Mennyi a valószínűsége, hogy... Hogyan kombináljuk a független vizsgálatokat

Valószínűség Az esemény az adott esemény szempontjából kedvező elemi kimenetelek számának és az élmény minden egyformán lehetséges kimenetelének aránya, amelyben ez az esemény megjelenhet. Az A esemény valószínűségét P(A) jelöli (itt P a francia probabilite szó első betűje - valószínűség). A meghatározás szerint
(1.2.1)
ahol az A eseménynek kedvező elemi kimenetek száma; - a kísérlet minden egyformán lehetséges elemi kimenetelének száma, egy teljes eseménycsoportot alkotva.
Ezt a valószínűség-definíciót klasszikusnak nevezzük. A valószínűségszámítás fejlődésének kezdeti szakaszában merült fel.

Egy esemény valószínűsége a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
1. Egy megbízható esemény valószínűsége eggyel egyenlő. Jelöljünk egy megbízható eseményt betűvel. Egy bizonyos eseményre tehát
(1.2.2)
2. Egy lehetetlen esemény valószínűsége nulla. Egy lehetetlen eseményt jelöljünk betűvel. Lehetetlen eseményre tehát
(1.2.3)
3. Egy véletlen esemény valószínűségét egynél kisebb pozitív számként fejezzük ki. Mivel egy véletlen eseményre a , vagy egyenlőtlenségek teljesülnek, akkor
(1.2.4)
4. Bármely esemény valószínűsége kielégíti az egyenlőtlenségeket
(1.2.5)
Ez az (1.2.2) - (1.2.4) összefüggésekből következik.

1. példa Egy urnában 10 azonos méretű és súlyú golyó található, ebből 4 piros és 6 kék. Egy golyót húznak az urnából. Mennyi a valószínűsége, hogy a kihúzott golyó kék lesz?

Megoldás. A „kihúzott golyó kéknek bizonyult” eseményt A betűvel jelöljük. Ennek a tesztnek 10 egyformán lehetséges elemi végeredménye van, ebből 6 az A eseménynek kedvez. Az (1.2.1) képlet szerint kapjuk

2. példa Minden természetes szám 1-től 30-ig azonos kártyákra van írva, és egy urnába helyezve. A kártyák alapos megkeverése után az egyik kártyát eltávolítjuk az urnából. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a felvett kártyán szereplő szám 5 többszöröse?

Megoldás. Jelöljük A-val azt az eseményt, hogy „a felvett kártyán lévő szám 5 többszöröse”. Ebben a tesztben 30 egyformán lehetséges elemi kimenetel van, amelyek közül az A eseménynek 6 kimenetel (5, 10, 15, 20, 25, 30) kedvez. Ennélfogva,

3. példa Két dobókockát dobunk, és kiszámítjuk a felső lapokon lévő pontok összegét. Határozza meg a B esemény valószínűségét úgy, hogy a kocka felső lapjainak összesen 9 pontja legyen.

Megoldás. Ebben a tesztben csak 6 2 = 36 egyformán lehetséges elemi eredmény van. A B eseménynek 4 végeredmény kedvez: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3)

4. példa. Véletlenszerűen választunk ki egy 10-nél nem nagyobb természetes számot. Mennyi a valószínűsége, hogy ez a szám prím?

Megoldás. Jelöljük C betűvel „a kiválasztott szám prím” eseményt. Ebben az esetben n = 10, m = 4 (2, 3, 5, 7 prímszámok). Ezért a szükséges valószínűség

5. példa Két szimmetrikus érmét dobnak fel. Mennyi annak a valószínűsége, hogy mindkét érme felső oldalán számok vannak?

Megoldás. Jelöljük D betűvel azt az eseményt, hogy „minden érme felső oldalán egy szám van”. Ebben a tesztben 4 egyformán lehetséges elemi eredmény van: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (A (G, C) jelölés azt jelenti, hogy az első érmén címer van, a másodikon pedig szám). A D eseményt egy elemi eredmény (C, C) kedvez. Mivel m = 1, n = 4, akkor

6. példa. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott kétjegyű szám azonos számjegyeket tartalmaz?

Megoldás. A kétjegyű számok 10 és 99 közötti számok; Összesen 90 ilyen szám van, amelyek egyforma számjegyűek (ezek a 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99 számok). Mivel ebben az esetben m = 9, n = 90, akkor
,
ahol A az „azonos számjegyű szám” esemény.

7. példa. A szó betűiből differenciális Egy betű véletlenszerűen kerül kiválasztásra. Mennyi a valószínűsége, hogy ez a betű lesz: a) magánhangzó, b) mássalhangzó, c) betű h?

Megoldás. A szókülönbség 12 betűből áll, ebből 5 magánhangzó és 7 mássalhangzó. Levelek h nincs ebben a szóban. Jelöljük az eseményeket: A - "magánhangzó betű", B - "mássalhangzó betű", C - "betű" h". A kedvező elemi eredmények száma: - A eseményre, - B eseményre, - C eseményre. Mivel n = 12, akkor
, És .

8. példa. Két kockát dobunk, és feljegyezzük az egyes kockák tetején lévő pontok számát. Határozza meg annak valószínűségét, hogy mindkét kocka ugyanannyi pontot mutat.

Megoldás. Jelöljük ezt az eseményt A betűvel. Az A eseménynek 6 elemi végeredmény kedvez: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6) ;6). Az egyformán lehetséges elemi kimenetek összessége, amelyek egy teljes eseménycsoportot alkotnak, ebben az esetben n=6 2 =36. Ez azt jelenti, hogy a szükséges valószínűség

9. példa. A könyv 300 oldalas. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen megnyílt oldalon 5-tel osztható sorszám lesz?

Megoldás. A feladat feltételeiből az következik, hogy minden egyformán lehetséges elemi eredmény, amely egy teljes eseménycsoportot alkot, n = 300 lesz. Ebből m = 60 a megadott esemény bekövetkezésének kedvez. Valójában egy szám, amely többszöröse 5-nek, alakja 5k, ahol k természetes szám, és ahonnan . Ennélfogva,
, ahol A – az „oldal” esemény sorszáma 5-nek többszöröse.

10. példa. Két dobókockát dobunk, és kiszámítjuk a felső lapokon lévő pontok összegét. Mi a valószínűbb - összesen 7 vagy 8?

Megoldás. Jelöljük az eseményeket: A - „7 pontot dobtak”, B – „8 pontot dobtak”. Az A eseményt 6 elemi eredmény kedvez: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), és a B eseményt. 5 eredménnyel: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Minden egyformán lehetséges elemi eredmény n = 6 2 = 36. És .

Tehát P(A)>P(B), vagyis az összesen 7 pont megszerzése valószínűbb esemény, mint az összesen 8 pont megszerzése.

Feladatok

1. Véletlenszerűen választunk ki egy 30-at meg nem haladó természetes számot. Mennyi annak a valószínűsége, hogy ez a szám többszöröse 3-nak?
2. Az urnában a piros és b kék golyók, méretben és súlyban azonosak. Mennyi a valószínűsége annak, hogy az urnából véletlenszerűen kihúzott labda kék lesz?
3. Véletlenszerűen választunk ki egy számot, amely nem haladja meg a 30-at. Mennyi annak a valószínűsége, hogy ez a szám osztója 30-nak?
4. Az urnában A kék és b piros golyók, méretben és tömegben azonosak. Ebből az urnából kiveszünk egy labdát, és félretesszük. Ez a labda pirosnak bizonyult. Ezt követően egy másik labdát húznak az urnából. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a második golyó is piros.
5. Véletlenszerűen választunk egy nemzeti számot, amely nem haladja meg az 50-et. Mennyi a valószínűsége, hogy ez a szám prím?
6. Három kockát dobunk, és kiszámítjuk a felső lapokon lévő pontok összegét. Mi a valószínűbb – összesen 9 vagy 10 pont megszerzése?
7. Három kockát dobunk, és kiszámítjuk a dobott pontok összegét. Mi a valószínűbb - összesen 11 (A esemény) vagy 12 pont (B esemény)?

Válaszok

1. 1/3. 2 . b/(a+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(a+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 - összesen 9 pont megszerzésének valószínűsége; p 2 = 27/216 - összesen 10 pont megszerzésének valószínűsége; p 2 > p 1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

Kérdések

1. Hogyan nevezzük egy esemény valószínűségét?
2. Mennyi a valószínűsége egy megbízható eseménynek?
3. Mennyi a valószínűsége egy lehetetlen eseménynek?
4. Melyek a véletlenszerű esemény valószínűségének határai?
5. Milyen határai vannak bármely esemény valószínűségének?
6. A valószínűség melyik definícióját nevezzük klasszikusnak?

Szeretné tudni, mekkora matematikai esélye van annak, hogy fogadása sikeres lesz? Akkor két jó hír is van számodra. Először is: a terepjáró képesség kiszámításához nem kell bonyolult számításokat végeznie és sok időt töltenie. Elég egyszerű képleteket használni, amelyek néhány percet vesz igénybe. Másodszor: a cikk elolvasása után könnyen kiszámíthatja bármely tranzakció elmúlásának valószínűségét.

A sífutó képesség helyes meghatározásához három lépést kell tennie:

• Számítsa ki egy esemény kimenetelének százalékos valószínűségét a fogadóiroda szerint;
• Számítsa ki a valószínűséget statisztikai adatok segítségével;
• Találja meg a tét értékét, figyelembe véve mindkét valószínűséget.

Nézzük meg részletesen az egyes lépéseket, nemcsak képletekkel, hanem példákkal is.

Gyors átjárás

A bukmékerek szorzóiban szereplő valószínűség kiszámítása

Az első lépés annak kiderítése, hogy maga a bukméker milyen valószínűséggel becsüli meg egy adott eredmény esélyét. Nyilvánvaló, hogy a fogadóirodák nem csak így határoznak meg szorzót. Ehhez a következő képletet használjuk:

PB=(1/K)*100%,

ahol P B az eredmény valószínűsége a fogadóiroda szerint;

K – fogadóirodák az eredményre.

Tegyük fel, hogy a London Arsenal győzelmének esélye a Bayern München elleni meccsen 4. Ez azt jelenti, hogy győzelmük valószínűségét a fogadóirodák a következőképpen értékelik: (1/4)*100%=25%. Vagy Djokovic Youzhny ellen játszik. Novák győzelmének szorzója 1,2, esélyei (1/1,2)*100%=83%.

A fogadóirodák maga is így értékeli az egyes játékosok és csapatok sikerének esélyeit. Az első lépés befejezése után áttérünk a másodikra.

Egy esemény valószínűségének kiszámítása a játékos által

Tervünk második pontja az esemény valószínűségének saját felmérése. Mivel matematikailag nem tudjuk figyelembe venni az olyan paramétereket, mint a motiváció és a játékhang, ezért egy egyszerűsített modellt használunk, és csak a korábbi találkozók statisztikáit használjuk. Az eredmény statisztikai valószínűségének kiszámításához a következő képletet használjuk:

PÉS=(UM/M)*100%,

AholPÉS– egy esemény valószínűsége a játékos szerint;

UM – azoknak a sikeres mérkőzéseknek a száma, amelyekben ilyen esemény történt;

M – az összes mérkőzés száma.

Hogy érthetőbb legyen, mondjunk példákat. Andy Murray és Rafael Nadal 14 meccset játszott egymással. Közülük 6 játékban kevesebb volt, mint 21, 8-ban több volt. Meg kell találnia annak valószínűségét, hogy a következő meccset nagyobb összeggel játsszák: (8/14)*100=57%. A Valencia 74 mérkőzést játszott az Atlético ellen a Mestallában, amelyen 29 győzelmet aratott. Valencia nyerési valószínűsége: (29/74)*100%=39%.

És mindezt csak a korábbi játékok statisztikáinak köszönhetően tanuljuk meg! Természetesen új csapat vagy játékos esetén nem lehet ekkora valószínűséget kiszámítani, ezért ez a fogadási stratégia csak olyan mérkőzésekre alkalmas, amelyeken az ellenfelek többször találkoznak. Most már tudjuk, hogyan határozzuk meg a bukmékerek és a saját kimeneteleink valószínűségét, és minden tudásunk birtokában vagyunk, hogy továbbléphessünk az utolsó lépésre.

A fogadás értékének meghatározása

A fogadás értéke (értéke) és az átengedhetőség közvetlen összefüggésben van: minél nagyobb az érték, annál nagyobb a passz esélye. Az értéket a következőképpen számítjuk ki:

V=PÉS*K-100%,

ahol V értéke;

P I – az eredmény valószínűsége a fogadó szerint;

K – fogadóirodák az eredményre.

Tegyük fel, hogy a Milan győzelmére akarunk fogadni a Roma elleni meccsen, és úgy számolunk, hogy a „piros-feketék” győzelmének valószínűsége 45%. A fogadóiroda 2,5-ös szorzót kínál erre az eredményre. Értékes lenne egy ilyen fogadás? Számításokat végzünk: V=45%*2,5-100%=12,5%. Remek, értékes fogadásunk van, jó eséllyel passzolni.

Vegyünk egy másik esetet. Maria Sharapova Petra Kvitova ellen játszik. Alkot akarunk kötni, hogy Maria nyerjen, ennek valószínűsége számításaink szerint 60%. A fogadóirodák 1,5-ös szorzót kínálnak erre az eredményre. Meghatározzuk az értéket: V=60%*1,5-100=-10%. Amint látja, ennek a fogadásnak nincs értéke, ezért kerülni kell.

Nyilvánvaló, hogy minden eseménynek különböző fokú előfordulásának (megvalósításának) a lehetősége. Ahhoz, hogy az eseményeket lehetőségük mértéke szerint kvantitatívan össze lehessen hasonlítani egymással, nyilvánvalóan minden eseményhez egy bizonyos számot kell társítani, amely minél nagyobb, annál valószínűbb az esemény. Ezt a számot egy esemény valószínűségének nevezzük.

Az esemény valószínűsége– ennek az eseménynek a bekövetkezésének objektív lehetőségének fokmérője.

Vegyünk egy sztochasztikus kísérletet és egy véletlenszerű A eseményt, amelyet ebben a kísérletben figyeltek meg. Ismételjük meg ezt a kísérletet n-szer, és legyen m(A) azoknak a kísérleteknek a száma, amelyekben A esemény bekövetkezett.

Reláció (1.1)

hívott relatív gyakoriság események A az elvégzett kísérletsorozatban.

Könnyen ellenőrizhető a tulajdonságok érvényessége:

ha A és B inkonzisztens (AB= ), akkor ν(A+B) = ν(A) + ν(B) (1.2)

A relatív gyakoriságot csak kísérletsorozat után határozzák meg, és általában sorozatonként változhat. A tapasztalat azonban azt mutatja, hogy sok esetben a kísérletek számának növekedésével a relatív gyakoriság megközelít egy bizonyos számot. A relatív gyakoriság stabilitásának ezt a tényét többször igazolták, és kísérletileg megállapítottnak tekinthető.

1.19. példa.. Ha eldob egy érmét, senki sem tudja megjósolni, hogy melyik oldalon fog a tetejére kerülni. De ha két tonna érmét dobál, akkor mindenki azt mondja, hogy körülbelül egy tonna esik fel a címerrel, vagyis a címer kiesésének relatív gyakorisága körülbelül 0,5.

Ha a kísérletek számának növekedésével a ν(A) esemény relatív gyakorisága valamilyen rögzített számra hajlik, akkor azt mondjuk, hogy Az A esemény statisztikailag stabil, és ezt a számot az A esemény valószínűségének nevezzük.

Az esemény valószínűsége A valamilyen fix P(A) számot hívunk, amelyre ennek az eseménynek a relatív ν(A) gyakorisága a kísérletek számának növekedésével hajlik, azaz

Ezt a meghatározást hívják a valószínűség statisztikai meghatározása .

Tekintsünk egy bizonyos sztochasztikus kísérletet, és legyen elemi eseményeinek tere véges vagy végtelen (de megszámlálható) elemi események ω 1, ω 2, …, ω i, … halmazából. Tegyük fel, hogy minden ω i elemi eseményhez hozzá van rendelve egy bizonyos - р i szám, amely egy adott elemi esemény bekövetkezésének valószínűségét jellemzi, és kielégíti a következő tulajdonságokat:

Ezt a számot p i-nek hívják elemi esemény valószínűségeωi.

Legyen most A egy véletlenszerű esemény, amelyet ebben a kísérletben figyeltünk meg, és feleljen meg egy bizonyos halmaznak

Ebben a beállításban egy esemény valószínűsége A nevezzük az A-t előnyben részesítő elemi események valószínűségeinek összegét(a megfelelő A készletben található):

(1.4)

Az így bevezetett valószínűség ugyanazokkal a tulajdonságokkal rendelkezik, mint a relatív gyakoriság, nevezetesen:

És ha AB = (A és B nem kompatibilisek),

akkor P(A+B) = P(A) + P(B)

Valóban, az (1.4) szerint

Az utolsó összefüggésben kihasználtuk azt a tényt, hogy egyetlen elemi esemény sem kedvezhet egyszerre két egymással össze nem egyeztethető eseménynek.

Külön megjegyezzük, hogy a valószínűségelmélet nem jelöl meg módszereket a p i meghatározására, ezeket gyakorlati okokból kell keresni, vagy megfelelő statisztikai kísérletből kell beszerezni.

Példaként tekintsük a valószínűségszámítás klasszikus sémáját. Ehhez vegyünk egy sztochasztikus kísérletet, melynek elemi eseményeinek tere véges (n) számú elemből áll. Tegyük fel továbbá, hogy mindezek az elemi események egyformán lehetségesek, azaz az elemi események valószínűsége egyenlő p(ω i)=p i =p. Ebből következik, hogy

1.20. példa. Szimmetrikus érme dobásakor egyformán lehetséges fej és farok szerzése, ezek valószínűsége 0,5.

Példa 1.21. Szimmetrikus kocka dobásakor minden lap egyformán lehetséges, valószínűségük 1/6.

Most az A eseményt részesítse előnyben m elemi esemény, ezeket szokták nevezni Az A eseménynek kedvező kimenetele. Akkor

Kapott a valószínűség klasszikus meghatározása: az A esemény P(A) valószínűsége egyenlő az A eseménynek kedvező kimenetelek számának az összes kimenetelhez viszonyított arányával

Példa 1.22. Az urnában m fehér és n fekete golyó található. Mennyi a valószínűsége annak, hogy fehér golyót rajzolunk?

Megoldás. Az elemi események száma összesen m+n. Mindegyik egyformán valószínű. Kedvező esemény A ebből m. Ennélfogva, .

A valószínűség definíciójából a következő tulajdonságok következnek:

1. tulajdonság. A megbízható esemény valószínűsége eggyel egyenlő.

Valójában, ha az esemény megbízható, akkor a teszt minden elemi eredménye az eseménynek kedvez. Ebben az esetben t=p, ennélfogva,

P(A)=m/n=n/n=1.(1.6)

2. tulajdonság. Egy lehetetlen esemény valószínűsége nulla.

Valójában, ha egy esemény lehetetlen, akkor a teszt egyik elemi eredménye sem kedvez az eseménynek. Ebben az esetben T= 0, tehát P(A)=m/n=0/n=0. (1.7)

3. tulajdonság.Egy véletlen esemény valószínűsége egy nulla és egy közötti pozitív szám.

Valójában a teszt elemi eredményeinek csak egy részét részesíti előnyben egy véletlenszerű esemény. Azaz 0≤m≤n, ami 0≤m/n≤1-et jelent, tehát bármely esemény valószínűsége kielégíti a 0≤ kettős egyenlőtlenséget. P(A) ≤1. (1.8)

A valószínűség (1,5) és a relatív gyakoriság (1,1) definícióit összevetve arra a következtetésre jutunk: a valószínűség meghatározása nem igényel vizsgálatot valójában; a relatív gyakoriság meghatározása azt feltételezi teszteket valóban elvégezték. Más szavakkal, a valószínűséget a kísérlet előtt számítják ki, a relatív gyakoriságot pedig a kísérlet után.

A valószínűség kiszámításához azonban előzetes információkra van szükség az adott eseményre kedvező elemi eredmények számáról vagy valószínűségéről. Ilyen előzetes információk hiányában empirikus adatokkal határozzák meg a valószínűséget, vagyis egy sztochasztikus kísérlet eredményei alapján határozzák meg az esemény relatív gyakoriságát.

1.23. példa. Műszaki ellenőrzési osztály felfedezték 3 nem szabványos alkatrészek 80 véletlenszerűen kiválasztott alkatrészből álló kötegben. A nem szabványos alkatrészek előfordulásának relatív gyakorisága r(A)= 3/80.

1.24. példa. A célnak megfelelően.előállított 24 lövés, és 19 találatot rögzítettek. Relatív cél találati arány. r(A)=19/24.

A hosszú távú megfigyelések azt mutatták, hogy ha a kísérleteket azonos körülmények között végezzük, és mindegyikben kellően nagy a vizsgálatok száma, akkor a relatív gyakoriság a stabilitás tulajdonságát mutatja. Ez az ingatlan hogy a különböző kísérletekben a relatív gyakoriság keveset változik (minél kevesebbet, annál több vizsgálatot végeznek), egy bizonyos állandó szám körül ingadozik. Kiderült, hogy ez az állandó szám felvehető a valószínűség közelítő értékének.

A relatív gyakoriság és a valószínűség közötti kapcsolatot az alábbiakban részletesebben és pontosabban ismertetjük. Most példákkal illusztráljuk a stabilitás tulajdonságát.

1.25. példa. A svéd statisztika szerint a lányok születési relatív gyakoriságát 1935-ben havi bontásban a következő számok jellemzik (a számok hónapos sorrendben vannak, kezdve Január): 0,486; 0,489; 0,490; 0.471; 0,478; 0,482; 0.462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473

A relatív gyakoriság a 0,481 szám körül ingadozik, ami a lányok születési valószínűségének hozzávetőleges értékének tekinthető.

Vegye figyelembe, hogy a különböző országok statisztikai adatai megközelítőleg azonos relatív gyakorisági értéket adnak.

1.26. példa. Sokszor végeztek érmefeldobási kísérleteket, amelyek során a „címer” megjelenési számát számolták. Számos kísérlet eredményeit a táblázat tartalmazza.

Egy esemény bekövetkezésének valószínűsége egy adott tesztben egyenlő a hányadossal, ahol:

Egy adott teszt összes, egyformán lehetséges elemi kimenetelének száma, amelyek kialakulnak rendezvények teljes csoportja;

Az esemény szempontjából kedvező elemi eredmények száma.

1. probléma

Egy urnában 15 fehér, 5 piros és 10 fekete golyó található. Véletlenszerűen kihúzunk 1 golyót, határozzuk meg annak valószínűségét, hogy a) fehér, b) piros, c) fekete lesz.

Megoldás: A valószínűség klasszikus definíciójának használatának legfontosabb előfeltétele az képes megszámolni az eredmények teljes számát.

Összesen 15 + 5 + 10 = 30 golyó van az urnában, és nyilvánvalóan a következő tények igazak:

Bármely labda visszaszerzése ugyanúgy lehetséges (esélyegyenlőség eredmények), míg az eredményeket alapvető és forma rendezvények teljes csoportja (azaz a teszt eredményeként a 30 golyóból egy biztosan kikerül).

Így az eredmények teljes száma:

Tekintsük az eseményt: - egy fehér golyót húznak az urnából. Ennek az eseménynek az elemi kimenetelek kedveznek, ezért a klasszikus definíció szerint:
- annak a valószínűsége, hogy fehér golyót húznak ki az urnából.

Furcsa módon még egy ilyen egyszerű feladatban is komoly pontatlanságokat lehet elkövetni. Hol itt a buktató? Helytelen itt azzal érvelni „mivel a golyók fele fehér, akkor a fehér golyó húzásának valószínűsége » . A valószínűség klasszikus definíciója arra utal ALAPVETŐ eredményeket, és a törtet le kell írni!

Más pontoknál hasonlóan vegye figyelembe a következő eseményeket:

Egy piros golyót húznak az urnából;
- egy fekete golyót húznak az urnából.

Egy eseménynek 5 elemi végeredmény, egy eseménynek pedig 10 elemi eredmény kedvez. Tehát a megfelelő valószínűségek:

Számos szerverfeladat tipikus ellenőrzése a használatával történik tételek a teljes csoportot alkotó események valószínűségeinek összegéről. Esetünkben az események egy teljes csoportot alkotnak, ami azt jelenti, hogy a megfelelő valószínűségek összegének szükségszerűen egynek kell lennie: .

Nézzük meg, hogy ez igaz-e: erről akartam megbizonyosodni.

Válasz:

A gyakorlatban elterjedt a „nagy sebességű” megoldás tervezési lehetőség:

Összesen: 15 + 5 + 10 = 30 golyó az urnában. A klasszikus definíció szerint:
- annak a valószínűsége, hogy fehér golyót húznak ki az urnából;
- annak a valószínűsége, hogy egy piros golyót húznak ki az urnából;
- annak a valószínűsége, hogy egy fekete golyót húznak ki az urnából.

Válasz:

2. probléma

Az üzletbe 30 db hűtőszekrény érkezett, ebből öt gyártási hibás. Egy hűtőszekrény véletlenszerűen kerül kiválasztásra. Mennyi a valószínűsége, hogy hiba nélkül lesz?

3. probléma

Telefonszám tárcsázása során az előfizető elfelejtette az utolsó két számjegyet, de eszébe jut, hogy az egyik nulla, a másik pedig páratlan. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a megfelelő számot tárcsázza.

jegyzet: a nulla páros szám (osztható 2-vel maradék nélkül)

Megoldás: Először megkeressük az eredmények teljes számát. Feltétel szerint az előfizető emlékszik arra, hogy az egyik számjegy nulla, a másik számjegy pedig páratlan. Itt racionálisabb, hogy ne hasítsuk fel a szőrszálakat kombinatorikaés kihasználni az eredmények közvetlen felsorolásának módszere . Vagyis a megoldás elkészítésekor egyszerűen felírjuk az összes kombinációt:

01, 03, 05, 07, 09

10, 30, 50, 70, 90

És megszámoljuk őket – összesen: 10 eredmény.

Csak egy kedvező eredmény van: a helyes szám.

A klasszikus definíció szerint:
- annak valószínűsége, hogy az előfizető a megfelelő számot tárcsázza

Válasz: 0,1

Haladó feladat önálló megoldáshoz:

4. probléma

Az előfizető elfelejtette a SIM-kártya PIN-kódját, de emlékszik arra, hogy az három „ötöst” tartalmaz, és az egyik szám vagy „hetes” vagy „nyolcas”. Mekkora a valószínűsége a sikeres engedélyezésnek az első próbálkozásra?

Itt kidolgozhatja azt az elképzelést is, hogy az előfizetőt mekkora valószínűséggel büntetik puk kód formájában, de sajnos az érvelés túlmutat ezen lecke keretein.

A megoldás és a válasz alább olvasható.

Néha a kombinációk felsorolása nagyon fáradságos feladatnak bizonyul. Különösen ez a helyzet a következő, nem kevésbé népszerű feladatcsoportban, ahol 2 kockával dobnak (ritkábban - többször):

5. probléma

Határozza meg annak valószínűségét, hogy két dobókockával a teljes szám a következő lesz:

a) öt pont;

b) legfeljebb négy pont;

c) 3-9 pont között.

Megoldás: keresse meg az eredmények teljes számát:

Hogyan eshet ki az 1. kocka oldala És különböző módon kieshet a 2. kocka oldala; Által a kombinációk szorzószabálya, Teljes: lehetséges kombinációk. Más szavakkal, minden egyes az 1. kocka lapja rendezett párt alkothat mindegyikkel a 2. kocka széle. Egyezzünk meg abban, hogy egy ilyen párat a formába írunk, ahol az 1. kockára dobott szám, a 2. kockára dobott szám.

Például:

Az első dobókocka 3 pontot, a második 5 pontot ért el, összpontszám: 3 + 5 = 8;
- az első dobókocka 6 pontot ért, a második - 1 pontot, a pontok összege: 6 + 1 = 7;
- Mindkét kockán 2 pont dobott, összege: 2 + 2 = 4.

Nyilván a legkisebb összeget egy pár adja, a legnagyobbat pedig két „hatos”.

a) Tekintsük az eseményt: - két kocka dobásakor 5 pont jelenik meg. Jegyezzük fel és számoljuk meg, hogy hány eredmény kedvez ennek az eseménynek:

Összesen: 4 kedvező eredmény. A klasszikus definíció szerint:
- a kívánt valószínűség.

b) Vegye figyelembe az eseményt: - legfeljebb 4 pont jelenik meg. Vagyis vagy 2, vagy 3, vagy 4 pont. Ismét felsoroljuk és megszámoljuk a kedvező kombinációkat, a bal oldalon felírom az összpontszámot, a kettőspont után pedig a megfelelő párokat:

Összesen: 6 kedvező kombináció. És így:
- annak a valószínűsége, hogy legfeljebb 4 pontot dobnak.

c) Tekintsük az eseményt: - 3-9 pont fog dobni. Itt mehetsz az egyenes úton, de... valamiért nem akarod. Igen, néhány pár már felsorolásra került az előző bekezdésekben, de még sok a tennivaló.

Mi a legjobb módja a folytatásnak? Ilyen esetekben a körforgalom racionálisnak bizonyul. Mérlegeljük ellentétes esemény: - 2 vagy 10 vagy 11 vagy 12 pont jelenik meg.

Mi az értelme? Az ellenkező eseményt jóval kisebb számú pár kedveli:

Összesen: 7 kedvező eredmény.

A klasszikus definíció szerint:
- annak a valószínűsége, hogy háromnál kevesebbet vagy 9-nél többet kap.

A különösen alapos emberek mind a 29 párt listázhatják, ezzel kitöltve az ellenőrzést.

Válasz:

A következő feladatban megismételjük a szorzótáblát:

6. probléma

Határozza meg annak valószínűségét, hogy két kocka dobásakor a pontok szorzata:

a) egyenlő lesz héttel;

b) legalább 20 lesz;

c) páros lesz.

Rövid megoldás és válasz a lecke végén.

7. probléma

3 ember szállt be egy 20 emeletes épület liftjébe az első emeleten. És menjünk. Keresse meg annak valószínűségét, hogy:

a) különböző emeleteken fognak kilépni;

b) ketten ugyanazon az emeleten fognak kimenni;

c) mindenki ugyanazon az emeleten száll le.

Megoldás: számoljuk ki az eredmények teljes számát: hogyan szállhat ki az 1. utas a liftből És utak - 2. utas És módon - a harmadik utas. A kombinációk szorzásának szabálya szerint: lehetséges kimenetelek. vagyis minden Az 1. személy kijárata összevonható mindegyikkel 2. személy kijárati emelet és mindegyikkel 3. személy kijárata.

A második módszer azon alapul elhelyezések ismétlésekkel:
- aki érthetőbben érti.

a) Vegye figyelembe az eseményt: - az utasok különböző emeleteken szállnak le. Számítsuk ki a kedvező kimenetelek számát:
Különböző emeleteken 3 utas tud kiszállni ezekkel a módszerekkel. Végezze el saját érvelését a képlet alapján.

A klasszikus definíció szerint:

c) Vegye figyelembe az eseményt: - az utasok ugyanazon az emeleten szállnak le. Ennek az eseménynek kedvező kimenetele van, és a klasszikus definíció szerint a megfelelő valószínűséggel: .

A hátsó ajtón jövünk be:

b) Vegye figyelembe az eseményt: - két ember száll le ugyanazon az emeleten (és ennek megfelelően a harmadik a másikon van).

Az események formálódnak teljes csoport (hiszünk abban, hogy senki nem fog elaludni a liftben, és a lift nem fog elakadni, ami azt jelenti .

Ennek eredményeként a kívánt valószínűség a következő:

És így, tétel a teljes csoportot alkotó események valószínűségeinek összeadásáról, nemcsak kényelmes, hanem igazi életmentő is lehet!

Válasz:

Ha nagy törteket kap, célszerű a hozzávetőleges tizedesértékeket feltüntetni. Általában 2-3-4 tizedesjegyre kerekítve.

Mivel az „a”, „be”, „ve” pontok eseményei egy teljes csoportot alkotnak, célszerű kontrollellenőrzést végezni, és ez jobb közelítő értékekkel:

Amit ellenőrizni kellett.

Néha a kerekítési hibák miatt az eredmény 0,9999 vagy 1,0001 lehet, a hozzávetőleges értékek egyikét úgy kell „igazítani”, hogy a végösszeg „tiszta” egység legyen.

Önállóan:

8. probléma

10 érmét dobnak fel. Keresse meg annak valószínűségét, hogy:

a) minden érmén fej látható;

b) 9 érme fejet, egy érme pedig farkat ér;

c) az érmék felén fejek jelennek meg.

9. probléma

Egy hétszemélyes padra véletlenszerűen 7 ember ül. Mennyi annak a valószínűsége, hogy két bizonyos ember közel lesz egymáshoz?

Megoldás: Nincs probléma az eredmények teljes számával:
Egy padon 7 ember ülhet többféleképpen.

De hogyan lehet kiszámítani a kedvező eredmények számát? A triviális képletek nem alkalmasak, és az egyetlen út a logikus érvelés. Először nézzük meg azt a helyzetet, amikor Sasha és Masha egymás mellett voltak a pad bal szélén:

Nyilvánvalóan a sorrend számít: Sasha ülhet a bal oldalon, Mása a jobb oldalon, és fordítva. De ez még nem minden - az egyes ebből a két esetből a többi ember más módon is leülhet az üres helyekre. Kombinatorikusan szólva, Sasha és Masha a következő módokon átrendezhetők a szomszédos helyeken: És Minden egyes ilyen permutációhoz más embereket is át lehet rendezni.

Így a kombinációk szorzásának szabálya szerint kedvező eredmények születnek.

De ez még nem minden! A fenti tények igazak az egyes szomszédos helyek párja:

Érdekes megjegyezni, hogy ha a pad „lekerekített” (bal és jobb ülések összekötése), akkor egy további, hetedik pár szomszédos hely jön létre. De ne tereljük el a figyelmünket. A kombinációk szorzása ugyanazon elve szerint megkapjuk a kedvező kimenetelek végső számát:

A klasszikus definíció szerint:
- annak a valószínűsége, hogy két konkrét személy lesz a közelben.

Válasz:

10. probléma

Két bástya, fehér és fekete, véletlenszerűen kerül egy 64 cellát tartalmazó sakktáblára. Mennyi a valószínűsége, hogy nem „verik meg” egymást?

Referencia: egy sakktábla négyzet méretű; a fekete-fehér bástya „verik” egymást, ha ugyanazon a rangon vagy ugyanazon a függőlegesen helyezkednek el

Mindenképpen készítsen sematikus rajzot a tábláról, és még jobb, ha sakk van a közelben. Egy dolog papíron okoskodni, és egészen más, ha saját kezűleg rendezi el a darabokat.

11. probléma

Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kiosztott négy lapon egy ász és egy király lesz?

Számítsuk ki az eredmények teljes számát. Hányféleképpen lehet 4 kártyát kivenni egy pakliból? Valószínűleg mindenki megértette, hogy miről beszélünk kombinációk száma:
ezekkel a módszerekkel választhat 4 kártyát a pakliból.

Most kedvező eredményeket látunk. A feltételnek megfelelően a 4 lapból álló válogatásban egy ásznak, egy királynak kell lennie, és ami nincs egyszerű szövegben feltüntetve - két másik kártya:

Egy ász kinyerésének módjai;
hogyan választhat egy királyt.

Az ászokat és a királyokat kizárjuk a számításból: 36 - 4 - 4 = 28

hogyan bonthatja ki a másik két kártyát.

A kombinációk szorzási szabálya szerint:
módokon bonthatja ki a kívánt kártyakombinációt (1. ász És 1. király És két másik kártya).

Hadd kommentáljam a jelölés kombinációs jelentését más módon:
mindenász egyesíti mindegyikkel király és mindegyikkel lehetséges pár másik kártya.

A klasszikus definíció szerint:
- annak a valószínűsége, hogy a négy kiosztott lap között egy ász és egy király lesz.

Ha van ideje és türelme, csökkentse a nagy frakciókat, amennyire csak lehetséges.

Válasz:

Egy egyszerűbb, önállóan megoldható feladat:

12. probléma

A doboz 15 db minőségi és 5 db hibás alkatrészt tartalmaz. 2 részt véletlenszerűen távolítanak el.

Keresse meg annak valószínűségét, hogy:

a) mindkét rész jó minőségű lesz;

b) az egyik alkatrész jó minőségű lesz, a másik pedig hibás;

c) mindkét alkatrész hibás.

A felsorolt ​​pontok eseményei egy teljes csoportot alkotnak, így az itt történő ellenőrzés önmagát sugallja. Rövid megoldás és válasz a lecke végén. Általában a legérdekesebb dolgok most kezdődnek!

13. probléma

A tanuló a 60-ból 25 vizsgakérdésre tudja a választ. Mennyi a sikeres vizsga valószínűsége, ha 3-ból legalább 2 kérdésre válaszolnia kell?

Megoldás: Tehát a helyzet a következő: összesen 60 kérdés, ebből 25 „jó”, és ennek megfelelően 60 - 25 = 35 „rossz”. A helyzet bizonytalan, és nem a diáknak kedvez. Nézzük, milyen jók az esélyei:

hogyan választhat 3 kérdést a 60-ból (eredmények teljes száma).

A sikeres vizsgához meg kell válaszolnia a 2 vagy 3 kérdés. Kedvező kombinációkat tartunk számon:

2 „jó” kérdés kiválasztásának módjai És az egyik „rossz”;

hogyan választhat 3 „jó” kérdést.

Által kombinációk hozzáadásának szabálya:
módokon választhat 3 kérdésből egy olyan kombinációt, amely kedvező a vizsga sikeres letételéhez (nincs különbség két-három „jó” kérdésnél).

A klasszikus definíció szerint:

Válasz:

14. probléma

Egy pókerjátékosnak 5 lapot osztanak. Keresse meg annak valószínűségét, hogy:

a) ezek között a lapok között lesz egy pár tízes és egy pár bubi;
b) a játékosnak flöst osztanak ki (5 azonos színû lap);
c) a játékosnak négy egyforma lapot osztanak (4 azonos értékű lapot).

Az alábbi kombinációk közül melyik érhető el a legvalószínűbb?

! Figyelem! Ha a feltétel hasonló kérdést tesz fel, akkor válaszoljon rá szükséges választ adni.
Referencia : A pókert hagyományosan 52 lapos paklival játsszák, amely 4 színű lapokat tartalmaz, a kettestől az ászig.

A póker a legmatematikusabb játék (azok tudják, akik játszanak), amelyben észrevehető előnyre tehet szert a kevésbé képzett ellenfelekkel szemben.

Megoldások és válaszok:

2. feladat: Megoldás: 30 - 5 = 25 hűtőnek nincs hibája.

- annak a valószínűsége, hogy a véletlenszerűen kiválasztott hűtőszekrény nem hibás.
Válasz :

4. feladat: Megoldás: keresse meg az eredmények teljes számát:
módokon választhatja ki azt a helyet, ahol a kétes szám található és mindegyiken Ebből a 4 helyből 2 számjegy található (hét vagy nyolc). A kombinációk szorzásának szabálya szerint az eredmények teljes száma: .
Alternatív megoldásként a megoldás egyszerűen felsorolja az összes eredményt (szerencsére kevés van belőlük):

7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558

Csak egy kedvező eredmény van (helyes PIN-kód).

Tehát a klasszikus definíció szerint:
- annak valószínűsége, hogy az előfizető az első próbálkozással bejelentkezik
Válasz :

6. feladat: Megoldás

6. feladat:Megoldás : keresse meg az eredmények teljes számát:
számok 2 kockán különböző módon jelenhetnek meg.

a) Vegye figyelembe az eseményt: - két kocka dobásakor a pontok szorzata hét lesz. Ennek az eseménynek nincs kedvező kimenetele,
, azaz ez az esemény lehetetlen.

b) Vegye figyelembe az eseményt: - két dobókocka dobásakor a pontok szorzata legalább 20 lesz. A következő eredmények kedveznek ennek az eseménynek:

Összesen: 8

A klasszikus definíció szerint:

- a kívánt valószínűség.

c) Tekintsük az ellenkező eseményeket:

- a pontok szorzata páros lesz;

- a pontok szorzata páratlan lesz.

Soroljuk fel az esemény szempontjából kedvező összes eredményt :

Összesen: 9 kedvező eredmény.

A valószínűség klasszikus definíciója szerint:

Az ellentétes események egy teljes csoportot alkotnak, ezért:

- a kívánt valószínűség.

Válasz :

8. probléma:Megoldás hogyan eshet le 2 érme.
Egy másik módja: hogyan eshet le az 1. érmeÉs hogyan eshet le a 2. érmeÉs … És hogyan eshet le a 10. érme. A kombinációk szorzása szabálya szerint 10 érme eshet módokon.
a) Vegye figyelembe az eseményt: - minden érmén fejek láthatók. Ennek az eseménynek egyetlen kimenetele kedvez, a valószínűség klasszikus definíciója szerint: .
b) Vegye figyelembe az eseményt: - 9 érme fejet, egy érmét pedig farok ér.
Létezik érmék, amelyek a fejeken landolhatnak. A valószínűség klasszikus definíciója szerint: .
c) Vegye figyelembe az eseményt: - az érmék felén fejek jelennek meg.
Létezik öt érme egyedi kombinációi, amelyek fejeket üthetnek le. A valószínűség klasszikus definíciója szerint:
Válasz:

10. probléma:Megoldás : számítsuk ki az eredmények teljes számát:
két bástya elhelyezésének módjai a táblán.
Egy másik tervezési lehetőség: a sakktábla két mezőjének kiválasztásának módjaiÉs fehér és fekete bástya elhelyezésének módjaimindenben 2016-os esetekből. Így az eredmények teljes száma: .

Most számoljuk meg azokat az eredményeket, amelyekben a bástya „megverte” egymást. Tekintsük az 1. vízszintes vonalat. Nyilván a figurák bármilyen módon elhelyezhetők rajta, például így:

Ezenkívül a bástya átrendezhető. Tegyük számszerűsítve az érvelést: hogyan választhat ki két cellátÉs a bástya átrendezésének módjaimindenben28 esetből. Teljes: ábrák lehetséges helyzetei a vízszintesen.
A design rövid változata: hogyan helyezheti a fehér és fekete bástya az 1. rangra.

A fenti érvelés helyesaz egyes vízszintes, ezért a kombinációk számát meg kell szorozni nyolccal: . Ezenkívül egy hasonló történet a nyolc vertikális bármelyikére igaz. Számítsuk ki azoknak a formációknak a számát, amelyekben a darabok „verik” egymást:

Ezután az elrendezés többi változatában a bástya nem fogja „verni” egymást:
4032 - 896 = 3136

A valószínűség klasszikus definíciója szerint:
- annak a valószínűsége, hogy a táblára véletlenszerűen elhelyezett fehér és fekete bástya nem fogja „verni” egymást.

Válasz :

12. probléma:Megoldás : összesen: 15 + 5 = 20 alkatrész dobozban. Számítsuk ki az eredmények teljes számát:
ezekkel a módszerekkel 2 alkatrészt távolíthat el a dobozból.
a) Vegye figyelembe az eseményt: - mindkét kivont rész kiváló minőségű lesz.
ezekkel a módszerekkel 2 minőségi alkatrészt nyerhet ki.
A valószínűség klasszikus definíciója szerint:
b) Vegye figyelembe az eseményt: - az egyik alkatrész jó minőségű lesz, a másik pedig hibás.
1 minőségi alkatrész kinyerésének módjaiÉs1 hibás.
A klasszikus definíció szerint:
c) Vegye figyelembe az eseményt: - mindkét kihúzott rész hibás.
ezekkel a módszerekkel eltávolíthat 2 hibás alkatrészt.
A klasszikus definíció szerint:
Vizsgálat: számítsuk ki a teljes csoportot alkotó események valószínűségeinek összegét: , amit ellenőrizni kellett.
Válasz:

És most vegyünk a kezünkbe egy már ismerős és problémamentes tanulási eszközt - egy kockát rendezvények teljes csoportja , amelyek abból állnak, hogy dobáskor 1, 2, 3, 4, 5 és 6 pont jelenik meg.

Vegye figyelembe az eseményt - egy kockadobás eredményeként legalább öt pont jelenik meg. Ez az esemény két összeférhetetlen kimenetelből áll: (5. tekercs vagy 6 pont)
- annak a valószínűsége, hogy egy kockadobás legalább öt pontot eredményez.

Tekintsük azt az eseményt, hogy legfeljebb 4 pontot dobunk, és határozzuk meg annak valószínűségét. Az összeférhetetlen események valószínűségeinek összeadásának tétele szerint:

Talán néhány olvasó még nem értette meg teljesen lényegösszeférhetetlenség. Gondoljuk át még egyszer: egy tanuló 3 kérdésből 2-re nem tud válaszolni és ugyanakkor válaszolj mind a 3 kérdésre. Így az események és összeegyeztethetetlenek.

Most használva klasszikus meghatározás, nézzük meg a valószínűségeiket:

A sikeres vizsga tényét az összeg fejezi ki (válaszoljon 3-ból 2 kérdésre vagy minden kérdésre). Az összeférhetetlen események valószínűségeinek összeadásának tétele szerint:
- annak a valószínűsége, hogy a hallgató sikeres vizsgát tesz.

Ez a megoldás teljesen egyenértékű, válaszd ki, melyik tetszik a legjobban.

1. probléma

Az üzletbe négy nagykereskedelmi raktárból érkezett dobozos termék: az 1.-ből négy, a 2.-ból öt, a 3.-ból hét, a 4-esből pedig négy. Véletlenszerűen kiválasztottak egy eladó dobozt. Mennyi annak a valószínűsége, hogy az első vagy a harmadik raktárból származó doboz lesz.

Megoldás: összesen az üzletbe érkezett: 4 + 5 + 7 + 4 = 20 doboz.

Ebben a feladatban kényelmesebb a „gyors” formázási módszer alkalmazása az események nagybetűs írása nélkül. A klasszikus definíció szerint:
- annak a valószínűsége, hogy az 1. raktárból kiválasztanak egy dobozt eladásra;
- annak a valószínűsége, hogy a 3. raktárból kiválasztanak egy dobozt eladásra.

Az inkompatibilis események összeadásának tétele szerint:
- annak a valószínűsége, hogy az első vagy a harmadik raktárból kiválasztanak egy dobozt eladásra.

Válasz: 0,55

Természetesen a probléma megoldható és tisztán keresztül a valószínűség klasszikus meghatározása a kedvező kimenetelek számának közvetlen megszámlálásával (4 + 7 = 11), de a vizsgált módszer sem rosszabb. És még világosabb.

2. probléma

A doboz 10 piros és 6 kék gombot tartalmaz. Két gomb véletlenszerűen kerül eltávolításra. Mennyi a valószínűsége, hogy egyforma színűek lesznek?

Hasonlóképpen - itt használhatja kombinatorikus összegszabály, de sosem lehet tudni... hirtelen valaki elfelejtette. Ekkor az inkompatibilis események valószínűségének összeadásának tétele jön a segítségre!

Akár tetszik, akár nem, az életünk tele van mindenféle balesettel, kellemesekkel és kevésbé kellemesekkel egyaránt. Ezért mindannyiunknak nem ártana, ha tudná, hogyan állapíthatja meg egy adott esemény valószínűségét. Ez segít a megfelelő döntések meghozatalában minden olyan körülmény között, amely bizonytalansággal jár. Például az ilyen ismeretek nagyon hasznosak lesznek a befektetési lehetőségek kiválasztásánál, a részvény- vagy lottónyereség lehetőségének felmérésében, a személyes célok elérésének valóságának meghatározásában stb., stb.

Valószínűségelméleti képlet

A téma tanulmányozása elvileg nem vesz igénybe túl sok időt. Ahhoz, hogy választ kapjon a következő kérdésre: „Hogyan találjuk meg a jelenség valószínűségét?”, meg kell értenie a kulcsfogalmakat, és emlékeznie kell a számítás alapjául szolgáló alapelvekre. Tehát a statisztikák szerint a vizsgált eseményeket A1, A2,..., An jelöli. Mindegyiknek van kedvező kimenetele (m) és összes elemi kimenetele. Például az érdekel minket, hogyan találjuk meg annak valószínűségét, hogy a kocka felső oldalán páros számú pont lesz. Ekkor A az m dobása – 2, 4 vagy 6 pontot dob ​​ki (három kedvező opció), n pedig mind a hat lehetséges opció.

Maga a számítási képlet a következő:

Egy eredménnyel minden rendkívül egyszerű. De hogyan lehet megtalálni annak valószínűségét, ha az események egymás után történnek? Tekintsük ezt a példát: egy kártyapakliból (36 db) megjelenik az egyik kártya, majd vissza van rejtve a pakliba, és keverés után kihúzzuk a következőt. Hogyan állapítható meg annak a valószínűsége, hogy legalább egy esetben kihúzták a pikk-dámát? A következő szabály érvényes: ha egy összetett eseményt veszünk figyelembe, amely több összeférhetetlen egyszerű eseményre osztható, akkor először mindegyikre kiszámíthatja az eredményt, majd összeadhatja őket. A mi esetünkben ez így fog kinézni: 1/36 + 1/36 = 1/18. De mi történik akkor, ha több is előfordul egyszerre? Aztán megszorozzuk az eredményeket! Például annak a valószínűsége, hogy két érme egyidejű feldobásakor két fej jelenik meg, egyenlő lesz: ½ * ½ = 0,25.

Most vegyünk egy még összetettebb példát. Tegyük fel, hogy részt vettünk egy könyvsorsoláson, ahol harmincból tíz nyer. Meg kell határoznia:

1. Annak a valószínűsége, hogy mindkettő nyertes lesz.
2. Legalább egyikük díjat hoz.
3. Mindketten vesztesek lesznek.

Tehát nézzük az első esetet. Két eseményre bontható: az első jegy lesz szerencsés, a második pedig szintén szerencsés. Vegyük figyelembe, hogy az események függőek, mivel minden húzás után az opciók száma csökken. Kapunk:

10 / 30 * 9 / 29 = 0,1034.

A második esetben meg kell határoznia a vesztes jegy valószínűségét, és figyelembe kell vennie, hogy ez lehet az első vagy a második: 10/30 * 20/29 + 20/29 * 10/30 = 0,4598.

Végül a harmadik eset, amikor még egy könyvet sem tudsz kihozni a lottón: 20 / 30 * 19 / 29 = 0,4368.