Existuje vysoká pravdepodobnosť niečoho takého. Vzorce teórie pravdepodobnosti a príklady riešenia problémov

Poďme sa teda porozprávať o téme, ktorá zaujíma veľa ľudí. V tomto článku odpoviem na otázku, ako vypočítať pravdepodobnosť udalosti. Uvediem vzorce na takýto výpočet a niekoľko príkladov, aby bolo jasnejšie, ako sa to robí.

Čo je pravdepodobnosť

Začnime tým, že pravdepodobnosť, že dôjde k tej či onej udalosti, je istá miera dôvery v prípadný výskyt nejakého výsledku. Na tento výpočet bol vyvinutý vzorec plná pravdepodobnosť, ktorá vám umožňuje určiť, či udalosť, ktorá vás zaujíma, nastane alebo nie, prostredníctvom takzvaných podmienených pravdepodobností. Tento vzorec vyzerá takto: P = n/m, písmená sa môžu meniť, ale to neovplyvňuje samotnú podstatu.

Príklady pravdepodobnosti

Pomocou jednoduchého príkladu analyzujme tento vzorec a aplikujme ho. Povedzme, že máte určitú udalosť (P), nech je to hod kockou, teda rovnostranná kocka. A musíme vypočítať, aká je pravdepodobnosť získania 2 bodov. Na to potrebujete počet kladných udalostí (n), v našom prípade stratu 2 bodov celkový počet udalosti (m). K hodu 2 bodmi môže dôjsť iba v jednom prípade, ak sú na kocke 2 body, keďže inak bude súčet väčší, z toho vyplýva, že n = 1. Ďalej spočítame počet hodov ľubovoľných iných čísel na kocke. kocky, na 1 kocku - to sú 1, 2, 3, 4, 5 a 6, preto existuje 6 priaznivých prípadov, teda m = 6. Teraz pomocou vzorca urobíme jednoduchý výpočet P = 1/ 6 a zistíme, že hod 2 bodmi na kocke je 1/6, čiže pravdepodobnosť udalosti je veľmi nízka.

Pozrime sa tiež na príklad s použitím farebných guličiek, ktoré sú v krabici: 50 bielych, 40 čiernych a 30 zelených. Musíte určiť, aká je pravdepodobnosť nakreslenia zelenej gule. A tak, keďže existuje 30 loptičiek tejto farby, to znamená, že môže byť iba 30 pozitívnych udalostí (n = 30), počet všetkých udalostí je 120, m = 120 (na základe celkového počtu všetkých loptičiek), pomocou vzorca vypočítame, že pravdepodobnosť vytiahnutia zelenej gule sa bude rovnať P = 30/120 = 0,25, teda 25 % zo 100. Rovnakým spôsobom môžete vypočítať pravdepodobnosť vytiahnutia gule iná farba (čierna to bude 33 %, biela 42 %).

pravdepodobnosť- číslo medzi 0 a 1, ktoré vyjadruje šance, že nastane náhodná udalosť, kde 0 je úplná absencia pravdepodobnosť výskytu udalosti a 1 znamená, že daná udalosť určite nastane.

Pravdepodobnosť udalosti E je číslo od 1 do 1.
Súčet pravdepodobností vzájomne sa vylučujúcich udalostí sa rovná 1.

empirická pravdepodobnosť- pravdepodobnosť, ktorá sa počíta ako relatívna frekvencia udalosti v minulosti, získaná z analýzy historických údajov.

Pravdepodobnosť veľmi zriedkavých udalostí sa nedá vypočítať empiricky.

subjektívna pravdepodobnosť- pravdepodobnosť založená na osob subjektívne hodnotenie udalosti bez ohľadu na historické údaje. Investori, ktorí sa rozhodujú o nákupe a predaji akcií, často konajú na základe úvah o subjektívnej pravdepodobnosti.

predchádzajúca pravdepodobnosť -

Šanca je 1 in... (pravdepodobnosť), že k udalosti dôjde prostredníctvom konceptu pravdepodobnosti. Pravdepodobnosť výskytu udalosti je vyjadrená prostredníctvom pravdepodobnosti takto: P/(1-P).

Napríklad, ak je pravdepodobnosť udalosti 0,5, potom je pravdepodobnosť udalosti 1 z 2, pretože 0,5/(1-0,5).

Šanca, že k udalosti nedôjde, sa vypočíta pomocou vzorca (1-P)/P

Nekonzistentná pravdepodobnosť- napríklad cena akcií spoločnosti A zohľadňuje možnú udalosť E na 85 % a cena akcií spoločnosti B zohľadňuje len 50 %. Toto sa nazýva nekonzistentná pravdepodobnosť. Podľa holandského teorému o stávkovaní vytvára nekonzistentná pravdepodobnosť ziskové príležitosti.

Bezpodmienečná pravdepodobnosť je odpoveď na otázku „Aká je pravdepodobnosť, že k udalosti dôjde?

Podmienená pravdepodobnosť- toto je odpoveď na otázku: "Aká je pravdepodobnosť udalosti A, ak nastane udalosť B." Podmienená pravdepodobnosť je označená ako P(A|B).

Spoločná pravdepodobnosť- pravdepodobnosť, že udalosti A a B nastanú súčasne. Označuje sa ako P(AB).

P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)

P(AB) = P(A|B)*P(B)

Pravidlo na sčítanie pravdepodobností:

Pravdepodobnosť, že nastane buď udalosť A alebo udalosť B, je

P (A alebo B) = P(A) + P(B) - P(AB) (2)

Ak sa udalosti A a B navzájom vylučujú, potom

P (A alebo B) = P (A) + P (B)

Nezávislé udalosti- udalosti A a B sú nezávislé, ak

P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B)

To znamená, že ide o postupnosť výsledkov, kde je hodnota pravdepodobnosti konštantná od jednej udalosti k druhej.
Príkladom takejto udalosti je hod mincou – výsledok každého nasledujúceho hodu nezávisí od výsledku predchádzajúceho.

Závislé udalosti- ide o udalosti, kde pravdepodobnosť výskytu jedného závisí od pravdepodobnosti výskytu iného.

Pravidlo násobenia pravdepodobnosti nezávislé udalosti:
Ak sú udalosti A a B nezávislé, potom

P(AB) = P(A) * P(B) (3)

Pravidlo celkovej pravdepodobnosti:

P(A) = P(AS) + P(AS") = P(A|S)P(S) + P (A|S)P(S") (4)

S a S“ sú vzájomne sa vylučujúce udalosti

očakávanú hodnotu náhodná premenná je priemerom možných výsledkov náhodná premenná. Pre udalosť X je očakávanie označené ako E(X).

Povedzme, že máme 5 hodnôt vzájomne sa vylučujúcich udalostí c istá pravdepodobnosť(napríklad príjem spoločnosti dosiahol s takou pravdepodobnosťou takú a takú sumu). Matematické očakávanie bude súčtom všetkých výsledkov vynásobených ich pravdepodobnosťou:

Disperzia náhodnej premennej je očakávanie štvorcových odchýlok náhodnej premennej od jej očakávania:

s2 = E(2) (6)

Podmienená očakávaná hodnota je očakávaná hodnota náhodnej premennej X za predpokladu, že udalosť S už nastala.

Pôvodne bola teória pravdepodobnosti len zbierkou informácií a empirických pozorovaní o hre v kocky a stala sa dôkladnou vedou. Prví, ktorí tomu dali matematický rámec, boli Fermat a Pascal.

Od uvažovania o večnom k teórii pravdepodobnosti

Dve osobnosti, ktorým teória pravdepodobnosti vďačí za veľa základné vzorce, Blaise Pascal a Thomas Bayes, sú známi ako hlboko veriaci ľudia, pričom druhý z nich je presbyteriánskym služobníkom. Zrejme túžba týchto dvoch vedcov dokázať mylný názor na to, že istá Fortune dáva šťastie svojim obľúbencom, dala impulz výskumu v tejto oblasti. Koniec koncov, vlastne akýkoľvek hazardných hier so svojimi výhrami a prehrami je to len symfónia matematických princípov.

Vďaka vášni gentlemana de Mere, ktorý rovnako ako hráč a človek, ktorý nie je ľahostajný k vede, bol Pascal nútený nájsť spôsob, ako vypočítať pravdepodobnosť. De Mere zaujímala nasledujúca otázka: „Koľkokrát je potrebné hodiť dve kocky v pároch, aby pravdepodobnosť získania 12 bodov presiahla 50 %?“ Druhá otázka, ktorá pána veľmi zaujala: „Ako rozdeliť stávku medzi účastníkov nedokončenej hry? Pascal samozrejme úspešne odpovedal na obe otázky de Mereho, ktorý sa stal nevedomým iniciátorom rozvoja teórie pravdepodobnosti. Je zaujímavé, že osoba de Mere zostala známa v tejto oblasti, a nie v literatúre.

Predtým sa žiadny matematik nikdy nepokúsil vypočítať pravdepodobnosti udalostí, pretože sa verilo, že ide len o hádanie. Blaise Pascal dal prvú definíciu pravdepodobnosti udalosti a ukázal, že ide o špecifický údaj, ktorý možno matematicky zdôvodniť. Teória pravdepodobnosti sa stala základom štatistiky a je široko používaná v modernej vede.

Čo je náhodnosť

Zvážte test, ktorý sa môže opakovať nekonečné čísločasy, potom môžeme definovať náhodnú udalosť. Toto je jeden z pravdepodobných výsledkov experimentu.

Skúsenosť je realizácia konkrétnych akcií za stálych podmienok.

Aby bolo možné s výsledkami experimentu pracovať, udalosti sa zvyčajne označujú písmenami A, B, C, D, E...

Pravdepodobnosť náhodnej udalosti

Aby sme mohli začať s matematickou časťou pravdepodobnosti, je potrebné definovať všetky jej zložky.

Pravdepodobnosť udalosti je numerická miera možnosti, že nejaká udalosť (A alebo B) nastane v dôsledku zážitku. Pravdepodobnosť sa označuje ako P(A) alebo P(B).

V teórii pravdepodobnosti rozlišujú:

spoľahlivý udalosť sa zaručene vyskytne ako výsledok skúsenosti P(Ω) = 1;
nemožné udalosť sa nikdy nemôže stať P(Ø) = 0;
náhodný udalosť leží medzi spoľahlivou a nemožnou, to znamená, že pravdepodobnosť jej výskytu je možná, ale nie je zaručená (pravdepodobnosť náhodnej udalosti je vždy v rozsahu 0≤Р(А)≤ 1).

Vzťahy medzi udalosťami

Jedna aj súčet udalostí A+B sa berú do úvahy, keď sa udalosť počíta, keď je splnená aspoň jedna zo zložiek A alebo B alebo obe zložky A a B.

Vo vzájomnom vzťahu môžu byť udalosti:

Rovnako možné.
Kompatibilné.
Nekompatibilné.
Opačný (vzájomne sa vylučujúci).
Závislý.

Ak sa môžu stať dve udalosti s rovnaká pravdepodobnosť potom oni rovnako možné.

Ak výskyt udalosti A nezníži na nulu pravdepodobnosť výskytu udalosti B, potom oni kompatibilné.

Ak udalosti A a B nikdy nenastanú súčasne v tej istej skúsenosti, potom sa nazývajú nezlučiteľné. Hod mincou - dobrý príklad: vzhľad hláv je automaticky nezobrazenie hláv.

Pravdepodobnosť súčtu takýchto nezlučiteľných udalostí pozostáva zo súčtu pravdepodobností každej z týchto udalostí:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Ak výskyt jednej udalosti znemožňuje výskyt inej udalosti, potom sa nazývajú opačné. Potom je jeden z nich označený ako A a druhý - Ā (čítaj ako „nie A“). Výskyt udalosti A znamená, že Ā nenastala. Tieto dve udalosti tvoria kompletnú skupinu so súčtom pravdepodobností rovným 1.

Závislé udalosti majú vzájomný vplyv, znižujú alebo zvyšujú pravdepodobnosť toho druhého.

Vzťahy medzi udalosťami. Príklady

Pomocou príkladov je oveľa jednoduchšie pochopiť princípy teórie pravdepodobnosti a kombinácií udalostí.

Experiment, ktorý sa uskutoční, pozostáva z vyberania loptičiek z krabice a výsledkom každého experimentu je elementárny výsledok.

Udalosť je jedným z možných výsledkov experimentu – červená guľa, modrá guľa, guľa s číslom šesť atď.

Test č.1. Ide o 6 guľôčok, z ktorých tri sú modré s nepárnymi číslami a ďalšie tri sú červené s párnymi číslami.

Test č.2. Zapojených 6 loptičiek modrá s číslami od jedna do šesť.

Na základe tohto príkladu môžeme pomenovať kombinácie:

Spoľahlivé podujatie. v španielčine Udalosť č. 2 „získaj modrú loptičku“ je spoľahlivá, pretože pravdepodobnosť jej výskytu je rovná 1, pretože všetky loptičky sú modré a nemôže chýbať. Zatiaľ čo udalosť „získaj loptu s číslom 1“ je náhodná.
Nemožná udalosť. v španielčine 1 s modrými a červenými loptičkami je udalosť „získanie fialovej gule“ nemožná, pretože pravdepodobnosť jej výskytu je 0.
Rovnako možné udalosti. v španielčine č. 1, udalosti „získaj loptu s číslom 2“ a „získaj loptu s číslom 3“ sú rovnako možné a udalosti „získaj loptu s párnym číslom“ a „získaj loptu s číslom 2“ “ majú rôzne pravdepodobnosti.
Kompatibilné udalosti. Dostať šestku dvakrát za sebou pri hode kockou je kompatibilná udalosť.
Nekompatibilné udalosti. V tej istej španielčine Č. 1, udalosti „získaj červenú loptičku“ a „získaj loptičku s nepárnym číslom“ nemožno kombinovať v rovnakom zážitku.
Opačné udalosti. Väčšina žiarivý príklad Ide o hádzanie mincí, pri ktorom je nakreslenie hláv ekvivalentné nenakresleniu chvostov a súčet ich pravdepodobností je vždy 1 (celá skupina).
Závislé udalosti. Takže po španielsky Č. 1, môžete si nastaviť cieľ ťahať červenú guľu dvakrát za sebou. To, či je alebo nie je načítané prvýkrát, ovplyvňuje pravdepodobnosť získania druhýkrát.

Je vidieť, že prvá udalosť výrazne ovplyvňuje pravdepodobnosť druhej (40 % a 60 %).

Vzorec pravdepodobnosti udalosti

Prechod od veštenia k presným údajom nastáva prekladom témy do matematickej roviny. To znamená, že úsudky o náhodnej udalosti, ako je „vysoká pravdepodobnosť“ alebo „minimálna pravdepodobnosť“, možno previesť do konkrétnych číselných údajov. Takýto materiál je už prípustné vyhodnocovať, porovnávať a zadávať do zložitejších výpočtov.

Z hľadiska výpočtu je určenie pravdepodobnosti udalosti pomerom počtu elementárnych pozitívnych výsledkov k počtu všetkých možných výsledkov skúseností týkajúcich sa konkrétnej udalosti. Pravdepodobnosť sa označuje ako P(A), kde P znamená slovo „pravdepodobnosť“, čo sa z francúzštiny prekladá ako „pravdepodobnosť“.

Takže vzorec pre pravdepodobnosť udalosti je:

Kde m je počet priaznivých výsledkov pre udalosť A, n je súčet všetkých možných výsledkov pre túto skúsenosť. V tomto prípade je pravdepodobnosť udalosti vždy medzi 0 a 1:

0 ≤ P(A) ≤ 1.

Výpočet pravdepodobnosti udalosti. Príklad

Vezmime si španielčinu. č. 1 s loptičkami, ktorý bol popísaný vyššie: 3 modré gule s číslami 1/3/5 a 3 červené gule s číslami 2/4/6.

Na základe tohto testu možno zvážiť niekoľko rôznych problémov:

A - vypadávajúca červená guľa. K dispozícii sú 3 červené gule a celkovo je tu 6 možností najjednoduchší príklad, v ktorom sa pravdepodobnosť udalosti rovná P(A)=3/6=0,5.
B - hádzanie párneho čísla. Existujú 3 párne čísla (2,4,6) a celkový počet možných číselných možností je 6. Pravdepodobnosť tejto udalosti je P(B)=3/6=0,5.
C - výskyt čísla väčšieho ako 2. Existujú 4 takéto možnosti (3,4,5,6) z celkového počtu možných výsledkov 6. Pravdepodobnosť udalosti C sa rovná P(C)=4 /6 = 0,67.

Ako vidno z výpočtov, udalosť C má vysoká pravdepodobnosť, pretože počet pravdepodobných pozitívnych výsledkov je vyšší ako v A a B.

Nekompatibilné udalosti

Takéto udalosti sa nemôžu objaviť súčasne v tej istej skúsenosti. Ako v španielčine č. 1 nie je možné získať modrú a červenú loptičku súčasne. To znamená, že môžete získať modrú alebo červenú guľu. Rovnako tak sa na kocke nemôže objaviť súčasne párne a nepárne číslo.

Pravdepodobnosť dvoch udalostí sa považuje za pravdepodobnosť ich súčtu alebo súčinu. Súčet takýchto udalostí A+B sa považuje za udalosť, ktorá pozostáva z výskytu udalosti A alebo B a ich súčin AB je výskyt oboch. Napríklad vzhľad dvoch šestiek naraz na tvárach dvoch kociek v jednom hode.

Súčet viacerých udalostí je udalosť, ktorá predpokladá výskyt aspoň jednej z nich. Výroba niekoľkých podujatí je spoločným výskytom všetkých.

V teórii pravdepodobnosti spravidla použitie spojky „a“ označuje súčet a spojka „alebo“ - násobenie. Vzorce s príkladmi vám pomôžu pochopiť logiku sčítania a násobenia v teórii pravdepodobnosti.

Pravdepodobnosť súčtu nezlučiteľných udalostí

Ak sa berie do úvahy pravdepodobnosť nezlučiteľné udalosti, potom sa pravdepodobnosť súčtu udalostí rovná súčtu ich pravdepodobností:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Napríklad: vypočítajme pravdepodobnosť, že v španielčine. 1 s modrými a červenými guľôčkami sa objaví číslo medzi 1 a 4. Počítame nie v jednej akcii, ale súčtom pravdepodobností elementárnych zložiek. Takže v takomto experimente je len 6 loptičiek alebo 6 zo všetkých možných výsledkov. Čísla, ktoré spĺňajú podmienku, sú 2 a 3. Pravdepodobnosť získania čísla 2 je 1/6, pravdepodobnosť získania čísla 3 je tiež 1/6. Pravdepodobnosť získania čísla medzi 1 a 4 je:

Pravdepodobnosť súčtu nekompatibilných udalostí celej skupiny je 1.

Ak teda pri pokuse s kockou spočítame pravdepodobnosti všetkých vyskytnutých čísel, výsledok bude jedna.

To platí aj pre opačné udalosti, napríklad v experimente s mincou, kde jedna strana je udalosť A a druhá opačná udalosťĀ, ako je známe,

P(A) + P(Ā) = 1

Pravdepodobnosť výskytu nezlučiteľných udalostí

Násobenie pravdepodobnosti sa používa pri zvažovaní výskytu dvoch alebo viacerých nezlučiteľných udalostí v jednom pozorovaní. Pravdepodobnosť, že sa v ňom udalosti A a B objavia súčasne, sa rovná súčinu ich pravdepodobností, alebo:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Napríklad pravdepodobnosť, že v španielčine č. 1, v dôsledku dvoch pokusov sa dvakrát objaví modrá guľa, ktorá sa rovná

To znamená, že pravdepodobnosť udalosti, ktorá nastane, keď sa v dôsledku dvoch pokusov o extrakciu loptičiek vytiahnu iba modré loptičky, je 25 %. Je veľmi jednoduché urobiť praktické experimenty s týmto problémom a zistiť, či je to skutočne tak.

Spoločné akcie

Udalosti sa považujú za spoločné, ak sa výskyt jednej z nich môže zhodovať s výskytom inej. Napriek tomu, že sú spoločné, zvažuje sa pravdepodobnosť nezávislých udalostí. Napríklad hod dvoma kockami môže dať výsledok, keď sa na oboch objaví číslo 6. Hoci sa udalosti zhodovali a objavili sa v rovnakom čase, sú na sebe nezávislé – vypadnúť mohla len jedna šestka, druhá kocka nemá žiadnu. vplyv na to.

Pravdepodobnosť spoločných udalostí sa považuje za pravdepodobnosť ich súčtu.

Pravdepodobnosť súčtu spoločných udalostí. Príklad

Pravdepodobnosť súčtu udalostí A a B, ktoré sú vo vzájomnom vzťahu spoločné, sa rovná súčtu pravdepodobností udalosti mínus pravdepodobnosť ich výskytu (teda ich spoločného výskytu):

R kĺb (A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)

Predpokladajme, že pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa jednou ranou je 0,4. Potom udalosť A je zasiahnutie cieľa v prvom pokuse, B - v druhom. Tieto udalosti sú spoločné, pretože je možné, že zasiahnete cieľ prvým aj druhým výstrelom. Ale udalosti nie sú závislé. Aká je pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa dvoma ranami (aspoň jednou)? Podľa vzorca:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Odpoveď na otázku znie: „Pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa dvoma ranami je 64 %.

Tento vzorec pravdepodobnosti udalosti možno aplikovať aj na nezlučiteľné udalosti, kde pravdepodobnosť spoločného výskytu udalosti P(AB) = 0. To znamená, že pravdepodobnosť súčtu nezlučiteľných udalostí možno považovať za špeciálny prípad. navrhovaného vzorca.

Geometria pravdepodobnosti pre prehľadnosť

Zaujímavé je, že pravdepodobnosť súčtu spoločných udalostí možno znázorniť ako dve oblasti A a B, ktoré sa navzájom prelínajú. Ako je zrejmé z obrázku, plocha ich spojenia sa rovná celkovej ploche mínus plocha ich priesečníka. Toto geometrické vysvetlenie robí zdanlivo nelogický vzorec zrozumiteľnejším. Všimnite si to geometrické riešenia- nie je nezvyčajné v teórii pravdepodobnosti.

Určiť pravdepodobnosť súčtu mnohých (viac ako dvoch) spoločných udalostí je dosť ťažkopádne. Na jej výpočet je potrebné použiť vzorce, ktoré sú pre tieto prípady poskytnuté.

Závislé udalosti

Udalosti sa nazývajú závislé, ak výskyt jednej (A) z nich ovplyvňuje pravdepodobnosť výskytu inej (B). Okrem toho sa berie do úvahy vplyv tak výskytu udalosti A, ako aj jej neprítomnosti. Hoci udalosti sa podľa definície nazývajú závislé, iba jedna z nich je závislá (B). Obyčajná pravdepodobnosť bola označená ako P(B) alebo pravdepodobnosť nezávislých udalostí. V prípade závislých udalostí sa zavádza nový pojem - podmienená pravdepodobnosť P A (B), čo je pravdepodobnosť závislej udalosti B, za predpokladu výskytu udalosti A (hypotéza), od ktorej závisí.

Udalosť A je však tiež náhodná, takže má tiež pravdepodobnosť, ktorú je potrebné a môže sa vziať do úvahy pri vykonávaných výpočtoch. Nasledujúci príklad ukáže, ako pracovať so závislými udalosťami a hypotézou.

Príklad výpočtu pravdepodobnosti závislých udalostí

Dobrým príkladom na výpočet závislých udalostí by bol štandardný balíček kariet.

Pomocou balíčka 36 kariet ako príkladu sa pozrime na závislé udalosti. Musíme určiť pravdepodobnosť, že druhá vytiahnutá karta z balíčka bude diamantová, ak prvá vytiahnutá karta je:

Bubnovaja.
Iná farba.

Je zrejmé, že pravdepodobnosť druhej udalosti B závisí od prvej udalosti A. Ak teda platí prvá možnosť, že v balíčku je o 1 kartu (35) a 1 diamant (8) menej, pravdepodobnosť udalosti B:

RA (B) = 8/35 = 0,23

Ak platí druhá možnosť, balíček má teraz 35 kariet a plný počet tamburína (9), potom pravdepodobnosť nasledujúcej udalosti B:

RA (B) = 9/35 = 0,26.

Je vidieť, že ak je udalosť A podmienená tým, že prvou kartou je diamant, tak pravdepodobnosť udalosti B klesá a naopak.

Násobenie závislých udalostí

Riadiac sa predchádzajúcou kapitolou, prijímame prvú udalosť (A) ako fakt, ale v podstate je náhodného charakteru. Pravdepodobnosť tejto udalosti, konkrétne ťahanie diamantu z balíčka kariet, sa rovná:

P(A) = 9/36 = 1/4

Keďže teória neexistuje sama o sebe, ale má slúžiť na praktické účely, je spravodlivé poznamenať, že najčastejšie je potrebná pravdepodobnosť vzniku závislých udalostí.

Podľa vety o súčine pravdepodobností závislých udalostí sa pravdepodobnosť výskytu spoločne závislých udalostí A a B rovná pravdepodobnosti jednej udalosti A, vynásobenej podmienenou pravdepodobnosťou udalosti B (závislej od A):

P(AB) = P(A) *PA(B)

Potom v príklade balíčka je pravdepodobnosť ťahania dvoch kariet s diamantovou farbou:

9/36 * 8/35 = 0,0571 alebo 5,7 %

A pravdepodobnosť, že sa najskôr nevyťažia diamanty a potom diamanty, sa rovná:

27/36 * 9/35 = 0,19 alebo 19 %

Je zrejmé, že pravdepodobnosť výskytu udalosti B je väčšia za predpokladu, že prvá vytiahnutá karta je inej farby ako diamanty. Tento výsledok je celkom logický a pochopiteľný.

Celková pravdepodobnosť udalosti

Keď sa problém s podmienenými pravdepodobnosťami stane mnohostranným, nemožno ho vypočítať pomocou konvenčných metód. Ak existujú viac ako dve hypotézy, a to A1,A2,…,An, ..tvoria kompletnú skupinu udalostí za predpokladu, že:

P(Ai)>0, i=1,2,…
A i ∩ A j =Ø,i≠j.
Σ k A k =Ω.

Takže vzorec pre celkovú pravdepodobnosť pre udalosť B at celá skupina náhodné udalosti A1,A2,...,A n sa rovná:

Pohľad do budúcnosti

Pravdepodobnosť náhodnej udalosti je mimoriadne potrebná v mnohých oblastiach vedy: ekonometria, štatistika, fyzika atď. Keďže niektoré procesy nemožno opísať deterministicky, keďže samy majú pravdepodobnostný charakter, sú potrebné špeciálne pracovné metódy. Teória pravdepodobnosti udalosti môže byť použitá v akejkoľvek technologickej oblasti ako spôsob určenia možnosti chyby alebo poruchy.

Dá sa povedať, že rozpoznaním pravdepodobnosti nejakým spôsobom urobíme teoretický krok do budúcnosti, keď sa na ňu pozrieme cez prizmu vzorcov.

Prinesené do dnešného dňa otvorená nádoba Problémy jednotnej štátnej skúšky z matematiky (mathege.ru), ktorých riešenie je založené iba na jednom vzorci, ktorý je klasická definícia pravdepodobnosti.

Najjednoduchší spôsob, ako pochopiť vzorec, sú príklady.
Príklad 1 V košíku je 9 červených loptičiek a 3 modré loptičky. Guličky sa líšia len farbou. Vyberieme jeden z nich náhodne (bez pozerania). Aká je pravdepodobnosť, že takto vybraná lopta bude modrá?

Komentujte. V problémoch v teórii pravdepodobnosti sa niečo deje (v v tomto prípade naša akcia vytiahnutia lopty), ktorý môže mať iný výsledok- výsledok. Treba si uvedomiť, že na výsledok sa dá pozerať rôznymi spôsobmi. „Vytiahli sme nejaký druh lopty“ je tiež výsledkom. "Vytiahli sme modrú guľu" - výsledok. „Vytiahli sme presne túto loptičku zo všetkých možných loptičiek“ – tento najmenej zovšeobecnený pohľad na výsledok sa nazýva elementárny výsledok. Vo vzorci na výpočet pravdepodobnosti sú myslené elementárne výsledky.

Riešenie. Teraz vypočítajme pravdepodobnosť výberu modrej gule.
Udalosť A: „Vybraná lopta sa ukázala ako modrá“
Celkový počet všetkých možných výsledkov: 9+3=12 (počet všetkých loptičiek, ktoré sme mohli ťahať)
Počet výsledkov priaznivých pre udalosť A: 3 (počet takých výsledkov, pri ktorých došlo k udalosti A - to znamená počet modrých loptičiek)
P(A) = 3/12 = 1/4 = 0,25
Odpoveď: 0,25

Pre rovnaký problém vypočítajme pravdepodobnosť výberu červenej gule.
Celkový počet možných výsledkov zostane rovnaký, 12. Počet priaznivých výsledkov: 9. Hľadaná pravdepodobnosť: 9/12=3/4=0,75

Pravdepodobnosť akejkoľvek udalosti je vždy medzi 0 a 1.
Niekedy v každodenná reč(ale nie v teórii pravdepodobnosti!) pravdepodobnosť udalostí sa odhaduje v percentách. Prechod medzi matematickým a konverzačným skóre sa dosiahne vynásobením (alebo delením) 100 %.
takže,
Okrem toho je pravdepodobnosť nulová pre udalosti, ktoré sa nemôžu stať - neuveriteľné. Napríklad v našom príklade by to bola pravdepodobnosť vytiahnutia zelenej lopty z koša. (Počet priaznivých výsledkov je 0, P(A)=0/12=0, ak sa vypočíta pomocou vzorca)
Pravdepodobnosť 1 má udalosti, o ktorých je absolútne isté, že sa stanú, bez možností. Našou úlohou je napríklad pravdepodobnosť, že „vybraná lopta bude buď červená alebo modrá“. (Počet priaznivých výsledkov: 12, P(A)=12/12=1)

Pozreli sme sa na klasický príklad ilustrujúci definíciu pravdepodobnosti. Všetky podobné Úlohy jednotnej štátnej skúšky Podľa teórie pravdepodobnosti sa riešia pomocou tohto vzorca.
Namiesto červených a modrých guličiek môžu byť jablká a hrušky, chlapci a dievčatá, naučené a nenaučené lístky, lístky obsahujúce a neobsahujúce otázku na určitú tému (prototypy,), chybné a kvalitné tašky alebo záhradné čerpadlá ( prototypy,) - princíp zostáva rovnaký.

Mierne sa líšia vo formulácii problému teórie pravdepodobnosti Jednotnej štátnej skúšky, kde je potrebné vypočítať pravdepodobnosť výskytu nejakej udalosti v určitý deň. ( , ) Rovnako ako v predchádzajúcich úlohách musíte určiť, čo je základným výsledkom, a potom použiť rovnaký vzorec.

Príklad 2 Konferencia trvá tri dni. Prvý a druhý deň vystúpi 15 rečníkov, tretí deň 20. Aká je pravdepodobnosť, že správa profesora M. padne na tretí deň, ak sa poradie správ určí žrebovaním?

Aký je tu základný výsledok? – Zadanie správy profesora ako jednej zo všetkých možných sériové čísla za vystúpenie. Do žrebovania sa zapojí 15+15+20=50 ľudí. Správa profesora M. tak môže dostať jedno z 50 vydaní. To znamená, že existuje iba 50 základných výsledkov.
Aké sú priaznivé výsledky? - Tie, v ktorých sa ukáže, že profesor prehovorí na tretí deň. Teda posledných 20 čísel.
Podľa vzorca pravdepodobnosť P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Odpoveď: 0,4

Žrebovanie tu predstavuje nadviazanie náhodnej korešpondencie medzi ľuďmi a objednanými miestami. V príklade 2 sa nadviazanie korešpondencie posudzovalo z hľadiska toho, ktoré z miest by bolo možné obsadiť konkrétna osoba. K rovnakej situácii môžete pristupovať aj z druhej strany: kto z ľudí by sa s akou pravdepodobnosťou mohol dostať na konkrétne miesto (prototypy , , , ):

Príklad 3 V žrebovaní je 5 Nemcov, 8 Francúzov a 3 Estónci. Aká je pravdepodobnosť, že prvý (/druhý/siedmy/posledný – na tom nezáleží) bude Francúz.

Počet elementárnych výsledkov – počet všetkých možných ľudí, ktorí sa na toto miesto mohli dostať žrebovaním. 5+8+3=16 ľudí.
Priaznivé výsledky - francúzština. 8 ľudí.
Požadovaná pravdepodobnosť: 8/16=1/2=0,5
Odpoveď: 0,5

Prototyp je mierne odlišný. Stále existujú problémy s mincami () a kocky(), o niečo kreatívnejší. Riešenie týchto problémov nájdete na stránkach prototypu.

Tu je niekoľko príkladov hodu mincou alebo kockou.

Príklad 4. Keď si hodíme mincou, aká je pravdepodobnosť pristátia na hlave?
Existujú 2 výsledky – hlavy alebo chvosty. (predpokladá sa, že minca nikdy nedopadne na jej okraj) Priaznivým výsledkom sú chvosty, 1.
Pravdepodobnosť 1/2=0,5
Odpoveď: 0,5.

Príklad 5.Čo ak si hodíme mincou dvakrát? Aká je pravdepodobnosť, že dostanete hlavy v oboch prípadoch?
Hlavná vec je určiť, aké základné výsledky budeme brať do úvahy pri hádzaní dvoch mincí. Po vhodení dvoch mincí môže nastať jeden z nasledujúcich výsledkov:
1) PP – v oboch prípadoch to prišlo na hlavu
2) PO – prvé hlavy, druhé hlavy
3) OP – prvý raz hlava, druhýkrát chvost
4) OO – v oboch prípadoch sa objavili hlavy
Iné možnosti nie sú. To znamená, že existujú 4 základné výsledky, len prvý, 1, je priaznivý.
Pravdepodobnosť: 1/4 = 0,25
Odpoveď: 0,25

Aká je pravdepodobnosť, že dva hody mincou povedú k chvostu?
Počet elementárnych výsledkov je rovnaký, 4. Priaznivé výsledky sú druhý a tretí, 2.
Pravdepodobnosť získania jedného chvosta: 2/4 = 0,5

V takýchto problémoch môže byť užitočný iný vzorec.
Ak počas jedného hodu mincou možné možnosti máme 2 výsledky, potom pre dva hody budú výsledky 2 2 = 2 2 = 4 (ako v príklade 5), pre tri hody 2 2 2 = 2 3 = 8, pre štyri: 2 2 2 2 = 2 4 = 16, ... pre N hodov budú možné výsledky 2·2·...·2=2 N .

Môžete teda nájsť pravdepodobnosť získania 5 hláv z 5 hodov mincou.
Celkový počet elementárnych výsledkov: 2 5 =32.
Priaznivé výsledky: 1. (RRRRRR – hlavy všetkých 5 krát)
Pravdepodobnosť: 1/32=0,03125

To isté platí pre kocky. Pri jednom hode je 6 možných výsledkov, teda pri dvoch hodoch: 6 6 = 36, pri troch 6 6 6 = 216 atď.

Príklad 6. Hádžeme kockou. Aká je pravdepodobnosť, že padne párne číslo?

Celkové výsledky: 6, podľa počtu strán.
Priaznivé: 3 výsledky. (2, 4, 6)
Pravdepodobnosť: 3/6 = 0,5

Príklad 7. Hádžeme dvoma kockami. Aká je pravdepodobnosť, že súčet bude 10? (zaokrúhliť na najbližšiu stotinu)

Pre jednu kocku existuje 6 možných výsledkov. To znamená, že pre dvoch je podľa vyššie uvedeného pravidla 6·6=36.
Aké výsledky budú priaznivé, aby celkový počet hodil 10?
10 treba rozložiť na súčet dvoch čísel od 1 do 6. Dá sa to urobiť dvoma spôsobmi: 10=6+4 a 10=5+5. To znamená, že pre kocky sú možné nasledujúce možnosti:
(6 na prvom a 4 na druhom)
(4 na prvom a 6 na druhom)
(5 na prvom a 5 na druhom)
Celkom, 3 možnosti. Požadovaná pravdepodobnosť: 3/36=1/12=0,08
Odpoveď: 0,08

O iných typoch problémov B6 sa bude diskutovať v budúcom článku Ako vyriešiť.

Chcete vedieť čo matematické šance na úspech vašej stávky? Potom sú tu pre vás dve dobré správy. Po prvé: na výpočet schopnosti prechádzať cez krajinu nemusíte vykonávať zložité výpočty a tráviť veľa času. Stačí použiť jednoduché vzorce, s ktorými práca zaberie pár minút. Po druhé: po prečítaní tohto článku si môžete jednoducho vypočítať pravdepodobnosť, že niektorý z vašich obchodov prejde.

Aby ste správne určili schopnosť prejsť cez krajinu, musíte urobiť tri kroky:

Vypočítajte percento pravdepodobnosti výsledku udalosti podľa kancelárie stávkovej kancelárie;
Vypočítajte pravdepodobnosť pomocou štatistických údajov sami;
Zistite hodnotu stávky s prihliadnutím na obe pravdepodobnosti.

Pozrime sa podrobne na každý z krokov pomocou nielen vzorcov, ale aj príkladov.

Rýchly skok

Výpočet pravdepodobnosti zahrnutej do kurzov bookmakera

Prvým krokom je zistiť, s akou pravdepodobnosťou sám bookmaker odhaduje šance na konkrétny výsledok. Je jasné, že stávkové kancelárie nestanovujú kurzy len tak. Na tento účel použijeme nasledujúci vzorec:

PB=(1/K)*100 %,

kde P B je pravdepodobnosť výsledku podľa kancelárie stávkovej kancelárie;

K – kurz stávkovej kancelárie na výsledok.

Povedzme, že kurz na víťazstvo londýnskeho Arsenalu v zápase proti Bayernu Mníchov je 4. To znamená, že pravdepodobnosť jeho víťazstva je stávkovou kanceláriou hodnotená ako (1/4)*100%=25%. Alebo hrá Djokovič proti Južnému. Násobiteľ víťazstva Novaka je 1,2, jeho šance sú (1/1,2)*100%=83%.

Takto vyhodnocuje samotná stávková kancelária šance na úspech každého hráča a tímu. Po dokončení prvého kroku prejdeme k druhému.

Výpočet pravdepodobnosti udalosti hráčom

Druhým bodom nášho plánu je vlastné posúdenie pravdepodobnosti udalosti. Keďže nemôžeme matematicky brať do úvahy také parametre ako motivácia a herný tón, použijeme zjednodušený model a použijeme len štatistiky z predchádzajúcich stretnutí. Pre výpočet štatistická pravdepodobnosť výsledok pomocou vzorca:

PA=(UM/M)*100 %,

KdePA– pravdepodobnosť udalosti podľa hráča;

UM – počet úspešných zápasov, v ktorých k takejto udalosti došlo;

M – celkový počet zápasov.

Aby to bolo jasnejšie, uvedieme príklady. Andy Murray a Rafael Nadal medzi sebou odohrali 14 zápasov. V 6 z nich to bolo menej ako 21 hier, v 8 to bolo viac. Potrebujete zistiť pravdepodobnosť, že ďalší zápas sa odohrá s vyšším súčtom: (8/14)*100=57%. Valencia odohrala proti Atléticu na Mestalle 74 zápasov, v ktorých získala 29 víťazstiev. Pravdepodobnosť víťazstva vo Valencii: (29/74)*100%=39%.

A to všetko sa dozvedáme len vďaka štatistikám predchádzajúcich hier! Prirodzene, pre niektorých nový tím alebo hráča, nebude možné takúto pravdepodobnosť vypočítať, preto je táto stávková stratégia vhodná len pre zápasy, v ktorých sa súperi stretnú viackrát. Teraz vieme, ako určiť stávkovú kanceláriu a naše vlastné pravdepodobnosti výsledkov, a máme všetky znalosti, aby sme mohli prejsť k poslednému kroku.

Určenie hodnoty stávky

Hodnota (hodnota) stávky a priechodnosť majú priamu súvislosť: čím vyššia hodnota, tým väčšia šanca na prehratie. Hodnota sa vypočíta takto:

V=PA*K-100 %,

kde V je hodnota;

P I – pravdepodobnosť výsledku podľa tipujúceho;

K – kurz stávkovej kancelárie na výsledok.

Povedzme, že chceme staviť na víťazstvo Milána v zápase proti Rímu a vypočítame, že pravdepodobnosť výhry „červeno-čiernych“ je 45%. Stávková kancelária nám na tento výsledok ponúka kurz 2,5. Bola by takáto stávka hodnotná? Vykonávame výpočty: V=45%*2,5-100%=12,5%. Skvelé, máme pred sebou cennú stávku dobré šance prejsť.

Zoberme si ďalší prípad. Maria Šarapovová hrá proti Petre Kvitovej. Chceme uzavrieť dohodu, aby Mária vyhrala, ktorej pravdepodobnosť je podľa našich výpočtov 60%. Stávkové kancelárie ponúkajú pre tento výsledok násobiteľ 1,5. Určíme hodnotu: V=60%*1,5-100=-10%. Ako vidíte, táto stávka nemá žiadnu hodnotu a treba sa jej vyhnúť.