Ako nájsť x vo vzorci geometrickej postupnosti. Geometrická progresia


Lekcia a prezentácia na tému: "Číselné postupnosti. Geometrická postupnosť"

Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje komentáre, recenzie, priania! Všetky materiály boli skontrolované antivírusovým programom.

Vzdelávacie pomôcky a simulátory v internetovom obchode Integral pre 9. ročník
Mocniny a odmocniny Funkcie a grafy

Chlapci, dnes sa zoznámime s iným typom progresie.
Témou dnešnej hodiny je geometrický postup.

Geometrická progresia

Definícia. Číselná postupnosť, v ktorej sa každý člen, počnúc druhým, rovná súčinu predchádzajúceho a nejakého pevného čísla, sa nazýva geometrická postupnosť.
Definujme našu postupnosť rekurzívne: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
kde b a q sú určité dané čísla. Číslo q sa nazýva menovateľ progresie.

Príklad. 1,2,4,8,16... Geometrická postupnosť, v ktorej sa prvý člen rovná jednej a $q=2$.

Príklad. 8,8,8,8... Geometrická postupnosť, v ktorej sa prvý člen rovná ôsmim,
a $q=1$.

Príklad. 3,-3,3,-3,3... Geometrická postupnosť, v ktorej sa prvý člen rovná trom,
a $q=-1$.

Geometrická progresia má vlastnosti monotónnosti.
Ak $b_(1)>0$, $q>1$,
potom sa postupnosť zvyšuje.
Ak $b_(1)>0$, $0 Postupnosť sa zvyčajne označuje v tvare: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.

Rovnako ako v aritmetickej postupnosti, ak v geometrickej postupnosti je počet prvkov konečný, potom sa postupnosť nazýva konečná geometrická postupnosť.

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Všimnite si, že ak je postupnosť geometrickou postupnosťou, potom postupnosť štvorcov členov je tiež geometrickou postupnosťou. V druhej sekvencii sa prvý člen rovná $b_(1)^2$ a menovateľ sa rovná $q^2$.

Vzorec pre n-tý člen geometrickej postupnosti

Geometrická postupnosť môže byť špecifikovaná aj v analytickej forme. Pozrime sa, ako to urobiť:
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Ľahko si všimneme vzor: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Náš vzorec sa nazýva „vzorec n-tého člena geometrickej postupnosti“.

Vráťme sa k našim príkladom.

Príklad. 1,2,4,8,16... Geometrická postupnosť, ktorej prvý člen sa rovná jednej,
a $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

Príklad. 16,8,4,2,1,1/2… Geometrická postupnosť, v ktorej sa prvý člen rovná šestnástim a $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

Príklad. 8,8,8,8... Geometrická postupnosť, v ktorej sa prvý člen rovná ôsmim a $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

Príklad. 3,-3,3,-3,3... Geometrická postupnosť, v ktorej sa prvý člen rovná trom a $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

Príklad. Je daná geometrická postupnosť $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
a) Je známe, že $b_(1)=6, q=3$. Nájdite $b_(5)$.
b) Je známe, že $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Nájsť n.
c) Je známe, že $q=-2, b_(6)=96$. Nájdite $b_(1)$.
d) Je známe, že $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Nájdite q.

Riešenie.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$, pretože $2^7=128 => n-1=7; n = 8 $.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

Príklad. Rozdiel medzi siedmym a piatym členom geometrickej postupnosti je 192, súčet piateho a šiesteho člena postupnosti je 192. Nájdite desiaty člen tejto postupnosti.

Riešenie.
Vieme, že: $b_(7)-b_(5)=192$ a $b_(5)+b_(6)=192$.
Tiež vieme: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
potom:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192 $.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Dostali sme systém rovníc:
$\začiatok(prípady)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\koniec (prípady)$.
Porovnaním našich rovníc dostaneme:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Dostali sme dve riešenia q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Dosadzujte postupne do druhej rovnice:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ žiadne riešenia.
Máme toto: $b_(1)=4, q=2$.
Poďme nájsť desiaty člen: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

Súčet konečnej geometrickej postupnosti

Majme konečnú geometrickú postupnosť. Vypočítajme, rovnako ako pri aritmetickej progresii, súčet jej členov.

Nech je daná konečná geometrická postupnosť: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Uveďme označenie pre súčet jeho členov: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
V prípade, keď $q=1$. Všetky členy geometrickej postupnosti sa rovnajú prvému členu, potom je zrejmé, že $S_(n)=n*b_(1)$.
Uvažujme teraz o prípade $q≠1$.
Vynásobme vyššie uvedené množstvo q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Poznámka:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

Získali sme vzorec pre súčet konečnej geometrickej postupnosti.


Príklad.
Nájdite súčet prvých siedmich členov geometrickej postupnosti, ktorej prvý člen je 4 a menovateľ je 3.

Riešenie.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

Príklad.
Nájdite piaty člen geometrickej postupnosti, ktorý je známy: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.

Riešenie.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1 024 $.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
341 USD q=1 364 USD.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

Charakteristická vlastnosť geometrickej progresie

Chlapci, je daný geometrický postup. Pozrime sa na jeho tri po sebe idúce členy: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.
Vieme, že:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
potom:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Ak je postupnosť konečná, potom táto rovnosť platí pre všetky členy okrem prvého a posledného.
Ak nie je vopred známe, aký tvar má postupnosť, ale je známe, že: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Potom môžeme s istotou povedať, že ide o geometrickú progresiu.

Číselná postupnosť je geometrická postupnosť iba vtedy, keď sa druhá mocnina každého člena rovná súčinu dvoch susedných členov postupnosti. Nezabudnite, že pre konečný postup nie je táto podmienka splnená pre prvý a posledný termín.


Pozrime sa na túto identitu: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ sa nazýva geometrický priemer čísel a a b.

Modul ktoréhokoľvek člena geometrickej progresie sa rovná geometrickému priemeru jeho dvoch susedných členov.


Príklad.
Nájdite x také, že $x+2; 2x+2; 3x+3$ boli tri po sebe idúce členy geometrickej progresie.

Riešenie.
Využime charakteristickú vlastnosť:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ a $x_(2)=-1$.
Postupne nahraďme naše riešenia do pôvodného výrazu:
S $x=2$ sme dostali postupnosť: 4;6;9 – geometrická progresia s $q=1,5$.
Pre $x=-1$ dostaneme postupnosť: 1;0;0.
Odpoveď: $x=2.$

Problémy riešiť samostatne

1. Nájdite ôsmy prvý člen geometrickej postupnosti 16;-8;4;-2….
2. Nájdite desiaty člen geometrickej postupnosti 11,22,44….
3. Je známe, že $b_(1)=5, q=3$. Nájdite $b_(7)$.
4. Je známe, že $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. Nájsť n.
5. Nájdite súčet prvých 11 členov geometrickej postupnosti 3;12;48….
6. Nájdite x také, že $3x+4; 2x+4; x+5$ sú tri po sebe idúce členy geometrickej progresie.

Cieľ hodiny: predstaviť študentom nový typ postupnosti - nekonečne klesajúci geometrický postup.
Úlohy:
formulovanie počiatočnej predstavy o limite číselnej postupnosti;
oboznámenie sa s iným spôsobom prevodu nekonečných periodických zlomkov na obyčajné pomocou vzorca pre súčet nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti;
rozvoj intelektuálnych kvalít osobnosti školákov, ako je logické myslenie, schopnosť hodnotiť a zovšeobecňovať;
podporovať aktivitu, vzájomnú pomoc, kolektivizmus a záujem o vec.

Stiahnuť:


Ukážka:

Lekcia na danú tému „Nekonečne klesajúca geometrická progresia“ (algebra, 10. ročník)

Cieľ lekcie: oboznámenie študentov s novým typom postupnosti – nekonečne klesajúcim geometrickým postupom.

Úlohy:

formulovanie počiatočnej predstavy o limite číselnej postupnosti; oboznámenie sa s iným spôsobom prevodu nekonečných periodických zlomkov na obyčajné zlomky pomocou vzorca pre súčet nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti;

rozvoj intelektuálnych vlastností osobnosti školákov, ako je logické myslenie, schopnosť hodnotiť a zovšeobecňovať;

podporovať aktivitu, vzájomnú pomoc, kolektivizmus a záujem o vec.

Vybavenie: počítačová trieda, projektor, plátno.

Typ lekcie: lekcia - učenie sa novej témy.

Pokrok v lekcii

I. Org. moment. Uveďte tému a účel lekcie.

II. Aktualizácia vedomostí žiakov.

V 9. ročníku ste sa učili aritmetický a geometrický postup.

Otázky

1. Definícia aritmetickej progresie.

(Aritmetický postup je postupnosť, v ktorej každý člen

Počnúc druhým sa rovná predchádzajúcemu výrazu pripočítanému k rovnakému číslu).

2. Vzorec č člen aritmetického postupu

3. Vzorec pre súčet prvého n termíny aritmetického postupu.

( alebo )

4. Definícia geometrickej progresie.

(Geometrická postupnosť je postupnosť nenulových čísel

Každý člen, počnúc druhým, sa rovná predchádzajúcemu členu vynásobenému

Rovnaké číslo).

5. Vzorec č člen geometrickej progresie

6. Vzorec pre súčet prvého n členov geometrickej progresie.

7. Aké ďalšie vzorce poznáte?

(, Kde ; ;

; , )

Úlohy

1. Aritmetická postupnosť je daná vzorcom a n = 7 – 4n. Nájdite 10. (-33)

2. V aritmetickej postupnosti a3 = 7 a a5 = 1. Nájdite 4. (4)

3. V aritmetickej postupnosti a3 = 7 a a5 = 1. Nájdite 17. (-35)

4. V aritmetickej postupnosti a3 = 7 a a5 = 1. Nájdite S 17. (-187)

5. Pre geometrický postupnájsť piaty termín.

6. Pre geometrický postup nájdite n-tý termín.

7. Exponenciálne b3 = 8 a b5 = 2. Nájsť b 4 . (4)

8. Exponenciálne b3 = 8 a b5 = 2. Nájdite b 1 a q.

9. Exponenciálne b3 = 8 a b5 = 2. Nájdite S5. (62)

III. Učenie sa novej témy(ukážka prezentácie).

Uvažujme štvorec so stranou rovnajúcou sa 1. Nakreslíme ďalší štvorec, ktorého strana je polovica veľkosti prvého štvorca, potom ďalší, ktorého strana je polovica druhej, potom ďalší atď. Zakaždým, keď sa strana nového štvorca rovná polovici predchádzajúceho.

V dôsledku toho sme dostali postupnosť strán štvorcovtvoriaci geometrickú postupnosť s menovateľom.

A čo je veľmi dôležité, čím viac takýchto štvorcov postavíme, tým menšia bude strana štvorca. napr.

Tie. Keď sa číslo n zvyšuje, členy progresie sa blížia k nule.

Pomocou tohto obrázku môžete zvážiť ďalšiu postupnosť.

Napríklad postupnosť plôch štvorcov:

A opäť, ak n sa zväčšuje na neurčito, potom sa oblasť priblíži k nule tak blízko, ako chcete.

Pozrime sa na ďalší príklad. Rovnostranný trojuholník so stranami rovnými 1 cm. Zostrojme nasledujúci trojuholník s vrcholmi v stredoch strán 1. trojuholníka podľa vety o strednej čiare trojuholníka - strana 2. sa rovná polovici strany prvého, strana 3. sa rovná polovici strany 2. atď. Opäť dostaneme postupnosť dĺžok strán trojuholníkov.

o .

Ak uvažujeme geometrickú progresiu so záporným menovateľom.

Potom opäť s rastúcim počtom n podmienky progresie sa blížia k nule.

Venujme pozornosť menovateľom týchto postupností. Všade boli menovatele v absolútnej hodnote menšie ako 1.

Môžeme dospieť k záveru: geometrická progresia bude nekonečne klesať, ak modul jej menovateľa bude menší ako 1.

Frontálna práca.

Definícia:

O geometrickej progresii sa hovorí, že je nekonečne klesajúca, ak je modul jej menovateľa menší ako jedna..

Pomocou definície sa môžete rozhodnúť, či geometrická progresia bude nekonečne klesať alebo nie.

Úloha

Je postupnosť nekonečne klesajúca geometrická postupnosť, ak je daná vzorcom:

Riešenie:

Poďme nájsť q.

; ; ; .

táto geometrická progresia sa nekonečne znižuje.

b) táto postupnosť nie je nekonečne klesajúca geometrická progresia.

Uvažujme štvorec so stranou rovnajúcou sa 1. Rozdeľte ho na polovicu, jednu z polovíc na polovicu atď. Plochy všetkých výsledných obdĺžnikov tvoria nekonečne klesajúcu geometrickú postupnosť:

Súčet plôch všetkých obdĺžnikov získaných týmto spôsobom sa bude rovnať ploche prvého štvorca a rovnať sa 1.

Ale na ľavej strane tejto rovnosti je súčet nekonečného počtu členov.

Uvažujme súčet prvých n členov.

Podľa vzorca pre súčet prvých n členov geometrickej postupnosti sa rovná.

Ak n rastie bez obmedzenia, potom

alebo . Preto, t.j. .

Súčet nekonečne klesajúcej geometrickej progresieexistuje limit sekvencie S1, S2, S3, …, Sn, ….

Napríklad na postup,

máme

Pretože

Súčet nekonečne klesajúcej geometrickej progresiemožno nájsť pomocou vzorca.

III. Pochopenie a upevnenie(dokončenie úloh).

№13; №14; №15(1,3); №16(1,3); №18(1,3); №19; №20.

IV. Zhrnutie.

S akou sekvenciou ste sa dnes zoznámili?

Definujte nekonečne klesajúcu geometrickú progresiu.

Ako dokázať, že geometrická progresia je nekonečne klesajúca?

Uveďte vzorec pre súčet nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti.

V. Domáca úloha.

2. № 15(2,4); №16(2,4); 18(2,4).

Ukážka:

Ak chcete použiť ukážky prezentácií, vytvorte si účet Google a prihláste sa doň: https://accounts.google.com


Popisy snímok:

Dôsledne uvažovať, posudzovať dôkazmi a vyvracať nesprávne závery by mal vedieť každý: fyzik aj básnik, traktorista aj chemik. E. Kolman V matematike si treba pamätať nie vzorce, ale procesy myslenia. V.P.Ermakov Je ľahšie nájsť kvadratúru kruhu, ako prekabátiť matematika. Augustus de Morgan Aká veda môže byť pre ľudstvo ušľachtilejšia, obdivuhodnejšia, užitočnejšia ako matematika? Franklin

Nekonečne klesajúci stupeň geometrickej progresie 10

ja Aritmetické a geometrické postupnosti. Otázky 1. Definícia aritmetickej progresie. Aritmetická postupnosť je postupnosť, v ktorej sa každý člen počnúc druhým rovná predchádzajúcemu členu pripočítanému k rovnakému číslu. 2. Vzorec pre n-tý člen aritmetickej postupnosti. 3. Vzorec pre súčet prvých n členov aritmetickej postupnosti. 4. Definícia geometrickej progresie. Geometrická postupnosť je postupnosť nenulových čísel, z ktorých každý člen počnúc druhým sa rovná predchádzajúcemu členu vynásobenému rovnakým číslom 5. Vzorec pre n-tý člen geometrickej postupnosti. 6. Vzorec pre súčet prvých n členov geometrickej postupnosti.

II. Aritmetický postup. Úlohy Aritmetický postup je daný vzorcom a n = 7 – 4 n Nájdite a 10 . (-33) 2. Pri aritmetickej postupnosti a 3 = 7 a a 5 = 1. Nájdite 4. (4) 3. V aritmetickej postupnosti a 3 = 7 a a 5 = 1. Nájdite 17. (-35) 4. Pri aritmetickej postupnosti a 3 = 7 a a 5 = 1. Nájdite S 17. (-187)

II. Geometrická progresia. Úlohy 5. Pre geometrický postup nájdite piaty člen 6. Pre geometrický postup nájdite n-tý člen. 7. V geometrickej postupnosti b 3 = 8 a b 5 = 2. Nájsť b 4 . (4) 8. V geometrickej postupnosti b 3 = 8 a b 5 = 2. Nájdite b 1 a q. 9. V geometrickej postupnosti b 3 = 8 a b 5 = 2. Nájdite S5. (62)

definícia: Geometrická progresia sa nazýva nekonečne klesajúca, ak modul jej menovateľa je menší ako jedna.

Úloha č. 1 Je postupnosť nekonečne klesajúca geometrická postupnosť, ak je daná vzorcom: Riešenie: a) táto geometrická postupnosť je nekonečne klesajúca. b) táto postupnosť nie je nekonečne klesajúca geometrická postupnosť.

Súčet nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti je limita postupnosti S 1, S 2, S 3, ..., S n, .... Napríklad pre progresiu máme Pretože súčet nekonečne klesajúcej geometrickej progresie možno nájsť pomocou vzorca

Dokončenie úloh Nájdite súčet nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti s prvým členom 3, druhým 0,3. 2. č. 13; č. 14; učebnica, str. 138 3. číslo 15(1;3); č.16(1;3) č.18(1;3); 4. č. 19; č. 20.

S akou sekvenciou ste sa dnes zoznámili? Definujte nekonečne klesajúcu geometrickú progresiu. Ako dokázať, že geometrická progresia je nekonečne klesajúca? Uveďte vzorec pre súčet nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti. Otázky

Slávny poľský matematik Hugo Steinhaus vtipne tvrdí, že existuje zákon, ktorý je formulovaný takto: matematik to urobí lepšie. Totiž, ak poveríte dvoch ľudí, z ktorých jeden je matematik, aby vykonali akúkoľvek im neznámu prácu, výsledok bude vždy takýto: matematik to urobí lepšie. Hugo Steinhaus 14.01.1887-25.02.1972


Uvažujme o určitej sérii.

7 28 112 448 1792...

Je úplne jasné, že hodnota ktoréhokoľvek z jeho prvkov je presne štyrikrát väčšia ako u predchádzajúceho. To znamená, že táto séria je progresívna.

Geometrická postupnosť je nekonečná postupnosť čísel, ktorej hlavnou črtou je, že ďalšie číslo sa získa z predchádzajúceho vynásobením konkrétnym číslom. To je vyjadrené nasledujúcim vzorcom.

a z +1 =a z ·q, kde z je číslo vybraného prvku.

Preto z ∈ N.

Obdobie, kedy sa v škole študuje geometrická postupnosť, je 9. ročník. Príklady vám pomôžu pochopiť tento koncept:

0.25 0.125 0.0625...

Na základe tohto vzorca možno nájsť menovateľa progresie takto:

Ani q, ani b z nemôže byť nula. Každý z prvkov progresie by sa tiež nemal rovnať nule.

Preto, aby ste zistili ďalšie číslo v rade, musíte vynásobiť posledné číslo q.

Ak chcete nastaviť túto postupnosť, musíte zadať jej prvý prvok a menovateľ. Potom je možné nájsť ktorýkoľvek z nasledujúcich výrazov a ich súčet.

Odrody

V závislosti od q a a 1 je táto progresia rozdelená do niekoľkých typov:

  • Ak sú a 1 aj q väčšie ako jedna, potom je takáto postupnosť geometrická postupnosť, ktorá sa zvyšuje s každým nasledujúcim prvkom. Príklad je uvedený nižšie.

Príklad: a 1 =3, q=2 - oba parametre sú väčšie ako jedna.

Potom je možné číselnú postupnosť zapísať takto:

3 6 12 24 48 ...

  • Ak |q| je menšia ako jedna, to znamená, že násobenie ňou je ekvivalentné deleniu, potom je postupnosť s podobnými podmienkami klesajúca geometrická postupnosť. Príklad je uvedený nižšie.

Príklad: a 1 = 6, q = 1/3 - a 1 je väčšie ako jedna, q je menšie.

Potom je možné číselnú postupnosť zapísať takto:

6 2 2/3 ... - každý prvok je 3-krát väčší ako prvok, ktorý za ním nasleduje.

  • Striedavý znak. Ak q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Príklad: a 1 = -3, q = -2 - oba parametre sú menšie ako nula.

Potom je možné číselnú postupnosť zapísať takto:

3, 6, -12, 24,...

Vzorce

Existuje mnoho vzorcov na pohodlné používanie geometrických postupností:

  • Z-term vzorec. Umožňuje vypočítať prvok pod určitým číslom bez počítania predchádzajúcich čísel.

Príklad:q = 3, a 1 = 4. Je potrebné započítať štvrtý prvok postupu.

Riešenie:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

  • Súčet prvých prvkov, ktorých množstvo sa rovná z. Umožňuje vypočítať súčet všetkých prvkov sekvencie až doa zvrátane.

Od (1-q) je v menovateli, potom (1 - q)≠ 0, preto sa q nerovná 1.

Poznámka: ak q=1, potom by postupnosť bola séria nekonečne sa opakujúcich čísel.

Súčet geometrickej postupnosti, príklady:a 1 = 2, q= -2. Vypočítajte S5.

Riešenie:S 5 = 22 - výpočet pomocou vzorca.

  • Suma, ak |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Príklad:a 1 = 2 , q= 0,5. Nájdite sumu.

Riešenie:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Niektoré vlastnosti:

  • Charakteristická vlastnosť. Ak je splnená nasledujúca podmienka funguje pre akékoľvekz, potom je daný číselný rad geometrickou postupnosťou:

a z 2 = a z -1 · az+1

  • Druhá mocnina ľubovoľného čísla v geometrickej postupnosti sa tiež nájde sčítaním druhých mocnín ľubovoľných dvoch ďalších čísel v danom rade, ak sú od tohto prvku rovnako vzdialené.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , Kdet- vzdialenosť medzi týmito číslami.

  • Prvkylíšia sa v qraz.
  • Logaritmy prvkov progresie tiež tvoria progresiu, ale aritmetickú, to znamená, že každý z nich je o určité číslo väčší ako predchádzajúci.

Príklady niektorých klasických problémov

Aby ste lepšie pochopili, čo je geometrická progresia, môžu vám pomôcť príklady s riešeniami pre triedu 9.

  • Podmienky:a 1 = 3, a 3 = 48. Nájdiq.

Riešenie: každý nasledujúci prvok je väčší ako predchádzajúciq raz.Niektoré prvky je potrebné vyjadriť inými pomocou menovateľa.

tedaa 3 = q 2 · a 1

Pri striedaníq= 4

  • Podmienky:a 2 = 6, a 3 = 12. Vypočítajte S 6.

Riešenie:Ak to chcete urobiť, stačí nájsť q, prvý prvok a nahradiť ho do vzorca.

a 3 = q· a 2 , teda,q= 2

a 2 = q · a 1 ,Preto a 1 = 3

S6 = 189

  • · a 1 = 10, q= -2. Nájdite štvrtý prvok postupu.

Riešenie: na to stačí vyjadriť štvrtý prvok cez prvý a cez menovateľ.

a 4 = q 3· a1 = -80

Príklad aplikácie:

  • Klient banky vložil zálohu vo výške 10 000 rubľov, podľa ktorej sa klientovi každý rok pripočíta 6 % z nej k sume istiny. Koľko peňazí bude na účte po 4 rokoch?

Riešenie: Počiatočná suma je 10 tisíc rubľov. To znamená, že rok po investícii bude na účte suma rovnajúca sa 10 000 + 10 000 · 0,06 = 10 000 1,06

V súlade s tým bude suma na účte po ďalšom roku vyjadrená takto:

(10 000 · 1,06) · 0,06 + 10 000 · 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10 000

To znamená, že každý rok sa suma zvýši 1,06-krát. To znamená, že na zistenie množstva prostriedkov na účte po 4 rokoch stačí nájsť štvrtý prvok progresie, ktorý je daný prvým prvkom rovným 10 tisíc a menovateľom rovným 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10 000 = 12625

Príklady problémov s výpočtom súčtu:

Geometrická progresia sa používa v rôznych problémoch. Príklad na nájdenie súčtu možno uviesť takto:

a 1 = 4, q= 2, vypočítajteS 5.

Riešenie: všetky údaje potrebné na výpočet sú známe, stačí ich dosadiť do vzorca.

S 5 = 124

  • a 2 = 6, a 3 = 18. Vypočítajte súčet prvých šiestich prvkov.

Riešenie:

V geom. postupnosť, každý ďalší prvok je q-krát väčší ako predchádzajúci, to znamená, že na výpočet súčtu potrebujete poznať prvoka 1 a menovateľq.

a 2 · q = a 3

q = 3

Podobne je potrebné nájsťa 1 , vediaca 2 Aq.

a 1 · q = a 2

a 1 =2

S 6 = 728.

ČÍSELNÉ POSTUPNOSTI VI

§ l48. Súčet nekonečne klesajúcej geometrickej progresie

Doteraz sme pri sumách vždy predpokladali, že počet členov v týchto sumách je konečný (napríklad 2, 15, 1000 atď.). Ale pri riešení niektorých problémov (najmä vyššej matematiky) sa človek musí vysporiadať so súčtom nekonečného počtu členov

S= a 1 + a 2 + ... + a n + ... . (1)

Aké sú tieto sumy? Podľa definície súčet nekonečného počtu členov a 1 , a 2 , ..., a n , ... sa nazýva hranica sumy S n najprv n čísla kedy n -> ∞ :

S=S n = (a 1 + a 2 + ... + a n ). (2)

Limit (2) samozrejme môže alebo nemusí existovať. V súlade s tým hovoria, že súčet (1) existuje alebo neexistuje.

Ako môžeme zistiť, či v každom konkrétnom prípade existuje súčet (1)? Všeobecné riešenie tohto problému ďaleko presahuje rámec nášho programu. Teraz však musíme zvážiť jeden dôležitý špeciálny prípad. Budeme hovoriť o sčítaní členov nekonečne klesajúcej geometrickej progresie.

Nechaj a 1 , a 1 q , a 1 q 2, ... je nekonečne klesajúca geometrická postupnosť. To znamená, že | q |< 1. Сумма первых n podmienky tohto postupu sú rovnaké

Zo základných viet o limitách premenných (pozri § 136) dostaneme:

Ale 1 = 1, a qn = 0. Preto

Súčet nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti sa teda rovná prvému členu tejto postupnosti vydelenému jednou mínus menovateľ tejto postupnosti.

1) Súčet geometrickej postupnosti 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... sa rovná

a súčet geometrickej postupnosti je 12; -6; 3; - 3/2, ... rovné

2) Preveďte jednoduchý periodický zlomok 0,454545 ... na obyčajný.

Na vyriešenie tohto problému si predstavte tento zlomok ako nekonečný súčet:

Pravá strana tejto rovnosti je súčtom nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti, ktorej prvý člen sa rovná 45/100 a menovateľ je 1/100. Preto

Pomocou opísanej metódy možno získať všeobecné pravidlo premeny jednoduchých periodických zlomkov na obyčajné zlomky (pozri kapitolu II § 38):

Ak chcete previesť jednoduchý periodický zlomok na obyčajný zlomok, musíte urobiť nasledovné: do čitateľa zadajte periódu desatinného zlomku a do menovateľa - číslo pozostávajúce z deviatok, koľkokrát je číslic v tomto období. desatinného zlomku.

3) Preveďte zmiešaný periodický zlomok 0,58333 .... na obyčajný zlomok.

Predstavme si tento zlomok ako nekonečný súčet:

Na pravej strane tejto rovnosti tvoria všetky členy počnúc 3/1000 nekonečne klesajúcu geometrickú postupnosť, ktorej prvý člen sa rovná 3/1000 a menovateľ je 1/10. Preto

Pomocou opísanej metódy možno získať všeobecné pravidlo premeny zmiešaných periodických frakcií na obyčajné frakcie (pozri kapitolu II, § 38). Zámerne ho tu neuvádzame. Nie je potrebné pamätať na toto ťažkopádne pravidlo. Je oveľa užitočnejšie vedieť, že akýkoľvek zmiešaný periodický zlomok môže byť reprezentovaný ako súčet nekonečne klesajúcej geometrickej progresie a určitého čísla. A vzorec

na súčet nekonečne klesajúcej geometrickej progresie si, samozrejme, musíte pamätať.

Ako cvičenie vám odporúčame, aby ste sa okrem nižšie uvedených problémov č. 995-1000 ešte raz obrátili na problém č. 301 § 38.

Cvičenia

995. Ako sa nazýva súčet nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti?

996. Nájdite súčty nekonečne klesajúcich geometrických postupností:

997. Pri akých hodnotách X progresie

nekonečne klesá? Nájdite súčet takejto progresie.

998. V rovnostrannom trojuholníku so stranou A nový trojuholník je vpísaný spojením stredov jeho strán; do tohto trojuholníka sa rovnakým spôsobom vpíše nový trojuholník a tak ďalej do nekonečna.

a) súčet obvodov všetkých týchto trojuholníkov;

b) súčet ich plôch.

999. Štvorec so stranou A nový štvorec je vpísaný spojením stredov jeho strán; do tohto štvorca sa rovnakým spôsobom vpíše štvorec a tak ďalej do nekonečna. Nájdite súčet obvodov všetkých týchto štvorcov a súčet ich plôch.

1000. Zostavte nekonečne klesajúcu geometrickú postupnosť tak, že jej súčet sa rovná 25/4 a súčet druhých mocnín jej členov sa rovná 625/24.

Geometrická postupnosť je spolu s aritmetickou postupnosťou dôležitým číselným radom, ktorý sa študuje v kurze školskej algebry v 9. ročníku. V tomto článku sa pozrieme na menovateľa geometrickej progresie a na to, ako jej hodnota ovplyvňuje jej vlastnosti.

Definícia geometrickej progresie

Najprv si dajme definíciu tohto číselného radu. Geometrická postupnosť je séria racionálnych čísel, ktorá vzniká postupným násobením jej prvého prvku konštantným číslom nazývaným menovateľ.

Napríklad čísla v rade 3, 6, 12, 24, ... sú geometrickým postupom, pretože ak vynásobíte 3 (prvý prvok) 2, dostanete 6. Ak vynásobíte 6 2, dostanete 12 a tak ďalej.

Členy uvažovanej postupnosti sa zvyčajne označujú symbolom ai, kde i je celé číslo označujúce číslo prvku v rade.

Vyššie uvedená definícia progresie môže byť napísaná v matematickom jazyku takto: an = bn-1 * a1, kde b je menovateľ. Je ľahké skontrolovať tento vzorec: ak n = 1, potom b1-1 = 1 a dostaneme a1 = a1. Ak n = 2, potom an = b * a1 a opäť sa dostávame k definícii príslušného číselného radu. Podobná úvaha môže pokračovať pre veľké hodnoty n.

Menovateľ geometrickej progresie


Číslo b úplne určuje, aký charakter bude mať celý číselný rad. Menovateľ b môže byť kladný, záporný alebo väčší alebo menší ako jedna. Všetky vyššie uvedené možnosti vedú k rôznym sekvenciám:

  • b > 1. Existuje rastúci rad racionálnych čísel. Napríklad 1, 2, 4, 8, ... Ak je prvok a1 záporný, potom sa celá postupnosť zvýši iba v absolútnej hodnote, ale zníži sa v závislosti od znamienka čísel.
  • b = 1. Tento prípad sa často nenazýva progresia, pretože existuje obyčajný rad rovnakých racionálnych čísel. Napríklad -4, -4, -4.

Vzorec pre množstvo

Predtým, ako prejdeme k zvažovaniu konkrétnych problémov pomocou menovateľa typu uvažovanej progresie, mal by sa uviesť dôležitý vzorec pre súčet jej prvých n prvkov. Vzorec vyzerá takto: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Tento výraz môžete získať sami, ak vezmete do úvahy rekurzívnu postupnosť členov progresie. Všimnite si tiež, že vo vyššie uvedenom vzorci stačí poznať iba prvý prvok a menovateľ, aby ste našli súčet ľubovoľného počtu členov.

Nekonečne klesajúca sekvencia


Vyššie bolo uvedené vysvetlenie, čo to je. Teraz, keď poznáme vzorec pre Sn, aplikujme ho na tento číselný rad. Pretože každé číslo, ktorého modul nepresahuje 1, má sklon k nule, keď sa zvýši na veľké mocniny, to znamená, že b∞ => 0, ak -1

Keďže rozdiel (1 - b) bude vždy kladný, bez ohľadu na hodnotu menovateľa, znamienko súčtu nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti S∞ je jednoznačne určené znamienkom jej prvého prvku a1.

Teraz sa pozrime na niekoľko problémov, kde si ukážeme, ako aplikovať získané poznatky na konkrétne čísla.

Úloha č. 1. Výpočet neznámych prvkov progresie a súčtu

Pri geometrickej postupnosti je menovateľ postupnosti 2 a jej prvý prvok je 3. Čomu sa bude rovnať jej 7. a 10. člen a aký je súčet jej siedmich počiatočných prvkov?

Podmienka problému je pomerne jednoduchá a zahŕňa priame použitie vyššie uvedených vzorcov. Na výpočet čísla prvku n teda použijeme výraz an = bn-1 * a1. Pre 7. prvok máme: a7 = b6 * a1, dosadením známych údajov dostaneme: a7 = 26 * 3 = 192. To isté urobíme pre 10. člen: a10 = 29 * 3 = 1536.

Použime známy vzorec pre súčet a určme túto hodnotu pre prvých 7 prvkov radu. Máme: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Úloha č. 2. Určenie súčtu ľubovoľných prvkov progresie

Nech -2 sa rovná menovateľovi geometrickej postupnosti bn-1 * 4, kde n je celé číslo. Je potrebné určiť súčet od 5. do 10. prvku tohto radu vrátane.

Nastolený problém nemožno vyriešiť priamo pomocou známych vzorcov. Dá sa to vyriešiť 2 rôznymi spôsobmi. Pre úplnosť prezentácie témy uvádzame obe.

Metóda 1. Myšlienka je jednoduchá: musíte vypočítať dva zodpovedajúce súčty prvých výrazov a potom od jedného odpočítať druhý. Vypočítame menšie množstvo: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Teraz vypočítame väčší súčet: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Všimnite si, že v poslednom výraze boli sčítané iba 4 výrazy, pretože 5. je už zahrnutý v sume, ktorú je potrebné vypočítať podľa podmienok problému. Nakoniec vezmeme rozdiel: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Metóda 2. Pred dosadením čísel a počítaním môžete získať vzorec pre súčet medzi m a n členmi daného radu. Postupujeme úplne rovnako ako pri spôsobe 1, len najskôr pracujeme so symbolickým znázornením sumy. Máme: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Do výsledného výrazu môžete dosadiť známe čísla a vypočítať konečný výsledok: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Úloha č. 3. Aký je menovateľ?


Nech a1 = 2, nájdite menovateľa geometrickej postupnosti za predpokladu, že jej nekonečný súčet je 3 a je známe, že ide o klesajúci rad čísel.

Na základe podmienok problému nie je ťažké uhádnuť, ktorý vzorec by sa mal použiť na jeho vyriešenie. Samozrejme, pre súčet progresie nekonečne klesajúci. Máme: S∞ = a1 / (1 - b). Odkiaľ vyjadrujeme menovateľa: b = 1 - a1 / S∞. Zostáva nahradiť známe hodnoty a získať požadované číslo: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 alebo -0,333 (3). Tento výsledok môžeme kvalitatívne skontrolovať, ak si zapamätáme, že pre tento typ sekvencie by modul b nemal prekročiť 1. Ako je možné vidieť, |-1 / 3|

Úloha č. 4. Obnovenie série čísel

Nech sú dané 2 prvky číselného radu, napríklad 5. sa rovná 30 a 10. sa rovná 60. Z týchto údajov je potrebné rekonštruovať celý rad s vedomím, že spĺňa vlastnosti geometrickej postupnosti.

Ak chcete problém vyriešiť, musíte si najprv zapísať zodpovedajúci výraz pre každý známy výraz. Máme: a5 = b4 * a1 a a10 = b9 * a1. Teraz vydeľte druhý výraz prvým, dostaneme: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Odtiaľ určíme menovateľa tak, že vezmeme piaty odmocninec z pomeru pojmov známych z úlohy, b = 1,148698. Výsledné číslo dosadíme do jedného z výrazov pre známy prvok, dostaneme: a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698)4 = 17,2304966.

Našli sme teda menovateľa progresie bn a geometrickú progresiu bn-1 * 17,2304966 = an, kde b = 1,148698.

Kde sa používajú geometrické postupnosti?


Ak by neexistovala praktická aplikácia tohto číselného radu, potom by sa jeho štúdium zredukovalo na čisto teoretický záujem. Ale taká aplikácia existuje.


Nižšie sú uvedené 3 najznámejšie príklady:

  • Zenónov paradox, v ktorom šikovný Achilles nestíha pomalú korytnačku, je riešený konceptom nekonečne klesajúcej postupnosti čísel.
  • Ak umiestnite pšeničné zrná na každé políčko šachovnice tak, že na 1. políčko dáte 1 zrnko, na 2. - 2, na 3. - 3 atď., potom na vyplnenie všetkých políčok šachovnice budete potrebovať 18446744073709551615 zŕn!
  • V hre „Hanojská veža“ je na presun diskov z jednej tyče na druhú potrebné vykonať 2n - 1 operácií, to znamená, že ich počet rastie exponenciálne s počtom n použitých diskov.


@ 2024 nobelbar.ru - Topánky, oblečenie, štýl, doplnky, manikúra, účesy