Hogyan találjuk meg az esés valószínűségét. Egyszerű problémák a valószínűségszámításban

valószínűség- egy 0 és 1 közötti szám, amely egy véletlen esemény bekövetkezésének esélyét tükrözi, ahol a 0 az esemény bekövetkezésének valószínűségének teljes hiányát jelenti, az 1 pedig azt, hogy a kérdéses esemény biztosan bekövetkezik.

Az E esemény valószínűsége egy szám 1-ig.
Az egymást kizáró események valószínűségeinek összege 1.

empirikus valószínűség- valószínűség, amely egy múltbeli esemény relatív gyakoriságaként kerül kiszámításra, a történeti adatok elemzéséből kivonva.

A nagyon ritka események valószínűsége nem számítható empirikusan.

szubjektív valószínűség- egy esemény személyes szubjektív értékelésén alapuló valószínűség, történelmi adatok figyelembevétele nélkül. A részvények vételére és eladására vonatkozó döntéseket hozó befektetők gyakran a szubjektív valószínűség megfontolások alapján cselekszenek.

előzetes valószínűség -

Az esély 1 in... (esély), hogy egy esemény bekövetkezik a valószínűség fogalmán keresztül. Egy esemény bekövetkezésének esélyét a valószínűségen keresztül fejezzük ki a következőképpen: P/(1-P).

Például, ha egy esemény valószínűsége 0,5, akkor az esemény valószínűsége 1 a 2-ből, mert 0,5/(1-0,5).

Annak esélyét, hogy egy esemény nem következik be, az (1-P)/P képlet segítségével számítjuk ki

Inkonzisztens valószínűség- például az A cég részvényeinek ára 85%-ban veszi figyelembe az esetleges E eseményt, a B társaság részvényeinek árfolyama pedig csak 50%-ban. Ezt inkonzisztens valószínűségnek nevezzük. A holland fogadási tétel szerint az inkonzisztens valószínűség profitlehetőségeket teremt.

Feltétel nélküli valószínűség a válasz arra a kérdésre, hogy "Mekkora a valószínűsége annak, hogy az esemény bekövetkezik?"

Feltételes valószínűség- ez a válasz arra a kérdésre: "Mekkora az A esemény valószínűsége, ha B esemény bekövetkezik." A feltételes valószínűség jelölése P(A|B).

Együttes valószínűség- annak a valószínűsége, hogy az A és B események egyidejűleg következnek be. Jelölése: P(AB).

P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)

P(AB) = P(A|B)*P(B)

A valószínűségek összegzésének szabálya:

Annak a valószínűsége, hogy az A vagy a B esemény bekövetkezik:

P (A vagy B) = P(A) + P(B) - P(AB) (2)

Ha A és B események kölcsönösen kizárják egymást, akkor

P (A vagy B) = P(A) + P(B)

Független események- A és B események függetlenek, ha

P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B)

Vagyis ez egy olyan eredménysor, ahol a valószínűségi érték állandó az egyik eseményről a másikra.
Az érmefeldobás egy példa egy ilyen eseményre - minden további feldobás eredménye nem függ az előző eredményétől.

Függő események- ezek olyan események, ahol az egyik bekövetkezésének valószínűsége egy másik bekövetkezésének valószínűségétől függ.

A független események valószínűségének szorzásának szabálya:
Ha A és B események függetlenek, akkor

P(AB) = P(A) * P(B) (3)

Teljes valószínűségi szabály:

P(A) = P(AS) + P(AS") = P(A|S")P(S) + P (A|S")P(S") (4)

S és S" egymást kizáró események

várható érték a valószínűségi változó egy valószínűségi változó lehetséges kimeneteleinek átlaga. X eseménynél a várakozást E(X)-ként jelöljük.

Tegyük fel, hogy van 5 értéke bizonyos valószínűséggel egymást kizáró eseményeknek (például egy cég bevétele ekkora és ekkora valószínűséggel volt). A várható érték az összes eredmény összege szorozva a valószínűséggel:

Egy valószínűségi változó diszperziója a valószínűségi változó elvárásától való négyzetes eltérésének várható értéke:

s 2 = E( 2 ) (6)

A feltételes várható érték egy X valószínűségi változó várható értéke, feltéve, hogy az S esemény már megtörtént.

Egy esemény bekövetkezésének valószínűsége egy adott tesztben egyenlő a hányadossal, ahol:

Egy adott teszt összes, egyformán lehetséges elemi kimenetelének száma, amelyek kialakulnak rendezvények teljes csoportja;

Az esemény szempontjából kedvező elemi eredmények száma.

1. probléma

Egy urnában 15 fehér, 5 piros és 10 fekete golyó található. Véletlenszerűen kihúzunk 1 golyót, határozzuk meg annak valószínűségét, hogy a) fehér, b) piros, c) fekete lesz.

Megoldás: A valószínűség klasszikus definíciójának használatának legfontosabb előfeltétele az képes megszámolni az eredmények teljes számát.

Összesen 15 + 5 + 10 = 30 golyó van az urnában, és nyilvánvalóan a következő tények igazak:

Bármely labda visszaszerzése ugyanúgy lehetséges (esélyegyenlőség eredmények), míg az eredményeket alapvető és forma rendezvények teljes csoportja (azaz a teszt eredményeként a 30 golyóból egy biztosan kikerül).

Így az eredmények teljes száma:

Tekintsük az eseményt: - egy fehér golyót húznak az urnából. Ennek az eseménynek az elemi kimenetelek kedveznek, ezért a klasszikus definíció szerint:
- annak a valószínűsége, hogy fehér golyót húznak ki az urnából.

Furcsa módon még egy ilyen egyszerű feladatban is komoly pontatlanságokat lehet elkövetni. Hol itt a buktató? Helytelen itt azzal érvelni „mivel a golyók fele fehér, akkor a fehér golyó húzásának valószínűsége » . A valószínűség klasszikus definíciója arra utal ALAPVETŐ eredményeket, és a törtet le kell írni!

Más pontoknál hasonlóan vegye figyelembe a következő eseményeket:

Egy piros golyót húznak az urnából;
- egy fekete golyót húznak az urnából.

Egy eseménynek 5 elemi végeredmény, egy eseménynek pedig 10 elemi eredmény kedvez. Tehát a megfelelő valószínűségek:

Számos szerverfeladat tipikus ellenőrzése a használatával történik tételek a teljes csoportot alkotó események valószínűségeinek összegéről. Esetünkben az események egy teljes csoportot alkotnak, ami azt jelenti, hogy a megfelelő valószínűségek összegének feltétlenül egyenlőnek kell lennie eggyel: .

Nézzük meg, hogy ez igaz-e: erről akartam megbizonyosodni.

Válasz:

A gyakorlatban elterjedt a „nagy sebességű” megoldás tervezési lehetőség:

Összesen: 15 + 5 + 10 = 30 golyó az urnában. A klasszikus definíció szerint:
- annak a valószínűsége, hogy fehér golyót húznak ki az urnából;
- annak a valószínűsége, hogy egy piros golyót húznak ki az urnából;
- annak a valószínűsége, hogy egy fekete golyót húznak ki az urnából.

Válasz:

2. probléma

Az üzletbe 30 db hűtőszekrény érkezett, ebből öt gyártási hibás. Egy hűtőszekrény véletlenszerűen kerül kiválasztásra. Mennyi a valószínűsége, hogy hiba nélkül lesz?

3. probléma

Telefonszám tárcsázása közben az előfizető elfelejtette az utolsó két számjegyet, de eszébe jut, hogy az egyik nulla, a másik pedig páratlan. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a megfelelő számot tárcsázza.

jegyzet: a nulla páros szám (osztható 2-vel maradék nélkül)

Megoldás: Először megkeressük az eredmények teljes számát. Feltétel szerint az előfizető emlékszik arra, hogy az egyik számjegy nulla, a másik számjegy pedig páratlan. Itt racionálisabb, ha nem hasad fel vele a szőrszálakat kombinatorikaés kihasználni az eredmények közvetlen felsorolásának módszere . Vagyis a megoldás elkészítésekor egyszerűen felírjuk az összes kombinációt:

01, 03, 05, 07, 09

10, 30, 50, 70, 90

És megszámoljuk őket – összesen: 10 eredmény.

Csak egy kedvező eredmény van: a helyes szám.

A klasszikus definíció szerint:
- annak valószínűsége, hogy az előfizető a megfelelő számot tárcsázza

Válasz: 0,1

Haladó feladat önálló megoldáshoz:

4. probléma

Az előfizető elfelejtette a SIM-kártya PIN-kódját, de emlékszik arra, hogy az három „ötöst” tartalmaz, és az egyik szám vagy „hetes” vagy „nyolcas”. Mennyi a valószínűsége a sikeres engedélyezésnek az első próbálkozásra?

Itt kidolgozhatja azt az elképzelést is, hogy az előfizetőt mekkora valószínűséggel büntetik puk kód formájában, de sajnos az érvelés túlmutat ezen lecke keretein.

A megoldás és a válasz alább olvasható.

Néha a kombinációk felsorolása nagyon fáradságos feladatnak bizonyul. Különösen ez a helyzet a következő, nem kevésbé népszerű feladatcsoportban, ahol 2 kockával dobnak (ritkábban - többször):

5. probléma

Határozza meg annak valószínűségét, hogy két dobókockával a teljes szám a következő lesz:

a) öt pont;

b) legfeljebb négy pont;

c) 3-9 pont között.

Megoldás: keresse meg az eredmények teljes számát:

Hogyan eshet ki az 1. kocka oldala És különböző módon kieshet a 2. kocka oldala; Által a kombinációk szorzószabálya, Teljes: lehetséges kombinációk. Más szavakkal, minden egyes az 1. kocka lapja rendezett párt alkothat mindegyikkel a 2. kocka széle. Egyezzünk meg abban, hogy egy ilyen párat a formába írunk, ahol az 1. kockán szereplő szám, és az a szám, amely a 2. kockán szerepel.

Például:

Az első dobókocka 3 pontot, a második 5 pontot ért el, összpontszám: 3 + 5 = 8;
- az első dobókocka 6 pontot ért, a második - 1 pontot, a pontok összege: 6 + 1 = 7;
- Mindkét kockán 2 pont dobott, összeg: 2 + 2 = 4.

Nyilván a legkisebb összeget egy pár adja, a legnagyobbat pedig két „hatos”.

a) Tekintsük az eseményt: - két kocka dobásakor 5 pont jelenik meg. Jegyezzük fel és számoljuk meg, hogy hány eredmény kedvez ennek az eseménynek:

Összesen: 4 kedvező eredmény. A klasszikus definíció szerint:
- a kívánt valószínűség.

b) Vegye figyelembe az eseményt: - legfeljebb 4 pont jelenik meg. Vagyis vagy 2, vagy 3, vagy 4 pont. Ismét felsoroljuk és megszámoljuk a kedvező kombinációkat, a bal oldalon felírom az összpontszámot, a kettőspont után pedig a megfelelő párokat:

Összesen: 6 kedvező kombináció. És így:
- annak a valószínűsége, hogy legfeljebb 4 pontot dobnak.

c) Tekintsük az eseményt: - 3-9 pont fog dobni, beleértve a pontot. Itt mehetsz az egyenes úton, de... valamiért nem akarod. Igen, néhány pár már felsorolásra került az előző bekezdésekben, de még sok a tennivaló.

Mi a legjobb módja a folytatásnak? Ilyen esetekben a körforgalom racionálisnak bizonyul. Mérlegeljük ellentétes esemény: - 2 vagy 10 vagy 11 vagy 12 pont jelenik meg.

Mi az értelme? Az ellenkező eseményt jóval kisebb számú pár kedveli:

Összesen: 7 kedvező eredmény.

A klasszikus definíció szerint:
- annak a valószínűsége, hogy háromnál kevesebbet vagy 9-nél többet kap.

A különösen alapos emberek mind a 29 párt listázhatják, ezzel kitöltve az ellenőrzést.

Válasz:

A következő feladatban megismételjük a szorzótáblát:

6. probléma

Határozza meg annak valószínűségét, hogy két kocka dobásakor a pontok szorzata:

a) egyenlő lesz héttel;

b) legalább 20 lesz;

c) páros lesz.

Rövid megoldás és válasz a lecke végén.

7. probléma

3 ember szállt be egy 20 emeletes épület liftjébe az első emeleten. És menjünk. Keresse meg annak valószínűségét, hogy:

a) különböző emeleteken fognak kilépni;

b) ketten ugyanazon az emeleten fognak kimenni;

c) mindenki ugyanazon az emeleten száll le.

Megoldás: számoljuk ki az eredmények teljes számát: hogyan szállhat ki az 1. utas a liftből És utak - 2. utas És módon - a harmadik utas. A kombinációk szorzásának szabálya szerint: lehetséges kimenetelek. vagyis minden Az 1. személy kijárata összevonható mindegyikkel 2. személy kijárati emelet és mindegyikkel 3. személy kijárata.

A második módszer azon alapul elhelyezések ismétlésekkel:
- aki érthetőbben érti.

a) Vegye figyelembe az eseményt: - az utasok különböző emeleteken szállnak le. Számítsuk ki a kedvező kimenetelek számát:
Különböző emeleteken 3 utas tud kiszállni ezekkel a módszerekkel. Végezze el saját érvelését a képlet alapján.

A klasszikus definíció szerint:

c) Vegye figyelembe az eseményt: - az utasok ugyanazon az emeleten szállnak le. Ennek az eseménynek kedvező kimenetele van, és a klasszikus definíció szerint a megfelelő valószínűséggel: .

A hátsó ajtón jövünk be:

b) Vegye figyelembe az eseményt: - két ember száll le ugyanazon az emeleten (és ennek megfelelően a harmadik a másikon van).

Az események formálódnak teljes csoport (hiszünk abban, hogy senki nem fog elaludni a liftben, és a lift nem fog elakadni, ami azt jelenti .

Ennek eredményeként a kívánt valószínűség:

És így, tétel a teljes csoportot alkotó események valószínűségeinek összeadásáról, nemcsak kényelmes, hanem igazi életmentő is lehet!

Válasz:

Ha nagy törteket kap, célszerű a hozzávetőleges tizedesértékeket feltüntetni. Általában 2-3-4 tizedesjegyre kerekítve.

Mivel az „a”, „be”, „ve” pontok eseményei egy teljes csoportot alkotnak, célszerű kontrollellenőrzést végezni, és ez jobb közelítő értékekkel:

Amit ellenőrizni kellett.

Néha a kerekítési hibák miatt az eredmény 0,9999 vagy 1,0001 lehet, a hozzávetőleges értékek egyikét úgy kell „igazítani”, hogy a végösszeg „tiszta” egység legyen.

Önállóan:

8. probléma

10 érmét dobnak fel. Keresse meg annak valószínűségét, hogy:

a) minden érmén fej látható;

b) 9 érme fejet, egy érme pedig farkat ér;

c) az érmék felén fejek jelennek meg.

9. probléma

Egy hétszemélyes padra véletlenszerűen 7 ember ül. Mennyi annak a valószínűsége, hogy két bizonyos ember közel lesz egymáshoz?

Megoldás: Nincs probléma az eredmények teljes számával:
Egy padon 7 ember ülhet különböző módon.

De hogyan lehet kiszámítani a kedvező eredmények számát? A triviális képletek nem alkalmasak, és az egyetlen út a logikus érvelés. Először is nézzük meg azt a helyzetet, amikor Sasha és Masha egymás mellett voltak a pad bal szélén:

Nyilvánvalóan a sorrend számít: Sasha ülhet a bal oldalon, Mása a jobb oldalon, és fordítva. De ez még nem minden - az egyes E két eset közül a többi ember más módon is leülhet az üres helyekre. Kombinatorikusan szólva, Sasha és Masha a következő módokon átrendezhetők a szomszédos helyeken: És Minden ilyen permutációhoz más embereket is át lehet rendezni.

Így a kombinációk szorzásának szabálya szerint kedvező eredmények születnek.

De ez még nem minden! A fenti tények igazak az egyes szomszédos helyek párja:

Érdekes megjegyezni, hogy ha a pad „lekerekített” (bal és jobb ülések összekötése), akkor egy további, hetedik pár szomszédos hely jön létre. De ne tereljük el a figyelmünket. A kombinációk szorzása ugyanazon elve szerint megkapjuk a kedvező kimenetelek végső számát:

A klasszikus definíció szerint:
- annak a valószínűsége, hogy két konkrét személy lesz a közelben.

Válasz:

10. probléma

Két bástya, fehér és fekete, véletlenszerűen kerül egy 64 cellát tartalmazó sakktáblára. Mennyi a valószínűsége, hogy nem „verik meg” egymást?

Referencia: egy sakktábla négyzet méretű; a fekete-fehér bástya „verik” egymást, ha ugyanazon a rangon vagy ugyanazon a függőlegesen helyezkednek el

Mindenképpen készítsen sematikus rajzot a tábláról, és még jobb, ha sakk van a közelben. Egy dolog papíron okoskodni, és egészen más, ha saját kezűleg rendezi el a darabokat.

11. probléma

Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kiosztott négy lapon egy ász és egy király lesz?

Számítsuk ki az eredmények teljes számát. Hányféleképpen lehet 4 kártyát kivenni egy pakliból? Valószínűleg mindenki megértette, hogy miről beszélünk kombinációk száma:
ezekkel a módszerekkel választhat 4 kártyát a pakliból.

Most kedvező eredményeket látunk. A feltételnek megfelelően a 4 lapból álló válogatásban egy ásznak, egy királynak kell lennie, és ami nincs egyszerű szövegben feltüntetve - két másik kártya:

Egy ász kinyerésének módjai;
hogyan választhat egy királyt.

Az ászokat és a királyokat kizárjuk a számításból: 36 - 4 - 4 = 28

hogyan bonthatja ki a másik két kártyát.

A kombinációk szorzási szabálya szerint:
módokon bonthatja ki a kívánt kártyakombinációt (1. ász És 1. király És két másik kártya).

Hadd kommentáljam a jelölés kombinációs jelentését más módon:
mindenász egyesíti mindegyikkel király és mindegyikkel lehetséges másik kártyapár.

A klasszikus definíció szerint:
- annak a valószínűsége, hogy a négy kiosztott lap között egy ász és egy király lesz.

Ha van ideje és türelme, csökkentse a nagy frakciókat, amennyire csak lehetséges.

Válasz:

Egy egyszerűbb, önállóan megoldható feladat:

12. probléma

A doboz 15 db minőségi és 5 db hibás alkatrészt tartalmaz. 2 alkatrészt véletlenszerűen távolítanak el.

Keresse meg annak valószínűségét, hogy:

a) mindkét rész jó minőségű lesz;

b) az egyik alkatrész jó minőségű lesz, a másik pedig hibás;

c) mindkét alkatrész hibás.

A felsorolt ​​pontok eseményei egy teljes csoportot alkotnak, így az itt történő ellenőrzés önmagát sugallja. Rövid megoldás és válasz a lecke végén. Általában a legérdekesebb dolgok most kezdődnek!

13. probléma

A tanuló a 60-ból 25 vizsgakérdésre tudja a választ. Mennyi a sikeres vizsga valószínűsége, ha 3-ból legalább 2 kérdésre válaszolnia kell?

Megoldás: Tehát a helyzet a következő: összesen 60 kérdés, ebből 25 „jó”, és ennek megfelelően 60 - 25 = 35 „rossz”. A helyzet bizonytalan, és nem a diáknak kedvez. Nézzük, milyen jók az esélyei:

hogyan választhat 3 kérdést a 60-ból (eredmények teljes száma).

A sikeres vizsgához meg kell válaszolnia a 2 vagy 3 kérdés. Kedvező kombinációkat tartunk számon:

2 „jó” kérdés kiválasztásának módjai És az egyik „rossz”;

hogyan választhat 3 „jó” kérdést.

Által kombinációk hozzáadásának szabálya:
módokon választhat 3 kérdésből egy olyan kombinációt, amely kedvező a vizsga sikeres letételéhez (nincs különbség két-három „jó” kérdésnél).

A klasszikus definíció szerint:

Válasz:

14. probléma

Egy pókerjátékosnak 5 lapot osztanak. Keresse meg annak valószínűségét, hogy:

a) ezek között a lapok között lesz egy pár tízes és egy pár bubi;
b) a játékosnak flöst osztanak ki (5 azonos színû lap);
c) a játékosnak négy egyforma lapot osztanak (4 azonos értékű lapot).

Az alábbi kombinációk közül melyik érhető el a legvalószínűbb?

! Figyelem! Ha a feltétel hasonló kérdést tesz fel, akkor válaszoljon rá szükséges választ adni.
Referencia : A pókert hagyományosan 52 lapos paklival játsszák, amely 4 színű lapokat tartalmaz, a kettestől az ászig.

A póker a legmatematikusabb játék (azok tudják, akik játszanak), amelyben észrevehető előnyre tehet szert a kevésbé képzett ellenfelekkel szemben.

Megoldások és válaszok:

2. feladat: Megoldás: 30 - 5 = 25 hűtőnek nincs hibája.

- annak a valószínűsége, hogy a véletlenszerűen kiválasztott hűtőszekrény nem hibás.
Válasz :

4. feladat: Megoldás: keresse meg az eredmények teljes számát:
módokon választhatja ki azt a helyet, ahol a kétes szám található és mindegyiken Ebből a 4 helyből 2 számjegy található (hét vagy nyolc). A kombinációk szorzásának szabálya szerint az eredmények teljes száma: .
Alternatív megoldásként a megoldás egyszerűen felsorolja az összes eredményt (szerencsére kevés van belőlük):

7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558

Csak egy kedvező eredmény van (helyes PIN-kód).

Tehát a klasszikus definíció szerint:
- annak valószínűsége, hogy az előfizető az első próbálkozásra bejelentkezik
Válasz :

6. feladat: Megoldás

6. feladat:Megoldás : keresse meg az eredmények teljes számát:
számok 2 kockán különböző módon jelenhetnek meg.

a) Vegye figyelembe az eseményt: - két kocka dobásakor a pontok szorzata hét lesz. Ennek az eseménynek nincs kedvező kimenetele,
, azaz ez az esemény lehetetlen.

b) Vegye figyelembe az eseményt: - két kocka dobásakor a pontok szorzata legalább 20 lesz. A következő eredmények kedveznek ennek az eseménynek:

Összesen: 8

A klasszikus definíció szerint:

- a kívánt valószínűség.

c) Tekintsük az ellenkező eseményeket:

- a pontok szorzata páros lesz;

- a pontok szorzata páratlan lesz.

Soroljuk fel az esemény szempontjából kedvező összes eredményt :

Összesen: 9 kedvező eredmény.

A valószínűség klasszikus definíciója szerint:

Az ellentétes események egy teljes csoportot alkotnak, ezért:

- a kívánt valószínűség.

Válasz :

8. probléma:Megoldás hogyan eshet le 2 érme.
Egy másik módja: hogyan eshet le az 1. érmeÉs hogyan eshet le a 2. érmeÉs … És hogyan eshet le a 10. érme. A kombinációk szorzása szabálya szerint 10 érme eshet módokon.
a) Vegye figyelembe az eseményt: - minden érmén fejek láthatók. Ennek az eseménynek egyetlen kimenetele kedvez, a valószínűség klasszikus definíciója szerint: .
b) Vegye figyelembe az eseményt: - 9 érme fejet, egy érmét pedig farok ér.
Létezik érmék, amelyek a fejeken landolhatnak. A valószínűség klasszikus definíciója szerint: .
c) Vegye figyelembe az eseményt: - az érmék felén fejek jelennek meg.
Létezik öt érme egyedi kombinációi, amelyek fejeket hoznak le. A valószínűség klasszikus definíciója szerint:
Válasz:

10. probléma:Megoldás : számítsuk ki az eredmények teljes számát:
két bástya elhelyezésének módjai a táblán.
Egy másik tervezési lehetőség: a sakktábla két mezőjének kiválasztásának módjaiÉs fehér és fekete bástya elhelyezésének módjaimindenben 2016-os esetből. Így az eredmények teljes száma: .

Most számoljuk meg azokat az eredményeket, amelyekben a bástya „megverte” egymást. Tekintsük az 1. vízszintes vonalat. Nyilván a figurák bármilyen módon elhelyezhetők rajta, például így:

Ezenkívül a bástya átrendezhető. Tegyük számszerű formába az érvelést: hogyan választhat ki két cellátÉs a bástya átrendezésének módjaimindenben28 esetből. Teljes: ábrák lehetséges helyzetei a vízszintesen.
A design rövid változata: hogyan helyezheti a fehér és fekete bástya az 1. rangra.

A fenti érvelés helyesaz egyes vízszintes, ezért a kombinációk számát meg kell szorozni nyolccal: . Ezenkívül egy hasonló történet a nyolc vertikális bármelyikére igaz. Számítsuk ki azoknak a formációknak a számát, amelyekben a darabok „verik” egymást:

Ezután az elrendezés többi változatában a bástya nem fogja „verni” egymást:
4032 - 896 = 3136

A valószínűség klasszikus definíciója szerint:
- annak a valószínűsége, hogy a táblára véletlenszerűen elhelyezett fehér és fekete bástya nem fogja „verni” egymást.

Válasz :

12. probléma:Megoldás : összesen: 15 + 5 = 20 alkatrész dobozban. Számítsuk ki az eredmények teljes számát:
ezekkel a módszerekkel 2 alkatrészt távolíthat el a dobozból.
a) Vegye figyelembe az eseményt: - mindkét kivont rész kiváló minőségű lesz.
ezekkel a módszerekkel 2 kiváló minőségű alkatrészt nyerhet ki.
A valószínűség klasszikus definíciója szerint:
b) Vegye figyelembe az eseményt: - az egyik alkatrész jó minőségű lesz, a másik pedig hibás.
1 minőségi alkatrész kinyerésének módjaiÉs1 hibás.
A klasszikus definíció szerint:
c) Vegye figyelembe az eseményt: - mindkét kihúzott rész hibás.
ezekkel a módszerekkel eltávolíthat 2 hibás alkatrészt.
A klasszikus definíció szerint:
Vizsgálat: számítsuk ki a teljes csoportot alkotó események valószínűségeinek összegét: , amit ellenőrizni kellett.
Válasz:

És most vegyünk a kezünkbe egy már ismerős és problémamentes tanulási eszközt - egy kockát rendezvények teljes csoportja , amelyek abból állnak, hogy dobásakor 1, 2, 3, 4, 5 és 6 pont jelenik meg.

Tekintsük az eseményt - egy kockadobás eredményeként legalább öt pont jelenik meg. Ez az esemény két összeférhetetlen kimenetelből áll: (5. tekercs vagy 6 pont)
- annak a valószínűsége, hogy egy kockadobás legalább öt pontot eredményez.

Tekintsük azt az eseményt, hogy legfeljebb 4 pontot dobunk, és határozzuk meg annak valószínűségét. Az összeférhetetlen események valószínűségeinek összeadásának tétele szerint:

Talán néhány olvasó még nem értette meg teljesen lényegösszeférhetetlenség. Gondoljuk át még egyszer: egy tanuló 3 kérdésből 2-re nem tud válaszolni és ugyanakkor válaszolj mind a 3 kérdésre. Így az események és összeegyeztethetetlenek.

Most használva klasszikus meghatározás, nézzük meg a valószínűségüket:

A sikeres vizsga tényét az összeg fejezi ki (válaszoljon 3-ból 2 kérdésre vagy minden kérdésre). Az összeférhetetlen események valószínűségeinek összeadásának tétele szerint:
- annak a valószínűsége, hogy a hallgató sikeres vizsgát tesz.

Ez a megoldás teljesen egyenértékű, válassza ki, melyik tetszik a legjobban.

1. probléma

Az üzletbe négy nagykereskedelmi raktárból érkezett dobozos termék: az 1.-ből négy, a 2.-ból öt, a 3.-ból hét, a 4-esből pedig négy. Véletlenszerűen kiválasztottak egy eladó dobozt. Mennyi annak a valószínűsége, hogy az első vagy a harmadik raktárból származó doboz lesz.

Megoldás: összesen az üzletbe érkezett: 4 + 5 + 7 + 4 = 20 doboz.

Ebben a feladatban kényelmesebb a „gyors” formázási módszer alkalmazása az események nagybetűs írása nélkül. A klasszikus definíció szerint:
- annak a valószínűsége, hogy az 1. raktárból kiválasztanak egy dobozt eladásra;
- annak a valószínűsége, hogy a 3. raktárból kiválasztanak egy dobozt eladásra.

Az összeférhetetlen események összeadásának tétele szerint:
- annak a valószínűsége, hogy az első vagy a harmadik raktárból kiválasztanak egy dobozt eladásra.

Válasz: 0,55

Természetesen a probléma megoldható és tisztán keresztül a valószínűség klasszikus meghatározása a kedvező kimenetelek számának közvetlen megszámlálásával (4 + 7 = 11), de a vizsgált módszer sem rosszabb. És még világosabb.

2. probléma

A doboz 10 piros és 6 kék gombot tartalmaz. Két gomb véletlenszerűen kerül eltávolításra. Mennyi a valószínűsége, hogy egyforma színűek lesznek?

Hasonlóképpen - itt használhatja kombinatorikus összegszabály, de sosem lehet tudni... hirtelen valaki elfelejtette. Ekkor az inkompatibilis események valószínűségének összeadásának tétele jön a segítségre!

Nál nél Bármely véletlenszerű esemény bekövetkezésének valószínűségének felmérésekor nagyon fontos, hogy jól megértsük, hogy a minket érdeklő esemény bekövetkezésének valószínűsége () függ-e attól, hogy más események hogyan alakulnak.

A klasszikus séma esetében, amikor minden kimenet egyformán valószínű, már önállóan is meg tudjuk becsülni a számunkra érdekes egyedi esemény valószínűségi értékeit. Ezt akkor is megtehetjük, ha az esemény több elemi eredmény összetett gyűjteménye. Mi van akkor, ha több véletlenszerű esemény történik egyszerre vagy egymás után? Hogyan befolyásolja ez a minket érdeklő esemény valószínűségét?

Ha többször dobok egy kockával, és azt akarom, hogy egy hatos jöjjön ki, és folyton szerencsétlenül járok, ez azt jelenti, hogy növelnem kell a tétemet, mert a valószínűségszámítás szerint szerencsém lesz? Sajnos a valószínűségszámítás nem állít ilyet. Se kocka, se kártya, se érme nem emlékszem amit legutóbb mutattak nekünk. Egyáltalán nem számít nekik, hogy ma először vagy tizedszer teszek próbára a szerencsémet. Minden alkalommal, amikor megismétlem a dobást, csak egy dolgot tudok: és ezúttal a hatos megszerzésének valószínűsége ismét egy hatod. Ez persze nem jelenti azt, hogy soha nem jön elő az a szám, amelyre szükségem van. Ez csak azt jelenti, hogy az első dobás utáni és bármely más dobás utáni veszteségem független események.

Az A és B eseményeket hívják független, ha az egyik megvalósítása semmilyen módon nem befolyásolja egy másik esemény valószínűségét. Például annak valószínűsége, hogy a két fegyver közül az elsővel eltalál egy célpontot, nem függ attól, hogy a másik fegyver eltalálta-e a célpontot, így az „első fegyver eltalálta a célt” és „a második fegyver a célpontot” események független.

Ha két A és B esemény független, és mindegyiknek ismert a valószínűsége, akkor az A és B esemény (jelölése AB) egyidejű bekövetkezésének valószínűsége kiszámítható a következő tétel segítségével.

Valószínűségszorzó tétel független eseményekre

P(AB) = P(A)*P(B)- valószínűség egyidejű a kettő kezdete független események egyenlő munka ezeknek az eseményeknek a valószínűsége.

Példa.A cél eltalálásának valószínűsége az első és a második löveg kilövésénél egyenlő: p 1 =0,7; p 2 =0,8. Határozza meg annak valószínűségét, hogy mindkét fegyver egy csapással egyidejűleg eltalál.

Megoldás: mint már láttuk, az A (elütés az első fegyverrel) és a B (talált a második fegyverrel) események függetlenek, azaz. P(AB)=P(A)*P(B)=p1*p2=0,56.

Mi történik a becsléseinkkel, ha a kezdeti események nem függetlenek? Változtassunk egy kicsit az előző példán.

Példa.Két lövő célba lő egy versenyen, és ha egyikük pontosan lő, az ellenfél ideges lesz, és az eredményei romlanak. Hogyan lehet ebből a mindennapi helyzetből matematikai problémát csinálni, és felvázolni a megoldási módokat? Intuitív módon egyértelmű, hogy a két eseményfejlődési lehetőséget valahogy szét kell választani, lényegében két forgatókönyvet, két különböző feladatot kell létrehozni. Az első esetben, ha az ellenfél kihagyott, a forgatókönyv kedvező lesz az ideges sportoló számára, és nagyobb lesz a pontossága. A második esetben, ha az ellenfél tisztességesen megragadta a lehetőséget, a második versenyző célba találásának valószínűsége csökken.

Az események alakulására vonatkozó lehetséges forgatókönyvek (gyakran hipotézisek) elkülönítésére gyakran használunk „valószínűségi fa” diagramot. Ez a diagram jelentésében hasonló ahhoz a döntési fához, amellyel valószínűleg már foglalkozott. Mindegyik ág külön forgatókönyvet jelent az események alakulására, csak most már saját jelentéssel bír az ún feltételes valószínűségek (q 1, q 2, q 1 -1, q 2 -1).

Ez a séma nagyon kényelmes szekvenciális véletlenszerű események elemzésére.

Még egy fontos kérdést kell tisztázni: honnan származnak a valószínűségek kezdeti értékei? valós helyzeteket ? Végül is a valószínűségszámítás nem csak érmékkel és kockákkal működik? Általában ezeket a becsléseket a statisztikákból veszik, és ha nem állnak rendelkezésre statisztikai információk, saját kutatást végzünk. És sokszor nem az adatgyűjtéssel kell kezdenünk, hanem azzal a kérdéssel, hogy valójában milyen információra van szükségünk.

Példa.Tegyük fel, hogy egy százezer lakosú városban meg kell becsülnünk egy olyan új termék piaci mennyiségét, amely nem nélkülözhetetlen, például egy festett haj ápolására szolgáló balzsam esetében. Tekintsük a „valószínűségi fa” diagramot. Ebben az esetben hozzávetőlegesen meg kell becsülnünk az egyes „ágak” valószínűségi értékét. Tehát a piaci kapacitásra vonatkozó becsléseink:

1) az összes városlakó 50%-a nő,

2) a nők mindössze 30%-a festi gyakran a haját,

3) közülük csak 10%-uk használ festett hajra való balzsamot,

4) közülük csak 10%-uk tudja összeszedni a bátorságát egy új termék kipróbálásához,

5) 70%-uk általában nem tőlünk, hanem versenytársainktól vásárol mindent.

Megoldás: A valószínűségek szorzásának törvénye szerint a minket érdeklő esemény valószínűségét határozzuk meg A = (egy városlakó megvásárolja tőlünk ezt az új balzsamot) = 0,00045.

Ezt a valószínűségi értéket szorozzuk meg a városlakók számával. Ennek eredményeként mindössze 45 potenciális vásárlónk van, és tekintve, hogy ebből a termékből egy palack több hónapig is eltart, nem túl élénk a kereskedelem.

És mégis van némi előnye az értékeléseinknek.

Először is összehasonlíthatjuk a különböző üzleti ötletek előrejelzéseit a diagramokban, és természetesen a valószínűségi értékek is eltérőek lesznek.

Másodszor, ahogy már mondtuk, egy valószínűségi változót nem nevezünk véletlennek, mert egyáltalán nem függ semmitől. Csak őt pontos a jelentése előre nem ismert. Tudjuk, hogy az átlagos vásárlók száma növelhető (például új termék reklámozásával). Érdemes tehát azokra a „villákra” koncentrálni, ahol a valószínűségi eloszlás nem igazán felel meg nekünk, azokra a tényezőkre, amelyeket befolyásolni tudunk.

Nézzünk egy másik kvantitatív példát a fogyasztói magatartáskutatásra.

Példa. Naponta átlagosan 10 000 ember keresi fel az élelmiszerpiacot. 1/2 annak a valószínűsége, hogy piaclátogató belép a tejtermékpavilonba. Ismeretes, hogy ez a pavilon naponta átlagosan 500 kg különféle terméket ad el.

Mondhatjuk, hogy a pavilonban egy átlagos vásárlás mindössze 100 g?

Vita. Természetesen nem. Nyilvánvaló, hogy nem mindenki vásárolt ott valamit, aki belépett a pavilonba.

Amint az ábrán látható, a vásárlás átlagos súlyára vonatkozó kérdés megválaszolásához választ kell találnunk arra a kérdésre, hogy mekkora a valószínűsége annak, hogy a pavilonba belépő személy vásárol ott valamit. Ha ilyen adatok nem állnak rendelkezésünkre, de szükségünk van rá, akkor magunknak kell beszereznünk a pavilonba látogatókat egy ideig megfigyelve. Mondjuk megfigyeléseink azt mutatták, hogy a pavilonlátogatóknak csak egyötöde vásárol valamit.

Miután megkaptuk ezeket a becsléseket, a feladat egyszerűvé válik. A piacra érkező 10 000 emberből csak 1000 lesz a vásárlás, átlagosan 500 gramm. Érdekes megjegyezni, hogy annak érdekében, hogy teljes képet alkossunk arról, hogy mi történik, a feltételes „elágazás” logikáját érvelésünk minden szakaszában olyan világosan meg kell határozni, mintha egy „sajátos” helyzettel dolgoznánk, és nem valószínűségekkel.

Önellenőrző feladatok

1. Legyen egy elektromos áramkör, amely n sorba kapcsolt elemből áll, amelyek mindegyike a többitől függetlenül működik.

Az egyes elemek meghibásodásának p valószínűsége ismert. Határozza meg az áramkör teljes szakaszának megfelelő működésének valószínűségét (A esemény).

2. A tanuló 25 vizsgakérdésből 20-at tud. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a hallgató ismeri a vizsgáztató által neki feladott három kérdést!

3. A gyártás négy egymást követő szakaszból áll, amelyek mindegyikében üzemelnek a berendezések, amelyeknél a következő hónap meghibásodásának valószínűsége p 1, p 2, p 3 és p 4. Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy hónapon belül nem lesz termelési leállás a berendezés meghibásodása miatt.

Tudva, hogy a valószínűség mérhető, próbáljuk meg számokkal kifejezni. Három lehetséges mód van.

Rizs. 1.1. Valószínűség mérése

SZIMMETRIA ÁLTAL MEGHATÁROZOTT VALÓSZÍNŰSÉG

Vannak helyzetek, amelyekben a lehetséges kimenetelek egyformán valószínűek. Például egy érme egyszeri feldobásakor, ha az érme szabványos, akkor a „fejek” vagy „farok” megjelenésének valószínűsége azonos, pl. P("fejek") = P("farok"). Mivel csak két kimenetel lehetséges, akkor P(“fejek”) + P (“farok”) = 1, ezért P (“fejek”) = P (“farok”) = 0,5.

Azokban a kísérletekben, ahol az eredmények egyenlő valószínűséggel fordulnak elő, az E, P (E) esemény valószínűsége egyenlő:

Példa 1.1. Az érmét háromszor dobják fel. Mennyi a valószínűsége annak, hogy két fej és egy farok?

Először is keressük meg az összes lehetséges eredményt: Hogy megbizonyosodjunk arról, hogy minden lehetséges opciót megtaláltunk, egy fadiagramot használunk (lásd 1. fejezet, 1.3.1. szakasz).

Tehát 8 egyformán lehetséges kimenetel van, ezért ezek valószínűsége 1/8. E esemény – két fej és farok – három történt. Ezért:

Példa 1.2. Egy szabványos kockával kétszer kell dobni. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a pontszám 9 vagy több?

Keressük meg az összes lehetséges eredményt.

1.2. táblázat. A kocka kétszeri dobásával szerzett pontok teljes száma

Tehát a 36 lehetséges eredmény közül 10-ben a pontok összege 9, vagyis:

EMPIRIKUSAN MEGHATÁROZOTT VALÓSZÍNŰSÉG

Példa egy érmével az asztalról. Az 1.1 világosan szemlélteti a valószínűség meghatározásának mechanizmusát.

A sikeres kísérletek teljes számát figyelembe véve a kívánt eredmény valószínűségét a következőképpen számítjuk ki:

Az arány egy bizonyos eredmény előfordulásának relatív gyakorisága egy kellően hosszú kísérlet során. A valószínűség kiszámítása vagy az elvégzett kísérlet adatai alapján, vagy a múltbeli adatok alapján történik.

Példa 1.3. Az ötszáz vizsgált elektromos lámpa közül 415 működött több mint 1000 órán keresztül. A kísérlet adatai alapján arra a következtetésre juthatunk, hogy egy ilyen típusú lámpa 1000 óránál hosszabb normál működésének valószínűsége:

Jegyzet. A tesztelés destruktív jellegű, ezért nem minden lámpát lehet tesztelni. Ha csak egy lámpát tesztelnének, a valószínűség 1 vagy 0 lenne (azaz, hogy kibír-e 1000 órát vagy sem). Ezért meg kell ismételni a kísérletet.

Példa 1.4. táblázatban Az 1.3 a vállalatnál dolgozó férfiak szolgálati idejére vonatkozó adatokat mutatja:

1.3. táblázat. Férfi munkatapasztalat

Mennyi annak a valószínűsége, hogy a következő személy, akit a cég felvesz, legalább két évig fog dolgozni?

Megoldás.

A táblázatból kiderül, hogy 100 alkalmazottból 38-an több mint két éve dolgoznak a cégnél. Az empirikus valószínűsége annak, hogy a következő munkavállaló több mint két évig marad a vállalatnál:

Ugyanakkor azt feltételezzük, hogy az új munkavállaló „tipikus és a munkakörülmények változatlanok.

SZUBJEKTÍV VALÓSZÍNŰSÉGÉRTÉKELÉS

Az üzleti életben gyakran adódnak olyan helyzetek, amelyekben nincs szimmetria, és nincsenek kísérleti adatok sem. Ezért a kedvező eredmény valószínűségének meghatározása a kutató nézetei és tapasztalatai alapján szubjektív.

1.5. példa.

1. Egy befektetési szakértő becslése szerint az első két évben 0,6 a nyereség valószínűsége.

2. Marketingmenedzser előrejelzése: 1000 darab termék eladásának valószínűsége a piacon való megjelenést követő első hónapban 0,4.

mint ontológiai kategória bármely entitás bármilyen feltételek melletti megjelenési lehetőségének mértékét tükrözi. E fogalom matematikai és logikai értelmezésével szemben az ontológiai matematika nem köti össze magát a mennyiségi kifejezés kötelezettségével. A V. jelentése a determinizmus és általában a fejlődés természetének megértésének kontextusában tárul fel.

Kiváló meghatározás

Hiányos meghatározás ↓

VALÓSZÍNŰSÉG

mennyiségeket jellemző fogalom. egy bizonyos esemény bekövetkezésének lehetőségének mértéke egy bizonyos körülmények. A tudományosban ismeretek három értelmezése létezik V. A klasszikus V. fogalma, amely a matematikai. B. Pascal, J. Bernoulli és P. Laplace által legteljesebben kidolgozott szerencsejáték-elemzés a nyerést a kedvező esetek számának az egyformán lehetséges esetek teljes számához viszonyított arányának tekinti. Például egy 6 oldalas kocka dobásakor mindegyik 1/6-os értékkel várható, mivel egyik oldalnak sincs előnye a másikkal szemben. A kísérleti eredmények ilyen szimmetriáját kifejezetten figyelembe veszik a játékok szervezésekor, de viszonylag ritka a tudomány és a gyakorlat objektív eseményeinek tanulmányozása során. Klasszikus V. értelmezése átadta helyét a statisztikáknak. V. fogalmai, amelyek a tényleges egy bizonyos esemény bekövetkezésének megfigyelése hosszú időn keresztül. pontosan rögzített feltételek mellett szerzett tapasztalat. A gyakorlat megerősíti, hogy minél gyakrabban fordul elő egy esemény, annál nagyobb az objektív valószínűsége annak bekövetkeztének, vagy B. Ezért statisztikai. V. értelmezése a relates fogalmán alapul. gyakorisággal, amely kísérletileg meghatározható. V. mint elméleti a fogalom soha nem esik egybe az empirikusan meghatározott gyakorisággal, azonban többes számban. Esetenként gyakorlatilag alig tér el a relatívtól. az időtartam eredményeként talált gyakoriság. megfigyelések. Sok statisztikus úgy véli, hogy V. „kettős” utal. a gyakoriságokat, éleket statisztikailag határozzuk meg. megfigyelési eredmények tanulmányozása

vagy kísérletek. Kevésbé reális volt a V. meghatározása, ahogy a határ vonatkozik. R. Mises által javasolt tömegrendezvények vagy csoportok gyakorisága. A V. gyakorisági megközelítésének továbbfejlesztéseként a V. diszpozíciós vagy hajlamos értelmezését terjesztik elő (K. Popper, J. Hacking, M. Bunge, T. Settle). Ezen értelmezés szerint V. jellemzi például a feltételeket generáló tulajdonságot. kísérlet. telepítések hatalmas véletlenszerű események sorozatának eléréséhez. Pontosan ez az attitűd okozza a testi diszpozíciók, vagy hajlamok, V. amely rokonok segítségével ellenőrizhető. frekvencia

Statisztikai V. értelmezése uralja a tudományos kutatást. megismerés, mert specifikus. a véletlenszerű természetű tömegjelenségekben rejlő minták természete. Sok fizikai, biológiai, gazdasági, demográfiai. és más társadalmi folyamatok, számos véletlenszerű tényező hatását kell figyelembe venni, amelyeket állandó gyakorisággal jellemez. Ezeknek a stabil frekvenciáknak és mennyiségeknek az azonosítása. V. segítségével végzett értékelése lehetővé teszi a számos baleset halmozott hatásán áttörő szükségszerűség feltárását. Itt nyilvánul meg a véletlen szükségszerűvé alakításának dialektikája (lásd F. Engels, a könyvben: K. Marx és F. Engels, Works, 20. kötet, 535-36.).

A logikai vagy induktív érvelés jellemzi a kapcsolatot a premisszák és a nem demonstratív, és különösen az induktív érvelés következtetései között. A dedukcióval ellentétben az indukció premisszái nem garantálják a következtetés igazságát, csak többé-kevésbé valószínűvé teszik azt. Ez a plauzibilitás, pontosan megfogalmazott premisszák mellett, esetenként V segítségével is felmérhető. Ennek a V. értékét leggyakrabban összehasonlítással határozzák meg. fogalmak (több, kisebb vagy egyenlő), és néha numerikus módon. Logikus Az értelmezést gyakran használják az induktív gondolkodás elemzésére és a valószínűségi logika különféle rendszereinek felépítésére (R. Carnap, R. Jeffrey). A szemantikában logikai fogalmak A V.-t gyakran úgy határozzák meg, hogy egy állítást milyen mértékben erősítenek meg mások (például egy hipotézist empirikus adatai alapján).

A döntéshozatali és játékelméletek fejlődéséhez kapcsolódóan az ún V. személyre szabott értelmezése. Bár V. egyben kifejezi az alany hitének fokát és egy bizonyos esemény bekövetkeztét, magukat V.-t úgy kell megválasztani, hogy V. kalkulusának axiómái teljesüljenek. Ezért V. ilyen értelmezéssel nem annyira a szubjektív, mint inkább az ésszerű hit mértékét fejezi ki. Következésképpen az ilyen V. alapján hozott döntések racionálisak lesznek, mert nem veszik figyelembe a pszichológiai. az alany jellemzői és hajlamai.

Ismeretelmélettel t.zr. különbség a statisztikai, logikai. V. perszonalista értelmezései pedig az, hogy ha az első a véletlenszerű természetű tömegjelenségek objektív tulajdonságait és összefüggéseit jellemzi, akkor az utolsó kettő a szubjektív, megismerő jellemzőit elemzi. emberi tevékenységek bizonytalanság körülményei között.

VALÓSZÍNŰSÉG

a tudomány egyik legfontosabb fogalma, amely a világról, annak szerkezetéről, evolúciójáról és tudásáról alkotott sajátos rendszerszemléletet jellemzi. A világ valószínűségi szemléletének sajátossága a véletlenszerűség, a függetlenség és a hierarchia fogalmának (a rendszerek szerkezetének és meghatározottságának szintjeinek eszméje) beemelésén keresztül mutatkozik meg a létezés alapfogalmai közé.

A valószínűségről alkotott elképzelések az ókorban keletkeztek, és tudásunk jellemzőihez kapcsolódnak, miközben felismerték a valószínűségi tudás létezését, amely különbözik a megbízható tudástól és a hamis tudástól. A valószínűség gondolatának a tudományos gondolkodásra és az ismeretek fejlődésére gyakorolt ​​hatása közvetlenül kapcsolódik a valószínűségszámítás mint matematikai tudományág fejlődéséhez. A valószínűség matematikai doktrínájának eredete a 17. századra nyúlik vissza, amikor is kialakult egy olyan fogalommag, amely lehetővé tette. mennyiségi (numerikus) jellemzők és valószínűségi elképzelés kifejezése.

A valószínűségek intenzív alkalmazása a megismerés fejlődésére a 2. felében történik. 19 - 1. emelet 20. század A valószínűség bekerült az olyan alapvető természettudományok struktúrájába, mint a klasszikus statisztikai fizika, a genetika, a kvantumelmélet és a kibernetika (információelmélet). Ennek megfelelően a valószínűség személyesíti meg a tudomány fejlődésének azt a szakaszát, amelyet ma már nem klasszikus tudományként határoznak meg. A valószínűségi gondolkodásmód újdonságának és sajátosságainak feltárásához a valószínűségszámítás tárgyának és számos alkalmazásának alapjainak elemzéséből kell kiindulni. A valószínűségszámítást általában olyan matematikai tudományágként határozzák meg, amely a tömeges véletlenszerű jelenségek mintázatait vizsgálja bizonyos feltételek mellett. A véletlenszerűség azt jelenti, hogy a tömegjelleg keretein belül az egyes elemi jelenségek létezése nem függ más jelenségek létezésétől, és nem is ezektől függ. Ugyanakkor maga a jelenségek tömegtermészete is stabil szerkezetű és bizonyos törvényszerűségeket tartalmaz. A tömegjelenség meglehetősen szigorúan alrendszerekre oszlik, és az elemi jelenségek relatív száma az egyes alrendszerekben (relatív gyakoriság) nagyon stabil. Ezt a stabilitást a valószínűséggel hasonlítják össze. A tömegjelenség egészét a valószínűségi eloszlás jellemzi, vagyis az alrendszerek és a hozzájuk tartozó valószínűségek megadása. A valószínűségszámítás nyelve a valószínűségi eloszlások nyelve. Ennek megfelelően a valószínűségszámítás az eloszlásokkal való működés elvont tudománya.

A valószínűség a tudományban a statisztikai mintákról és a statisztikai rendszerekről alkotott elképzeléseket szülte. Ez utóbbiak független vagy kvázi független entitásokból kialakított rendszerek, struktúrájukat valószínűségi eloszlások jellemzik. De hogyan lehetséges független entitásokból rendszereket kialakítani? Általában azt feltételezik, hogy az integrált jellemzőkkel rendelkező rendszerek kialakításához az elemeik között kellően stabil kapcsolatokra van szükség, amelyek a rendszereket cementálják. A statisztikai rendszerek stabilitását a külső feltételek, a külső környezet, a külső, nem pedig a belső erők jelenléte adja. Maga a valószínűség meghatározása mindig a kezdeti tömegjelenség kialakulásának feltételein alapul. A valószínűségi paradigmát jellemző másik fontos gondolat a hierarchia (alárendeltség) gondolata. Ez az elképzelés az egyes elemek jellemzői és a rendszerek integrált jellemzői közötti kapcsolatot fejezi ki: az utóbbiak mintegy az előbbire épülnek.

A valószínűségi módszerek jelentősége a megismerésben abban rejlik, hogy lehetővé teszik a hierarchikus, „kétszintű” felépítésű objektumok, rendszerek szerkezeti és viselkedési mintáinak tanulmányozását és elméleti kifejezését.

A valószínűség természetének elemzése annak gyakoriságán, statisztikai értelmezésén alapul. Ugyanakkor a tudományban nagyon hosszú ideig a valószínűségnek egy ilyen felfogása dominált, amelyet logikai, vagy induktív valószínűségnek neveztek. A logikai valószínűséget egy különálló, egyedi ítélet bizonyos feltételek melletti érvényességének kérdései érdeklik. Lehetséges-e kvantitatív formában értékelni egy induktív következtetés (hipotetikus következtetés) megerősítési fokát (megbízhatóságát, igazságtartalmát)? A valószínűségszámítás fejlesztése során többször is szóba kerültek az ilyen kérdések, és elkezdtek beszélni a hipotetikus következtetések megerősítési fokáról. Ezt a valószínűségi mértéket az adott személy rendelkezésére álló információ, tapasztalata, világnézete és pszichológiai gondolkodásmódja határozza meg. A valószínűség nagysága minden ilyen esetben nem alkalmas szigorú mérésekre, és gyakorlatilag kívül esik a valószínűségszámítás, mint konzisztens matematikai diszciplína kompetenciáján.

A valószínűség objektív, gyakori értelmezése jelentős nehézségekkel honosodott meg a tudományban. A valószínűség természetének megértését kezdetben erősen befolyásolták azok a filozófiai és módszertani nézetek, amelyek a klasszikus tudományra jellemzőek voltak. Történelmileg a fizikában a valószínűségszámítási módszerek fejlődése a mechanika eszméinek meghatározó hatására ment végbe: a statisztikai rendszereket egyszerűen mechanikusnak értelmezték. Mivel a megfelelő problémákat nem a mechanika szigorú módszereivel oldották meg, felmerült az az állítás, hogy a valószínűségszámítási módszerek és a statisztikai törvények felé fordulás ismereteink hiányosságának eredménye. A klasszikus statisztikus fizika fejlődéstörténetében számos kísérlet történt a klasszikus mechanika alapján történő alátámasztására, de mindegyik kudarcot vallott. A valószínűség alapja, hogy a mechanikai rendszereken kívül a rendszerek egy bizonyos osztályának szerkezeti jellemzőit fejezi ki: e rendszerek elemeinek állapotát instabilitás és speciális (mechanikára nem redukálható) kölcsönhatások jellemzik.

A valószínűség tudásba kerülése a kemény determinizmus fogalmának tagadásához, a klasszikus tudomány kialakulásának folyamatában kialakult lét és tudás alapmodelljének tagadásához vezet. A statisztikai elméletek által képviselt alapmodellek ettől eltérő, általánosabb jellegűek: magukban foglalják a véletlenszerűség és a függetlenség eszméit. A valószínűség gondolata az objektumok és rendszerek belső dinamikájának feltárásához kapcsolódik, amelyet nem határozhatnak meg teljesen külső feltételek és körülmények.

A függetlenségről alkotott elképzelések abszolutizálásán alapuló valószínűségi világkép koncepciója (mint a merev elhatározás paradigmája előtt) mostanra felfedte korlátait, ami a legerősebben a modern tudománynak az analitikus vizsgálati módszerekre való átállásában tükröződik. komplex rendszerek és az önszerveződési jelenségek fizikai és matematikai alapjai.

Kiváló meghatározás

Hiányos meghatározás ↓