y = khx narastá v celom definičnom obore; pri k< 0 - убывает на всей области определения.

4. Ak je funkcia f priama úmernosť a (x 1, y 1), (x 2, y 2) sú dvojice zodpovedajúcich hodnôt premenných x a y a x 2 ≠0 potom.

V skutočnosti, ak je funkcia f priama úmernosť, potom môže byť daná vzorcom y = khx a potom y 1 = kh 1, y 2 = kh 2. Pretože pri x 2 ≠0 a k≠0, potom y 2 ≠0. Preto a to znamená.

Ak sú hodnoty premenných x a y kladné reálne čísla, potom možno dokázanú vlastnosť priamej úmernosti formulovať takto: pri niekoľkonásobnom zvýšení (znížení) hodnoty premennej x sa o rovnakú hodnotu zvýši (zníži) zodpovedajúca hodnota premennej y.

Táto vlastnosť je vlastná iba priamej úmernosti a možno ju použiť pri riešení slovných úloh, v ktorých sa uvažuje o priamo úmerných veličinách.

Úloha 1. Za 8 hodín sústružník vyrobil 16 dielov. Koľko hodín bude trvať, kým sústružník vyrobí 48 dielov, ak bude pracovať s rovnakou produktivitou?

Riešenie. Problém uvažuje s nasledujúcimi veličinami: pracovný čas sústružníka, počet súčiastok, ktoré vyrobí a produktivita (t.j. počet súčiastok vyrobených sústružníkom za 1 hodinu), pričom posledná hodnota je konštantná a ostatné dve preberajú rôzne hodnoty. Okrem toho počet vyrobených dielov a pracovný čas sú priamo úmerné množstvá, pretože ich pomer sa rovná určitému číslu, ktoré sa nerovná nule, konkrétne počtu dielov vyrobených sústružníkom za 1 hodinu vyrobených dielov sa označí písmenom y, čas práce je x a produktivita je k, potom dostaneme, že = k alebo y = khx, t.j. Matematickým modelom situácie prezentovanej v úlohe je priama úmernosť.

Problém je možné vyriešiť dvoma aritmetickými spôsobmi:

1. spôsob: 2. spôsob:

1) 16:8 = 2 (deti) 1) 48:16 = 3 (krát)

2) 48:2 = 24 (h) 2) 8-3 = 24 (h)

Pri riešení úlohy prvým spôsobom sme najskôr našli koeficient úmernosti k, ktorý sa rovná 2, a potom, keď vieme, že y = 2x, našli sme hodnotu x za predpokladu, že y = 48.

Pri riešení úlohy druhým spôsobom sme použili vlastnosť priamej úmernosti: koľkokrát sa zvýši počet dielov vyrobených sústružníkom, o rovnakú hodnotu sa zvýši aj čas na ich výrobu.

Prejdime teraz k funkcii nazývanej inverzná úmernosť.

Ak t je čas pohybu chodca (v hodinách), v je jeho rýchlosť (v km/h) a prešiel 12 km, potom vzťah medzi týmito veličinami možno vyjadriť vzorcom v∙t = 20 alebo v = .

Keďže každá hodnota t (t ≠ 0) zodpovedá jedinej hodnote rýchlosti v, môžeme povedať, že funkcia je špecifikovaná pomocou vzorca v =. Nazýva sa inverzná úmernosť a je definovaná nasledovne.

Definícia. Inverzná úmernosť je funkcia, ktorú je možné špecifikovať pomocou vzorca y =, kde k je reálne číslo, ktoré sa nerovná nule.

Názov tejto funkcie je spôsobený tým, že y = existujú premenné x a y, ktoré môžu byť hodnotami veličín. A ak sa súčin dvoch veličín rovná nejakému číslu odlišnému od nuly, potom sa nazývajú nepriamo úmerné. V našom prípade xy = k(k ≠0). Toto číslo k sa nazýva koeficient proporcionality.

Funkcia y = je matematický model mnohých reálnych situácií uvažovaných už v počiatočnom kurze matematiky. Jeden z nich je opísaný pred definíciou nepriamej úmernosti. Ďalší príklad: ak ste kúpili 12 kg múky a dali ste to do l:y kg plechoviek, potom vzťah medzi týmito množstvami možno znázorniť ako x-y = 12, t.j. je nepriamo úmerný koeficientu k=12.

Pripomeňme si niektoré vlastnosti nepriamej úmernosti, známe z kurzu školskej matematiky.

1. Definícia domény funkcie y = a rozsah jeho hodnôt x je množina reálnych čísel iných ako nula.

2. Grafom nepriamej úmernosti je hyperbola.

3. Pre k > 0 sa vetvy hyperboly nachádzajú v 1. a 3. štvrtine a funkcia y = v celej oblasti definície x klesá (obr. 8).

Ryža. 8 Obr.9

Pri k< 0 ветви гиперболы расположены во 2-й и 4-й четвертях и функция y = rastie v celej doméne definície x (obr. 9).

4. Ak je funkcia f nepriamo úmerná a (x 1, y 1), (x 2, y 2) sú dvojice zodpovedajúcich hodnôt premenných x a y, potom.

V skutočnosti, ak je funkcia f nepriamo úmerná, potom môže byť daná vzorcom y = a potom . Pretože x 1 ≠0, x 2 ≠0, x 3 ≠0, potom

Ak sú hodnoty premenných x a y kladné reálne čísla, potom je možné túto vlastnosť nepriamej úmernosti formulovať takto: s niekoľkonásobným zvýšením (znížením) hodnoty premennej x zodpovedajúca hodnota premennej y klesá (rastie) o rovnakú hodnotu.

Táto vlastnosť je vlastná iba nepriamej úmernosti a možno ju použiť pri riešení slovných úloh, v ktorých sa uvažuje s nepriamo úmernými veličinami.

Úloha 2. Cyklista, ktorý sa pohybuje rýchlosťou 10 km/h, prekonal vzdialenosť z bodu A do bodu B za 6 hodín Koľko času strávi cyklista na ceste späť, ak pôjde rýchlosťou 20 km/h?

Riešenie. Úloha uvažuje s nasledujúcimi veličinami: rýchlosť cyklistu, čas pohybu a vzdialenosť z A do B, pričom posledná veličina je konštantná, zatiaľ čo ostatné dve nadobúdajú rôzne hodnoty. Navyše rýchlosť a čas pohybu sú nepriamo úmerné veličiny, keďže ich súčin sa rovná určitému číslu, konkrétne prejdenej vzdialenosti. Ak čas pohybu cyklistu označíme písmenom y, rýchlosť x a vzdialenosť AB k, potom dostaneme, že xy = k alebo y =, t.j. Matematický model situácie prezentovaný v úlohe je nepriamo úmerný.

Existujú dva spôsoby, ako vyriešiť problém:

1. spôsob: 2. spôsob:

1) 10-6 = 60 (km) 1) 20:10 = 2 (krát)

2) 60:20 = 3(4) 2) 6:2 = 3(h)

Pri riešení úlohy prvým spôsobom sme najprv našli koeficient úmernosti k, ktorý sa rovná 60, a potom, keď vieme, že y =, našli sme hodnotu y za predpokladu, že x = 20.

Pri riešení úlohy druhým spôsobom sme využili vlastnosť nepriamej úmernosti: koľkokrát sa rýchlosť pohybu zvýši, o rovnaké číslo sa zníži čas na prejdenie rovnakej vzdialenosti.

Všimnite si, že pri riešení špecifických úloh s nepriamo úmernými alebo priamo úmernými veličinami sú určité obmedzenia uložené najmä na x a y, nemožno ich brať do úvahy na celú množinu reálnych čísel, ale na jej podmnožiny.

Problém 3. Lena kúpila x ceruziek a Katya kúpila 2-krát viac. Označte počet ceruziek, ktoré Katya kúpila, y, vyjadrite y x a vytvorte graf zistenej korešpondencie za predpokladu, že x≤5. Zodpovedá to funkcii? Aká je jeho doména definície a rozsahu hodnôt?

Riešenie. Káťa kúpila = 2 ceruzky. Pri vykresľovaní funkcie y=2x je potrebné vziať do úvahy, že premenná x označuje počet ceruziek a x≤5, čo znamená, že môže nadobúdať iba hodnoty 0, 1, 2, 3, 4, 5. Toto bude doména definície tejto funkcie. Na získanie rozsahu hodnôt tejto funkcie je potrebné vynásobiť každú hodnotu x z rozsahu definície číslom 2, t.j. toto bude sada (0, 2, 4, 6, 8, 10). Preto grafom funkcie y = 2x s definičným oborom (0, 1, 2, 3, 4, 5) bude množina bodov znázornená na obrázku 10. Všetky tieto body patria do priamky y = 2x .